Step | Hyp | Ref
| Expression |
1 | | simp1 1137 |
. . 3
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (πΉ β π β§ πΊ β π) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (πΊβπ) β π β§ (π
βπΉ) β (π
βπΊ))) β (πΎ β HL β§ π β π»)) |
2 | | simp2l 1200 |
. . 3
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (πΉ β π β§ πΊ β π) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (πΊβπ) β π β§ (π
βπΉ) β (π
βπΊ))) β πΉ β π) |
3 | | simp31 1210 |
. . 3
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (πΉ β π β§ πΊ β π) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (πΊβπ) β π β§ (π
βπΉ) β (π
βπΊ))) β (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) |
4 | | simp2r 1201 |
. . . 4
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (πΉ β π β§ πΊ β π) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (πΊβπ) β π β§ (π
βπΉ) β (π
βπΊ))) β πΊ β π) |
5 | | cdlemg42.l |
. . . . 5
β’ β€ =
(leβπΎ) |
6 | | cdlemg42.a |
. . . . 5
β’ π΄ = (AtomsβπΎ) |
7 | | cdlemg42.h |
. . . . 5
β’ π» = (LHypβπΎ) |
8 | | cdlemg42.t |
. . . . 5
β’ π = ((LTrnβπΎ)βπ) |
9 | 5, 6, 7, 8 | ltrnel 38631 |
. . . 4
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ πΊ β π β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β ((πΊβπ) β π΄ β§ Β¬ (πΊβπ) β€ π)) |
10 | 1, 4, 3, 9 | syl3anc 1372 |
. . 3
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (πΉ β π β§ πΊ β π) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (πΊβπ) β π β§ (π
βπΉ) β (π
βπΊ))) β ((πΊβπ) β π΄ β§ Β¬ (πΊβπ) β€ π)) |
11 | | cdlemg42.j |
. . . 4
β’ β¨ =
(joinβπΎ) |
12 | | cdlemg42.r |
. . . 4
β’ π
= ((trLβπΎ)βπ) |
13 | 5, 11, 6, 7, 8, 12 | cdlemg42 39221 |
. . 3
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (πΉ β π β§ πΊ β π) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (πΊβπ) β π β§ (π
βπΉ) β (π
βπΊ))) β Β¬ (πΊβπ) β€ (π β¨ (πΉβπ))) |
14 | | cdlemg42.m |
. . . 4
β’ β§ =
(meetβπΎ) |
15 | 5, 11, 14, 6, 7, 8,
12 | cdlemc 38689 |
. . 3
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (πΉ β π β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ ((πΊβπ) β π΄ β§ Β¬ (πΊβπ) β€ π)) β§ Β¬ (πΊβπ) β€ (π β¨ (πΉβπ))) β (πΉβ(πΊβπ)) = (((πΊβπ) β¨ (π
βπΉ)) β§ ((πΉβπ) β¨ ((π β¨ (πΊβπ)) β§ π)))) |
16 | 1, 2, 3, 10, 13, 15 | syl131anc 1384 |
. 2
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (πΉ β π β§ πΊ β π) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (πΊβπ) β π β§ (π
βπΉ) β (π
βπΊ))) β (πΉβ(πΊβπ)) = (((πΊβπ) β¨ (π
βπΉ)) β§ ((πΉβπ) β¨ ((π β¨ (πΊβπ)) β§ π)))) |
17 | 5, 11, 14, 6, 7, 8,
12 | trlval2 38655 |
. . . . 5
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ πΊ β π β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β (π
βπΊ) = ((π β¨ (πΊβπ)) β§ π)) |
18 | 1, 4, 3, 17 | syl3anc 1372 |
. . . 4
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (πΉ β π β§ πΊ β π) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (πΊβπ) β π β§ (π
βπΉ) β (π
βπΊ))) β (π
βπΊ) = ((π β¨ (πΊβπ)) β§ π)) |
19 | 18 | oveq2d 7378 |
. . 3
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (πΉ β π β§ πΊ β π) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (πΊβπ) β π β§ (π
βπΉ) β (π
βπΊ))) β ((πΉβπ) β¨ (π
βπΊ)) = ((πΉβπ) β¨ ((π β¨ (πΊβπ)) β§ π))) |
20 | 19 | oveq2d 7378 |
. 2
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (πΉ β π β§ πΊ β π) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (πΊβπ) β π β§ (π
βπΉ) β (π
βπΊ))) β (((πΊβπ) β¨ (π
βπΉ)) β§ ((πΉβπ) β¨ (π
βπΊ))) = (((πΊβπ) β¨ (π
βπΉ)) β§ ((πΉβπ) β¨ ((π β¨ (πΊβπ)) β§ π)))) |
21 | 16, 20 | eqtr4d 2780 |
1
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (πΉ β π β§ πΊ β π) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (πΊβπ) β π β§ (π
βπΉ) β (π
βπΊ))) β (πΉβ(πΊβπ)) = (((πΊβπ) β¨ (π
βπΉ)) β§ ((πΉβπ) β¨ (π
βπΊ)))) |