Theorem gsumdixp 19763

Description: Distribute a binary product of sums to a sum of binary products in a ring. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Mar-2015.) (Revised by AV, 10-Jul-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
gsumdixp.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
gsumdixp.t	⊢ · = (.r‘𝑅)
gsumdixp.z	⊢ 0 = (0g‘𝑅)
gsumdixp.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
gsumdixp.j	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ 𝑊)
gsumdixp.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
gsumdixp.x	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → 𝑋 ∈ 𝐵)
gsumdixp.y	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐽) → 𝑌 ∈ 𝐵)
gsumdixp.xf	⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑋) finSupp 0 )
gsumdixp.yf	⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ 𝐽 ↦ 𝑌) finSupp 0 )

Assertion

Ref	Expression
gsumdixp	⊢ (𝜑 → ((𝑅 Σg (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑋)) · (𝑅 Σg (𝑦 ∈ 𝐽 ↦ 𝑌))) = (𝑅 Σg (𝑥 ∈ 𝐼, 𝑦 ∈ 𝐽 ↦ (𝑋 · 𝑌))))

Distinct variable groups:   𝜑,𝑥,𝑦   𝑥,𝐵,𝑦   𝑥,𝐼,𝑦   𝑥,𝐽,𝑦   𝑥,𝑅   𝑥, · ,𝑦   𝑦,𝑋   𝑥,𝑌

Allowed substitution hints:   𝑅(𝑦)   𝑉(𝑥,𝑦)   𝑊(𝑥,𝑦)   𝑋(𝑥)   𝑌(𝑦)   0 (𝑥,𝑦)

Proof of Theorem gsumdixp

Dummy variables 𝑖 𝑗 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		gsumdixp.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
2		gsumdixp.z	. . . 4 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
3		gsumdixp.r	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
4		ringcmn 19735	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ CMnd)
5	3, 4	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CMnd)
6		gsumdixp.i	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
7		gsumdixp.j	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ 𝑊)
8	7	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) → 𝐽 ∈ 𝑊)
9	3	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝐼 ∧ 𝑗 ∈ 𝐽)) → 𝑅 ∈ Ring)
10		gsumdixp.x	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → 𝑋 ∈ 𝐵)
11	10	fmpttd 6971	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑋):𝐼⟶𝐵)
12		simpl 482	. . . . . 6 ⊢ ((𝑖 ∈ 𝐼 ∧ 𝑗 ∈ 𝐽) → 𝑖 ∈ 𝐼)
13		ffvelrn 6941	. . . . . 6 ⊢ (((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑋):𝐼⟶𝐵 ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) → ((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑋)‘𝑖) ∈ 𝐵)
14	11, 12, 13	syl2an 595	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝐼 ∧ 𝑗 ∈ 𝐽)) → ((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑋)‘𝑖) ∈ 𝐵)
15		gsumdixp.y	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐽) → 𝑌 ∈ 𝐵)
16	15	fmpttd 6971	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ 𝐽 ↦ 𝑌):𝐽⟶𝐵)
17		simpr 484	. . . . . 6 ⊢ ((𝑖 ∈ 𝐼 ∧ 𝑗 ∈ 𝐽) → 𝑗 ∈ 𝐽)
18		ffvelrn 6941	. . . . . 6 ⊢ (((𝑦 ∈ 𝐽 ↦ 𝑌):𝐽⟶𝐵 ∧ 𝑗 ∈ 𝐽) → ((𝑦 ∈ 𝐽 ↦ 𝑌)‘𝑗) ∈ 𝐵)
