Theorem axcc4 10498

Description: A version of axcc3 10497 that uses wffs instead of classes. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Apr-2013.)

Hypotheses

Ref	Expression
axcc4.1	⊢ 𝐴 ∈ V
axcc4.2	⊢ 𝑁 ≈ ω
axcc4.3	⊢ (𝑥 = (𝑓‘𝑛) → (𝜑 ↔ 𝜓))

Assertion

Ref	Expression
axcc4	⊢ (∀𝑛 ∈ 𝑁 ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝜑 → ∃𝑓(𝑓:𝑁⟶𝐴 ∧ ∀𝑛 ∈ 𝑁 𝜓))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑓,𝑛,𝑥   𝑓,𝑁,𝑛   𝜑,𝑓   𝜓,𝑥

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥, 𝑛)   𝜓(𝑓, 𝑛)   𝑁(𝑥)

Proof of Theorem axcc4

Step	Hyp	Ref	Expression
1		axcc4.1	. . . 4 ⊢ 𝐴 ∈ V
2	1	rabex 5300	. . 3 ⊢ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝜑} ∈ V
3		axcc4.2	. . 3 ⊢ 𝑁 ≈ ω
4	2, 3	axcc3 10497	. 2 ⊢ ∃𝑓(𝑓 Fn 𝑁 ∧ ∀𝑛 ∈ 𝑁 ({𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝜑} ≠ ∅ → (𝑓‘𝑛) ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝜑}))
5		rabn0 4339	. . . . . . . . . 10 ⊢ ({𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝜑} ≠ ∅ ↔ ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝜑)
6		pm2.27 43	. . . . . . . . . 10 ⊢ ({𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝜑} ≠ ∅ → (({𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝜑} ≠ ∅ → (𝑓‘𝑛) ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝜑}) → (𝑓‘𝑛) ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝜑}))
7	5, 6	sylbir 238	. . . . . . . . 9 ⊢ (∃𝑥 ∈ 𝐴 𝜑 → (({𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝜑} ≠ ∅ → (𝑓‘𝑛) ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝜑}) → (𝑓‘𝑛) ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝜑}))
8		axcc4.3	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = (𝑓‘𝑛) → (𝜑 ↔ 𝜓))
9	8	elrab 3645	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑓‘𝑛) ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝜑} ↔ ((𝑓‘𝑛) ∈ 𝐴 ∧ 𝜓))
10	7, 9	imbitrdi 254	. . . . . . . 8 ⊢ (∃𝑥 ∈ 𝐴 𝜑 → (({𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝜑} ≠ ∅ → (𝑓‘𝑛) ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝜑}) → ((𝑓‘𝑛) ∈ 𝐴 ∧ 𝜓)))
11	10	ral2imi 3102	. . . . . . 7 ⊢ (∀𝑛 ∈ 𝑁 ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝜑 → (∀𝑛 ∈ 𝑁 ({𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝜑} ≠ ∅ → (𝑓‘𝑛) ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝜑}) → ∀𝑛 ∈ 𝑁 ((𝑓‘𝑛) ∈ 𝐴 ∧ 𝜓)))
12		simpl 488	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑓‘𝑛) ∈ 𝐴 ∧ 𝜓) → (𝑓‘𝑛) ∈ 𝐴)
13	12	ralimi 3100	. . . . . . 7 ⊢ (∀𝑛 ∈ 𝑁 ((𝑓‘𝑛) ∈ 𝐴 ∧ 𝜓) → ∀𝑛 ∈ 𝑁 (𝑓‘𝑛) ∈ 𝐴)
14	11, 13	syl6 36	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑛 ∈ 𝑁 ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝜑 → (∀𝑛 ∈ 𝑁 ({𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝜑} ≠ ∅ → (𝑓‘𝑛) ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝜑}) → ∀𝑛 ∈ 𝑁 (𝑓‘𝑛) ∈ 𝐴))
