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Theorem 2llnma3r 38659
Description: Two different intersecting lines (expressed in terms of atoms) meet at their common point (atom). (Contributed by NM, 30-Apr-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
2llnm.l ≀ = (leβ€˜πΎ)
2llnm.j ∨ = (joinβ€˜πΎ)
2llnm.m ∧ = (meetβ€˜πΎ)
2llnm.a 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
Assertion
Ref Expression
2llnma3r ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑃 ∨ 𝑅) β‰  (𝑄 ∨ 𝑅)) β†’ ((𝑃 ∨ 𝑅) ∧ (𝑄 ∨ 𝑅)) = 𝑅)

Proof of Theorem 2llnma3r
StepHypRef Expression
1 simp1 1137 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑃 ∨ 𝑅) β‰  (𝑄 ∨ 𝑅)) β†’ 𝐾 ∈ HL)
2 simp21 1207 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑃 ∨ 𝑅) β‰  (𝑄 ∨ 𝑅)) β†’ 𝑃 ∈ 𝐴)
3 simp23 1209 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑃 ∨ 𝑅) β‰  (𝑄 ∨ 𝑅)) β†’ 𝑅 ∈ 𝐴)
4 2llnm.j . . . . 5 ∨ = (joinβ€˜πΎ)
5 2llnm.a . . . . 5 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
64, 5hlatjcom 38238 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) β†’ (𝑃 ∨ 𝑅) = (𝑅 ∨ 𝑃))
71, 2, 3, 6syl3anc 1372 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑃 ∨ 𝑅) β‰  (𝑄 ∨ 𝑅)) β†’ (𝑃 ∨ 𝑅) = (𝑅 ∨ 𝑃))
8 simp22 1208 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑃 ∨ 𝑅) β‰  (𝑄 ∨ 𝑅)) β†’ 𝑄 ∈ 𝐴)
94, 5hlatjcom 38238 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) β†’ (𝑄 ∨ 𝑅) = (𝑅 ∨ 𝑄))
101, 8, 3, 9syl3anc 1372 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑃 ∨ 𝑅) β‰  (𝑄 ∨ 𝑅)) β†’ (𝑄 ∨ 𝑅) = (𝑅 ∨ 𝑄))
117, 10oveq12d 7427 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑃 ∨ 𝑅) β‰  (𝑄 ∨ 𝑅)) β†’ ((𝑃 ∨ 𝑅) ∧ (𝑄 ∨ 𝑅)) = ((𝑅 ∨ 𝑃) ∧ (𝑅 ∨ 𝑄)))
12 simpr 486 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑃 ∨ 𝑅) β‰  (𝑄 ∨ 𝑅)) ∧ 𝑄 = 𝑅) β†’ 𝑄 = 𝑅)
1312oveq2d 7425 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑃 ∨ 𝑅) β‰  (𝑄 ∨ 𝑅)) ∧ 𝑄 = 𝑅) β†’ (𝑅 ∨ 𝑄) = (𝑅 ∨ 𝑅))
14 simpl1 1192 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑃 ∨ 𝑅) β‰  (𝑄 ∨ 𝑅)) ∧ 𝑄 = 𝑅) β†’ 𝐾 ∈ HL)
15 simpl23 1254 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑃 ∨ 𝑅) β‰  (𝑄 ∨ 𝑅)) ∧ 𝑄 = 𝑅) β†’ 𝑅 ∈ 𝐴)
164, 5hlatjidm 38239 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) β†’ (𝑅 ∨ 𝑅) = 𝑅)
1714, 15, 16syl2anc 585 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑃 ∨ 𝑅) β‰  (𝑄 ∨ 𝑅)) ∧ 𝑄 = 𝑅) β†’ (𝑅 ∨ 𝑅) = 𝑅)
