Theorem gsumdixp 20266

Description: Distribute a binary product of sums to a sum of binary products in a ring. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Mar-2015.) (Revised by AV, 10-Jul-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
gsumdixp.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
gsumdixp.t	⊢ · = (.r‘𝑅)
gsumdixp.z	⊢ 0 = (0g‘𝑅)
gsumdixp.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
gsumdixp.j	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ 𝑊)
gsumdixp.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
gsumdixp.x	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → 𝑋 ∈ 𝐵)
gsumdixp.y	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐽) → 𝑌 ∈ 𝐵)
gsumdixp.xf	⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑋) finSupp 0 )
gsumdixp.yf	⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ 𝐽 ↦ 𝑌) finSupp 0 )

Assertion

Ref	Expression
gsumdixp	⊢ (𝜑 → ((𝑅 Σg (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑋)) · (𝑅 Σg (𝑦 ∈ 𝐽 ↦ 𝑌))) = (𝑅 Σg (𝑥 ∈ 𝐼, 𝑦 ∈ 𝐽 ↦ (𝑋 · 𝑌))))

Distinct variable groups:   𝜑,𝑥,𝑦   𝑥,𝐵,𝑦   𝑥,𝐼,𝑦   𝑥,𝐽,𝑦   𝑥,𝑅   𝑥, · ,𝑦   𝑦,𝑋   𝑥,𝑌

Allowed substitution hints:   𝑅(𝑦)   𝑉(𝑥,𝑦)   𝑊(𝑥,𝑦)   𝑋(𝑥)   𝑌(𝑦)   0 (𝑥,𝑦)

Proof of Theorem gsumdixp

Dummy variables 𝑖 𝑗 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		gsumdixp.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
2		gsumdixp.z	. . . 4 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
3		gsumdixp.r	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
4	3	ringcmnd 20231	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CMnd)
5		gsumdixp.i	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
6		gsumdixp.j	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ 𝑊)
7	6	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) → 𝐽 ∈ 𝑊)
8		gsumdixp.t	. . . . 5 ⊢ · = (.r‘𝑅)
9	3	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝐼 ∧ 𝑗 ∈ 𝐽)) → 𝑅 ∈ Ring)
10		gsumdixp.x	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → 𝑋 ∈ 𝐵)
11	10	fmpttd 7069	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑋):𝐼⟶𝐵)
12		simpl 482	. . . . . 6 ⊢ ((𝑖 ∈ 𝐼 ∧ 𝑗 ∈ 𝐽) → 𝑖 ∈ 𝐼)
13		ffvelcdm 7035	. . . . . 6 ⊢ (((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑋):𝐼⟶𝐵 ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) → ((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑋)‘𝑖) ∈ 𝐵)
14	11, 12, 13	syl2an 597	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝐼 ∧ 𝑗 ∈ 𝐽)) → ((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑋)‘𝑖) ∈ 𝐵)
15		gsumdixp.y	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐽) → 𝑌 ∈ 𝐵)
16	15	fmpttd 7069	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ 𝐽 ↦ 𝑌):𝐽⟶𝐵)
17		simpr 484	. . . . . 6 ⊢ ((𝑖 ∈ 𝐼 ∧ 𝑗 ∈ 𝐽) → 𝑗 ∈ 𝐽)
18		ffvelcdm 7035	. . . . . 6 ⊢ (((𝑦 ∈ 𝐽 ↦ 𝑌):𝐽⟶𝐵 ∧ 𝑗 ∈ 𝐽) → ((𝑦 ∈ 𝐽 ↦ 𝑌)‘𝑗) ∈ 𝐵)
