Theorem axcc4dom 10426

Description: Relax the constraint on axcc4 10424 to dominance instead of equinumerosity. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jan-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
axcc4dom.1	⊢ 𝐴 ∈ V
axcc4dom.2	⊢ (𝑥 = (𝑓‘𝑛) → (𝜑 ↔ 𝜓))

Assertion

Ref	Expression
axcc4dom	⊢ ((𝑁 ≼ ω ∧ ∀𝑛 ∈ 𝑁 ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝜑) → ∃𝑓(𝑓:𝑁⟶𝐴 ∧ ∀𝑛 ∈ 𝑁 𝜓))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑓,𝑛,𝑥   𝑓,𝑁,𝑛   𝜑,𝑓   𝜓,𝑥

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑛)   𝜓(𝑓,𝑛)   𝑁(𝑥)

Proof of Theorem axcc4dom

Step	Hyp	Ref	Expression
1		brdom2 8980	. . 3 ⊢ (𝑁 ≼ ω ↔ (𝑁 ≺ ω ∨ 𝑁 ≈ ω))
2		isfinite 9622	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ Fin ↔ 𝑁 ≺ ω)
3		axcc4dom.2	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = (𝑓‘𝑛) → (𝜑 ↔ 𝜓))
4	3	ac6sfi 9245	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ ∀𝑛 ∈ 𝑁 ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝜑) → ∃𝑓(𝑓:𝑁⟶𝐴 ∧ ∀𝑛 ∈ 𝑁 𝜓))
5	4	ex 417	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ Fin → (∀𝑛 ∈ 𝑁 ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝜑 → ∃𝑓(𝑓:𝑁⟶𝐴 ∧ ∀𝑛 ∈ 𝑁 𝜓)))
6	2, 5	sylbir 238	. . . 4 ⊢ (𝑁 ≺ ω → (∀𝑛 ∈ 𝑁 ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝜑 → ∃𝑓(𝑓:𝑁⟶𝐴 ∧ ∀𝑛 ∈ 𝑁 𝜓)))
7		raleq 3320	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 = if(𝑁 ≈ ω, 𝑁, ω) → (∀𝑛 ∈ 𝑁 ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝜑 ↔ ∀𝑛 ∈ if (𝑁 ≈ ω, 𝑁, ω)∃𝑥 ∈ 𝐴 𝜑))
8		feq2 6686	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 = if(𝑁 ≈ ω, 𝑁, ω) → (𝑓:𝑁⟶𝐴 ↔ 𝑓:if(𝑁 ≈ ω, 𝑁, ω)⟶𝐴))
9		raleq 3320	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 = if(𝑁 ≈ ω, 𝑁, ω) → (∀𝑛 ∈ 𝑁 𝜓 ↔ ∀𝑛 ∈ if (𝑁 ≈ ω, 𝑁, ω)𝜓))
10	8, 9	anbi12d 643	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 = if(𝑁 ≈ ω, 𝑁, ω) → ((𝑓:𝑁⟶𝐴 ∧ ∀𝑛 ∈ 𝑁 𝜓) ↔ (𝑓:if(𝑁 ≈ ω, 𝑁, ω)⟶𝐴 ∧ ∀𝑛 ∈ if (𝑁 ≈ ω, 𝑁, ω)𝜓)))
11	10	exbidv 1951	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 = if(𝑁 ≈ ω, 𝑁, ω) → (∃𝑓(𝑓:𝑁⟶𝐴 ∧ ∀𝑛 ∈ 𝑁 𝜓) ↔ ∃𝑓(𝑓:if(𝑁 ≈ ω, 𝑁, ω)⟶𝐴 ∧ ∀𝑛 ∈ if (𝑁 ≈ ω, 𝑁, ω)𝜓)))
12	7, 11	imbi12d 347	. . . . 5 ⊢ (𝑁 = if(𝑁 ≈ ω, 𝑁, ω) → ((∀𝑛 ∈ 𝑁 ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝜑 → ∃𝑓(𝑓:𝑁⟶𝐴 ∧ ∀𝑛 ∈ 𝑁 𝜓)) ↔ (∀𝑛 ∈ if (𝑁 ≈ ω, 𝑁, ω)∃𝑥 ∈ 𝐴 𝜑 → ∃𝑓(𝑓:if(𝑁 ≈ ω, 𝑁, ω)⟶𝐴 ∧ ∀𝑛 ∈ if (𝑁 ≈ ω, 𝑁, ω)𝜓))))
