MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ixi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ixi 11261
Description: i times itself is minus 1. (Contributed by NM, 6-May-1999.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 19-Nov-2011.)
Assertion
Ref Expression
ixi (i · i) = -1

Proof of Theorem ixi
StepHypRef Expression
1 df-neg 10865 . 2 -1 = (0 − 1)
2 ax-i2m1 10597 . . 3 ((i · i) + 1) = 0
3 0cn 10625 . . . 4 0 ∈ ℂ
4 ax-1cn 10587 . . . 4 1 ∈ ℂ
5 ax-icn 10588 . . . . 5 i ∈ ℂ
65, 5mulcli 10640 . . . 4 (i · i) ∈ ℂ
73, 4, 6subadd2i 10966 . . 3 ((0 − 1) = (i · i) ↔ ((i · i) + 1) = 0)
82, 7mpbir 233 . 2 (0 − 1) = (i · i)
91, 8eqtr2i 2843 1 (i · i) = -1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1530  (class class class)co 7148  0cc0 10529  1c1 10530  ici 10531   + caddc 10532   · cmul 10534  cmin 10862  -cneg 10863
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1904  ax-6 1963  ax-7 2008  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2153  ax-12 2169  ax-ext 2791  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7453  ax-resscn 10586  ax-1cn 10587  ax-icn 10588  ax-addcl 10589  ax-addrcl 10590  ax-mulcl 10591  ax-mulrcl 10592  ax-mulcom 10593  ax-addass 10594  ax-mulass 10595  ax-distr 10596  ax-i2m1 10597  ax-1ne0 10598  ax-1rid 10599  ax-rnegex 10600  ax-rrecex 10601  ax-cnre 10602  ax-pre-lttri 10603  ax-pre-lttrn 10604  ax-pre-ltadd 10605
This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1082  df-3an 1083  df-tru 1533  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2063  df-mo 2616  df-eu 2648  df-clab 2798  df-cleq 2812  df-clel 2891  df-nfc 2961  df-ne 3015  df-nel 3122  df-ral 3141  df-rex 3142  df-reu 3143  df-rab 3145  df-v 3495  df-sbc 3771  df-csb 3882  df-dif 3937  df-un 3939  df-in 3941  df-ss 3950  df-nul 4290  df-if 4466  df-pw 4539  df-sn 4560  df-pr 4562  df-op 4566  df-uni 4831  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-id 5453  df-po 5467  df-so 5468  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-riota 7106  df-ov 7151  df-oprab 7152  df-mpo 7153  df-er 8281  df-en 8502  df-dom 8503  df-sdom 8504  df-pnf 10669  df-mnf 10670  df-ltxr 10672  df-sub 10864  df-neg 10865
This theorem is referenced by:  recextlem1  11262  inelr  11620  cju  11626  irec  13556  i2  13557  crre  14465  remim  14468  remullem  14479  sqrtneglem  14618  absi  14638  sinhval  15499  coshval  15500  cosadd  15510  absefib  15543  efieq1re  15544  demoivreALT  15546  ncvspi  23752  cphipval2  23836  itgmulc2  24426  tanarg  25194  atandm2  25447  efiasin  25458  asinsinlem  25461  asinsin  25462  asin1  25464  efiatan  25482  atanlogsublem  25485  efiatan2  25487  2efiatan  25488  tanatan  25489  atantan  25493  atans2  25501  dvatan  25505  log2cnv  25514  nvpi  28436  ipasslem10  28608  polid2i  28926  lnophmlem2  29786  1nei  30464  iexpire  32960  itgmulc2nc  34952  dvasin  34970
  Copyright terms: Public domain W3C validator