ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  xp1d2m1eqxm1d2 GIF version

Theorem xp1d2m1eqxm1d2 9173
Description: A complex number increased by 1, then divided by 2, then decreased by 1 equals the complex number decreased by 1 and then divided by 2. (Contributed by AV, 24-May-2020.)
Assertion
Ref Expression
xp1d2m1eqxm1d2 (๐‘‹ โˆˆ โ„‚ โ†’ (((๐‘‹ + 1) / 2) โˆ’ 1) = ((๐‘‹ โˆ’ 1) / 2))

Proof of Theorem xp1d2m1eqxm1d2
StepHypRef Expression
1 peano2cn 8094 . . . 4 (๐‘‹ โˆˆ โ„‚ โ†’ (๐‘‹ + 1) โˆˆ โ„‚)
21halfcld 9165 . . 3 (๐‘‹ โˆˆ โ„‚ โ†’ ((๐‘‹ + 1) / 2) โˆˆ โ„‚)
3 peano2cnm 8225 . . 3 (((๐‘‹ + 1) / 2) โˆˆ โ„‚ โ†’ (((๐‘‹ + 1) / 2) โˆ’ 1) โˆˆ โ„‚)
42, 3syl 14 . 2 (๐‘‹ โˆˆ โ„‚ โ†’ (((๐‘‹ + 1) / 2) โˆ’ 1) โˆˆ โ„‚)
5 peano2cnm 8225 . . 3 (๐‘‹ โˆˆ โ„‚ โ†’ (๐‘‹ โˆ’ 1) โˆˆ โ„‚)
65halfcld 9165 . 2 (๐‘‹ โˆˆ โ„‚ โ†’ ((๐‘‹ โˆ’ 1) / 2) โˆˆ โ„‚)
7 2cnd 8994 . 2 (๐‘‹ โˆˆ โ„‚ โ†’ 2 โˆˆ โ„‚)
8 2ap0 9014 . . 3 2 # 0
98a1i 9 . 2 (๐‘‹ โˆˆ โ„‚ โ†’ 2 # 0)
10 1cnd 7975 . . . 4 (๐‘‹ โˆˆ โ„‚ โ†’ 1 โˆˆ โ„‚)
112, 10, 7subdird 8374 . . 3 (๐‘‹ โˆˆ โ„‚ โ†’ ((((๐‘‹ + 1) / 2) โˆ’ 1) ยท 2) = ((((๐‘‹ + 1) / 2) ยท 2) โˆ’ (1 ยท 2)))
121, 7, 9divcanap1d 8750 . . . 4 (๐‘‹ โˆˆ โ„‚ โ†’ (((๐‘‹ + 1) / 2) ยท 2) = (๐‘‹ + 1))
137mulid2d 7978 . . . 4 (๐‘‹ โˆˆ โ„‚ โ†’ (1 ยท 2) = 2)
1412, 13oveq12d 5895 . . 3 (๐‘‹ โˆˆ โ„‚ โ†’ ((((๐‘‹ + 1) / 2) ยท 2) โˆ’ (1 ยท 2)) = ((๐‘‹ + 1) โˆ’ 2))
155, 7, 9divcanap1d 8750 . . . 4 (๐‘‹ โˆˆ โ„‚ โ†’ (((๐‘‹ โˆ’ 1) / 2) ยท 2) = (๐‘‹ โˆ’ 1))
16 2m1e1 9039 . . . . . 6 (2 โˆ’ 1) = 1
1716a1i 9 . . . . 5 (๐‘‹ โˆˆ โ„‚ โ†’ (2 โˆ’ 1) = 1)
1817oveq2d 5893 . . . 4 (๐‘‹ โˆˆ โ„‚ โ†’ (๐‘‹ โˆ’ (2 โˆ’ 1)) = (๐‘‹ โˆ’ 1))
19 id 19 . . . . 5 (๐‘‹ โˆˆ โ„‚ โ†’ ๐‘‹ โˆˆ โ„‚)
2019, 7, 10subsub3d 8300 . . . 4 (๐‘‹ โˆˆ โ„‚ โ†’ (๐‘‹ โˆ’ (2 โˆ’ 1)) = ((๐‘‹ + 1) โˆ’ 2))
2115, 18, 203eqtr2rd 2217 . . 3 (๐‘‹ โˆˆ โ„‚ โ†’ ((๐‘‹ + 1) โˆ’ 2) = (((๐‘‹ โˆ’ 1) / 2) ยท 2))
2211, 14, 213eqtrd 2214 . 2 (๐‘‹ โˆˆ โ„‚ โ†’ ((((๐‘‹ + 1) / 2) โˆ’ 1) ยท 2) = (((๐‘‹ โˆ’ 1) / 2) ยท 2))
234, 6, 7, 9, 22mulcanap2ad 8623 1 (๐‘‹ โˆˆ โ„‚ โ†’ (((๐‘‹ + 1) / 2) โˆ’ 1) = ((๐‘‹ โˆ’ 1) / 2))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   = wceq 1353   โˆˆ wcel 2148   class class class wbr 4005  (class class class)co 5877  โ„‚cc 7811  0cc0 7813  1c1 7814   + caddc 7816   ยท cmul 7818   โˆ’ cmin 8130   # cap 8540   / cdiv 8631  2c2 8972
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4123  ax-pow 4176  ax-pr 4211  ax-un 4435  ax-setind 4538  ax-cnex 7904  ax-resscn 7905  ax-1cn 7906  ax-1re 7907  ax-icn 7908  ax-addcl 7909  ax-addrcl 7910  ax-mulcl 7911  ax-mulrcl 7912  ax-addcom 7913  ax-mulcom 7914  ax-addass 7915  ax-mulass 7916  ax-distr 7917  ax-i2m1 7918  ax-0lt1 7919  ax-1rid 7920  ax-0id 7921  ax-rnegex 7922  ax-precex 7923  ax-cnre 7924  ax-pre-ltirr 7925  ax-pre-ltwlin 7926  ax-pre-lttrn 7927  ax-pre-apti 7928  ax-pre-ltadd 7929  ax-pre-mulgt0 7930  ax-pre-mulext 7931
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2741  df-sbc 2965  df-dif 3133  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-br 4006  df-opab 4067  df-id 4295  df-po 4298  df-iso 4299  df-xp 4634  df-rel 4635  df-cnv 4636  df-co 4637  df-dm 4638  df-iota 5180  df-fun 5220  df-fv 5226  df-riota 5833  df-ov 5880  df-oprab 5881  df-mpo 5882  df-pnf 7996  df-mnf 7997  df-xr 7998  df-ltxr 7999  df-le 8000  df-sub 8132  df-neg 8133  df-reap 8534  df-ap 8541  df-div 8632  df-2 8980
This theorem is referenced by:  zob  11898  nno  11913  nn0ob  11915
  Copyright terms: Public domain W3C validator