13		axcc4dom.1	. . . . . 6 ⊢ 𝐴 ∈ V
14		breq1 5113	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 = if(𝑁 ≈ ω, 𝑁, ω) → (𝑁 ≈ ω ↔ if(𝑁 ≈ ω, 𝑁, ω) ≈ ω))
15		breq1 5113	. . . . . . 7 ⊢ (ω = if(𝑁 ≈ ω, 𝑁, ω) → (ω ≈ ω ↔ if(𝑁 ≈ ω, 𝑁, ω) ≈ ω))
16		omex 9613	. . . . . . . 8 ⊢ ω ∈ V
17	16	enref 8983	. . . . . . 7 ⊢ ω ≈ ω
18	14, 15, 17	elimhyp 4554	. . . . . 6 ⊢ if(𝑁 ≈ ω, 𝑁, ω) ≈ ω
19	13, 18, 3	axcc4 10424	. . . . 5 ⊢ (∀𝑛 ∈ if (𝑁 ≈ ω, 𝑁, ω)∃𝑥 ∈ 𝐴 𝜑 → ∃𝑓(𝑓:if(𝑁 ≈ ω, 𝑁, ω)⟶𝐴 ∧ ∀𝑛 ∈ if (𝑁 ≈ ω, 𝑁, ω)𝜓))
20	12, 19	dedth 4547	. . . 4 ⊢ (𝑁 ≈ ω → (∀𝑛 ∈ 𝑁 ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝜑 → ∃𝑓(𝑓:𝑁⟶𝐴 ∧ ∀𝑛 ∈ 𝑁 𝜓)))
21	6, 20	jaoi 870	. . 3 ⊢ ((𝑁 ≺ ω ∨ 𝑁 ≈ ω) → (∀𝑛 ∈ 𝑁 ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝜑 → ∃𝑓(𝑓:𝑁⟶𝐴 ∧ ∀𝑛 ∈ 𝑁 𝜓)))
22	1, 21	sylbi 220	. 2 ⊢ (𝑁 ≼ ω → (∀𝑛 ∈ 𝑁 ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝜑 → ∃𝑓(𝑓:𝑁⟶𝐴 ∧ ∀𝑛 ∈ 𝑁 𝜓)))
23	22	imp 411	1 ⊢ ((𝑁 ≼ ω ∧ ∀𝑛 ∈ 𝑁 ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝜑) → ∃𝑓(𝑓:𝑁⟶𝐴 ∧ ∀𝑛 ∈ 𝑁 𝜓))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   ∨ wo 860   = wceq 1570  ∃wex 1809   ∈ wcel 2143  ∀wral 3079  ∃wrex 3089  Vcvv 3455  ifcif 4488   class class class wbr 5110  ⟶wf 6534  ‘cfv 6538  ωcom 7863   ≈ cen 8941   ≼ cdom 8942   ≺ csdm 8943  Fincfn 8944

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5239  ax-sep 5258  ax-nul 5270  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7734  ax-inf2 9611  ax-cc 10420

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-ral 3080  df-rex 3090  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3746  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4288  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4874  df-int 4914  df-iun 4959  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-tr 5220  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-ov 7415  df-om 7864  df-2nd 7988  df-frecs 8279  df-wrecs 8310  df-recs 8359  df-rdg 8398  df-1o 8454  df-er 8695  df-en 8945  df-dom 8946  df-sdom 8947  df-fin 8948

This theorem is referenced by:  2ndcctbss  23593  2ndcsep  23597  iscmet3  25433  heiborlem3  38442