Theorem gsumcom3fi 19101

Description: A commutative law for finite iterated sums. (Contributed by Stefan O'Rear, 5-Sep-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
gsumcom3fi.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
gsumcom3fi.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ CMnd)
gsumcom3fi.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
gsumcom3fi.r	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ Fin)
gsumcom3fi.f	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ 𝐴 ∧ 𝑘 ∈ 𝐶)) → 𝑋 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
gsumcom3fi	⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑗 ∈ 𝐴 ↦ (𝐺 Σg (𝑘 ∈ 𝐶 ↦ 𝑋)))) = (𝐺 Σg (𝑘 ∈ 𝐶 ↦ (𝐺 Σg (𝑗 ∈ 𝐴 ↦ 𝑋)))))

Distinct variable groups:   𝑗,𝑘,𝐴   𝐵,𝑗,𝑘   𝐶,𝑗,𝑘   𝑗,𝐺,𝑘   𝜑,𝑗,𝑘

Allowed substitution hints:   𝑋(𝑗,𝑘)

Proof of Theorem gsumcom3fi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		gsumcom3fi.b	. 2 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
2		eqid 2823	. 2 ⊢ (0g‘𝐺) = (0g‘𝐺)
3		gsumcom3fi.g	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ CMnd)
4		gsumcom3fi.a	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
5		gsumcom3fi.r	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ Fin)
6		gsumcom3fi.f	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ 𝐴 ∧ 𝑘 ∈ 𝐶)) → 𝑋 ∈ 𝐵)
7		xpfi 8791	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐶 ∈ Fin) → (𝐴 × 𝐶) ∈ Fin)
8	4, 5, 7	syl2anc 586	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 × 𝐶) ∈ Fin)
9		brxp 5603	. . . . . 6 ⊢ (𝑗(𝐴 × 𝐶)𝑘 ↔ (𝑗 ∈ 𝐴 ∧ 𝑘 ∈ 𝐶))
10	9	biimpri 230	. . . . 5 ⊢ ((𝑗 ∈ 𝐴 ∧ 𝑘 ∈ 𝐶) → 𝑗(𝐴 × 𝐶)𝑘)
11	10	adantl 484	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ 𝐴 ∧ 𝑘 ∈ 𝐶)) → 𝑗(𝐴 × 𝐶)𝑘)
12	11	pm2.24d 154	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ 𝐴 ∧ 𝑘 ∈ 𝐶)) → (¬ 𝑗(𝐴 × 𝐶)𝑘 → 𝑋 = (0g‘𝐺)))
13	12	impr 457	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑗 ∈ 𝐴 ∧ 𝑘 ∈ 𝐶) ∧ ¬ 𝑗(𝐴 × 𝐶)𝑘)) → 𝑋 = (0g‘𝐺))
14	1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 13	gsumcom3 19100	1 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑗 ∈ 𝐴 ↦ (𝐺 Σg (𝑘 ∈ 𝐶 ↦ 𝑋)))) = (𝐺 Σg (𝑘 ∈ 𝐶 ↦ (𝐺 Σg (𝑗 ∈ 𝐴 ↦ 𝑋)))))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 398   = wceq 1537   ∈ wcel 2114   class class class wbr 5068   ↦ cmpt 5148   × cxp 5555  ‘cfv 6357  (class class class)co 7158  Fincfn 8511  Basecbs 16485  0_gc0g 16715   Σ_g cgsu 16716  CMndccmn 18908

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2795  ax-rep 5192  ax-sep 5205  ax-nul 5212  ax-pow 5268  ax-pr 5332  ax-un 7463  ax-cnex 10595  ax-resscn 10596  ax-1cn 10597  ax-icn 10598  ax-addcl 10599  ax-addrcl 10600  ax-mulcl 10601  ax-mulrcl 10602  ax-mulcom 10603  ax-addass 10604  ax-mulass 10605  ax-distr 10606  ax-i2m1 10607  ax-1ne0 10608  ax-1rid 10609  ax-rnegex 10610  ax-rrecex 10611  ax-cnre 10612  ax-pre-lttri 10613  ax-pre-lttrn 10614  ax-pre-ltadd 10615  ax-pre-mulgt0 10616

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2802  df-cleq 2816  df-clel 2895  df-nfc 2965  df-ne 3019  df-nel 3126  df-ral 3145  df-rex 3146  df-reu 3147  df-rmo 3148  df-rab 3149  df-v 3498  df-sbc 3775  df-csb 3886  df-dif 3941  df-un 3943  df-in 3945  df-ss 3954  df-pss 3956  df-nul 4294  df-if 4470  df-pw 4543  df-sn 4570  df-pr 4572  df-tp 4574  df-op 4576  df-uni 4841  df-int 4879  df-iun 4923  df-iin 4924  df-br 5069  df-opab 5131  df-mpt 5149  df-tr 5175  df-id 5462  df-eprel 5467  df-po 5476  df-so 5477  df-fr 5516  df-se 5517  df-we 5518  df-xp 5563  df-rel 5564  df-cnv 5565  df-co 5566  df-dm 5567  df-rn 5568  df-res 5569  df-ima 5570  df-pred 6150  df-ord 6196  df-on 6197  df-lim 6198  df-suc 6199  df-iota 6316  df-fun 6359  df-fn 6360  df-f 6361  df-f1 6362  df-fo 6363  df-f1o 6364  df-fv 6365  df-isom 6366  df-riota 7116  df-ov 7161  df-oprab 7162  df-mpo 7163  df-of 7411  df-om 7583  df-1st 7691  df-2nd 7692  df-supp 7833  df-wrecs 7949  df-recs 8010  df-rdg 8048  df-1o 8104  df-oadd 8108  df-er 8291  df-en 8512  df-dom 8513  df-sdom 8514  df-fin 8515  df-fsupp 8836  df-oi 8976  df-card 9370  df-pnf 10679  df-mnf 10680  df-xr 10681  df-ltxr 10682  df-le 10683  df-sub 10874  df-neg 10875  df-nn 11641  df-2 11703  df-n0 11901  df-z 11985  df-uz 12247  df-fz 12896  df-fzo 13037  df-seq 13373  df-hash 13694  df-ndx 16488  df-slot 16489  df-base 16491  df-sets 16492  df-ress 16493  df-plusg 16580  df-0g 16717  df-gsum 16718  df-mre 16859  df-mrc 16860  df-acs 16862  df-mgm 17854  df-sgrp 17903  df-mnd 17914  df-submnd 17959  df-mulg 18227  df-cntz 18449  df-cmn 18910

This theorem is referenced by:  mamuass  21013  mavmulass  21160  decpmatmul  21382