Theorem cdlemg42 40063

Description: Part of proof of Lemma G of [Crawley] p. 116, first line of third paragraph on p. 117. (Contributed by NM, 3-Jun-2013.)

Hypotheses

Ref	Expression
cdlemg42.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
cdlemg42.j	⊢ ∨ = (join‘𝐾)
cdlemg42.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
cdlemg42.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
cdlemg42.t	⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
cdlemg42.r	⊢ 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
cdlemg42	⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝐺‘𝑃) ≠ 𝑃 ∧ (𝑅‘𝐹) ≠ (𝑅‘𝐺))) → ¬ (𝐺‘𝑃) ≤ (𝑃 ∨ (𝐹‘𝑃)))

Proof of Theorem cdlemg42

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp33 1210	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝐺‘𝑃) ≠ 𝑃 ∧ (𝑅‘𝐹) ≠ (𝑅‘𝐺))) → (𝑅‘𝐹) ≠ (𝑅‘𝐺))
2		simpl1l 1223	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝐺‘𝑃) ≠ 𝑃 ∧ (𝑅‘𝐹) ≠ (𝑅‘𝐺))) ∧ (𝐺‘𝑃) ≤ (𝑃 ∨ (𝐹‘𝑃))) → 𝐾 ∈ HL)
3		simp31l 1295	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝐺‘𝑃) ≠ 𝑃 ∧ (𝑅‘𝐹) ≠ (𝑅‘𝐺))) → 𝑃 ∈ 𝐴)
4	3	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝐺‘𝑃) ≠ 𝑃 ∧ (𝑅‘𝐹) ≠ (𝑅‘𝐺))) ∧ (𝐺‘𝑃) ≤ (𝑃 ∨ (𝐹‘𝑃))) → 𝑃 ∈ 𝐴)
5		simp1 1135	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝐺‘𝑃) ≠ 𝑃 ∧ (𝑅‘𝐹) ≠ (𝑅‘𝐺))) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
6		simp2l 1198	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝐺‘𝑃) ≠ 𝑃 ∧ (𝑅‘𝐹) ≠ (𝑅‘𝐺))) → 𝐹 ∈ 𝑇)
7		cdlemg42.l	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
8		cdlemg42.a	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
9		cdlemg42.h	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
10		cdlemg42.t	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
11	7, 8, 9, 10	ltrnat 39474	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) → (𝐹‘𝑃) ∈ 𝐴)
12	5, 6, 3, 11	syl3anc 1370	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝐺‘𝑃) ≠ 𝑃 ∧ (𝑅‘𝐹) ≠ (𝑅‘𝐺))) → (𝐹‘𝑃) ∈ 𝐴)
13	12	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝐺‘𝑃) ≠ 𝑃 ∧ (𝑅‘𝐹) ≠ (𝑅‘𝐺))) ∧ (𝐺‘𝑃) ≤ (𝑃 ∨ (𝐹‘𝑃))) → (𝐹‘𝑃) ∈ 𝐴)
14		cdlemg42.j	. . . . . . . . . 10 ⊢ ∨ = (join‘𝐾)
