Theorem mulne0d 11862

Description: The product of two nonzero numbers is nonzero. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
msq0d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
mulne0bd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
mulne0d.3	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 0)
mulne0d.4	⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 0)

Assertion

Ref	Expression
mulne0d	⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝐵) ≠ 0)

Proof of Theorem mulne0d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mulne0d.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 0)
2		mulne0d.4	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 0)
3		msq0d.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
4		mulne0bd.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
5	3, 4	mulne0bd 11861	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0) ↔ (𝐴 · 𝐵) ≠ 0))
6	1, 2, 5	mpbi2and 724	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝐵) ≠ 0)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2149   ≠ wne 2964  (class class class)co 7408  ℂcc 11094  0cc0 11096   · cmul 11101

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-sep 5258  ax-nul 5268  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7730  ax-resscn 11153  ax-1cn 11154  ax-icn 11155  ax-addcl 11156  ax-addrcl 11157  ax-mulcl 11158  ax-mulrcl 11159  ax-mulcom 11160  ax-addass 11161  ax-mulass 11162  ax-distr 11163  ax-i2m1 11164  ax-1ne0 11165  ax-1rid 11166  ax-rnegex 11167  ax-rrecex 11168  ax-cnre 11169  ax-pre-lttri 11170  ax-pre-lttrn 11171  ax-pre-ltadd 11172  ax-pre-mulgt0 11173

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-nul 4295  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4874  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-id 5554  df-po 5567  df-so 5568  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7365  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-er 8690  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-pnf 11241  df-mnf 11242  df-xr 11243  df-ltxr 11244  df-le 11245  df-sub 11439  df-neg 11440

This theorem is referenced by:  divdivdiv  11912  absrpcl  15335  prodfn0  15944  ntrivcvgmullem  15951  fprodn0f  16041  tanval3  16186  tanaddlem  16218  tanadd  16219  lcmgcdlem  16660  prmdvdsbc  16781  pcqmul  16909  abvdom  20907  itg1mulc  25828  dgrmul  26392  aalioulem4  26461  taylthlem2  26499  tanarg  26746  mulcxp  26812  cxpmul2  26816  relogbmul  26904  angcan  26929  ssscongptld  26949  chordthmlem2  26960  quad2  26966  dcubic2  26971  dcubic  26973  mcubic  26974  cubic2  26975  cubic  26976  lgamgulmlem2  27156  lgsdilem2  27459  lgsdi  27460  pntrlog2bndlem2  27704  padicabv  27756  ttgcontlem1  29171  quad3d  33031  iconstr  34097  constrrecl  34100  cos9thpiminplylem2  34114  cos9thpiminplylem3  34115  qqhghm  34319  qqhrhm  34320  itgexpif  34934  knoppndvlem1  36986  knoppndvlem2  36987  knoppndvlem7  36992  knoppndvlem14  36999  knoppndvlem16  37001  itg2addnclem  38205  areacirclem1  38242  lcmineqlem11  42691  lcmineqlem16  42696  lcmineqlem18  42698  dvrelogpow2b  42720  aks4d1p1p6  42725  aks4d1p1p7  42726  aks4d1p1p5  42727  2np3bcnp1  42796  ef11d  42983  3cubeslem2  43301  radcnvrat  44909  divcan8d  45916  mccllem  46198  clim1fr1  46202  reclimc  46252  dvdivcncf  46526  stoweidlem1  46600  wallispilem4  46667  wallispilem5  46668  wallispi2lem1  46670  wallispi2lem2  46671  wallispi2  46672  stirlinglem3  46675  stirlinglem4  46676  stirlinglem10  46682  stirlinglem12  46684  stirlinglem13  46685  stirlinglem14  46686  stirlinglem15  46687  dirker2re  46691  dirkerdenne0  46692  dirkerval2  46693  dirkerre  46694  dirkertrigeqlem2  46698  dirkertrigeqlem3  46699  dirkertrigeq  46700  dirkercncflem2  46703  dirkercncflem4  46705  fourierdlem43  46749  fourierdlem57  46762  fourierdlem58  46763  fourierdlem62  46767  fourierdlem66  46771  fourierdlem68  46773  fourierdlem72  46777  fourierdlem76  46781  fourierdlem78  46783  fourierdlem80  46785  fourierdlem103  46808  fourierdlem104  46809  fourierswlem  46829  fouriersw  46830  sigardiv  47460  cevathlem1  47466  quad1  48267  requad01  48268  requad1  48269