Theorem acncc 10334

Description: An ax-cc 10329 equivalent: every set has choice sets of length ω. (Contributed by Mario Carneiro, 31-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
acncc	⊢ AC ω = V

Proof of Theorem acncc

Dummy variables 𝑓 𝑔 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		vex 3440	. . . . 5 ⊢ 𝑥 ∈ V
2		omex 9539	. . . . 5 ⊢ ω ∈ V
3		isacn 9938	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ V ∧ ω ∈ V) → (𝑥 ∈ AC ω ↔ ∀𝑓 ∈ ((𝒫 𝑥 ∖ {∅}) ↑m ω)∃𝑔∀𝑦 ∈ ω (𝑔‘𝑦) ∈ (𝑓‘𝑦)))
4	1, 2, 3	mp2an 692	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ AC ω ↔ ∀𝑓 ∈ ((𝒫 𝑥 ∖ {∅}) ↑m ω)∃𝑔∀𝑦 ∈ ω (𝑔‘𝑦) ∈ (𝑓‘𝑦))
5		axcc2 10331	. . . . 5 ⊢ ∃𝑔(𝑔 Fn ω ∧ ∀𝑦 ∈ ω ((𝑓‘𝑦) ≠ ∅ → (𝑔‘𝑦) ∈ (𝑓‘𝑦)))
6		elmapi 8776	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑓 ∈ ((𝒫 𝑥 ∖ {∅}) ↑m ω) → 𝑓:ω⟶(𝒫 𝑥 ∖ {∅}))
7		ffvelcdm 7015	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑓:ω⟶(𝒫 𝑥 ∖ {∅}) ∧ 𝑦 ∈ ω) → (𝑓‘𝑦) ∈ (𝒫 𝑥 ∖ {∅}))
8		eldifsni 4741	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑓‘𝑦) ∈ (𝒫 𝑥 ∖ {∅}) → (𝑓‘𝑦) ≠ ∅)
9	7, 8	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑓:ω⟶(𝒫 𝑥 ∖ {∅}) ∧ 𝑦 ∈ ω) → (𝑓‘𝑦) ≠ ∅)
10	6, 9	sylan 580	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑓 ∈ ((𝒫 𝑥 ∖ {∅}) ↑m ω) ∧ 𝑦 ∈ ω) → (𝑓‘𝑦) ≠ ∅)
11		id 22	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑓‘𝑦) ≠ ∅ → (𝑔‘𝑦) ∈ (𝑓‘𝑦)) → ((𝑓‘𝑦) ≠ ∅ → (𝑔‘𝑦) ∈ (𝑓‘𝑦)))
12	10, 11	syl5com 31	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑓 ∈ ((𝒫 𝑥 ∖ {∅}) ↑m ω) ∧ 𝑦 ∈ ω) → (((𝑓‘𝑦) ≠ ∅ → (𝑔‘𝑦) ∈ (𝑓‘𝑦)) → (𝑔‘𝑦) ∈ (𝑓‘𝑦)))
13	12	ralimdva 3141	. . . . . . 7 ⊢ (𝑓 ∈ ((𝒫 𝑥 ∖ {∅}) ↑m ω) → (∀𝑦 ∈ ω ((𝑓‘𝑦) ≠ ∅ → (𝑔‘𝑦) ∈ (𝑓‘𝑦)) → ∀𝑦 ∈ ω (𝑔‘𝑦) ∈ (𝑓‘𝑦)))
14	13	adantld 490	. . . . . 6 ⊢ (𝑓 ∈ ((𝒫 𝑥 ∖ {∅}) ↑m ω) → ((𝑔 Fn ω ∧ ∀𝑦 ∈ ω ((𝑓‘𝑦) ≠ ∅ → (𝑔‘𝑦) ∈ (𝑓‘𝑦))) → ∀𝑦 ∈ ω (𝑔‘𝑦) ∈ (𝑓‘𝑦)))
15	14	eximdv 1917	. . . . 5 ⊢ (𝑓 ∈ ((𝒫 𝑥 ∖ {∅}) ↑m ω) → (∃𝑔(𝑔 Fn ω ∧ ∀𝑦 ∈ ω ((𝑓‘𝑦) ≠ ∅ → (𝑔‘𝑦) ∈ (𝑓‘𝑦))) → ∃𝑔∀𝑦 ∈ ω (𝑔‘𝑦) ∈ (𝑓‘𝑦)))
16	5, 15	mpi 20	. . . 4 ⊢ (𝑓 ∈ ((𝒫 𝑥 ∖ {∅}) ↑m ω) → ∃𝑔∀𝑦 ∈ ω (𝑔‘𝑦) ∈ (𝑓‘𝑦))
17	4, 16	mprgbir 3051	. . 3 ⊢ 𝑥 ∈ AC ω
18	17, 1	2th 264	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ AC ω ↔ 𝑥 ∈ V)
19	18	eqriv 2726	1 ⊢ AC ω = V

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540  ∃wex 1779   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2925  ∀wral 3044  Vcvv 3436   ∖ cdif 3900  ∅c0 4284  𝒫 cpw 4551  {csn 4577   Fn wfn 6477  ⟶wf 6478  ‘cfv 6482  (class class class)co 7349  ωcom 7799   ↑_m cmap 8753  AC wacn 9834

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5218  ax-sep 5235  ax-nul 5245  ax-pow 5304  ax-pr 5371  ax-un 7671  ax-inf2 9537  ax-cc 10329

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3344  df-rab 3395  df-v 3438  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4285  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4859  df-iun 4943  df-br 5093  df-opab 5155  df-mpt 5174  df-tr 5200  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-ord 6310  df-on 6311  df-lim 6312  df-suc 6313  df-iota 6438  df-fun 6484  df-fn 6485  df-f 6486  df-f1 6487  df-fo 6488  df-f1o 6489  df-fv 6490  df-ov 7352  df-oprab 7353  df-mpo 7354  df-om 7800  df-1st 7924  df-2nd 7925  df-er 8625  df-map 8755  df-en 8873  df-acn 9838

This theorem is referenced by:  iunctb  10468