Theorem ivthinclemlr 15829

Description: Lemma for ivthinc 15835. The lower cut is rounded. (Contributed by Jim Kingdon, 18-Feb-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
ivth.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
ivth.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
ivth.3	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ ℝ)
ivth.4	⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐵)
ivth.5	⊢ (𝜑 → (𝐴[,]𝐵) ⊆ 𝐷)
ivth.7	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝐷–cn→ℂ))
ivth.8	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝐹‘𝑥) ∈ ℝ)
ivth.9	⊢ (𝜑 → ((𝐹‘𝐴) < 𝑈 ∧ 𝑈 < (𝐹‘𝐵)))
ivthinc.i	⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑥 < 𝑦)) → (𝐹‘𝑥) < (𝐹‘𝑦))
ivthinclem.l	⊢ 𝐿 = {𝑤 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∣ (𝐹‘𝑤) < 𝑈}
ivthinclem.r	⊢ 𝑅 = {𝑤 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∣ 𝑈 < (𝐹‘𝑤)}

Assertion

Ref	Expression
ivthinclemlr	⊢ (𝜑 → ∀𝑞 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝑞 ∈ 𝐿 ↔ ∃𝑟 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑟))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑟,𝑤   𝑥,𝐴,𝑦,𝑟   𝐵,𝑟,𝑤   𝑥,𝐵,𝑦   𝑤,𝐹   𝑥,𝐹,𝑦   𝐿,𝑟,𝑥,𝑦   𝑤,𝑈   𝜑,𝑞,𝑟,𝑥,𝑦   𝑤,𝑞

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑤)   𝐴(𝑞)   𝐵(𝑞)   𝐷(𝑥, 𝑦, 𝑤, 𝑟, 𝑞)   𝑅(𝑥, 𝑦, 𝑤, 𝑟, 𝑞)   𝑈(𝑥, 𝑦, 𝑟, 𝑞)   𝐹(𝑟, 𝑞)   𝐿(𝑤, 𝑞)

