Theorem gsumcom3fi 20093

Description: A commutative law for finite iterated sums. (Contributed by Stefan O'Rear, 5-Sep-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
gsumcom3fi.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
gsumcom3fi.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ CMnd)
gsumcom3fi.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
gsumcom3fi.r	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ Fin)
gsumcom3fi.f	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ 𝐴 ∧ 𝑘 ∈ 𝐶)) → 𝑋 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
gsumcom3fi	⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑗 ∈ 𝐴 ↦ (𝐺 Σg (𝑘 ∈ 𝐶 ↦ 𝑋)))) = (𝐺 Σg (𝑘 ∈ 𝐶 ↦ (𝐺 Σg (𝑗 ∈ 𝐴 ↦ 𝑋)))))

Distinct variable groups:   𝑗,𝑘,𝐴   𝐵,𝑗,𝑘   𝐶,𝑗,𝑘   𝑗,𝐺,𝑘   𝜑,𝑗,𝑘

Allowed substitution hints:   𝑋(𝑗, 𝑘)

Proof of Theorem gsumcom3fi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		gsumcom3fi.b	. 2 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
2		eqid 2765	. 2 ⊢ (0g‘𝐺) = (0g‘𝐺)
3		gsumcom3fi.g	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ CMnd)
4		gsumcom3fi.a	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
5		gsumcom3fi.r	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ Fin)
6		gsumcom3fi.f	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ 𝐴 ∧ 𝑘 ∈ 𝐶)) → 𝑋 ∈ 𝐵)
7		xpfi 9286	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐶 ∈ Fin) → (𝐴 × 𝐶) ∈ Fin)
8	4, 5, 7	syl2anc 596	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 × 𝐶) ∈ Fin)
9		brxp 5712	. . . . 5 ⊢ (𝑗(𝐴 × 𝐶)𝑘 ↔ (𝑗 ∈ 𝐴 ∧ 𝑘 ∈ 𝐶))
10	9	bilanri 512	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ 𝐴 ∧ 𝑘 ∈ 𝐶)) → 𝑗(𝐴 × 𝐶)𝑘)
11	10	pm2.24d 152	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ 𝐴 ∧ 𝑘 ∈ 𝐶)) → (¬ 𝑗(𝐴 × 𝐶)𝑘 → 𝑋 = (0g‘𝐺)))
12	11	impr 460	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑗 ∈ 𝐴 ∧ 𝑘 ∈ 𝐶) ∧ ¬ 𝑗(𝐴 × 𝐶)𝑘)) → 𝑋 = (0g‘𝐺))
13	1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 12	gsumcom3 20092	1 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑗 ∈ 𝐴 ↦ (𝐺 Σg (𝑘 ∈ 𝐶 ↦ 𝑋)))) = (𝐺 Σg (𝑘 ∈ 𝐶 ↦ (𝐺 Σg (𝑗 ∈ 𝐴 ↦ 𝑋)))))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2146   class class class wbr 5111   ↦ cmpt 5194   × cxp 5661  ‘cfv 6540  (class class class)co 7419  Fincfn 8949  Basecbs 17291  0_gc0g 17514   Σ_g cgsu 17515  CMndccmn 19894

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-rep 5240  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7742  ax-cnex 11171  ax-resscn 11172  ax-1cn 11173  ax-icn 11174  ax-addcl 11175  ax-addrcl 11176  ax-mulcl 11177  ax-mulrcl 11178  ax-mulcom 11179  ax-addass 11180  ax-mulass 11181  ax-distr 11182  ax-i2m1 11183  ax-1ne0 11184  ax-1rid 11185  ax-rnegex 11186  ax-rrecex 11187  ax-cnre 11188  ax-pre-lttri 11189  ax-pre-lttrn 11190  ax-pre-ltadd 11191  ax-pre-mulgt0 11192

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-int 4915  df-iun 4960  df-iin 4961  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-se 5617  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-isom 6549  df-riota 7376  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-of 7684  df-om 7869  df-1st 7992  df-2nd 7993  df-supp 8163  df-frecs 8284  df-wrecs 8315  df-recs 8364  df-rdg 8403  df-1o 8459  df-2o 8460  df-er 8700  df-en 8950  df-dom 8951  df-sdom 8952  df-fin 8953  df-fsupp 9329  df-oi 9479  df-card 9941  df-pnf 11260  df-mnf 11261  df-xr 11262  df-ltxr 11263  df-le 11264  df-sub 11458  df-neg 11459  df-nn 12249  df-2 12318  df-n0 12520  df-z 12607  df-uz 12879  df-fz 13552  df-fzo 13700  df-seq 14056  df-hash 14385  df-sets 17246  df-slot 17264  df-ndx 17276  df-base 17292  df-ress 17313  df-plusg 17345  df-0g 17516  df-gsum 17517  df-mre 17660  df-mrc 17661  df-acs 17663  df-mgm 18720  df-sgrp 18809  df-mnd 18825  df-submnd 18879  df-mulg 19178  df-cntz 19431  df-cmn 19896

This theorem is used by:  mamuass  22609  mavmulass  22756  decpmatmul  22979