Theorem iseqf1olemmo 10579

Description: Lemma for seq3f1o 10591. Showing that 𝑄 is one-to-one. (Contributed by Jim Kingdon, 27-Aug-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
iseqf1olemqf.k	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (𝑀...𝑁))
iseqf1olemqf.j	⊢ (𝜑 → 𝐽:(𝑀...𝑁)–1-1-onto→(𝑀...𝑁))
iseqf1olemqf.q	⊢ 𝑄 = (𝑢 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ if(𝑢 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾)), if(𝑢 = 𝐾, 𝐾, (𝐽‘(𝑢 − 1))), (𝐽‘𝑢)))
iseqf1olemmo.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (𝑀...𝑁))
iseqf1olemmo.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (𝑀...𝑁))
iseqf1olemmo.eq	⊢ (𝜑 → (𝑄‘𝐴) = (𝑄‘𝐵))

Assertion

Ref	Expression
iseqf1olemmo	⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐵)

Distinct variable groups:   𝑢,𝐴   𝑢,𝐵   𝑢,𝐽   𝑢,𝐾   𝑢,𝑀   𝑢,𝑁

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑢)   𝑄(𝑢)

Proof of Theorem iseqf1olemmo

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iseqf1olemqf.k	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (𝑀...𝑁))
2	1	ad2antrr 488	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾))) ∧ 𝐵 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾))) → 𝐾 ∈ (𝑀...𝑁))
3		iseqf1olemqf.j	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐽:(𝑀...𝑁)–1-1-onto→(𝑀...𝑁))
4	3	ad2antrr 488	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾))) ∧ 𝐵 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾))) → 𝐽:(𝑀...𝑁)–1-1-onto→(𝑀...𝑁))
5		iseqf1olemmo.a	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (𝑀...𝑁))
6	5	ad2antrr 488	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾))) ∧ 𝐵 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾))) → 𝐴 ∈ (𝑀...𝑁))
7		iseqf1olemmo.b	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (𝑀...𝑁))
8	7	ad2antrr 488	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾))) ∧ 𝐵 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾))) → 𝐵 ∈ (𝑀...𝑁))
9		iseqf1olemmo.eq	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑄‘𝐴) = (𝑄‘𝐵))
10	9	ad2antrr 488	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾))) ∧ 𝐵 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾))) → (𝑄‘𝐴) = (𝑄‘𝐵))
11		iseqf1olemqf.q	. . . 4 ⊢ 𝑄 = (𝑢 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ if(𝑢 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾)), if(𝑢 = 𝐾, 𝐾, (𝐽‘(𝑢 − 1))), (𝐽‘𝑢)))
12		simplr 528	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾))) ∧ 𝐵 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾))) → 𝐴 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾)))
13		simpr 110	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾))) ∧ 𝐵 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾))) → 𝐵 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾)))
14	2, 4, 6, 8, 10, 11, 12, 13	iseqf1olemab 10576	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾))) ∧ 𝐵 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾))) → 𝐴 = 𝐵)
15		simplr 528	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾))) ∧ ¬ 𝐵 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾))) → 𝐴 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾)))
16		simpr 110	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾))) ∧ ¬ 𝐵 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾))) → ¬ 𝐵 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾)))
17	15, 16	jca 306	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾))) ∧ ¬ 𝐵 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾))) → (𝐴 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾)) ∧ ¬ 𝐵 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾))))
18	1, 3, 5, 7, 9, 11	iseqf1olemnab 10575	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ¬ (𝐴 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾)) ∧ ¬ 𝐵 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾))))
19	18	ad2antrr 488	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾))) ∧ ¬ 𝐵 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾))) → ¬ (𝐴 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾)) ∧ ¬ 𝐵 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾))))
20	17, 19	pm2.21dd 621	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾))) ∧ ¬ 𝐵 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾))) → 𝐴 = 𝐵)
21		elfzelz 10094	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝐵 ∈ ℤ)
22	7, 21	syl 14	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℤ)
23		elfzelz 10094	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝐾 ∈ ℤ)
24	1, 23	syl 14	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℤ)
25		f1ocnv 5514	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐽:(𝑀...𝑁)–1-1-onto→(𝑀...𝑁) → ◡𝐽:(𝑀...𝑁)–1-1-onto→(𝑀...𝑁))
26		f1of 5501	. . . . . . . . 9 ⊢ (◡𝐽:(𝑀...𝑁)–1-1-onto→(𝑀...𝑁) → ◡𝐽:(𝑀...𝑁)⟶(𝑀...𝑁))
27	3, 25, 26	3syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ◡𝐽:(𝑀...𝑁)⟶(𝑀...𝑁))
28	27, 1	ffvelcdmd 5695	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (◡𝐽‘𝐾) ∈ (𝑀...𝑁))
29		elfzelz 10094	. . . . . . 7 ⊢ ((◡𝐽‘𝐾) ∈ (𝑀...𝑁) → (◡𝐽‘𝐾) ∈ ℤ)
30	28, 29	syl 14	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (◡𝐽‘𝐾) ∈ ℤ)
31		fzdcel 10109	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ ∧ (◡𝐽‘𝐾) ∈ ℤ) → DECID 𝐵 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾)))
32	22, 24, 30, 31	syl3anc 1249	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → DECID 𝐵 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾)))
33		exmiddc 837	. . . . 5 ⊢ (DECID 𝐵 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾)) → (𝐵 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾)) ∨ ¬ 𝐵 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾))))
34	32, 33	syl 14	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾)) ∨ ¬ 𝐵 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾))))
35	34	adantr 276	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾))) → (𝐵 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾)) ∨ ¬ 𝐵 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾))))
36	14, 20, 35	mpjaodan 799	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾))) → 𝐴 = 𝐵)
37		simpr 110	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾))) ∧ 𝐵 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾))) → 𝐵 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾)))
38		simplr 528	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾))) ∧ 𝐵 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾))) → ¬ 𝐴 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾)))
39	37, 38	jca 306	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾))) ∧ 𝐵 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾))) → (𝐵 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾)) ∧ ¬ 𝐴 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾))))
40	9	eqcomd 2199	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑄‘𝐵) = (𝑄‘𝐴))
41	1, 3, 7, 5, 40, 11	iseqf1olemnab 10575	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ¬ (𝐵 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾)) ∧ ¬ 𝐴 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾))))
42	41	ad2antrr 488	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾))) ∧ 𝐵 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾))) → ¬ (𝐵 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾)) ∧ ¬ 𝐴 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾))))
43	39, 42	pm2.21dd 621	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾))) ∧ 𝐵 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾))) → 𝐴 = 𝐵)
44	1	ad2antrr 488	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾))) ∧ ¬ 𝐵 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾))) → 𝐾 ∈ (𝑀...𝑁))
45	3	ad2antrr 488	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾))) ∧ ¬ 𝐵 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾))) → 𝐽:(𝑀...𝑁)–1-1-onto→(𝑀...𝑁))
46	5	ad2antrr 488	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾))) ∧ ¬ 𝐵 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾))) → 𝐴 ∈ (𝑀...𝑁))
47	7	ad2antrr 488	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾))) ∧ ¬ 𝐵 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾))) → 𝐵 ∈ (𝑀...𝑁))
48	9	ad2antrr 488	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾))) ∧ ¬ 𝐵 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾))) → (𝑄‘𝐴) = (𝑄‘𝐵))
49		simplr 528	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾))) ∧ ¬ 𝐵 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾))) → ¬ 𝐴 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾)))
50		simpr 110	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾))) ∧ ¬ 𝐵 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾))) → ¬ 𝐵 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾)))
51	44, 45, 46, 47, 48, 11, 49, 50	iseqf1olemnanb 10577	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾))) ∧ ¬ 𝐵 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾))) → 𝐴 = 𝐵)
52	34	adantr 276	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾))) → (𝐵 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾)) ∨ ¬ 𝐵 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾))))
53	43, 51, 52	mpjaodan 799	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾))) → 𝐴 = 𝐵)
54		elfzelz 10094	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝐴 ∈ ℤ)
55	5, 54	syl 14	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)
56		fzdcel 10109	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ ∧ (◡𝐽‘𝐾) ∈ ℤ) → DECID 𝐴 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾)))
57	55, 24, 30, 56	syl3anc 1249	. . 3 ⊢ (𝜑 → DECID 𝐴 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾)))
58		exmiddc 837	. . 3 ⊢ (DECID 𝐴 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾)) → (𝐴 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾)) ∨ ¬ 𝐴 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾))))
59	57, 58	syl 14	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾)) ∨ ¬ 𝐴 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾))))
60	36, 53, 59	mpjaodan 799	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐵)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   ∨ wo 709  DECID wdc 835   = wceq 1364   ∈ wcel 2164  ifcif 3558   ↦ cmpt 4091  ^◡ccnv 4659  ⟶wf 5251  –1-1-onto→wf1o 5254  ‘cfv 5255  (class class class)co 5919  1c1 7875   − cmin 8192  ℤcz 9320  ...cfz 10077