Proof of Theorem ivthinclemlr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ivth.1	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2	1	ad2antrr 492	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ 𝑞 ∈ 𝐿) → 𝐴 ∈ ℝ)
3		ivth.2	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
4	3	ad2antrr 492	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ 𝑞 ∈ 𝐿) → 𝐵 ∈ ℝ)
5		ivth.3	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ ℝ)
6	5	ad2antrr 492	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ 𝑞 ∈ 𝐿) → 𝑈 ∈ ℝ)
7		ivth.4	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐵)
8	7	ad2antrr 492	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ 𝑞 ∈ 𝐿) → 𝐴 < 𝐵)
9		ivth.5	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐴[,]𝐵) ⊆ 𝐷)
10	9	ad2antrr 492	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ 𝑞 ∈ 𝐿) → (𝐴[,]𝐵) ⊆ 𝐷)
11		ivth.7	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝐷–cn→ℂ))
12	11	ad2antrr 492	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ 𝑞 ∈ 𝐿) → 𝐹 ∈ (𝐷–cn→ℂ))
13		ivth.8	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝐹‘𝑥) ∈ ℝ)
14	13	adantlr 481	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝐹‘𝑥) ∈ ℝ)
15	14	adantlr 481	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ 𝑞 ∈ 𝐿) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝐹‘𝑥) ∈ ℝ)
16		ivth.9	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐹‘𝐴) < 𝑈 ∧ 𝑈 < (𝐹‘𝐵)))
17	16	ad2antrr 492	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ 𝑞 ∈ 𝐿) → ((𝐹‘𝐴) < 𝑈 ∧ 𝑈 < (𝐹‘𝐵)))
18		ivthinc.i	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑥 < 𝑦)) → (𝐹‘𝑥) < (𝐹‘𝑦))
19	18	adantllr 485	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑥 < 𝑦)) → (𝐹‘𝑥) < (𝐹‘𝑦))
20	19	adantllr 485	. . . . 5 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ 𝑞 ∈ 𝐿) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑥 < 𝑦)) → (𝐹‘𝑥) < (𝐹‘𝑦))
21		ivthinclem.l	. . . . 5 ⊢ 𝐿 = {𝑤 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∣ (𝐹‘𝑤) < 𝑈}
22		ivthinclem.r	. . . . 5 ⊢ 𝑅 = {𝑤 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∣ 𝑈 < (𝐹‘𝑤)}
23		simpr 110	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ 𝑞 ∈ 𝐿) → 𝑞 ∈ 𝐿)
24	2, 4, 6, 8, 10, 12, 15, 17, 20, 21, 22, 23	ivthinclemlopn 15828	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ 𝑞 ∈ 𝐿) → ∃𝑟 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑟)
25	24	ex 115	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝑞 ∈ 𝐿 → ∃𝑟 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑟))
26		simpllr 540	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ 𝑟 ∈ 𝐿) ∧ 𝑞 < 𝑟) → 𝑞 ∈ (𝐴[,]𝐵))
27		fveq2 5695	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑞 → (𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝑞))
28	27	eleq1d 2307	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑞 → ((𝐹‘𝑥) ∈ ℝ ↔ (𝐹‘𝑞) ∈ ℝ))
29	13	ralrimiva 2623	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝐹‘𝑥) ∈ ℝ)
30	29	ad3antrrr 496	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ 𝑟 ∈ 𝐿) ∧ 𝑞 < 𝑟) → ∀𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝐹‘𝑥) ∈ ℝ)
31	28, 30, 26	rspcdva 2934	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ 𝑟 ∈ 𝐿) ∧ 𝑞 < 𝑟) → (𝐹‘𝑞) ∈ ℝ)
32		fveq2 5695	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑟 → (𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝑟))
33	32	eleq1d 2307	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑟 → ((𝐹‘𝑥) ∈ ℝ ↔ (𝐹‘𝑟) ∈ ℝ))
34		fveq2 5695	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑤 = 𝑟 → (𝐹‘𝑤) = (𝐹‘𝑟))
35	34	breq1d 4140	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑤 = 𝑟 → ((𝐹‘𝑤) < 𝑈 ↔ (𝐹‘𝑟) < 𝑈))
36	35, 21	elrab2 2985	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑟 ∈ 𝐿 ↔ (𝑟 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ (𝐹‘𝑟) < 𝑈))
37	36	simplbi 274	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑟 ∈ 𝐿 → 𝑟 ∈ (𝐴[,]𝐵))
38	37	ad2antlr 493	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ 𝑟 ∈ 𝐿) ∧ 𝑞 < 𝑟) → 𝑟 ∈ (𝐴[,]𝐵))
39	33, 30, 38	rspcdva 2934	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ 𝑟 ∈ 𝐿) ∧ 𝑞 < 𝑟) → (𝐹‘𝑟) ∈ ℝ)
40	5	ad3antrrr 496	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ 𝑟 ∈ 𝐿) ∧ 𝑞 < 𝑟) → 𝑈 ∈ ℝ)
41		simpr 110	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ 𝑟 ∈ 𝐿) ∧ 𝑞 < 𝑟) → 𝑞 < 𝑟)
42		breq2 4134	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 = 𝑟 → (𝑞 < 𝑦 ↔ 𝑞 < 𝑟))
43		fveq2 5695	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 = 𝑟 → (𝐹‘𝑦) = (𝐹‘𝑟))
44	43	breq2d 4142	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 = 𝑟 → ((𝐹‘𝑞) < (𝐹‘𝑦) ↔ (𝐹‘𝑞) < (𝐹‘𝑟)))
45	42, 44	imbi12d 234	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 = 𝑟 → ((𝑞 < 𝑦 → (𝐹‘𝑞) < (𝐹‘𝑦)) ↔ (𝑞 < 𝑟 → (𝐹‘𝑞) < (𝐹‘𝑟))))
46		breq1 4133	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = 𝑞 → (𝑥 < 𝑦 ↔ 𝑞 < 𝑦))
47	27	breq1d 4140	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = 𝑞 → ((𝐹‘𝑥) < (𝐹‘𝑦) ↔ (𝐹‘𝑞) < (𝐹‘𝑦)))
48	46, 47	imbi12d 234	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = 𝑞 → ((𝑥 < 𝑦 → (𝐹‘𝑥) < (𝐹‘𝑦)) ↔ (𝑞 < 𝑦 → (𝐹‘𝑞) < (𝐹‘𝑦))))
49	48	ralbidv 2550	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝑞 → (∀𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝑥 < 𝑦 → (𝐹‘𝑥) < (𝐹‘𝑦)) ↔ ∀𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝑞 < 𝑦 → (𝐹‘𝑞) < (𝐹‘𝑦))))
50	18	expr 375	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝑥 < 𝑦 → (𝐹‘𝑥) < (𝐹‘𝑦)))
51	50	ralrimiva 2623	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → ∀𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝑥 < 𝑦 → (𝐹‘𝑥) < (𝐹‘𝑦)))
52	51	ralrimiva 2623	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)∀𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝑥 < 𝑦 → (𝐹‘𝑥) < (𝐹‘𝑦)))
53	52	ad3antrrr 496	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ 𝑟 ∈ 𝐿) ∧ 𝑞 < 𝑟) → ∀𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)∀𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝑥 < 𝑦 → (𝐹‘𝑥) < (𝐹‘𝑦)))
54	49, 53, 26	rspcdva 2934	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ 𝑟 ∈ 𝐿) ∧ 𝑞 < 𝑟) → ∀𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝑞 < 𝑦 → (𝐹‘𝑞) < (𝐹‘𝑦)))
55	45, 54, 38	rspcdva 2934	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ 𝑟 ∈ 𝐿) ∧ 𝑞 < 𝑟) → (𝑞 < 𝑟 → (𝐹‘𝑞) < (𝐹‘𝑟)))
56	41, 55	mpd 13	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ 𝑟 ∈ 𝐿) ∧ 𝑞 < 𝑟) → (𝐹‘𝑞) < (𝐹‘𝑟))
57	36	simprbi 275	. . . . . . 7 ⊢ (𝑟 ∈ 𝐿 → (𝐹‘𝑟) < 𝑈)
58	57	ad2antlr 493	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ 𝑟 ∈ 𝐿) ∧ 𝑞 < 𝑟) → (𝐹‘𝑟) < 𝑈)
59	31, 39, 40, 56, 58	lttrd 8454	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ 𝑟 ∈ 𝐿) ∧ 𝑞 < 𝑟) → (𝐹‘𝑞) < 𝑈)
60		fveq2 5695	. . . . . . 7 ⊢ (𝑤 = 𝑞 → (𝐹‘𝑤) = (𝐹‘𝑞))
61	60	breq1d 4140	. . . . . 6 ⊢ (𝑤 = 𝑞 → ((𝐹‘𝑤) < 𝑈 ↔ (𝐹‘𝑞) < 𝑈))
62	61, 21	elrab2 2985	. . . . 5 ⊢ (𝑞 ∈ 𝐿 ↔ (𝑞 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ (𝐹‘𝑞) < 𝑈))
63	26, 59, 62	sylanbrc 421	. . . 4 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ 𝑟 ∈ 𝐿) ∧ 𝑞 < 𝑟) → 𝑞 ∈ 𝐿)
64	63	rexlimdva2 2671	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (∃𝑟 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑟 → 𝑞 ∈ 𝐿))
65	25, 64	impbid 129	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝑞 ∈ 𝐿 ↔ ∃𝑟 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑟))
66	65	ralrimiva 2623	1 ⊢ (𝜑 → ∀𝑞 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝑞 ∈ 𝐿 ↔ ∃𝑟 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑟))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1402   ∈ wcel 2209  ∀wral 2528  ∃wrex 2529  {crab 2532   ⊆ wss 3220   class class class wbr 4130  ‘cfv 5377  (class class class)co 6085  ℂcc 8178  ℝcr 8179   < clt 8361  [,]cicc 10304  –cn→ccncf 15762

