MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  acncc Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem acncc 10480
Description: An ax-cc 10475 equivalent: every set has choice sets of length ω. (Contributed by Mario Carneiro, 31-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
acncc AC ω = V

Proof of Theorem acncc
Dummy variables 𝑓 𝑔 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 vex 3484 . . . . 5 𝑥 ∈ V
2 omex 9683 . . . . 5 ω ∈ V
3 isacn 10084 . . . . 5 ((𝑥 ∈ V ∧ ω ∈ V) → (𝑥AC ω ↔ ∀𝑓 ∈ ((𝒫 𝑥 ∖ {∅}) ↑m ω)∃𝑔𝑦 ∈ ω (𝑔𝑦) ∈ (𝑓𝑦)))
41, 2, 3mp2an 692 . . . 4 (𝑥AC ω ↔ ∀𝑓 ∈ ((𝒫 𝑥 ∖ {∅}) ↑m ω)∃𝑔𝑦 ∈ ω (𝑔𝑦) ∈ (𝑓𝑦))
5 axcc2 10477 . . . . 5 𝑔(𝑔 Fn ω ∧ ∀𝑦 ∈ ω ((𝑓𝑦) ≠ ∅ → (𝑔𝑦) ∈ (𝑓𝑦)))
6 elmapi 8889 . . . . . . . . . 10 (𝑓 ∈ ((𝒫 𝑥 ∖ {∅}) ↑m ω) → 𝑓:ω⟶(𝒫 𝑥 ∖ {∅}))
7 ffvelcdm 7101 . . . . . . . . . . 11 ((𝑓:ω⟶(𝒫 𝑥 ∖ {∅}) ∧ 𝑦 ∈ ω) → (𝑓𝑦) ∈ (𝒫 𝑥 ∖ {∅}))
8 eldifsni 4790 . . . . . . . . . . 11 ((𝑓𝑦) ∈ (𝒫 𝑥 ∖ {∅}) → (𝑓𝑦) ≠ ∅)
97, 8syl 17 . . . . . . . . . 10 ((𝑓:ω⟶(𝒫 𝑥 ∖ {∅}) ∧ 𝑦 ∈ ω) → (𝑓𝑦) ≠ ∅)
106, 9sylan 580 . . . . . . . . 9 ((𝑓 ∈ ((𝒫 𝑥 ∖ {∅}) ↑m ω) ∧ 𝑦 ∈ ω) → (𝑓𝑦) ≠ ∅)
11 id 22 . . . . . . . . 9 (((𝑓𝑦) ≠ ∅ → (𝑔𝑦) ∈ (𝑓𝑦)) → ((𝑓𝑦) ≠ ∅ → (𝑔𝑦) ∈ (𝑓𝑦)))
1210, 11syl5com 31 . . . . . . . 8 ((𝑓 ∈ ((𝒫 𝑥 ∖ {∅}) ↑m ω) ∧ 𝑦 ∈ ω) → (((𝑓𝑦) ≠ ∅ → (𝑔𝑦) ∈ (𝑓𝑦)) → (𝑔𝑦) ∈ (𝑓𝑦)))
1312ralimdva 3167 . . . . . . 7 (𝑓 ∈ ((𝒫 𝑥 ∖ {∅}) ↑m ω) → (∀𝑦 ∈ ω ((𝑓𝑦) ≠ ∅ → (𝑔𝑦) ∈ (𝑓𝑦)) → ∀𝑦 ∈ ω (𝑔𝑦) ∈ (𝑓𝑦)))
1413adantld 490 . . . . . 6 (𝑓 ∈ ((𝒫 𝑥 ∖ {∅}) ↑m ω) → ((𝑔 Fn ω ∧ ∀𝑦 ∈ ω ((𝑓𝑦) ≠ ∅ → (𝑔𝑦) ∈ (𝑓𝑦))) → ∀𝑦 ∈ ω (𝑔𝑦) ∈ (𝑓𝑦)))
1514eximdv 1917 . . . . 5 (𝑓 ∈ ((𝒫 𝑥 ∖ {∅}) ↑m ω) → (∃𝑔(𝑔 Fn ω ∧ ∀𝑦 ∈ ω ((𝑓𝑦) ≠ ∅ → (𝑔𝑦) ∈ (𝑓𝑦))) → ∃𝑔𝑦 ∈ ω (𝑔𝑦) ∈ (𝑓𝑦)))
165, 15mpi 20 . . . 4 (𝑓 ∈ ((𝒫 𝑥 ∖ {∅}) ↑m ω) → ∃𝑔𝑦 ∈ ω (𝑔𝑦) ∈ (𝑓𝑦))
174, 16mprgbir 3068 . . 3 𝑥AC ω
1817, 12th 264 . 2 (𝑥AC ω ↔ 𝑥 ∈ V)
1918eqriv 2734 1 AC ω = V
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395   = wceq 1540  wex 1779  wcel 2108  wne 2940  wral 3061  Vcvv 3480  cdif 3948  c0 4333  𝒫 cpw 4600  {csn 4626   Fn wfn 6556  wf 6557  cfv 6561  (class class class)co 7431  ωcom 7887  m cmap 8866  AC wacn 9978
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-inf2 9681  ax-cc 10475
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-er 8745  df-map 8868  df-en 8986  df-acn 9982
This theorem is referenced by:  iunctb  10614
  Copyright terms: Public domain W3C validator