Theorem 2llnma3r 39987

Description: Two different intersecting lines (expressed in terms of atoms) meet at their common point (atom). (Contributed by NM, 30-Apr-2013.)

Hypotheses

Ref	Expression
2llnm.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
2llnm.j	⊢ ∨ = (join‘𝐾)
2llnm.m	⊢ ∧ = (meet‘𝐾)
2llnm.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
2llnma3r	⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑃 ∨ 𝑅) ≠ (𝑄 ∨ 𝑅)) → ((𝑃 ∨ 𝑅) ∧ (𝑄 ∨ 𝑅)) = 𝑅)

Proof of Theorem 2llnma3r

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1 1136	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑃 ∨ 𝑅) ≠ (𝑄 ∨ 𝑅)) → 𝐾 ∈ HL)
2		simp21 1207	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑃 ∨ 𝑅) ≠ (𝑄 ∨ 𝑅)) → 𝑃 ∈ 𝐴)
3		simp23 1209	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑃 ∨ 𝑅) ≠ (𝑄 ∨ 𝑅)) → 𝑅 ∈ 𝐴)
4		2llnm.j	. . . . 5 ⊢ ∨ = (join‘𝐾)
5		2llnm.a	. . . . 5 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
6	4, 5	hlatjcom 39567	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) → (𝑃 ∨ 𝑅) = (𝑅 ∨ 𝑃))
7	1, 2, 3, 6	syl3anc 1373	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑃 ∨ 𝑅) ≠ (𝑄 ∨ 𝑅)) → (𝑃 ∨ 𝑅) = (𝑅 ∨ 𝑃))
8		simp22 1208	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑃 ∨ 𝑅) ≠ (𝑄 ∨ 𝑅)) → 𝑄 ∈ 𝐴)
9	4, 5	hlatjcom 39567	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) → (𝑄 ∨ 𝑅) = (𝑅 ∨ 𝑄))
10	1, 8, 3, 9	syl3anc 1373	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑃 ∨ 𝑅) ≠ (𝑄 ∨ 𝑅)) → (𝑄 ∨ 𝑅) = (𝑅 ∨ 𝑄))
11	7, 10	oveq12d 7374	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑃 ∨ 𝑅) ≠ (𝑄 ∨ 𝑅)) → ((𝑃 ∨ 𝑅) ∧ (𝑄 ∨ 𝑅)) = ((𝑅 ∨ 𝑃) ∧ (𝑅 ∨ 𝑄)))
12		simpr 484	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑃 ∨ 𝑅) ≠ (𝑄 ∨ 𝑅)) ∧ 𝑄 = 𝑅) → 𝑄 = 𝑅)
13	12	oveq2d 7372	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑃 ∨ 𝑅) ≠ (𝑄 ∨ 𝑅)) ∧ 𝑄 = 𝑅) → (𝑅 ∨ 𝑄) = (𝑅 ∨ 𝑅))
14		simpl1 1192	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑃 ∨ 𝑅) ≠ (𝑄 ∨ 𝑅)) ∧ 𝑄 = 𝑅) → 𝐾 ∈ HL)
15		simpl23 1254	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑃 ∨ 𝑅) ≠ (𝑄 ∨ 𝑅)) ∧ 𝑄 = 𝑅) → 𝑅 ∈ 𝐴)
16	4, 5	hlatjidm 39568	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) → (𝑅 ∨ 𝑅) = 𝑅)
17	14, 15, 16	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑃 ∨ 𝑅) ≠ (𝑄 ∨ 𝑅)) ∧ 𝑄 = 𝑅) → (𝑅 ∨ 𝑅) = 𝑅)
18	13, 17	eqtrd 2769	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑃 ∨ 𝑅) ≠ (𝑄 ∨ 𝑅)) ∧ 𝑄 = 𝑅) → (𝑅 ∨ 𝑄) = 𝑅)