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4246  ax-sep 4249  ax-nul 4259  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-setind 4684  ax-iinf 4735  ax-cnex 8271  ax-resscn 8272  ax-1cn 8273  ax-1re 8274  ax-icn 8275  ax-addcl 8276  ax-addrcl 8277  ax-mulcl 8278  ax-mulrcl 8279  ax-addcom 8280  ax-mulcom 8281  ax-addass 8282  ax-mulass 8283  ax-distr 8284  ax-i2m1 8285  ax-0lt1 8286  ax-1rid 8287  ax-0id 8288  ax-rnegex 8289  ax-precex 8290  ax-cnre 8291  ax-pre-ltirr 8292  ax-pre-ltwlin 8293  ax-pre-lttrn 8294  ax-pre-apti 8295  ax-pre-ltadd 8296  ax-pre-mulgt0 8297  ax-pre-mulext 8298  ax-arch 8299  ax-caucvg 8300

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3639  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4131  df-opab 4193  df-mpt 4194  df-tr 4230  df-id 4438  df-po 4441  df-iso 4442  df-iord 4511  df-on 4513  df-ilim 4514  df-suc 4516  df-iom 4738  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-rn 4785  df-res 4786  df-ima 4787  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fn 5380  df-f 5381  df-f1 5382  df-fo 5383  df-f1o 5384  df-fv 5385  df-riota 6038  df-ov 6088  df-oprab 6089  df-mpo 6090  df-1st 6374  df-2nd 6375  df-recs 6576  df-frec 6662  df-map 6924  df-pnf 8363  df-mnf 8364  df-xr 8365  df-ltxr 8366  df-le 8367  df-sub 8501  df-neg 8502  df-reap 8906  df-ap 8913  df-div 9006  df-inn 9308  df-2 9366  df-3 9367  df-4 9368  df-n0 9569  df-z 9650  df-uz 9932  df-rp 10066  df-icc 10308  df-seqfrec 10900  df-exp 10991  df-cj 11623  df-re 11624  df-im 11625  df-rsqrt 11780  df-abs 11781  df-cncf 15763

This theorem is used by:  ivthinclemex  15834