Theorem ivthinclemlr 13782

Description: Lemma for ivthinc 13788. The lower cut is rounded. (Contributed by Jim Kingdon, 18-Feb-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
ivth.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
ivth.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
ivth.3	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ ℝ)
ivth.4	⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐵)
ivth.5	⊢ (𝜑 → (𝐴[,]𝐵) ⊆ 𝐷)
ivth.7	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝐷–cn→ℂ))
ivth.8	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝐹‘𝑥) ∈ ℝ)
ivth.9	⊢ (𝜑 → ((𝐹‘𝐴) < 𝑈 ∧ 𝑈 < (𝐹‘𝐵)))
ivthinc.i	⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑥 < 𝑦)) → (𝐹‘𝑥) < (𝐹‘𝑦))
ivthinclem.l	⊢ 𝐿 = {𝑤 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∣ (𝐹‘𝑤) < 𝑈}
ivthinclem.r	⊢ 𝑅 = {𝑤 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∣ 𝑈 < (𝐹‘𝑤)}

Assertion

Ref	Expression
ivthinclemlr	⊢ (𝜑 → ∀𝑞 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝑞 ∈ 𝐿 ↔ ∃𝑟 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑟))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑟,𝑤   𝑥,𝐴,𝑦,𝑟   𝐵,𝑟,𝑤   𝑥,𝐵,𝑦   𝑤,𝐹   𝑥,𝐹,𝑦   𝐿,𝑟,𝑥,𝑦   𝑤,𝑈   𝜑,𝑞,𝑟,𝑥,𝑦   𝑤,𝑞

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑤)   𝐴(𝑞)   𝐵(𝑞)   𝐷(𝑥,𝑦,𝑤,𝑟,𝑞)   𝑅(𝑥,𝑦,𝑤,𝑟,𝑞)   𝑈(𝑥,𝑦,𝑟,𝑞)   𝐹(𝑟,𝑞)   𝐿(𝑤,𝑞)

