MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  gsumdixp Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem gsumdixp 19351
Description: Distribute a binary product of sums to a sum of binary products in a ring. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Mar-2015.) (Revised by AV, 10-Jul-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
gsumdixp.b 𝐵 = (Base‘𝑅)
gsumdixp.t · = (.r𝑅)
gsumdixp.z 0 = (0g𝑅)
gsumdixp.i (𝜑𝐼𝑉)
gsumdixp.j (𝜑𝐽𝑊)
gsumdixp.r (𝜑𝑅 ∈ Ring)
gsumdixp.x ((𝜑𝑥𝐼) → 𝑋𝐵)
gsumdixp.y ((𝜑𝑦𝐽) → 𝑌𝐵)
gsumdixp.xf (𝜑 → (𝑥𝐼𝑋) finSupp 0 )
gsumdixp.yf (𝜑 → (𝑦𝐽𝑌) finSupp 0 )
Assertion
Ref Expression
gsumdixp (𝜑 → ((𝑅 Σg (𝑥𝐼𝑋)) · (𝑅 Σg (𝑦𝐽𝑌))) = (𝑅 Σg (𝑥𝐼, 𝑦𝐽 ↦ (𝑋 · 𝑌))))
Distinct variable groups:   𝜑,𝑥,𝑦   𝑥,𝐵,𝑦   𝑥,𝐼,𝑦   𝑥,𝐽,𝑦   𝑥,𝑅   𝑥, · ,𝑦   𝑦,𝑋   𝑥,𝑌
Allowed substitution hints:   𝑅(𝑦)   𝑉(𝑥,𝑦)   𝑊(𝑥,𝑦)   𝑋(𝑥)   𝑌(𝑦)   0 (𝑥,𝑦)

Proof of Theorem gsumdixp
Dummy variables 𝑖 𝑗 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 gsumdixp.b . . . 4 𝐵 = (Base‘𝑅)
2 gsumdixp.z . . . 4 0 = (0g𝑅)
3 gsumdixp.r . . . . 5 (𝜑𝑅 ∈ Ring)
4 ringcmn 19323 . . . . 5 (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ CMnd)
53, 4syl 17 . . . 4 (𝜑𝑅 ∈ CMnd)
6 gsumdixp.i . . . 4 (𝜑𝐼𝑉)
7 gsumdixp.j . . . . 5 (𝜑𝐽𝑊)
87adantr 483 . . . 4 ((𝜑𝑖𝐼) → 𝐽𝑊)
93adantr 483 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑖𝐼𝑗𝐽)) → 𝑅 ∈ Ring)
10 gsumdixp.x . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝐼) → 𝑋𝐵)
1110fmpttd 6872 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑥𝐼𝑋):𝐼𝐵)
12 simpl 485 . . . . . 6 ((𝑖𝐼𝑗𝐽) → 𝑖𝐼)
13 ffvelrn 6842 . . . . . 6 (((𝑥𝐼𝑋):𝐼𝐵𝑖𝐼) → ((𝑥𝐼𝑋)‘𝑖) ∈ 𝐵)
1411, 12, 13syl2an 597 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑖𝐼𝑗𝐽)) → ((𝑥𝐼𝑋)‘𝑖) ∈ 𝐵)
15 gsumdixp.y . . . . . . 7 ((𝜑𝑦𝐽) → 𝑌𝐵)
1615fmpttd 6872 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑦𝐽𝑌):𝐽𝐵)
17 simpr 487 . . . . . 6 ((𝑖𝐼𝑗𝐽) → 𝑗𝐽)
18 ffvelrn 6842 . . . . . 6 (((𝑦𝐽𝑌):𝐽𝐵𝑗𝐽) → ((𝑦𝐽𝑌)‘𝑗) ∈ 𝐵)
1916, 17, 18syl2an 597 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑖𝐼𝑗𝐽)) → ((𝑦𝐽𝑌)‘𝑗) ∈ 𝐵)
20 gsumdixp.t . . . . . 6 · = (.r𝑅)
211, 20ringcl 19303 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ ((𝑥𝐼𝑋)‘𝑖) ∈ 𝐵 ∧ ((𝑦𝐽𝑌)‘𝑗) ∈ 𝐵) → (((𝑥𝐼𝑋)‘𝑖) · ((𝑦𝐽𝑌)‘𝑗)) ∈ 𝐵)
229, 14, 19, 21syl3anc 1366 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑖𝐼𝑗𝐽)) → (((𝑥𝐼𝑋)‘𝑖) · ((𝑦𝐽𝑌)‘𝑗)) ∈ 𝐵)
23 gsumdixp.xf . . . . . 6 (𝜑 → (𝑥𝐼𝑋) finSupp 0 )
2423fsuppimpd 8832 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑥𝐼𝑋) supp 0 ) ∈ Fin)
25 gsumdixp.yf . . . . . 6 (𝜑 → (𝑦𝐽𝑌) finSupp 0 )
2625fsuppimpd 8832 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑦𝐽𝑌) supp 0 ) ∈ Fin)
27 xpfi 8781 . . . . 5 ((((𝑥𝐼𝑋) supp 0 ) ∈ Fin ∧ ((𝑦𝐽𝑌) supp 0 ) ∈ Fin) → (((𝑥𝐼𝑋) supp 0 ) × ((𝑦𝐽𝑌) supp 0 )) ∈ Fin)
2824, 26, 27syl2anc 586 . . . 4 (𝜑 → (((𝑥𝐼𝑋) supp 0 ) × ((𝑦𝐽𝑌) supp 0 )) ∈ Fin)
29 ianor 978 . . . . . . 7 (¬ (𝑖 ∈ ((𝑥𝐼𝑋) supp 0 ) ∧ 𝑗 ∈ ((𝑦𝐽𝑌) supp 0 )) ↔ (¬ 𝑖 ∈ ((𝑥𝐼𝑋) supp 0 ) ∨ ¬ 𝑗 ∈ ((𝑦𝐽𝑌) supp 0 )))
30 brxp 5594 . . . . . . 7 (𝑖(((𝑥𝐼𝑋) supp 0 ) × ((𝑦𝐽𝑌) supp 0 ))𝑗 ↔ (𝑖 ∈ ((𝑥𝐼𝑋) supp 0 ) ∧ 𝑗 ∈ ((𝑦𝐽𝑌) supp 0 )))
3129, 30xchnxbir 335 . . . . . 6 𝑖(((𝑥𝐼𝑋) supp 0 ) × ((𝑦𝐽𝑌) supp 0 ))𝑗 ↔ (¬ 𝑖 ∈ ((𝑥𝐼𝑋) supp 0 ) ∨ ¬ 𝑗 ∈ ((𝑦𝐽𝑌) supp 0 )))
32 simprl 769 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑖𝐼𝑗𝐽)) → 𝑖𝐼)
33 eldif 3944 . . . . . . . . . . . 12 (𝑖 ∈ (𝐼 ∖ ((𝑥𝐼𝑋) supp 0 )) ↔ (𝑖𝐼 ∧ ¬ 𝑖 ∈ ((𝑥𝐼𝑋) supp 0 )))
3433biimpri 230 . . . . . . . . . . 11 ((𝑖𝐼 ∧ ¬ 𝑖 ∈ ((𝑥𝐼𝑋) supp 0 )) → 𝑖 ∈ (𝐼 ∖ ((𝑥𝐼𝑋) supp 0 )))
3532, 34sylan 582 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑖𝐼𝑗𝐽)) ∧ ¬ 𝑖 ∈ ((𝑥𝐼𝑋) supp 0 )) → 𝑖 ∈ (𝐼 ∖ ((𝑥𝐼𝑋) supp 0 )))
3611adantr 483 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑖𝐼𝑗𝐽)) → (𝑥𝐼𝑋):𝐼𝐵)
37 ssidd 3988 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑖𝐼𝑗𝐽)) → ((𝑥𝐼𝑋) supp 0 ) ⊆ ((𝑥𝐼𝑋) supp 0 ))
386adantr 483 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑖𝐼𝑗𝐽)) → 𝐼𝑉)
392fvexi 6677 . . . . . . . . . . . 12 0 ∈ V
4039a1i 11 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑖𝐼𝑗𝐽)) → 0 ∈ V)
4136, 37, 38, 40suppssr 7853 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑖𝐼𝑗𝐽)) ∧ 𝑖 ∈ (𝐼 ∖ ((𝑥𝐼𝑋) supp 0 ))) → ((𝑥𝐼𝑋)‘𝑖) = 0 )
4235, 41syldan 593 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑖𝐼𝑗𝐽)) ∧ ¬ 𝑖 ∈ ((𝑥𝐼𝑋) supp 0 )) → ((𝑥𝐼𝑋)‘𝑖) = 0 )
4342oveq1d 7163 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑖𝐼𝑗𝐽)) ∧ ¬ 𝑖 ∈ ((𝑥𝐼𝑋) supp 0 )) → (((𝑥𝐼𝑋)‘𝑖) · ((𝑦𝐽𝑌)‘𝑗)) = ( 0 · ((𝑦𝐽𝑌)‘𝑗)))
441, 20, 2ringlz 19329 . . . . . . . . . 10 ((𝑅 ∈ Ring ∧ ((𝑦𝐽𝑌)‘𝑗) ∈ 𝐵) → ( 0 · ((𝑦𝐽𝑌)‘𝑗)) = 0 )
459, 19, 44syl2anc 586 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑖𝐼𝑗𝐽)) → ( 0 · ((𝑦𝐽𝑌)‘𝑗)) = 0 )
4645adantr 483 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑖𝐼𝑗𝐽)) ∧ ¬ 𝑖 ∈ ((𝑥𝐼𝑋) supp 0 )) → ( 0 · ((𝑦𝐽𝑌)‘𝑗)) = 0 )
4743, 46eqtrd 2854 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑖𝐼𝑗𝐽)) ∧ ¬ 𝑖 ∈ ((𝑥𝐼𝑋) supp 0 )) → (((𝑥𝐼𝑋)‘𝑖) · ((𝑦𝐽𝑌)‘𝑗)) = 0 )
48 simprr 771 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑖𝐼𝑗𝐽)) → 𝑗𝐽)
49 eldif 3944 . . . . . . . . . . . 12 (𝑗 ∈ (𝐽 ∖ ((𝑦𝐽𝑌) supp 0 )) ↔ (𝑗𝐽 ∧ ¬ 𝑗 ∈ ((𝑦𝐽𝑌) supp 0 )))
5049biimpri 230 . . . . . . . . . . 11 ((𝑗𝐽 ∧ ¬ 𝑗 ∈ ((𝑦𝐽𝑌) supp 0 )) → 𝑗 ∈ (𝐽 ∖ ((𝑦𝐽𝑌) supp 0 )))
5148, 50sylan 582 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑖𝐼𝑗𝐽)) ∧ ¬ 𝑗 ∈ ((𝑦𝐽𝑌) supp 0 )) → 𝑗 ∈ (𝐽 ∖ ((𝑦𝐽𝑌) supp 0 )))
5216adantr 483 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑖𝐼𝑗𝐽)) → (𝑦𝐽𝑌):𝐽𝐵)
53 ssidd 3988 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑖𝐼𝑗𝐽)) → ((𝑦𝐽𝑌) supp 0 ) ⊆ ((𝑦𝐽𝑌) supp 0 ))
547adantr 483 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑖𝐼𝑗𝐽)) → 𝐽𝑊)
5552, 53, 54, 40suppssr 7853 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑖𝐼𝑗𝐽)) ∧ 𝑗 ∈ (𝐽 ∖ ((𝑦𝐽𝑌) supp 0 ))) → ((𝑦𝐽𝑌)‘𝑗) = 0 )
5651, 55syldan 593 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑖𝐼𝑗𝐽)) ∧ ¬ 𝑗 ∈ ((𝑦𝐽𝑌) supp 0 )) → ((𝑦𝐽𝑌)‘𝑗) = 0 )
5756oveq2d 7164 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑖𝐼𝑗𝐽)) ∧ ¬ 𝑗 ∈ ((𝑦𝐽𝑌) supp 0 )) → (((𝑥𝐼𝑋)‘𝑖) · ((𝑦𝐽𝑌)‘𝑗)) = (((𝑥𝐼𝑋)‘𝑖) · 0 ))
581, 20, 2ringrz 19330 . . . . . . . . . 10 ((𝑅 ∈ Ring ∧ ((𝑥𝐼𝑋)‘𝑖) ∈ 𝐵) → (((𝑥𝐼𝑋)‘𝑖) · 0 ) = 0 )
599, 14, 58syl2anc 586 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑖𝐼𝑗𝐽)) → (((𝑥𝐼𝑋)‘𝑖) · 0 ) = 0 )
6059adantr 483 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑖𝐼𝑗𝐽)) ∧ ¬ 𝑗 ∈ ((𝑦𝐽𝑌) supp 0 )) → (((𝑥𝐼𝑋)‘𝑖) · 0 ) = 0 )
6157, 60eqtrd 2854 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑖𝐼𝑗𝐽)) ∧ ¬ 𝑗 ∈ ((𝑦𝐽𝑌) supp 0 )) → (((𝑥𝐼𝑋)‘𝑖) · ((𝑦𝐽𝑌)‘𝑗)) = 0 )
6247, 61jaodan 954 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑖𝐼𝑗𝐽)) ∧ (¬ 𝑖 ∈ ((𝑥𝐼𝑋) supp 0 ) ∨ ¬ 𝑗 ∈ ((𝑦𝐽𝑌) supp 0 ))) → (((𝑥𝐼𝑋)‘𝑖) · ((𝑦𝐽𝑌)‘𝑗)) = 0 )
6331, 62sylan2b 595 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (𝑖𝐼𝑗𝐽)) ∧ ¬ 𝑖(((𝑥𝐼𝑋) supp 0 ) × ((𝑦𝐽𝑌) supp 0 ))𝑗) → (((𝑥𝐼𝑋)‘𝑖) · ((𝑦𝐽𝑌)‘𝑗)) = 0 )
6463anasss 469 . . . 4 ((𝜑 ∧ ((𝑖𝐼𝑗𝐽) ∧ ¬ 𝑖(((𝑥𝐼𝑋) supp 0 ) × ((𝑦𝐽𝑌) supp 0 ))𝑗)) → (((𝑥𝐼𝑋)‘𝑖) · ((𝑦𝐽𝑌)‘𝑗)) = 0 )
651, 2, 5, 6, 8, 22, 28, 64gsum2d2 19086 . . 3 (𝜑 → (𝑅 Σg (𝑖𝐼, 𝑗𝐽 ↦ (((𝑥𝐼𝑋)‘𝑖) · ((𝑦𝐽𝑌)‘𝑗)))) = (𝑅 Σg (𝑖𝐼 ↦ (𝑅 Σg (𝑗𝐽 ↦ (((𝑥𝐼𝑋)‘𝑖) · ((𝑦𝐽𝑌)‘𝑗)))))))
66 nffvmpt1 6674 . . . . . . 7 𝑥((𝑥𝐼𝑋)‘𝑖)
67 nfcv 2975 . . . . . . 7 𝑥 ·
68 nfcv 2975 . . . . . . 7 𝑥((𝑦𝐽𝑌)‘𝑗)
6966, 67, 68nfov 7178 . . . . . 6 𝑥(((𝑥𝐼𝑋)‘𝑖) · ((𝑦𝐽𝑌)‘𝑗))
70 nfcv 2975 . . . . . . 7 𝑦((𝑥𝐼𝑋)‘𝑖)
71 nfcv 2975 . . . . . . 7 𝑦 ·
