Theorem mulne0d 11610

Description: The product of two nonzero numbers is nonzero. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
msq0d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
mul0ord.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
mulne0d.3	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 0)
mulne0d.4	⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 0)

Assertion

Ref	Expression
mulne0d	⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝐵) ≠ 0)

Proof of Theorem mulne0d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mulne0d.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 0)
2		mulne0d.4	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 0)
3		msq0d.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
4		mul0ord.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
5	3, 4	mulne0bd 11609	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0) ↔ (𝐴 · 𝐵) ≠ 0))
6	1, 2, 5	mpbi2and 708	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝐵) ≠ 0)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2944  (class class class)co 7268  ℂcc 10853  0cc0 10855   · cmul 10860

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1801  ax-4 1815  ax-5 1916  ax-6 1974  ax-7 2014  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2140  ax-11 2157  ax-12 2174  ax-ext 2710  ax-sep 5226  ax-nul 5233  ax-pow 5291  ax-pr 5355  ax-un 7579  ax-resscn 10912  ax-1cn 10913  ax-icn 10914  ax-addcl 10915  ax-addrcl 10916  ax-mulcl 10917  ax-mulrcl 10918  ax-mulcom 10919  ax-addass 10920  ax-mulass 10921  ax-distr 10922  ax-i2m1 10923  ax-1ne0 10924  ax-1rid 10925  ax-rnegex 10926  ax-rrecex 10927  ax-cnre 10928  ax-pre-lttri 10929  ax-pre-lttrn 10930  ax-pre-ltadd 10931  ax-pre-mulgt0 10932

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1786  df-nf 1790  df-sb 2071  df-mo 2541  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2731  df-clel 2817  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3070  df-rex 3071  df-reu 3072  df-rab 3074  df-v 3432  df-sbc 3720  df-csb 3837  df-dif 3894  df-un 3896  df-in 3898  df-ss 3908  df-nul 4262  df-if 4465  df-pw 4540  df-sn 4567  df-pr 4569  df-op 4573  df-uni 4845  df-br 5079  df-opab 5141  df-mpt 5162  df-id 5488  df-po 5502  df-so 5503  df-xp 5594  df-rel 5595  df-cnv 5596  df-co 5597  df-dm 5598  df-rn 5599  df-res 5600  df-ima 5601  df-iota 6388  df-fun 6432  df-fn 6433  df-f 6434  df-f1 6435  df-fo 6436  df-f1o 6437  df-fv 6438  df-riota 7225  df-ov 7271  df-oprab 7272  df-mpo 7273  df-er 8472  df-en 8708  df-dom 8709  df-sdom 8710  df-pnf 10995  df-mnf 10996  df-xr 10997  df-ltxr 10998  df-le 10999  df-sub 11190  df-neg 11191

This theorem is referenced by:  divdivdiv  11659  absrpcl  14981  prodfn0  15587  ntrivcvgmullem  15594  fprodn0f  15682  tanval3  15824  tanaddlem  15856  tanadd  15857  lcmgcdlem  16292  pcqmul  16535  abvdom  20079  itg1mulc  24850  dgrmul  25412  aalioulem4  25476  taylthlem2  25514  tanarg  25755  mulcxp  25821  cxpmul2  25825  relogbmul  25908  angcan  25933  ssscongptld  25953  chordthmlem2  25964  quad2  25970  dcubic2  25975  dcubic  25977  mcubic  25978  cubic2  25979  cubic  25980  lgamgulmlem2  26160  lgsdilem2  26462  lgsdi  26463  pntrlog2bndlem2  26707  padicabv  26759  ttgcontlem1  27233  prmdvdsbc  31109  qqhghm  31917  qqhrhm  31918  itgexpif  32565  knoppndvlem1  34671  knoppndvlem2  34672  knoppndvlem7  34677  knoppndvlem14  34684  knoppndvlem16  34686  itg2addnclem  35807  areacirclem1  35844  lcmineqlem11  40027  lcmineqlem16  40032  lcmineqlem18  40034  dvrelogpow2b  40056  aks4d1p1p6  40061  aks4d1p1p7  40062  aks4d1p1p5  40063  2np3bcnp1  40080  3cubeslem2  40487  radcnvrat  41885  divcan8d  42805  mccllem  43092  clim1fr1  43096  reclimc  43148  dvdivcncf  43422  stoweidlem1  43496  wallispilem4  43563  wallispilem5  43564  wallispi2lem1  43566  wallispi2lem2  43567  wallispi2  43568  stirlinglem3  43571  stirlinglem4  43572  stirlinglem10  43578  stirlinglem12  43580  stirlinglem13  43581  stirlinglem14  43582  stirlinglem15  43583  dirker2re  43587  dirkerdenne0  43588  dirkerval2  43589  dirkerre  43590  dirkertrigeqlem2  43594  dirkertrigeqlem3  43595  dirkertrigeq  43596  dirkercncflem2  43599  dirkercncflem4  43601  fourierdlem43  43645  fourierdlem57  43658  fourierdlem58  43659  fourierdlem62  43663  fourierdlem66  43667  fourierdlem68  43669  fourierdlem72  43673  fourierdlem76  43677  fourierdlem78  43679  fourierdlem80  43681  fourierdlem103  43704  fourierdlem104  43705  fourierswlem  43725  fouriersw  43726  sigardiv  44328  cevathlem1  44334  quad1  45024  requad01  45025  requad1  45026