19	16, 17, 18	syl2an 595	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝐼 ∧ 𝑗 ∈ 𝐽)) → ((𝑦 ∈ 𝐽 ↦ 𝑌)‘𝑗) ∈ 𝐵)
20		gsumdixp.t	. . . . . 6 ⊢ · = (.r‘𝑅)
21	1, 20	ringcl 19715	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ ((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑋)‘𝑖) ∈ 𝐵 ∧ ((𝑦 ∈ 𝐽 ↦ 𝑌)‘𝑗) ∈ 𝐵) → (((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑋)‘𝑖) · ((𝑦 ∈ 𝐽 ↦ 𝑌)‘𝑗)) ∈ 𝐵)
22	9, 14, 19, 21	syl3anc 1369	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝐼 ∧ 𝑗 ∈ 𝐽)) → (((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑋)‘𝑖) · ((𝑦 ∈ 𝐽 ↦ 𝑌)‘𝑗)) ∈ 𝐵)
23		gsumdixp.xf	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑋) finSupp 0 )
24	23	fsuppimpd 9065	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑋) supp 0 ) ∈ Fin)
25		gsumdixp.yf	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ 𝐽 ↦ 𝑌) finSupp 0 )
26	25	fsuppimpd 9065	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑦 ∈ 𝐽 ↦ 𝑌) supp 0 ) ∈ Fin)
27		xpfi 9015	. . . . 5 ⊢ ((((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑋) supp 0 ) ∈ Fin ∧ ((𝑦 ∈ 𝐽 ↦ 𝑌) supp 0 ) ∈ Fin) → (((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑋) supp 0 ) × ((𝑦 ∈ 𝐽 ↦ 𝑌) supp 0 )) ∈ Fin)
28	24, 26, 27	syl2anc 583	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑋) supp 0 ) × ((𝑦 ∈ 𝐽 ↦ 𝑌) supp 0 )) ∈ Fin)
29		ianor 978	. . . . . . 7 ⊢ (¬ (𝑖 ∈ ((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑋) supp 0 ) ∧ 𝑗 ∈ ((𝑦 ∈ 𝐽 ↦ 𝑌) supp 0 )) ↔ (¬ 𝑖 ∈ ((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑋) supp 0 ) ∨ ¬ 𝑗 ∈ ((𝑦 ∈ 𝐽 ↦ 𝑌) supp 0 )))
30		brxp 5627	. . . . . . 7 ⊢ (𝑖(((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑋) supp 0 ) × ((𝑦 ∈ 𝐽 ↦ 𝑌) supp 0 ))𝑗 ↔ (𝑖 ∈ ((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑋) supp 0 ) ∧ 𝑗 ∈ ((𝑦 ∈ 𝐽 ↦ 𝑌) supp 0 )))
31	29, 30	xchnxbir 332	. . . . . 6 ⊢ (¬ 𝑖(((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑋) supp 0 ) × ((𝑦 ∈ 𝐽 ↦ 𝑌) supp 0 ))𝑗 ↔ (¬ 𝑖 ∈ ((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑋) supp 0 ) ∨ ¬ 𝑗 ∈ ((𝑦 ∈ 𝐽 ↦ 𝑌) supp 0 )))
32		simprl 767	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝐼 ∧ 𝑗 ∈ 𝐽)) → 𝑖 ∈ 𝐼)
33		eldif 3893	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑖 ∈ (𝐼 ∖ ((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑋) supp 0 )) ↔ (𝑖 ∈ 𝐼 ∧ ¬ 𝑖 ∈ ((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑋) supp 0 )))
34	33	biimpri 227	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑖 ∈ 𝐼 ∧ ¬ 𝑖 ∈ ((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑋) supp 0 )) → 𝑖 ∈ (𝐼 ∖ ((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑋) supp 0 )))
35	32, 34	sylan 579	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝐼 ∧ 𝑗 ∈ 𝐽)) ∧ ¬ 𝑖 ∈ ((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑋) supp 0 )) → 𝑖 ∈ (𝐼 ∖ ((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑋) supp 0 )))