19	16, 17, 18	syl2an 597	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝐼 ∧ 𝑗 ∈ 𝐽)) → ((𝑦 ∈ 𝐽 ↦ 𝑌)‘𝑗) ∈ 𝐵)
20	1, 8, 9, 14, 19	ringcld 20207	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝐼 ∧ 𝑗 ∈ 𝐽)) → (((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑋)‘𝑖) · ((𝑦 ∈ 𝐽 ↦ 𝑌)‘𝑗)) ∈ 𝐵)
21		gsumdixp.xf	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑋) finSupp 0 )
22	21	fsuppimpd 9284	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑋) supp 0 ) ∈ Fin)
23		gsumdixp.yf	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ 𝐽 ↦ 𝑌) finSupp 0 )
24	23	fsuppimpd 9284	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑦 ∈ 𝐽 ↦ 𝑌) supp 0 ) ∈ Fin)
25		xpfi 9232	. . . . 5 ⊢ ((((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑋) supp 0 ) ∈ Fin ∧ ((𝑦 ∈ 𝐽 ↦ 𝑌) supp 0 ) ∈ Fin) → (((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑋) supp 0 ) × ((𝑦 ∈ 𝐽 ↦ 𝑌) supp 0 )) ∈ Fin)
26	22, 24, 25	syl2anc 585	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑋) supp 0 ) × ((𝑦 ∈ 𝐽 ↦ 𝑌) supp 0 )) ∈ Fin)
27		ianor 984	. . . . . . 7 ⊢ (¬ (𝑖 ∈ ((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑋) supp 0 ) ∧ 𝑗 ∈ ((𝑦 ∈ 𝐽 ↦ 𝑌) supp 0 )) ↔ (¬ 𝑖 ∈ ((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑋) supp 0 ) ∨ ¬ 𝑗 ∈ ((𝑦 ∈ 𝐽 ↦ 𝑌) supp 0 )))
28		brxp 5681	. . . . . . 7 ⊢ (𝑖(((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑋) supp 0 ) × ((𝑦 ∈ 𝐽 ↦ 𝑌) supp 0 ))𝑗 ↔ (𝑖 ∈ ((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑋) supp 0 ) ∧ 𝑗 ∈ ((𝑦 ∈ 𝐽 ↦ 𝑌) supp 0 )))
29	27, 28	xchnxbir 333	. . . . . 6 ⊢ (¬ 𝑖(((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑋) supp 0 ) × ((𝑦 ∈ 𝐽 ↦ 𝑌) supp 0 ))𝑗 ↔ (¬ 𝑖 ∈ ((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑋) supp 0 ) ∨ ¬ 𝑗 ∈ ((𝑦 ∈ 𝐽 ↦ 𝑌) supp 0 )))
30		simprl 771	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝐼 ∧ 𝑗 ∈ 𝐽)) → 𝑖 ∈ 𝐼)
31		eldif 3913	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑖 ∈ (𝐼 ∖ ((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑋) supp 0 )) ↔ (𝑖 ∈ 𝐼 ∧ ¬ 𝑖 ∈ ((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑋) supp 0 )))
32	31	biimpri 228	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑖 ∈ 𝐼 ∧ ¬ 𝑖 ∈ ((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑋) supp 0 )) → 𝑖 ∈ (𝐼 ∖ ((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑋) supp 0 )))
33	30, 32	sylan 581	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝐼 ∧ 𝑗 ∈ 𝐽)) ∧ ¬ 𝑖 ∈ ((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑋) supp 0 )) → 𝑖 ∈ (𝐼 ∖ ((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑋) supp 0 )))
34	11	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝐼 ∧ 𝑗 ∈ 𝐽)) → (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑋):𝐼⟶𝐵)
