Theorem ixi 11807

Description: i times itself is minus 1. (Contributed by NM, 6-May-1999.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 19-Nov-2011.)

Assertion

Ref	Expression
ixi	⊢ (i · i) = -1

Proof of Theorem ixi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-neg 11408	. 2 ⊢ -1 = (0 − 1)
2		ax-i2m1 11136	. . 3 ⊢ ((i · i) + 1) = 0
3		0cn 11166	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℂ
4		ax-1cn 11126	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℂ
5		ax-icn 11127	. . . . 5 ⊢ i ∈ ℂ
6	5, 5	mulcli 11181	. . . 4 ⊢ (i · i) ∈ ℂ
7	3, 4, 6	subadd2i 11510	. . 3 ⊢ ((0 − 1) = (i · i) ↔ ((i · i) + 1) = 0)
8	2, 7	mpbir 231	. 2 ⊢ (0 − 1) = (i · i)
9	1, 8	eqtr2i 2753	1 ⊢ (i · i) = -1

Syntax hints:   = wceq 1540  (class class class)co 7387  0cc0 11068  1c1 11069  ici 11070   + caddc 11071   · cmul 11073   − cmin 11405  -cneg 11406

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711  ax-resscn 11125  ax-1cn 11126  ax-icn 11127  ax-addcl 11128  ax-addrcl 11129  ax-mulcl 11130  ax-mulrcl 11131  ax-mulcom 11132  ax-addass 11133  ax-mulass 11134  ax-distr 11135  ax-i2m1 11136  ax-1ne0 11137  ax-1rid 11138  ax-rnegex 11139  ax-rrecex 11140  ax-cnre 11141  ax-pre-lttri 11142  ax-pre-lttrn 11143  ax-pre-ltadd 11144

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3355  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-id 5533  df-po 5546  df-so 5547  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-riota 7344  df-ov 7390  df-oprab 7391  df-mpo 7392  df-er 8671  df-en 8919  df-dom 8920  df-sdom 8921  df-pnf 11210  df-mnf 11211  df-ltxr 11213  df-sub 11407  df-neg 11408

This theorem is referenced by:  recextlem1  11808  inelr  12176  cju  12182  irec  14166  i2  14167  crre  15080  remim  15083  remullem  15094  sqrtneglem  15232  absi  15252  sinhval  16122  coshval  16123  cosadd  16133  absefib  16166  efieq1re  16167  demoivreALT  16169  ncvspi  25056  cphipval2  25141  itgmulc2  25735  tanarg  26528  atandm2  26787  efiasin  26798  asinsinlem  26801  asinsin  26802  asin1  26804  efiatan  26822  atanlogsublem  26825  efiatan2  26827  2efiatan  26828  tanatan  26829  atantan  26833  atans2  26841  dvatan  26845  log2cnv  26854  nvpi  30596  ipasslem10  30768  polid2i  31086  lnophmlem2  31946  1nei  32660  constrmulcl  33761  iexpire  35722  itgmulc2nc  37682  dvasin  37698  sqrtcval  43630