Theorem 2llnma3r 40164

Description: Two different intersecting lines (expressed in terms of atoms) meet at their common point (atom). (Contributed by NM, 30-Apr-2013.)

Hypotheses

Ref	Expression
2llnm.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
2llnm.j	⊢ ∨ = (join‘𝐾)
2llnm.m	⊢ ∧ = (meet‘𝐾)
2llnm.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
2llnma3r	⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑃 ∨ 𝑅) ≠ (𝑄 ∨ 𝑅)) → ((𝑃 ∨ 𝑅) ∧ (𝑄 ∨ 𝑅)) = 𝑅)

Proof of Theorem 2llnma3r

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1 1137	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑃 ∨ 𝑅) ≠ (𝑄 ∨ 𝑅)) → 𝐾 ∈ HL)
2		simp21 1208	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑃 ∨ 𝑅) ≠ (𝑄 ∨ 𝑅)) → 𝑃 ∈ 𝐴)
3		simp23 1210	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑃 ∨ 𝑅) ≠ (𝑄 ∨ 𝑅)) → 𝑅 ∈ 𝐴)
4		2llnm.j	. . . . 5 ⊢ ∨ = (join‘𝐾)
5		2llnm.a	. . . . 5 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
6	4, 5	hlatjcom 39744	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) → (𝑃 ∨ 𝑅) = (𝑅 ∨ 𝑃))
7	1, 2, 3, 6	syl3anc 1374	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑃 ∨ 𝑅) ≠ (𝑄 ∨ 𝑅)) → (𝑃 ∨ 𝑅) = (𝑅 ∨ 𝑃))
8		simp22 1209	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑃 ∨ 𝑅) ≠ (𝑄 ∨ 𝑅)) → 𝑄 ∈ 𝐴)
9	4, 5	hlatjcom 39744	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) → (𝑄 ∨ 𝑅) = (𝑅 ∨ 𝑄))
10	1, 8, 3, 9	syl3anc 1374	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑃 ∨ 𝑅) ≠ (𝑄 ∨ 𝑅)) → (𝑄 ∨ 𝑅) = (𝑅 ∨ 𝑄))
11	7, 10	oveq12d 7386	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑃 ∨ 𝑅) ≠ (𝑄 ∨ 𝑅)) → ((𝑃 ∨ 𝑅) ∧ (𝑄 ∨ 𝑅)) = ((𝑅 ∨ 𝑃) ∧ (𝑅 ∨ 𝑄)))
12		simpr 484	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑃 ∨ 𝑅) ≠ (𝑄 ∨ 𝑅)) ∧ 𝑄 = 𝑅) → 𝑄 = 𝑅)
13	12	oveq2d 7384	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑃 ∨ 𝑅) ≠ (𝑄 ∨ 𝑅)) ∧ 𝑄 = 𝑅) → (𝑅 ∨ 𝑄) = (𝑅 ∨ 𝑅))
14		simpl1 1193	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑃 ∨ 𝑅) ≠ (𝑄 ∨ 𝑅)) ∧ 𝑄 = 𝑅) → 𝐾 ∈ HL)
15		simpl23 1255	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑃 ∨ 𝑅) ≠ (𝑄 ∨ 𝑅)) ∧ 𝑄 = 𝑅) → 𝑅 ∈ 𝐴)
16	4, 5	hlatjidm 39745	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) → (𝑅 ∨ 𝑅) = 𝑅)
17	14, 15, 16	syl2anc 585	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑃 ∨ 𝑅) ≠ (𝑄 ∨ 𝑅)) ∧ 𝑄 = 𝑅) → (𝑅 ∨ 𝑅) = 𝑅)
18	13, 17	eqtrd 2772	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑃 ∨ 𝑅) ≠ (𝑄 ∨ 𝑅)) ∧ 𝑄 = 𝑅) → (𝑅 ∨ 𝑄) = 𝑅)
19	18	oveq2d 7384	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑃 ∨ 𝑅) ≠ (𝑄 ∨ 𝑅)) ∧ 𝑄 = 𝑅) → ((𝑅 ∨ 𝑃) ∧ (𝑅 ∨ 𝑄)) = ((𝑅 ∨ 𝑃) ∧ 𝑅))
20		2llnm.l	. . . . . . . 8 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
21	20, 4, 5	hlatlej1 39751	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) → 𝑅 ≤ (𝑅 ∨ 𝑃))
22	1, 3, 2, 21	syl3anc 1374	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑃 ∨ 𝑅) ≠ (𝑄 ∨ 𝑅)) → 𝑅 ≤ (𝑅 ∨ 𝑃))
23		hllat 39739	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ Lat)
24	23	3ad2ant1 1134	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑃 ∨ 𝑅) ≠ (𝑄 ∨ 𝑅)) → 𝐾 ∈ Lat)
