MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  axcc4 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem axcc4 10434
Description: A version of axcc3 10433 that uses wffs instead of classes. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Apr-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
axcc4.1 𝐴 ∈ V
axcc4.2 𝑁 ≈ ω
axcc4.3 (𝑥 = (𝑓𝑛) → (𝜑𝜓))
Assertion
Ref Expression
axcc4 (∀𝑛𝑁𝑥𝐴 𝜑 → ∃𝑓(𝑓:𝑁𝐴 ∧ ∀𝑛𝑁 𝜓))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑓,𝑛,𝑥   𝑓,𝑁,𝑛   𝜑,𝑓   𝜓,𝑥
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑛)   𝜓(𝑓,𝑛)   𝑁(𝑥)

Proof of Theorem axcc4
StepHypRef Expression
1 axcc4.1 . . . 4 𝐴 ∈ V
21rabex 5333 . . 3 {𝑥𝐴𝜑} ∈ V
3 axcc4.2 . . 3 𝑁 ≈ ω
42, 3axcc3 10433 . 2 𝑓(𝑓 Fn 𝑁 ∧ ∀𝑛𝑁 ({𝑥𝐴𝜑} ≠ ∅ → (𝑓𝑛) ∈ {𝑥𝐴𝜑}))
5 rabn0 4386 . . . . . . . . . 10 ({𝑥𝐴𝜑} ≠ ∅ ↔ ∃𝑥𝐴 𝜑)
6 pm2.27 42 . . . . . . . . . 10 ({𝑥𝐴𝜑} ≠ ∅ → (({𝑥𝐴𝜑} ≠ ∅ → (𝑓𝑛) ∈ {𝑥𝐴𝜑}) → (𝑓𝑛) ∈ {𝑥𝐴𝜑}))
75, 6sylbir 234 . . . . . . . . 9 (∃𝑥𝐴 𝜑 → (({𝑥𝐴𝜑} ≠ ∅ → (𝑓𝑛) ∈ {𝑥𝐴𝜑}) → (𝑓𝑛) ∈ {𝑥𝐴𝜑}))
8 axcc4.3 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = (𝑓𝑛) → (𝜑𝜓))
98elrab 3684 . . . . . . . . 9 ((𝑓𝑛) ∈ {𝑥𝐴𝜑} ↔ ((𝑓𝑛) ∈ 𝐴𝜓))
107, 9imbitrdi 250 . . . . . . . 8 (∃𝑥𝐴 𝜑 → (({𝑥𝐴𝜑} ≠ ∅ → (𝑓𝑛) ∈ {𝑥𝐴𝜑}) → ((𝑓𝑛) ∈ 𝐴𝜓)))
1110ral2imi 3086 . . . . . . 7 (∀𝑛𝑁𝑥𝐴 𝜑 → (∀𝑛𝑁 ({𝑥𝐴𝜑} ≠ ∅ → (𝑓𝑛) ∈ {𝑥𝐴𝜑}) → ∀𝑛𝑁 ((𝑓𝑛) ∈ 𝐴𝜓)))
12 simpl 484 . . . . . . . 8 (((𝑓𝑛) ∈ 𝐴𝜓) → (𝑓𝑛) ∈ 𝐴)
1312ralimi 3084 . . . . . . 7 (∀𝑛𝑁 ((𝑓𝑛) ∈ 𝐴𝜓) → ∀𝑛𝑁 (𝑓𝑛) ∈ 𝐴)
1411, 13syl6 35 . . . . . 6 (∀𝑛𝑁𝑥𝐴 𝜑 → (∀𝑛𝑁 ({𝑥𝐴𝜑} ≠ ∅ → (𝑓𝑛) ∈ {𝑥𝐴𝜑}) → ∀𝑛𝑁 (𝑓𝑛) ∈ 𝐴))
1514anim2d 613 . . . . 5 (∀𝑛𝑁𝑥𝐴 𝜑 → ((𝑓 Fn 𝑁 ∧ ∀𝑛𝑁 ({𝑥𝐴𝜑} ≠ ∅ → (𝑓𝑛) ∈ {𝑥𝐴𝜑})) → (𝑓 Fn 𝑁 ∧ ∀𝑛𝑁 (𝑓𝑛) ∈ 𝐴)))
16 ffnfv 7118 . . . . 5 (𝑓:𝑁𝐴 ↔ (𝑓 Fn 𝑁 ∧ ∀𝑛𝑁 (𝑓𝑛) ∈ 𝐴))
1715, 16imbitrrdi 251 . . . 4 (∀𝑛𝑁𝑥𝐴 𝜑 → ((𝑓 Fn 𝑁 ∧ ∀𝑛𝑁 ({𝑥𝐴𝜑} ≠ ∅ → (𝑓𝑛) ∈ {𝑥𝐴𝜑})) → 𝑓:𝑁𝐴))
18 simpr 486 . . . . . . 7 (((𝑓𝑛) ∈ 𝐴𝜓) → 𝜓)
1918ralimi 3084 . . . . . 6 (∀𝑛𝑁 ((𝑓𝑛) ∈ 𝐴𝜓) → ∀𝑛𝑁 𝜓)
2011, 19syl6 35 . . . . 5 (∀𝑛𝑁𝑥𝐴 𝜑 → (∀𝑛𝑁 ({𝑥𝐴𝜑} ≠ ∅ → (𝑓𝑛) ∈ {𝑥𝐴𝜑}) → ∀𝑛𝑁 𝜓))
2120adantld 492 . . . 4 (∀𝑛𝑁𝑥𝐴 𝜑 → ((𝑓 Fn 𝑁 ∧ ∀𝑛𝑁 ({𝑥𝐴𝜑} ≠ ∅ → (𝑓𝑛) ∈ {𝑥𝐴𝜑})) → ∀𝑛𝑁 𝜓))
2217, 21jcad 514 . . 3 (∀𝑛𝑁𝑥𝐴 𝜑 → ((𝑓 Fn 𝑁 ∧ ∀𝑛𝑁 ({𝑥𝐴𝜑} ≠ ∅ → (𝑓𝑛) ∈ {𝑥𝐴𝜑})) → (𝑓:𝑁𝐴 ∧ ∀𝑛𝑁 𝜓)))
2322eximdv 1921 . 2 (∀𝑛𝑁𝑥𝐴 𝜑 → (∃𝑓(𝑓 Fn 𝑁 ∧ ∀𝑛𝑁 ({𝑥𝐴𝜑} ≠ ∅ → (𝑓𝑛) ∈ {𝑥𝐴𝜑})) → ∃𝑓(𝑓:𝑁𝐴 ∧ ∀𝑛𝑁 𝜓)))
244, 23mpi 20 1 (∀𝑛𝑁𝑥𝐴 𝜑 → ∃𝑓(𝑓:𝑁𝐴 ∧ ∀𝑛𝑁 𝜓))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 397   = wceq 1542  wex 1782  wcel 2107  wne 2941  wral 3062  wrex 3071  {crab 3433  Vcvv 3475  c0 4323   class class class wbr 5149   Fn wfn 6539  wf 6540  cfv 6544  ωcom 7855  cen 8936
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-inf2 9636  ax-cc 10430
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-om 7856  df-2nd 7976  df-er 8703  df-en 8940
This theorem is referenced by:  axcc4dom  10436  supcvg  15802  1stcelcls  22965  iscmet3  24810  ovoliunlem3  25021  itg2seq  25260  nmounbseqi  30030  nmobndseqi  30032  minvecolem5  30134  heibor  36689
  Copyright terms: Public domain W3C validator