MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  gsumbagdiagOLD Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem gsumbagdiagOLD 21792
Description: Obsolete version of gsumbagdiag 21795 as of 6-Aug-2024. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Jan-2015.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
psrbag.d 𝐷 = {𝑓 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}
psrbagconf1o.s 𝑆 = {𝑦𝐷𝑦r𝐹}
gsumbagdiagOLD.i (𝜑𝐼𝑉)
gsumbagdiagOLD.f (𝜑𝐹𝐷)
gsumbagdiagOLD.b 𝐵 = (Base‘𝐺)
gsumbagdiagOLD.g (𝜑𝐺 ∈ CMnd)
gsumbagdiagOLD.x ((𝜑 ∧ (𝑗𝑆𝑘 ∈ {𝑥𝐷𝑥r ≤ (𝐹f𝑗)})) → 𝑋𝐵)
Assertion
Ref Expression
gsumbagdiagOLD (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑗𝑆, 𝑘 ∈ {𝑥𝐷𝑥r ≤ (𝐹f𝑗)} ↦ 𝑋)) = (𝐺 Σg (𝑘𝑆, 𝑗 ∈ {𝑥𝐷𝑥r ≤ (𝐹f𝑘)} ↦ 𝑋)))
Distinct variable groups:   𝑓,𝑗,𝑘,𝑥,𝑦,𝐹   𝑓,𝐺,𝑗,𝑘,𝑥,𝑦   𝑥,𝑉,𝑦   𝑓,𝐼,𝑥,𝑦   𝜑,𝑗,𝑘   𝑆,𝑗,𝑘,𝑥   𝐵,𝑗,𝑘   𝐷,𝑗,𝑘,𝑥,𝑦   𝑓,𝑋,𝑥,𝑦
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦,𝑓)   𝐵(𝑥,𝑦,𝑓)   𝐷(𝑓)   𝑆(𝑦,𝑓)   𝐼(𝑗,𝑘)   𝑉(𝑓,𝑗,𝑘)   𝑋(𝑗,𝑘)

Proof of Theorem gsumbagdiagOLD
StepHypRef Expression
1 gsumbagdiagOLD.b . 2 𝐵 = (Base‘𝐺)
2 eqid 2724 . 2 (0g𝐺) = (0g𝐺)
3 gsumbagdiagOLD.g . 2 (𝜑𝐺 ∈ CMnd)
4 psrbagconf1o.s . . 3 𝑆 = {𝑦𝐷𝑦r𝐹}
5 gsumbagdiagOLD.i . . . 4 (𝜑𝐼𝑉)
6 gsumbagdiagOLD.f . . . 4 (𝜑𝐹𝐷)
7 psrbag.d . . . . 5 𝐷 = {𝑓 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}
87psrbaglefiOLD 21786 . . . 4 ((𝐼𝑉𝐹𝐷) → {𝑦𝐷𝑦r𝐹} ∈ Fin)
95, 6, 8syl2anc 583 . . 3 (𝜑 → {𝑦𝐷𝑦r𝐹} ∈ Fin)
104, 9eqeltrid 2829 . 2 (𝜑𝑆 ∈ Fin)
11 ovex 7434 . . . 4 (ℕ0m 𝐼) ∈ V
127, 11rab2ex 5325 . . 3 {𝑥𝐷𝑥r ≤ (𝐹f𝑗)} ∈ V
1312a1i 11 . 2 ((𝜑𝑗𝑆) → {𝑥𝐷𝑥r ≤ (𝐹f𝑗)} ∈ V)
14 gsumbagdiagOLD.x . 2 ((𝜑 ∧ (𝑗𝑆𝑘 ∈ {𝑥𝐷𝑥r ≤ (𝐹f𝑗)})) → 𝑋𝐵)
15 xpfi 9312 . . 3 ((𝑆 ∈ Fin ∧ 𝑆 ∈ Fin) → (𝑆 × 𝑆) ∈ Fin)
1610, 10, 15syl2anc 583 . 2 (𝜑 → (𝑆 × 𝑆) ∈ Fin)
17 simprl 768 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑗𝑆𝑘 ∈ {𝑥𝐷𝑥r ≤ (𝐹f𝑗)})) → 𝑗𝑆)
187, 4, 5, 6gsumbagdiaglemOLD 21791 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑗𝑆𝑘 ∈ {𝑥𝐷𝑥r ≤ (𝐹f𝑗)})) → (𝑘𝑆𝑗 ∈ {𝑥𝐷𝑥r ≤ (𝐹f𝑘)}))
1918simpld 494 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑗𝑆𝑘 ∈ {𝑥𝐷𝑥r ≤ (𝐹f𝑗)})) → 𝑘𝑆)
20 brxp 5715 . . . . 5 (𝑗(𝑆 × 𝑆)𝑘 ↔ (𝑗𝑆𝑘𝑆))
2117, 19, 20sylanbrc 582 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑗𝑆𝑘 ∈ {𝑥𝐷𝑥r ≤ (𝐹f𝑗)})) → 𝑗(𝑆 × 𝑆)𝑘)
2221pm2.24d 151 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑗𝑆𝑘 ∈ {𝑥𝐷𝑥r ≤ (𝐹f𝑗)})) → (¬ 𝑗(𝑆 × 𝑆)𝑘𝑋 = (0g𝐺)))
2322impr 454 . 2 ((𝜑 ∧ ((𝑗𝑆𝑘 ∈ {𝑥𝐷𝑥r ≤ (𝐹f𝑗)}) ∧ ¬ 𝑗(𝑆 × 𝑆)𝑘)) → 𝑋 = (0g𝐺))
