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Theorem cdlemg42 39588
Description: Part of proof of Lemma G of [Crawley] p. 116, first line of third paragraph on p. 117. (Contributed by NM, 3-Jun-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
cdlemg42.l ≀ = (leβ€˜πΎ)
cdlemg42.j ∨ = (joinβ€˜πΎ)
cdlemg42.a 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
cdlemg42.h 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
cdlemg42.t 𝑇 = ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
cdlemg42.r 𝑅 = ((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
Assertion
Ref Expression
cdlemg42 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (πΊβ€˜π‘ƒ) β‰  𝑃 ∧ (π‘…β€˜πΉ) β‰  (π‘…β€˜πΊ))) β†’ Β¬ (πΊβ€˜π‘ƒ) ≀ (𝑃 ∨ (πΉβ€˜π‘ƒ)))
Proof of Theorem cdlemg42
StepHypRef Expression
1 simp33 1211 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (πΊβ€˜π‘ƒ) β‰  𝑃 ∧ (π‘…β€˜πΉ) β‰  (π‘…β€˜πΊ))) β†’ (π‘…β€˜πΉ) β‰  (π‘…β€˜πΊ))
2 simpl1l 1224 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (πΊβ€˜π‘ƒ) β‰  𝑃 ∧ (π‘…β€˜πΉ) β‰  (π‘…β€˜πΊ))) ∧ (πΊβ€˜π‘ƒ) ≀ (𝑃 ∨ (πΉβ€˜π‘ƒ))) β†’ 𝐾 ∈ HL)
3 simp31l 1296 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (πΊβ€˜π‘ƒ) β‰  𝑃 ∧ (π‘…β€˜πΉ) β‰  (π‘…β€˜πΊ))) β†’ 𝑃 ∈ 𝐴)
43adantr 481 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (πΊβ€˜π‘ƒ) β‰  𝑃 ∧ (π‘…β€˜πΉ) β‰  (π‘…β€˜πΊ))) ∧ (πΊβ€˜π‘ƒ) ≀ (𝑃 ∨ (πΉβ€˜π‘ƒ))) β†’ 𝑃 ∈ 𝐴)
5 simp1 1136 . . . . . . . . . . 11 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (πΊβ€˜π‘ƒ) β‰  𝑃 ∧ (π‘…β€˜πΉ) β‰  (π‘…β€˜πΊ))) β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻))
6 simp2l 1199 . . . . . . . . . . 11 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (πΊβ€˜π‘ƒ) β‰  𝑃 ∧ (π‘…β€˜πΉ) β‰  (π‘…β€˜πΊ))) β†’ 𝐹 ∈ 𝑇)
7 cdlemg42.l . . . . . . . . . . . 12 ≀ = (leβ€˜πΎ)
8 cdlemg42.a . . . . . . . . . . . 12 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
9 cdlemg42.h . . . . . . . . . . . 12 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
10 cdlemg42.t . . . . . . . . . . . 12 𝑇 = ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
117, 8, 9, 10ltrnat 38999 . . . . . . . . . . 11 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) β†’ (πΉβ€˜π‘ƒ) ∈ 𝐴)
125, 6, 3, 11syl3anc 1371 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (πΊβ€˜π‘ƒ) β‰  𝑃 ∧ (π‘…β€˜πΉ) β‰  (π‘…β€˜πΊ))) β†’ (πΉβ€˜π‘ƒ) ∈ 𝐴)
1312adantr 481 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (πΊβ€˜π‘ƒ) β‰  𝑃 ∧ (π‘…β€˜πΉ) β‰  (π‘…β€˜πΊ))) ∧ (πΊβ€˜π‘ƒ) ≀ (𝑃 ∨ (πΉβ€˜π‘ƒ))) β†’ (πΉβ€˜π‘ƒ) ∈ 𝐴)
14 cdlemg42.j . . . . . . . . . 10 ∨ = (joinβ€˜πΎ)
