Theorem gsumdixp 18996

Description: Distribute a binary product of sums to a sum of binary products in a ring. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Mar-2015.) (Revised by AV, 10-Jul-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
gsumdixp.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
gsumdixp.t	⊢ · = (.r‘𝑅)
gsumdixp.z	⊢ 0 = (0g‘𝑅)
gsumdixp.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
gsumdixp.j	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ 𝑊)
gsumdixp.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
gsumdixp.x	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → 𝑋 ∈ 𝐵)
gsumdixp.y	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐽) → 𝑌 ∈ 𝐵)
gsumdixp.xf	⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑋) finSupp 0 )
gsumdixp.yf	⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ 𝐽 ↦ 𝑌) finSupp 0 )

Assertion

Ref	Expression
gsumdixp	⊢ (𝜑 → ((𝑅 Σg (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑋)) · (𝑅 Σg (𝑦 ∈ 𝐽 ↦ 𝑌))) = (𝑅 Σg (𝑥 ∈ 𝐼, 𝑦 ∈ 𝐽 ↦ (𝑋 · 𝑌))))

Distinct variable groups:   𝜑,𝑥,𝑦   𝑥,𝐵,𝑦   𝑥,𝐼,𝑦   𝑥,𝐽,𝑦   𝑥,𝑅   𝑥, · ,𝑦   𝑦,𝑋   𝑥,𝑌

Allowed substitution hints:   𝑅(𝑦)   𝑉(𝑥,𝑦)   𝑊(𝑥,𝑦)   𝑋(𝑥)   𝑌(𝑦)   0 (𝑥,𝑦)

Proof of Theorem gsumdixp

Dummy variables 𝑖 𝑗 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		gsumdixp.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
2		gsumdixp.z	. . . 4 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
3		gsumdixp.r	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
4		ringcmn 18968	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ CMnd)
5	3, 4	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CMnd)
6		gsumdixp.i	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
7		gsumdixp.j	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ 𝑊)
8	7	adantr 474	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) → 𝐽 ∈ 𝑊)
9	3	adantr 474	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝐼 ∧ 𝑗 ∈ 𝐽)) → 𝑅 ∈ Ring)
10		gsumdixp.x	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → 𝑋 ∈ 𝐵)
11	10	fmpttd 6649	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑋):𝐼⟶𝐵)
12		simpl 476	. . . . . 6 ⊢ ((𝑖 ∈ 𝐼 ∧ 𝑗 ∈ 𝐽) → 𝑖 ∈ 𝐼)
13		ffvelrn 6621	. . . . . 6 ⊢ (((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑋):𝐼⟶𝐵 ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) → ((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑋)‘𝑖) ∈ 𝐵)
14	11, 12, 13	syl2an 589	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝐼 ∧ 𝑗 ∈ 𝐽)) → ((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑋)‘𝑖) ∈ 𝐵)
15		gsumdixp.y	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐽) → 𝑌 ∈ 𝐵)
16	15	fmpttd 6649	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ 𝐽 ↦ 𝑌):𝐽⟶𝐵)
17		simpr 479	. . . . . 6 ⊢ ((𝑖 ∈ 𝐼 ∧ 𝑗 ∈ 𝐽) → 𝑗 ∈ 𝐽)
18		ffvelrn 6621	. . . . . 6 ⊢ (((𝑦 ∈ 𝐽 ↦ 𝑌):𝐽⟶𝐵 ∧ 𝑗 ∈ 𝐽) → ((𝑦 ∈ 𝐽 ↦ 𝑌)‘𝑗) ∈ 𝐵)
19	16, 17, 18	syl2an 589	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝐼 ∧ 𝑗 ∈ 𝐽)) → ((𝑦 ∈ 𝐽 ↦ 𝑌)‘𝑗) ∈ 𝐵)
