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Theorem 2llnma3r 39198
Description: Two different intersecting lines (expressed in terms of atoms) meet at their common point (atom). (Contributed by NM, 30-Apr-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
2llnm.l = (le‘𝐾)
2llnm.j = (join‘𝐾)
2llnm.m = (meet‘𝐾)
2llnm.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
2llnma3r ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑃 𝑅) ≠ (𝑄 𝑅)) → ((𝑃 𝑅) (𝑄 𝑅)) = 𝑅)

Proof of Theorem 2llnma3r
StepHypRef Expression
1 simp1 1134 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑃 𝑅) ≠ (𝑄 𝑅)) → 𝐾 ∈ HL)
2 simp21 1204 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑃 𝑅) ≠ (𝑄 𝑅)) → 𝑃𝐴)
3 simp23 1206 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑃 𝑅) ≠ (𝑄 𝑅)) → 𝑅𝐴)
4 2llnm.j . . . . 5 = (join‘𝐾)
5 2llnm.a . . . . 5 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
64, 5hlatjcom 38777 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑅𝐴) → (𝑃 𝑅) = (𝑅 𝑃))
71, 2, 3, 6syl3anc 1369 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑃 𝑅) ≠ (𝑄 𝑅)) → (𝑃 𝑅) = (𝑅 𝑃))
8 simp22 1205 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑃 𝑅) ≠ (𝑄 𝑅)) → 𝑄𝐴)
94, 5hlatjcom 38777 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑄𝐴𝑅𝐴) → (𝑄 𝑅) = (𝑅 𝑄))
101, 8, 3, 9syl3anc 1369 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑃 𝑅) ≠ (𝑄 𝑅)) → (𝑄 𝑅) = (𝑅 𝑄))
117, 10oveq12d 7432 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑃 𝑅) ≠ (𝑄 𝑅)) → ((𝑃 𝑅) (𝑄 𝑅)) = ((𝑅 𝑃) (𝑅 𝑄)))
12 simpr 484 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑃 𝑅) ≠ (𝑄 𝑅)) ∧ 𝑄 = 𝑅) → 𝑄 = 𝑅)
1312oveq2d 7430 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑃 𝑅) ≠ (𝑄 𝑅)) ∧ 𝑄 = 𝑅) → (𝑅 𝑄) = (𝑅 𝑅))
14 simpl1 1189 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑃 𝑅) ≠ (𝑄 𝑅)) ∧ 𝑄 = 𝑅) → 𝐾 ∈ HL)
15 simpl23 1251 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑃 𝑅) ≠ (𝑄 𝑅)) ∧ 𝑄 = 𝑅) → 𝑅𝐴)
164, 5hlatjidm 38778 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑅𝐴) → (𝑅 𝑅) = 𝑅)
1714, 15, 16syl2anc 583 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑃 𝑅) ≠ (𝑄 𝑅)) ∧ 𝑄 = 𝑅) → (𝑅 𝑅) = 𝑅)
1813, 17eqtrd 2767 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑃 𝑅) ≠ (𝑄 𝑅)) ∧ 𝑄 = 𝑅) → (𝑅 𝑄) = 𝑅)
1918oveq2d 7430 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑃 𝑅) ≠ (𝑄 𝑅)) ∧ 𝑄 = 𝑅) → ((𝑅 𝑃) (𝑅 𝑄)) = ((𝑅 𝑃) 𝑅))
20 2llnm.l . . . . . . . 8 = (le‘𝐾)
2120, 4, 5hlatlej1 38784 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑅𝐴𝑃𝐴) → 𝑅 (𝑅 𝑃))
221, 3, 2, 21syl3anc 1369 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑃 𝑅) ≠ (𝑄 𝑅)) → 𝑅 (𝑅 𝑃))
23 hllat 38772 . . . . . . . 8 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ Lat)
