Theorem recn2 11342

Description: The real part function is continuous. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Feb-2014.)

Assertion

Ref	Expression
recn2	⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ∃𝑦 ∈ ℝ+ ∀𝑧 ∈ ℂ ((abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑦 → (abs‘((ℜ‘𝑧) − (ℜ‘𝐴))) < 𝑥))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝑧   𝑦,𝐴,𝑧

Allowed substitution hint:   𝐴(𝑥)

Proof of Theorem recn2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ref 10881	. . 3 ⊢ ℜ:ℂ⟶ℝ
2		ax-resscn 7920	. . 3 ⊢ ℝ ⊆ ℂ
3		fss 5391	. . 3 ⊢ ((ℜ:ℂ⟶ℝ ∧ ℝ ⊆ ℂ) → ℜ:ℂ⟶ℂ)
4	1, 2, 3	mp2an 426	. 2 ⊢ ℜ:ℂ⟶ℂ
5		resub 10896	. . . 4 ⊢ ((𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (ℜ‘(𝑧 − 𝐴)) = ((ℜ‘𝑧) − (ℜ‘𝐴)))
6	5	fveq2d 5533	. . 3 ⊢ ((𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (abs‘(ℜ‘(𝑧 − 𝐴))) = (abs‘((ℜ‘𝑧) − (ℜ‘𝐴))))
7		subcl 8173	. . . 4 ⊢ ((𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (𝑧 − 𝐴) ∈ ℂ)
8		absrele 11109	. . . 4 ⊢ ((𝑧 − 𝐴) ∈ ℂ → (abs‘(ℜ‘(𝑧 − 𝐴))) ≤ (abs‘(𝑧 − 𝐴)))
9	7, 8	syl 14	. . 3 ⊢ ((𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (abs‘(ℜ‘(𝑧 − 𝐴))) ≤ (abs‘(𝑧 − 𝐴)))
10	6, 9	eqbrtrrd 4041	. 2 ⊢ ((𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (abs‘((ℜ‘𝑧) − (ℜ‘𝐴))) ≤ (abs‘(𝑧 − 𝐴)))
11	4, 10	cn1lem 11339	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ∃𝑦 ∈ ℝ+ ∀𝑧 ∈ ℂ ((abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑦 → (abs‘((ℜ‘𝑧) − (ℜ‘𝐴))) < 𝑥))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ∈ wcel 2159  ∀wral 2467  ∃wrex 2468   ⊆ wss 3143   class class class wbr 4017  ⟶wf 5226  ‘cfv 5230  (class class class)co 5890  ℂcc 7826  ℝcr 7827   < clt 8009   ≤ cle 8010   − cmin 8145  ℝ⁺crp 9670  ℜcre 10866  abscabs 11023

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1457  ax-7 1458  ax-gen 1459  ax-ie1 1503  ax-ie2 1504  ax-8 1514  ax-10 1515  ax-11 1516  ax-i12 1517  ax-bndl 1519  ax-4 1520  ax-17 1536  ax-i9 1540  ax-ial 1544  ax-i5r 1545  ax-13 2161  ax-14 2162  ax-ext 2170  ax-coll 4132  ax-sep 4135  ax-nul 4143  ax-pow 4188  ax-pr 4223  ax-un 4447  ax-setind 4550  ax-iinf 4601  ax-cnex 7919  ax-resscn 7920  ax-1cn 7921  ax-1re 7922  ax-icn 7923  ax-addcl 7924  ax-addrcl 7925  ax-mulcl 7926  ax-mulrcl 7927  ax-addcom 7928  ax-mulcom 7929  ax-addass 7930  ax-mulass 7931  ax-distr 7932  ax-i2m1 7933  ax-0lt1 7934  ax-1rid 7935  ax-0id 7936  ax-rnegex 7937  ax-precex 7938  ax-cnre 7939  ax-pre-ltirr 7940  ax-pre-ltwlin 7941  ax-pre-lttrn 7942  ax-pre-apti 7943  ax-pre-ltadd 7944  ax-pre-mulgt0 7945  ax-pre-mulext 7946  ax-arch 7947  ax-caucvg 7948

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 980  df-3an 981  df-tru 1366  df-fal 1369  df-nf 1471  df-sb 1773  df-eu 2040  df-mo 2041  df-clab 2175  df-cleq 2181  df-clel 2184  df-nfc 2320  df-ne 2360  df-nel 2455  df-ral 2472  df-rex 2473  df-reu 2474  df-rmo 2475  df-rab 2476  df-v 2753  df-sbc 2977  df-csb 3072  df-dif 3145  df-un 3147  df-in 3149  df-ss 3156  df-nul 3437  df-if 3549  df-pw 3591  df-sn 3612  df-pr 3613  df-op 3615  df-uni 3824  df-int 3859  df-iun 3902  df-br 4018  df-opab 4079  df-mpt 4080  df-tr 4116  df-id 4307  df-po 4310  df-iso 4311  df-iord 4380  df-on 4382  df-ilim 4383  df-suc 4385  df-iom 4604  df-xp 4646  df-rel 4647  df-cnv 4648  df-co 4649  df-dm 4650  df-rn 4651  df-res 4652  df-ima 4653  df-iota 5192  df-fun 5232  df-fn 5233  df-f 5234  df-f1 5235  df-fo 5236  df-f1o 5237  df-fv 5238  df-riota 5846  df-ov 5893  df-oprab 5894  df-mpo 5895  df-1st 6158  df-2nd 6159  df-recs 6323  df-frec 6409  df-pnf 8011  df-mnf 8012  df-xr 8013  df-ltxr 8014  df-le 8015  df-sub 8147  df-neg 8148  df-reap 8549  df-ap 8556  df-div 8647  df-inn 8937  df-2 8995  df-3 8996  df-4 8997  df-n0 9194  df-z 9271  df-uz 9546  df-rp 9671  df-seqfrec 10463  df-exp 10537  df-cj 10868  df-re 10869  df-im 10870  df-rsqrt 11024  df-abs 11025

This theorem is referenced by:  climre  11347  recncf  14456