20		gsumdixp.t	. . . . . 6 ⊢ · = (.r‘𝑅)
21	1, 20	ringcl 18948	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ ((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑋)‘𝑖) ∈ 𝐵 ∧ ((𝑦 ∈ 𝐽 ↦ 𝑌)‘𝑗) ∈ 𝐵) → (((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑋)‘𝑖) · ((𝑦 ∈ 𝐽 ↦ 𝑌)‘𝑗)) ∈ 𝐵)
22	9, 14, 19, 21	syl3anc 1439	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝐼 ∧ 𝑗 ∈ 𝐽)) → (((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑋)‘𝑖) · ((𝑦 ∈ 𝐽 ↦ 𝑌)‘𝑗)) ∈ 𝐵)
23		gsumdixp.xf	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑋) finSupp 0 )
24	23	fsuppimpd 8570	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑋) supp 0 ) ∈ Fin)
25		gsumdixp.yf	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ 𝐽 ↦ 𝑌) finSupp 0 )
26	25	fsuppimpd 8570	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑦 ∈ 𝐽 ↦ 𝑌) supp 0 ) ∈ Fin)
27		xpfi 8519	. . . . 5 ⊢ ((((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑋) supp 0 ) ∈ Fin ∧ ((𝑦 ∈ 𝐽 ↦ 𝑌) supp 0 ) ∈ Fin) → (((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑋) supp 0 ) × ((𝑦 ∈ 𝐽 ↦ 𝑌) supp 0 )) ∈ Fin)
28	24, 26, 27	syl2anc 579	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑋) supp 0 ) × ((𝑦 ∈ 𝐽 ↦ 𝑌) supp 0 )) ∈ Fin)
29		ianor 967	. . . . . . 7 ⊢ (¬ (𝑖 ∈ ((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑋) supp 0 ) ∧ 𝑗 ∈ ((𝑦 ∈ 𝐽 ↦ 𝑌) supp 0 )) ↔ (¬ 𝑖 ∈ ((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑋) supp 0 ) ∨ ¬ 𝑗 ∈ ((𝑦 ∈ 𝐽 ↦ 𝑌) supp 0 )))
30		brxp 5401	. . . . . . 7 ⊢ (𝑖(((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑋) supp 0 ) × ((𝑦 ∈ 𝐽 ↦ 𝑌) supp 0 ))𝑗 ↔ (𝑖 ∈ ((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑋) supp 0 ) ∧ 𝑗 ∈ ((𝑦 ∈ 𝐽 ↦ 𝑌) supp 0 )))
31	29, 30	xchnxbir 325	. . . . . 6 ⊢ (¬ 𝑖(((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑋) supp 0 ) × ((𝑦 ∈ 𝐽 ↦ 𝑌) supp 0 ))𝑗 ↔ (¬ 𝑖 ∈ ((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑋) supp 0 ) ∨ ¬ 𝑗 ∈ ((𝑦 ∈ 𝐽 ↦ 𝑌) supp 0 )))
32		simprl 761	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝐼 ∧ 𝑗 ∈ 𝐽)) → 𝑖 ∈ 𝐼)
33		eldif 3802	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑖 ∈ (𝐼 ∖ ((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑋) supp 0 )) ↔ (𝑖 ∈ 𝐼 ∧ ¬ 𝑖 ∈ ((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑋) supp 0 )))
34	33	biimpri 220	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑖 ∈ 𝐼 ∧ ¬ 𝑖 ∈ ((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑋) supp 0 )) → 𝑖 ∈ (𝐼 ∖ ((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑋) supp 0 )))
35	32, 34	sylan 575	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝐼 ∧ 𝑗 ∈ 𝐽)) ∧ ¬ 𝑖 ∈ ((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑋) supp 0 )) → 𝑖 ∈ (𝐼 ∖ ((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑋) supp 0 )))
36	11	adantr 474	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝐼 ∧ 𝑗 ∈ 𝐽)) → (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑋):𝐼⟶𝐵)
37		ssidd 3843	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝐼 ∧ 𝑗 ∈ 𝐽)) → ((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑋) supp 0 ) ⊆ ((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑋) supp 0 ))
