Theorem axcc4 10126

Description: A version of axcc3 10125 that uses wffs instead of classes. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Apr-2013.)

Hypotheses

Ref	Expression
axcc4.1	⊢ 𝐴 ∈ V
axcc4.2	⊢ 𝑁 ≈ ω
axcc4.3	⊢ (𝑥 = (𝑓‘𝑛) → (𝜑 ↔ 𝜓))

Assertion

Ref	Expression
axcc4	⊢ (∀𝑛 ∈ 𝑁 ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝜑 → ∃𝑓(𝑓:𝑁⟶𝐴 ∧ ∀𝑛 ∈ 𝑁 𝜓))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑓,𝑛,𝑥   𝑓,𝑁,𝑛   𝜑,𝑓   𝜓,𝑥

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑛)   𝜓(𝑓,𝑛)   𝑁(𝑥)

Proof of Theorem axcc4

Step	Hyp	Ref	Expression
1		axcc4.1	. . . 4 ⊢ 𝐴 ∈ V
2	1	rabex 5251	. . 3 ⊢ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝜑} ∈ V
3		axcc4.2	. . 3 ⊢ 𝑁 ≈ ω
4	2, 3	axcc3 10125	. 2 ⊢ ∃𝑓(𝑓 Fn 𝑁 ∧ ∀𝑛 ∈ 𝑁 ({𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝜑} ≠ ∅ → (𝑓‘𝑛) ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝜑}))
5		rabn0 4316	. . . . . . . . . 10 ⊢ ({𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝜑} ≠ ∅ ↔ ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝜑)
6		pm2.27 42	. . . . . . . . . 10 ⊢ ({𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝜑} ≠ ∅ → (({𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝜑} ≠ ∅ → (𝑓‘𝑛) ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝜑}) → (𝑓‘𝑛) ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝜑}))
7	5, 6	sylbir 234	. . . . . . . . 9 ⊢ (∃𝑥 ∈ 𝐴 𝜑 → (({𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝜑} ≠ ∅ → (𝑓‘𝑛) ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝜑}) → (𝑓‘𝑛) ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝜑}))
8		axcc4.3	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = (𝑓‘𝑛) → (𝜑 ↔ 𝜓))
9	8	elrab 3617	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑓‘𝑛) ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝜑} ↔ ((𝑓‘𝑛) ∈ 𝐴 ∧ 𝜓))
10	7, 9	syl6ib 250	. . . . . . . 8 ⊢ (∃𝑥 ∈ 𝐴 𝜑 → (({𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝜑} ≠ ∅ → (𝑓‘𝑛) ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝜑}) → ((𝑓‘𝑛) ∈ 𝐴 ∧ 𝜓)))
11	10	ral2imi 3081	. . . . . . 7 ⊢ (∀𝑛 ∈ 𝑁 ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝜑 → (∀𝑛 ∈ 𝑁 ({𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝜑} ≠ ∅ → (𝑓‘𝑛) ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝜑}) → ∀𝑛 ∈ 𝑁 ((𝑓‘𝑛) ∈ 𝐴 ∧ 𝜓)))
12		simpl 482	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑓‘𝑛) ∈ 𝐴 ∧ 𝜓) → (𝑓‘𝑛) ∈ 𝐴)
13	12	ralimi 3086	. . . . . . 7 ⊢ (∀𝑛 ∈ 𝑁 ((𝑓‘𝑛) ∈ 𝐴 ∧ 𝜓) → ∀𝑛 ∈ 𝑁 (𝑓‘𝑛) ∈ 𝐴)
14	11, 13	syl6 35	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑛 ∈ 𝑁 ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝜑 → (∀𝑛 ∈ 𝑁 ({𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝜑} ≠ ∅ → (𝑓‘𝑛) ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝜑}) → ∀𝑛 ∈ 𝑁 (𝑓‘𝑛) ∈ 𝐴))
