ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  hashfzp1 GIF version

Theorem hashfzp1 10601
Description: Value of the numeric cardinality of a (possibly empty) integer range. (Contributed by AV, 19-Jun-2021.)
Assertion
Ref Expression
hashfzp1 (𝐵 ∈ (ℤ𝐴) → (♯‘((𝐴 + 1)...𝐵)) = (𝐵𝐴))

Proof of Theorem hashfzp1
StepHypRef Expression
1 eluzel2 9354 . . . 4 (𝐵 ∈ (ℤ𝐴) → 𝐴 ∈ ℤ)
2 eluzelz 9358 . . . 4 (𝐵 ∈ (ℤ𝐴) → 𝐵 ∈ ℤ)
3 zdceq 9149 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → DECID 𝐴 = 𝐵)
41, 2, 3syl2anc 409 . . 3 (𝐵 ∈ (ℤ𝐴) → DECID 𝐴 = 𝐵)
5 exmiddc 822 . . 3 (DECID 𝐴 = 𝐵 → (𝐴 = 𝐵 ∨ ¬ 𝐴 = 𝐵))
64, 5syl 14 . 2 (𝐵 ∈ (ℤ𝐴) → (𝐴 = 𝐵 ∨ ¬ 𝐴 = 𝐵))
7 hash0 10574 . . . . 5 (♯‘∅) = 0
8 eluzelre 9359 . . . . . . . 8 (𝐵 ∈ (ℤ𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
98ltp1d 8711 . . . . . . 7 (𝐵 ∈ (ℤ𝐴) → 𝐵 < (𝐵 + 1))
10 peano2z 9113 . . . . . . . . 9 (𝐵 ∈ ℤ → (𝐵 + 1) ∈ ℤ)
1110ancri 322 . . . . . . . 8 (𝐵 ∈ ℤ → ((𝐵 + 1) ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ))
12 fzn 9852 . . . . . . . 8 (((𝐵 + 1) ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐵 < (𝐵 + 1) ↔ ((𝐵 + 1)...𝐵) = ∅))
132, 11, 123syl 17 . . . . . . 7 (𝐵 ∈ (ℤ𝐴) → (𝐵 < (𝐵 + 1) ↔ ((𝐵 + 1)...𝐵) = ∅))
149, 13mpbid 146 . . . . . 6 (𝐵 ∈ (ℤ𝐴) → ((𝐵 + 1)...𝐵) = ∅)
1514fveq2d 5432 . . . . 5 (𝐵 ∈ (ℤ𝐴) → (♯‘((𝐵 + 1)...𝐵)) = (♯‘∅))
162zcnd 9197 . . . . . 6 (𝐵 ∈ (ℤ𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
1716subidd 8084 . . . . 5 (𝐵 ∈ (ℤ𝐴) → (𝐵𝐵) = 0)
187, 15, 173eqtr4a 2199 . . . 4 (𝐵 ∈ (ℤ𝐴) → (♯‘((𝐵 + 1)...𝐵)) = (𝐵𝐵))
19 oveq1 5788 . . . . . . 7 (𝐴 = 𝐵 → (𝐴 + 1) = (𝐵 + 1))
2019oveq1d 5796 . . . . . 6 (𝐴 = 𝐵 → ((𝐴 + 1)...𝐵) = ((𝐵 + 1)...𝐵))
2120fveq2d 5432 . . . . 5 (𝐴 = 𝐵 → (♯‘((𝐴 + 1)...𝐵)) = (♯‘((𝐵 + 1)...𝐵)))
22 oveq2 5789 . . . . 5 (𝐴 = 𝐵 → (𝐵𝐴) = (𝐵𝐵))
2321, 22eqeq12d 2155 . . . 4 (𝐴 = 𝐵 → ((♯‘((𝐴 + 1)...𝐵)) = (𝐵𝐴) ↔ (♯‘((𝐵 + 1)...𝐵)) = (𝐵𝐵)))
2418, 23syl5ibr 155 . . 3 (𝐴 = 𝐵 → (𝐵 ∈ (ℤ𝐴) → (♯‘((𝐴 + 1)...𝐵)) = (𝐵𝐴)))
25 uzp1 9382 . . . . . . . 8 (𝐵 ∈ (ℤ𝐴) → (𝐵 = 𝐴𝐵 ∈ (ℤ‘(𝐴 + 1))))
26 pm2.24 611 . . . . . . . . . 10 (𝐴 = 𝐵 → (¬ 𝐴 = 𝐵𝐵 ∈ (ℤ‘(𝐴 + 1))))
2726eqcoms 2143 . . . . . . . . 9 (𝐵 = 𝐴 → (¬ 𝐴 = 𝐵𝐵 ∈ (ℤ‘(𝐴 + 1))))
28 ax-1 6 . . . . . . . . 9 (𝐵 ∈ (ℤ‘(𝐴 + 1)) → (¬ 𝐴 = 𝐵𝐵 ∈ (ℤ‘(𝐴 + 1))))
2927, 28jaoi 706 . . . . . . . 8 ((𝐵 = 𝐴𝐵 ∈ (ℤ‘(𝐴 + 1))) → (¬ 𝐴 = 𝐵𝐵 ∈ (ℤ‘(𝐴 + 1))))
3025, 29syl 14 . . . . . . 7 (𝐵 ∈ (ℤ𝐴) → (¬ 𝐴 = 𝐵𝐵 ∈ (ℤ‘(𝐴 + 1))))
3130impcom 124 . . . . . 6 ((¬ 𝐴 = 𝐵𝐵 ∈ (ℤ𝐴)) → 𝐵 ∈ (ℤ‘(𝐴 + 1)))
32 hashfz 10598 . . . . . 6 (𝐵 ∈ (ℤ‘(𝐴 + 1)) → (♯‘((𝐴 + 1)...𝐵)) = ((𝐵 − (𝐴 + 1)) + 1))