1813, 17eqtrd 2773 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑃 ∨ 𝑅) β‰  (𝑄 ∨ 𝑅)) ∧ 𝑄 = 𝑅) β†’ (𝑅 ∨ 𝑄) = 𝑅)
1918oveq2d 7425 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑃 ∨ 𝑅) β‰  (𝑄 ∨ 𝑅)) ∧ 𝑄 = 𝑅) β†’ ((𝑅 ∨ 𝑃) ∧ (𝑅 ∨ 𝑄)) = ((𝑅 ∨ 𝑃) ∧ 𝑅))
20 2llnm.l . . . . . . . 8 ≀ = (leβ€˜πΎ)
2120, 4, 5hlatlej1 38245 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) β†’ 𝑅 ≀ (𝑅 ∨ 𝑃))
221, 3, 2, 21syl3anc 1372 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑃 ∨ 𝑅) β‰  (𝑄 ∨ 𝑅)) β†’ 𝑅 ≀ (𝑅 ∨ 𝑃))
23 hllat 38233 . . . . . . . 8 (𝐾 ∈ HL β†’ 𝐾 ∈ Lat)
24233ad2ant1 1134 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑃 ∨ 𝑅) β‰  (𝑄 ∨ 𝑅)) β†’ 𝐾 ∈ Lat)
25 eqid 2733 . . . . . . . . 9 (Baseβ€˜πΎ) = (Baseβ€˜πΎ)
2625, 5atbase 38159 . . . . . . . 8 (𝑅 ∈ 𝐴 β†’ 𝑅 ∈ (Baseβ€˜πΎ))
273, 26syl 17 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑃 ∨ 𝑅) β‰  (𝑄 ∨ 𝑅)) β†’ 𝑅 ∈ (Baseβ€˜πΎ))
2825, 4, 5hlatjcl 38237 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) β†’ (𝑅 ∨ 𝑃) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
291, 3, 2, 28syl3anc 1372 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑃 ∨ 𝑅) β‰  (𝑄 ∨ 𝑅)) β†’ (𝑅 ∨ 𝑃) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
30 2llnm.m . . . . . . . 8 ∧ = (meetβ€˜πΎ)
3125, 20, 30latleeqm2 18421 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑅 ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ (𝑅 ∨ 𝑃) ∈ (Baseβ€˜πΎ)) β†’ (𝑅 ≀ (𝑅 ∨ 𝑃) ↔ ((𝑅 ∨ 𝑃) ∧ 𝑅) = 𝑅))
3224, 27, 29, 31syl3anc 1372 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑃 ∨ 𝑅) β‰  (𝑄 ∨ 𝑅)) β†’ (𝑅 ≀ (𝑅 ∨ 𝑃) ↔ ((𝑅 ∨ 𝑃) ∧ 𝑅) = 𝑅))
3322, 32mpbid 231 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑃 ∨ 𝑅) β‰  (𝑄 ∨ 𝑅)) β†’ ((𝑅 ∨ 𝑃) ∧ 𝑅) = 𝑅)
3433adantr 482 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑃 ∨ 𝑅) β‰  (𝑄 ∨ 𝑅)) ∧ 𝑄 = 𝑅) β†’ ((𝑅 ∨ 𝑃) ∧ 𝑅) = 𝑅)
3519, 34eqtrd 2773 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑃 ∨ 𝑅) β‰  (𝑄 ∨ 𝑅)) ∧ 𝑄 = 𝑅) β†’ ((𝑅 ∨ 𝑃) ∧ (𝑅 ∨ 𝑄)) = 𝑅)
36 simpl1 1192 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑃 ∨ 𝑅) β‰  (𝑄 ∨ 𝑅)) ∧ 𝑄 β‰  𝑅) β†’ 𝐾 ∈ HL)
37 simpl21 1252 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑃 ∨ 𝑅) β‰  (𝑄 ∨ 𝑅)) ∧ 𝑄 β‰  𝑅) β†’ 𝑃 ∈ 𝐴)
38 simpl23 1254 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑃 ∨ 𝑅) β‰  (𝑄 ∨ 𝑅)) ∧ 𝑄 β‰  𝑅) β†’ 𝑅 ∈ 𝐴)
