Theorem iseqf1olemmo 10494

Description: Lemma for seq3f1o 10506. Showing that 𝑄 is one-to-one. (Contributed by Jim Kingdon, 27-Aug-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
iseqf1olemqf.k	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (𝑀...𝑁))
iseqf1olemqf.j	⊢ (𝜑 → 𝐽:(𝑀...𝑁)–1-1-onto→(𝑀...𝑁))
iseqf1olemqf.q	⊢ 𝑄 = (𝑢 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ if(𝑢 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾)), if(𝑢 = 𝐾, 𝐾, (𝐽‘(𝑢 − 1))), (𝐽‘𝑢)))
iseqf1olemmo.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (𝑀...𝑁))
iseqf1olemmo.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (𝑀...𝑁))
iseqf1olemmo.eq	⊢ (𝜑 → (𝑄‘𝐴) = (𝑄‘𝐵))

Assertion

Ref	Expression
iseqf1olemmo	⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐵)

Distinct variable groups:   𝑢,𝐴   𝑢,𝐵   𝑢,𝐽   𝑢,𝐾   𝑢,𝑀   𝑢,𝑁

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑢)   𝑄(𝑢)

Proof of Theorem iseqf1olemmo

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iseqf1olemqf.k	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (𝑀...𝑁))
2	1	ad2antrr 488	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾))) ∧ 𝐵 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾))) → 𝐾 ∈ (𝑀...𝑁))
3		iseqf1olemqf.j	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐽:(𝑀...𝑁)–1-1-onto→(𝑀...𝑁))
4	3	ad2antrr 488	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾))) ∧ 𝐵 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾))) → 𝐽:(𝑀...𝑁)–1-1-onto→(𝑀...𝑁))
5		iseqf1olemmo.a	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (𝑀...𝑁))
6	5	ad2antrr 488	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾))) ∧ 𝐵 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾))) → 𝐴 ∈ (𝑀...𝑁))
7		iseqf1olemmo.b	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (𝑀...𝑁))
8	7	ad2antrr 488	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾))) ∧ 𝐵 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾))) → 𝐵 ∈ (𝑀...𝑁))
9		iseqf1olemmo.eq	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑄‘𝐴) = (𝑄‘𝐵))
10	9	ad2antrr 488	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾))) ∧ 𝐵 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾))) → (𝑄‘𝐴) = (𝑄‘𝐵))
11		iseqf1olemqf.q	. . . 4 ⊢ 𝑄 = (𝑢 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ if(𝑢 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾)), if(𝑢 = 𝐾, 𝐾, (𝐽‘(𝑢 − 1))), (𝐽‘𝑢)))
12		simplr 528	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾))) ∧ 𝐵 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾))) → 𝐴 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾)))
13		simpr 110	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾))) ∧ 𝐵 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾))) → 𝐵 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾)))
14	2, 4, 6, 8, 10, 11, 12, 13	iseqf1olemab 10491	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾))) ∧ 𝐵 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾))) → 𝐴 = 𝐵)
15		simplr 528	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾))) ∧ ¬ 𝐵 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾))) → 𝐴 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾)))
16		simpr 110	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾))) ∧ ¬ 𝐵 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾))) → ¬ 𝐵 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾)))
17	15, 16	jca 306	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾))) ∧ ¬ 𝐵 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾))) → (𝐴 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾)) ∧ ¬ 𝐵 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾))))
18	1, 3, 5, 7, 9, 11	iseqf1olemnab 10490	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ¬ (𝐴 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾)) ∧ ¬ 𝐵 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾))))
19	18	ad2antrr 488	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾))) ∧ ¬ 𝐵 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾))) → ¬ (𝐴 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾)) ∧ ¬ 𝐵 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾))))
20	17, 19	pm2.21dd 620	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾))) ∧ ¬ 𝐵 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾))) → 𝐴 = 𝐵)
21		elfzelz 10027	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝐵 ∈ ℤ)
22	7, 21	syl 14	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℤ)
23		elfzelz 10027	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝐾 ∈ ℤ)
24	1, 23	syl 14	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℤ)
25		f1ocnv 5476	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐽:(𝑀...𝑁)–1-1-onto→(𝑀...𝑁) → ◡𝐽:(𝑀...𝑁)–1-1-onto→(𝑀...𝑁))
26		f1of 5463	. . . . . . . . 9 ⊢ (◡𝐽:(𝑀...𝑁)–1-1-onto→(𝑀...𝑁) → ◡𝐽:(𝑀...𝑁)⟶(𝑀...𝑁))
27	3, 25, 26	3syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ◡𝐽:(𝑀...𝑁)⟶(𝑀...𝑁))
28	27, 1	ffvelcdmd 5654	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (◡𝐽‘𝐾) ∈ (𝑀...𝑁))
29		elfzelz 10027	. . . . . . 7 ⊢ ((◡𝐽‘𝐾) ∈ (𝑀...𝑁) → (◡𝐽‘𝐾) ∈ ℤ)
30	28, 29	syl 14	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (◡𝐽‘𝐾) ∈ ℤ)
31		fzdcel 10042	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ ∧ (◡𝐽‘𝐾) ∈ ℤ) → DECID 𝐵 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾)))
32	22, 24, 30, 31	syl3anc 1238	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → DECID 𝐵 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾)))
33		exmiddc 836	. . . . 5 ⊢ (DECID 𝐵 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾)) → (𝐵 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾)) ∨ ¬ 𝐵 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾))))
34	32, 33	syl 14	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾)) ∨ ¬ 𝐵 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾))))
35	34	adantr 276	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾))) → (𝐵 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾)) ∨ ¬ 𝐵 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾))))
36	14, 20, 35	mpjaodan 798	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾))) → 𝐴 = 𝐵)
37		simpr 110	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾))) ∧ 𝐵 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾))) → 𝐵 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾)))
38		simplr 528	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾))) ∧ 𝐵 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾))) → ¬ 𝐴 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾)))
39	37, 38	jca 306	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾))) ∧ 𝐵 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾))) → (𝐵 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾)) ∧ ¬ 𝐴 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾))))
40	9	eqcomd 2183	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑄‘𝐵) = (𝑄‘𝐴))
41	1, 3, 7, 5, 40, 11	iseqf1olemnab 10490	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ¬ (𝐵 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾)) ∧ ¬ 𝐴 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾))))
42	41	ad2antrr 488	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾))) ∧ 𝐵 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾))) → ¬ (𝐵 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾)) ∧ ¬ 𝐴 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾))))
43	39, 42	pm2.21dd 620	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾))) ∧ 𝐵 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾))) → 𝐴 = 𝐵)
44	1	ad2antrr 488	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾))) ∧ ¬ 𝐵 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾))) → 𝐾 ∈ (𝑀...𝑁))
45	3	ad2antrr 488	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾))) ∧ ¬ 𝐵 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾))) → 𝐽:(𝑀...𝑁)–1-1-onto→(𝑀...𝑁))
46	5	ad2antrr 488	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾))) ∧ ¬ 𝐵 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾))) → 𝐴 ∈ (𝑀...𝑁))
47	7	ad2antrr 488	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾))) ∧ ¬ 𝐵 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾))) → 𝐵 ∈ (𝑀...𝑁))
48	9	ad2antrr 488	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾))) ∧ ¬ 𝐵 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾))) → (𝑄‘𝐴) = (𝑄‘𝐵))
49		simplr 528	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾))) ∧ ¬ 𝐵 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾))) → ¬ 𝐴 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾)))
50		simpr 110	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾))) ∧ ¬ 𝐵 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾))) → ¬ 𝐵 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾)))
51	44, 45, 46, 47, 48, 11, 49, 50	iseqf1olemnanb 10492	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾))) ∧ ¬ 𝐵 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾))) → 𝐴 = 𝐵)
52	34	adantr 276	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾))) → (𝐵 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾)) ∨ ¬ 𝐵 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾))))
53	43, 51, 52	mpjaodan 798	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾))) → 𝐴 = 𝐵)
54		elfzelz 10027	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝐴 ∈ ℤ)
55	5, 54	syl 14	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)
56		fzdcel 10042	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ ∧ (◡𝐽‘𝐾) ∈ ℤ) → DECID 𝐴 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾)))
57	55, 24, 30, 56	syl3anc 1238	. . 3 ⊢ (𝜑 → DECID 𝐴 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾)))
58		exmiddc 836	. . 3 ⊢ (DECID 𝐴 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾)) → (𝐴 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾)) ∨ ¬ 𝐴 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾))))
59	57, 58	syl 14	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾)) ∨ ¬ 𝐴 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾))))
60	36, 53, 59	mpjaodan 798	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐵)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   ∨ wo 708  DECID wdc 834   = wceq 1353   ∈ wcel 2148  ifcif 3536   ↦ cmpt 4066  ^◡ccnv 4627  ⟶wf 5214  –1-1-onto→wf1o 5217  ‘cfv 5218  (class class class)co 5877  1c1 7814   − cmin 8130  ℤcz 9255  ...cfz 10010