38	6	adantr 474	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝐼 ∧ 𝑗 ∈ 𝐽)) → 𝐼 ∈ 𝑉)
39	2	fvexi 6460	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 0 ∈ V
40	39	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝐼 ∧ 𝑗 ∈ 𝐽)) → 0 ∈ V)
41	36, 37, 38, 40	suppssr 7608	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝐼 ∧ 𝑗 ∈ 𝐽)) ∧ 𝑖 ∈ (𝐼 ∖ ((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑋) supp 0 ))) → ((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑋)‘𝑖) = 0 )
42	35, 41	syldan 585	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝐼 ∧ 𝑗 ∈ 𝐽)) ∧ ¬ 𝑖 ∈ ((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑋) supp 0 )) → ((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑋)‘𝑖) = 0 )
43	42	oveq1d 6937	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝐼 ∧ 𝑗 ∈ 𝐽)) ∧ ¬ 𝑖 ∈ ((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑋) supp 0 )) → (((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑋)‘𝑖) · ((𝑦 ∈ 𝐽 ↦ 𝑌)‘𝑗)) = ( 0 · ((𝑦 ∈ 𝐽 ↦ 𝑌)‘𝑗)))
44	1, 20, 2	ringlz 18974	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ ((𝑦 ∈ 𝐽 ↦ 𝑌)‘𝑗) ∈ 𝐵) → ( 0 · ((𝑦 ∈ 𝐽 ↦ 𝑌)‘𝑗)) = 0 )
45	9, 19, 44	syl2anc 579	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝐼 ∧ 𝑗 ∈ 𝐽)) → ( 0 · ((𝑦 ∈ 𝐽 ↦ 𝑌)‘𝑗)) = 0 )
46	45	adantr 474	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝐼 ∧ 𝑗 ∈ 𝐽)) ∧ ¬ 𝑖 ∈ ((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑋) supp 0 )) → ( 0 · ((𝑦 ∈ 𝐽 ↦ 𝑌)‘𝑗)) = 0 )
47	43, 46	eqtrd 2814	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝐼 ∧ 𝑗 ∈ 𝐽)) ∧ ¬ 𝑖 ∈ ((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑋) supp 0 )) → (((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑋)‘𝑖) · ((𝑦 ∈ 𝐽 ↦ 𝑌)‘𝑗)) = 0 )
48		simprr 763	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝐼 ∧ 𝑗 ∈ 𝐽)) → 𝑗 ∈ 𝐽)
49		eldif 3802	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑗 ∈ (𝐽 ∖ ((𝑦 ∈ 𝐽 ↦ 𝑌) supp 0 )) ↔ (𝑗 ∈ 𝐽 ∧ ¬ 𝑗 ∈ ((𝑦 ∈ 𝐽 ↦ 𝑌) supp 0 )))
50	49	biimpri 220	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑗 ∈ 𝐽 ∧ ¬ 𝑗 ∈ ((𝑦 ∈ 𝐽 ↦ 𝑌) supp 0 )) → 𝑗 ∈ (𝐽 ∖ ((𝑦 ∈ 𝐽 ↦ 𝑌) supp 0 )))
51	48, 50	sylan 575	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝐼 ∧ 𝑗 ∈ 𝐽)) ∧ ¬ 𝑗 ∈ ((𝑦 ∈ 𝐽 ↦ 𝑌) supp 0 )) → 𝑗 ∈ (𝐽 ∖ ((𝑦 ∈ 𝐽 ↦ 𝑌) supp 0 )))
52	16	adantr 474	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝐼 ∧ 𝑗 ∈ 𝐽)) → (𝑦 ∈ 𝐽 ↦ 𝑌):𝐽⟶𝐵)
53		ssidd 3843	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝐼 ∧ 𝑗 ∈ 𝐽)) → ((𝑦 ∈ 𝐽 ↦ 𝑌) supp 0 ) ⊆ ((𝑦 ∈ 𝐽 ↦ 𝑌) supp 0 ))
54	7	adantr 474	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝐼 ∧ 𝑗 ∈ 𝐽)) → 𝐽 ∈ 𝑊)
55	52, 53, 54, 40	suppssr 7608	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝐼 ∧ 𝑗 ∈ 𝐽)) ∧ 𝑗 ∈ (𝐽 ∖ ((𝑦 ∈ 𝐽 ↦ 𝑌) supp 0 ))) → ((𝑦 ∈ 𝐽 ↦ 𝑌)‘𝑗) = 0 )
56	51, 55	syldan 585	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝐼 ∧ 𝑗 ∈ 𝐽)) ∧ ¬ 𝑗 ∈ ((𝑦 ∈ 𝐽 ↦ 𝑌) supp 0 )) → ((𝑦 ∈ 𝐽 ↦ 𝑌)‘𝑗) = 0 )