25		eqid 2737	. . . . . . . . 9 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
26	25, 5	atbase 39665	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ 𝐴 → 𝑅 ∈ (Base‘𝐾))
27	3, 26	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑃 ∨ 𝑅) ≠ (𝑄 ∨ 𝑅)) → 𝑅 ∈ (Base‘𝐾))
28	25, 4, 5	hlatjcl 39743	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) → (𝑅 ∨ 𝑃) ∈ (Base‘𝐾))
29	1, 3, 2, 28	syl3anc 1374	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑃 ∨ 𝑅) ≠ (𝑄 ∨ 𝑅)) → (𝑅 ∨ 𝑃) ∈ (Base‘𝐾))
30		2llnm.m	. . . . . . . 8 ⊢ ∧ = (meet‘𝐾)
31	25, 20, 30	latleeqm2 18403	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑅 ∈ (Base‘𝐾) ∧ (𝑅 ∨ 𝑃) ∈ (Base‘𝐾)) → (𝑅 ≤ (𝑅 ∨ 𝑃) ↔ ((𝑅 ∨ 𝑃) ∧ 𝑅) = 𝑅))
32	24, 27, 29, 31	syl3anc 1374	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑃 ∨ 𝑅) ≠ (𝑄 ∨ 𝑅)) → (𝑅 ≤ (𝑅 ∨ 𝑃) ↔ ((𝑅 ∨ 𝑃) ∧ 𝑅) = 𝑅))
33	22, 32	mpbid 232	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑃 ∨ 𝑅) ≠ (𝑄 ∨ 𝑅)) → ((𝑅 ∨ 𝑃) ∧ 𝑅) = 𝑅)
34	33	adantr 480	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑃 ∨ 𝑅) ≠ (𝑄 ∨ 𝑅)) ∧ 𝑄 = 𝑅) → ((𝑅 ∨ 𝑃) ∧ 𝑅) = 𝑅)
35	19, 34	eqtrd 2772	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑃 ∨ 𝑅) ≠ (𝑄 ∨ 𝑅)) ∧ 𝑄 = 𝑅) → ((𝑅 ∨ 𝑃) ∧ (𝑅 ∨ 𝑄)) = 𝑅)
36		simpl1 1193	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑃 ∨ 𝑅) ≠ (𝑄 ∨ 𝑅)) ∧ 𝑄 ≠ 𝑅) → 𝐾 ∈ HL)
37		simpl21 1253	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑃 ∨ 𝑅) ≠ (𝑄 ∨ 𝑅)) ∧ 𝑄 ≠ 𝑅) → 𝑃 ∈ 𝐴)
38		simpl23 1255	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑃 ∨ 𝑅) ≠ (𝑄 ∨ 𝑅)) ∧ 𝑄 ≠ 𝑅) → 𝑅 ∈ 𝐴)
39		simpl22 1254	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑃 ∨ 𝑅) ≠ (𝑄 ∨ 𝑅)) ∧ 𝑄 ≠ 𝑅) → 𝑄 ∈ 𝐴)
40		simpl3 1195	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑃 ∨ 𝑅) ≠ (𝑄 ∨ 𝑅)) ∧ 𝑄 ≠ 𝑅) → (𝑃 ∨ 𝑅) ≠ (𝑄 ∨ 𝑅))
41	20, 4, 5	hlatlej2 39752	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) → 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑅))
42	1, 2, 3, 41	syl3anc 1374	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑃 ∨ 𝑅) ≠ (𝑄 ∨ 𝑅)) → 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑅))
43	25, 5	atbase 39665	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑄 ∈ 𝐴 → 𝑄 ∈ (Base‘𝐾))
44	8, 43	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑃 ∨ 𝑅) ≠ (𝑄 ∨ 𝑅)) → 𝑄 ∈ (Base‘𝐾))
45	25, 4, 5	hlatjcl 39743	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) → (𝑃 ∨ 𝑅) ∈ (Base‘𝐾))
46	1, 2, 3, 45	syl3anc 1374	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑃 ∨ 𝑅) ≠ (𝑄 ∨ 𝑅)) → (𝑃 ∨ 𝑅) ∈ (Base‘𝐾))
47	25, 20, 4	latjle12 18385	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑄 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑅 ∈ (Base‘𝐾) ∧ (𝑃 ∨ 𝑅) ∈ (Base‘𝐾))) → ((𝑄 ≤ (𝑃 ∨ 𝑅) ∧ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑅)) ↔ (𝑄 ∨ 𝑅) ≤ (𝑃 ∨ 𝑅)))
48	24, 44, 27, 46, 47	syl13anc 1375	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑃 ∨ 𝑅) ≠ (𝑄 ∨ 𝑅)) → ((𝑄 ≤ (𝑃 ∨ 𝑅) ∧ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑅)) ↔ (𝑄 ∨ 𝑅) ≤ (𝑃 ∨ 𝑅)))
