Theorem ivthinclemlr 14592

Description: Lemma for ivthinc 14598. The lower cut is rounded. (Contributed by Jim Kingdon, 18-Feb-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
ivth.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
ivth.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
ivth.3	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ ℝ)
ivth.4	⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐵)
ivth.5	⊢ (𝜑 → (𝐴[,]𝐵) ⊆ 𝐷)
ivth.7	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝐷–cn→ℂ))
ivth.8	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝐹‘𝑥) ∈ ℝ)
ivth.9	⊢ (𝜑 → ((𝐹‘𝐴) < 𝑈 ∧ 𝑈 < (𝐹‘𝐵)))
ivthinc.i	⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑥 < 𝑦)) → (𝐹‘𝑥) < (𝐹‘𝑦))
ivthinclem.l	⊢ 𝐿 = {𝑤 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∣ (𝐹‘𝑤) < 𝑈}
ivthinclem.r	⊢ 𝑅 = {𝑤 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∣ 𝑈 < (𝐹‘𝑤)}

Assertion

Ref	Expression
ivthinclemlr	⊢ (𝜑 → ∀𝑞 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝑞 ∈ 𝐿 ↔ ∃𝑟 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑟))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑟,𝑤   𝑥,𝐴,𝑦,𝑟   𝐵,𝑟,𝑤   𝑥,𝐵,𝑦   𝑤,𝐹   𝑥,𝐹,𝑦   𝐿,𝑟,𝑥,𝑦   𝑤,𝑈   𝜑,𝑞,𝑟,𝑥,𝑦   𝑤,𝑞

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑤)   𝐴(𝑞)   𝐵(𝑞)   𝐷(𝑥,𝑦,𝑤,𝑟,𝑞)   𝑅(𝑥,𝑦,𝑤,𝑟,𝑞)   𝑈(𝑥,𝑦,𝑟,𝑞)   𝐹(𝑟,𝑞)   𝐿(𝑤,𝑞)

