ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  hashfzp1 GIF version

Theorem hashfzp1 10803
Description: Value of the numeric cardinality of a (possibly empty) integer range. (Contributed by AV, 19-Jun-2021.)
Assertion
Ref Expression
hashfzp1 (𝐵 ∈ (ℤ𝐴) → (♯‘((𝐴 + 1)...𝐵)) = (𝐵𝐴))

Proof of Theorem hashfzp1
StepHypRef Expression
1 eluzel2 9532 . . . 4 (𝐵 ∈ (ℤ𝐴) → 𝐴 ∈ ℤ)
2 eluzelz 9536 . . . 4 (𝐵 ∈ (ℤ𝐴) → 𝐵 ∈ ℤ)
3 zdceq 9327 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → DECID 𝐴 = 𝐵)
41, 2, 3syl2anc 411 . . 3 (𝐵 ∈ (ℤ𝐴) → DECID 𝐴 = 𝐵)
5 exmiddc 836 . . 3 (DECID 𝐴 = 𝐵 → (𝐴 = 𝐵 ∨ ¬ 𝐴 = 𝐵))
64, 5syl 14 . 2 (𝐵 ∈ (ℤ𝐴) → (𝐴 = 𝐵 ∨ ¬ 𝐴 = 𝐵))
7 hash0 10775 . . . . 5 (♯‘∅) = 0
8 eluzelre 9537 . . . . . . . 8 (𝐵 ∈ (ℤ𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
98ltp1d 8886 . . . . . . 7 (𝐵 ∈ (ℤ𝐴) → 𝐵 < (𝐵 + 1))
10 peano2z 9288 . . . . . . . . 9 (𝐵 ∈ ℤ → (𝐵 + 1) ∈ ℤ)
1110ancri 324 . . . . . . . 8 (𝐵 ∈ ℤ → ((𝐵 + 1) ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ))
12 fzn 10041 . . . . . . . 8 (((𝐵 + 1) ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐵 < (𝐵 + 1) ↔ ((𝐵 + 1)...𝐵) = ∅))
132, 11, 123syl 17 . . . . . . 7 (𝐵 ∈ (ℤ𝐴) → (𝐵 < (𝐵 + 1) ↔ ((𝐵 + 1)...𝐵) = ∅))
149, 13mpbid 147 . . . . . 6 (𝐵 ∈ (ℤ𝐴) → ((𝐵 + 1)...𝐵) = ∅)
1514fveq2d 5519 . . . . 5 (𝐵 ∈ (ℤ𝐴) → (♯‘((𝐵 + 1)...𝐵)) = (♯‘∅))
162zcnd 9375 . . . . . 6 (𝐵 ∈ (ℤ𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
1716subidd 8255 . . . . 5 (𝐵 ∈ (ℤ𝐴) → (𝐵𝐵) = 0)
187, 15, 173eqtr4a 2236 . . . 4 (𝐵 ∈ (ℤ𝐴) → (♯‘((𝐵 + 1)...𝐵)) = (𝐵𝐵))
19 oveq1 5881 . . . . . . 7 (𝐴 = 𝐵 → (𝐴 + 1) = (𝐵 + 1))
2019oveq1d 5889 . . . . . 6 (𝐴 = 𝐵 → ((𝐴 + 1)...𝐵) = ((𝐵 + 1)...𝐵))
2120fveq2d 5519 . . . . 5 (𝐴 = 𝐵 → (♯‘((𝐴 + 1)...𝐵)) = (♯‘((𝐵 + 1)...𝐵)))
22 oveq2 5882 . . . . 5 (𝐴 = 𝐵 → (𝐵𝐴) = (𝐵𝐵))
2321, 22eqeq12d 2192 . . . 4 (𝐴 = 𝐵 → ((♯‘((𝐴 + 1)...𝐵)) = (𝐵𝐴) ↔ (♯‘((𝐵 + 1)...𝐵)) = (𝐵𝐵)))
2418, 23imbitrrid 156 . . 3 (𝐴 = 𝐵 → (𝐵 ∈ (ℤ𝐴) → (♯‘((𝐴 + 1)...𝐵)) = (𝐵𝐴)))
25 uzp1 9560 . . . . . . . 8 (𝐵 ∈ (ℤ𝐴) → (𝐵 = 𝐴𝐵 ∈ (ℤ‘(𝐴 + 1))))
26 pm2.24 621 . . . . . . . . . 10 (𝐴 = 𝐵 → (¬ 𝐴 = 𝐵𝐵 ∈ (ℤ‘(𝐴 + 1))))
2726eqcoms 2180 . . . . . . . . 9 (𝐵 = 𝐴 → (¬ 𝐴 = 𝐵𝐵 ∈ (ℤ‘(𝐴 + 1))))
28 ax-1 6 . . . . . . . . 9 (𝐵 ∈ (ℤ‘(𝐴 + 1)) → (¬ 𝐴 = 𝐵𝐵 ∈ (ℤ‘(𝐴 + 1))))
2927, 28jaoi 716 . . . . . . . 8 ((𝐵 = 𝐴𝐵 ∈ (ℤ‘(𝐴 + 1))) → (¬ 𝐴 = 𝐵𝐵 ∈ (ℤ‘(𝐴 + 1))))
3025, 29syl 14 . . . . . . 7 (𝐵 ∈ (ℤ𝐴) → (¬ 𝐴 = 𝐵𝐵 ∈ (ℤ‘(𝐴 + 1))))
