Theorem mulne0d 11286

Description: The product of two nonzero numbers is nonzero. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
msq0d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
mul0ord.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
mulne0d.3	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 0)
mulne0d.4	⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 0)

Assertion

Ref	Expression
mulne0d	⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝐵) ≠ 0)

Proof of Theorem mulne0d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mulne0d.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 0)
2		mulne0d.4	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 0)
3		msq0d.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
4		mul0ord.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
5	3, 4	mulne0bd 11285	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0) ↔ (𝐴 · 𝐵) ≠ 0))
6	1, 2, 5	mpbi2and 710	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝐵) ≠ 0)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2110   ≠ wne 3016  (class class class)co 7150  ℂcc 10529  0cc0 10531   · cmul 10536

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2156  ax-12 2172  ax-ext 2793  ax-sep 5196  ax-nul 5203  ax-pow 5259  ax-pr 5322  ax-un 7455  ax-resscn 10588  ax-1cn 10589  ax-icn 10590  ax-addcl 10591  ax-addrcl 10592  ax-mulcl 10593  ax-mulrcl 10594  ax-mulcom 10595  ax-addass 10596  ax-mulass 10597  ax-distr 10598  ax-i2m1 10599  ax-1ne0 10600  ax-1rid 10601  ax-rnegex 10602  ax-rrecex 10603  ax-cnre 10604  ax-pre-lttri 10605  ax-pre-lttrn 10606  ax-pre-ltadd 10607  ax-pre-mulgt0 10608

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1536  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rab 3147  df-v 3497  df-sbc 3773  df-csb 3884  df-dif 3939  df-un 3941  df-in 3943  df-ss 3952  df-nul 4292  df-if 4468  df-pw 4541  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4833  df-br 5060  df-opab 5122  df-mpt 5140  df-id 5455  df-po 5469  df-so 5470  df-xp 5556  df-rel 5557  df-cnv 5558  df-co 5559  df-dm 5560  df-rn 5561  df-res 5562  df-ima 5563  df-iota 6309  df-fun 6352  df-fn 6353  df-f 6354  df-f1 6355  df-fo 6356  df-f1o 6357  df-fv 6358  df-riota 7108  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-mpo 7155  df-er 8283  df-en 8504  df-dom 8505  df-sdom 8506  df-pnf 10671  df-mnf 10672  df-xr 10673  df-ltxr 10674  df-le 10675  df-sub 10866  df-neg 10867

This theorem is referenced by:  divdivdiv  11335  absrpcl  14642  prodfn0  15244  ntrivcvgmullem  15251  fprodn0f  15339  tanval3  15481  tanaddlem  15513  tanadd  15514  lcmgcdlem  15944  pcqmul  16184  abvdom  19603  itg1mulc  24299  dgrmul  24854  aalioulem4  24918  taylthlem2  24956  tanarg  25196  mulcxp  25262  cxpmul2  25266  relogbmul  25349  angcan  25374  ssscongptld  25394  chordthmlem2  25405  quad2  25411  dcubic2  25416  dcubic  25418  mcubic  25419  cubic2  25420  cubic  25421  lgamgulmlem2  25601  lgsdilem2  25903  lgsdi  25904  pntrlog2bndlem2  26148  padicabv  26200  ttgcontlem1  26665  prmdvdsbc  30526  qqhghm  31224  qqhrhm  31225  itgexpif  31872  knoppndvlem1  33846  knoppndvlem2  33847  knoppndvlem7  33852  knoppndvlem14  33859  knoppndvlem16  33861  itg2addnclem  34937  areacirclem1  34976  3cubeslem2  39275  radcnvrat  40639  divcan8d  41571  mccllem  41870  clim1fr1  41874  reclimc  41926  dvdivcncf  42204  stoweidlem1  42279  wallispilem4  42346  wallispilem5  42347  wallispi2lem1  42349  wallispi2lem2  42350  wallispi2  42351  stirlinglem3  42354  stirlinglem4  42355  stirlinglem10  42361  stirlinglem12  42363  stirlinglem13  42364  stirlinglem14  42365  stirlinglem15  42366  dirker2re  42370  dirkerdenne0  42371  dirkerval2  42372  dirkerre  42373  dirkertrigeqlem2  42377  dirkertrigeqlem3  42378  dirkertrigeq  42379  dirkercncflem2  42382  dirkercncflem4  42384  fourierdlem43  42428  fourierdlem57  42441  fourierdlem58  42442  fourierdlem62  42446  fourierdlem66  42450  fourierdlem68  42452  fourierdlem72  42456  fourierdlem76  42460  fourierdlem78  42462  fourierdlem80  42464  fourierdlem103  42487  fourierdlem104  42488  fourierswlem  42508  fouriersw  42509  sigardiv  43111  cevathlem1  43117  quad1  43778  requad01  43779  requad1  43780