Theorem cdlemg43 41429

Description: Part of proof of Lemma G of [Crawley] p. 116, third line of third paragraph on p. 117. (Contributed by NM, 3-Jun-2013.)

Hypotheses

Ref	Expression
cdlemg42.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
cdlemg42.j	⊢ ∨ = (join‘𝐾)
cdlemg42.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
cdlemg42.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
cdlemg42.t	⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
cdlemg42.r	⊢ 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
cdlemg42.m	⊢ ∧ = (meet‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
cdlemg43	⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝐺‘𝑃) ≠ 𝑃 ∧ (𝑅‘𝐹) ≠ (𝑅‘𝐺))) → (𝐹‘(𝐺‘𝑃)) = (((𝐺‘𝑃) ∨ (𝑅‘𝐹)) ∧ ((𝐹‘𝑃) ∨ (𝑅‘𝐺))))

Proof of Theorem cdlemg43

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1 1152	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝐺‘𝑃) ≠ 𝑃 ∧ (𝑅‘𝐹) ≠ (𝑅‘𝐺))) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
2		simp2l 1216	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝐺‘𝑃) ≠ 𝑃 ∧ (𝑅‘𝐹) ≠ (𝑅‘𝐺))) → 𝐹 ∈ 𝑇)
3		simp31 1226	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝐺‘𝑃) ≠ 𝑃 ∧ (𝑅‘𝐹) ≠ (𝑅‘𝐺))) → (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊))
4		simp2r 1217	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝐺‘𝑃) ≠ 𝑃 ∧ (𝑅‘𝐹) ≠ (𝑅‘𝐺))) → 𝐺 ∈ 𝑇)
5		cdlemg42.l	. . . . 5 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
6		cdlemg42.a	. . . . 5 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
7		cdlemg42.h	. . . . 5 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
8		cdlemg42.t	. . . . 5 ⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
9	5, 6, 7, 8	ltrnel 40838	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) → ((𝐺‘𝑃) ∈ 𝐴 ∧ ¬ (𝐺‘𝑃) ≤ 𝑊))
10	1, 4, 3, 9	syl3anc 1396	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝐺‘𝑃) ≠ 𝑃 ∧ (𝑅‘𝐹) ≠ (𝑅‘𝐺))) → ((𝐺‘𝑃) ∈ 𝐴 ∧ ¬ (𝐺‘𝑃) ≤ 𝑊))
11		cdlemg42.j	. . . 4 ⊢ ∨ = (join‘𝐾)
12		cdlemg42.r	. . . 4 ⊢ 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
13	5, 11, 6, 7, 8, 12	cdlemg42 41428	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝐺‘𝑃) ≠ 𝑃 ∧ (𝑅‘𝐹) ≠ (𝑅‘𝐺))) → ¬ (𝐺‘𝑃) ≤ (𝑃 ∨ (𝐹‘𝑃)))
14		cdlemg42.m	. . . 4 ⊢ ∧ = (meet‘𝐾)
15	5, 11, 14, 6, 7, 8, 12	cdlemc 40896	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ ((𝐺‘𝑃) ∈ 𝐴 ∧ ¬ (𝐺‘𝑃) ≤ 𝑊)) ∧ ¬ (𝐺‘𝑃) ≤ (𝑃 ∨ (𝐹‘𝑃))) → (𝐹‘(𝐺‘𝑃)) = (((𝐺‘𝑃) ∨ (𝑅‘𝐹)) ∧ ((𝐹‘𝑃) ∨ ((𝑃 ∨ (𝐺‘𝑃)) ∧ 𝑊))))
16	1, 2, 3, 10, 13, 15	syl131anc 1408	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝐺‘𝑃) ≠ 𝑃 ∧ (𝑅‘𝐹) ≠ (𝑅‘𝐺))) → (𝐹‘(𝐺‘𝑃)) = (((𝐺‘𝑃) ∨ (𝑅‘𝐹)) ∧ ((𝐹‘𝑃) ∨ ((𝑃 ∨ (𝐺‘𝑃)) ∧ 𝑊))))
17	5, 11, 14, 6, 7, 8, 12	trlval2 40862	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) → (𝑅‘𝐺) = ((𝑃 ∨ (𝐺‘𝑃)) ∧ 𝑊))
18	1, 4, 3, 17	syl3anc 1396	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝐺‘𝑃) ≠ 𝑃 ∧ (𝑅‘𝐹) ≠ (𝑅‘𝐺))) → (𝑅‘𝐺) = ((𝑃 ∨ (𝐺‘𝑃)) ∧ 𝑊))
19	18	oveq2d 7427	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝐺‘𝑃) ≠ 𝑃 ∧ (𝑅‘𝐹) ≠ (𝑅‘𝐺))) → ((𝐹‘𝑃) ∨ (𝑅‘𝐺)) = ((𝐹‘𝑃) ∨ ((𝑃 ∨ (𝐺‘𝑃)) ∧ 𝑊)))
20	19	oveq2d 7427	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝐺‘𝑃) ≠ 𝑃 ∧ (𝑅‘𝐹) ≠ (𝑅‘𝐺))) → (((𝐺‘𝑃) ∨ (𝑅‘𝐹)) ∧ ((𝐹‘𝑃) ∨ (𝑅‘𝐺))) = (((𝐺‘𝑃) ∨ (𝑅‘𝐹)) ∧ ((𝐹‘𝑃) ∨ ((𝑃 ∨ (𝐺‘𝑃)) ∧ 𝑊))))
21	16, 20	eqtr4d 2807	1 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝐺‘𝑃) ≠ 𝑃 ∧ (𝑅‘𝐹) ≠ (𝑅‘𝐺))) → (𝐹‘(𝐺‘𝑃)) = (((𝐺‘𝑃) ∨ (𝑅‘𝐹)) ∧ ((𝐹‘𝑃) ∨ (𝑅‘𝐺))))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 400   ∧ w3a 1101   = wceq 1567   ∈ wcel 2149   ≠ wne 2964   class class class wbr 5111  ‘cfv 6537  (class class class)co 7411  lecple 17317  joincjn 18367  meetcmee 18368  Atomscatm 39962  HLchlt 40049  LHypclh 40683  LTrncltrn 40800  trLctrl 40857

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-rep 5240  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5337  ax-pr 5405  ax-un 7733

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3423  df-v 3463  df-sbc 3752  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-nul 4293  df-if 4491  df-pw 4567  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-iun 4960  df-iin 4961  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-id 5557  df-xp 5668  df-rel 5669  df-cnv 5670  df-co 5671  df-dm 5672  df-rn 5673  df-res 5674  df-ima 5675  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7368  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-1st 7986  df-2nd 7987  df-map 8826  df-proset 18350  df-poset 18369  df-plt 18384  df-lub 18400  df-glb 18401  df-join 18402  df-meet 18403  df-p0 18479  df-p1 18480  df-lat 18488  df-clat 18555  df-oposet 39875  df-ol 39877  df-oml 39878  df-covers 39965  df-ats 39966  df-atl 39997  df-cvlat 40021  df-hlat 40050  df-llines 40197  df-psubsp 40202  df-pmap 40203  df-padd 40495  df-lhyp 40687  df-laut 40688  df-ldil 40803  df-ltrn 40804  df-trl 40858

This theorem is referenced by:  cdlemg44a  41430