Theorem ixi 11604

Description: i times itself is minus 1. (Contributed by NM, 6-May-1999.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 19-Nov-2011.)

Assertion

Ref	Expression
ixi	⊢ (i · i) = -1

Proof of Theorem ixi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-neg 11208	. 2 ⊢ -1 = (0 − 1)
2		ax-i2m1 10939	. . 3 ⊢ ((i · i) + 1) = 0
3		0cn 10967	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℂ
4		ax-1cn 10929	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℂ
5		ax-icn 10930	. . . . 5 ⊢ i ∈ ℂ
6	5, 5	mulcli 10982	. . . 4 ⊢ (i · i) ∈ ℂ
7	3, 4, 6	subadd2i 11309	. . 3 ⊢ ((0 − 1) = (i · i) ↔ ((i · i) + 1) = 0)
8	2, 7	mpbir 230	. 2 ⊢ (0 − 1) = (i · i)
9	1, 8	eqtr2i 2767	1 ⊢ (i · i) = -1

Syntax hints:   = wceq 1539  (class class class)co 7275  0cc0 10871  1c1 10872  ici 10873   + caddc 10874   · cmul 10876   − cmin 11205  -cneg 11206

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-id 5489  df-po 5503  df-so 5504  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-er 8498  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-ltxr 11014  df-sub 11207  df-neg 11208

This theorem is referenced by:  recextlem1  11605  inelr  11963  cju  11969  irec  13918  i2  13919  crre  14825  remim  14828  remullem  14839  sqrtneglem  14978  absi  14998  sinhval  15863  coshval  15864  cosadd  15874  absefib  15907  efieq1re  15908  demoivreALT  15910  ncvspi  24320  cphipval2  24405  itgmulc2  24998  tanarg  25774  atandm2  26027  efiasin  26038  asinsinlem  26041  asinsin  26042  asin1  26044  efiatan  26062  atanlogsublem  26065  efiatan2  26067  2efiatan  26068  tanatan  26069  atantan  26073  atans2  26081  dvatan  26085  log2cnv  26094  nvpi  29029  ipasslem10  29201  polid2i  29519  lnophmlem2  30379  1nei  31071  iexpire  33701  itgmulc2nc  35845  dvasin  35861  sqrtcval  41249