Theorem gsumbagdiagOLD 21860

Description: Obsolete version of gsumbagdiag 21863 as of 6-Aug-2024. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Jan-2015.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
psrbag.d	⊢ 𝐷 = {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}
psrbagconf1o.s	⊢ 𝑆 = {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝐹}
gsumbagdiagOLD.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
gsumbagdiagOLD.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐷)
gsumbagdiagOLD.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
gsumbagdiagOLD.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ CMnd)
gsumbagdiagOLD.x	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ 𝑆 ∧ 𝑘 ∈ {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝑥 ∘r ≤ (𝐹 ∘f − 𝑗)})) → 𝑋 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
gsumbagdiagOLD	⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑗 ∈ 𝑆, 𝑘 ∈ {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝑥 ∘r ≤ (𝐹 ∘f − 𝑗)} ↦ 𝑋)) = (𝐺 Σg (𝑘 ∈ 𝑆, 𝑗 ∈ {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝑥 ∘r ≤ (𝐹 ∘f − 𝑘)} ↦ 𝑋)))

Distinct variable groups:   𝑓,𝐹   𝑓,𝐼   𝑓,𝐺   𝑥,𝐷,𝑦   𝑥,𝐹,𝑦   𝑥,𝐺   𝑓,𝑋,𝑦,𝑥   𝑥,𝑆   𝑥,𝐼   𝑥,𝑉   𝑓,𝑗,𝑘,𝑦,𝑥,𝐹   𝑗,𝐺,𝑘,𝑦   𝑦,𝑉   𝑦,𝐼   𝜑,𝑗,𝑘   𝑆,𝑗,𝑘   𝐵,𝑗,𝑘   𝐷,𝑗,𝑘   𝑥,𝑋

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦,𝑓)   𝐵(𝑥,𝑦,𝑓)   𝐷(𝑓)   𝑆(𝑦,𝑓)   𝐼(𝑗,𝑘)   𝑉(𝑓,𝑗,𝑘)   𝑋(𝑗,𝑘)

