Theorem mulne0d 11870

Description: The product of two nonzero numbers is nonzero. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
msq0d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
mul0ord.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
mulne0d.3	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 0)
mulne0d.4	⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 0)

Assertion

Ref	Expression
mulne0d	⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝐵) ≠ 0)

Proof of Theorem mulne0d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mulne0d.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 0)
2		mulne0d.4	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 0)
3		msq0d.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
4		mul0ord.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
5	3, 4	mulne0bd 11869	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0) ↔ (𝐴 · 𝐵) ≠ 0))
6	1, 2, 5	mpbi2and 710	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝐵) ≠ 0)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2940  (class class class)co 7411  ℂcc 11110  0cc0 11112   · cmul 11117

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7727  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5574  df-po 5588  df-so 5589  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451

This theorem is referenced by:  divdivdiv  11919  absrpcl  15239  prodfn0  15844  ntrivcvgmullem  15851  fprodn0f  15939  tanval3  16081  tanaddlem  16113  tanadd  16114  lcmgcdlem  16547  pcqmul  16790  abvdom  20589  itg1mulc  25446  dgrmul  26008  aalioulem4  26072  taylthlem2  26110  tanarg  26351  mulcxp  26417  cxpmul2  26421  relogbmul  26506  angcan  26531  ssscongptld  26551  chordthmlem2  26562  quad2  26568  dcubic2  26573  dcubic  26575  mcubic  26576  cubic2  26577  cubic  26578  lgamgulmlem2  26758  lgsdilem2  27060  lgsdi  27061  pntrlog2bndlem2  27305  padicabv  27357  ttgcontlem1  28397  prmdvdsbc  32277  qqhghm  33254  qqhrhm  33255  itgexpif  33904  knoppndvlem1  35691  knoppndvlem2  35692  knoppndvlem7  35697  knoppndvlem14  35704  knoppndvlem16  35706  itg2addnclem  36842  areacirclem1  36879  lcmineqlem11  41210  lcmineqlem16  41215  lcmineqlem18  41217  dvrelogpow2b  41239  aks4d1p1p6  41244  aks4d1p1p7  41245  aks4d1p1p5  41246  2np3bcnp1  41266  3cubeslem2  41725  radcnvrat  43375  divcan8d  44321  mccllem  44612  clim1fr1  44616  reclimc  44668  dvdivcncf  44942  stoweidlem1  45016  wallispilem4  45083  wallispilem5  45084  wallispi2lem1  45086  wallispi2lem2  45087  wallispi2  45088  stirlinglem3  45091  stirlinglem4  45092  stirlinglem10  45098  stirlinglem12  45100  stirlinglem13  45101  stirlinglem14  45102  stirlinglem15  45103  dirker2re  45107  dirkerdenne0  45108  dirkerval2  45109  dirkerre  45110  dirkertrigeqlem2  45114  dirkertrigeqlem3  45115  dirkertrigeq  45116  dirkercncflem2  45119  dirkercncflem4  45121  fourierdlem43  45165  fourierdlem57  45178  fourierdlem58  45179  fourierdlem62  45183  fourierdlem66  45187  fourierdlem68  45189  fourierdlem72  45193  fourierdlem76  45197  fourierdlem78  45199  fourierdlem80  45201  fourierdlem103  45224  fourierdlem104  45225  fourierswlem  45245  fouriersw  45246  sigardiv  45876  cevathlem1  45882  quad1  46587  requad01  46588  requad1  46589