Theorem mulne0d 11793

Description: The product of two nonzero numbers is nonzero. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
msq0d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
mulne0bd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
mulne0d.3	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 0)
mulne0d.4	⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 0)

Assertion

Ref	Expression
mulne0d	⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝐵) ≠ 0)

Proof of Theorem mulne0d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mulne0d.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 0)
2		mulne0d.4	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 0)
3		msq0d.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
4		mulne0bd.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
5	3, 4	mulne0bd 11792	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0) ↔ (𝐴 · 𝐵) ≠ 0))
6	1, 2, 5	mpbi2and 713	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝐵) ≠ 0)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933  (class class class)co 7360  ℂcc 11027  0cc0 11029   · cmul 11034

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5302  ax-pr 5370  ax-un 7682  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105  ax-pre-mulgt0 11106

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-id 5519  df-po 5532  df-so 5533  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-er 8636  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371

This theorem is referenced by:  divdivdiv  11847  absrpcl  15241  prodfn0  15850  ntrivcvgmullem  15857  fprodn0f  15947  tanval3  16092  tanaddlem  16124  tanadd  16125  lcmgcdlem  16566  prmdvdsbc  16687  pcqmul  16815  abvdom  20798  itg1mulc  25681  dgrmul  26245  aalioulem4  26312  taylthlem2  26351  taylthlem2OLD  26352  tanarg  26596  mulcxp  26662  cxpmul2  26666  relogbmul  26754  angcan  26779  ssscongptld  26799  chordthmlem2  26810  quad2  26816  dcubic2  26821  dcubic  26823  mcubic  26824  cubic2  26825  cubic  26826  lgamgulmlem2  27007  lgsdilem2  27310  lgsdi  27311  pntrlog2bndlem2  27555  padicabv  27607  ttgcontlem1  28967  quad3d  32837  iconstr  33926  constrrecl  33929  cos9thpiminplylem2  33943  cos9thpiminplylem3  33944  qqhghm  34148  qqhrhm  34149  itgexpif  34766  knoppndvlem1  36788  knoppndvlem2  36789  knoppndvlem7  36794  knoppndvlem14  36801  knoppndvlem16  36803  itg2addnclem  38006  areacirclem1  38043  lcmineqlem11  42492  lcmineqlem16  42497  lcmineqlem18  42499  dvrelogpow2b  42521  aks4d1p1p6  42526  aks4d1p1p7  42527  aks4d1p1p5  42528  2np3bcnp1  42597  ef11d  42785  3cubeslem2  43131  radcnvrat  44759  divcan8d  45763  mccllem  46045  clim1fr1  46049  reclimc  46099  dvdivcncf  46373  stoweidlem1  46447  wallispilem4  46514  wallispilem5  46515  wallispi2lem1  46517  wallispi2lem2  46518  wallispi2  46519  stirlinglem3  46522  stirlinglem4  46523  stirlinglem10  46529  stirlinglem12  46531  stirlinglem13  46532  stirlinglem14  46533  stirlinglem15  46534  dirker2re  46538  dirkerdenne0  46539  dirkerval2  46540  dirkerre  46541  dirkertrigeqlem2  46545  dirkertrigeqlem3  46546  dirkertrigeq  46547  dirkercncflem2  46550  dirkercncflem4  46552  fourierdlem43  46596  fourierdlem57  46609  fourierdlem58  46610  fourierdlem62  46614  fourierdlem66  46618  fourierdlem68  46620  fourierdlem72  46624  fourierdlem76  46628  fourierdlem78  46630  fourierdlem80  46632  fourierdlem103  46655  fourierdlem104  46656  fourierswlem  46676  fouriersw  46677  sigardiv  47307  cevathlem1  47313  quad1  48108  requad01  48109  requad1  48110