Proof of Theorem ivthinclemlr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ivth.1	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2	1	ad2antrr 488	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ 𝑞 ∈ 𝐿) → 𝐴 ∈ ℝ)
3		ivth.2	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
4	3	ad2antrr 488	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ 𝑞 ∈ 𝐿) → 𝐵 ∈ ℝ)
5		ivth.3	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ ℝ)
6	5	ad2antrr 488	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ 𝑞 ∈ 𝐿) → 𝑈 ∈ ℝ)
7		ivth.4	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐵)
8	7	ad2antrr 488	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ 𝑞 ∈ 𝐿) → 𝐴 < 𝐵)
9		ivth.5	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐴[,]𝐵) ⊆ 𝐷)
10	9	ad2antrr 488	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ 𝑞 ∈ 𝐿) → (𝐴[,]𝐵) ⊆ 𝐷)
11		ivth.7	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝐷–cn→ℂ))
12	11	ad2antrr 488	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ 𝑞 ∈ 𝐿) → 𝐹 ∈ (𝐷–cn→ℂ))
13		ivth.8	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝐹‘𝑥) ∈ ℝ)
14	13	adantlr 477	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝐹‘𝑥) ∈ ℝ)
15	14	adantlr 477	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ 𝑞 ∈ 𝐿) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝐹‘𝑥) ∈ ℝ)
16		ivth.9	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐹‘𝐴) < 𝑈 ∧ 𝑈 < (𝐹‘𝐵)))
17	16	ad2antrr 488	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ 𝑞 ∈ 𝐿) → ((𝐹‘𝐴) < 𝑈 ∧ 𝑈 < (𝐹‘𝐵)))
18		ivthinc.i	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑥 < 𝑦)) → (𝐹‘𝑥) < (𝐹‘𝑦))
19	18	adantllr 481	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑥 < 𝑦)) → (𝐹‘𝑥) < (𝐹‘𝑦))
20	19	adantllr 481	. . . . 5 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ 𝑞 ∈ 𝐿) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑥 < 𝑦)) → (𝐹‘𝑥) < (𝐹‘𝑦))
21		ivthinclem.l	. . . . 5 ⊢ 𝐿 = {𝑤 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∣ (𝐹‘𝑤) < 𝑈}
22		ivthinclem.r	. . . . 5 ⊢ 𝑅 = {𝑤 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∣ 𝑈 < (𝐹‘𝑤)}
23		simpr 110	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ 𝑞 ∈ 𝐿) → 𝑞 ∈ 𝐿)
24	2, 4, 6, 8, 10, 12, 15, 17, 20, 21, 22, 23	ivthinclemlopn 14591	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ 𝑞 ∈ 𝐿) → ∃𝑟 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑟)
25	24	ex 115	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝑞 ∈ 𝐿 → ∃𝑟 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑟))
26		simpllr 534	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ 𝑟 ∈ 𝐿) ∧ 𝑞 < 𝑟) → 𝑞 ∈ (𝐴[,]𝐵))
27		fveq2 5534	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑞 → (𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝑞))
28	27	eleq1d 2258	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑞 → ((𝐹‘𝑥) ∈ ℝ ↔ (𝐹‘𝑞) ∈ ℝ))
29	13	ralrimiva 2563	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝐹‘𝑥) ∈ ℝ)
30	29	ad3antrrr 492	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ 𝑟 ∈ 𝐿) ∧ 𝑞 < 𝑟) → ∀𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝐹‘𝑥) ∈ ℝ)
31	28, 30, 26	rspcdva 2861	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ 𝑟 ∈ 𝐿) ∧ 𝑞 < 𝑟) → (𝐹‘𝑞) ∈ ℝ)
32		fveq2 5534	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑟 → (𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝑟))
33	32	eleq1d 2258	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑟 → ((𝐹‘𝑥) ∈ ℝ ↔ (𝐹‘𝑟) ∈ ℝ))
34		fveq2 5534	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑤 = 𝑟 → (𝐹‘𝑤) = (𝐹‘𝑟))
35	34	breq1d 4028	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑤 = 𝑟 → ((𝐹‘𝑤) < 𝑈 ↔ (𝐹‘𝑟) < 𝑈))
36	35, 21	elrab2 2911	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑟 ∈ 𝐿 ↔ (𝑟 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ (𝐹‘𝑟) < 𝑈))
37	36	simplbi 274	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑟 ∈ 𝐿 → 𝑟 ∈ (𝐴[,]𝐵))
38	37	ad2antlr 489	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ 𝑟 ∈ 𝐿) ∧ 𝑞 < 𝑟) → 𝑟 ∈ (𝐴[,]𝐵))
39	33, 30, 38	rspcdva 2861	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ 𝑟 ∈ 𝐿) ∧ 𝑞 < 𝑟) → (𝐹‘𝑟) ∈ ℝ)
40	5	ad3antrrr 492	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ 𝑟 ∈ 𝐿) ∧ 𝑞 < 𝑟) → 𝑈 ∈ ℝ)
41		simpr 110	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ 𝑟 ∈ 𝐿) ∧ 𝑞 < 𝑟) → 𝑞 < 𝑟)
42		breq2 4022	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 = 𝑟 → (𝑞 < 𝑦 ↔ 𝑞 < 𝑟))
43		fveq2 5534	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 = 𝑟 → (𝐹‘𝑦) = (𝐹‘𝑟))
44	43	breq2d 4030	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 = 𝑟 → ((𝐹‘𝑞) < (𝐹‘𝑦) ↔ (𝐹‘𝑞) < (𝐹‘𝑟)))
45	42, 44	imbi12d 234	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 = 𝑟 → ((𝑞 < 𝑦 → (𝐹‘𝑞) < (𝐹‘𝑦)) ↔ (𝑞 < 𝑟 → (𝐹‘𝑞) < (𝐹‘𝑟))))
46		breq1 4021	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = 𝑞 → (𝑥 < 𝑦 ↔ 𝑞 < 𝑦))
47	27	breq1d 4028	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = 𝑞 → ((𝐹‘𝑥) < (𝐹‘𝑦) ↔ (𝐹‘𝑞) < (𝐹‘𝑦)))
48	46, 47	imbi12d 234	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = 𝑞 → ((𝑥 < 𝑦 → (𝐹‘𝑥) < (𝐹‘𝑦)) ↔ (𝑞 < 𝑦 → (𝐹‘𝑞) < (𝐹‘𝑦))))
49	48	ralbidv 2490	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝑞 → (∀𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝑥 < 𝑦 → (𝐹‘𝑥) < (𝐹‘𝑦)) ↔ ∀𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝑞 < 𝑦 → (𝐹‘𝑞) < (𝐹‘𝑦))))
50	18	expr 375	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝑥 < 𝑦 → (𝐹‘𝑥) < (𝐹‘𝑦)))
51	50	ralrimiva 2563	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → ∀𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝑥 < 𝑦 → (𝐹‘𝑥) < (𝐹‘𝑦)))
52	51	ralrimiva 2563	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)∀𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝑥 < 𝑦 → (𝐹‘𝑥) < (𝐹‘𝑦)))
53	52	ad3antrrr 492	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ 𝑟 ∈ 𝐿) ∧ 𝑞 < 𝑟) → ∀𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)∀𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝑥 < 𝑦 → (𝐹‘𝑥) < (𝐹‘𝑦)))
54	49, 53, 26	rspcdva 2861	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ 𝑟 ∈ 𝐿) ∧ 𝑞 < 𝑟) → ∀𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝑞 < 𝑦 → (𝐹‘𝑞) < (𝐹‘𝑦)))
55	45, 54, 38	rspcdva 2861	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ 𝑟 ∈ 𝐿) ∧ 𝑞 < 𝑟) → (𝑞 < 𝑟 → (𝐹‘𝑞) < (𝐹‘𝑟)))
56	41, 55	mpd 13	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ 𝑟 ∈ 𝐿) ∧ 𝑞 < 𝑟) → (𝐹‘𝑞) < (𝐹‘𝑟))
57	36	simprbi 275	. . . . . . 7 ⊢ (𝑟 ∈ 𝐿 → (𝐹‘𝑟) < 𝑈)
58	57	ad2antlr 489	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ 𝑟 ∈ 𝐿) ∧ 𝑞 < 𝑟) → (𝐹‘𝑟) < 𝑈)
59	31, 39, 40, 56, 58	lttrd 8114	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ 𝑟 ∈ 𝐿) ∧ 𝑞 < 𝑟) → (𝐹‘𝑞) < 𝑈)
60		fveq2 5534	. . . . . . 7 ⊢ (𝑤 = 𝑞 → (𝐹‘𝑤) = (𝐹‘𝑞))
61	60	breq1d 4028	. . . . . 6 ⊢ (𝑤 = 𝑞 → ((𝐹‘𝑤) < 𝑈 ↔ (𝐹‘𝑞) < 𝑈))
62	61, 21	elrab2 2911	. . . . 5 ⊢ (𝑞 ∈ 𝐿 ↔ (𝑞 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ (𝐹‘𝑞) < 𝑈))
63	26, 59, 62	sylanbrc 417	. . . 4 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ 𝑟 ∈ 𝐿) ∧ 𝑞 < 𝑟) → 𝑞 ∈ 𝐿)
64	63	rexlimdva2 2610	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (∃𝑟 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑟 → 𝑞 ∈ 𝐿))
65	25, 64	impbid 129	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝑞 ∈ 𝐿 ↔ ∃𝑟 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑟))
66	65	ralrimiva 2563	1 ⊢ (𝜑 → ∀𝑞 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝑞 ∈ 𝐿 ↔ ∃𝑟 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑟))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1364   ∈ wcel 2160  ∀wral 2468  ∃wrex 2469  {crab 2472   ⊆ wss 3144   class class class wbr 4018  ‘cfv 5235  (class class class)co 5897  ℂcc 7840  ℝcr 7841   < clt 8023  [,]cicc 9923  –cn→ccncf 14534

