Theorem abssor 28326

Description: The absolute value of a surreal is either that surreal or its negative. (Contributed by Scott Fenton, 16-Apr-2025.)

Assertion

Ref	Expression
abssor	⊢ (𝐴 ∈ No → ((abss‘𝐴) = 𝐴 ∨ (abss‘𝐴) = ( -us ‘𝐴)))

Proof of Theorem abssor

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ifeqor 4529	. 2 ⊢ (if( 0s ≤s 𝐴, 𝐴, ( -us ‘𝐴)) = 𝐴 ∨ if( 0s ≤s 𝐴, 𝐴, ( -us ‘𝐴)) = ( -us ‘𝐴))
2		abssval 28319	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ No → (abss‘𝐴) = if( 0s ≤s 𝐴, 𝐴, ( -us ‘𝐴)))
3	2	eqeq1d 2763	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ No → ((abss‘𝐴) = 𝐴 ↔ if( 0s ≤s 𝐴, 𝐴, ( -us ‘𝐴)) = 𝐴))
4	2	eqeq1d 2763	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ No → ((abss‘𝐴) = ( -us ‘𝐴) ↔ if( 0s ≤s 𝐴, 𝐴, ( -us ‘𝐴)) = ( -us ‘𝐴)))
5	3, 4	orbi12d 929	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ No → (((abss‘𝐴) = 𝐴 ∨ (abss‘𝐴) = ( -us ‘𝐴)) ↔ (if( 0s ≤s 𝐴, 𝐴, ( -us ‘𝐴)) = 𝐴 ∨ if( 0s ≤s 𝐴, 𝐴, ( -us ‘𝐴)) = ( -us ‘𝐴))))
6	1, 5	mpbiri 260	1 ⊢ (𝐴 ∈ No → ((abss‘𝐴) = 𝐴 ∨ (abss‘𝐴) = ( -us ‘𝐴)))

Syntax hints:   → wi 4   ∨ wo 858   = wceq 1559   ∈ wcel 2141  ifcif 4477   class class class wbr 5097  ‘cfv 6515   No csur 27691   ≤s cles 27795   0_s c0s 27885   -u_s cnegs 28099  abs_scabss 28317

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-rep 5224  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5319  ax-pr 5387  ax-un 7712

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1098  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-ral 3076  df-rex 3086  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4580  df-pr 4582  df-tp 4584  df-op 4586  df-uni 4863  df-int 4903  df-iun 4948  df-br 5098  df-opab 5160  df-mpt 5179  df-tr 5205  df-id 5538  df-eprel 5543  df-po 5551  df-so 5552  df-fr 5596  df-se 5597  df-we 5598  df-xp 5649  df-rel 5650  df-cnv 5651  df-co 5652  df-dm 5653  df-rn 5654  df-res 5655  df-ima 5656  df-pred 6282  df-ord 6343  df-on 6344  df-suc 6346  df-iota 6471  df-fun 6517  df-fn 6518  df-f 6519  df-f1 6520  df-fo 6521  df-f1o 6522  df-fv 6523  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-2nd 7965  df-frecs 8255  df-wrecs 8286  df-recs 8335  df-1o 8430  df-2o 8431  df-no 27694  df-lts 27695  df-bday 27696  df-slts 27838  df-cuts 27840  df-0s 27887  df-made 27907  df-old 27908  df-left 27910  df-right 27911  df-norec 28018  df-negs 28101  df-abss 28318

This theorem is referenced by:  abslts  28329