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Theorem 2llnma3r 38251
Description: Two different intersecting lines (expressed in terms of atoms) meet at their common point (atom). (Contributed by NM, 30-Apr-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
2llnm.l = (le‘𝐾)
2llnm.j = (join‘𝐾)
2llnm.m = (meet‘𝐾)
2llnm.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
2llnma3r ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑃 𝑅) ≠ (𝑄 𝑅)) → ((𝑃 𝑅) (𝑄 𝑅)) = 𝑅)

Proof of Theorem 2llnma3r
StepHypRef Expression
1 simp1 1136 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑃 𝑅) ≠ (𝑄 𝑅)) → 𝐾 ∈ HL)
2 simp21 1206 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑃 𝑅) ≠ (𝑄 𝑅)) → 𝑃𝐴)
3 simp23 1208 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑃 𝑅) ≠ (𝑄 𝑅)) → 𝑅𝐴)
4 2llnm.j . . . . 5 = (join‘𝐾)
5 2llnm.a . . . . 5 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
64, 5hlatjcom 37830 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑅𝐴) → (𝑃 𝑅) = (𝑅 𝑃))
71, 2, 3, 6syl3anc 1371 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑃 𝑅) ≠ (𝑄 𝑅)) → (𝑃 𝑅) = (𝑅 𝑃))
8 simp22 1207 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑃 𝑅) ≠ (𝑄 𝑅)) → 𝑄𝐴)
94, 5hlatjcom 37830 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑄𝐴𝑅𝐴) → (𝑄 𝑅) = (𝑅 𝑄))
101, 8, 3, 9syl3anc 1371 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑃 𝑅) ≠ (𝑄 𝑅)) → (𝑄 𝑅) = (𝑅 𝑄))
117, 10oveq12d 7375 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑃 𝑅) ≠ (𝑄 𝑅)) → ((𝑃 𝑅) (𝑄 𝑅)) = ((𝑅 𝑃) (𝑅 𝑄)))
12 simpr 485 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑃 𝑅) ≠ (𝑄 𝑅)) ∧ 𝑄 = 𝑅) → 𝑄 = 𝑅)
1312oveq2d 7373 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑃 𝑅) ≠ (𝑄 𝑅)) ∧ 𝑄 = 𝑅) → (𝑅 𝑄) = (𝑅 𝑅))
14 simpl1 1191 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑃 𝑅) ≠ (𝑄 𝑅)) ∧ 𝑄 = 𝑅) → 𝐾 ∈ HL)
15 simpl23 1253 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑃 𝑅) ≠ (𝑄 𝑅)) ∧ 𝑄 = 𝑅) → 𝑅𝐴)
164, 5hlatjidm 37831 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑅𝐴) → (𝑅 𝑅) = 𝑅)
1714, 15, 16syl2anc 584 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑃 𝑅) ≠ (𝑄 𝑅)) ∧ 𝑄 = 𝑅) → (𝑅 𝑅) = 𝑅)
1813, 17eqtrd 2776 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑃 𝑅) ≠ (𝑄 𝑅)) ∧ 𝑄 = 𝑅) → (𝑅 𝑄) = 𝑅)
1918oveq2d 7373 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑃 𝑅) ≠ (𝑄 𝑅)) ∧ 𝑄 = 𝑅) → ((𝑅 𝑃) (𝑅 𝑄)) = ((𝑅 𝑃) 𝑅))
20 2llnm.l . . . . . . . 8 = (le‘𝐾)
2120, 4, 5hlatlej1 37837 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑅𝐴𝑃𝐴) → 𝑅 (𝑅 𝑃))
221, 3, 2, 21syl3anc 1371 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑃 𝑅) ≠ (𝑄 𝑅)) → 𝑅 (𝑅 𝑃))
23 hllat 37825 . . . . . . . 8 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ Lat)
