MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  axcc4dom Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem axcc4dom 9653
Description: Relax the constraint on axcc4 9651 to dominance instead of equinumerosity. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jan-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
axcc4dom.1 𝐴 ∈ V
axcc4dom.2 (𝑥 = (𝑓𝑛) → (𝜑𝜓))
Assertion
Ref Expression
axcc4dom ((𝑁 ≼ ω ∧ ∀𝑛𝑁𝑥𝐴 𝜑) → ∃𝑓(𝑓:𝑁𝐴 ∧ ∀𝑛𝑁 𝜓))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑓,𝑛,𝑥   𝑓,𝑁,𝑛   𝜑,𝑓   𝜓,𝑥
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑛)   𝜓(𝑓,𝑛)   𝑁(𝑥)

Proof of Theorem axcc4dom
StepHypRef Expression
1 brdom2 8328 . . 3 (𝑁 ≼ ω ↔ (𝑁 ≺ ω ∨ 𝑁 ≈ ω))
2 isfinite 8901 . . . . 5 (𝑁 ∈ Fin ↔ 𝑁 ≺ ω)
3 axcc4dom.2 . . . . . . 7 (𝑥 = (𝑓𝑛) → (𝜑𝜓))
43ac6sfi 8549 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ Fin ∧ ∀𝑛𝑁𝑥𝐴 𝜑) → ∃𝑓(𝑓:𝑁𝐴 ∧ ∀𝑛𝑁 𝜓))
54ex 405 . . . . 5 (𝑁 ∈ Fin → (∀𝑛𝑁𝑥𝐴 𝜑 → ∃𝑓(𝑓:𝑁𝐴 ∧ ∀𝑛𝑁 𝜓)))
62, 5sylbir 227 . . . 4 (𝑁 ≺ ω → (∀𝑛𝑁𝑥𝐴 𝜑 → ∃𝑓(𝑓:𝑁𝐴 ∧ ∀𝑛𝑁 𝜓)))
7 raleq 3339 . . . . . 6 (𝑁 = if(𝑁 ≈ ω, 𝑁, ω) → (∀𝑛𝑁𝑥𝐴 𝜑 ↔ ∀𝑛 ∈ if (𝑁 ≈ ω, 𝑁, ω)∃𝑥𝐴 𝜑))
8 feq2 6320 . . . . . . . 8 (𝑁 = if(𝑁 ≈ ω, 𝑁, ω) → (𝑓:𝑁𝐴𝑓:if(𝑁 ≈ ω, 𝑁, ω)⟶𝐴))
9 raleq 3339 . . . . . . . 8 (𝑁 = if(𝑁 ≈ ω, 𝑁, ω) → (∀𝑛𝑁 𝜓 ↔ ∀𝑛 ∈ if (𝑁 ≈ ω, 𝑁, ω)𝜓))
108, 9anbi12d 621 . . . . . . 7 (𝑁 = if(𝑁 ≈ ω, 𝑁, ω) → ((𝑓:𝑁𝐴 ∧ ∀𝑛𝑁 𝜓) ↔ (𝑓:if(𝑁 ≈ ω, 𝑁, ω)⟶𝐴 ∧ ∀𝑛 ∈ if (𝑁 ≈ ω, 𝑁, ω)𝜓)))
1110exbidv 1880 . . . . . 6 (𝑁 = if(𝑁 ≈ ω, 𝑁, ω) → (∃𝑓(𝑓:𝑁𝐴 ∧ ∀𝑛𝑁 𝜓) ↔ ∃𝑓(𝑓:if(𝑁 ≈ ω, 𝑁, ω)⟶𝐴 ∧ ∀𝑛 ∈ if (𝑁 ≈ ω, 𝑁, ω)𝜓)))
127, 11imbi12d 337 . . . . 5 (𝑁 = if(𝑁 ≈ ω, 𝑁, ω) → ((∀𝑛𝑁𝑥𝐴 𝜑 → ∃𝑓(𝑓:𝑁𝐴 ∧ ∀𝑛𝑁 𝜓)) ↔ (∀𝑛 ∈ if (𝑁 ≈ ω, 𝑁, ω)∃𝑥𝐴 𝜑 → ∃𝑓(𝑓:if(𝑁 ≈ ω, 𝑁, ω)⟶𝐴 ∧ ∀𝑛 ∈ if (𝑁 ≈ ω, 𝑁, ω)𝜓))))
13 axcc4dom.1 . . . . . 6 𝐴 ∈ V
14 breq1 4926 . . . . . . 7 (𝑁 = if(𝑁 ≈ ω, 𝑁, ω) → (𝑁 ≈ ω ↔ if(𝑁 ≈ ω, 𝑁, ω) ≈ ω))
15 breq1 4926 . . . . . . 7 (ω = if(𝑁 ≈ ω, 𝑁, ω) → (ω ≈ ω ↔ if(𝑁 ≈ ω, 𝑁, ω) ≈ ω))
16 omex 8892 . . . . . . . 8 ω ∈ V
1716enref 8331 . . . . . . 7 ω ≈ ω
1814, 15, 17elimhyp 4407 . . . . . 6 if(𝑁 ≈ ω, 𝑁, ω) ≈ ω
