MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  gsumdixp Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem gsumdixp 20033
Description: Distribute a binary product of sums to a sum of binary products in a ring. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Mar-2015.) (Revised by AV, 10-Jul-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
gsumdixp.b 𝐵 = (Base‘𝑅)
gsumdixp.t · = (.r𝑅)
gsumdixp.z 0 = (0g𝑅)
gsumdixp.i (𝜑𝐼𝑉)
gsumdixp.j (𝜑𝐽𝑊)
gsumdixp.r (𝜑𝑅 ∈ Ring)
gsumdixp.x ((𝜑𝑥𝐼) → 𝑋𝐵)
gsumdixp.y ((𝜑𝑦𝐽) → 𝑌𝐵)
gsumdixp.xf (𝜑 → (𝑥𝐼𝑋) finSupp 0 )
gsumdixp.yf (𝜑 → (𝑦𝐽𝑌) finSupp 0 )
Assertion
Ref Expression
gsumdixp (𝜑 → ((𝑅 Σg (𝑥𝐼𝑋)) · (𝑅 Σg (𝑦𝐽𝑌))) = (𝑅 Σg (𝑥𝐼, 𝑦𝐽 ↦ (𝑋 · 𝑌))))
Distinct variable groups:   𝜑,𝑥,𝑦   𝑥,𝐵,𝑦   𝑥,𝐼,𝑦   𝑥,𝐽,𝑦   𝑥,𝑅   𝑥, · ,𝑦   𝑦,𝑋   𝑥,𝑌
Allowed substitution hints:   𝑅(𝑦)   𝑉(𝑥,𝑦)   𝑊(𝑥,𝑦)   𝑋(𝑥)   𝑌(𝑦)   0 (𝑥,𝑦)

Proof of Theorem gsumdixp
Dummy variables 𝑖 𝑗 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 gsumdixp.b . . . 4 𝐵 = (Base‘𝑅)
2 gsumdixp.z . . . 4 0 = (0g𝑅)
3 gsumdixp.r . . . . 5 (𝜑𝑅 ∈ Ring)
4 ringcmn 20003 . . . . 5 (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ CMnd)
53, 4syl 17 . . . 4 (𝜑𝑅 ∈ CMnd)
6 gsumdixp.i . . . 4 (𝜑𝐼𝑉)
7 gsumdixp.j . . . . 5 (𝜑𝐽𝑊)
87adantr 481 . . . 4 ((𝜑𝑖𝐼) → 𝐽𝑊)
93adantr 481 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑖𝐼𝑗𝐽)) → 𝑅 ∈ Ring)
10 gsumdixp.x . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝐼) → 𝑋𝐵)
1110fmpttd 7063 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑥𝐼𝑋):𝐼𝐵)
12 simpl 483 . . . . . 6 ((𝑖𝐼𝑗𝐽) → 𝑖𝐼)
13 ffvelcdm 7032 . . . . . 6 (((𝑥𝐼𝑋):𝐼𝐵𝑖𝐼) → ((𝑥𝐼𝑋)‘𝑖) ∈ 𝐵)
1411, 12, 13syl2an 596 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑖𝐼𝑗𝐽)) → ((𝑥𝐼𝑋)‘𝑖) ∈ 𝐵)
15 gsumdixp.y . . . . . . 7 ((𝜑𝑦𝐽) → 𝑌𝐵)
1615fmpttd 7063 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑦𝐽𝑌):𝐽𝐵)
17 simpr 485 . . . . . 6 ((𝑖𝐼𝑗𝐽) → 𝑗𝐽)
18 ffvelcdm 7032 . . . . . 6 (((𝑦𝐽𝑌):𝐽𝐵𝑗𝐽) → ((𝑦𝐽𝑌)‘𝑗) ∈ 𝐵)
