Step | Hyp | Ref
| Expression |
1 | | cdlemef45.b |
. . 3
β’ π΅ = (BaseβπΎ) |
2 | | cdlemef45.l |
. . 3
β’ β€ =
(leβπΎ) |
3 | | cdlemef45.j |
. . 3
β’ β¨ =
(joinβπΎ) |
4 | | cdlemef45.m |
. . 3
β’ β§ =
(meetβπΎ) |
5 | | cdlemef45.a |
. . 3
β’ π΄ = (AtomsβπΎ) |
6 | | cdlemef45.h |
. . 3
β’ π» = (LHypβπΎ) |
7 | | cdlemef45.u |
. . 3
β’ π = ((π β¨ π) β§ π) |
8 | | cdlemef45.d |
. . 3
β’ π· = ((π‘ β¨ π) β§ (π β¨ ((π β¨ π‘) β§ π))) |
9 | | cdlemef45.f |
. . 3
β’ πΉ = (π₯ β π΅ β¦ if((π β π β§ Β¬ π₯ β€ π), (β©π§ β π΅ βπ β π΄ ((Β¬ π β€ π β§ (π β¨ (π₯ β§ π)) = π₯) β π§ = (if(π β€ (π β¨ π), (β©π¦ β π΅ βπ‘ β π΄ ((Β¬ π‘ β€ π β§ Β¬ π‘ β€ (π β¨ π)) β π¦ = πΈ)), β¦π / π‘β¦π·) β¨ (π₯ β§ π)))), π₯)) |
10 | | cdlemefs45.e |
. . 3
β’ πΈ = ((π β¨ π) β§ (π· β¨ ((π β¨ π‘) β§ π))) |
11 | 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 | cdlemefs45ee 38922 |
. 2
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π β π β§ (π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π
β€ (π β¨ π) β§ Β¬ π β€ (π β¨ π))) β (πΉβπ
) = ((π β¨ π) β§ (((π β¨ π) β§ (π β¨ ((π β¨ π) β§ π))) β¨ ((π
β¨ π) β§ π)))) |
12 | | simp1 1137 |
. . . . 5
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π β π β§ (π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π
β€ (π β¨ π) β§ Β¬ π β€ (π β¨ π))) β ((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π))) |
13 | | simp21 1207 |
. . . . 5
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π β π β§ (π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π
β€ (π β¨ π) β§ Β¬ π β€ (π β¨ π))) β π β π) |
14 | | simp23 1209 |
. . . . 5
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π β π β§ (π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π
β€ (π β¨ π) β§ Β¬ π β€ (π β¨ π))) β (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) |
15 | | simp3r 1203 |
. . . . 5
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π β π β§ (π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π
β€ (π β¨ π) β§ Β¬ π β€ (π β¨ π))) β Β¬ π β€ (π β¨ π)) |
16 | 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 | cdlemefr45e 38920 |
. . . . 5
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π β π β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ Β¬ π β€ (π β¨ π)) β (πΉβπ) = ((π β¨ π) β§ (π β¨ ((π β¨ π) β§ π)))) |
17 | 12, 13, 14, 15, 16 | syl121anc 1376 |
. . . 4
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π β π β§ (π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π
β€ (π β¨ π) β§ Β¬ π β€ (π β¨ π))) β (πΉβπ) = ((π β¨ π) β§ (π β¨ ((π β¨ π) β§ π)))) |
18 | 17 | oveq1d 7377 |
. . 3
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π β π β§ (π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π
β€ (π β¨ π) β§ Β¬ π β€ (π β¨ π))) β ((πΉβπ) β¨ ((π
β¨ π) β§ π)) = (((π β¨ π) β§ (π β¨ ((π β¨ π) β§ π))) β¨ ((π
β¨ π) β§ π))) |
19 | 18 | oveq2d 7378 |
. 2
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π β π β§ (π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π
β€ (π β¨ π) β§ Β¬ π β€ (π β¨ π))) β ((π β¨ π) β§ ((πΉβπ) β¨ ((π
β¨ π) β§ π))) = ((π β¨ π) β§ (((π β¨ π) β§ (π β¨ ((π β¨ π) β§ π))) β¨ ((π
β¨ π) β§ π)))) |
20 | 11, 19 | eqtr4d 2780 |
1
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π β π β§ (π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π
β€ (π β¨ π) β§ Β¬ π β€ (π β¨ π))) β (πΉβπ
) = ((π β¨ π) β§ ((πΉβπ) β¨ ((π
β¨ π) β§ π)))) |