Theorem mulne0d 11969

Description: The product of two nonzero numbers is nonzero. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
msq0d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
mulne0bd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
mulne0d.3	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 0)
mulne0d.4	⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 0)

Assertion

Ref	Expression
mulne0d	⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝐵) ≠ 0)

Proof of Theorem mulne0d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mulne0d.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 0)
2		mulne0d.4	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 0)
3		msq0d.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
4		mulne0bd.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
5	3, 4	mulne0bd 11968	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0) ↔ (𝐴 · 𝐵) ≠ 0))
6	1, 2, 5	mpbi2and 725	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝐵) ≠ 0)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2956  (class class class)co 7421  ℂcc 11199  0cc0 11201   · cmul 11206

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7752  ax-resscn 11258  ax-1cn 11259  ax-icn 11260  ax-addcl 11261  ax-addrcl 11262  ax-mulcl 11263  ax-mulrcl 11264  ax-mulcom 11265  ax-addass 11266  ax-mulass 11267  ax-distr 11268  ax-i2m1 11269  ax-1ne0 11270  ax-1rid 11271  ax-rnegex 11272  ax-rrecex 11273  ax-cnre 11274  ax-pre-lttri 11275  ax-pre-lttrn 11276  ax-pre-ltadd 11277  ax-pre-mulgt0 11278

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3915  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-id 5546  df-po 5559  df-so 5560  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-iota 6495  df-fun 6541  df-fn 6542  df-f 6543  df-f1 6544  df-fo 6545  df-f1o 6546  df-fv 6547  df-riota 7378  df-ov 7424  df-oprab 7425  df-mpo 7426  df-er 8718  df-en 8975  df-dom 8976  df-sdom 8977  df-pnf 11346  df-mnf 11347  df-xr 11348  df-ltxr 11349  df-le 11350  df-sub 11544  df-neg 11545

This theorem is used by:  divdivdiv  12019  absrpcl  15456  prodfn0  16064  ntrivcvgmullem  16071  fprodn0f  16159  tanval3  16303  tanaddlem  16335  tanadd  16336  lcmgcdlem  16782  prmdvdsbc  16903  pcqmul  17032  abvdom  21088  itg1mulc  26026  dgrmul  26590  aalioulem4  26663  taylthlem2  26702  tanarg  26948  mulcxp  27014  cxpmul2  27018  relogbmul  27106  angcan  27131  ssscongptld  27151  chordthmlem2  27162  quad2  27168  dcubic2  27173  dcubic  27175  mcubic  27176  cubic2  27177  cubic  27178  lgamgulmlem2  27358  lgsdilem2  27661  lgsdi  27662  pntrlog2bndlem2  27906  padicabv  27958  ttgcontlem1  29463  quad3d  33342  iconstr  34399  constrrecl  34402  cos9thpiminplylem2  34416  cos9thpiminplylem3  34417  qqhghm  34621  qqhrhm  34622  itgexpif  35236  knoppndvlem1  37379  knoppndvlem2  37380  knoppndvlem7  37385  knoppndvlem14  37392  knoppndvlem16  37394  itg2addnclem  38591  areacirclem1  38628  lcmineqlem11  43091  lcmineqlem16  43096  lcmineqlem18  43098  dvrelogpow2b  43120  aks4d1p1p6  43125  aks4d1p1p7  43126  aks4d1p1p5  43127  2np3bcnp1  43196  ef11d  43392  3cubeslem2  43697  radcnvrat  45299  divcan8d  46329  mccllem  46610  clim1fr1  46614  reclimc  46664  dvdivcncf  46938  stoweidlem1  47012  wallispilem4  47079  wallispilem5  47080  wallispi2lem1  47082  wallispi2lem2  47083  wallispi2  47084  stirlinglem3  47087  stirlinglem4  47088  stirlinglem10  47094  stirlinglem12  47096  stirlinglem13  47097  stirlinglem14  47098  stirlinglem15  47099  dirker2re  47103  dirkerdenne0  47104  dirkerval2  47105  dirkerre  47106  dirkertrigeqlem2  47110  dirkertrigeqlem3  47111  dirkertrigeq  47112  dirkercncflem2  47115  dirkercncflem4  47117  fourierdlem43  47161  fourierdlem57  47174  fourierdlem58  47175  fourierdlem62  47179  fourierdlem66  47183  fourierdlem68  47185  fourierdlem72  47189  fourierdlem76  47193  fourierdlem78  47195  fourierdlem80  47197  fourierdlem103  47220  fourierdlem104  47221  fourierswlem  47241  fouriersw  47242  sigardiv  47872  cevathlem1  47878  quad1  48719  requad01  48720  requad1  48721  dvsec  50857