Theorem ixi 11757

Description: i times itself is minus 1. (Contributed by NM, 6-May-1999.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 19-Nov-2011.)

Assertion

Ref	Expression
ixi	⊢ (i · i) = -1

Proof of Theorem ixi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-neg 11358	. 2 ⊢ -1 = (0 − 1)
2		ax-i2m1 11085	. . 3 ⊢ ((i · i) + 1) = 0
3		0cn 11115	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℂ
4		ax-1cn 11075	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℂ
5		ax-icn 11076	. . . . 5 ⊢ i ∈ ℂ
6	5, 5	mulcli 11130	. . . 4 ⊢ (i · i) ∈ ℂ
7	3, 4, 6	subadd2i 11460	. . 3 ⊢ ((0 − 1) = (i · i) ↔ ((i · i) + 1) = 0)
8	2, 7	mpbir 231	. 2 ⊢ (0 − 1) = (i · i)
9	1, 8	eqtr2i 2757	1 ⊢ (i · i) = -1

Syntax hints:   = wceq 1541  (class class class)co 7355  0cc0 11017  1c1 11018  ici 11019   + caddc 11020   · cmul 11022   − cmin 11355  -cneg 11356

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7677  ax-resscn 11074  ax-1cn 11075  ax-icn 11076  ax-addcl 11077  ax-addrcl 11078  ax-mulcl 11079  ax-mulrcl 11080  ax-mulcom 11081  ax-addass 11082  ax-mulass 11083  ax-distr 11084  ax-i2m1 11085  ax-1ne0 11086  ax-1rid 11087  ax-rnegex 11088  ax-rrecex 11089  ax-cnre 11090  ax-pre-lttri 11091  ax-pre-lttrn 11092  ax-pre-ltadd 11093

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2882  df-ne 2930  df-nel 3034  df-ral 3049  df-rex 3058  df-reu 3348  df-rab 3397  df-v 3439  df-sbc 3738  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-nul 4283  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4861  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-id 5516  df-po 5529  df-so 5530  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-iota 6445  df-fun 6491  df-fn 6492  df-f 6493  df-f1 6494  df-fo 6495  df-f1o 6496  df-fv 6497  df-riota 7312  df-ov 7358  df-oprab 7359  df-mpo 7360  df-er 8631  df-en 8880  df-dom 8881  df-sdom 8882  df-pnf 11159  df-mnf 11160  df-ltxr 11162  df-sub 11357  df-neg 11358

This theorem is referenced by:  recextlem1  11758  inelr  12126  cju  12132  irec  14115  i2  14116  crre  15028  remim  15031  remullem  15042  sqrtneglem  15180  absi  15200  sinhval  16070  coshval  16071  cosadd  16081  absefib  16114  efieq1re  16115  demoivreALT  16117  ncvspi  25103  cphipval2  25188  itgmulc2  25782  tanarg  26575  atandm2  26834  efiasin  26845  asinsinlem  26848  asinsin  26849  asin1  26851  efiatan  26869  atanlogsublem  26872  efiatan2  26874  2efiatan  26875  tanatan  26876  atantan  26880  atans2  26888  dvatan  26892  log2cnv  26901  nvpi  30668  ipasslem10  30840  polid2i  31158  lnophmlem2  32018  1nei  32744  constrmulcl  33856  iexpire  35851  itgmulc2nc  37801  dvasin  37817  sqrtcval  43798