Theorem mulne0d 11837

Description: The product of two nonzero numbers is nonzero. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
msq0d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
mulne0bd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
mulne0d.3	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 0)
mulne0d.4	⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 0)

Assertion

Ref	Expression
mulne0d	⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝐵) ≠ 0)

Proof of Theorem mulne0d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mulne0d.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 0)
2		mulne0d.4	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 0)
3		msq0d.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
4		mulne0bd.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
5	3, 4	mulne0bd 11836	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0) ↔ (𝐴 · 𝐵) ≠ 0))
6	1, 2, 5	mpbi2and 712	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝐵) ≠ 0)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2926  (class class class)co 7390  ℂcc 11073  0cc0 11075   · cmul 11080

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-id 5536  df-po 5549  df-so 5550  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-er 8674  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-pnf 11217  df-mnf 11218  df-xr 11219  df-ltxr 11220  df-le 11221  df-sub 11414  df-neg 11415

This theorem is referenced by:  divdivdiv  11890  absrpcl  15261  prodfn0  15867  ntrivcvgmullem  15874  fprodn0f  15964  tanval3  16109  tanaddlem  16141  tanadd  16142  lcmgcdlem  16583  prmdvdsbc  16703  pcqmul  16831  abvdom  20746  itg1mulc  25612  dgrmul  26183  aalioulem4  26250  taylthlem2  26289  taylthlem2OLD  26290  tanarg  26535  mulcxp  26601  cxpmul2  26605  relogbmul  26694  angcan  26719  ssscongptld  26739  chordthmlem2  26750  quad2  26756  dcubic2  26761  dcubic  26763  mcubic  26764  cubic2  26765  cubic  26766  lgamgulmlem2  26947  lgsdilem2  27251  lgsdi  27252  pntrlog2bndlem2  27496  padicabv  27548  ttgcontlem1  28819  quad3d  32680  iconstr  33763  constrrecl  33766  cos9thpiminplylem2  33780  cos9thpiminplylem3  33781  qqhghm  33985  qqhrhm  33986  itgexpif  34604  knoppndvlem1  36507  knoppndvlem2  36508  knoppndvlem7  36513  knoppndvlem14  36520  knoppndvlem16  36522  itg2addnclem  37672  areacirclem1  37709  lcmineqlem11  42034  lcmineqlem16  42039  lcmineqlem18  42041  dvrelogpow2b  42063  aks4d1p1p6  42068  aks4d1p1p7  42069  aks4d1p1p5  42070  2np3bcnp1  42139  ef11d  42334  3cubeslem2  42680  radcnvrat  44310  divcan8d  45317  mccllem  45602  clim1fr1  45606  reclimc  45658  dvdivcncf  45932  stoweidlem1  46006  wallispilem4  46073  wallispilem5  46074  wallispi2lem1  46076  wallispi2lem2  46077  wallispi2  46078  stirlinglem3  46081  stirlinglem4  46082  stirlinglem10  46088  stirlinglem12  46090  stirlinglem13  46091  stirlinglem14  46092  stirlinglem15  46093  dirker2re  46097  dirkerdenne0  46098  dirkerval2  46099  dirkerre  46100  dirkertrigeqlem2  46104  dirkertrigeqlem3  46105  dirkertrigeq  46106  dirkercncflem2  46109  dirkercncflem4  46111  fourierdlem43  46155  fourierdlem57  46168  fourierdlem58  46169  fourierdlem62  46173  fourierdlem66  46177  fourierdlem68  46179  fourierdlem72  46183  fourierdlem76  46187  fourierdlem78  46189  fourierdlem80  46191  fourierdlem103  46214  fourierdlem104  46215  fourierswlem  46235  fouriersw  46236  sigardiv  46866  cevathlem1  46872  quad1  47625  requad01  47626  requad1  47627