57	56	oveq2d 6938	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝐼 ∧ 𝑗 ∈ 𝐽)) ∧ ¬ 𝑗 ∈ ((𝑦 ∈ 𝐽 ↦ 𝑌) supp 0 )) → (((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑋)‘𝑖) · ((𝑦 ∈ 𝐽 ↦ 𝑌)‘𝑗)) = (((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑋)‘𝑖) · 0 ))
58	1, 20, 2	ringrz 18975	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ ((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑋)‘𝑖) ∈ 𝐵) → (((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑋)‘𝑖) · 0 ) = 0 )
59	9, 14, 58	syl2anc 579	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝐼 ∧ 𝑗 ∈ 𝐽)) → (((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑋)‘𝑖) · 0 ) = 0 )
60	59	adantr 474	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝐼 ∧ 𝑗 ∈ 𝐽)) ∧ ¬ 𝑗 ∈ ((𝑦 ∈ 𝐽 ↦ 𝑌) supp 0 )) → (((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑋)‘𝑖) · 0 ) = 0 )
61	57, 60	eqtrd 2814	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝐼 ∧ 𝑗 ∈ 𝐽)) ∧ ¬ 𝑗 ∈ ((𝑦 ∈ 𝐽 ↦ 𝑌) supp 0 )) → (((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑋)‘𝑖) · ((𝑦 ∈ 𝐽 ↦ 𝑌)‘𝑗)) = 0 )
62	47, 61	jaodan 943	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝐼 ∧ 𝑗 ∈ 𝐽)) ∧ (¬ 𝑖 ∈ ((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑋) supp 0 ) ∨ ¬ 𝑗 ∈ ((𝑦 ∈ 𝐽 ↦ 𝑌) supp 0 ))) → (((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑋)‘𝑖) · ((𝑦 ∈ 𝐽 ↦ 𝑌)‘𝑗)) = 0 )
63	31, 62	sylan2b 587	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝐼 ∧ 𝑗 ∈ 𝐽)) ∧ ¬ 𝑖(((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑋) supp 0 ) × ((𝑦 ∈ 𝐽 ↦ 𝑌) supp 0 ))𝑗) → (((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑋)‘𝑖) · ((𝑦 ∈ 𝐽 ↦ 𝑌)‘𝑗)) = 0 )
64	63	anasss 460	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑖 ∈ 𝐼 ∧ 𝑗 ∈ 𝐽) ∧ ¬ 𝑖(((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑋) supp 0 ) × ((𝑦 ∈ 𝐽 ↦ 𝑌) supp 0 ))𝑗)) → (((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑋)‘𝑖) · ((𝑦 ∈ 𝐽 ↦ 𝑌)‘𝑗)) = 0 )
65	1, 2, 5, 6, 8, 22, 28, 64	gsum2d2 18759	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑅 Σg (𝑖 ∈ 𝐼, 𝑗 ∈ 𝐽 ↦ (((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑋)‘𝑖) · ((𝑦 ∈ 𝐽 ↦ 𝑌)‘𝑗)))) = (𝑅 Σg (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ (𝑅 Σg (𝑗 ∈ 𝐽 ↦ (((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑋)‘𝑖) · ((𝑦 ∈ 𝐽 ↦ 𝑌)‘𝑗)))))))
66		nffvmpt1 6457	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑥((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑋)‘𝑖)
67		nfcv 2934	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑥 ·
68		nfcv 2934	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑥((𝑦 ∈ 𝐽 ↦ 𝑌)‘𝑗)
69	66, 67, 68	nfov 6952	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑥(((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑋)‘𝑖) · ((𝑦 ∈ 𝐽 ↦ 𝑌)‘𝑗))
70		nfcv 2934	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑦((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑋)‘𝑖)
71		nfcv 2934	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑦 ·
72		nffvmpt1 6457	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑦((𝑦 ∈ 𝐽 ↦ 𝑌)‘𝑗)
