Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cdleme21i Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cdleme21i 38844
Description: Part of proof of Lemma E in [Crawley] p. 115. (Contributed by NM, 29-Nov-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
cdleme21.l ≀ = (leβ€˜πΎ)
cdleme21.j ∨ = (joinβ€˜πΎ)
cdleme21.m ∧ = (meetβ€˜πΎ)
cdleme21.a 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
cdleme21.h 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
cdleme21.u π‘ˆ = ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ π‘Š)
cdleme21.f 𝐹 = ((𝑆 ∨ π‘ˆ) ∧ (𝑄 ∨ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ π‘Š)))
cdleme21g.g 𝐺 = ((𝑇 ∨ π‘ˆ) ∧ (𝑄 ∨ ((𝑃 ∨ 𝑇) ∧ π‘Š)))
cdleme21g.d 𝐷 = ((𝑅 ∨ 𝑆) ∧ π‘Š)
cdleme21g.y π‘Œ = ((𝑅 ∨ 𝑇) ∧ π‘Š)
cdleme21g.n 𝑁 = ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ (𝐹 ∨ 𝐷))
cdleme21g.o 𝑂 = ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ (𝐺 ∨ π‘Œ))
Assertion
Ref Expression
cdleme21i ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑆 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ π‘Š) ∧ (𝑇 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑇 ≀ π‘Š) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑇 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄))) ∧ ((𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š) ∧ (𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ π‘ˆ ≀ (𝑆 ∨ 𝑇)))) β†’ (βˆƒπ‘Ÿ ∈ 𝐴 (Β¬ π‘Ÿ ≀ π‘Š ∧ (𝑃 ∨ π‘Ÿ) = (𝑄 ∨ π‘Ÿ)) β†’ 𝑁 = 𝑂))
Distinct variable groups:   𝐴,π‘Ÿ   𝐹,π‘Ÿ   𝐺,π‘Ÿ   𝐻,π‘Ÿ   ∨ ,π‘Ÿ   𝐾,π‘Ÿ   ≀ ,π‘Ÿ   ∧ ,π‘Ÿ   𝑃,π‘Ÿ   𝑄,π‘Ÿ   𝑅,π‘Ÿ   𝑆,π‘Ÿ   𝑇,π‘Ÿ   π‘Š,π‘Ÿ
Allowed substitution hints:   𝐷(π‘Ÿ)   π‘ˆ(π‘Ÿ)   𝑁(π‘Ÿ)   𝑂(π‘Ÿ)   π‘Œ(π‘Ÿ)

Proof of Theorem cdleme21i
Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpl11 1249 . . . 4 (((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑆 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ π‘Š) ∧ (𝑇 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑇 ≀ π‘Š) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑇 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄))) ∧ ((𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š) ∧ (𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ π‘ˆ ≀ (𝑆 ∨ 𝑇)))) ∧ βˆƒπ‘Ÿ ∈ 𝐴 (Β¬ π‘Ÿ ≀ π‘Š ∧ (𝑃 ∨ π‘Ÿ) = (𝑄 ∨ π‘Ÿ))) β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻))
2 simp12 1205 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑆 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ π‘Š) ∧ (𝑇 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑇 ≀ π‘Š) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑇 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄))) ∧ ((𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š) ∧ (𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ π‘ˆ ≀ (𝑆 ∨ 𝑇)))) β†’ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š))
3 simp13 1206 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑆 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ π‘Š) ∧ (𝑇 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑇 ≀ π‘Š) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑇 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄))) ∧ ((𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š) ∧ (𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ π‘ˆ ≀ (𝑆 ∨ 𝑇)))) β†’ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š))
4 simp21l 1291 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑆 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ π‘Š) ∧ (𝑇 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑇 ≀ π‘Š) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑇 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄))) ∧ ((𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š) ∧ (𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ π‘ˆ ≀ (𝑆 ∨ 𝑇)))) β†’ 𝑆 ∈ 𝐴)