3130impcom 125 . . . . . 6 ((¬ 𝐴 = 𝐵𝐵 ∈ (ℤ𝐴)) → 𝐵 ∈ (ℤ‘(𝐴 + 1)))
32 hashfz 10800 . . . . . 6 (𝐵 ∈ (ℤ‘(𝐴 + 1)) → (♯‘((𝐴 + 1)...𝐵)) = ((𝐵 − (𝐴 + 1)) + 1))
3331, 32syl 14 . . . . 5 ((¬ 𝐴 = 𝐵𝐵 ∈ (ℤ𝐴)) → (♯‘((𝐴 + 1)...𝐵)) = ((𝐵 − (𝐴 + 1)) + 1))
341zcnd 9375 . . . . . . 7 (𝐵 ∈ (ℤ𝐴) → 𝐴 ∈ ℂ)
35 1cnd 7972 . . . . . . 7 (𝐵 ∈ (ℤ𝐴) → 1 ∈ ℂ)
3616, 34, 35nppcan2d 8293 . . . . . 6 (𝐵 ∈ (ℤ𝐴) → ((𝐵 − (𝐴 + 1)) + 1) = (𝐵𝐴))
3736adantl 277 . . . . 5 ((¬ 𝐴 = 𝐵𝐵 ∈ (ℤ𝐴)) → ((𝐵 − (𝐴 + 1)) + 1) = (𝐵𝐴))
3833, 37eqtrd 2210 . . . 4 ((¬ 𝐴 = 𝐵𝐵 ∈ (ℤ𝐴)) → (♯‘((𝐴 + 1)...𝐵)) = (𝐵𝐴))
3938ex 115 . . 3 𝐴 = 𝐵 → (𝐵 ∈ (ℤ𝐴) → (♯‘((𝐴 + 1)...𝐵)) = (𝐵𝐴)))
4024, 39jaoi 716 . 2 ((𝐴 = 𝐵 ∨ ¬ 𝐴 = 𝐵) → (𝐵 ∈ (ℤ𝐴) → (♯‘((𝐴 + 1)...𝐵)) = (𝐵𝐴)))
416, 40mpcom 36 1 (𝐵 ∈ (ℤ𝐴) → (♯‘((𝐴 + 1)...𝐵)) = (𝐵𝐴))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 104  wb 105  wo 708  DECID wdc 834   = wceq 1353  wcel 2148  c0 3422   class class class wbr 4003  cfv 5216  (class class class)co 5874  0cc0 7810  1c1 7811   + caddc 7813   < clt 7991  cmin 8127  cz 9252  cuz 9527  ...cfz 10007  chash 10754
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4118  ax-sep 4121  ax-nul 4129  ax-pow 4174  ax-pr 4209  ax-un 4433  ax-setind 4536  ax-iinf 4587  ax-cnex 7901  ax-resscn 7902  ax-1cn 7903  ax-1re 7904  ax-icn 7905  ax-addcl 7906  ax-addrcl 7907  ax-mulcl 7908  ax-addcom 7910  ax-addass 7912  ax-distr 7914  ax-i2m1 7915  ax-0lt1 7916  ax-0id 7918  ax-rnegex 7919  ax-cnre 7921  ax-pre-ltirr 7922  ax-pre-ltwlin 7923  ax-pre-lttrn 7924  ax-pre-apti 7925  ax-pre-ltadd 7926
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-nul 3423  df-pw 3577  df-sn 3598  df-pr 3599  df-op 3601  df-uni 3810  df-int 3845  df-iun 3888  df-br 4004  df-opab 4065  df-mpt 4066  df-tr 4102  df-id 4293  df-iord 4366  df-on 4368  df-ilim 4369  df-suc 4371  df-iom 4590  df-xp 4632  df-rel 4633  df-cnv 4634  df-co 4635  df-dm 4636  df-rn 4637  df-res 4638  df-ima 4639  df-iota 5178  df-fun 5218  df-fn 5219  df-f 5220  df-f1 5221  df-fo 5222  df-f1o 5223  df-fv 5224  df-riota 5830  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpo 5879  df-1st 6140  df-2nd 6141  df-recs 6305  df-frec 6391  df-1o 6416  df-er 6534  df-en 6740  df-dom 6741  df-fin 6742  df-pnf 7993  df-mnf 7994  df-xr 7995  df-ltxr 7996  df-le 7997  df-sub 8129  df-neg 8130  df-inn 8919  df-n0 9176  df-z 9253  df-uz 9528  df-fz 10008  df-ihash 10755
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator