MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  axcc4dom Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem axcc4dom 10462
Description: Relax the constraint on axcc4 10460 to dominance instead of equinumerosity. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jan-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
axcc4dom.1 𝐴 ∈ V
axcc4dom.2 (𝑥 = (𝑓𝑛) → (𝜑𝜓))
Assertion
Ref Expression
axcc4dom ((𝑁 ≼ ω ∧ ∀𝑛𝑁𝑥𝐴 𝜑) → ∃𝑓(𝑓:𝑁𝐴 ∧ ∀𝑛𝑁 𝜓))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑓,𝑛,𝑥   𝑓,𝑁,𝑛   𝜑,𝑓   𝜓,𝑥
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑛)   𝜓(𝑓,𝑛)   𝑁(𝑥)

Proof of Theorem axcc4dom
StepHypRef Expression
1 brdom2 8999 . . 3 (𝑁 ≼ ω ↔ (𝑁 ≺ ω ∨ 𝑁 ≈ ω))
2 isfinite 9673 . . . . 5 (𝑁 ∈ Fin ↔ 𝑁 ≺ ω)
3 axcc4dom.2 . . . . . . 7 (𝑥 = (𝑓𝑛) → (𝜑𝜓))
43ac6sfi 9308 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ Fin ∧ ∀𝑛𝑁𝑥𝐴 𝜑) → ∃𝑓(𝑓:𝑁𝐴 ∧ ∀𝑛𝑁 𝜓))
54ex 411 . . . . 5 (𝑁 ∈ Fin → (∀𝑛𝑁𝑥𝐴 𝜑 → ∃𝑓(𝑓:𝑁𝐴 ∧ ∀𝑛𝑁 𝜓)))
62, 5sylbir 234 . . . 4 (𝑁 ≺ ω → (∀𝑛𝑁𝑥𝐴 𝜑 → ∃𝑓(𝑓:𝑁𝐴 ∧ ∀𝑛𝑁 𝜓)))
7 raleq 3312 . . . . . 6 (𝑁 = if(𝑁 ≈ ω, 𝑁, ω) → (∀𝑛𝑁𝑥𝐴 𝜑 ↔ ∀𝑛 ∈ if (𝑁 ≈ ω, 𝑁, ω)∃𝑥𝐴 𝜑))
8 feq2 6697 . . . . . . . 8 (𝑁 = if(𝑁 ≈ ω, 𝑁, ω) → (𝑓:𝑁𝐴𝑓:if(𝑁 ≈ ω, 𝑁, ω)⟶𝐴))
9 raleq 3312 . . . . . . . 8 (𝑁 = if(𝑁 ≈ ω, 𝑁, ω) → (∀𝑛𝑁 𝜓 ↔ ∀𝑛 ∈ if (𝑁 ≈ ω, 𝑁, ω)𝜓))
108, 9anbi12d 630 . . . . . . 7 (𝑁 = if(𝑁 ≈ ω, 𝑁, ω) → ((𝑓:𝑁𝐴 ∧ ∀𝑛𝑁 𝜓) ↔ (𝑓:if(𝑁 ≈ ω, 𝑁, ω)⟶𝐴 ∧ ∀𝑛 ∈ if (𝑁 ≈ ω, 𝑁, ω)𝜓)))
1110exbidv 1916 . . . . . 6 (𝑁 = if(𝑁 ≈ ω, 𝑁, ω) → (∃𝑓(𝑓:𝑁𝐴 ∧ ∀𝑛𝑁 𝜓) ↔ ∃𝑓(𝑓:if(𝑁 ≈ ω, 𝑁, ω)⟶𝐴 ∧ ∀𝑛 ∈ if (𝑁 ≈ ω, 𝑁, ω)𝜓)))
127, 11imbi12d 343 . . . . 5 (𝑁 = if(𝑁 ≈ ω, 𝑁, ω) → ((∀𝑛𝑁𝑥𝐴 𝜑 → ∃𝑓(𝑓:𝑁𝐴 ∧ ∀𝑛𝑁 𝜓)) ↔ (∀𝑛 ∈ if (𝑁 ≈ ω, 𝑁, ω)∃𝑥𝐴 𝜑 → ∃𝑓(𝑓:if(𝑁 ≈ ω, 𝑁, ω)⟶𝐴 ∧ ∀𝑛 ∈ if (𝑁 ≈ ω, 𝑁, ω)𝜓))))
13 axcc4dom.1 . . . . . 6 𝐴 ∈ V
14 breq1 5144 . . . . . . 7 (𝑁 = if(𝑁 ≈ ω, 𝑁, ω) → (𝑁 ≈ ω ↔ if(𝑁 ≈ ω, 𝑁, ω) ≈ ω))
15 breq1 5144 . . . . . . 7 (ω = if(𝑁 ≈ ω, 𝑁, ω) → (ω ≈ ω ↔ if(𝑁 ≈ ω, 𝑁, ω) ≈ ω))