52, 3, 43jca 1129 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑆 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ π‘Š) ∧ (𝑇 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑇 ≀ π‘Š) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑇 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄))) ∧ ((𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š) ∧ (𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ π‘ˆ ≀ (𝑆 ∨ 𝑇)))) β†’ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ 𝑆 ∈ 𝐴))
65adantr 482 . . . 4 (((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑆 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ π‘Š) ∧ (𝑇 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑇 ≀ π‘Š) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑇 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄))) ∧ ((𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š) ∧ (𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ π‘ˆ ≀ (𝑆 ∨ 𝑇)))) ∧ βˆƒπ‘Ÿ ∈ 𝐴 (Β¬ π‘Ÿ ≀ π‘Š ∧ (𝑃 ∨ π‘Ÿ) = (𝑄 ∨ π‘Ÿ))) β†’ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ 𝑆 ∈ 𝐴))
7 simp231 1318 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑆 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ π‘Š) ∧ (𝑇 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑇 ≀ π‘Š) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑇 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄))) ∧ ((𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š) ∧ (𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ π‘ˆ ≀ (𝑆 ∨ 𝑇)))) β†’ 𝑃 β‰  𝑄)
87adantr 482 . . . 4 (((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑆 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ π‘Š) ∧ (𝑇 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑇 ≀ π‘Š) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑇 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄))) ∧ ((𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š) ∧ (𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ π‘ˆ ≀ (𝑆 ∨ 𝑇)))) ∧ βˆƒπ‘Ÿ ∈ 𝐴 (Β¬ π‘Ÿ ≀ π‘Š ∧ (𝑃 ∨ π‘Ÿ) = (𝑄 ∨ π‘Ÿ))) β†’ 𝑃 β‰  𝑄)
9 simp232 1319 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑆 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ π‘Š) ∧ (𝑇 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑇 ≀ π‘Š) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑇 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄))) ∧ ((𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š) ∧ (𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ π‘ˆ ≀ (𝑆 ∨ 𝑇)))) β†’ Β¬ 𝑆 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄))
109adantr 482 . . . 4 (((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑆 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ π‘Š) ∧ (𝑇 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑇 ≀ π‘Š) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑇 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄))) ∧ ((𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š) ∧ (𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ π‘ˆ ≀ (𝑆 ∨ 𝑇)))) ∧ βˆƒπ‘Ÿ ∈ 𝐴 (Β¬ π‘Ÿ ≀ π‘Š ∧ (𝑃 ∨ π‘Ÿ) = (𝑄 ∨ π‘Ÿ))) β†’ Β¬ 𝑆 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄))
11 simpr 486 . . . 4 (((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑆 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ π‘Š) ∧ (𝑇 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑇 ≀ π‘Š) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑇 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄))) ∧ ((𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š) ∧ (𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ π‘ˆ ≀ (𝑆 ∨ 𝑇)))) ∧ βˆƒπ‘Ÿ ∈ 𝐴 (Β¬ π‘Ÿ ≀ π‘Š ∧ (𝑃 ∨ π‘Ÿ) = (𝑄 ∨ π‘Ÿ))) β†’ βˆƒπ‘Ÿ ∈ 𝐴 (Β¬ π‘Ÿ ≀ π‘Š ∧ (𝑃 ∨ π‘Ÿ) = (𝑄 ∨ π‘Ÿ)))
12 cdleme21.l . . . . 5 ≀ = (leβ€˜πΎ)
13 cdleme21.j . . . . 5 ∨ = (joinβ€˜πΎ)
14 cdleme21.a . . . . 5 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
15 cdleme21.h . . . . 5 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
