Theorem axcc4dom 10363

Description: Relax the constraint on axcc4 10361 to dominance instead of equinumerosity. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jan-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
axcc4dom.1	⊢ 𝐴 ∈ V
axcc4dom.2	⊢ (𝑥 = (𝑓‘𝑛) → (𝜑 ↔ 𝜓))

Assertion

Ref	Expression
axcc4dom	⊢ ((𝑁 ≼ ω ∧ ∀𝑛 ∈ 𝑁 ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝜑) → ∃𝑓(𝑓:𝑁⟶𝐴 ∧ ∀𝑛 ∈ 𝑁 𝜓))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑓,𝑛,𝑥   𝑓,𝑁,𝑛   𝜑,𝑓   𝜓,𝑥

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑛)   𝜓(𝑓,𝑛)   𝑁(𝑥)

Proof of Theorem axcc4dom

Step	Hyp	Ref	Expression
1		brdom2 8931	. . 3 ⊢ (𝑁 ≼ ω ↔ (𝑁 ≺ ω ∨ 𝑁 ≈ ω))
2		isfinite 9573	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ Fin ↔ 𝑁 ≺ ω)
3		axcc4dom.2	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = (𝑓‘𝑛) → (𝜑 ↔ 𝜓))
4	3	ac6sfi 9196	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ ∀𝑛 ∈ 𝑁 ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝜑) → ∃𝑓(𝑓:𝑁⟶𝐴 ∧ ∀𝑛 ∈ 𝑁 𝜓))
5	4	ex 412	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ Fin → (∀𝑛 ∈ 𝑁 ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝜑 → ∃𝑓(𝑓:𝑁⟶𝐴 ∧ ∀𝑛 ∈ 𝑁 𝜓)))
6	2, 5	sylbir 235	. . . 4 ⊢ (𝑁 ≺ ω → (∀𝑛 ∈ 𝑁 ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝜑 → ∃𝑓(𝑓:𝑁⟶𝐴 ∧ ∀𝑛 ∈ 𝑁 𝜓)))
7		raleq 3295	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 = if(𝑁 ≈ ω, 𝑁, ω) → (∀𝑛 ∈ 𝑁 ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝜑 ↔ ∀𝑛 ∈ if (𝑁 ≈ ω, 𝑁, ω)∃𝑥 ∈ 𝐴 𝜑))
8		feq2 6649	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 = if(𝑁 ≈ ω, 𝑁, ω) → (𝑓:𝑁⟶𝐴 ↔ 𝑓:if(𝑁 ≈ ω, 𝑁, ω)⟶𝐴))
9		raleq 3295	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 = if(𝑁 ≈ ω, 𝑁, ω) → (∀𝑛 ∈ 𝑁 𝜓 ↔ ∀𝑛 ∈ if (𝑁 ≈ ω, 𝑁, ω)𝜓))
10	8, 9	anbi12d 633	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 = if(𝑁 ≈ ω, 𝑁, ω) → ((𝑓:𝑁⟶𝐴 ∧ ∀𝑛 ∈ 𝑁 𝜓) ↔ (𝑓:if(𝑁 ≈ ω, 𝑁, ω)⟶𝐴 ∧ ∀𝑛 ∈ if (𝑁 ≈ ω, 𝑁, ω)𝜓)))
11	10	exbidv 1923	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 = if(𝑁 ≈ ω, 𝑁, ω) → (∃𝑓(𝑓:𝑁⟶𝐴 ∧ ∀𝑛 ∈ 𝑁 𝜓) ↔ ∃𝑓(𝑓:if(𝑁 ≈ ω, 𝑁, ω)⟶𝐴 ∧ ∀𝑛 ∈ if (𝑁 ≈ ω, 𝑁, ω)𝜓)))
12	7, 11	imbi12d 344	. . . . 5 ⊢ (𝑁 = if(𝑁 ≈ ω, 𝑁, ω) → ((∀𝑛 ∈ 𝑁 ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝜑 → ∃𝑓(𝑓:𝑁⟶𝐴 ∧ ∀𝑛 ∈ 𝑁 𝜓)) ↔ (∀𝑛 ∈ if (𝑁 ≈ ω, 𝑁, ω)∃𝑥 ∈ 𝐴 𝜑 → ∃𝑓(𝑓:if(𝑁 ≈ ω, 𝑁, ω)⟶𝐴 ∧ ∀𝑛 ∈ if (𝑁 ≈ ω, 𝑁, ω)𝜓))))
