Theorem ixi 11849

Description: i times itself is minus 1. (Contributed by NM, 6-May-1999.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 19-Nov-2011.)

Assertion

Ref	Expression
ixi	⊢ (i · i) = -1

Proof of Theorem ixi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-neg 11453	. 2 ⊢ -1 = (0 − 1)
2		ax-i2m1 11182	. . 3 ⊢ ((i · i) + 1) = 0
3		0cn 11212	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℂ
4		ax-1cn 11172	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℂ
5		ax-icn 11173	. . . . 5 ⊢ i ∈ ℂ
6	5, 5	mulcli 11227	. . . 4 ⊢ (i · i) ∈ ℂ
7	3, 4, 6	subadd2i 11554	. . 3 ⊢ ((0 − 1) = (i · i) ↔ ((i · i) + 1) = 0)
8	2, 7	mpbir 230	. 2 ⊢ (0 − 1) = (i · i)
9	1, 8	eqtr2i 2759	1 ⊢ (i · i) = -1

Syntax hints:   = wceq 1539  (class class class)co 7413  0cc0 11114  1c1 11115  ici 11116   + caddc 11117   · cmul 11119   − cmin 11450  -cneg 11451

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7729  ax-resscn 11171  ax-1cn 11172  ax-icn 11173  ax-addcl 11174  ax-addrcl 11175  ax-mulcl 11176  ax-mulrcl 11177  ax-mulcom 11178  ax-addass 11179  ax-mulass 11180  ax-distr 11181  ax-i2m1 11182  ax-1ne0 11183  ax-1rid 11184  ax-rnegex 11185  ax-rrecex 11186  ax-cnre 11187  ax-pre-lttri 11188  ax-pre-lttrn 11189  ax-pre-ltadd 11190

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-id 5575  df-po 5589  df-so 5590  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7369  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-er 8707  df-en 8944  df-dom 8945  df-sdom 8946  df-pnf 11256  df-mnf 11257  df-ltxr 11259  df-sub 11452  df-neg 11453

This theorem is referenced by:  recextlem1  11850  inelr  12208  cju  12214  irec  14171  i2  14172  crre  15067  remim  15070  remullem  15081  sqrtneglem  15219  absi  15239  sinhval  16103  coshval  16104  cosadd  16114  absefib  16147  efieq1re  16148  demoivreALT  16150  ncvspi  24906  cphipval2  24991  itgmulc2  25585  tanarg  26361  atandm2  26616  efiasin  26627  asinsinlem  26630  asinsin  26631  asin1  26633  efiatan  26651  atanlogsublem  26654  efiatan2  26656  2efiatan  26657  tanatan  26658  atantan  26662  atans2  26670  dvatan  26674  log2cnv  26683  nvpi  30185  ipasslem10  30357  polid2i  30675  lnophmlem2  31535  1nei  32226  iexpire  35007  itgmulc2nc  36861  dvasin  36877  sqrtcval  42696