Theorem mulne0d 11942

Description: The product of two nonzero numbers is nonzero. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
msq0d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
mul0ord.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
mulne0d.3	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 0)
mulne0d.4	⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 0)

Assertion

Ref	Expression
mulne0d	⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝐵) ≠ 0)

Proof of Theorem mulne0d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mulne0d.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 0)
2		mulne0d.4	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 0)
3		msq0d.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
4		mul0ord.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
5	3, 4	mulne0bd 11941	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0) ↔ (𝐴 · 𝐵) ≠ 0))
6	1, 2, 5	mpbi2and 711	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝐵) ≠ 0)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2946  (class class class)co 7448  ℂcc 11182  0cc0 11184   · cmul 11189

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-mulcom 11248  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260  ax-pre-mulgt0 11261

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-id 5593  df-po 5607  df-so 5608  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-er 8763  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11522  df-neg 11523

This theorem is referenced by:  divdivdiv  11995  absrpcl  15337  prodfn0  15942  ntrivcvgmullem  15949  fprodn0f  16039  tanval3  16182  tanaddlem  16214  tanadd  16215  lcmgcdlem  16653  prmdvdsbc  16773  pcqmul  16900  abvdom  20853  itg1mulc  25759  dgrmul  26330  aalioulem4  26395  taylthlem2  26434  taylthlem2OLD  26435  tanarg  26679  mulcxp  26745  cxpmul2  26749  relogbmul  26838  angcan  26863  ssscongptld  26883  chordthmlem2  26894  quad2  26900  dcubic2  26905  dcubic  26907  mcubic  26908  cubic2  26909  cubic  26910  lgamgulmlem2  27091  lgsdilem2  27395  lgsdi  27396  pntrlog2bndlem2  27640  padicabv  27692  ttgcontlem1  28917  quad3d  32757  qqhghm  33934  qqhrhm  33935  itgexpif  34583  knoppndvlem1  36478  knoppndvlem2  36479  knoppndvlem7  36484  knoppndvlem14  36491  knoppndvlem16  36493  itg2addnclem  37631  areacirclem1  37668  lcmineqlem11  41996  lcmineqlem16  42001  lcmineqlem18  42003  dvrelogpow2b  42025  aks4d1p1p6  42030  aks4d1p1p7  42031  aks4d1p1p5  42032  2np3bcnp1  42101  ef11d  42327  3cubeslem2  42641  radcnvrat  44283  divcan8d  45227  mccllem  45518  clim1fr1  45522  reclimc  45574  dvdivcncf  45848  stoweidlem1  45922  wallispilem4  45989  wallispilem5  45990  wallispi2lem1  45992  wallispi2lem2  45993  wallispi2  45994  stirlinglem3  45997  stirlinglem4  45998  stirlinglem10  46004  stirlinglem12  46006  stirlinglem13  46007  stirlinglem14  46008  stirlinglem15  46009  dirker2re  46013  dirkerdenne0  46014  dirkerval2  46015  dirkerre  46016  dirkertrigeqlem2  46020  dirkertrigeqlem3  46021  dirkertrigeq  46022  dirkercncflem2  46025  dirkercncflem4  46027  fourierdlem43  46071  fourierdlem57  46084  fourierdlem58  46085  fourierdlem62  46089  fourierdlem66  46093  fourierdlem68  46095  fourierdlem72  46099  fourierdlem76  46103  fourierdlem78  46105  fourierdlem80  46107  fourierdlem103  46130  fourierdlem104  46131  fourierswlem  46151  fouriersw  46152  sigardiv  46782  cevathlem1  46788  quad1  47494  requad01  47495  requad1  47496