Theorem ivthinclemlr 13330

Description: Lemma for ivthinc 13336. The lower cut is rounded. (Contributed by Jim Kingdon, 18-Feb-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
ivth.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
ivth.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
ivth.3	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ ℝ)
ivth.4	⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐵)
ivth.5	⊢ (𝜑 → (𝐴[,]𝐵) ⊆ 𝐷)
ivth.7	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝐷–cn→ℂ))
ivth.8	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝐹‘𝑥) ∈ ℝ)
ivth.9	⊢ (𝜑 → ((𝐹‘𝐴) < 𝑈 ∧ 𝑈 < (𝐹‘𝐵)))
ivthinc.i	⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑥 < 𝑦)) → (𝐹‘𝑥) < (𝐹‘𝑦))
ivthinclem.l	⊢ 𝐿 = {𝑤 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∣ (𝐹‘𝑤) < 𝑈}
ivthinclem.r	⊢ 𝑅 = {𝑤 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∣ 𝑈 < (𝐹‘𝑤)}

Assertion

Ref	Expression
ivthinclemlr	⊢ (𝜑 → ∀𝑞 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝑞 ∈ 𝐿 ↔ ∃𝑟 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑟))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑟,𝑤   𝑥,𝐴,𝑦,𝑟   𝐵,𝑟,𝑤   𝑥,𝐵,𝑦   𝑤,𝐹   𝑥,𝐹,𝑦   𝐿,𝑟,𝑥,𝑦   𝑤,𝑈   𝜑,𝑞,𝑟,𝑥,𝑦   𝑤,𝑞

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑤)   𝐴(𝑞)   𝐵(𝑞)   𝐷(𝑥,𝑦,𝑤,𝑟,𝑞)   𝑅(𝑥,𝑦,𝑤,𝑟,𝑞)   𝑈(𝑥,𝑦,𝑟,𝑞)   𝐹(𝑟,𝑞)   𝐿(𝑤,𝑞)