24233ad2ant1 1133 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑃 𝑅) ≠ (𝑄 𝑅)) → 𝐾 ∈ Lat)
25 eqid 2736 . . . . . . . . 9 (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
2625, 5atbase 37751 . . . . . . . 8 (𝑅𝐴𝑅 ∈ (Base‘𝐾))
273, 26syl 17 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑃 𝑅) ≠ (𝑄 𝑅)) → 𝑅 ∈ (Base‘𝐾))
2825, 4, 5hlatjcl 37829 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑅𝐴𝑃𝐴) → (𝑅 𝑃) ∈ (Base‘𝐾))
291, 3, 2, 28syl3anc 1371 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑃 𝑅) ≠ (𝑄 𝑅)) → (𝑅 𝑃) ∈ (Base‘𝐾))
30 2llnm.m . . . . . . . 8 = (meet‘𝐾)
3125, 20, 30latleeqm2 18357 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑅 ∈ (Base‘𝐾) ∧ (𝑅 𝑃) ∈ (Base‘𝐾)) → (𝑅 (𝑅 𝑃) ↔ ((𝑅 𝑃) 𝑅) = 𝑅))
3224, 27, 29, 31syl3anc 1371 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑃 𝑅) ≠ (𝑄 𝑅)) → (𝑅 (𝑅 𝑃) ↔ ((𝑅 𝑃) 𝑅) = 𝑅))
3322, 32mpbid 231 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑃 𝑅) ≠ (𝑄 𝑅)) → ((𝑅 𝑃) 𝑅) = 𝑅)
3433adantr 481 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑃 𝑅) ≠ (𝑄 𝑅)) ∧ 𝑄 = 𝑅) → ((𝑅 𝑃) 𝑅) = 𝑅)
3519, 34eqtrd 2776 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑃 𝑅) ≠ (𝑄 𝑅)) ∧ 𝑄 = 𝑅) → ((𝑅 𝑃) (𝑅 𝑄)) = 𝑅)
36 simpl1 1191 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑃 𝑅) ≠ (𝑄 𝑅)) ∧ 𝑄𝑅) → 𝐾 ∈ HL)
37 simpl21 1251 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑃 𝑅) ≠ (𝑄 𝑅)) ∧ 𝑄𝑅) → 𝑃𝐴)
38 simpl23 1253 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑃 𝑅) ≠ (𝑄 𝑅)) ∧ 𝑄𝑅) → 𝑅𝐴)
39 simpl22 1252 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑃 𝑅) ≠ (𝑄 𝑅)) ∧ 𝑄𝑅) → 𝑄𝐴)
40 simpl3 1193 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑃 𝑅) ≠ (𝑄 𝑅)) ∧ 𝑄𝑅) → (𝑃 𝑅) ≠ (𝑄 𝑅))
4120, 4, 5hlatlej2 37838 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑅𝐴) → 𝑅 (𝑃 𝑅))
421, 2, 3, 41syl3anc 1371 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑃 𝑅) ≠ (𝑄 𝑅)) → 𝑅 (𝑃 𝑅))
4325, 5atbase 37751 . . . . . . . . . . . 12 (𝑄𝐴𝑄 ∈ (Base‘𝐾))
448, 43syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑃 𝑅) ≠ (𝑄 𝑅)) → 𝑄 ∈ (Base‘𝐾))
4525, 4, 5hlatjcl 37829 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑅𝐴) → (𝑃 𝑅) ∈ (Base‘𝐾))
461, 2, 3, 45syl3anc 1371 . . . . . . . . . . 11 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑃 𝑅) ≠ (𝑄 𝑅)) → (𝑃 𝑅) ∈ (Base‘𝐾))
4725, 20, 4latjle12 18339 . . . . . . . . . . 11 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑄 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑅 ∈ (Base‘𝐾) ∧ (𝑃 𝑅) ∈ (Base‘𝐾))) → ((𝑄 (𝑃 𝑅) ∧ 𝑅 (𝑃 𝑅)) ↔ (𝑄 𝑅) (𝑃 𝑅)))
4824, 44, 27, 46, 47syl13anc 1372 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑃 𝑅) ≠ (𝑄 𝑅)) → ((𝑄 (𝑃 𝑅) ∧ 𝑅 (𝑃 𝑅)) ↔ (𝑄 𝑅) (𝑃 𝑅)))
4948biimpd 228 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑃 𝑅) ≠ (𝑄 𝑅)) → ((𝑄 (𝑃 𝑅) ∧ 𝑅 (𝑃 𝑅)) → (𝑄 𝑅) (𝑃 𝑅)))
