Theorem iseqf1olemmo 10896

Description: Lemma for seq3f1o 10908. Showing that 𝑄 is one-to-one. (Contributed by Jim Kingdon, 27-Aug-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
iseqf1olemqf.k	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (𝑀...𝑁))
iseqf1olemqf.j	⊢ (𝜑 → 𝐽:(𝑀...𝑁)–1-1-onto→(𝑀...𝑁))
iseqf1olemqf.q	⊢ 𝑄 = (𝑢 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ if(𝑢 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾)), if(𝑢 = 𝐾, 𝐾, (𝐽‘(𝑢 − 1))), (𝐽‘𝑢)))
iseqf1olemmo.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (𝑀...𝑁))
iseqf1olemmo.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (𝑀...𝑁))
iseqf1olemmo.eq	⊢ (𝜑 → (𝑄‘𝐴) = (𝑄‘𝐵))

Assertion

Ref	Expression
iseqf1olemmo	⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐵)

Distinct variable groups:   𝑢,𝐴   𝑢,𝐵   𝑢,𝐽   𝑢,𝐾   𝑢,𝑀   𝑢,𝑁

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑢)   𝑄(𝑢)

Proof of Theorem iseqf1olemmo

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iseqf1olemqf.k	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (𝑀...𝑁))
2	1	ad2antrr 488	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾))) ∧ 𝐵 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾))) → 𝐾 ∈ (𝑀...𝑁))
3		iseqf1olemqf.j	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐽:(𝑀...𝑁)–1-1-onto→(𝑀...𝑁))
4	3	ad2antrr 488	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾))) ∧ 𝐵 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾))) → 𝐽:(𝑀...𝑁)–1-1-onto→(𝑀...𝑁))
5		iseqf1olemmo.a	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (𝑀...𝑁))
6	5	ad2antrr 488	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾))) ∧ 𝐵 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾))) → 𝐴 ∈ (𝑀...𝑁))
7		iseqf1olemmo.b	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (𝑀...𝑁))
8	7	ad2antrr 488	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾))) ∧ 𝐵 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾))) → 𝐵 ∈ (𝑀...𝑁))
9		iseqf1olemmo.eq	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑄‘𝐴) = (𝑄‘𝐵))
10	9	ad2antrr 488	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾))) ∧ 𝐵 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾))) → (𝑄‘𝐴) = (𝑄‘𝐵))
11		iseqf1olemqf.q	. . . 4 ⊢ 𝑄 = (𝑢 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ if(𝑢 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾)), if(𝑢 = 𝐾, 𝐾, (𝐽‘(𝑢 − 1))), (𝐽‘𝑢)))
12		simplr 529	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾))) ∧ 𝐵 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾))) → 𝐴 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾)))
13		simpr 110	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾))) ∧ 𝐵 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾))) → 𝐵 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾)))
14	2, 4, 6, 8, 10, 11, 12, 13	iseqf1olemab 10893	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾))) ∧ 𝐵 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾))) → 𝐴 = 𝐵)
15		simplr 529	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾))) ∧ ¬ 𝐵 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾))) → 𝐴 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾)))
16		simpr 110	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾))) ∧ ¬ 𝐵 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾))) → ¬ 𝐵 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾)))
17	15, 16	jca 306	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾))) ∧ ¬ 𝐵 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾))) → (𝐴 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾)) ∧ ¬ 𝐵 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾))))
18	1, 3, 5, 7, 9, 11	iseqf1olemnab 10892	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ¬ (𝐴 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾)) ∧ ¬ 𝐵 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾))))
19	18	ad2antrr 488	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾))) ∧ ¬ 𝐵 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾))) → ¬ (𝐴 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾)) ∧ ¬ 𝐵 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾))))
20	17, 19	pm2.21dd 625	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾))) ∧ ¬ 𝐵 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾))) → 𝐴 = 𝐵)
21		elfzelz 10383	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝐵 ∈ ℤ)
22	7, 21	syl 14	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℤ)
23		elfzelz 10383	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝐾 ∈ ℤ)
24	1, 23	syl 14	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℤ)
25		f1ocnv 5634	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐽:(𝑀...𝑁)–1-1-onto→(𝑀...𝑁) → ◡𝐽:(𝑀...𝑁)–1-1-onto→(𝑀...𝑁))
26		f1of 5621	. . . . . . . . 9 ⊢ (◡𝐽:(𝑀...𝑁)–1-1-onto→(𝑀...𝑁) → ◡𝐽:(𝑀...𝑁)⟶(𝑀...𝑁))
27	3, 25, 26	3syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ◡𝐽:(𝑀...𝑁)⟶(𝑀...𝑁))
28	27, 1	ffvelcdmd 5820	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (◡𝐽‘𝐾) ∈ (𝑀...𝑁))
29		elfzelz 10383	. . . . . . 7 ⊢ ((◡𝐽‘𝐾) ∈ (𝑀...𝑁) → (◡𝐽‘𝐾) ∈ ℤ)
30	28, 29	syl 14	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (◡𝐽‘𝐾) ∈ ℤ)
31		fzdcel 10399	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ ∧ (◡𝐽‘𝐾) ∈ ℤ) → DECID 𝐵 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾)))
32	22, 24, 30, 31	syl3anc 1274	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → DECID 𝐵 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾)))
33		exmiddc 844	. . . . 5 ⊢ (DECID 𝐵 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾)) → (𝐵 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾)) ∨ ¬ 𝐵 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾))))
34	32, 33	syl 14	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾)) ∨ ¬ 𝐵 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾))))
35	34	adantr 276	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾))) → (𝐵 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾)) ∨ ¬ 𝐵 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾))))
36	14, 20, 35	mpjaodan 806	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾))) → 𝐴 = 𝐵)
37		simpr 110	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾))) ∧ 𝐵 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾))) → 𝐵 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾)))
38		simplr 529	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾))) ∧ 𝐵 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾))) → ¬ 𝐴 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾)))
39	37, 38	jca 306	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾))) ∧ 𝐵 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾))) → (𝐵 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾)) ∧ ¬ 𝐴 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾))))
40	9	eqcomd 2240	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑄‘𝐵) = (𝑄‘𝐴))
41	1, 3, 7, 5, 40, 11	iseqf1olemnab 10892	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ¬ (𝐵 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾)) ∧ ¬ 𝐴 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾))))
42	41	ad2antrr 488	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾))) ∧ 𝐵 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾))) → ¬ (𝐵 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾)) ∧ ¬ 𝐴 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾))))
43	39, 42	pm2.21dd 625	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾))) ∧ 𝐵 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾))) → 𝐴 = 𝐵)
44	1	ad2antrr 488	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾))) ∧ ¬ 𝐵 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾))) → 𝐾 ∈ (𝑀...𝑁))
45	3	ad2antrr 488	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾))) ∧ ¬ 𝐵 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾))) → 𝐽:(𝑀...𝑁)–1-1-onto→(𝑀...𝑁))
46	5	ad2antrr 488	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾))) ∧ ¬ 𝐵 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾))) → 𝐴 ∈ (𝑀...𝑁))
47	7	ad2antrr 488	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾))) ∧ ¬ 𝐵 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾))) → 𝐵 ∈ (𝑀...𝑁))
48	9	ad2antrr 488	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾))) ∧ ¬ 𝐵 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾))) → (𝑄‘𝐴) = (𝑄‘𝐵))
49		simplr 529	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾))) ∧ ¬ 𝐵 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾))) → ¬ 𝐴 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾)))
50		simpr 110	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾))) ∧ ¬ 𝐵 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾))) → ¬ 𝐵 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾)))
51	44, 45, 46, 47, 48, 11, 49, 50	iseqf1olemnanb 10894	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾))) ∧ ¬ 𝐵 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾))) → 𝐴 = 𝐵)
52	34	adantr 276	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾))) → (𝐵 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾)) ∨ ¬ 𝐵 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾))))
53	43, 51, 52	mpjaodan 806	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾))) → 𝐴 = 𝐵)
54		elfzelz 10383	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝐴 ∈ ℤ)
55	5, 54	syl 14	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)
56		fzdcel 10399	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ ∧ (◡𝐽‘𝐾) ∈ ℤ) → DECID 𝐴 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾)))
57	55, 24, 30, 56	syl3anc 1274	. . 3 ⊢ (𝜑 → DECID 𝐴 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾)))
58		exmiddc 844	. . 3 ⊢ (DECID 𝐴 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾)) → (𝐴 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾)) ∨ ¬ 𝐴 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾))))
59	57, 58	syl 14	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾)) ∨ ¬ 𝐴 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾))))
60	36, 53, 59	mpjaodan 806	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐵)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   ∨ wo 716  DECID wdc 842   = wceq 1398   ∈ wcel 2205  ifcif 3625   ↦ cmpt 4177  ^◡ccnv 4755  ⟶wf 5355  –1-1-onto→wf1o 5358  ‘cfv 5359  (class class class)co 6060  1c1 8146   − cmin 8463  ℤcz 9599  ...cfz 10366