24233ad2ant1 1131 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑃 𝑅) ≠ (𝑄 𝑅)) → 𝐾 ∈ Lat)
25 eqid 2727 . . . . . . . . 9 (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
2625, 5atbase 38698 . . . . . . . 8 (𝑅𝐴𝑅 ∈ (Base‘𝐾))
273, 26syl 17 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑃 𝑅) ≠ (𝑄 𝑅)) → 𝑅 ∈ (Base‘𝐾))
2825, 4, 5hlatjcl 38776 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑅𝐴𝑃𝐴) → (𝑅 𝑃) ∈ (Base‘𝐾))
291, 3, 2, 28syl3anc 1369 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑃 𝑅) ≠ (𝑄 𝑅)) → (𝑅 𝑃) ∈ (Base‘𝐾))
30 2llnm.m . . . . . . . 8 = (meet‘𝐾)
3125, 20, 30latleeqm2 18451 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑅 ∈ (Base‘𝐾) ∧ (𝑅 𝑃) ∈ (Base‘𝐾)) → (𝑅 (𝑅 𝑃) ↔ ((𝑅 𝑃) 𝑅) = 𝑅))
3224, 27, 29, 31syl3anc 1369 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑃 𝑅) ≠ (𝑄 𝑅)) → (𝑅 (𝑅 𝑃) ↔ ((𝑅 𝑃) 𝑅) = 𝑅))
3322, 32mpbid 231 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑃 𝑅) ≠ (𝑄 𝑅)) → ((𝑅 𝑃) 𝑅) = 𝑅)
3433adantr 480 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑃 𝑅) ≠ (𝑄 𝑅)) ∧ 𝑄 = 𝑅) → ((𝑅 𝑃) 𝑅) = 𝑅)
3519, 34eqtrd 2767 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑃 𝑅) ≠ (𝑄 𝑅)) ∧ 𝑄 = 𝑅) → ((𝑅 𝑃) (𝑅 𝑄)) = 𝑅)
36 simpl1 1189 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑃 𝑅) ≠ (𝑄 𝑅)) ∧ 𝑄𝑅) → 𝐾 ∈ HL)
37 simpl21 1249 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑃 𝑅) ≠ (𝑄 𝑅)) ∧ 𝑄𝑅) → 𝑃𝐴)
38 simpl23 1251 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑃 𝑅) ≠ (𝑄 𝑅)) ∧ 𝑄𝑅) → 𝑅𝐴)
39 simpl22 1250 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑃 𝑅) ≠ (𝑄 𝑅)) ∧ 𝑄𝑅) → 𝑄𝐴)
40 simpl3 1191 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑃 𝑅) ≠ (𝑄 𝑅)) ∧ 𝑄𝑅) → (𝑃 𝑅) ≠ (𝑄 𝑅))
4120, 4, 5hlatlej2 38785 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑅𝐴) → 𝑅 (𝑃 𝑅))
421, 2, 3, 41syl3anc 1369 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑃 𝑅) ≠ (𝑄 𝑅)) → 𝑅 (𝑃 𝑅))
4325, 5atbase 38698 . . . . . . . . . . . 12 (𝑄𝐴𝑄 ∈ (Base‘𝐾))
448, 43syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑃 𝑅) ≠ (𝑄 𝑅)) → 𝑄 ∈ (Base‘𝐾))
4525, 4, 5hlatjcl 38776 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑅𝐴) → (𝑃 𝑅) ∈ (Base‘𝐾))
461, 2, 3, 45syl3anc 1369 . . . . . . . . . . 11 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑃 𝑅) ≠ (𝑄 𝑅)) → (𝑃 𝑅) ∈ (Base‘𝐾))
4725, 20, 4latjle12 18433 . . . . . . . . . . 11 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑄 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑅 ∈ (Base‘𝐾) ∧ (𝑃 𝑅) ∈ (Base‘𝐾))) → ((𝑄 (𝑃 𝑅) ∧ 𝑅 (𝑃 𝑅)) ↔ (𝑄 𝑅) (𝑃 𝑅)))
4824, 44, 27, 46, 47syl13anc 1370 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑃 𝑅) ≠ (𝑄 𝑅)) → ((𝑄 (𝑃 𝑅) ∧ 𝑅 (𝑃 𝑅)) ↔ (𝑄 𝑅) (𝑃 𝑅)))
4948biimpd 228 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑃 𝑅) ≠ (𝑄 𝑅)) → ((𝑄 (𝑃 𝑅) ∧ 𝑅 (𝑃 𝑅)) → (𝑄 𝑅) (𝑃 𝑅)))