Proof of Theorem ivthinclemlr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ivth.1	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2	1	ad2antrr 485	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ 𝑞 ∈ 𝐿) → 𝐴 ∈ ℝ)
3		ivth.2	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
4	3	ad2antrr 485	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ 𝑞 ∈ 𝐿) → 𝐵 ∈ ℝ)
5		ivth.3	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ ℝ)
6	5	ad2antrr 485	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ 𝑞 ∈ 𝐿) → 𝑈 ∈ ℝ)
7		ivth.4	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐵)
8	7	ad2antrr 485	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ 𝑞 ∈ 𝐿) → 𝐴 < 𝐵)
9		ivth.5	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐴[,]𝐵) ⊆ 𝐷)
10	9	ad2antrr 485	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ 𝑞 ∈ 𝐿) → (𝐴[,]𝐵) ⊆ 𝐷)
11		ivth.7	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝐷–cn→ℂ))
12	11	ad2antrr 485	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ 𝑞 ∈ 𝐿) → 𝐹 ∈ (𝐷–cn→ℂ))
13		ivth.8	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝐹‘𝑥) ∈ ℝ)
14	13	adantlr 474	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝐹‘𝑥) ∈ ℝ)
15	14	adantlr 474	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ 𝑞 ∈ 𝐿) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝐹‘𝑥) ∈ ℝ)
16		ivth.9	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐹‘𝐴) < 𝑈 ∧ 𝑈 < (𝐹‘𝐵)))
17	16	ad2antrr 485	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ 𝑞 ∈ 𝐿) → ((𝐹‘𝐴) < 𝑈 ∧ 𝑈 < (𝐹‘𝐵)))
18		ivthinc.i	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑥 < 𝑦)) → (𝐹‘𝑥) < (𝐹‘𝑦))
19	18	adantllr 478	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑥 < 𝑦)) → (𝐹‘𝑥) < (𝐹‘𝑦))
20	19	adantllr 478	. . . . 5 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ 𝑞 ∈ 𝐿) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑥 < 𝑦)) → (𝐹‘𝑥) < (𝐹‘𝑦))
21		ivthinclem.l	. . . . 5 ⊢ 𝐿 = {𝑤 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∣ (𝐹‘𝑤) < 𝑈}
22		ivthinclem.r	. . . . 5 ⊢ 𝑅 = {𝑤 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∣ 𝑈 < (𝐹‘𝑤)}
23		simpr 109	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ 𝑞 ∈ 𝐿) → 𝑞 ∈ 𝐿)
24	2, 4, 6, 8, 10, 12, 15, 17, 20, 21, 22, 23	ivthinclemlopn 13329	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ 𝑞 ∈ 𝐿) → ∃𝑟 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑟)
25	24	ex 114	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝑞 ∈ 𝐿 → ∃𝑟 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑟))
26		simpllr 529	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ 𝑟 ∈ 𝐿) ∧ 𝑞 < 𝑟) → 𝑞 ∈ (𝐴[,]𝐵))
27		fveq2 5494	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑞 → (𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝑞))
28	27	eleq1d 2239	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑞 → ((𝐹‘𝑥) ∈ ℝ ↔ (𝐹‘𝑞) ∈ ℝ))
29	13	ralrimiva 2543	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝐹‘𝑥) ∈ ℝ)
30	29	ad3antrrr 489	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ 𝑟 ∈ 𝐿) ∧ 𝑞 < 𝑟) → ∀𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝐹‘𝑥) ∈ ℝ)
31	28, 30, 26	rspcdva 2839	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ 𝑟 ∈ 𝐿) ∧ 𝑞 < 𝑟) → (𝐹‘𝑞) ∈ ℝ)
32		fveq2 5494	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑟 → (𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝑟))
33	32	eleq1d 2239	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑟 → ((𝐹‘𝑥) ∈ ℝ ↔ (𝐹‘𝑟) ∈ ℝ))
34		fveq2 5494	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑤 = 𝑟 → (𝐹‘𝑤) = (𝐹‘𝑟))
35	34	breq1d 3997	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑤 = 𝑟 → ((𝐹‘𝑤) < 𝑈 ↔ (𝐹‘𝑟) < 𝑈))
36	35, 21	elrab2 2889	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑟 ∈ 𝐿 ↔ (𝑟 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ (𝐹‘𝑟) < 𝑈))
37	36	simplbi 272	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑟 ∈ 𝐿 → 𝑟 ∈ (𝐴[,]𝐵))
38	37	ad2antlr 486	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ 𝑟 ∈ 𝐿) ∧ 𝑞 < 𝑟) → 𝑟 ∈ (𝐴[,]𝐵))
39	33, 30, 38	rspcdva 2839	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ 𝑟 ∈ 𝐿) ∧ 𝑞 < 𝑟) → (𝐹‘𝑟) ∈ ℝ)
40	5	ad3antrrr 489	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ 𝑟 ∈ 𝐿) ∧ 𝑞 < 𝑟) → 𝑈 ∈ ℝ)
41		simpr 109	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ 𝑟 ∈ 𝐿) ∧ 𝑞 < 𝑟) → 𝑞 < 𝑟)
42		breq2 3991	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 = 𝑟 → (𝑞 < 𝑦 ↔ 𝑞 < 𝑟))
43		fveq2 5494	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 = 𝑟 → (𝐹‘𝑦) = (𝐹‘𝑟))
44	43	breq2d 3999	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 = 𝑟 → ((𝐹‘𝑞) < (𝐹‘𝑦) ↔ (𝐹‘𝑞) < (𝐹‘𝑟)))
45	42, 44	imbi12d 233	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 = 𝑟 → ((𝑞 < 𝑦 → (𝐹‘𝑞) < (𝐹‘𝑦)) ↔ (𝑞 < 𝑟 → (𝐹‘𝑞) < (𝐹‘𝑟))))
46		breq1 3990	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = 𝑞 → (𝑥 < 𝑦 ↔ 𝑞 < 𝑦))
47	27	breq1d 3997	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = 𝑞 → ((𝐹‘𝑥) < (𝐹‘𝑦) ↔ (𝐹‘𝑞) < (𝐹‘𝑦)))
48	46, 47	imbi12d 233	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = 𝑞 → ((𝑥 < 𝑦 → (𝐹‘𝑥) < (𝐹‘𝑦)) ↔ (𝑞 < 𝑦 → (𝐹‘𝑞) < (𝐹‘𝑦))))
49	48	ralbidv 2470	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝑞 → (∀𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝑥 < 𝑦 → (𝐹‘𝑥) < (𝐹‘𝑦)) ↔ ∀𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝑞 < 𝑦 → (𝐹‘𝑞) < (𝐹‘𝑦))))
50	18	expr 373	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝑥 < 𝑦 → (𝐹‘𝑥) < (𝐹‘𝑦)))
51	50	ralrimiva 2543	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → ∀𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝑥 < 𝑦 → (𝐹‘𝑥) < (𝐹‘𝑦)))
52	51	ralrimiva 2543	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)∀𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝑥 < 𝑦 → (𝐹‘𝑥) < (𝐹‘𝑦)))
53	52	ad3antrrr 489	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ 𝑟 ∈ 𝐿) ∧ 𝑞 < 𝑟) → ∀𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)∀𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝑥 < 𝑦 → (𝐹‘𝑥) < (𝐹‘𝑦)))
54	49, 53, 26	rspcdva 2839	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ 𝑟 ∈ 𝐿) ∧ 𝑞 < 𝑟) → ∀𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝑞 < 𝑦 → (𝐹‘𝑞) < (𝐹‘𝑦)))
55	45, 54, 38	rspcdva 2839	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ 𝑟 ∈ 𝐿) ∧ 𝑞 < 𝑟) → (𝑞 < 𝑟 → (𝐹‘𝑞) < (𝐹‘𝑟)))
56	41, 55	mpd 13	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ 𝑟 ∈ 𝐿) ∧ 𝑞 < 𝑟) → (𝐹‘𝑞) < (𝐹‘𝑟))
57	36	simprbi 273	. . . . . . 7 ⊢ (𝑟 ∈ 𝐿 → (𝐹‘𝑟) < 𝑈)
58	57	ad2antlr 486	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ 𝑟 ∈ 𝐿) ∧ 𝑞 < 𝑟) → (𝐹‘𝑟) < 𝑈)
59	31, 39, 40, 56, 58	lttrd 8032	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ 𝑟 ∈ 𝐿) ∧ 𝑞 < 𝑟) → (𝐹‘𝑞) < 𝑈)
60		fveq2 5494	. . . . . . 7 ⊢ (𝑤 = 𝑞 → (𝐹‘𝑤) = (𝐹‘𝑞))
61	60	breq1d 3997	. . . . . 6 ⊢ (𝑤 = 𝑞 → ((𝐹‘𝑤) < 𝑈 ↔ (𝐹‘𝑞) < 𝑈))
62	61, 21	elrab2 2889	. . . . 5 ⊢ (𝑞 ∈ 𝐿 ↔ (𝑞 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ (𝐹‘𝑞) < 𝑈))
63	26, 59, 62	sylanbrc 415	. . . 4 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ 𝑟 ∈ 𝐿) ∧ 𝑞 < 𝑟) → 𝑞 ∈ 𝐿)
64	63	rexlimdva2 2590	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (∃𝑟 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑟 → 𝑞 ∈ 𝐿))
65	25, 64	impbid 128	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝑞 ∈ 𝐿 ↔ ∃𝑟 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑟))
66	65	ralrimiva 2543	1 ⊢ (𝜑 → ∀𝑞 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝑞 ∈ 𝐿 ↔ ∃𝑟 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑟))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   ↔ wb 104   = wceq 1348   ∈ wcel 2141  ∀wral 2448  ∃wrex 2449  {crab 2452   ⊆ wss 3121   class class class wbr 3987  ‘cfv 5196  (class class class)co 5850  ℂcc 7759  ℝcr 7760   < clt 7941  [,]cicc 9835  –cn→ccncf 13272