35		ssidd 3959	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝐼 ∧ 𝑗 ∈ 𝐽)) → ((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑋) supp 0 ) ⊆ ((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑋) supp 0 ))
36	5	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝐼 ∧ 𝑗 ∈ 𝐽)) → 𝐼 ∈ 𝑉)
37	2	fvexi 6856	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 0 ∈ V
38	37	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝐼 ∧ 𝑗 ∈ 𝐽)) → 0 ∈ V)
39	34, 35, 36, 38	suppssr 8147	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝐼 ∧ 𝑗 ∈ 𝐽)) ∧ 𝑖 ∈ (𝐼 ∖ ((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑋) supp 0 ))) → ((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑋)‘𝑖) = 0 )
40	33, 39	syldan 592	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝐼 ∧ 𝑗 ∈ 𝐽)) ∧ ¬ 𝑖 ∈ ((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑋) supp 0 )) → ((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑋)‘𝑖) = 0 )
41	40	oveq1d 7383	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝐼 ∧ 𝑗 ∈ 𝐽)) ∧ ¬ 𝑖 ∈ ((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑋) supp 0 )) → (((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑋)‘𝑖) · ((𝑦 ∈ 𝐽 ↦ 𝑌)‘𝑗)) = ( 0 · ((𝑦 ∈ 𝐽 ↦ 𝑌)‘𝑗)))
42	1, 8, 2	ringlz 20240	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ ((𝑦 ∈ 𝐽 ↦ 𝑌)‘𝑗) ∈ 𝐵) → ( 0 · ((𝑦 ∈ 𝐽 ↦ 𝑌)‘𝑗)) = 0 )
43	9, 19, 42	syl2anc 585	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝐼 ∧ 𝑗 ∈ 𝐽)) → ( 0 · ((𝑦 ∈ 𝐽 ↦ 𝑌)‘𝑗)) = 0 )
44	43	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝐼 ∧ 𝑗 ∈ 𝐽)) ∧ ¬ 𝑖 ∈ ((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑋) supp 0 )) → ( 0 · ((𝑦 ∈ 𝐽 ↦ 𝑌)‘𝑗)) = 0 )
45	41, 44	eqtrd 2772	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝐼 ∧ 𝑗 ∈ 𝐽)) ∧ ¬ 𝑖 ∈ ((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑋) supp 0 )) → (((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑋)‘𝑖) · ((𝑦 ∈ 𝐽 ↦ 𝑌)‘𝑗)) = 0 )
46		simprr 773	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝐼 ∧ 𝑗 ∈ 𝐽)) → 𝑗 ∈ 𝐽)
47		eldif 3913	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑗 ∈ (𝐽 ∖ ((𝑦 ∈ 𝐽 ↦ 𝑌) supp 0 )) ↔ (𝑗 ∈ 𝐽 ∧ ¬ 𝑗 ∈ ((𝑦 ∈ 𝐽 ↦ 𝑌) supp 0 )))
48	47	biimpri 228	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑗 ∈ 𝐽 ∧ ¬ 𝑗 ∈ ((𝑦 ∈ 𝐽 ↦ 𝑌) supp 0 )) → 𝑗 ∈ (𝐽 ∖ ((𝑦 ∈ 𝐽 ↦ 𝑌) supp 0 )))
49	46, 48	sylan 581	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝐼 ∧ 𝑗 ∈ 𝐽)) ∧ ¬ 𝑗 ∈ ((𝑦 ∈ 𝐽 ↦ 𝑌) supp 0 )) → 𝑗 ∈ (𝐽 ∖ ((𝑦 ∈ 𝐽 ↦ 𝑌) supp 0 )))
50	16	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝐼 ∧ 𝑗 ∈ 𝐽)) → (𝑦 ∈ 𝐽 ↦ 𝑌):𝐽⟶𝐵)
51		ssidd 3959	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝐼 ∧ 𝑗 ∈ 𝐽)) → ((𝑦 ∈ 𝐽 ↦ 𝑌) supp 0 ) ⊆ ((𝑦 ∈ 𝐽 ↦ 𝑌) supp 0 ))
52	6	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝐼 ∧ 𝑗 ∈ 𝐽)) → 𝐽 ∈ 𝑊)
53	50, 51, 52, 38	suppssr 8147	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝐼 ∧ 𝑗 ∈ 𝐽)) ∧ 𝑗 ∈ (𝐽 ∖ ((𝑦 ∈ 𝐽 ↦ 𝑌) supp 0 ))) → ((𝑦 ∈ 𝐽 ↦ 𝑌)‘𝑗) = 0 )
