MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  gsumdixp Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem gsumdixp 20208
Description: Distribute a binary product of sums to a sum of binary products in a ring. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Mar-2015.) (Revised by AV, 10-Jul-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
gsumdixp.b 𝐵 = (Base‘𝑅)
gsumdixp.t · = (.r𝑅)
gsumdixp.z 0 = (0g𝑅)
gsumdixp.i (𝜑𝐼𝑉)
gsumdixp.j (𝜑𝐽𝑊)
gsumdixp.r (𝜑𝑅 ∈ Ring)
gsumdixp.x ((𝜑𝑥𝐼) → 𝑋𝐵)
gsumdixp.y ((𝜑𝑦𝐽) → 𝑌𝐵)
gsumdixp.xf (𝜑 → (𝑥𝐼𝑋) finSupp 0 )
gsumdixp.yf (𝜑 → (𝑦𝐽𝑌) finSupp 0 )
Assertion
Ref Expression
gsumdixp (𝜑 → ((𝑅 Σg (𝑥𝐼𝑋)) · (𝑅 Σg (𝑦𝐽𝑌))) = (𝑅 Σg (𝑥𝐼, 𝑦𝐽 ↦ (𝑋 · 𝑌))))
Distinct variable groups:   𝜑,𝑥,𝑦   𝑥,𝐵,𝑦   𝑥,𝐼,𝑦   𝑥,𝐽,𝑦   𝑥,𝑅   𝑥, · ,𝑦   𝑦,𝑋   𝑥,𝑌
Allowed substitution hints:   𝑅(𝑦)   𝑉(𝑥,𝑦)   𝑊(𝑥,𝑦)   𝑋(𝑥)   𝑌(𝑦)   0 (𝑥,𝑦)

Proof of Theorem gsumdixp
Dummy variables 𝑖 𝑗 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 gsumdixp.b . . . 4 𝐵 = (Base‘𝑅)
2 gsumdixp.z . . . 4 0 = (0g𝑅)
3 gsumdixp.r . . . . 5 (𝜑𝑅 ∈ Ring)
43ringcmnd 20173 . . . 4 (𝜑𝑅 ∈ CMnd)
5 gsumdixp.i . . . 4 (𝜑𝐼𝑉)
6 gsumdixp.j . . . . 5 (𝜑𝐽𝑊)
76adantr 480 . . . 4 ((𝜑𝑖𝐼) → 𝐽𝑊)
8 gsumdixp.t . . . . 5 · = (.r𝑅)
93adantr 480 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑖𝐼𝑗𝐽)) → 𝑅 ∈ Ring)
10 gsumdixp.x . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝐼) → 𝑋𝐵)
1110fmpttd 7116 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑥𝐼𝑋):𝐼𝐵)
12 simpl 482 . . . . . 6 ((𝑖𝐼𝑗𝐽) → 𝑖𝐼)
13 ffvelcdm 7083 . . . . . 6 (((𝑥𝐼𝑋):𝐼𝐵𝑖𝐼) → ((𝑥𝐼𝑋)‘𝑖) ∈ 𝐵)
1411, 12, 13syl2an 595 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑖𝐼𝑗𝐽)) → ((𝑥𝐼𝑋)‘𝑖) ∈ 𝐵)