15	14	anim2d 611	. . . . 5 ⊢ (∀𝑛 ∈ 𝑁 ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝜑 → ((𝑓 Fn 𝑁 ∧ ∀𝑛 ∈ 𝑁 ({𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝜑} ≠ ∅ → (𝑓‘𝑛) ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝜑})) → (𝑓 Fn 𝑁 ∧ ∀𝑛 ∈ 𝑁 (𝑓‘𝑛) ∈ 𝐴)))
16		ffnfv 6974	. . . . 5 ⊢ (𝑓:𝑁⟶𝐴 ↔ (𝑓 Fn 𝑁 ∧ ∀𝑛 ∈ 𝑁 (𝑓‘𝑛) ∈ 𝐴))
17	15, 16	syl6ibr 251	. . . 4 ⊢ (∀𝑛 ∈ 𝑁 ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝜑 → ((𝑓 Fn 𝑁 ∧ ∀𝑛 ∈ 𝑁 ({𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝜑} ≠ ∅ → (𝑓‘𝑛) ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝜑})) → 𝑓:𝑁⟶𝐴))
18		simpr 484	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑓‘𝑛) ∈ 𝐴 ∧ 𝜓) → 𝜓)
19	18	ralimi 3086	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑛 ∈ 𝑁 ((𝑓‘𝑛) ∈ 𝐴 ∧ 𝜓) → ∀𝑛 ∈ 𝑁 𝜓)
20	11, 19	syl6 35	. . . . 5 ⊢ (∀𝑛 ∈ 𝑁 ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝜑 → (∀𝑛 ∈ 𝑁 ({𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝜑} ≠ ∅ → (𝑓‘𝑛) ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝜑}) → ∀𝑛 ∈ 𝑁 𝜓))
21	20	adantld 490	. . . 4 ⊢ (∀𝑛 ∈ 𝑁 ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝜑 → ((𝑓 Fn 𝑁 ∧ ∀𝑛 ∈ 𝑁 ({𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝜑} ≠ ∅ → (𝑓‘𝑛) ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝜑})) → ∀𝑛 ∈ 𝑁 𝜓))
22	17, 21	jcad 512	. . 3 ⊢ (∀𝑛 ∈ 𝑁 ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝜑 → ((𝑓 Fn 𝑁 ∧ ∀𝑛 ∈ 𝑁 ({𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝜑} ≠ ∅ → (𝑓‘𝑛) ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝜑})) → (𝑓:𝑁⟶𝐴 ∧ ∀𝑛 ∈ 𝑁 𝜓)))
23	22	eximdv 1921	. 2 ⊢ (∀𝑛 ∈ 𝑁 ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝜑 → (∃𝑓(𝑓 Fn 𝑁 ∧ ∀𝑛 ∈ 𝑁 ({𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝜑} ≠ ∅ → (𝑓‘𝑛) ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝜑})) → ∃𝑓(𝑓:𝑁⟶𝐴 ∧ ∀𝑛 ∈ 𝑁 𝜓)))
24	4, 23	mpi 20	1 ⊢ (∀𝑛 ∈ 𝑁 ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝜑 → ∃𝑓(𝑓:𝑁⟶𝐴 ∧ ∀𝑛 ∈ 𝑁 𝜓))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1539  ∃wex 1783   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2942  ∀wral 3063  ∃wrex 3064  {crab 3067  Vcvv 3422  ∅c0 4253   class class class wbr 5070   Fn wfn 6413  ⟶wf 6414  ‘cfv 6418  ωcom 7687   ≈ cen 8688

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-rep 5205  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-inf2 9329  ax-cc 10122

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-om 7688  df-2nd 7805  df-er 8456  df-en 8692

This theorem is referenced by:  axcc4dom  10128  supcvg  15496  1stcelcls  22520  iscmet3  24362  ovoliunlem3  24573  itg2seq  24812  nmounbseqi  29040  nmobndseqi  29042  minvecolem5  29144  heibor  35906