157, 14, 8hlatlej1 38233 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ (πΉβ€˜π‘ƒ) ∈ 𝐴) β†’ 𝑃 ≀ (𝑃 ∨ (πΉβ€˜π‘ƒ)))
162, 4, 13, 15syl3anc 1371 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (πΊβ€˜π‘ƒ) β‰  𝑃 ∧ (π‘…β€˜πΉ) β‰  (π‘…β€˜πΊ))) ∧ (πΊβ€˜π‘ƒ) ≀ (𝑃 ∨ (πΉβ€˜π‘ƒ))) β†’ 𝑃 ≀ (𝑃 ∨ (πΉβ€˜π‘ƒ)))
17 simpr 485 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (πΊβ€˜π‘ƒ) β‰  𝑃 ∧ (π‘…β€˜πΉ) β‰  (π‘…β€˜πΊ))) ∧ (πΊβ€˜π‘ƒ) ≀ (𝑃 ∨ (πΉβ€˜π‘ƒ))) β†’ (πΊβ€˜π‘ƒ) ≀ (𝑃 ∨ (πΉβ€˜π‘ƒ)))
182hllatd 38222 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (πΊβ€˜π‘ƒ) β‰  𝑃 ∧ (π‘…β€˜πΉ) β‰  (π‘…β€˜πΊ))) ∧ (πΊβ€˜π‘ƒ) ≀ (𝑃 ∨ (πΉβ€˜π‘ƒ))) β†’ 𝐾 ∈ Lat)
19 eqid 2732 . . . . . . . . . . 11 (Baseβ€˜πΎ) = (Baseβ€˜πΎ)
2019, 8atbase 38147 . . . . . . . . . 10 (𝑃 ∈ 𝐴 β†’ 𝑃 ∈ (Baseβ€˜πΎ))
214, 20syl 17 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (πΊβ€˜π‘ƒ) β‰  𝑃 ∧ (π‘…β€˜πΉ) β‰  (π‘…β€˜πΊ))) ∧ (πΊβ€˜π‘ƒ) ≀ (𝑃 ∨ (πΉβ€˜π‘ƒ))) β†’ 𝑃 ∈ (Baseβ€˜πΎ))
22 simp2r 1200 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (πΊβ€˜π‘ƒ) β‰  𝑃 ∧ (π‘…β€˜πΉ) β‰  (π‘…β€˜πΊ))) β†’ 𝐺 ∈ 𝑇)
237, 8, 9, 10ltrnat 38999 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) β†’ (πΊβ€˜π‘ƒ) ∈ 𝐴)
245, 22, 3, 23syl3anc 1371 . . . . . . . . . . 11 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (πΊβ€˜π‘ƒ) β‰  𝑃 ∧ (π‘…β€˜πΉ) β‰  (π‘…β€˜πΊ))) β†’ (πΊβ€˜π‘ƒ) ∈ 𝐴)
2524adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (πΊβ€˜π‘ƒ) β‰  𝑃 ∧ (π‘…β€˜πΉ) β‰  (π‘…β€˜πΊ))) ∧ (πΊβ€˜π‘ƒ) ≀ (𝑃 ∨ (πΉβ€˜π‘ƒ))) β†’ (πΊβ€˜π‘ƒ) ∈ 𝐴)
2619, 8atbase 38147 . . . . . . . . . 10 ((πΊβ€˜π‘ƒ) ∈ 𝐴 β†’ (πΊβ€˜π‘ƒ) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
2725, 26syl 17 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (πΊβ€˜π‘ƒ) β‰  𝑃 ∧ (π‘…β€˜πΉ) β‰  (π‘…β€˜πΊ))) ∧ (πΊβ€˜π‘ƒ) ≀ (𝑃 ∨ (πΉβ€˜π‘ƒ))) β†’ (πΊβ€˜π‘ƒ) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
2819, 14, 8hlatjcl 38225 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ (πΉβ€˜π‘ƒ) ∈ 𝐴) β†’ (𝑃 ∨ (πΉβ€˜π‘ƒ)) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
292, 4, 13, 28syl3anc 1371 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (πΊβ€˜π‘ƒ) β‰  𝑃 ∧ (π‘…β€˜πΉ) β‰  (π‘…β€˜πΊ))) ∧ (πΊβ€˜π‘ƒ) ≀ (𝑃 ∨ (πΉβ€˜π‘ƒ))) β†’ (𝑃 ∨ (πΉβ€˜π‘ƒ)) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
3019, 7, 14latjle12 18399 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑃 ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ (πΊβ€˜π‘ƒ) ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ (𝑃 ∨ (πΉβ€˜π‘ƒ)) ∈ (Baseβ€˜πΎ))) β†’ ((𝑃 ≀ (𝑃 ∨ (πΉβ€˜π‘ƒ)) ∧ (πΊβ€˜π‘ƒ) ≀ (𝑃 ∨ (πΉβ€˜π‘ƒ))) ↔ (𝑃 ∨ (πΊβ€˜π‘ƒ)) ≀ (𝑃 ∨ (πΉβ€˜π‘ƒ))))