54	49, 53	syldan 592	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝐼 ∧ 𝑗 ∈ 𝐽)) ∧ ¬ 𝑗 ∈ ((𝑦 ∈ 𝐽 ↦ 𝑌) supp 0 )) → ((𝑦 ∈ 𝐽 ↦ 𝑌)‘𝑗) = 0 )
55	54	oveq2d 7384	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝐼 ∧ 𝑗 ∈ 𝐽)) ∧ ¬ 𝑗 ∈ ((𝑦 ∈ 𝐽 ↦ 𝑌) supp 0 )) → (((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑋)‘𝑖) · ((𝑦 ∈ 𝐽 ↦ 𝑌)‘𝑗)) = (((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑋)‘𝑖) · 0 ))
56	1, 8, 2	ringrz 20241	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ ((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑋)‘𝑖) ∈ 𝐵) → (((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑋)‘𝑖) · 0 ) = 0 )
57	9, 14, 56	syl2anc 585	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝐼 ∧ 𝑗 ∈ 𝐽)) → (((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑋)‘𝑖) · 0 ) = 0 )
58	57	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝐼 ∧ 𝑗 ∈ 𝐽)) ∧ ¬ 𝑗 ∈ ((𝑦 ∈ 𝐽 ↦ 𝑌) supp 0 )) → (((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑋)‘𝑖) · 0 ) = 0 )
59	55, 58	eqtrd 2772	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝐼 ∧ 𝑗 ∈ 𝐽)) ∧ ¬ 𝑗 ∈ ((𝑦 ∈ 𝐽 ↦ 𝑌) supp 0 )) → (((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑋)‘𝑖) · ((𝑦 ∈ 𝐽 ↦ 𝑌)‘𝑗)) = 0 )
60	45, 59	jaodan 960	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝐼 ∧ 𝑗 ∈ 𝐽)) ∧ (¬ 𝑖 ∈ ((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑋) supp 0 ) ∨ ¬ 𝑗 ∈ ((𝑦 ∈ 𝐽 ↦ 𝑌) supp 0 ))) → (((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑋)‘𝑖) · ((𝑦 ∈ 𝐽 ↦ 𝑌)‘𝑗)) = 0 )
61	29, 60	sylan2b 595	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝐼 ∧ 𝑗 ∈ 𝐽)) ∧ ¬ 𝑖(((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑋) supp 0 ) × ((𝑦 ∈ 𝐽 ↦ 𝑌) supp 0 ))𝑗) → (((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑋)‘𝑖) · ((𝑦 ∈ 𝐽 ↦ 𝑌)‘𝑗)) = 0 )
62	61	anasss 466	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑖 ∈ 𝐼 ∧ 𝑗 ∈ 𝐽) ∧ ¬ 𝑖(((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑋) supp 0 ) × ((𝑦 ∈ 𝐽 ↦ 𝑌) supp 0 ))𝑗)) → (((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑋)‘𝑖) · ((𝑦 ∈ 𝐽 ↦ 𝑌)‘𝑗)) = 0 )
63	1, 2, 4, 5, 7, 20, 26, 62	gsum2d2 19915	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑅 Σg (𝑖 ∈ 𝐼, 𝑗 ∈ 𝐽 ↦ (((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑋)‘𝑖) · ((𝑦 ∈ 𝐽 ↦ 𝑌)‘𝑗)))) = (𝑅 Σg (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ (𝑅 Σg (𝑗 ∈ 𝐽 ↦ (((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑋)‘𝑖) · ((𝑦 ∈ 𝐽 ↦ 𝑌)‘𝑗)))))))
64		nffvmpt1 6853	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑥((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑋)‘𝑖)
65		nfcv 2899	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑥 ·
66		nfcv 2899	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑥((𝑦 ∈ 𝐽 ↦ 𝑌)‘𝑗)
67	64, 65, 66	nfov 7398	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑥(((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑋)‘𝑖) · ((𝑦 ∈ 𝐽 ↦ 𝑌)‘𝑗))
