Theorem ixi 11890

Description: i times itself is minus 1. (Contributed by NM, 6-May-1999.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 19-Nov-2011.)

Assertion

Ref	Expression
ixi	⊢ (i · i) = -1

Proof of Theorem ixi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-neg 11493	. 2 ⊢ -1 = (0 − 1)
2		ax-i2m1 11221	. . 3 ⊢ ((i · i) + 1) = 0
3		0cn 11251	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℂ
4		ax-1cn 11211	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℂ
5		ax-icn 11212	. . . . 5 ⊢ i ∈ ℂ
6	5, 5	mulcli 11266	. . . 4 ⊢ (i · i) ∈ ℂ
7	3, 4, 6	subadd2i 11595	. . 3 ⊢ ((0 − 1) = (i · i) ↔ ((i · i) + 1) = 0)
8	2, 7	mpbir 231	. 2 ⊢ (0 − 1) = (i · i)
9	1, 8	eqtr2i 2764	1 ⊢ (i · i) = -1

Syntax hints:   = wceq 1537  (class class class)co 7431  0cc0 11153  1c1 11154  ici 11155   + caddc 11156   · cmul 11158   − cmin 11490  -cneg 11491

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5583  df-po 5597  df-so 5598  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-ltxr 11298  df-sub 11492  df-neg 11493

This theorem is referenced by:  recextlem1  11891  inelr  12254  cju  12260  irec  14237  i2  14238  crre  15150  remim  15153  remullem  15164  sqrtneglem  15302  absi  15322  sinhval  16187  coshval  16188  cosadd  16198  absefib  16231  efieq1re  16232  demoivreALT  16234  ncvspi  25204  cphipval2  25289  itgmulc2  25884  tanarg  26676  atandm2  26935  efiasin  26946  asinsinlem  26949  asinsin  26950  asin1  26952  efiatan  26970  atanlogsublem  26973  efiatan2  26975  2efiatan  26976  tanatan  26977  atantan  26981  atans2  26989  dvatan  26993  log2cnv  27002  nvpi  30696  ipasslem10  30868  polid2i  31186  lnophmlem2  32046  1nei  32754  iexpire  35715  itgmulc2nc  37675  dvasin  37691  sqrtcval  43631