Theorem axcc4dom 10329

Description: Relax the constraint on axcc4 10327 to dominance instead of equinumerosity. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jan-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
axcc4dom.1	⊢ 𝐴 ∈ V
axcc4dom.2	⊢ (𝑥 = (𝑓‘𝑛) → (𝜑 ↔ 𝜓))

Assertion

Ref	Expression
axcc4dom	⊢ ((𝑁 ≼ ω ∧ ∀𝑛 ∈ 𝑁 ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝜑) → ∃𝑓(𝑓:𝑁⟶𝐴 ∧ ∀𝑛 ∈ 𝑁 𝜓))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑓,𝑛,𝑥   𝑓,𝑁,𝑛   𝜑,𝑓   𝜓,𝑥

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑛)   𝜓(𝑓,𝑛)   𝑁(𝑥)

Proof of Theorem axcc4dom

Step	Hyp	Ref	Expression
1		brdom2 8904	. . 3 ⊢ (𝑁 ≼ ω ↔ (𝑁 ≺ ω ∨ 𝑁 ≈ ω))
2		isfinite 9542	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ Fin ↔ 𝑁 ≺ ω)
3		axcc4dom.2	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = (𝑓‘𝑛) → (𝜑 ↔ 𝜓))
4	3	ac6sfi 9168	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ ∀𝑛 ∈ 𝑁 ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝜑) → ∃𝑓(𝑓:𝑁⟶𝐴 ∧ ∀𝑛 ∈ 𝑁 𝜓))
5	4	ex 412	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ Fin → (∀𝑛 ∈ 𝑁 ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝜑 → ∃𝑓(𝑓:𝑁⟶𝐴 ∧ ∀𝑛 ∈ 𝑁 𝜓)))
6	2, 5	sylbir 235	. . . 4 ⊢ (𝑁 ≺ ω → (∀𝑛 ∈ 𝑁 ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝜑 → ∃𝑓(𝑓:𝑁⟶𝐴 ∧ ∀𝑛 ∈ 𝑁 𝜓)))
7		raleq 3289	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 = if(𝑁 ≈ ω, 𝑁, ω) → (∀𝑛 ∈ 𝑁 ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝜑 ↔ ∀𝑛 ∈ if (𝑁 ≈ ω, 𝑁, ω)∃𝑥 ∈ 𝐴 𝜑))
8		feq2 6630	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 = if(𝑁 ≈ ω, 𝑁, ω) → (𝑓:𝑁⟶𝐴 ↔ 𝑓:if(𝑁 ≈ ω, 𝑁, ω)⟶𝐴))
9		raleq 3289	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 = if(𝑁 ≈ ω, 𝑁, ω) → (∀𝑛 ∈ 𝑁 𝜓 ↔ ∀𝑛 ∈ if (𝑁 ≈ ω, 𝑁, ω)𝜓))
10	8, 9	anbi12d 632	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 = if(𝑁 ≈ ω, 𝑁, ω) → ((𝑓:𝑁⟶𝐴 ∧ ∀𝑛 ∈ 𝑁 𝜓) ↔ (𝑓:if(𝑁 ≈ ω, 𝑁, ω)⟶𝐴 ∧ ∀𝑛 ∈ if (𝑁 ≈ ω, 𝑁, ω)𝜓)))
11	10	exbidv 1922	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 = if(𝑁 ≈ ω, 𝑁, ω) → (∃𝑓(𝑓:𝑁⟶𝐴 ∧ ∀𝑛 ∈ 𝑁 𝜓) ↔ ∃𝑓(𝑓:if(𝑁 ≈ ω, 𝑁, ω)⟶𝐴 ∧ ∀𝑛 ∈ if (𝑁 ≈ ω, 𝑁, ω)𝜓)))
12	7, 11	imbi12d 344	. . . . 5 ⊢ (𝑁 = if(𝑁 ≈ ω, 𝑁, ω) → ((∀𝑛 ∈ 𝑁 ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝜑 → ∃𝑓(𝑓:𝑁⟶𝐴 ∧ ∀𝑛 ∈ 𝑁 𝜓)) ↔ (∀𝑛 ∈ if (𝑁 ≈ ω, 𝑁, ω)∃𝑥 ∈ 𝐴 𝜑 → ∃𝑓(𝑓:if(𝑁 ≈ ω, 𝑁, ω)⟶𝐴 ∧ ∀𝑛 ∈ if (𝑁 ≈ ω, 𝑁, ω)𝜓))))