36	11	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝐼 ∧ 𝑗 ∈ 𝐽)) → (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑋):𝐼⟶𝐵)
37		ssidd 3940	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝐼 ∧ 𝑗 ∈ 𝐽)) → ((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑋) supp 0 ) ⊆ ((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑋) supp 0 ))
38	6	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝐼 ∧ 𝑗 ∈ 𝐽)) → 𝐼 ∈ 𝑉)
39	2	fvexi 6770	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 0 ∈ V
40	39	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝐼 ∧ 𝑗 ∈ 𝐽)) → 0 ∈ V)
41	36, 37, 38, 40	suppssr 7983	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝐼 ∧ 𝑗 ∈ 𝐽)) ∧ 𝑖 ∈ (𝐼 ∖ ((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑋) supp 0 ))) → ((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑋)‘𝑖) = 0 )
42	35, 41	syldan 590	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝐼 ∧ 𝑗 ∈ 𝐽)) ∧ ¬ 𝑖 ∈ ((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑋) supp 0 )) → ((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑋)‘𝑖) = 0 )
43	42	oveq1d 7270	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝐼 ∧ 𝑗 ∈ 𝐽)) ∧ ¬ 𝑖 ∈ ((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑋) supp 0 )) → (((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑋)‘𝑖) · ((𝑦 ∈ 𝐽 ↦ 𝑌)‘𝑗)) = ( 0 · ((𝑦 ∈ 𝐽 ↦ 𝑌)‘𝑗)))
44	1, 20, 2	ringlz 19741	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ ((𝑦 ∈ 𝐽 ↦ 𝑌)‘𝑗) ∈ 𝐵) → ( 0 · ((𝑦 ∈ 𝐽 ↦ 𝑌)‘𝑗)) = 0 )
45	9, 19, 44	syl2anc 583	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝐼 ∧ 𝑗 ∈ 𝐽)) → ( 0 · ((𝑦 ∈ 𝐽 ↦ 𝑌)‘𝑗)) = 0 )
46	45	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝐼 ∧ 𝑗 ∈ 𝐽)) ∧ ¬ 𝑖 ∈ ((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑋) supp 0 )) → ( 0 · ((𝑦 ∈ 𝐽 ↦ 𝑌)‘𝑗)) = 0 )
47	43, 46	eqtrd 2778	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝐼 ∧ 𝑗 ∈ 𝐽)) ∧ ¬ 𝑖 ∈ ((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑋) supp 0 )) → (((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑋)‘𝑖) · ((𝑦 ∈ 𝐽 ↦ 𝑌)‘𝑗)) = 0 )
48		simprr 769	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝐼 ∧ 𝑗 ∈ 𝐽)) → 𝑗 ∈ 𝐽)
49		eldif 3893	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑗 ∈ (𝐽 ∖ ((𝑦 ∈ 𝐽 ↦ 𝑌) supp 0 )) ↔ (𝑗 ∈ 𝐽 ∧ ¬ 𝑗 ∈ ((𝑦 ∈ 𝐽 ↦ 𝑌) supp 0 )))
50	49	biimpri 227	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑗 ∈ 𝐽 ∧ ¬ 𝑗 ∈ ((𝑦 ∈ 𝐽 ↦ 𝑌) supp 0 )) → 𝑗 ∈ (𝐽 ∖ ((𝑦 ∈ 𝐽 ↦ 𝑌) supp 0 )))
51	48, 50	sylan 579	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝐼 ∧ 𝑗 ∈ 𝐽)) ∧ ¬ 𝑗 ∈ ((𝑦 ∈ 𝐽 ↦ 𝑌) supp 0 )) → 𝑗 ∈ (𝐽 ∖ ((𝑦 ∈ 𝐽 ↦ 𝑌) supp 0 )))
52	16	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝐼 ∧ 𝑗 ∈ 𝐽)) → (𝑦 ∈ 𝐽 ↦ 𝑌):𝐽⟶𝐵)
53		ssidd 3940	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝐼 ∧ 𝑗 ∈ 𝐽)) → ((𝑦 ∈ 𝐽 ↦ 𝑌) supp 0 ) ⊆ ((𝑦 ∈ 𝐽 ↦ 𝑌) supp 0 ))