49	48	biimpd 229	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑃 ∨ 𝑅) ≠ (𝑄 ∨ 𝑅)) → ((𝑄 ≤ (𝑃 ∨ 𝑅) ∧ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑅)) → (𝑄 ∨ 𝑅) ≤ (𝑃 ∨ 𝑅)))
50	42, 49	mpan2d 695	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑃 ∨ 𝑅) ≠ (𝑄 ∨ 𝑅)) → (𝑄 ≤ (𝑃 ∨ 𝑅) → (𝑄 ∨ 𝑅) ≤ (𝑃 ∨ 𝑅)))
51	50	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑃 ∨ 𝑅) ≠ (𝑄 ∨ 𝑅)) ∧ 𝑄 ≠ 𝑅) → (𝑄 ≤ (𝑃 ∨ 𝑅) → (𝑄 ∨ 𝑅) ≤ (𝑃 ∨ 𝑅)))
52		simpr 484	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑃 ∨ 𝑅) ≠ (𝑄 ∨ 𝑅)) ∧ 𝑄 ≠ 𝑅) → 𝑄 ≠ 𝑅)
53	20, 4, 5	ps-1 39853	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ≠ 𝑅) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴)) → ((𝑄 ∨ 𝑅) ≤ (𝑃 ∨ 𝑅) ↔ (𝑄 ∨ 𝑅) = (𝑃 ∨ 𝑅)))
54	36, 39, 38, 52, 37, 38, 53	syl132anc 1391	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑃 ∨ 𝑅) ≠ (𝑄 ∨ 𝑅)) ∧ 𝑄 ≠ 𝑅) → ((𝑄 ∨ 𝑅) ≤ (𝑃 ∨ 𝑅) ↔ (𝑄 ∨ 𝑅) = (𝑃 ∨ 𝑅)))
55	54	biimpd 229	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑃 ∨ 𝑅) ≠ (𝑄 ∨ 𝑅)) ∧ 𝑄 ≠ 𝑅) → ((𝑄 ∨ 𝑅) ≤ (𝑃 ∨ 𝑅) → (𝑄 ∨ 𝑅) = (𝑃 ∨ 𝑅)))
56		eqcom 2744	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑄 ∨ 𝑅) = (𝑃 ∨ 𝑅) ↔ (𝑃 ∨ 𝑅) = (𝑄 ∨ 𝑅))
57	55, 56	imbitrdi 251	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑃 ∨ 𝑅) ≠ (𝑄 ∨ 𝑅)) ∧ 𝑄 ≠ 𝑅) → ((𝑄 ∨ 𝑅) ≤ (𝑃 ∨ 𝑅) → (𝑃 ∨ 𝑅) = (𝑄 ∨ 𝑅)))
58	51, 57	syld 47	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑃 ∨ 𝑅) ≠ (𝑄 ∨ 𝑅)) ∧ 𝑄 ≠ 𝑅) → (𝑄 ≤ (𝑃 ∨ 𝑅) → (𝑃 ∨ 𝑅) = (𝑄 ∨ 𝑅)))
59	58	necon3ad 2946	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑃 ∨ 𝑅) ≠ (𝑄 ∨ 𝑅)) ∧ 𝑄 ≠ 𝑅) → ((𝑃 ∨ 𝑅) ≠ (𝑄 ∨ 𝑅) → ¬ 𝑄 ≤ (𝑃 ∨ 𝑅)))
60	40, 59	mpd 15	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑃 ∨ 𝑅) ≠ (𝑄 ∨ 𝑅)) ∧ 𝑄 ≠ 𝑅) → ¬ 𝑄 ≤ (𝑃 ∨ 𝑅))
61	20, 4, 30, 5	2llnma1 40163	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ ¬ 𝑄 ≤ (𝑃 ∨ 𝑅)) → ((𝑅 ∨ 𝑃) ∧ (𝑅 ∨ 𝑄)) = 𝑅)
62	36, 37, 38, 39, 60, 61	syl131anc 1386	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑃 ∨ 𝑅) ≠ (𝑄 ∨ 𝑅)) ∧ 𝑄 ≠ 𝑅) → ((𝑅 ∨ 𝑃) ∧ (𝑅 ∨ 𝑄)) = 𝑅)
63	35, 62	pm2.61dane 3020	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑃 ∨ 𝑅) ≠ (𝑄 ∨ 𝑅)) → ((𝑅 ∨ 𝑃) ∧ (𝑅 ∨ 𝑄)) = 𝑅)
64	11, 63	eqtrd 2772	1 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑃 ∨ 𝑅) ≠ (𝑄 ∨ 𝑅)) → ((𝑃 ∨ 𝑅) ∧ (𝑄 ∨ 𝑅)) = 𝑅)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933   class class class wbr 5100  ‘cfv 6500  (class class class)co 7368  Basecbs 17148  lecple 17196  joincjn 18246  meetcmee 18247  Latclat 18366  Atomscatm 39639  HLchlt 39726

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5226  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-iun 4950  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-id 5527  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7325  df-ov 7371  df-oprab 7372  df-proset 18229  df-poset 18248  df-plt 18263  df-lub 18279  df-glb 18280  df-join 18281  df-meet 18282  df-p0 18358  df-lat 18367  df-clat 18434  df-oposet 39552  df-ol 39554  df-oml 39555  df-covers 39642  df-ats 39643  df-atl 39674  df-cvlat 39698  df-hlat 39727

This theorem is referenced by:  cdlemg9a  41008  cdlemg12a  41019