Theorem hashfzp1 11214

Description: Value of the numeric cardinality of a (possibly empty) integer range. (Contributed by AV, 19-Jun-2021.)

Assertion

Ref	Expression
hashfzp1	⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴) → (♯‘((𝐴 + 1)...𝐵)) = (𝐵 − 𝐴))

Proof of Theorem hashfzp1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eluzel2 9876	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴) → 𝐴 ∈ ℤ)
2		eluzelz 9881	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴) → 𝐵 ∈ ℤ)
3		zdceq 9670	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → DECID 𝐴 = 𝐵)
4	1, 2, 3	syl2anc 411	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴) → DECID 𝐴 = 𝐵)
5		exmiddc 844	. . 3 ⊢ (DECID 𝐴 = 𝐵 → (𝐴 = 𝐵 ∨ ¬ 𝐴 = 𝐵))
6	4, 5	syl 14	. 2 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴) → (𝐴 = 𝐵 ∨ ¬ 𝐴 = 𝐵))
7		hash0 11184	. . . . 5 ⊢ (♯‘∅) = 0
8		eluzelre 9882	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
9	8	ltp1d 9221	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴) → 𝐵 < (𝐵 + 1))
10		peano2z 9630	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵 ∈ ℤ → (𝐵 + 1) ∈ ℤ)
11	10	ancri 324	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ ℤ → ((𝐵 + 1) ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ))
12		fzn 10396	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐵 + 1) ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐵 < (𝐵 + 1) ↔ ((𝐵 + 1)...𝐵) = ∅))
13	2, 11, 12	3syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴) → (𝐵 < (𝐵 + 1) ↔ ((𝐵 + 1)...𝐵) = ∅))
14	9, 13	mpbid 147	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴) → ((𝐵 + 1)...𝐵) = ∅)
15	14	fveq2d 5679	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴) → (♯‘((𝐵 + 1)...𝐵)) = (♯‘∅))
16	2	zcnd 9719	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
17	16	subidd 8588	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴) → (𝐵 − 𝐵) = 0)
18	7, 15, 17	3eqtr4a 2293	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴) → (♯‘((𝐵 + 1)...𝐵)) = (𝐵 − 𝐵))
19		oveq1 6065	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → (𝐴 + 1) = (𝐵 + 1))
20	19	oveq1d 6073	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → ((𝐴 + 1)...𝐵) = ((𝐵 + 1)...𝐵))
21	20	fveq2d 5679	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → (♯‘((𝐴 + 1)...𝐵)) = (♯‘((𝐵 + 1)...𝐵)))
22		oveq2 6066	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → (𝐵 − 𝐴) = (𝐵 − 𝐵))
23	21, 22	eqeq12d 2249	. . . 4 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → ((♯‘((𝐴 + 1)...𝐵)) = (𝐵 − 𝐴) ↔ (♯‘((𝐵 + 1)...𝐵)) = (𝐵 − 𝐵)))
24	18, 23	imbitrrid 156	. . 3 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → (𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴) → (♯‘((𝐴 + 1)...𝐵)) = (𝐵 − 𝐴)))
25		uzp1 9906	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴) → (𝐵 = 𝐴 ∨ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘(𝐴 + 1))))
26		pm2.24 626	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → (¬ 𝐴 = 𝐵 → 𝐵 ∈ (ℤ≥‘(𝐴 + 1))))
27	26	eqcoms 2237	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵 = 𝐴 → (¬ 𝐴 = 𝐵 → 𝐵 ∈ (ℤ≥‘(𝐴 + 1))))
28		ax-1 6	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘(𝐴 + 1)) → (¬ 𝐴 = 𝐵 → 𝐵 ∈ (ℤ≥‘(𝐴 + 1))))
29	27, 28	jaoi 724	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 = 𝐴 ∨ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘(𝐴 + 1))) → (¬ 𝐴 = 𝐵 → 𝐵 ∈ (ℤ≥‘(𝐴 + 1))))
30	25, 29	syl 14	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴) → (¬ 𝐴 = 𝐵 → 𝐵 ∈ (ℤ≥‘(𝐴 + 1))))
31	30	impcom 125	. . . . . 6 ⊢ ((¬ 𝐴 = 𝐵 ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴)) → 𝐵 ∈ (ℤ≥‘(𝐴 + 1)))
32		hashfz 11211	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘(𝐴 + 1)) → (♯‘((𝐴 + 1)...𝐵)) = ((𝐵 − (𝐴 + 1)) + 1))
33	31, 32	syl 14	. . . . 5 ⊢ ((¬ 𝐴 = 𝐵 ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴)) → (♯‘((𝐴 + 1)...𝐵)) = ((𝐵 − (𝐴 + 1)) + 1))
34	1	zcnd 9719	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴) → 𝐴 ∈ ℂ)
35		1cnd 8306	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴) → 1 ∈ ℂ)
36	16, 34, 35	nppcan2d 8626	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴) → ((𝐵 − (𝐴 + 1)) + 1) = (𝐵 − 𝐴))
37	36	adantl 277	. . . . 5 ⊢ ((¬ 𝐴 = 𝐵 ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴)) → ((𝐵 − (𝐴 + 1)) + 1) = (𝐵 − 𝐴))
38	33, 37	eqtrd 2267	. . . 4 ⊢ ((¬ 𝐴 = 𝐵 ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴)) → (♯‘((𝐴 + 1)...𝐵)) = (𝐵 − 𝐴))
39	38	ex 115	. . 3 ⊢ (¬ 𝐴 = 𝐵 → (𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴) → (♯‘((𝐴 + 1)...𝐵)) = (𝐵 − 𝐴)))
40	24, 39	jaoi 724	. 2 ⊢ ((𝐴 = 𝐵 ∨ ¬ 𝐴 = 𝐵) → (𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴) → (♯‘((𝐴 + 1)...𝐵)) = (𝐵 − 𝐴)))
41	6, 40	mpcom 36	1 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴) → (♯‘((𝐴 + 1)...𝐵)) = (𝐵 − 𝐴))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∨ wo 716  DECID wdc 842   = wceq 1398   ∈ wcel 2205  ∅c0 3512   class class class wbr 4114  ‘cfv 5357  (class class class)co 6058  0cc0 8143  1c1 8144   + caddc 8146   < clt 8324   − cmin 8460  ℤcz 9594  ℤ_≥cuz 9871  ...cfz 10361  ♯chash 11163