73	70, 71, 72	nfov 6952	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑦(((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑋)‘𝑖) · ((𝑦 ∈ 𝐽 ↦ 𝑌)‘𝑗))
74		nfcv 2934	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑖(((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑋)‘𝑥) · ((𝑦 ∈ 𝐽 ↦ 𝑌)‘𝑦))
75		nfcv 2934	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑗(((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑋)‘𝑥) · ((𝑦 ∈ 𝐽 ↦ 𝑌)‘𝑦))
76		fveq2 6446	. . . . . . 7 ⊢ (𝑖 = 𝑥 → ((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑋)‘𝑖) = ((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑋)‘𝑥))
77		fveq2 6446	. . . . . . 7 ⊢ (𝑗 = 𝑦 → ((𝑦 ∈ 𝐽 ↦ 𝑌)‘𝑗) = ((𝑦 ∈ 𝐽 ↦ 𝑌)‘𝑦))
78	76, 77	oveqan12d 6941	. . . . . 6 ⊢ ((𝑖 = 𝑥 ∧ 𝑗 = 𝑦) → (((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑋)‘𝑖) · ((𝑦 ∈ 𝐽 ↦ 𝑌)‘𝑗)) = (((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑋)‘𝑥) · ((𝑦 ∈ 𝐽 ↦ 𝑌)‘𝑦)))
79	69, 73, 74, 75, 78	cbvmpt2 7011	. . . . 5 ⊢ (𝑖 ∈ 𝐼, 𝑗 ∈ 𝐽 ↦ (((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑋)‘𝑖) · ((𝑦 ∈ 𝐽 ↦ 𝑌)‘𝑗))) = (𝑥 ∈ 𝐼, 𝑦 ∈ 𝐽 ↦ (((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑋)‘𝑥) · ((𝑦 ∈ 𝐽 ↦ 𝑌)‘𝑦)))
80		simp2 1128	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼 ∧ 𝑦 ∈ 𝐽) → 𝑥 ∈ 𝐼)
81	10	3adant3 1123	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼 ∧ 𝑦 ∈ 𝐽) → 𝑋 ∈ 𝐵)
82		eqid 2778	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑋) = (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑋)
83	82	fvmpt2 6552	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐼 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑋)‘𝑥) = 𝑋)
84	80, 81, 83	syl2anc 579	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼 ∧ 𝑦 ∈ 𝐽) → ((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑋)‘𝑥) = 𝑋)
85		simp3 1129	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼 ∧ 𝑦 ∈ 𝐽) → 𝑦 ∈ 𝐽)
86		eqid 2778	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐽 ↦ 𝑌) = (𝑦 ∈ 𝐽 ↦ 𝑌)
87	86	fvmpt2 6552	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐽 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ((𝑦 ∈ 𝐽 ↦ 𝑌)‘𝑦) = 𝑌)
88	85, 15, 87	3imp3i2an 1407	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼 ∧ 𝑦 ∈ 𝐽) → ((𝑦 ∈ 𝐽 ↦ 𝑌)‘𝑦) = 𝑌)
89	84, 88	oveq12d 6940	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼 ∧ 𝑦 ∈ 𝐽) → (((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑋)‘𝑥) · ((𝑦 ∈ 𝐽 ↦ 𝑌)‘𝑦)) = (𝑋 · 𝑌))
90	89	mpt2eq3dva 6996	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐼, 𝑦 ∈ 𝐽 ↦ (((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑋)‘𝑥) · ((𝑦 ∈ 𝐽 ↦ 𝑌)‘𝑦))) = (𝑥 ∈ 𝐼, 𝑦 ∈ 𝐽 ↦ (𝑋 · 𝑌)))
91	79, 90	syl5eq 2826	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑖 ∈ 𝐼, 𝑗 ∈ 𝐽 ↦ (((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑋)‘𝑖) · ((𝑦 ∈ 𝐽 ↦ 𝑌)‘𝑗))) = (𝑥 ∈ 𝐼, 𝑦 ∈ 𝐽 ↦ (𝑋 · 𝑌)))
92	91	oveq2d 6938	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑅 Σg (𝑖 ∈ 𝐼, 𝑗 ∈ 𝐽 ↦ (((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑋)‘𝑖) · ((𝑦 ∈ 𝐽 ↦ 𝑌)‘𝑗)))) = (𝑅 Σg (𝑥 ∈ 𝐼, 𝑦 ∈ 𝐽 ↦ (𝑋 · 𝑌))))
