Theorem mulne0d 11972

Description: The product of two nonzero numbers is nonzero. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
msq0d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
mulne0bd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
mulne0d.3	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 0)
mulne0d.4	⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 0)

Assertion

Ref	Expression
mulne0d	⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝐵) ≠ 0)

Proof of Theorem mulne0d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mulne0d.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 0)
2		mulne0d.4	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 0)
3		msq0d.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
4		mulne0bd.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
5	3, 4	mulne0bd 11971	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0) ↔ (𝐴 · 𝐵) ≠ 0))
6	1, 2, 5	mpbi2and 725	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝐵) ≠ 0)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2144   ≠ wne 2955  (class class class)co 7421  ℂcc 11202  0cc0 11204   · cmul 11209

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7752  ax-resscn 11261  ax-1cn 11262  ax-icn 11263  ax-addcl 11264  ax-addrcl 11265  ax-mulcl 11266  ax-mulrcl 11267  ax-mulcom 11268  ax-addass 11269  ax-mulass 11270  ax-distr 11271  ax-i2m1 11272  ax-1ne0 11273  ax-1rid 11274  ax-rnegex 11275  ax-rrecex 11276  ax-cnre 11277  ax-pre-lttri 11278  ax-pre-lttrn 11279  ax-pre-ltadd 11280  ax-pre-mulgt0 11281

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-id 5545  df-po 5558  df-so 5559  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-iota 6494  df-fun 6541  df-fn 6542  df-f 6543  df-f1 6544  df-fo 6545  df-f1o 6546  df-fv 6547  df-riota 7378  df-ov 7424  df-oprab 7425  df-mpo 7426  df-er 8721  df-en 8978  df-dom 8979  df-sdom 8980  df-pnf 11349  df-mnf 11350  df-xr 11351  df-ltxr 11352  df-le 11353  df-sub 11547  df-neg 11548

This theorem is used by:  divdivdiv  12022  absrpcl  15461  prodfn0  16069  ntrivcvgmullem  16076  fprodn0f  16164  tanval3  16308  tanaddlem  16340  tanadd  16341  lcmgcdlem  16787  prmdvdsbc  16908  pcqmul  17037  abvdom  21093  itg1mulc  26031  dgrmul  26595  aalioulem4  26668  taylthlem2  26707  tanarg  26953  mulcxp  27019  cxpmul2  27023  relogbmul  27111  angcan  27136  ssscongptld  27156  chordthmlem2  27167  quad2  27173  dcubic2  27178  dcubic  27180  mcubic  27181  cubic2  27182  cubic  27183  lgamgulmlem2  27363  lgsdilem2  27666  lgsdi  27667  pntrlog2bndlem2  27911  padicabv  27963  ttgcontlem1  29468  quad3d  33388  iconstr  34445  constrrecl  34448  cos9thpiminplylem2  34462  cos9thpiminplylem3  34463  qqhghm  34667  qqhrhm  34668  itgexpif  35282  knoppndvlem1  37471  knoppndvlem2  37472  knoppndvlem7  37477  knoppndvlem14  37484  knoppndvlem16  37486  itg2addnclem  38683  areacirclem1  38720  lcmineqlem11  43183  lcmineqlem16  43188  lcmineqlem18  43190  dvrelogpow2b  43212  aks4d1p1p6  43217  aks4d1p1p7  43218  aks4d1p1p5  43219  2np3bcnp1  43288  ef11d  43484  3cubeslem2  43789  radcnvrat  45392  divcan8d  46422  mccllem  46703  clim1fr1  46707  reclimc  46757  dvdivcncf  47031  stoweidlem1  47105  wallispilem4  47172  wallispilem5  47173  wallispi2lem1  47175  wallispi2lem2  47176  wallispi2  47177  stirlinglem3  47180  stirlinglem4  47181  stirlinglem10  47187  stirlinglem12  47189  stirlinglem13  47190  stirlinglem14  47191  stirlinglem15  47192  dirker2re  47196  dirkerdenne0  47197  dirkerval2  47198  dirkerre  47199  dirkertrigeqlem2  47203  dirkertrigeqlem3  47204  dirkertrigeq  47205  dirkercncflem2  47208  dirkercncflem4  47210  fourierdlem43  47254  fourierdlem57  47267  fourierdlem58  47268  fourierdlem62  47272  fourierdlem66  47276  fourierdlem68  47278  fourierdlem72  47282  fourierdlem76  47286  fourierdlem78  47288  fourierdlem80  47290  fourierdlem103  47313  fourierdlem104  47314  fourierswlem  47334  fouriersw  47335  sigardiv  47965  cevathlem1  47971  quad1  48812  requad01  48813  requad1  48814  dvsec  51025