3331, 32syl 14 . . . . 5 ((¬ 𝐴 = 𝐵𝐵 ∈ (ℤ𝐴)) → (♯‘((𝐴 + 1)...𝐵)) = ((𝐵 − (𝐴 + 1)) + 1))
341zcnd 9197 . . . . . . 7 (𝐵 ∈ (ℤ𝐴) → 𝐴 ∈ ℂ)
35 1cnd 7805 . . . . . . 7 (𝐵 ∈ (ℤ𝐴) → 1 ∈ ℂ)
3616, 34, 35nppcan2d 8122 . . . . . 6 (𝐵 ∈ (ℤ𝐴) → ((𝐵 − (𝐴 + 1)) + 1) = (𝐵𝐴))
3736adantl 275 . . . . 5 ((¬ 𝐴 = 𝐵𝐵 ∈ (ℤ𝐴)) → ((𝐵 − (𝐴 + 1)) + 1) = (𝐵𝐴))
3833, 37eqtrd 2173 . . . 4 ((¬ 𝐴 = 𝐵𝐵 ∈ (ℤ𝐴)) → (♯‘((𝐴 + 1)...𝐵)) = (𝐵𝐴))
3938ex 114 . . 3 𝐴 = 𝐵 → (𝐵 ∈ (ℤ𝐴) → (♯‘((𝐴 + 1)...𝐵)) = (𝐵𝐴)))
4024, 39jaoi 706 . 2 ((𝐴 = 𝐵 ∨ ¬ 𝐴 = 𝐵) → (𝐵 ∈ (ℤ𝐴) → (♯‘((𝐴 + 1)...𝐵)) = (𝐵𝐴)))
416, 40mpcom 36 1 (𝐵 ∈ (ℤ𝐴) → (♯‘((𝐴 + 1)...𝐵)) = (𝐵𝐴))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 103  wb 104  wo 698  DECID wdc 820   = wceq 1332  wcel 1481  c0 3367   class class class wbr 3936  cfv 5130  (class class class)co 5781  0cc0 7643  1c1 7644   + caddc 7646   < clt 7823  cmin 7956  cz 9077  cuz 9349  ...cfz 9820  chash 10552
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-13 1492  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-coll 4050  ax-sep 4053  ax-nul 4061  ax-pow 4105  ax-pr 4138  ax-un 4362  ax-setind 4459  ax-iinf 4509  ax-cnex 7734  ax-resscn 7735  ax-1cn 7736  ax-1re 7737  ax-icn 7738  ax-addcl 7739  ax-addrcl 7740  ax-mulcl 7741  ax-addcom 7743  ax-addass 7745  ax-distr 7747  ax-i2m1 7748  ax-0lt1 7749  ax-0id 7751  ax-rnegex 7752  ax-cnre 7754  ax-pre-ltirr 7755  ax-pre-ltwlin 7756  ax-pre-lttrn 7757  ax-pre-apti 7758  ax-pre-ltadd 7759
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 821  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ne 2310  df-nel 2405  df-ral 2422  df-rex 2423  df-reu 2424  df-rab 2426  df-v 2691  df-sbc 2913  df-csb 3007  df-dif 3077  df-un 3079  df-in 3081  df-ss 3088  df-nul 3368  df-pw 3516  df-sn 3537  df-pr 3538  df-op 3540  df-uni 3744  df-int 3779  df-iun 3822  df-br 3937  df-opab 3997  df-mpt 3998  df-tr 4034  df-id 4222  df-iord 4295  df-on 4297  df-ilim 4298  df-suc 4300  df-iom 4512  df-xp 4552  df-rel 4553  df-cnv 4554  df-co 4555  df-dm 4556  df-rn 4557  df-res 4558  df-ima 4559  df-iota 5095  df-fun 5132  df-fn 5133  df-f 5134  df-f1 5135  df-fo 5136  df-f1o 5137  df-fv 5138  df-riota 5737  df-ov 5784  df-oprab 5785  df-mpo 5786  df-1st 6045  df-2nd 6046  df-recs 6209  df-frec 6295  df-1o 6320  df-er 6436  df-en 6642  df-dom 6643  df-fin 6644  df-pnf 7825  df-mnf 7826  df-xr 7827  df-ltxr 7828  df-le 7829  df-sub 7958  df-neg 7959  df-inn 8744  df-n0 9001  df-z 9078  df-uz 9350  df-fz 9821  df-ihash 10553
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator