Theorem ixi 11842

Description: i times itself is minus 1. (Contributed by NM, 6-May-1999.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 19-Nov-2011.)

Assertion

Ref	Expression
ixi	⊢ (i · i) = -1

Proof of Theorem ixi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-neg 11443	. 2 ⊢ -1 = (0 − 1)
2		ax-i2m1 11167	. . 3 ⊢ ((i · i) + 1) = 0
3		0cn 11197	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℂ
4		ax-1cn 11157	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℂ
5		ax-icn 11158	. . . . 5 ⊢ i ∈ ℂ
6	5, 5	mulcli 11215	. . . 4 ⊢ (i · i) ∈ ℂ
7	3, 4, 6	subadd2i 11545	. . 3 ⊢ ((0 − 1) = (i · i) ↔ ((i · i) + 1) = 0)
8	2, 7	mpbir 234	. 2 ⊢ (0 − 1) = (i · i)
9	1, 8	eqtr2i 2793	1 ⊢ (i · i) = -1

Syntax hints:   = wceq 1567  (class class class)co 7411  0cc0 11099  1c1 11100  ici 11101   + caddc 11102   · cmul 11104   − cmin 11440  -cneg 11441

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-sep 5261  ax-nul 5271  ax-pow 5337  ax-pr 5405  ax-un 7733  ax-resscn 11156  ax-1cn 11157  ax-icn 11158  ax-addcl 11159  ax-addrcl 11160  ax-mulcl 11161  ax-mulrcl 11162  ax-mulcom 11163  ax-addass 11164  ax-mulass 11165  ax-distr 11166  ax-i2m1 11167  ax-1ne0 11168  ax-1rid 11169  ax-rnegex 11170  ax-rrecex 11171  ax-cnre 11172  ax-pre-lttri 11173  ax-pre-lttrn 11174  ax-pre-ltadd 11175

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-nul 4295  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4877  df-br 5114  df-opab 5178  df-mpt 5197  df-id 5557  df-po 5570  df-so 5571  df-xp 5668  df-rel 5669  df-cnv 5670  df-co 5671  df-dm 5672  df-rn 5673  df-res 5674  df-ima 5675  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7368  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-er 8693  df-en 8943  df-dom 8944  df-sdom 8945  df-pnf 11244  df-mnf 11245  df-ltxr 11247  df-sub 11442  df-neg 11443

This theorem is referenced by:  recextlem1  11843  inelr  12207  cju  12213  irec  14236  i2  14237  crre  15164  remim  15167  remullem  15178  sqrtneglem  15316  absi  15336  sinhval  16209  coshval  16210  cosadd  16220  absefib  16253  efieq1re  16254  demoivreALT  16256  ncvspi  25283  cphipval2  25368  itgmulc2  25961  tanarg  26749  atandm2  27007  efiasin  27018  asinsinlem  27021  asinsin  27022  asin1  27024  efiatan  27042  atanlogsublem  27045  efiatan2  27047  2efiatan  27048  tanatan  27049  atantan  27053  atans2  27061  dvatan  27065  log2cnv  27074  nvpi  30959  ipasslem10  31131  polid2i  31449  lnophmlem2  32309  1nei  33022  constrmulcl  34105  iexpire  36125  itgmulc2nc  38226  dvasin  38242  sqrtcval  44258