Theorem mulne0d 11912

Description: The product of two nonzero numbers is nonzero. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
msq0d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
mul0ord.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
mulne0d.3	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 0)
mulne0d.4	⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 0)

Assertion

Ref	Expression
mulne0d	⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝐵) ≠ 0)

Proof of Theorem mulne0d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mulne0d.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 0)
2		mulne0d.4	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 0)
3		msq0d.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
4		mul0ord.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
5	3, 4	mulne0bd 11911	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0) ↔ (𝐴 · 𝐵) ≠ 0))
6	1, 2, 5	mpbi2and 712	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝐵) ≠ 0)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2105   ≠ wne 2937  (class class class)co 7430  ℂcc 11150  0cc0 11152   · cmul 11157

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pow 5370  ax-pr 5437  ax-un 7753  ax-resscn 11209  ax-1cn 11210  ax-icn 11211  ax-addcl 11212  ax-addrcl 11213  ax-mulcl 11214  ax-mulrcl 11215  ax-mulcom 11216  ax-addass 11217  ax-mulass 11218  ax-distr 11219  ax-i2m1 11220  ax-1ne0 11221  ax-1rid 11222  ax-rnegex 11223  ax-rrecex 11224  ax-cnre 11225  ax-pre-lttri 11226  ax-pre-lttrn 11227  ax-pre-ltadd 11228  ax-pre-mulgt0 11229

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-reu 3378  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4912  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-id 5582  df-po 5596  df-so 5597  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-riota 7387  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-er 8743  df-en 8984  df-dom 8985  df-sdom 8986  df-pnf 11294  df-mnf 11295  df-xr 11296  df-ltxr 11297  df-le 11298  df-sub 11491  df-neg 11492

This theorem is referenced by:  divdivdiv  11965  absrpcl  15323  prodfn0  15926  ntrivcvgmullem  15933  fprodn0f  16023  tanval3  16166  tanaddlem  16198  tanadd  16199  lcmgcdlem  16639  prmdvdsbc  16759  pcqmul  16886  abvdom  20847  itg1mulc  25753  dgrmul  26324  aalioulem4  26391  taylthlem2  26430  taylthlem2OLD  26431  tanarg  26675  mulcxp  26741  cxpmul2  26745  relogbmul  26834  angcan  26859  ssscongptld  26879  chordthmlem2  26890  quad2  26896  dcubic2  26901  dcubic  26903  mcubic  26904  cubic2  26905  cubic  26906  lgamgulmlem2  27087  lgsdilem2  27391  lgsdi  27392  pntrlog2bndlem2  27636  padicabv  27688  ttgcontlem1  28913  quad3d  32760  qqhghm  33950  qqhrhm  33951  itgexpif  34599  knoppndvlem1  36494  knoppndvlem2  36495  knoppndvlem7  36500  knoppndvlem14  36507  knoppndvlem16  36509  itg2addnclem  37657  areacirclem1  37694  lcmineqlem11  42020  lcmineqlem16  42025  lcmineqlem18  42027  dvrelogpow2b  42049  aks4d1p1p6  42054  aks4d1p1p7  42055  aks4d1p1p5  42056  2np3bcnp1  42125  ef11d  42353  3cubeslem2  42672  radcnvrat  44309  divcan8d  45262  mccllem  45552  clim1fr1  45556  reclimc  45608  dvdivcncf  45882  stoweidlem1  45956  wallispilem4  46023  wallispilem5  46024  wallispi2lem1  46026  wallispi2lem2  46027  wallispi2  46028  stirlinglem3  46031  stirlinglem4  46032  stirlinglem10  46038  stirlinglem12  46040  stirlinglem13  46041  stirlinglem14  46042  stirlinglem15  46043  dirker2re  46047  dirkerdenne0  46048  dirkerval2  46049  dirkerre  46050  dirkertrigeqlem2  46054  dirkertrigeqlem3  46055  dirkertrigeq  46056  dirkercncflem2  46059  dirkercncflem4  46061  fourierdlem43  46105  fourierdlem57  46118  fourierdlem58  46119  fourierdlem62  46123  fourierdlem66  46127  fourierdlem68  46129  fourierdlem72  46133  fourierdlem76  46137  fourierdlem78  46139  fourierdlem80  46141  fourierdlem103  46164  fourierdlem104  46165  fourierswlem  46185  fouriersw  46186  sigardiv  46816  cevathlem1  46822  quad1  47544  requad01  47545  requad1  47546