Theorem gsumcom3fi 20194

Description: A commutative law for finite iterated sums. (Contributed by Stefan O'Rear, 5-Sep-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
gsumcom3fi.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
gsumcom3fi.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ CMnd)
gsumcom3fi.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
gsumcom3fi.r	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ Fin)
gsumcom3fi.f	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ 𝐴 ∧ 𝑘 ∈ 𝐶)) → 𝑋 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
gsumcom3fi	⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑗 ∈ 𝐴 ↦ (𝐺 Σg (𝑘 ∈ 𝐶 ↦ 𝑋)))) = (𝐺 Σg (𝑘 ∈ 𝐶 ↦ (𝐺 Σg (𝑗 ∈ 𝐴 ↦ 𝑋)))))

Distinct variable groups:   𝑗,𝑘,𝐴   𝐵,𝑗,𝑘   𝐶,𝑗,𝑘   𝑗,𝐺,𝑘   𝜑,𝑗,𝑘

Allowed substitution hints:   𝑋(𝑗, 𝑘)

Proof of Theorem gsumcom3fi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		gsumcom3fi.b	. 2 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
2		eqid 2761	. 2 ⊢ (0g‘𝐺) = (0g‘𝐺)
3		gsumcom3fi.g	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ CMnd)
4		gsumcom3fi.a	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
5		gsumcom3fi.r	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ Fin)
6		gsumcom3fi.f	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ 𝐴 ∧ 𝑘 ∈ 𝐶)) → 𝑋 ∈ 𝐵)
7		xpfi 9312	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐶 ∈ Fin) → (𝐴 × 𝐶) ∈ Fin)
8	4, 5, 7	syl2anc 596	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 × 𝐶) ∈ Fin)
9		brxp 5700	. . . . 5 ⊢ (𝑗(𝐴 × 𝐶)𝑘 ↔ (𝑗 ∈ 𝐴 ∧ 𝑘 ∈ 𝐶))
10	9	bilanri 512	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ 𝐴 ∧ 𝑘 ∈ 𝐶)) → 𝑗(𝐴 × 𝐶)𝑘)
11	10	pm2.24d 152	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ 𝐴 ∧ 𝑘 ∈ 𝐶)) → (¬ 𝑗(𝐴 × 𝐶)𝑘 → 𝑋 = (0g‘𝐺)))
12	11	impr 460	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑗 ∈ 𝐴 ∧ 𝑘 ∈ 𝐶) ∧ ¬ 𝑗(𝐴 × 𝐶)𝑘)) → 𝑋 = (0g‘𝐺))
13	1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 12	gsumcom3 20193	1 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑗 ∈ 𝐴 ↦ (𝐺 Σg (𝑘 ∈ 𝐶 ↦ 𝑋)))) = (𝐺 Σg (𝑘 ∈ 𝐶 ↦ (𝐺 Σg (𝑗 ∈ 𝐴 ↦ 𝑋)))))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   class class class wbr 5103   ↦ cmpt 5186   × cxp 5649  ‘cfv 6539  (class class class)co 7421  Fincfn 8974  Basecbs 17388  0_gc0g 17611   Σ_g cgsu 17612  CMndccmn 19995

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7752  ax-cnex 11257  ax-resscn 11258  ax-1cn 11259  ax-icn 11260  ax-addcl 11261  ax-addrcl 11262  ax-mulcl 11263  ax-mulrcl 11264  ax-mulcom 11265  ax-addass 11266  ax-mulass 11267  ax-distr 11268  ax-i2m1 11269  ax-1ne0 11270  ax-1rid 11271  ax-rnegex 11272  ax-rrecex 11273  ax-cnre 11274  ax-pre-lttri 11275  ax-pre-lttrn 11276  ax-pre-ltadd 11277  ax-pre-mulgt0 11278

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3915  df-pss 4035  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-iin 4954  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-se 5605  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6305  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6495  df-fun 6541  df-fn 6542  df-f 6543  df-f1 6544  df-fo 6545  df-f1o 6546  df-fv 6547  df-isom 6548  df-riota 7378  df-ov 7424  df-oprab 7425  df-mpo 7426  df-of 7694  df-om 7879  df-1st 8002  df-2nd 8003  df-supp 8179  df-frecs 8300  df-wrecs 8331  df-recs 8380  df-rdg 8419  df-1o 8477  df-2o 8478  df-er 8718  df-en 8975  df-dom 8976  df-sdom 8977  df-fin 8978  df-fsupp 9355  df-oi 9505  df-card 10021  df-pnf 11346  df-mnf 11347  df-xr 11348  df-ltxr 11349  df-le 11350  df-sub 11544  df-neg 11545  df-nn 12337  df-2 12406  df-n0 12608  df-z 12695  df-uz 12967  df-fz 13641  df-fzo 13790  df-seq 14146  df-hash 14476  df-sets 17343  df-slot 17361  df-ndx 17373  df-base 17389  df-ress 17410  df-plusg 17442  df-0g 17613  df-gsum 17614  df-mre 17757  df-mrc 17758  df-acs 17760  df-mgm 18817  df-sgrp 18909  df-mnd 18925  df-submnd 18980  df-mulg 19279  df-cntz 19532  df-cmn 19997

This theorem is used by:  mamuass  22718  mavmulass  22865  decpmatmul  23091