1612, 13, 14, 154atexlem7 38584 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ βˆƒπ‘Ÿ ∈ 𝐴 (Β¬ π‘Ÿ ≀ π‘Š ∧ (𝑃 ∨ π‘Ÿ) = (𝑄 ∨ π‘Ÿ)))) β†’ βˆƒπ‘§ ∈ 𝐴 (Β¬ 𝑧 ≀ π‘Š ∧ (𝑃 ∨ 𝑧) = (𝑆 ∨ 𝑧)))
171, 6, 8, 10, 11, 16syl113anc 1383 . . 3 (((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑆 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ π‘Š) ∧ (𝑇 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑇 ≀ π‘Š) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑇 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄))) ∧ ((𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š) ∧ (𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ π‘ˆ ≀ (𝑆 ∨ 𝑇)))) ∧ βˆƒπ‘Ÿ ∈ 𝐴 (Β¬ π‘Ÿ ≀ π‘Š ∧ (𝑃 ∨ π‘Ÿ) = (𝑄 ∨ π‘Ÿ))) β†’ βˆƒπ‘§ ∈ 𝐴 (Β¬ 𝑧 ≀ π‘Š ∧ (𝑃 ∨ 𝑧) = (𝑆 ∨ 𝑧)))
1817ex 414 . 2 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑆 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ π‘Š) ∧ (𝑇 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑇 ≀ π‘Š) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑇 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄))) ∧ ((𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š) ∧ (𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ π‘ˆ ≀ (𝑆 ∨ 𝑇)))) β†’ (βˆƒπ‘Ÿ ∈ 𝐴 (Β¬ π‘Ÿ ≀ π‘Š ∧ (𝑃 ∨ π‘Ÿ) = (𝑄 ∨ π‘Ÿ)) β†’ βˆƒπ‘§ ∈ 𝐴 (Β¬ 𝑧 ≀ π‘Š ∧ (𝑃 ∨ 𝑧) = (𝑆 ∨ 𝑧))))
19 cdleme21.m . . 3 ∧ = (meetβ€˜πΎ)
20 cdleme21.u . . 3 π‘ˆ = ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ π‘Š)
21 cdleme21.f . . 3 𝐹 = ((𝑆 ∨ π‘ˆ) ∧ (𝑄 ∨ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ π‘Š)))
22 cdleme21g.g . . 3 𝐺 = ((𝑇 ∨ π‘ˆ) ∧ (𝑄 ∨ ((𝑃 ∨ 𝑇) ∧ π‘Š)))
23 cdleme21g.d . . 3 𝐷 = ((𝑅 ∨ 𝑆) ∧ π‘Š)
24 cdleme21g.y . . 3 π‘Œ = ((𝑅 ∨ 𝑇) ∧ π‘Š)
25 cdleme21g.n . . 3 𝑁 = ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ (𝐹 ∨ 𝐷))
26 cdleme21g.o . . 3 𝑂 = ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ (𝐺 ∨ π‘Œ))
2712, 13, 19, 14, 15, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26cdleme21h 38843 . 2 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑆 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ π‘Š) ∧ (𝑇 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑇 ≀ π‘Š) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑇 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄))) ∧ ((𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š) ∧ (𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ π‘ˆ ≀ (𝑆 ∨ 𝑇)))) β†’ (βˆƒπ‘§ ∈ 𝐴 (Β¬ 𝑧 ≀ π‘Š ∧ (𝑃 ∨ 𝑧) = (𝑆 ∨ 𝑧)) β†’ 𝑁 = 𝑂))
2818, 27syld 47 1 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑆 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ π‘Š) ∧ (𝑇 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑇 ≀ π‘Š) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑇 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄))) ∧ ((𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š) ∧ (𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ π‘ˆ ≀ (𝑆 ∨ 𝑇)))) β†’ (βˆƒπ‘Ÿ ∈ 𝐴 (Β¬ π‘Ÿ ≀ π‘Š ∧ (𝑃 ∨ π‘Ÿ) = (𝑄 ∨ π‘Ÿ)) β†’ 𝑁 = 𝑂))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2940  βˆƒwrex 3070   class class class wbr 5106  β€˜cfv 6497  (class class class)co 7358  lecple 17145  joincjn 18205  meetcmee 18206  Atomscatm 37771  HLchlt 37858  LHypclh 38493
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5243  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-iun 4957  df-iin 4958  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-id 5532  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-1st 7922  df-2nd 7923  df-proset 18189  df-poset 18207  df-plt 18224  df-lub 18240  df-glb 18241  df-join 18242  df-meet 18243  df-p0 18319  df-p1 18320  df-lat 18326  df-clat 18393  df-oposet 37684  df-ol 37686  df-oml 37687  df-covers 37774  df-ats 37775  df-atl 37806  df-cvlat 37830  df-hlat 37859  df-llines 38007  df-lplanes 38008  df-lvols 38009  df-lines 38010  df-psubsp 38012  df-pmap 38013  df-padd 38305  df-lhyp 38497
This theorem is referenced by:  cdleme21j  38845
  Copyright terms: Public domain W3C validator