ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  hashfzp1 GIF version

Theorem hashfzp1 10538
Description: Value of the numeric cardinality of a (possibly empty) integer range. (Contributed by AV, 19-Jun-2021.)
Assertion
Ref Expression
hashfzp1 (𝐵 ∈ (ℤ𝐴) → (♯‘((𝐴 + 1)...𝐵)) = (𝐵𝐴))

Proof of Theorem hashfzp1
StepHypRef Expression
1 eluzel2 9299 . . . 4 (𝐵 ∈ (ℤ𝐴) → 𝐴 ∈ ℤ)
2 eluzelz 9303 . . . 4 (𝐵 ∈ (ℤ𝐴) → 𝐵 ∈ ℤ)
3 zdceq 9094 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → DECID 𝐴 = 𝐵)
41, 2, 3syl2anc 408 . . 3 (𝐵 ∈ (ℤ𝐴) → DECID 𝐴 = 𝐵)
5 exmiddc 806 . . 3 (DECID 𝐴 = 𝐵 → (𝐴 = 𝐵 ∨ ¬ 𝐴 = 𝐵))
64, 5syl 14 . 2 (𝐵 ∈ (ℤ𝐴) → (𝐴 = 𝐵 ∨ ¬ 𝐴 = 𝐵))
7 hash0 10511 . . . . 5 (♯‘∅) = 0
8 eluzelre 9304 . . . . . . . 8 (𝐵 ∈ (ℤ𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
98ltp1d 8656 . . . . . . 7 (𝐵 ∈ (ℤ𝐴) → 𝐵 < (𝐵 + 1))
10 peano2z 9058 . . . . . . . . 9 (𝐵 ∈ ℤ → (𝐵 + 1) ∈ ℤ)
1110ancri 322 . . . . . . . 8 (𝐵 ∈ ℤ → ((𝐵 + 1) ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ))
12 fzn 9790 . . . . . . . 8 (((𝐵 + 1) ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐵 < (𝐵 + 1) ↔ ((𝐵 + 1)...𝐵) = ∅))
132, 11, 123syl 17 . . . . . . 7 (𝐵 ∈ (ℤ𝐴) → (𝐵 < (𝐵 + 1) ↔ ((𝐵 + 1)...𝐵) = ∅))
149, 13mpbid 146 . . . . . 6 (𝐵 ∈ (ℤ𝐴) → ((𝐵 + 1)...𝐵) = ∅)
1514fveq2d 5393 . . . . 5 (𝐵 ∈ (ℤ𝐴) → (♯‘((𝐵 + 1)...𝐵)) = (♯‘∅))
162zcnd 9142 . . . . . 6 (𝐵 ∈ (ℤ𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
1716subidd 8029 . . . . 5 (𝐵 ∈ (ℤ𝐴) → (𝐵𝐵) = 0)
187, 15, 173eqtr4a 2176 . . . 4 (𝐵 ∈ (ℤ𝐴) → (♯‘((𝐵 + 1)...𝐵)) = (𝐵𝐵))
19 oveq1 5749 . . . . . . 7 (𝐴 = 𝐵 → (𝐴 + 1) = (𝐵 + 1))
2019oveq1d 5757 . . . . . 6 (𝐴 = 𝐵 → ((𝐴 + 1)...𝐵) = ((𝐵 + 1)...𝐵))
2120fveq2d 5393 . . . . 5 (𝐴 = 𝐵 → (♯‘((𝐴 + 1)...𝐵)) = (♯‘((𝐵 + 1)...𝐵)))
22 oveq2 5750 . . . . 5 (𝐴 = 𝐵 → (𝐵𝐴) = (𝐵𝐵))
2321, 22eqeq12d 2132 . . . 4 (𝐴 = 𝐵 → ((♯‘((𝐴 + 1)...𝐵)) = (𝐵𝐴) ↔ (♯‘((𝐵 + 1)...𝐵)) = (𝐵𝐵)))
2418, 23syl5ibr 155 . . 3 (𝐴 = 𝐵 → (𝐵 ∈ (ℤ𝐴) → (♯‘((𝐴 + 1)...𝐵)) = (𝐵𝐴)))
25 uzp1 9327 . . . . . . . 8 (𝐵 ∈ (ℤ𝐴) → (𝐵 = 𝐴𝐵 ∈ (ℤ‘(𝐴 + 1))))
26 pm2.24 595 . . . . . . . . . 10 (𝐴 = 𝐵 → (¬ 𝐴 = 𝐵𝐵 ∈ (ℤ‘(𝐴 + 1))))
2726eqcoms 2120 . . . . . . . . 9 (𝐵 = 𝐴 → (¬ 𝐴 = 𝐵𝐵 ∈ (ℤ‘(𝐴 + 1))))
28 ax-1 6 . . . . . . . . 9 (𝐵 ∈ (ℤ‘(𝐴 + 1)) → (¬ 𝐴 = 𝐵𝐵 ∈ (ℤ‘(𝐴 + 1))))
2927, 28jaoi 690 . . . . . . . 8 ((𝐵 = 𝐴𝐵 ∈ (ℤ‘(𝐴 + 1))) → (¬ 𝐴 = 𝐵𝐵 ∈ (ℤ‘(𝐴 + 1))))
3025, 29syl 14 . . . . . . 7 (𝐵 ∈ (ℤ𝐴) → (¬ 𝐴 = 𝐵𝐵 ∈ (ℤ‘(𝐴 + 1))))
3130impcom 124 . . . . . 6 ((¬ 𝐴 = 𝐵𝐵 ∈ (ℤ𝐴)) → 𝐵 ∈ (ℤ‘(𝐴 + 1)))
32 hashfz 10535 . . . . . 6 (𝐵 ∈ (ℤ‘(𝐴 + 1)) → (♯‘((𝐴 + 1)...𝐵)) = ((𝐵 − (𝐴 + 1)) + 1))
3331, 32syl 14 . . . . 5 ((¬ 𝐴 = 𝐵𝐵 ∈ (ℤ𝐴)) → (♯‘((𝐴 + 1)...𝐵)) = ((𝐵 − (𝐴 + 1)) + 1))
341zcnd 9142 . . . . . . 7 (𝐵 ∈ (ℤ𝐴) → 𝐴 ∈ ℂ)
