Theorem mulne0d 11961

Description: The product of two nonzero numbers is nonzero. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
msq0d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
mulne0bd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
mulne0d.3	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 0)
mulne0d.4	⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 0)

Assertion

Ref	Expression
mulne0d	⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝐵) ≠ 0)

Proof of Theorem mulne0d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mulne0d.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 0)
2		mulne0d.4	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 0)
3		msq0d.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
4		mulne0bd.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
5	3, 4	mulne0bd 11960	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0) ↔ (𝐴 · 𝐵) ≠ 0))
6	1, 2, 5	mpbi2and 725	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝐵) ≠ 0)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2956  (class class class)co 7418  ℂcc 11191  0cc0 11193   · cmul 11198

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7749  ax-resscn 11250  ax-1cn 11251  ax-icn 11252  ax-addcl 11253  ax-addrcl 11254  ax-mulcl 11255  ax-mulrcl 11256  ax-mulcom 11257  ax-addass 11258  ax-mulass 11259  ax-distr 11260  ax-i2m1 11261  ax-1ne0 11262  ax-1rid 11263  ax-rnegex 11264  ax-rrecex 11265  ax-cnre 11266  ax-pre-lttri 11267  ax-pre-lttrn 11268  ax-pre-ltadd 11269  ax-pre-mulgt0 11270

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-id 5546  df-po 5559  df-so 5560  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7375  df-ov 7421  df-oprab 7422  df-mpo 7423  df-er 8710  df-en 8967  df-dom 8968  df-sdom 8969  df-pnf 11338  df-mnf 11339  df-xr 11340  df-ltxr 11341  df-le 11342  df-sub 11536  df-neg 11537

This theorem is used by:  divdivdiv  12011  absrpcl  15448  prodfn0  16056  ntrivcvgmullem  16063  fprodn0f  16151  tanval3  16295  tanaddlem  16327  tanadd  16328  lcmgcdlem  16774  prmdvdsbc  16895  pcqmul  17024  abvdom  21080  itg1mulc  26018  dgrmul  26582  aalioulem4  26655  taylthlem2  26694  tanarg  26940  mulcxp  27006  cxpmul2  27010  relogbmul  27098  angcan  27123  ssscongptld  27143  chordthmlem2  27154  quad2  27160  dcubic2  27165  dcubic  27167  mcubic  27168  cubic2  27169  cubic  27170  lgamgulmlem2  27350  lgsdilem2  27653  lgsdi  27654  pntrlog2bndlem2  27898  padicabv  27950  ttgcontlem1  29455  quad3d  33334  iconstr  34391  constrrecl  34394  cos9thpiminplylem2  34408  cos9thpiminplylem3  34409  qqhghm  34613  qqhrhm  34614  itgexpif  35228  knoppndvlem1  37358  knoppndvlem2  37359  knoppndvlem7  37364  knoppndvlem14  37371  knoppndvlem16  37373  itg2addnclem  38569  areacirclem1  38606  lcmineqlem11  43069  lcmineqlem16  43074  lcmineqlem18  43076  dvrelogpow2b  43098  aks4d1p1p6  43103  aks4d1p1p7  43104  aks4d1p1p5  43105  2np3bcnp1  43174  ef11d  43370  3cubeslem2  43675  radcnvrat  45283  divcan8d  46297  mccllem  46578  clim1fr1  46582  reclimc  46632  dvdivcncf  46906  stoweidlem1  46980  wallispilem4  47047  wallispilem5  47048  wallispi2lem1  47050  wallispi2lem2  47051  wallispi2  47052  stirlinglem3  47055  stirlinglem4  47056  stirlinglem10  47062  stirlinglem12  47064  stirlinglem13  47065  stirlinglem14  47066  stirlinglem15  47067  dirker2re  47071  dirkerdenne0  47072  dirkerval2  47073  dirkerre  47074  dirkertrigeqlem2  47078  dirkertrigeqlem3  47079  dirkertrigeq  47080  dirkercncflem2  47083  dirkercncflem4  47085  fourierdlem43  47129  fourierdlem57  47142  fourierdlem58  47143  fourierdlem62  47147  fourierdlem66  47151  fourierdlem68  47153  fourierdlem72  47157  fourierdlem76  47161  fourierdlem78  47163  fourierdlem80  47165  fourierdlem103  47188  fourierdlem104  47189  fourierswlem  47209  fouriersw  47210  sigardiv  47840  cevathlem1  47846  quad1  48687  requad01  48688  requad1  48689  dvsec  50825