Theorem iseqf1olemmo 10652

Description: Lemma for seq3f1o 10664. Showing that 𝑄 is one-to-one. (Contributed by Jim Kingdon, 27-Aug-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
iseqf1olemqf.k	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (𝑀...𝑁))
iseqf1olemqf.j	⊢ (𝜑 → 𝐽:(𝑀...𝑁)–1-1-onto→(𝑀...𝑁))
iseqf1olemqf.q	⊢ 𝑄 = (𝑢 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ if(𝑢 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾)), if(𝑢 = 𝐾, 𝐾, (𝐽‘(𝑢 − 1))), (𝐽‘𝑢)))
iseqf1olemmo.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (𝑀...𝑁))
iseqf1olemmo.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (𝑀...𝑁))
iseqf1olemmo.eq	⊢ (𝜑 → (𝑄‘𝐴) = (𝑄‘𝐵))

Assertion

Ref	Expression
iseqf1olemmo	⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐵)

Distinct variable groups:   𝑢,𝐴   𝑢,𝐵   𝑢,𝐽   𝑢,𝐾   𝑢,𝑀   𝑢,𝑁

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑢)   𝑄(𝑢)

Proof of Theorem iseqf1olemmo

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iseqf1olemqf.k	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (𝑀...𝑁))
2	1	ad2antrr 488	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾))) ∧ 𝐵 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾))) → 𝐾 ∈ (𝑀...𝑁))
3		iseqf1olemqf.j	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐽:(𝑀...𝑁)–1-1-onto→(𝑀...𝑁))
4	3	ad2antrr 488	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾))) ∧ 𝐵 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾))) → 𝐽:(𝑀...𝑁)–1-1-onto→(𝑀...𝑁))
5		iseqf1olemmo.a	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (𝑀...𝑁))
6	5	ad2antrr 488	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾))) ∧ 𝐵 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾))) → 𝐴 ∈ (𝑀...𝑁))
7		iseqf1olemmo.b	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (𝑀...𝑁))
8	7	ad2antrr 488	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾))) ∧ 𝐵 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾))) → 𝐵 ∈ (𝑀...𝑁))
9		iseqf1olemmo.eq	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑄‘𝐴) = (𝑄‘𝐵))
10	9	ad2antrr 488	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾))) ∧ 𝐵 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾))) → (𝑄‘𝐴) = (𝑄‘𝐵))
11		iseqf1olemqf.q	. . . 4 ⊢ 𝑄 = (𝑢 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ if(𝑢 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾)), if(𝑢 = 𝐾, 𝐾, (𝐽‘(𝑢 − 1))), (𝐽‘𝑢)))
12		simplr 528	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾))) ∧ 𝐵 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾))) → 𝐴 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾)))
13		simpr 110	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾))) ∧ 𝐵 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾))) → 𝐵 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾)))
14	2, 4, 6, 8, 10, 11, 12, 13	iseqf1olemab 10649	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾))) ∧ 𝐵 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾))) → 𝐴 = 𝐵)
15		simplr 528	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾))) ∧ ¬ 𝐵 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾))) → 𝐴 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾)))
16		simpr 110	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾))) ∧ ¬ 𝐵 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾))) → ¬ 𝐵 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾)))
17	15, 16	jca 306	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾))) ∧ ¬ 𝐵 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾))) → (𝐴 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾)) ∧ ¬ 𝐵 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾))))
18	1, 3, 5, 7, 9, 11	iseqf1olemnab 10648	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ¬ (𝐴 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾)) ∧ ¬ 𝐵 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾))))
19	18	ad2antrr 488	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾))) ∧ ¬ 𝐵 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾))) → ¬ (𝐴 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾)) ∧ ¬ 𝐵 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾))))
20	17, 19	pm2.21dd 621	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾))) ∧ ¬ 𝐵 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾))) → 𝐴 = 𝐵)
21		elfzelz 10149	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝐵 ∈ ℤ)
22	7, 21	syl 14	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℤ)
23		elfzelz 10149	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝐾 ∈ ℤ)
24	1, 23	syl 14	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℤ)
25		f1ocnv 5537	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐽:(𝑀...𝑁)–1-1-onto→(𝑀...𝑁) → ◡𝐽:(𝑀...𝑁)–1-1-onto→(𝑀...𝑁))
26		f1of 5524	. . . . . . . . 9 ⊢ (◡𝐽:(𝑀...𝑁)–1-1-onto→(𝑀...𝑁) → ◡𝐽:(𝑀...𝑁)⟶(𝑀...𝑁))
27	3, 25, 26	3syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ◡𝐽:(𝑀...𝑁)⟶(𝑀...𝑁))
28	27, 1	ffvelcdmd 5718	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (◡𝐽‘𝐾) ∈ (𝑀...𝑁))
29		elfzelz 10149	. . . . . . 7 ⊢ ((◡𝐽‘𝐾) ∈ (𝑀...𝑁) → (◡𝐽‘𝐾) ∈ ℤ)
30	28, 29	syl 14	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (◡𝐽‘𝐾) ∈ ℤ)
31		fzdcel 10164	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ ∧ (◡𝐽‘𝐾) ∈ ℤ) → DECID 𝐵 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾)))
32	22, 24, 30, 31	syl3anc 1250	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → DECID 𝐵 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾)))
33		exmiddc 838	. . . . 5 ⊢ (DECID 𝐵 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾)) → (𝐵 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾)) ∨ ¬ 𝐵 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾))))
34	32, 33	syl 14	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾)) ∨ ¬ 𝐵 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾))))
35	34	adantr 276	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾))) → (𝐵 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾)) ∨ ¬ 𝐵 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾))))
36	14, 20, 35	mpjaodan 800	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾))) → 𝐴 = 𝐵)
37		simpr 110	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾))) ∧ 𝐵 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾))) → 𝐵 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾)))
38		simplr 528	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾))) ∧ 𝐵 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾))) → ¬ 𝐴 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾)))
39	37, 38	jca 306	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾))) ∧ 𝐵 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾))) → (𝐵 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾)) ∧ ¬ 𝐴 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾))))
40	9	eqcomd 2211	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑄‘𝐵) = (𝑄‘𝐴))
41	1, 3, 7, 5, 40, 11	iseqf1olemnab 10648	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ¬ (𝐵 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾)) ∧ ¬ 𝐴 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾))))
42	41	ad2antrr 488	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾))) ∧ 𝐵 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾))) → ¬ (𝐵 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾)) ∧ ¬ 𝐴 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾))))
43	39, 42	pm2.21dd 621	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾))) ∧ 𝐵 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾))) → 𝐴 = 𝐵)
44	1	ad2antrr 488	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾))) ∧ ¬ 𝐵 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾))) → 𝐾 ∈ (𝑀...𝑁))
45	3	ad2antrr 488	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾))) ∧ ¬ 𝐵 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾))) → 𝐽:(𝑀...𝑁)–1-1-onto→(𝑀...𝑁))
46	5	ad2antrr 488	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾))) ∧ ¬ 𝐵 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾))) → 𝐴 ∈ (𝑀...𝑁))
47	7	ad2antrr 488	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾))) ∧ ¬ 𝐵 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾))) → 𝐵 ∈ (𝑀...𝑁))
48	9	ad2antrr 488	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾))) ∧ ¬ 𝐵 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾))) → (𝑄‘𝐴) = (𝑄‘𝐵))
49		simplr 528	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾))) ∧ ¬ 𝐵 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾))) → ¬ 𝐴 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾)))
50		simpr 110	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾))) ∧ ¬ 𝐵 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾))) → ¬ 𝐵 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾)))
51	44, 45, 46, 47, 48, 11, 49, 50	iseqf1olemnanb 10650	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾))) ∧ ¬ 𝐵 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾))) → 𝐴 = 𝐵)
52	34	adantr 276	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾))) → (𝐵 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾)) ∨ ¬ 𝐵 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾))))
53	43, 51, 52	mpjaodan 800	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾))) → 𝐴 = 𝐵)
54		elfzelz 10149	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝐴 ∈ ℤ)
55	5, 54	syl 14	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)
56		fzdcel 10164	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ ∧ (◡𝐽‘𝐾) ∈ ℤ) → DECID 𝐴 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾)))
57	55, 24, 30, 56	syl3anc 1250	. . 3 ⊢ (𝜑 → DECID 𝐴 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾)))
58		exmiddc 838	. . 3 ⊢ (DECID 𝐴 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾)) → (𝐴 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾)) ∨ ¬ 𝐴 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾))))
59	57, 58	syl 14	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾)) ∨ ¬ 𝐴 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾))))
60	36, 53, 59	mpjaodan 800	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐵)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   ∨ wo 710  DECID wdc 836   = wceq 1373   ∈ wcel 2176  ifcif 3571   ↦ cmpt 4106  ^◡ccnv 4675  ⟶wf 5268  –1-1-onto→wf1o 5271  ‘cfv 5272  (class class class)co 5946  1c1 7928   − cmin 8245  ℤcz 9374  ...cfz 10132

