Theorem mulne0d 11802

Description: The product of two nonzero numbers is nonzero. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
msq0d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
mulne0bd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
mulne0d.3	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 0)
mulne0d.4	⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 0)

Assertion

Ref	Expression
mulne0d	⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝐵) ≠ 0)

Proof of Theorem mulne0d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mulne0d.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 0)
2		mulne0d.4	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 0)
3		msq0d.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
4		mulne0bd.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
5	3, 4	mulne0bd 11801	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0) ↔ (𝐴 · 𝐵) ≠ 0))
6	1, 2, 5	mpbi2and 713	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝐵) ≠ 0)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2932  (class class class)co 7367  ℂcc 11036  0cc0 11038   · cmul 11043

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5307  ax-pr 5375  ax-un 7689  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3062  df-reu 3343  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4851  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-id 5526  df-po 5539  df-so 5540  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-f1 6503  df-fo 6504  df-f1o 6505  df-fv 6506  df-riota 7324  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-er 8643  df-en 8894  df-dom 8895  df-sdom 8896  df-pnf 11181  df-mnf 11182  df-xr 11183  df-ltxr 11184  df-le 11185  df-sub 11379  df-neg 11380

This theorem is referenced by:  divdivdiv  11856  absrpcl  15250  prodfn0  15859  ntrivcvgmullem  15866  fprodn0f  15956  tanval3  16101  tanaddlem  16133  tanadd  16134  lcmgcdlem  16575  prmdvdsbc  16696  pcqmul  16824  abvdom  20807  itg1mulc  25671  dgrmul  26235  aalioulem4  26301  taylthlem2  26339  tanarg  26583  mulcxp  26649  cxpmul2  26653  relogbmul  26741  angcan  26766  ssscongptld  26786  chordthmlem2  26797  quad2  26803  dcubic2  26808  dcubic  26810  mcubic  26811  cubic2  26812  cubic  26813  lgamgulmlem2  26993  lgsdilem2  27296  lgsdi  27297  pntrlog2bndlem2  27541  padicabv  27593  ttgcontlem1  28953  quad3d  32822  iconstr  33910  constrrecl  33913  cos9thpiminplylem2  33927  cos9thpiminplylem3  33928  qqhghm  34132  qqhrhm  34133  itgexpif  34750  knoppndvlem1  36772  knoppndvlem2  36773  knoppndvlem7  36778  knoppndvlem14  36785  knoppndvlem16  36787  itg2addnclem  37992  areacirclem1  38029  lcmineqlem11  42478  lcmineqlem16  42483  lcmineqlem18  42485  dvrelogpow2b  42507  aks4d1p1p6  42512  aks4d1p1p7  42513  aks4d1p1p5  42514  2np3bcnp1  42583  ef11d  42771  3cubeslem2  43117  radcnvrat  44741  divcan8d  45745  mccllem  46027  clim1fr1  46031  reclimc  46081  dvdivcncf  46355  stoweidlem1  46429  wallispilem4  46496  wallispilem5  46497  wallispi2lem1  46499  wallispi2lem2  46500  wallispi2  46501  stirlinglem3  46504  stirlinglem4  46505  stirlinglem10  46511  stirlinglem12  46513  stirlinglem13  46514  stirlinglem14  46515  stirlinglem15  46516  dirker2re  46520  dirkerdenne0  46521  dirkerval2  46522  dirkerre  46523  dirkertrigeqlem2  46527  dirkertrigeqlem3  46528  dirkertrigeq  46529  dirkercncflem2  46532  dirkercncflem4  46534  fourierdlem43  46578  fourierdlem57  46591  fourierdlem58  46592  fourierdlem62  46596  fourierdlem66  46600  fourierdlem68  46602  fourierdlem72  46606  fourierdlem76  46610  fourierdlem78  46612  fourierdlem80  46614  fourierdlem103  46637  fourierdlem104  46638  fourierswlem  46658  fouriersw  46659  sigardiv  47289  cevathlem1  47295  quad1  48096  requad01  48097  requad1  48098