Theorem mulne0d 11806

Description: The product of two nonzero numbers is nonzero. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
msq0d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
mulne0bd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
mulne0d.3	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 0)
mulne0d.4	⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 0)

Assertion

Ref	Expression
mulne0d	⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝐵) ≠ 0)

Proof of Theorem mulne0d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mulne0d.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 0)
2		mulne0d.4	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 0)
3		msq0d.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
4		mulne0bd.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
5	3, 4	mulne0bd 11805	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0) ↔ (𝐴 · 𝐵) ≠ 0))
6	1, 2, 5	mpbi2and 712	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝐵) ≠ 0)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2925  (class class class)co 7369  ℂcc 11042  0cc0 11044   · cmul 11049

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382  ax-un 7691  ax-resscn 11101  ax-1cn 11102  ax-icn 11103  ax-addcl 11104  ax-addrcl 11105  ax-mulcl 11106  ax-mulrcl 11107  ax-mulcom 11108  ax-addass 11109  ax-mulass 11110  ax-distr 11111  ax-i2m1 11112  ax-1ne0 11113  ax-1rid 11114  ax-rnegex 11115  ax-rrecex 11116  ax-cnre 11117  ax-pre-lttri 11118  ax-pre-lttrn 11119  ax-pre-ltadd 11120  ax-pre-mulgt0 11121

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3352  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-id 5526  df-po 5539  df-so 5540  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-riota 7326  df-ov 7372  df-oprab 7373  df-mpo 7374  df-er 8648  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-pnf 11186  df-mnf 11187  df-xr 11188  df-ltxr 11189  df-le 11190  df-sub 11383  df-neg 11384

This theorem is referenced by:  divdivdiv  11859  absrpcl  15230  prodfn0  15836  ntrivcvgmullem  15843  fprodn0f  15933  tanval3  16078  tanaddlem  16110  tanadd  16111  lcmgcdlem  16552  prmdvdsbc  16672  pcqmul  16800  abvdom  20715  itg1mulc  25581  dgrmul  26152  aalioulem4  26219  taylthlem2  26258  taylthlem2OLD  26259  tanarg  26504  mulcxp  26570  cxpmul2  26574  relogbmul  26663  angcan  26688  ssscongptld  26708  chordthmlem2  26719  quad2  26725  dcubic2  26730  dcubic  26732  mcubic  26733  cubic2  26734  cubic  26735  lgamgulmlem2  26916  lgsdilem2  27220  lgsdi  27221  pntrlog2bndlem2  27465  padicabv  27517  ttgcontlem1  28788  quad3d  32646  iconstr  33729  constrrecl  33732  cos9thpiminplylem2  33746  cos9thpiminplylem3  33747  qqhghm  33951  qqhrhm  33952  itgexpif  34570  knoppndvlem1  36473  knoppndvlem2  36474  knoppndvlem7  36479  knoppndvlem14  36486  knoppndvlem16  36488  itg2addnclem  37638  areacirclem1  37675  lcmineqlem11  42000  lcmineqlem16  42005  lcmineqlem18  42007  dvrelogpow2b  42029  aks4d1p1p6  42034  aks4d1p1p7  42035  aks4d1p1p5  42036  2np3bcnp1  42105  ef11d  42300  3cubeslem2  42646  radcnvrat  44276  divcan8d  45283  mccllem  45568  clim1fr1  45572  reclimc  45624  dvdivcncf  45898  stoweidlem1  45972  wallispilem4  46039  wallispilem5  46040  wallispi2lem1  46042  wallispi2lem2  46043  wallispi2  46044  stirlinglem3  46047  stirlinglem4  46048  stirlinglem10  46054  stirlinglem12  46056  stirlinglem13  46057  stirlinglem14  46058  stirlinglem15  46059  dirker2re  46063  dirkerdenne0  46064  dirkerval2  46065  dirkerre  46066  dirkertrigeqlem2  46070  dirkertrigeqlem3  46071  dirkertrigeq  46072  dirkercncflem2  46075  dirkercncflem4  46077  fourierdlem43  46121  fourierdlem57  46134  fourierdlem58  46135  fourierdlem62  46139  fourierdlem66  46143  fourierdlem68  46145  fourierdlem72  46149  fourierdlem76  46153  fourierdlem78  46155  fourierdlem80  46157  fourierdlem103  46180  fourierdlem104  46181  fourierswlem  46201  fouriersw  46202  sigardiv  46832  cevathlem1  46838  quad1  47594  requad01  47595  requad1  47596