ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  xp1d2m1eqxm1d2 GIF version

Theorem xp1d2m1eqxm1d2 9238
Description: A complex number increased by 1, then divided by 2, then decreased by 1 equals the complex number decreased by 1 and then divided by 2. (Contributed by AV, 24-May-2020.)
Assertion
Ref Expression
xp1d2m1eqxm1d2 (𝑋 ∈ ℂ → (((𝑋 + 1) / 2) − 1) = ((𝑋 − 1) / 2))

Proof of Theorem xp1d2m1eqxm1d2
StepHypRef Expression
1 peano2cn 8156 . . . 4 (𝑋 ∈ ℂ → (𝑋 + 1) ∈ ℂ)
21halfcld 9230 . . 3 (𝑋 ∈ ℂ → ((𝑋 + 1) / 2) ∈ ℂ)
3 peano2cnm 8287 . . 3 (((𝑋 + 1) / 2) ∈ ℂ → (((𝑋 + 1) / 2) − 1) ∈ ℂ)
42, 3syl 14 . 2 (𝑋 ∈ ℂ → (((𝑋 + 1) / 2) − 1) ∈ ℂ)
5 peano2cnm 8287 . . 3 (𝑋 ∈ ℂ → (𝑋 − 1) ∈ ℂ)
65halfcld 9230 . 2 (𝑋 ∈ ℂ → ((𝑋 − 1) / 2) ∈ ℂ)
7 2cnd 9057 . 2 (𝑋 ∈ ℂ → 2 ∈ ℂ)
8 2ap0 9077 . . 3 2 # 0
98a1i 9 . 2 (𝑋 ∈ ℂ → 2 # 0)
10 1cnd 8037 . . . 4 (𝑋 ∈ ℂ → 1 ∈ ℂ)
112, 10, 7subdird 8436 . . 3 (𝑋 ∈ ℂ → ((((𝑋 + 1) / 2) − 1) · 2) = ((((𝑋 + 1) / 2) · 2) − (1 · 2)))
121, 7, 9divcanap1d 8812 . . . 4 (𝑋 ∈ ℂ → (((𝑋 + 1) / 2) · 2) = (𝑋 + 1))
137mulid2d 8040 . . . 4 (𝑋 ∈ ℂ → (1 · 2) = 2)
1412, 13oveq12d 5937 . . 3 (𝑋 ∈ ℂ → ((((𝑋 + 1) / 2) · 2) − (1 · 2)) = ((𝑋 + 1) − 2))
155, 7, 9divcanap1d 8812 . . . 4 (𝑋 ∈ ℂ → (((𝑋 − 1) / 2) · 2) = (𝑋 − 1))
16 2m1e1 9102 . . . . . 6 (2 − 1) = 1
1716a1i 9 . . . . 5 (𝑋 ∈ ℂ → (2 − 1) = 1)
1817oveq2d 5935 . . . 4 (𝑋 ∈ ℂ → (𝑋 − (2 − 1)) = (𝑋 − 1))
19 id 19 . . . . 5 (𝑋 ∈ ℂ → 𝑋 ∈ ℂ)
2019, 7, 10subsub3d 8362 . . . 4 (𝑋 ∈ ℂ → (𝑋 − (2 − 1)) = ((𝑋 + 1) − 2))
2115, 18, 203eqtr2rd 2233 . . 3 (𝑋 ∈ ℂ → ((𝑋 + 1) − 2) = (((𝑋 − 1) / 2) · 2))
2211, 14, 213eqtrd 2230 . 2 (𝑋 ∈ ℂ → ((((𝑋 + 1) / 2) − 1) · 2) = (((𝑋 − 1) / 2) · 2))
234, 6, 7, 9, 22mulcanap2ad 8685 1 (𝑋 ∈ ℂ → (((𝑋 + 1) / 2) − 1) = ((𝑋 − 1) / 2))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1364  wcel 2164   class class class wbr 4030  (class class class)co 5919  cc 7872  0cc0 7874  1c1 7875   + caddc 7877   · cmul 7879  cmin 8192   # cap 8602   / cdiv 8693  2c2 9035
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-sep 4148  ax-pow 4204  ax-pr 4239  ax-un 4465  ax-setind 4570  ax-cnex 7965  ax-resscn 7966  ax-1cn 7967  ax-1re 7968  ax-icn 7969  ax-addcl 7970  ax-addrcl 7971  ax-mulcl 7972  ax-mulrcl 7973  ax-addcom 7974  ax-mulcom 7975  ax-addass 7976  ax-mulass 7977  ax-distr 7978  ax-i2m1 7979  ax-0lt1 7980  ax-1rid 7981  ax-0id 7982  ax-rnegex 7983  ax-precex 7984  ax-cnre 7985  ax-pre-ltirr 7986  ax-pre-ltwlin 7987  ax-pre-lttrn 7988  ax-pre-apti 7989  ax-pre-ltadd 7990  ax-pre-mulgt0 7991  ax-pre-mulext 7992
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-nel 2460  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rmo 2480  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2987  df-dif 3156  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-pw 3604  df-sn 3625  df-pr 3626  df-op 3628  df-uni 3837  df-br 4031  df-opab 4092  df-id 4325  df-po 4328  df-iso 4329  df-xp 4666  df-rel 4667  df-cnv 4668  df-co 4669  df-dm 4670  df-iota 5216  df-fun 5257  df-fv 5263  df-riota 5874  df-ov 5922  df-oprab 5923  df-mpo 5924  df-pnf 8058  df-mnf 8059  df-xr 8060  df-ltxr 8061  df-le 8062  df-sub 8194  df-neg 8195  df-reap 8596  df-ap 8603  df-div 8694  df-2 9043
This theorem is referenced by:  zob  12035  nno  12050  nn0ob  12052
  Copyright terms: Public domain W3C validator