19	18	oveq2d 7372	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑃 ∨ 𝑅) ≠ (𝑄 ∨ 𝑅)) ∧ 𝑄 = 𝑅) → ((𝑅 ∨ 𝑃) ∧ (𝑅 ∨ 𝑄)) = ((𝑅 ∨ 𝑃) ∧ 𝑅))
20		2llnm.l	. . . . . . . 8 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
21	20, 4, 5	hlatlej1 39574	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) → 𝑅 ≤ (𝑅 ∨ 𝑃))
22	1, 3, 2, 21	syl3anc 1373	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑃 ∨ 𝑅) ≠ (𝑄 ∨ 𝑅)) → 𝑅 ≤ (𝑅 ∨ 𝑃))
23		hllat 39562	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ Lat)
24	23	3ad2ant1 1133	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑃 ∨ 𝑅) ≠ (𝑄 ∨ 𝑅)) → 𝐾 ∈ Lat)
25		eqid 2734	. . . . . . . . 9 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
26	25, 5	atbase 39488	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ 𝐴 → 𝑅 ∈ (Base‘𝐾))
27	3, 26	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑃 ∨ 𝑅) ≠ (𝑄 ∨ 𝑅)) → 𝑅 ∈ (Base‘𝐾))
28	25, 4, 5	hlatjcl 39566	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) → (𝑅 ∨ 𝑃) ∈ (Base‘𝐾))
29	1, 3, 2, 28	syl3anc 1373	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑃 ∨ 𝑅) ≠ (𝑄 ∨ 𝑅)) → (𝑅 ∨ 𝑃) ∈ (Base‘𝐾))
30		2llnm.m	. . . . . . . 8 ⊢ ∧ = (meet‘𝐾)
31	25, 20, 30	latleeqm2 18389	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑅 ∈ (Base‘𝐾) ∧ (𝑅 ∨ 𝑃) ∈ (Base‘𝐾)) → (𝑅 ≤ (𝑅 ∨ 𝑃) ↔ ((𝑅 ∨ 𝑃) ∧ 𝑅) = 𝑅))
32	24, 27, 29, 31	syl3anc 1373	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑃 ∨ 𝑅) ≠ (𝑄 ∨ 𝑅)) → (𝑅 ≤ (𝑅 ∨ 𝑃) ↔ ((𝑅 ∨ 𝑃) ∧ 𝑅) = 𝑅))
33	22, 32	mpbid 232	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑃 ∨ 𝑅) ≠ (𝑄 ∨ 𝑅)) → ((𝑅 ∨ 𝑃) ∧ 𝑅) = 𝑅)
34	33	adantr 480	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑃 ∨ 𝑅) ≠ (𝑄 ∨ 𝑅)) ∧ 𝑄 = 𝑅) → ((𝑅 ∨ 𝑃) ∧ 𝑅) = 𝑅)
35	19, 34	eqtrd 2769	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑃 ∨ 𝑅) ≠ (𝑄 ∨ 𝑅)) ∧ 𝑄 = 𝑅) → ((𝑅 ∨ 𝑃) ∧ (𝑅 ∨ 𝑄)) = 𝑅)
36		simpl1 1192	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑃 ∨ 𝑅) ≠ (𝑄 ∨ 𝑅)) ∧ 𝑄 ≠ 𝑅) → 𝐾 ∈ HL)
37		simpl21 1252	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑃 ∨ 𝑅) ≠ (𝑄 ∨ 𝑅)) ∧ 𝑄 ≠ 𝑅) → 𝑃 ∈ 𝐴)
38		simpl23 1254	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑃 ∨ 𝑅) ≠ (𝑄 ∨ 𝑅)) ∧ 𝑄 ≠ 𝑅) → 𝑅 ∈ 𝐴)
39		simpl22 1253	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑃 ∨ 𝑅) ≠ (𝑄 ∨ 𝑅)) ∧ 𝑄 ≠ 𝑅) → 𝑄 ∈ 𝐴)
40		simpl3 1194	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑃 ∨ 𝑅) ≠ (𝑄 ∨ 𝑅)) ∧ 𝑄 ≠ 𝑅) → (𝑃 ∨ 𝑅) ≠ (𝑄 ∨ 𝑅))