1916, 17, 18syl2an 596 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑖𝐼𝑗𝐽)) → ((𝑦𝐽𝑌)‘𝑗) ∈ 𝐵)
20 gsumdixp.t . . . . . 6 · = (.r𝑅)
211, 20ringcl 19981 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ ((𝑥𝐼𝑋)‘𝑖) ∈ 𝐵 ∧ ((𝑦𝐽𝑌)‘𝑗) ∈ 𝐵) → (((𝑥𝐼𝑋)‘𝑖) · ((𝑦𝐽𝑌)‘𝑗)) ∈ 𝐵)
229, 14, 19, 21syl3anc 1371 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑖𝐼𝑗𝐽)) → (((𝑥𝐼𝑋)‘𝑖) · ((𝑦𝐽𝑌)‘𝑗)) ∈ 𝐵)
23 gsumdixp.xf . . . . . 6 (𝜑 → (𝑥𝐼𝑋) finSupp 0 )
2423fsuppimpd 9312 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑥𝐼𝑋) supp 0 ) ∈ Fin)
25 gsumdixp.yf . . . . . 6 (𝜑 → (𝑦𝐽𝑌) finSupp 0 )
2625fsuppimpd 9312 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑦𝐽𝑌) supp 0 ) ∈ Fin)
27 xpfi 9261 . . . . 5 ((((𝑥𝐼𝑋) supp 0 ) ∈ Fin ∧ ((𝑦𝐽𝑌) supp 0 ) ∈ Fin) → (((𝑥𝐼𝑋) supp 0 ) × ((𝑦𝐽𝑌) supp 0 )) ∈ Fin)
2824, 26, 27syl2anc 584 . . . 4 (𝜑 → (((𝑥𝐼𝑋) supp 0 ) × ((𝑦𝐽𝑌) supp 0 )) ∈ Fin)
29 ianor 980 . . . . . . 7 (¬ (𝑖 ∈ ((𝑥𝐼𝑋) supp 0 ) ∧ 𝑗 ∈ ((𝑦𝐽𝑌) supp 0 )) ↔ (¬ 𝑖 ∈ ((𝑥𝐼𝑋) supp 0 ) ∨ ¬ 𝑗 ∈ ((𝑦𝐽𝑌) supp 0 )))
30 brxp 5681 . . . . . . 7 (𝑖(((𝑥𝐼𝑋) supp 0 ) × ((𝑦𝐽𝑌) supp 0 ))𝑗 ↔ (𝑖 ∈ ((𝑥𝐼𝑋) supp 0 ) ∧ 𝑗 ∈ ((𝑦𝐽𝑌) supp 0 )))
3129, 30xchnxbir 332 . . . . . 6 𝑖(((𝑥𝐼𝑋) supp 0 ) × ((𝑦𝐽𝑌) supp 0 ))𝑗 ↔ (¬ 𝑖 ∈ ((𝑥𝐼𝑋) supp 0 ) ∨ ¬ 𝑗 ∈ ((𝑦𝐽𝑌) supp 0 )))
32 simprl 769 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑖𝐼𝑗𝐽)) → 𝑖𝐼)
33 eldif 3920 . . . . . . . . . . . 12 (𝑖 ∈ (𝐼 ∖ ((𝑥𝐼𝑋) supp 0 )) ↔ (𝑖𝐼 ∧ ¬ 𝑖 ∈ ((𝑥𝐼𝑋) supp 0 )))
3433biimpri 227 . . . . . . . . . . 11 ((𝑖𝐼 ∧ ¬ 𝑖 ∈ ((𝑥𝐼𝑋) supp 0 )) → 𝑖 ∈ (𝐼 ∖ ((𝑥𝐼𝑋) supp 0 )))
3532, 34sylan 580 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑖𝐼𝑗𝐽)) ∧ ¬ 𝑖 ∈ ((𝑥𝐼𝑋) supp 0 )) → 𝑖 ∈ (𝐼 ∖ ((𝑥𝐼𝑋) supp 0 )))
3611adantr 481 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑖𝐼𝑗𝐽)) → (𝑥𝐼𝑋):𝐼𝐵)
37 ssidd 3967 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑖𝐼𝑗𝐽)) → ((𝑥𝐼𝑋) supp 0 ) ⊆ ((𝑥𝐼𝑋) supp 0 ))
