MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  gsumdixp Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem gsumdixp 20207
Description: Distribute a binary product of sums to a sum of binary products in a ring. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Mar-2015.) (Revised by AV, 10-Jul-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
gsumdixp.b ๐ต = (Baseโ€˜๐‘…)
gsumdixp.t ยท = (.rโ€˜๐‘…)
gsumdixp.z 0 = (0gโ€˜๐‘…)
gsumdixp.i (๐œ‘ โ†’ ๐ผ โˆˆ ๐‘‰)
gsumdixp.j (๐œ‘ โ†’ ๐ฝ โˆˆ ๐‘Š)
gsumdixp.r (๐œ‘ โ†’ ๐‘… โˆˆ Ring)
gsumdixp.x ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ผ) โ†’ ๐‘‹ โˆˆ ๐ต)
gsumdixp.y ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ฝ) โ†’ ๐‘Œ โˆˆ ๐ต)
gsumdixp.xf (๐œ‘ โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ ๐ผ โ†ฆ ๐‘‹) finSupp 0 )
gsumdixp.yf (๐œ‘ โ†’ (๐‘ฆ โˆˆ ๐ฝ โ†ฆ ๐‘Œ) finSupp 0 )
Assertion
Ref Expression
gsumdixp (๐œ‘ โ†’ ((๐‘… ฮฃg (๐‘ฅ โˆˆ ๐ผ โ†ฆ ๐‘‹)) ยท (๐‘… ฮฃg (๐‘ฆ โˆˆ ๐ฝ โ†ฆ ๐‘Œ))) = (๐‘… ฮฃg (๐‘ฅ โˆˆ ๐ผ, ๐‘ฆ โˆˆ ๐ฝ โ†ฆ (๐‘‹ ยท ๐‘Œ))))
Distinct variable groups:   ๐œ‘,๐‘ฅ,๐‘ฆ   ๐‘ฅ,๐ต,๐‘ฆ   ๐‘ฅ,๐ผ,๐‘ฆ   ๐‘ฅ,๐ฝ,๐‘ฆ   ๐‘ฅ,๐‘…   ๐‘ฅ, ยท ,๐‘ฆ   ๐‘ฆ,๐‘‹   ๐‘ฅ,๐‘Œ
Allowed substitution hints:   ๐‘…(๐‘ฆ)   ๐‘‰(๐‘ฅ,๐‘ฆ)   ๐‘Š(๐‘ฅ,๐‘ฆ)   ๐‘‹(๐‘ฅ)   ๐‘Œ(๐‘ฆ)   0 (๐‘ฅ,๐‘ฆ)

Proof of Theorem gsumdixp
Dummy variables ๐‘– ๐‘— are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 gsumdixp.b . . . 4 ๐ต = (Baseโ€˜๐‘…)
2 gsumdixp.z . . . 4 0 = (0gโ€˜๐‘…)
3 gsumdixp.r . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ๐‘… โˆˆ Ring)
43ringcmnd 20172 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ๐‘… โˆˆ CMnd)
5 gsumdixp.i . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ๐ผ โˆˆ ๐‘‰)
6 gsumdixp.j . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ๐ฝ โˆˆ ๐‘Š)
76adantr 479 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐‘– โˆˆ ๐ผ) โ†’ ๐ฝ โˆˆ ๐‘Š)
8 gsumdixp.t . . . . 5 ยท = (.rโ€˜๐‘…)
93adantr 479 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง (๐‘– โˆˆ ๐ผ โˆง ๐‘— โˆˆ ๐ฝ)) โ†’ ๐‘… โˆˆ Ring)
10 gsumdixp.x . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ผ) โ†’ ๐‘‹ โˆˆ ๐ต)
1110fmpttd 7115 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ ๐ผ โ†ฆ ๐‘‹):๐ผโŸถ๐ต)
12 simpl 481 . . . . . 6 ((๐‘– โˆˆ ๐ผ โˆง ๐‘— โˆˆ ๐ฝ) โ†’ ๐‘– โˆˆ ๐ผ)
13 ffvelcdm 7082 . . . . . 6 (((๐‘ฅ โˆˆ ๐ผ โ†ฆ ๐‘‹):๐ผโŸถ๐ต โˆง ๐‘– โˆˆ ๐ผ) โ†’ ((๐‘ฅ โˆˆ ๐ผ โ†ฆ ๐‘‹)โ€˜๐‘–) โˆˆ ๐ต)
1411, 12, 13syl2an 594 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง (๐‘– โˆˆ ๐ผ โˆง ๐‘— โˆˆ ๐ฝ)) โ†’ ((๐‘ฅ โˆˆ ๐ผ โ†ฆ ๐‘‹)โ€˜๐‘–) โˆˆ ๐ต)
15 gsumdixp.y . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ฝ) โ†’ ๐‘Œ โˆˆ ๐ต)