72 nffvmpt1 6674 . . . . . . 7 𝑦((𝑦𝐽𝑌)‘𝑗)
7370, 71, 72nfov 7178 . . . . . 6 𝑦(((𝑥𝐼𝑋)‘𝑖) · ((𝑦𝐽𝑌)‘𝑗))
74 nfcv 2975 . . . . . 6 𝑖(((𝑥𝐼𝑋)‘𝑥) · ((𝑦𝐽𝑌)‘𝑦))
75 nfcv 2975 . . . . . 6 𝑗(((𝑥𝐼𝑋)‘𝑥) · ((𝑦𝐽𝑌)‘𝑦))
76 fveq2 6663 . . . . . . 7 (𝑖 = 𝑥 → ((𝑥𝐼𝑋)‘𝑖) = ((𝑥𝐼𝑋)‘𝑥))
77 fveq2 6663 . . . . . . 7 (𝑗 = 𝑦 → ((𝑦𝐽𝑌)‘𝑗) = ((𝑦𝐽𝑌)‘𝑦))
7876, 77oveqan12d 7167 . . . . . 6 ((𝑖 = 𝑥𝑗 = 𝑦) → (((𝑥𝐼𝑋)‘𝑖) · ((𝑦𝐽𝑌)‘𝑗)) = (((𝑥𝐼𝑋)‘𝑥) · ((𝑦𝐽𝑌)‘𝑦)))
7969, 73, 74, 75, 78cbvmpo 7240 . . . . 5 (𝑖𝐼, 𝑗𝐽 ↦ (((𝑥𝐼𝑋)‘𝑖) · ((𝑦𝐽𝑌)‘𝑗))) = (𝑥𝐼, 𝑦𝐽 ↦ (((𝑥𝐼𝑋)‘𝑥) · ((𝑦𝐽𝑌)‘𝑦)))
80 simp2 1132 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝐼𝑦𝐽) → 𝑥𝐼)
81103adant3 1127 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝐼𝑦𝐽) → 𝑋𝐵)
82 eqid 2819 . . . . . . . . 9 (𝑥𝐼𝑋) = (𝑥𝐼𝑋)
8382fvmpt2 6772 . . . . . . . 8 ((𝑥𝐼𝑋𝐵) → ((𝑥𝐼𝑋)‘𝑥) = 𝑋)
8480, 81, 83syl2anc 586 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝐼𝑦𝐽) → ((𝑥𝐼𝑋)‘𝑥) = 𝑋)
85 simp3 1133 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝐼𝑦𝐽) → 𝑦𝐽)
86 eqid 2819 . . . . . . . . 9 (𝑦𝐽𝑌) = (𝑦𝐽𝑌)
8786fvmpt2 6772 . . . . . . . 8 ((𝑦𝐽𝑌𝐵) → ((𝑦𝐽𝑌)‘𝑦) = 𝑌)
8885, 15, 873imp3i2an 1340 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝐼𝑦𝐽) → ((𝑦𝐽𝑌)‘𝑦) = 𝑌)
8984, 88oveq12d 7166 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐼𝑦𝐽) → (((𝑥𝐼𝑋)‘𝑥) · ((𝑦𝐽𝑌)‘𝑦)) = (𝑋 · 𝑌))
9089mpoeq3dva 7223 . . . . 5 (𝜑 → (𝑥𝐼, 𝑦𝐽 ↦ (((𝑥𝐼𝑋)‘𝑥) · ((𝑦𝐽𝑌)‘𝑦))) = (𝑥𝐼, 𝑦𝐽 ↦ (𝑋 · 𝑌)))
9179, 90syl5eq 2866 . . . 4 (𝜑 → (𝑖𝐼, 𝑗𝐽 ↦ (((𝑥𝐼𝑋)‘𝑖) · ((𝑦𝐽𝑌)‘𝑗))) = (𝑥𝐼, 𝑦𝐽 ↦ (𝑋 · 𝑌)))
9291oveq2d 7164 . . 3 (𝜑 → (𝑅 Σg (𝑖𝐼, 𝑗𝐽 ↦ (((𝑥𝐼𝑋)‘𝑖) · ((𝑦𝐽𝑌)‘𝑗)))) = (𝑅 Σg (𝑥𝐼, 𝑦𝐽 ↦ (𝑋 · 𝑌))))
93 nfcv 2975 . . . . . . 7 𝑥𝑅
94 nfcv 2975 . . . . . . 7 𝑥 Σg
95 nfcv 2975 . . . . . . . 8 𝑥𝐽
9695, 69nfmpt 5154 . . . . . . 7 𝑥(𝑗𝐽 ↦ (((𝑥𝐼𝑋)‘𝑖) · ((𝑦𝐽𝑌)‘𝑗)))
9793, 94, 96nfov 7178 . . . . . 6 𝑥(𝑅 Σg (𝑗𝐽 ↦ (((𝑥𝐼𝑋)‘𝑖) · ((𝑦𝐽𝑌)‘𝑗))))