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-coll 4102  ax-sep 4105  ax-nul 4113  ax-pow 4158  ax-pr 4192  ax-un 4416  ax-setind 4519  ax-iinf 4570  ax-cnex 7852  ax-resscn 7853  ax-1cn 7854  ax-1re 7855  ax-icn 7856  ax-addcl 7857  ax-addrcl 7858  ax-mulcl 7859  ax-mulrcl 7860  ax-addcom 7861  ax-mulcom 7862  ax-addass 7863  ax-mulass 7864  ax-distr 7865  ax-i2m1 7866  ax-0lt1 7867  ax-1rid 7868  ax-0id 7869  ax-rnegex 7870  ax-precex 7871  ax-cnre 7872  ax-pre-ltirr 7873  ax-pre-ltwlin 7874  ax-pre-lttrn 7875  ax-pre-apti 7876  ax-pre-ltadd 7877  ax-pre-mulgt0 7878  ax-pre-mulext 7879  ax-arch 7880  ax-caucvg 7881

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 830  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-nel 2436  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rmo 2456  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-csb 3050  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-nul 3415  df-if 3526  df-pw 3566  df-sn 3587  df-pr 3588  df-op 3590  df-uni 3795  df-int 3830  df-iun 3873  df-br 3988  df-opab 4049  df-mpt 4050  df-tr 4086  df-id 4276  df-po 4279  df-iso 4280  df-iord 4349  df-on 4351  df-ilim 4352  df-suc 4354  df-iom 4573  df-xp 4615  df-rel 4616  df-cnv 4617  df-co 4618  df-dm 4619  df-rn 4620  df-res 4621  df-ima 4622  df-iota 5158  df-fun 5198  df-fn 5199  df-f 5200  df-f1 5201  df-fo 5202  df-f1o 5203  df-fv 5204  df-riota 5806  df-ov 5853  df-oprab 5854  df-mpo 5855  df-1st 6116  df-2nd 6117  df-recs 6281  df-frec 6367  df-map 6624  df-pnf 7943  df-mnf 7944  df-xr 7945  df-ltxr 7946  df-le 7947  df-sub 8079  df-neg 8080  df-reap 8481  df-ap 8488  df-div 8577  df-inn 8866  df-2 8924  df-3 8925  df-4 8926  df-n0 9123  df-z 9200  df-uz 9475  df-rp 9598  df-icc 9839  df-seqfrec 10389  df-exp 10463  df-cj 10793  df-re 10794  df-im 10795  df-rsqrt 10949  df-abs 10950  df-cncf 13273

This theorem is referenced by:  ivthinclemex  13335