Theorem mulne0d 11877

Description: The product of two nonzero numbers is nonzero. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
msq0d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
mulne0bd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
mulne0d.3	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 0)
mulne0d.4	⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 0)

Assertion

Ref	Expression
mulne0d	⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝐵) ≠ 0)

Proof of Theorem mulne0d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mulne0d.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 0)
2		mulne0d.4	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 0)
3		msq0d.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
4		mulne0bd.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
5	3, 4	mulne0bd 11876	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0) ↔ (𝐴 · 𝐵) ≠ 0))
6	1, 2, 5	mpbi2and 725	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝐵) ≠ 0)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2146   ≠ wne 2960  (class class class)co 7416  ℂcc 11109  0cc0 11111   · cmul 11116

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7738  ax-resscn 11168  ax-1cn 11169  ax-icn 11170  ax-addcl 11171  ax-addrcl 11172  ax-mulcl 11173  ax-mulrcl 11174  ax-mulcom 11175  ax-addass 11176  ax-mulass 11177  ax-distr 11178  ax-i2m1 11179  ax-1ne0 11180  ax-1rid 11181  ax-rnegex 11182  ax-rrecex 11183  ax-cnre 11184  ax-pre-lttri 11185  ax-pre-lttrn 11186  ax-pre-ltadd 11187  ax-pre-mulgt0 11188

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3082  df-rex 3092  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-id 5558  df-po 5571  df-so 5572  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7373  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-er 8696  df-en 8946  df-dom 8947  df-sdom 8948  df-pnf 11256  df-mnf 11257  df-xr 11258  df-ltxr 11259  df-le 11260  df-sub 11454  df-neg 11455

This theorem is used by:  divdivdiv  11927  absrpcl  15358  prodfn0  15966  ntrivcvgmullem  15973  fprodn0f  16063  tanval3  16207  tanaddlem  16239  tanadd  16240  lcmgcdlem  16681  prmdvdsbc  16802  pcqmul  16930  abvdom  20962  itg1mulc  25892  dgrmul  26456  aalioulem4  26527  taylthlem2  26566  tanarg  26813  mulcxp  26879  cxpmul2  26883  relogbmul  26971  angcan  26996  ssscongptld  27016  chordthmlem2  27027  quad2  27033  dcubic2  27038  dcubic  27040  mcubic  27041  cubic2  27042  cubic  27043  lgamgulmlem2  27223  lgsdilem2  27526  lgsdi  27527  pntrlog2bndlem2  27771  padicabv  27823  ttgcontlem1  29263  quad3d  33123  iconstr  34179  constrrecl  34182  cos9thpiminplylem2  34196  cos9thpiminplylem3  34197  qqhghm  34401  qqhrhm  34402  itgexpif  35017  knoppndvlem1  37134  knoppndvlem2  37135  knoppndvlem7  37140  knoppndvlem14  37147  knoppndvlem16  37149  itg2addnclem  38355  areacirclem1  38392  lcmineqlem11  42839  lcmineqlem16  42844  lcmineqlem18  42846  dvrelogpow2b  42868  aks4d1p1p6  42873  aks4d1p1p7  42874  aks4d1p1p5  42875  2np3bcnp1  42944  ef11d  43133  3cubeslem2  43449  radcnvrat  45057  divcan8d  46064  mccllem  46346  clim1fr1  46350  reclimc  46400  dvdivcncf  46674  stoweidlem1  46748  wallispilem4  46815  wallispilem5  46816  wallispi2lem1  46818  wallispi2lem2  46819  wallispi2  46820  stirlinglem3  46823  stirlinglem4  46824  stirlinglem10  46830  stirlinglem12  46832  stirlinglem13  46833  stirlinglem14  46834  stirlinglem15  46835  dirker2re  46839  dirkerdenne0  46840  dirkerval2  46841  dirkerre  46842  dirkertrigeqlem2  46846  dirkertrigeqlem3  46847  dirkertrigeq  46848  dirkercncflem2  46851  dirkercncflem4  46853  fourierdlem43  46897  fourierdlem57  46910  fourierdlem58  46911  fourierdlem62  46915  fourierdlem66  46919  fourierdlem68  46921  fourierdlem72  46925  fourierdlem76  46929  fourierdlem78  46931  fourierdlem80  46933  fourierdlem103  46956  fourierdlem104  46957  fourierswlem  46977  fouriersw  46978  sigardiv  47608  cevathlem1  47614  quad1  48418  requad01  48419  requad1  48420