Theorem ixi 11775

Description: i times itself is minus 1. (Contributed by NM, 6-May-1999.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 19-Nov-2011.)

Assertion

Ref	Expression
ixi	⊢ (i · i) = -1

Proof of Theorem ixi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-neg 11376	. 2 ⊢ -1 = (0 − 1)
2		ax-i2m1 11102	. . 3 ⊢ ((i · i) + 1) = 0
3		0cn 11132	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℂ
4		ax-1cn 11092	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℂ
5		ax-icn 11093	. . . . 5 ⊢ i ∈ ℂ
6	5, 5	mulcli 11148	. . . 4 ⊢ (i · i) ∈ ℂ
7	3, 4, 6	subadd2i 11478	. . 3 ⊢ ((0 − 1) = (i · i) ↔ ((i · i) + 1) = 0)
8	2, 7	mpbir 233	. 2 ⊢ (0 − 1) = (i · i)
9	1, 8	eqtr2i 2765	1 ⊢ (i · i) = -1

Syntax hints:   = wceq 1548  (class class class)co 7359  0cc0 11034  1c1 11035  ici 11036   + caddc 11037   · cmul 11039   − cmin 11373  -cneg 11374

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1975  ax-7 2016  ax-8 2123  ax-9 2131  ax-10 2154  ax-11 2170  ax-12 2191  ax-ext 2713  ax-sep 5220  ax-nul 5230  ax-pow 5296  ax-pr 5364  ax-un 7681  ax-resscn 11091  ax-1cn 11092  ax-icn 11093  ax-addcl 11094  ax-addrcl 11095  ax-mulcl 11096  ax-mulrcl 11097  ax-mulcom 11098  ax-addass 11099  ax-mulass 11100  ax-distr 11101  ax-i2m1 11102  ax-1ne0 11103  ax-1rid 11104  ax-rnegex 11105  ax-rrecex 11106  ax-cnre 11107  ax-pre-lttri 11108  ax-pre-lttrn 11109  ax-pre-ltadd 11110

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 398  df-or 855  df-3or 1094  df-3an 1095  df-tru 1551  df-fal 1561  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2075  df-mo 2545  df-eu 2575  df-clab 2720  df-cleq 2733  df-clel 2816  df-nfc 2890  df-ne 2937  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3066  df-reu 3347  df-rab 3394  df-v 3435  df-sbc 3725  df-csb 3833  df-dif 3887  df-un 3889  df-in 3891  df-ss 3901  df-nul 4264  df-if 4457  df-pw 4533  df-sn 4558  df-pr 4560  df-op 4564  df-uni 4841  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5156  df-id 5515  df-po 5528  df-so 5529  df-xp 5626  df-rel 5627  df-cnv 5628  df-co 5629  df-dm 5630  df-rn 5631  df-res 5632  df-ima 5633  df-iota 6444  df-fun 6490  df-fn 6491  df-f 6492  df-f1 6493  df-fo 6494  df-f1o 6495  df-fv 6496  df-riota 7316  df-ov 7362  df-oprab 7363  df-mpo 7364  df-er 8637  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-pnf 11177  df-mnf 11178  df-ltxr 11180  df-sub 11375  df-neg 11376

This theorem is referenced by:  recextlem1  11776  inelr  12144  cju  12150  irec  14158  i2  14159  crre  15071  remim  15074  remullem  15085  sqrtneglem  15223  absi  15243  sinhval  16116  coshval  16117  cosadd  16127  absefib  16160  efieq1re  16161  demoivreALT  16163  ncvspi  25144  cphipval2  25229  itgmulc2  25822  tanarg  26604  atandm2  26862  efiasin  26873  asinsinlem  26876  asinsin  26877  asin1  26879  efiatan  26897  atanlogsublem  26900  efiatan2  26902  2efiatan  26903  tanatan  26904  atantan  26908  atans2  26916  dvatan  26920  log2cnv  26929  nvpi  30758  ipasslem10  30930  polid2i  31248  lnophmlem2  32108  1nei  32831  constrmulcl  33965  iexpire  35976  itgmulc2nc  38068  dvasin  38084  sqrtcval  44098