386adantr 481 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑖𝐼𝑗𝐽)) → 𝐼𝑉)
392fvexi 6856 . . . . . . . . . . . 12 0 ∈ V
4039a1i 11 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑖𝐼𝑗𝐽)) → 0 ∈ V)
4136, 37, 38, 40suppssr 8127 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑖𝐼𝑗𝐽)) ∧ 𝑖 ∈ (𝐼 ∖ ((𝑥𝐼𝑋) supp 0 ))) → ((𝑥𝐼𝑋)‘𝑖) = 0 )
4235, 41syldan 591 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑖𝐼𝑗𝐽)) ∧ ¬ 𝑖 ∈ ((𝑥𝐼𝑋) supp 0 )) → ((𝑥𝐼𝑋)‘𝑖) = 0 )
4342oveq1d 7372 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑖𝐼𝑗𝐽)) ∧ ¬ 𝑖 ∈ ((𝑥𝐼𝑋) supp 0 )) → (((𝑥𝐼𝑋)‘𝑖) · ((𝑦𝐽𝑌)‘𝑗)) = ( 0 · ((𝑦𝐽𝑌)‘𝑗)))
441, 20, 2ringlz 20011 . . . . . . . . . 10 ((𝑅 ∈ Ring ∧ ((𝑦𝐽𝑌)‘𝑗) ∈ 𝐵) → ( 0 · ((𝑦𝐽𝑌)‘𝑗)) = 0 )
459, 19, 44syl2anc 584 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑖𝐼𝑗𝐽)) → ( 0 · ((𝑦𝐽𝑌)‘𝑗)) = 0 )
4645adantr 481 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑖𝐼𝑗𝐽)) ∧ ¬ 𝑖 ∈ ((𝑥𝐼𝑋) supp 0 )) → ( 0 · ((𝑦𝐽𝑌)‘𝑗)) = 0 )
4743, 46eqtrd 2776 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑖𝐼𝑗𝐽)) ∧ ¬ 𝑖 ∈ ((𝑥𝐼𝑋) supp 0 )) → (((𝑥𝐼𝑋)‘𝑖) · ((𝑦𝐽𝑌)‘𝑗)) = 0 )
48 simprr 771 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑖𝐼𝑗𝐽)) → 𝑗𝐽)
49 eldif 3920 . . . . . . . . . . . 12 (𝑗 ∈ (𝐽 ∖ ((𝑦𝐽𝑌) supp 0 )) ↔ (𝑗𝐽 ∧ ¬ 𝑗 ∈ ((𝑦𝐽𝑌) supp 0 )))
5049biimpri 227 . . . . . . . . . . 11 ((𝑗𝐽 ∧ ¬ 𝑗 ∈ ((𝑦𝐽𝑌) supp 0 )) → 𝑗 ∈ (𝐽 ∖ ((𝑦𝐽𝑌) supp 0 )))
5148, 50sylan 580 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑖𝐼𝑗𝐽)) ∧ ¬ 𝑗 ∈ ((𝑦𝐽𝑌) supp 0 )) → 𝑗 ∈ (𝐽 ∖ ((𝑦𝐽𝑌) supp 0 )))
5216adantr 481 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑖𝐼𝑗𝐽)) → (𝑦𝐽𝑌):𝐽𝐵)
53 ssidd 3967 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑖𝐼𝑗𝐽)) → ((𝑦𝐽𝑌) supp 0 ) ⊆ ((𝑦𝐽𝑌) supp 0 ))
547adantr 481 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑖𝐼𝑗𝐽)) → 𝐽𝑊)
5552, 53, 54, 40suppssr 8127 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑖𝐼𝑗𝐽)) ∧ 𝑗 ∈ (𝐽 ∖ ((𝑦𝐽𝑌) supp 0 ))) → ((𝑦𝐽𝑌)‘𝑗) = 0 )
