Theorem ixi 11749

Description: i times itself is minus 1. (Contributed by NM, 6-May-1999.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 19-Nov-2011.)

Assertion

Ref	Expression
ixi	⊢ (i · i) = -1

Proof of Theorem ixi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-neg 11350	. 2 ⊢ -1 = (0 − 1)
2		ax-i2m1 11077	. . 3 ⊢ ((i · i) + 1) = 0
3		0cn 11107	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℂ
4		ax-1cn 11067	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℂ
5		ax-icn 11068	. . . . 5 ⊢ i ∈ ℂ
6	5, 5	mulcli 11122	. . . 4 ⊢ (i · i) ∈ ℂ
7	3, 4, 6	subadd2i 11452	. . 3 ⊢ ((0 − 1) = (i · i) ↔ ((i · i) + 1) = 0)
8	2, 7	mpbir 231	. 2 ⊢ (0 − 1) = (i · i)
9	1, 8	eqtr2i 2753	1 ⊢ (i · i) = -1

Syntax hints:   = wceq 1540  (class class class)co 7349  0cc0 11009  1c1 11010  ici 11011   + caddc 11012   · cmul 11014   − cmin 11347  -cneg 11348

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5235  ax-nul 5245  ax-pow 5304  ax-pr 5371  ax-un 7671  ax-resscn 11066  ax-1cn 11067  ax-icn 11068  ax-addcl 11069  ax-addrcl 11070  ax-mulcl 11071  ax-mulrcl 11072  ax-mulcom 11073  ax-addass 11074  ax-mulass 11075  ax-distr 11076  ax-i2m1 11077  ax-1ne0 11078  ax-1rid 11079  ax-rnegex 11080  ax-rrecex 11081  ax-cnre 11082  ax-pre-lttri 11083  ax-pre-lttrn 11084  ax-pre-ltadd 11085

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3344  df-rab 3395  df-v 3438  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-nul 4285  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4859  df-br 5093  df-opab 5155  df-mpt 5174  df-id 5514  df-po 5527  df-so 5528  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-iota 6438  df-fun 6484  df-fn 6485  df-f 6486  df-f1 6487  df-fo 6488  df-f1o 6489  df-fv 6490  df-riota 7306  df-ov 7352  df-oprab 7353  df-mpo 7354  df-er 8625  df-en 8873  df-dom 8874  df-sdom 8875  df-pnf 11151  df-mnf 11152  df-ltxr 11154  df-sub 11349  df-neg 11350

This theorem is referenced by:  recextlem1  11750  inelr  12118  cju  12124  irec  14108  i2  14109  crre  15021  remim  15024  remullem  15035  sqrtneglem  15173  absi  15193  sinhval  16063  coshval  16064  cosadd  16074  absefib  16107  efieq1re  16108  demoivreALT  16110  ncvspi  25054  cphipval2  25139  itgmulc2  25733  tanarg  26526  atandm2  26785  efiasin  26796  asinsinlem  26799  asinsin  26800  asin1  26802  efiatan  26820  atanlogsublem  26823  efiatan2  26825  2efiatan  26826  tanatan  26827  atantan  26831  atans2  26839  dvatan  26843  log2cnv  26852  nvpi  30611  ipasslem10  30783  polid2i  31101  lnophmlem2  31961  1nei  32680  constrmulcl  33738  iexpire  35708  itgmulc2nc  37668  dvasin  37684  sqrtcval  43614