Theorem mulne0d 12008

Description: The product of two nonzero numbers is nonzero. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
msq0d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
mulne0bd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
mulne0d.3	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 0)
mulne0d.4	⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 0)

Assertion

Ref	Expression
mulne0d	⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝐵) ≠ 0)

Proof of Theorem mulne0d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mulne0d.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 0)
2		mulne0d.4	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 0)
3		msq0d.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
4		mulne0bd.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
5	3, 4	mulne0bd 12007	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0) ↔ (𝐴 · 𝐵) ≠ 0))
6	1, 2, 5	mpbi2and 725	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝐵) ≠ 0)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2147   ≠ wne 2959  (class class class)co 7451  ℂcc 11237  0cc0 11239   · cmul 11244

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5255  ax-nul 5266  ax-pow 5334  ax-pr 5398  ax-un 7783  ax-resscn 11296  ax-1cn 11297  ax-icn 11298  ax-addcl 11299  ax-addrcl 11300  ax-mulcl 11301  ax-mulrcl 11302  ax-mulcom 11303  ax-addass 11304  ax-mulass 11305  ax-distr 11306  ax-i2m1 11307  ax-1ne0 11308  ax-1rid 11309  ax-rnegex 11310  ax-rrecex 11311  ax-cnre 11312  ax-pre-lttri 11313  ax-pre-lttrn 11314  ax-pre-ltadd 11315  ax-pre-mulgt0 11316

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4841  df-uni 4873  df-br 5109  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-id 5553  df-po 5566  df-so 5567  df-xp 5664  df-rel 5665  df-cnv 5666  df-co 5667  df-dm 5668  df-rn 5669  df-res 5670  df-ima 5671  df-iota 6520  df-fun 6568  df-fn 6569  df-f 6570  df-f1 6571  df-fo 6572  df-f1o 6573  df-fv 6574  df-riota 7408  df-ov 7454  df-oprab 7455  df-mpo 7456  df-er 8755  df-en 9012  df-dom 9013  df-sdom 9014  df-pnf 11384  df-mnf 11385  df-xr 11386  df-ltxr 11387  df-le 11388  df-sub 11582  df-neg 11583

This theorem is used by:  divdivdiv  12058  absrpcl  15498  prodfn0  16107  ntrivcvgmullem  16114  fprodn0f  16202  tanval3  16346  tanaddlem  16378  tanadd  16379  lcmgcdlem  16825  prmdvdsbc  16946  pcqmul  17075  abvdom  21138  itg1mulc  26080  dgrmul  26644  aalioulem4  26719  taylthlem2  26758  tanarg  27004  mulcxp  27070  cxpmul2  27074  relogbmul  27162  angcan  27187  ssscongptld  27207  chordthmlem2  27218  quad2  27224  dcubic2  27229  dcubic  27231  mcubic  27232  cubic2  27233  cubic  27234  lgamgulmlem2  27414  lgsdilem2  27717  lgsdi  27718  pntrlog2bndlem2  27962  padicabv  28014  ttgcontlem1  29519  quad3d  33437  iconstr  34509  constrrecl  34512  cos9thpiminplylem2  34526  cos9thpiminplylem3  34527  qqhghm  34731  qqhrhm  34732  itgexpif  35346  knoppndvlem1  37593  knoppndvlem2  37594  knoppndvlem7  37599  knoppndvlem14  37606  knoppndvlem16  37608  itg2addnclem  38857  areacirclem1  38894  lcmineqlem11  43355  lcmineqlem16  43360  lcmineqlem18  43362  dvrelogpow2b  43384  aks4d1p1p6  43389  aks4d1p1p7  43390  aks4d1p1p5  43391  2np3bcnp1  43460  ef11d  43656  3cubeslem2  43961  radcnvrat  45559  divcan8d  46601  mccllem  46882  clim1fr1  46886  reclimc  46936  dvdivcncf  47210  stoweidlem1  47284  wallispilem4  47351  wallispilem5  47352  wallispi2lem1  47354  wallispi2lem2  47355  wallispi2  47356  stirlinglem3  47359  stirlinglem4  47360  stirlinglem10  47366  stirlinglem12  47368  stirlinglem13  47369  stirlinglem14  47370  stirlinglem15  47371  dirker2re  47375  dirkerdenne0  47376  dirkerval2  47377  dirkerre  47378  dirkertrigeqlem2  47382  dirkertrigeqlem3  47383  dirkertrigeq  47384  dirkercncflem2  47387  dirkercncflem4  47389  fourierdlem43  47433  fourierdlem57  47446  fourierdlem58  47447  fourierdlem62  47451  fourierdlem66  47455  fourierdlem68  47457  fourierdlem72  47461  fourierdlem76  47465  fourierdlem78  47467  fourierdlem80  47469  fourierdlem103  47492  fourierdlem104  47493  fourierswlem  47513  fouriersw  47514  sigardiv  48144  cevathlem1  48150  quad1  48991  requad01  48992  requad1  48993  tanhadd  51258  dvsec  51284