54	7	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝐼 ∧ 𝑗 ∈ 𝐽)) → 𝐽 ∈ 𝑊)
55	52, 53, 54, 40	suppssr 7983	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝐼 ∧ 𝑗 ∈ 𝐽)) ∧ 𝑗 ∈ (𝐽 ∖ ((𝑦 ∈ 𝐽 ↦ 𝑌) supp 0 ))) → ((𝑦 ∈ 𝐽 ↦ 𝑌)‘𝑗) = 0 )
56	51, 55	syldan 590	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝐼 ∧ 𝑗 ∈ 𝐽)) ∧ ¬ 𝑗 ∈ ((𝑦 ∈ 𝐽 ↦ 𝑌) supp 0 )) → ((𝑦 ∈ 𝐽 ↦ 𝑌)‘𝑗) = 0 )
57	56	oveq2d 7271	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝐼 ∧ 𝑗 ∈ 𝐽)) ∧ ¬ 𝑗 ∈ ((𝑦 ∈ 𝐽 ↦ 𝑌) supp 0 )) → (((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑋)‘𝑖) · ((𝑦 ∈ 𝐽 ↦ 𝑌)‘𝑗)) = (((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑋)‘𝑖) · 0 ))
58	1, 20, 2	ringrz 19742	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ ((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑋)‘𝑖) ∈ 𝐵) → (((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑋)‘𝑖) · 0 ) = 0 )
59	9, 14, 58	syl2anc 583	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝐼 ∧ 𝑗 ∈ 𝐽)) → (((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑋)‘𝑖) · 0 ) = 0 )
60	59	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝐼 ∧ 𝑗 ∈ 𝐽)) ∧ ¬ 𝑗 ∈ ((𝑦 ∈ 𝐽 ↦ 𝑌) supp 0 )) → (((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑋)‘𝑖) · 0 ) = 0 )
61	57, 60	eqtrd 2778	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝐼 ∧ 𝑗 ∈ 𝐽)) ∧ ¬ 𝑗 ∈ ((𝑦 ∈ 𝐽 ↦ 𝑌) supp 0 )) → (((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑋)‘𝑖) · ((𝑦 ∈ 𝐽 ↦ 𝑌)‘𝑗)) = 0 )
62	47, 61	jaodan 954	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝐼 ∧ 𝑗 ∈ 𝐽)) ∧ (¬ 𝑖 ∈ ((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑋) supp 0 ) ∨ ¬ 𝑗 ∈ ((𝑦 ∈ 𝐽 ↦ 𝑌) supp 0 ))) → (((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑋)‘𝑖) · ((𝑦 ∈ 𝐽 ↦ 𝑌)‘𝑗)) = 0 )
63	31, 62	sylan2b 593	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝐼 ∧ 𝑗 ∈ 𝐽)) ∧ ¬ 𝑖(((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑋) supp 0 ) × ((𝑦 ∈ 𝐽 ↦ 𝑌) supp 0 ))𝑗) → (((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑋)‘𝑖) · ((𝑦 ∈ 𝐽 ↦ 𝑌)‘𝑗)) = 0 )
64	63	anasss 466	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑖 ∈ 𝐼 ∧ 𝑗 ∈ 𝐽) ∧ ¬ 𝑖(((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑋) supp 0 ) × ((𝑦 ∈ 𝐽 ↦ 𝑌) supp 0 ))𝑗)) → (((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑋)‘𝑖) · ((𝑦 ∈ 𝐽 ↦ 𝑌)‘𝑗)) = 0 )
65	1, 2, 5, 6, 8, 22, 28, 64	gsum2d2 19490	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑅 Σg (𝑖 ∈ 𝐼, 𝑗 ∈ 𝐽 ↦ (((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑋)‘𝑖) · ((𝑦 ∈ 𝐽 ↦ 𝑌)‘𝑗)))) = (𝑅 Σg (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ (𝑅 Σg (𝑗 ∈ 𝐽 ↦ (((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑋)‘𝑖) · ((𝑦 ∈ 𝐽 ↦ 𝑌)‘𝑗)))))))
66		nffvmpt1 6767	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑥((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑋)‘𝑖)
