Step | Hyp | Ref
| Expression |
1 | | simp11 1204 |
. . 3
β’
(((((πΎ β HL
β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π β§ Β¬ π β€ (π β¨ π) β§ Β¬ π β€ (π β¨ π))) β§ ((π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π) β§ (π
β€ (π β¨ π) β§ π β€ (π β¨ π)))) β§ π§ β π΄ β§ (Β¬ π§ β€ π β§ (π β¨ π§) = (π β¨ π§))) β ((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π))) |
2 | | simp12 1205 |
. . 3
β’
(((((πΎ β HL
β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π β§ Β¬ π β€ (π β¨ π) β§ Β¬ π β€ (π β¨ π))) β§ ((π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π) β§ (π
β€ (π β¨ π) β§ π β€ (π β¨ π)))) β§ π§ β π΄ β§ (Β¬ π§ β€ π β§ (π β¨ π§) = (π β¨ π§))) β ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π β§ Β¬ π β€ (π β¨ π) β§ Β¬ π β€ (π β¨ π)))) |
3 | | simp13l 1289 |
. . 3
β’
(((((πΎ β HL
β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π β§ Β¬ π β€ (π β¨ π) β§ Β¬ π β€ (π β¨ π))) β§ ((π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π) β§ (π
β€ (π β¨ π) β§ π β€ (π β¨ π)))) β§ π§ β π΄ β§ (Β¬ π§ β€ π β§ (π β¨ π§) = (π β¨ π§))) β (π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π)) |
4 | | simp13r 1290 |
. . 3
β’
(((((πΎ β HL
β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π β§ Β¬ π β€ (π β¨ π) β§ Β¬ π β€ (π β¨ π))) β§ ((π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π) β§ (π
β€ (π β¨ π) β§ π β€ (π β¨ π)))) β§ π§ β π΄ β§ (Β¬ π§ β€ π β§ (π β¨ π§) = (π β¨ π§))) β (π
β€ (π β¨ π) β§ π β€ (π β¨ π))) |
5 | | simp2 1138 |
. . . 4
β’
(((((πΎ β HL
β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π β§ Β¬ π β€ (π β¨ π) β§ Β¬ π β€ (π β¨ π))) β§ ((π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π) β§ (π
β€ (π β¨ π) β§ π β€ (π β¨ π)))) β§ π§ β π΄ β§ (Β¬ π§ β€ π β§ (π β¨ π§) = (π β¨ π§))) β π§ β π΄) |
6 | | simp3l 1202 |
. . . 4
β’
(((((πΎ β HL
β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π β§ Β¬ π β€ (π β¨ π) β§ Β¬ π β€ (π β¨ π))) β§ ((π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π) β§ (π
β€ (π β¨ π) β§ π β€ (π β¨ π)))) β§ π§ β π΄ β§ (Β¬ π§ β€ π β§ (π β¨ π§) = (π β¨ π§))) β Β¬ π§ β€ π) |
7 | | simp3r 1203 |
. . . 4
β’
(((((πΎ β HL
β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π β§ Β¬ π β€ (π β¨ π) β§ Β¬ π β€ (π β¨ π))) β§ ((π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π) β§ (π
β€ (π β¨ π) β§ π β€ (π β¨ π)))) β§ π§ β π΄ β§ (Β¬ π§ β€ π β§ (π β¨ π§) = (π β¨ π§))) β (π β¨ π§) = (π β¨ π§)) |
8 | 5, 6, 7 | jca31 516 |
. . 3
β’
(((((πΎ β HL
β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π β§ Β¬ π β€ (π β¨ π) β§ Β¬ π β€ (π β¨ π))) β§ ((π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π) β§ (π
β€ (π β¨ π) β§ π β€ (π β¨ π)))) β§ π§ β π΄ β§ (Β¬ π§ β€ π β§ (π β¨ π§) = (π β¨ π§))) β ((π§ β π΄ β§ Β¬ π§ β€ π) β§ (π β¨ π§) = (π β¨ π§))) |
9 | | cdleme21.l |
. . . 4
β’ β€ =
(leβπΎ) |
10 | | cdleme21.j |
. . . 4
β’ β¨ =
(joinβπΎ) |
11 | | cdleme21.m |
. . . 4
β’ β§ =
(meetβπΎ) |
12 | | cdleme21.a |
. . . 4
β’ π΄ = (AtomsβπΎ) |
13 | | cdleme21.h |
. . . 4
β’ π» = (LHypβπΎ) |
14 | | cdleme21.u |
. . . 4
β’ π = ((π β¨ π) β§ π) |
15 | | cdleme21.f |
. . . 4
β’ πΉ = ((π β¨ π) β§ (π β¨ ((π β¨ π) β§ π))) |
16 | | cdleme21g.g |
. . . 4
β’ πΊ = ((π β¨ π) β§ (π β¨ ((π β¨ π) β§ π))) |
17 | | cdleme21g.d |
. . . 4
β’ π· = ((π
β¨ π) β§ π) |
18 | | cdleme21g.y |
. . . 4
β’ π = ((π
β¨ π) β§ π) |
19 | | cdleme21g.n |
. . . 4
β’ π = ((π β¨ π) β§ (πΉ β¨ π·)) |
20 | | cdleme21g.o |
. . . 4
β’ π = ((π β¨ π) β§ (πΊ β¨ π)) |
21 | 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20 | cdleme21g 38842 |
. . 3
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π β§ Β¬ π β€ (π β¨ π) β§ Β¬ π β€ (π β¨ π))) β§ ((π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π) β§ (π
β€ (π β¨ π) β§ π β€ (π β¨ π)) β§ ((π§ β π΄ β§ Β¬ π§ β€ π) β§ (π β¨ π§) = (π β¨ π§)))) β π = π) |
22 | 1, 2, 3, 4, 8, 21 | syl113anc 1383 |
. 2
β’
(((((πΎ β HL
β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π β§ Β¬ π β€ (π β¨ π) β§ Β¬ π β€ (π β¨ π))) β§ ((π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π) β§ (π
β€ (π β¨ π) β§ π β€ (π β¨ π)))) β§ π§ β π΄ β§ (Β¬ π§ β€ π β§ (π β¨ π§) = (π β¨ π§))) β π = π) |
23 | 22 | rexlimdv3a 3153 |
1
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π β§ Β¬ π β€ (π β¨ π) β§ Β¬ π β€ (π β¨ π))) β§ ((π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π) β§ (π
β€ (π β¨ π) β§ π β€ (π β¨ π)))) β (βπ§ β π΄ (Β¬ π§ β€ π β§ (π β¨ π§) = (π β¨ π§)) β π = π)) |