MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  gsumbagdiag Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem gsumbagdiag 21878
Description: Two-dimensional commutation of a group sum over a "triangular" region. fsum0diag 15753 analogue for finite bags. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Jan-2015.) Remove a sethood hypothesis. (Revised by SN, 6-Aug-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
gsumbagdiag.d 𝐷 = {𝑓 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}
gsumbagdiag.s 𝑆 = {𝑦𝐷𝑦r𝐹}
gsumbagdiag.f (𝜑𝐹𝐷)
gsumbagdiag.b 𝐵 = (Base‘𝐺)
gsumbagdiag.g (𝜑𝐺 ∈ CMnd)
gsumbagdiag.x ((𝜑 ∧ (𝑗𝑆𝑘 ∈ {𝑥𝐷𝑥r ≤ (𝐹f𝑗)})) → 𝑋𝐵)
Assertion
Ref Expression
gsumbagdiag (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑗𝑆, 𝑘 ∈ {𝑥𝐷𝑥r ≤ (𝐹f𝑗)} ↦ 𝑋)) = (𝐺 Σg (𝑘𝑆, 𝑗 ∈ {𝑥𝐷𝑥r ≤ (𝐹f𝑘)} ↦ 𝑋)))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐷   𝑦,𝐷   𝑓,𝐹   𝑥,𝐹   𝑦,𝐹   𝑓,𝐼   𝑓,𝑋   𝑥,𝑋   𝑦,𝑋   𝐵,𝑗,𝑘   𝐷,𝑗,𝑘   𝑗,𝐹,𝑘   𝑗,𝐺,𝑘   𝑦,𝐼,𝑓   𝑆,𝑗,𝑘   𝜑,𝑗,𝑘   𝑓,𝑗,𝑘,𝑦   𝑥,𝑗,𝑘
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦,𝑓)   𝐵(𝑥,𝑦,𝑓)   𝐷(𝑓)   𝑆(𝑥,𝑦,𝑓)   𝐺(𝑥,𝑦,𝑓)   𝐼(𝑥,𝑗,𝑘)   𝑋(𝑗,𝑘)

Proof of Theorem gsumbagdiag
StepHypRef Expression
1 gsumbagdiag.b . 2 𝐵 = (Base‘𝐺)
2 eqid 2725 . 2 (0g𝐺) = (0g𝐺)
3 gsumbagdiag.g . 2 (𝜑𝐺 ∈ CMnd)
4 gsumbagdiag.s . . 3 𝑆 = {𝑦𝐷𝑦r𝐹}
5 gsumbagdiag.f . . . 4 (𝜑𝐹𝐷)
6 gsumbagdiag.d . . . . 5 𝐷 = {𝑓 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}
76psrbaglefi 21867 . . . 4 (𝐹𝐷 → {𝑦𝐷𝑦r𝐹} ∈ Fin)
85, 7syl 17 . . 3 (𝜑 → {𝑦𝐷𝑦r𝐹} ∈ Fin)
94, 8eqeltrid 2829 . 2 (𝜑𝑆 ∈ Fin)
10 ovex 7448 . . . 4 (ℕ0m 𝐼) ∈ V
116, 10rab2ex 5332 . . 3 {𝑥𝐷𝑥r ≤ (𝐹f𝑗)} ∈ V
1211a1i 11 . 2 ((𝜑𝑗𝑆) → {𝑥𝐷𝑥r ≤ (𝐹f𝑗)} ∈ V)
13 gsumbagdiag.x . 2 ((𝜑 ∧ (𝑗𝑆𝑘 ∈ {𝑥𝐷𝑥r ≤ (𝐹f𝑗)})) → 𝑋𝐵)
14 xpfi 9339 . . 3 ((𝑆 ∈ Fin ∧ 𝑆 ∈ Fin) → (𝑆 × 𝑆) ∈ Fin)
159, 9, 14syl2anc 582 . 2 (𝜑 → (𝑆 × 𝑆) ∈ Fin)
16 simprl 769 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑗𝑆𝑘 ∈ {𝑥𝐷𝑥r ≤ (𝐹f𝑗)})) → 𝑗𝑆)
176, 4, 5gsumbagdiaglem 21877 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑗𝑆𝑘 ∈ {𝑥𝐷𝑥r ≤ (𝐹f𝑗)})) → (𝑘𝑆𝑗 ∈ {𝑥𝐷𝑥r ≤ (𝐹f𝑘)}))
1817simpld 493 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑗𝑆𝑘 ∈ {𝑥𝐷𝑥r ≤ (𝐹f𝑗)})) → 𝑘𝑆)
19 brxp 5721 . . . . 5 (𝑗(𝑆 × 𝑆)𝑘 ↔ (𝑗𝑆𝑘𝑆))
2016, 18, 19sylanbrc 581 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑗𝑆𝑘 ∈ {𝑥𝐷𝑥r ≤ (𝐹f𝑗)})) → 𝑗(𝑆 × 𝑆)𝑘)