247, 4, 5, 6gsumbagdiaglemOLD 21791 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑘𝑆𝑗 ∈ {𝑥𝐷𝑥r ≤ (𝐹f𝑘)})) → (𝑗𝑆𝑘 ∈ {𝑥𝐷𝑥r ≤ (𝐹f𝑗)}))
2518, 24impbida 798 . 2 (𝜑 → ((𝑗𝑆𝑘 ∈ {𝑥𝐷𝑥r ≤ (𝐹f𝑗)}) ↔ (𝑘𝑆𝑗 ∈ {𝑥𝐷𝑥r ≤ (𝐹f𝑘)})))
261, 2, 3, 10, 13, 14, 16, 23, 10, 25gsumcom2 19880 1 (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑗𝑆, 𝑘 ∈ {𝑥𝐷𝑥r ≤ (𝐹f𝑗)} ↦ 𝑋)) = (𝐺 Σg (𝑘𝑆, 𝑗 ∈ {𝑥𝐷𝑥r ≤ (𝐹f𝑘)} ↦ 𝑋)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 395   = wceq 1533  wcel 2098  {crab 3424  Vcvv 3466   class class class wbr 5138   × cxp 5664  ccnv 5665  cima 5669  cfv 6533  (class class class)co 7401  cmpo 7403  f cof 7661  r cofr 7662  m cmap 8815  Fincfn 8934  cle 11245  cmin 11440  cn 12208  0cn0 12468  Basecbs 17140  0gc0g 17381   Σg cgsu 17382  CMndccmn 19685
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-rep 5275  ax-sep 5289  ax-nul 5296  ax-pow 5353  ax-pr 5417  ax-un 7718  ax-cnex 11161  ax-resscn 11162  ax-1cn 11163  ax-icn 11164  ax-addcl 11165  ax-addrcl 11166  ax-mulcl 11167  ax-mulrcl 11168  ax-mulcom 11169  ax-addass 11170  ax-mulass 11171  ax-distr 11172  ax-i2m1 11173  ax-1ne0 11174  ax-1rid 11175  ax-rnegex 11176  ax-rrecex 11177  ax-cnre 11178  ax-pre-lttri 11179  ax-pre-lttrn 11180  ax-pre-ltadd 11181  ax-pre-mulgt0 11182
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-pss 3959  df-nul 4315  df-if 4521  df-pw 4596  df-sn 4621  df-pr 4623  df-op 4627  df-uni 4900  df-int 4941  df-iun 4989  df-br 5139  df-opab 5201  df-mpt 5222  df-tr 5256  df-id 5564  df-eprel 5570  df-po 5578  df-so 5579  df-fr 5621  df-se 5622  df-we 5623  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-pred 6290  df-ord 6357  df-on 6358  df-lim 6359  df-suc 6360  df-iota 6485  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-isom 6542  df-riota 7357  df-ov 7404  df-oprab 7405  df-mpo 7406  df-of 7663  df-ofr 7664  df-om 7849  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-supp 8141  df-frecs 8261  df-wrecs 8292  df-recs 8366  df-rdg 8405  df-1o 8461  df-er 8698  df-map 8817  df-pm 8818  df-ixp 8887  df-en 8935  df-dom 8936  df-sdom 8937  df-fin 8938  df-fsupp 9357  df-oi 9500  df-card 9929  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-nn 12209  df-n0 12469  df-z 12555  df-uz 12819  df-fz 13481  df-fzo 13624  df-seq 13963  df-hash 14287  df-0g 17383  df-gsum 17384  df-mgm 18560  df-sgrp 18639  df-mnd 18655  df-cntz 19218  df-cmn 19687
This theorem is referenced by:  psrass1lemOLD  21793
  Copyright terms: Public domain W3C validator