Step | Hyp | Ref
| Expression |
1 | | oveq1 7369 |
. . . . . . . 8
β’ (π = π β (π β¨ π) = (π β¨ π)) |
2 | | oveq2 7370 |
. . . . . . . . . 10
β’ (π = π β (π β¨ π) = (π β¨ π)) |
3 | 2 | oveq1d 7377 |
. . . . . . . . 9
β’ (π = π β ((π β¨ π) β§ π) = ((π β¨ π) β§ π)) |
4 | 3 | oveq2d 7378 |
. . . . . . . 8
β’ (π = π β (π β¨ ((π β¨ π) β§ π)) = (π β¨ ((π β¨ π) β§ π))) |
5 | 1, 4 | oveq12d 7380 |
. . . . . . 7
β’ (π = π β ((π β¨ π) β§ (π β¨ ((π β¨ π) β§ π))) = ((π β¨ π) β§ (π β¨ ((π β¨ π) β§ π)))) |
6 | | cdleme21.f |
. . . . . . 7
β’ πΉ = ((π β¨ π) β§ (π β¨ ((π β¨ π) β§ π))) |
7 | | cdleme21g.g |
. . . . . . 7
β’ πΊ = ((π β¨ π) β§ (π β¨ ((π β¨ π) β§ π))) |
8 | 5, 6, 7 | 3eqtr4g 2802 |
. . . . . 6
β’ (π = π β πΉ = πΊ) |
9 | | oveq2 7370 |
. . . . . . . 8
β’ (π = π β (π
β¨ π) = (π
β¨ π)) |
10 | 9 | oveq1d 7377 |
. . . . . . 7
β’ (π = π β ((π
β¨ π) β§ π) = ((π
β¨ π) β§ π)) |
11 | | cdleme21g.d |
. . . . . . 7
β’ π· = ((π
β¨ π) β§ π) |
12 | | cdleme21g.y |
. . . . . . 7
β’ π = ((π
β¨ π) β§ π) |
13 | 10, 11, 12 | 3eqtr4g 2802 |
. . . . . 6
β’ (π = π β π· = π) |
14 | 8, 13 | oveq12d 7380 |
. . . . 5
β’ (π = π β (πΉ β¨ π·) = (πΊ β¨ π)) |
15 | 14 | oveq2d 7378 |
. . . 4
β’ (π = π β ((π β¨ π) β§ (πΉ β¨ π·)) = ((π β¨ π) β§ (πΊ β¨ π))) |
16 | | cdleme21g.n |
. . . 4
β’ π = ((π β¨ π) β§ (πΉ β¨ π·)) |
17 | | cdleme21g.o |
. . . 4
β’ π = ((π β¨ π) β§ (πΊ β¨ π)) |
18 | 15, 16, 17 | 3eqtr4g 2802 |
. . 3
β’ (π = π β π = π) |
19 | 18 | eqeq1d 2739 |
. 2
β’ (π = π β (π = π β π = π)) |
20 | | simpl11 1249 |
. . 3
β’
(((((πΎ β HL
β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ ((π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π β π β§ (Β¬ π β€ (π β¨ π) β§ Β¬ π β€ (π β¨ π) β§ π
β€ (π β¨ π)))) β§ π β π) β (πΎ β HL β§ π β π»)) |
21 | | simpl12 1250 |
. . 3
β’
(((((πΎ β HL
β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ ((π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π β π β§ (Β¬ π β€ (π β¨ π) β§ Β¬ π β€ (π β¨ π) β§ π
β€ (π β¨ π)))) β§ π β π) β (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) |
22 | | simpl13 1251 |
. . 3
β’
(((((πΎ β HL
β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ ((π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π β π β§ (Β¬ π β€ (π β¨ π) β§ Β¬ π β€ (π β¨ π) β§ π
β€ (π β¨ π)))) β§ π β π) β (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) |
23 | | simpl21 1252 |
. . 3
β’
(((((πΎ β HL
β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ ((π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π β π β§ (Β¬ π β€ (π β¨ π) β§ Β¬ π β€ (π β¨ π) β§ π
β€ (π β¨ π)))) β§ π β π) β (π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π)) |
24 | | simpl22 1253 |
. . 3
β’
(((((πΎ β HL
β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ ((π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π β π β§ (Β¬ π β€ (π β¨ π) β§ Β¬ π β€ (π β¨ π) β§ π
