Theorem ixi 11778

Description: i times itself is minus 1. (Contributed by NM, 6-May-1999.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 19-Nov-2011.)

Assertion

Ref	Expression
ixi	⊢ (i · i) = -1

Proof of Theorem ixi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-neg 11379	. 2 ⊢ -1 = (0 − 1)
2		ax-i2m1 11106	. . 3 ⊢ ((i · i) + 1) = 0
3		0cn 11136	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℂ
4		ax-1cn 11096	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℂ
5		ax-icn 11097	. . . . 5 ⊢ i ∈ ℂ
6	5, 5	mulcli 11151	. . . 4 ⊢ (i · i) ∈ ℂ
7	3, 4, 6	subadd2i 11481	. . 3 ⊢ ((0 − 1) = (i · i) ↔ ((i · i) + 1) = 0)
8	2, 7	mpbir 231	. 2 ⊢ (0 − 1) = (i · i)
9	1, 8	eqtr2i 2761	1 ⊢ (i · i) = -1

Syntax hints:   = wceq 1542  (class class class)co 7368  0cc0 11038  1c1 11039  ici 11040   + caddc 11041   · cmul 11043   − cmin 11376  -cneg 11377

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-id 5527  df-po 5540  df-so 5541  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7325  df-ov 7371  df-oprab 7372  df-mpo 7373  df-er 8645  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-pnf 11180  df-mnf 11181  df-ltxr 11183  df-sub 11378  df-neg 11379

This theorem is referenced by:  recextlem1  11779  inelr  12147  cju  12153  irec  14136  i2  14137  crre  15049  remim  15052  remullem  15063  sqrtneglem  15201  absi  15221  sinhval  16091  coshval  16092  cosadd  16102  absefib  16135  efieq1re  16136  demoivreALT  16138  ncvspi  25124  cphipval2  25209  itgmulc2  25803  tanarg  26596  atandm2  26855  efiasin  26866  asinsinlem  26869  asinsin  26870  asin1  26872  efiatan  26890  atanlogsublem  26893  efiatan2  26895  2efiatan  26896  tanatan  26897  atantan  26901  atans2  26909  dvatan  26913  log2cnv  26922  nvpi  30755  ipasslem10  30927  polid2i  31245  lnophmlem2  32105  1nei  32827  constrmulcl  33949  iexpire  35951  itgmulc2nc  37939  dvasin  37955  sqrtcval  43997