Theorem axcc4 10392

Description: A version of axcc3 10391 that uses wffs instead of classes. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Apr-2013.)

Hypotheses

Ref	Expression
axcc4.1	⊢ 𝐴 ∈ V
axcc4.2	⊢ 𝑁 ≈ ω
axcc4.3	⊢ (𝑥 = (𝑓‘𝑛) → (𝜑 ↔ 𝜓))

Assertion

Ref	Expression
axcc4	⊢ (∀𝑛 ∈ 𝑁 ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝜑 → ∃𝑓(𝑓:𝑁⟶𝐴 ∧ ∀𝑛 ∈ 𝑁 𝜓))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑓,𝑛,𝑥   𝑓,𝑁,𝑛   𝜑,𝑓   𝜓,𝑥

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑛)   𝜓(𝑓,𝑛)   𝑁(𝑥)

Proof of Theorem axcc4

Step	Hyp	Ref	Expression
1		axcc4.1	. . . 4 ⊢ 𝐴 ∈ V
2	1	rabex 5294	. . 3 ⊢ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝜑} ∈ V
3		axcc4.2	. . 3 ⊢ 𝑁 ≈ ω
4	2, 3	axcc3 10391	. 2 ⊢ ∃𝑓(𝑓 Fn 𝑁 ∧ ∀𝑛 ∈ 𝑁 ({𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝜑} ≠ ∅ → (𝑓‘𝑛) ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝜑}))
5		rabn0 4352	. . . . . . . . . 10 ⊢ ({𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝜑} ≠ ∅ ↔ ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝜑)
6		pm2.27 42	. . . . . . . . . 10 ⊢ ({𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝜑} ≠ ∅ → (({𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝜑} ≠ ∅ → (𝑓‘𝑛) ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝜑}) → (𝑓‘𝑛) ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝜑}))
7	5, 6	sylbir 235	. . . . . . . . 9 ⊢ (∃𝑥 ∈ 𝐴 𝜑 → (({𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝜑} ≠ ∅ → (𝑓‘𝑛) ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝜑}) → (𝑓‘𝑛) ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝜑}))
8		axcc4.3	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = (𝑓‘𝑛) → (𝜑 ↔ 𝜓))
9	8	elrab 3659	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑓‘𝑛) ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝜑} ↔ ((𝑓‘𝑛) ∈ 𝐴 ∧ 𝜓))
10	7, 9	imbitrdi 251	. . . . . . . 8 ⊢ (∃𝑥 ∈ 𝐴 𝜑 → (({𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝜑} ≠ ∅ → (𝑓‘𝑛) ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝜑}) → ((𝑓‘𝑛) ∈ 𝐴 ∧ 𝜓)))
11	10	ral2imi 3068	. . . . . . 7 ⊢ (∀𝑛 ∈ 𝑁 ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝜑 → (∀𝑛 ∈ 𝑁 ({𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝜑} ≠ ∅ → (𝑓‘𝑛) ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝜑}) → ∀𝑛 ∈ 𝑁 ((𝑓‘𝑛) ∈ 𝐴 ∧ 𝜓)))
12		simpl 482	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑓‘𝑛) ∈ 𝐴 ∧ 𝜓) → (𝑓‘𝑛) ∈ 𝐴)
13	12	ralimi 3066	. . . . . . 7 ⊢ (∀𝑛 ∈ 𝑁 ((𝑓‘𝑛) ∈ 𝐴 ∧ 𝜓) → ∀𝑛 ∈ 𝑁 (𝑓‘𝑛) ∈ 𝐴)
14	11, 13	syl6 35	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑛 ∈ 𝑁 ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝜑 → (∀𝑛 ∈ 𝑁 ({𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝜑} ≠ ∅ → (𝑓‘𝑛) ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝜑}) → ∀𝑛 ∈ 𝑁 (𝑓‘𝑛) ∈ 𝐴))
15	14	anim2d 612	. . . . 5 ⊢ (∀𝑛 ∈ 𝑁 ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝜑 → ((𝑓 Fn 𝑁 ∧ ∀𝑛 ∈ 𝑁 ({𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝜑} ≠ ∅ → (𝑓‘𝑛) ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝜑})) → (𝑓 Fn 𝑁 ∧ ∀𝑛 ∈ 𝑁 (𝑓‘𝑛) ∈ 𝐴)))
