Theorem axcc4dom 10395

Description: Relax the constraint on axcc4 10393 to dominance instead of equinumerosity. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jan-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
axcc4dom.1	⊢ 𝐴 ∈ V
axcc4dom.2	⊢ (𝑥 = (𝑓‘𝑛) → (𝜑 ↔ 𝜓))

Assertion

Ref	Expression
axcc4dom	⊢ ((𝑁 ≼ ω ∧ ∀𝑛 ∈ 𝑁 ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝜑) → ∃𝑓(𝑓:𝑁⟶𝐴 ∧ ∀𝑛 ∈ 𝑁 𝜓))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑓,𝑛,𝑥   𝑓,𝑁,𝑛   𝜑,𝑓   𝜓,𝑥

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑛)   𝜓(𝑓,𝑛)   𝑁(𝑥)

Proof of Theorem axcc4dom

Step	Hyp	Ref	Expression
1		brdom2 8959	. . 3 ⊢ (𝑁 ≼ ω ↔ (𝑁 ≺ ω ∨ 𝑁 ≈ ω))
2		isfinite 9604	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ Fin ↔ 𝑁 ≺ ω)
3		axcc4dom.2	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = (𝑓‘𝑛) → (𝜑 ↔ 𝜓))
4	3	ac6sfi 9224	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ ∀𝑛 ∈ 𝑁 ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝜑) → ∃𝑓(𝑓:𝑁⟶𝐴 ∧ ∀𝑛 ∈ 𝑁 𝜓))
5	4	ex 416	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ Fin → (∀𝑛 ∈ 𝑁 ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝜑 → ∃𝑓(𝑓:𝑁⟶𝐴 ∧ ∀𝑛 ∈ 𝑁 𝜓)))
6	2, 5	sylbir 237	. . . 4 ⊢ (𝑁 ≺ ω → (∀𝑛 ∈ 𝑁 ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝜑 → ∃𝑓(𝑓:𝑁⟶𝐴 ∧ ∀𝑛 ∈ 𝑁 𝜓)))
7		raleq 3316	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 = if(𝑁 ≈ ω, 𝑁, ω) → (∀𝑛 ∈ 𝑁 ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝜑 ↔ ∀𝑛 ∈ if (𝑁 ≈ ω, 𝑁, ω)∃𝑥 ∈ 𝐴 𝜑))
8		feq2 6666	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 = if(𝑁 ≈ ω, 𝑁, ω) → (𝑓:𝑁⟶𝐴 ↔ 𝑓:if(𝑁 ≈ ω, 𝑁, ω)⟶𝐴))
9		raleq 3316	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 = if(𝑁 ≈ ω, 𝑁, ω) → (∀𝑛 ∈ 𝑁 𝜓 ↔ ∀𝑛 ∈ if (𝑁 ≈ ω, 𝑁, ω)𝜓))
10	8, 9	anbi12d 641	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 = if(𝑁 ≈ ω, 𝑁, ω) → ((𝑓:𝑁⟶𝐴 ∧ ∀𝑛 ∈ 𝑁 𝜓) ↔ (𝑓:if(𝑁 ≈ ω, 𝑁, ω)⟶𝐴 ∧ ∀𝑛 ∈ if (𝑁 ≈ ω, 𝑁, ω)𝜓)))
11	10	exbidv 1940	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 = if(𝑁 ≈ ω, 𝑁, ω) → (∃𝑓(𝑓:𝑁⟶𝐴 ∧ ∀𝑛 ∈ 𝑁 𝜓) ↔ ∃𝑓(𝑓:if(𝑁 ≈ ω, 𝑁, ω)⟶𝐴 ∧ ∀𝑛 ∈ if (𝑁 ≈ ω, 𝑁, ω)𝜓)))
12	7, 11	imbi12d 346	. . . . 5 ⊢ (𝑁 = if(𝑁 ≈ ω, 𝑁, ω) → ((∀𝑛 ∈ 𝑁 ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝜑 → ∃𝑓(𝑓:𝑁⟶𝐴 ∧ ∀𝑛 ∈ 𝑁 𝜓)) ↔ (∀𝑛 ∈ if (𝑁 ≈ ω, 𝑁, ω)∃𝑥 ∈ 𝐴 𝜑 → ∃𝑓(𝑓:if(𝑁 ≈ ω, 𝑁, ω)⟶𝐴 ∧ ∀𝑛 ∈ if (𝑁 ≈ ω, 𝑁, ω)𝜓))))
13		axcc4dom.1	. . . . . 6 ⊢ 𝐴 ∈ V
14		breq1 5102	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 = if(𝑁 ≈ ω, 𝑁, ω) → (𝑁 ≈ ω ↔ if(𝑁 ≈ ω, 𝑁, ω) ≈ ω))
15		breq1 5102	. . . . . . 7 ⊢ (ω = if(𝑁 ≈ ω, 𝑁, ω) → (ω ≈ ω ↔ if(𝑁 ≈ ω, 𝑁, ω) ≈ ω))
16		omex 9595	. . . . . . . 8 ⊢ ω ∈ V
17	16	enref 8962	. . . . . . 7 ⊢ ω ≈ ω
18	14, 15, 17	elimhyp 4545	. . . . . 6 ⊢ if(𝑁 ≈ ω, 𝑁, ω) ≈ ω
19	13, 18, 3	axcc4 10393	. . . . 5 ⊢ (∀𝑛 ∈ if (𝑁 ≈ ω, 𝑁, ω)∃𝑥 ∈ 𝐴 𝜑 → ∃𝑓(𝑓:if(𝑁 ≈ ω, 𝑁, ω)⟶𝐴 ∧ ∀𝑛 ∈ if (𝑁 ≈ ω, 𝑁, ω)𝜓))
20	12, 19	dedth 4538	. . . 4 ⊢ (𝑁 ≈ ω → (∀𝑛 ∈ 𝑁 ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝜑 → ∃𝑓(𝑓:𝑁⟶𝐴 ∧ ∀𝑛 ∈ 𝑁 𝜓)))
21	6, 20	jaoi 868	. . 3 ⊢ ((𝑁 ≺ ω ∨ 𝑁 ≈ ω) → (∀𝑛 ∈ 𝑁 ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝜑 → ∃𝑓(𝑓:𝑁⟶𝐴 ∧ ∀𝑛 ∈ 𝑁 𝜓)))
22	1, 21	sylbi 219	. 2 ⊢ (𝑁 ≼ ω → (∀𝑛 ∈ 𝑁 ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝜑 → ∃𝑓(𝑓:𝑁⟶𝐴 ∧ ∀𝑛 ∈ 𝑁 𝜓)))
23	22	imp 410	1 ⊢ ((𝑁 ≼ ω ∧ ∀𝑛 ∈ 𝑁 ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝜑) → ∃𝑓(𝑓:𝑁⟶𝐴 ∧ ∀𝑛 ∈ 𝑁 𝜓))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 399   ∨ wo 858   = wceq 1559  ∃wex 1798   ∈ wcel 2141  ∀wral 3075  ∃wrex 3085  Vcvv 3453  ifcif 4479   class class class wbr 5099  ⟶wf 6513  ‘cfv 6517  ωcom 7842   ≈ cen 8920   ≼ cdom 8921   ≺ csdm 8922  Fincfn 8923