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4123  ax-pow 4176  ax-pr 4211  ax-un 4435  ax-setind 4538  ax-cnex 7904  ax-resscn 7905  ax-1cn 7906  ax-1re 7907  ax-icn 7908  ax-addcl 7909  ax-addrcl 7910  ax-mulcl 7911  ax-addcom 7913  ax-addass 7915  ax-distr 7917  ax-i2m1 7918  ax-0lt1 7919  ax-0id 7921  ax-rnegex 7922  ax-cnre 7924  ax-pre-ltirr 7925  ax-pre-ltwlin 7926  ax-pre-lttrn 7927  ax-pre-ltadd 7929

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2741  df-sbc 2965  df-dif 3133  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-if 3537  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-int 3847  df-br 4006  df-opab 4067  df-mpt 4068  df-id 4295  df-xp 4634  df-rel 4635  df-cnv 4636  df-co 4637  df-dm 4638  df-rn 4639  df-res 4640  df-ima 4641  df-iota 5180  df-fun 5220  df-fn 5221  df-f 5222  df-f1 5223  df-fo 5224  df-f1o 5225  df-fv 5226  df-riota 5833  df-ov 5880  df-oprab 5881  df-mpo 5882  df-pnf 7996  df-mnf 7997  df-xr 7998  df-ltxr 7999  df-le 8000  df-sub 8132  df-neg 8133  df-inn 8922  df-n0 9179  df-z 9256  df-uz 9531  df-fz 10011

This theorem is referenced by:  iseqf1olemqf1o  10495