Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  ivthinclemlr GIF version

Theorem ivthinclemlr 12773
 Description: Lemma for ivthinc 12779. The lower cut is rounded. (Contributed by Jim Kingdon, 18-Feb-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
ivth.1 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
ivth.2 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
ivth.3 (𝜑𝑈 ∈ ℝ)
ivth.4 (𝜑𝐴 < 𝐵)
ivth.5 (𝜑 → (𝐴[,]𝐵) ⊆ 𝐷)
ivth.7 (𝜑𝐹 ∈ (𝐷cn→ℂ))
ivth.8 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝐹𝑥) ∈ ℝ)
ivth.9 (𝜑 → ((𝐹𝐴) < 𝑈𝑈 < (𝐹𝐵)))
ivthinc.i (((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑥 < 𝑦)) → (𝐹𝑥) < (𝐹𝑦))
ivthinclem.l 𝐿 = {𝑤 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∣ (𝐹𝑤) < 𝑈}
ivthinclem.r 𝑅 = {𝑤 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∣ 𝑈 < (𝐹𝑤)}
Assertion
Ref Expression
ivthinclemlr (𝜑 → ∀𝑞 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝑞𝐿 ↔ ∃𝑟𝐿 𝑞 < 𝑟))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑟,𝑤   𝑥,𝐴,𝑦,𝑟   𝐵,𝑟,𝑤   𝑥,𝐵,𝑦   𝑤,𝐹   𝑥,𝐹,𝑦   𝐿,𝑟,𝑥,𝑦   𝑤,𝑈   𝜑,𝑞,𝑟,𝑥,𝑦   𝑤,𝑞
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑤)   𝐴(𝑞)   𝐵(𝑞)   𝐷(𝑥,𝑦,𝑤,𝑟,𝑞)   𝑅(𝑥,𝑦,𝑤,𝑟,𝑞)   𝑈(𝑥,𝑦,𝑟,𝑞)   𝐹(𝑟,𝑞)   𝐿(𝑤,𝑞)

Proof of Theorem ivthinclemlr
StepHypRef Expression
1 ivth.1 . . . . . 6 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
21ad2antrr 479 . . . . 5 (((𝜑𝑞 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ 𝑞𝐿) → 𝐴 ∈ ℝ)
3 ivth.2 . . . . . 6 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
43ad2antrr 479 . . . . 5 (((𝜑𝑞 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ 𝑞𝐿) → 𝐵 ∈ ℝ)
5 ivth.3 . . . . . 6 (𝜑𝑈 ∈ ℝ)
65ad2antrr 479 . . . . 5 (((𝜑𝑞 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ 𝑞𝐿) → 𝑈 ∈ ℝ)
7 ivth.4 . . . . . 6 (𝜑𝐴 < 𝐵)
87ad2antrr 479 . . . . 5 (((𝜑𝑞 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ 𝑞𝐿) → 𝐴 < 𝐵)
9 ivth.5 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐴[,]𝐵) ⊆ 𝐷)
109ad2antrr 479 . . . . 5 (((𝜑𝑞 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ 𝑞𝐿) → (𝐴[,]𝐵) ⊆ 𝐷)
11 ivth.7 . . . . . 6 (𝜑𝐹 ∈ (𝐷cn→ℂ))
1211ad2antrr 479 . . . . 5 (((𝜑𝑞 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ 𝑞𝐿) → 𝐹 ∈ (𝐷cn→ℂ))
13 ivth.8 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝐹𝑥) ∈ ℝ)
1413adantlr 468 . . . . . 6 (((𝜑𝑞 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝐹𝑥) ∈ ℝ)
1514adantlr 468 . . . . 5 ((((𝜑𝑞 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ 𝑞𝐿) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝐹𝑥) ∈ ℝ)
16 ivth.9 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝐹𝐴) < 𝑈𝑈 < (𝐹𝐵)))
1716ad2antrr 479 . . . . 5 (((𝜑𝑞 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ 𝑞𝐿) → ((𝐹𝐴) < 𝑈𝑈 < (𝐹𝐵)))