1615fmpttd 7115 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ฆ โˆˆ ๐ฝ โ†ฆ ๐‘Œ):๐ฝโŸถ๐ต)
17 simpr 483 . . . . . 6 ((๐‘– โˆˆ ๐ผ โˆง ๐‘— โˆˆ ๐ฝ) โ†’ ๐‘— โˆˆ ๐ฝ)
18 ffvelcdm 7082 . . . . . 6 (((๐‘ฆ โˆˆ ๐ฝ โ†ฆ ๐‘Œ):๐ฝโŸถ๐ต โˆง ๐‘— โˆˆ ๐ฝ) โ†’ ((๐‘ฆ โˆˆ ๐ฝ โ†ฆ ๐‘Œ)โ€˜๐‘—) โˆˆ ๐ต)
1916, 17, 18syl2an 594 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง (๐‘– โˆˆ ๐ผ โˆง ๐‘— โˆˆ ๐ฝ)) โ†’ ((๐‘ฆ โˆˆ ๐ฝ โ†ฆ ๐‘Œ)โ€˜๐‘—) โˆˆ ๐ต)
201, 8, 9, 14, 19ringcld 20151 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง (๐‘– โˆˆ ๐ผ โˆง ๐‘— โˆˆ ๐ฝ)) โ†’ (((๐‘ฅ โˆˆ ๐ผ โ†ฆ ๐‘‹)โ€˜๐‘–) ยท ((๐‘ฆ โˆˆ ๐ฝ โ†ฆ ๐‘Œ)โ€˜๐‘—)) โˆˆ ๐ต)
21 gsumdixp.xf . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ ๐ผ โ†ฆ ๐‘‹) finSupp 0 )
2221fsuppimpd 9371 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘ฅ โˆˆ ๐ผ โ†ฆ ๐‘‹) supp 0 ) โˆˆ Fin)
23 gsumdixp.yf . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ฆ โˆˆ ๐ฝ โ†ฆ ๐‘Œ) finSupp 0 )
2423fsuppimpd 9371 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘ฆ โˆˆ ๐ฝ โ†ฆ ๐‘Œ) supp 0 ) โˆˆ Fin)
25 xpfi 9319 . . . . 5 ((((๐‘ฅ โˆˆ ๐ผ โ†ฆ ๐‘‹) supp 0 ) โˆˆ Fin โˆง ((๐‘ฆ โˆˆ ๐ฝ โ†ฆ ๐‘Œ) supp 0 ) โˆˆ Fin) โ†’ (((๐‘ฅ โˆˆ ๐ผ โ†ฆ ๐‘‹) supp 0 ) ร— ((๐‘ฆ โˆˆ ๐ฝ โ†ฆ ๐‘Œ) supp 0 )) โˆˆ Fin)
2622, 24, 25syl2anc 582 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (((๐‘ฅ โˆˆ ๐ผ โ†ฆ ๐‘‹) supp 0 ) ร— ((๐‘ฆ โˆˆ ๐ฝ โ†ฆ ๐‘Œ) supp 0 )) โˆˆ Fin)
27 ianor 978 . . . . . . 7 (ยฌ (๐‘– โˆˆ ((๐‘ฅ โˆˆ ๐ผ โ†ฆ ๐‘‹) supp 0 ) โˆง ๐‘— โˆˆ ((๐‘ฆ โˆˆ ๐ฝ โ†ฆ ๐‘Œ) supp 0 )) โ†” (ยฌ ๐‘– โˆˆ ((๐‘ฅ โˆˆ ๐ผ โ†ฆ ๐‘‹) supp 0 ) โˆจ ยฌ ๐‘— โˆˆ ((๐‘ฆ โˆˆ ๐ฝ โ†ฆ ๐‘Œ) supp 0 )))
28 brxp 5724 . . . . . . 7 (๐‘–(((๐‘ฅ โˆˆ ๐ผ โ†ฆ ๐‘‹) supp 0 ) ร— ((๐‘ฆ โˆˆ ๐ฝ โ†ฆ ๐‘Œ) supp 0 ))๐‘— โ†” (๐‘– โˆˆ ((๐‘ฅ โˆˆ ๐ผ โ†ฆ ๐‘‹) supp 0 ) โˆง ๐‘— โˆˆ ((๐‘ฆ โˆˆ ๐ฝ โ†ฆ ๐‘Œ) supp 0 )))
2927, 28xchnxbir 332 . . . . . 6 (ยฌ ๐‘–(((๐‘ฅ โˆˆ ๐ผ โ†ฆ ๐‘‹) supp 0 ) ร— ((๐‘ฆ โˆˆ ๐ฝ โ†ฆ ๐‘Œ) supp 0 ))๐‘— โ†” (ยฌ ๐‘– โˆˆ ((๐‘ฅ โˆˆ ๐ผ โ†ฆ ๐‘‹) supp 0 ) โˆจ ยฌ ๐‘— โˆˆ ((๐‘ฆ โˆˆ ๐ฝ โ†ฆ ๐‘Œ) supp 0 )))
30 simprl 767 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง (๐‘– โˆˆ ๐ผ โˆง ๐‘— โˆˆ ๐ฝ)) โ†’ ๐‘– โˆˆ ๐ผ)
31 eldif 3957 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘– โˆˆ (๐ผ โˆ– ((๐‘ฅ โˆˆ ๐ผ โ†ฆ ๐‘‹) supp 0 )) โ†” (๐‘– โˆˆ ๐ผ โˆง ยฌ ๐‘– โˆˆ ((๐‘ฅ โˆˆ ๐ผ โ†ฆ ๐‘‹) supp 0 )))
3231biimpri 227 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘– โˆˆ ๐ผ โˆง ยฌ ๐‘– โˆˆ ((๐‘ฅ โˆˆ ๐ผ โ†ฆ ๐‘‹) supp 0 )) โ†’ ๐‘– โˆˆ (๐ผ โˆ– ((๐‘ฅ โˆˆ ๐ผ โ†ฆ ๐‘‹) supp 0 )))
3330, 32sylan 578 . . . . . . . . . 10 (((๐œ‘ โˆง (๐‘– โˆˆ ๐ผ โˆง ๐‘— โˆˆ ๐ฝ)) โˆง ยฌ ๐‘– โˆˆ ((๐‘ฅ โˆˆ ๐ผ โ†ฆ ๐‘‹) supp 0 )) โ†’ ๐‘– โˆˆ (๐ผ โˆ– ((๐‘ฅ โˆˆ ๐ผ โ†ฆ ๐‘‹) supp 0 )))