13		axcc4dom.1	. . . . . 6 ⊢ 𝐴 ∈ V
14		breq1 5103	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 = if(𝑁 ≈ ω, 𝑁, ω) → (𝑁 ≈ ω ↔ if(𝑁 ≈ ω, 𝑁, ω) ≈ ω))
15		breq1 5103	. . . . . . 7 ⊢ (ω = if(𝑁 ≈ ω, 𝑁, ω) → (ω ≈ ω ↔ if(𝑁 ≈ ω, 𝑁, ω) ≈ ω))
16		omex 9564	. . . . . . . 8 ⊢ ω ∈ V
17	16	enref 8934	. . . . . . 7 ⊢ ω ≈ ω
18	14, 15, 17	elimhyp 4547	. . . . . 6 ⊢ if(𝑁 ≈ ω, 𝑁, ω) ≈ ω
19	13, 18, 3	axcc4 10361	. . . . 5 ⊢ (∀𝑛 ∈ if (𝑁 ≈ ω, 𝑁, ω)∃𝑥 ∈ 𝐴 𝜑 → ∃𝑓(𝑓:if(𝑁 ≈ ω, 𝑁, ω)⟶𝐴 ∧ ∀𝑛 ∈ if (𝑁 ≈ ω, 𝑁, ω)𝜓))
20	12, 19	dedth 4540	. . . 4 ⊢ (𝑁 ≈ ω → (∀𝑛 ∈ 𝑁 ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝜑 → ∃𝑓(𝑓:𝑁⟶𝐴 ∧ ∀𝑛 ∈ 𝑁 𝜓)))
21	6, 20	jaoi 858	. . 3 ⊢ ((𝑁 ≺ ω ∨ 𝑁 ≈ ω) → (∀𝑛 ∈ 𝑁 ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝜑 → ∃𝑓(𝑓:𝑁⟶𝐴 ∧ ∀𝑛 ∈ 𝑁 𝜓)))
22	1, 21	sylbi 217	. 2 ⊢ (𝑁 ≼ ω → (∀𝑛 ∈ 𝑁 ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝜑 → ∃𝑓(𝑓:𝑁⟶𝐴 ∧ ∀𝑛 ∈ 𝑁 𝜓)))
23	22	imp 406	1 ⊢ ((𝑁 ≼ ω ∧ ∀𝑛 ∈ 𝑁 ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝜑) → ∃𝑓(𝑓:𝑁⟶𝐴 ∧ ∀𝑛 ∈ 𝑁 𝜓))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 848   = wceq 1542  ∃wex 1781   ∈ wcel 2114  ∀wral 3052  ∃wrex 3062  Vcvv 3442  ifcif 4481   class class class wbr 5100  ⟶wf 6496  ‘cfv 6500  ωcom 7818   ≈ cen 8892   ≼ cdom 8893   ≺ csdm 8894  Fincfn 8895

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5226  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690  ax-inf2 9562  ax-cc 10357

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-int 4905  df-iun 4950  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5527  df-eprel 5532  df-po 5540  df-so 5541  df-fr 5585  df-we 5587  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-pred 6267  df-ord 6328  df-on 6329  df-lim 6330  df-suc 6331  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-ov 7371  df-om 7819  df-2nd 7944  df-frecs 8233  df-wrecs 8264  df-recs 8313  df-rdg 8351  df-1o 8407  df-er 8645  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-fin 8899

This theorem is referenced by:  2ndcctbss  23411  2ndcsep  23415  iscmet3  25261  heiborlem3  38058