Theorem ixi 11770

Description: i times itself is minus 1. (Contributed by NM, 6-May-1999.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 19-Nov-2011.)

Assertion

Ref	Expression
ixi	⊢ (i · i) = -1

Proof of Theorem ixi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-neg 11371	. 2 ⊢ -1 = (0 − 1)
2		ax-i2m1 11097	. . 3 ⊢ ((i · i) + 1) = 0
3		0cn 11127	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℂ
4		ax-1cn 11087	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℂ
5		ax-icn 11088	. . . . 5 ⊢ i ∈ ℂ
6	5, 5	mulcli 11143	. . . 4 ⊢ (i · i) ∈ ℂ
7	3, 4, 6	subadd2i 11473	. . 3 ⊢ ((0 − 1) = (i · i) ↔ ((i · i) + 1) = 0)
8	2, 7	mpbir 232	. 2 ⊢ (0 − 1) = (i · i)
9	1, 8	eqtr2i 2763	1 ⊢ (i · i) = -1

Syntax hints:   = wceq 1547  (class class class)co 7356  0cc0 11029  1c1 11030  ici 11031   + caddc 11032   · cmul 11034   − cmin 11368  -cneg 11369

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2711  ax-sep 5218  ax-nul 5228  ax-pow 5294  ax-pr 5362  ax-un 7678  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2814  df-nfc 2888  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3064  df-reu 3345  df-rab 3392  df-v 3433  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-nul 4262  df-if 4455  df-pw 4531  df-sn 4556  df-pr 4558  df-op 4562  df-uni 4839  df-br 5073  df-opab 5135  df-mpt 5154  df-id 5513  df-po 5526  df-so 5527  df-xp 5624  df-rel 5625  df-cnv 5626  df-co 5627  df-dm 5628  df-rn 5629  df-res 5630  df-ima 5631  df-iota 6441  df-fun 6487  df-fn 6488  df-f 6489  df-f1 6490  df-fo 6491  df-f1o 6492  df-fv 6493  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-er 8633  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-ltxr 11175  df-sub 11370  df-neg 11371

This theorem is referenced by:  recextlem1  11771  inelr  12140  cju  12146  irec  14154  i2  14155  crre  15067  remim  15070  remullem  15081  sqrtneglem  15219  absi  15239  sinhval  16112  coshval  16113  cosadd  16123  absefib  16156  efieq1re  16157  demoivreALT  16159  ncvspi  25141  cphipval2  25226  itgmulc2  25819  tanarg  26601  atandm2  26859  efiasin  26870  asinsinlem  26873  asinsin  26874  asin1  26876  efiatan  26894  atanlogsublem  26897  efiatan2  26899  2efiatan  26900  tanatan  26901  atantan  26905  atans2  26913  dvatan  26917  log2cnv  26926  nvpi  30756  ipasslem10  30928  polid2i  31246  lnophmlem2  32106  1nei  32829  constrmulcl  33955  iexpire  35963  itgmulc2nc  38055  dvasin  38071  sqrtcval  44085