67		nfcv 2906	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑥 ·
68		nfcv 2906	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑥((𝑦 ∈ 𝐽 ↦ 𝑌)‘𝑗)
69	66, 67, 68	nfov 7285	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑥(((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑋)‘𝑖) · ((𝑦 ∈ 𝐽 ↦ 𝑌)‘𝑗))
70		nfcv 2906	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑦((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑋)‘𝑖)
71		nfcv 2906	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑦 ·
72		nffvmpt1 6767	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑦((𝑦 ∈ 𝐽 ↦ 𝑌)‘𝑗)
73	70, 71, 72	nfov 7285	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑦(((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑋)‘𝑖) · ((𝑦 ∈ 𝐽 ↦ 𝑌)‘𝑗))
74		nfcv 2906	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑖(((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑋)‘𝑥) · ((𝑦 ∈ 𝐽 ↦ 𝑌)‘𝑦))
75		nfcv 2906	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑗(((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑋)‘𝑥) · ((𝑦 ∈ 𝐽 ↦ 𝑌)‘𝑦))
76		fveq2 6756	. . . . . . 7 ⊢ (𝑖 = 𝑥 → ((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑋)‘𝑖) = ((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑋)‘𝑥))
77		fveq2 6756	. . . . . . 7 ⊢ (𝑗 = 𝑦 → ((𝑦 ∈ 𝐽 ↦ 𝑌)‘𝑗) = ((𝑦 ∈ 𝐽 ↦ 𝑌)‘𝑦))
78	76, 77	oveqan12d 7274	. . . . . 6 ⊢ ((𝑖 = 𝑥 ∧ 𝑗 = 𝑦) → (((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑋)‘𝑖) · ((𝑦 ∈ 𝐽 ↦ 𝑌)‘𝑗)) = (((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑋)‘𝑥) · ((𝑦 ∈ 𝐽 ↦ 𝑌)‘𝑦)))
79	69, 73, 74, 75, 78	cbvmpo 7347	. . . . 5 ⊢ (𝑖 ∈ 𝐼, 𝑗 ∈ 𝐽 ↦ (((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑋)‘𝑖) · ((𝑦 ∈ 𝐽 ↦ 𝑌)‘𝑗))) = (𝑥 ∈ 𝐼, 𝑦 ∈ 𝐽 ↦ (((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑋)‘𝑥) · ((𝑦 ∈ 𝐽 ↦ 𝑌)‘𝑦)))
80		simp2 1135	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼 ∧ 𝑦 ∈ 𝐽) → 𝑥 ∈ 𝐼)
81	10	3adant3 1130	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼 ∧ 𝑦 ∈ 𝐽) → 𝑋 ∈ 𝐵)
82		eqid 2738	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑋) = (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑋)
83	82	fvmpt2 6868	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐼 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑋)‘𝑥) = 𝑋)
84	80, 81, 83	syl2anc 583	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼 ∧ 𝑦 ∈ 𝐽) → ((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑋)‘𝑥) = 𝑋)
85		simp3 1136	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼 ∧ 𝑦 ∈ 𝐽) → 𝑦 ∈ 𝐽)
86		eqid 2738	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐽 ↦ 𝑌) = (𝑦 ∈ 𝐽 ↦ 𝑌)
87	86	fvmpt2 6868	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐽 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ((𝑦 ∈ 𝐽 ↦ 𝑌)‘𝑦) = 𝑌)
88	85, 15, 87	3imp3i2an 1343	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼 ∧ 𝑦 ∈ 𝐽) → ((𝑦 ∈ 𝐽 ↦ 𝑌)‘𝑦) = 𝑌)
