Theorem mulne0d 11833

Description: The product of two nonzero numbers is nonzero. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
msq0d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
mulne0bd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
mulne0d.3	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 0)
mulne0d.4	⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 0)

Assertion

Ref	Expression
mulne0d	⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝐵) ≠ 0)

Proof of Theorem mulne0d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mulne0d.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 0)
2		mulne0d.4	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 0)
3		msq0d.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
4		mulne0bd.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
5	3, 4	mulne0bd 11832	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0) ↔ (𝐴 · 𝐵) ≠ 0))
6	1, 2, 5	mpbi2and 722	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝐵) ≠ 0)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2141   ≠ wne 2956  (class class class)co 7391  ℂcc 11065  0cc0 11067   · cmul 11072

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5319  ax-pr 5387  ax-un 7713  ax-resscn 11124  ax-1cn 11125  ax-icn 11126  ax-addcl 11127  ax-addrcl 11128  ax-mulcl 11129  ax-mulrcl 11130  ax-mulcom 11131  ax-addass 11132  ax-mulass 11133  ax-distr 11134  ax-i2m1 11135  ax-1ne0 11136  ax-1rid 11137  ax-rnegex 11138  ax-rrecex 11139  ax-cnre 11140  ax-pre-lttri 11141  ax-pre-lttrn 11142  ax-pre-ltadd 11143  ax-pre-mulgt0 11144

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1098  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3061  df-ral 3076  df-rex 3086  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4863  df-br 5098  df-opab 5160  df-mpt 5179  df-id 5538  df-po 5551  df-so 5552  df-xp 5649  df-rel 5650  df-cnv 5651  df-co 5652  df-dm 5653  df-rn 5654  df-res 5655  df-ima 5656  df-iota 6472  df-fun 6518  df-fn 6519  df-f 6520  df-f1 6521  df-fo 6522  df-f1o 6523  df-fv 6524  df-riota 7348  df-ov 7394  df-oprab 7395  df-mpo 7396  df-er 8672  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-pnf 11212  df-mnf 11213  df-xr 11214  df-ltxr 11215  df-le 11216  df-sub 11410  df-neg 11411

This theorem is referenced by:  divdivdiv  11886  absrpcl  15306  prodfn0  15915  ntrivcvgmullem  15922  fprodn0f  16012  tanval3  16157  tanaddlem  16189  tanadd  16190  lcmgcdlem  16631  prmdvdsbc  16752  pcqmul  16880  abvdom  20867  itg1mulc  25754  dgrmul  26318  aalioulem4  26387  taylthlem2  26425  tanarg  26672  mulcxp  26738  cxpmul2  26742  relogbmul  26830  angcan  26855  ssscongptld  26875  chordthmlem2  26886  quad2  26892  dcubic2  26897  dcubic  26899  mcubic  26900  cubic2  26901  cubic  26902  lgamgulmlem2  27082  lgsdilem2  27385  lgsdi  27386  pntrlog2bndlem2  27630  padicabv  27682  ttgcontlem1  29042  quad3d  32912  iconstr  34024  constrrecl  34027  cos9thpiminplylem2  34041  cos9thpiminplylem3  34042  qqhghm  34246  qqhrhm  34247  itgexpif  34861  knoppndvlem1  36911  knoppndvlem2  36912  knoppndvlem7  36917  knoppndvlem14  36924  knoppndvlem16  36926  itg2addnclem  38131  areacirclem1  38168  lcmineqlem11  42617  lcmineqlem16  42622  lcmineqlem18  42624  dvrelogpow2b  42646  aks4d1p1p6  42651  aks4d1p1p7  42652  aks4d1p1p5  42653  2np3bcnp1  42722  ef11d  42909  3cubeslem2  43227  radcnvrat  44851  divcan8d  45852  mccllem  46134  clim1fr1  46138  reclimc  46188  dvdivcncf  46462  stoweidlem1  46536  wallispilem4  46603  wallispilem5  46604  wallispi2lem1  46606  wallispi2lem2  46607  wallispi2  46608  stirlinglem3  46611  stirlinglem4  46612  stirlinglem10  46618  stirlinglem12  46620  stirlinglem13  46621  stirlinglem14  46622  stirlinglem15  46623  dirker2re  46627  dirkerdenne0  46628  dirkerval2  46629  dirkerre  46630  dirkertrigeqlem2  46634  dirkertrigeqlem3  46635  dirkertrigeq  46636  dirkercncflem2  46639  dirkercncflem4  46641  fourierdlem43  46685  fourierdlem57  46698  fourierdlem58  46699  fourierdlem62  46703  fourierdlem66  46707  fourierdlem68  46709  fourierdlem72  46713  fourierdlem76  46717  fourierdlem78  46719  fourierdlem80  46721  fourierdlem103  46744  fourierdlem104  46745  fourierswlem  46765  fouriersw  46766  sigardiv  47396  cevathlem1  47402  quad1  48203  requad01  48204  requad1  48205