16 omex 9664 . . . . . . . 8 ω ∈ V
1716enref 9002 . . . . . . 7 ω ≈ ω
1814, 15, 17elimhyp 4587 . . . . . 6 if(𝑁 ≈ ω, 𝑁, ω) ≈ ω
1913, 18, 3axcc4 10460 . . . . 5 (∀𝑛 ∈ if (𝑁 ≈ ω, 𝑁, ω)∃𝑥𝐴 𝜑 → ∃𝑓(𝑓:if(𝑁 ≈ ω, 𝑁, ω)⟶𝐴 ∧ ∀𝑛 ∈ if (𝑁 ≈ ω, 𝑁, ω)𝜓))
2012, 19dedth 4580 . . . 4 (𝑁 ≈ ω → (∀𝑛𝑁𝑥𝐴 𝜑 → ∃𝑓(𝑓:𝑁𝐴 ∧ ∀𝑛𝑁 𝜓)))
216, 20jaoi 855 . . 3 ((𝑁 ≺ ω ∨ 𝑁 ≈ ω) → (∀𝑛𝑁𝑥𝐴 𝜑 → ∃𝑓(𝑓:𝑁𝐴 ∧ ∀𝑛𝑁 𝜓)))
221, 21sylbi 216 . 2 (𝑁 ≼ ω → (∀𝑛𝑁𝑥𝐴 𝜑 → ∃𝑓(𝑓:𝑁𝐴 ∧ ∀𝑛𝑁 𝜓)))
2322imp 405 1 ((𝑁 ≼ ω ∧ ∀𝑛𝑁𝑥𝐴 𝜑) → ∃𝑓(𝑓:𝑁𝐴 ∧ ∀𝑛𝑁 𝜓))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 394  wo 845   = wceq 1533  wex 1773  wcel 2098  wral 3051  wrex 3060  Vcvv 3463  ifcif 4522   class class class wbr 5141  wf 6537  cfv 6541  ωcom 7866  cen 8957  cdom 8958  csdm 8959  Fincfn 8960
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5357  ax-pr 5421  ax-un 7736  ax-inf2 9662  ax-cc 10456
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3769  df-csb 3885  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3956  df-pss 3958  df-nul 4317  df-if 4523  df-pw 4598  df-sn 4623  df-pr 4625  df-op 4629  df-uni 4902  df-int 4943  df-iun 4991  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5568  df-eprel 5574  df-po 5582  df-so 5583  df-fr 5625  df-we 5627  df-xp 5676  df-rel 5677  df-cnv 5678  df-co 5679  df-dm 5680  df-rn 5681  df-res 5682  df-ima 5683  df-pred 6298  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6493  df-fun 6543  df-fn 6544  df-f 6545  df-f1 6546  df-fo 6547  df-f1o 6548  df-fv 6549  df-ov 7417  df-om 7867  df-2nd 7990  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8388  df-rdg 8427  df-1o 8483  df-er 8721  df-en 8961  df-dom 8962  df-sdom 8963  df-fin 8964
This theorem is referenced by:  2ndcctbss  23375  2ndcsep  23379  iscmet3  25237  heiborlem3  37315
  Copyright terms: Public domain W3C validator