Proof of Theorem ivthinclemlr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ivth.1	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2	1	ad2antrr 488	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ 𝑞 ∈ 𝐿) → 𝐴 ∈ ℝ)
3		ivth.2	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
4	3	ad2antrr 488	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ 𝑞 ∈ 𝐿) → 𝐵 ∈ ℝ)
5		ivth.3	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ ℝ)
6	5	ad2antrr 488	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ 𝑞 ∈ 𝐿) → 𝑈 ∈ ℝ)
7		ivth.4	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐵)
8	7	ad2antrr 488	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ 𝑞 ∈ 𝐿) → 𝐴 < 𝐵)
9		ivth.5	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐴[,]𝐵) ⊆ 𝐷)
10	9	ad2antrr 488	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ 𝑞 ∈ 𝐿) → (𝐴[,]𝐵) ⊆ 𝐷)
11		ivth.7	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝐷–cn→ℂ))
12	11	ad2antrr 488	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ 𝑞 ∈ 𝐿) → 𝐹 ∈ (𝐷–cn→ℂ))
13		ivth.8	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝐹‘𝑥) ∈ ℝ)
14	13	adantlr 477	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝐹‘𝑥) ∈ ℝ)
15	14	adantlr 477	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ 𝑞 ∈ 𝐿) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝐹‘𝑥) ∈ ℝ)
16		ivth.9	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐹‘𝐴) < 𝑈 ∧ 𝑈 < (𝐹‘𝐵)))
17	16	ad2antrr 488	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ 𝑞 ∈ 𝐿) → ((𝐹‘𝐴) < 𝑈 ∧ 𝑈 < (𝐹‘𝐵)))
18		ivthinc.i	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑥 < 𝑦)) → (𝐹‘𝑥) < (𝐹‘𝑦))
19	18	adantllr 481	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑥 < 𝑦)) → (𝐹‘𝑥) < (𝐹‘𝑦))
20	19	adantllr 481	. . . . 5 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ 𝑞 ∈ 𝐿) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑥 < 𝑦)) → (𝐹‘𝑥) < (𝐹‘𝑦))
21		ivthinclem.l	. . . . 5 ⊢ 𝐿 = {𝑤 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∣ (𝐹‘𝑤) < 𝑈}
22		ivthinclem.r	. . . . 5 ⊢ 𝑅 = {𝑤 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∣ 𝑈 < (𝐹‘𝑤)}
23		simpr 110	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ 𝑞 ∈ 𝐿) → 𝑞 ∈ 𝐿)
24	2, 4, 6, 8, 10, 12, 15, 17, 20, 21, 22, 23	ivthinclemlopn 13781	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ 𝑞 ∈ 𝐿) → ∃𝑟 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑟)
25	24	ex 115	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝑞 ∈ 𝐿 → ∃𝑟 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑟))
26		simpllr 534	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ 𝑟 ∈ 𝐿) ∧ 𝑞 < 𝑟) → 𝑞 ∈ (𝐴[,]𝐵))
27		fveq2 5511	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑞 → (𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝑞))
28	27	eleq1d 2246	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑞 → ((𝐹‘𝑥) ∈ ℝ ↔ (𝐹‘𝑞) ∈ ℝ))
29	13	ralrimiva 2550	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝐹‘𝑥) ∈ ℝ)
30	29	ad3antrrr 492	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ 𝑟 ∈ 𝐿) ∧ 𝑞 < 𝑟) → ∀𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝐹‘𝑥) ∈ ℝ)
31	28, 30, 26	rspcdva 2846	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ 𝑟 ∈ 𝐿) ∧ 𝑞 < 𝑟) → (𝐹‘𝑞) ∈ ℝ)
32		fveq2 5511	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑟 → (𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝑟))
33	32	eleq1d 2246	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑟 → ((𝐹‘𝑥) ∈ ℝ ↔ (𝐹‘𝑟) ∈ ℝ))
34		fveq2 5511	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑤 = 𝑟 → (𝐹‘𝑤) = (𝐹‘𝑟))
35	34	breq1d 4010	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑤 = 𝑟 → ((𝐹‘𝑤) < 𝑈 ↔ (𝐹‘𝑟) < 𝑈))
36	35, 21	elrab2 2896	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑟 ∈ 𝐿 ↔ (𝑟 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ (𝐹‘𝑟) < 𝑈))
37	36	simplbi 274	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑟 ∈ 𝐿 → 𝑟 ∈ (𝐴[,]𝐵))
38	37	ad2antlr 489	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ 𝑟 ∈ 𝐿) ∧ 𝑞 < 𝑟) → 𝑟 ∈ (𝐴[,]𝐵))
39	33, 30, 38	rspcdva 2846	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ 𝑟 ∈ 𝐿) ∧ 𝑞 < 𝑟) → (𝐹‘𝑟) ∈ ℝ)
40	5	ad3antrrr 492	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ 𝑟 ∈ 𝐿) ∧ 𝑞 < 𝑟) → 𝑈 ∈ ℝ)
41		simpr 110	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ 𝑟 ∈ 𝐿) ∧ 𝑞 < 𝑟) → 𝑞 < 𝑟)
42		breq2 4004	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 = 𝑟 → (𝑞 < 𝑦 ↔ 𝑞 < 𝑟))
43		fveq2 5511	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 = 𝑟 → (𝐹‘𝑦) = (𝐹‘𝑟))
44	43	breq2d 4012	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 = 𝑟 → ((𝐹‘𝑞) < (𝐹‘𝑦) ↔ (𝐹‘𝑞) < (𝐹‘𝑟)))
45	42, 44	imbi12d 234	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 = 𝑟 → ((𝑞 < 𝑦 → (𝐹‘𝑞) < (𝐹‘𝑦)) ↔ (𝑞 < 𝑟 → (𝐹‘𝑞) < (𝐹‘𝑟))))
46		breq1 4003	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = 𝑞 → (𝑥 < 𝑦 ↔ 𝑞 < 𝑦))
47	27	breq1d 4010	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = 𝑞 → ((𝐹‘𝑥) < (𝐹‘𝑦) ↔ (𝐹‘𝑞) < (𝐹‘𝑦)))
48	46, 47	imbi12d 234	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = 𝑞 → ((𝑥 < 𝑦 → (𝐹‘𝑥) < (𝐹‘𝑦)) ↔ (𝑞 < 𝑦 → (𝐹‘𝑞) < (𝐹‘𝑦))))
49	48	ralbidv 2477	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝑞 → (∀𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝑥 < 𝑦 → (𝐹‘𝑥) < (𝐹‘𝑦)) ↔ ∀𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝑞 < 𝑦 → (𝐹‘𝑞) < (𝐹‘𝑦))))
50	18	expr 375	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝑥 < 𝑦 → (𝐹‘𝑥) < (𝐹‘𝑦)))
51	50	ralrimiva 2550	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → ∀𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝑥 < 𝑦 → (𝐹‘𝑥) < (𝐹‘𝑦)))
52	51	ralrimiva 2550	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)∀𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝑥 < 𝑦 → (𝐹‘𝑥) < (𝐹‘𝑦)))
53	52	ad3antrrr 492	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ 𝑟 ∈ 𝐿) ∧ 𝑞 < 𝑟) → ∀𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)∀𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝑥 < 𝑦 → (𝐹‘𝑥) < (𝐹‘𝑦)))
54	49, 53, 26	rspcdva 2846	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ 𝑟 ∈ 𝐿) ∧ 𝑞 < 𝑟) → ∀𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝑞 < 𝑦 → (𝐹‘𝑞) < (𝐹‘𝑦)))
55	45, 54, 38	rspcdva 2846	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ 𝑟 ∈ 𝐿) ∧ 𝑞 < 𝑟) → (𝑞 < 𝑟 → (𝐹‘𝑞) < (𝐹‘𝑟)))
56	41, 55	mpd 13	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ 𝑟 ∈ 𝐿) ∧ 𝑞 < 𝑟) → (𝐹‘𝑞) < (𝐹‘𝑟))
57	36	simprbi 275	. . . . . . 7 ⊢ (𝑟 ∈ 𝐿 → (𝐹‘𝑟) < 𝑈)
58	57	ad2antlr 489	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ 𝑟 ∈ 𝐿) ∧ 𝑞 < 𝑟) → (𝐹‘𝑟) < 𝑈)
59	31, 39, 40, 56, 58	lttrd 8073	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ 𝑟 ∈ 𝐿) ∧ 𝑞 < 𝑟) → (𝐹‘𝑞) < 𝑈)
60		fveq2 5511	. . . . . . 7 ⊢ (𝑤 = 𝑞 → (𝐹‘𝑤) = (𝐹‘𝑞))
61	60	breq1d 4010	. . . . . 6 ⊢ (𝑤 = 𝑞 → ((𝐹‘𝑤) < 𝑈 ↔ (𝐹‘𝑞) < 𝑈))
62	61, 21	elrab2 2896	. . . . 5 ⊢ (𝑞 ∈ 𝐿 ↔ (𝑞 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ (𝐹‘𝑞) < 𝑈))
63	26, 59, 62	sylanbrc 417	. . . 4 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ 𝑟 ∈ 𝐿) ∧ 𝑞 < 𝑟) → 𝑞 ∈ 𝐿)
64	63	rexlimdva2 2597	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (∃𝑟 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑟 → 𝑞 ∈ 𝐿))
65	25, 64	impbid 129	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝑞 ∈ 𝐿 ↔ ∃𝑟 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑟))
66	65	ralrimiva 2550	1 ⊢ (𝜑 → ∀𝑞 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝑞 ∈ 𝐿 ↔ ∃𝑟 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑟))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1353   ∈ wcel 2148  ∀wral 2455  ∃wrex 2456  {crab 2459   ⊆ wss 3129   class class class wbr 4000  ‘cfv 5212  (class class class)co 5869  ℂcc 7800  ℝcr 7801   < clt 7982  [,]cicc 9878  –cn→ccncf 13724

