Theorem n2dvds3 11951

Description: 2 does not divide 3, i.e. 3 is an odd number. (Contributed by AV, 28-Feb-2021.)

Assertion

Ref	Expression
n2dvds3	⊢ ¬ 2 ∥ 3

Proof of Theorem n2dvds3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2z 9310	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℤ
2		iddvds 11842	. . . 4 ⊢ (2 ∈ ℤ → 2 ∥ 2)
3	1, 2	ax-mp 5	. . 3 ⊢ 2 ∥ 2
4		3m1e2 9068	. . 3 ⊢ (3 − 1) = 2
5	3, 4	breqtrri 4045	. 2 ⊢ 2 ∥ (3 − 1)
6		3z 9311	. . 3 ⊢ 3 ∈ ℤ
7		oddm1even 11911	. . 3 ⊢ (3 ∈ ℤ → (¬ 2 ∥ 3 ↔ 2 ∥ (3 − 1)))
8	6, 7	ax-mp 5	. 2 ⊢ (¬ 2 ∥ 3 ↔ 2 ∥ (3 − 1))
9	5, 8	mpbir 146	1 ⊢ ¬ 2 ∥ 3

Syntax hints:  ¬ wn 3   ↔ wb 105   ∈ wcel 2160   class class class wbr 4018  (class class class)co 5895  1c1 7841   − cmin 8157  2c2 8999  3c3 9000  ℤcz 9282   ∥ cdvds 11825

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-sep 4136  ax-pow 4192  ax-pr 4227  ax-un 4451  ax-setind 4554  ax-cnex 7931  ax-resscn 7932  ax-1cn 7933  ax-1re 7934  ax-icn 7935  ax-addcl 7936  ax-addrcl 7937  ax-mulcl 7938  ax-mulrcl 7939  ax-addcom 7940  ax-mulcom 7941  ax-addass 7942  ax-mulass 7943  ax-distr 7944  ax-i2m1 7945  ax-0lt1 7946  ax-1rid 7947  ax-0id 7948  ax-rnegex 7949  ax-precex 7950  ax-cnre 7951  ax-pre-ltirr 7952  ax-pre-ltwlin 7953  ax-pre-lttrn 7954  ax-pre-apti 7955  ax-pre-ltadd 7956  ax-pre-mulgt0 7957  ax-pre-mulext 7958

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-xor 1387  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-nel 2456  df-ral 2473  df-rex 2474  df-reu 2475  df-rmo 2476  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-int 3860  df-br 4019  df-opab 4080  df-id 4311  df-po 4314  df-iso 4315  df-xp 4650  df-rel 4651  df-cnv 4652  df-co 4653  df-dm 4654  df-iota 5196  df-fun 5237  df-fv 5243  df-riota 5851  df-ov 5898  df-oprab 5899  df-mpo 5900  df-pnf 8023  df-mnf 8024  df-xr 8025  df-ltxr 8026  df-le 8027  df-sub 8159  df-neg 8160  df-reap 8561  df-ap 8568  df-div 8659  df-inn 8949  df-2 9007  df-3 9008  df-n0 9206  df-z 9283  df-dvds 11826

This theorem is referenced by:  2lgsoddprmlem3  14912