Theorem iseqf1olemmo 10757

Description: Lemma for seq3f1o 10769. Showing that 𝑄 is one-to-one. (Contributed by Jim Kingdon, 27-Aug-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
iseqf1olemqf.k	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (𝑀...𝑁))
iseqf1olemqf.j	⊢ (𝜑 → 𝐽:(𝑀...𝑁)–1-1-onto→(𝑀...𝑁))
iseqf1olemqf.q	⊢ 𝑄 = (𝑢 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ if(𝑢 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾)), if(𝑢 = 𝐾, 𝐾, (𝐽‘(𝑢 − 1))), (𝐽‘𝑢)))
iseqf1olemmo.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (𝑀...𝑁))
iseqf1olemmo.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (𝑀...𝑁))
iseqf1olemmo.eq	⊢ (𝜑 → (𝑄‘𝐴) = (𝑄‘𝐵))

Assertion

Ref	Expression
iseqf1olemmo	⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐵)

Distinct variable groups:   𝑢,𝐴   𝑢,𝐵   𝑢,𝐽   𝑢,𝐾   𝑢,𝑀   𝑢,𝑁

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑢)   𝑄(𝑢)

Proof of Theorem iseqf1olemmo

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iseqf1olemqf.k	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (𝑀...𝑁))
2	1	ad2antrr 488	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾))) ∧ 𝐵 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾))) → 𝐾 ∈ (𝑀...𝑁))
3		iseqf1olemqf.j	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐽:(𝑀...𝑁)–1-1-onto→(𝑀...𝑁))
4	3	ad2antrr 488	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾))) ∧ 𝐵 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾))) → 𝐽:(𝑀...𝑁)–1-1-onto→(𝑀...𝑁))
5		iseqf1olemmo.a	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (𝑀...𝑁))
6	5	ad2antrr 488	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾))) ∧ 𝐵 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾))) → 𝐴 ∈ (𝑀...𝑁))
7		iseqf1olemmo.b	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (𝑀...𝑁))
8	7	ad2antrr 488	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾))) ∧ 𝐵 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾))) → 𝐵 ∈ (𝑀...𝑁))
9		iseqf1olemmo.eq	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑄‘𝐴) = (𝑄‘𝐵))
10	9	ad2antrr 488	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾))) ∧ 𝐵 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾))) → (𝑄‘𝐴) = (𝑄‘𝐵))
11		iseqf1olemqf.q	. . . 4 ⊢ 𝑄 = (𝑢 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ if(𝑢 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾)), if(𝑢 = 𝐾, 𝐾, (𝐽‘(𝑢 − 1))), (𝐽‘𝑢)))
12		simplr 528	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾))) ∧ 𝐵 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾))) → 𝐴 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾)))
13		simpr 110	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾))) ∧ 𝐵 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾))) → 𝐵 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾)))
14	2, 4, 6, 8, 10, 11, 12, 13	iseqf1olemab 10754	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾))) ∧ 𝐵 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾))) → 𝐴 = 𝐵)
15		simplr 528	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾))) ∧ ¬ 𝐵 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾))) → 𝐴 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾)))
16		simpr 110	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾))) ∧ ¬ 𝐵 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾))) → ¬ 𝐵 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾)))
17	15, 16	jca 306	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾))) ∧ ¬ 𝐵 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾))) → (𝐴 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾)) ∧ ¬ 𝐵 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾))))
18	1, 3, 5, 7, 9, 11	iseqf1olemnab 10753	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ¬ (𝐴 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾)) ∧ ¬ 𝐵 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾))))
19	18	ad2antrr 488	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾))) ∧ ¬ 𝐵 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾))) → ¬ (𝐴 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾)) ∧ ¬ 𝐵 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾))))
20	17, 19	pm2.21dd 623	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾))) ∧ ¬ 𝐵 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾))) → 𝐴 = 𝐵)
21		elfzelz 10250	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝐵 ∈ ℤ)
22	7, 21	syl 14	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℤ)
23		elfzelz 10250	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝐾 ∈ ℤ)
24	1, 23	syl 14	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℤ)
25		f1ocnv 5593	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐽:(𝑀...𝑁)–1-1-onto→(𝑀...𝑁) → ◡𝐽:(𝑀...𝑁)–1-1-onto→(𝑀...𝑁))
26		f1of 5580	. . . . . . . . 9 ⊢ (◡𝐽:(𝑀...𝑁)–1-1-onto→(𝑀...𝑁) → ◡𝐽:(𝑀...𝑁)⟶(𝑀...𝑁))
27	3, 25, 26	3syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ◡𝐽:(𝑀...𝑁)⟶(𝑀...𝑁))
28	27, 1	ffvelcdmd 5779	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (◡𝐽‘𝐾) ∈ (𝑀...𝑁))
29		elfzelz 10250	. . . . . . 7 ⊢ ((◡𝐽‘𝐾) ∈ (𝑀...𝑁) → (◡𝐽‘𝐾) ∈ ℤ)
30	28, 29	syl 14	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (◡𝐽‘𝐾) ∈ ℤ)
31		fzdcel 10265	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ ∧ (◡𝐽‘𝐾) ∈ ℤ) → DECID 𝐵 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾)))
32	22, 24, 30, 31	syl3anc 1271	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → DECID 𝐵 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾)))
33		exmiddc 841	. . . . 5 ⊢ (DECID 𝐵 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾)) → (𝐵 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾)) ∨ ¬ 𝐵 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾))))
34	32, 33	syl 14	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾)) ∨ ¬ 𝐵 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾))))
35	34	adantr 276	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾))) → (𝐵 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾)) ∨ ¬ 𝐵 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾))))
36	14, 20, 35	mpjaodan 803	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾))) → 𝐴 = 𝐵)
37		simpr 110	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾))) ∧ 𝐵 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾))) → 𝐵 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾)))
38		simplr 528	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾))) ∧ 𝐵 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾))) → ¬ 𝐴 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾)))
39	37, 38	jca 306	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾))) ∧ 𝐵 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾))) → (𝐵 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾)) ∧ ¬ 𝐴 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾))))
40	9	eqcomd 2235	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑄‘𝐵) = (𝑄‘𝐴))
41	1, 3, 7, 5, 40, 11	iseqf1olemnab 10753	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ¬ (𝐵 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾)) ∧ ¬ 𝐴 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾))))
42	41	ad2antrr 488	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾))) ∧ 𝐵 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾))) → ¬ (𝐵 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾)) ∧ ¬ 𝐴 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾))))
43	39, 42	pm2.21dd 623	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾))) ∧ 𝐵 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾))) → 𝐴 = 𝐵)
44	1	ad2antrr 488	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾))) ∧ ¬ 𝐵 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾))) → 𝐾 ∈ (𝑀...𝑁))
45	3	ad2antrr 488	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾))) ∧ ¬ 𝐵 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾))) → 𝐽:(𝑀...𝑁)–1-1-onto→(𝑀...𝑁))
46	5	ad2antrr 488	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾))) ∧ ¬ 𝐵 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾))) → 𝐴 ∈ (𝑀...𝑁))
47	7	ad2antrr 488	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾))) ∧ ¬ 𝐵 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾))) → 𝐵 ∈ (𝑀...𝑁))
48	9	ad2antrr 488	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾))) ∧ ¬ 𝐵 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾))) → (𝑄‘𝐴) = (𝑄‘𝐵))
49		simplr 528	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾))) ∧ ¬ 𝐵 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾))) → ¬ 𝐴 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾)))
50		simpr 110	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾))) ∧ ¬ 𝐵 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾))) → ¬ 𝐵 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾)))
51	44, 45, 46, 47, 48, 11, 49, 50	iseqf1olemnanb 10755	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾))) ∧ ¬ 𝐵 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾))) → 𝐴 = 𝐵)
52	34	adantr 276	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾))) → (𝐵 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾)) ∨ ¬ 𝐵 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾))))
53	43, 51, 52	mpjaodan 803	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾))) → 𝐴 = 𝐵)
54		elfzelz 10250	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝐴 ∈ ℤ)
55	5, 54	syl 14	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)
56		fzdcel 10265	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ ∧ (◡𝐽‘𝐾) ∈ ℤ) → DECID 𝐴 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾)))
57	55, 24, 30, 56	syl3anc 1271	. . 3 ⊢ (𝜑 → DECID 𝐴 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾)))
58		exmiddc 841	. . 3 ⊢ (DECID 𝐴 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾)) → (𝐴 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾)) ∨ ¬ 𝐴 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾))))
59	57, 58	syl 14	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾)) ∨ ¬ 𝐴 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾))))
60	36, 53, 59	mpjaodan 803	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐵)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   ∨ wo 713  DECID wdc 839   = wceq 1395   ∈ wcel 2200  ifcif 3603   ↦ cmpt 4148  ^◡ccnv 4722  ⟶wf 5320  –1-1-onto→wf1o 5323  ‘cfv 5324  (class class class)co 6013  1c1 8023   − cmin 8340  ℤcz 9469  ...cfz 10233

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4205  ax-pow 4262  ax-pr 4297  ax-un 4528  ax-setind 4633  ax-cnex 8113  ax-resscn 8114  ax-1cn 8115  ax-1re 8116  ax-icn 8117  ax-addcl 8118  ax-addrcl 8119  ax-mulcl 8120  ax-addcom 8122  ax-addass 8124  ax-distr 8126  ax-i2m1 8127  ax-0lt1 8128  ax-0id 8130  ax-rnegex 8131  ax-cnre 8133  ax-pre-ltirr 8134  ax-pre-ltwlin 8135  ax-pre-lttrn 8136  ax-pre-ltadd 8138

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 840  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2517  df-v 2802  df-sbc 3030  df-dif 3200  df-un 3202  df-in 3204  df-ss 3211  df-if 3604  df-pw 3652  df-sn 3673  df-pr 3674  df-op 3676  df-uni 3892  df-int 3927  df-br 4087  df-opab 4149  df-mpt 4150  df-id 4388  df-xp 4729  df-rel 4730  df-cnv 4731  df-co 4732  df-dm 4733  df-rn 4734  df-res 4735  df-ima 4736  df-iota 5284  df-fun 5326  df-fn 5327  df-f 5328  df-f1 5329  df-fo 5330  df-f1o 5331  df-fv 5332  df-riota 5966  df-ov 6016  df-oprab 6017  df-mpo 6018  df-pnf 8206  df-mnf 8207  df-xr 8208  df-ltxr 8209  df-le 8210  df-sub 8342  df-neg 8343  df-inn 9134  df-n0 9393  df-z 9470  df-uz 9746  df-fz 10234

This theorem is referenced by:  iseqf1olemqf1o  10758