5651, 55syldan 591 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑖𝐼𝑗𝐽)) ∧ ¬ 𝑗 ∈ ((𝑦𝐽𝑌) supp 0 )) → ((𝑦𝐽𝑌)‘𝑗) = 0 )
5756oveq2d 7373 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑖𝐼𝑗𝐽)) ∧ ¬ 𝑗 ∈ ((𝑦𝐽𝑌) supp 0 )) → (((𝑥𝐼𝑋)‘𝑖) · ((𝑦𝐽𝑌)‘𝑗)) = (((𝑥𝐼𝑋)‘𝑖) · 0 ))
581, 20, 2ringrz 20012 . . . . . . . . . 10 ((𝑅 ∈ Ring ∧ ((𝑥𝐼𝑋)‘𝑖) ∈ 𝐵) → (((𝑥𝐼𝑋)‘𝑖) · 0 ) = 0 )
599, 14, 58syl2anc 584 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑖𝐼𝑗𝐽)) → (((𝑥𝐼𝑋)‘𝑖) · 0 ) = 0 )
6059adantr 481 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑖𝐼𝑗𝐽)) ∧ ¬ 𝑗 ∈ ((𝑦𝐽𝑌) supp 0 )) → (((𝑥𝐼𝑋)‘𝑖) · 0 ) = 0 )
6157, 60eqtrd 2776 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑖𝐼𝑗𝐽)) ∧ ¬ 𝑗 ∈ ((𝑦𝐽𝑌) supp 0 )) → (((𝑥𝐼𝑋)‘𝑖) · ((𝑦𝐽𝑌)‘𝑗)) = 0 )
6247, 61jaodan 956 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑖𝐼𝑗𝐽)) ∧ (¬ 𝑖 ∈ ((𝑥𝐼𝑋) supp 0 ) ∨ ¬ 𝑗 ∈ ((𝑦𝐽𝑌) supp 0 ))) → (((𝑥𝐼𝑋)‘𝑖) · ((𝑦𝐽𝑌)‘𝑗)) = 0 )
6331, 62sylan2b 594 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (𝑖𝐼𝑗𝐽)) ∧ ¬ 𝑖(((𝑥𝐼𝑋) supp 0 ) × ((𝑦𝐽𝑌) supp 0 ))𝑗) → (((𝑥𝐼𝑋)‘𝑖) · ((𝑦𝐽𝑌)‘𝑗)) = 0 )
6463anasss 467 . . . 4 ((𝜑 ∧ ((𝑖𝐼𝑗𝐽) ∧ ¬ 𝑖(((𝑥𝐼𝑋) supp 0 ) × ((𝑦𝐽𝑌) supp 0 ))𝑗)) → (((𝑥𝐼𝑋)‘𝑖) · ((𝑦𝐽𝑌)‘𝑗)) = 0 )
651, 2, 5, 6, 8, 22, 28, 64gsum2d2 19751 . . 3 (𝜑 → (𝑅 Σg (𝑖𝐼, 𝑗𝐽 ↦ (((𝑥𝐼𝑋)‘𝑖) · ((𝑦𝐽𝑌)‘𝑗)))) = (𝑅 Σg (𝑖𝐼 ↦ (𝑅 Σg (𝑗𝐽 ↦ (((𝑥𝐼𝑋)‘𝑖) · ((𝑦𝐽𝑌)‘𝑗)))))))
66 nffvmpt1 6853 . . . . . . 7 𝑥((𝑥𝐼𝑋)‘𝑖)
67 nfcv 2907 . . . . . . 7 𝑥 ·
68 nfcv 2907 . . . . . . 7 𝑥((𝑦𝐽𝑌)‘𝑗)
6966, 67, 68nfov 7387 . . . . . 6 𝑥(((𝑥𝐼𝑋)‘𝑖) · ((𝑦𝐽𝑌)‘𝑗))
70 nfcv 2907 . . . . . . 7 𝑦((𝑥𝐼𝑋)‘𝑖)
71 nfcv 2907 . . . . . . 7 𝑦 ·
72 nffvmpt1 6853 . . . . . . 7 𝑦((𝑦𝐽𝑌)‘𝑗)
7370, 71, 72nfov 7387 . . . . . 6 𝑦(((𝑥𝐼𝑋)‘𝑖) · ((𝑦𝐽𝑌)‘𝑗))
74 nfcv 2907 . . . . . 6 𝑖(((𝑥𝐼𝑋)‘𝑥) · ((𝑦𝐽𝑌)‘𝑦))
75 nfcv 2907 . . . . . 6 𝑗(((𝑥𝐼𝑋)‘𝑥) · ((𝑦𝐽𝑌)‘𝑦))
76 fveq2 6842 . . . . . . 7 (𝑖 = 𝑥 → ((𝑥𝐼𝑋)‘𝑖) = ((𝑥𝐼𝑋)‘𝑥))
77 fveq2 6842 . . . . . . 7 (𝑗 = 𝑦 → ((𝑦𝐽𝑌)‘𝑗) = ((𝑦𝐽𝑌)‘𝑦))
7876, 77oveqan12d 7376 . . . . . 6 ((𝑖 = 𝑥𝑗 = 𝑦) → (((𝑥𝐼𝑋)‘𝑖) · ((𝑦𝐽𝑌)‘𝑗)) = (((𝑥𝐼𝑋)‘𝑥) · ((𝑦𝐽𝑌)‘𝑦)))
