Theorem ixi 11770

Description: i times itself is minus 1. (Contributed by NM, 6-May-1999.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 19-Nov-2011.)

Assertion

Ref	Expression
ixi	⊢ (i · i) = -1

Proof of Theorem ixi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-neg 11371	. 2 ⊢ -1 = (0 − 1)
2		ax-i2m1 11097	. . 3 ⊢ ((i · i) + 1) = 0
3		0cn 11127	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℂ
4		ax-1cn 11087	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℂ
5		ax-icn 11088	. . . . 5 ⊢ i ∈ ℂ
6	5, 5	mulcli 11143	. . . 4 ⊢ (i · i) ∈ ℂ
7	3, 4, 6	subadd2i 11473	. . 3 ⊢ ((0 − 1) = (i · i) ↔ ((i · i) + 1) = 0)
8	2, 7	mpbir 231	. 2 ⊢ (0 − 1) = (i · i)
9	1, 8	eqtr2i 2761	1 ⊢ (i · i) = -1

Syntax hints:   = wceq 1542  (class class class)co 7360  0cc0 11029  1c1 11030  ici 11031   + caddc 11032   · cmul 11034   − cmin 11368  -cneg 11369

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5302  ax-pr 5370  ax-un 7682  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-id 5519  df-po 5532  df-so 5533  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-er 8636  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-ltxr 11175  df-sub 11370  df-neg 11371

This theorem is referenced by:  recextlem1  11771  inelr  12140  cju  12146  irec  14154  i2  14155  crre  15067  remim  15070  remullem  15081  sqrtneglem  15219  absi  15239  sinhval  16112  coshval  16113  cosadd  16123  absefib  16156  efieq1re  16157  demoivreALT  16159  ncvspi  25133  cphipval2  25218  itgmulc2  25811  tanarg  26596  atandm2  26854  efiasin  26865  asinsinlem  26868  asinsin  26869  asin1  26871  efiatan  26889  atanlogsublem  26892  efiatan2  26894  2efiatan  26895  tanatan  26896  atantan  26900  atans2  26908  dvatan  26912  log2cnv  26921  nvpi  30753  ipasslem10  30925  polid2i  31243  lnophmlem2  32103  1nei  32825  constrmulcl  33931  iexpire  35933  itgmulc2nc  38023  dvasin  38039  sqrtcval  44086