Theorem gsumbagdiag 22082

Description: Two-dimensional commutation of a group sum over a "triangular" region. fsum0diag 15824 analogue for finite bags. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Jan-2015.) Remove a sethood hypothesis. (Revised by SN, 6-Aug-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
gsumbagdiag.d	⊢ 𝐷 = {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}
gsumbagdiag.s	⊢ 𝑆 = {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝐹}
gsumbagdiag.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐷)
gsumbagdiag.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
gsumbagdiag.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ CMnd)
gsumbagdiag.x	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ 𝑆 ∧ 𝑘 ∈ {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝑥 ∘r ≤ (𝐹 ∘f − 𝑗)})) → 𝑋 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
gsumbagdiag	⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑗 ∈ 𝑆, 𝑘 ∈ {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝑥 ∘r ≤ (𝐹 ∘f − 𝑗)} ↦ 𝑋)) = (𝐺 Σg (𝑘 ∈ 𝑆, 𝑗 ∈ {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝑥 ∘r ≤ (𝐹 ∘f − 𝑘)} ↦ 𝑋)))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐷   𝑦,𝐷   𝑓,𝐹   𝑥,𝐹   𝑦,𝐹   𝑓,𝐼   𝑓,𝑋   𝑥,𝑋   𝑦,𝑋   𝐵,𝑗,𝑘   𝐷,𝑗,𝑘   𝑗,𝐹,𝑘   𝑗,𝐺,𝑘   𝑦,𝐼,𝑓   𝑆,𝑗,𝑘   𝜑,𝑗,𝑘   𝑓,𝑗,𝑘,𝑦   𝑥,𝑗,𝑘

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦,𝑓)   𝐵(𝑥,𝑦,𝑓)   𝐷(𝑓)   𝑆(𝑥,𝑦,𝑓)   𝐺(𝑥,𝑦,𝑓)   𝐼(𝑥,𝑗,𝑘)   𝑋(𝑗,𝑘)