7969, 73, 74, 75, 78cbvmpo 7451 . . . . 5 (𝑖𝐼, 𝑗𝐽 ↦ (((𝑥𝐼𝑋)‘𝑖) · ((𝑦𝐽𝑌)‘𝑗))) = (𝑥𝐼, 𝑦𝐽 ↦ (((𝑥𝐼𝑋)‘𝑥) · ((𝑦𝐽𝑌)‘𝑦)))
80 simp2 1137 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝐼𝑦𝐽) → 𝑥𝐼)
81103adant3 1132 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝐼𝑦𝐽) → 𝑋𝐵)
82 eqid 2736 . . . . . . . . 9 (𝑥𝐼𝑋) = (𝑥𝐼𝑋)
8382fvmpt2 6959 . . . . . . . 8 ((𝑥𝐼𝑋𝐵) → ((𝑥𝐼𝑋)‘𝑥) = 𝑋)
8480, 81, 83syl2anc 584 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝐼𝑦𝐽) → ((𝑥𝐼𝑋)‘𝑥) = 𝑋)
85 simp3 1138 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝐼𝑦𝐽) → 𝑦𝐽)
86 eqid 2736 . . . . . . . . 9 (𝑦𝐽𝑌) = (𝑦𝐽𝑌)
8786fvmpt2 6959 . . . . . . . 8 ((𝑦𝐽𝑌𝐵) → ((𝑦𝐽𝑌)‘𝑦) = 𝑌)
8885, 15, 873imp3i2an 1345 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝐼𝑦𝐽) → ((𝑦𝐽𝑌)‘𝑦) = 𝑌)
8984, 88oveq12d 7375 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐼𝑦𝐽) → (((𝑥𝐼𝑋)‘𝑥) · ((𝑦𝐽𝑌)‘𝑦)) = (𝑋 · 𝑌))
9089mpoeq3dva 7434 . . . . 5 (𝜑 → (𝑥𝐼, 𝑦𝐽 ↦ (((𝑥𝐼𝑋)‘𝑥) · ((𝑦𝐽𝑌)‘𝑦))) = (𝑥𝐼, 𝑦𝐽 ↦ (𝑋 · 𝑌)))
9179, 90eqtrid 2788 . . . 4 (𝜑 → (𝑖𝐼, 𝑗𝐽 ↦ (((𝑥𝐼𝑋)‘𝑖) · ((𝑦𝐽𝑌)‘𝑗))) = (𝑥𝐼, 𝑦𝐽 ↦ (𝑋 · 𝑌)))
9291oveq2d 7373 . . 3 (𝜑 → (𝑅 Σg (𝑖𝐼, 𝑗𝐽 ↦ (((𝑥𝐼𝑋)‘𝑖) · ((𝑦𝐽𝑌)‘𝑗)))) = (𝑅 Σg (𝑥𝐼, 𝑦𝐽 ↦ (𝑋 · 𝑌))))
93 nfcv 2907 . . . . . . 7 𝑥𝑅
94 nfcv 2907 . . . . . . 7 𝑥 Σg
95 nfcv 2907 . . . . . . . 8 𝑥𝐽
9695, 69nfmpt 5212 . . . . . . 7 𝑥(𝑗𝐽 ↦ (((𝑥𝐼𝑋)‘𝑖) · ((𝑦𝐽𝑌)‘𝑗)))
9793, 94, 96nfov 7387 . . . . . 6 𝑥(𝑅 Σg (𝑗𝐽 ↦ (((𝑥𝐼𝑋)‘𝑖) · ((𝑦𝐽𝑌)‘𝑗))))
98 nfcv 2907 . . . . . 6 𝑖(𝑅 Σg (𝑦𝐽 ↦ (((𝑥𝐼𝑋)‘𝑥) · ((𝑦𝐽𝑌)‘𝑦))))
9976oveq1d 7372 . . . . . . . . 9 (𝑖 = 𝑥 → (((𝑥𝐼𝑋)‘𝑖) · ((𝑦𝐽𝑌)‘𝑗)) = (((𝑥𝐼𝑋)‘𝑥) · ((𝑦𝐽𝑌)‘𝑗)))
10099mpteq2dv 5207 . . . . . . . 8 (𝑖 = 𝑥 → (𝑗𝐽 ↦ (((𝑥𝐼𝑋)‘𝑖) · ((𝑦𝐽𝑌)‘𝑗))) = (𝑗𝐽 ↦ (((𝑥𝐼𝑋)‘𝑥) · ((𝑦𝐽𝑌)‘𝑗))))
101 nfcv 2907 . . . . . . . . . 10 𝑦((𝑥𝐼𝑋)‘𝑥)
102101, 71, 72nfov 7387 . . . . . . . . 9 𝑦(((𝑥𝐼𝑋)‘𝑥) · ((𝑦𝐽𝑌)‘𝑗))
10377oveq2d 7373 . . . . . . . . 9 (𝑗 = 𝑦 → (((𝑥𝐼𝑋)‘𝑥) · ((𝑦𝐽𝑌)‘𝑗)) = (((𝑥𝐼𝑋)‘𝑥) · ((𝑦𝐽𝑌)‘𝑦)))
