Theorem ixi 10981

Description: i times itself is minus 1. (Contributed by NM, 6-May-1999.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 19-Nov-2011.)

Assertion

Ref	Expression
ixi	⊢ (i · i) = -1

Proof of Theorem ixi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-neg 10588	. 2 ⊢ -1 = (0 − 1)
2		ax-i2m1 10320	. . 3 ⊢ ((i · i) + 1) = 0
3		0cn 10348	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℂ
4		ax-1cn 10310	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℂ
5		ax-icn 10311	. . . . 5 ⊢ i ∈ ℂ
6	5, 5	mulcli 10364	. . . 4 ⊢ (i · i) ∈ ℂ
7	3, 4, 6	subadd2i 10690	. . 3 ⊢ ((0 − 1) = (i · i) ↔ ((i · i) + 1) = 0)
8	2, 7	mpbir 223	. 2 ⊢ (0 − 1) = (i · i)
9	1, 8	eqtr2i 2850	1 ⊢ (i · i) = -1

Syntax hints:   = wceq 1656  (class class class)co 6905  0cc0 10252  1c1 10253  ici 10254   + caddc 10255   · cmul 10257   − cmin 10585  -cneg 10586

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1894  ax-4 1908  ax-5 2009  ax-6 2075  ax-7 2112  ax-8 2166  ax-9 2173  ax-10 2192  ax-11 2207  ax-12 2220  ax-13 2389  ax-ext 2803  ax-sep 5005  ax-nul 5013  ax-pow 5065  ax-pr 5127  ax-un 7209  ax-resscn 10309  ax-1cn 10310  ax-icn 10311  ax-addcl 10312  ax-addrcl 10313  ax-mulcl 10314  ax-mulrcl 10315  ax-mulcom 10316  ax-addass 10317  ax-mulass 10318  ax-distr 10319  ax-i2m1 10320  ax-1ne0 10321  ax-1rid 10322  ax-rnegex 10323  ax-rrecex 10324  ax-cnre 10325  ax-pre-lttri 10326  ax-pre-lttrn 10327  ax-pre-ltadd 10328

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 879  df-3or 1112  df-3an 1113  df-tru 1660  df-ex 1879  df-nf 1883  df-sb 2068  df-mo 2605  df-eu 2640  df-clab 2812  df-cleq 2818  df-clel 2821  df-nfc 2958  df-ne 3000  df-nel 3103  df-ral 3122  df-rex 3123  df-reu 3124  df-rab 3126  df-v 3416  df-sbc 3663  df-csb 3758  df-dif 3801  df-un 3803  df-in 3805  df-ss 3812  df-nul 4145  df-if 4307  df-pw 4380  df-sn 4398  df-pr 4400  df-op 4404  df-uni 4659  df-br 4874  df-opab 4936  df-mpt 4953  df-id 5250  df-po 5263  df-so 5264  df-xp 5348  df-rel 5349  df-cnv 5350  df-co 5351  df-dm 5352  df-rn 5353  df-res 5354  df-ima 5355  df-iota 6086  df-fun 6125  df-fn 6126  df-f 6127  df-f1 6128  df-fo 6129  df-f1o 6130  df-fv 6131  df-riota 6866  df-ov 6908  df-oprab 6909  df-mpt2 6910  df-er 8009  df-en 8223  df-dom 8224  df-sdom 8225  df-pnf 10393  df-mnf 10394  df-ltxr 10396  df-sub 10587  df-neg 10588

This theorem is referenced by:  recextlem1  10982  inelr  11340  cju  11346  irec  13258  i2  13259  crre  14231  remim  14234  remullem  14245  sqrtneglem  14384  absi  14403  sinhval  15256  coshval  15257  cosadd  15267  absefib  15300  efieq1re  15301  demoivreALT  15303  ncvspi  23325  cphipval2  23409  itgmulc2  23999  tanarg  24764  atandm2  25017  efiasin  25028  asinsinlem  25031  asinsin  25032  asin1  25034  efiatan  25052  atanlogsublem  25055  efiatan2  25057  2efiatan  25058  tanatan  25059  atantan  25063  atans2  25071  dvatan  25075  log2cnv  25084  nvpi  28066  ipasslem10  28238  polid2i  28558  lnophmlem2  29420  iexpire  32152  itgmulc2nc  34014  dvasin  34032