3118, 21, 27, 29, 30syl13anc 1372 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (πΊβ€˜π‘ƒ) β‰  𝑃 ∧ (π‘…β€˜πΉ) β‰  (π‘…β€˜πΊ))) ∧ (πΊβ€˜π‘ƒ) ≀ (𝑃 ∨ (πΉβ€˜π‘ƒ))) β†’ ((𝑃 ≀ (𝑃 ∨ (πΉβ€˜π‘ƒ)) ∧ (πΊβ€˜π‘ƒ) ≀ (𝑃 ∨ (πΉβ€˜π‘ƒ))) ↔ (𝑃 ∨ (πΊβ€˜π‘ƒ)) ≀ (𝑃 ∨ (πΉβ€˜π‘ƒ))))
3216, 17, 31mpbi2and 710 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (πΊβ€˜π‘ƒ) β‰  𝑃 ∧ (π‘…β€˜πΉ) β‰  (π‘…β€˜πΊ))) ∧ (πΊβ€˜π‘ƒ) ≀ (𝑃 ∨ (πΉβ€˜π‘ƒ))) β†’ (𝑃 ∨ (πΊβ€˜π‘ƒ)) ≀ (𝑃 ∨ (πΉβ€˜π‘ƒ)))
33 simpl32 1255 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (πΊβ€˜π‘ƒ) β‰  𝑃 ∧ (π‘…β€˜πΉ) β‰  (π‘…β€˜πΊ))) ∧ (πΊβ€˜π‘ƒ) ≀ (𝑃 ∨ (πΉβ€˜π‘ƒ))) β†’ (πΊβ€˜π‘ƒ) β‰  𝑃)
3433necomd 2996 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (πΊβ€˜π‘ƒ) β‰  𝑃 ∧ (π‘…β€˜πΉ) β‰  (π‘…β€˜πΊ))) ∧ (πΊβ€˜π‘ƒ) ≀ (𝑃 ∨ (πΉβ€˜π‘ƒ))) β†’ 𝑃 β‰  (πΊβ€˜π‘ƒ))
357, 14, 8ps-1 38336 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ (πΊβ€˜π‘ƒ) ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 β‰  (πΊβ€˜π‘ƒ)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ (πΉβ€˜π‘ƒ) ∈ 𝐴)) β†’ ((𝑃 ∨ (πΊβ€˜π‘ƒ)) ≀ (𝑃 ∨ (πΉβ€˜π‘ƒ)) ↔ (𝑃 ∨ (πΊβ€˜π‘ƒ)) = (𝑃 ∨ (πΉβ€˜π‘ƒ))))
362, 4, 25, 34, 4, 13, 35syl132anc 1388 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (πΊβ€˜π‘ƒ) β‰  𝑃 ∧ (π‘…β€˜πΉ) β‰  (π‘…β€˜πΊ))) ∧ (πΊβ€˜π‘ƒ) ≀ (𝑃 ∨ (πΉβ€˜π‘ƒ))) β†’ ((𝑃 ∨ (πΊβ€˜π‘ƒ)) ≀ (𝑃 ∨ (πΉβ€˜π‘ƒ)) ↔ (𝑃 ∨ (πΊβ€˜π‘ƒ)) = (𝑃 ∨ (πΉβ€˜π‘ƒ))))
3732, 36mpbid 231 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (πΊβ€˜π‘ƒ) β‰  𝑃 ∧ (π‘…β€˜πΉ) β‰  (π‘…β€˜πΊ))) ∧ (πΊβ€˜π‘ƒ) ≀ (𝑃 ∨ (πΉβ€˜π‘ƒ))) β†’ (𝑃 ∨ (πΊβ€˜π‘ƒ)) = (𝑃 ∨ (πΉβ€˜π‘ƒ)))
3837oveq1d 7420 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (πΊβ€˜π‘ƒ) β‰  𝑃 ∧ (π‘…β€˜πΉ) β‰  (π‘…β€˜πΊ))) ∧ (πΊβ€˜π‘ƒ) ≀ (𝑃 ∨ (πΉβ€˜π‘ƒ))) β†’ ((𝑃 ∨ (πΊβ€˜π‘ƒ))(meetβ€˜πΎ)π‘Š) = ((𝑃 ∨ (πΉβ€˜π‘ƒ))(meetβ€˜πΎ)π‘Š))
39 simpl1 1191 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (πΊβ€˜π‘ƒ) β‰  𝑃 ∧ (π‘…β€˜πΉ) β‰  (π‘…β€˜πΊ))) ∧ (πΊβ€˜π‘ƒ) ≀ (𝑃 ∨ (πΉβ€˜π‘ƒ))) β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻))
40 simpl2r 1227 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (πΊβ€˜π‘ƒ) β‰  𝑃 ∧ (π‘…β€˜πΉ) β‰  (π‘…β€˜πΊ))) ∧ (πΊβ€˜π‘ƒ) ≀ (𝑃 ∨ (πΉβ€˜π‘ƒ))) β†’ 𝐺 ∈ 𝑇)
41 simpl31 1254 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (πΊβ€˜π‘ƒ) β‰  𝑃 ∧ (π‘…β€˜πΉ) β‰  (π‘…β€˜πΊ))) ∧ (πΊβ€˜π‘ƒ) ≀ (𝑃 ∨ (πΉβ€˜π‘ƒ))) β†’ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š))
42 eqid 2732 . . . . . . 7 (meetβ€˜πΎ) = (meetβ€˜πΎ)
43 cdlemg42.r . . . . . . 7 𝑅 = ((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