104102, 75, 103cbvmpt 5216 . . . . . . . 8 (𝑗𝐽 ↦ (((𝑥𝐼𝑋)‘𝑥) · ((𝑦𝐽𝑌)‘𝑗))) = (𝑦𝐽 ↦ (((𝑥𝐼𝑋)‘𝑥) · ((𝑦𝐽𝑌)‘𝑦)))
105100, 104eqtrdi 2792 . . . . . . 7 (𝑖 = 𝑥 → (𝑗𝐽 ↦ (((𝑥𝐼𝑋)‘𝑖) · ((𝑦𝐽𝑌)‘𝑗))) = (𝑦𝐽 ↦ (((𝑥𝐼𝑋)‘𝑥) · ((𝑦𝐽𝑌)‘𝑦))))
106105oveq2d 7373 . . . . . 6 (𝑖 = 𝑥 → (𝑅 Σg (𝑗𝐽 ↦ (((𝑥𝐼𝑋)‘𝑖) · ((𝑦𝐽𝑌)‘𝑗)))) = (𝑅 Σg (𝑦𝐽 ↦ (((𝑥𝐼𝑋)‘𝑥) · ((𝑦𝐽𝑌)‘𝑦)))))
10797, 98, 106cbvmpt 5216 . . . . 5 (𝑖𝐼 ↦ (𝑅 Σg (𝑗𝐽 ↦ (((𝑥𝐼𝑋)‘𝑖) · ((𝑦𝐽𝑌)‘𝑗))))) = (𝑥𝐼 ↦ (𝑅 Σg (𝑦𝐽 ↦ (((𝑥𝐼𝑋)‘𝑥) · ((𝑦𝐽𝑌)‘𝑦)))))
108893expa 1118 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥𝐼) ∧ 𝑦𝐽) → (((𝑥𝐼𝑋)‘𝑥) · ((𝑦𝐽𝑌)‘𝑦)) = (𝑋 · 𝑌))
109108mpteq2dva 5205 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝐼) → (𝑦𝐽 ↦ (((𝑥𝐼𝑋)‘𝑥) · ((𝑦𝐽𝑌)‘𝑦))) = (𝑦𝐽 ↦ (𝑋 · 𝑌)))
110109oveq2d 7373 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐼) → (𝑅 Σg (𝑦𝐽 ↦ (((𝑥𝐼𝑋)‘𝑥) · ((𝑦𝐽𝑌)‘𝑦)))) = (𝑅 Σg (𝑦𝐽 ↦ (𝑋 · 𝑌))))
111110mpteq2dva 5205 . . . . 5 (𝜑 → (𝑥𝐼 ↦ (𝑅 Σg (𝑦𝐽 ↦ (((𝑥𝐼𝑋)‘𝑥) · ((𝑦𝐽𝑌)‘𝑦))))) = (𝑥𝐼 ↦ (𝑅 Σg (𝑦𝐽 ↦ (𝑋 · 𝑌)))))
112107, 111eqtrid 2788 . . . 4 (𝜑 → (𝑖𝐼 ↦ (𝑅 Σg (𝑗𝐽 ↦ (((𝑥𝐼𝑋)‘𝑖) · ((𝑦𝐽𝑌)‘𝑗))))) = (𝑥𝐼 ↦ (𝑅 Σg (𝑦𝐽 ↦ (𝑋 · 𝑌)))))
113112oveq2d 7373 . . 3 (𝜑 → (𝑅 Σg (𝑖𝐼 ↦ (𝑅 Σg (𝑗𝐽 ↦ (((𝑥𝐼𝑋)‘𝑖) · ((𝑦𝐽𝑌)‘𝑗)))))) = (𝑅 Σg (𝑥𝐼 ↦ (𝑅 Σg (𝑦𝐽 ↦ (𝑋 · 𝑌))))))
11465, 92, 1133eqtr3d 2784 . 2 (𝜑 → (𝑅 Σg (𝑥𝐼, 𝑦𝐽 ↦ (𝑋 · 𝑌))) = (𝑅 Σg (𝑥𝐼 ↦ (𝑅 Σg (𝑦𝐽 ↦ (𝑋 · 𝑌))))))
115 eqid 2736 . . . . 5 (+g𝑅) = (+g𝑅)
1163adantr 481 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐼) → 𝑅 ∈ Ring)
1177adantr 481 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐼) → 𝐽𝑊)
11815adantlr 713 . . . . 5 (((𝜑𝑥𝐼) ∧ 𝑦𝐽) → 𝑌𝐵)
11925adantr 481 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐼) → (𝑦𝐽𝑌) finSupp 0 )
1201, 2, 115, 20, 116, 117, 10, 118, 119gsummulc2 20031 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐼) → (𝑅 Σg (𝑦𝐽 ↦ (𝑋 · 𝑌))) = (𝑋 · (𝑅 Σg (𝑦𝐽𝑌))))
121120mpteq2dva 5205 . . 3 (𝜑 → (𝑥𝐼 ↦ (𝑅 Σg (𝑦𝐽 ↦ (𝑋 · 𝑌)))) = (𝑥𝐼 ↦ (𝑋 · (𝑅 Σg (𝑦𝐽𝑌)))))
