Theorem mulne0d 11867

Description: The product of two nonzero numbers is nonzero. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
msq0d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
mulne0bd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
mulne0d.3	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 0)
mulne0d.4	⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 0)

Assertion

Ref	Expression
mulne0d	⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝐵) ≠ 0)

Proof of Theorem mulne0d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mulne0d.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 0)
2		mulne0d.4	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 0)
3		msq0d.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
4		mulne0bd.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
5	3, 4	mulne0bd 11866	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0) ↔ (𝐴 · 𝐵) ≠ 0))
6	1, 2, 5	mpbi2and 724	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝐵) ≠ 0)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2143   ≠ wne 2958  (class class class)co 7412  ℂcc 11099  0cc0 11101   · cmul 11106

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-sep 5258  ax-nul 5270  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7734  ax-resscn 11158  ax-1cn 11159  ax-icn 11160  ax-addcl 11161  ax-addrcl 11162  ax-mulcl 11163  ax-mulrcl 11164  ax-mulcom 11165  ax-addass 11166  ax-mulass 11167  ax-distr 11168  ax-i2m1 11169  ax-1ne0 11170  ax-1rid 11171  ax-rnegex 11172  ax-rrecex 11173  ax-cnre 11174  ax-pre-lttri 11175  ax-pre-lttrn 11176  ax-pre-ltadd 11177  ax-pre-mulgt0 11178

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3746  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-nul 4288  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4874  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-id 5558  df-po 5571  df-so 5572  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-er 8695  df-en 8945  df-dom 8946  df-sdom 8947  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11444  df-neg 11445

This theorem is referenced by:  divdivdiv  11917  absrpcl  15341  prodfn0  15950  ntrivcvgmullem  15957  fprodn0f  16047  tanval3  16191  tanaddlem  16223  tanadd  16224  lcmgcdlem  16665  prmdvdsbc  16786  pcqmul  16914  abvdom  20914  itg1mulc  25844  dgrmul  26408  aalioulem4  26479  taylthlem2  26518  tanarg  26765  mulcxp  26831  cxpmul2  26835  relogbmul  26923  angcan  26948  ssscongptld  26968  chordthmlem2  26979  quad2  26985  dcubic2  26990  dcubic  26992  mcubic  26993  cubic2  26994  cubic  26995  lgamgulmlem2  27175  lgsdilem2  27478  lgsdi  27479  pntrlog2bndlem2  27723  padicabv  27775  ttgcontlem1  29215  quad3d  33075  iconstr  34137  constrrecl  34140  cos9thpiminplylem2  34154  cos9thpiminplylem3  34155  qqhghm  34359  qqhrhm  34360  itgexpif  34974  knoppndvlem1  37082  knoppndvlem2  37083  knoppndvlem7  37088  knoppndvlem14  37095  knoppndvlem16  37097  itg2addnclem  38303  areacirclem1  38340  lcmineqlem11  42787  lcmineqlem16  42792  lcmineqlem18  42794  dvrelogpow2b  42816  aks4d1p1p6  42821  aks4d1p1p7  42822  aks4d1p1p5  42823  2np3bcnp1  42892  ef11d  43081  3cubeslem2  43399  radcnvrat  45007  divcan8d  46014  mccllem  46296  clim1fr1  46300  reclimc  46350  dvdivcncf  46624  stoweidlem1  46698  wallispilem4  46765  wallispilem5  46766  wallispi2lem1  46768  wallispi2lem2  46769  wallispi2  46770  stirlinglem3  46773  stirlinglem4  46774  stirlinglem10  46780  stirlinglem12  46782  stirlinglem13  46783  stirlinglem14  46784  stirlinglem15  46785  dirker2re  46789  dirkerdenne0  46790  dirkerval2  46791  dirkerre  46792  dirkertrigeqlem2  46796  dirkertrigeqlem3  46797  dirkertrigeq  46798  dirkercncflem2  46801  dirkercncflem4  46803  fourierdlem43  46847  fourierdlem57  46860  fourierdlem58  46861  fourierdlem62  46865  fourierdlem66  46869  fourierdlem68  46871  fourierdlem72  46875  fourierdlem76  46879  fourierdlem78  46881  fourierdlem80  46883  fourierdlem103  46906  fourierdlem104  46907  fourierswlem  46927  fouriersw  46928  sigardiv  47558  cevathlem1  47564  quad1  48368  requad01  48369  requad1  48370