16		ffnfv 7091	. . . . 5 ⊢ (𝑓:𝑁⟶𝐴 ↔ (𝑓 Fn 𝑁 ∧ ∀𝑛 ∈ 𝑁 (𝑓‘𝑛) ∈ 𝐴))
17	15, 16	imbitrrdi 252	. . . 4 ⊢ (∀𝑛 ∈ 𝑁 ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝜑 → ((𝑓 Fn 𝑁 ∧ ∀𝑛 ∈ 𝑁 ({𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝜑} ≠ ∅ → (𝑓‘𝑛) ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝜑})) → 𝑓:𝑁⟶𝐴))
18		simpr 484	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑓‘𝑛) ∈ 𝐴 ∧ 𝜓) → 𝜓)
19	18	ralimi 3066	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑛 ∈ 𝑁 ((𝑓‘𝑛) ∈ 𝐴 ∧ 𝜓) → ∀𝑛 ∈ 𝑁 𝜓)
20	11, 19	syl6 35	. . . . 5 ⊢ (∀𝑛 ∈ 𝑁 ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝜑 → (∀𝑛 ∈ 𝑁 ({𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝜑} ≠ ∅ → (𝑓‘𝑛) ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝜑}) → ∀𝑛 ∈ 𝑁 𝜓))
21	20	adantld 490	. . . 4 ⊢ (∀𝑛 ∈ 𝑁 ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝜑 → ((𝑓 Fn 𝑁 ∧ ∀𝑛 ∈ 𝑁 ({𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝜑} ≠ ∅ → (𝑓‘𝑛) ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝜑})) → ∀𝑛 ∈ 𝑁 𝜓))
22	17, 21	jcad 512	. . 3 ⊢ (∀𝑛 ∈ 𝑁 ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝜑 → ((𝑓 Fn 𝑁 ∧ ∀𝑛 ∈ 𝑁 ({𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝜑} ≠ ∅ → (𝑓‘𝑛) ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝜑})) → (𝑓:𝑁⟶𝐴 ∧ ∀𝑛 ∈ 𝑁 𝜓)))
23	22	eximdv 1917	. 2 ⊢ (∀𝑛 ∈ 𝑁 ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝜑 → (∃𝑓(𝑓 Fn 𝑁 ∧ ∀𝑛 ∈ 𝑁 ({𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝜑} ≠ ∅ → (𝑓‘𝑛) ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝜑})) → ∃𝑓(𝑓:𝑁⟶𝐴 ∧ ∀𝑛 ∈ 𝑁 𝜓)))
24	4, 23	mpi 20	1 ⊢ (∀𝑛 ∈ 𝑁 ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝜑 → ∃𝑓(𝑓:𝑁⟶𝐴 ∧ ∀𝑛 ∈ 𝑁 𝜓))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540  ∃wex 1779   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2925  ∀wral 3044  ∃wrex 3053  {crab 3405  Vcvv 3447  ∅c0 4296   class class class wbr 5107   Fn wfn 6506  ⟶wf 6507  ‘cfv 6511  ωcom 7842   ≈ cen 8915

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5234  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711  ax-inf2 9594  ax-cc 10388

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3355  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3934  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-iun 4957  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-tr 5215  df-id 5533  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5591  df-we 5593  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-ord 6335  df-on 6336  df-lim 6337  df-suc 6338  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-om 7843  df-2nd 7969  df-er 8671  df-en 8919

This theorem is referenced by:  axcc4dom  10394  supcvg  15822  1stcelcls  23348  iscmet3  25193  ovoliunlem3  25405  itg2seq  25643  nmounbseqi  30706  nmobndseqi  30708  minvecolem5  30810  heibor  37815