Theorem mulne0d 11793

Description: The product of two nonzero numbers is nonzero. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
msq0d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
mulne0bd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
mulne0d.3	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 0)
mulne0d.4	⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 0)

Assertion

Ref	Expression
mulne0d	⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝐵) ≠ 0)

Proof of Theorem mulne0d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mulne0d.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 0)
2		mulne0d.4	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 0)
3		msq0d.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
4		mulne0bd.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
5	3, 4	mulne0bd 11792	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0) ↔ (𝐴 · 𝐵) ≠ 0))
6	1, 2, 5	mpbi2and 718	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝐵) ≠ 0)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2119   ≠ wne 2934  (class class class)co 7356  ℂcc 11027  0cc0 11029   · cmul 11034

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2711  ax-sep 5218  ax-nul 5228  ax-pow 5294  ax-pr 5362  ax-un 7678  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105  ax-pre-mulgt0 11106

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2814  df-nfc 2888  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3064  df-reu 3345  df-rab 3392  df-v 3433  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-nul 4262  df-if 4455  df-pw 4531  df-sn 4556  df-pr 4558  df-op 4562  df-uni 4839  df-br 5073  df-opab 5135  df-mpt 5154  df-id 5513  df-po 5526  df-so 5527  df-xp 5624  df-rel 5625  df-cnv 5626  df-co 5627  df-dm 5628  df-rn 5629  df-res 5630  df-ima 5631  df-iota 6441  df-fun 6487  df-fn 6488  df-f 6489  df-f1 6490  df-fo 6491  df-f1o 6492  df-fv 6493  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-er 8633  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371

This theorem is referenced by:  divdivdiv  11847  absrpcl  15241  prodfn0  15850  ntrivcvgmullem  15857  fprodn0f  15947  tanval3  16092  tanaddlem  16124  tanadd  16125  lcmgcdlem  16566  prmdvdsbc  16687  pcqmul  16815  abvdom  20802  itg1mulc  25689  dgrmul  26253  aalioulem4  26319  taylthlem2  26357  tanarg  26601  mulcxp  26667  cxpmul2  26671  relogbmul  26759  angcan  26784  ssscongptld  26804  chordthmlem2  26815  quad2  26821  dcubic2  26826  dcubic  26828  mcubic  26829  cubic2  26830  cubic  26831  lgamgulmlem2  27011  lgsdilem2  27314  lgsdi  27315  pntrlog2bndlem2  27559  padicabv  27611  ttgcontlem1  28971  quad3d  32841  iconstr  33950  constrrecl  33953  cos9thpiminplylem2  33967  cos9thpiminplylem3  33968  qqhghm  34172  qqhrhm  34173  itgexpif  34790  knoppndvlem1  36818  knoppndvlem2  36819  knoppndvlem7  36824  knoppndvlem14  36831  knoppndvlem16  36833  itg2addnclem  38038  areacirclem1  38075  lcmineqlem11  42524  lcmineqlem16  42529  lcmineqlem18  42531  dvrelogpow2b  42553  aks4d1p1p6  42558  aks4d1p1p7  42559  aks4d1p1p5  42560  2np3bcnp1  42629  ef11d  42816  3cubeslem2  43134  radcnvrat  44758  divcan8d  45760  mccllem  46042  clim1fr1  46046  reclimc  46096  dvdivcncf  46370  stoweidlem1  46444  wallispilem4  46511  wallispilem5  46512  wallispi2lem1  46514  wallispi2lem2  46515  wallispi2  46516  stirlinglem3  46519  stirlinglem4  46520  stirlinglem10  46526  stirlinglem12  46528  stirlinglem13  46529  stirlinglem14  46530  stirlinglem15  46531  dirker2re  46535  dirkerdenne0  46536  dirkerval2  46537  dirkerre  46538  dirkertrigeqlem2  46542  dirkertrigeqlem3  46543  dirkertrigeq  46544  dirkercncflem2  46547  dirkercncflem4  46549  fourierdlem43  46593  fourierdlem57  46606  fourierdlem58  46607  fourierdlem62  46611  fourierdlem66  46615  fourierdlem68  46617  fourierdlem72  46621  fourierdlem76  46625  fourierdlem78  46627  fourierdlem80  46629  fourierdlem103  46652  fourierdlem104  46653  fourierswlem  46673  fouriersw  46674  sigardiv  47304  cevathlem1  47310  quad1  48111  requad01  48112  requad1  48113