93		nfcv 2934	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑥𝑅
94		nfcv 2934	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑥 Σg
95		nfcv 2934	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑥𝐽
96	95, 69	nfmpt 4981	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑥(𝑗 ∈ 𝐽 ↦ (((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑋)‘𝑖) · ((𝑦 ∈ 𝐽 ↦ 𝑌)‘𝑗)))
97	93, 94, 96	nfov 6952	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑥(𝑅 Σg (𝑗 ∈ 𝐽 ↦ (((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑋)‘𝑖) · ((𝑦 ∈ 𝐽 ↦ 𝑌)‘𝑗))))
98		nfcv 2934	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑖(𝑅 Σg (𝑦 ∈ 𝐽 ↦ (((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑋)‘𝑥) · ((𝑦 ∈ 𝐽 ↦ 𝑌)‘𝑦))))
99	76	oveq1d 6937	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑖 = 𝑥 → (((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑋)‘𝑖) · ((𝑦 ∈ 𝐽 ↦ 𝑌)‘𝑗)) = (((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑋)‘𝑥) · ((𝑦 ∈ 𝐽 ↦ 𝑌)‘𝑗)))
100	99	mpteq2dv 4980	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑖 = 𝑥 → (𝑗 ∈ 𝐽 ↦ (((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑋)‘𝑖) · ((𝑦 ∈ 𝐽 ↦ 𝑌)‘𝑗))) = (𝑗 ∈ 𝐽 ↦ (((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑋)‘𝑥) · ((𝑦 ∈ 𝐽 ↦ 𝑌)‘𝑗))))
101		nfcv 2934	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑦((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑋)‘𝑥)
102	101, 71, 72	nfov 6952	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑦(((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑋)‘𝑥) · ((𝑦 ∈ 𝐽 ↦ 𝑌)‘𝑗))
103	77	oveq2d 6938	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑗 = 𝑦 → (((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑋)‘𝑥) · ((𝑦 ∈ 𝐽 ↦ 𝑌)‘𝑗)) = (((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑋)‘𝑥) · ((𝑦 ∈ 𝐽 ↦ 𝑌)‘𝑦)))
104	102, 75, 103	cbvmpt 4984	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑗 ∈ 𝐽 ↦ (((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑋)‘𝑥) · ((𝑦 ∈ 𝐽 ↦ 𝑌)‘𝑗))) = (𝑦 ∈ 𝐽 ↦ (((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑋)‘𝑥) · ((𝑦 ∈ 𝐽 ↦ 𝑌)‘𝑦)))
105	100, 104	syl6eq 2830	. . . . . . 7 ⊢ (𝑖 = 𝑥 → (𝑗 ∈ 𝐽 ↦ (((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑋)‘𝑖) · ((𝑦 ∈ 𝐽 ↦ 𝑌)‘𝑗))) = (𝑦 ∈ 𝐽 ↦ (((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑋)‘𝑥) · ((𝑦 ∈ 𝐽 ↦ 𝑌)‘𝑦))))
106	105	oveq2d 6938	. . . . . 6 ⊢ (𝑖 = 𝑥 → (𝑅 Σg (𝑗 ∈ 𝐽 ↦ (((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑋)‘𝑖) · ((𝑦 ∈ 𝐽 ↦ 𝑌)‘𝑗)))) = (𝑅 Σg (𝑦 ∈ 𝐽 ↦ (((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑋)‘𝑥) · ((𝑦 ∈ 𝐽 ↦ 𝑌)‘𝑦)))))
107	97, 98, 106	cbvmpt 4984	. . . . 5 ⊢ (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ (𝑅 Σg (𝑗 ∈ 𝐽 ↦ (((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑋)‘𝑖) · ((𝑦 ∈ 𝐽 ↦ 𝑌)‘𝑗))))) = (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ (𝑅 Σg (𝑦 ∈ 𝐽 ↦ (((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑋)‘𝑥) · ((𝑦 ∈ 𝐽 ↦ 𝑌)‘𝑦)))))
