MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  axcc4dom Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem axcc4dom 10323
Description: Relax the constraint on axcc4 10321 to dominance instead of equinumerosity. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jan-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
axcc4dom.1 𝐴 ∈ V
axcc4dom.2 (𝑥 = (𝑓𝑛) → (𝜑𝜓))
Assertion
Ref Expression
axcc4dom ((𝑁 ≼ ω ∧ ∀𝑛𝑁𝑥𝐴 𝜑) → ∃𝑓(𝑓:𝑁𝐴 ∧ ∀𝑛𝑁 𝜓))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑓,𝑛,𝑥   𝑓,𝑁,𝑛   𝜑,𝑓   𝜓,𝑥
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑛)   𝜓(𝑓,𝑛)   𝑁(𝑥)

Proof of Theorem axcc4dom
StepHypRef Expression
1 brdom2 8898 . . 3 (𝑁 ≼ ω ↔ (𝑁 ≺ ω ∨ 𝑁 ≈ ω))
2 isfinite 9536 . . . . 5 (𝑁 ∈ Fin ↔ 𝑁 ≺ ω)
3 axcc4dom.2 . . . . . . 7 (𝑥 = (𝑓𝑛) → (𝜑𝜓))
43ac6sfi 9162 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ Fin ∧ ∀𝑛𝑁𝑥𝐴 𝜑) → ∃𝑓(𝑓:𝑁𝐴 ∧ ∀𝑛𝑁 𝜓))
54ex 412 . . . . 5 (𝑁 ∈ Fin → (∀𝑛𝑁𝑥𝐴 𝜑 → ∃𝑓(𝑓:𝑁𝐴 ∧ ∀𝑛𝑁 𝜓)))
62, 5sylbir 235 . . . 4 (𝑁 ≺ ω → (∀𝑛𝑁𝑥𝐴 𝜑 → ∃𝑓(𝑓:𝑁𝐴 ∧ ∀𝑛𝑁 𝜓)))
7 raleq 3286 . . . . . 6 (𝑁 = if(𝑁 ≈ ω, 𝑁, ω) → (∀𝑛𝑁𝑥𝐴 𝜑 ↔ ∀𝑛 ∈ if (𝑁 ≈ ω, 𝑁, ω)∃𝑥𝐴 𝜑))
8 feq2 6625 . . . . . . . 8 (𝑁 = if(𝑁 ≈ ω, 𝑁, ω) → (𝑓:𝑁𝐴𝑓:if(𝑁 ≈ ω, 𝑁, ω)⟶𝐴))
9 raleq 3286 . . . . . . . 8 (𝑁 = if(𝑁 ≈ ω, 𝑁, ω) → (∀𝑛𝑁 𝜓 ↔ ∀𝑛 ∈ if (𝑁 ≈ ω, 𝑁, ω)𝜓))
108, 9anbi12d 632 . . . . . . 7 (𝑁 = if(𝑁 ≈ ω, 𝑁, ω) → ((𝑓:𝑁𝐴 ∧ ∀𝑛𝑁 𝜓) ↔ (𝑓:if(𝑁 ≈ ω, 𝑁, ω)⟶𝐴 ∧ ∀𝑛 ∈ if (𝑁 ≈ ω, 𝑁, ω)𝜓)))
1110exbidv 1921 . . . . . 6 (𝑁 = if(𝑁 ≈ ω, 𝑁, ω) → (∃𝑓(𝑓:𝑁𝐴 ∧ ∀𝑛𝑁 𝜓) ↔ ∃𝑓(𝑓:if(𝑁 ≈ ω, 𝑁, ω)⟶𝐴 ∧ ∀𝑛 ∈ if (𝑁 ≈ ω, 𝑁, ω)𝜓)))
127, 11imbi12d 344 . . . . 5 (𝑁 = if(𝑁 ≈ ω, 𝑁, ω) → ((∀𝑛𝑁𝑥𝐴 𝜑 → ∃𝑓(𝑓:𝑁𝐴 ∧ ∀𝑛𝑁 𝜓)) ↔ (∀𝑛 ∈ if (𝑁 ≈ ω, 𝑁, ω)∃𝑥𝐴 𝜑 → ∃𝑓(𝑓:if(𝑁 ≈ ω, 𝑁, ω)⟶𝐴 ∧ ∀𝑛 ∈ if (𝑁 ≈ ω, 𝑁, ω)𝜓))))
13 axcc4dom.1 . . . . . 6 𝐴 ∈ V
14 breq1 5091 . . . . . . 7 (𝑁 = if(𝑁 ≈ ω, 𝑁, ω) → (𝑁 ≈ ω ↔ if(𝑁 ≈ ω, 𝑁, ω) ≈ ω))
15 breq1 5091 . . . . . . 7 (ω = if(𝑁 ≈ ω, 𝑁, ω) → (ω ≈ ω ↔ if(𝑁 ≈ ω, 𝑁, ω) ≈ ω))