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-rep 5226  ax-sep 5245  ax-nul 5255  ax-pow 5321  ax-pr 5389  ax-un 7714  ax-inf2 9593  ax-cc 10389

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1098  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-ral 3076  df-rex 3086  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3455  df-sbc 3745  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4582  df-pr 4584  df-op 4588  df-uni 4865  df-int 4905  df-iun 4950  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-tr 5207  df-id 5540  df-eprel 5545  df-po 5553  df-so 5554  df-fr 5598  df-we 5600  df-xp 5651  df-rel 5652  df-cnv 5653  df-co 5654  df-dm 5655  df-rn 5656  df-res 5657  df-ima 5658  df-pred 6284  df-ord 6345  df-on 6346  df-lim 6347  df-suc 6348  df-iota 6473  df-fun 6519  df-fn 6520  df-f 6521  df-f1 6522  df-fo 6523  df-f1o 6524  df-fv 6525  df-ov 7395  df-om 7843  df-2nd 7967  df-frecs 8257  df-wrecs 8288  df-recs 8337  df-rdg 8376  df-1o 8432  df-er 8673  df-en 8924  df-dom 8925  df-sdom 8926  df-fin 8927

This theorem is referenced by:  2ndcctbss  23495  2ndcsep  23499  iscmet3  25335  heiborlem3  38276