Theorem ixi 11838

Description: i times itself is minus 1. (Contributed by NM, 6-May-1999.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 19-Nov-2011.)

Assertion

Ref	Expression
ixi	⊢ (i · i) = -1

Proof of Theorem ixi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-neg 11439	. 2 ⊢ -1 = (0 − 1)
2		ax-i2m1 11163	. . 3 ⊢ ((i · i) + 1) = 0
3		0cn 11193	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℂ
4		ax-1cn 11153	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℂ
5		ax-icn 11154	. . . . 5 ⊢ i ∈ ℂ
6	5, 5	mulcli 11211	. . . 4 ⊢ (i · i) ∈ ℂ
7	3, 4, 6	subadd2i 11541	. . 3 ⊢ ((0 − 1) = (i · i) ↔ ((i · i) + 1) = 0)
8	2, 7	mpbir 234	. 2 ⊢ (0 − 1) = (i · i)
9	1, 8	eqtr2i 2787	1 ⊢ (i · i) = -1

Syntax hints:   = wceq 1570  (class class class)co 7410  0cc0 11095  1c1 11096  ici 11097   + caddc 11098   · cmul 11100   − cmin 11436  -cneg 11437

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-resscn 11152  ax-1cn 11153  ax-icn 11154  ax-addcl 11155  ax-addrcl 11156  ax-mulcl 11157  ax-mulrcl 11158  ax-mulcom 11159  ax-addass 11160  ax-mulass 11161  ax-distr 11162  ax-i2m1 11163  ax-1ne0 11164  ax-1rid 11165  ax-rnegex 11166  ax-rrecex 11167  ax-cnre 11168  ax-pre-lttri 11169  ax-pre-lttrn 11170  ax-pre-ltadd 11171

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-nul 4287  df-if 4488  df-pw 4564  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4873  df-br 5110  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-id 5556  df-po 5569  df-so 5570  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-er 8690  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-pnf 11240  df-mnf 11241  df-ltxr 11243  df-sub 11438  df-neg 11439

This theorem is referenced by:  recextlem1  11839  inelr  12203  cju  12209  irec  14233  i2  14234  crre  15161  remim  15164  remullem  15175  sqrtneglem  15313  absi  15333  sinhval  16205  coshval  16206  cosadd  16216  absefib  16249  efieq1re  16250  demoivreALT  16252  ncvspi  25315  cphipval2  25400  itgmulc2  25993  tanarg  26784  atandm2  27042  efiasin  27053  asinsinlem  27056  asinsin  27057  asin1  27059  efiatan  27077  atanlogsublem  27080  efiatan2  27082  2efiatan  27083  tanatan  27084  atantan  27088  atans2  27096  dvatan  27100  log2cnv  27109  nvpi  31019  ipasslem10  31191  polid2i  31509  lnophmlem2  32369  1nei  33082  constrmulcl  34161  iexpire  36227  itgmulc2nc  38339  dvasin  38355  sqrtcval  44367