Theorem ixi 11938

Description: i times itself is minus 1. (Contributed by NM, 6-May-1999.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 19-Nov-2011.)

Assertion

Ref	Expression
ixi	⊢ (i · i) = -1

Proof of Theorem ixi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-neg 11537	. 2 ⊢ -1 = (0 − 1)
2		ax-i2m1 11261	. . 3 ⊢ ((i · i) + 1) = 0
3		0cn 11291	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℂ
4		ax-1cn 11251	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℂ
5		ax-icn 11252	. . . . 5 ⊢ i ∈ ℂ
6	5, 5	mulcli 11309	. . . 4 ⊢ (i · i) ∈ ℂ
7	3, 4, 6	subadd2i 11639	. . 3 ⊢ ((0 − 1) = (i · i) ↔ ((i · i) + 1) = 0)
8	2, 7	mpbir 234	. 2 ⊢ (0 − 1) = (i · i)
9	1, 8	eqtr2i 2785	1 ⊢ (i · i) = -1

This proof depends on syntax axioms:   = wceq 1570  (class class class)co 7418  0cc0 11193  1c1 11194  ici 11195   + caddc 11196   · cmul 11198   − cmin 11534  -cneg 11535

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7749  ax-resscn 11250  ax-1cn 11251  ax-icn 11252  ax-addcl 11253  ax-addrcl 11254  ax-mulcl 11255  ax-mulrcl 11256  ax-mulcom 11257  ax-addass 11258  ax-mulass 11259  ax-distr 11260  ax-i2m1 11261  ax-1ne0 11262  ax-1rid 11263  ax-rnegex 11264  ax-rrecex 11265  ax-cnre 11266  ax-pre-lttri 11267  ax-pre-lttrn 11268  ax-pre-ltadd 11269

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-id 5546  df-po 5559  df-so 5560  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7375  df-ov 7421  df-oprab 7422  df-mpo 7423  df-er 8710  df-en 8967  df-dom 8968  df-sdom 8969  df-pnf 11338  df-mnf 11339  df-ltxr 11341  df-sub 11536  df-neg 11537

This theorem is used by:  recextlem1  11939  inelr  12303  cju  12309  irec  14338  i2  14339  crre  15274  remim  15277  remullem  15288  sqrtneglem  15426  absi  15446  sinhval  16315  coshval  16316  cosadd  16326  absefib  16359  efieq1re  16360  demoivreALT  16362  ncvspi  25470  cphipval2  25555  itgmulc2  26147  tanarg  26940  atandm2  27198  efiasin  27209  asinsinlem  27212  asinsin  27213  asin1  27215  efiatan  27233  atanlogsublem  27236  efiatan2  27238  2efiatan  27239  tanatan  27240  atantan  27244  atans2  27252  dvatan  27256  log2cnv  27265  nvpi  31262  ipasslem10  31434  polid2i  31752  lnophmlem2  32612  1nei  33322  constrmulcl  34396  iexpire  36479  itgmulc2nc  38586  dvasin  38602  sqrtcval  44626