Theorem zapne 9730

Description: Apartness is equivalent to not equal for integers. (Contributed by Jim Kingdon, 14-Mar-2020.)

Assertion

Ref	Expression
zapne	⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 # 𝑁 ↔ 𝑀 ≠ 𝑁))

Proof of Theorem zapne

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zcn 9660	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℂ)
2		zcn 9660	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℂ)
3		apne 8959	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ) → (𝑀 # 𝑁 → 𝑀 ≠ 𝑁))
4	1, 2, 3	syl2an 289	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 # 𝑁 → 𝑀 ≠ 𝑁))
5		df-ne 2421	. . 3 ⊢ (𝑀 ≠ 𝑁 ↔ ¬ 𝑀 = 𝑁)
6		ztri3or 9698	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 < 𝑁 ∨ 𝑀 = 𝑁 ∨ 𝑁 < 𝑀))
7		3orrot 1015	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 < 𝑁 ∨ 𝑀 = 𝑁 ∨ 𝑁 < 𝑀) ↔ (𝑀 = 𝑁 ∨ 𝑁 < 𝑀 ∨ 𝑀 < 𝑁))
8		3orass 1012	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 = 𝑁 ∨ 𝑁 < 𝑀 ∨ 𝑀 < 𝑁) ↔ (𝑀 = 𝑁 ∨ (𝑁 < 𝑀 ∨ 𝑀 < 𝑁)))
9	7, 8	bitri 184	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 < 𝑁 ∨ 𝑀 = 𝑁 ∨ 𝑁 < 𝑀) ↔ (𝑀 = 𝑁 ∨ (𝑁 < 𝑀 ∨ 𝑀 < 𝑁)))
10	6, 9	sylib 122	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 = 𝑁 ∨ (𝑁 < 𝑀 ∨ 𝑀 < 𝑁)))
11	10	ord 736	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (¬ 𝑀 = 𝑁 → (𝑁 < 𝑀 ∨ 𝑀 < 𝑁)))
12		zre 9659	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℝ)
13		zre 9659	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℝ)
14		reaplt 8924	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (𝑀 # 𝑁 ↔ (𝑀 < 𝑁 ∨ 𝑁 < 𝑀)))
15		orcom 740	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 < 𝑁 ∨ 𝑁 < 𝑀) ↔ (𝑁 < 𝑀 ∨ 𝑀 < 𝑁))
16	14, 15	bitrdi 196	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (𝑀 # 𝑁 ↔ (𝑁 < 𝑀 ∨ 𝑀 < 𝑁)))
17	12, 13, 16	syl2an 289	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 # 𝑁 ↔ (𝑁 < 𝑀 ∨ 𝑀 < 𝑁)))
18	11, 17	sylibrd 169	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (¬ 𝑀 = 𝑁 → 𝑀 # 𝑁))
19	5, 18	biimtrid 152	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 ≠ 𝑁 → 𝑀 # 𝑁))
20	4, 19	impbid 129	1 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 # 𝑁 ↔ 𝑀 ≠ 𝑁))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∨ wo 720   ∨ w3o 1008   = wceq 1402   ∈ wcel 2209   ≠ wne 2420   class class class wbr 4131  ℂcc 8183  ℝcr 8184   < clt 8366   # cap 8917  ℤcz 9655

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4251  ax-pow 4313  ax-pr 4348  ax-un 4580  ax-setind 4686  ax-cnex 8276  ax-resscn 8277  ax-1cn 8278  ax-1re 8279  ax-icn 8280  ax-addcl 8281  ax-addrcl 8282  ax-mulcl 8283  ax-mulrcl 8284  ax-addcom 8285  ax-mulcom 8286  ax-addass 8287  ax-mulass 8288  ax-distr 8289  ax-i2m1 8290  ax-0lt1 8291  ax-1rid 8292  ax-0id 8293  ax-rnegex 8294  ax-precex 8295  ax-cnre 8296  ax-pre-ltirr 8297  ax-pre-ltwlin 8298  ax-pre-lttrn 8299  ax-pre-apti 8300  ax-pre-ltadd 8301  ax-pre-mulgt0 8302

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-br 4132  df-opab 4194  df-id 4440  df-xp 4782  df-rel 4783  df-cnv 4784  df-co 4785  df-dm 4786  df-iota 5340  df-fun 5382  df-fv 5388  df-riota 6041  df-ov 6091  df-oprab 6092  df-mpo 6093  df-pnf 8368  df-mnf 8369  df-xr 8370  df-ltxr 8371  df-le 8372  df-sub 8506  df-neg 8507  df-reap 8911  df-ap 8918  df-inn 9314  df-n0 9575  df-z 9656

This theorem is used by:  zltlen  9735  msqznn  9757  qapne  10055  qreccl  10058  seqf1oglem1  10977  nn0opthd  11182  fihashneq0  11255  nnabscl  11889  eftcl  12446  dvdsval2  12582  dvdscmulr  12612  dvdsmulcr  12613  fsumdvds  12634  divconjdvds  12641  gcdn0gt0  12780  lcmcllem  12870  lcmid  12883  3lcm2e6woprm  12889  6lcm4e12  12890  mulgcddvds  12897  divgcdcoprmex  12905  cncongr1  12906  cncongr2  12907  isprm3  12921  pcpremul  13101  pceu  13103  pcmul  13109  pcdiv  13110  pcqmul  13111  dvdsprmpweqle  13145  qexpz  13160  4sqlem11  13209  relogbval  16187  relogbzcl  16188  nnlogbexp  16195  logbgcd1irraplemexp  16204  lgslem1  16324  lgsdilem2  16360  lgsdi  16361  lgsne0  16362  lgseisen  16398