5042, 49mpan2d 693 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑃 𝑅) ≠ (𝑄 𝑅)) → (𝑄 (𝑃 𝑅) → (𝑄 𝑅) (𝑃 𝑅)))
5150adantr 480 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑃 𝑅) ≠ (𝑄 𝑅)) ∧ 𝑄𝑅) → (𝑄 (𝑃 𝑅) → (𝑄 𝑅) (𝑃 𝑅)))
52 simpr 484 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑃 𝑅) ≠ (𝑄 𝑅)) ∧ 𝑄𝑅) → 𝑄𝑅)
5320, 4, 5ps-1 38887 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑄𝐴𝑅𝐴𝑄𝑅) ∧ (𝑃𝐴𝑅𝐴)) → ((𝑄 𝑅) (𝑃 𝑅) ↔ (𝑄 𝑅) = (𝑃 𝑅)))
5436, 39, 38, 52, 37, 38, 53syl132anc 1386 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑃 𝑅) ≠ (𝑄 𝑅)) ∧ 𝑄𝑅) → ((𝑄 𝑅) (𝑃 𝑅) ↔ (𝑄 𝑅) = (𝑃 𝑅)))
5554biimpd 228 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑃 𝑅) ≠ (𝑄 𝑅)) ∧ 𝑄𝑅) → ((𝑄 𝑅) (𝑃 𝑅) → (𝑄 𝑅) = (𝑃 𝑅)))
56 eqcom 2734 . . . . . . . 8 ((𝑄 𝑅) = (𝑃 𝑅) ↔ (𝑃 𝑅) = (𝑄 𝑅))
5755, 56imbitrdi 250 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑃 𝑅) ≠ (𝑄 𝑅)) ∧ 𝑄𝑅) → ((𝑄 𝑅) (𝑃 𝑅) → (𝑃 𝑅) = (𝑄 𝑅)))
5851, 57syld 47 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑃 𝑅) ≠ (𝑄 𝑅)) ∧ 𝑄𝑅) → (𝑄 (𝑃 𝑅) → (𝑃 𝑅) = (𝑄 𝑅)))
5958necon3ad 2948 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑃 𝑅) ≠ (𝑄 𝑅)) ∧ 𝑄𝑅) → ((𝑃 𝑅) ≠ (𝑄 𝑅) → ¬ 𝑄 (𝑃 𝑅)))
6040, 59mpd 15 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑃 𝑅) ≠ (𝑄 𝑅)) ∧ 𝑄𝑅) → ¬ 𝑄 (𝑃 𝑅))
6120, 4, 30, 52llnma1 39197 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑅𝐴𝑄𝐴) ∧ ¬ 𝑄 (𝑃 𝑅)) → ((𝑅 𝑃) (𝑅 𝑄)) = 𝑅)
6236, 37, 38, 39, 60, 61syl131anc 1381 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑃 𝑅) ≠ (𝑄 𝑅)) ∧ 𝑄𝑅) → ((𝑅 𝑃) (𝑅 𝑄)) = 𝑅)
6335, 62pm2.61dane 3024 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑃 𝑅) ≠ (𝑄 𝑅)) → ((𝑅 𝑃) (𝑅 𝑄)) = 𝑅)
6411, 63eqtrd 2767 1 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑃 𝑅) ≠ (𝑄 𝑅)) → ((𝑃 𝑅) (𝑄 𝑅)) = 𝑅)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 395  w3a 1085   = wceq 1534  wcel 2099  wne 2935   class class class wbr 5142  cfv 6542  (class class class)co 7414  Basecbs 17171  lecple 17231  joincjn 18294  meetcmee 18295  Latclat 18414  Atomscatm 38672  HLchlt 38759
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-rep 5279  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7734
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-ral 3057  df-rex 3066  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-id 5570  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-proset 18278  df-poset 18296  df-plt 18313  df-lub 18329  df-glb 18330  df-join 18331  df-meet 18332  df-p0 18408  df-lat 18415  df-clat 18482  df-oposet 38585  df-ol 38587  df-oml 38588  df-covers 38675  df-ats 38676  df-atl 38707  df-cvlat 38731  df-hlat 38760
This theorem is referenced by:  cdlemg9a  40042  cdlemg12a  40053
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