MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mulne0d Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mulne0d 11286
Description: The product of two nonzero numbers is nonzero. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
msq0d.1 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
mul0ord.2 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
mulne0d.3 (𝜑𝐴 ≠ 0)
mulne0d.4 (𝜑𝐵 ≠ 0)
Assertion
Ref Expression
mulne0d (𝜑 → (𝐴 · 𝐵) ≠ 0)

Proof of Theorem mulne0d
StepHypRef Expression
1 mulne0d.3 . 2 (𝜑𝐴 ≠ 0)
2 mulne0d.4 . 2 (𝜑𝐵 ≠ 0)
3 msq0d.1 . . 3 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
4 mul0ord.2 . . 3 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
53, 4mulne0bd 11285 . 2 (𝜑 → ((𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0) ↔ (𝐴 · 𝐵) ≠ 0))
61, 2, 5mpbi2and 711 1 (𝜑 → (𝐴 · 𝐵) ≠ 0)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wcel 2115  wne 3014  (class class class)co 7146  cc 10529  0cc0 10531   · cmul 10536
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-sep 5190  ax-nul 5197  ax-pow 5254  ax-pr 5318  ax-un 7452  ax-resscn 10588  ax-1cn 10589  ax-icn 10590  ax-addcl 10591  ax-addrcl 10592  ax-mulcl 10593  ax-mulrcl 10594  ax-mulcom 10595  ax-addass 10596  ax-mulass 10597  ax-distr 10598  ax-i2m1 10599  ax-1ne0 10600  ax-1rid 10601  ax-rnegex 10602  ax-rrecex 10603  ax-cnre 10604  ax-pre-lttri 10605  ax-pre-lttrn 10606  ax-pre-ltadd 10607  ax-pre-mulgt0 10608
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3015  df-nel 3119  df-ral 3138  df-rex 3139  df-reu 3140  df-rab 3142  df-v 3482  df-sbc 3759  df-csb 3867  df-dif 3922  df-un 3924  df-in 3926  df-ss 3936  df-nul 4277  df-if 4451  df-pw 4524  df-sn 4551  df-pr 4553  df-op 4557  df-uni 4826  df-br 5054  df-opab 5116  df-mpt 5134  df-id 5448  df-po 5462  df-so 5463  df-xp 5549  df-rel 5550  df-cnv 5551  df-co 5552  df-dm 5553  df-rn 5554  df-res 5555  df-ima 5556  df-iota 6303  df-fun 6346  df-fn 6347  df-f 6348  df-f1 6349  df-fo 6350  df-f1o 6351  df-fv 6352  df-riota 7104  df-ov 7149  df-oprab 7150  df-mpo 7151  df-er 8281  df-en 8502  df-dom 8503  df-sdom 8504  df-pnf 10671  df-mnf 10672  df-xr 10673  df-ltxr 10674  df-le 10675  df-sub 10866  df-neg 10867
This theorem is referenced by:  divdivdiv  11335  absrpcl  14646  prodfn0  15248  ntrivcvgmullem  15255  fprodn0f  15343  tanval3  15485  tanaddlem  15517  tanadd  15518  lcmgcdlem  15946  pcqmul  16186  abvdom  19604  itg1mulc  24306  dgrmul  24865  aalioulem4  24929  taylthlem2  24967  tanarg  25208  mulcxp  25274  cxpmul2  25278  relogbmul  25361  angcan  25386  ssscongptld  25406  chordthmlem2  25417  quad2  25423  dcubic2  25428  dcubic  25430  mcubic  25431  cubic2  25432  cubic  25433  lgamgulmlem2  25613  lgsdilem2  25915  lgsdi  25916  pntrlog2bndlem2  26160  padicabv  26212  ttgcontlem1  26677  prmdvdsbc  30538  qqhghm  31256  qqhrhm  31257  itgexpif  31904  knoppndvlem1  33878  knoppndvlem2  33879  knoppndvlem7  33884  knoppndvlem14  33891  knoppndvlem16  33893  itg2addnclem  35020  areacirclem1  35057  lcmineqlem11  39235  lcmineqlem16  39240  lcmineqlem18  39242  3cubeslem2  39482  radcnvrat  40878  divcan8d  41810  mccllem  42105  clim1fr1  42109  reclimc  42161  dvdivcncf  42435  stoweidlem1  42509  wallispilem4  42576  wallispilem5  42577  wallispi2lem1  42579  wallispi2lem2  42580  wallispi2  42581  stirlinglem3  42584  stirlinglem4  42585  stirlinglem10  42591  stirlinglem12  42593  stirlinglem13  42594  stirlinglem14  42595  stirlinglem15  42596  dirker2re  42600  dirkerdenne0  42601  dirkerval2  42602  dirkerre  42603  dirkertrigeqlem2  42607  dirkertrigeqlem3  42608  dirkertrigeq  42609  dirkercncflem2  42612  dirkercncflem4  42614  fourierdlem43  42658  fourierdlem57  42671  fourierdlem58  42672  fourierdlem62  42676  fourierdlem66  42680  fourierdlem68  42682  fourierdlem72  42686  fourierdlem76  42690  fourierdlem78  42692  fourierdlem80  42694  fourierdlem103  42717  fourierdlem104  42718  fourierswlem  42738  fouriersw  42739  sigardiv  43341  cevathlem1  43347  quad1  44004  requad01  44005  requad1  44006
  Copyright terms: Public domain W3C validator