Theorem ivthinclemlr 15354

Description: Lemma for ivthinc 15360. The lower cut is rounded. (Contributed by Jim Kingdon, 18-Feb-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
ivth.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
ivth.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
ivth.3	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ ℝ)
ivth.4	⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐵)
ivth.5	⊢ (𝜑 → (𝐴[,]𝐵) ⊆ 𝐷)
ivth.7	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝐷–cn→ℂ))
ivth.8	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝐹‘𝑥) ∈ ℝ)
ivth.9	⊢ (𝜑 → ((𝐹‘𝐴) < 𝑈 ∧ 𝑈 < (𝐹‘𝐵)))
ivthinc.i	⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑥 < 𝑦)) → (𝐹‘𝑥) < (𝐹‘𝑦))
ivthinclem.l	⊢ 𝐿 = {𝑤 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∣ (𝐹‘𝑤) < 𝑈}
ivthinclem.r	⊢ 𝑅 = {𝑤 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∣ 𝑈 < (𝐹‘𝑤)}

Assertion

Ref	Expression
ivthinclemlr	⊢ (𝜑 → ∀𝑞 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝑞 ∈ 𝐿 ↔ ∃𝑟 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑟))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑟,𝑤   𝑥,𝐴,𝑦,𝑟   𝐵,𝑟,𝑤   𝑥,𝐵,𝑦   𝑤,𝐹   𝑥,𝐹,𝑦   𝐿,𝑟,𝑥,𝑦   𝑤,𝑈   𝜑,𝑞,𝑟,𝑥,𝑦   𝑤,𝑞

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑤)   𝐴(𝑞)   𝐵(𝑞)   𝐷(𝑥,𝑦,𝑤,𝑟,𝑞)   𝑅(𝑥,𝑦,𝑤,𝑟,𝑞)   𝑈(𝑥,𝑦,𝑟,𝑞)   𝐹(𝑟,𝑞)   𝐿(𝑤,𝑞)