447, 14, 42, 8, 9, 10, 43trlval2 39022 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) β†’ (π‘…β€˜πΊ) = ((𝑃 ∨ (πΊβ€˜π‘ƒ))(meetβ€˜πΎ)π‘Š))
4539, 40, 41, 44syl3anc 1371 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (πΊβ€˜π‘ƒ) β‰  𝑃 ∧ (π‘…β€˜πΉ) β‰  (π‘…β€˜πΊ))) ∧ (πΊβ€˜π‘ƒ) ≀ (𝑃 ∨ (πΉβ€˜π‘ƒ))) β†’ (π‘…β€˜πΊ) = ((𝑃 ∨ (πΊβ€˜π‘ƒ))(meetβ€˜πΎ)π‘Š))
46 simpl2l 1226 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (πΊβ€˜π‘ƒ) β‰  𝑃 ∧ (π‘…β€˜πΉ) β‰  (π‘…β€˜πΊ))) ∧ (πΊβ€˜π‘ƒ) ≀ (𝑃 ∨ (πΉβ€˜π‘ƒ))) β†’ 𝐹 ∈ 𝑇)
477, 14, 42, 8, 9, 10, 43trlval2 39022 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) β†’ (π‘…β€˜πΉ) = ((𝑃 ∨ (πΉβ€˜π‘ƒ))(meetβ€˜πΎ)π‘Š))
4839, 46, 41, 47syl3anc 1371 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (πΊβ€˜π‘ƒ) β‰  𝑃 ∧ (π‘…β€˜πΉ) β‰  (π‘…β€˜πΊ))) ∧ (πΊβ€˜π‘ƒ) ≀ (𝑃 ∨ (πΉβ€˜π‘ƒ))) β†’ (π‘…β€˜πΉ) = ((𝑃 ∨ (πΉβ€˜π‘ƒ))(meetβ€˜πΎ)π‘Š))
4938, 45, 483eqtr4rd 2783 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (πΊβ€˜π‘ƒ) β‰  𝑃 ∧ (π‘…β€˜πΉ) β‰  (π‘…β€˜πΊ))) ∧ (πΊβ€˜π‘ƒ) ≀ (𝑃 ∨ (πΉβ€˜π‘ƒ))) β†’ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜πΊ))
5049ex 413 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (πΊβ€˜π‘ƒ) β‰  𝑃 ∧ (π‘…β€˜πΉ) β‰  (π‘…β€˜πΊ))) β†’ ((πΊβ€˜π‘ƒ) ≀ (𝑃 ∨ (πΉβ€˜π‘ƒ)) β†’ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜πΊ)))
5150necon3ad 2953 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (πΊβ€˜π‘ƒ) β‰  𝑃 ∧ (π‘…β€˜πΉ) β‰  (π‘…β€˜πΊ))) β†’ ((π‘…β€˜πΉ) β‰  (π‘…β€˜πΊ) β†’ Β¬ (πΊβ€˜π‘ƒ) ≀ (𝑃 ∨ (πΉβ€˜π‘ƒ))))
521, 51mpd 15 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (πΊβ€˜π‘ƒ) β‰  𝑃 ∧ (π‘…β€˜πΉ) β‰  (π‘…β€˜πΊ))) β†’ Β¬ (πΊβ€˜π‘ƒ) ≀ (𝑃 ∨ (πΉβ€˜π‘ƒ)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   β‰  wne 2940   class class class wbr 5147  β€˜cfv 6540  (class class class)co 7405  Basecbs 17140  lecple 17200  joincjn 18260  meetcmee 18261  Latclat 18380  Atomscatm 38121  HLchlt 38208  LHypclh 38843  LTrncltrn 38960  trLctrl 39017
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-id 5573  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-map 8818  df-proset 18244  df-poset 18262  df-plt 18279  df-lub 18295  df-glb 18296  df-join 18297  df-meet 18298  df-p0 18374  df-lat 18381  df-oposet 38034  df-ol 38036  df-oml 38037  df-covers 38124  df-ats 38125  df-atl 38156  df-cvlat 38180  df-hlat 38209  df-lhyp 38847  df-laut 38848  df-ldil 38963  df-ltrn 38964  df-trl 39018
This theorem is referenced by:  cdlemg43  39589
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