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4115  ax-sep 4118  ax-nul 4126  ax-pow 4171  ax-pr 4206  ax-un 4430  ax-setind 4533  ax-iinf 4584  ax-cnex 7893  ax-resscn 7894  ax-1cn 7895  ax-1re 7896  ax-icn 7897  ax-addcl 7898  ax-addrcl 7899  ax-mulcl 7900  ax-mulrcl 7901  ax-addcom 7902  ax-mulcom 7903  ax-addass 7904  ax-mulass 7905  ax-distr 7906  ax-i2m1 7907  ax-0lt1 7908  ax-1rid 7909  ax-0id 7910  ax-rnegex 7911  ax-precex 7912  ax-cnre 7913  ax-pre-ltirr 7914  ax-pre-ltwlin 7915  ax-pre-lttrn 7916  ax-pre-apti 7917  ax-pre-ltadd 7918  ax-pre-mulgt0 7919  ax-pre-mulext 7920  ax-arch 7921  ax-caucvg 7922

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-nul 3423  df-if 3535  df-pw 3576  df-sn 3597  df-pr 3598  df-op 3600  df-uni 3808  df-int 3843  df-iun 3886  df-br 4001  df-opab 4062  df-mpt 4063  df-tr 4099  df-id 4290  df-po 4293  df-iso 4294  df-iord 4363  df-on 4365  df-ilim 4366  df-suc 4368  df-iom 4587  df-xp 4629  df-rel 4630  df-cnv 4631  df-co 4632  df-dm 4633  df-rn 4634  df-res 4635  df-ima 4636  df-iota 5174  df-fun 5214  df-fn 5215  df-f 5216  df-f1 5217  df-fo 5218  df-f1o 5219  df-fv 5220  df-riota 5825  df-ov 5872  df-oprab 5873  df-mpo 5874  df-1st 6135  df-2nd 6136  df-recs 6300  df-frec 6386  df-map 6644  df-pnf 7984  df-mnf 7985  df-xr 7986  df-ltxr 7987  df-le 7988  df-sub 8120  df-neg 8121  df-reap 8522  df-ap 8529  df-div 8619  df-inn 8909  df-2 8967  df-3 8968  df-4 8969  df-n0 9166  df-z 9243  df-uz 9518  df-rp 9641  df-icc 9882  df-seqfrec 10432  df-exp 10506  df-cj 10835  df-re 10836  df-im 10837  df-rsqrt 10991  df-abs 10992  df-cncf 13725

This theorem is referenced by:  ivthinclemex  13787