Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  sxbrsigalem5 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sxbrsigalem5 31603
Description: First direction for sxbrsiga 31605. (Contributed by Thierry Arnoux, 22-Sep-2017.) (Revised by Thierry Arnoux, 11-Oct-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
sxbrsiga.0 𝐽 = (topGen‘ran (,))
dya2ioc.1 𝐼 = (𝑥 ∈ ℤ, 𝑛 ∈ ℤ ↦ ((𝑥 / (2↑𝑛))[,)((𝑥 + 1) / (2↑𝑛))))
dya2ioc.2 𝑅 = (𝑢 ∈ ran 𝐼, 𝑣 ∈ ran 𝐼 ↦ (𝑢 × 𝑣))
Assertion
Ref Expression
sxbrsigalem5 (sigaGen‘(𝐽 ×t 𝐽)) ⊆ (𝔅 ×s 𝔅)
Distinct variable groups:   𝑥,𝑛   𝑥,𝐼   𝑣,𝑢,𝐼,𝑥   𝑢,𝑛,𝑣   𝑅,𝑛,𝑥   𝑥,𝐽,𝑢,𝑣
Allowed substitution hints:   𝑅(𝑣,𝑢)   𝐼(𝑛)   𝐽(𝑛)

Proof of Theorem sxbrsigalem5
Dummy variables 𝑒 𝑓 𝑔 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 sxbrsiga.0 . . . . 5 𝐽 = (topGen‘ran (,))
2 dya2ioc.1 . . . . 5 𝐼 = (𝑥 ∈ ℤ, 𝑛 ∈ ℤ ↦ ((𝑥 / (2↑𝑛))[,)((𝑥 + 1) / (2↑𝑛))))
3 dya2ioc.2 . . . . 5 𝑅 = (𝑢 ∈ ran 𝐼, 𝑣 ∈ ran 𝐼 ↦ (𝑢 × 𝑣))
41, 2, 3dya2iocucvr 31599 . . . 4 ran 𝑅 = (ℝ × ℝ)
5 br2base 31584 . . . 4 ran (𝑒 ∈ 𝔅, 𝑓 ∈ 𝔅 ↦ (𝑒 × 𝑓)) = (ℝ × ℝ)
64, 5eqtr4i 2850 . . 3 ran 𝑅 = ran (𝑒 ∈ 𝔅, 𝑓 ∈ 𝔅 ↦ (𝑒 × 𝑓))
7 brsigarn 31500 . . . . . . 7 𝔅 ∈ (sigAlgebra‘ℝ)
87elexi 3499 . . . . . 6 𝔅 ∈ V
98, 8mpoex 7773 . . . . 5 (𝑒 ∈ 𝔅, 𝑓 ∈ 𝔅 ↦ (𝑒 × 𝑓)) ∈ V
109rnex 7612 . . . 4 ran (𝑒 ∈ 𝔅, 𝑓 ∈ 𝔅 ↦ (𝑒 × 𝑓)) ∈ V
111, 2dya2icobrsiga 31591 . . . . . . . . . 10 ran 𝐼 ⊆ 𝔅
1211sseli 3949 . . . . . . . . 9 (𝑢 ∈ ran 𝐼𝑢 ∈ 𝔅)
1311sseli 3949 . . . . . . . . 9 (𝑣 ∈ ran 𝐼𝑣 ∈ 𝔅)
1412, 13anim12i 615 . . . . . . . 8 ((𝑢 ∈ ran 𝐼𝑣 ∈ ran 𝐼) → (𝑢 ∈ 𝔅𝑣 ∈ 𝔅))
1514anim1i 617 . . . . . . 7 (((𝑢 ∈ ran 𝐼𝑣 ∈ ran 𝐼) ∧ 𝑔 = (𝑢 × 𝑣)) → ((𝑢 ∈ 𝔅𝑣 ∈ 𝔅) ∧ 𝑔 = (𝑢 × 𝑣)))
1615ssoprab2i 7256 . . . . . 6 {⟨⟨𝑢, 𝑣⟩, 𝑔⟩ ∣ ((𝑢 ∈ ran 𝐼𝑣 ∈ ran 𝐼) ∧ 𝑔 = (𝑢 × 𝑣))} ⊆ {⟨⟨𝑢, 𝑣⟩, 𝑔⟩ ∣ ((𝑢 ∈ 𝔅𝑣 ∈ 𝔅) ∧ 𝑔 = (𝑢 × 𝑣))}
17 df-mpo 7154 . . . . . . 7 (𝑢 ∈ ran 𝐼, 𝑣 ∈ ran 𝐼 ↦ (𝑢 × 𝑣)) = {⟨⟨𝑢, 𝑣⟩, 𝑔⟩ ∣ ((𝑢 ∈ ran 𝐼𝑣 ∈ ran 𝐼) ∧ 𝑔 = (𝑢 × 𝑣))}
183, 17eqtri 2847 . . . . . 6 𝑅 = {⟨⟨𝑢, 𝑣⟩, 𝑔⟩ ∣ ((𝑢 ∈ ran 𝐼𝑣 ∈ ran 𝐼) ∧ 𝑔 = (𝑢 × 𝑣))}