Proof of Theorem ivthinclemlr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ivth.1	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2	1	ad2antrr 488	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ 𝑞 ∈ 𝐿) → 𝐴 ∈ ℝ)
3		ivth.2	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
4	3	ad2antrr 488	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ 𝑞 ∈ 𝐿) → 𝐵 ∈ ℝ)
5		ivth.3	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ ℝ)
6	5	ad2antrr 488	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ 𝑞 ∈ 𝐿) → 𝑈 ∈ ℝ)
7		ivth.4	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐵)
8	7	ad2antrr 488	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ 𝑞 ∈ 𝐿) → 𝐴 < 𝐵)
9		ivth.5	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐴[,]𝐵) ⊆ 𝐷)
10	9	ad2antrr 488	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ 𝑞 ∈ 𝐿) → (𝐴[,]𝐵) ⊆ 𝐷)
11		ivth.7	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝐷–cn→ℂ))
12	11	ad2antrr 488	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ 𝑞 ∈ 𝐿) → 𝐹 ∈ (𝐷–cn→ℂ))
13		ivth.8	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝐹‘𝑥) ∈ ℝ)
14	13	adantlr 477	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝐹‘𝑥) ∈ ℝ)
15	14	adantlr 477	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ 𝑞 ∈ 𝐿) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝐹‘𝑥) ∈ ℝ)
16		ivth.9	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐹‘𝐴) < 𝑈 ∧ 𝑈 < (𝐹‘𝐵)))
17	16	ad2antrr 488	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ 𝑞 ∈ 𝐿) → ((𝐹‘𝐴) < 𝑈 ∧ 𝑈 < (𝐹‘𝐵)))
18		ivthinc.i	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑥 < 𝑦)) → (𝐹‘𝑥) < (𝐹‘𝑦))
19	18	adantllr 481	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑥 < 𝑦)) → (𝐹‘𝑥) < (𝐹‘𝑦))
20	19	adantllr 481	. . . . 5 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ 𝑞 ∈ 𝐿) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑥 < 𝑦)) → (𝐹‘𝑥) < (𝐹‘𝑦))
21		ivthinclem.l	. . . . 5 ⊢ 𝐿 = {𝑤 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∣ (𝐹‘𝑤) < 𝑈}
22		ivthinclem.r	. . . . 5 ⊢ 𝑅 = {𝑤 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∣ 𝑈 < (𝐹‘𝑤)}
23		simpr 110	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ 𝑞 ∈ 𝐿) → 𝑞 ∈ 𝐿)
24	2, 4, 6, 8, 10, 12, 15, 17, 20, 21, 22, 23	ivthinclemlopn 15353	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ 𝑞 ∈ 𝐿) → ∃𝑟 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑟)
25	24	ex 115	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝑞 ∈ 𝐿 → ∃𝑟 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑟))
26		simpllr 534	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ 𝑟 ∈ 𝐿) ∧ 𝑞 < 𝑟) → 𝑞 ∈ (𝐴[,]𝐵))
27		fveq2 5635	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑞 → (𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝑞))
28	27	eleq1d 2298	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑞 → ((𝐹‘𝑥) ∈ ℝ ↔ (𝐹‘𝑞) ∈ ℝ))
29	13	ralrimiva 2603	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝐹‘𝑥) ∈ ℝ)
30	29	ad3antrrr 492	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ 𝑟 ∈ 𝐿) ∧ 𝑞 < 𝑟) → ∀𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝐹‘𝑥) ∈ ℝ)
31	28, 30, 26	rspcdva 2913	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ 𝑟 ∈ 𝐿) ∧ 𝑞 < 𝑟) → (𝐹‘𝑞) ∈ ℝ)
32		fveq2 5635	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑟 → (𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝑟))
33	32	eleq1d 2298	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑟 → ((𝐹‘𝑥) ∈ ℝ ↔ (𝐹‘𝑟) ∈ ℝ))
34		fveq2 5635	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑤 = 𝑟 → (𝐹‘𝑤) = (𝐹‘𝑟))
35	34	breq1d 4096	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑤 = 𝑟 → ((𝐹‘𝑤) < 𝑈 ↔ (𝐹‘𝑟) < 𝑈))
36	35, 21	elrab2 2963	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑟 ∈ 𝐿 ↔ (𝑟 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ (𝐹‘𝑟) < 𝑈))
37	36	simplbi 274	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑟 ∈ 𝐿 → 𝑟 ∈ (𝐴[,]𝐵))
38	37	ad2antlr 489	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ 𝑟 ∈ 𝐿) ∧ 𝑞 < 𝑟) → 𝑟 ∈ (𝐴[,]𝐵))
39	33, 30, 38	rspcdva 2913	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ 𝑟 ∈ 𝐿) ∧ 𝑞 < 𝑟) → (𝐹‘𝑟) ∈ ℝ)
40	5	ad3antrrr 492	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ 𝑟 ∈ 𝐿) ∧ 𝑞 < 𝑟) → 𝑈 ∈ ℝ)
41		simpr 110	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ 𝑟 ∈ 𝐿) ∧ 𝑞 < 𝑟) → 𝑞 < 𝑟)
42		breq2 4090	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 = 𝑟 → (𝑞 < 𝑦 ↔ 𝑞 < 𝑟))
43		fveq2 5635	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 = 𝑟 → (𝐹‘𝑦) = (𝐹‘𝑟))
44	43	breq2d 4098	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 = 𝑟 → ((𝐹‘𝑞) < (𝐹‘𝑦) ↔ (𝐹‘𝑞) < (𝐹‘𝑟)))
45	42, 44	imbi12d 234	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 = 𝑟 → ((𝑞 < 𝑦 → (𝐹‘𝑞) < (𝐹‘𝑦)) ↔ (𝑞 < 𝑟 → (𝐹‘𝑞) < (𝐹‘𝑟))))
46		breq1 4089	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = 𝑞 → (𝑥 < 𝑦 ↔ 𝑞 < 𝑦))
47	27	breq1d 4096	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = 𝑞 → ((𝐹‘𝑥) < (𝐹‘𝑦) ↔ (𝐹‘𝑞) < (𝐹‘𝑦)))
48	46, 47	imbi12d 234	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = 𝑞 → ((𝑥 < 𝑦 → (𝐹‘𝑥) < (𝐹‘𝑦)) ↔ (𝑞 < 𝑦 → (𝐹‘𝑞) < (𝐹‘𝑦))))
49	48	ralbidv 2530	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝑞 → (∀𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝑥 < 𝑦 → (𝐹‘𝑥) < (𝐹‘𝑦)) ↔ ∀𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝑞 < 𝑦 → (𝐹‘𝑞) < (𝐹‘𝑦))))
50	18	expr 375	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝑥 < 𝑦 → (𝐹‘𝑥) < (𝐹‘𝑦)))
51	50	ralrimiva 2603	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → ∀𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝑥 < 𝑦 → (𝐹‘𝑥) < (𝐹‘𝑦)))
52	51	ralrimiva 2603	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)∀𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝑥 < 𝑦 → (𝐹‘𝑥) < (𝐹‘𝑦)))
53	52	ad3antrrr 492	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ 𝑟 ∈ 𝐿) ∧ 𝑞 < 𝑟) → ∀𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)∀𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝑥 < 𝑦 → (𝐹‘𝑥) < (𝐹‘𝑦)))
54	49, 53, 26	rspcdva 2913	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ 𝑟 ∈ 𝐿) ∧ 𝑞 < 𝑟) → ∀𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝑞 < 𝑦 → (𝐹‘𝑞) < (𝐹‘𝑦)))
55	45, 54, 38	rspcdva 2913	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ 𝑟 ∈ 𝐿) ∧ 𝑞 < 𝑟) → (𝑞 < 𝑟 → (𝐹‘𝑞) < (𝐹‘𝑟)))
56	41, 55	mpd 13	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ 𝑟 ∈ 𝐿) ∧ 𝑞 < 𝑟) → (𝐹‘𝑞) < (𝐹‘𝑟))
57	36	simprbi 275	. . . . . . 7 ⊢ (𝑟 ∈ 𝐿 → (𝐹‘𝑟) < 𝑈)
58	57	ad2antlr 489	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ 𝑟 ∈ 𝐿) ∧ 𝑞 < 𝑟) → (𝐹‘𝑟) < 𝑈)
59	31, 39, 40, 56, 58	lttrd 8298	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ 𝑟 ∈ 𝐿) ∧ 𝑞 < 𝑟) → (𝐹‘𝑞) < 𝑈)
60		fveq2 5635	. . . . . . 7 ⊢ (𝑤 = 𝑞 → (𝐹‘𝑤) = (𝐹‘𝑞))
61	60	breq1d 4096	. . . . . 6 ⊢ (𝑤 = 𝑞 → ((𝐹‘𝑤) < 𝑈 ↔ (𝐹‘𝑞) < 𝑈))
62	61, 21	elrab2 2963	. . . . 5 ⊢ (𝑞 ∈ 𝐿 ↔ (𝑞 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ (𝐹‘𝑞) < 𝑈))
63	26, 59, 62	sylanbrc 417	. . . 4 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ 𝑟 ∈ 𝐿) ∧ 𝑞 < 𝑟) → 𝑞 ∈ 𝐿)
64	63	rexlimdva2 2651	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (∃𝑟 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑟 → 𝑞 ∈ 𝐿))
65	25, 64	impbid 129	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝑞 ∈ 𝐿 ↔ ∃𝑟 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑟))
66	65	ralrimiva 2603	1 ⊢ (𝜑 → ∀𝑞 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝑞 ∈ 𝐿 ↔ ∃𝑟 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑟))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1395   ∈ wcel 2200  ∀wral 2508  ∃wrex 2509  {crab 2512   ⊆ wss 3198   class class class wbr 4086  ‘cfv 5324  (class class class)co 6013  ℂcc 8023  ℝcr 8024   < clt 8207  [,]cicc 10119  –cn→ccncf 15287

