Theorem fzolb 10544

Description: The left endpoint of a half-open integer interval is in the set iff the two arguments are integers with 𝑀 < 𝑁. This provides an alternate notation for the "strict upper integer" predicate by analogy to the "weak upper integer" predicate 𝑀 ∈ (ℤ_≥‘𝑁). (Contributed by Mario Carneiro, 29-Sep-2015.)

Assertion

Ref	Expression
fzolb	⊢ (𝑀 ∈ (𝑀..^𝑁) ↔ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 < 𝑁))

Proof of Theorem fzolb

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfzo2 10540	. 2 ⊢ (𝑀 ∈ (𝑀..^𝑁) ↔ (𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 < 𝑁))
2		eluzel2 9909	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑀 ∈ ℤ)
3		uzid 9919	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
4	2, 3	impbii 126	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↔ 𝑀 ∈ ℤ)
5	4	3anbi1i 1221	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 < 𝑁) ↔ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 < 𝑁))
6	1, 5	bitri 184	1 ⊢ (𝑀 ∈ (𝑀..^𝑁) ↔ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 < 𝑁))

Syntax hints:   ↔ wb 105   ∧ w3a 1009   ∈ wcel 2209   class class class wbr 4128  ‘cfv 5375  (class class class)co 6079   < clt 8354  ℤcz 9627  ℤ_≥cuz 9904  ..^cfzo 10532

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4247  ax-pow 4309  ax-pr 4344  ax-un 4576  ax-setind 4682  ax-cnex 8264  ax-resscn 8265  ax-1cn 8266  ax-1re 8267  ax-icn 8268  ax-addcl 8269  ax-addrcl 8270  ax-mulcl 8271  ax-addcom 8273  ax-addass 8275  ax-distr 8277  ax-i2m1 8278  ax-0lt1 8279  ax-0id 8281  ax-rnegex 8282  ax-cnre 8284  ax-pre-ltirr 8285  ax-pre-ltwlin 8286  ax-pre-lttrn 8287  ax-pre-ltadd 8289

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3714  df-pr 3715  df-op 3717  df-uni 3934  df-int 3969  df-iun 4012  df-br 4129  df-opab 4191  df-mpt 4192  df-id 4436  df-xp 4778  df-rel 4779  df-cnv 4780  df-co 4781  df-dm 4782  df-rn 4783  df-res 4784  df-ima 4785  df-iota 5335  df-fun 5377  df-fn 5378  df-f 5379  df-fv 5383  df-riota 6032  df-ov 6082  df-oprab 6083  df-mpo 6084  df-1st 6368  df-2nd 6369  df-pnf 8356  df-mnf 8357  df-xr 8358  df-ltxr 8359  df-le 8360  df-sub 8493  df-neg 8494  df-inn 9288  df-n0 9547  df-z 9628  df-uz 9905  df-fz 10395  df-fzo 10533

This theorem is referenced by:  fzolb2  10545  elfzolt2b  10549  elfzolt3b  10550  elfzo3  10554  lbfzo0  10575  ccatval21sw  11356  lswccatn0lsw  11362