Theorem acncc 10480

Description: An ax-cc 10475 equivalent: every set has choice sets of length ω. (Contributed by Mario Carneiro, 31-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
acncc	⊢ AC ω = V

Proof of Theorem acncc

Dummy variables 𝑓 𝑔 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		vex 3484	. . . . 5 ⊢ 𝑥 ∈ V
2		omex 9683	. . . . 5 ⊢ ω ∈ V
3		isacn 10084	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ V ∧ ω ∈ V) → (𝑥 ∈ AC ω ↔ ∀𝑓 ∈ ((𝒫 𝑥 ∖ {∅}) ↑m ω)∃𝑔∀𝑦 ∈ ω (𝑔‘𝑦) ∈ (𝑓‘𝑦)))
4	1, 2, 3	mp2an 692	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ AC ω ↔ ∀𝑓 ∈ ((𝒫 𝑥 ∖ {∅}) ↑m ω)∃𝑔∀𝑦 ∈ ω (𝑔‘𝑦) ∈ (𝑓‘𝑦))
5		axcc2 10477	. . . . 5 ⊢ ∃𝑔(𝑔 Fn ω ∧ ∀𝑦 ∈ ω ((𝑓‘𝑦) ≠ ∅ → (𝑔‘𝑦) ∈ (𝑓‘𝑦)))
6		elmapi 8889	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑓 ∈ ((𝒫 𝑥 ∖ {∅}) ↑m ω) → 𝑓:ω⟶(𝒫 𝑥 ∖ {∅}))
7		ffvelcdm 7101	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑓:ω⟶(𝒫 𝑥 ∖ {∅}) ∧ 𝑦 ∈ ω) → (𝑓‘𝑦) ∈ (𝒫 𝑥 ∖ {∅}))
8		eldifsni 4790	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑓‘𝑦) ∈ (𝒫 𝑥 ∖ {∅}) → (𝑓‘𝑦) ≠ ∅)
9	7, 8	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑓:ω⟶(𝒫 𝑥 ∖ {∅}) ∧ 𝑦 ∈ ω) → (𝑓‘𝑦) ≠ ∅)
10	6, 9	sylan 580	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑓 ∈ ((𝒫 𝑥 ∖ {∅}) ↑m ω) ∧ 𝑦 ∈ ω) → (𝑓‘𝑦) ≠ ∅)
11		id 22	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑓‘𝑦) ≠ ∅ → (𝑔‘𝑦) ∈ (𝑓‘𝑦)) → ((𝑓‘𝑦) ≠ ∅ → (𝑔‘𝑦) ∈ (𝑓‘𝑦)))
12	10, 11	syl5com 31	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑓 ∈ ((𝒫 𝑥 ∖ {∅}) ↑m ω) ∧ 𝑦 ∈ ω) → (((𝑓‘𝑦) ≠ ∅ → (𝑔‘𝑦) ∈ (𝑓‘𝑦)) → (𝑔‘𝑦) ∈ (𝑓‘𝑦)))
13	12	ralimdva 3167	. . . . . . 7 ⊢ (𝑓 ∈ ((𝒫 𝑥 ∖ {∅}) ↑m ω) → (∀𝑦 ∈ ω ((𝑓‘𝑦) ≠ ∅ → (𝑔‘𝑦) ∈ (𝑓‘𝑦)) → ∀𝑦 ∈ ω (𝑔‘𝑦) ∈ (𝑓‘𝑦)))
14	13	adantld 490	. . . . . 6 ⊢ (𝑓 ∈ ((𝒫 𝑥 ∖ {∅}) ↑m ω) → ((𝑔 Fn ω ∧ ∀𝑦 ∈ ω ((𝑓‘𝑦) ≠ ∅ → (𝑔‘𝑦) ∈ (𝑓‘𝑦))) → ∀𝑦 ∈ ω (𝑔‘𝑦) ∈ (𝑓‘𝑦)))
15	14	eximdv 1917	. . . . 5 ⊢ (𝑓 ∈ ((𝒫 𝑥 ∖ {∅}) ↑m ω) → (∃𝑔(𝑔 Fn ω ∧ ∀𝑦 ∈ ω ((𝑓‘𝑦) ≠ ∅ → (𝑔‘𝑦) ∈ (𝑓‘𝑦))) → ∃𝑔∀𝑦 ∈ ω (𝑔‘𝑦) ∈ (𝑓‘𝑦)))
16	5, 15	mpi 20	. . . 4 ⊢ (𝑓 ∈ ((𝒫 𝑥 ∖ {∅}) ↑m ω) → ∃𝑔∀𝑦 ∈ ω (𝑔‘𝑦) ∈ (𝑓‘𝑦))
17	4, 16	mprgbir 3068	. . 3 ⊢ 𝑥 ∈ AC ω
18	17, 1	2th 264	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ AC ω ↔ 𝑥 ∈ V)
19	18	eqriv 2734	1 ⊢ AC ω = V

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540  ∃wex 1779   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2940  ∀wral 3061  Vcvv 3480   ∖ cdif 3948  ∅c0 4333  𝒫 cpw 4600  {csn 4626   Fn wfn 6556  ⟶wf 6557  ‘cfv 6561  (class class class)co 7431  ωcom 7887   ↑_m cmap 8866  AC wacn 9978

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-inf2 9681  ax-cc 10475

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-er 8745  df-map 8868  df-en 8986  df-acn 9982

This theorem is referenced by:  iunctb  10614