Mathbox for Jim Kingdon < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  triap GIF version

Theorem triap 13571
 Description: Two ways of stating real number trichotomy. (Contributed by Jim Kingdon, 23-Aug-2023.)
Assertion
Ref Expression
triap ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((𝐴 < 𝐵𝐴 = 𝐵𝐵 < 𝐴) ↔ DECID 𝐴 # 𝐵))

Proof of Theorem triap
StepHypRef Expression
1 ltap 8502 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) → 𝐵 # 𝐴)
213expia 1187 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 < 𝐵𝐵 # 𝐴))
3 recn 7859 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℂ)
4 recn 7859 . . . . . 6 (𝐵 ∈ ℝ → 𝐵 ∈ ℂ)
5 apsym 8475 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 # 𝐵𝐵 # 𝐴))
63, 4, 5syl2an 287 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 # 𝐵𝐵 # 𝐴))
72, 6sylibrd 168 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 < 𝐵𝐴 # 𝐵))
8 orc 702 . . . . 5 (𝐴 # 𝐵 → (𝐴 # 𝐵 ∨ ¬ 𝐴 # 𝐵))
9 df-dc 821 . . . . 5 (DECID 𝐴 # 𝐵 ↔ (𝐴 # 𝐵 ∨ ¬ 𝐴 # 𝐵))
108, 9sylibr 133 . . . 4 (𝐴 # 𝐵DECID 𝐴 # 𝐵)
117, 10syl6 33 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 < 𝐵DECID 𝐴 # 𝐵))
12 apti 8491 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 = 𝐵 ↔ ¬ 𝐴 # 𝐵))
133, 4, 12syl2an 287 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 = 𝐵 ↔ ¬ 𝐴 # 𝐵))
14 olc 701 . . . . 5 𝐴 # 𝐵 → (𝐴 # 𝐵 ∨ ¬ 𝐴 # 𝐵))
1514, 9sylibr 133 . . . 4 𝐴 # 𝐵DECID 𝐴 # 𝐵)
1613, 15syl6bi 162 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 = 𝐵DECID 𝐴 # 𝐵))
17 ltap 8502 . . . . . 6 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 < 𝐴) → 𝐴 # 𝐵)
1817, 10syl 14 . . . . 5 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 < 𝐴) → DECID 𝐴 # 𝐵)
19183expia 1187 . . . 4 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (𝐵 < 𝐴DECID 𝐴 # 𝐵))
2019ancoms 266 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐵 < 𝐴DECID 𝐴 # 𝐵))
2111, 16, 203jaod 1286 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((𝐴 < 𝐵𝐴 = 𝐵𝐵 < 𝐴) → DECID 𝐴 # 𝐵))
22 reaplt 8457 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 # 𝐵 ↔ (𝐴 < 𝐵𝐵 < 𝐴)))
23 orc 702 . . . . . . 7 (𝐴 < 𝐵 → (𝐴 < 𝐵𝐴 = 𝐵))
2423orim1i 750 . . . . . 6 ((𝐴 < 𝐵𝐵 < 𝐴) → ((𝐴 < 𝐵𝐴 = 𝐵) ∨ 𝐵 < 𝐴))
25 df-3or 964 . . . . . 6 ((𝐴 < 𝐵𝐴 = 𝐵𝐵 < 𝐴) ↔ ((𝐴 < 𝐵𝐴 = 𝐵) ∨ 𝐵 < 𝐴))
2624, 25sylibr 133 . . . . 5 ((𝐴 < 𝐵𝐵 < 𝐴) → (𝐴 < 𝐵𝐴 = 𝐵𝐵 < 𝐴))
2722, 26syl6bi 162 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 # 𝐵 → (𝐴 < 𝐵𝐴 = 𝐵𝐵 < 𝐴)))
28 3mix2 1152 . . . . 5 (𝐴 = 𝐵 → (𝐴 < 𝐵𝐴 = 𝐵𝐵 < 𝐴))
2913, 28syl6bir 163 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (¬ 𝐴 # 𝐵 → (𝐴 < 𝐵𝐴 = 𝐵𝐵 < 𝐴)))
3027, 29jaod 707 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((𝐴 # 𝐵 ∨ ¬ 𝐴 # 𝐵) → (𝐴 < 𝐵𝐴 = 𝐵𝐵 < 𝐴)))
319, 30syl5bi 151 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (DECID 𝐴 # 𝐵 → (𝐴 < 𝐵𝐴 = 𝐵𝐵 < 𝐴)))
3221, 31impbid 128 1 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((𝐴 < 𝐵𝐴 = 𝐵𝐵 < 𝐴) ↔ DECID 𝐴 # 𝐵))
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 103   ↔ wb 104   ∨ wo 698  DECID wdc 820   ∨ w3o 962   ∧ w3a 963   = wceq 1335   ∈ wcel 2128   class class class wbr 3965  ℂcc 7724  ℝcr 7725   < clt 7906   # cap 8450 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1427  ax-7 1428  ax-gen 1429  ax-ie1 1473  ax-ie2 1474  ax-8 1484  ax-10 1485  ax-11 1486  ax-i12 1487  ax-bndl 1489  ax-4 1490  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-13 2130  ax-14 2131  ax-ext 2139  ax-sep 4082  ax-pow 4135  ax-pr 4169  ax-un 4393  ax-setind 4495  ax-cnex 7817  ax-resscn 7818  ax-1cn 7819  ax-1re 7820  ax-icn 7821  ax-addcl 7822  ax-addrcl 7823  ax-mulcl 7824  ax-mulrcl 7825  ax-addcom 7826  ax-mulcom 7827  ax-addass 7828  ax-mulass 7829  ax-distr 7830  ax-i2m1 7831  ax-0lt1 7832  ax-1rid 7833  ax-0id 7834  ax-rnegex 7835  ax-precex 7836  ax-cnre 7837  ax-pre-ltirr 7838  ax-pre-lttrn 7840  ax-pre-apti 7841  ax-pre-ltadd 7842  ax-pre-mulgt0 7843 This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 821  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1338  df-fal 1341  df-nf 1441  df-sb 1743  df-eu 2009  df-mo 2010  df-clab 2144  df-cleq 2150  df-clel 2153  df-nfc 2288  df-ne 2328  df-nel 2423  df-ral 2440  df-rex 2441  df-reu 2442  df-rab 2444  df-v 2714  df-sbc 2938  df-dif 3104  df-un 3106  df-in 3108  df-ss 3115  df-pw 3545  df-sn 3566  df-pr 3567  df-op 3569  df-uni 3773  df-br 3966  df-opab 4026  df-id 4253  df-xp 4591  df-rel 4592  df-cnv 4593  df-co 4594  df-dm 4595  df-iota 5134  df-fun 5171  df-fv 5177  df-riota 5777  df-ov 5824  df-oprab 5825  df-mpo 5826  df-pnf 7908  df-mnf 7909  df-ltxr 7911  df-sub 8042  df-neg 8043  df-reap 8444  df-ap 8451 This theorem is referenced by:  reap0  13600
 Copyright terms: Public domain W3C validator