18 ivthinc.i . . . . . . 7 (((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑥 < 𝑦)) → (𝐹𝑥) < (𝐹𝑦))
1918adantllr 472 . . . . . 6 ((((𝜑𝑞 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑥 < 𝑦)) → (𝐹𝑥) < (𝐹𝑦))
2019adantllr 472 . . . . 5 (((((𝜑𝑞 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ 𝑞𝐿) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑥 < 𝑦)) → (𝐹𝑥) < (𝐹𝑦))
21 ivthinclem.l . . . . 5 𝐿 = {𝑤 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∣ (𝐹𝑤) < 𝑈}
22 ivthinclem.r . . . . 5 𝑅 = {𝑤 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∣ 𝑈 < (𝐹𝑤)}
23 simpr 109 . . . . 5 (((𝜑𝑞 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ 𝑞𝐿) → 𝑞𝐿)
242, 4, 6, 8, 10, 12, 15, 17, 20, 21, 22, 23ivthinclemlopn 12772 . . . 4 (((𝜑𝑞 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ 𝑞𝐿) → ∃𝑟𝐿 𝑞 < 𝑟)
2524ex 114 . . 3 ((𝜑𝑞 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝑞𝐿 → ∃𝑟𝐿 𝑞 < 𝑟))
26 simpllr 523 . . . . 5 ((((𝜑𝑞 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ 𝑟𝐿) ∧ 𝑞 < 𝑟) → 𝑞 ∈ (𝐴[,]𝐵))
27 fveq2 5414 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑞 → (𝐹𝑥) = (𝐹𝑞))
2827eleq1d 2206 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑞 → ((𝐹𝑥) ∈ ℝ ↔ (𝐹𝑞) ∈ ℝ))
2913ralrimiva 2503 . . . . . . . 8 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝐹𝑥) ∈ ℝ)
3029ad3antrrr 483 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑞 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ 𝑟𝐿) ∧ 𝑞 < 𝑟) → ∀𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝐹𝑥) ∈ ℝ)
3128, 30, 26rspcdva 2789 . . . . . 6 ((((𝜑𝑞 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ 𝑟𝐿) ∧ 𝑞 < 𝑟) → (𝐹𝑞) ∈ ℝ)
32 fveq2 5414 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑟 → (𝐹𝑥) = (𝐹𝑟))
3332eleq1d 2206 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑟 → ((𝐹𝑥) ∈ ℝ ↔ (𝐹𝑟) ∈ ℝ))
34 fveq2 5414 . . . . . . . . . . 11 (𝑤 = 𝑟 → (𝐹𝑤) = (𝐹𝑟))
3534breq1d 3934 . . . . . . . . . 10 (𝑤 = 𝑟 → ((𝐹𝑤) < 𝑈 ↔ (𝐹𝑟) < 𝑈))
3635, 21elrab2 2838 . . . . . . . . 9 (𝑟𝐿 ↔ (𝑟 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ (𝐹𝑟) < 𝑈))
3736simplbi 272 . . . . . . . 8 (𝑟𝐿𝑟 ∈ (𝐴[,]𝐵))
3837ad2antlr 480 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑞 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ 𝑟𝐿) ∧ 𝑞 < 𝑟) → 𝑟 ∈ (𝐴[,]𝐵))
3933, 30, 38rspcdva 2789 . . . . . 6 ((((𝜑𝑞 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ 𝑟𝐿) ∧ 𝑞 < 𝑟) → (𝐹𝑟) ∈ ℝ)
405ad3antrrr 483 . . . . . 6 ((((𝜑𝑞 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ 𝑟𝐿) ∧ 𝑞 < 𝑟) → 𝑈 ∈ ℝ)
41 simpr 109 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑞 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ 𝑟𝐿) ∧ 𝑞 < 𝑟) → 𝑞 < 𝑟)
