Theorem xp1d2m1eqxm1d2 9541

Description: A complex number increased by 1, then divided by 2, then decreased by 1 equals the complex number decreased by 1 and then divided by 2. (Contributed by AV, 24-May-2020.)

Assertion

Ref	Expression
xp1d2m1eqxm1d2	⊢ (𝑋 ∈ ℂ → (((𝑋 + 1) / 2) − 1) = ((𝑋 − 1) / 2))

Proof of Theorem xp1d2m1eqxm1d2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		peano2cn 8455	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∈ ℂ → (𝑋 + 1) ∈ ℂ)
2	1	halfcld 9533	. . 3 ⊢ (𝑋 ∈ ℂ → ((𝑋 + 1) / 2) ∈ ℂ)
3		peano2cnm 8586	. . 3 ⊢ (((𝑋 + 1) / 2) ∈ ℂ → (((𝑋 + 1) / 2) − 1) ∈ ℂ)
4	2, 3	syl 14	. 2 ⊢ (𝑋 ∈ ℂ → (((𝑋 + 1) / 2) − 1) ∈ ℂ)
5		peano2cnm 8586	. . 3 ⊢ (𝑋 ∈ ℂ → (𝑋 − 1) ∈ ℂ)
6	5	halfcld 9533	. 2 ⊢ (𝑋 ∈ ℂ → ((𝑋 − 1) / 2) ∈ ℂ)
7		2cnd 9360	. 2 ⊢ (𝑋 ∈ ℂ → 2 ∈ ℂ)
8		2ap0 9380	. . 3 ⊢ 2 # 0
9	8	a1i 9	. 2 ⊢ (𝑋 ∈ ℂ → 2 # 0)
10		1cnd 8336	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∈ ℂ → 1 ∈ ℂ)
11	2, 10, 7	subdird 8736	. . 3 ⊢ (𝑋 ∈ ℂ → ((((𝑋 + 1) / 2) − 1) · 2) = ((((𝑋 + 1) / 2) · 2) − (1 · 2)))
12	1, 7, 9	divcanap1d 9115	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∈ ℂ → (((𝑋 + 1) / 2) · 2) = (𝑋 + 1))
13	7	mullidd 8338	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∈ ℂ → (1 · 2) = 2)
14	12, 13	oveq12d 6097	. . 3 ⊢ (𝑋 ∈ ℂ → ((((𝑋 + 1) / 2) · 2) − (1 · 2)) = ((𝑋 + 1) − 2))
15	5, 7, 9	divcanap1d 9115	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∈ ℂ → (((𝑋 − 1) / 2) · 2) = (𝑋 − 1))
16		2m1e1 9405	. . . . . 6 ⊢ (2 − 1) = 1
17	16	a1i 9	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ∈ ℂ → (2 − 1) = 1)
18	17	oveq2d 6095	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∈ ℂ → (𝑋 − (2 − 1)) = (𝑋 − 1))
19		id 19	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ∈ ℂ → 𝑋 ∈ ℂ)
20	19, 7, 10	subsub3d 8661	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∈ ℂ → (𝑋 − (2 − 1)) = ((𝑋 + 1) − 2))
21	15, 18, 20	3eqtr2rd 2278	. . 3 ⊢ (𝑋 ∈ ℂ → ((𝑋 + 1) − 2) = (((𝑋 − 1) / 2) · 2))
22	11, 14, 21	3eqtrd 2275	. 2 ⊢ (𝑋 ∈ ℂ → ((((𝑋 + 1) / 2) − 1) · 2) = (((𝑋 − 1) / 2) · 2))
23	4, 6, 7, 9, 22	mulcanap2ad 8986	1 ⊢ (𝑋 ∈ ℂ → (((𝑋 + 1) / 2) − 1) = ((𝑋 − 1) / 2))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1402   ∈ wcel 2209   class class class wbr 4128  (class class class)co 6079  ℂcc 8171  0cc0 8173  1c1 8174   + caddc 8176   · cmul 8178   − cmin 8491   # cap 8903   / cdiv 8996  2c2 9338

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4247  ax-pow 4309  ax-pr 4344  ax-un 4576  ax-setind 4682  ax-cnex 8264  ax-resscn 8265  ax-1cn 8266  ax-1re 8267  ax-icn 8268  ax-addcl 8269  ax-addrcl 8270  ax-mulcl 8271  ax-mulrcl 8272  ax-addcom 8273  ax-mulcom 8274  ax-addass 8275  ax-mulass 8276  ax-distr 8277  ax-i2m1 8278  ax-0lt1 8279  ax-1rid 8280  ax-0id 8281  ax-rnegex 8282  ax-precex 8283  ax-cnre 8284  ax-pre-ltirr 8285  ax-pre-ltwlin 8286  ax-pre-lttrn 8287  ax-pre-apti 8288  ax-pre-ltadd 8289  ax-pre-mulgt0 8290  ax-pre-mulext 8291

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3714  df-pr 3715  df-op 3717  df-uni 3934  df-br 4129  df-opab 4191  df-id 4436  df-po 4439  df-iso 4440  df-xp 4778  df-rel 4779  df-cnv 4780  df-co 4781  df-dm 4782  df-iota 5335  df-fun 5377  df-fv 5383  df-riota 6032  df-ov 6082  df-oprab 6083  df-mpo 6084  df-pnf 8356  df-mnf 8357  df-xr 8358  df-ltxr 8359  df-le 8360  df-sub 8493  df-neg 8494  df-reap 8897  df-ap 8904  df-div 8997  df-2 9346

This theorem is referenced by:  zob  12641  nno  12656  nn0ob  12658