Proof of Theorem gsumbagdiag

Step	Hyp	Ref	Expression
1		gsumbagdiag.b	. 2 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
2		eqid 2763	. 2 ⊢ (0g‘𝐺) = (0g‘𝐺)
3		gsumbagdiag.g	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ CMnd)
4		gsumbagdiag.s	. . 3 ⊢ 𝑆 = {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝐹}
5		gsumbagdiag.f	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐷)
6		gsumbagdiag.d	. . . . 5 ⊢ 𝐷 = {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}
7	6	psrbaglefi 22076	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐷 → {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝐹} ∈ Fin)
8	5, 7	syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝐹} ∈ Fin)
9	4, 8	eqeltrid 2867	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ Fin)
10		ovex 7443	. . . 4 ⊢ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∈ V
11	6, 10	rab2ex 5312	. . 3 ⊢ {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝑥 ∘r ≤ (𝐹 ∘f − 𝑗)} ∈ V
12	11	a1i 11	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑆) → {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝑥 ∘r ≤ (𝐹 ∘f − 𝑗)} ∈ V)
13		gsumbagdiag.x	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ 𝑆 ∧ 𝑘 ∈ {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝑥 ∘r ≤ (𝐹 ∘f − 𝑗)})) → 𝑋 ∈ 𝐵)
14		xpfi 9275	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ Fin ∧ 𝑆 ∈ Fin) → (𝑆 × 𝑆) ∈ Fin)
15	9, 9, 14	syl2anc 595	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑆 × 𝑆) ∈ Fin)
16		simprl 782	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ 𝑆 ∧ 𝑘 ∈ {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝑥 ∘r ≤ (𝐹 ∘f − 𝑗)})) → 𝑗 ∈ 𝑆)
17	6, 4, 5	gsumbagdiaglem 22081	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ 𝑆 ∧ 𝑘 ∈ {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝑥 ∘r ≤ (𝐹 ∘f − 𝑗)})) → (𝑘 ∈ 𝑆 ∧ 𝑗 ∈ {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝑥 ∘r ≤ (𝐹 ∘f − 𝑘)}))
18	17	simpld 499	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ 𝑆 ∧ 𝑘 ∈ {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝑥 ∘r ≤ (𝐹 ∘f − 𝑗)})) → 𝑘 ∈ 𝑆)
19		brxp 5710	. . . . 5 ⊢ (𝑗(𝑆 × 𝑆)𝑘 ↔ (𝑗 ∈ 𝑆 ∧ 𝑘 ∈ 𝑆))
20	16, 18, 19	sylanbrc 594	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ 𝑆 ∧ 𝑘 ∈ {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝑥 ∘r ≤ (𝐹 ∘f − 𝑗)})) → 𝑗(𝑆 × 𝑆)𝑘)
21	20	pm2.24d 152	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ 𝑆 ∧ 𝑘 ∈ {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝑥 ∘r ≤ (𝐹 ∘f − 𝑗)})) → (¬ 𝑗(𝑆 × 𝑆)𝑘 → 𝑋 = (0g‘𝐺)))
22	21	impr 459	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑗 ∈ 𝑆 ∧ 𝑘 ∈ {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝑥 ∘r ≤ (𝐹 ∘f − 𝑗)}) ∧ ¬ 𝑗(𝑆 × 𝑆)𝑘)) → 𝑋 = (0g‘𝐺))
23	6, 4, 5	gsumbagdiaglem 22081	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ 𝑆 ∧ 𝑗 ∈ {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝑥 ∘r ≤ (𝐹 ∘f − 𝑘)})) → (𝑗 ∈ 𝑆 ∧ 𝑘 ∈ {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝑥 ∘r ≤ (𝐹 ∘f − 𝑗)}))
24	17, 23	impbida 812	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑗 ∈ 𝑆 ∧ 𝑘 ∈ {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝑥 ∘r ≤ (𝐹 ∘f − 𝑗)}) ↔ (𝑘 ∈ 𝑆 ∧ 𝑗 ∈ {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝑥 ∘r ≤ (𝐹 ∘f − 𝑘)})))
25	1, 2, 3, 9, 12, 13, 15, 22, 9, 24	gsumcom2 20040	1 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑗 ∈ 𝑆, 𝑘 ∈ {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝑥 ∘r ≤ (𝐹 ∘f − 𝑗)} ↦ 𝑋)) = (𝐺 Σg (𝑘 ∈ 𝑆, 𝑗 ∈ {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝑥 ∘r ≤ (𝐹 ∘f − 𝑘)} ↦ 𝑋)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1570   ∈ wcel 2143  {crab 3416  Vcvv 3455   class class class wbr 5109   × cxp 5659  ^◡ccnv 5660   “ cima 5664  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410   ∈ cmpo 7412   ∘_f cof 7672   ∘_r cofr 7673   ↑_m cmap 8820  Fincfn 8939   ≤ cle 11239   − cmin 11436  ℕcn 12228  ℕ₀cn0 12499  Basecbs 17264  0_gc0g 17487   Σ_g cgsu 17488  CMndccmn 19845

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5238  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-cnex 11151  ax-resscn 11152  ax-1cn 11153  ax-icn 11154  ax-addcl 11155  ax-addrcl 11156  ax-mulcl 11157  ax-mulrcl 11158  ax-mulcom 11159  ax-addass 11160  ax-mulass 11161  ax-distr 11162  ax-i2m1 11163  ax-1ne0 11164  ax-1rid 11165  ax-rnegex 11166  ax-rrecex 11167  ax-cnre 11168  ax-pre-lttri 11169  ax-pre-lttrn 11170  ax-pre-ltadd 11171  ax-pre-mulgt0 11172

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4488  df-pw 4564  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4873  df-int 4913  df-iun 4958  df-br 5110  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-se 5615  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-isom 6545  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-of 7674  df-ofr 7675  df-om 7859  df-1st 7982  df-2nd 7983  df-supp 8153  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-1o 8449  df-er 8690  df-map 8822  df-pm 8823  df-ixp 8892  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-fsupp 9318  df-oi 9468  df-card 9921  df-pnf 11240  df-mnf 11241  df-xr 11242  df-ltxr 11243  df-le 11244  df-sub 11438  df-neg 11439  df-nn 12229  df-n0 12500  df-z 12587  df-uz 12858  df-fz 13531  df-fzo 13679  df-seq 14034  df-hash 14363  df-0g 17489  df-gsum 17490  df-mgm 18693  df-sgrp 18772  df-mnd 18788  df-cntz 19382  df-cmn 19847

This theorem is referenced by:  psrass1lem  22083