MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  acncc Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem acncc 10464
Description: An ax-cc 10459 equivalent: every set has choice sets of length ω. (Contributed by Mario Carneiro, 31-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
acncc AC ω = V

Proof of Theorem acncc
Dummy variables 𝑓 𝑔 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 vex 3475 . . . . 5 𝑥 ∈ V
2 omex 9667 . . . . 5 ω ∈ V
3 isacn 10068 . . . . 5 ((𝑥 ∈ V ∧ ω ∈ V) → (𝑥AC ω ↔ ∀𝑓 ∈ ((𝒫 𝑥 ∖ {∅}) ↑m ω)∃𝑔𝑦 ∈ ω (𝑔𝑦) ∈ (𝑓𝑦)))
41, 2, 3mp2an 691 . . . 4 (𝑥AC ω ↔ ∀𝑓 ∈ ((𝒫 𝑥 ∖ {∅}) ↑m ω)∃𝑔𝑦 ∈ ω (𝑔𝑦) ∈ (𝑓𝑦))
5 axcc2 10461 . . . . 5 𝑔(𝑔 Fn ω ∧ ∀𝑦 ∈ ω ((𝑓𝑦) ≠ ∅ → (𝑔𝑦) ∈ (𝑓𝑦)))
6 elmapi 8868 . . . . . . . . . 10 (𝑓 ∈ ((𝒫 𝑥 ∖ {∅}) ↑m ω) → 𝑓:ω⟶(𝒫 𝑥 ∖ {∅}))
7 ffvelcdm 7091 . . . . . . . . . . 11 ((𝑓:ω⟶(𝒫 𝑥 ∖ {∅}) ∧ 𝑦 ∈ ω) → (𝑓𝑦) ∈ (𝒫 𝑥 ∖ {∅}))
8 eldifsni 4794 . . . . . . . . . . 11 ((𝑓𝑦) ∈ (𝒫 𝑥 ∖ {∅}) → (𝑓𝑦) ≠ ∅)
97, 8syl 17 . . . . . . . . . 10 ((𝑓:ω⟶(𝒫 𝑥 ∖ {∅}) ∧ 𝑦 ∈ ω) → (𝑓𝑦) ≠ ∅)
106, 9sylan 579 . . . . . . . . 9 ((𝑓 ∈ ((𝒫 𝑥 ∖ {∅}) ↑m ω) ∧ 𝑦 ∈ ω) → (𝑓𝑦) ≠ ∅)
11 id 22 . . . . . . . . 9 (((𝑓𝑦) ≠ ∅ → (𝑔𝑦) ∈ (𝑓𝑦)) → ((𝑓𝑦) ≠ ∅ → (𝑔𝑦) ∈ (𝑓𝑦)))
1210, 11syl5com 31 . . . . . . . 8 ((𝑓 ∈ ((𝒫 𝑥 ∖ {∅}) ↑m ω) ∧ 𝑦 ∈ ω) → (((𝑓𝑦) ≠ ∅ → (𝑔𝑦) ∈ (𝑓𝑦)) → (𝑔𝑦) ∈ (𝑓𝑦)))
1312ralimdva 3164 . . . . . . 7 (𝑓 ∈ ((𝒫 𝑥 ∖ {∅}) ↑m ω) → (∀𝑦 ∈ ω ((𝑓𝑦) ≠ ∅ → (𝑔𝑦) ∈ (𝑓𝑦)) → ∀𝑦 ∈ ω (𝑔𝑦) ∈ (𝑓𝑦)))
1413adantld 490 . . . . . 6 (𝑓 ∈ ((𝒫 𝑥 ∖ {∅}) ↑m ω) → ((𝑔 Fn ω ∧ ∀𝑦 ∈ ω ((𝑓𝑦) ≠ ∅ → (𝑔𝑦) ∈ (𝑓𝑦))) → ∀𝑦 ∈ ω (𝑔𝑦) ∈ (𝑓𝑦)))
1514eximdv 1913 . . . . 5 (𝑓 ∈ ((𝒫 𝑥 ∖ {∅}) ↑m ω) → (∃𝑔(𝑔 Fn ω ∧ ∀𝑦 ∈ ω ((𝑓𝑦) ≠ ∅ → (𝑔𝑦) ∈ (𝑓𝑦))) → ∃𝑔𝑦 ∈ ω (𝑔𝑦) ∈ (𝑓𝑦)))
165, 15mpi 20 . . . 4 (𝑓 ∈ ((𝒫 𝑥 ∖ {∅}) ↑m ω) → ∃𝑔𝑦 ∈ ω (𝑔𝑦) ∈ (𝑓𝑦))
174, 16mprgbir 3065 . . 3 𝑥AC ω
1817, 12th 264 . 2 (𝑥AC ω ↔ 𝑥 ∈ V)
1918eqriv 2725 1 AC ω = V
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 395   = wceq 1534  wex 1774  wcel 2099  wne 2937  wral 3058  Vcvv 3471  cdif 3944  c0 4323  𝒫 cpw 4603  {csn 4629   Fn wfn 6543  wf 6544  cfv 6548  (class class class)co 7420  ωcom 7870  m cmap 8845  AC wacn 9962
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7740  ax-inf2 9665  ax-cc 10459
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-ral 3059  df-rex 3068  df-reu 3374  df-rab 3430  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4909  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-ord 6372  df-on 6373  df-lim 6374  df-suc 6375  df-iota 6500  df-fun 6550  df-fn 6551  df-f 6552  df-f1 6553  df-fo 6554  df-f1o 6555  df-fv 6556  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7871  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-er 8725  df-map 8847  df-en 8965  df-acn 9966
This theorem is referenced by:  iunctb  10598
  Copyright terms: Public domain W3C validator