98 nfcv 2975 . . . . . 6 𝑖(𝑅 Σg (𝑦𝐽 ↦ (((𝑥𝐼𝑋)‘𝑥) · ((𝑦𝐽𝑌)‘𝑦))))
9976oveq1d 7163 . . . . . . . . 9 (𝑖 = 𝑥 → (((𝑥𝐼𝑋)‘𝑖) · ((𝑦𝐽𝑌)‘𝑗)) = (((𝑥𝐼𝑋)‘𝑥) · ((𝑦𝐽𝑌)‘𝑗)))
10099mpteq2dv 5153 . . . . . . . 8 (𝑖 = 𝑥 → (𝑗𝐽 ↦ (((𝑥𝐼𝑋)‘𝑖) · ((𝑦𝐽𝑌)‘𝑗))) = (𝑗𝐽 ↦ (((𝑥𝐼𝑋)‘𝑥) · ((𝑦𝐽𝑌)‘𝑗))))
101 nfcv 2975 . . . . . . . . . 10 𝑦((𝑥𝐼𝑋)‘𝑥)
102101, 71, 72nfov 7178 . . . . . . . . 9 𝑦(((𝑥𝐼𝑋)‘𝑥) · ((𝑦𝐽𝑌)‘𝑗))
10377oveq2d 7164 . . . . . . . . 9 (𝑗 = 𝑦 → (((𝑥𝐼𝑋)‘𝑥) · ((𝑦𝐽𝑌)‘𝑗)) = (((𝑥𝐼𝑋)‘𝑥) · ((𝑦𝐽𝑌)‘𝑦)))
104102, 75, 103cbvmpt 5158 . . . . . . . 8 (𝑗𝐽 ↦ (((𝑥𝐼𝑋)‘𝑥) · ((𝑦𝐽𝑌)‘𝑗))) = (𝑦𝐽 ↦ (((𝑥𝐼𝑋)‘𝑥) · ((𝑦𝐽𝑌)‘𝑦)))
105100, 104syl6eq 2870 . . . . . . 7 (𝑖 = 𝑥 → (𝑗𝐽 ↦ (((𝑥𝐼𝑋)‘𝑖) · ((𝑦𝐽𝑌)‘𝑗))) = (𝑦𝐽 ↦ (((𝑥𝐼𝑋)‘𝑥) · ((𝑦𝐽𝑌)‘𝑦))))
106105oveq2d 7164 . . . . . 6 (𝑖 = 𝑥 → (𝑅 Σg (𝑗𝐽 ↦ (((𝑥𝐼𝑋)‘𝑖) · ((𝑦𝐽𝑌)‘𝑗)))) = (𝑅 Σg (𝑦𝐽 ↦ (((𝑥𝐼𝑋)‘𝑥) · ((𝑦𝐽𝑌)‘𝑦)))))
10797, 98, 106cbvmpt 5158 . . . . 5 (𝑖𝐼 ↦ (𝑅 Σg (𝑗𝐽 ↦ (((𝑥𝐼𝑋)‘𝑖) · ((𝑦𝐽𝑌)‘𝑗))))) = (𝑥𝐼 ↦ (𝑅 Σg (𝑦𝐽 ↦ (((𝑥𝐼𝑋)‘𝑥) · ((𝑦𝐽𝑌)‘𝑦)))))
108893expa 1113 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥𝐼) ∧ 𝑦𝐽) → (((𝑥𝐼𝑋)‘𝑥) · ((𝑦𝐽𝑌)‘𝑦)) = (𝑋 · 𝑌))
109108mpteq2dva 5152 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝐼) → (𝑦𝐽 ↦ (((𝑥𝐼𝑋)‘𝑥) · ((𝑦𝐽𝑌)‘𝑦))) = (𝑦𝐽 ↦ (𝑋 · 𝑌)))
110109oveq2d 7164 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐼) → (𝑅 Σg (𝑦𝐽 ↦ (((𝑥𝐼𝑋)‘𝑥) · ((𝑦𝐽𝑌)‘𝑦)))) = (𝑅 Σg (𝑦𝐽 ↦ (𝑋 · 𝑌))))
111110mpteq2dva 5152 . . . . 5 (𝜑 → (𝑥𝐼 ↦ (𝑅 Σg (𝑦𝐽 ↦ (((𝑥𝐼𝑋)‘𝑥) · ((𝑦𝐽𝑌)‘𝑦))))) = (𝑥𝐼 ↦ (𝑅 Σg (𝑦𝐽 ↦ (𝑋 · 𝑌)))))
112107, 111syl5eq 2866 . . . 4 (𝜑 → (𝑖𝐼 ↦ (𝑅 Σg (𝑗𝐽 ↦ (((𝑥𝐼𝑋)‘𝑖) · ((𝑦𝐽𝑌)‘𝑗))))) = (𝑥𝐼 ↦ (𝑅 Σg (𝑦𝐽 ↦ (𝑋 · 𝑌)))))
113112oveq2d 7164 . . 3 (𝜑 → (𝑅 Σg (𝑖𝐼 ↦ (𝑅 Σg (𝑗𝐽 ↦ (((𝑥𝐼𝑋)‘𝑖) · ((𝑦𝐽𝑌)‘𝑗)))))) = (𝑅 Σg (𝑥𝐼 ↦ (𝑅 Σg (𝑦𝐽 ↦ (𝑋 · 𝑌))))))
11465, 92, 1133eqtr3d 2862 . 2 (𝜑 → (𝑅 Σg (𝑥𝐼, 𝑦𝐽 ↦ (𝑋 · 𝑌))) = (𝑅 Σg (𝑥𝐼 ↦ (𝑅 Σg (𝑦𝐽 ↦ (𝑋 · 𝑌))))))
115 eqid 2819 . . . . 5 (+g𝑅) = (+g𝑅)
1163adantr 483 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐼) → 𝑅 ∈ Ring)
1177adantr 483 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐼) → 𝐽𝑊)
11815adantlr 713 . . . . 5 (((𝜑𝑥𝐼) ∧ 𝑦𝐽) → 𝑌𝐵)
11925adantr 483 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐼) → (𝑦𝐽𝑌) finSupp 0 )
1201, 2, 115, 20, 116, 117, 10, 118, 119gsummulc2 19349 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐼) → (𝑅 Σg (𝑦𝐽 ↦ (𝑋 · 𝑌))) = (𝑋 · (𝑅 Σg (𝑦𝐽𝑌))))
121120mpteq2dva 5152 . . 3 (𝜑 → (𝑥𝐼 ↦ (𝑅 Σg (𝑦𝐽 ↦ (𝑋 · 𝑌)))) = (𝑥𝐼 ↦ (𝑋 · (𝑅 Σg (𝑦𝐽𝑌)))))
122121oveq2d 7164 . 2 (𝜑 → (𝑅 Σg (𝑥𝐼 ↦ (𝑅 Σg (𝑦𝐽 ↦ (𝑋 · 𝑌))))) = (𝑅 Σg (𝑥𝐼 ↦ (𝑋 · (𝑅 Σg (𝑦𝐽𝑌))))))
1231, 2, 5, 7, 16, 25gsumcl 19027 . . 3 (𝜑 → (𝑅 Σg (𝑦𝐽𝑌)) ∈ 𝐵)
1241, 2, 115, 20, 3, 6, 123, 10, 23gsummulc1 19348 . 2 (𝜑 → (𝑅 Σg (𝑥𝐼 ↦ (𝑋 · (𝑅 Σg (𝑦𝐽𝑌))))) = ((𝑅 Σg (𝑥𝐼𝑋)) · (𝑅 Σg (𝑦𝐽𝑌))))
125114, 122, 1243eqtrrd 2859 1 (𝜑 → ((𝑅 Σg (𝑥𝐼𝑋)) · (𝑅 Σg (𝑦𝐽𝑌))) = (𝑅 Σg (𝑥𝐼, 𝑦𝐽 ↦ (𝑋 · 𝑌))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 398  wo 843  w3a 1082   = wceq 1531  wcel 2108  Vcvv 3493  cdif 3931   class class class wbr 5057  cmpt 5137   × cxp 5546  wf 6344  cfv 6348  (class class class)co 7148  cmpo 7150   supp csupp 7822  Fincfn 8501   finSupp cfsupp 8825  Basecbs 16475  +gcplusg 16557  .rcmulr 16558  0gc0g 16705   Σg cgsu 16706  CMndccmn 18898  Ringcrg 19289
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1905  ax-6 1964  ax-7 2009  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2154  ax-12 2170  ax-ext 2791  ax-rep 5181  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7453  ax-cnex 10585  ax-resscn 10586  ax-1cn 10587  ax-icn 10588  ax-addcl 10589  ax-addrcl 10590  ax-mulcl 10591  ax-mulrcl 10592  ax-mulcom 10593  ax-addass 10594  ax-mulass 10595  ax-distr 10596  ax-i2m1 10597  ax-1ne0 10598  ax-1rid 10599  ax-rnegex 10600  ax-rrecex 10601  ax-cnre 10602  ax-pre-lttri 10603  ax-pre-lttrn 10604  ax-pre-ltadd 10605  ax-pre-mulgt0 10606
