Theorem mulne0d 11890

Description: The product of two nonzero numbers is nonzero. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
msq0d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
mulne0bd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
mulne0d.3	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 0)
mulne0d.4	⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 0)

Assertion

Ref	Expression
mulne0d	⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝐵) ≠ 0)

Proof of Theorem mulne0d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mulne0d.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 0)
2		mulne0d.4	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 0)
3		msq0d.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
4		mulne0bd.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
5	3, 4	mulne0bd 11889	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0) ↔ (𝐴 · 𝐵) ≠ 0))
6	1, 2, 5	mpbi2and 725	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝐵) ≠ 0)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2955  (class class class)co 7413  ℂcc 11122  0cc0 11124   · cmul 11129

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7736  ax-resscn 11181  ax-1cn 11182  ax-icn 11183  ax-addcl 11184  ax-addrcl 11185  ax-mulcl 11186  ax-mulrcl 11187  ax-mulcom 11188  ax-addass 11189  ax-mulass 11190  ax-distr 11191  ax-i2m1 11192  ax-1ne0 11193  ax-1rid 11194  ax-rnegex 11195  ax-rrecex 11196  ax-cnre 11197  ax-pre-lttri 11198  ax-pre-lttrn 11199  ax-pre-ltadd 11200  ax-pre-mulgt0 11201

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-id 5550  df-po 5563  df-so 5564  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7370  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-er 8696  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-pnf 11269  df-mnf 11270  df-xr 11271  df-ltxr 11272  df-le 11273  df-sub 11467  df-neg 11468

This theorem is used by:  divdivdiv  11940  absrpcl  15375  prodfn0  15983  ntrivcvgmullem  15990  fprodn0f  16078  tanval3  16222  tanaddlem  16254  tanadd  16255  lcmgcdlem  16696  prmdvdsbc  16817  pcqmul  16945  abvdom  20996  itg1mulc  25932  dgrmul  26496  aalioulem4  26571  taylthlem2  26610  tanarg  26856  mulcxp  26922  cxpmul2  26926  relogbmul  27014  angcan  27039  ssscongptld  27059  chordthmlem2  27070  quad2  27076  dcubic2  27081  dcubic  27083  mcubic  27084  cubic2  27085  cubic  27086  lgamgulmlem2  27266  lgsdilem2  27569  lgsdi  27570  pntrlog2bndlem2  27814  padicabv  27866  ttgcontlem1  29341  quad3d  33220  iconstr  34276  constrrecl  34279  cos9thpiminplylem2  34293  cos9thpiminplylem3  34294  qqhghm  34498  qqhrhm  34499  itgexpif  35114  knoppndvlem1  37209  knoppndvlem2  37210  knoppndvlem7  37215  knoppndvlem14  37222  knoppndvlem16  37224  itg2addnclem  38420  areacirclem1  38457  lcmineqlem11  42905  lcmineqlem16  42910  lcmineqlem18  42912  dvrelogpow2b  42934  aks4d1p1p6  42939  aks4d1p1p7  42940  aks4d1p1p5  42941  2np3bcnp1  43010  ef11d  43214  3cubeslem2  43530  radcnvrat  45138  divcan8d  46145  mccllem  46427  clim1fr1  46431  reclimc  46481  dvdivcncf  46755  stoweidlem1  46829  wallispilem4  46896  wallispilem5  46897  wallispi2lem1  46899  wallispi2lem2  46900  wallispi2  46901  stirlinglem3  46904  stirlinglem4  46905  stirlinglem10  46911  stirlinglem12  46913  stirlinglem13  46914  stirlinglem14  46915  stirlinglem15  46916  dirker2re  46920  dirkerdenne0  46921  dirkerval2  46922  dirkerre  46923  dirkertrigeqlem2  46927  dirkertrigeqlem3  46928  dirkertrigeq  46929  dirkercncflem2  46932  dirkercncflem4  46934  fourierdlem43  46978  fourierdlem57  46991  fourierdlem58  46992  fourierdlem62  46996  fourierdlem66  47000  fourierdlem68  47002  fourierdlem72  47006  fourierdlem76  47010  fourierdlem78  47012  fourierdlem80  47014  fourierdlem103  47037  fourierdlem104  47038  fourierswlem  47058  fouriersw  47059  sigardiv  47689  cevathlem1  47695  quad1  48536  requad01  48537  requad1  48538  dvsec  50689