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Theorem cdlemg42 39221
Description: Part of proof of Lemma G of [Crawley] p. 116, first line of third paragraph on p. 117. (Contributed by NM, 3-Jun-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
cdlemg42.l ≀ = (leβ€˜πΎ)
cdlemg42.j ∨ = (joinβ€˜πΎ)
cdlemg42.a 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
cdlemg42.h 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
cdlemg42.t 𝑇 = ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
cdlemg42.r 𝑅 = ((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
Assertion
Ref Expression
cdlemg42 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (πΊβ€˜π‘ƒ) β‰  𝑃 ∧ (π‘…β€˜πΉ) β‰  (π‘…β€˜πΊ))) β†’ Β¬ (πΊβ€˜π‘ƒ) ≀ (𝑃 ∨ (πΉβ€˜π‘ƒ)))

Proof of Theorem cdlemg42
StepHypRef Expression
1 simp33 1212 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (πΊβ€˜π‘ƒ) β‰  𝑃 ∧ (π‘…β€˜πΉ) β‰  (π‘…β€˜πΊ))) β†’ (π‘…β€˜πΉ) β‰  (π‘…β€˜πΊ))
2 simpl1l 1225 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (πΊβ€˜π‘ƒ) β‰  𝑃 ∧ (π‘…β€˜πΉ) β‰  (π‘…β€˜πΊ))) ∧ (πΊβ€˜π‘ƒ) ≀ (𝑃 ∨ (πΉβ€˜π‘ƒ))) β†’ 𝐾 ∈ HL)
3 simp31l 1297 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (πΊβ€˜π‘ƒ) β‰  𝑃 ∧ (π‘…β€˜πΉ) β‰  (π‘…β€˜πΊ))) β†’ 𝑃 ∈ 𝐴)
43adantr 482 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (πΊβ€˜π‘ƒ) β‰  𝑃 ∧ (π‘…β€˜πΉ) β‰  (π‘…β€˜πΊ))) ∧ (πΊβ€˜π‘ƒ) ≀ (𝑃 ∨ (πΉβ€˜π‘ƒ))) β†’ 𝑃 ∈ 𝐴)
5 simp1 1137 . . . . . . . . . . 11 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (πΊβ€˜π‘ƒ) β‰  𝑃 ∧ (π‘…β€˜πΉ) β‰  (π‘…β€˜πΊ))) β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻))
6 simp2l 1200 . . . . . . . . . . 11 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (πΊβ€˜π‘ƒ) β‰  𝑃 ∧ (π‘…β€˜πΉ) β‰  (π‘…β€˜πΊ))) β†’ 𝐹 ∈ 𝑇)
7 cdlemg42.l . . . . . . . . . . . 12 ≀ = (leβ€˜πΎ)
8 cdlemg42.a . . . . . . . . . . . 12 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
9 cdlemg42.h . . . . . . . . . . . 12 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
10 cdlemg42.t . . . . . . . . . . . 12 𝑇 = ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
117, 8, 9, 10ltrnat 38632 . . . . . . . . . . 11 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) β†’ (πΉβ€˜π‘ƒ) ∈ 𝐴)
125, 6, 3, 11syl3anc 1372 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (πΊβ€˜π‘ƒ) β‰  𝑃 ∧ (π‘…β€˜πΉ) β‰  (π‘…β€˜πΊ))) β†’ (πΉβ€˜π‘ƒ) ∈ 𝐴)
1312adantr 482 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (πΊβ€˜π‘ƒ) β‰  𝑃 ∧ (π‘…β€˜πΉ) β‰  (π‘…β€˜πΊ))) ∧ (πΊβ€˜π‘ƒ) ≀ (𝑃 ∨ (πΉβ€˜π‘ƒ))) β†’ (πΉβ€˜π‘ƒ) ∈ 𝐴)
14 cdlemg42.j . . . . . . . . . 10 ∨ = (joinβ€˜πΎ)