β€ (π β¨ π)))) β§ π β π) β (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) |
25 | | simpl23 1254 |
. . 3
β’
(((((πΎ β HL
β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ ((π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π β π β§ (Β¬ π β€ (π β¨ π) β§ Β¬ π β€ (π β¨ π) β§ π
β€ (π β¨ π)))) β§ π β π) β (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) |
26 | | simpl3l 1229 |
. . . 4
β’
(((((πΎ β HL
β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ ((π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π β π β§ (Β¬ π β€ (π β¨ π) β§ Β¬ π β€ (π β¨ π) β§ π
β€ (π β¨ π)))) β§ π β π) β π β π) |
27 | | simpr 486 |
. . . 4
β’
(((((πΎ β HL
β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ ((π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π β π β§ (Β¬ π β€ (π β¨ π) β§ Β¬ π β€ (π β¨ π) β§ π
β€ (π β¨ π)))) β§ π β π) β π β π) |
28 | 26, 27 | jca 513 |
. . 3
β’
(((((πΎ β HL
β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ ((π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π β π β§ (Β¬ π β€ (π β¨ π) β§ Β¬ π β€ (π β¨ π) β§ π
β€ (π β¨ π)))) β§ π β π) β (π β π β§ π β π)) |
29 | | simpl3r 1230 |
. . 3
β’
(((((πΎ β HL
β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ ((π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π β π β§ (Β¬ π β€ (π β¨ π) β§ Β¬ π β€ (π β¨ π) β§ π
β€ (π β¨ π)))) β§ π β π) β (Β¬ π β€ (π β¨ π) β§ Β¬ π β€ (π β¨ π) β§ π
β€ (π β¨ π))) |
30 | | cdleme21.l |
. . . 4
β’ β€ =
(leβπΎ) |
31 | | cdleme21.j |
. . . 4
β’ β¨ =
(joinβπΎ) |
32 | | cdleme21.m |
. . . 4
β’ β§ =
(meetβπΎ) |
33 | | cdleme21.a |
. . . 4
β’ π΄ = (AtomsβπΎ) |
34 | | cdleme21.h |
. . . 4
β’ π» = (LHypβπΎ) |
35 | | cdleme21.u |
. . . 4
β’ π = ((π β¨ π) β§ π) |
36 | 30, 31, 32, 33, 34, 35, 6, 7, 11, 12, 16, 17 | cdleme21 38829 |
. . 3
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ ((π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ ((π β π β§ π β π) β§ (Β¬ π β€ (π β¨ π) β§ Β¬ π β€ (π β¨ π) β§ π
β€ (π β¨ π)))) β π = π) |
37 | 20, 21, 22, 23, 24, 25, 28, 29, 36 | syl332anc 1402 |
. 2
β’
(((((πΎ β HL
β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ ((π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π β π β§ (Β¬ π β€ (π β¨ π) β§ Β¬ π β€ (π β¨ π) β§ π
β€ (π β¨ π)))) β§ π β π) β π = π) |
38 | | eqidd 2738 |
. 2
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ ((π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π β π β§ (Β¬ π β€ (π β¨ π) β§ Β¬ π β€ (π β¨ π) β§ π
β€ (π β¨ π)))) β π = π) |
39 | 19, 37, 38 | pm2.61ne 3031 |
1
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ ((π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π β π β§ (Β¬ π β€ (π β¨ π) β§ Β¬ π β€ (π β¨ π) β§ π
β€ (π β¨ π)))) β π = π) |