89	84, 88	oveq12d 7273	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼 ∧ 𝑦 ∈ 𝐽) → (((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑋)‘𝑥) · ((𝑦 ∈ 𝐽 ↦ 𝑌)‘𝑦)) = (𝑋 · 𝑌))
90	89	mpoeq3dva 7330	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐼, 𝑦 ∈ 𝐽 ↦ (((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑋)‘𝑥) · ((𝑦 ∈ 𝐽 ↦ 𝑌)‘𝑦))) = (𝑥 ∈ 𝐼, 𝑦 ∈ 𝐽 ↦ (𝑋 · 𝑌)))
91	79, 90	eqtrid 2790	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑖 ∈ 𝐼, 𝑗 ∈ 𝐽 ↦ (((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑋)‘𝑖) · ((𝑦 ∈ 𝐽 ↦ 𝑌)‘𝑗))) = (𝑥 ∈ 𝐼, 𝑦 ∈ 𝐽 ↦ (𝑋 · 𝑌)))
92	91	oveq2d 7271	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑅 Σg (𝑖 ∈ 𝐼, 𝑗 ∈ 𝐽 ↦ (((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑋)‘𝑖) · ((𝑦 ∈ 𝐽 ↦ 𝑌)‘𝑗)))) = (𝑅 Σg (𝑥 ∈ 𝐼, 𝑦 ∈ 𝐽 ↦ (𝑋 · 𝑌))))
93		nfcv 2906	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑥𝑅
94		nfcv 2906	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑥 Σg
95		nfcv 2906	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑥𝐽
96	95, 69	nfmpt 5177	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑥(𝑗 ∈ 𝐽 ↦ (((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑋)‘𝑖) · ((𝑦 ∈ 𝐽 ↦ 𝑌)‘𝑗)))
97	93, 94, 96	nfov 7285	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑥(𝑅 Σg (𝑗 ∈ 𝐽 ↦ (((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑋)‘𝑖) · ((𝑦 ∈ 𝐽 ↦ 𝑌)‘𝑗))))
98		nfcv 2906	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑖(𝑅 Σg (𝑦 ∈ 𝐽 ↦ (((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑋)‘𝑥) · ((𝑦 ∈ 𝐽 ↦ 𝑌)‘𝑦))))
99	76	oveq1d 7270	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑖 = 𝑥 → (((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑋)‘𝑖) · ((𝑦 ∈ 𝐽 ↦ 𝑌)‘𝑗)) = (((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑋)‘𝑥) · ((𝑦 ∈ 𝐽 ↦ 𝑌)‘𝑗)))
100	99	mpteq2dv 5172	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑖 = 𝑥 → (𝑗 ∈ 𝐽 ↦ (((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑋)‘𝑖) · ((𝑦 ∈ 𝐽 ↦ 𝑌)‘𝑗))) = (𝑗 ∈ 𝐽 ↦ (((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑋)‘𝑥) · ((𝑦 ∈ 𝐽 ↦ 𝑌)‘𝑗))))
101		nfcv 2906	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑦((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑋)‘𝑥)
102	101, 71, 72	nfov 7285	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑦(((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑋)‘𝑥) · ((𝑦 ∈ 𝐽 ↦ 𝑌)‘𝑗))
103	77	oveq2d 7271	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑗 = 𝑦 → (((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑋)‘𝑥) · ((𝑦 ∈ 𝐽 ↦ 𝑌)‘𝑗)) = (((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑋)‘𝑥) · ((𝑦 ∈ 𝐽 ↦ 𝑌)‘𝑦)))
104	102, 75, 103	cbvmpt 5181	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑗 ∈ 𝐽 ↦ (((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑋)‘𝑥) · ((𝑦 ∈ 𝐽 ↦ 𝑌)‘𝑗))) = (𝑦 ∈ 𝐽 ↦ (((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑋)‘𝑥) · ((𝑦 ∈ 𝐽 ↦ 𝑌)‘𝑦)))