122121oveq2d 7373 . 2 (𝜑 → (𝑅 Σg (𝑥𝐼 ↦ (𝑅 Σg (𝑦𝐽 ↦ (𝑋 · 𝑌))))) = (𝑅 Σg (𝑥𝐼 ↦ (𝑋 · (𝑅 Σg (𝑦𝐽𝑌))))))
1231, 2, 5, 7, 16, 25gsumcl 19692 . . 3 (𝜑 → (𝑅 Σg (𝑦𝐽𝑌)) ∈ 𝐵)
1241, 2, 115, 20, 3, 6, 123, 10, 23gsummulc1 20030 . 2 (𝜑 → (𝑅 Σg (𝑥𝐼 ↦ (𝑋 · (𝑅 Σg (𝑦𝐽𝑌))))) = ((𝑅 Σg (𝑥𝐼𝑋)) · (𝑅 Σg (𝑦𝐽𝑌))))
125114, 122, 1243eqtrrd 2781 1 (𝜑 → ((𝑅 Σg (𝑥𝐼𝑋)) · (𝑅 Σg (𝑦𝐽𝑌))) = (𝑅 Σg (𝑥𝐼, 𝑦𝐽 ↦ (𝑋 · 𝑌))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 396  wo 845  w3a 1087   = wceq 1541  wcel 2106  Vcvv 3445  cdif 3907   class class class wbr 5105  cmpt 5188   × cxp 5631  wf 6492  cfv 6496  (class class class)co 7357  cmpo 7359   supp csupp 8092  Fincfn 8883   finSupp cfsupp 9305  Basecbs 17083  +gcplusg 17133  .rcmulr 17134  0gc0g 17321   Σg cgsu 17322  CMndccmn 19562  Ringcrg 19964
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-int 4908  df-iun 4956  df-iin 4957  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-se 5589  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-isom 6505  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-of 7617  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-supp 8093  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-1o 8412  df-er 8648  df-map 8767  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-fsupp 9306  df-oi 9446  df-card 9875  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-nn 12154  df-2 12216  df-n0 12414  df-z 12500  df-uz 12764  df-fz 13425  df-fzo 13568  df-seq 13907  df-hash 14231  df-sets 17036  df-slot 17054  df-ndx 17066  df-base 17084  df-ress 17113  df-plusg 17146  df-0g 17323  df-gsum 17324  df-mre 17466  df-mrc 17467  df-acs 17469  df-mgm 18497  df-sgrp 18546  df-mnd 18557  df-mhm 18601  df-submnd 18602  df-grp 18751  df-minusg 18752  df-mulg 18873  df-ghm 19006  df-cntz 19097  df-cmn 19564  df-abl 19565  df-mgp 19897  df-ur 19914  df-ring 19966
This theorem is referenced by:  evlslem2  21489
  Copyright terms: Public domain W3C validator