MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  axcc4 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem axcc4 10440
Description: A version of axcc3 10439 that uses wffs instead of classes. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Apr-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
axcc4.1 𝐴 ∈ V
axcc4.2 𝑁 ≈ ω
axcc4.3 (𝑥 = (𝑓𝑛) → (𝜑𝜓))
Assertion
Ref Expression
axcc4 (∀𝑛𝑁𝑥𝐴 𝜑 → ∃𝑓(𝑓:𝑁𝐴 ∧ ∀𝑛𝑁 𝜓))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑓,𝑛,𝑥   𝑓,𝑁,𝑛   𝜑,𝑓   𝜓,𝑥
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑛)   𝜓(𝑓,𝑛)   𝑁(𝑥)

Proof of Theorem axcc4
StepHypRef Expression
1 axcc4.1 . . . 4 𝐴 ∈ V
21rabex 5332 . . 3 {𝑥𝐴𝜑} ∈ V
3 axcc4.2 . . 3 𝑁 ≈ ω
42, 3axcc3 10439 . 2 𝑓(𝑓 Fn 𝑁 ∧ ∀𝑛𝑁 ({𝑥𝐴𝜑} ≠ ∅ → (𝑓𝑛) ∈ {𝑥𝐴𝜑}))
5 rabn0 4385 . . . . . . . . . 10 ({𝑥𝐴𝜑} ≠ ∅ ↔ ∃𝑥𝐴 𝜑)
6 pm2.27 42 . . . . . . . . . 10 ({𝑥𝐴𝜑} ≠ ∅ → (({𝑥𝐴𝜑} ≠ ∅ → (𝑓𝑛) ∈ {𝑥𝐴𝜑}) → (𝑓𝑛) ∈ {𝑥𝐴𝜑}))
75, 6sylbir 234 . . . . . . . . 9 (∃𝑥𝐴 𝜑 → (({𝑥𝐴𝜑} ≠ ∅ → (𝑓𝑛) ∈ {𝑥𝐴𝜑}) → (𝑓𝑛) ∈ {𝑥𝐴𝜑}))
8 axcc4.3 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = (𝑓𝑛) → (𝜑𝜓))
98elrab 3683 . . . . . . . . 9 ((𝑓𝑛) ∈ {𝑥𝐴𝜑} ↔ ((𝑓𝑛) ∈ 𝐴𝜓))
107, 9imbitrdi 250 . . . . . . . 8 (∃𝑥𝐴 𝜑 → (({𝑥𝐴𝜑} ≠ ∅ → (𝑓𝑛) ∈ {𝑥𝐴𝜑}) → ((𝑓𝑛) ∈ 𝐴𝜓)))
1110ral2imi 3084 . . . . . . 7 (∀𝑛𝑁𝑥𝐴 𝜑 → (∀𝑛𝑁 ({𝑥𝐴𝜑} ≠ ∅ → (𝑓𝑛) ∈ {𝑥𝐴𝜑}) → ∀𝑛𝑁 ((𝑓𝑛) ∈ 𝐴𝜓)))
12 simpl 482 . . . . . . . 8 (((𝑓𝑛) ∈ 𝐴𝜓) → (𝑓𝑛) ∈ 𝐴)
1312ralimi 3082 . . . . . . 7 (∀𝑛𝑁 ((𝑓𝑛) ∈ 𝐴𝜓) → ∀𝑛𝑁 (𝑓𝑛) ∈ 𝐴)
1411, 13syl6 35 . . . . . 6 (∀𝑛𝑁𝑥𝐴 𝜑 → (∀𝑛𝑁 ({𝑥𝐴𝜑} ≠ ∅ → (𝑓𝑛) ∈ {𝑥𝐴𝜑}) → ∀𝑛𝑁 (𝑓𝑛) ∈ 𝐴))
1514anim2d 611 . . . . 5 (∀𝑛𝑁𝑥𝐴 𝜑 → ((𝑓 Fn 𝑁 ∧ ∀𝑛𝑁 ({𝑥𝐴𝜑} ≠ ∅ → (𝑓𝑛) ∈ {𝑥𝐴𝜑})) → (𝑓 Fn 𝑁 ∧ ∀𝑛𝑁 (𝑓𝑛) ∈ 𝐴)))
16 ffnfv 7120 . . . . 5 (𝑓:𝑁𝐴 ↔ (𝑓 Fn 𝑁 ∧ ∀𝑛𝑁 (𝑓𝑛) ∈ 𝐴))
1715, 16imbitrrdi 251 . . . 4 (∀𝑛𝑁𝑥𝐴 𝜑 → ((𝑓 Fn 𝑁 ∧ ∀𝑛𝑁 ({𝑥𝐴𝜑} ≠ ∅ → (𝑓𝑛) ∈ {𝑥𝐴𝜑})) → 𝑓:𝑁𝐴))
18 simpr 484 . . . . . . 7 (((𝑓𝑛) ∈ 𝐴𝜓) → 𝜓)
1918ralimi 3082 . . . . . 6 (∀𝑛𝑁 ((𝑓𝑛) ∈ 𝐴𝜓) → ∀𝑛𝑁 𝜓)
2011, 19syl6 35 . . . . 5 (∀𝑛𝑁𝑥𝐴 𝜑 → (∀𝑛𝑁 ({𝑥𝐴𝜑} ≠ ∅ → (𝑓𝑛) ∈ {𝑥𝐴𝜑}) → ∀𝑛𝑁 𝜓))
2120adantld 490 . . . 4 (∀𝑛𝑁𝑥𝐴 𝜑 → ((𝑓 Fn 𝑁 ∧ ∀𝑛𝑁 ({𝑥𝐴𝜑} ≠ ∅ → (𝑓𝑛) ∈ {𝑥𝐴𝜑})) → ∀𝑛𝑁 𝜓))
2217, 21jcad 512 . . 3 (∀𝑛𝑁𝑥𝐴 𝜑 → ((𝑓 Fn 𝑁 ∧ ∀𝑛𝑁 ({𝑥𝐴𝜑} ≠ ∅ → (𝑓𝑛) ∈ {𝑥𝐴𝜑})) → (𝑓:𝑁𝐴 ∧ ∀𝑛𝑁 𝜓)))
2322eximdv 1919 . 2 (∀𝑛𝑁𝑥𝐴 𝜑 → (∃𝑓(𝑓 Fn 𝑁 ∧ ∀𝑛𝑁 ({𝑥𝐴𝜑} ≠ ∅ → (𝑓𝑛) ∈ {𝑥𝐴𝜑})) → ∃𝑓(𝑓:𝑁𝐴 ∧ ∀𝑛𝑁 𝜓)))
244, 23mpi 20 1 (∀𝑛𝑁𝑥𝐴 𝜑 → ∃𝑓(𝑓:𝑁𝐴 ∧ ∀𝑛𝑁 𝜓))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 395   = wceq 1540  wex 1780  wcel 2105  wne 2939  wral 3060  wrex 3069  {crab 3431  Vcvv 3473  c0 4322   class class class wbr 5148   Fn wfn 6538  wf 6539  cfv 6543  ωcom 7859  cen 8942
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7729  ax-inf2 9642  ax-cc 10436
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-ral 3061  df-rex 3070  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-om 7860  df-2nd 7980  df-er 8709  df-en 8946
This theorem is referenced by:  axcc4dom  10442  supcvg  15809  1stcelcls  23285  iscmet3  25141  ovoliunlem3  25353  itg2seq  25592  nmounbseqi  30463  nmobndseqi  30465  minvecolem5  30567  heibor  37153
  Copyright terms: Public domain W3C validator