Theorem mulne0d 11789

Description: The product of two nonzero numbers is nonzero. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
msq0d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
mulne0bd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
mulne0d.3	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 0)
mulne0d.4	⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 0)

Assertion

Ref	Expression
mulne0d	⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝐵) ≠ 0)

Proof of Theorem mulne0d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mulne0d.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 0)
2		mulne0d.4	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 0)
3		msq0d.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
4		mulne0bd.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
5	3, 4	mulne0bd 11788	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0) ↔ (𝐴 · 𝐵) ≠ 0))
6	1, 2, 5	mpbi2and 712	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝐵) ≠ 0)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2113   ≠ wne 2932  (class class class)co 7358  ℂcc 11024  0cc0 11026   · cmul 11031

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680  ax-resscn 11083  ax-1cn 11084  ax-icn 11085  ax-addcl 11086  ax-addrcl 11087  ax-mulcl 11088  ax-mulrcl 11089  ax-mulcom 11090  ax-addass 11091  ax-mulass 11092  ax-distr 11093  ax-i2m1 11094  ax-1ne0 11095  ax-1rid 11096  ax-rnegex 11097  ax-rrecex 11098  ax-cnre 11099  ax-pre-lttri 11100  ax-pre-lttrn 11101  ax-pre-ltadd 11102  ax-pre-mulgt0 11103

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-id 5519  df-po 5532  df-so 5533  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-er 8635  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-pnf 11168  df-mnf 11169  df-xr 11170  df-ltxr 11171  df-le 11172  df-sub 11366  df-neg 11367

This theorem is referenced by:  divdivdiv  11842  absrpcl  15211  prodfn0  15817  ntrivcvgmullem  15824  fprodn0f  15914  tanval3  16059  tanaddlem  16091  tanadd  16092  lcmgcdlem  16533  prmdvdsbc  16653  pcqmul  16781  abvdom  20763  itg1mulc  25661  dgrmul  26232  aalioulem4  26299  taylthlem2  26338  taylthlem2OLD  26339  tanarg  26584  mulcxp  26650  cxpmul2  26654  relogbmul  26743  angcan  26768  ssscongptld  26788  chordthmlem2  26799  quad2  26805  dcubic2  26810  dcubic  26812  mcubic  26813  cubic2  26814  cubic  26815  lgamgulmlem2  26996  lgsdilem2  27300  lgsdi  27301  pntrlog2bndlem2  27545  padicabv  27597  ttgcontlem1  28957  quad3d  32829  iconstr  33923  constrrecl  33926  cos9thpiminplylem2  33940  cos9thpiminplylem3  33941  qqhghm  34145  qqhrhm  34146  itgexpif  34763  knoppndvlem1  36712  knoppndvlem2  36713  knoppndvlem7  36718  knoppndvlem14  36725  knoppndvlem16  36727  itg2addnclem  37868  areacirclem1  37905  lcmineqlem11  42289  lcmineqlem16  42294  lcmineqlem18  42296  dvrelogpow2b  42318  aks4d1p1p6  42323  aks4d1p1p7  42324  aks4d1p1p5  42325  2np3bcnp1  42394  ef11d  42590  3cubeslem2  42923  radcnvrat  44551  divcan8d  45556  mccllem  45839  clim1fr1  45843  reclimc  45893  dvdivcncf  46167  stoweidlem1  46241  wallispilem4  46308  wallispilem5  46309  wallispi2lem1  46311  wallispi2lem2  46312  wallispi2  46313  stirlinglem3  46316  stirlinglem4  46317  stirlinglem10  46323  stirlinglem12  46325  stirlinglem13  46326  stirlinglem14  46327  stirlinglem15  46328  dirker2re  46332  dirkerdenne0  46333  dirkerval2  46334  dirkerre  46335  dirkertrigeqlem2  46339  dirkertrigeqlem3  46340  dirkertrigeq  46341  dirkercncflem2  46344  dirkercncflem4  46346  fourierdlem43  46390  fourierdlem57  46403  fourierdlem58  46404  fourierdlem62  46408  fourierdlem66  46412  fourierdlem68  46414  fourierdlem72  46418  fourierdlem76  46422  fourierdlem78  46424  fourierdlem80  46426  fourierdlem103  46449  fourierdlem104  46450  fourierswlem  46470  fouriersw  46471  sigardiv  47101  cevathlem1  47107  quad1  47862  requad01  47863  requad1  47864