Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cdlemefs45ee Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cdlemefs45ee 39393
Description: Explicit expansion of cdlemefs45 39392. TODO: use to shorten cdlemefs45 39392 uses? Should ((𝑆 ∨ π‘ˆ) ∧ (𝑄 ∨ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ π‘Š))) be assigned to a hypothesis letter? TODO: FIX COMMENT. (Contributed by NM, 10-Apr-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
cdlemef45.b 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
cdlemef45.l ≀ = (leβ€˜πΎ)
cdlemef45.j ∨ = (joinβ€˜πΎ)
cdlemef45.m ∧ = (meetβ€˜πΎ)
cdlemef45.a 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
cdlemef45.h 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
cdlemef45.u π‘ˆ = ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ π‘Š)
cdlemef45.d 𝐷 = ((𝑑 ∨ π‘ˆ) ∧ (𝑄 ∨ ((𝑃 ∨ 𝑑) ∧ π‘Š)))
cdlemef45.f 𝐹 = (π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ if((𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ π‘₯ ≀ π‘Š), (℩𝑧 ∈ 𝐡 βˆ€π‘  ∈ 𝐴 ((Β¬ 𝑠 ≀ π‘Š ∧ (𝑠 ∨ (π‘₯ ∧ π‘Š)) = π‘₯) β†’ 𝑧 = (if(𝑠 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄), (℩𝑦 ∈ 𝐡 βˆ€π‘‘ ∈ 𝐴 ((Β¬ 𝑑 ≀ π‘Š ∧ Β¬ 𝑑 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)) β†’ 𝑦 = 𝐸)), ⦋𝑠 / π‘‘β¦Œπ·) ∨ (π‘₯ ∧ π‘Š)))), π‘₯))
cdlemefs45.e 𝐸 = ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ (𝐷 ∨ ((𝑠 ∨ 𝑑) ∧ π‘Š)))
Assertion
Ref Expression
cdlemefs45ee ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑆 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄))) β†’ (πΉβ€˜π‘…) = ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ (((𝑆 ∨ π‘ˆ) ∧ (𝑄 ∨ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ π‘Š))) ∨ ((𝑅 ∨ 𝑆) ∧ π‘Š))))
Distinct variable groups:   𝑑,𝑠,π‘₯,𝑦,𝑧,𝐴   𝐡,𝑠,𝑑,π‘₯,𝑦,𝑧   𝐷,𝑠,π‘₯,𝑦,𝑧   π‘₯,𝐸,𝑦,𝑧   𝐻,𝑠,𝑑,π‘₯,𝑦,𝑧   ∨ ,𝑠,𝑑,π‘₯,𝑦,𝑧   𝐾,𝑠,𝑑,π‘₯,𝑦,𝑧   ≀ ,𝑠,𝑑,π‘₯,𝑦,𝑧   ∧ ,𝑠,𝑑,π‘₯,𝑦,𝑧   𝑃,𝑠,𝑑,π‘₯,𝑦,𝑧   𝑄,𝑠,𝑑,π‘₯,𝑦,𝑧   𝑅,𝑠,𝑑,π‘₯,𝑦,𝑧   π‘ˆ,𝑠,𝑑,π‘₯,𝑦,𝑧   π‘Š,𝑠,𝑑,π‘₯,𝑦,𝑧   𝑆,𝑠,𝑑,𝑦,π‘₯,𝑧
Allowed substitution hints:   𝐷(𝑑)   𝐸(𝑑,𝑠)   𝐹(π‘₯,𝑦,𝑧,𝑑,𝑠)

Proof of Theorem cdlemefs45ee
StepHypRef Expression
1 cdlemef45.b . . 3 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
2 cdlemef45.l . . 3 ≀ = (leβ€˜πΎ)
3 cdlemef45.j . . 3 ∨ = (joinβ€˜πΎ)
4 cdlemef45.m . . 3 ∧ = (meetβ€˜πΎ)
5 cdlemef45.a . . 3 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
6 cdlemef45.h . . 3 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
7 cdlemef45.u . . 3 π‘ˆ = ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ π‘Š)
8 cdlemef45.d . . 3 𝐷 = ((𝑑 ∨ π‘ˆ) ∧ (𝑄 ∨ ((𝑃 ∨ 𝑑) ∧ π‘Š)))
9 cdlemef45.f . . 3 𝐹 = (π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ if((𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ π‘₯ ≀ π‘Š), (℩𝑧 ∈ 𝐡 βˆ€π‘  ∈ 𝐴 ((Β¬ 𝑠 ≀ π‘Š ∧ (𝑠 ∨ (π‘₯ ∧ π‘Š)) = π‘₯) β†’ 𝑧 = (if(𝑠 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄), (℩𝑦 ∈ 𝐡 βˆ€π‘‘ ∈ 𝐴 ((Β¬ 𝑑 ≀ π‘Š ∧ Β¬ 𝑑 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)) β†’ 𝑦 = 𝐸)), ⦋𝑠 / π‘‘β¦Œπ·) ∨ (π‘₯ ∧ π‘Š)))), π‘₯))
10 cdlemefs45.e . . 3 𝐸 = ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ (𝐷 ∨ ((𝑠 ∨ 𝑑) ∧ π‘Š)))
111, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10cdlemefs45 39392 . 2 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑆 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄))) β†’ (πΉβ€˜π‘…) = ⦋𝑅 / π‘ β¦Œβ¦‹π‘† / π‘‘β¦ŒπΈ)
12 simp22l 1292 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑆 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄))) β†’ 𝑅 ∈ 𝐴)
13 simp23l 1294 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑆 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄))) β†’ 𝑆 ∈ 𝐴)
14 eqid 2732 . . . 4 ((𝑆 ∨ π‘ˆ) ∧ (𝑄 ∨ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ π‘Š))) = ((𝑆 ∨ π‘ˆ) ∧ (𝑄 ∨ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ π‘Š)))
15 eqid 2732 . . . 4 ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ (((𝑆 ∨ π‘ˆ) ∧ (𝑄 ∨ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ π‘Š))) ∨ ((𝑅 ∨ 𝑆) ∧ π‘Š))) = ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ (((𝑆 ∨ π‘ˆ) ∧ (𝑄 ∨ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ π‘Š))) ∨ ((𝑅 ∨ 𝑆) ∧ π‘Š)))
168, 10, 14, 15cdleme31sde 39348 . . 3 ((𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) β†’ ⦋𝑅 / π‘ β¦Œβ¦‹π‘† / π‘‘β¦ŒπΈ = ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ (((𝑆 ∨ π‘ˆ) ∧ (𝑄 ∨ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ π‘Š))) ∨ ((𝑅 ∨ 𝑆) ∧ π‘Š))))
1712, 13, 16syl2anc 584 . 2 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑆 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄))) β†’ ⦋𝑅 / π‘ β¦Œβ¦‹π‘† / π‘‘β¦ŒπΈ = ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ (((𝑆 ∨ π‘ˆ) ∧ (𝑄 ∨ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ π‘Š))) ∨ ((𝑅 ∨ 𝑆) ∧ π‘Š))))
1811, 17eqtrd 2772 1 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑆 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄))) β†’ (πΉβ€˜π‘…) = ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ (((𝑆 ∨ π‘ˆ) ∧ (𝑄 ∨ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ π‘Š))) ∨ ((𝑅 ∨ 𝑆) ∧ π‘Š))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   β‰  wne 2940  βˆ€wral 3061  β¦‹csb 3893  ifcif 4528   class class class wbr 5148   ↦ cmpt 5231  β€˜cfv 6543  β„©crio 7366  (class class class)co 7411  Basecbs 17146  lecple 17206  joincjn 18266  meetcmee 18267  Atomscatm 38225  HLchlt 38312  LHypclh 38947
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7727  ax-riotaBAD 37915
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-iin 5000  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5574  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-undef 8260  df-proset 18250  df-poset 18268  df-plt 18285  df-lub 18301  df-glb 18302  df-join 18303  df-meet 18304  df-p0 18380  df-p1 18381  df-lat 18387  df-clat 18454  df-oposet 38138  df-ol 38140  df-oml 38141  df-covers 38228  df-ats 38229  df-atl 38260  df-cvlat 38284  df-hlat 38313  df-llines 38461  df-lplanes 38462  df-lvols 38463  df-lines 38464  df-psubsp 38466  df-pmap 38467  df-padd 38759  df-lhyp 38951
This theorem is referenced by:  cdlemefs45eN  39394  cdleme50trn2a  39513
  Copyright terms: Public domain W3C validator