Theorem mulne0d 11677

Description: The product of two nonzero numbers is nonzero. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
msq0d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
mul0ord.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
mulne0d.3	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 0)
mulne0d.4	⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 0)

Assertion

Ref	Expression
mulne0d	⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝐵) ≠ 0)

Proof of Theorem mulne0d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mulne0d.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 0)
2		mulne0d.4	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 0)
3		msq0d.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
4		mul0ord.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
5	3, 4	mulne0bd 11676	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0) ↔ (𝐴 · 𝐵) ≠ 0))
6	1, 2, 5	mpbi2and 710	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝐵) ≠ 0)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2104   ≠ wne 2941  (class class class)co 7307  ℂcc 10919  0cc0 10921   · cmul 10926

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2707  ax-sep 5232  ax-nul 5239  ax-pow 5297  ax-pr 5361  ax-un 7620  ax-resscn 10978  ax-1cn 10979  ax-icn 10980  ax-addcl 10981  ax-addrcl 10982  ax-mulcl 10983  ax-mulrcl 10984  ax-mulcom 10985  ax-addass 10986  ax-mulass 10987  ax-distr 10988  ax-i2m1 10989  ax-1ne0 10990  ax-1rid 10991  ax-rnegex 10992  ax-rrecex 10993  ax-cnre 10994  ax-pre-lttri 10995  ax-pre-lttrn 10996  ax-pre-ltadd 10997  ax-pre-mulgt0 10998

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3305  df-rab 3306  df-v 3439  df-sbc 3722  df-csb 3838  df-dif 3895  df-un 3897  df-in 3899  df-ss 3909  df-nul 4263  df-if 4466  df-pw 4541  df-sn 4566  df-pr 4568  df-op 4572  df-uni 4845  df-br 5082  df-opab 5144  df-mpt 5165  df-id 5500  df-po 5514  df-so 5515  df-xp 5606  df-rel 5607  df-cnv 5608  df-co 5609  df-dm 5610  df-rn 5611  df-res 5612  df-ima 5613  df-iota 6410  df-fun 6460  df-fn 6461  df-f 6462  df-f1 6463  df-fo 6464  df-f1o 6465  df-fv 6466  df-riota 7264  df-ov 7310  df-oprab 7311  df-mpo 7312  df-er 8529  df-en 8765  df-dom 8766  df-sdom 8767  df-pnf 11061  df-mnf 11062  df-xr 11063  df-ltxr 11064  df-le 11065  df-sub 11257  df-neg 11258

This theorem is referenced by:  divdivdiv  11726  absrpcl  15049  prodfn0  15655  ntrivcvgmullem  15662  fprodn0f  15750  tanval3  15892  tanaddlem  15924  tanadd  15925  lcmgcdlem  16360  pcqmul  16603  abvdom  20147  itg1mulc  24918  dgrmul  25480  aalioulem4  25544  taylthlem2  25582  tanarg  25823  mulcxp  25889  cxpmul2  25893  relogbmul  25976  angcan  26001  ssscongptld  26021  chordthmlem2  26032  quad2  26038  dcubic2  26043  dcubic  26045  mcubic  26046  cubic2  26047  cubic  26048  lgamgulmlem2  26228  lgsdilem2  26530  lgsdi  26531  pntrlog2bndlem2  26775  padicabv  26827  ttgcontlem1  27301  prmdvdsbc  31179  qqhghm  31987  qqhrhm  31988  itgexpif  32635  knoppndvlem1  34741  knoppndvlem2  34742  knoppndvlem7  34747  knoppndvlem14  34754  knoppndvlem16  34756  itg2addnclem  35876  areacirclem1  35913  lcmineqlem11  40247  lcmineqlem16  40252  lcmineqlem18  40254  dvrelogpow2b  40276  aks4d1p1p6  40281  aks4d1p1p7  40282  aks4d1p1p5  40283  2np3bcnp1  40300  3cubeslem2  40702  radcnvrat  42145  divcan8d  43079  mccllem  43367  clim1fr1  43371  reclimc  43423  dvdivcncf  43697  stoweidlem1  43771  wallispilem4  43838  wallispilem5  43839  wallispi2lem1  43841  wallispi2lem2  43842  wallispi2  43843  stirlinglem3  43846  stirlinglem4  43847  stirlinglem10  43853  stirlinglem12  43855  stirlinglem13  43856  stirlinglem14  43857  stirlinglem15  43858  dirker2re  43862  dirkerdenne0  43863  dirkerval2  43864  dirkerre  43865  dirkertrigeqlem2  43869  dirkertrigeqlem3  43870  dirkertrigeq  43871  dirkercncflem2  43874  dirkercncflem4  43876  fourierdlem43  43920  fourierdlem57  43933  fourierdlem58  43934  fourierdlem62  43938  fourierdlem66  43942  fourierdlem68  43944  fourierdlem72  43948  fourierdlem76  43952  fourierdlem78  43954  fourierdlem80  43956  fourierdlem103  43979  fourierdlem104  43980  fourierswlem  44000  fouriersw  44001  sigardiv  44621  cevathlem1  44627  quad1  45316  requad01  45317  requad1  45318