35 1cnd 7750 . . . . . . 7 (𝐵 ∈ (ℤ𝐴) → 1 ∈ ℂ)
3616, 34, 35nppcan2d 8067 . . . . . 6 (𝐵 ∈ (ℤ𝐴) → ((𝐵 − (𝐴 + 1)) + 1) = (𝐵𝐴))
3736adantl 275 . . . . 5 ((¬ 𝐴 = 𝐵𝐵 ∈ (ℤ𝐴)) → ((𝐵 − (𝐴 + 1)) + 1) = (𝐵𝐴))
3833, 37eqtrd 2150 . . . 4 ((¬ 𝐴 = 𝐵𝐵 ∈ (ℤ𝐴)) → (♯‘((𝐴 + 1)...𝐵)) = (𝐵𝐴))
3938ex 114 . . 3 𝐴 = 𝐵 → (𝐵 ∈ (ℤ𝐴) → (♯‘((𝐴 + 1)...𝐵)) = (𝐵𝐴)))
4024, 39jaoi 690 . 2 ((𝐴 = 𝐵 ∨ ¬ 𝐴 = 𝐵) → (𝐵 ∈ (ℤ𝐴) → (♯‘((𝐴 + 1)...𝐵)) = (𝐵𝐴)))
416, 40mpcom 36 1 (𝐵 ∈ (ℤ𝐴) → (♯‘((𝐴 + 1)...𝐵)) = (𝐵𝐴))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 103  wb 104  wo 682  DECID wdc 804   = wceq 1316  wcel 1465  c0 3333   class class class wbr 3899  cfv 5093  (class class class)co 5742  0cc0 7588  1c1 7589   + caddc 7591   < clt 7768  cmin 7901  cz 9022  cuz 9294  ...cfz 9758  chash 10489
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 588  ax-in2 589  ax-io 683  ax-5 1408  ax-7 1409  ax-gen 1410  ax-ie1 1454  ax-ie2 1455  ax-8 1467  ax-10 1468  ax-11 1469  ax-i12 1470  ax-bndl 1471  ax-4 1472  ax-13 1476  ax-14 1477  ax-17 1491  ax-i9 1495  ax-ial 1499  ax-i5r 1500  ax-ext 2099  ax-coll 4013  ax-sep 4016  ax-nul 4024  ax-pow 4068  ax-pr 4101  ax-un 4325  ax-setind 4422  ax-iinf 4472  ax-cnex 7679  ax-resscn 7680  ax-1cn 7681  ax-1re 7682  ax-icn 7683  ax-addcl 7684  ax-addrcl 7685  ax-mulcl 7686  ax-addcom 7688  ax-addass 7690  ax-distr 7692  ax-i2m1 7693  ax-0lt1 7694  ax-0id 7696  ax-rnegex 7697  ax-cnre 7699  ax-pre-ltirr 7700  ax-pre-ltwlin 7701  ax-pre-lttrn 7702  ax-pre-apti 7703  ax-pre-ltadd 7704
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 805  df-3or 948  df-3an 949  df-tru 1319  df-fal 1322  df-nf 1422  df-sb 1721  df-eu 1980  df-mo 1981  df-clab 2104  df-cleq 2110  df-clel 2113  df-nfc 2247  df-ne 2286  df-nel 2381  df-ral 2398  df-rex 2399  df-reu 2400  df-rab 2402  df-v 2662  df-sbc 2883  df-csb 2976  df-dif 3043  df-un 3045  df-in 3047  df-ss 3054  df-nul 3334  df-pw 3482  df-sn 3503  df-pr 3504  df-op 3506  df-uni 3707  df-int 3742  df-iun 3785  df-br 3900  df-opab 3960  df-mpt 3961  df-tr 3997  df-id 4185  df-iord 4258  df-on 4260  df-ilim 4261  df-suc 4263  df-iom 4475  df-xp 4515  df-rel 4516  df-cnv 4517  df-co 4518  df-dm 4519  df-rn 4520  df-res 4521  df-ima 4522  df-iota 5058  df-fun 5095  df-fn 5096  df-f 5097  df-f1 5098  df-fo 5099  df-f1o 5100  df-fv 5101  df-riota 5698  df-ov 5745  df-oprab 5746  df-mpo 5747  df-1st 6006  df-2nd 6007  df-recs 6170  df-frec 6256  df-1o 6281  df-er 6397  df-en 6603  df-dom 6604  df-fin 6605  df-pnf 7770  df-mnf 7771  df-xr 7772  df-ltxr 7773  df-le 7774  df-sub 7903  df-neg 7904  df-inn 8689  df-n0 8946  df-z 9023  df-uz 9295  df-fz 9759  df-ihash 10490
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator