Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  sxbrsigalem5 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sxbrsigalem5 34270
Description: First direction for sxbrsiga 34272. (Contributed by Thierry Arnoux, 22-Sep-2017.) (Revised by Thierry Arnoux, 11-Oct-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
sxbrsiga.0 𝐽 = (topGen‘ran (,))
dya2ioc.1 𝐼 = (𝑥 ∈ ℤ, 𝑛 ∈ ℤ ↦ ((𝑥 / (2↑𝑛))[,)((𝑥 + 1) / (2↑𝑛))))
dya2ioc.2 𝑅 = (𝑢 ∈ ran 𝐼, 𝑣 ∈ ran 𝐼 ↦ (𝑢 × 𝑣))
Assertion
Ref Expression
sxbrsigalem5 (sigaGen‘(𝐽 ×t 𝐽)) ⊆ (𝔅 ×s 𝔅)
Distinct variable groups:   𝑥,𝑛   𝑥,𝐼   𝑣,𝑢,𝐼,𝑥   𝑢,𝑛,𝑣   𝑅,𝑛,𝑥   𝑥,𝐽,𝑢,𝑣
Allowed substitution hints:   𝑅(𝑣,𝑢)   𝐼(𝑛)   𝐽(𝑛)

Proof of Theorem sxbrsigalem5
Dummy variables 𝑒 𝑓 𝑔 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 sxbrsiga.0 . . . . 5 𝐽 = (topGen‘ran (,))
2 dya2ioc.1 . . . . 5 𝐼 = (𝑥 ∈ ℤ, 𝑛 ∈ ℤ ↦ ((𝑥 / (2↑𝑛))[,)((𝑥 + 1) / (2↑𝑛))))
3 dya2ioc.2 . . . . 5 𝑅 = (𝑢 ∈ ran 𝐼, 𝑣 ∈ ran 𝐼 ↦ (𝑢 × 𝑣))
41, 2, 3dya2iocucvr 34266 . . . 4 ran 𝑅 = (ℝ × ℝ)
5 br2base 34251 . . . 4 ran (𝑒 ∈ 𝔅, 𝑓 ∈ 𝔅 ↦ (𝑒 × 𝑓)) = (ℝ × ℝ)
64, 5eqtr4i 2766 . . 3 ran 𝑅 = ran (𝑒 ∈ 𝔅, 𝑓 ∈ 𝔅 ↦ (𝑒 × 𝑓))
7 brsigarn 34165 . . . . . . 7 𝔅 ∈ (sigAlgebra‘ℝ)
87elexi 3501 . . . . . 6 𝔅 ∈ V
98, 8mpoex 8103 . . . . 5 (𝑒 ∈ 𝔅, 𝑓 ∈ 𝔅 ↦ (𝑒 × 𝑓)) ∈ V
109rnex 7933 . . . 4 ran (𝑒 ∈ 𝔅, 𝑓 ∈ 𝔅 ↦ (𝑒 × 𝑓)) ∈ V
111, 2dya2icobrsiga 34258 . . . . . . . . . 10 ran 𝐼 ⊆ 𝔅
1211sseli 3991 . . . . . . . . 9 (𝑢 ∈ ran 𝐼𝑢 ∈ 𝔅)
1311sseli 3991 . . . . . . . . 9 (𝑣 ∈ ran 𝐼𝑣 ∈ 𝔅)
1412, 13anim12i 613 . . . . . . . 8 ((𝑢 ∈ ran 𝐼𝑣 ∈ ran 𝐼) → (𝑢 ∈ 𝔅𝑣 ∈ 𝔅))
1514anim1i 615 . . . . . . 7 (((𝑢 ∈ ran 𝐼𝑣 ∈ ran 𝐼) ∧ 𝑔 = (𝑢 × 𝑣)) → ((𝑢 ∈ 𝔅𝑣 ∈ 𝔅) ∧ 𝑔 = (𝑢 × 𝑣)))
1615ssoprab2i 7544 . . . . . 6 {⟨⟨𝑢, 𝑣⟩, 𝑔⟩ ∣ ((𝑢 ∈ ran 𝐼𝑣 ∈ ran 𝐼) ∧ 𝑔 = (𝑢 × 𝑣))} ⊆ {⟨⟨𝑢, 𝑣⟩, 𝑔⟩ ∣ ((𝑢 ∈ 𝔅𝑣 ∈ 𝔅) ∧ 𝑔 = (𝑢 × 𝑣))}
17 df-mpo 7436 . . . . . . 7 (𝑢 ∈ ran 𝐼, 𝑣 ∈ ran 𝐼 ↦ (𝑢 × 𝑣)) = {⟨⟨𝑢, 𝑣⟩, 𝑔⟩ ∣ ((𝑢 ∈ ran 𝐼𝑣 ∈ ran 𝐼) ∧ 𝑔 = (𝑢 × 𝑣))}
183, 17eqtri 2763 . . . . . 6 𝑅 = {⟨⟨𝑢, 𝑣⟩, 𝑔⟩ ∣ ((𝑢 ∈ ran 𝐼𝑣 ∈ ran 𝐼) ∧ 𝑔 = (𝑢 × 𝑣))}
19 xpeq1 5703 . . . . . . . 8 (𝑒 = 𝑢 → (𝑒 × 𝑓) = (𝑢 × 𝑓))
20 xpeq2 5710 . . . . . . . 8 (𝑓 = 𝑣 → (𝑢 × 𝑓) = (𝑢 × 𝑣))
2119, 20cbvmpov 7528 . . . . . . 7 (𝑒 ∈ 𝔅, 𝑓 ∈ 𝔅 ↦ (𝑒 × 𝑓)) = (𝑢 ∈ 𝔅, 𝑣 ∈ 𝔅 ↦ (𝑢 × 𝑣))
22 df-mpo 7436 . . . . . . 7 (𝑢 ∈ 𝔅, 𝑣 ∈ 𝔅 ↦ (𝑢 × 𝑣)) = {⟨⟨𝑢, 𝑣⟩, 𝑔⟩ ∣ ((𝑢 ∈ 𝔅𝑣 ∈ 𝔅) ∧ 𝑔 = (𝑢 × 𝑣))}