15 gsumdixp.y . . . . . . 7 ((𝜑𝑦𝐽) → 𝑌𝐵)
1615fmpttd 7116 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑦𝐽𝑌):𝐽𝐵)
17 simpr 484 . . . . . 6 ((𝑖𝐼𝑗𝐽) → 𝑗𝐽)
18 ffvelcdm 7083 . . . . . 6 (((𝑦𝐽𝑌):𝐽𝐵𝑗𝐽) → ((𝑦𝐽𝑌)‘𝑗) ∈ 𝐵)
1916, 17, 18syl2an 595 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑖𝐼𝑗𝐽)) → ((𝑦𝐽𝑌)‘𝑗) ∈ 𝐵)
201, 8, 9, 14, 19ringcld 20152 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑖𝐼𝑗𝐽)) → (((𝑥𝐼𝑋)‘𝑖) · ((𝑦𝐽𝑌)‘𝑗)) ∈ 𝐵)
21 gsumdixp.xf . . . . . 6 (𝜑 → (𝑥𝐼𝑋) finSupp 0 )
2221fsuppimpd 9373 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑥𝐼𝑋) supp 0 ) ∈ Fin)
23 gsumdixp.yf . . . . . 6 (𝜑 → (𝑦𝐽𝑌) finSupp 0 )
2423fsuppimpd 9373 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑦𝐽𝑌) supp 0 ) ∈ Fin)
25 xpfi 9321 . . . . 5 ((((𝑥𝐼𝑋) supp 0 ) ∈ Fin ∧ ((𝑦𝐽𝑌) supp 0 ) ∈ Fin) → (((𝑥𝐼𝑋) supp 0 ) × ((𝑦𝐽𝑌) supp 0 )) ∈ Fin)
2622, 24, 25syl2anc 583 . . . 4 (𝜑 → (((𝑥𝐼𝑋) supp 0 ) × ((𝑦𝐽𝑌) supp 0 )) ∈ Fin)
27 ianor 979 . . . . . . 7 (¬ (𝑖 ∈ ((𝑥𝐼𝑋) supp 0 ) ∧ 𝑗 ∈ ((𝑦𝐽𝑌) supp 0 )) ↔ (¬ 𝑖 ∈ ((𝑥𝐼𝑋) supp 0 ) ∨ ¬ 𝑗 ∈ ((𝑦𝐽𝑌) supp 0 )))
28 brxp 5725 . . . . . . 7 (𝑖(((𝑥𝐼𝑋) supp 0 ) × ((𝑦𝐽𝑌) supp 0 ))𝑗 ↔ (𝑖 ∈ ((𝑥𝐼𝑋) supp 0 ) ∧ 𝑗 ∈ ((𝑦𝐽𝑌) supp 0 )))
2927, 28xchnxbir 333 . . . . . 6 𝑖(((𝑥𝐼𝑋) supp 0 ) × ((𝑦𝐽𝑌) supp 0 ))𝑗 ↔ (¬ 𝑖 ∈ ((𝑥𝐼𝑋) supp 0 ) ∨ ¬ 𝑗 ∈ ((𝑦𝐽𝑌) supp 0 )))
30 simprl 768 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑖𝐼𝑗𝐽)) → 𝑖𝐼)
31 eldif 3958 . . . . . . . . . . . 12 (𝑖 ∈ (𝐼 ∖ ((𝑥𝐼𝑋) supp 0 )) ↔ (𝑖𝐼 ∧ ¬ 𝑖 ∈ ((𝑥𝐼𝑋) supp 0 )))
3231biimpri 227 . . . . . . . . . . 11 ((𝑖𝐼 ∧ ¬ 𝑖 ∈ ((𝑥𝐼𝑋) supp 0 )) → 𝑖 ∈ (𝐼 ∖ ((𝑥𝐼𝑋) supp 0 )))
3330, 32sylan 579 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑖𝐼𝑗𝐽)) ∧ ¬ 𝑖 ∈ ((𝑥𝐼𝑋) supp 0 )) → 𝑖 ∈ (𝐼 ∖ ((𝑥𝐼𝑋) supp 0 )))
