Theorem zapne 9417

Description: Apartness is equivalent to not equal for integers. (Contributed by Jim Kingdon, 14-Mar-2020.)

Assertion

Ref	Expression
zapne	⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 # 𝑁 ↔ 𝑀 ≠ 𝑁))

Proof of Theorem zapne

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zcn 9348	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℂ)
2		zcn 9348	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℂ)
3		apne 8667	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ) → (𝑀 # 𝑁 → 𝑀 ≠ 𝑁))
4	1, 2, 3	syl2an 289	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 # 𝑁 → 𝑀 ≠ 𝑁))
5		df-ne 2368	. . 3 ⊢ (𝑀 ≠ 𝑁 ↔ ¬ 𝑀 = 𝑁)
6		ztri3or 9386	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 < 𝑁 ∨ 𝑀 = 𝑁 ∨ 𝑁 < 𝑀))
7		3orrot 986	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 < 𝑁 ∨ 𝑀 = 𝑁 ∨ 𝑁 < 𝑀) ↔ (𝑀 = 𝑁 ∨ 𝑁 < 𝑀 ∨ 𝑀 < 𝑁))
8		3orass 983	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 = 𝑁 ∨ 𝑁 < 𝑀 ∨ 𝑀 < 𝑁) ↔ (𝑀 = 𝑁 ∨ (𝑁 < 𝑀 ∨ 𝑀 < 𝑁)))
9	7, 8	bitri 184	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 < 𝑁 ∨ 𝑀 = 𝑁 ∨ 𝑁 < 𝑀) ↔ (𝑀 = 𝑁 ∨ (𝑁 < 𝑀 ∨ 𝑀 < 𝑁)))
10	6, 9	sylib 122	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 = 𝑁 ∨ (𝑁 < 𝑀 ∨ 𝑀 < 𝑁)))
11	10	ord 725	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (¬ 𝑀 = 𝑁 → (𝑁 < 𝑀 ∨ 𝑀 < 𝑁)))
12		zre 9347	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℝ)
13		zre 9347	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℝ)
14		reaplt 8632	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (𝑀 # 𝑁 ↔ (𝑀 < 𝑁 ∨ 𝑁 < 𝑀)))
15		orcom 729	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 < 𝑁 ∨ 𝑁 < 𝑀) ↔ (𝑁 < 𝑀 ∨ 𝑀 < 𝑁))
16	14, 15	bitrdi 196	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (𝑀 # 𝑁 ↔ (𝑁 < 𝑀 ∨ 𝑀 < 𝑁)))
17	12, 13, 16	syl2an 289	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 # 𝑁 ↔ (𝑁 < 𝑀 ∨ 𝑀 < 𝑁)))
18	11, 17	sylibrd 169	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (¬ 𝑀 = 𝑁 → 𝑀 # 𝑁))
19	5, 18	biimtrid 152	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 ≠ 𝑁 → 𝑀 # 𝑁))
20	4, 19	impbid 129	1 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 # 𝑁 ↔ 𝑀 ≠ 𝑁))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∨ wo 709   ∨ w3o 979   = wceq 1364   ∈ wcel 2167   ≠ wne 2367   class class class wbr 4034  ℂcc 7894  ℝcr 7895   < clt 8078   # cap 8625  ℤcz 9343

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4152  ax-pow 4208  ax-pr 4243  ax-un 4469  ax-setind 4574  ax-cnex 7987  ax-resscn 7988  ax-1cn 7989  ax-1re 7990  ax-icn 7991  ax-addcl 7992  ax-addrcl 7993  ax-mulcl 7994  ax-mulrcl 7995  ax-addcom 7996  ax-mulcom 7997  ax-addass 7998  ax-mulass 7999  ax-distr 8000  ax-i2m1 8001  ax-0lt1 8002  ax-1rid 8003  ax-0id 8004  ax-rnegex 8005  ax-precex 8006  ax-cnre 8007  ax-pre-ltirr 8008  ax-pre-ltwlin 8009  ax-pre-lttrn 8010  ax-pre-apti 8011  ax-pre-ltadd 8012  ax-pre-mulgt0 8013

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-op 3632  df-uni 3841  df-int 3876  df-br 4035  df-opab 4096  df-id 4329  df-xp 4670  df-rel 4671  df-cnv 4672  df-co 4673  df-dm 4674  df-iota 5220  df-fun 5261  df-fv 5267  df-riota 5880  df-ov 5928  df-oprab 5929  df-mpo 5930  df-pnf 8080  df-mnf 8081  df-xr 8082  df-ltxr 8083  df-le 8084  df-sub 8216  df-neg 8217  df-reap 8619  df-ap 8626  df-inn 9008  df-n0 9267  df-z 9344

This theorem is referenced by:  zltlen  9421  msqznn  9443  qapne  9730  qreccl  9733  seqf1oglem1  10628  nn0opthd  10831  fihashneq0  10903  nnabscl  11282  eftcl  11836  dvdsval2  11972  dvdscmulr  12002  dvdsmulcr  12003  fsumdvds  12024  divconjdvds  12031  gcdn0gt0  12170  lcmcllem  12260  lcmid  12273  3lcm2e6woprm  12279  6lcm4e12  12280  mulgcddvds  12287  divgcdcoprmex  12295  cncongr1  12296  cncongr2  12297  isprm3  12311  pcpremul  12487  pceu  12489  pcmul  12495  pcdiv  12496  pcqmul  12497  dvdsprmpweqle  12531  qexpz  12546  4sqlem11  12595  relogbval  15271  relogbzcl  15272  nnlogbexp  15279  logbgcd1irraplemexp  15288  lgslem1  15325  lgsdilem2  15361  lgsdi  15362  lgsne0  15363  lgseisen  15399