Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  xp1d2m1eqxm1d2 GIF version

Theorem xp1d2m1eqxm1d2 9016
 Description: A complex number increased by 1, then divided by 2, then decreased by 1 equals the complex number decreased by 1 and then divided by 2. (Contributed by AV, 24-May-2020.)
Assertion
Ref Expression
xp1d2m1eqxm1d2 (𝑋 ∈ ℂ → (((𝑋 + 1) / 2) − 1) = ((𝑋 − 1) / 2))

Proof of Theorem xp1d2m1eqxm1d2
StepHypRef Expression
1 peano2cn 7941 . . . 4 (𝑋 ∈ ℂ → (𝑋 + 1) ∈ ℂ)
21halfcld 9008 . . 3 (𝑋 ∈ ℂ → ((𝑋 + 1) / 2) ∈ ℂ)
3 peano2cnm 8072 . . 3 (((𝑋 + 1) / 2) ∈ ℂ → (((𝑋 + 1) / 2) − 1) ∈ ℂ)
42, 3syl 14 . 2 (𝑋 ∈ ℂ → (((𝑋 + 1) / 2) − 1) ∈ ℂ)
5 peano2cnm 8072 . . 3 (𝑋 ∈ ℂ → (𝑋 − 1) ∈ ℂ)
65halfcld 9008 . 2 (𝑋 ∈ ℂ → ((𝑋 − 1) / 2) ∈ ℂ)
7 2cnd 8837 . 2 (𝑋 ∈ ℂ → 2 ∈ ℂ)
8 2ap0 8857 . . 3 2 # 0
98a1i 9 . 2 (𝑋 ∈ ℂ → 2 # 0)
10 1cnd 7826 . . . 4 (𝑋 ∈ ℂ → 1 ∈ ℂ)
112, 10, 7subdird 8221 . . 3 (𝑋 ∈ ℂ → ((((𝑋 + 1) / 2) − 1) · 2) = ((((𝑋 + 1) / 2) · 2) − (1 · 2)))
121, 7, 9divcanap1d 8595 . . . 4 (𝑋 ∈ ℂ → (((𝑋 + 1) / 2) · 2) = (𝑋 + 1))
137mulid2d 7828 . . . 4 (𝑋 ∈ ℂ → (1 · 2) = 2)
1412, 13oveq12d 5801 . . 3 (𝑋 ∈ ℂ → ((((𝑋 + 1) / 2) · 2) − (1 · 2)) = ((𝑋 + 1) − 2))
155, 7, 9divcanap1d 8595 . . . 4 (𝑋 ∈ ℂ → (((𝑋 − 1) / 2) · 2) = (𝑋 − 1))
16 2m1e1 8882 . . . . . 6 (2 − 1) = 1
1716a1i 9 . . . . 5 (𝑋 ∈ ℂ → (2 − 1) = 1)
1817oveq2d 5799 . . . 4 (𝑋 ∈ ℂ → (𝑋 − (2 − 1)) = (𝑋 − 1))
19 id 19 . . . . 5 (𝑋 ∈ ℂ → 𝑋 ∈ ℂ)
2019, 7, 10subsub3d 8147 . . . 4 (𝑋 ∈ ℂ → (𝑋 − (2 − 1)) = ((𝑋 + 1) − 2))
2115, 18, 203eqtr2rd 2180 . . 3 (𝑋 ∈ ℂ → ((𝑋 + 1) − 2) = (((𝑋 − 1) / 2) · 2))
2211, 14, 213eqtrd 2177 . 2 (𝑋 ∈ ℂ → ((((𝑋 + 1) / 2) − 1) · 2) = (((𝑋 − 1) / 2) · 2))
234, 6, 7, 9, 22mulcanap2ad 8469 1 (𝑋 ∈ ℂ → (((𝑋 + 1) / 2) − 1) = ((𝑋 − 1) / 2))
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1332   ∈ wcel 1481   class class class wbr 3938  (class class class)co 5783  ℂcc 7662  0cc0 7664  1c1 7665   + caddc 7667   · cmul 7669   − cmin 7977   # cap 8387   / cdiv 8476  2c2 8815 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-13 1492  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-sep 4055  ax-pow 4107  ax-pr 4140  ax-un 4364  ax-setind 4461  ax-cnex 7755  ax-resscn 7756  ax-1cn 7757  ax-1re 7758  ax-icn 7759  ax-addcl 7760  ax-addrcl 7761  ax-mulcl 7762  ax-mulrcl 7763  ax-addcom 7764  ax-mulcom 7765  ax-addass 7766  ax-mulass 7767  ax-distr 7768  ax-i2m1 7769  ax-0lt1 7770  ax-1rid 7771  ax-0id 7772  ax-rnegex 7773  ax-precex 7774  ax-cnre 7775  ax-pre-ltirr 7776  ax-pre-ltwlin 7777  ax-pre-lttrn 7778  ax-pre-apti 7779  ax-pre-ltadd 7780  ax-pre-mulgt0 7781  ax-pre-mulext 7782 This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 965  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ne 2310  df-nel 2405  df-ral 2422  df-rex 2423  df-reu 2424  df-rmo 2425  df-rab 2426  df-v 2692  df-sbc 2915  df-dif 3079  df-un 3081  df-in 3083  df-ss 3090  df-pw 3518  df-sn 3539  df-pr 3540  df-op 3542  df-uni 3746  df-br 3939  df-opab 3999  df-id 4224  df-po 4227  df-iso 4228  df-xp 4554  df-rel 4555  df-cnv 4556  df-co 4557  df-dm 4558  df-iota 5097  df-fun 5134  df-fv 5140  df-riota 5739  df-ov 5786  df-oprab 5787  df-mpo 5788  df-pnf 7846  df-mnf 7847  df-xr 7848  df-ltxr 7849  df-le 7850  df-sub 7979  df-neg 7980  df-reap 8381  df-ap 8388  df-div 8477  df-2 8823 This theorem is referenced by:  zob  11644  nno  11659  nn0ob  11661
 Copyright terms: Public domain W3C validator