Theorem acncc 9660

Description: An ax-cc 9655 equivalent: every set has choice sets of length ω. (Contributed by Mario Carneiro, 31-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
acncc	⊢ AC ω = V

Proof of Theorem acncc

Dummy variables 𝑓 𝑔 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		vex 3418	. . . . 5 ⊢ 𝑥 ∈ V
2		omex 8900	. . . . 5 ⊢ ω ∈ V
3		isacn 9264	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ V ∧ ω ∈ V) → (𝑥 ∈ AC ω ↔ ∀𝑓 ∈ ((𝒫 𝑥 ∖ {∅}) ↑𝑚 ω)∃𝑔∀𝑦 ∈ ω (𝑔‘𝑦) ∈ (𝑓‘𝑦)))
4	1, 2, 3	mp2an 679	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ AC ω ↔ ∀𝑓 ∈ ((𝒫 𝑥 ∖ {∅}) ↑𝑚 ω)∃𝑔∀𝑦 ∈ ω (𝑔‘𝑦) ∈ (𝑓‘𝑦))
5		axcc2 9657	. . . . 5 ⊢ ∃𝑔(𝑔 Fn ω ∧ ∀𝑦 ∈ ω ((𝑓‘𝑦) ≠ ∅ → (𝑔‘𝑦) ∈ (𝑓‘𝑦)))
6		elmapi 8228	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑓 ∈ ((𝒫 𝑥 ∖ {∅}) ↑𝑚 ω) → 𝑓:ω⟶(𝒫 𝑥 ∖ {∅}))
7		ffvelrn 6674	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑓:ω⟶(𝒫 𝑥 ∖ {∅}) ∧ 𝑦 ∈ ω) → (𝑓‘𝑦) ∈ (𝒫 𝑥 ∖ {∅}))
8		eldifsni 4596	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑓‘𝑦) ∈ (𝒫 𝑥 ∖ {∅}) → (𝑓‘𝑦) ≠ ∅)
9	7, 8	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑓:ω⟶(𝒫 𝑥 ∖ {∅}) ∧ 𝑦 ∈ ω) → (𝑓‘𝑦) ≠ ∅)
10	6, 9	sylan 572	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑓 ∈ ((𝒫 𝑥 ∖ {∅}) ↑𝑚 ω) ∧ 𝑦 ∈ ω) → (𝑓‘𝑦) ≠ ∅)
11		id 22	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑓‘𝑦) ≠ ∅ → (𝑔‘𝑦) ∈ (𝑓‘𝑦)) → ((𝑓‘𝑦) ≠ ∅ → (𝑔‘𝑦) ∈ (𝑓‘𝑦)))
12	10, 11	syl5com 31	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑓 ∈ ((𝒫 𝑥 ∖ {∅}) ↑𝑚 ω) ∧ 𝑦 ∈ ω) → (((𝑓‘𝑦) ≠ ∅ → (𝑔‘𝑦) ∈ (𝑓‘𝑦)) → (𝑔‘𝑦) ∈ (𝑓‘𝑦)))
13	12	ralimdva 3127	. . . . . . 7 ⊢ (𝑓 ∈ ((𝒫 𝑥 ∖ {∅}) ↑𝑚 ω) → (∀𝑦 ∈ ω ((𝑓‘𝑦) ≠ ∅ → (𝑔‘𝑦) ∈ (𝑓‘𝑦)) → ∀𝑦 ∈ ω (𝑔‘𝑦) ∈ (𝑓‘𝑦)))
14	13	adantld 483	. . . . . 6 ⊢ (𝑓 ∈ ((𝒫 𝑥 ∖ {∅}) ↑𝑚 ω) → ((𝑔 Fn ω ∧ ∀𝑦 ∈ ω ((𝑓‘𝑦) ≠ ∅ → (𝑔‘𝑦) ∈ (𝑓‘𝑦))) → ∀𝑦 ∈ ω (𝑔‘𝑦) ∈ (𝑓‘𝑦)))
15	14	eximdv 1876	. . . . 5 ⊢ (𝑓 ∈ ((𝒫 𝑥 ∖ {∅}) ↑𝑚 ω) → (∃𝑔(𝑔 Fn ω ∧ ∀𝑦 ∈ ω ((𝑓‘𝑦) ≠ ∅ → (𝑔‘𝑦) ∈ (𝑓‘𝑦))) → ∃𝑔∀𝑦 ∈ ω (𝑔‘𝑦) ∈ (𝑓‘𝑦)))
16	5, 15	mpi 20	. . . 4 ⊢ (𝑓 ∈ ((𝒫 𝑥 ∖ {∅}) ↑𝑚 ω) → ∃𝑔∀𝑦 ∈ ω (𝑔‘𝑦) ∈ (𝑓‘𝑦))
17	4, 16	mprgbir 3103	. . 3 ⊢ 𝑥 ∈ AC ω
18	17, 1	2th 256	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ AC ω ↔ 𝑥 ∈ V)
19	18	eqriv 2775	1 ⊢ AC ω = V

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 198   ∧ wa 387   = wceq 1507  ∃wex 1742   ∈ wcel 2050   ≠ wne 2967  ∀wral 3088  Vcvv 3415   ∖ cdif 3826  ∅c0 4178  𝒫 cpw 4422  {csn 4441   Fn wfn 6183  ⟶wf 6184  ‘cfv 6188  (class class class)co 6976  ωcom 7396   ↑_𝑚 cmap 8206  AC wacn 9161

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1758  ax-4 1772  ax-5 1869  ax-6 1928  ax-7 1965  ax-8 2052  ax-9 2059  ax-10 2079  ax-11 2093  ax-12 2106  ax-13 2301  ax-ext 2750  ax-rep 5049  ax-sep 5060  ax-nul 5067  ax-pow 5119  ax-pr 5186  ax-un 7279  ax-inf2 8898  ax-cc 9655

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 834  df-3or 1069  df-3an 1070  df-tru 1510  df-ex 1743  df-nf 1747  df-sb 2016  df-mo 2547  df-eu 2584  df-clab 2759  df-cleq 2771  df-clel 2846  df-nfc 2918  df-ne 2968  df-ral 3093  df-rex 3094  df-reu 3095  df-rab 3097  df-v 3417  df-sbc 3682  df-csb 3787  df-dif 3832  df-un 3834  df-in 3836  df-ss 3843  df-pss 3845  df-nul 4179  df-if 4351  df-pw 4424  df-sn 4442  df-pr 4444  df-tp 4446  df-op 4448  df-uni 4713  df-iun 4794  df-br 4930  df-opab 4992  df-mpt 5009  df-tr 5031  df-id 5312  df-eprel 5317  df-po 5326  df-so 5327  df-fr 5366  df-we 5368  df-xp 5413  df-rel 5414  df-cnv 5415  df-co 5416  df-dm 5417  df-rn 5418  df-res 5419  df-ima 5420  df-ord 6032  df-on 6033  df-lim 6034  df-suc 6035  df-iota 6152  df-fun 6190  df-fn 6191  df-f 6192  df-f1 6193  df-fo 6194  df-f1o 6195  df-fv 6196  df-ov 6979  df-oprab 6980  df-mpo 6981  df-om 7397  df-1st 7501  df-2nd 7502  df-er 8089  df-map 8208  df-en 8307  df-acn 9165

This theorem is referenced by:  iunctb  9794