Theorem mulne0d 11281

Description: The product of two nonzero numbers is nonzero. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
msq0d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
mul0ord.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
mulne0d.3	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 0)
mulne0d.4	⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 0)

Assertion

Ref	Expression
mulne0d	⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝐵) ≠ 0)

Proof of Theorem mulne0d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mulne0d.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 0)
2		mulne0d.4	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 0)
3		msq0d.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
4		mul0ord.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
5	3, 4	mulne0bd 11280	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0) ↔ (𝐴 · 𝐵) ≠ 0))
6	1, 2, 5	mpbi2and 711	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝐵) ≠ 0)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2111   ≠ wne 2987  (class class class)co 7135  ℂcc 10524  0cc0 10526   · cmul 10531

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7441  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-op 4532  df-uni 4801  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-id 5425  df-po 5438  df-so 5439  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-f1 6329  df-fo 6330  df-f1o 6331  df-fv 6332  df-riota 7093  df-ov 7138  df-oprab 7139  df-mpo 7140  df-er 8272  df-en 8493  df-dom 8494  df-sdom 8495  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862

This theorem is referenced by:  divdivdiv  11330  absrpcl  14640  prodfn0  15242  ntrivcvgmullem  15249  fprodn0f  15337  tanval3  15479  tanaddlem  15511  tanadd  15512  lcmgcdlem  15940  pcqmul  16180  abvdom  19602  itg1mulc  24308  dgrmul  24867  aalioulem4  24931  taylthlem2  24969  tanarg  25210  mulcxp  25276  cxpmul2  25280  relogbmul  25363  angcan  25388  ssscongptld  25408  chordthmlem2  25419  quad2  25425  dcubic2  25430  dcubic  25432  mcubic  25433  cubic2  25434  cubic  25435  lgamgulmlem2  25615  lgsdilem2  25917  lgsdi  25918  pntrlog2bndlem2  26162  padicabv  26214  ttgcontlem1  26679  prmdvdsbc  30558  qqhghm  31339  qqhrhm  31340  itgexpif  31987  knoppndvlem1  33964  knoppndvlem2  33965  knoppndvlem7  33970  knoppndvlem14  33977  knoppndvlem16  33979  itg2addnclem  35108  areacirclem1  35145  lcmineqlem11  39327  lcmineqlem16  39332  lcmineqlem18  39334  2np3bcnp1  39348  3cubeslem2  39626  radcnvrat  41018  divcan8d  41944  mccllem  42239  clim1fr1  42243  reclimc  42295  dvdivcncf  42569  stoweidlem1  42643  wallispilem4  42710  wallispilem5  42711  wallispi2lem1  42713  wallispi2lem2  42714  wallispi2  42715  stirlinglem3  42718  stirlinglem4  42719  stirlinglem10  42725  stirlinglem12  42727  stirlinglem13  42728  stirlinglem14  42729  stirlinglem15  42730  dirker2re  42734  dirkerdenne0  42735  dirkerval2  42736  dirkerre  42737  dirkertrigeqlem2  42741  dirkertrigeqlem3  42742  dirkertrigeq  42743  dirkercncflem2  42746  dirkercncflem4  42748  fourierdlem43  42792  fourierdlem57  42805  fourierdlem58  42806  fourierdlem62  42810  fourierdlem66  42814  fourierdlem68  42816  fourierdlem72  42820  fourierdlem76  42824  fourierdlem78  42826  fourierdlem80  42828  fourierdlem103  42851  fourierdlem104  42852  fourierswlem  42872  fouriersw  42873  sigardiv  43475  cevathlem1  43481  quad1  44138  requad01  44139  requad1  44140