2321, 22eqtri 2763 . . . . . 6 (𝑒 ∈ 𝔅, 𝑓 ∈ 𝔅 ↦ (𝑒 × 𝑓)) = {⟨⟨𝑢, 𝑣⟩, 𝑔⟩ ∣ ((𝑢 ∈ 𝔅𝑣 ∈ 𝔅) ∧ 𝑔 = (𝑢 × 𝑣))}
2416, 18, 233sstr4i 4039 . . . . 5 𝑅 ⊆ (𝑒 ∈ 𝔅, 𝑓 ∈ 𝔅 ↦ (𝑒 × 𝑓))
25 rnss 5953 . . . . 5 (𝑅 ⊆ (𝑒 ∈ 𝔅, 𝑓 ∈ 𝔅 ↦ (𝑒 × 𝑓)) → ran 𝑅 ⊆ ran (𝑒 ∈ 𝔅, 𝑓 ∈ 𝔅 ↦ (𝑒 × 𝑓)))
2624, 25ax-mp 5 . . . 4 ran 𝑅 ⊆ ran (𝑒 ∈ 𝔅, 𝑓 ∈ 𝔅 ↦ (𝑒 × 𝑓))
27 sssigagen2 34127 . . . 4 ((ran (𝑒 ∈ 𝔅, 𝑓 ∈ 𝔅 ↦ (𝑒 × 𝑓)) ∈ V ∧ ran 𝑅 ⊆ ran (𝑒 ∈ 𝔅, 𝑓 ∈ 𝔅 ↦ (𝑒 × 𝑓))) → ran 𝑅 ⊆ (sigaGen‘ran (𝑒 ∈ 𝔅, 𝑓 ∈ 𝔅 ↦ (𝑒 × 𝑓))))
2810, 26, 27mp2an 692 . . 3 ran 𝑅 ⊆ (sigaGen‘ran (𝑒 ∈ 𝔅, 𝑓 ∈ 𝔅 ↦ (𝑒 × 𝑓)))
29 sigagenss2 34131 . . 3 (( ran 𝑅 = ran (𝑒 ∈ 𝔅, 𝑓 ∈ 𝔅 ↦ (𝑒 × 𝑓)) ∧ ran 𝑅 ⊆ (sigaGen‘ran (𝑒 ∈ 𝔅, 𝑓 ∈ 𝔅 ↦ (𝑒 × 𝑓))) ∧ ran (𝑒 ∈ 𝔅, 𝑓 ∈ 𝔅 ↦ (𝑒 × 𝑓)) ∈ V) → (sigaGen‘ran 𝑅) ⊆ (sigaGen‘ran (𝑒 ∈ 𝔅, 𝑓 ∈ 𝔅 ↦ (𝑒 × 𝑓))))
306, 28, 10, 29mp3an 1460 . 2 (sigaGen‘ran 𝑅) ⊆ (sigaGen‘ran (𝑒 ∈ 𝔅, 𝑓 ∈ 𝔅 ↦ (𝑒 × 𝑓)))
311, 2, 3sxbrsigalem4 34269 . 2 (sigaGen‘(𝐽 ×t 𝐽)) = (sigaGen‘ran 𝑅)
32 eqid 2735 . . . 4 ran (𝑒 ∈ 𝔅, 𝑓 ∈ 𝔅 ↦ (𝑒 × 𝑓)) = ran (𝑒 ∈ 𝔅, 𝑓 ∈ 𝔅 ↦ (𝑒 × 𝑓))
3332sxval 34171 . . 3 ((𝔅 ∈ (sigAlgebra‘ℝ) ∧ 𝔅 ∈ (sigAlgebra‘ℝ)) → (𝔅 ×s 𝔅) = (sigaGen‘ran (𝑒 ∈ 𝔅, 𝑓 ∈ 𝔅 ↦ (𝑒 × 𝑓))))
347, 7, 33mp2an 692 . 2 (𝔅 ×s 𝔅) = (sigaGen‘ran (𝑒 ∈ 𝔅, 𝑓 ∈ 𝔅 ↦ (𝑒 × 𝑓)))
3530, 31, 343sstr4i 4039 1 (sigaGen‘(𝐽 ×t 𝐽)) ⊆ (𝔅 ×s 𝔅)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wa 395   = wceq 1537  wcel 2106  Vcvv 3478  wss 3963   cuni 4912   × cxp 5687  ran crn 5690  cfv 6563  (class class class)co 7431  {coprab 7432  cmpo 7433  cr 11152  1c1 11154   + caddc 11156   / cdiv 11918  2c2 12319  cz 12611  (,)cioo 13384  [,)cico 13386  cexp 14099  topGenctg 17484   ×t ctx 23584  sigAlgebracsiga 34089  sigaGencsigagen 34119  𝔅cbrsiga 34162   ×s csx 34169
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-inf2 9679  ax-ac2 10501  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230  ax-pre-sup 11231  ax-addf 11232
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-tp 4636  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-se 5642  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-isom 6572  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-of 7697  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-supp 8185  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-2o 8506  df-oadd 