MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  gsumbagdiag Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem gsumbagdiag 21855
Description: Two-dimensional commutation of a group sum over a "triangular" region. fsum0diag 15741 analogue for finite bags. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Jan-2015.) Remove a sethood hypothesis. (Revised by SN, 6-Aug-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
gsumbagdiag.d 𝐷 = {𝑓 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}
gsumbagdiag.s 𝑆 = {𝑦𝐷𝑦r𝐹}
gsumbagdiag.f (𝜑𝐹𝐷)
gsumbagdiag.b 𝐵 = (Base‘𝐺)
gsumbagdiag.g (𝜑𝐺 ∈ CMnd)
gsumbagdiag.x ((𝜑 ∧ (𝑗𝑆𝑘 ∈ {𝑥𝐷𝑥r ≤ (𝐹f𝑗)})) → 𝑋𝐵)
Assertion
Ref Expression
gsumbagdiag (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑗𝑆, 𝑘 ∈ {𝑥𝐷𝑥r ≤ (𝐹f𝑗)} ↦ 𝑋)) = (𝐺 Σg (𝑘𝑆, 𝑗 ∈ {𝑥𝐷𝑥r ≤ (𝐹f𝑘)} ↦ 𝑋)))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐷   𝑦,𝐷   𝑓,𝐹   𝑥,𝐹   𝑦,𝐹   𝑓,𝐼   𝑓,𝑋   𝑥,𝑋   𝑦,𝑋   𝐵,𝑗,𝑘   𝐷,𝑗,𝑘   𝑗,𝐹,𝑘   𝑗,𝐺,𝑘   𝑦,𝐼,𝑓   𝑆,𝑗,𝑘   𝜑,𝑗,𝑘   𝑓,𝑗,𝑘,𝑦   𝑥,𝑗,𝑘
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦,𝑓)   𝐵(𝑥,𝑦,𝑓)   𝐷(𝑓)   𝑆(𝑥,𝑦,𝑓)   𝐺(𝑥,𝑦,𝑓)   𝐼(𝑥,𝑗,𝑘)   𝑋(𝑗,𝑘)

Proof of Theorem gsumbagdiag
StepHypRef Expression
1 gsumbagdiag.b . 2 𝐵 = (Base‘𝐺)
2 eqid 2727 . 2 (0g𝐺) = (0g𝐺)
3 gsumbagdiag.g . 2 (𝜑𝐺 ∈ CMnd)
4 gsumbagdiag.s . . 3 𝑆 = {𝑦𝐷𝑦r𝐹}
5 gsumbagdiag.f . . . 4 (𝜑𝐹𝐷)
6 gsumbagdiag.d . . . . 5 𝐷 = {𝑓 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}
76psrbaglefi 21845 . . . 4 (𝐹𝐷 → {𝑦𝐷𝑦r𝐹} ∈ Fin)
85, 7syl 17 . . 3 (𝜑 → {𝑦𝐷𝑦r𝐹} ∈ Fin)
94, 8eqeltrid 2832 . 2 (𝜑𝑆 ∈ Fin)
10 ovex 7447 . . . 4 (ℕ0m 𝐼) ∈ V
116, 10rab2ex 5331 . . 3 {𝑥𝐷𝑥r ≤ (𝐹f𝑗)} ∈ V
1211a1i 11 . 2 ((𝜑𝑗𝑆) → {𝑥𝐷𝑥r ≤ (𝐹f𝑗)} ∈ V)
13 gsumbagdiag.x . 2 ((𝜑 ∧ (𝑗𝑆𝑘 ∈ {𝑥𝐷𝑥r ≤ (𝐹f𝑗)})) → 𝑋𝐵)
14 xpfi 9331 . . 3 ((𝑆 ∈ Fin ∧ 𝑆 ∈ Fin) → (𝑆 × 𝑆) ∈ Fin)
159, 9, 14syl2anc 583 . 2 (𝜑 → (𝑆 × 𝑆) ∈ Fin)
16 simprl 770 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑗𝑆𝑘 ∈ {𝑥𝐷𝑥r ≤ (𝐹f𝑗)})) → 𝑗𝑆)
176, 4, 5gsumbagdiaglem 21854 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑗𝑆𝑘 ∈ {𝑥𝐷𝑥r ≤ (𝐹f𝑗)})) → (𝑘𝑆𝑗 ∈ {𝑥𝐷𝑥r ≤ (𝐹f𝑘)}))
1817simpld 494 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑗𝑆𝑘 ∈ {𝑥𝐷𝑥r ≤ (𝐹f𝑗)})) → 𝑘𝑆)
19 brxp 5721 . . . . 5 (𝑗(𝑆 × 𝑆)𝑘 ↔ (𝑗𝑆𝑘𝑆))
2016, 18, 19sylanbrc 582 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑗𝑆𝑘 ∈ {𝑥𝐷𝑥r ≤ (𝐹f𝑗)})) → 𝑗(𝑆 × 𝑆)𝑘)
