Theorem ixi 11892

Description: i times itself is minus 1. (Contributed by NM, 6-May-1999.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 19-Nov-2011.)

Assertion

Ref	Expression
ixi	⊢ (i · i) = -1

Proof of Theorem ixi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-neg 11495	. 2 ⊢ -1 = (0 − 1)
2		ax-i2m1 11223	. . 3 ⊢ ((i · i) + 1) = 0
3		0cn 11253	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℂ
4		ax-1cn 11213	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℂ
5		ax-icn 11214	. . . . 5 ⊢ i ∈ ℂ
6	5, 5	mulcli 11268	. . . 4 ⊢ (i · i) ∈ ℂ
7	3, 4, 6	subadd2i 11597	. . 3 ⊢ ((0 − 1) = (i · i) ↔ ((i · i) + 1) = 0)
8	2, 7	mpbir 231	. 2 ⊢ (0 − 1) = (i · i)
9	1, 8	eqtr2i 2766	1 ⊢ (i · i) = -1

Syntax hints:   = wceq 1540  (class class class)co 7431  0cc0 11155  1c1 11156  ici 11157   + caddc 11158   · cmul 11160   − cmin 11492  -cneg 11493

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-id 5578  df-po 5592  df-so 5593  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-ltxr 11300  df-sub 11494  df-neg 11495

This theorem is referenced by:  recextlem1  11893  inelr  12256  cju  12262  irec  14240  i2  14241  crre  15153  remim  15156  remullem  15167  sqrtneglem  15305  absi  15325  sinhval  16190  coshval  16191  cosadd  16201  absefib  16234  efieq1re  16235  demoivreALT  16237  ncvspi  25190  cphipval2  25275  itgmulc2  25869  tanarg  26661  atandm2  26920  efiasin  26931  asinsinlem  26934  asinsin  26935  asin1  26937  efiatan  26955  atanlogsublem  26958  efiatan2  26960  2efiatan  26961  tanatan  26962  atantan  26966  atans2  26974  dvatan  26978  log2cnv  26987  nvpi  30686  ipasslem10  30858  polid2i  31176  lnophmlem2  32036  1nei  32747  iexpire  35735  itgmulc2nc  37695  dvasin  37711  sqrtcval  43654