Step | Hyp | Ref
| Expression |
1 | | simpl11 1249 |
. . . 4
β’
(((((πΎ β HL
β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π β§ Β¬ π β€ (π β¨ π) β§ Β¬ π β€ (π β¨ π))) β§ ((π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π) β§ (π
β€ (π β¨ π) β§ π β€ (π β¨ π)))) β§ βπ β π΄ (Β¬ π β€ π β§ (π β¨ π) = (π β¨ π))) β (πΎ β HL β§ π β π»)) |
2 | | simp12 1205 |
. . . . . 6
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π β§ Β¬ π β€ (π β¨ π) β§ Β¬ π β€ (π β¨ π))) β§ ((π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π) β§ (π
β€ (π β¨ π) β§ π β€ (π β¨ π)))) β (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) |
3 | | simp13 1206 |
. . . . . 6
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π β§ Β¬ π β€ (π β¨ π) β§ Β¬ π β€ (π β¨ π))) β§ ((π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π) β§ (π
β€ (π β¨ π) β§ π β€ (π β¨ π)))) β (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) |
4 | | simp21l 1291 |
. . . . . 6
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π β§ Β¬ π β€ (π β¨ π) β§ Β¬ π β€ (π β¨ π))) β§ ((π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π) β§ (π
β€ (π β¨ π) β§ π β€ (π β¨ π)))) β π β π΄) |
5 | 2, 3, 4 | 3jca 1129 |
. . . . 5
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π β§ Β¬ π β€ (π β¨ π) β§ Β¬ π β€ (π β¨ π))) β§ ((π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π) β§ (π
β€ (π β¨ π) β§ π β€ (π β¨ π)))) β ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ π β π΄)) |
6 | 5 | adantr 482 |
. . . 4
β’
(((((πΎ β HL
β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π β§ Β¬ π β€ (π β¨ π) β§ Β¬ π β€ (π β¨ π))) β§ ((π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π) β§ (π
β€ (π β¨ π) β§ π β€ (π β¨ π)))) β§ βπ β π΄ (Β¬ π β€ π β§ (π β¨ π) = (π β¨ π))) β ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ π β π΄)) |
7 | | simp231 1318 |
. . . . 5
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π β§ Β¬ π β€ (π β¨ π) β§ Β¬ π β€ (π β¨ π))) β§ ((π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π) β§ (π
β€ (π β¨ π) β§ π β€ (π β¨ π)))) β π β π) |
8 | 7 | adantr 482 |
. . . 4
β’
(((((πΎ β HL
β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π β§ Β¬ π β€ (π β¨ π) β§ Β¬ π β€ (π β¨ π))) β§ ((π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π) β§ (π
β€ (π β¨ π) β§ π β€ (π β¨ π)))) β§ βπ β π΄ (Β¬ π β€ π β§ (π β¨ π) = (π β¨ π))) β π β π) |
9 | | simp232 1319 |
. . . . 5
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π β§ Β¬ π β€ (π β¨ π) β§ Β¬ π β€ (π β¨ π))) β§ ((π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π) β§ (π
β€ (π β¨ π) β§ π β€ (π β¨ π)))) β Β¬ π β€ (π β¨ π)) |
10 | 9 | adantr 482 |
. . . 4
β’
(((((πΎ β HL
β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π β§ Β¬ π β€ (π β¨ π) β§ Β¬ π β€ (π β¨ π))) β§ ((π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π) β§ (π