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4202  ax-sep 4205  ax-nul 4213  ax-pow 4262  ax-pr 4297  ax-un 4528  ax-setind 4633  ax-iinf 4684  ax-cnex 8116  ax-resscn 8117  ax-1cn 8118  ax-1re 8119  ax-icn 8120  ax-addcl 8121  ax-addrcl 8122  ax-mulcl 8123  ax-mulrcl 8124  ax-addcom 8125  ax-mulcom 8126  ax-addass 8127  ax-mulass 8128  ax-distr 8129  ax-i2m1 8130  ax-0lt1 8131  ax-1rid 8132  ax-0id 8133  ax-rnegex 8134  ax-precex 8135  ax-cnre 8136  ax-pre-ltirr 8137  ax-pre-ltwlin 8138  ax-pre-lttrn 8139  ax-pre-apti 8140  ax-pre-ltadd 8141  ax-pre-mulgt0 8142  ax-pre-mulext 8143  ax-arch 8144  ax-caucvg 8145

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 840  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rmo 2516  df-rab 2517  df-v 2802  df-sbc 3030  df-csb 3126  df-dif 3200  df-un 3202  df-in 3204  df-ss 3211  df-nul 3493  df-if 3604  df-pw 3652  df-sn 3673  df-pr 3674  df-op 3676  df-uni 3892  df-int 3927  df-iun 3970  df-br 4087  df-opab 4149  df-mpt 4150  df-tr 4186  df-id 4388  df-po 4391  df-iso 4392  df-iord 4461  df-on 4463  df-ilim 4464  df-suc 4466  df-iom 4687  df-xp 4729  df-rel 4730  df-cnv 4731  df-co 4732  df-dm 4733  df-rn 4734  df-res 4735  df-ima 4736  df-iota 5284  df-fun 5326  df-fn 5327  df-f 5328  df-f1 5329  df-fo 5330  df-f1o 5331  df-fv 5332  df-riota 5966  df-ov 6016  df-oprab 6017  df-mpo 6018  df-1st 6298  df-2nd 6299  df-recs 6466  df-frec 6552  df-map 6814  df-pnf 8209  df-mnf 8210  df-xr 8211  df-ltxr 8212  df-le 8213  df-sub 8345  df-neg 8346  df-reap 8748  df-ap 8755  df-div 8846  df-inn 9137  df-2 9195  df-3 9196  df-4 9197  df-n0 9396  df-z 9473  df-uz 9749  df-rp 9882  df-icc 10123  df-seqfrec 10703  df-exp 10794  df-cj 11396  df-re 11397  df-im 11398  df-rsqrt 11552  df-abs 11553  df-cncf 15288

This theorem is referenced by:  ivthinclemex  15359