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-coll 4133  ax-sep 4136  ax-nul 4144  ax-pow 4192  ax-pr 4227  ax-un 4451  ax-setind 4554  ax-iinf 4605  ax-cnex 7933  ax-resscn 7934  ax-1cn 7935  ax-1re 7936  ax-icn 7937  ax-addcl 7938  ax-addrcl 7939  ax-mulcl 7940  ax-mulrcl 7941  ax-addcom 7942  ax-mulcom 7943  ax-addass 7944  ax-mulass 7945  ax-distr 7946  ax-i2m1 7947  ax-0lt1 7948  ax-1rid 7949  ax-0id 7950  ax-rnegex 7951  ax-precex 7952  ax-cnre 7953  ax-pre-ltirr 7954  ax-pre-ltwlin 7955  ax-pre-lttrn 7956  ax-pre-apti 7957  ax-pre-ltadd 7958  ax-pre-mulgt0 7959  ax-pre-mulext 7960  ax-arch 7961  ax-caucvg 7962

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-nel 2456  df-ral 2473  df-rex 2474  df-reu 2475  df-rmo 2476  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-csb 3073  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-nul 3438  df-if 3550  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-int 3860  df-iun 3903  df-br 4019  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-tr 4117  df-id 4311  df-po 4314  df-iso 4315  df-iord 4384  df-on 4386  df-ilim 4387  df-suc 4389  df-iom 4608  df-xp 4650  df-rel 4651  df-cnv 4652  df-co 4653  df-dm 4654  df-rn 4655  df-res 4656  df-ima 4657  df-iota 5196  df-fun 5237  df-fn 5238  df-f 5239  df-f1 5240  df-fo 5241  df-f1o 5242  df-fv 5243  df-riota 5852  df-ov 5900  df-oprab 5901  df-mpo 5902  df-1st 6166  df-2nd 6167  df-recs 6331  df-frec 6417  df-map 6677  df-pnf 8025  df-mnf 8026  df-xr 8027  df-ltxr 8028  df-le 8029  df-sub 8161  df-neg 8162  df-reap 8563  df-ap 8570  df-div 8661  df-inn 8951  df-2 9009  df-3 9010  df-4 9011  df-n0 9208  df-z 9285  df-uz 9560  df-rp 9686  df-icc 9927  df-seqfrec 10479  df-exp 10554  df-cj 10886  df-re 10887  df-im 10888  df-rsqrt 11042  df-abs 11043  df-cncf 14535

This theorem is referenced by:  ivthinclemex  14597