β€ (π β¨ π) β§ π β€ (π β¨ π)))) β§ βπ β π΄ (Β¬ π β€ π β§ (π β¨ π) = (π β¨ π))) β Β¬ π β€ (π β¨ π)) |
11 | | simpr 486 |
. . . 4
β’
(((((πΎ β HL
β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π β§ Β¬ π β€ (π β¨ π) β§ Β¬ π β€ (π β¨ π))) β§ ((π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π) β§ (π
β€ (π β¨ π) β§ π β€ (π β¨ π)))) β§ βπ β π΄ (Β¬ π β€ π β§ (π β¨ π) = (π β¨ π))) β βπ β π΄ (Β¬ π β€ π β§ (π β¨ π) = (π β¨ π))) |
12 | | cdleme21.l |
. . . . 5
β’ β€ =
(leβπΎ) |
13 | | cdleme21.j |
. . . . 5
β’ β¨ =
(joinβπΎ) |
14 | | cdleme21.a |
. . . . 5
β’ π΄ = (AtomsβπΎ) |
15 | | cdleme21.h |
. . . . 5
β’ π» = (LHypβπΎ) |
16 | 12, 13, 14, 15 | 4atexlem7 38584 |
. . . 4
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ π β π΄) β§ (π β π β§ Β¬ π β€ (π β¨ π) β§ βπ β π΄ (Β¬ π β€ π β§ (π β¨ π) = (π β¨ π)))) β βπ§ β π΄ (Β¬ π§ β€ π β§ (π β¨ π§) = (π β¨ π§))) |
17 | 1, 6, 8, 10, 11, 16 | syl113anc 1383 |
. . 3
β’
(((((πΎ β HL
β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π β§ Β¬ π β€ (π β¨ π) β§ Β¬ π β€ (π β¨ π))) β§ ((π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π) β§ (π
β€ (π β¨ π) β§ π β€ (π β¨ π)))) β§ βπ β π΄ (Β¬ π β€ π β§ (π β¨ π) = (π β¨ π))) β βπ§ β π΄ (Β¬ π§ β€ π β§ (π β¨ π§) = (π β¨ π§))) |
18 | 17 | ex 414 |
. 2
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π β§ Β¬ π β€ (π β¨ π) β§ Β¬ π β€ (π β¨ π))) β§ ((π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π) β§ (π
β€ (π β¨ π) β§ π β€ (π β¨ π)))) β (βπ β π΄ (Β¬ π β€ π β§ (π β¨ π) = (π β¨ π)) β βπ§ β π΄ (Β¬ π§ β€ π β§ (π β¨ π§) = (π β¨ π§)))) |
19 | | cdleme21.m |
. . 3
β’ β§ =
(meetβπΎ) |
20 | | cdleme21.u |
. . 3
β’ π = ((π β¨ π) β§ π) |
21 | | cdleme21.f |
. . 3
β’ πΉ = ((π β¨ π) β§ (π β¨ ((π β¨ π) β§ π))) |
22 | | cdleme21g.g |
. . 3
β’ πΊ = ((π β¨ π) β§ (π β¨ ((π β¨ π) β§ π))) |
23 | | cdleme21g.d |
. . 3
β’ π· = ((π
β¨ π) β§ π) |
24 | | cdleme21g.y |
. . 3
β’ π = ((π
β¨ π) β§ π) |
25 | | cdleme21g.n |
. . 3
β’ π = ((π β¨ π) β§ (πΉ β¨ π·)) |
26 | | cdleme21g.o |
. . 3
β’ π = ((π β¨ π) β§ (πΊ β¨ π)) |
27 | 12, 13, 19, 14, 15, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26 | cdleme21h 38843 |
. 2
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π β§ Β¬ π β€ (π β¨ π) β§ Β¬ π β€ (π β¨ π))) β§ ((π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π) β§ (π
β€ (π β¨ π) β§ π β€ (π β¨ π)))) β (βπ§ β π΄ (Β¬ π§ β€ π β§ (π β¨ π§) = (π β¨ π§)) β π = π)) |
28 | 18, 27 | syld 47 |
1
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π β§ Β¬ π β€ (π β¨ π) β§ Β¬ π β€ (π β¨ π))) β§ ((π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π) β§ (π
β€ (π β¨ π) β§ π β€ (π β¨ π)))) β (βπ β π΄ (Β¬ π β€ π β§ (π β¨ π) = (π β¨ π)) β π = π)) |