MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  acncc Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem acncc 10478
Description: An ax-cc 10473 equivalent: every set has choice sets of length ω. (Contributed by Mario Carneiro, 31-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
acncc AC ω = V

Proof of Theorem acncc
Dummy variables 𝑓 𝑔 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 vex 3482 . . . . 5 𝑥 ∈ V
2 omex 9681 . . . . 5 ω ∈ V
3 isacn 10082 . . . . 5 ((𝑥 ∈ V ∧ ω ∈ V) → (𝑥AC ω ↔ ∀𝑓 ∈ ((𝒫 𝑥 ∖ {∅}) ↑m ω)∃𝑔𝑦 ∈ ω (𝑔𝑦) ∈ (𝑓𝑦)))
41, 2, 3mp2an 692 . . . 4 (𝑥AC ω ↔ ∀𝑓 ∈ ((𝒫 𝑥 ∖ {∅}) ↑m ω)∃𝑔𝑦 ∈ ω (𝑔𝑦) ∈ (𝑓𝑦))
5 axcc2 10475 . . . . 5 𝑔(𝑔 Fn ω ∧ ∀𝑦 ∈ ω ((𝑓𝑦) ≠ ∅ → (𝑔𝑦) ∈ (𝑓𝑦)))
6 elmapi 8888 . . . . . . . . . 10 (𝑓 ∈ ((𝒫 𝑥 ∖ {∅}) ↑m ω) → 𝑓:ω⟶(𝒫 𝑥 ∖ {∅}))
7 ffvelcdm 7101 . . . . . . . . . . 11 ((𝑓:ω⟶(𝒫 𝑥 ∖ {∅}) ∧ 𝑦 ∈ ω) → (𝑓𝑦) ∈ (𝒫 𝑥 ∖ {∅}))
8 eldifsni 4795 . . . . . . . . . . 11 ((𝑓𝑦) ∈ (𝒫 𝑥 ∖ {∅}) → (𝑓𝑦) ≠ ∅)
97, 8syl 17 . . . . . . . . . 10 ((𝑓:ω⟶(𝒫 𝑥 ∖ {∅}) ∧ 𝑦 ∈ ω) → (𝑓𝑦) ≠ ∅)
106, 9sylan 580 . . . . . . . . 9 ((𝑓 ∈ ((𝒫 𝑥 ∖ {∅}) ↑m ω) ∧ 𝑦 ∈ ω) → (𝑓𝑦) ≠ ∅)
11 id 22 . . . . . . . . 9 (((𝑓𝑦) ≠ ∅ → (𝑔𝑦) ∈ (𝑓𝑦)) → ((𝑓𝑦) ≠ ∅ → (𝑔𝑦) ∈ (𝑓𝑦)))
1210, 11syl5com 31 . . . . . . . 8 ((𝑓 ∈ ((𝒫 𝑥 ∖ {∅}) ↑m ω) ∧ 𝑦 ∈ ω) → (((𝑓𝑦) ≠ ∅ → (𝑔𝑦) ∈ (𝑓𝑦)) → (𝑔𝑦) ∈ (𝑓𝑦)))
1312ralimdva 3165 . . . . . . 7 (𝑓 ∈ ((𝒫 𝑥 ∖ {∅}) ↑m ω) → (∀𝑦 ∈ ω ((𝑓𝑦) ≠ ∅ → (𝑔𝑦) ∈ (𝑓𝑦)) → ∀𝑦 ∈ ω (𝑔𝑦) ∈ (𝑓𝑦)))
1413adantld 490 . . . . . 6 (𝑓 ∈ ((𝒫 𝑥 ∖ {∅}) ↑m ω) → ((𝑔 Fn ω ∧ ∀𝑦 ∈ ω ((𝑓𝑦) ≠ ∅ → (𝑔𝑦) ∈ (𝑓𝑦))) → ∀𝑦 ∈ ω (𝑔𝑦) ∈ (𝑓𝑦)))
1514eximdv 1915 . . . . 5 (𝑓 ∈ ((𝒫 𝑥 ∖ {∅}) ↑m ω) → (∃𝑔(𝑔 Fn ω ∧ ∀𝑦 ∈ ω ((𝑓𝑦) ≠ ∅ → (𝑔𝑦) ∈ (𝑓𝑦))) → ∃𝑔𝑦 ∈ ω (𝑔𝑦) ∈ (𝑓𝑦)))
165, 15mpi 20 . . . 4 (𝑓 ∈ ((𝒫 𝑥 ∖ {∅}) ↑m ω) → ∃𝑔𝑦 ∈ ω (𝑔𝑦) ∈ (𝑓𝑦))
174, 16mprgbir 3066 . . 3 𝑥AC ω
1817, 12th 264 . 2 (𝑥AC ω ↔ 𝑥 ∈ V)
1918eqriv 2732 1 AC ω = V
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395   = wceq 1537  wex 1776  wcel 2106  wne 2938  wral 3059  Vcvv 3478  cdif 3960  c0 4339  𝒫 cpw 4605  {csn 4631   Fn wfn 6558  wf 6559  cfv 6563  (class class class)co 7431  ωcom 7887  m cmap 8865  AC wacn 9976
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-inf2 9679  ax-cc 10473
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-er 8744  df-map 8867  df-en 8985  df-acn 9980
This theorem is referenced by:  iunctb  10612
  Copyright terms: Public domain W3C validator