3411adantr 479 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง (๐‘– โˆˆ ๐ผ โˆง ๐‘— โˆˆ ๐ฝ)) โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ ๐ผ โ†ฆ ๐‘‹):๐ผโŸถ๐ต)
35 ssidd 4004 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง (๐‘– โˆˆ ๐ผ โˆง ๐‘— โˆˆ ๐ฝ)) โ†’ ((๐‘ฅ โˆˆ ๐ผ โ†ฆ ๐‘‹) supp 0 ) โŠ† ((๐‘ฅ โˆˆ ๐ผ โ†ฆ ๐‘‹) supp 0 ))
365adantr 479 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง (๐‘– โˆˆ ๐ผ โˆง ๐‘— โˆˆ ๐ฝ)) โ†’ ๐ผ โˆˆ ๐‘‰)
372fvexi 6904 . . . . . . . . . . . 12 0 โˆˆ V
3837a1i 11 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง (๐‘– โˆˆ ๐ผ โˆง ๐‘— โˆˆ ๐ฝ)) โ†’ 0 โˆˆ V)
3934, 35, 36, 38suppssr 8183 . . . . . . . . . 10 (((๐œ‘ โˆง (๐‘– โˆˆ ๐ผ โˆง ๐‘— โˆˆ ๐ฝ)) โˆง ๐‘– โˆˆ (๐ผ โˆ– ((๐‘ฅ โˆˆ ๐ผ โ†ฆ ๐‘‹) supp 0 ))) โ†’ ((๐‘ฅ โˆˆ ๐ผ โ†ฆ ๐‘‹)โ€˜๐‘–) = 0 )
4033, 39syldan 589 . . . . . . . . 9 (((๐œ‘ โˆง (๐‘– โˆˆ ๐ผ โˆง ๐‘— โˆˆ ๐ฝ)) โˆง ยฌ ๐‘– โˆˆ ((๐‘ฅ โˆˆ ๐ผ โ†ฆ ๐‘‹) supp 0 )) โ†’ ((๐‘ฅ โˆˆ ๐ผ โ†ฆ ๐‘‹)โ€˜๐‘–) = 0 )
4140oveq1d 7426 . . . . . . . 8 (((๐œ‘ โˆง (๐‘– โˆˆ ๐ผ โˆง ๐‘— โˆˆ ๐ฝ)) โˆง ยฌ ๐‘– โˆˆ ((๐‘ฅ โˆˆ ๐ผ โ†ฆ ๐‘‹) supp 0 )) โ†’ (((๐‘ฅ โˆˆ ๐ผ โ†ฆ ๐‘‹)โ€˜๐‘–) ยท ((๐‘ฆ โˆˆ ๐ฝ โ†ฆ ๐‘Œ)โ€˜๐‘—)) = ( 0 ยท ((๐‘ฆ โˆˆ ๐ฝ โ†ฆ ๐‘Œ)โ€˜๐‘—)))
421, 8, 2ringlz 20181 . . . . . . . . . 10 ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ((๐‘ฆ โˆˆ ๐ฝ โ†ฆ ๐‘Œ)โ€˜๐‘—) โˆˆ ๐ต) โ†’ ( 0 ยท ((๐‘ฆ โˆˆ ๐ฝ โ†ฆ ๐‘Œ)โ€˜๐‘—)) = 0 )
439, 19, 42syl2anc 582 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง (๐‘– โˆˆ ๐ผ โˆง ๐‘— โˆˆ ๐ฝ)) โ†’ ( 0 ยท ((๐‘ฆ โˆˆ ๐ฝ โ†ฆ ๐‘Œ)โ€˜๐‘—)) = 0 )
4443adantr 479 . . . . . . . 8 (((๐œ‘ โˆง (๐‘– โˆˆ ๐ผ โˆง ๐‘— โˆˆ ๐ฝ)) โˆง ยฌ ๐‘– โˆˆ ((๐‘ฅ โˆˆ ๐ผ โ†ฆ ๐‘‹) supp 0 )) โ†’ ( 0 ยท ((๐‘ฆ โˆˆ ๐ฝ โ†ฆ ๐‘Œ)โ€˜๐‘—)) = 0 )
4541, 44eqtrd 2770 . . . . . . 7 (((๐œ‘ โˆง (๐‘– โˆˆ ๐ผ โˆง ๐‘— โˆˆ ๐ฝ)) โˆง ยฌ ๐‘– โˆˆ ((๐‘ฅ โˆˆ ๐ผ โ†ฆ ๐‘‹) supp 0 )) โ†’ (((๐‘ฅ โˆˆ ๐ผ โ†ฆ ๐‘‹)โ€˜๐‘–) ยท ((๐‘ฆ โˆˆ ๐ฝ โ†ฆ ๐‘Œ)โ€˜๐‘—)) = 0 )
46 simprr 769 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง (๐‘– โˆˆ ๐ผ โˆง ๐‘— โˆˆ ๐ฝ)) โ†’ ๐‘— โˆˆ ๐ฝ)
47 eldif 3957 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘— โˆˆ (๐ฝ โˆ– ((๐‘ฆ โˆˆ ๐ฝ โ†ฆ ๐‘Œ) supp 0 )) โ†” (๐‘— โˆˆ ๐ฝ โˆง ยฌ ๐‘— โˆˆ ((๐‘ฆ โˆˆ ๐ฝ โ†ฆ ๐‘Œ) supp 0 )))
4847biimpri 227 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘— โˆˆ ๐ฝ โˆง ยฌ ๐‘— โˆˆ ((๐‘ฆ โˆˆ ๐ฝ โ†ฆ ๐‘Œ) supp 0 )) โ†’ ๐‘— โˆˆ (๐ฝ โˆ– ((๐‘ฆ โˆˆ ๐ฝ โ†ฆ ๐‘Œ) supp 0 )))
4946, 48sylan 578 . . . . . . . . . 10 (((๐œ‘ โˆง (๐‘– โˆˆ ๐ผ โˆง ๐‘— โˆˆ ๐ฝ)) โˆง ยฌ ๐‘— โˆˆ ((๐‘ฆ โˆˆ ๐ฝ โ†ฆ ๐‘Œ) supp 0 )) โ†’ ๐‘— โˆˆ (๐ฝ โˆ– ((๐‘ฆ โˆˆ ๐ฝ โ†ฆ ๐‘Œ) supp 0 )))