42 breq2 3928 . . . . . . . . 9 (𝑦 = 𝑟 → (𝑞 < 𝑦𝑞 < 𝑟))
43 fveq2 5414 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = 𝑟 → (𝐹𝑦) = (𝐹𝑟))
4443breq2d 3936 . . . . . . . . 9 (𝑦 = 𝑟 → ((𝐹𝑞) < (𝐹𝑦) ↔ (𝐹𝑞) < (𝐹𝑟)))
4542, 44imbi12d 233 . . . . . . . 8 (𝑦 = 𝑟 → ((𝑞 < 𝑦 → (𝐹𝑞) < (𝐹𝑦)) ↔ (𝑞 < 𝑟 → (𝐹𝑞) < (𝐹𝑟))))
46 breq1 3927 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = 𝑞 → (𝑥 < 𝑦𝑞 < 𝑦))
4727breq1d 3934 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = 𝑞 → ((𝐹𝑥) < (𝐹𝑦) ↔ (𝐹𝑞) < (𝐹𝑦)))
4846, 47imbi12d 233 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 𝑞 → ((𝑥 < 𝑦 → (𝐹𝑥) < (𝐹𝑦)) ↔ (𝑞 < 𝑦 → (𝐹𝑞) < (𝐹𝑦))))
4948ralbidv 2435 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝑞 → (∀𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝑥 < 𝑦 → (𝐹𝑥) < (𝐹𝑦)) ↔ ∀𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝑞 < 𝑦 → (𝐹𝑞) < (𝐹𝑦))))
5018expr 372 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝑥 < 𝑦 → (𝐹𝑥) < (𝐹𝑦)))
5150ralrimiva 2503 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → ∀𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝑥 < 𝑦 → (𝐹𝑥) < (𝐹𝑦)))
5251ralrimiva 2503 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)∀𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝑥 < 𝑦 → (𝐹𝑥) < (𝐹𝑦)))
5352ad3antrrr 483 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑞 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ 𝑟𝐿) ∧ 𝑞 < 𝑟) → ∀𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)∀𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝑥 < 𝑦 → (𝐹𝑥) < (𝐹𝑦)))
5449, 53, 26rspcdva 2789 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑞 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ 𝑟𝐿) ∧ 𝑞 < 𝑟) → ∀𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝑞 < 𝑦 → (𝐹𝑞) < (𝐹𝑦)))
5545, 54, 38rspcdva 2789 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑞 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ 𝑟𝐿) ∧ 𝑞 < 𝑟) → (𝑞 < 𝑟 → (𝐹𝑞) < (𝐹𝑟)))
5641, 55mpd 13 . . . . . 6 ((((𝜑𝑞 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ 𝑟𝐿) ∧ 𝑞 < 𝑟) → (𝐹𝑞) < (𝐹𝑟))
5736simprbi 273 . . . . . . 7 (𝑟𝐿 → (𝐹𝑟) < 𝑈)
5857ad2antlr 480 . . . . . 6 ((((𝜑𝑞 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ 𝑟𝐿) ∧ 𝑞 < 𝑟) → (𝐹𝑟) < 𝑈)
5931, 39, 40, 56, 58lttrd 7881 . . . . 5 ((((𝜑𝑞 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ 𝑟𝐿) ∧ 𝑞 < 𝑟) → (𝐹𝑞) < 𝑈)
60 fveq2 5414 . . . . . . 7 (𝑤 = 𝑞 → (𝐹𝑤) = (𝐹𝑞))
6160breq1d 3934 . . . . . 6 (𝑤 = 𝑞 → ((𝐹𝑤) < 𝑈 ↔ (𝐹𝑞) < 𝑈))
6261, 21elrab2 2838 . . . . 5 (𝑞𝐿 ↔ (𝑞 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ (𝐹𝑞) < 𝑈))
6326, 59, 62sylanbrc 413 . . . 4 ((((𝜑𝑞 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ 𝑟𝐿) ∧ 𝑞 < 𝑟) → 𝑞𝐿)