68		nfcv 2899	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑦((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑋)‘𝑖)
69		nfcv 2899	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑦 ·
70		nffvmpt1 6853	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑦((𝑦 ∈ 𝐽 ↦ 𝑌)‘𝑗)
71	68, 69, 70	nfov 7398	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑦(((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑋)‘𝑖) · ((𝑦 ∈ 𝐽 ↦ 𝑌)‘𝑗))
72		nfcv 2899	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑖(((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑋)‘𝑥) · ((𝑦 ∈ 𝐽 ↦ 𝑌)‘𝑦))
73		nfcv 2899	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑗(((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑋)‘𝑥) · ((𝑦 ∈ 𝐽 ↦ 𝑌)‘𝑦))
74		fveq2 6842	. . . . . . 7 ⊢ (𝑖 = 𝑥 → ((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑋)‘𝑖) = ((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑋)‘𝑥))
75		fveq2 6842	. . . . . . 7 ⊢ (𝑗 = 𝑦 → ((𝑦 ∈ 𝐽 ↦ 𝑌)‘𝑗) = ((𝑦 ∈ 𝐽 ↦ 𝑌)‘𝑦))
76	74, 75	oveqan12d 7387	. . . . . 6 ⊢ ((𝑖 = 𝑥 ∧ 𝑗 = 𝑦) → (((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑋)‘𝑖) · ((𝑦 ∈ 𝐽 ↦ 𝑌)‘𝑗)) = (((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑋)‘𝑥) · ((𝑦 ∈ 𝐽 ↦ 𝑌)‘𝑦)))
77	67, 71, 72, 73, 76	cbvmpo 7462	. . . . 5 ⊢ (𝑖 ∈ 𝐼, 𝑗 ∈ 𝐽 ↦ (((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑋)‘𝑖) · ((𝑦 ∈ 𝐽 ↦ 𝑌)‘𝑗))) = (𝑥 ∈ 𝐼, 𝑦 ∈ 𝐽 ↦ (((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑋)‘𝑥) · ((𝑦 ∈ 𝐽 ↦ 𝑌)‘𝑦)))
78		simp2 1138	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼 ∧ 𝑦 ∈ 𝐽) → 𝑥 ∈ 𝐼)
79	10	3adant3 1133	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼 ∧ 𝑦 ∈ 𝐽) → 𝑋 ∈ 𝐵)
80		eqid 2737	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑋) = (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑋)
81	80	fvmpt2 6961	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐼 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑋)‘𝑥) = 𝑋)
82	78, 79, 81	syl2anc 585	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼 ∧ 𝑦 ∈ 𝐽) → ((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑋)‘𝑥) = 𝑋)
83		simp3 1139	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼 ∧ 𝑦 ∈ 𝐽) → 𝑦 ∈ 𝐽)
84		eqid 2737	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐽 ↦ 𝑌) = (𝑦 ∈ 𝐽 ↦ 𝑌)
85	84	fvmpt2 6961	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐽 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ((𝑦 ∈ 𝐽 ↦ 𝑌)‘𝑦) = 𝑌)
86	83, 15, 85	3imp3i2an 1347	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼 ∧ 𝑦 ∈ 𝐽) → ((𝑦 ∈ 𝐽 ↦ 𝑌)‘𝑦) = 𝑌)
87	82, 86	oveq12d 7386	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼 ∧ 𝑦 ∈ 𝐽) → (((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑋)‘𝑥) · ((𝑦 ∈ 𝐽 ↦ 𝑌)‘𝑦)) = (𝑋 · 𝑌))
