Theorem ixi 11706

Description: i times itself is minus 1. (Contributed by NM, 6-May-1999.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 19-Nov-2011.)

Assertion

Ref	Expression
ixi	⊢ (i · i) = -1

Proof of Theorem ixi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-neg 11310	. 2 ⊢ -1 = (0 − 1)
2		ax-i2m1 11041	. . 3 ⊢ ((i · i) + 1) = 0
3		0cn 11069	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℂ
4		ax-1cn 11031	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℂ
5		ax-icn 11032	. . . . 5 ⊢ i ∈ ℂ
6	5, 5	mulcli 11084	. . . 4 ⊢ (i · i) ∈ ℂ
7	3, 4, 6	subadd2i 11411	. . 3 ⊢ ((0 − 1) = (i · i) ↔ ((i · i) + 1) = 0)
8	2, 7	mpbir 230	. 2 ⊢ (0 − 1) = (i · i)
9	1, 8	eqtr2i 2765	1 ⊢ (i · i) = -1

Syntax hints:   = wceq 1540  (class class class)co 7338  0cc0 10973  1c1 10974  ici 10975   + caddc 10976   · cmul 10978   − cmin 11307  -cneg 11308

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2707  ax-sep 5244  ax-nul 5251  ax-pow 5309  ax-pr 5373  ax-un 7651  ax-resscn 11030  ax-1cn 11031  ax-icn 11032  ax-addcl 11033  ax-addrcl 11034  ax-mulcl 11035  ax-mulrcl 11036  ax-mulcom 11037  ax-addass 11038  ax-mulass 11039  ax-distr 11040  ax-i2m1 11041  ax-1ne0 11042  ax-1rid 11043  ax-rnegex 11044  ax-rrecex 11045  ax-cnre 11046  ax-pre-lttri 11047  ax-pre-lttrn 11048  ax-pre-ltadd 11049

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3350  df-rab 3404  df-v 3443  df-sbc 3728  df-csb 3844  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-nul 4271  df-if 4475  df-pw 4550  df-sn 4575  df-pr 4577  df-op 4581  df-uni 4854  df-br 5094  df-opab 5156  df-mpt 5177  df-id 5519  df-po 5533  df-so 5534  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-iota 6432  df-fun 6482  df-fn 6483  df-f 6484  df-f1 6485  df-fo 6486  df-f1o 6487  df-fv 6488  df-riota 7294  df-ov 7341  df-oprab 7342  df-mpo 7343  df-er 8570  df-en 8806  df-dom 8807  df-sdom 8808  df-pnf 11113  df-mnf 11114  df-ltxr 11116  df-sub 11309  df-neg 11310

This theorem is referenced by:  recextlem1  11707  inelr  12065  cju  12071  irec  14020  i2  14021  crre  14925  remim  14928  remullem  14939  sqrtneglem  15078  absi  15098  sinhval  15963  coshval  15964  cosadd  15974  absefib  16007  efieq1re  16008  demoivreALT  16010  ncvspi  24427  cphipval2  24512  itgmulc2  25105  tanarg  25881  atandm2  26134  efiasin  26145  asinsinlem  26148  asinsin  26149  asin1  26151  efiatan  26169  atanlogsublem  26172  efiatan2  26174  2efiatan  26175  tanatan  26176  atantan  26180  atans2  26188  dvatan  26192  log2cnv  26201  nvpi  29318  ipasslem10  29490  polid2i  29808  lnophmlem2  30668  1nei  31358  iexpire  33993  itgmulc2nc  36001  dvasin  36017  sqrtcval  41622