3411adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑖𝐼𝑗𝐽)) → (𝑥𝐼𝑋):𝐼𝐵)
35 ssidd 4005 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑖𝐼𝑗𝐽)) → ((𝑥𝐼𝑋) supp 0 ) ⊆ ((𝑥𝐼𝑋) supp 0 ))
365adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑖𝐼𝑗𝐽)) → 𝐼𝑉)
372fvexi 6905 . . . . . . . . . . . 12 0 ∈ V
3837a1i 11 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑖𝐼𝑗𝐽)) → 0 ∈ V)
3934, 35, 36, 38suppssr 8185 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑖𝐼𝑗𝐽)) ∧ 𝑖 ∈ (𝐼 ∖ ((𝑥𝐼𝑋) supp 0 ))) → ((𝑥𝐼𝑋)‘𝑖) = 0 )
4033, 39syldan 590 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑖𝐼𝑗𝐽)) ∧ ¬ 𝑖 ∈ ((𝑥𝐼𝑋) supp 0 )) → ((𝑥𝐼𝑋)‘𝑖) = 0 )
4140oveq1d 7427 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑖𝐼𝑗𝐽)) ∧ ¬ 𝑖 ∈ ((𝑥𝐼𝑋) supp 0 )) → (((𝑥𝐼𝑋)‘𝑖) · ((𝑦𝐽𝑌)‘𝑗)) = ( 0 · ((𝑦𝐽𝑌)‘𝑗)))
421, 8, 2ringlz 20182 . . . . . . . . . 10 ((𝑅 ∈ Ring ∧ ((𝑦𝐽𝑌)‘𝑗) ∈ 𝐵) → ( 0 · ((𝑦𝐽𝑌)‘𝑗)) = 0 )
439, 19, 42syl2anc 583 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑖𝐼𝑗𝐽)) → ( 0 · ((𝑦𝐽𝑌)‘𝑗)) = 0 )
4443adantr 480 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑖𝐼𝑗𝐽)) ∧ ¬ 𝑖 ∈ ((𝑥𝐼𝑋) supp 0 )) → ( 0 · ((𝑦𝐽𝑌)‘𝑗)) = 0 )
4541, 44eqtrd 2771 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑖𝐼𝑗𝐽)) ∧ ¬ 𝑖 ∈ ((𝑥𝐼𝑋) supp 0 )) → (((𝑥𝐼𝑋)‘𝑖) · ((𝑦𝐽𝑌)‘𝑗)) = 0 )
46 simprr 770 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑖𝐼𝑗𝐽)) → 𝑗𝐽)
47 eldif 3958 . . . . . . . . . . . 12 (𝑗 ∈ (𝐽 ∖ ((𝑦𝐽𝑌) supp 0 )) ↔ (𝑗𝐽 ∧ ¬ 𝑗 ∈ ((𝑦𝐽𝑌) supp 0 )))
4847biimpri 227 . . . . . . . . . . 11 ((𝑗𝐽 ∧ ¬ 𝑗 ∈ ((𝑦𝐽𝑌) supp 0 )) → 𝑗 ∈ (𝐽 ∖ ((𝑦𝐽𝑌) supp 0 )))
4946, 48sylan 579 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑖𝐼𝑗𝐽)) ∧ ¬ 𝑗 ∈ ((𝑦𝐽𝑌) supp 0 )) → 𝑗 ∈ (𝐽 ∖ ((𝑦𝐽𝑌) supp 0 )))
