Theorem upgredginwlk 16297

Description: The value of the edge function for an index of an edge within a walk is an edge. (Contributed by AV, 2-Jan-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
upgredginwlk.i	⊢ 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
upgredginwlk.e	⊢ 𝐸 = (Edg‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
upgredginwlk	⊢ ((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝐹 ∈ Word dom 𝐼) → (𝐾 ∈ (0..^(♯‘𝐹)) → (𝐼‘(𝐹‘𝐾)) ∈ 𝐸))

Proof of Theorem upgredginwlk

Step	Hyp	Ref	Expression
1		upgredginwlk.i	. . 3 ⊢ 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
2		upgredginwlk.e	. . 3 ⊢ 𝐸 = (Edg‘𝐺)
3		upgruhgr 16052	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ UPGraph → 𝐺 ∈ UHGraph)
4	1	uhgrfun 16018	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ UHGraph → Fun 𝐼)
5	3, 4	syl 14	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ UPGraph → Fun 𝐼)
6	5	ad2antrr 488	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝐹 ∈ Word dom 𝐼) ∧ 𝐾 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → Fun 𝐼)
7		simplr 529	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝐹 ∈ Word dom 𝐼) ∧ 𝐾 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → 𝐹 ∈ Word dom 𝐼)
8		simpr 110	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝐹 ∈ Word dom 𝐼) ∧ 𝐾 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → 𝐾 ∈ (0..^(♯‘𝐹)))
9		simpll 527	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝐹 ∈ Word dom 𝐼) ∧ 𝐾 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → 𝐺 ∈ UPGraph)
10	1, 2, 6, 7, 8, 9	edginwlkd 16296	. 2 ⊢ (((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝐹 ∈ Word dom 𝐼) ∧ 𝐾 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → (𝐼‘(𝐹‘𝐾)) ∈ 𝐸)
11	10	ex 115	1 ⊢ ((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝐹 ∈ Word dom 𝐼) → (𝐾 ∈ (0..^(♯‘𝐹)) → (𝐼‘(𝐹‘𝐾)) ∈ 𝐸))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1398   ∈ wcel 2202  dom cdm 4731  Fun wfun 5327  ‘cfv 5333  (class class class)co 6028  0cc0 8092  ..^cfzo 10439  ♯chash 11100  Word cword 11179  iEdgciedg 15954  Edgcedg 15998  UHGraphcuhgr 16008  UPGraphcupgr 16032

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4209  ax-sep 4212  ax-nul 4220  ax-pow 4270  ax-pr 4305  ax-un 4536  ax-setind 4641  ax-iinf 4692  ax-cnex 8183  ax-resscn 8184  ax-1cn 8185  ax-1re 8186  ax-icn 8187  ax-addcl 8188  ax-addrcl 8189  ax-mulcl 8190  ax-addcom 8192  ax-mulcom 8193  ax-addass 8194  ax-mulass 8195  ax-distr 8196  ax-i2m1 8197  ax-0lt1 8198  ax-1rid 8199  ax-0id 8200  ax-rnegex 8201  ax-cnre 8203  ax-pre-ltirr 8204  ax-pre-ltwlin 8205  ax-pre-lttrn 8206  ax-pre-apti 8207  ax-pre-ltadd 8208

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ne 2404  df-nel 2499  df-ral 2516  df-rex 2517  df-reu 2518  df-rab 2520  df-v 2805  df-sbc 3033  df-csb 3129  df-dif 3203  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-nul 3497  df-if 3608  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-uni 3899  df-int 3934  df-iun 3977  df-br 4094  df-opab 4156  df-mpt 4157  df-tr 4193  df-id 4396  df-iord 4469  df-on 4471  df-ilim 4472  df-suc 4474  df-iom 4695  df-xp 4737  df-rel 4738  df-cnv 4739  df-co 4740  df-dm 4741  df-rn 4742  df-res 4743  df-ima 4744  df-iota 5293  df-fun 5335  df-fn 5336  df-f 5337  df-f1 5338  df-fo 5339  df-f1o 5340  df-fv 5341  df-riota 5981  df-ov 6031  df-oprab 6032  df-mpo 6033  df-1st 6312  df-2nd 6313  df-recs 6514  df-frec 6600  df-1o 6625  df-2o 6626  df-er 6745  df-en 6953  df-dom 6954  df-fin 6955  df-pnf 8275  df-mnf 8276  df-xr 8277  df-ltxr 8278  df-le 8279  df-sub 8411  df-neg 8412  df-inn 9203  df-2 9261  df-3 9262  df-4 9263  df-5 9264  df-6 9265  df-7 9266  df-8 9267  df-9 9268  df-n0 9462  df-z 9541  df-dec 9673  df-uz 9817  df-fz 10306  df-fzo 10440  df-ihash 11101  df-word 11180  df-ndx 13165  df-slot 13166  df-base 13168  df-edgf 15946  df-vtx 15955  df-iedg 15956  df-edg 15999  df-uhgrm 16010  df-upgren 16034

This theorem is referenced by:  upgriswlkdc  16301  upgrwlkvtxedg  16305