Theorem mulne0d 11801

Description: The product of two nonzero numbers is nonzero. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
msq0d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
mulne0bd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
mulne0d.3	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 0)
mulne0d.4	⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 0)

Assertion

Ref	Expression
mulne0d	⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝐵) ≠ 0)

Proof of Theorem mulne0d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mulne0d.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 0)
2		mulne0d.4	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 0)
3		msq0d.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
4		mulne0bd.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
5	3, 4	mulne0bd 11800	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0) ↔ (𝐴 · 𝐵) ≠ 0))
6	1, 2, 5	mpbi2and 713	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝐵) ≠ 0)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933  (class class class)co 7368  ℂcc 11036  0cc0 11038   · cmul 11043

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-id 5527  df-po 5540  df-so 5541  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7325  df-ov 7371  df-oprab 7372  df-mpo 7373  df-er 8645  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-pnf 11180  df-mnf 11181  df-xr 11182  df-ltxr 11183  df-le 11184  df-sub 11378  df-neg 11379

This theorem is referenced by:  divdivdiv  11854  absrpcl  15223  prodfn0  15829  ntrivcvgmullem  15836  fprodn0f  15926  tanval3  16071  tanaddlem  16103  tanadd  16104  lcmgcdlem  16545  prmdvdsbc  16665  pcqmul  16793  abvdom  20775  itg1mulc  25673  dgrmul  26244  aalioulem4  26311  taylthlem2  26350  taylthlem2OLD  26351  tanarg  26596  mulcxp  26662  cxpmul2  26666  relogbmul  26755  angcan  26780  ssscongptld  26800  chordthmlem2  26811  quad2  26817  dcubic2  26822  dcubic  26824  mcubic  26825  cubic2  26826  cubic  26827  lgamgulmlem2  27008  lgsdilem2  27312  lgsdi  27313  pntrlog2bndlem2  27557  padicabv  27609  ttgcontlem1  28969  quad3d  32839  iconstr  33943  constrrecl  33946  cos9thpiminplylem2  33960  cos9thpiminplylem3  33961  qqhghm  34165  qqhrhm  34166  itgexpif  34783  knoppndvlem1  36731  knoppndvlem2  36732  knoppndvlem7  36737  knoppndvlem14  36744  knoppndvlem16  36746  itg2addnclem  37919  areacirclem1  37956  lcmineqlem11  42406  lcmineqlem16  42411  lcmineqlem18  42413  dvrelogpow2b  42435  aks4d1p1p6  42440  aks4d1p1p7  42441  aks4d1p1p5  42442  2np3bcnp1  42511  ef11d  42706  3cubeslem2  43039  radcnvrat  44667  divcan8d  45671  mccllem  45954  clim1fr1  45958  reclimc  46008  dvdivcncf  46282  stoweidlem1  46356  wallispilem4  46423  wallispilem5  46424  wallispi2lem1  46426  wallispi2lem2  46427  wallispi2  46428  stirlinglem3  46431  stirlinglem4  46432  stirlinglem10  46438  stirlinglem12  46440  stirlinglem13  46441  stirlinglem14  46442  stirlinglem15  46443  dirker2re  46447  dirkerdenne0  46448  dirkerval2  46449  dirkerre  46450  dirkertrigeqlem2  46454  dirkertrigeqlem3  46455  dirkertrigeq  46456  dirkercncflem2  46459  dirkercncflem4  46461  fourierdlem43  46505  fourierdlem57  46518  fourierdlem58  46519  fourierdlem62  46523  fourierdlem66  46527  fourierdlem68  46529  fourierdlem72  46533  fourierdlem76  46537  fourierdlem78  46539  fourierdlem80  46541  fourierdlem103  46564  fourierdlem104  46565  fourierswlem  46585  fouriersw  46586  sigardiv  47216  cevathlem1  47222  quad1  47977  requad01  47978  requad1  47979