5016adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑖𝐼𝑗𝐽)) → (𝑦𝐽𝑌):𝐽𝐵)
51 ssidd 4005 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑖𝐼𝑗𝐽)) → ((𝑦𝐽𝑌) supp 0 ) ⊆ ((𝑦𝐽𝑌) supp 0 ))
526adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑖𝐼𝑗𝐽)) → 𝐽𝑊)
5350, 51, 52, 38suppssr 8185 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑖𝐼𝑗𝐽)) ∧ 𝑗 ∈ (𝐽 ∖ ((𝑦𝐽𝑌) supp 0 ))) → ((𝑦𝐽𝑌)‘𝑗) = 0 )
5449, 53syldan 590 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑖𝐼𝑗𝐽)) ∧ ¬ 𝑗 ∈ ((𝑦𝐽𝑌) supp 0 )) → ((𝑦𝐽𝑌)‘𝑗) = 0 )
5554oveq2d 7428 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑖𝐼𝑗𝐽)) ∧ ¬ 𝑗 ∈ ((𝑦𝐽𝑌) supp 0 )) → (((𝑥𝐼𝑋)‘𝑖) · ((𝑦𝐽𝑌)‘𝑗)) = (((𝑥𝐼𝑋)‘𝑖) · 0 ))
561, 8, 2ringrz 20183 . . . . . . . . . 10 ((𝑅 ∈ Ring ∧ ((𝑥𝐼𝑋)‘𝑖) ∈ 𝐵) → (((𝑥𝐼𝑋)‘𝑖) · 0 ) = 0 )
579, 14, 56syl2anc 583 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑖𝐼𝑗𝐽)) → (((𝑥𝐼𝑋)‘𝑖) · 0 ) = 0 )
5857adantr 480 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑖𝐼𝑗𝐽)) ∧ ¬ 𝑗 ∈ ((𝑦𝐽𝑌) supp 0 )) → (((𝑥𝐼𝑋)‘𝑖) · 0 ) = 0 )
5955, 58eqtrd 2771 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑖𝐼𝑗𝐽)) ∧ ¬ 𝑗 ∈ ((𝑦𝐽𝑌) supp 0 )) → (((𝑥𝐼𝑋)‘𝑖) · ((𝑦𝐽𝑌)‘𝑗)) = 0 )
6045, 59jaodan 955 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑖𝐼𝑗𝐽)) ∧ (¬ 𝑖 ∈ ((𝑥𝐼𝑋) supp 0 ) ∨ ¬ 𝑗 ∈ ((𝑦𝐽𝑌) supp 0 ))) → (((𝑥𝐼𝑋)‘𝑖) · ((𝑦𝐽𝑌)‘𝑗)) = 0 )
6129, 60sylan2b 593 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (𝑖𝐼𝑗𝐽)) ∧ ¬ 𝑖(((𝑥𝐼𝑋) supp 0 ) × ((𝑦𝐽𝑌) supp 0 ))𝑗) → (((𝑥𝐼𝑋)‘𝑖) · ((𝑦𝐽𝑌)‘𝑗)) = 0 )
6261anasss 466 . . . 4 ((𝜑 ∧ ((𝑖𝐼𝑗𝐽) ∧ ¬ 𝑖(((𝑥𝐼𝑋) supp 0 ) × ((𝑦𝐽𝑌) supp 0 ))𝑗)) → (((𝑥𝐼𝑋)‘𝑖) · ((𝑦𝐽𝑌)‘𝑗)) = 0 )
