Theorem mulne0d 11780

Description: The product of two nonzero numbers is nonzero. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
msq0d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
mulne0bd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
mulne0d.3	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 0)
mulne0d.4	⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 0)

Assertion

Ref	Expression
mulne0d	⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝐵) ≠ 0)

Proof of Theorem mulne0d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mulne0d.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 0)
2		mulne0d.4	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 0)
3		msq0d.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
4		mulne0bd.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
5	3, 4	mulne0bd 11779	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0) ↔ (𝐴 · 𝐵) ≠ 0))
6	1, 2, 5	mpbi2and 712	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝐵) ≠ 0)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2113   ≠ wne 2929  (class class class)co 7355  ℂcc 11015  0cc0 11017   · cmul 11022

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7677  ax-resscn 11074  ax-1cn 11075  ax-icn 11076  ax-addcl 11077  ax-addrcl 11078  ax-mulcl 11079  ax-mulrcl 11080  ax-mulcom 11081  ax-addass 11082  ax-mulass 11083  ax-distr 11084  ax-i2m1 11085  ax-1ne0 11086  ax-1rid 11087  ax-rnegex 11088  ax-rrecex 11089  ax-cnre 11090  ax-pre-lttri 11091  ax-pre-lttrn 11092  ax-pre-ltadd 11093  ax-pre-mulgt0 11094

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2882  df-ne 2930  df-nel 3034  df-ral 3049  df-rex 3058  df-reu 3348  df-rab 3397  df-v 3439  df-sbc 3738  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-nul 4283  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4861  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-id 5516  df-po 5529  df-so 5530  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-iota 6445  df-fun 6491  df-fn 6492  df-f 6493  df-f1 6494  df-fo 6495  df-f1o 6496  df-fv 6497  df-riota 7312  df-ov 7358  df-oprab 7359  df-mpo 7360  df-er 8631  df-en 8880  df-dom 8881  df-sdom 8882  df-pnf 11159  df-mnf 11160  df-xr 11161  df-ltxr 11162  df-le 11163  df-sub 11357  df-neg 11358

This theorem is referenced by:  divdivdiv  11833  absrpcl  15202  prodfn0  15808  ntrivcvgmullem  15815  fprodn0f  15905  tanval3  16050  tanaddlem  16082  tanadd  16083  lcmgcdlem  16524  prmdvdsbc  16644  pcqmul  16772  abvdom  20754  itg1mulc  25652  dgrmul  26223  aalioulem4  26290  taylthlem2  26329  taylthlem2OLD  26330  tanarg  26575  mulcxp  26641  cxpmul2  26645  relogbmul  26734  angcan  26759  ssscongptld  26779  chordthmlem2  26790  quad2  26796  dcubic2  26801  dcubic  26803  mcubic  26804  cubic2  26805  cubic  26806  lgamgulmlem2  26987  lgsdilem2  27291  lgsdi  27292  pntrlog2bndlem2  27536  padicabv  27588  ttgcontlem1  28883  quad3d  32757  iconstr  33851  constrrecl  33854  cos9thpiminplylem2  33868  cos9thpiminplylem3  33869  qqhghm  34073  qqhrhm  34074  itgexpif  34691  knoppndvlem1  36628  knoppndvlem2  36629  knoppndvlem7  36634  knoppndvlem14  36641  knoppndvlem16  36643  itg2addnclem  37784  areacirclem1  37821  lcmineqlem11  42205  lcmineqlem16  42210  lcmineqlem18  42212  dvrelogpow2b  42234  aks4d1p1p6  42239  aks4d1p1p7  42240  aks4d1p1p5  42241  2np3bcnp1  42310  ef11d  42509  3cubeslem2  42842  radcnvrat  44471  divcan8d  45476  mccllem  45759  clim1fr1  45763  reclimc  45813  dvdivcncf  46087  stoweidlem1  46161  wallispilem4  46228  wallispilem5  46229  wallispi2lem1  46231  wallispi2lem2  46232  wallispi2  46233  stirlinglem3  46236  stirlinglem4  46237  stirlinglem10  46243  stirlinglem12  46245  stirlinglem13  46246  stirlinglem14  46247  stirlinglem15  46248  dirker2re  46252  dirkerdenne0  46253  dirkerval2  46254  dirkerre  46255  dirkertrigeqlem2  46259  dirkertrigeqlem3  46260  dirkertrigeq  46261  dirkercncflem2  46264  dirkercncflem4  46266  fourierdlem43  46310  fourierdlem57  46323  fourierdlem58  46324  fourierdlem62  46328  fourierdlem66  46332  fourierdlem68  46334  fourierdlem72  46338  fourierdlem76  46342  fourierdlem78  46344  fourierdlem80  46346  fourierdlem103  46369  fourierdlem104  46370  fourierswlem  46390  fouriersw  46391  sigardiv  47021  cevathlem1  47027  quad1  47782  requad01  47783  requad1  47784