2120pm2.24d 151 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑗𝑆𝑘 ∈ {𝑥𝐷𝑥r ≤ (𝐹f𝑗)})) → (¬ 𝑗(𝑆 × 𝑆)𝑘𝑋 = (0g𝐺)))
2221impr 454 . 2 ((𝜑 ∧ ((𝑗𝑆𝑘 ∈ {𝑥𝐷𝑥r ≤ (𝐹f𝑗)}) ∧ ¬ 𝑗(𝑆 × 𝑆)𝑘)) → 𝑋 = (0g𝐺))
236, 4, 5gsumbagdiaglem 21854 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑘𝑆𝑗 ∈ {𝑥𝐷𝑥r ≤ (𝐹f𝑘)})) → (𝑗𝑆𝑘 ∈ {𝑥𝐷𝑥r ≤ (𝐹f𝑗)}))
2417, 23impbida 800 . 2 (𝜑 → ((𝑗𝑆𝑘 ∈ {𝑥𝐷𝑥r ≤ (𝐹f𝑗)}) ↔ (𝑘𝑆𝑗 ∈ {𝑥𝐷𝑥r ≤ (𝐹f𝑘)})))
251, 2, 3, 9, 12, 13, 15, 22, 9, 24gsumcom2 19914 1 (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑗𝑆, 𝑘 ∈ {𝑥𝐷𝑥r ≤ (𝐹f𝑗)} ↦ 𝑋)) = (𝐺 Σg (𝑘𝑆, 𝑗 ∈ {𝑥𝐷𝑥r ≤ (𝐹f𝑘)} ↦ 𝑋)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 395   = wceq 1534  wcel 2099  {crab 3427  Vcvv 3469   class class class wbr 5142   × cxp 5670  ccnv 5671  cima 5675  cfv 6542  (class class class)co 7414  cmpo 7416  f cof 7675  r cofr 7676  m cmap 8834  Fincfn 8953  cle 11265  cmin 11460  cn 12228  0cn0 12488  Basecbs 17165  0gc0g 17406   Σg cgsu 17407  CMndccmn 19719
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-rep 5279  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7732  ax-cnex 11180  ax-resscn 11181  ax-1cn 11182  ax-icn 11183  ax-addcl 11184  ax-addrcl 11185  ax-mulcl 11186  ax-mulrcl 11187  ax-mulcom 11188  ax-addass 11189  ax-mulass 11190  ax-distr 11191  ax-i2m1 11192  ax-1ne0 11193  ax-1rid 11194  ax-rnegex 11195  ax-rrecex 11196  ax-cnre 11197  ax-pre-lttri 11198  ax-pre-lttrn 11199  ax-pre-ltadd 11200  ax-pre-mulgt0 11201
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-nel 3042  df-ral 3057  df-rex 3066  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-se 5628  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-isom 6551  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-of 7677  df-ofr 7678  df-om 7863  df-1st 7985  df-2nd 7986  df-supp 8158  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8383  df-rdg 8422  df-1o 8478  df-er 8716  df-map 8836  df-pm 8837  df-ixp 8906  df-en 8954  df-dom 8955  df-sdom 8956  df-fin 8957  df-fsupp 9376  df-oi 9519  df-card 9948  df-pnf 11266  df-mnf 11267  df-xr 11268  df-ltxr 11269  df-le 11270  df-sub 11462  df-neg 11463  df-nn 12229  df-n0 12489  df-z 12575  df-uz 12839  df-fz 13503  df-fzo 13646  df-seq 13985  df-hash 14308  df-0g 17408  df-gsum 17409  df-mgm 18585  df-sgrp 18664  df-mnd 18680  df-cntz 19252  df-cmn 19721
This theorem is referenced by:  psrass1lem  21856
  Copyright terms: Public domain W3C validator