631, 2, 4, 5, 7, 20, 26, 62gsum2d2 19884 . . 3 (𝜑 → (𝑅 Σg (𝑖𝐼, 𝑗𝐽 ↦ (((𝑥𝐼𝑋)‘𝑖) · ((𝑦𝐽𝑌)‘𝑗)))) = (𝑅 Σg (𝑖𝐼 ↦ (𝑅 Σg (𝑗𝐽 ↦ (((𝑥𝐼𝑋)‘𝑖) · ((𝑦𝐽𝑌)‘𝑗)))))))
64 nffvmpt1 6902 . . . . . . 7 𝑥((𝑥𝐼𝑋)‘𝑖)
65 nfcv 2902 . . . . . . 7 𝑥 ·
66 nfcv 2902 . . . . . . 7 𝑥((𝑦𝐽𝑌)‘𝑗)
6764, 65, 66nfov 7442 . . . . . 6 𝑥(((𝑥𝐼𝑋)‘𝑖) · ((𝑦𝐽𝑌)‘𝑗))
68 nfcv 2902 . . . . . . 7 𝑦((𝑥𝐼𝑋)‘𝑖)
69 nfcv 2902 . . . . . . 7 𝑦 ·
70 nffvmpt1 6902 . . . . . . 7 𝑦((𝑦𝐽𝑌)‘𝑗)
7168, 69, 70nfov 7442 . . . . . 6 𝑦(((𝑥𝐼𝑋)‘𝑖) · ((𝑦𝐽𝑌)‘𝑗))
72 nfcv 2902 . . . . . 6 𝑖(((𝑥𝐼𝑋)‘𝑥) · ((𝑦𝐽𝑌)‘𝑦))
73 nfcv 2902 . . . . . 6 𝑗(((𝑥𝐼𝑋)‘𝑥) · ((𝑦𝐽𝑌)‘𝑦))
74 fveq2 6891 . . . . . . 7 (𝑖 = 𝑥 → ((𝑥𝐼𝑋)‘𝑖) = ((𝑥𝐼𝑋)‘𝑥))
75 fveq2 6891 . . . . . . 7 (𝑗 = 𝑦 → ((𝑦𝐽𝑌)‘𝑗) = ((𝑦𝐽𝑌)‘𝑦))
7674, 75oveqan12d 7431 . . . . . 6 ((𝑖 = 𝑥𝑗 = 𝑦) → (((𝑥𝐼𝑋)‘𝑖) · ((𝑦𝐽𝑌)‘𝑗)) = (((𝑥𝐼𝑋)‘𝑥) · ((𝑦𝐽𝑌)‘𝑦)))
7767, 71, 72, 73, 76cbvmpo 7506 . . . . 5 (𝑖𝐼, 𝑗𝐽 ↦ (((𝑥𝐼𝑋)‘𝑖) · ((𝑦𝐽𝑌)‘𝑗))) = (𝑥𝐼, 𝑦𝐽 ↦ (((𝑥𝐼𝑋)‘𝑥) · ((𝑦𝐽𝑌)‘𝑦)))
78 simp2 1136 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝐼𝑦𝐽) → 𝑥𝐼)
79103adant3 1131 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝐼𝑦𝐽) → 𝑋𝐵)
80 eqid 2731 . . . . . . . . 9 (𝑥𝐼𝑋) = (𝑥𝐼𝑋)
8180fvmpt2 7009 . . . . . . . 8 ((𝑥𝐼𝑋𝐵) → ((𝑥𝐼𝑋)‘𝑥) = 𝑋)
8278, 79, 81syl2anc 583 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝐼𝑦𝐽) → ((𝑥𝐼𝑋)‘𝑥) = 𝑋)
83 simp3 1137 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝐼𝑦𝐽) → 𝑦𝐽)
84 eqid 2731 . . . . . . . . 9 (𝑦𝐽𝑌) = (𝑦𝐽𝑌)
8584fvmpt2 7009 . . . . . . . 8 ((𝑦𝐽𝑌𝐵) → ((𝑦𝐽𝑌)‘𝑦) = 𝑌)
8683, 15, 853imp3i2an 1344 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝐼𝑦𝐽) → ((𝑦𝐽𝑌)‘𝑦) = 𝑌)
8782, 86oveq12d 7430 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐼𝑦𝐽) → (((𝑥𝐼𝑋)‘𝑥) · ((𝑦𝐽𝑌)‘𝑦)) = (𝑋 · 𝑌))