5016adantr 479 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง (๐‘– โˆˆ ๐ผ โˆง ๐‘— โˆˆ ๐ฝ)) โ†’ (๐‘ฆ โˆˆ ๐ฝ โ†ฆ ๐‘Œ):๐ฝโŸถ๐ต)
51 ssidd 4004 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง (๐‘– โˆˆ ๐ผ โˆง ๐‘— โˆˆ ๐ฝ)) โ†’ ((๐‘ฆ โˆˆ ๐ฝ โ†ฆ ๐‘Œ) supp 0 ) โŠ† ((๐‘ฆ โˆˆ ๐ฝ โ†ฆ ๐‘Œ) supp 0 ))
526adantr 479 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง (๐‘– โˆˆ ๐ผ โˆง ๐‘— โˆˆ ๐ฝ)) โ†’ ๐ฝ โˆˆ ๐‘Š)
5350, 51, 52, 38suppssr 8183 . . . . . . . . . 10 (((๐œ‘ โˆง (๐‘– โˆˆ ๐ผ โˆง ๐‘— โˆˆ ๐ฝ)) โˆง ๐‘— โˆˆ (๐ฝ โˆ– ((๐‘ฆ โˆˆ ๐ฝ โ†ฆ ๐‘Œ) supp 0 ))) โ†’ ((๐‘ฆ โˆˆ ๐ฝ โ†ฆ ๐‘Œ)โ€˜๐‘—) = 0 )
5449, 53syldan 589 . . . . . . . . 9 (((๐œ‘ โˆง (๐‘– โˆˆ ๐ผ โˆง ๐‘— โˆˆ ๐ฝ)) โˆง ยฌ ๐‘— โˆˆ ((๐‘ฆ โˆˆ ๐ฝ โ†ฆ ๐‘Œ) supp 0 )) โ†’ ((๐‘ฆ โˆˆ ๐ฝ โ†ฆ ๐‘Œ)โ€˜๐‘—) = 0 )
5554oveq2d 7427 . . . . . . . 8 (((๐œ‘ โˆง (๐‘– โˆˆ ๐ผ โˆง ๐‘— โˆˆ ๐ฝ)) โˆง ยฌ ๐‘— โˆˆ ((๐‘ฆ โˆˆ ๐ฝ โ†ฆ ๐‘Œ) supp 0 )) โ†’ (((๐‘ฅ โˆˆ ๐ผ โ†ฆ ๐‘‹)โ€˜๐‘–) ยท ((๐‘ฆ โˆˆ ๐ฝ โ†ฆ ๐‘Œ)โ€˜๐‘—)) = (((๐‘ฅ โˆˆ ๐ผ โ†ฆ ๐‘‹)โ€˜๐‘–) ยท 0 ))
561, 8, 2ringrz 20182 . . . . . . . . . 10 ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ((๐‘ฅ โˆˆ ๐ผ โ†ฆ ๐‘‹)โ€˜๐‘–) โˆˆ ๐ต) โ†’ (((๐‘ฅ โˆˆ ๐ผ โ†ฆ ๐‘‹)โ€˜๐‘–) ยท 0 ) = 0 )
579, 14, 56syl2anc 582 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง (๐‘– โˆˆ ๐ผ โˆง ๐‘— โˆˆ ๐ฝ)) โ†’ (((๐‘ฅ โˆˆ ๐ผ โ†ฆ ๐‘‹)โ€˜๐‘–) ยท 0 ) = 0 )
5857adantr 479 . . . . . . . 8 (((๐œ‘ โˆง (๐‘– โˆˆ ๐ผ โˆง ๐‘— โˆˆ ๐ฝ)) โˆง ยฌ ๐‘— โˆˆ ((๐‘ฆ โˆˆ ๐ฝ โ†ฆ ๐‘Œ) supp 0 )) โ†’ (((๐‘ฅ โˆˆ ๐ผ โ†ฆ ๐‘‹)โ€˜๐‘–) ยท 0 ) = 0 )
5955, 58eqtrd 2770 . . . . . . 7 (((๐œ‘ โˆง (๐‘– โˆˆ ๐ผ โˆง ๐‘— โˆˆ ๐ฝ)) โˆง ยฌ ๐‘— โˆˆ ((๐‘ฆ โˆˆ ๐ฝ โ†ฆ ๐‘Œ) supp 0 )) โ†’ (((๐‘ฅ โˆˆ ๐ผ โ†ฆ ๐‘‹)โ€˜๐‘–) ยท ((๐‘ฆ โˆˆ ๐ฝ โ†ฆ ๐‘Œ)โ€˜๐‘—)) = 0 )
6045, 59jaodan 954 . . . . . 6 (((๐œ‘ โˆง (๐‘– โˆˆ ๐ผ โˆง ๐‘— โˆˆ ๐ฝ)) โˆง (ยฌ ๐‘– โˆˆ ((๐‘ฅ โˆˆ ๐ผ โ†ฆ ๐‘‹) supp 0 ) โˆจ ยฌ ๐‘— โˆˆ ((๐‘ฆ โˆˆ ๐ฝ โ†ฆ ๐‘Œ) supp 0 ))) โ†’ (((๐‘ฅ โˆˆ ๐ผ โ†ฆ ๐‘‹)โ€˜๐‘–) ยท ((๐‘ฆ โˆˆ ๐ฝ โ†ฆ ๐‘Œ)โ€˜๐‘—)) = 0 )
6129, 60sylan2b 592 . . . . 5 (((๐œ‘ โˆง (๐‘– โˆˆ ๐ผ โˆง ๐‘— โˆˆ ๐ฝ)) โˆง ยฌ ๐‘–(((๐‘ฅ โˆˆ ๐ผ โ†ฆ ๐‘‹) supp 0 ) ร— ((๐‘ฆ โˆˆ ๐ฝ โ†ฆ ๐‘Œ) supp 0 ))๐‘—) โ†’ (((๐‘ฅ โˆˆ ๐ผ โ†ฆ ๐‘‹)โ€˜๐‘–) ยท ((๐‘ฆ โˆˆ ๐ฝ โ†ฆ ๐‘Œ)โ€˜๐‘—)) = 0 )
6261anasss 465 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ((๐‘– โˆˆ ๐ผ โˆง ๐‘— โˆˆ ๐ฝ) โˆง ยฌ ๐‘–(((๐‘ฅ โˆˆ ๐ผ โ†ฆ ๐‘‹) supp 0 ) ร— ((๐‘ฆ โˆˆ ๐ฝ โ†ฆ ๐‘Œ) supp 0 ))๐‘—)) โ†’ (((๐‘ฅ โˆˆ ๐ผ โ†ฆ ๐‘‹)โ€˜๐‘–) ยท ((๐‘ฆ โˆˆ ๐ฝ โ†ฆ ๐‘Œ)โ€˜๐‘—)) = 0 )
