MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  axcc4dom Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem axcc4dom 10378
Description: Relax the constraint on axcc4 10376 to dominance instead of equinumerosity. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jan-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
axcc4dom.1 𝐴 ∈ V
axcc4dom.2 (𝑥 = (𝑓𝑛) → (𝜑𝜓))
Assertion
Ref Expression
axcc4dom ((𝑁 ≼ ω ∧ ∀𝑛𝑁𝑥𝐴 𝜑) → ∃𝑓(𝑓:𝑁𝐴 ∧ ∀𝑛𝑁 𝜓))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑓,𝑛,𝑥   𝑓,𝑁,𝑛   𝜑,𝑓   𝜓,𝑥
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑛)   𝜓(𝑓,𝑛)   𝑁(𝑥)

Proof of Theorem axcc4dom
StepHypRef Expression
1 brdom2 8923 . . 3 (𝑁 ≼ ω ↔ (𝑁 ≺ ω ∨ 𝑁 ≈ ω))
2 isfinite 9589 . . . . 5 (𝑁 ∈ Fin ↔ 𝑁 ≺ ω)
3 axcc4dom.2 . . . . . . 7 (𝑥 = (𝑓𝑛) → (𝜑𝜓))
43ac6sfi 9232 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ Fin ∧ ∀𝑛𝑁𝑥𝐴 𝜑) → ∃𝑓(𝑓:𝑁𝐴 ∧ ∀𝑛𝑁 𝜓))
54ex 414 . . . . 5 (𝑁 ∈ Fin → (∀𝑛𝑁𝑥𝐴 𝜑 → ∃𝑓(𝑓:𝑁𝐴 ∧ ∀𝑛𝑁 𝜓)))
62, 5sylbir 234 . . . 4 (𝑁 ≺ ω → (∀𝑛𝑁𝑥𝐴 𝜑 → ∃𝑓(𝑓:𝑁𝐴 ∧ ∀𝑛𝑁 𝜓)))
7 raleq 3310 . . . . . 6 (𝑁 = if(𝑁 ≈ ω, 𝑁, ω) → (∀𝑛𝑁𝑥𝐴 𝜑 ↔ ∀𝑛 ∈ if (𝑁 ≈ ω, 𝑁, ω)∃𝑥𝐴 𝜑))
8 feq2 6651 . . . . . . . 8 (𝑁 = if(𝑁 ≈ ω, 𝑁, ω) → (𝑓:𝑁𝐴𝑓:if(𝑁 ≈ ω, 𝑁, ω)⟶𝐴))
9 raleq 3310 . . . . . . . 8 (𝑁 = if(𝑁 ≈ ω, 𝑁, ω) → (∀𝑛𝑁 𝜓 ↔ ∀𝑛 ∈ if (𝑁 ≈ ω, 𝑁, ω)𝜓))
108, 9anbi12d 632 . . . . . . 7 (𝑁 = if(𝑁 ≈ ω, 𝑁, ω) → ((𝑓:𝑁𝐴 ∧ ∀𝑛𝑁 𝜓) ↔ (𝑓:if(𝑁 ≈ ω, 𝑁, ω)⟶𝐴 ∧ ∀𝑛 ∈ if (𝑁 ≈ ω, 𝑁, ω)𝜓)))
1110exbidv 1925 . . . . . 6 (𝑁 = if(𝑁 ≈ ω, 𝑁, ω) → (∃𝑓(𝑓:𝑁𝐴 ∧ ∀𝑛𝑁 𝜓) ↔ ∃𝑓(𝑓:if(𝑁 ≈ ω, 𝑁, ω)⟶𝐴 ∧ ∀𝑛 ∈ if (𝑁 ≈ ω, 𝑁, ω)𝜓)))
127, 11imbi12d 345 . . . . 5 (𝑁 = if(𝑁 ≈ ω, 𝑁, ω) → ((∀𝑛𝑁𝑥𝐴 𝜑 → ∃𝑓(𝑓:𝑁𝐴 ∧ ∀𝑛𝑁 𝜓)) ↔ (∀𝑛 ∈ if (𝑁 ≈ ω, 𝑁, ω)∃𝑥𝐴 𝜑 → ∃𝑓(𝑓:if(𝑁 ≈ ω, 𝑁, ω)⟶𝐴 ∧ ∀𝑛 ∈ if (𝑁 ≈ ω, 𝑁, ω)𝜓))))
13 axcc4dom.1 . . . . . 6 𝐴 ∈ V
14 breq1 5109 . . . . . . 7 (𝑁 = if(𝑁 ≈ ω, 𝑁, ω) → (𝑁 ≈ ω ↔ if(𝑁 ≈ ω, 𝑁, ω) ≈ ω))
15 breq1 5109 . . . . . . 7 (ω = if(𝑁 ≈ ω, 𝑁, ω) → (ω ≈ ω ↔ if(𝑁 ≈ ω, 𝑁, ω) ≈ ω))
16 omex 9580 . . . . . . . 8 ω ∈ V
1716enref 8926 . . . . . . 7 ω ≈ ω
1814, 15, 17elimhyp 4552 . . . . . 6 if(𝑁 ≈ ω, 𝑁, ω) ≈ ω
1913, 18, 3axcc4 10376 . . . . 5 (∀𝑛 ∈ if (𝑁 ≈ ω, 𝑁, ω)∃𝑥𝐴 𝜑 → ∃𝑓(𝑓:if(𝑁 ≈ ω, 𝑁, ω)⟶𝐴 ∧ ∀𝑛 ∈ if (𝑁 ≈ ω, 𝑁, ω)𝜓))
2012, 19dedth 4545 . . . 4 (𝑁 ≈ ω → (∀𝑛𝑁𝑥𝐴 𝜑 → ∃𝑓(𝑓:𝑁𝐴 ∧ ∀𝑛𝑁 𝜓)))
216, 20jaoi 856 . . 3 ((𝑁 ≺ ω ∨ 𝑁 ≈ ω) → (∀𝑛𝑁𝑥𝐴 𝜑 → ∃𝑓(𝑓:𝑁𝐴 ∧ ∀𝑛𝑁 𝜓)))
221, 21sylbi 216 . 2 (𝑁 ≼ ω → (∀𝑛𝑁𝑥𝐴 𝜑 → ∃𝑓(𝑓:𝑁𝐴 ∧ ∀𝑛𝑁 𝜓)))
2322imp 408 1 ((𝑁 ≼ ω ∧ ∀𝑛𝑁𝑥𝐴 𝜑) → ∃𝑓(𝑓:𝑁𝐴 ∧ ∀𝑛𝑁 𝜓))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 397  wo 846   = wceq 1542  wex 1782  wcel 2107  wral 3065  wrex 3074  Vcvv 3446  ifcif 4487   class class class wbr 5106  wf 6493  cfv 6497  ωcom 7803  cen 8881  cdom 8882  csdm 8883  Fincfn 8884
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5243  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-inf2 9578  ax-cc 10372
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-ral 3066  df-rex 3075  df-reu 3355  df-rab 3409  df-v 3448  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-int 4909  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-ov 7361  df-om 7804  df-2nd 7923  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-1o 8413  df-er 8649  df-en 8885  df-dom 8886  df-sdom 8887  df-fin 8888
This theorem is referenced by:  2ndcctbss  22809  2ndcsep  22813  iscmet3  24660  heiborlem3  36275
  Copyright terms: Public domain W3C validator