Theorem zapne 9554

Description: Apartness is equivalent to not equal for integers. (Contributed by Jim Kingdon, 14-Mar-2020.)

Assertion

Ref	Expression
zapne	⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 # 𝑁 ↔ 𝑀 ≠ 𝑁))

Proof of Theorem zapne

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zcn 9484	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℂ)
2		zcn 9484	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℂ)
3		apne 8803	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ) → (𝑀 # 𝑁 → 𝑀 ≠ 𝑁))
4	1, 2, 3	syl2an 289	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 # 𝑁 → 𝑀 ≠ 𝑁))
5		df-ne 2403	. . 3 ⊢ (𝑀 ≠ 𝑁 ↔ ¬ 𝑀 = 𝑁)
6		ztri3or 9522	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 < 𝑁 ∨ 𝑀 = 𝑁 ∨ 𝑁 < 𝑀))
7		3orrot 1010	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 < 𝑁 ∨ 𝑀 = 𝑁 ∨ 𝑁 < 𝑀) ↔ (𝑀 = 𝑁 ∨ 𝑁 < 𝑀 ∨ 𝑀 < 𝑁))
8		3orass 1007	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 = 𝑁 ∨ 𝑁 < 𝑀 ∨ 𝑀 < 𝑁) ↔ (𝑀 = 𝑁 ∨ (𝑁 < 𝑀 ∨ 𝑀 < 𝑁)))
9	7, 8	bitri 184	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 < 𝑁 ∨ 𝑀 = 𝑁 ∨ 𝑁 < 𝑀) ↔ (𝑀 = 𝑁 ∨ (𝑁 < 𝑀 ∨ 𝑀 < 𝑁)))
10	6, 9	sylib 122	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 = 𝑁 ∨ (𝑁 < 𝑀 ∨ 𝑀 < 𝑁)))
11	10	ord 731	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (¬ 𝑀 = 𝑁 → (𝑁 < 𝑀 ∨ 𝑀 < 𝑁)))
12		zre 9483	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℝ)
13		zre 9483	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℝ)
14		reaplt 8768	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (𝑀 # 𝑁 ↔ (𝑀 < 𝑁 ∨ 𝑁 < 𝑀)))
15		orcom 735	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 < 𝑁 ∨ 𝑁 < 𝑀) ↔ (𝑁 < 𝑀 ∨ 𝑀 < 𝑁))
16	14, 15	bitrdi 196	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (𝑀 # 𝑁 ↔ (𝑁 < 𝑀 ∨ 𝑀 < 𝑁)))
17	12, 13, 16	syl2an 289	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 # 𝑁 ↔ (𝑁 < 𝑀 ∨ 𝑀 < 𝑁)))
18	11, 17	sylibrd 169	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (¬ 𝑀 = 𝑁 → 𝑀 # 𝑁))
19	5, 18	biimtrid 152	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 ≠ 𝑁 → 𝑀 # 𝑁))
20	4, 19	impbid 129	1 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 # 𝑁 ↔ 𝑀 ≠ 𝑁))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∨ wo 715   ∨ w3o 1003   = wceq 1397   ∈ wcel 2202   ≠ wne 2402   class class class wbr 4088  ℂcc 8030  ℝcr 8031   < clt 8214   # cap 8761  ℤcz 9479

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4207  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635  ax-cnex 8123  ax-resscn 8124  ax-1cn 8125  ax-1re 8126  ax-icn 8127  ax-addcl 8128  ax-addrcl 8129  ax-mulcl 8130  ax-mulrcl 8131  ax-addcom 8132  ax-mulcom 8133  ax-addass 8134  ax-mulass 8135  ax-distr 8136  ax-i2m1 8137  ax-0lt1 8138  ax-1rid 8139  ax-0id 8140  ax-rnegex 8141  ax-precex 8142  ax-cnre 8143  ax-pre-ltirr 8144  ax-pre-ltwlin 8145  ax-pre-lttrn 8146  ax-pre-apti 8147  ax-pre-ltadd 8148  ax-pre-mulgt0 8149

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1005  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-nel 2498  df-ral 2515  df-rex 2516  df-reu 2517  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-int 3929  df-br 4089  df-opab 4151  df-id 4390  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fv 5334  df-riota 5971  df-ov 6021  df-oprab 6022  df-mpo 6023  df-pnf 8216  df-mnf 8217  df-xr 8218  df-ltxr 8219  df-le 8220  df-sub 8352  df-neg 8353  df-reap 8755  df-ap 8762  df-inn 9144  df-n0 9403  df-z 9480

This theorem is referenced by:  zltlen  9558  msqznn  9580  qapne  9873  qreccl  9876  seqf1oglem1  10782  nn0opthd  10985  fihashneq0  11057  nnabscl  11678  eftcl  12233  dvdsval2  12369  dvdscmulr  12399  dvdsmulcr  12400  fsumdvds  12421  divconjdvds  12428  gcdn0gt0  12567  lcmcllem  12657  lcmid  12670  3lcm2e6woprm  12676  6lcm4e12  12677  mulgcddvds  12684  divgcdcoprmex  12692  cncongr1  12693  cncongr2  12694  isprm3  12708  pcpremul  12884  pceu  12886  pcmul  12892  pcdiv  12893  pcqmul  12894  dvdsprmpweqle  12928  qexpz  12943  4sqlem11  12992  relogbval  15694  relogbzcl  15695  nnlogbexp  15702  logbgcd1irraplemexp  15711  lgslem1  15748  lgsdilem2  15784  lgsdi  15785  lgsne0  15786  lgseisen  15822