6463rexlimdva2 2550 . . 3 ((𝜑𝑞 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (∃𝑟𝐿 𝑞 < 𝑟𝑞𝐿))
6525, 64impbid 128 . 2 ((𝜑𝑞 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝑞𝐿 ↔ ∃𝑟𝐿 𝑞 < 𝑟))
6665ralrimiva 2503 1 (𝜑 → ∀𝑞 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝑞𝐿 ↔ ∃𝑟𝐿 𝑞 < 𝑟))
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   ↔ wb 104   = wceq 1331   ∈ wcel 1480  ∀wral 2414  ∃wrex 2415  {crab 2418   ⊆ wss 3066   class class class wbr 3924  ‘cfv 5118  (class class class)co 5767  ℂcc 7611  ℝcr 7612   < clt 7793  [,]cicc 9667  –cn→ccncf 12715 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2119  ax-coll 4038  ax-sep 4041  ax-nul 4049  ax-pow 4093  ax-pr 4126  ax-un 4350  ax-setind 4447  ax-iinf 4497  ax-cnex 7704  ax-resscn 7705  ax-1cn 7706  ax-1re 7707  ax-icn 7708  ax-addcl 7709  ax-addrcl 7710  ax-mulcl 7711  ax-mulrcl 7712  ax-addcom 7713  ax-mulcom 7714  ax-addass 7715  ax-mulass 7716  ax-distr 7717  ax-i2m1 7718  ax-0lt1 7719  ax-1rid 7720  ax-0id 7721  ax-rnegex 7722  ax-precex 7723  ax-cnre 7724  ax-pre-ltirr 7725  ax-pre-ltwlin 7726  ax-pre-lttrn 7727  ax-pre-apti 7728  ax-pre-ltadd 7729  ax-pre-mulgt0 7730  ax-pre-mulext 7731  ax-arch 7732  ax-caucvg 7733 This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 820  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2000  df-mo 2001  df-clab 2124  df-cleq 2130  df-clel 2133  df-nfc 2268  df-ne 2307  df-nel 2402  df-ral 2419  df-rex 2420  df-reu 2421  df-rmo 2422  df-rab 2423  df-v 2683  df-sbc 2905  df-csb 2999  df-dif 3068  df-un 3070  df-in 3072  df-ss 3079  df-nul 3359  df-if 3470  df-pw 3507  df-sn 3528  df-pr 3529  df-op 3531  df-uni 3732  df-int 3767  df-iun 3810  df-br 3925  df-opab 3985  df-mpt 3986  df-tr 4022  df-id 4210  df-po 4213  df-iso 4214  df-iord 4283  df-on 4285  df-ilim 4286  df-suc 4288  df-iom 4500  df-xp 4540  df-rel 4541  df-cnv 4542  df-co 4543  df-dm 4544  df-rn 4545  df-res 4546  df-ima 4547  df-iota 5083  df-fun 5120  df-fn 5121  df-f 5122  df-f1 5123  df-fo 5124  df-f1o 5125  df-fv 5126  df-riota 5723  df-ov 5770  df-oprab 5771  df-mpo 5772  df-1st 6031  df-2nd 6032  df-recs 6195  df-frec 6281  df-map 6537  df-pnf 7795  df-mnf 7796  df-xr 7797  df-ltxr 7798  df-le 7799  df-sub 7928  df-neg 7929  df-reap 8330  df-ap 8337  df-div 8426  df-inn 8714  df-2 8772  df-3 8773  df-4 8774  df-n0 8971  df-z 9048  df-uz 9320  df-rp 9435  df-icc 9671  df-seqfrec 10212  df-exp 10286  df-cj 10607  df-re 10608  df-im 10609  df-rsqrt 10763  df-abs 10764  df-cncf 12716 This theorem is referenced by:  ivthinclemex  12778
 Copyright terms: Public domain W3C validator