Theorem triap 15832

Description: Two ways of stating real number trichotomy. (Contributed by Jim Kingdon, 23-Aug-2023.)

Assertion

Ref	Expression
triap	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((𝐴 < 𝐵 ∨ 𝐴 = 𝐵 ∨ 𝐵 < 𝐴) ↔ DECID 𝐴 # 𝐵))

Proof of Theorem triap

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltap 8688	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) → 𝐵 # 𝐴)
2	1	3expia 1207	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 < 𝐵 → 𝐵 # 𝐴))
3		recn 8040	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℂ)
4		recn 8040	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → 𝐵 ∈ ℂ)
5		apsym 8661	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 # 𝐵 ↔ 𝐵 # 𝐴))
6	3, 4, 5	syl2an 289	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 # 𝐵 ↔ 𝐵 # 𝐴))
7	2, 6	sylibrd 169	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 < 𝐵 → 𝐴 # 𝐵))
8		orc 713	. . . . 5 ⊢ (𝐴 # 𝐵 → (𝐴 # 𝐵 ∨ ¬ 𝐴 # 𝐵))
9		df-dc 836	. . . . 5 ⊢ (DECID 𝐴 # 𝐵 ↔ (𝐴 # 𝐵 ∨ ¬ 𝐴 # 𝐵))
10	8, 9	sylibr 134	. . . 4 ⊢ (𝐴 # 𝐵 → DECID 𝐴 # 𝐵)
11	7, 10	syl6 33	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 < 𝐵 → DECID 𝐴 # 𝐵))
12		apti 8677	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 = 𝐵 ↔ ¬ 𝐴 # 𝐵))
13	3, 4, 12	syl2an 289	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 = 𝐵 ↔ ¬ 𝐴 # 𝐵))
14		olc 712	. . . . 5 ⊢ (¬ 𝐴 # 𝐵 → (𝐴 # 𝐵 ∨ ¬ 𝐴 # 𝐵))
15	14, 9	sylibr 134	. . . 4 ⊢ (¬ 𝐴 # 𝐵 → DECID 𝐴 # 𝐵)
16	13, 15	biimtrdi 163	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 = 𝐵 → DECID 𝐴 # 𝐵))
17		ltap 8688	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 < 𝐴) → 𝐴 # 𝐵)
18	17, 10	syl 14	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 < 𝐴) → DECID 𝐴 # 𝐵)
19	18	3expia 1207	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (𝐵 < 𝐴 → DECID 𝐴 # 𝐵))
20	19	ancoms 268	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐵 < 𝐴 → DECID 𝐴 # 𝐵))
21	11, 16, 20	3jaod 1316	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((𝐴 < 𝐵 ∨ 𝐴 = 𝐵 ∨ 𝐵 < 𝐴) → DECID 𝐴 # 𝐵))
22		reaplt 8643	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 # 𝐵 ↔ (𝐴 < 𝐵 ∨ 𝐵 < 𝐴)))
23		orc 713	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 < 𝐵 → (𝐴 < 𝐵 ∨ 𝐴 = 𝐵))
24	23	orim1i 761	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 < 𝐵 ∨ 𝐵 < 𝐴) → ((𝐴 < 𝐵 ∨ 𝐴 = 𝐵) ∨ 𝐵 < 𝐴))
25		df-3or 981	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 < 𝐵 ∨ 𝐴 = 𝐵 ∨ 𝐵 < 𝐴) ↔ ((𝐴 < 𝐵 ∨ 𝐴 = 𝐵) ∨ 𝐵 < 𝐴))
26	24, 25	sylibr 134	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 < 𝐵 ∨ 𝐵 < 𝐴) → (𝐴 < 𝐵 ∨ 𝐴 = 𝐵 ∨ 𝐵 < 𝐴))
27	22, 26	biimtrdi 163	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 # 𝐵 → (𝐴 < 𝐵 ∨ 𝐴 = 𝐵 ∨ 𝐵 < 𝐴)))
28		3mix2 1169	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → (𝐴 < 𝐵 ∨ 𝐴 = 𝐵 ∨ 𝐵 < 𝐴))
29	13, 28	biimtrrdi 164	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (¬ 𝐴 # 𝐵 → (𝐴 < 𝐵 ∨ 𝐴 = 𝐵 ∨ 𝐵 < 𝐴)))
30	27, 29	jaod 718	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((𝐴 # 𝐵 ∨ ¬ 𝐴 # 𝐵) → (𝐴 < 𝐵 ∨ 𝐴 = 𝐵 ∨ 𝐵 < 𝐴)))
31	9, 30	biimtrid 152	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (DECID 𝐴 # 𝐵 → (𝐴 < 𝐵 ∨ 𝐴 = 𝐵 ∨ 𝐵 < 𝐴)))
32	21, 31	impbid 129	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((𝐴 < 𝐵 ∨ 𝐴 = 𝐵 ∨ 𝐵 < 𝐴) ↔ DECID 𝐴 # 𝐵))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∨ wo 709  DECID wdc 835   ∨ w3o 979   ∧ w3a 980   = wceq 1372   ∈ wcel 2175   class class class wbr 4043  ℂcc 7905  ℝcr 7906   < clt 8089   # cap 8636

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1469  ax-7 1470  ax-gen 1471  ax-ie1 1515  ax-ie2 1516  ax-8 1526  ax-10 1527  ax-11 1528  ax-i12 1529  ax-bndl 1531  ax-4 1532  ax-17 1548  ax-i9 1552  ax-ial 1556  ax-i5r 1557  ax-13 2177  ax-14 2178  ax-ext 2186  ax-sep 4161  ax-pow 4217  ax-pr 4252  ax-un 4478  ax-setind 4583  ax-cnex 7998  ax-resscn 7999  ax-1cn 8000  ax-1re 8001  ax-icn 8002  ax-addcl 8003  ax-addrcl 8004  ax-mulcl 8005  ax-mulrcl 8006  ax-addcom 8007  ax-mulcom 8008  ax-addass 8009  ax-mulass 8010  ax-distr 8011  ax-i2m1 8012  ax-0lt1 8013  ax-1rid 8014  ax-0id 8015  ax-rnegex 8016  ax-precex 8017  ax-cnre 8018  ax-pre-ltirr 8019  ax-pre-lttrn 8021  ax-pre-apti 8022  ax-pre-ltadd 8023  ax-pre-mulgt0 8024

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1375  df-fal 1378  df-nf 1483  df-sb 1785  df-eu 2056  df-mo 2057  df-clab 2191  df-cleq 2197  df-clel 2200  df-nfc 2336  df-ne 2376  df-nel 2471  df-ral 2488  df-rex 2489  df-reu 2490  df-rab 2492  df-v 2773  df-sbc 2998  df-dif 3167  df-un 3169  df-in 3171  df-ss 3178  df-pw 3617  df-sn 3638  df-pr 3639  df-op 3641  df-uni 3850  df-br 4044  df-opab 4105  df-id 4338  df-xp 4679  df-rel 4680  df-cnv 4681  df-co 4682  df-dm 4683  df-iota 5229  df-fun 5270  df-fv 5276  df-riota 5889  df-ov 5937  df-oprab 5938  df-mpo 5939  df-pnf 8091  df-mnf 8092  df-ltxr 8094  df-sub 8227  df-neg 8228  df-reap 8630  df-ap 8637

This theorem is referenced by:  reap0  15861  cndcap  15862