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-coll 4230  ax-sep 4233  ax-nul 4241  ax-pow 4292  ax-pr 4327  ax-un 4559  ax-setind 4664  ax-iinf 4715  ax-cnex 8234  ax-resscn 8235  ax-1cn 8236  ax-1re 8237  ax-icn 8238  ax-addcl 8239  ax-addrcl 8240  ax-mulcl 8241  ax-addcom 8243  ax-addass 8245  ax-distr 8247  ax-i2m1 8248  ax-0lt1 8249  ax-0id 8251  ax-rnegex 8252  ax-cnre 8254  ax-pre-ltirr 8255  ax-pre-ltwlin 8256  ax-pre-lttrn 8257  ax-pre-apti 8258  ax-pre-ltadd 8259

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-nel 2510  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3046  df-csb 3142  df-dif 3216  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-nul 3513  df-pw 3676  df-sn 3700  df-pr 3701  df-op 3703  df-uni 3920  df-int 3955  df-iun 3998  df-br 4115  df-opab 4177  df-mpt 4178  df-tr 4214  df-id 4419  df-iord 4492  df-on 4494  df-ilim 4495  df-suc 4497  df-iom 4718  df-xp 4760  df-rel 4761  df-cnv 4762  df-co 4763  df-dm 4764  df-rn 4765  df-res 4766  df-ima 4767  df-iota 5317  df-fun 5359  df-fn 5360  df-f 5361  df-f1 5362  df-fo 5363  df-f1o 5364  df-fv 5365  df-riota 6011  df-ov 6061  df-oprab 6062  df-mpo 6063  df-1st 6347  df-2nd 6348  df-recs 6549  df-frec 6635  df-1o 6660  df-er 6780  df-en 6989  df-dom 6990  df-fin 6991  df-pnf 8326  df-mnf 8327  df-xr 8328  df-ltxr 8329  df-le 8330  df-sub 8462  df-neg 8463  df-inn 9255  df-n0 9514  df-z 9595  df-uz 9872  df-fz 10362  df-ihash 11164

This theorem is referenced by:  2lgslem1  16090