Step | Hyp | Ref
| Expression |
1 | | simp33 1212 |
. 2
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (πΉ β π β§ πΊ β π) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (πΊβπ) β π β§ (π
βπΉ) β (π
βπΊ))) β (π
βπΉ) β (π
βπΊ)) |
2 | | simpl1l 1225 |
. . . . . . . . 9
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (πΉ β π β§ πΊ β π) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (πΊβπ) β π β§ (π
βπΉ) β (π
βπΊ))) β§ (πΊβπ) β€ (π β¨ (πΉβπ))) β πΎ β HL) |
3 | | simp31l 1297 |
. . . . . . . . . 10
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (πΉ β π β§ πΊ β π) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (πΊβπ) β π β§ (π
βπΉ) β (π
βπΊ))) β π β π΄) |
4 | 3 | adantr 482 |
. . . . . . . . 9
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (πΉ β π β§ πΊ β π) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (πΊβπ) β π β§ (π
βπΉ) β (π
βπΊ))) β§ (πΊβπ) β€ (π β¨ (πΉβπ))) β π β π΄) |
5 | | simp1 1137 |
. . . . . . . . . . 11
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (πΉ β π β§ πΊ β π) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (πΊβπ) β π β§ (π
βπΉ) β (π
βπΊ))) β (πΎ β HL β§ π β π»)) |
6 | | simp2l 1200 |
. . . . . . . . . . 11
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (πΉ β π β§ πΊ β π) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (πΊβπ) β π β§ (π
βπΉ) β (π
βπΊ))) β πΉ β π) |
7 | | cdlemg42.l |
. . . . . . . . . . . 12
β’ β€ =
(leβπΎ) |
8 | | cdlemg42.a |
. . . . . . . . . . . 12
β’ π΄ = (AtomsβπΎ) |
9 | | cdlemg42.h |
. . . . . . . . . . . 12
β’ π» = (LHypβπΎ) |
10 | | cdlemg42.t |
. . . . . . . . . . . 12
β’ π = ((LTrnβπΎ)βπ) |
11 | 7, 8, 9, 10 | ltrnat 38632 |
. . . . . . . . . . 11
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ πΉ β π β§ π β π΄) β (πΉβπ) β π΄) |
12 | 5, 6, 3, 11 | syl3anc 1372 |
. . . . . . . . . 10
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (πΉ β π β§ πΊ β π) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (πΊβπ) β π β§ (π
βπΉ) β (π
βπΊ))) β (πΉβπ) β π΄) |
13 | 12 | adantr 482 |
. . . . . . . . 9
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (πΉ β π β§ πΊ β π) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (πΊβπ) β π β§ (π
βπΉ) β (π
βπΊ))) β§ (πΊβπ) β€ (π β¨ (πΉβπ))) β (πΉβπ) β π΄) |
14 | | cdlemg42.j |
. . . . . . . . . 10
β’ β¨ =
(joinβπΎ) |
15 | 7, 14, 8 | hlatlej1 37866 |
. . . . . . . . 9
β’ ((πΎ β HL β§ π β π΄ β§ (πΉβπ) β π΄) β π β€ (π β¨ (πΉβπ))) |
16 | 2, 4, 13, 15 | syl3anc 1372 |
. . . . . . . 8
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (πΉ β π β§ πΊ β π) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (πΊβπ) β π β§ (π
βπΉ) β (π
βπΊ))) β§ (πΊβπ) β€ (π β¨ (πΉβπ))) β π β€ (π β¨ (πΉβπ))) |
17 | | simpr 486 |
. . . . . . . 8
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (πΉ β π β§ πΊ β π) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (πΊβπ) β π β§ (π
βπΉ) β (π
βπΊ))) β§ (πΊβπ) β€ (π β¨ (πΉβπ))) β (πΊβπ) β€ (π β¨ (πΉβπ))) |
18 | 2 | hllatd 37855 |
. . . . . . . . 9
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (πΉ β π β§ πΊ β π) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (πΊβπ) β π β§ (π
βπΉ) β (π
βπΊ))) β§ (πΊβπ) β€ (π β¨ (πΉβπ))) β πΎ β Lat) |
19 | | eqid 2737 |
. . . . . . . . . . 11
β’
(BaseβπΎ) =
(BaseβπΎ) |
20 | 19, 8 | atbase 37780 |
. . . . . . . . . 10
β’ (π β π΄ β π β (BaseβπΎ)) |
21 | 4, 20 | syl 17 |
. . . . . . . . 9
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (πΉ β π β§ πΊ β π) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (πΊβπ) β π β§ (π
βπΉ) β (π
βπΊ))) β§ (πΊβπ) β€ (π β¨ (πΉβπ))) β π β (BaseβπΎ)) |
22 | | simp2r 1201 |
. . . . . . . . . . . 12
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (πΉ β π β§ πΊ β π) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (πΊβπ) β π β§ (π
βπΉ) β (π
βπΊ))) β πΊ β π) |
23 | 7, 8, 9, 10 | ltrnat 38632 |
. . . . . . . . . . . 12
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ πΊ β π β§ π β π΄) β (πΊβπ) β π΄) |
24 | 5, 22, 3, 23 | syl3anc 1372 |
. . . . . . . . . . 11
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (πΉ β π β§ πΊ β π) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (πΊβπ) β π β§ (π
βπΉ) β (π
βπΊ))) β (πΊβπ) β π΄) |
25 | 24 | adantr 482 |
. . . . . . . . . 10
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (πΉ β π β§ πΊ β π) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (πΊβπ) β π β§ (π
βπΉ) β (π
βπΊ))) β§ (πΊβπ) β€ (π β¨ (πΉβπ))) β (πΊβπ) β π΄) |
26 | 19, 8 | atbase 37780 |
. . . . . . . . . 10
β’ ((πΊβπ) β π΄ β (πΊβπ) β (BaseβπΎ)) |
27 | 25, 26 | syl 17 |
. . . . . . . . 9
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (πΉ β π β§ πΊ β π) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (πΊβπ) β π β§ (π
βπΉ) β (π
βπΊ))) β§ (πΊβπ) β€ (π β¨ (πΉβπ))) β (πΊβπ) β (BaseβπΎ)) |
28 | 19, 14, 8 | hlatjcl 37858 |
. . . . . . . . . 10
β’ ((πΎ β HL β§ π β π΄ β§ (πΉβπ) β π΄) β (π β¨ (πΉβπ)) β (BaseβπΎ)) |
29 | 2, 4, 13, 28 | syl3anc 1372 |
. . . . . . . . 9
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (πΉ β π β§ πΊ β π) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (πΊβπ) β π β§ (π
βπΉ) β (π
βπΊ))) β§ (πΊβπ) β€ (π β¨ (πΉβπ))) β (π β¨ (πΉβπ)) β (BaseβπΎ)) |
30 | 19, 7, 14 | latjle12 18346 |
. . . . . . . . 9
β’ ((πΎ β Lat β§ (π β (BaseβπΎ) β§ (πΊβπ) β (BaseβπΎ) β§ (π β¨ (πΉβπ)) β (BaseβπΎ))) β ((π β€ (π β¨ (πΉβπ)) β§ (πΊβπ) β€ (π β¨ (πΉβπ))) β (π β¨ (πΊβπ)) β€ (π β¨ (πΉβπ)))) |
31 | 18, 21, 27, 29, 30 | syl13anc 1373 |
. . . . . . . 8
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (πΉ β π β§ πΊ β π) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (πΊβπ) β π β§ (π
βπΉ) β (π
βπΊ))) β§ (πΊβπ) β€ (π β¨ (πΉβπ))) β ((π β€ (π β¨ (πΉβπ)) β§ (πΊβπ) β€ (π β¨ (πΉβπ))) β (π β¨ (πΊβπ)) β€ (π β¨ (πΉβπ)))) |
32 | 16, 17, 31 | mpbi2and 711 |
. . . . . . 7
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (πΉ β π β§ πΊ β π) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (πΊβπ) β π β§ (π
βπΉ) β (π
βπΊ))) β§ (πΊβπ) β€ (π β¨ (πΉβπ))) β (π β¨ (πΊβπ)) β€ (π β¨ (πΉβπ))) |
33 | | simpl32 1256 |
. . . . . . . . 9
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (πΉ β π β§ πΊ β π) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (πΊβπ) β π β§ (π
βπΉ) β (π
βπΊ))) β§ (πΊβπ) β€ (π β¨ (πΉβπ))) β (πΊβπ) β π) |
34 | 33 | necomd 3000 |
. . . . . . . 8
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (πΉ β π β§ πΊ β π) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (πΊβπ) β π β§ (π
βπΉ) β (π
βπΊ))) β§ (πΊβπ) β€ (π β¨ (πΉβπ))) β π β (πΊβπ)) |
35 | 7, 14, 8 | ps-1 37969 |
. . . . . . . 8
β’ ((πΎ β HL β§ (π β π΄ β§ (πΊβπ) β π΄ β§ π β (πΊβπ)) β§ (π β π΄ β§ (πΉβπ) β π΄)) β ((π β¨ (πΊβπ)) β€ (π β¨ (πΉβπ)) β (π β¨ (πΊβπ)) = (π β¨ (πΉβπ)))) |
36 | 2, 4, 25, 34, 4, 13, 35 | syl132anc 1389 |
. . . . . . 7
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (πΉ β π β§ πΊ β π) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (πΊβπ) β π β§ (π
βπΉ) β (π
βπΊ))) β§ (πΊβπ) β€ (π β¨ (πΉβπ))) β ((π β¨ (πΊβπ)) β€ (π β¨ (πΉβπ)) β (π β¨ (πΊβπ)) = (π β¨ (πΉβπ)))) |
37 | 32, 36 | mpbid 231 |
. . . . . 6
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (πΉ β π β§ πΊ β π) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (πΊβπ) β π β§ (π
βπΉ) β (π
βπΊ))) β§ (πΊβπ) β€ (π β¨ (πΉβπ))) β (π β¨ (πΊβπ)) = (π β¨ (πΉβπ))) |
38 | 37 | oveq1d 7377 |
. . . . 5
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (πΉ β π β§ πΊ β π) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (πΊβπ) β π β§ (π
βπΉ) β (π
βπΊ))) β§ (πΊβπ) β€ (π β¨ (πΉβπ))) β ((π β¨ (πΊβπ))(meetβπΎ)π) = ((π β¨ (πΉβπ))(meetβπΎ)π)) |
39 | | simpl1 1192 |
. . . . . 6
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (πΉ β π β§ πΊ β π) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (πΊβπ) β π β§ (π
βπΉ) β (π
βπΊ))) β§ (πΊβπ) β€ (π β¨ (πΉβπ))) β (πΎ β HL β§ π β π»)) |
40 | | simpl2r 1228 |
. . . . . 6
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (πΉ β π β§ πΊ β π) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (πΊβπ) β π β§ (π
βπΉ) β (π
βπΊ))) β§ (πΊβπ) β€ (π β¨ (πΉβπ))) β πΊ β π) |
41 | | simpl31 1255 |
. . . . . 6
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (πΉ β π β§ πΊ β π) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (πΊβπ) β π β§ (π
βπΉ) β (π
βπΊ))) β§ (πΊβπ) β€ (π β¨ (πΉβπ))) β (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) |
42 | | eqid 2737 |
. . . . . . 7
β’
(meetβπΎ) =
(meetβπΎ) |
43 | | cdlemg42.r |
. . . . . . 7
β’ π
= ((trLβπΎ)βπ) |
44 | 7, 14, 42, 8, 9, 10, 43 | trlval2 38655 |
. . . . . 6
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ πΊ β π β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β (π
βπΊ) = ((π β¨ (πΊβπ))(meetβπΎ)π)) |
45 | 39, 40, 41, 44 | syl3anc 1372 |
. . . . 5
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (πΉ β π β§ πΊ β π) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (πΊβπ) β π β§ (π
βπΉ) β (π
βπΊ))) β§ (πΊβπ) β€ (π β¨ (πΉβπ))) β (π
βπΊ) = ((π β¨ (πΊβπ))(meetβπΎ)π)) |
46 | | simpl2l 1227 |
. . . . . 6
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (πΉ β π β§ πΊ β π) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (πΊβπ) β π β§ (π
βπΉ) β (π
βπΊ))) β§ (πΊβπ) β€ (π β¨ (πΉβπ))) β πΉ β π) |
47 | 7, 14, 42, 8, 9, 10, 43 | trlval2 38655 |
. . . . . 6
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ πΉ β π β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β (π
βπΉ) = ((π β¨ (πΉβπ))(meetβπΎ)π)) |
48 | 39, 46, 41, 47 | syl3anc 1372 |
. . . . 5
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (πΉ β π β§ πΊ β π) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (πΊβπ) β π β§ (π
βπΉ) β (π
βπΊ))) β§ (πΊβπ) β€ (π β¨ (πΉβπ))) β (π
βπΉ) = ((π β¨ (πΉβπ))(meetβπΎ)π)) |
49 | 38, 45, 48 | 3eqtr4rd 2788 |
. . . 4
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (πΉ β π β§ πΊ β π) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (πΊβπ) β π β§ (π
βπΉ) β (π
βπΊ))) β§ (πΊβπ) β€ (π β¨ (πΉβπ))) β (π
βπΉ) = (π
βπΊ)) |
50 | 49 | ex 414 |
. . 3
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (πΉ β π β§ πΊ β π) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (πΊβπ) β π β§ (π
βπΉ) β (π
βπΊ))) β ((πΊβπ) β€ (π β¨ (πΉβπ)) β (π
βπΉ) = (π
βπΊ))) |
51 | 50 | necon3ad 2957 |
. 2
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (πΉ β π β§ πΊ β π) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (πΊβπ) β π β§ (π
βπΉ) β (π
βπΊ))) β ((π
βπΉ) β (π
βπΊ) β Β¬ (πΊβπ) β€ (π β¨ (πΉβπ)))) |
52 | 1, 51 | mpd 15 |
1
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (πΉ β π β§ πΊ β π) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (πΊβπ) β π β§ (π
βπΉ) β (π
βπΊ))) β Β¬ (πΊβπ) β€ (π β¨ (πΉβπ))) |