Theorem mulne0d 11890

Description: The product of two nonzero numbers is nonzero. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
msq0d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
mul0ord.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
mulne0d.3	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 0)
mulne0d.4	⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 0)

Assertion

Ref	Expression
mulne0d	⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝐵) ≠ 0)

Proof of Theorem mulne0d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mulne0d.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 0)
2		mulne0d.4	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 0)
3		msq0d.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
4		mul0ord.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
5	3, 4	mulne0bd 11889	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0) ↔ (𝐴 · 𝐵) ≠ 0))
6	1, 2, 5	mpbi2and 711	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝐵) ≠ 0)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2099   ≠ wne 2935  (class class class)co 7414  ℂcc 11130  0cc0 11132   · cmul 11137

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7734  ax-resscn 11189  ax-1cn 11190  ax-icn 11191  ax-addcl 11192  ax-addrcl 11193  ax-mulcl 11194  ax-mulrcl 11195  ax-mulcom 11196  ax-addass 11197  ax-mulass 11198  ax-distr 11199  ax-i2m1 11200  ax-1ne0 11201  ax-1rid 11202  ax-rnegex 11203  ax-rrecex 11204  ax-cnre 11205  ax-pre-lttri 11206  ax-pre-lttrn 11207  ax-pre-ltadd 11208  ax-pre-mulgt0 11209

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-nel 3042  df-ral 3057  df-rex 3066  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-id 5570  df-po 5584  df-so 5585  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-er 8718  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-pnf 11274  df-mnf 11275  df-xr 11276  df-ltxr 11277  df-le 11278  df-sub 11470  df-neg 11471

This theorem is referenced by:  divdivdiv  11939  absrpcl  15261  prodfn0  15866  ntrivcvgmullem  15873  fprodn0f  15961  tanval3  16104  tanaddlem  16136  tanadd  16137  lcmgcdlem  16570  prmdvdsbc  16691  pcqmul  16815  abvdom  20711  itg1mulc  25627  dgrmul  26198  aalioulem4  26263  taylthlem2  26302  taylthlem2OLD  26303  tanarg  26546  mulcxp  26612  cxpmul2  26616  relogbmul  26702  angcan  26727  ssscongptld  26747  chordthmlem2  26758  quad2  26764  dcubic2  26769  dcubic  26771  mcubic  26772  cubic2  26773  cubic  26774  lgamgulmlem2  26955  lgsdilem2  27259  lgsdi  27260  pntrlog2bndlem2  27504  padicabv  27556  ttgcontlem1  28688  qqhghm  33579  qqhrhm  33580  itgexpif  34228  knoppndvlem1  35977  knoppndvlem2  35978  knoppndvlem7  35983  knoppndvlem14  35990  knoppndvlem16  35992  itg2addnclem  37133  areacirclem1  37170  lcmineqlem11  41499  lcmineqlem16  41504  lcmineqlem18  41506  dvrelogpow2b  41528  aks4d1p1p6  41533  aks4d1p1p7  41534  aks4d1p1p5  41535  2np3bcnp1  41600  ef11d  41882  3cubeslem2  42077  radcnvrat  43723  divcan8d  44666  mccllem  44957  clim1fr1  44961  reclimc  45013  dvdivcncf  45287  stoweidlem1  45361  wallispilem4  45428  wallispilem5  45429  wallispi2lem1  45431  wallispi2lem2  45432  wallispi2  45433  stirlinglem3  45436  stirlinglem4  45437  stirlinglem10  45443  stirlinglem12  45445  stirlinglem13  45446  stirlinglem14  45447  stirlinglem15  45448  dirker2re  45452  dirkerdenne0  45453  dirkerval2  45454  dirkerre  45455  dirkertrigeqlem2  45459  dirkertrigeqlem3  45460  dirkertrigeq  45461  dirkercncflem2  45464  dirkercncflem4  45466  fourierdlem43  45510  fourierdlem57  45523  fourierdlem58  45524  fourierdlem62  45528  fourierdlem66  45532  fourierdlem68  45534  fourierdlem72  45538  fourierdlem76  45542  fourierdlem78  45544  fourierdlem80  45546  fourierdlem103  45569  fourierdlem104  45570  fourierswlem  45590  fouriersw  45591  sigardiv  46221  cevathlem1  46227  quad1  46932  requad01  46933  requad1  46934