2120pm2.24d 151 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑗𝑆𝑘 ∈ {𝑥𝐷𝑥r ≤ (𝐹f𝑗)})) → (¬ 𝑗(𝑆 × 𝑆)𝑘𝑋 = (0g𝐺)))
2221impr 453 . 2 ((𝜑 ∧ ((𝑗𝑆𝑘 ∈ {𝑥𝐷𝑥r ≤ (𝐹f𝑗)}) ∧ ¬ 𝑗(𝑆 × 𝑆)𝑘)) → 𝑋 = (0g𝐺))
236, 4, 5gsumbagdiaglem 21877 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑘𝑆𝑗 ∈ {𝑥𝐷𝑥r ≤ (𝐹f𝑘)})) → (𝑗𝑆𝑘 ∈ {𝑥𝐷𝑥r ≤ (𝐹f𝑗)}))
2417, 23impbida 799 . 2 (𝜑 → ((𝑗𝑆𝑘 ∈ {𝑥𝐷𝑥r ≤ (𝐹f𝑗)}) ↔ (𝑘𝑆𝑗 ∈ {𝑥𝐷𝑥r ≤ (𝐹f𝑘)})))
251, 2, 3, 9, 12, 13, 15, 22, 9, 24gsumcom2 19932 1 (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑗𝑆, 𝑘 ∈ {𝑥𝐷𝑥r ≤ (𝐹f𝑗)} ↦ 𝑋)) = (𝐺 Σg (𝑘𝑆, 𝑗 ∈ {𝑥𝐷𝑥r ≤ (𝐹f𝑘)} ↦ 𝑋)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 394   = wceq 1533  wcel 2098  {crab 3419  Vcvv 3463   class class class wbr 5143   × cxp 5670  ccnv 5671  cima 5675  cfv 6542  (class class class)co 7415  cmpo 7417  f cof 7679  r cofr 7680  m cmap 8841  Fincfn 8960  cle 11277  cmin 11472  cn 12240  0cn0 12500  Basecbs 17177  0gc0g 17418   Σg cgsu 17419  CMndccmn 19737
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5280  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7737  ax-cnex 11192  ax-resscn 11193  ax-1cn 11194  ax-icn 11195  ax-addcl 11196  ax-addrcl 11197  ax-mulcl 11198  ax-mulrcl 11199  ax-mulcom 11200  ax-addass 11201  ax-mulass 11202  ax-distr 11203  ax-i2m1 11204  ax-1ne0 11205  ax-1rid 11206  ax-rnegex 11207  ax-rrecex 11208  ax-cnre 11209  ax-pre-lttri 11210  ax-pre-lttrn 11211  ax-pre-ltadd 11212  ax-pre-mulgt0 11213
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-pss 3960  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-se 5628  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-isom 6551  df-riota 7371  df-ov 7418  df-oprab 7419  df-mpo 7420  df-of 7681  df-ofr 7682  df-om 7868  df-1st 7989  df-2nd 7990  df-supp 8162  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8388  df-rdg 8427  df-1o 8483  df-er 8721  df-map 8843  df-pm 8844  df-ixp 8913  df-en 8961  df-dom 8962  df-sdom 8963  df-fin 8964  df-fsupp 9384  df-oi 9531  df-card 9960  df-pnf 11278  df-mnf 11279  df-xr 11280  df-ltxr 11281  df-le 11282  df-sub 11474  df-neg 11475  df-nn 12241  df-n0 12501  df-z 12587  df-uz 12851  df-fz 13515  df-fzo 13658  df-seq 13997  df-hash 14320  df-0g 17420  df-gsum 17421  df-mgm 18597  df-sgrp 18676  df-mnd 18692  df-cntz 19270  df-cmn 19739
This theorem is referenced by:  psrass1lem  21879
  Copyright terms: Public domain W3C validator