41	20, 4, 5	hlatlej2 39575	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) → 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑅))
42	1, 2, 3, 41	syl3anc 1373	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑃 ∨ 𝑅) ≠ (𝑄 ∨ 𝑅)) → 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑅))
43	25, 5	atbase 39488	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑄 ∈ 𝐴 → 𝑄 ∈ (Base‘𝐾))
44	8, 43	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑃 ∨ 𝑅) ≠ (𝑄 ∨ 𝑅)) → 𝑄 ∈ (Base‘𝐾))
45	25, 4, 5	hlatjcl 39566	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) → (𝑃 ∨ 𝑅) ∈ (Base‘𝐾))
46	1, 2, 3, 45	syl3anc 1373	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑃 ∨ 𝑅) ≠ (𝑄 ∨ 𝑅)) → (𝑃 ∨ 𝑅) ∈ (Base‘𝐾))
47	25, 20, 4	latjle12 18371	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑄 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑅 ∈ (Base‘𝐾) ∧ (𝑃 ∨ 𝑅) ∈ (Base‘𝐾))) → ((𝑄 ≤ (𝑃 ∨ 𝑅) ∧ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑅)) ↔ (𝑄 ∨ 𝑅) ≤ (𝑃 ∨ 𝑅)))
48	24, 44, 27, 46, 47	syl13anc 1374	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑃 ∨ 𝑅) ≠ (𝑄 ∨ 𝑅)) → ((𝑄 ≤ (𝑃 ∨ 𝑅) ∧ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑅)) ↔ (𝑄 ∨ 𝑅) ≤ (𝑃 ∨ 𝑅)))
49	48	biimpd 229	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑃 ∨ 𝑅) ≠ (𝑄 ∨ 𝑅)) → ((𝑄 ≤ (𝑃 ∨ 𝑅) ∧ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑅)) → (𝑄 ∨ 𝑅) ≤ (𝑃 ∨ 𝑅)))
50	42, 49	mpan2d 694	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑃 ∨ 𝑅) ≠ (𝑄 ∨ 𝑅)) → (𝑄 ≤ (𝑃 ∨ 𝑅) → (𝑄 ∨ 𝑅) ≤ (𝑃 ∨ 𝑅)))
51	50	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑃 ∨ 𝑅) ≠ (𝑄 ∨ 𝑅)) ∧ 𝑄 ≠ 𝑅) → (𝑄 ≤ (𝑃 ∨ 𝑅) → (𝑄 ∨ 𝑅) ≤ (𝑃 ∨ 𝑅)))
52		simpr 484	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑃 ∨ 𝑅) ≠ (𝑄 ∨ 𝑅)) ∧ 𝑄 ≠ 𝑅) → 𝑄 ≠ 𝑅)
53	20, 4, 5	ps-1 39676	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ≠ 𝑅) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴)) → ((𝑄 ∨ 𝑅) ≤ (𝑃 ∨ 𝑅) ↔ (𝑄 ∨ 𝑅) = (𝑃 ∨ 𝑅)))
54	36, 39, 38, 52, 37, 38, 53	syl132anc 1390	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑃 ∨ 𝑅) ≠ (𝑄 ∨ 𝑅)) ∧ 𝑄 ≠ 𝑅) → ((𝑄 ∨ 𝑅) ≤ (𝑃 ∨ 𝑅) ↔ (𝑄 ∨ 𝑅) = (𝑃 ∨ 𝑅)))
55	54	biimpd 229	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑃 ∨ 𝑅) ≠ (𝑄 ∨ 𝑅)) ∧ 𝑄 ≠ 𝑅) → ((𝑄 ∨ 𝑅) ≤ (𝑃 ∨ 𝑅) → (𝑄 ∨ 𝑅) = (𝑃 ∨ 𝑅)))
56		eqcom 2741	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑄 ∨ 𝑅) = (𝑃 ∨ 𝑅) ↔ (𝑃 ∨ 𝑅) = (𝑄 ∨ 𝑅))
