Theorem mulne0d 11830

Description: The product of two nonzero numbers is nonzero. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
msq0d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
mulne0bd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
mulne0d.3	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 0)
mulne0d.4	⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 0)

Assertion

Ref	Expression
mulne0d	⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝐵) ≠ 0)

Proof of Theorem mulne0d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mulne0d.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 0)
2		mulne0d.4	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 0)
3		msq0d.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
4		mulne0bd.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
5	3, 4	mulne0bd 11829	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0) ↔ (𝐴 · 𝐵) ≠ 0))
6	1, 2, 5	mpbi2and 712	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝐵) ≠ 0)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2925  (class class class)co 7387  ℂcc 11066  0cc0 11068   · cmul 11073

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711  ax-resscn 11125  ax-1cn 11126  ax-icn 11127  ax-addcl 11128  ax-addrcl 11129  ax-mulcl 11130  ax-mulrcl 11131  ax-mulcom 11132  ax-addass 11133  ax-mulass 11134  ax-distr 11135  ax-i2m1 11136  ax-1ne0 11137  ax-1rid 11138  ax-rnegex 11139  ax-rrecex 11140  ax-cnre 11141  ax-pre-lttri 11142  ax-pre-lttrn 11143  ax-pre-ltadd 11144  ax-pre-mulgt0 11145

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3355  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-id 5533  df-po 5546  df-so 5547  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-riota 7344  df-ov 7390  df-oprab 7391  df-mpo 7392  df-er 8671  df-en 8919  df-dom 8920  df-sdom 8921  df-pnf 11210  df-mnf 11211  df-xr 11212  df-ltxr 11213  df-le 11214  df-sub 11407  df-neg 11408

This theorem is referenced by:  divdivdiv  11883  absrpcl  15254  prodfn0  15860  ntrivcvgmullem  15867  fprodn0f  15957  tanval3  16102  tanaddlem  16134  tanadd  16135  lcmgcdlem  16576  prmdvdsbc  16696  pcqmul  16824  abvdom  20739  itg1mulc  25605  dgrmul  26176  aalioulem4  26243  taylthlem2  26282  taylthlem2OLD  26283  tanarg  26528  mulcxp  26594  cxpmul2  26598  relogbmul  26687  angcan  26712  ssscongptld  26732  chordthmlem2  26743  quad2  26749  dcubic2  26754  dcubic  26756  mcubic  26757  cubic2  26758  cubic  26759  lgamgulmlem2  26940  lgsdilem2  27244  lgsdi  27245  pntrlog2bndlem2  27489  padicabv  27541  ttgcontlem1  28812  quad3d  32673  iconstr  33756  constrrecl  33759  cos9thpiminplylem2  33773  cos9thpiminplylem3  33774  qqhghm  33978  qqhrhm  33979  itgexpif  34597  knoppndvlem1  36500  knoppndvlem2  36501  knoppndvlem7  36506  knoppndvlem14  36513  knoppndvlem16  36515  itg2addnclem  37665  areacirclem1  37702  lcmineqlem11  42027  lcmineqlem16  42032  lcmineqlem18  42034  dvrelogpow2b  42056  aks4d1p1p6  42061  aks4d1p1p7  42062  aks4d1p1p5  42063  2np3bcnp1  42132  ef11d  42327  3cubeslem2  42673  radcnvrat  44303  divcan8d  45310  mccllem  45595  clim1fr1  45599  reclimc  45651  dvdivcncf  45925  stoweidlem1  45999  wallispilem4  46066  wallispilem5  46067  wallispi2lem1  46069  wallispi2lem2  46070  wallispi2  46071  stirlinglem3  46074  stirlinglem4  46075  stirlinglem10  46081  stirlinglem12  46083  stirlinglem13  46084  stirlinglem14  46085  stirlinglem15  46086  dirker2re  46090  dirkerdenne0  46091  dirkerval2  46092  dirkerre  46093  dirkertrigeqlem2  46097  dirkertrigeqlem3  46098  dirkertrigeq  46099  dirkercncflem2  46102  dirkercncflem4  46104  fourierdlem43  46148  fourierdlem57  46161  fourierdlem58  46162  fourierdlem62  46166  fourierdlem66  46170  fourierdlem68  46172  fourierdlem72  46176  fourierdlem76  46180  fourierdlem78  46182  fourierdlem80  46184  fourierdlem103  46207  fourierdlem104  46208  fourierswlem  46228  fouriersw  46229  sigardiv  46859  cevathlem1  46865  quad1  47621  requad01  47622  requad1  47623