19 xpeq1 5556 . . . . . . . 8 (𝑒 = 𝑢 → (𝑒 × 𝑓) = (𝑢 × 𝑓))
20 xpeq2 5563 . . . . . . . 8 (𝑓 = 𝑣 → (𝑢 × 𝑓) = (𝑢 × 𝑣))
2119, 20cbvmpov 7242 . . . . . . 7 (𝑒 ∈ 𝔅, 𝑓 ∈ 𝔅 ↦ (𝑒 × 𝑓)) = (𝑢 ∈ 𝔅, 𝑣 ∈ 𝔅 ↦ (𝑢 × 𝑣))
22 df-mpo 7154 . . . . . . 7 (𝑢 ∈ 𝔅, 𝑣 ∈ 𝔅 ↦ (𝑢 × 𝑣)) = {⟨⟨𝑢, 𝑣⟩, 𝑔⟩ ∣ ((𝑢 ∈ 𝔅𝑣 ∈ 𝔅) ∧ 𝑔 = (𝑢 × 𝑣))}
2321, 22eqtri 2847 . . . . . 6 (𝑒 ∈ 𝔅, 𝑓 ∈ 𝔅 ↦ (𝑒 × 𝑓)) = {⟨⟨𝑢, 𝑣⟩, 𝑔⟩ ∣ ((𝑢 ∈ 𝔅𝑣 ∈ 𝔅) ∧ 𝑔 = (𝑢 × 𝑣))}
2416, 18, 233sstr4i 3996 . . . . 5 𝑅 ⊆ (𝑒 ∈ 𝔅, 𝑓 ∈ 𝔅 ↦ (𝑒 × 𝑓))
25 rnss 5796 . . . . 5 (𝑅 ⊆ (𝑒 ∈ 𝔅, 𝑓 ∈ 𝔅 ↦ (𝑒 × 𝑓)) → ran 𝑅 ⊆ ran (𝑒 ∈ 𝔅, 𝑓 ∈ 𝔅 ↦ (𝑒 × 𝑓)))
2624, 25ax-mp 5 . . . 4 ran 𝑅 ⊆ ran (𝑒 ∈ 𝔅, 𝑓 ∈ 𝔅 ↦ (𝑒 × 𝑓))
27 sssigagen2 31462 . . . 4 ((ran (𝑒 ∈ 𝔅, 𝑓 ∈ 𝔅 ↦ (𝑒 × 𝑓)) ∈ V ∧ ran 𝑅 ⊆ ran (𝑒 ∈ 𝔅, 𝑓 ∈ 𝔅 ↦ (𝑒 × 𝑓))) → ran 𝑅 ⊆ (sigaGen‘ran (𝑒 ∈ 𝔅, 𝑓 ∈ 𝔅 ↦ (𝑒 × 𝑓))))
2810, 26, 27mp2an 691 . . 3 ran 𝑅 ⊆ (sigaGen‘ran (𝑒 ∈ 𝔅, 𝑓 ∈ 𝔅 ↦ (𝑒 × 𝑓)))
29 sigagenss2 31466 . . 3 (( ran 𝑅 = ran (𝑒 ∈ 𝔅, 𝑓 ∈ 𝔅 ↦ (𝑒 × 𝑓)) ∧ ran 𝑅 ⊆ (sigaGen‘ran (𝑒 ∈ 𝔅, 𝑓 ∈ 𝔅 ↦ (𝑒 × 𝑓))) ∧ ran (𝑒 ∈ 𝔅, 𝑓 ∈ 𝔅 ↦ (𝑒 × 𝑓)) ∈ V) → (sigaGen‘ran 𝑅) ⊆ (sigaGen‘ran (𝑒 ∈ 𝔅, 𝑓 ∈ 𝔅 ↦ (𝑒 × 𝑓))))
306, 28, 10, 29mp3an 1458 . 2 (sigaGen‘ran 𝑅) ⊆ (sigaGen‘ran (𝑒 ∈ 𝔅, 𝑓 ∈ 𝔅 ↦ (𝑒 × 𝑓)))
311, 2, 3sxbrsigalem4 31602 . 2 (sigaGen‘(𝐽 ×t 𝐽)) = (sigaGen‘ran 𝑅)
32 eqid 2824 . . . 4 ran (𝑒 ∈ 𝔅, 𝑓 ∈ 𝔅 ↦ (𝑒 × 𝑓)) = ran (𝑒 ∈ 𝔅, 𝑓 ∈ 𝔅 ↦ (𝑒 × 𝑓))
3332sxval 31506 . . 3 ((𝔅 ∈ (sigAlgebra‘ℝ) ∧ 𝔅 ∈ (sigAlgebra‘ℝ)) → (𝔅 ×s 𝔅) = (sigaGen‘ran (𝑒 ∈ 𝔅, 𝑓 ∈ 𝔅 ↦ (𝑒 × 𝑓))))
347, 7, 33mp2an 691 . 2 (𝔅 ×s 𝔅) = (sigaGen‘ran (𝑒 ∈ 𝔅, 𝑓 ∈ 𝔅 ↦ (𝑒 × 𝑓)))
3530, 31, 343sstr4i 3996 1 (sigaGen‘(𝐽 ×t 𝐽)) ⊆ (𝔅 ×s 𝔅)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wa 399   = wceq 1538  wcel 2115  Vcvv 3480  wss 3919   cuni 4824   × cxp 5540  ran crn 5543  cfv 6343  (class class class)co 7149  {coprab 7150  cmpo 7151  cr 10534  1c1 10536   + caddc 10538   / cdiv 11295  2c2 11689  cz 11978  (,)cioo 12735  [,)cico 12737  cexp 13434  topGenctg 16711   ×t ctx 22168  sigAlgebracsiga 31424  sigaGencsigagen 31454  𝔅cbrsiga 31497   ×s csx 31504