5042, 49mpan2d 692 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑃 𝑅) ≠ (𝑄 𝑅)) → (𝑄 (𝑃 𝑅) → (𝑄 𝑅) (𝑃 𝑅)))
5150adantr 481 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑃 𝑅) ≠ (𝑄 𝑅)) ∧ 𝑄𝑅) → (𝑄 (𝑃 𝑅) → (𝑄 𝑅) (𝑃 𝑅)))
52 simpr 485 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑃 𝑅) ≠ (𝑄 𝑅)) ∧ 𝑄𝑅) → 𝑄𝑅)
5320, 4, 5ps-1 37940 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑄𝐴𝑅𝐴𝑄𝑅) ∧ (𝑃𝐴𝑅𝐴)) → ((𝑄 𝑅) (𝑃 𝑅) ↔ (𝑄 𝑅) = (𝑃 𝑅)))
5436, 39, 38, 52, 37, 38, 53syl132anc 1388 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑃 𝑅) ≠ (𝑄 𝑅)) ∧ 𝑄𝑅) → ((𝑄 𝑅) (𝑃 𝑅) ↔ (𝑄 𝑅) = (𝑃 𝑅)))
5554biimpd 228 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑃 𝑅) ≠ (𝑄 𝑅)) ∧ 𝑄𝑅) → ((𝑄 𝑅) (𝑃 𝑅) → (𝑄 𝑅) = (𝑃 𝑅)))
56 eqcom 2743 . . . . . . . 8 ((𝑄 𝑅) = (𝑃 𝑅) ↔ (𝑃 𝑅) = (𝑄 𝑅))
5755, 56syl6ib 250 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑃 𝑅) ≠ (𝑄 𝑅)) ∧ 𝑄𝑅) → ((𝑄 𝑅) (𝑃 𝑅) → (𝑃 𝑅) = (𝑄 𝑅)))
5851, 57syld 47 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑃 𝑅) ≠ (𝑄 𝑅)) ∧ 𝑄𝑅) → (𝑄 (𝑃 𝑅) → (𝑃 𝑅) = (𝑄 𝑅)))
5958necon3ad 2956 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑃 𝑅) ≠ (𝑄 𝑅)) ∧ 𝑄𝑅) → ((𝑃 𝑅) ≠ (𝑄 𝑅) → ¬ 𝑄 (𝑃 𝑅)))
6040, 59mpd 15 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑃 𝑅) ≠ (𝑄 𝑅)) ∧ 𝑄𝑅) → ¬ 𝑄 (𝑃 𝑅))
6120, 4, 30, 52llnma1 38250 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑅𝐴𝑄𝐴) ∧ ¬ 𝑄 (𝑃 𝑅)) → ((𝑅 𝑃) (𝑅 𝑄)) = 𝑅)
6236, 37, 38, 39, 60, 61syl131anc 1383 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑃 𝑅) ≠ (𝑄 𝑅)) ∧ 𝑄𝑅) → ((𝑅 𝑃) (𝑅 𝑄)) = 𝑅)
6335, 62pm2.61dane 3032 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑃 𝑅) ≠ (𝑄 𝑅)) → ((𝑅 𝑃) (𝑅 𝑄)) = 𝑅)
6411, 63eqtrd 2776 1 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑃 𝑅) ≠ (𝑄 𝑅)) → ((𝑃 𝑅) (𝑄 𝑅)) = 𝑅)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 396  w3a 1087   = wceq 1541  wcel 2106  wne 2943   class class class wbr 5105  cfv 6496  (class class class)co 7357  Basecbs 17083  lecple 17140  joincjn 18200  meetcmee 18201  Latclat 18320  Atomscatm 37725  HLchlt 37812
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-ral 3065  df-rex 3074  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-iun 4956  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-id 5531  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-proset 18184  df-poset 18202  df-plt 18219  df-lub 18235  df-glb 18236  df-join 18237  df-meet 18238  df-p0 18314  df-lat 18321  df-clat 18388  df-oposet 37638  df-ol 37640  df-oml 37641  df-covers 37728  df-ats 37729  df-atl 37760  df-cvlat 37784  df-hlat 37813
This theorem is referenced by:  cdlemg9a  39095  cdlemg12a  39106
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