Theorem ixi 11738

Description: i times itself is minus 1. (Contributed by NM, 6-May-1999.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 19-Nov-2011.)

Assertion

Ref	Expression
ixi	⊢ (i · i) = -1

Proof of Theorem ixi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-neg 11339	. 2 ⊢ -1 = (0 − 1)
2		ax-i2m1 11066	. . 3 ⊢ ((i · i) + 1) = 0
3		0cn 11096	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℂ
4		ax-1cn 11056	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℂ
5		ax-icn 11057	. . . . 5 ⊢ i ∈ ℂ
6	5, 5	mulcli 11111	. . . 4 ⊢ (i · i) ∈ ℂ
7	3, 4, 6	subadd2i 11441	. . 3 ⊢ ((0 − 1) = (i · i) ↔ ((i · i) + 1) = 0)
8	2, 7	mpbir 231	. 2 ⊢ (0 − 1) = (i · i)
9	1, 8	eqtr2i 2754	1 ⊢ (i · i) = -1

Syntax hints:   = wceq 1541  (class class class)co 7341  0cc0 10998  1c1 10999  ici 11000   + caddc 11001   · cmul 11003   − cmin 11336  -cneg 11337

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2179  ax-ext 2702  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5301  ax-pr 5368  ax-un 7663  ax-resscn 11055  ax-1cn 11056  ax-icn 11057  ax-addcl 11058  ax-addrcl 11059  ax-mulcl 11060  ax-mulrcl 11061  ax-mulcom 11062  ax-addass 11063  ax-mulass 11064  ax-distr 11065  ax-i2m1 11066  ax-1ne0 11067  ax-1rid 11068  ax-rnegex 11069  ax-rrecex 11070  ax-cnre 11071  ax-pre-lttri 11072  ax-pre-lttrn 11073  ax-pre-ltadd 11074

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-reu 3345  df-rab 3394  df-v 3436  df-sbc 3740  df-csb 3849  df-dif 3903  df-un 3905  df-in 3907  df-ss 3917  df-nul 4282  df-if 4474  df-pw 4550  df-sn 4575  df-pr 4577  df-op 4581  df-uni 4858  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5171  df-id 5509  df-po 5522  df-so 5523  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-iota 6433  df-fun 6479  df-fn 6480  df-f 6481  df-f1 6482  df-fo 6483  df-f1o 6484  df-fv 6485  df-riota 7298  df-ov 7344  df-oprab 7345  df-mpo 7346  df-er 8617  df-en 8865  df-dom 8866  df-sdom 8867  df-pnf 11140  df-mnf 11141  df-ltxr 11143  df-sub 11338  df-neg 11339

This theorem is referenced by:  recextlem1  11739  inelr  12107  cju  12113  irec  14100  i2  14101  crre  15013  remim  15016  remullem  15027  sqrtneglem  15165  absi  15185  sinhval  16055  coshval  16056  cosadd  16066  absefib  16099  efieq1re  16100  demoivreALT  16102  ncvspi  25076  cphipval2  25161  itgmulc2  25755  tanarg  26548  atandm2  26807  efiasin  26818  asinsinlem  26821  asinsin  26822  asin1  26824  efiatan  26842  atanlogsublem  26845  efiatan2  26847  2efiatan  26848  tanatan  26849  atantan  26853  atans2  26861  dvatan  26865  log2cnv  26874  nvpi  30637  ipasslem10  30809  polid2i  31127  lnophmlem2  31987  1nei  32710  constrmulcl  33774  iexpire  35747  itgmulc2nc  37707  dvasin  37723  sqrtcval  43653