157, 14, 8hlatlej1 37866 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ (πΉβ€˜π‘ƒ) ∈ 𝐴) β†’ 𝑃 ≀ (𝑃 ∨ (πΉβ€˜π‘ƒ)))
162, 4, 13, 15syl3anc 1372 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (πΊβ€˜π‘ƒ) β‰  𝑃 ∧ (π‘…β€˜πΉ) β‰  (π‘…β€˜πΊ))) ∧ (πΊβ€˜π‘ƒ) ≀ (𝑃 ∨ (πΉβ€˜π‘ƒ))) β†’ 𝑃 ≀ (𝑃 ∨ (πΉβ€˜π‘ƒ)))
17 simpr 486 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (πΊβ€˜π‘ƒ) β‰  𝑃 ∧ (π‘…β€˜πΉ) β‰  (π‘…β€˜πΊ))) ∧ (πΊβ€˜π‘ƒ) ≀ (𝑃 ∨ (πΉβ€˜π‘ƒ))) β†’ (πΊβ€˜π‘ƒ) ≀ (𝑃 ∨ (πΉβ€˜π‘ƒ)))
182hllatd 37855 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (πΊβ€˜π‘ƒ) β‰  𝑃 ∧ (π‘…β€˜πΉ) β‰  (π‘…β€˜πΊ))) ∧ (πΊβ€˜π‘ƒ) ≀ (𝑃 ∨ (πΉβ€˜π‘ƒ))) β†’ 𝐾 ∈ Lat)
19 eqid 2737 . . . . . . . . . . 11 (Baseβ€˜πΎ) = (Baseβ€˜πΎ)
2019, 8atbase 37780 . . . . . . . . . 10 (𝑃 ∈ 𝐴 β†’ 𝑃 ∈ (Baseβ€˜πΎ))
214, 20syl 17 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (πΊβ€˜π‘ƒ) β‰  𝑃 ∧ (π‘…β€˜πΉ) β‰  (π‘…β€˜πΊ))) ∧ (πΊβ€˜π‘ƒ) ≀ (𝑃 ∨ (πΉβ€˜π‘ƒ))) β†’ 𝑃 ∈ (Baseβ€˜πΎ))
22 simp2r 1201 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (πΊβ€˜π‘ƒ) β‰  𝑃 ∧ (π‘…β€˜πΉ) β‰  (π‘…β€˜πΊ))) β†’ 𝐺 ∈ 𝑇)
237, 8, 9, 10ltrnat 38632 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) β†’ (πΊβ€˜π‘ƒ) ∈ 𝐴)
245, 22, 3, 23syl3anc 1372 . . . . . . . . . . 11 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (πΊβ€˜π‘ƒ) β‰  𝑃 ∧ (π‘…β€˜πΉ) β‰  (π‘…β€˜πΊ))) β†’ (πΊβ€˜π‘ƒ) ∈ 𝐴)
2524adantr 482 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (πΊβ€˜π‘ƒ) β‰  𝑃 ∧ (π‘…β€˜πΉ) β‰  (π‘…β€˜πΊ))) ∧ (πΊβ€˜π‘ƒ) ≀ (𝑃 ∨ (πΉβ€˜π‘ƒ))) β†’ (πΊβ€˜π‘ƒ) ∈ 𝐴)
2619, 8atbase 37780 . . . . . . . . . 10 ((πΊβ€˜π‘ƒ) ∈ 𝐴 β†’ (πΊβ€˜π‘ƒ) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
2725, 26syl 17 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (πΊβ€˜π‘ƒ) β‰  𝑃 ∧ (π‘…β€˜πΉ) β‰  (π‘…β€˜πΊ))) ∧ (πΊβ€˜π‘ƒ) ≀ (𝑃 ∨ (πΉβ€˜π‘ƒ))) β†’ (πΊβ€˜π‘ƒ) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
2819, 14, 8hlatjcl 37858 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ (πΉβ€˜π‘ƒ) ∈ 𝐴) β†’ (𝑃 ∨ (πΉβ€˜π‘ƒ)) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
292, 4, 13, 28syl3anc 1372 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (πΊβ€˜π‘ƒ) β‰  𝑃 ∧ (π‘…β€˜πΉ) β‰  (π‘…β€˜πΊ))) ∧ (πΊβ€˜π‘ƒ) ≀ (𝑃 ∨ (πΉβ€˜π‘ƒ))) β†’ (𝑃 ∨ (πΉβ€˜π‘ƒ)) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
3019, 7, 14latjle12 18346 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑃 ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ (πΊβ€˜π‘ƒ) ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ (𝑃 ∨ (πΉβ€˜π‘ƒ)) ∈ (Baseβ€˜πΎ))) β†’ ((𝑃 ≀ (𝑃 ∨ (πΉβ€˜π‘ƒ)) ∧ (πΊβ€˜π‘ƒ) ≀ (𝑃 ∨ (πΉβ€˜π‘ƒ))) ↔ (𝑃 ∨ (πΊβ€˜π‘ƒ)) ≀ (𝑃 ∨ (πΉβ€˜π‘ƒ))))
