Theorem cjmulrcl 10829

Description: A complex number times its conjugate is real. (Contributed by NM, 26-Mar-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 14-Jul-2014.)

Assertion

Ref	Expression
cjmulrcl	⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 · (∗‘𝐴)) ∈ ℝ)

Proof of Theorem cjmulrcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cjcj 10825	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (∗‘(∗‘𝐴)) = 𝐴)
2	1	oveq2d 5858	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((∗‘𝐴) · (∗‘(∗‘𝐴))) = ((∗‘𝐴) · 𝐴))
3		cjcl 10790	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (∗‘𝐴) ∈ ℂ)
4		cjmul 10827	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (∗‘𝐴) ∈ ℂ) → (∗‘(𝐴 · (∗‘𝐴))) = ((∗‘𝐴) · (∗‘(∗‘𝐴))))
5	3, 4	mpdan 418	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (∗‘(𝐴 · (∗‘𝐴))) = ((∗‘𝐴) · (∗‘(∗‘𝐴))))
6		mulcom 7882	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (∗‘𝐴) ∈ ℂ) → (𝐴 · (∗‘𝐴)) = ((∗‘𝐴) · 𝐴))
7	3, 6	mpdan 418	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 · (∗‘𝐴)) = ((∗‘𝐴) · 𝐴))
8	2, 5, 7	3eqtr4d 2208	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (∗‘(𝐴 · (∗‘𝐴))) = (𝐴 · (∗‘𝐴)))
9		mulcl 7880	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (∗‘𝐴) ∈ ℂ) → (𝐴 · (∗‘𝐴)) ∈ ℂ)
10	3, 9	mpdan 418	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 · (∗‘𝐴)) ∈ ℂ)
11		cjreb 10808	. . 3 ⊢ ((𝐴 · (∗‘𝐴)) ∈ ℂ → ((𝐴 · (∗‘𝐴)) ∈ ℝ ↔ (∗‘(𝐴 · (∗‘𝐴))) = (𝐴 · (∗‘𝐴))))
12	10, 11	syl 14	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((𝐴 · (∗‘𝐴)) ∈ ℝ ↔ (∗‘(𝐴 · (∗‘𝐴))) = (𝐴 · (∗‘𝐴))))
13	8, 12	mpbird 166	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 · (∗‘𝐴)) ∈ ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 104   = wceq 1343   ∈ wcel 2136  ‘cfv 5188  (class class class)co 5842  ℂcc 7751  ℝcr 7752   · cmul 7758  ∗ccj 10781

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-13 2138  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-sep 4100  ax-pow 4153  ax-pr 4187  ax-un 4411  ax-setind 4514  ax-cnex 7844  ax-resscn 7845  ax-1cn 7846  ax-1re 7847  ax-icn 7848  ax-addcl 7849  ax-addrcl 7850  ax-mulcl 7851  ax-mulrcl 7852  ax-addcom 7853  ax-mulcom 7854  ax-addass 7855  ax-mulass 7856  ax-distr 7857  ax-i2m1 7858  ax-0lt1 7859  ax-1rid 7860  ax-0id 7861  ax-rnegex 7862  ax-precex 7863  ax-cnre 7864  ax-pre-ltirr 7865  ax-pre-ltwlin 7866  ax-pre-lttrn 7867  ax-pre-apti 7868  ax-pre-ltadd 7869  ax-pre-mulgt0 7870  ax-pre-mulext 7871

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 970  df-tru 1346  df-fal 1349  df-nf 1449  df-sb 1751  df-eu 2017  df-mo 2018  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-ne 2337  df-nel 2432  df-ral 2449  df-rex 2450  df-reu 2451  df-rmo 2452  df-rab 2453  df-v 2728  df-sbc 2952  df-dif 3118  df-un 3120  df-in 3122  df-ss 3129  df-pw 3561  df-sn 3582  df-pr 3583  df-op 3585  df-uni 3790  df-br 3983  df-opab 4044  df-mpt 4045  df-id 4271  df-po 4274  df-iso 4275  df-xp 4610  df-rel 4611  df-cnv 4612  df-co 4613  df-dm 4614  df-rn 4615  df-res 4616  df-ima 4617  df-iota 5153  df-fun 5190  df-fn 5191  df-f 5192  df-fv 5196  df-riota 5798  df-ov 5845  df-oprab 5846  df-mpo 5847  df-pnf 7935  df-mnf 7936  df-xr 7937  df-ltxr 7938  df-le 7939  df-sub 8071  df-neg 8072  df-reap 8473  df-ap 8480  df-div 8569  df-2 8916  df-cj 10784  df-re 10785  df-im 10786

This theorem is referenced by:  cjmulval  10830  cjmulrcli  10863  cjmulrcld  10893  abscl  10993  absvalsq  10995  absge0  11002  absmul  11011