Theorem triap 17078

Description: Two ways of stating real number trichotomy. See also cndcap 17109 which is similar but for complex number apartness. (Contributed by Jim Kingdon, 23-Aug-2023.)

Assertion

Ref	Expression
triap	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((𝐴 < 𝐵 ∨ 𝐴 = 𝐵 ∨ 𝐵 < 𝐴) ↔ DECID 𝐴 # 𝐵))

Proof of Theorem triap

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltap 8961	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) → 𝐵 # 𝐴)
2	1	3expia 1236	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 < 𝐵 → 𝐵 # 𝐴))
3		recn 8312	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℂ)
4		recn 8312	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → 𝐵 ∈ ℂ)
5		apsym 8934	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 # 𝐵 ↔ 𝐵 # 𝐴))
6	3, 4, 5	syl2an 289	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 # 𝐵 ↔ 𝐵 # 𝐴))
7	2, 6	sylibrd 169	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 < 𝐵 → 𝐴 # 𝐵))
8		orc 724	. . . . 5 ⊢ (𝐴 # 𝐵 → (𝐴 # 𝐵 ∨ ¬ 𝐴 # 𝐵))
9		df-dc 847	. . . . 5 ⊢ (DECID 𝐴 # 𝐵 ↔ (𝐴 # 𝐵 ∨ ¬ 𝐴 # 𝐵))
10	8, 9	sylibr 134	. . . 4 ⊢ (𝐴 # 𝐵 → DECID 𝐴 # 𝐵)
11	7, 10	syl6 33	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 < 𝐵 → DECID 𝐴 # 𝐵))
12		apti 8950	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 = 𝐵 ↔ ¬ 𝐴 # 𝐵))
13	3, 4, 12	syl2an 289	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 = 𝐵 ↔ ¬ 𝐴 # 𝐵))
14		olc 723	. . . . 5 ⊢ (¬ 𝐴 # 𝐵 → (𝐴 # 𝐵 ∨ ¬ 𝐴 # 𝐵))
15	14, 9	sylibr 134	. . . 4 ⊢ (¬ 𝐴 # 𝐵 → DECID 𝐴 # 𝐵)
16	13, 15	biimtrdi 163	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 = 𝐵 → DECID 𝐴 # 𝐵))
17		ltap 8961	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 < 𝐴) → 𝐴 # 𝐵)
18	17, 10	syl 14	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 < 𝐴) → DECID 𝐴 # 𝐵)
19	18	3expia 1236	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (𝐵 < 𝐴 → DECID 𝐴 # 𝐵))
20	19	ancoms 268	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐵 < 𝐴 → DECID 𝐴 # 𝐵))
21	11, 16, 20	3jaod 1345	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((𝐴 < 𝐵 ∨ 𝐴 = 𝐵 ∨ 𝐵 < 𝐴) → DECID 𝐴 # 𝐵))
22		reaplt 8916	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 # 𝐵 ↔ (𝐴 < 𝐵 ∨ 𝐵 < 𝐴)))
23		orc 724	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 < 𝐵 → (𝐴 < 𝐵 ∨ 𝐴 = 𝐵))
24	23	orim1i 772	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 < 𝐵 ∨ 𝐵 < 𝐴) → ((𝐴 < 𝐵 ∨ 𝐴 = 𝐵) ∨ 𝐵 < 𝐴))
25		df-3or 1010	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 < 𝐵 ∨ 𝐴 = 𝐵 ∨ 𝐵 < 𝐴) ↔ ((𝐴 < 𝐵 ∨ 𝐴 = 𝐵) ∨ 𝐵 < 𝐴))
26	24, 25	sylibr 134	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 < 𝐵 ∨ 𝐵 < 𝐴) → (𝐴 < 𝐵 ∨ 𝐴 = 𝐵 ∨ 𝐵 < 𝐴))
27	22, 26	biimtrdi 163	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 # 𝐵 → (𝐴 < 𝐵 ∨ 𝐴 = 𝐵 ∨ 𝐵 < 𝐴)))
28		3mix2 1198	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → (𝐴 < 𝐵 ∨ 𝐴 = 𝐵 ∨ 𝐵 < 𝐴))
29	13, 28	biimtrrdi 164	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (¬ 𝐴 # 𝐵 → (𝐴 < 𝐵 ∨ 𝐴 = 𝐵 ∨ 𝐵 < 𝐴)))
30	27, 29	jaod 729	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((𝐴 # 𝐵 ∨ ¬ 𝐴 # 𝐵) → (𝐴 < 𝐵 ∨ 𝐴 = 𝐵 ∨ 𝐵 < 𝐴)))
31	9, 30	biimtrid 152	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (DECID 𝐴 # 𝐵 → (𝐴 < 𝐵 ∨ 𝐴 = 𝐵 ∨ 𝐵 < 𝐴)))
32	21, 31	impbid 129	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((𝐴 < 𝐵 ∨ 𝐴 = 𝐵 ∨ 𝐵 < 𝐴) ↔ DECID 𝐴 # 𝐵))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∨ wo 720  DECID wdc 846   ∨ w3o 1008   ∧ w3a 1009   = wceq 1402   ∈ wcel 2209   class class class wbr 4130  ℂcc 8177  ℝcr 8178   < clt 8360   # cap 8909

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4249  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-setind 4684  ax-cnex 8270  ax-resscn 8271  ax-1cn 8272  ax-1re 8273  ax-icn 8274  ax-addcl 8275  ax-addrcl 8276  ax-mulcl 8277  ax-mulrcl 8278  ax-addcom 8279  ax-mulcom 8280  ax-addass 8281  ax-mulass 8282  ax-distr 8283  ax-i2m1 8284  ax-0lt1 8285  ax-1rid 8286  ax-0id 8287  ax-rnegex 8288  ax-precex 8289  ax-cnre 8290  ax-pre-ltirr 8291  ax-pre-lttrn 8293  ax-pre-apti 8294  ax-pre-ltadd 8295  ax-pre-mulgt0 8296

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-br 4131  df-opab 4193  df-id 4438  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fv 5385  df-riota 6038  df-ov 6088  df-oprab 6089  df-mpo 6090  df-pnf 8362  df-mnf 8363  df-ltxr 8365  df-sub 8499  df-neg 8500  df-reap 8903  df-ap 8910

This theorem is used by:  reap0  17108  cndcap  17109