Theorem resub 11017

Description: Real part distributes over subtraction. (Contributed by NM, 17-Mar-2005.)

Assertion

Ref	Expression
resub	⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (ℜ‘(𝐴 − 𝐵)) = ((ℜ‘𝐴) − (ℜ‘𝐵)))

Proof of Theorem resub

Step	Hyp	Ref	Expression
1		negcl 8221	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ ℂ → -𝐵 ∈ ℂ)
2		readd 11016	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ -𝐵 ∈ ℂ) → (ℜ‘(𝐴 + -𝐵)) = ((ℜ‘𝐴) + (ℜ‘-𝐵)))
3	1, 2	sylan2 286	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (ℜ‘(𝐴 + -𝐵)) = ((ℜ‘𝐴) + (ℜ‘-𝐵)))
4		reneg 11015	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ ℂ → (ℜ‘-𝐵) = -(ℜ‘𝐵))
5	4	adantl 277	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (ℜ‘-𝐵) = -(ℜ‘𝐵))
6	5	oveq2d 5935	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((ℜ‘𝐴) + (ℜ‘-𝐵)) = ((ℜ‘𝐴) + -(ℜ‘𝐵)))
7	3, 6	eqtrd 2226	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (ℜ‘(𝐴 + -𝐵)) = ((ℜ‘𝐴) + -(ℜ‘𝐵)))
8		negsub 8269	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 + -𝐵) = (𝐴 − 𝐵))
9	8	fveq2d 5559	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (ℜ‘(𝐴 + -𝐵)) = (ℜ‘(𝐴 − 𝐵)))
10		recl 11000	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℜ‘𝐴) ∈ ℝ)
11	10	recnd 8050	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℜ‘𝐴) ∈ ℂ)
12		recl 11000	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ ℂ → (ℜ‘𝐵) ∈ ℝ)
13	12	recnd 8050	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ ℂ → (ℜ‘𝐵) ∈ ℂ)
14		negsub 8269	. . 3 ⊢ (((ℜ‘𝐴) ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐵) ∈ ℂ) → ((ℜ‘𝐴) + -(ℜ‘𝐵)) = ((ℜ‘𝐴) − (ℜ‘𝐵)))
15	11, 13, 14	syl2an 289	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((ℜ‘𝐴) + -(ℜ‘𝐵)) = ((ℜ‘𝐴) − (ℜ‘𝐵)))
16	7, 9, 15	3eqtr3d 2234	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (ℜ‘(𝐴 − 𝐵)) = ((ℜ‘𝐴) − (ℜ‘𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1364   ∈ wcel 2164  ‘cfv 5255  (class class class)co 5919  ℂcc 7872   + caddc 7877   − cmin 8192  -cneg 8193  ℜcre 10987

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-sep 4148  ax-pow 4204  ax-pr 4239  ax-un 4465  ax-setind 4570  ax-cnex 7965  ax-resscn 7966  ax-1cn 7967  ax-1re 7968  ax-icn 7969  ax-addcl 7970  ax-addrcl 7971  ax-mulcl 7972  ax-mulrcl 7973  ax-addcom 7974  ax-mulcom 7975  ax-addass 7976  ax-mulass 7977  ax-distr 7978  ax-i2m1 7979  ax-0lt1 7980  ax-1rid 7981  ax-0id 7982  ax-rnegex 7983  ax-precex 7984  ax-cnre 7985  ax-pre-ltirr 7986  ax-pre-ltwlin 7987  ax-pre-lttrn 7988  ax-pre-apti 7989  ax-pre-ltadd 7990  ax-pre-mulgt0 7991  ax-pre-mulext 7992

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-nel 2460  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rmo 2480  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2987  df-dif 3156  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-pw 3604  df-sn 3625  df-pr 3626  df-op 3628  df-uni 3837  df-br 4031  df-opab 4092  df-mpt 4093  df-id 4325  df-po 4328  df-iso 4329  df-xp 4666  df-rel 4667  df-cnv 4668  df-co 4669  df-dm 4670  df-rn 4671  df-res 4672  df-ima 4673  df-iota 5216  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-fv 5263  df-riota 5874  df-ov 5922  df-oprab 5923  df-mpo 5924  df-pnf 8058  df-mnf 8059  df-xr 8060  df-ltxr 8061  df-le 8062  df-sub 8194  df-neg 8195  df-reap 8596  df-ap 8603  df-div 8694  df-2 9043  df-cj 10989  df-re 10990  df-im 10991

This theorem is referenced by:  resubd  11108  recn2  11463