Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  axcc4dom Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem axcc4dom 9653
 Description: Relax the constraint on axcc4 9651 to dominance instead of equinumerosity. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jan-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
axcc4dom.1 𝐴 ∈ V
axcc4dom.2 (𝑥 = (𝑓𝑛) → (𝜑𝜓))
Assertion
Ref Expression
axcc4dom ((𝑁 ≼ ω ∧ ∀𝑛𝑁𝑥𝐴 𝜑) → ∃𝑓(𝑓:𝑁𝐴 ∧ ∀𝑛𝑁 𝜓))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑓,𝑛,𝑥   𝑓,𝑁,𝑛   𝜑,𝑓   𝜓,𝑥
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑛)   𝜓(𝑓,𝑛)   𝑁(𝑥)

Proof of Theorem axcc4dom
StepHypRef Expression
1 brdom2 8328 . . 3 (𝑁 ≼ ω ↔ (𝑁 ≺ ω ∨ 𝑁 ≈ ω))
2 isfinite 8901 . . . . 5 (𝑁 ∈ Fin ↔ 𝑁 ≺ ω)
3 axcc4dom.2 . . . . . . 7 (𝑥 = (𝑓𝑛) → (𝜑𝜓))
43ac6sfi 8549 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ Fin ∧ ∀𝑛𝑁𝑥𝐴 𝜑) → ∃𝑓(𝑓:𝑁𝐴 ∧ ∀𝑛𝑁 𝜓))
54ex 405 . . . . 5 (𝑁 ∈ Fin → (∀𝑛𝑁𝑥𝐴 𝜑 → ∃𝑓(𝑓:𝑁𝐴 ∧ ∀𝑛𝑁 𝜓)))
62, 5sylbir 227 . . . 4 (𝑁 ≺ ω → (∀𝑛𝑁𝑥𝐴 𝜑 → ∃𝑓(𝑓:𝑁𝐴 ∧ ∀𝑛𝑁 𝜓)))
7 raleq 3339 . . . . . 6 (𝑁 = if(𝑁 ≈ ω, 𝑁, ω) → (∀𝑛𝑁𝑥𝐴 𝜑 ↔ ∀𝑛 ∈ if (𝑁 ≈ ω, 𝑁, ω)∃𝑥𝐴 𝜑))
8 feq2 6320 . . . . . . . 8 (𝑁 = if(𝑁 ≈ ω, 𝑁, ω) → (𝑓:𝑁𝐴𝑓:if(𝑁 ≈ ω, 𝑁, ω)⟶𝐴))
9 raleq 3339 . . . . . . . 8 (𝑁 = if(𝑁 ≈ ω, 𝑁, ω) → (∀𝑛𝑁 𝜓 ↔ ∀𝑛 ∈ if (𝑁 ≈ ω, 𝑁, ω)𝜓))
108, 9anbi12d 621 . . . . . . 7 (𝑁 = if(𝑁 ≈ ω, 𝑁, ω) → ((𝑓:𝑁𝐴 ∧ ∀𝑛𝑁 𝜓) ↔ (𝑓:if(𝑁 ≈ ω, 𝑁, ω)⟶𝐴 ∧ ∀𝑛 ∈ if (𝑁 ≈ ω, 𝑁, ω)𝜓)))
1110exbidv 1880 . . . . . 6 (𝑁 = if(𝑁 ≈ ω, 𝑁, ω) → (∃𝑓(𝑓:𝑁𝐴 ∧ ∀𝑛𝑁 𝜓) ↔ ∃𝑓(𝑓:if(𝑁 ≈ ω, 𝑁, ω)⟶𝐴 ∧ ∀𝑛 ∈ if (𝑁 ≈ ω, 𝑁, ω)𝜓)))
127, 11imbi12d 337 . . . . 5 (𝑁 = if(𝑁 ≈ ω, 𝑁, ω) → ((∀𝑛𝑁𝑥𝐴 𝜑 → ∃𝑓(𝑓:𝑁𝐴 ∧ ∀𝑛𝑁 𝜓)) ↔ (∀𝑛 ∈ if (𝑁 ≈ ω, 𝑁, ω)∃𝑥𝐴 𝜑 → ∃𝑓(𝑓:if(𝑁 ≈ ω, 𝑁, ω)⟶𝐴 ∧ ∀𝑛 ∈ if (𝑁 ≈ ω, 𝑁, ω)𝜓))))
13 axcc4dom.1 . . . . . 6 𝐴 ∈ V
14 breq1 4926 . . . . . . 7 (𝑁 = if(𝑁 ≈ ω, 𝑁, ω) → (𝑁 ≈ ω ↔ if(𝑁 ≈ ω, 𝑁, ω) ≈ ω))
15 breq1 4926 . . . . . . 7 (ω = if(𝑁 ≈ ω, 𝑁, ω) → (ω ≈ ω ↔ if(𝑁 ≈ ω, 𝑁, ω) ≈ ω))
16 omex 8892 . . . . . . . 8 ω ∈ V
1716enref 8331 . . . . . . 7 ω ≈ ω
1814, 15, 17elimhyp 4407 . . . . . 6 if(𝑁 ≈ ω, 𝑁, ω) ≈ ω