105	100, 104	eqtrdi 2795	. . . . . . 7 ⊢ (𝑖 = 𝑥 → (𝑗 ∈ 𝐽 ↦ (((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑋)‘𝑖) · ((𝑦 ∈ 𝐽 ↦ 𝑌)‘𝑗))) = (𝑦 ∈ 𝐽 ↦ (((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑋)‘𝑥) · ((𝑦 ∈ 𝐽 ↦ 𝑌)‘𝑦))))
106	105	oveq2d 7271	. . . . . 6 ⊢ (𝑖 = 𝑥 → (𝑅 Σg (𝑗 ∈ 𝐽 ↦ (((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑋)‘𝑖) · ((𝑦 ∈ 𝐽 ↦ 𝑌)‘𝑗)))) = (𝑅 Σg (𝑦 ∈ 𝐽 ↦ (((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑋)‘𝑥) · ((𝑦 ∈ 𝐽 ↦ 𝑌)‘𝑦)))))
107	97, 98, 106	cbvmpt 5181	. . . . 5 ⊢ (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ (𝑅 Σg (𝑗 ∈ 𝐽 ↦ (((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑋)‘𝑖) · ((𝑦 ∈ 𝐽 ↦ 𝑌)‘𝑗))))) = (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ (𝑅 Σg (𝑦 ∈ 𝐽 ↦ (((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑋)‘𝑥) · ((𝑦 ∈ 𝐽 ↦ 𝑌)‘𝑦)))))
108	89	3expa 1116	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) ∧ 𝑦 ∈ 𝐽) → (((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑋)‘𝑥) · ((𝑦 ∈ 𝐽 ↦ 𝑌)‘𝑦)) = (𝑋 · 𝑌))
109	108	mpteq2dva 5170	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (𝑦 ∈ 𝐽 ↦ (((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑋)‘𝑥) · ((𝑦 ∈ 𝐽 ↦ 𝑌)‘𝑦))) = (𝑦 ∈ 𝐽 ↦ (𝑋 · 𝑌)))
110	109	oveq2d 7271	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (𝑅 Σg (𝑦 ∈ 𝐽 ↦ (((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑋)‘𝑥) · ((𝑦 ∈ 𝐽 ↦ 𝑌)‘𝑦)))) = (𝑅 Σg (𝑦 ∈ 𝐽 ↦ (𝑋 · 𝑌))))
111	110	mpteq2dva 5170	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ (𝑅 Σg (𝑦 ∈ 𝐽 ↦ (((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑋)‘𝑥) · ((𝑦 ∈ 𝐽 ↦ 𝑌)‘𝑦))))) = (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ (𝑅 Σg (𝑦 ∈ 𝐽 ↦ (𝑋 · 𝑌)))))
112	107, 111	eqtrid 2790	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ (𝑅 Σg (𝑗 ∈ 𝐽 ↦ (((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑋)‘𝑖) · ((𝑦 ∈ 𝐽 ↦ 𝑌)‘𝑗))))) = (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ (𝑅 Σg (𝑦 ∈ 𝐽 ↦ (𝑋 · 𝑌)))))
113	112	oveq2d 7271	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑅 Σg (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ (𝑅 Σg (𝑗 ∈ 𝐽 ↦ (((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑋)‘𝑖) · ((𝑦 ∈ 𝐽 ↦ 𝑌)‘𝑗)))))) = (𝑅 Σg (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ (𝑅 Σg (𝑦 ∈ 𝐽 ↦ (𝑋 · 𝑌))))))
114	65, 92, 113	3eqtr3d 2786	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑅 Σg (𝑥 ∈ 𝐼, 𝑦 ∈ 𝐽 ↦ (𝑋 · 𝑌))) = (𝑅 Σg (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ (𝑅 Σg (𝑦 ∈ 𝐽 ↦ (𝑋 · 𝑌))))))
115		eqid 2738	. . . . 5 ⊢ (+g‘𝑅) = (+g‘𝑅)
116	3	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → 𝑅 ∈ Ring)
117	7	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → 𝐽 ∈ 𝑊)
118	15	adantlr 711	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) ∧ 𝑦 ∈ 𝐽) → 𝑌 ∈ 𝐵)
119	25	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (𝑦 ∈ 𝐽 ↦ 𝑌) finSupp 0 )