8887mpoeq3dva 7489 . . . . 5 (𝜑 → (𝑥𝐼, 𝑦𝐽 ↦ (((𝑥𝐼𝑋)‘𝑥) · ((𝑦𝐽𝑌)‘𝑦))) = (𝑥𝐼, 𝑦𝐽 ↦ (𝑋 · 𝑌)))
8977, 88eqtrid 2783 . . . 4 (𝜑 → (𝑖𝐼, 𝑗𝐽 ↦ (((𝑥𝐼𝑋)‘𝑖) · ((𝑦𝐽𝑌)‘𝑗))) = (𝑥𝐼, 𝑦𝐽 ↦ (𝑋 · 𝑌)))
9089oveq2d 7428 . . 3 (𝜑 → (𝑅 Σg (𝑖𝐼, 𝑗𝐽 ↦ (((𝑥𝐼𝑋)‘𝑖) · ((𝑦𝐽𝑌)‘𝑗)))) = (𝑅 Σg (𝑥𝐼, 𝑦𝐽 ↦ (𝑋 · 𝑌))))
91 nfcv 2902 . . . . . . 7 𝑥𝑅
92 nfcv 2902 . . . . . . 7 𝑥 Σg
93 nfcv 2902 . . . . . . . 8 𝑥𝐽
9493, 67nfmpt 5255 . . . . . . 7 𝑥(𝑗𝐽 ↦ (((𝑥𝐼𝑋)‘𝑖) · ((𝑦𝐽𝑌)‘𝑗)))
9591, 92, 94nfov 7442 . . . . . 6 𝑥(𝑅 Σg (𝑗𝐽 ↦ (((𝑥𝐼𝑋)‘𝑖) · ((𝑦𝐽𝑌)‘𝑗))))
96 nfcv 2902 . . . . . 6 𝑖(𝑅 Σg (𝑦𝐽 ↦ (((𝑥𝐼𝑋)‘𝑥) · ((𝑦𝐽𝑌)‘𝑦))))
9774oveq1d 7427 . . . . . . . . 9 (𝑖 = 𝑥 → (((𝑥𝐼𝑋)‘𝑖) · ((𝑦𝐽𝑌)‘𝑗)) = (((𝑥𝐼𝑋)‘𝑥) · ((𝑦𝐽𝑌)‘𝑗)))
9897mpteq2dv 5250 . . . . . . . 8 (𝑖 = 𝑥 → (𝑗𝐽 ↦ (((𝑥𝐼𝑋)‘𝑖) · ((𝑦𝐽𝑌)‘𝑗))) = (𝑗𝐽 ↦ (((𝑥𝐼𝑋)‘𝑥) · ((𝑦𝐽𝑌)‘𝑗))))
99 nfcv 2902 . . . . . . . . . 10 𝑦((𝑥𝐼𝑋)‘𝑥)
10099, 69, 70nfov 7442 . . . . . . . . 9 𝑦(((𝑥𝐼𝑋)‘𝑥) · ((𝑦𝐽𝑌)‘𝑗))
10175oveq2d 7428 . . . . . . . . 9 (𝑗 = 𝑦 → (((𝑥𝐼𝑋)‘𝑥) · ((𝑦𝐽𝑌)‘𝑗)) = (((𝑥𝐼𝑋)‘𝑥) · ((𝑦𝐽𝑌)‘𝑦)))
102100, 73, 101cbvmpt 5259 . . . . . . . 8 (𝑗𝐽 ↦ (((𝑥𝐼𝑋)‘𝑥) · ((𝑦𝐽𝑌)‘𝑗))) = (𝑦𝐽 ↦ (((𝑥𝐼𝑋)‘𝑥) · ((𝑦𝐽𝑌)‘𝑦)))
10398, 102eqtrdi 2787 . . . . . . 7 (𝑖 = 𝑥 → (𝑗𝐽 ↦ (((𝑥𝐼𝑋)‘𝑖) · ((𝑦𝐽𝑌)‘𝑗))) = (𝑦𝐽 ↦ (((𝑥𝐼𝑋)‘𝑥) · ((𝑦𝐽𝑌)‘𝑦))))
104103oveq2d 7428 . . . . . 6 (𝑖 = 𝑥 → (𝑅 Σg (𝑗𝐽 ↦ (((𝑥𝐼𝑋)‘𝑖) · ((𝑦𝐽𝑌)‘𝑗)))) = (𝑅 Σg (𝑦𝐽 ↦ (((𝑥𝐼𝑋)‘𝑥) · ((𝑦𝐽𝑌)‘𝑦)))))
10595, 96, 104cbvmpt 5259 . . . . 5 (𝑖𝐼 ↦ (𝑅 Σg (𝑗𝐽 ↦ (((𝑥𝐼𝑋)‘𝑖) · ((𝑦𝐽𝑌)‘𝑗))))) = (𝑥𝐼 ↦ (𝑅 Σg (𝑦𝐽 ↦ (((𝑥𝐼𝑋)‘𝑥) · ((𝑦𝐽𝑌)‘𝑦)))))
106873expa 1117 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥𝐼) ∧ 𝑦𝐽) → (((𝑥𝐼𝑋)‘𝑥) · ((𝑦𝐽𝑌)‘𝑦)) = (𝑋 · 𝑌))
107106mpteq2dva 5248 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝐼) → (𝑦𝐽 ↦ (((𝑥𝐼𝑋)‘𝑥) · ((𝑦𝐽𝑌)‘𝑦))) = (𝑦𝐽 ↦ (𝑋 · 𝑌)))