108	89	3expa 1108	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) ∧ 𝑦 ∈ 𝐽) → (((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑋)‘𝑥) · ((𝑦 ∈ 𝐽 ↦ 𝑌)‘𝑦)) = (𝑋 · 𝑌))
109	108	mpteq2dva 4979	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (𝑦 ∈ 𝐽 ↦ (((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑋)‘𝑥) · ((𝑦 ∈ 𝐽 ↦ 𝑌)‘𝑦))) = (𝑦 ∈ 𝐽 ↦ (𝑋 · 𝑌)))
110	109	oveq2d 6938	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (𝑅 Σg (𝑦 ∈ 𝐽 ↦ (((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑋)‘𝑥) · ((𝑦 ∈ 𝐽 ↦ 𝑌)‘𝑦)))) = (𝑅 Σg (𝑦 ∈ 𝐽 ↦ (𝑋 · 𝑌))))
111	110	mpteq2dva 4979	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ (𝑅 Σg (𝑦 ∈ 𝐽 ↦ (((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑋)‘𝑥) · ((𝑦 ∈ 𝐽 ↦ 𝑌)‘𝑦))))) = (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ (𝑅 Σg (𝑦 ∈ 𝐽 ↦ (𝑋 · 𝑌)))))
112	107, 111	syl5eq 2826	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ (𝑅 Σg (𝑗 ∈ 𝐽 ↦ (((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑋)‘𝑖) · ((𝑦 ∈ 𝐽 ↦ 𝑌)‘𝑗))))) = (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ (𝑅 Σg (𝑦 ∈ 𝐽 ↦ (𝑋 · 𝑌)))))
113	112	oveq2d 6938	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑅 Σg (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ (𝑅 Σg (𝑗 ∈ 𝐽 ↦ (((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑋)‘𝑖) · ((𝑦 ∈ 𝐽 ↦ 𝑌)‘𝑗)))))) = (𝑅 Σg (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ (𝑅 Σg (𝑦 ∈ 𝐽 ↦ (𝑋 · 𝑌))))))
114	65, 92, 113	3eqtr3d 2822	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑅 Σg (𝑥 ∈ 𝐼, 𝑦 ∈ 𝐽 ↦ (𝑋 · 𝑌))) = (𝑅 Σg (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ (𝑅 Σg (𝑦 ∈ 𝐽 ↦ (𝑋 · 𝑌))))))
115		eqid 2778	. . . . 5 ⊢ (+g‘𝑅) = (+g‘𝑅)
116	3	adantr 474	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → 𝑅 ∈ Ring)
117	7	adantr 474	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → 𝐽 ∈ 𝑊)
118	15	adantlr 705	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) ∧ 𝑦 ∈ 𝐽) → 𝑌 ∈ 𝐵)
119	25	adantr 474	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (𝑦 ∈ 𝐽 ↦ 𝑌) finSupp 0 )
120	1, 2, 115, 20, 116, 117, 10, 118, 119	gsummulc2 18994	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (𝑅 Σg (𝑦 ∈ 𝐽 ↦ (𝑋 · 𝑌))) = (𝑋 · (𝑅 Σg (𝑦 ∈ 𝐽 ↦ 𝑌))))
121	120	mpteq2dva 4979	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ (𝑅 Σg (𝑦 ∈ 𝐽 ↦ (𝑋 · 𝑌)))) = (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ (𝑋 · (𝑅 Σg (𝑦 ∈ 𝐽 ↦ 𝑌)))))
122	121	oveq2d 6938	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑅 Σg (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ (𝑅 Σg (𝑦 ∈ 𝐽 ↦ (𝑋 · 𝑌))))) = (𝑅 Σg (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ (𝑋 · (𝑅 Σg (𝑦 ∈ 𝐽 ↦ 𝑌))))))
123	1, 2, 5, 7, 16, 25	gsumcl 18702	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑅 Σg (𝑦 ∈ 𝐽 ↦ 𝑌)) ∈ 𝐵)
124	1, 2, 115, 20, 3, 6, 123, 10, 23	gsummulc1 18993	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑅 Σg (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ (𝑋 · (𝑅 Σg (𝑦 ∈ 𝐽 ↦ 𝑌))))) = ((𝑅 Σg (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑋)) · (𝑅 Σg (𝑦 ∈ 𝐽 ↦ 𝑌))))
