Theorem ixi 11814

Description: i times itself is minus 1. (Contributed by NM, 6-May-1999.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 19-Nov-2011.)

Assertion

Ref	Expression
ixi	⊢ (i · i) = -1

Proof of Theorem ixi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-neg 11415	. 2 ⊢ -1 = (0 − 1)
2		ax-i2m1 11143	. . 3 ⊢ ((i · i) + 1) = 0
3		0cn 11173	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℂ
4		ax-1cn 11133	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℂ
5		ax-icn 11134	. . . . 5 ⊢ i ∈ ℂ
6	5, 5	mulcli 11188	. . . 4 ⊢ (i · i) ∈ ℂ
7	3, 4, 6	subadd2i 11517	. . 3 ⊢ ((0 − 1) = (i · i) ↔ ((i · i) + 1) = 0)
8	2, 7	mpbir 231	. 2 ⊢ (0 − 1) = (i · i)
9	1, 8	eqtr2i 2754	1 ⊢ (i · i) = -1

Syntax hints:   = wceq 1540  (class class class)co 7390  0cc0 11075  1c1 11076  ici 11077   + caddc 11078   · cmul 11080   − cmin 11412  -cneg 11413

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-id 5536  df-po 5549  df-so 5550  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-er 8674  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-pnf 11217  df-mnf 11218  df-ltxr 11220  df-sub 11414  df-neg 11415

This theorem is referenced by:  recextlem1  11815  inelr  12183  cju  12189  irec  14173  i2  14174  crre  15087  remim  15090  remullem  15101  sqrtneglem  15239  absi  15259  sinhval  16129  coshval  16130  cosadd  16140  absefib  16173  efieq1re  16174  demoivreALT  16176  ncvspi  25063  cphipval2  25148  itgmulc2  25742  tanarg  26535  atandm2  26794  efiasin  26805  asinsinlem  26808  asinsin  26809  asin1  26811  efiatan  26829  atanlogsublem  26832  efiatan2  26834  2efiatan  26835  tanatan  26836  atantan  26840  atans2  26848  dvatan  26852  log2cnv  26861  nvpi  30603  ipasslem10  30775  polid2i  31093  lnophmlem2  31953  1nei  32667  constrmulcl  33768  iexpire  35729  itgmulc2nc  37689  dvasin  37705  sqrtcval  43637