108107oveq2d 7428 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐼) → (𝑅 Σg (𝑦𝐽 ↦ (((𝑥𝐼𝑋)‘𝑥) · ((𝑦𝐽𝑌)‘𝑦)))) = (𝑅 Σg (𝑦𝐽 ↦ (𝑋 · 𝑌))))
109108mpteq2dva 5248 . . . . 5 (𝜑 → (𝑥𝐼 ↦ (𝑅 Σg (𝑦𝐽 ↦ (((𝑥𝐼𝑋)‘𝑥) · ((𝑦𝐽𝑌)‘𝑦))))) = (𝑥𝐼 ↦ (𝑅 Σg (𝑦𝐽 ↦ (𝑋 · 𝑌)))))
110105, 109eqtrid 2783 . . . 4 (𝜑 → (𝑖𝐼 ↦ (𝑅 Σg (𝑗𝐽 ↦ (((𝑥𝐼𝑋)‘𝑖) · ((𝑦𝐽𝑌)‘𝑗))))) = (𝑥𝐼 ↦ (𝑅 Σg (𝑦𝐽 ↦ (𝑋 · 𝑌)))))
111110oveq2d 7428 . . 3 (𝜑 → (𝑅 Σg (𝑖𝐼 ↦ (𝑅 Σg (𝑗𝐽 ↦ (((𝑥𝐼𝑋)‘𝑖) · ((𝑦𝐽𝑌)‘𝑗)))))) = (𝑅 Σg (𝑥𝐼 ↦ (𝑅 Σg (𝑦𝐽 ↦ (𝑋 · 𝑌))))))
11263, 90, 1113eqtr3d 2779 . 2 (𝜑 → (𝑅 Σg (𝑥𝐼, 𝑦𝐽 ↦ (𝑋 · 𝑌))) = (𝑅 Σg (𝑥𝐼 ↦ (𝑅 Σg (𝑦𝐽 ↦ (𝑋 · 𝑌))))))
1133adantr 480 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐼) → 𝑅 ∈ Ring)
1146adantr 480 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐼) → 𝐽𝑊)
11515adantlr 712 . . . . 5 (((𝜑𝑥𝐼) ∧ 𝑦𝐽) → 𝑌𝐵)
11623adantr 480 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐼) → (𝑦𝐽𝑌) finSupp 0 )
1171, 2, 8, 113, 114, 10, 115, 116gsummulc2 20206 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐼) → (𝑅 Σg (𝑦𝐽 ↦ (𝑋 · 𝑌))) = (𝑋 · (𝑅 Σg (𝑦𝐽𝑌))))
118117mpteq2dva 5248 . . 3 (𝜑 → (𝑥𝐼 ↦ (𝑅 Σg (𝑦𝐽 ↦ (𝑋 · 𝑌)))) = (𝑥𝐼 ↦ (𝑋 · (𝑅 Σg (𝑦𝐽𝑌)))))
119118oveq2d 7428 . 2 (𝜑 → (𝑅 Σg (𝑥𝐼 ↦ (𝑅 Σg (𝑦𝐽 ↦ (𝑋 · 𝑌))))) = (𝑅 Σg (𝑥𝐼 ↦ (𝑋 · (𝑅 Σg (𝑦𝐽𝑌))))))
1201, 2, 4, 6, 16, 23gsumcl 19825 . . 3 (𝜑 → (𝑅 Σg (𝑦𝐽𝑌)) ∈ 𝐵)
1211, 2, 8, 3, 5, 120, 10, 21gsummulc1 20205 . 2 (𝜑 → (𝑅 Σg (𝑥𝐼 ↦ (𝑋 · (𝑅 Σg (𝑦𝐽𝑌))))) = ((𝑅 Σg (𝑥𝐼𝑋)) · (𝑅 Σg (𝑦𝐽𝑌))))
122112, 119, 1213eqtrrd 2776 1 (𝜑 → ((𝑅 Σg (𝑥𝐼𝑋)) · (𝑅 Σg (𝑦𝐽𝑌))) = (𝑅 Σg (𝑥𝐼, 𝑦𝐽 ↦ (𝑋 · 𝑌))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 395  wo 844  w3a 1086   = wceq 1540  wcel 2105  Vcvv 3473  cdif 3945   class class class wbr 5148  cmpt 5231   × cxp 5674  wf 6539  cfv 6543  (class class class)co 7412  cmpo 7414   supp csupp 8150  Fincfn 8943   finSupp cfsupp 9365  Basecbs 17149  .rcmulr 17203  0gc0g 17390   Σg cgsu 17391  Ringcrg 20128
