Theorem ixi 11810

Description: i times itself is minus 1. (Contributed by NM, 6-May-1999.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 19-Nov-2011.)

Assertion

Ref	Expression
ixi	⊢ (i · i) = -1

Proof of Theorem ixi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-neg 11411	. 2 ⊢ -1 = (0 − 1)
2		ax-i2m1 11135	. . 3 ⊢ ((i · i) + 1) = 0
3		0cn 11165	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℂ
4		ax-1cn 11125	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℂ
5		ax-icn 11126	. . . . 5 ⊢ i ∈ ℂ
6	5, 5	mulcli 11183	. . . 4 ⊢ (i · i) ∈ ℂ
7	3, 4, 6	subadd2i 11513	. . 3 ⊢ ((0 − 1) = (i · i) ↔ ((i · i) + 1) = 0)
8	2, 7	mpbir 233	. 2 ⊢ (0 − 1) = (i · i)
9	1, 8	eqtr2i 2785	1 ⊢ (i · i) = -1

Syntax hints:   = wceq 1559  (class class class)co 7391  0cc0 11067  1c1 11068  ici 11069   + caddc 11070   · cmul 11072   − cmin 11408  -cneg 11409

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5319  ax-pr 5387  ax-un 7713  ax-resscn 11124  ax-1cn 11125  ax-icn 11126  ax-addcl 11127  ax-addrcl 11128  ax-mulcl 11129  ax-mulrcl 11130  ax-mulcom 11131  ax-addass 11132  ax-mulass 11133  ax-distr 11134  ax-i2m1 11135  ax-1ne0 11136  ax-1rid 11137  ax-rnegex 11138  ax-rrecex 11139  ax-cnre 11140  ax-pre-lttri 11141  ax-pre-lttrn 11142  ax-pre-ltadd 11143

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1098  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3061  df-ral 3076  df-rex 3086  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4863  df-br 5098  df-opab 5160  df-mpt 5179  df-id 5538  df-po 5551  df-so 5552  df-xp 5649  df-rel 5650  df-cnv 5651  df-co 5652  df-dm 5653  df-rn 5654  df-res 5655  df-ima 5656  df-iota 6472  df-fun 6518  df-fn 6519  df-f 6520  df-f1 6521  df-fo 6522  df-f1o 6523  df-fv 6524  df-riota 7348  df-ov 7394  df-oprab 7395  df-mpo 7396  df-er 8672  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-pnf 11212  df-mnf 11213  df-ltxr 11215  df-sub 11410  df-neg 11411

This theorem is referenced by:  recextlem1  11811  inelr  12179  cju  12185  irec  14208  i2  14209  crre  15132  remim  15135  remullem  15146  sqrtneglem  15284  absi  15304  sinhval  16177  coshval  16178  cosadd  16188  absefib  16221  efieq1re  16222  demoivreALT  16224  ncvspi  25206  cphipval2  25291  itgmulc2  25884  tanarg  26672  atandm2  26930  efiasin  26941  asinsinlem  26944  asinsin  26945  asin1  26947  efiatan  26965  atanlogsublem  26968  efiatan2  26970  2efiatan  26971  tanatan  26972  atantan  26976  atans2  26984  dvatan  26988  log2cnv  26997  nvpi  30827  ipasslem10  30999  polid2i  31317  lnophmlem2  32177  1nei  32900  constrmulcl  34029  iexpire  36046  itgmulc2nc  38148  dvasin  38164  sqrtcval  44178