631, 2, 4, 5, 7, 20, 26, 62gsum2d2 19883 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (๐‘… ฮฃg (๐‘– โˆˆ ๐ผ, ๐‘— โˆˆ ๐ฝ โ†ฆ (((๐‘ฅ โˆˆ ๐ผ โ†ฆ ๐‘‹)โ€˜๐‘–) ยท ((๐‘ฆ โˆˆ ๐ฝ โ†ฆ ๐‘Œ)โ€˜๐‘—)))) = (๐‘… ฮฃg (๐‘– โˆˆ ๐ผ โ†ฆ (๐‘… ฮฃg (๐‘— โˆˆ ๐ฝ โ†ฆ (((๐‘ฅ โˆˆ ๐ผ โ†ฆ ๐‘‹)โ€˜๐‘–) ยท ((๐‘ฆ โˆˆ ๐ฝ โ†ฆ ๐‘Œ)โ€˜๐‘—)))))))
64 nffvmpt1 6901 . . . . . . 7 โ„ฒ๐‘ฅ((๐‘ฅ โˆˆ ๐ผ โ†ฆ ๐‘‹)โ€˜๐‘–)
65 nfcv 2901 . . . . . . 7 โ„ฒ๐‘ฅ ยท
66 nfcv 2901 . . . . . . 7 โ„ฒ๐‘ฅ((๐‘ฆ โˆˆ ๐ฝ โ†ฆ ๐‘Œ)โ€˜๐‘—)
6764, 65, 66nfov 7441 . . . . . 6 โ„ฒ๐‘ฅ(((๐‘ฅ โˆˆ ๐ผ โ†ฆ ๐‘‹)โ€˜๐‘–) ยท ((๐‘ฆ โˆˆ ๐ฝ โ†ฆ ๐‘Œ)โ€˜๐‘—))
68 nfcv 2901 . . . . . . 7 โ„ฒ๐‘ฆ((๐‘ฅ โˆˆ ๐ผ โ†ฆ ๐‘‹)โ€˜๐‘–)
69 nfcv 2901 . . . . . . 7 โ„ฒ๐‘ฆ ยท
70 nffvmpt1 6901 . . . . . . 7 โ„ฒ๐‘ฆ((๐‘ฆ โˆˆ ๐ฝ โ†ฆ ๐‘Œ)โ€˜๐‘—)
7168, 69, 70nfov 7441 . . . . . 6 โ„ฒ๐‘ฆ(((๐‘ฅ โˆˆ ๐ผ โ†ฆ ๐‘‹)โ€˜๐‘–) ยท ((๐‘ฆ โˆˆ ๐ฝ โ†ฆ ๐‘Œ)โ€˜๐‘—))
72 nfcv 2901 . . . . . 6 โ„ฒ๐‘–(((๐‘ฅ โˆˆ ๐ผ โ†ฆ ๐‘‹)โ€˜๐‘ฅ) ยท ((๐‘ฆ โˆˆ ๐ฝ โ†ฆ ๐‘Œ)โ€˜๐‘ฆ))
73 nfcv 2901 . . . . . 6 โ„ฒ๐‘—(((๐‘ฅ โˆˆ ๐ผ โ†ฆ ๐‘‹)โ€˜๐‘ฅ) ยท ((๐‘ฆ โˆˆ ๐ฝ โ†ฆ ๐‘Œ)โ€˜๐‘ฆ))
74 fveq2 6890 . . . . . . 7 (๐‘– = ๐‘ฅ โ†’ ((๐‘ฅ โˆˆ ๐ผ โ†ฆ ๐‘‹)โ€˜๐‘–) = ((๐‘ฅ โˆˆ ๐ผ โ†ฆ ๐‘‹)โ€˜๐‘ฅ))
75 fveq2 6890 . . . . . . 7 (๐‘— = ๐‘ฆ โ†’ ((๐‘ฆ โˆˆ ๐ฝ โ†ฆ ๐‘Œ)โ€˜๐‘—) = ((๐‘ฆ โˆˆ ๐ฝ โ†ฆ ๐‘Œ)โ€˜๐‘ฆ))
7674, 75oveqan12d 7430 . . . . . 6 ((๐‘– = ๐‘ฅ โˆง ๐‘— = ๐‘ฆ) โ†’ (((๐‘ฅ โˆˆ ๐ผ โ†ฆ ๐‘‹)โ€˜๐‘–) ยท ((๐‘ฆ โˆˆ ๐ฝ โ†ฆ ๐‘Œ)โ€˜๐‘—)) = (((๐‘ฅ โˆˆ ๐ผ โ†ฆ ๐‘‹)โ€˜๐‘ฅ) ยท ((๐‘ฆ โˆˆ ๐ฝ โ†ฆ ๐‘Œ)โ€˜๐‘ฆ)))
7767, 71, 72, 73, 76cbvmpo 7505 . . . . 5 (๐‘– โˆˆ ๐ผ, ๐‘— โˆˆ ๐ฝ โ†ฆ (((๐‘ฅ โˆˆ ๐ผ โ†ฆ ๐‘‹)โ€˜๐‘–) ยท ((๐‘ฆ โˆˆ ๐ฝ โ†ฆ ๐‘Œ)โ€˜๐‘—))) = (๐‘ฅ โˆˆ ๐ผ, ๐‘ฆ โˆˆ ๐ฝ โ†ฆ (((๐‘ฅ โˆˆ ๐ผ โ†ฆ ๐‘‹)โ€˜๐‘ฅ) ยท ((๐‘ฆ โˆˆ ๐ฝ โ†ฆ ๐‘Œ)โ€˜๐‘ฆ)))
78 simp2 1135 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ผ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ฝ) โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ ๐ผ)
79103adant3 1130 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ผ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ฝ) โ†’ ๐‘‹ โˆˆ ๐ต)
80 eqid 2730 . . . . . . . . 9 (๐‘ฅ โˆˆ ๐ผ โ†ฆ ๐‘‹) = (๐‘ฅ โˆˆ ๐ผ โ†ฆ ๐‘‹)
8180fvmpt2 7008 . . . . . . . 8 ((๐‘ฅ โˆˆ ๐ผ โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โ†’ ((๐‘ฅ โˆˆ ๐ผ โ†ฆ ๐‘‹)โ€˜๐‘ฅ) = ๐‘‹)
8278, 79, 81syl2anc 582 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ผ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ฝ) โ†’ ((๐‘ฅ โˆˆ ๐ผ โ†ฆ ๐‘‹)โ€˜๐‘ฅ) = ๐‘‹)
83 simp3 1136 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ผ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ฝ) โ†’ ๐‘ฆ โˆˆ ๐ฝ)
84 eqid 2730 . . . . . . . . 9 (๐‘ฆ โˆˆ ๐ฝ โ†ฆ ๐‘Œ) = (๐‘ฆ โˆˆ ๐ฝ โ†ฆ ๐‘Œ)
8584fvmpt2 7008 . . . . . . . 8 ((๐‘ฆ โˆˆ ๐ฝ โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต) โ†’ ((๐‘ฆ โˆˆ ๐ฝ โ†ฆ ๐‘Œ)โ€˜๐‘ฆ) = ๐‘Œ)