1913, 18, 3axcc4 9651 . . . . 5 (∀𝑛 ∈ if (𝑁 ≈ ω, 𝑁, ω)∃𝑥𝐴 𝜑 → ∃𝑓(𝑓:if(𝑁 ≈ ω, 𝑁, ω)⟶𝐴 ∧ ∀𝑛 ∈ if (𝑁 ≈ ω, 𝑁, ω)𝜓))
2012, 19dedth 4400 . . . 4 (𝑁 ≈ ω → (∀𝑛𝑁𝑥𝐴 𝜑 → ∃𝑓(𝑓:𝑁𝐴 ∧ ∀𝑛𝑁 𝜓)))
216, 20jaoi 843 . . 3 ((𝑁 ≺ ω ∨ 𝑁 ≈ ω) → (∀𝑛𝑁𝑥𝐴 𝜑 → ∃𝑓(𝑓:𝑁𝐴 ∧ ∀𝑛𝑁 𝜓)))
221, 21sylbi 209 . 2 (𝑁 ≼ ω → (∀𝑛𝑁𝑥𝐴 𝜑 → ∃𝑓(𝑓:𝑁𝐴 ∧ ∀𝑛𝑁 𝜓)))
2322imp 398 1 ((𝑁 ≼ ω ∧ ∀𝑛𝑁𝑥𝐴 𝜑) → ∃𝑓(𝑓:𝑁𝐴 ∧ ∀𝑛𝑁 𝜓))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 198  wa 387  wo 833   = wceq 1507  wex 1742  wcel 2048  wral 3082  wrex 3083  Vcvv 3409  ifcif 4344   class class class wbr 4923  wf 6178  cfv 6182  ωcom 7390  cen 8295  cdom 8296  csdm 8297  Fincfn 8298
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1758  ax-4 1772  ax-5 1869  ax-6 1928  ax-7 1964  ax-8 2050  ax-9 2057  ax-10 2077  ax-11 2091  ax-12 2104  ax-13 2299  ax-ext 2745  ax-rep 5043  ax-sep 5054  ax-nul 5061  ax-pow 5113  ax-pr 5180  ax-un 7273  ax-inf2 8890  ax-cc 9647
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 834  df-3or 1069  df-3an 1070  df-tru 1510  df-ex 1743  df-nf 1747  df-sb 2014  df-mo 2544  df-eu 2580  df-clab 2754  df-cleq 2765  df-clel 2840  df-nfc 2912  df-ne 2962  df-ral 3087  df-rex 3088  df-reu 3089  df-rab 3091  df-v 3411  df-sbc 3678  df-csb 3783  df-dif 3828  df-un 3830  df-in 3832  df-ss 3839  df-pss 3841  df-nul 4174  df-if 4345  df-pw 4418  df-sn 4436  df-pr 4438  df-tp 4440  df-op 4442  df-uni 4707  df-int 4744  df-iun 4788  df-br 4924  df-opab 4986  df-mpt 5003  df-tr 5025  df-id 5305  df-eprel 5310  df-po 5319  df-so 5320  df-fr 5359  df-we 5361  df-xp 5406  df-rel 5407  df-cnv 5408  df-co 5409  df-dm 5410  df-rn 5411  df-res 5412  df-ima 5413  df-pred 5980  df-ord 6026  df-on 6027  df-lim 6028  df-suc 6029  df-iota 6146  df-fun 6184  df-fn 6185  df-f 6186  df-f1 6187  df-fo 6188  df-f1o 6189  df-fv 6190  df-om 7391  df-2nd 7495  df-wrecs 7743  df-recs 7805  df-rdg 7843  df-1o 7897  df-er 8081  df-en 8299  df-dom 8300  df-sdom 8301  df-fin 8302
This theorem is referenced by:  2ndcctbss  21757  2ndcsep  21761  iscmet3  23589  heiborlem3  34481
  Copyright terms: Public domain W3C validator