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-sep 4234  ax-pow 4293  ax-pr 4328  ax-un 4560  ax-setind 4666  ax-cnex 8236  ax-resscn 8237  ax-1cn 8238  ax-1re 8239  ax-icn 8240  ax-addcl 8241  ax-addrcl 8242  ax-mulcl 8243  ax-addcom 8245  ax-addass 8247  ax-distr 8249  ax-i2m1 8250  ax-0lt1 8251  ax-0id 8253  ax-rnegex 8254  ax-cnre 8256  ax-pre-ltirr 8257  ax-pre-ltwlin 8258  ax-pre-lttrn 8259  ax-pre-ltadd 8261

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-nel 2510  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3046  df-dif 3216  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-if 3626  df-pw 3677  df-sn 3701  df-pr 3702  df-op 3704  df-uni 3921  df-int 3956  df-br 4116  df-opab 4178  df-mpt 4179  df-id 4420  df-xp 4762  df-rel 4763  df-cnv 4764  df-co 4765  df-dm 4766  df-rn 4767  df-res 4768  df-ima 4769  df-iota 5319  df-fun 5361  df-fn 5362  df-f 5363  df-f1 5364  df-fo 5365  df-f1o 5366  df-fv 5367  df-riota 6013  df-ov 6063  df-oprab 6064  df-mpo 6065  df-pnf 8328  df-mnf 8329  df-xr 8330  df-ltxr 8331  df-le 8332  df-sub 8465  df-neg 8466  df-inn 9260  df-n0 9519  df-z 9600  df-uz 9877  df-fz 10367

This theorem is referenced by:  iseqf1olemqf1o  10897