8683, 15, 853imp3i2an 1343 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ผ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ฝ) โ†’ ((๐‘ฆ โˆˆ ๐ฝ โ†ฆ ๐‘Œ)โ€˜๐‘ฆ) = ๐‘Œ)
8782, 86oveq12d 7429 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ผ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ฝ) โ†’ (((๐‘ฅ โˆˆ ๐ผ โ†ฆ ๐‘‹)โ€˜๐‘ฅ) ยท ((๐‘ฆ โˆˆ ๐ฝ โ†ฆ ๐‘Œ)โ€˜๐‘ฆ)) = (๐‘‹ ยท ๐‘Œ))
8887mpoeq3dva 7488 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ ๐ผ, ๐‘ฆ โˆˆ ๐ฝ โ†ฆ (((๐‘ฅ โˆˆ ๐ผ โ†ฆ ๐‘‹)โ€˜๐‘ฅ) ยท ((๐‘ฆ โˆˆ ๐ฝ โ†ฆ ๐‘Œ)โ€˜๐‘ฆ))) = (๐‘ฅ โˆˆ ๐ผ, ๐‘ฆ โˆˆ ๐ฝ โ†ฆ (๐‘‹ ยท ๐‘Œ)))
8977, 88eqtrid 2782 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (๐‘– โˆˆ ๐ผ, ๐‘— โˆˆ ๐ฝ โ†ฆ (((๐‘ฅ โˆˆ ๐ผ โ†ฆ ๐‘‹)โ€˜๐‘–) ยท ((๐‘ฆ โˆˆ ๐ฝ โ†ฆ ๐‘Œ)โ€˜๐‘—))) = (๐‘ฅ โˆˆ ๐ผ, ๐‘ฆ โˆˆ ๐ฝ โ†ฆ (๐‘‹ ยท ๐‘Œ)))
9089oveq2d 7427 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (๐‘… ฮฃg (๐‘– โˆˆ ๐ผ, ๐‘— โˆˆ ๐ฝ โ†ฆ (((๐‘ฅ โˆˆ ๐ผ โ†ฆ ๐‘‹)โ€˜๐‘–) ยท ((๐‘ฆ โˆˆ ๐ฝ โ†ฆ ๐‘Œ)โ€˜๐‘—)))) = (๐‘… ฮฃg (๐‘ฅ โˆˆ ๐ผ, ๐‘ฆ โˆˆ ๐ฝ โ†ฆ (๐‘‹ ยท ๐‘Œ))))
91 nfcv 2901 . . . . . . 7 โ„ฒ๐‘ฅ๐‘…
92 nfcv 2901 . . . . . . 7 โ„ฒ๐‘ฅ ฮฃg
93 nfcv 2901 . . . . . . . 8 โ„ฒ๐‘ฅ๐ฝ
9493, 67nfmpt 5254 . . . . . . 7 โ„ฒ๐‘ฅ(๐‘— โˆˆ ๐ฝ โ†ฆ (((๐‘ฅ โˆˆ ๐ผ โ†ฆ ๐‘‹)โ€˜๐‘–) ยท ((๐‘ฆ โˆˆ ๐ฝ โ†ฆ ๐‘Œ)โ€˜๐‘—)))
9591, 92, 94nfov 7441 . . . . . 6 โ„ฒ๐‘ฅ(๐‘… ฮฃg (๐‘— โˆˆ ๐ฝ โ†ฆ (((๐‘ฅ โˆˆ ๐ผ โ†ฆ ๐‘‹)โ€˜๐‘–) ยท ((๐‘ฆ โˆˆ ๐ฝ โ†ฆ ๐‘Œ)โ€˜๐‘—))))
96 nfcv 2901 . . . . . 6 โ„ฒ๐‘–(๐‘… ฮฃg (๐‘ฆ โˆˆ ๐ฝ โ†ฆ (((๐‘ฅ โˆˆ ๐ผ โ†ฆ ๐‘‹)โ€˜๐‘ฅ) ยท ((๐‘ฆ โˆˆ ๐ฝ โ†ฆ ๐‘Œ)โ€˜๐‘ฆ))))
9774oveq1d 7426 . . . . . . . . 9 (๐‘– = ๐‘ฅ โ†’ (((๐‘ฅ โˆˆ ๐ผ โ†ฆ ๐‘‹)โ€˜๐‘–) ยท ((๐‘ฆ โˆˆ ๐ฝ โ†ฆ ๐‘Œ)โ€˜๐‘—)) = (((๐‘ฅ โˆˆ ๐ผ โ†ฆ ๐‘‹)โ€˜๐‘ฅ) ยท ((๐‘ฆ โˆˆ ๐ฝ โ†ฆ ๐‘Œ)โ€˜๐‘—)))
9897mpteq2dv 5249 . . . . . . . 8 (๐‘– = ๐‘ฅ โ†’ (๐‘— โˆˆ ๐ฝ โ†ฆ (((๐‘ฅ โˆˆ ๐ผ โ†ฆ ๐‘‹)โ€˜๐‘–) ยท ((๐‘ฆ โˆˆ ๐ฝ โ†ฆ ๐‘Œ)โ€˜๐‘—))) = (๐‘— โˆˆ ๐ฝ โ†ฆ (((๐‘ฅ โˆˆ ๐ผ โ†ฆ ๐‘‹)โ€˜๐‘ฅ) ยท ((๐‘ฆ โˆˆ ๐ฝ โ†ฆ ๐‘Œ)โ€˜๐‘—))))
99 nfcv 2901 . . . . . . . . . 10 โ„ฒ๐‘ฆ((๐‘ฅ โˆˆ ๐ผ โ†ฆ ๐‘‹)โ€˜๐‘ฅ)
10099, 69, 70nfov 7441 . . . . . . . . 9 โ„ฒ๐‘ฆ(((๐‘ฅ โˆˆ ๐ผ โ†ฆ ๐‘‹)โ€˜๐‘ฅ) ยท ((๐‘ฆ โˆˆ ๐ฝ โ†ฆ ๐‘Œ)โ€˜๐‘—))
10175oveq2d 7427 . . . . . . . . 9 (๐‘— = ๐‘ฆ โ†’ (((๐‘ฅ โˆˆ ๐ผ โ†ฆ ๐‘‹)โ€˜๐‘ฅ) ยท ((๐‘ฆ โˆˆ ๐ฝ โ†ฆ ๐‘Œ)โ€˜๐‘—)) = (((๐‘ฅ โˆˆ ๐ผ โ†ฆ ๐‘‹)โ€˜๐‘ฅ) ยท ((๐‘ฆ โˆˆ ๐ฝ โ†ฆ ๐‘Œ)โ€˜๐‘ฆ)))
102100, 73, 101cbvmpt 5258 . . . . . . . 8 (๐‘— โˆˆ ๐ฝ โ†ฆ (((๐‘ฅ โˆˆ ๐ผ โ†ฆ ๐‘‹)โ€˜๐‘ฅ) ยท ((๐‘ฆ โˆˆ ๐ฝ โ†ฆ ๐‘Œ)โ€˜๐‘—))) = (๐‘ฆ โˆˆ ๐ฝ โ†ฆ (((๐‘ฅ โˆˆ ๐ผ โ†ฆ ๐‘‹)โ€˜๐‘ฅ) ยท ((๐‘ฆ โˆˆ ๐ฝ โ†ฆ ๐‘Œ)โ€˜๐‘ฆ)))
