Theorem fzossrbm1 10192

Description: Subset of a half open range. (Contributed by Alexander van der Vekens, 1-Nov-2017.)

Assertion

Ref	Expression
fzossrbm1	⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (0..^(𝑁 − 1)) ⊆ (0..^𝑁))

Proof of Theorem fzossrbm1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		peano2zm 9310	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 − 1) ∈ ℤ)
2		id 19	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℤ)
3		zre 9276	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℝ)
4	3	lem1d 8909	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 − 1) ≤ 𝑁)
5		eluz2 9553	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑁 − 1)) ↔ ((𝑁 − 1) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑁 − 1) ≤ 𝑁))
6	1, 2, 4, 5	syl3anbrc 1183	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑁 − 1)))
7		fzoss2 10191	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑁 − 1)) → (0..^(𝑁 − 1)) ⊆ (0..^𝑁))
8	6, 7	syl 14	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (0..^(𝑁 − 1)) ⊆ (0..^𝑁))

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2160   ⊆ wss 3144   class class class wbr 4018  ‘cfv 5231  (class class class)co 5891  0cc0 7830  1c1 7831   ≤ cle 8012   − cmin 8147  ℤcz 9272  ℤ_≥cuz 9547  ..^cfzo 10161

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-sep 4136  ax-pow 4189  ax-pr 4224  ax-un 4448  ax-setind 4551  ax-cnex 7921  ax-resscn 7922  ax-1cn 7923  ax-1re 7924  ax-icn 7925  ax-addcl 7926  ax-addrcl 7927  ax-mulcl 7928  ax-addcom 7930  ax-addass 7932  ax-distr 7934  ax-i2m1 7935  ax-0lt1 7936  ax-0id 7938  ax-rnegex 7939  ax-cnre 7941  ax-pre-ltirr 7942  ax-pre-ltwlin 7943  ax-pre-lttrn 7944  ax-pre-ltadd 7946

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-nel 2456  df-ral 2473  df-rex 2474  df-reu 2475  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-csb 3073  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-int 3860  df-iun 3903  df-br 4019  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-id 4308  df-xp 4647  df-rel 4648  df-cnv 4649  df-co 4650  df-dm 4651  df-rn 4652  df-res 4653  df-ima 4654  df-iota 5193  df-fun 5233  df-fn 5234  df-f 5235  df-fv 5239  df-riota 5847  df-ov 5894  df-oprab 5895  df-mpo 5896  df-1st 6159  df-2nd 6160  df-pnf 8013  df-mnf 8014  df-xr 8015  df-ltxr 8016  df-le 8017  df-sub 8149  df-neg 8150  df-inn 8939  df-n0 9196  df-z 9273  df-uz 9548  df-fz 10028  df-fzo 10162

This theorem is referenced by:  elfzom1elp1fzo  10221  elfzom1elfzo  10222