120	1, 2, 115, 20, 116, 117, 10, 118, 119	gsummulc2 19761	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (𝑅 Σg (𝑦 ∈ 𝐽 ↦ (𝑋 · 𝑌))) = (𝑋 · (𝑅 Σg (𝑦 ∈ 𝐽 ↦ 𝑌))))
121	120	mpteq2dva 5170	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ (𝑅 Σg (𝑦 ∈ 𝐽 ↦ (𝑋 · 𝑌)))) = (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ (𝑋 · (𝑅 Σg (𝑦 ∈ 𝐽 ↦ 𝑌)))))
122	121	oveq2d 7271	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑅 Σg (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ (𝑅 Σg (𝑦 ∈ 𝐽 ↦ (𝑋 · 𝑌))))) = (𝑅 Σg (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ (𝑋 · (𝑅 Σg (𝑦 ∈ 𝐽 ↦ 𝑌))))))
123	1, 2, 5, 7, 16, 25	gsumcl 19431	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑅 Σg (𝑦 ∈ 𝐽 ↦ 𝑌)) ∈ 𝐵)
124	1, 2, 115, 20, 3, 6, 123, 10, 23	gsummulc1 19760	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑅 Σg (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ (𝑋 · (𝑅 Σg (𝑦 ∈ 𝐽 ↦ 𝑌))))) = ((𝑅 Σg (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑋)) · (𝑅 Σg (𝑦 ∈ 𝐽 ↦ 𝑌))))
125	114, 122, 124	3eqtrrd 2783	1 ⊢ (𝜑 → ((𝑅 Σg (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑋)) · (𝑅 Σg (𝑦 ∈ 𝐽 ↦ 𝑌))) = (𝑅 Σg (𝑥 ∈ 𝐼, 𝑦 ∈ 𝐽 ↦ (𝑋 · 𝑌))))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   ∨ wo 843   ∧ w3a 1085   = wceq 1539   ∈ wcel 2108  Vcvv 3422   ∖ cdif 3880   class class class wbr 5070   ↦ cmpt 5153   × cxp 5578  ⟶wf 6414  ‘cfv 6418  (class class class)co 7255   ∈ cmpo 7257   supp csupp 7948  Fincfn 8691   finSupp cfsupp 9058  Basecbs 16840  +_gcplusg 16888  ._rcmulr 16889  0_gc0g 17067   Σ_g cgsu 17068  CMndccmn 19301  Ringcrg 19698

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-rep 5205  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rmo 3071  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-int 4877  df-iun 4923  df-iin 4924  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-se 5536  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-isom 6427  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-of 7511  df-om 7688  df-1st 7804  df-2nd 7805  df-supp 7949  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-1o 8267  df-er 8456  df-map 8575  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-fin 8695  df-fsupp 9059  df-oi 9199  df-card 9628  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-nn 11904  df-2 11966  df-n0 12164  df-z 12250  df-uz 12512  df-fz 13169  df-fzo 13312  df-seq 13650  df-hash 13973  df-sets 16793  df-slot 16811  df-ndx 16823  df-base 16841  df-ress 16868  df-plusg 16901  df-0g 17069  df-gsum 17070  df-mre 17212  df-mrc 17213  df-acs 17215  df-mgm 18241  df-sgrp 18290  df-mnd 18301  df-mhm 18345  df-submnd 18346  df-grp 18495  df-minusg 18496  df-mulg 18616  df-ghm 18747  df-cntz 18838  df-cmn 19303  df-abl 19304  df-mgp 19636  df-ur 19653  df-ring 19700

This theorem is referenced by:  evlslem2  21199