8509  df-omul 8510  df-er 8744  df-map 8867  df-pm 8868  df-ixp 8937  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-fsupp 9400  df-fi 9449  df-sup 9480  df-inf 9481  df-oi 9548  df-dju 9939  df-card 9977  df-acn 9980  df-ac 10154  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-div 11919  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-5 12330  df-6 12331  df-7 12332  df-8 12333  df-9 12334  df-n0 12525  df-z 12612  df-dec 12732  df-uz 12877  df-q 12989  df-rp 13033  df-xneg 13152  df-xadd 13153  df-xmul 13154  df-ioo 13388  df-ioc 13389  df-ico 13390  df-icc 13391  df-fz 13545  df-fzo 13692  df-fl 13829  df-mod 13907  df-seq 14040  df-exp 14100  df-fac 14310  df-bc 14339  df-hash 14367  df-shft 15103  df-cj 15135  df-re 15136  df-im 15137  df-sqrt 15271  df-abs 15272  df-limsup 15504  df-clim 15521  df-rlim 15522  df-sum 15720  df-ef 16100  df-sin 16102  df-cos 16103  df-pi 16105  df-struct 17181  df-sets 17198  df-slot 17216  df-ndx 17228  df-base 17246  df-ress 17275  df-plusg 17311  df-mulr 17312  df-starv 17313  df-sca 17314  df-vsca 17315  df-ip 17316  df-tset 17317  df-ple 17318  df-ds 17320  df-unif 17321  df-hom 17322  df-cco 17323  df-rest 17469  df-topn 17470  df-0g 17488  df-gsum 17489  df-topgen 17490  df-pt 17491  df-prds 17494  df-xrs 17549  df-qtop 17554  df-imas 17555  df-xps 17557  df-mre 17631  df-mrc 17632  df-acs 17634  df-mgm 18666  df-sgrp 18745  df-mnd 18761  df-submnd 18810  df-mulg 19099  df-cntz 19348  df-cmn 19815  df-psmet 21374  df-xmet 21375  df-met 21376  df-bl 21377  df-mopn 21378  df-fbas 21379  df-fg 21380  df-cnfld 21383  df-refld 21641  df-top 22916  df-topon 22933  df-topsp 22955  df-bases 22969  df-cld 23043  df-ntr 23044  df-cls 23045  df-nei 23122  df-lp 23160  df-perf 23161  df-cn 23251  df-cnp 23252  df-haus 23339  df-cmp 23411  df-tx 23586  df-hmeo 23779  df-fil 23870  df-fm 23962  df-flim 23963  df-flf 23964  df-fcls 23965  df-xms 24346  df-ms 24347  df-tms 24348  df-cncf 24918  df-cfil 25303  df-cmet 25305  df-cms 25383  df-limc 25916  df-dv 25917  df-log 26613  df-cxp 26614  df-logb 26823  df-siga 34090  df-sigagen 34120  df-brsiga 34163  df-sx 34170
This theorem is referenced by:  sxbrsigalem6  34271
  Copyright terms: Public domain W3C validator