13		axcc4dom.1	. . . . . 6 ⊢ 𝐴 ∈ V
14		breq1 5094	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 = if(𝑁 ≈ ω, 𝑁, ω) → (𝑁 ≈ ω ↔ if(𝑁 ≈ ω, 𝑁, ω) ≈ ω))
15		breq1 5094	. . . . . . 7 ⊢ (ω = if(𝑁 ≈ ω, 𝑁, ω) → (ω ≈ ω ↔ if(𝑁 ≈ ω, 𝑁, ω) ≈ ω))
16		omex 9533	. . . . . . . 8 ⊢ ω ∈ V
17	16	enref 8907	. . . . . . 7 ⊢ ω ≈ ω
18	14, 15, 17	elimhyp 4541	. . . . . 6 ⊢ if(𝑁 ≈ ω, 𝑁, ω) ≈ ω
19	13, 18, 3	axcc4 10327	. . . . 5 ⊢ (∀𝑛 ∈ if (𝑁 ≈ ω, 𝑁, ω)∃𝑥 ∈ 𝐴 𝜑 → ∃𝑓(𝑓:if(𝑁 ≈ ω, 𝑁, ω)⟶𝐴 ∧ ∀𝑛 ∈ if (𝑁 ≈ ω, 𝑁, ω)𝜓))
20	12, 19	dedth 4534	. . . 4 ⊢ (𝑁 ≈ ω → (∀𝑛 ∈ 𝑁 ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝜑 → ∃𝑓(𝑓:𝑁⟶𝐴 ∧ ∀𝑛 ∈ 𝑁 𝜓)))
21	6, 20	jaoi 857	. . 3 ⊢ ((𝑁 ≺ ω ∨ 𝑁 ≈ ω) → (∀𝑛 ∈ 𝑁 ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝜑 → ∃𝑓(𝑓:𝑁⟶𝐴 ∧ ∀𝑛 ∈ 𝑁 𝜓)))
22	1, 21	sylbi 217	. 2 ⊢ (𝑁 ≼ ω → (∀𝑛 ∈ 𝑁 ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝜑 → ∃𝑓(𝑓:𝑁⟶𝐴 ∧ ∀𝑛 ∈ 𝑁 𝜓)))
23	22	imp 406	1 ⊢ ((𝑁 ≼ ω ∧ ∀𝑛 ∈ 𝑁 ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝜑) → ∃𝑓(𝑓:𝑁⟶𝐴 ∧ ∀𝑛 ∈ 𝑁 𝜓))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 847   = wceq 1541  ∃wex 1780   ∈ wcel 2111  ∀wral 3047  ∃wrex 3056  Vcvv 3436  ifcif 4475   class class class wbr 5091  ⟶wf 6477  ‘cfv 6481  ωcom 7796   ≈ cen 8866   ≼ cdom 8867   ≺ csdm 8868  Fincfn 8869

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-rep 5217  ax-sep 5234  ax-nul 5244  ax-pow 5303  ax-pr 5370  ax-un 7668  ax-inf2 9531  ax-cc 10323

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-ral 3048  df-rex 3057  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4284  df-if 4476  df-pw 4552  df-sn 4577  df-pr 4579  df-op 4583  df-uni 4860  df-int 4898  df-iun 4943  df-br 5092  df-opab 5154  df-mpt 5173  df-tr 5199  df-id 5511  df-eprel 5516  df-po 5524  df-so 5525  df-fr 5569  df-we 5571  df-xp 5622  df-rel 5623  df-cnv 5624  df-co 5625  df-dm 5626  df-rn 5627  df-res 5628  df-ima 5629  df-pred 6248  df-ord 6309  df-on 6310  df-lim 6311  df-suc 6312  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-ov 7349  df-om 7797  df-2nd 7922  df-frecs 8211  df-wrecs 8242  df-recs 8291  df-rdg 8329  df-1o 8385  df-er 8622  df-en 8870  df-dom 8871  df-sdom 8872  df-fin 8873

This theorem is referenced by:  2ndcctbss  23368  2ndcsep  23372  iscmet3  25218  heiborlem3  37852