39 simpl22 1253 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑃 ∨ 𝑅) β‰  (𝑄 ∨ 𝑅)) ∧ 𝑄 β‰  𝑅) β†’ 𝑄 ∈ 𝐴)
40 simpl3 1194 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑃 ∨ 𝑅) β‰  (𝑄 ∨ 𝑅)) ∧ 𝑄 β‰  𝑅) β†’ (𝑃 ∨ 𝑅) β‰  (𝑄 ∨ 𝑅))
4120, 4, 5hlatlej2 38246 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) β†’ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑅))
421, 2, 3, 41syl3anc 1372 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑃 ∨ 𝑅) β‰  (𝑄 ∨ 𝑅)) β†’ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑅))
4325, 5atbase 38159 . . . . . . . . . . . 12 (𝑄 ∈ 𝐴 β†’ 𝑄 ∈ (Baseβ€˜πΎ))
448, 43syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑃 ∨ 𝑅) β‰  (𝑄 ∨ 𝑅)) β†’ 𝑄 ∈ (Baseβ€˜πΎ))
4525, 4, 5hlatjcl 38237 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) β†’ (𝑃 ∨ 𝑅) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
461, 2, 3, 45syl3anc 1372 . . . . . . . . . . 11 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑃 ∨ 𝑅) β‰  (𝑄 ∨ 𝑅)) β†’ (𝑃 ∨ 𝑅) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
4725, 20, 4latjle12 18403 . . . . . . . . . . 11 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑄 ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ 𝑅 ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ (𝑃 ∨ 𝑅) ∈ (Baseβ€˜πΎ))) β†’ ((𝑄 ≀ (𝑃 ∨ 𝑅) ∧ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑅)) ↔ (𝑄 ∨ 𝑅) ≀ (𝑃 ∨ 𝑅)))
4824, 44, 27, 46, 47syl13anc 1373 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑃 ∨ 𝑅) β‰  (𝑄 ∨ 𝑅)) β†’ ((𝑄 ≀ (𝑃 ∨ 𝑅) ∧ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑅)) ↔ (𝑄 ∨ 𝑅) ≀ (𝑃 ∨ 𝑅)))
4948biimpd 228 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑃 ∨ 𝑅) β‰  (𝑄 ∨ 𝑅)) β†’ ((𝑄 ≀ (𝑃 ∨ 𝑅) ∧ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑅)) β†’ (𝑄 ∨ 𝑅) ≀ (𝑃 ∨ 𝑅)))
5042, 49mpan2d 693 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑃 ∨ 𝑅) β‰  (𝑄 ∨ 𝑅)) β†’ (𝑄 ≀ (𝑃 ∨ 𝑅) β†’ (𝑄 ∨ 𝑅) ≀ (𝑃 ∨ 𝑅)))
5150adantr 482 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑃 ∨ 𝑅) β‰  (𝑄 ∨ 𝑅)) ∧ 𝑄 β‰  𝑅) β†’ (𝑄 ≀ (𝑃 ∨ 𝑅) β†’ (𝑄 ∨ 𝑅) ≀ (𝑃 ∨ 𝑅)))
52 simpr 486 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑃 ∨ 𝑅) β‰  (𝑄 ∨ 𝑅)) ∧ 𝑄 β‰  𝑅) β†’ 𝑄 β‰  𝑅)
5320, 4, 5ps-1 38348 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 β‰  𝑅) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴)) β†’ ((𝑄 ∨ 𝑅) ≀ (𝑃 ∨ 𝑅) ↔ (𝑄 ∨ 𝑅) = (𝑃 ∨ 𝑅)))
