Theorem ixi 11783

Description: i times itself is minus 1. (Contributed by NM, 6-May-1999.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 19-Nov-2011.)

Assertion

Ref	Expression
ixi	⊢ (i · i) = -1

Proof of Theorem ixi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-neg 11384	. 2 ⊢ -1 = (0 − 1)
2		ax-i2m1 11112	. . 3 ⊢ ((i · i) + 1) = 0
3		0cn 11142	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℂ
4		ax-1cn 11102	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℂ
5		ax-icn 11103	. . . . 5 ⊢ i ∈ ℂ
6	5, 5	mulcli 11157	. . . 4 ⊢ (i · i) ∈ ℂ
7	3, 4, 6	subadd2i 11486	. . 3 ⊢ ((0 − 1) = (i · i) ↔ ((i · i) + 1) = 0)
8	2, 7	mpbir 231	. 2 ⊢ (0 − 1) = (i · i)
9	1, 8	eqtr2i 2753	1 ⊢ (i · i) = -1

Syntax hints:   = wceq 1540  (class class class)co 7369  0cc0 11044  1c1 11045  ici 11046   + caddc 11047   · cmul 11049   − cmin 11381  -cneg 11382

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382  ax-un 7691  ax-resscn 11101  ax-1cn 11102  ax-icn 11103  ax-addcl 11104  ax-addrcl 11105  ax-mulcl 11106  ax-mulrcl 11107  ax-mulcom 11108  ax-addass 11109  ax-mulass 11110  ax-distr 11111  ax-i2m1 11112  ax-1ne0 11113  ax-1rid 11114  ax-rnegex 11115  ax-rrecex 11116  ax-cnre 11117  ax-pre-lttri 11118  ax-pre-lttrn 11119  ax-pre-ltadd 11120

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3352  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-id 5526  df-po 5539  df-so 5540  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-riota 7326  df-ov 7372  df-oprab 7373  df-mpo 7374  df-er 8648  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-pnf 11186  df-mnf 11187  df-ltxr 11189  df-sub 11383  df-neg 11384

This theorem is referenced by:  recextlem1  11784  inelr  12152  cju  12158  irec  14142  i2  14143  crre  15056  remim  15059  remullem  15070  sqrtneglem  15208  absi  15228  sinhval  16098  coshval  16099  cosadd  16109  absefib  16142  efieq1re  16143  demoivreALT  16145  ncvspi  25032  cphipval2  25117  itgmulc2  25711  tanarg  26504  atandm2  26763  efiasin  26774  asinsinlem  26777  asinsin  26778  asin1  26780  efiatan  26798  atanlogsublem  26801  efiatan2  26803  2efiatan  26804  tanatan  26805  atantan  26809  atans2  26817  dvatan  26821  log2cnv  26830  nvpi  30569  ipasslem10  30741  polid2i  31059  lnophmlem2  31919  1nei  32633  constrmulcl  33734  iexpire  35695  itgmulc2nc  37655  dvasin  37671  sqrtcval  43603