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7729  ax-cnex 11170  ax-resscn 11171  ax-1cn 11172  ax-icn 11173  ax-addcl 11174  ax-addrcl 11175  ax-mulcl 11176  ax-mulrcl 11177  ax-mulcom 11178  ax-addass 11179  ax-mulass 11180  ax-distr 11181  ax-i2m1 11182  ax-1ne0 11183  ax-1rid 11184  ax-rnegex 11185  ax-rrecex 11186  ax-cnre 11187  ax-pre-lttri 11188  ax-pre-lttrn 11189  ax-pre-ltadd 11190  ax-pre-mulgt0 11191
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-iin 5000  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-of 7674  df-om 7860  df-1st 7979  df-2nd 7980  df-supp 8151  df-frecs 8270  df-wrecs 8301  df-recs 8375  df-rdg 8414  df-1o 8470  df-er 8707  df-map 8826  df-en 8944  df-dom 8945  df-sdom 8946  df-fin 8947  df-fsupp 9366  df-oi 9509  df-card 9938  df-pnf 11255  df-mnf 11256  df-xr 11257  df-ltxr 11258  df-le 11259  df-sub 11451  df-neg 11452  df-nn 12218  df-2 12280  df-n0 12478  df-z 12564  df-uz 12828  df-fz 13490  df-fzo 13633  df-seq 13972  df-hash 14296  df-sets 17102  df-slot 17120  df-ndx 17132  df-base 17150  df-ress 17179  df-plusg 17215  df-0g 17392  df-gsum 17393  df-mre 17535  df-mrc 17536  df-acs 17538  df-mgm 18566  df-sgrp 18645  df-mnd 18661  df-mhm 18706  df-submnd 18707  df-grp 18859  df-minusg 18860  df-mulg 18988  df-ghm 19129  df-cntz 19223  df-cmn 19692  df-abl 19693  df-mgp 20030  df-rng 20048  df-ur 20077  df-ring 20130
This theorem is referenced by:  evlslem2  21862
  Copyright terms: Public domain W3C validator