10398, 102eqtrdi 2786 . . . . . . 7 (๐‘– = ๐‘ฅ โ†’ (๐‘— โˆˆ ๐ฝ โ†ฆ (((๐‘ฅ โˆˆ ๐ผ โ†ฆ ๐‘‹)โ€˜๐‘–) ยท ((๐‘ฆ โˆˆ ๐ฝ โ†ฆ ๐‘Œ)โ€˜๐‘—))) = (๐‘ฆ โˆˆ ๐ฝ โ†ฆ (((๐‘ฅ โˆˆ ๐ผ โ†ฆ ๐‘‹)โ€˜๐‘ฅ) ยท ((๐‘ฆ โˆˆ ๐ฝ โ†ฆ ๐‘Œ)โ€˜๐‘ฆ))))
104103oveq2d 7427 . . . . . 6 (๐‘– = ๐‘ฅ โ†’ (๐‘… ฮฃg (๐‘— โˆˆ ๐ฝ โ†ฆ (((๐‘ฅ โˆˆ ๐ผ โ†ฆ ๐‘‹)โ€˜๐‘–) ยท ((๐‘ฆ โˆˆ ๐ฝ โ†ฆ ๐‘Œ)โ€˜๐‘—)))) = (๐‘… ฮฃg (๐‘ฆ โˆˆ ๐ฝ โ†ฆ (((๐‘ฅ โˆˆ ๐ผ โ†ฆ ๐‘‹)โ€˜๐‘ฅ) ยท ((๐‘ฆ โˆˆ ๐ฝ โ†ฆ ๐‘Œ)โ€˜๐‘ฆ)))))
10595, 96, 104cbvmpt 5258 . . . . 5 (๐‘– โˆˆ ๐ผ โ†ฆ (๐‘… ฮฃg (๐‘— โˆˆ ๐ฝ โ†ฆ (((๐‘ฅ โˆˆ ๐ผ โ†ฆ ๐‘‹)โ€˜๐‘–) ยท ((๐‘ฆ โˆˆ ๐ฝ โ†ฆ ๐‘Œ)โ€˜๐‘—))))) = (๐‘ฅ โˆˆ ๐ผ โ†ฆ (๐‘… ฮฃg (๐‘ฆ โˆˆ ๐ฝ โ†ฆ (((๐‘ฅ โˆˆ ๐ผ โ†ฆ ๐‘‹)โ€˜๐‘ฅ) ยท ((๐‘ฆ โˆˆ ๐ฝ โ†ฆ ๐‘Œ)โ€˜๐‘ฆ)))))
106873expa 1116 . . . . . . . 8 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ผ) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ฝ) โ†’ (((๐‘ฅ โˆˆ ๐ผ โ†ฆ ๐‘‹)โ€˜๐‘ฅ) ยท ((๐‘ฆ โˆˆ ๐ฝ โ†ฆ ๐‘Œ)โ€˜๐‘ฆ)) = (๐‘‹ ยท ๐‘Œ))
107106mpteq2dva 5247 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ผ) โ†’ (๐‘ฆ โˆˆ ๐ฝ โ†ฆ (((๐‘ฅ โˆˆ ๐ผ โ†ฆ ๐‘‹)โ€˜๐‘ฅ) ยท ((๐‘ฆ โˆˆ ๐ฝ โ†ฆ ๐‘Œ)โ€˜๐‘ฆ))) = (๐‘ฆ โˆˆ ๐ฝ โ†ฆ (๐‘‹ ยท ๐‘Œ)))
108107oveq2d 7427 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ผ) โ†’ (๐‘… ฮฃg (๐‘ฆ โˆˆ ๐ฝ โ†ฆ (((๐‘ฅ โˆˆ ๐ผ โ†ฆ ๐‘‹)โ€˜๐‘ฅ) ยท ((๐‘ฆ โˆˆ ๐ฝ โ†ฆ ๐‘Œ)โ€˜๐‘ฆ)))) = (๐‘… ฮฃg (๐‘ฆ โˆˆ ๐ฝ โ†ฆ (๐‘‹ ยท ๐‘Œ))))
109108mpteq2dva 5247 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ ๐ผ โ†ฆ (๐‘… ฮฃg (๐‘ฆ โˆˆ ๐ฝ โ†ฆ (((๐‘ฅ โˆˆ ๐ผ โ†ฆ ๐‘‹)โ€˜๐‘ฅ) ยท ((๐‘ฆ โˆˆ ๐ฝ โ†ฆ ๐‘Œ)โ€˜๐‘ฆ))))) = (๐‘ฅ โˆˆ ๐ผ โ†ฆ (๐‘… ฮฃg (๐‘ฆ โˆˆ ๐ฝ โ†ฆ (๐‘‹ ยท ๐‘Œ)))))
110105, 109eqtrid 2782 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (๐‘– โˆˆ ๐ผ โ†ฆ (๐‘… ฮฃg (๐‘— โˆˆ ๐ฝ โ†ฆ (((๐‘ฅ โˆˆ ๐ผ โ†ฆ ๐‘‹)โ€˜๐‘–) ยท ((๐‘ฆ โˆˆ ๐ฝ โ†ฆ ๐‘Œ)โ€˜๐‘—))))) = (๐‘ฅ โˆˆ ๐ผ โ†ฆ (๐‘… ฮฃg (๐‘ฆ โˆˆ ๐ฝ โ†ฆ (๐‘‹ ยท ๐‘Œ)))))
111110oveq2d 7427 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (๐‘… ฮฃg (๐‘– โˆˆ ๐ผ โ†ฆ (๐‘… ฮฃg (๐‘— โˆˆ ๐ฝ โ†ฆ (((๐‘ฅ โˆˆ ๐ผ โ†ฆ ๐‘‹)โ€˜๐‘–) ยท ((๐‘ฆ โˆˆ ๐ฝ โ†ฆ ๐‘Œ)โ€˜๐‘—)))))) = (๐‘… ฮฃg (๐‘ฅ โˆˆ ๐ผ โ†ฆ (๐‘… ฮฃg (๐‘ฆ โˆˆ ๐ฝ โ†ฆ (๐‘‹ ยท ๐‘Œ))))))
11263, 90, 1113eqtr3d 2778 . 2 (๐œ‘ โ†’ (๐‘… ฮฃg (๐‘ฅ โˆˆ ๐ผ, ๐‘ฆ โˆˆ ๐ฝ โ†ฆ (๐‘‹ ยท ๐‘Œ))) = (๐‘… ฮฃg (๐‘ฅ โˆˆ ๐ผ โ†ฆ (๐‘… ฮฃg (๐‘ฆ โˆˆ ๐ฝ โ†ฆ (๐‘‹ ยท ๐‘Œ))))))
1133adantr 479 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ผ) โ†’ ๐‘… โˆˆ Ring)
1146adantr 479 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ผ) โ†’ ๐ฝ โˆˆ ๐‘Š)
11515adantlr 711 . . . . 5 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ผ) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ฝ) โ†’ ๐‘Œ โˆˆ ๐ต)
11623adantr 479 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ผ) โ†’ (๐‘ฆ โˆˆ ๐ฝ โ†ฆ ๐‘Œ) finSupp 0 )