Proof of Theorem gsumbagdiagOLD

Step	Hyp	Ref	Expression
1		gsumbagdiagOLD.b	. 2 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
2		eqid 2727	. 2 ⊢ (0g‘𝐺) = (0g‘𝐺)
3		gsumbagdiagOLD.g	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ CMnd)
4		psrbagconf1o.s	. . 3 ⊢ 𝑆 = {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝐹}
5		gsumbagdiagOLD.i	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
6		gsumbagdiagOLD.f	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐷)
7		psrbag.d	. . . . 5 ⊢ 𝐷 = {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}
8	7	psrbaglefiOLD 21853	. . . 4 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝐷) → {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝐹} ∈ Fin)
9	5, 6, 8	syl2anc 583	. . 3 ⊢ (𝜑 → {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝐹} ∈ Fin)
10	4, 9	eqeltrid 2832	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ Fin)
11		ovex 7447	. . . 4 ⊢ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∈ V
12	7, 11	rab2ex 5331	. . 3 ⊢ {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝑥 ∘r ≤ (𝐹 ∘f − 𝑗)} ∈ V
13	12	a1i 11	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑆) → {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝑥 ∘r ≤ (𝐹 ∘f − 𝑗)} ∈ V)
14		gsumbagdiagOLD.x	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ 𝑆 ∧ 𝑘 ∈ {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝑥 ∘r ≤ (𝐹 ∘f − 𝑗)})) → 𝑋 ∈ 𝐵)
15		xpfi 9333	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ Fin ∧ 𝑆 ∈ Fin) → (𝑆 × 𝑆) ∈ Fin)
16	10, 10, 15	syl2anc 583	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑆 × 𝑆) ∈ Fin)
17		simprl 770	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ 𝑆 ∧ 𝑘 ∈ {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝑥 ∘r ≤ (𝐹 ∘f − 𝑗)})) → 𝑗 ∈ 𝑆)
18	7, 4, 5, 6	gsumbagdiaglemOLD 21859	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ 𝑆 ∧ 𝑘 ∈ {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝑥 ∘r ≤ (𝐹 ∘f − 𝑗)})) → (𝑘 ∈ 𝑆 ∧ 𝑗 ∈ {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝑥 ∘r ≤ (𝐹 ∘f − 𝑘)}))
19	18	simpld 494	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ 𝑆 ∧ 𝑘 ∈ {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝑥 ∘r ≤ (𝐹 ∘f − 𝑗)})) → 𝑘 ∈ 𝑆)
20		brxp 5721	. . . . 5 ⊢ (𝑗(𝑆 × 𝑆)𝑘 ↔ (𝑗 ∈ 𝑆 ∧ 𝑘 ∈ 𝑆))
21	17, 19, 20	sylanbrc 582	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ 𝑆 ∧ 𝑘 ∈ {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝑥 ∘r ≤ (𝐹 ∘f − 𝑗)})) → 𝑗(𝑆 × 𝑆)𝑘)
22	21	pm2.24d 151	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ 𝑆 ∧ 𝑘 ∈ {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝑥 ∘r ≤ (𝐹 ∘f − 𝑗)})) → (¬ 𝑗(𝑆 × 𝑆)𝑘 → 𝑋 = (0g‘𝐺)))
23	22	impr 454	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑗 ∈ 𝑆 ∧ 𝑘 ∈ {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝑥 ∘r ≤ (𝐹 ∘f − 𝑗)}) ∧ ¬ 𝑗(𝑆 × 𝑆)𝑘)) → 𝑋 = (0g‘𝐺))
24	7, 4, 5, 6	gsumbagdiaglemOLD 21859	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ 𝑆 ∧ 𝑗 ∈ {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝑥 ∘r ≤ (𝐹 ∘f − 𝑘)})) → (𝑗 ∈ 𝑆 ∧ 𝑘 ∈ {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝑥 ∘r ≤ (𝐹 ∘f − 𝑗)}))
25	18, 24	impbida 800	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑗 ∈ 𝑆 ∧ 𝑘 ∈ {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝑥 ∘r ≤ (𝐹 ∘f − 𝑗)}) ↔ (𝑘 ∈ 𝑆 ∧ 𝑗 ∈ {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝑥 ∘r ≤ (𝐹 ∘f − 𝑘)})))
26	1, 2, 3, 10, 13, 14, 16, 23, 10, 25	gsumcom2 19921	1 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑗 ∈ 𝑆, 𝑘 ∈ {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝑥 ∘r ≤ (𝐹 ∘f − 𝑗)} ↦ 𝑋)) = (𝐺 Σg (𝑘 ∈ 𝑆, 𝑗 ∈ {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝑥 ∘r ≤ (𝐹 ∘f − 𝑘)} ↦ 𝑋)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1534   ∈ wcel 2099  {crab 3427  Vcvv 3469   class class class wbr 5142   × cxp 5670  ^◡ccnv 5671   “ cima 5675  ‘cfv 6542  (class class class)co 7414   ∈ cmpo 7416   ∘_f cof 7677   ∘_r cofr 7678   ↑_m cmap 8836  Fincfn 8955   ≤ cle 11271   − cmin 11466  ℕcn 12234  ℕ₀cn0 12494  Basecbs 17171  0_gc0g 17412   Σ_g cgsu 17413  CMndccmn 19726

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-rep 5279  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7734  ax-cnex 11186  ax-resscn 11187  ax-1cn 11188  ax-icn 11189  ax-addcl 11190  ax-addrcl 11191  ax-mulcl 11192  ax-mulrcl 11193  ax-mulcom 11194  ax-addass 11195  ax-mulass 11196  ax-distr 11197  ax-i2m1 11198  ax-1ne0 11199  ax-1rid 11200  ax-rnegex 11201  ax-rrecex 11202  ax-cnre 11203  ax-pre-lttri 11204  ax-pre-lttrn 11205  ax-pre-ltadd 11206  ax-pre-mulgt0 11207

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-nel 3042  df-ral 3057  df-rex 3066  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-se 5628  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-isom 6551  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-of 7679  df-ofr 7680  df-om 7865  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-supp 8160  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-1o 8480  df-er 8718  df-map 8838  df-pm 8839  df-ixp 8908  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-fin 8959  df-fsupp 9378  df-oi 9525  df-card 9954  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11468  df-neg 11469  df-nn 12235  df-n0 12495  df-z 12581  df-uz 12845  df-fz 13509  df-fzo 13652  df-seq 13991  df-hash 14314  df-0g 17414  df-gsum 17415  df-mgm 18591  df-sgrp 18670  df-mnd 18686  df-cntz 19259  df-cmn 19728

This theorem is referenced by:  psrass1lemOLD  21861