Theorem ixi 11985

Description: i times itself is minus 1. (Contributed by NM, 6-May-1999.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 19-Nov-2011.)

Assertion

Ref	Expression
ixi	⊢ (i · i) = -1

Proof of Theorem ixi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-neg 11583	. 2 ⊢ -1 = (0 − 1)
2		ax-i2m1 11307	. . 3 ⊢ ((i · i) + 1) = 0
3		0cn 11337	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℂ
4		ax-1cn 11297	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℂ
5		ax-icn 11298	. . . . 5 ⊢ i ∈ ℂ
6	5, 5	mulcli 11355	. . . 4 ⊢ (i · i) ∈ ℂ
7	3, 4, 6	subadd2i 11685	. . 3 ⊢ ((0 − 1) = (i · i) ↔ ((i · i) + 1) = 0)
8	2, 7	mpbir 234	. 2 ⊢ (0 − 1) = (i · i)
9	1, 8	eqtr2i 2787	1 ⊢ (i · i) = -1

This proof depends on syntax axioms:   = wceq 1570  (class class class)co 7451  0cc0 11239  1c1 11240  ici 11241   + caddc 11242   · cmul 11244   − cmin 11580   -cneg 11581

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5255  ax-nul 5266  ax-pow 5334  ax-pr 5398  ax-un 7783  ax-resscn 11296  ax-1cn 11297  ax-icn 11298  ax-addcl 11299  ax-addrcl 11300  ax-mulcl 11301  ax-mulrcl 11302  ax-mulcom 11303  ax-addass 11304  ax-mulass 11305  ax-distr 11306  ax-i2m1 11307  ax-1ne0 11308  ax-1rid 11309  ax-rnegex 11310  ax-rrecex 11311  ax-cnre 11312  ax-pre-lttri 11313  ax-pre-lttrn 11314  ax-pre-ltadd 11315

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4841  df-uni 4873  df-br 5109  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-id 5553  df-po 5566  df-so 5567  df-xp 5664  df-rel 5665  df-cnv 5666  df-co 5667  df-dm 5668  df-rn 5669  df-res 5670  df-ima 5671  df-iota 6520  df-fun 6568  df-fn 6569  df-f 6570  df-f1 6571  df-fo 6572  df-f1o 6573  df-fv 6574  df-riota 7408  df-ov 7454  df-oprab 7455  df-mpo 7456  df-er 8755  df-en 9012  df-dom 9013  df-sdom 9014  df-pnf 11384  df-mnf 11385  df-ltxr 11387  df-sub 11582  df-neg 11583

This theorem is used by:  recextlem1  11986  inelr  12350  cju  12356  irec  14385  i2  14386  crre  15324  remim  15327  remullem  15338  sqrtneglem  15476  absi  15496  sinhval  16366  coshval  16367  cosadd  16377  absefib  16410  efieq1re  16411  demoivreALT  16413  ncvspi  25532  cphipval2  25617  itgmulc2  26209  tanarg  27004  atandm2  27262  efiasin  27273  asinsinlem  27276  asinsin  27277  asin1  27279  efiatan  27297  atanlogsublem  27300  efiatan2  27302  2efiatan  27303  tanatan  27304  atantan  27308  atans2  27316  dvatan  27320  log2cnv  27329  nvpi  31326  ipasslem10  31498  polid2i  31816  lnophmlem2  32676  1nei  33425  constrmulcl  34514  iexpire  36715  itgmulc2nc  38874  dvasin  38890  sqrtcval  44902  coshadd  51255