Theorem ixi 11741

Description: i times itself is minus 1. (Contributed by NM, 6-May-1999.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 19-Nov-2011.)

Assertion

Ref	Expression
ixi	⊢ (i · i) = -1

Proof of Theorem ixi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-neg 11342	. 2 ⊢ -1 = (0 − 1)
2		ax-i2m1 11069	. . 3 ⊢ ((i · i) + 1) = 0
3		0cn 11099	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℂ
4		ax-1cn 11059	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℂ
5		ax-icn 11060	. . . . 5 ⊢ i ∈ ℂ
6	5, 5	mulcli 11114	. . . 4 ⊢ (i · i) ∈ ℂ
7	3, 4, 6	subadd2i 11444	. . 3 ⊢ ((0 − 1) = (i · i) ↔ ((i · i) + 1) = 0)
8	2, 7	mpbir 231	. 2 ⊢ (0 − 1) = (i · i)
9	1, 8	eqtr2i 2755	1 ⊢ (i · i) = -1

Syntax hints:   = wceq 1541  (class class class)co 7341  0cc0 11001  1c1 11002  ici 11003   + caddc 11004   · cmul 11006   − cmin 11339  -cneg 11340

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-sep 5229  ax-nul 5239  ax-pow 5298  ax-pr 5365  ax-un 7663  ax-resscn 11058  ax-1cn 11059  ax-icn 11060  ax-addcl 11061  ax-addrcl 11062  ax-mulcl 11063  ax-mulrcl 11064  ax-mulcom 11065  ax-addass 11066  ax-mulass 11067  ax-distr 11068  ax-i2m1 11069  ax-1ne0 11070  ax-1rid 11071  ax-rnegex 11072  ax-rrecex 11073  ax-cnre 11074  ax-pre-lttri 11075  ax-pre-lttrn 11076  ax-pre-ltadd 11077

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-nul 4279  df-if 4471  df-pw 4547  df-sn 4572  df-pr 4574  df-op 4578  df-uni 4855  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-id 5506  df-po 5519  df-so 5520  df-xp 5617  df-rel 5618  df-cnv 5619  df-co 5620  df-dm 5621  df-rn 5622  df-res 5623  df-ima 5624  df-iota 6432  df-fun 6478  df-fn 6479  df-f 6480  df-f1 6481  df-fo 6482  df-f1o 6483  df-fv 6484  df-riota 7298  df-ov 7344  df-oprab 7345  df-mpo 7346  df-er 8617  df-en 8865  df-dom 8866  df-sdom 8867  df-pnf 11143  df-mnf 11144  df-ltxr 11146  df-sub 11341  df-neg 11342

This theorem is referenced by:  recextlem1  11742  inelr  12110  cju  12116  irec  14103  i2  14104  crre  15016  remim  15019  remullem  15030  sqrtneglem  15168  absi  15188  sinhval  16058  coshval  16059  cosadd  16069  absefib  16102  efieq1re  16103  demoivreALT  16105  ncvspi  25078  cphipval2  25163  itgmulc2  25757  tanarg  26550  atandm2  26809  efiasin  26820  asinsinlem  26823  asinsin  26824  asin1  26826  efiatan  26844  atanlogsublem  26847  efiatan2  26849  2efiatan  26850  tanatan  26851  atantan  26855  atans2  26863  dvatan  26867  log2cnv  26876  nvpi  30639  ipasslem10  30811  polid2i  31129  lnophmlem2  31989  1nei  32712  constrmulcl  33776  iexpire  35771  itgmulc2nc  37728  dvasin  37744  sqrtcval  43674