88	87	mpoeq3dva 7445	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐼, 𝑦 ∈ 𝐽 ↦ (((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑋)‘𝑥) · ((𝑦 ∈ 𝐽 ↦ 𝑌)‘𝑦))) = (𝑥 ∈ 𝐼, 𝑦 ∈ 𝐽 ↦ (𝑋 · 𝑌)))
89	77, 88	eqtrid 2784	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑖 ∈ 𝐼, 𝑗 ∈ 𝐽 ↦ (((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑋)‘𝑖) · ((𝑦 ∈ 𝐽 ↦ 𝑌)‘𝑗))) = (𝑥 ∈ 𝐼, 𝑦 ∈ 𝐽 ↦ (𝑋 · 𝑌)))
90	89	oveq2d 7384	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑅 Σg (𝑖 ∈ 𝐼, 𝑗 ∈ 𝐽 ↦ (((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑋)‘𝑖) · ((𝑦 ∈ 𝐽 ↦ 𝑌)‘𝑗)))) = (𝑅 Σg (𝑥 ∈ 𝐼, 𝑦 ∈ 𝐽 ↦ (𝑋 · 𝑌))))
91		nfcv 2899	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑥𝑅
92		nfcv 2899	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑥 Σg
93		nfcv 2899	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑥𝐽
94	93, 67	nfmpt 5198	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑥(𝑗 ∈ 𝐽 ↦ (((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑋)‘𝑖) · ((𝑦 ∈ 𝐽 ↦ 𝑌)‘𝑗)))
95	91, 92, 94	nfov 7398	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑥(𝑅 Σg (𝑗 ∈ 𝐽 ↦ (((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑋)‘𝑖) · ((𝑦 ∈ 𝐽 ↦ 𝑌)‘𝑗))))
96		nfcv 2899	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑖(𝑅 Σg (𝑦 ∈ 𝐽 ↦ (((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑋)‘𝑥) · ((𝑦 ∈ 𝐽 ↦ 𝑌)‘𝑦))))
97	74	oveq1d 7383	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑖 = 𝑥 → (((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑋)‘𝑖) · ((𝑦 ∈ 𝐽 ↦ 𝑌)‘𝑗)) = (((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑋)‘𝑥) · ((𝑦 ∈ 𝐽 ↦ 𝑌)‘𝑗)))
98	97	mpteq2dv 5194	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑖 = 𝑥 → (𝑗 ∈ 𝐽 ↦ (((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑋)‘𝑖) · ((𝑦 ∈ 𝐽 ↦ 𝑌)‘𝑗))) = (𝑗 ∈ 𝐽 ↦ (((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑋)‘𝑥) · ((𝑦 ∈ 𝐽 ↦ 𝑌)‘𝑗))))
99		nfcv 2899	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑦((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑋)‘𝑥)
100	99, 69, 70	nfov 7398	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑦(((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑋)‘𝑥) · ((𝑦 ∈ 𝐽 ↦ 𝑌)‘𝑗))
101	75	oveq2d 7384	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑗 = 𝑦 → (((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑋)‘𝑥) · ((𝑦 ∈ 𝐽 ↦ 𝑌)‘𝑗)) = (((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑋)‘𝑥) · ((𝑦 ∈ 𝐽 ↦ 𝑌)‘𝑦)))
102	100, 73, 101	cbvmpt 5202	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑗 ∈ 𝐽 ↦ (((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑋)‘𝑥) · ((𝑦 ∈ 𝐽 ↦ 𝑌)‘𝑗))) = (𝑦 ∈ 𝐽 ↦ (((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑋)‘𝑥) · ((𝑦 ∈ 𝐽 ↦ 𝑌)‘𝑦)))
103	98, 102	eqtrdi 2788	. . . . . . 7 ⊢ (𝑖 = 𝑥 → (𝑗 ∈ 𝐽 ↦ (((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑋)‘𝑖) · ((𝑦 ∈ 𝐽 ↦ 𝑌)‘𝑗))) = (𝑦 ∈ 𝐽 ↦ (((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑋)‘𝑥) · ((𝑦 ∈ 𝐽 ↦ 𝑌)‘𝑦))))