15	7, 14, 8	hlatlej1 38708	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹‘𝑃) ∈ 𝐴) → 𝑃 ≤ (𝑃 ∨ (𝐹‘𝑃)))
16	2, 4, 13, 15	syl3anc 1370	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝐺‘𝑃) ≠ 𝑃 ∧ (𝑅‘𝐹) ≠ (𝑅‘𝐺))) ∧ (𝐺‘𝑃) ≤ (𝑃 ∨ (𝐹‘𝑃))) → 𝑃 ≤ (𝑃 ∨ (𝐹‘𝑃)))
17		simpr 484	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝐺‘𝑃) ≠ 𝑃 ∧ (𝑅‘𝐹) ≠ (𝑅‘𝐺))) ∧ (𝐺‘𝑃) ≤ (𝑃 ∨ (𝐹‘𝑃))) → (𝐺‘𝑃) ≤ (𝑃 ∨ (𝐹‘𝑃)))
18	2	hllatd 38697	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝐺‘𝑃) ≠ 𝑃 ∧ (𝑅‘𝐹) ≠ (𝑅‘𝐺))) ∧ (𝐺‘𝑃) ≤ (𝑃 ∨ (𝐹‘𝑃))) → 𝐾 ∈ Lat)
19		eqid 2731	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
20	19, 8	atbase 38622	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑃 ∈ 𝐴 → 𝑃 ∈ (Base‘𝐾))
21	4, 20	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝐺‘𝑃) ≠ 𝑃 ∧ (𝑅‘𝐹) ≠ (𝑅‘𝐺))) ∧ (𝐺‘𝑃) ≤ (𝑃 ∨ (𝐹‘𝑃))) → 𝑃 ∈ (Base‘𝐾))
22		simp2r 1199	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝐺‘𝑃) ≠ 𝑃 ∧ (𝑅‘𝐹) ≠ (𝑅‘𝐺))) → 𝐺 ∈ 𝑇)
23	7, 8, 9, 10	ltrnat 39474	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) → (𝐺‘𝑃) ∈ 𝐴)
24	5, 22, 3, 23	syl3anc 1370	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝐺‘𝑃) ≠ 𝑃 ∧ (𝑅‘𝐹) ≠ (𝑅‘𝐺))) → (𝐺‘𝑃) ∈ 𝐴)
25	24	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝐺‘𝑃) ≠ 𝑃 ∧ (𝑅‘𝐹) ≠ (𝑅‘𝐺))) ∧ (𝐺‘𝑃) ≤ (𝑃 ∨ (𝐹‘𝑃))) → (𝐺‘𝑃) ∈ 𝐴)
26	19, 8	atbase 38622	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐺‘𝑃) ∈ 𝐴 → (𝐺‘𝑃) ∈ (Base‘𝐾))
27	25, 26	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝐺‘𝑃) ≠ 𝑃 ∧ (𝑅‘𝐹) ≠ (𝑅‘𝐺))) ∧ (𝐺‘𝑃) ≤ (𝑃 ∨ (𝐹‘𝑃))) → (𝐺‘𝑃) ∈ (Base‘𝐾))
28	19, 14, 8	hlatjcl 38700	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹‘𝑃) ∈ 𝐴) → (𝑃 ∨ (𝐹‘𝑃)) ∈ (Base‘𝐾))
29	2, 4, 13, 28	syl3anc 1370	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝐺‘𝑃) ≠ 𝑃 ∧ (𝑅‘𝐹) ≠ (𝑅‘𝐺))) ∧ (𝐺‘𝑃) ≤ (𝑃 ∨ (𝐹‘𝑃))) → (𝑃 ∨ (𝐹‘𝑃)) ∈ (Base‘𝐾))
30	19, 7, 14	latjle12 18413	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑃 ∈ (Base‘𝐾) ∧ (𝐺‘𝑃) ∈ (Base‘𝐾) ∧ (𝑃 ∨ (𝐹‘𝑃)) ∈ (Base‘𝐾))) → ((𝑃 ≤ (𝑃 ∨ (𝐹‘𝑃)) ∧ (𝐺‘𝑃) ≤ (𝑃 ∨ (𝐹‘𝑃))) ↔ (𝑃 ∨ (𝐺‘𝑃)) ≤ (𝑃 ∨ (𝐹‘𝑃))))