3118, 21, 27, 29, 30syl13anc 1373 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (πΊβ€˜π‘ƒ) β‰  𝑃 ∧ (π‘…β€˜πΉ) β‰  (π‘…β€˜πΊ))) ∧ (πΊβ€˜π‘ƒ) ≀ (𝑃 ∨ (πΉβ€˜π‘ƒ))) β†’ ((𝑃 ≀ (𝑃 ∨ (πΉβ€˜π‘ƒ)) ∧ (πΊβ€˜π‘ƒ) ≀ (𝑃 ∨ (πΉβ€˜π‘ƒ))) ↔ (𝑃 ∨ (πΊβ€˜π‘ƒ)) ≀ (𝑃 ∨ (πΉβ€˜π‘ƒ))))
3216, 17, 31mpbi2and 711 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (πΊβ€˜π‘ƒ) β‰  𝑃 ∧ (π‘…β€˜πΉ) β‰  (π‘…β€˜πΊ))) ∧ (πΊβ€˜π‘ƒ) ≀ (𝑃 ∨ (πΉβ€˜π‘ƒ))) β†’ (𝑃 ∨ (πΊβ€˜π‘ƒ)) ≀ (𝑃 ∨ (πΉβ€˜π‘ƒ)))
33 simpl32 1256 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (πΊβ€˜π‘ƒ) β‰  𝑃 ∧ (π‘…β€˜πΉ) β‰  (π‘…β€˜πΊ))) ∧ (πΊβ€˜π‘ƒ) ≀ (𝑃 ∨ (πΉβ€˜π‘ƒ))) β†’ (πΊβ€˜π‘ƒ) β‰  𝑃)
3433necomd 3000 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (πΊβ€˜π‘ƒ) β‰  𝑃 ∧ (π‘…β€˜πΉ) β‰  (π‘…β€˜πΊ))) ∧ (πΊβ€˜π‘ƒ) ≀ (𝑃 ∨ (πΉβ€˜π‘ƒ))) β†’ 𝑃 β‰  (πΊβ€˜π‘ƒ))
357, 14, 8ps-1 37969 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ (πΊβ€˜π‘ƒ) ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 β‰  (πΊβ€˜π‘ƒ)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ (πΉβ€˜π‘ƒ) ∈ 𝐴)) β†’ ((𝑃 ∨ (πΊβ€˜π‘ƒ)) ≀ (𝑃 ∨ (πΉβ€˜π‘ƒ)) ↔ (𝑃 ∨ (πΊβ€˜π‘ƒ)) = (𝑃 ∨ (πΉβ€˜π‘ƒ))))
362, 4, 25, 34, 4, 13, 35syl132anc 1389 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (πΊβ€˜π‘ƒ) β‰  𝑃 ∧ (π‘…β€˜πΉ) β‰  (π‘…β€˜πΊ))) ∧ (πΊβ€˜π‘ƒ) ≀ (𝑃 ∨ (πΉβ€˜π‘ƒ))) β†’ ((𝑃 ∨ (πΊβ€˜π‘ƒ)) ≀ (𝑃 ∨ (πΉβ€˜π‘ƒ)) ↔ (𝑃 ∨ (πΊβ€˜π‘ƒ)) = (𝑃 ∨ (πΉβ€˜π‘ƒ))))
3732, 36mpbid 231 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (πΊβ€˜π‘ƒ) β‰  𝑃 ∧ (π‘…β€˜πΉ) β‰  (π‘…β€˜πΊ))) ∧ (πΊβ€˜π‘ƒ) ≀ (𝑃 ∨ (πΉβ€˜π‘ƒ))) β†’ (𝑃 ∨ (πΊβ€˜π‘ƒ)) = (𝑃 ∨ (πΉβ€˜π‘ƒ)))
3837oveq1d 7377 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (πΊβ€˜π‘ƒ) β‰  𝑃 ∧ (π‘…β€˜πΉ) β‰  (π‘…β€˜πΊ))) ∧ (πΊβ€˜π‘ƒ) ≀ (𝑃 ∨ (πΉβ€˜π‘ƒ))) β†’ ((𝑃 ∨ (πΊβ€˜π‘ƒ))(meetβ€˜πΎ)π‘Š) = ((𝑃 ∨ (πΉβ€˜π‘ƒ))(meetβ€˜πΎ)π‘Š))
39 simpl1 1192 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (πΊβ€˜π‘ƒ) β‰  𝑃 ∧ (π‘…β€˜πΉ) β‰  (π‘…β€˜πΊ))) ∧ (πΊβ€˜π‘ƒ) ≀ (𝑃 ∨ (πΉβ€˜π‘ƒ))) β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻))
40 simpl2r 1228 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (πΊβ€˜π‘ƒ) β‰  𝑃 ∧ (π‘…β€˜πΉ) β‰  (π‘…β€˜πΊ))) ∧ (πΊβ€˜π‘ƒ) ≀ (𝑃 ∨ (πΉβ€˜π‘ƒ))) β†’ 𝐺 ∈ 𝑇)
41 simpl31 1255 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (πΊβ€˜π‘ƒ) β‰  𝑃 ∧ (π‘…β€˜πΉ) β‰  (π‘…β€˜πΊ))) ∧ (πΊβ€˜π‘ƒ) ≀ (𝑃 ∨ (πΉβ€˜π‘ƒ))) β†’ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š))
42 eqid 2737 . . . . . . 7 (meetβ€˜πΎ) = (meetβ€˜πΎ)
43 cdlemg42.r . . . . . . 7 𝑅 = ((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
447, 14, 42, 8, 9, 10, 43trlval2 38655 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) β†’ (π‘…β€˜πΊ) = ((𝑃 ∨ (πΊβ€˜π‘ƒ))(meetβ€˜πΎ)π‘Š))
4539, 40, 41, 44syl3anc 1372 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (πΊβ€˜π‘ƒ) β‰  𝑃 ∧ (π‘…β€˜πΉ) β‰  (π‘…β€˜πΊ))) ∧ (πΊβ€˜π‘ƒ) ≀ (𝑃 ∨ (πΉβ€˜π‘ƒ))) β†’ (π‘…β€˜πΊ) = ((𝑃 ∨ (πΊβ€˜π‘ƒ))(meetβ€˜πΎ)π‘Š))
46 simpl2l 1227 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (πΊβ€˜π‘ƒ) β‰  𝑃 ∧ (π‘…β€˜πΉ) β‰  (π‘…β€˜πΊ))) ∧ (πΊβ€˜π‘ƒ) ≀ (𝑃 ∨ (πΉβ€˜π‘ƒ))) β†’ 𝐹 ∈ 𝑇)
477, 14, 42, 8, 9, 10, 43trlval2 38655 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) β†’ (π‘…β€˜πΉ) = ((𝑃 ∨ (πΉβ€˜π‘ƒ))(meetβ€˜πΎ)π‘Š))
4839, 46, 41, 47syl3anc 1372 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (πΊβ€˜π‘ƒ) β‰  𝑃 ∧ (π‘…β€˜πΉ) β‰  (π‘…β€˜πΊ))) ∧ (πΊβ€˜π‘ƒ) ≀ (𝑃 ∨ (πΉβ€˜π‘ƒ))) β†’ (π‘…β€˜πΉ) = ((𝑃 ∨ (πΉβ€˜π‘ƒ))(meetβ€˜πΎ)π‘Š))
4938, 45, 483eqtr4rd 2788 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (πΊβ€˜π‘ƒ) β‰  𝑃 ∧ (π‘…β€˜πΉ) β‰  (π‘…β€˜πΊ))) ∧ (πΊβ€˜π‘ƒ) ≀ (𝑃 ∨ (πΉβ€˜π‘ƒ))) β†’ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜πΊ))
5049ex 414 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (πΊβ€˜π‘ƒ) β‰  𝑃 ∧ (π‘…β€˜πΉ) β‰  (π‘…β€˜πΊ))) β†’ ((πΊβ€˜π‘ƒ) ≀ (𝑃 ∨ (πΉβ€˜π‘ƒ)) β†’ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜πΊ)))
5150necon3ad 2957 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (πΊβ€˜π‘ƒ) β‰  𝑃 ∧ (π‘…β€˜πΉ) β‰  (π‘…β€˜πΊ))) β†’ ((π‘…β€˜πΉ) β‰  (π‘…β€˜πΊ) β†’ Β¬ (πΊβ€˜π‘ƒ) ≀ (𝑃 ∨ (πΉβ€˜π‘ƒ))))
521, 51mpd 15 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (πΊβ€˜π‘ƒ) β‰  𝑃 ∧ (π‘…β€˜πΉ) β‰  (π‘…β€˜πΊ))) β†’ Β¬ (πΊβ€˜π‘ƒ) ≀ (𝑃 ∨ (πΉβ€˜π‘ƒ)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2944   class class class wbr 5110  β€˜cfv 6501  (class class class)co 7362  Basecbs 17090  lecple 17147  joincjn 18207  meetcmee 18208  Latclat 18327  Atomscatm 37754  HLchlt 37841  LHypclh 38476  LTrncltrn 38593  trLctrl 38650
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5247  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-ral 3066  df-rex 3075  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-iun 4961  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-id 5536  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-map 8774  df-proset 18191  df-poset 18209  df-plt 18226  df-lub 18242  df-glb 18243  df-join 18244  df-meet 18245  df-p0 18321  df-lat 18328  df-oposet 37667  df-ol 37669  df-oml 37670  df-covers 37757  df-ats 37758  df-atl 37789  df-cvlat 37813  df-hlat 37842  df-lhyp 38480  df-laut 38481  df-ldil 38596  df-ltrn 38597  df-trl 38651
This theorem is referenced by:  cdlemg43  39222
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