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-rep 5176  ax-sep 5189  ax-nul 5196  ax-pow 5253  ax-pr 5317  ax-un 7455  ax-inf2 9101  ax-ac2 9883  ax-cnex 10591  ax-resscn 10592  ax-1cn 10593  ax-icn 10594  ax-addcl 10595  ax-addrcl 10596  ax-mulcl 10597  ax-mulrcl 10598  ax-mulcom 10599  ax-addass 10600  ax-mulass 10601  ax-distr 10602  ax-i2m1 10603  ax-1ne0 10604  ax-1rid 10605  ax-rnegex 10606  ax-rrecex 10607  ax-cnre 10608  ax-pre-lttri 10609  ax-pre-lttrn 10610  ax-pre-ltadd 10611  ax-pre-mulgt0 10612  ax-pre-sup 10613  ax-addf 10614  ax-mulf 10615
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3015  df-nel 3119  df-ral 3138  df-rex 3139  df-reu 3140  df-rmo 3141  df-rab 3142  df-v 3482  df-sbc 3759  df-csb 3867  df-dif 3922  df-un 3924  df-in 3926  df-ss 3936  df-pss 3938  df-nul 4277  df-if 4451  df-pw 4524  df-sn 4551  df-pr 4553  df-tp 4555  df-op 4557  df-uni 4825  df-int 4863  df-iun 4907  df-iin 4908  df-br 5053  df-opab 5115  df-mpt 5133  df-tr 5159  df-id 5447  df-eprel 5452  df-po 5461  df-so 5462  df-fr 5501  df-se 5502  df-we 5503  df-xp 5548  df-rel 5549  df-cnv 5550  df-co 5551  df-dm 5552  df-rn 5553  df-res 5554  df-ima 5555  df-pred 6135  df-ord 6181  df-on 6182  df-lim 6183  df-suc 6184  df-iota 6302  df-fun 6345  df-fn 6346  df-f 6347  df-f1 6348  df-fo 6349  df-f1o 6350  df-fv 6351  df-isom 6352  df-riota 7107  df-ov 7152  df-oprab 7153  df-mpo 7154  df-of 7403  df-om 7575  df-1st 7684  df-2nd 7685  df-supp 7827  df-wrecs 7943  df-recs 8004  df-rdg 8042  df-1o 8098  df-2o 8099  df-oadd 8102  df-omul 8103  df-er 8285  df-map 8404  df-pm 8405  df-ixp 8458  df-en 8506  df-dom 8507  df-sdom 8508  df-fin 8509  df-fsupp 8831  df-fi 8872  df-sup 8903  df-inf 8904  df-oi 8971  df-dju 9327  df-card 9365  df-acn 9368  df-ac 9540  df-pnf 10675  df-mnf 10676  df-xr 10677  df-ltxr 10678  df-le 10679  df-sub 10870  df-neg 10871  df-div 