Theorem mulcanad 11813

Description: Cancellation of a nonzero factor on the left in an equation. One-way deduction form of mulcand 11811. (Contributed by David Moews, 28-Feb-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
mulcanad.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
mulcanad.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
mulcanad.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
mulcanad.4	⊢ (𝜑 → 𝐶 ≠ 0)
mulcanad.5	⊢ (𝜑 → (𝐶 · 𝐴) = (𝐶 · 𝐵))

Assertion

Ref	Expression
mulcanad	⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐵)

Proof of Theorem mulcanad

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mulcanad.5	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐶 · 𝐴) = (𝐶 · 𝐵))
2		mulcanad.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
3		mulcanad.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
4		mulcanad.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
5		mulcanad.4	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ≠ 0)
6	2, 3, 4, 5	mulcand 11811	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 · 𝐴) = (𝐶 · 𝐵) ↔ 𝐴 = 𝐵))
7	1, 6	mpbid 232	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2925  (class class class)co 7387  ℂcc 11066  0cc0 11068   · cmul 11073

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711  ax-resscn 11125  ax-1cn 11126  ax-icn 11127  ax-addcl 11128  ax-addrcl 11129  ax-mulcl 11130  ax-mulrcl 11131  ax-mulcom 11132  ax-addass 11133  ax-mulass 11134  ax-distr 11135  ax-i2m1 11136  ax-1ne0 11137  ax-1rid 11138  ax-rnegex 11139  ax-rrecex 11140  ax-cnre 11141  ax-pre-lttri 11142  ax-pre-lttrn 11143  ax-pre-ltadd 11144  ax-pre-mulgt0 11145

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3355  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-id 5533  df-po 5546  df-so 5547  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-riota 7344  df-ov 7390  df-oprab 7391  df-mpo 7392  df-er 8671  df-en 8919  df-dom 8920  df-sdom 8921  df-pnf 11210  df-mnf 11211  df-xr 11212  df-ltxr 11213  df-le 11214  df-sub 11407  df-neg 11408

This theorem is referenced by:  qredeu  16628  gexexlem  19782  ssscongptld  26732  heron  26748  dcubic  26756  mpodvdsmulf1o  27104  dvdsmulf1o  27106  dchrsum2  27179  sumdchr2  27181  2sqlem8  27337  ax5seg  28865  ipasslem4  30763  oddpwdc  34345  rxp11d  42336  pell1234qrreccl  42842  pell14qrdich  42857  sumnnodd  45628  cevathlem1  46865