Theorem acncc 10419

Description: An ax-cc 10414 equivalent: every set has choice sets of length ω. (Contributed by Mario Carneiro, 31-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
acncc	⊢ AC ω = V

Proof of Theorem acncc

Dummy variables 𝑓 𝑔 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		vex 3459	. . . . 5 ⊢ 𝑥 ∈ V
2		omex 9608	. . . . 5 ⊢ ω ∈ V
3		isacn 10024	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ V ∧ ω ∈ V) → (𝑥 ∈ AC ω ↔ ∀𝑓 ∈ ((𝒫 𝑥 ∖ {∅}) ↑m ω)∃𝑔∀𝑦 ∈ ω (𝑔‘𝑦) ∈ (𝑓‘𝑦)))
4	1, 2, 3	mp2an 704	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ AC ω ↔ ∀𝑓 ∈ ((𝒫 𝑥 ∖ {∅}) ↑m ω)∃𝑔∀𝑦 ∈ ω (𝑔‘𝑦) ∈ (𝑓‘𝑦))
5		axcc2 10416	. . . . 5 ⊢ ∃𝑔(𝑔 Fn ω ∧ ∀𝑦 ∈ ω ((𝑓‘𝑦) ≠ ∅ → (𝑔‘𝑦) ∈ (𝑓‘𝑦)))
6		elmapi 8842	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑓 ∈ ((𝒫 𝑥 ∖ {∅}) ↑m ω) → 𝑓:ω⟶(𝒫 𝑥 ∖ {∅}))
7		ffvelcdm 7076	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑓:ω⟶(𝒫 𝑥 ∖ {∅}) ∧ 𝑦 ∈ ω) → (𝑓‘𝑦) ∈ (𝒫 𝑥 ∖ {∅}))
8		eldifsni 4758	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑓‘𝑦) ∈ (𝒫 𝑥 ∖ {∅}) → (𝑓‘𝑦) ≠ ∅)
9	7, 8	syl 18	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑓:ω⟶(𝒫 𝑥 ∖ {∅}) ∧ 𝑦 ∈ ω) → (𝑓‘𝑦) ≠ ∅)
10	6, 9	sylan 591	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑓 ∈ ((𝒫 𝑥 ∖ {∅}) ↑m ω) ∧ 𝑦 ∈ ω) → (𝑓‘𝑦) ≠ ∅)
11		id 23	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑓‘𝑦) ≠ ∅ → (𝑔‘𝑦) ∈ (𝑓‘𝑦)) → ((𝑓‘𝑦) ≠ ∅ → (𝑔‘𝑦) ∈ (𝑓‘𝑦)))
12	10, 11	syl5com 32	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑓 ∈ ((𝒫 𝑥 ∖ {∅}) ↑m ω) ∧ 𝑦 ∈ ω) → (((𝑓‘𝑦) ≠ ∅ → (𝑔‘𝑦) ∈ (𝑓‘𝑦)) → (𝑔‘𝑦) ∈ (𝑓‘𝑦)))
13	12	ralimdva 3177	. . . . . . 7 ⊢ (𝑓 ∈ ((𝒫 𝑥 ∖ {∅}) ↑m ω) → (∀𝑦 ∈ ω ((𝑓‘𝑦) ≠ ∅ → (𝑔‘𝑦) ∈ (𝑓‘𝑦)) → ∀𝑦 ∈ ω (𝑔‘𝑦) ∈ (𝑓‘𝑦)))
14	13	adantld 495	. . . . . 6 ⊢ (𝑓 ∈ ((𝒫 𝑥 ∖ {∅}) ↑m ω) → ((𝑔 Fn ω ∧ ∀𝑦 ∈ ω ((𝑓‘𝑦) ≠ ∅ → (𝑔‘𝑦) ∈ (𝑓‘𝑦))) → ∀𝑦 ∈ ω (𝑔‘𝑦) ∈ (𝑓‘𝑦)))
15	14	eximdv 1947	. . . . 5 ⊢ (𝑓 ∈ ((𝒫 𝑥 ∖ {∅}) ↑m ω) → (∃𝑔(𝑔 Fn ω ∧ ∀𝑦 ∈ ω ((𝑓‘𝑦) ≠ ∅ → (𝑔‘𝑦) ∈ (𝑓‘𝑦))) → ∃𝑔∀𝑦 ∈ ω (𝑔‘𝑦) ∈ (𝑓‘𝑦)))
16	5, 15	mpi 21	. . . 4 ⊢ (𝑓 ∈ ((𝒫 𝑥 ∖ {∅}) ↑m ω) → ∃𝑔∀𝑦 ∈ ω (𝑔‘𝑦) ∈ (𝑓‘𝑦))
17	4, 16	mprgbir 3086	. . 3 ⊢ 𝑥 ∈ AC ω
18	17, 1	2th 267	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ AC ω ↔ 𝑥 ∈ V)
19	18	eqriv 2760	1 ⊢ AC ω = V

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   = wceq 1570  ∃wex 1809   ∈ wcel 2143   ≠ wne 2958  ∀wral 3079  Vcvv 3455   ∖ cdif 3902  ∅c0 4286  𝒫 cpw 4562  {csn 4589   Fn wfn 6531  ⟶wf 6532  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410  ωcom 7858   ↑_m cmap 8820  AC wacn 9920

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5238  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-inf2 9606  ax-cc 10414

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-ral 3080  df-rex 3090  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4488  df-pw 4564  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4873  df-iun 4958  df-br 5110  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7859  df-1st 7982  df-2nd 7983  df-er 8690  df-map 8822  df-en 8940  df-acn 9924

This theorem is referenced by:  iunctb  10554