Theorem mplbas 15223

Description: Base set of the set of multivariate polynomials. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Jan-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 2-Oct-2015.) (Revised by AV, 25-Jun-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
mplval.p	⊢ 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
mplval.s	⊢ 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
mplval.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑆)
mplval.z	⊢ 0 = (0g‘𝑅)
mplbas.u	⊢ 𝑈 = (Base‘𝑃)

Assertion

Ref	Expression
mplbas	⊢ 𝑈 = {𝑓 ∈ 𝐵 ∣ 𝑓 finSupp 0 }

Distinct variable groups:   𝐵,𝑓   𝑓,𝐼   𝑅,𝑓   0 ,𝑓

Allowed substitution hints:   𝑃(𝑓)   𝑆(𝑓)   𝑈(𝑓)

Proof of Theorem mplbas

Dummy variables 𝑖 𝑟 𝑤 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		reldmmpl 15221	. . . 4 ⊢ Rel dom mPoly
2		df-mpl 15158	. . . . . 6 ⊢ mPoly = (𝑖 ∈ V, 𝑟 ∈ V ↦ ⦋(𝑖 mPwSer 𝑟) / 𝑤⦌(𝑤 ↾s {𝑓 ∈ (Base‘𝑤) ∣ 𝑓 finSupp (0g‘𝑟)}))
3	2	mpofun 6193	. . . . 5 ⊢ Fun mPoly
4		funrel 5397	. . . . 5 ⊢ (Fun mPoly → Rel mPoly )
5	3, 4	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ Rel mPoly
6		mplval.p	. . . 4 ⊢ 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
7		mplbas.u	. . . 4 ⊢ 𝑈 = (Base‘𝑃)
8	1, 5, 6, 7	relelbasov 13473	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑈 → (𝐼 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V))
9		elrabi 2979	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑓 ∈ 𝐵 ∣ 𝑓 finSupp 0 } → 𝑥 ∈ 𝐵)
10		reldmpsr 15159	. . . . 5 ⊢ Rel dom mPwSer
11		fnpsr 15161	. . . . . 6 ⊢ mPwSer Fn (V × V)
12		fnrel 5482	. . . . . 6 ⊢ ( mPwSer Fn (V × V) → Rel mPwSer )
13	11, 12	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ Rel mPwSer
14		mplval.s	. . . . 5 ⊢ 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
15		mplval.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑆)
16	10, 13, 14, 15	relelbasov 13473	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐵 → (𝐼 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V))
17	9, 16	syl 14	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑓 ∈ 𝐵 ∣ 𝑓 finSupp 0 } → (𝐼 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V))
18		mplval.z	. . . . . . 7 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
19		eqid 2238	. . . . . . 7 ⊢ {𝑓 ∈ 𝐵 ∣ 𝑓 finSupp 0 } = {𝑓 ∈ 𝐵 ∣ 𝑓 finSupp 0 }
20	6, 14, 15, 18, 19	mplvalg 15222	. . . . . 6 ⊢ ((𝐼 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V) → 𝑃 = (𝑆 ↾s {𝑓 ∈ 𝐵 ∣ 𝑓 finSupp 0 }))
21	15	a1i 9	. . . . . 6 ⊢ ((𝐼 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V) → 𝐵 = (Base‘𝑆))
22		fnovex 6121	. . . . . . . 8 ⊢ (( mPwSer Fn (V × V) ∧ 𝐼 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V) → (𝐼 mPwSer 𝑅) ∈ V)
23	11, 22	mp3an1 1365	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐼 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V) → (𝐼 mPwSer 𝑅) ∈ V)
24	14, 23	eqeltrid 2325	. . . . . 6 ⊢ ((𝐼 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V) → 𝑆 ∈ V)
25		ssrab2 3333	. . . . . . 7 ⊢ {𝑓 ∈ 𝐵 ∣ 𝑓 finSupp 0 } ⊆ 𝐵
26	25	a1i 9	. . . . . 6 ⊢ ((𝐼 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V) → {𝑓 ∈ 𝐵 ∣ 𝑓 finSupp 0 } ⊆ 𝐵)
27	20, 21, 24, 26	ressbas2d 13480	. . . . 5 ⊢ ((𝐼 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V) → {𝑓 ∈ 𝐵 ∣ 𝑓 finSupp 0 } = (Base‘𝑃))
28	7, 27	eqtr4id 2290	. . . 4 ⊢ ((𝐼 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V) → 𝑈 = {𝑓 ∈ 𝐵 ∣ 𝑓 finSupp 0 })
29	28	eleq2d 2308	. . 3 ⊢ ((𝐼 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V) → (𝑥 ∈ 𝑈 ↔ 𝑥 ∈ {𝑓 ∈ 𝐵 ∣ 𝑓 finSupp 0 }))
30	8, 17, 29	pm5.21nii 716	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑈 ↔ 𝑥 ∈ {𝑓 ∈ 𝐵 ∣ 𝑓 finSupp 0 })
31	30	eqriv 2235	1 ⊢ 𝑈 = {𝑓 ∈ 𝐵 ∣ 𝑓 finSupp 0 }

This proof depends on syntax axioms:   ∧ wa 104   = wceq 1402   ∈ wcel 2209  {crab 2532  Vcvv 2821  ⦋csb 3147   ⊆ wss 3220   class class class wbr 4131   × cxp 4774  Rel wrel 4781  Fun wfun 5374   Fn wfn 5375  ‘cfv 5380  (class class class)co 6088   finSupp cfsupp 7292  Basecbs 13409   ↾_s cress 13410  0_gc0g 13668   mPwSer cmps 15153   mPoly cmpl 15155

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4248  ax-sep 4251  ax-pow 4313  ax-pr 4348  ax-un 4580  ax-setind 4686  ax-cnex 8276  ax-resscn 8277  ax-1cn 8278  ax-1re 8279  ax-icn 8280  ax-addcl 8281  ax-addrcl 8282  ax-mulcl 8283  ax-i2m1 8290

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-tp 3717  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4132  df-opab 4194  df-mpt 4195  df-id 4440  df-xp 4782  df-rel 4783  df-cnv 4784  df-co 4785  df-dm 4786  df-rn 4787  df-res 4788  df-ima 4789  df-iota 5340  df-fun 5382  df-fn 5383  df-f 5384  df-f1 5385  df-fo 5386  df-f1o 5387  df-fv 5388  df-ov 6091  df-oprab 6092  df-mpo 6093  df-of 6305  df-1st 6378  df-2nd 6379  df-map 6929  df-ixp 6987  df-inn 9314  df-2 9372  df-3 9373  df-4 9374  df-5 9375  df-6 9376  df-7 9377  df-8 9378  df-9 9379  df-n0 9575  df-ndx 13412  df-slot 13413  df-base 13415  df-sets 13416  df-iress 13417  df-plusg 13502  df-mulr 13503  df-sca 13505  df-vsca 13506  df-tset 13508  df-rest 13653  df-topn 13654  df-topgen 13672  df-pt 13673  df-psr 15156  df-mpl 15158

This theorem is used by:  mplelbas  15224  mplval2g  15228  mplbasss  15229