104	103	oveq2d 7384	. . . . . 6 ⊢ (𝑖 = 𝑥 → (𝑅 Σg (𝑗 ∈ 𝐽 ↦ (((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑋)‘𝑖) · ((𝑦 ∈ 𝐽 ↦ 𝑌)‘𝑗)))) = (𝑅 Σg (𝑦 ∈ 𝐽 ↦ (((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑋)‘𝑥) · ((𝑦 ∈ 𝐽 ↦ 𝑌)‘𝑦)))))
105	95, 96, 104	cbvmpt 5202	. . . . 5 ⊢ (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ (𝑅 Σg (𝑗 ∈ 𝐽 ↦ (((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑋)‘𝑖) · ((𝑦 ∈ 𝐽 ↦ 𝑌)‘𝑗))))) = (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ (𝑅 Σg (𝑦 ∈ 𝐽 ↦ (((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑋)‘𝑥) · ((𝑦 ∈ 𝐽 ↦ 𝑌)‘𝑦)))))
106	87	3expa 1119	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) ∧ 𝑦 ∈ 𝐽) → (((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑋)‘𝑥) · ((𝑦 ∈ 𝐽 ↦ 𝑌)‘𝑦)) = (𝑋 · 𝑌))
107	106	mpteq2dva 5193	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (𝑦 ∈ 𝐽 ↦ (((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑋)‘𝑥) · ((𝑦 ∈ 𝐽 ↦ 𝑌)‘𝑦))) = (𝑦 ∈ 𝐽 ↦ (𝑋 · 𝑌)))
108	107	oveq2d 7384	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (𝑅 Σg (𝑦 ∈ 𝐽 ↦ (((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑋)‘𝑥) · ((𝑦 ∈ 𝐽 ↦ 𝑌)‘𝑦)))) = (𝑅 Σg (𝑦 ∈ 𝐽 ↦ (𝑋 · 𝑌))))
109	108	mpteq2dva 5193	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ (𝑅 Σg (𝑦 ∈ 𝐽 ↦ (((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑋)‘𝑥) · ((𝑦 ∈ 𝐽 ↦ 𝑌)‘𝑦))))) = (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ (𝑅 Σg (𝑦 ∈ 𝐽 ↦ (𝑋 · 𝑌)))))
110	105, 109	eqtrid 2784	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ (𝑅 Σg (𝑗 ∈ 𝐽 ↦ (((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑋)‘𝑖) · ((𝑦 ∈ 𝐽 ↦ 𝑌)‘𝑗))))) = (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ (𝑅 Σg (𝑦 ∈ 𝐽 ↦ (𝑋 · 𝑌)))))
111	110	oveq2d 7384	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑅 Σg (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ (𝑅 Σg (𝑗 ∈ 𝐽 ↦ (((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑋)‘𝑖) · ((𝑦 ∈ 𝐽 ↦ 𝑌)‘𝑗)))))) = (𝑅 Σg (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ (𝑅 Σg (𝑦 ∈ 𝐽 ↦ (𝑋 · 𝑌))))))
112	63, 90, 111	3eqtr3d 2780	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑅 Σg (𝑥 ∈ 𝐼, 𝑦 ∈ 𝐽 ↦ (𝑋 · 𝑌))) = (𝑅 Σg (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ (𝑅 Σg (𝑦 ∈ 𝐽 ↦ (𝑋 · 𝑌))))))
113	3	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → 𝑅 ∈ Ring)
114	6	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → 𝐽 ∈ 𝑊)
115	15	adantlr 716	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) ∧ 𝑦 ∈ 𝐽) → 𝑌 ∈ 𝐵)
116	23	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (𝑦 ∈ 𝐽 ↦ 𝑌) finSupp 0 )
117	1, 2, 8, 113, 114, 10, 115, 116	gsummulc2 20264	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (𝑅 Σg (𝑦 ∈ 𝐽 ↦ (𝑋 · 𝑌))) = (𝑋 · (𝑅 Σg (𝑦 ∈ 𝐽 ↦ 𝑌))))
