Step | Hyp | Ref
| Expression |
1 | | cdlemef50.b |
. . . . 5
β’ π΅ = (BaseβπΎ) |
2 | | cdlemef50.l |
. . . . 5
β’ β€ =
(leβπΎ) |
3 | | cdlemef50.j |
. . . . 5
β’ β¨ =
(joinβπΎ) |
4 | | cdlemef50.m |
. . . . 5
β’ β§ =
(meetβπΎ) |
5 | | cdlemef50.a |
. . . . 5
β’ π΄ = (AtomsβπΎ) |
6 | | cdlemef50.h |
. . . . 5
β’ π» = (LHypβπΎ) |
7 | | cdlemef50.u |
. . . . 5
β’ π = ((π β¨ π) β§ π) |
8 | | cdlemef50.d |
. . . . 5
β’ π· = ((π‘ β¨ π) β§ (π β¨ ((π β¨ π‘) β§ π))) |
9 | | cdlemef50.f |
. . . . 5
β’ πΉ = (π₯ β π΅ β¦ if((π β π β§ Β¬ π₯ β€ π), (β©π§ β π΅ βπ β π΄ ((Β¬ π β€ π β§ (π β¨ (π₯ β§ π)) = π₯) β π§ = (if(π β€ (π β¨ π), (β©π¦ β π΅ βπ‘ β π΄ ((Β¬ π‘ β€ π β§ Β¬ π‘ β€ (π β¨ π)) β π¦ = πΈ)), β¦π / π‘β¦π·) β¨ (π₯ β§ π)))), π₯)) |
10 | | cdlemefs50.e |
. . . . 5
β’ πΈ = ((π β¨ π) β§ (π· β¨ ((π β¨ π‘) β§ π))) |
11 | 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 | cdlemefs45ee 39840 |
. . . 4
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π β π β§ (π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π
β€ (π β¨ π) β§ Β¬ π β€ (π β¨ π))) β (πΉβπ
) = ((π β¨ π) β§ (((π β¨ π) β§ (π β¨ ((π β¨ π) β§ π))) β¨ ((π
β¨ π) β§ π)))) |
12 | 11 | oveq2d 7430 |
. . 3
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π β π β§ (π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π
β€ (π β¨ π) β§ Β¬ π β€ (π β¨ π))) β (π
β¨ (πΉβπ
)) = (π
β¨ ((π β¨ π) β§ (((π β¨ π) β§ (π β¨ ((π β¨ π) β§ π))) β¨ ((π
β¨ π) β§ π))))) |
13 | 12 | oveq1d 7429 |
. 2
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π β π β§ (π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π
β€ (π β¨ π) β§ Β¬ π β€ (π β¨ π))) β ((π
β¨ (πΉβπ
)) β§ π) = ((π
β¨ ((π β¨ π) β§ (((π β¨ π) β§ (π β¨ ((π β¨ π) β§ π))) β¨ ((π
β¨ π) β§ π)))) β§ π)) |
14 | | simp11 1201 |
. . . . 5
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π β π β§ (π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π
β€ (π β¨ π) β§ Β¬ π β€ (π β¨ π))) β (πΎ β HL β§ π β π»)) |
15 | | simp12l 1284 |
. . . . 5
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π β π β§ (π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π
β€ (π β¨ π) β§ Β¬ π β€ (π β¨ π))) β π β π΄) |
16 | | simp13l 1286 |
. . . . 5
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π β π β§ (π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π
β€ (π β¨ π) β§ Β¬ π β€ (π β¨ π))) β π β π΄) |
17 | | simp22 1205 |
. . . . 5
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π β π β§ (π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π
β€ (π β¨ π) β§ Β¬ π β€ (π β¨ π))) β (π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π)) |
18 | | simp23 1206 |
. . . . 5
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π β π β§ (π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π
β€ (π β¨ π) β§ Β¬ π β€ (π β¨ π))) β (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) |
19 | | simp3l 1199 |
. . . . 5
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π β π β§ (π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π
β€ (π β¨ π) β§ Β¬ π β€ (π β¨ π))) β π
β€ (π β¨ π)) |
20 | | eqid 2727 |
. . . . . 6
β’ ((π β¨ π) β§ (π β¨ ((π β¨ π) β§ π))) = ((π β¨ π) β§ (π β¨ ((π β¨ π) β§ π))) |
21 | | eqid 2727 |
. . . . . 6
β’ ((π β¨ π) β§ (((π β¨ π) β§ (π β¨ ((π β¨ π) β§ π))) β¨ ((π
β¨ π) β§ π))) = ((π β¨ π) β§ (((π β¨ π) β§ (π β¨ ((π β¨ π) β§ π))) β¨ ((π
β¨ π) β§ π))) |
22 | 2, 3, 4, 5, 6, 7, 20, 21 | cdleme5 39650 |
. . . . 5
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ (π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π)) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ π
β€ (π β¨ π))) β (π
β¨ ((π β¨ π) β§ (((π β¨ π) β§ (π β¨ ((π β¨ π) β§ π))) β¨ ((π
β¨ π) β§ π)))) = (π β¨ π)) |
23 | 14, 15, 16, 17, 18, 19, 22 | syl132anc 1386 |
. . . 4
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π β π β§ (π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π
β€ (π β¨ π) β§ Β¬ π β€ (π β¨ π))) β (π
β¨ ((π β¨ π) β§ (((π β¨ π) β§ (π β¨ ((π β¨ π) β§ π))) β¨ ((π
β¨ π) β§ π)))) = (π β¨ π)) |
24 | 23 | oveq1d 7429 |
. . 3
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π β π β§ (π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π
β€ (π β¨ π) β§ Β¬ π β€ (π β¨ π))) β ((π
β¨ ((π β¨ π) β§ (((π β¨ π) β§ (π β¨ ((π β¨ π) β§ π))) β¨ ((π
β¨ π) β§ π)))) β§ π) = ((π β¨ π) β§ π)) |
25 | 24, 7 | eqtr4di 2785 |
. 2
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π β π β§ (π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π
β€ (π β¨ π) β§ Β¬ π β€ (π β¨ π))) β ((π
β¨ ((π β¨ π) β§ (((π β¨ π) β§ (π β¨ ((π β¨ π) β§ π))) β¨ ((π
β¨ π) β§ π)))) β§ π) = π) |
26 | 13, 25 | eqtrd 2767 |
1
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π β π β§ (π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π
β€ (π β¨ π) β§ Β¬ π β€ (π β¨ π))) β ((π
β¨ (πΉβπ
)) β§ π) = π) |