11296  df-nn 11635  df-2 11697  df-3 11698  df-4 11699  df-5 11700  df-6 11701  df-7 11702  df-8 11703  df-9 11704  df-n0 11895  df-z 11979  df-dec 12096  df-uz 12241  df-q 12346  df-rp 12387  df-xneg 12504  df-xadd 12505  df-xmul 12506  df-ioo 12739  df-ioc 12740  df-ico 12741  df-icc 12742  df-fz 12895  df-fzo 13038  df-fl 13166  df-mod 13242  df-seq 13374  df-exp 13435  df-fac 13639  df-bc 13668  df-hash 13696  df-shft 14426  df-cj 14458  df-re 14459  df-im 14460  df-sqrt 14594  df-abs 14595  df-limsup 14828  df-clim 14845  df-rlim 14846  df-sum 15043  df-ef 15421  df-sin 15423  df-cos 15424  df-pi 15426  df-struct 16485  df-ndx 16486  df-slot 16487  df-base 16489  df-sets 16490  df-ress 16491  df-plusg 16578  df-mulr 16579  df-starv 16580  df-sca 16581  df-vsca 16582  df-ip 16583  df-tset 16584  df-ple 16585  df-ds 16587  df-unif 16588  df-hom 16589  df-cco 16590  df-rest 16696  df-topn 16697  df-0g 16715  df-gsum 16716  df-topgen 16717  df-pt 16718  df-prds 16721  df-xrs 16775  df-qtop 16780  df-imas 16781  df-xps 16783  df-mre 16857  df-mrc 16858  df-acs 16860  df-mgm 17852  df-sgrp 17901  df-mnd 17912  df-submnd 17957  df-mulg 18225  df-cntz 18447  df-cmn 18908  df-psmet 20537  df-xmet 20538  df-met 20539  df-bl 20540  df-mopn 20541  df-fbas 20542  df-fg 20543  df-cnfld 20546  df-refld 20749  df-top 21502  df-topon 21519  df-topsp 21541  df-bases 21554  df-cld 21627  df-ntr 21628  df-cls 21629  df-nei 21706  df-lp 21744  df-perf 21745  df-cn 21835  df-cnp 21836  df-haus 21923  df-cmp 21995  df-tx 22170  df-hmeo 22363  df-fil 22454  df-fm 22546  df-flim 22547  df-flf 22548  df-fcls 22549  df-xms 22930  df-ms 22931  df-tms 22932  df-cncf 23486  df-cfil 23862  df-cmet 23864  df-cms 23942  df-limc 24472  df-dv 24473  df-log 25151  df-cxp 25152  df-logb 25354  df-siga 31425  df-sigagen 31455  df-brsiga 31498  df-sx 31505
This theorem is referenced by:  sxbrsigalem6  31604
  Copyright terms: Public domain W3C validator