31	18, 21, 27, 29, 30	syl13anc 1371	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝐺‘𝑃) ≠ 𝑃 ∧ (𝑅‘𝐹) ≠ (𝑅‘𝐺))) ∧ (𝐺‘𝑃) ≤ (𝑃 ∨ (𝐹‘𝑃))) → ((𝑃 ≤ (𝑃 ∨ (𝐹‘𝑃)) ∧ (𝐺‘𝑃) ≤ (𝑃 ∨ (𝐹‘𝑃))) ↔ (𝑃 ∨ (𝐺‘𝑃)) ≤ (𝑃 ∨ (𝐹‘𝑃))))
32	16, 17, 31	mpbi2and 709	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝐺‘𝑃) ≠ 𝑃 ∧ (𝑅‘𝐹) ≠ (𝑅‘𝐺))) ∧ (𝐺‘𝑃) ≤ (𝑃 ∨ (𝐹‘𝑃))) → (𝑃 ∨ (𝐺‘𝑃)) ≤ (𝑃 ∨ (𝐹‘𝑃)))
33		simpl32 1254	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝐺‘𝑃) ≠ 𝑃 ∧ (𝑅‘𝐹) ≠ (𝑅‘𝐺))) ∧ (𝐺‘𝑃) ≤ (𝑃 ∨ (𝐹‘𝑃))) → (𝐺‘𝑃) ≠ 𝑃)
34	33	necomd 2995	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝐺‘𝑃) ≠ 𝑃 ∧ (𝑅‘𝐹) ≠ (𝑅‘𝐺))) ∧ (𝐺‘𝑃) ≤ (𝑃 ∨ (𝐹‘𝑃))) → 𝑃 ≠ (𝐺‘𝑃))
35	7, 14, 8	ps-1 38811	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ (𝐺‘𝑃) ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ≠ (𝐺‘𝑃)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹‘𝑃) ∈ 𝐴)) → ((𝑃 ∨ (𝐺‘𝑃)) ≤ (𝑃 ∨ (𝐹‘𝑃)) ↔ (𝑃 ∨ (𝐺‘𝑃)) = (𝑃 ∨ (𝐹‘𝑃))))
36	2, 4, 25, 34, 4, 13, 35	syl132anc 1387	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝐺‘𝑃) ≠ 𝑃 ∧ (𝑅‘𝐹) ≠ (𝑅‘𝐺))) ∧ (𝐺‘𝑃) ≤ (𝑃 ∨ (𝐹‘𝑃))) → ((𝑃 ∨ (𝐺‘𝑃)) ≤ (𝑃 ∨ (𝐹‘𝑃)) ↔ (𝑃 ∨ (𝐺‘𝑃)) = (𝑃 ∨ (𝐹‘𝑃))))
37	32, 36	mpbid 231	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝐺‘𝑃) ≠ 𝑃 ∧ (𝑅‘𝐹) ≠ (𝑅‘𝐺))) ∧ (𝐺‘𝑃) ≤ (𝑃 ∨ (𝐹‘𝑃))) → (𝑃 ∨ (𝐺‘𝑃)) = (𝑃 ∨ (𝐹‘𝑃)))
38	37	oveq1d 7427	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝐺‘𝑃) ≠ 𝑃 ∧ (𝑅‘𝐹) ≠ (𝑅‘𝐺))) ∧ (𝐺‘𝑃) ≤ (𝑃 ∨ (𝐹‘𝑃))) → ((𝑃 ∨ (𝐺‘𝑃))(meet‘𝐾)𝑊) = ((𝑃 ∨ (𝐹‘𝑃))(meet‘𝐾)𝑊))
39		simpl1 1190	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝐺‘𝑃) ≠ 𝑃 ∧ (𝑅‘𝐹) ≠ (𝑅‘𝐺))) ∧ (𝐺‘𝑃) ≤ (𝑃 ∨ (𝐹‘𝑃))) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
40		simpl2r 1226	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝐺‘𝑃) ≠ 𝑃 ∧ (𝑅‘𝐹) ≠ (𝑅‘𝐺))) ∧ (𝐺‘𝑃) ≤ (𝑃 ∨ (𝐹‘𝑃))) → 𝐺 ∈ 𝑇)
41		simpl31 1253	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝐺‘𝑃) ≠ 𝑃 ∧ (𝑅‘𝐹) ≠ (𝑅‘𝐺))) ∧ (𝐺‘𝑃) ≤ (𝑃 ∨ (𝐹‘𝑃))) → (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊))
42		eqid 2731	. . . . . . 7 ⊢ (meet‘𝐾) = (meet‘𝐾)
43		cdlemg42.r	. . . . . . 7 ⊢ 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
44	7, 14, 42, 8, 9, 10, 43	trlval2 39497	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) → (𝑅‘𝐺) = ((𝑃 ∨ (𝐺‘𝑃))(meet‘𝐾)𝑊))
45	39, 40, 41, 44	syl3anc 1370	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝐺‘𝑃) ≠ 𝑃 ∧ (𝑅‘𝐹) ≠ (𝑅‘𝐺))) ∧ (𝐺‘𝑃) ≤ (𝑃 ∨ (𝐹‘𝑃))) → (𝑅‘𝐺) = ((𝑃 ∨ (𝐺‘𝑃))(meet‘𝐾)𝑊))
46		simpl2l 1225	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝐺‘𝑃) ≠ 𝑃 ∧ (𝑅‘𝐹) ≠ (𝑅‘𝐺))) ∧ (𝐺‘𝑃) ≤ (𝑃 ∨ (𝐹‘𝑃))) → 𝐹 ∈ 𝑇)
47	7, 14, 42, 8, 9, 10, 43	trlval2 39497	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) → (𝑅‘𝐹) = ((𝑃 ∨ (𝐹‘𝑃))(meet‘𝐾)𝑊))
48	39, 46, 41, 47	syl3anc 1370	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝐺‘𝑃) ≠ 𝑃 ∧ (𝑅‘𝐹) ≠ (𝑅‘𝐺))) ∧ (𝐺‘𝑃) ≤ (𝑃 ∨ (𝐹‘𝑃))) → (𝑅‘𝐹) = ((𝑃 ∨ (𝐹‘𝑃))(meet‘𝐾)𝑊))
49	38, 45, 48	3eqtr4rd 2782	. . . 4 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝐺‘𝑃) ≠ 𝑃 ∧ (𝑅‘𝐹) ≠ (𝑅‘𝐺))) ∧ (𝐺‘𝑃) ≤ (𝑃 ∨ (𝐹‘𝑃))) → (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝐺))
50	49	ex 412	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝐺‘𝑃) ≠ 𝑃 ∧ (𝑅‘𝐹) ≠ (𝑅‘𝐺))) → ((𝐺‘𝑃) ≤ (𝑃 ∨ (𝐹‘𝑃)) → (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝐺)))
51	50	necon3ad 2952	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝐺‘𝑃) ≠ 𝑃 ∧ (𝑅‘𝐹) ≠ (𝑅‘𝐺))) → ((𝑅‘𝐹) ≠ (𝑅‘𝐺) → ¬ (𝐺‘𝑃) ≤ (𝑃 ∨ (𝐹‘𝑃))))
52	1, 51	mpd 15	1 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝐺‘𝑃) ≠ 𝑃 ∧ (𝑅‘𝐹) ≠ (𝑅‘𝐺))) → ¬ (𝐺‘𝑃) ≤ (𝑃 ∨ (𝐹‘𝑃)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2105   ≠ wne 2939   class class class wbr 5148  ‘cfv 6543  (class class class)co 7412  Basecbs 17151  lecple 17211  joincjn 18274  meetcmee 18275  Latclat 18394  Atomscatm 38596  HLchlt 38683  LHypclh 39318  LTrncltrn 39435  trLctrl 39492

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7729

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5574  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-map 8828  df-proset 18258  df-poset 18276  df-plt 18293  df-lub 18309  df-glb 18310  df-join 18311  df-meet 18312  df-p0 18388  df-lat 18395  df-oposet 38509  df-ol 38511  df-oml 38512  df-covers 38599  df-ats 38600  df-atl 38631  df-cvlat 38655  df-hlat 38684  df-lhyp 39322  df-laut 39323  df-ldil 39438  df-ltrn 39439  df-trl 39493

This theorem is referenced by:  cdlemg43  40064