1913, 18, 3axcc4 9651 . . . . 5 (∀𝑛 ∈ if (𝑁 ≈ ω, 𝑁, ω)∃𝑥𝐴 𝜑 → ∃𝑓(𝑓:if(𝑁 ≈ ω, 𝑁, ω)⟶𝐴 ∧ ∀𝑛 ∈ if (𝑁 ≈ ω, 𝑁, ω)𝜓))
2012, 19dedth 4400 . . . 4 (𝑁 ≈ ω → (∀𝑛𝑁𝑥𝐴 𝜑 → ∃𝑓(𝑓:𝑁𝐴 ∧ ∀𝑛𝑁 𝜓)))
216, 20jaoi 843 . . 3 ((𝑁 ≺ ω ∨ 𝑁 ≈ ω) → (∀𝑛𝑁𝑥𝐴 𝜑 → ∃𝑓(𝑓:𝑁𝐴 ∧ ∀𝑛𝑁 𝜓)))
221, 21sylbi 209 . 2 (𝑁 ≼ ω → (∀𝑛𝑁𝑥𝐴 𝜑 → ∃𝑓(𝑓:𝑁𝐴 ∧ ∀𝑛𝑁 𝜓)))
2322imp 398 1 ((𝑁 ≼ ω ∧ ∀𝑛𝑁𝑥𝐴 𝜑) → ∃𝑓(𝑓:𝑁𝐴 ∧ ∀𝑛𝑁 𝜓))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 198   ∧ wa 387   ∨ wo 833   = wceq 1507  ∃wex 1742   ∈ wcel 2048  ∀wral 3082  ∃wrex 3083  Vcvv 3409  ifcif 4344   class class class wbr 4923  ⟶wf 6178  ‘cfv 6182  ωcom 7390   ≈ cen 8295   ≼ cdom 8296   ≺ csdm 8297  Fincfn 8298 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1758  ax-4 1772  ax-5 1869  ax-6 1928  ax-7 1964  ax-8 2050  ax-9 2057  ax-10 2077  ax-11 2091  ax-12 2104  ax-13 2299  ax-ext 2745  ax-rep 5043  ax-sep 5054  ax-nul 5061  ax-pow 5113  ax-pr 5180  ax-un 7273  ax-inf2 8890  ax-cc 9647 This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 834  df-3or 1069  df-3an 1070  df-tru 1510  df-ex 1743  df-nf 1747  df-sb 2014  df-mo 2544  df-eu 2580  df-clab 2754  df-cleq 2765  df-clel 2840  df-nfc 2912  df-ne 2962  df-ral 3087  df-rex 3088  df-reu 3089  df-rab 3091  df-v 3411  df-sbc 3678  df-csb 3783  df-dif 3828  df-un 3830  df-in 3832  df-ss 3839  df-pss 3841  df-nul 4174  df-if 4345  df-pw 4418  df-sn 4436  df-pr 4438  df-tp 4440  df-op 4442  df-uni 4707  df-int 4744  df-iun 4788  df-br 4924  df-opab 4986  df-mpt 5003  df-tr 5025  df-id 5305  df-eprel 5310  df-po 5319  df-so 5320  df-fr 5359  df-we 5361  df-xp 5406  df-rel 5407  df-cnv 5408  df-co 5409  df-dm 5410  df-rn 5411  df-res 5412  df-ima 5413  df-pred 5980  df-ord 6026  df-on 6027  df-lim 6028  df-suc 6029  df-iota 6146  df-fun 6184  df-fn 6185  df-f 6186  df-f1 6187  df-fo 6188  df-f1o 6189  df-fv 6190  df-om 7391  df-2nd 7495  df-wrecs 7743  df-recs 7805  df-rdg 7843  df-1o 7897  df-er 8081  df-en 8299  df-dom 8300  df-sdom 8301  df-fin 8302 This theorem is referenced by:  2ndcctbss  21757  2ndcsep  21761  iscmet3  23589  heiborlem3  34481
 Copyright terms: Public domain W3C validator