Theorem cjmulrcl 10851

Description: A complex number times its conjugate is real. (Contributed by NM, 26-Mar-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 14-Jul-2014.)

Assertion

Ref	Expression
cjmulrcl	⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 · (∗‘𝐴)) ∈ ℝ)

Proof of Theorem cjmulrcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cjcj 10847	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (∗‘(∗‘𝐴)) = 𝐴)
2	1	oveq2d 5869	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((∗‘𝐴) · (∗‘(∗‘𝐴))) = ((∗‘𝐴) · 𝐴))
3		cjcl 10812	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (∗‘𝐴) ∈ ℂ)
4		cjmul 10849	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (∗‘𝐴) ∈ ℂ) → (∗‘(𝐴 · (∗‘𝐴))) = ((∗‘𝐴) · (∗‘(∗‘𝐴))))
5	3, 4	mpdan 419	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (∗‘(𝐴 · (∗‘𝐴))) = ((∗‘𝐴) · (∗‘(∗‘𝐴))))
6		mulcom 7903	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (∗‘𝐴) ∈ ℂ) → (𝐴 · (∗‘𝐴)) = ((∗‘𝐴) · 𝐴))
7	3, 6	mpdan 419	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 · (∗‘𝐴)) = ((∗‘𝐴) · 𝐴))
8	2, 5, 7	3eqtr4d 2213	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (∗‘(𝐴 · (∗‘𝐴))) = (𝐴 · (∗‘𝐴)))
9		mulcl 7901	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (∗‘𝐴) ∈ ℂ) → (𝐴 · (∗‘𝐴)) ∈ ℂ)
10	3, 9	mpdan 419	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 · (∗‘𝐴)) ∈ ℂ)
11		cjreb 10830	. . 3 ⊢ ((𝐴 · (∗‘𝐴)) ∈ ℂ → ((𝐴 · (∗‘𝐴)) ∈ ℝ ↔ (∗‘(𝐴 · (∗‘𝐴))) = (𝐴 · (∗‘𝐴))))
12	10, 11	syl 14	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((𝐴 · (∗‘𝐴)) ∈ ℝ ↔ (∗‘(𝐴 · (∗‘𝐴))) = (𝐴 · (∗‘𝐴))))
13	8, 12	mpbird 166	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 · (∗‘𝐴)) ∈ ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 104   = wceq 1348   ∈ wcel 2141  ‘cfv 5198  (class class class)co 5853  ℂcc 7772  ℝcr 7773   · cmul 7779  ∗ccj 10803

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-sep 4107  ax-pow 4160  ax-pr 4194  ax-un 4418  ax-setind 4521  ax-cnex 7865  ax-resscn 7866  ax-1cn 7867  ax-1re 7868  ax-icn 7869  ax-addcl 7870  ax-addrcl 7871  ax-mulcl 7872  ax-mulrcl 7873  ax-addcom 7874  ax-mulcom 7875  ax-addass 7876  ax-mulass 7877  ax-distr 7878  ax-i2m1 7879  ax-0lt1 7880  ax-1rid 7881  ax-0id 7882  ax-rnegex 7883  ax-precex 7884  ax-cnre 7885  ax-pre-ltirr 7886  ax-pre-ltwlin 7887  ax-pre-lttrn 7888  ax-pre-apti 7889  ax-pre-ltadd 7890  ax-pre-mulgt0 7891  ax-pre-mulext 7892

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-nel 2436  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rmo 2456  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-uni 3797  df-br 3990  df-opab 4051  df-mpt 4052  df-id 4278  df-po 4281  df-iso 4282  df-xp 4617  df-rel 4618  df-cnv 4619  df-co 4620  df-dm 4621  df-rn 4622  df-res 4623  df-ima 4624  df-iota 5160  df-fun 5200  df-fn 5201  df-f 5202  df-fv 5206  df-riota 5809  df-ov 5856  df-oprab 5857  df-mpo 5858  df-pnf 7956  df-mnf 7957  df-xr 7958  df-ltxr 7959  df-le 7960  df-sub 8092  df-neg 8093  df-reap 8494  df-ap 8501  df-div 8590  df-2 8937  df-cj 10806  df-re 10807  df-im 10808

This theorem is referenced by:  cjmulval  10852  cjmulrcli  10885  cjmulrcld  10915  abscl  11015  absvalsq  11017  absge0  11024  absmul  11033