16 omex 9527 . . . . . . . 8 ω ∈ V
1716enref 8901 . . . . . . 7 ω ≈ ω
1814, 15, 17elimhyp 4538 . . . . . 6 if(𝑁 ≈ ω, 𝑁, ω) ≈ ω
1913, 18, 3axcc4 10321 . . . . 5 (∀𝑛 ∈ if (𝑁 ≈ ω, 𝑁, ω)∃𝑥𝐴 𝜑 → ∃𝑓(𝑓:if(𝑁 ≈ ω, 𝑁, ω)⟶𝐴 ∧ ∀𝑛 ∈ if (𝑁 ≈ ω, 𝑁, ω)𝜓))
2012, 19dedth 4531 . . . 4 (𝑁 ≈ ω → (∀𝑛𝑁𝑥𝐴 𝜑 → ∃𝑓(𝑓:𝑁𝐴 ∧ ∀𝑛𝑁 𝜓)))
216, 20jaoi 857 . . 3 ((𝑁 ≺ ω ∨ 𝑁 ≈ ω) → (∀𝑛𝑁𝑥𝐴 𝜑 → ∃𝑓(𝑓:𝑁𝐴 ∧ ∀𝑛𝑁 𝜓)))
221, 21sylbi 217 . 2 (𝑁 ≼ ω → (∀𝑛𝑁𝑥𝐴 𝜑 → ∃𝑓(𝑓:𝑁𝐴 ∧ ∀𝑛𝑁 𝜓)))
2322imp 406 1 ((𝑁 ≼ ω ∧ ∀𝑛𝑁𝑥𝐴 𝜑) → ∃𝑓(𝑓:𝑁𝐴 ∧ ∀𝑛𝑁 𝜓))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395  wo 847   = wceq 1540  wex 1779  wcel 2109  wral 3044  wrex 3053  Vcvv 3433  ifcif 4472   class class class wbr 5088  wf 6472  cfv 6476  ωcom 7790  cen 8860  cdom 8861  csdm 8862  Fincfn 8863
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5214  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5300  ax-pr 5367  ax-un 7662  ax-inf2 9525  ax-cc 10317
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3344  df-rab 3393  df-v 3435  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4281  df-if 4473  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-op 4580  df-uni 4857  df-int 4895  df-iun 4940  df-br 5089  df-opab 5151  df-mpt 5170  df-tr 5196  df-id 5508  df-eprel 5513  df-po 5521  df-so 5522  df-fr 5566  df-we 5568  df-xp 5619  df-rel 5620  df-cnv 5621  df-co 5622  df-dm 5623  df-rn 5624  df-res 5625  df-ima 5626  df-pred 6243  df-ord 6304  df-on 6305  df-lim 6306  df-suc 6307  df-iota 6432  df-fun 6478  df-fn 6479  df-f 6480  df-f1 6481  df-fo 6482  df-f1o 6483  df-fv 6484  df-ov 7343  df-om 7791  df-2nd 7916  df-frecs 8205  df-wrecs 8236  df-recs 8285  df-rdg 8323  df-1o 8379  df-er 8616  df-en 8864  df-dom 8865  df-sdom 8866  df-fin 8867
This theorem is referenced by:  2ndcctbss  23324  2ndcsep  23328  iscmet3  25174  heiborlem3  37810
  Copyright terms: Public domain W3C validator