Theorem ixi 11867

Description: i times itself is minus 1. (Contributed by NM, 6-May-1999.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 19-Nov-2011.)

Assertion

Ref	Expression
ixi	⊢ (i · i) = -1

Proof of Theorem ixi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-neg 11468	. 2 ⊢ -1 = (0 − 1)
2		ax-i2m1 11192	. . 3 ⊢ ((i · i) + 1) = 0
3		0cn 11222	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℂ
4		ax-1cn 11182	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℂ
5		ax-icn 11183	. . . . 5 ⊢ i ∈ ℂ
6	5, 5	mulcli 11240	. . . 4 ⊢ (i · i) ∈ ℂ
7	3, 4, 6	subadd2i 11570	. . 3 ⊢ ((0 − 1) = (i · i) ↔ ((i · i) + 1) = 0)
8	2, 7	mpbir 234	. 2 ⊢ (0 − 1) = (i · i)
9	1, 8	eqtr2i 2784	1 ⊢ (i · i) = -1

This proof depends on syntax axioms:   = wceq 1570  (class class class)co 7413  0cc0 11124  1c1 11125  ici 11126   + caddc 11127   · cmul 11129   − cmin 11465  -cneg 11466

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7736  ax-resscn 11181  ax-1cn 11182  ax-icn 11183  ax-addcl 11184  ax-addrcl 11185  ax-mulcl 11186  ax-mulrcl 11187  ax-mulcom 11188  ax-addass 11189  ax-mulass 11190  ax-distr 11191  ax-i2m1 11192  ax-1ne0 11193  ax-1rid 11194  ax-rnegex 11195  ax-rrecex 11196  ax-cnre 11197  ax-pre-lttri 11198  ax-pre-lttrn 11199  ax-pre-ltadd 11200

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-id 5550  df-po 5563  df-so 5564  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7370  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-er 8696  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-pnf 11269  df-mnf 11270  df-ltxr 11272  df-sub 11467  df-neg 11468

This theorem is used by:  recextlem1  11868  inelr  12232  cju  12238  irec  14265  i2  14266  crre  15201  remim  15204  remullem  15215  sqrtneglem  15353  absi  15373  sinhval  16242  coshval  16243  cosadd  16253  absefib  16286  efieq1re  16287  demoivreALT  16289  ncvspi  25384  cphipval2  25469  itgmulc2  26061  tanarg  26856  atandm2  27114  efiasin  27125  asinsinlem  27128  asinsin  27129  asin1  27131  efiatan  27149  atanlogsublem  27152  efiatan2  27154  2efiatan  27155  tanatan  27156  atantan  27160  atans2  27168  dvatan  27172  log2cnv  27181  nvpi  31148  ipasslem10  31320  polid2i  31638  lnophmlem2  32498  1nei  33208  constrmulcl  34281  iexpire  36314  itgmulc2nc  38437  dvasin  38453  sqrtcval  44481