Theorem ixi 11272

Description: i times itself is minus 1. (Contributed by NM, 6-May-1999.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 19-Nov-2011.)

Assertion

Ref	Expression
ixi	⊢ (i · i) = -1

Proof of Theorem ixi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-neg 10876	. 2 ⊢ -1 = (0 − 1)
2		ax-i2m1 10608	. . 3 ⊢ ((i · i) + 1) = 0
3		0cn 10636	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℂ
4		ax-1cn 10598	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℂ
5		ax-icn 10599	. . . . 5 ⊢ i ∈ ℂ
6	5, 5	mulcli 10651	. . . 4 ⊢ (i · i) ∈ ℂ
7	3, 4, 6	subadd2i 10977	. . 3 ⊢ ((0 − 1) = (i · i) ↔ ((i · i) + 1) = 0)
8	2, 7	mpbir 233	. 2 ⊢ (0 − 1) = (i · i)
9	1, 8	eqtr2i 2848	1 ⊢ (i · i) = -1

Syntax hints:   = wceq 1536  (class class class)co 7159  0cc0 10540  1c1 10541  ici 10542   + caddc 10543   · cmul 10545   − cmin 10873  -cneg 10874

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1969  ax-7 2014  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2176  ax-ext 2796  ax-sep 5206  ax-nul 5213  ax-pow 5269  ax-pr 5333  ax-un 7464  ax-resscn 10597  ax-1cn 10598  ax-icn 10599  ax-addcl 10600  ax-addrcl 10601  ax-mulcl 10602  ax-mulrcl 10603  ax-mulcom 10604  ax-addass 10605  ax-mulass 10606  ax-distr 10607  ax-i2m1 10608  ax-1ne0 10609  ax-1rid 10610  ax-rnegex 10611  ax-rrecex 10612  ax-cnre 10613  ax-pre-lttri 10614  ax-pre-lttrn 10615  ax-pre-ltadd 10616

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1539  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2069  df-mo 2621  df-eu 2653  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2966  df-ne 3020  df-nel 3127  df-ral 3146  df-rex 3147  df-reu 3148  df-rab 3150  df-v 3499  df-sbc 3776  df-csb 3887  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3955  df-nul 4295  df-if 4471  df-pw 4544  df-sn 4571  df-pr 4573  df-op 4577  df-uni 4842  df-br 5070  df-opab 5132  df-mpt 5150  df-id 5463  df-po 5477  df-so 5478  df-xp 5564  df-rel 5565  df-cnv 5566  df-co 5567  df-dm 5568  df-rn 5569  df-res 5570  df-ima 5571  df-iota 6317  df-fun 6360  df-fn 6361  df-f 6362  df-f1 6363  df-fo 6364  df-f1o 6365  df-fv 6366  df-riota 7117  df-ov 7162  df-oprab 7163  df-mpo 7164  df-er 8292  df-en 8513  df-dom 8514  df-sdom 8515  df-pnf 10680  df-mnf 10681  df-ltxr 10683  df-sub 10875  df-neg 10876

This theorem is referenced by:  recextlem1  11273  inelr  11631  cju  11637  irec  13567  i2  13568  crre  14476  remim  14479  remullem  14490  sqrtneglem  14629  absi  14649  sinhval  15510  coshval  15511  cosadd  15521  absefib  15554  efieq1re  15555  demoivreALT  15557  ncvspi  23763  cphipval2  23847  itgmulc2  24437  tanarg  25205  atandm2  25458  efiasin  25469  asinsinlem  25472  asinsin  25473  asin1  25475  efiatan  25493  atanlogsublem  25496  efiatan2  25498  2efiatan  25499  tanatan  25500  atantan  25504  atans2  25512  dvatan  25516  log2cnv  25525  nvpi  28447  ipasslem10  28619  polid2i  28937  lnophmlem2  29797  1nei  30475  iexpire  32971  itgmulc2nc  34964  dvasin  34982