57	55, 56	imbitrdi 251	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑃 ∨ 𝑅) ≠ (𝑄 ∨ 𝑅)) ∧ 𝑄 ≠ 𝑅) → ((𝑄 ∨ 𝑅) ≤ (𝑃 ∨ 𝑅) → (𝑃 ∨ 𝑅) = (𝑄 ∨ 𝑅)))
58	51, 57	syld 47	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑃 ∨ 𝑅) ≠ (𝑄 ∨ 𝑅)) ∧ 𝑄 ≠ 𝑅) → (𝑄 ≤ (𝑃 ∨ 𝑅) → (𝑃 ∨ 𝑅) = (𝑄 ∨ 𝑅)))
59	58	necon3ad 2943	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑃 ∨ 𝑅) ≠ (𝑄 ∨ 𝑅)) ∧ 𝑄 ≠ 𝑅) → ((𝑃 ∨ 𝑅) ≠ (𝑄 ∨ 𝑅) → ¬ 𝑄 ≤ (𝑃 ∨ 𝑅)))
60	40, 59	mpd 15	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑃 ∨ 𝑅) ≠ (𝑄 ∨ 𝑅)) ∧ 𝑄 ≠ 𝑅) → ¬ 𝑄 ≤ (𝑃 ∨ 𝑅))
61	20, 4, 30, 5	2llnma1 39986	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ ¬ 𝑄 ≤ (𝑃 ∨ 𝑅)) → ((𝑅 ∨ 𝑃) ∧ (𝑅 ∨ 𝑄)) = 𝑅)
62	36, 37, 38, 39, 60, 61	syl131anc 1385	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑃 ∨ 𝑅) ≠ (𝑄 ∨ 𝑅)) ∧ 𝑄 ≠ 𝑅) → ((𝑅 ∨ 𝑃) ∧ (𝑅 ∨ 𝑄)) = 𝑅)
63	35, 62	pm2.61dane 3017	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑃 ∨ 𝑅) ≠ (𝑄 ∨ 𝑅)) → ((𝑅 ∨ 𝑃) ∧ (𝑅 ∨ 𝑄)) = 𝑅)
64	11, 63	eqtrd 2769	1 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑃 ∨ 𝑅) ≠ (𝑄 ∨ 𝑅)) → ((𝑃 ∨ 𝑅) ∧ (𝑄 ∨ 𝑅)) = 𝑅)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1541   ∈ wcel 2113   ≠ wne 2930   class class class wbr 5096  ‘cfv 6490  (class class class)co 7356  Basecbs 17134  lecple 17182  joincjn 18232  meetcmee 18233  Latclat 18352  Atomscatm 39462  HLchlt 39549

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2706  ax-rep 5222  ax-sep 5239  ax-nul 5249  ax-pow 5308  ax-pr 5375  ax-un 7678

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2809  df-nfc 2883  df-ne 2931  df-ral 3050  df-rex 3059  df-rmo 3348  df-reu 3349  df-rab 3398  df-v 3440  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4579  df-pr 4581  df-op 4585  df-uni 4862  df-iun 4946  df-br 5097  df-opab 5159  df-mpt 5178  df-id 5517  df-xp 5628  df-rel 5629  df-cnv 5630  df-co 5631  df-dm 5632  df-rn 5633  df-res 5634  df-ima 5635  df-iota 6446  df-fun 6492  df-fn 6493  df-f 6494  df-f1 6495  df-fo 6496  df-f1o 6497  df-fv 6498  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-proset 18215  df-poset 18234  df-plt 18249  df-lub 18265  df-glb 18266  df-join 18267  df-meet 18268  df-p0 18344  df-lat 18353  df-clat 18420  df-oposet 39375  df-ol 39377  df-oml 39378  df-covers 39465  df-ats 39466  df-atl 39497  df-cvlat 39521  df-hlat 39550

This theorem is referenced by:  cdlemg9a  40831  cdlemg12a  40842