This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1083  df-3an 1084  df-tru 1534  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2064  df-mo 2616  df-eu 2648  df-clab 2798  df-cleq 2812  df-clel 2891  df-nfc 2961  df-ne 3015  df-nel 3122  df-ral 3141  df-rex 3142  df-reu 3143  df-rmo 3144  df-rab 3145  df-v 3495  df-sbc 3771  df-csb 3882  df-dif 3937  df-un 3939  df-in 3941  df-ss 3950  df-pss 3952  df-nul 4290  df-if 4466  df-pw 4539  df-sn 4560  df-pr 4562  df-tp 4564  df-op 4566  df-uni 4831  df-int 4868  df-iun 4912  df-iin 4913  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-se 5508  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-isom 6357  df-riota 7106  df-ov 7151  df-oprab 7152  df-mpo 7153  df-of 7401  df-om 7573  df-1st 7681  df-2nd 7682  df-supp 7823  df-wrecs 7939  df-recs 8000  df-rdg 8038  df-1o 8094  df-oadd 8098  df-er 8281  df-map 8400  df-en 8502  df-dom 8503  df-sdom 8504  df-fin 8505  df-fsupp 8826  df-oi 8966  df-card 9360  df-pnf 10669  df-mnf 10670  df-xr 10671  df-ltxr 10672  df-le 10673  df-sub 10864  df-neg 10865  df-nn 11631  df-2 11692  df-n0 11890  df-z 11974  df-uz 12236  df-fz 12885  df-fzo 13026  df-seq 13362  df-hash 13683  df-ndx 16478  df-slot 16479  df-base 16481  df-sets 16482  df-ress 16483  df-plusg 16570  df-0g 16707  df-gsum 16708  df-mre 16849  df-mrc 16850  df-acs 16852  df-mgm 17844  df-sgrp 17893  df-mnd 17904  df-mhm 17948  df-submnd 17949  df-grp 18098  df-minusg 18099  df-mulg 18217  df-ghm 18348  df-cntz 18439  df-cmn 18900  df-abl 18901  df-mgp 19232  df-ur 19244  df-ring 19291
This theorem is referenced by:  evlslem2  20284
  Copyright terms: Public domain W3C validator