Theorem ixi 11893

Description: i times itself is minus 1. (Contributed by NM, 6-May-1999.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 19-Nov-2011.)

Assertion

Ref	Expression
ixi	⊢ (i · i) = -1

Proof of Theorem ixi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-neg 11497	. 2 ⊢ -1 = (0 − 1)
2		ax-i2m1 11226	. . 3 ⊢ ((i · i) + 1) = 0
3		0cn 11256	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℂ
4		ax-1cn 11216	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℂ
5		ax-icn 11217	. . . . 5 ⊢ i ∈ ℂ
6	5, 5	mulcli 11271	. . . 4 ⊢ (i · i) ∈ ℂ
7	3, 4, 6	subadd2i 11598	. . 3 ⊢ ((0 − 1) = (i · i) ↔ ((i · i) + 1) = 0)
8	2, 7	mpbir 230	. 2 ⊢ (0 − 1) = (i · i)
9	1, 8	eqtr2i 2755	1 ⊢ (i · i) = -1

Syntax hints:   = wceq 1534  (class class class)co 7424  0cc0 11158  1c1 11159  ici 11160   + caddc 11161   · cmul 11163   − cmin 11494  -cneg 11495

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2697  ax-sep 5304  ax-nul 5311  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-resscn 11215  ax-1cn 11216  ax-icn 11217  ax-addcl 11218  ax-addrcl 11219  ax-mulcl 11220  ax-mulrcl 11221  ax-mulcom 11222  ax-addass 11223  ax-mulass 11224  ax-distr 11225  ax-i2m1 11226  ax-1ne0 11227  ax-1rid 11228  ax-rnegex 11229  ax-rrecex 11230  ax-cnre 11231  ax-pre-lttri 11232  ax-pre-lttrn 11233  ax-pre-ltadd 11234

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3464  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4326  df-if 4534  df-pw 4609  df-sn 4634  df-pr 4636  df-op 4640  df-uni 4914  df-br 5154  df-opab 5216  df-mpt 5237  df-id 5580  df-po 5594  df-so 5595  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-iota 6506  df-fun 6556  df-fn 6557  df-f 6558  df-f1 6559  df-fo 6560  df-f1o 6561  df-fv 6562  df-riota 7380  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-er 8734  df-en 8975  df-dom 8976  df-sdom 8977  df-pnf 11300  df-mnf 11301  df-ltxr 11303  df-sub 11496  df-neg 11497

This theorem is referenced by:  recextlem1  11894  inelr  12254  cju  12260  irec  14219  i2  14220  crre  15119  remim  15122  remullem  15133  sqrtneglem  15271  absi  15291  sinhval  16156  coshval  16157  cosadd  16167  absefib  16200  efieq1re  16201  demoivreALT  16203  ncvspi  25175  cphipval2  25260  itgmulc2  25854  tanarg  26646  atandm2  26905  efiasin  26916  asinsinlem  26919  asinsin  26920  asin1  26922  efiatan  26940  atanlogsublem  26943  efiatan2  26945  2efiatan  26946  tanatan  26947  atantan  26951  atans2  26959  dvatan  26963  log2cnv  26972  nvpi  30600  ipasslem10  30772  polid2i  31090  lnophmlem2  31950  1nei  32650  iexpire  35557  itgmulc2nc  37389  dvasin  37405  sqrtcval  43308