5436, 39, 38, 52, 37, 38, 53syl132anc 1389 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑃 ∨ 𝑅) β‰  (𝑄 ∨ 𝑅)) ∧ 𝑄 β‰  𝑅) β†’ ((𝑄 ∨ 𝑅) ≀ (𝑃 ∨ 𝑅) ↔ (𝑄 ∨ 𝑅) = (𝑃 ∨ 𝑅)))
5554biimpd 228 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑃 ∨ 𝑅) β‰  (𝑄 ∨ 𝑅)) ∧ 𝑄 β‰  𝑅) β†’ ((𝑄 ∨ 𝑅) ≀ (𝑃 ∨ 𝑅) β†’ (𝑄 ∨ 𝑅) = (𝑃 ∨ 𝑅)))
56 eqcom 2740 . . . . . . . 8 ((𝑄 ∨ 𝑅) = (𝑃 ∨ 𝑅) ↔ (𝑃 ∨ 𝑅) = (𝑄 ∨ 𝑅))
5755, 56imbitrdi 250 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑃 ∨ 𝑅) β‰  (𝑄 ∨ 𝑅)) ∧ 𝑄 β‰  𝑅) β†’ ((𝑄 ∨ 𝑅) ≀ (𝑃 ∨ 𝑅) β†’ (𝑃 ∨ 𝑅) = (𝑄 ∨ 𝑅)))
5851, 57syld 47 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑃 ∨ 𝑅) β‰  (𝑄 ∨ 𝑅)) ∧ 𝑄 β‰  𝑅) β†’ (𝑄 ≀ (𝑃 ∨ 𝑅) β†’ (𝑃 ∨ 𝑅) = (𝑄 ∨ 𝑅)))
5958necon3ad 2954 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑃 ∨ 𝑅) β‰  (𝑄 ∨ 𝑅)) ∧ 𝑄 β‰  𝑅) β†’ ((𝑃 ∨ 𝑅) β‰  (𝑄 ∨ 𝑅) β†’ Β¬ 𝑄 ≀ (𝑃 ∨ 𝑅)))
6040, 59mpd 15 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑃 ∨ 𝑅) β‰  (𝑄 ∨ 𝑅)) ∧ 𝑄 β‰  𝑅) β†’ Β¬ 𝑄 ≀ (𝑃 ∨ 𝑅))
6120, 4, 30, 52llnma1 38658 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ Β¬ 𝑄 ≀ (𝑃 ∨ 𝑅)) β†’ ((𝑅 ∨ 𝑃) ∧ (𝑅 ∨ 𝑄)) = 𝑅)
6236, 37, 38, 39, 60, 61syl131anc 1384 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑃 ∨ 𝑅) β‰  (𝑄 ∨ 𝑅)) ∧ 𝑄 β‰  𝑅) β†’ ((𝑅 ∨ 𝑃) ∧ (𝑅 ∨ 𝑄)) = 𝑅)
6335, 62pm2.61dane 3030 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑃 ∨ 𝑅) β‰  (𝑄 ∨ 𝑅)) β†’ ((𝑅 ∨ 𝑃) ∧ (𝑅 ∨ 𝑄)) = 𝑅)
6411, 63eqtrd 2773 1 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑃 ∨ 𝑅) β‰  (𝑄 ∨ 𝑅)) β†’ ((𝑃 ∨ 𝑅) ∧ (𝑄 ∨ 𝑅)) = 𝑅)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2941   class class class wbr 5149  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7409  Basecbs 17144  lecple 17204  joincjn 18264  meetcmee 18265  Latclat 18384  Atomscatm 38133  HLchlt 38220
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-id 5575  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-proset 18248  df-poset 18266  df-plt 18283  df-lub 18299  df-glb 18300  df-join 18301  df-meet 18302  df-p0 18378  df-lat 18385  df-clat 18452  df-oposet 38046  df-ol 38048  df-oml 38049  df-covers 38136  df-ats 38137  df-atl 38168  df-cvlat 38192  df-hlat 38221
This theorem is referenced by:  cdlemg9a  39503  cdlemg12a  39514
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