Theorem ixi 11866

Description: i times itself is minus 1. (Contributed by NM, 6-May-1999.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 19-Nov-2011.)

Assertion

Ref	Expression
ixi	⊢ (i · i) = -1

Proof of Theorem ixi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-neg 11469	. 2 ⊢ -1 = (0 − 1)
2		ax-i2m1 11197	. . 3 ⊢ ((i · i) + 1) = 0
3		0cn 11227	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℂ
4		ax-1cn 11187	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℂ
5		ax-icn 11188	. . . . 5 ⊢ i ∈ ℂ
6	5, 5	mulcli 11242	. . . 4 ⊢ (i · i) ∈ ℂ
7	3, 4, 6	subadd2i 11571	. . 3 ⊢ ((0 − 1) = (i · i) ↔ ((i · i) + 1) = 0)
8	2, 7	mpbir 231	. 2 ⊢ (0 − 1) = (i · i)
9	1, 8	eqtr2i 2759	1 ⊢ (i · i) = -1

Syntax hints:   = wceq 1540  (class class class)co 7405  0cc0 11129  1c1 11130  ici 11131   + caddc 11132   · cmul 11134   − cmin 11466  -cneg 11467

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pow 5335  ax-pr 5402  ax-un 7729  ax-resscn 11186  ax-1cn 11187  ax-icn 11188  ax-addcl 11189  ax-addrcl 11190  ax-mulcl 11191  ax-mulrcl 11192  ax-mulcom 11193  ax-addass 11194  ax-mulass 11195  ax-distr 11196  ax-i2m1 11197  ax-1ne0 11198  ax-1rid 11199  ax-rnegex 11200  ax-rrecex 11201  ax-cnre 11202  ax-pre-lttri 11203  ax-pre-lttrn 11204  ax-pre-ltadd 11205

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3360  df-rab 3416  df-v 3461  df-sbc 3766  df-csb 3875  df-dif 3929  df-un 3931  df-in 3933  df-ss 3943  df-nul 4309  df-if 4501  df-pw 4577  df-sn 4602  df-pr 4604  df-op 4608  df-uni 4884  df-br 5120  df-opab 5182  df-mpt 5202  df-id 5548  df-po 5561  df-so 5562  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-iota 6484  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-riota 7362  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-er 8719  df-en 8960  df-dom 8961  df-sdom 8962  df-pnf 11271  df-mnf 11272  df-ltxr 11274  df-sub 11468  df-neg 11469

This theorem is referenced by:  recextlem1  11867  inelr  12230  cju  12236  irec  14219  i2  14220  crre  15133  remim  15136  remullem  15147  sqrtneglem  15285  absi  15305  sinhval  16172  coshval  16173  cosadd  16183  absefib  16216  efieq1re  16217  demoivreALT  16219  ncvspi  25108  cphipval2  25193  itgmulc2  25787  tanarg  26580  atandm2  26839  efiasin  26850  asinsinlem  26853  asinsin  26854  asin1  26856  efiatan  26874  atanlogsublem  26877  efiatan2  26879  2efiatan  26880  tanatan  26881  atantan  26885  atans2  26893  dvatan  26897  log2cnv  26906  nvpi  30648  ipasslem10  30820  polid2i  31138  lnophmlem2  31998  1nei  32714  constrmulcl  33805  iexpire  35752  itgmulc2nc  37712  dvasin  37728  sqrtcval  43665