Theorem ac6gf 38070

Description: Axiom of Choice. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.)

Hypotheses

Ref	Expression
ac6gf.1	⊢ Ⅎ𝑦𝜓
ac6gf.2	⊢ (𝑦 = (𝑓‘𝑥) → (𝜑 ↔ 𝜓))

Assertion

Ref	Expression
ac6gf	⊢ ((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝜑) → ∃𝑓(𝑓:𝐴⟶𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝜓))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴,𝑦,𝑓   𝑥,𝐵,𝑦,𝑓   𝜑,𝑓

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦)   𝜓(𝑥,𝑦,𝑓)   𝐶(𝑥,𝑦,𝑓)

Proof of Theorem ac6gf

Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cbvrexsvw 3290	. . 3 ⊢ (∃𝑦 ∈ 𝐵 𝜑 ↔ ∃𝑧 ∈ 𝐵 [𝑧 / 𝑦]𝜑)
2	1	ralbii 3084	. 2 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝜑 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑧 ∈ 𝐵 [𝑧 / 𝑦]𝜑)
3		ac6gf.1	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑦𝜓
4		ac6gf.2	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = (𝑓‘𝑥) → (𝜑 ↔ 𝜓))
5	3, 4	sbhypf 3491	. . . 4 ⊢ (𝑧 = (𝑓‘𝑥) → ([𝑧 / 𝑦]𝜑 ↔ 𝜓))
6	5	ac6sg 10404	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐶 → (∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑧 ∈ 𝐵 [𝑧 / 𝑦]𝜑 → ∃𝑓(𝑓:𝐴⟶𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝜓)))
7	6	imp 406	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑧 ∈ 𝐵 [𝑧 / 𝑦]𝜑) → ∃𝑓(𝑓:𝐴⟶𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝜓))
8	2, 7	sylan2b 595	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝜑) → ∃𝑓(𝑓:𝐴⟶𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝜓))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1542  ∃wex 1781  Ⅎwnf 1785  [wsb 2068   ∈ wcel 2114  ∀wral 3052  ∃wrex 3062  ⟶wf 6489  ‘cfv 6493

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5213  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5303  ax-pr 5371  ax-un 7683  ax-reg 9501  ax-inf2 9556  ax-ac2 10379

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-int 4891  df-iun 4936  df-iin 4937  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-se 5579  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6260  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-isom 6502  df-riota 7318  df-ov 7364  df-om 7812  df-2nd 7937  df-frecs 8225  df-wrecs 8256  df-recs 8305  df-rdg 8343  df-en 8888  df-r1 9682  df-rank 9683  df-card 9857  df-ac 10032

This theorem is referenced by:  indexdom  38072