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1470  ax-7 1471  ax-gen 1472  ax-ie1 1516  ax-ie2 1517  ax-8 1527  ax-10 1528  ax-11 1529  ax-i12 1530  ax-bndl 1532  ax-4 1533  ax-17 1549  ax-i9 1553  ax-ial 1557  ax-i5r 1558  ax-13 2178  ax-14 2179  ax-ext 2187  ax-sep 4163  ax-pow 4219  ax-pr 4254  ax-un 4481  ax-setind 4586  ax-cnex 8018  ax-resscn 8019  ax-1cn 8020  ax-1re 8021  ax-icn 8022  ax-addcl 8023  ax-addrcl 8024  ax-mulcl 8025  ax-addcom 8027  ax-addass 8029  ax-distr 8031  ax-i2m1 8032  ax-0lt1 8033  ax-0id 8035  ax-rnegex 8036  ax-cnre 8038  ax-pre-ltirr 8039  ax-pre-ltwlin 8040  ax-pre-lttrn 8041  ax-pre-ltadd 8043

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 837  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1484  df-sb 1786  df-eu 2057  df-mo 2058  df-clab 2192  df-cleq 2198  df-clel 2201  df-nfc 2337  df-ne 2377  df-nel 2472  df-ral 2489  df-rex 2490  df-reu 2491  df-rab 2493  df-v 2774  df-sbc 2999  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-if 3572  df-pw 3618  df-sn 3639  df-pr 3640  df-op 3642  df-uni 3851  df-int 3886  df-br 4046  df-opab 4107  df-mpt 4108  df-id 4341  df-xp 4682  df-rel 4683  df-cnv 4684  df-co 4685  df-dm 4686  df-rn 4687  df-res 4688  df-ima 4689  df-iota 5233  df-fun 5274  df-fn 5275  df-f 5276  df-f1 5277  df-fo 5278  df-f1o 5279  df-fv 5280  df-riota 5901  df-ov 5949  df-oprab 5950  df-mpo 5951  df-pnf 8111  df-mnf 8112  df-xr 8113  df-ltxr 8114  df-le 8115  df-sub 8247  df-neg 8248  df-inn 9039  df-n0 9298  df-z 9375  df-uz 9651  df-fz 10133

This theorem is referenced by:  iseqf1olemqf1o  10653