15	14	anim2d 624	. . . . 5 ⊢ (∀𝑛 ∈ 𝑁 ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝜑 → ((𝑓 Fn 𝑁 ∧ ∀𝑛 ∈ 𝑁 ({𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝜑} ≠ ∅ → (𝑓‘𝑛) ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝜑})) → (𝑓 Fn 𝑁 ∧ ∀𝑛 ∈ 𝑁 (𝑓‘𝑛) ∈ 𝐴)))
16		ffnfv 7111	. . . . 5 ⊢ (𝑓:𝑁⟶𝐴 ↔ (𝑓 Fn 𝑁 ∧ ∀𝑛 ∈ 𝑁 (𝑓‘𝑛) ∈ 𝐴))
17	15, 16	imbitrrdi 255	. . . 4 ⊢ (∀𝑛 ∈ 𝑁 ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝜑 → ((𝑓 Fn 𝑁 ∧ ∀𝑛 ∈ 𝑁 ({𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝜑} ≠ ∅ → (𝑓‘𝑛) ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝜑})) → 𝑓:𝑁⟶𝐴))
18		simpr 490	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑓‘𝑛) ∈ 𝐴 ∧ 𝜓) → 𝜓)
19	18	ralimi 3100	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑛 ∈ 𝑁 ((𝑓‘𝑛) ∈ 𝐴 ∧ 𝜓) → ∀𝑛 ∈ 𝑁 𝜓)
20	11, 19	syl6 36	. . . . 5 ⊢ (∀𝑛 ∈ 𝑁 ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝜑 → (∀𝑛 ∈ 𝑁 ({𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝜑} ≠ ∅ → (𝑓‘𝑛) ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝜑}) → ∀𝑛 ∈ 𝑁 𝜓))
21	20	adantld 496	. . . 4 ⊢ (∀𝑛 ∈ 𝑁 ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝜑 → ((𝑓 Fn 𝑁 ∧ ∀𝑛 ∈ 𝑁 ({𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝜑} ≠ ∅ → (𝑓‘𝑛) ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝜑})) → ∀𝑛 ∈ 𝑁 𝜓))
22	17, 21	jcad 522	. . 3 ⊢ (∀𝑛 ∈ 𝑁 ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝜑 → ((𝑓 Fn 𝑁 ∧ ∀𝑛 ∈ 𝑁 ({𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝜑} ≠ ∅ → (𝑓‘𝑛) ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝜑})) → (𝑓:𝑁⟶𝐴 ∧ ∀𝑛 ∈ 𝑁 𝜓)))
23	22	eximdv 1950	. 2 ⊢ (∀𝑛 ∈ 𝑁 ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝜑 → (∃𝑓(𝑓 Fn 𝑁 ∧ ∀𝑛 ∈ 𝑁 ({𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝜑} ≠ ∅ → (𝑓‘𝑛) ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝜑})) → ∃𝑓(𝑓:𝑁⟶𝐴 ∧ ∀𝑛 ∈ 𝑁 𝜓)))
24	4, 23	mpi 21	1 ⊢ (∀𝑛 ∈ 𝑁 ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝜑 → ∃𝑓(𝑓:𝑁⟶𝐴 ∧ ∀𝑛 ∈ 𝑁 𝜓))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570  ∃wex 1812   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2956  ∀wral 3077  ∃wrex 3087  {crab 3413  Vcvv 3451  ∅c0 4279   class class class wbr 5103   Fn wfn 6526  ⟶wf 6527  ‘cfv 6531  ωcom 7866   ≈ cen 8954

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7740  ax-inf2 9626  ax-cc 10494

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-ral 3078  df-rex 3088  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-ord 6358  df-on 6359  df-lim 6360  df-suc 6361  df-iota 6487  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-om 7867  df-2nd 7991  df-er 8701  df-en 8958

This theorem is used by:  axcc4dom  10500  supcvg  16005  1stcelcls  23760  iscmet3  25594  ovoliunlem3  25805  itg2seq  26043  nmounbseqi  31361  nmobndseqi  31363  minvecolem5  31465  heibor  38723