Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cdleme22aa Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cdleme22aa 39723
Description: Part of proof of Lemma E in [Crawley] p. 113, 3rd paragraph, 3rd line on p. 115. Show that t v = p q implies v = u. (Contributed by NM, 2-Dec-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
cdleme22.l = (le‘𝐾)
cdleme22.j = (join‘𝐾)
cdleme22.m = (meet‘𝐾)
cdleme22.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
cdleme22.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
cdleme22.u 𝑈 = ((𝑃 𝑄) 𝑊)
Assertion
Ref Expression
cdleme22aa (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝑄𝐴𝑃𝑄) ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊𝑉 (𝑃 𝑄))) → 𝑉 = 𝑈)

Proof of Theorem cdleme22aa
StepHypRef Expression
1 simp33 1208 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝑄𝐴𝑃𝑄) ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊𝑉 (𝑃 𝑄))) → 𝑉 (𝑃 𝑄))
2 simp32 1207 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝑄𝐴𝑃𝑄) ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊𝑉 (𝑃 𝑄))) → 𝑉 𝑊)
3 simp1l 1194 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝑄𝐴𝑃𝑄) ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊𝑉 (𝑃 𝑄))) → 𝐾 ∈ HL)
43hllatd 38747 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝑄𝐴𝑃𝑄) ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊𝑉 (𝑃 𝑄))) → 𝐾 ∈ Lat)
5 simp31 1206 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝑄𝐴𝑃𝑄) ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊𝑉 (𝑃 𝑄))) → 𝑉𝐴)
6 eqid 2726 . . . . . . 7 (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
7 cdleme22.a . . . . . . 7 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
86, 7atbase 38672 . . . . . 6 (𝑉𝐴𝑉 ∈ (Base‘𝐾))
95, 8syl 17 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝑄𝐴𝑃𝑄) ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊𝑉 (𝑃 𝑄))) → 𝑉 ∈ (Base‘𝐾))
10 simp21l 1287 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝑄𝐴𝑃𝑄) ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊𝑉 (𝑃 𝑄))) → 𝑃𝐴)
11 simp22 1204 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝑄𝐴𝑃𝑄) ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊𝑉 (𝑃 𝑄))) → 𝑄𝐴)
12 cdleme22.j . . . . . . 7 = (join‘𝐾)
136, 12, 7hlatjcl 38750 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) → (𝑃 𝑄) ∈ (Base‘𝐾))
143, 10, 11, 13syl3anc 1368 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝑄𝐴𝑃𝑄) ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊𝑉 (𝑃 𝑄))) → (𝑃 𝑄) ∈ (Base‘𝐾))
15 simp1r 1195 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝑄𝐴𝑃𝑄) ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊𝑉 (𝑃 𝑄))) → 𝑊𝐻)
16 cdleme22.h . . . . . . 7 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
176, 16lhpbase 39382 . . . . . 6 (𝑊𝐻𝑊 ∈ (Base‘𝐾))
1815, 17syl 17 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝑄𝐴𝑃𝑄) ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊𝑉 (𝑃 𝑄))) → 𝑊 ∈ (Base‘𝐾))
19 cdleme22.l . . . . . 6 = (le‘𝐾)
20 cdleme22.m . . . . . 6 = (meet‘𝐾)
216, 19, 20latlem12 18431 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑉 ∈ (Base‘𝐾) ∧ (𝑃 𝑄) ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑊 ∈ (Base‘𝐾))) → ((𝑉 (𝑃 𝑄) ∧ 𝑉 𝑊) ↔ 𝑉 ((𝑃 𝑄) 𝑊)))
224, 9, 14, 18, 21syl13anc 1369 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝑄𝐴𝑃𝑄) ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊𝑉 (𝑃 𝑄))) → ((𝑉 (𝑃 𝑄) ∧ 𝑉 𝑊) ↔ 𝑉 ((𝑃 𝑄) 𝑊)))
231, 2, 22mpbi2and 709 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝑄𝐴𝑃𝑄) ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊𝑉 (𝑃 𝑄))) → 𝑉 ((𝑃 𝑄) 𝑊))
24 cdleme22.u . . 3 𝑈 = ((𝑃 𝑄) 𝑊)
2523, 24breqtrrdi 5183 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝑄𝐴𝑃𝑄) ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊𝑉 (𝑃 𝑄))) → 𝑉 𝑈)
26 hlatl 38743 . . . 4 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ AtLat)
273, 26syl 17 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝑄𝐴𝑃𝑄) ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊𝑉 (𝑃 𝑄))) → 𝐾 ∈ AtLat)
28 simp21r 1288 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝑄𝐴𝑃𝑄) ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊𝑉 (𝑃 𝑄))) → ¬ 𝑃 𝑊)
29 simp23 1205 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝑄𝐴𝑃𝑄) ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊𝑉 (𝑃 𝑄))) → 𝑃𝑄)
3019, 12, 20, 7, 16, 24cdleme0a 39595 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴𝑃𝑄)) → 𝑈𝐴)
313, 15, 10, 28, 11, 29, 30syl222anc 1383 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝑄𝐴𝑃𝑄) ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊𝑉 (𝑃 𝑄))) → 𝑈𝐴)
3219, 7atcmp 38694 . . 3 ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑉𝐴𝑈𝐴) → (𝑉 𝑈𝑉 = 𝑈))
3327, 5, 31, 32syl3anc 1368 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝑄𝐴𝑃𝑄) ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊𝑉 (𝑃 𝑄))) → (𝑉 𝑈𝑉 = 𝑈))
3425, 33mpbid 231 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝑄𝐴𝑃𝑄) ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊𝑉 (𝑃 𝑄))) → 𝑉 = 𝑈)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 395  w3a 1084   = wceq 1533  wcel 2098  wne 2934   class class class wbr 5141  cfv 6537  (class class class)co 7405  Basecbs 17153  lecple 17213  joincjn 18276  meetcmee 18277  Latclat 18396  Atomscatm 38646  AtLatcal 38647  HLchlt 38733  LHypclh 39368
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-id 5567  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-proset 18260  df-poset 18278  df-plt 18295  df-lub 18311  df-glb 18312  df-join 18313  df-meet 18314  df-p0 18390  df-p1 18391  df-lat 18397  df-clat 18464  df-oposet 38559  df-ol 38561  df-oml 38562  df-covers 38649  df-ats 38650  df-atl 38681  df-cvlat 38705  df-hlat 38734  df-lhyp 39372
This theorem is referenced by:  cdleme22a  39724  cdleme22cN  39726  cdleme22f  39730
  Copyright terms: Public domain W3C validator