1171, 2, 8, 113, 114, 10, 115, 116gsummulc2 20205 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ผ) โ†’ (๐‘… ฮฃg (๐‘ฆ โˆˆ ๐ฝ โ†ฆ (๐‘‹ ยท ๐‘Œ))) = (๐‘‹ ยท (๐‘… ฮฃg (๐‘ฆ โˆˆ ๐ฝ โ†ฆ ๐‘Œ))))
118117mpteq2dva 5247 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ ๐ผ โ†ฆ (๐‘… ฮฃg (๐‘ฆ โˆˆ ๐ฝ โ†ฆ (๐‘‹ ยท ๐‘Œ)))) = (๐‘ฅ โˆˆ ๐ผ โ†ฆ (๐‘‹ ยท (๐‘… ฮฃg (๐‘ฆ โˆˆ ๐ฝ โ†ฆ ๐‘Œ)))))
119118oveq2d 7427 . 2 (๐œ‘ โ†’ (๐‘… ฮฃg (๐‘ฅ โˆˆ ๐ผ โ†ฆ (๐‘… ฮฃg (๐‘ฆ โˆˆ ๐ฝ โ†ฆ (๐‘‹ ยท ๐‘Œ))))) = (๐‘… ฮฃg (๐‘ฅ โˆˆ ๐ผ โ†ฆ (๐‘‹ ยท (๐‘… ฮฃg (๐‘ฆ โˆˆ ๐ฝ โ†ฆ ๐‘Œ))))))
1201, 2, 4, 6, 16, 23gsumcl 19824 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (๐‘… ฮฃg (๐‘ฆ โˆˆ ๐ฝ โ†ฆ ๐‘Œ)) โˆˆ ๐ต)
1211, 2, 8, 3, 5, 120, 10, 21gsummulc1 20204 . 2 (๐œ‘ โ†’ (๐‘… ฮฃg (๐‘ฅ โˆˆ ๐ผ โ†ฆ (๐‘‹ ยท (๐‘… ฮฃg (๐‘ฆ โˆˆ ๐ฝ โ†ฆ ๐‘Œ))))) = ((๐‘… ฮฃg (๐‘ฅ โˆˆ ๐ผ โ†ฆ ๐‘‹)) ยท (๐‘… ฮฃg (๐‘ฆ โˆˆ ๐ฝ โ†ฆ ๐‘Œ))))
122112, 119, 1213eqtrrd 2775 1 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘… ฮฃg (๐‘ฅ โˆˆ ๐ผ โ†ฆ ๐‘‹)) ยท (๐‘… ฮฃg (๐‘ฆ โˆˆ ๐ฝ โ†ฆ ๐‘Œ))) = (๐‘… ฮฃg (๐‘ฅ โˆˆ ๐ผ, ๐‘ฆ โˆˆ ๐ฝ โ†ฆ (๐‘‹ ยท ๐‘Œ))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ยฌ wn 3   โ†’ wi 4   โˆง wa 394   โˆจ wo 843   โˆง w3a 1085   = wceq 1539   โˆˆ wcel 2104  Vcvv 3472   โˆ– cdif 3944   class class class wbr 5147   โ†ฆ cmpt 5230   ร— cxp 5673  โŸถwf 6538  โ€˜cfv 6542  (class class class)co 7411   โˆˆ cmpo 7413   supp csupp 8148  Fincfn 8941   finSupp cfsupp 9363  Basecbs 17148  .rcmulr 17202  0gc0g 17389   ฮฃg cgsu 17390  Ringcrg 20127
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-se 5631  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-isom 6551  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-of 7672  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-supp 8149  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-er 8705  df-map 8824  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-fsupp 9364  df-oi 9507  df-card 9936  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-nn 12217  df-2 12279  df-n0 12477  df-z 12563  df-uz 12827  df-fz 13489  df-fzo 13632  df-seq 13971  df-hash 14295  df-sets 17101  df-slot 17119  df-ndx 17131  df-base 17149  df-ress 17178  df-plusg 17214  df-0g 17391  df-gsum 17392  df-mre 17534  df-mrc 17535  df-acs 17537  df-mgm 18565  df-sgrp 18644  df-mnd 18660  df-mhm 18705  df-submnd 18706  df-grp 18858  df-minusg 18859  df-mulg 18987  df-ghm 19128  df-cntz 19222  df-cmn 19691  df-abl 19692  df-mgp 20029  df-rng 20047  df-ur 20076  df-ring 20129
This theorem is referenced by:  evlslem2  21861
  Copyright terms: Public domain W3C validator