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-sep 4148  ax-pow 4204  ax-pr 4239  ax-un 4465  ax-setind 4570  ax-cnex 7965  ax-resscn 7966  ax-1cn 7967  ax-1re 7968  ax-icn 7969  ax-addcl 7970  ax-addrcl 7971  ax-mulcl 7972  ax-addcom 7974  ax-addass 7976  ax-distr 7978  ax-i2m1 7979  ax-0lt1 7980  ax-0id 7982  ax-rnegex 7983  ax-cnre 7985  ax-pre-ltirr 7986  ax-pre-ltwlin 7987  ax-pre-lttrn 7988  ax-pre-ltadd 7990

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-nel 2460  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2987  df-dif 3156  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-if 3559  df-pw 3604  df-sn 3625  df-pr 3626  df-op 3628  df-uni 3837  df-int 3872  df-br 4031  df-opab 4092  df-mpt 4093  df-id 4325  df-xp 4666  df-rel 4667  df-cnv 4668  df-co 4669  df-dm 4670  df-rn 4671  df-res 4672  df-ima 4673  df-iota 5216  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-riota 5874  df-ov 5922  df-oprab 5923  df-mpo 5924  df-pnf 8058  df-mnf 8059  df-xr 8060  df-ltxr 8061  df-le 8062  df-sub 8194  df-neg 8195  df-inn 8985  df-n0 9244  df-z 9321  df-uz 9596  df-fz 10078

This theorem is referenced by:  iseqf1olemqf1o  10580