118	117	mpteq2dva 5193	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ (𝑅 Σg (𝑦 ∈ 𝐽 ↦ (𝑋 · 𝑌)))) = (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ (𝑋 · (𝑅 Σg (𝑦 ∈ 𝐽 ↦ 𝑌)))))
119	118	oveq2d 7384	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑅 Σg (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ (𝑅 Σg (𝑦 ∈ 𝐽 ↦ (𝑋 · 𝑌))))) = (𝑅 Σg (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ (𝑋 · (𝑅 Σg (𝑦 ∈ 𝐽 ↦ 𝑌))))))
120	1, 2, 4, 6, 16, 23	gsumcl 19856	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑅 Σg (𝑦 ∈ 𝐽 ↦ 𝑌)) ∈ 𝐵)
121	1, 2, 8, 3, 5, 120, 10, 21	gsummulc1 20263	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑅 Σg (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ (𝑋 · (𝑅 Σg (𝑦 ∈ 𝐽 ↦ 𝑌))))) = ((𝑅 Σg (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑋)) · (𝑅 Σg (𝑦 ∈ 𝐽 ↦ 𝑌))))
122	112, 119, 121	3eqtrrd 2777	1 ⊢ (𝜑 → ((𝑅 Σg (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑋)) · (𝑅 Σg (𝑦 ∈ 𝐽 ↦ 𝑌))) = (𝑅 Σg (𝑥 ∈ 𝐼, 𝑦 ∈ 𝐽 ↦ (𝑋 · 𝑌))))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   ∨ wo 848   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  Vcvv 3442   ∖ cdif 3900   class class class wbr 5100   ↦ cmpt 5181   × cxp 5630  ⟶wf 6496  ‘cfv 6500  (class class class)co 7368   ∈ cmpo 7370   supp csupp 8112  Fincfn 8895   finSupp cfsupp 9276  Basecbs 17148  ._rcmulr 17190  0_gc0g 17371   Σ_g cgsu 17372  Ringcrg 20180

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5226  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-int 4905  df-iun 4950  df-iin 4951  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5527  df-eprel 5532  df-po 5540  df-so 5541  df-fr 5585  df-se 5586  df-we 5587  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-pred 6267  df-ord 6328  df-on 6329  df-lim 6330  df-suc 6331  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-isom 6509  df-riota 7325  df-ov 7371  df-oprab 7372  df-mpo 7373  df-of 7632  df-om 7819  df-1st 7943  df-2nd 7944  df-supp 8113  df-frecs 8233  df-wrecs 8264  df-recs 8313  df-rdg 8351  df-1o 8407  df-2o 8408  df-er 8645  df-map 8777  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-fin 8899  df-fsupp 9277  df-oi 9427  df-card 9863  df-pnf 11180  df-mnf 11181  df-xr 11182  df-ltxr 11183  df-le 11184  df-sub 11378  df-neg 11379  df-nn 12158  df-2 12220  df-n0 12414  df-z 12501  df-uz 12764  df-fz 13436  df-fzo 13583  df-seq 13937  df-hash 14266  df-sets 17103  df-slot 17121  df-ndx 17133  df-base 17149  df-ress 17170  df-plusg 17202  df-0g 17373  df-gsum 17374  df-mre 17517  df-mrc 17518  df-acs 17520  df-mgm 18577  df-sgrp 18656  df-mnd 18672  df-mhm 18720  df-submnd 18721  df-grp 18878  df-minusg 18879  df-mulg 19010  df-ghm 19154  df-cntz 19258  df-cmn 19723  df-abl 19724  df-mgp 20088  df-rng 20100  df-ur 20129  df-ring 20182

This theorem is referenced by:  evlslem2  22046  elrgspnlem2  33336