125	114, 122, 124	3eqtrrd 2819	1 ⊢ (𝜑 → ((𝑅 Σg (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑋)) · (𝑅 Σg (𝑦 ∈ 𝐽 ↦ 𝑌))) = (𝑅 Σg (𝑥 ∈ 𝐼, 𝑦 ∈ 𝐽 ↦ (𝑋 · 𝑌))))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 386   ∨ wo 836   ∧ w3a 1071   = wceq 1601   ∈ wcel 2107  Vcvv 3398   ∖ cdif 3789   class class class wbr 4886   ↦ cmpt 4965   × cxp 5353  ⟶wf 6131  ‘cfv 6135  (class class class)co 6922   ↦ cmpt2 6924   supp csupp 7576  Fincfn 8241   finSupp cfsupp 8563  Basecbs 16255  +_gcplusg 16338  ._rcmulr 16339  0_gc0g 16486   Σ_g cgsu 16487  CMndccmn 18579  Ringcrg 18934

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2055  ax-8 2109  ax-9 2116  ax-10 2135  ax-11 2150  ax-12 2163  ax-13 2334  ax-ext 2754  ax-rep 5006  ax-sep 5017  ax-nul 5025  ax-pow 5077  ax-pr 5138  ax-un 7226  ax-inf2 8835  ax-cnex 10328  ax-resscn 10329  ax-1cn 10330  ax-icn 10331  ax-addcl 10332  ax-addrcl 10333  ax-mulcl 10334  ax-mulrcl 10335  ax-mulcom 10336  ax-addass 10337  ax-mulass 10338  ax-distr 10339  ax-i2m1 10340  ax-1ne0 10341  ax-1rid 10342  ax-rnegex 10343  ax-rrecex 10344  ax-cnre 10345  ax-pre-lttri 10346  ax-pre-lttrn 10347  ax-pre-ltadd 10348  ax-pre-mulgt0 10349

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1605  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2551  df-eu 2587  df-clab 2764  df-cleq 2770  df-clel 2774  df-nfc 2921  df-ne 2970  df-nel 3076  df-ral 3095  df-rex 3096  df-reu 3097  df-rmo 3098  df-rab 3099  df-v 3400  df-sbc 3653  df-csb 3752  df-dif 3795  df-un 3797  df-in 3799  df-ss 3806  df-pss 3808  df-nul 4142  df-if 4308  df-pw 4381  df-sn 4399  df-pr 4401  df-tp 4403  df-op 4405  df-uni 4672  df-int 4711  df-iun 4755  df-iin 4756  df-br 4887  df-opab 4949  df-mpt 4966  df-tr 4988  df-id 5261  df-eprel 5266  df-po 5274  df-so 5275  df-fr 5314  df-se 5315  df-we 5316  df-xp 5361  df-rel 5362  df-cnv 5363  df-co 5364  df-dm 5365  df-rn 5366  df-res 5367  df-ima 5368  df-pred 5933  df-ord 5979  df-on 5980  df-lim 5981  df-suc 5982  df-iota 6099  df-fun 6137  df-fn 6138  df-f 6139  df-f1 6140  df-fo 6141  df-f1o 6142  df-fv 6143  df-isom 6144  df-riota 6883  df-ov 6925  df-oprab 6926  df-mpt2 6927  df-of 7174  df-om 7344  df-1st 7445  df-2nd 7446  df-supp 7577  df-wrecs 7689  df-recs 7751  df-rdg 7789  df-1o 7843  df-oadd 7847  df-er 8026  df-map 8142  df-en 8242  df-dom 8243  df-sdom 8244  df-fin 8245  df-fsupp 8564  df-oi 8704  df-card 9098  df-pnf 10413  df-mnf 10414  df-xr 10415  df-ltxr 10416  df-le 10417  df-sub 10608  df-neg 10609  df-nn 11375  df-2 11438  df-n0 11643  df-z 11729  df-uz 11993  df-fz 12644  df-fzo 12785  df-seq 13120  df-hash 13436  df-ndx 16258  df-slot 16259  df-base 16261  df-sets 16262  df-ress 16263  df-plusg 16351  df-0g 16488  df-gsum 16489  df-mre 16632  df-mrc 16633  df-acs 16635  df-mgm 17628  df-sgrp 17670  df-mnd 17681  df-mhm 17721  df-submnd 17722  df-grp 17812  df-minusg 17813  df-mulg 17928  df-ghm 18042  df-cntz 18133  df-cmn 18581  df-abl 18582  df-mgp 18877  df-ur 18889  df-ring 18936

This theorem is referenced by:  evlslem2  19908