Users' Mathboxes Mathbox for Jim Kingdon < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  triap GIF version

Theorem triap 14780
Description: Two ways of stating real number trichotomy. (Contributed by Jim Kingdon, 23-Aug-2023.)
Assertion
Ref Expression
triap ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((𝐴 < 𝐵𝐴 = 𝐵𝐵 < 𝐴) ↔ DECID 𝐴 # 𝐵))

Proof of Theorem triap
StepHypRef Expression
1 ltap 8590 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) → 𝐵 # 𝐴)
213expia 1205 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 < 𝐵𝐵 # 𝐴))
3 recn 7944 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℂ)
4 recn 7944 . . . . . 6 (𝐵 ∈ ℝ → 𝐵 ∈ ℂ)
5 apsym 8563 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 # 𝐵𝐵 # 𝐴))
63, 4, 5syl2an 289 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 # 𝐵𝐵 # 𝐴))
72, 6sylibrd 169 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 < 𝐵𝐴 # 𝐵))
8 orc 712 . . . . 5 (𝐴 # 𝐵 → (𝐴 # 𝐵 ∨ ¬ 𝐴 # 𝐵))
9 df-dc 835 . . . . 5 (DECID 𝐴 # 𝐵 ↔ (𝐴 # 𝐵 ∨ ¬ 𝐴 # 𝐵))
108, 9sylibr 134 . . . 4 (𝐴 # 𝐵DECID 𝐴 # 𝐵)
117, 10syl6 33 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 < 𝐵DECID 𝐴 # 𝐵))
12 apti 8579 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 = 𝐵 ↔ ¬ 𝐴 # 𝐵))
133, 4, 12syl2an 289 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 = 𝐵 ↔ ¬ 𝐴 # 𝐵))
14 olc 711 . . . . 5 𝐴 # 𝐵 → (𝐴 # 𝐵 ∨ ¬ 𝐴 # 𝐵))
1514, 9sylibr 134 . . . 4 𝐴 # 𝐵DECID 𝐴 # 𝐵)
1613, 15syl6bi 163 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 = 𝐵DECID 𝐴 # 𝐵))
17 ltap 8590 . . . . . 6 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 < 𝐴) → 𝐴 # 𝐵)
1817, 10syl 14 . . . . 5 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 < 𝐴) → DECID 𝐴 # 𝐵)
19183expia 1205 . . . 4 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (𝐵 < 𝐴DECID 𝐴 # 𝐵))
2019ancoms 268 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐵 < 𝐴DECID 𝐴 # 𝐵))
2111, 16, 203jaod 1304 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((𝐴 < 𝐵𝐴 = 𝐵𝐵 < 𝐴) → DECID 𝐴 # 𝐵))
22 reaplt 8545 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 # 𝐵 ↔ (𝐴 < 𝐵𝐵 < 𝐴)))
23 orc 712 . . . . . . 7 (𝐴 < 𝐵 → (𝐴 < 𝐵𝐴 = 𝐵))
2423orim1i 760 . . . . . 6 ((𝐴 < 𝐵𝐵 < 𝐴) → ((𝐴 < 𝐵𝐴 = 𝐵) ∨ 𝐵 < 𝐴))
25 df-3or 979 . . . . . 6 ((𝐴 < 𝐵𝐴 = 𝐵𝐵 < 𝐴) ↔ ((𝐴 < 𝐵𝐴 = 𝐵) ∨ 𝐵 < 𝐴))
2624, 25sylibr 134 . . . . 5 ((𝐴 < 𝐵𝐵 < 𝐴) → (𝐴 < 𝐵𝐴 = 𝐵𝐵 < 𝐴))
2722, 26syl6bi 163 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 # 𝐵 → (𝐴 < 𝐵𝐴 = 𝐵𝐵 < 𝐴)))
28 3mix2 1167 . . . . 5 (𝐴 = 𝐵 → (𝐴 < 𝐵𝐴 = 𝐵𝐵 < 𝐴))
2913, 28syl6bir 164 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (¬ 𝐴 # 𝐵 → (𝐴 < 𝐵𝐴 = 𝐵𝐵 < 𝐴)))
3027, 29jaod 717 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((𝐴 # 𝐵 ∨ ¬ 𝐴 # 𝐵) → (𝐴 < 𝐵𝐴 = 𝐵𝐵 < 𝐴)))
319, 30biimtrid 152 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (DECID 𝐴 # 𝐵 → (𝐴 < 𝐵𝐴 = 𝐵𝐵 < 𝐴)))
3221, 31impbid 129 1 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((𝐴 < 𝐵𝐴 = 𝐵𝐵 < 𝐴) ↔ DECID 𝐴 # 𝐵))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 104  wb 105  wo 708  DECID wdc 834  w3o 977  w3a 978   = wceq 1353  wcel 2148   class class class wbr 4004  cc 7809  cr 7810   < clt 7992   # cap 8538
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4122  ax-pow 4175  ax-pr 4210  ax-un 4434  ax-setind 4537  ax-cnex 7902  ax-resscn 7903  ax-1cn 7904  ax-1re 7905  ax-icn 7906  ax-addcl 7907  ax-addrcl 7908  ax-mulcl 7909  ax-mulrcl 7910  ax-addcom 7911  ax-mulcom 7912  ax-addass 7913  ax-mulass 7914  ax-distr 7915  ax-i2m1 7916  ax-0lt1 7917  ax-1rid 7918  ax-0id 7919  ax-rnegex 7920  ax-precex 7921  ax-cnre 7922  ax-pre-ltirr 7923  ax-pre-lttrn 7925  ax-pre-apti 7926  ax-pre-ltadd 7927  ax-pre-mulgt0 7928
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2740  df-sbc 2964  df-dif 3132  df-un 3134  df-in 3136  df-ss 3143  df-pw 3578  df-sn 3599  df-pr 3600  df-op 3602  df-uni 3811  df-br 4005  df-opab 4066  df-id 4294  df-xp 4633  df-rel 4634  df-cnv 4635  df-co 4636  df-dm 4637  df-iota 5179  df-fun 5219  df-fv 5225  df-riota 5831  df-ov 5878  df-oprab 5879  df-mpo 5880  df-pnf 7994  df-mnf 7995  df-ltxr 7997  df-sub 8130  df-neg 8131  df-reap 8532  df-ap 8539
This theorem is referenced by:  reap0  14809
  Copyright terms: Public domain W3C validator