Theorem mulne0d 11790

Description: The product of two nonzero numbers is nonzero. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
msq0d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
mulne0bd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
mulne0d.3	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 0)
mulne0d.4	⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 0)

Assertion

Ref	Expression
mulne0d	⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝐵) ≠ 0)

Proof of Theorem mulne0d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mulne0d.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 0)
2		mulne0d.4	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 0)
3		msq0d.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
4		mulne0bd.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
5	3, 4	mulne0bd 11789	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0) ↔ (𝐴 · 𝐵) ≠ 0))
6	1, 2, 5	mpbi2and 712	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝐵) ≠ 0)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2925  (class class class)co 7353  ℂcc 11026  0cc0 11028   · cmul 11033

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7675  ax-resscn 11085  ax-1cn 11086  ax-icn 11087  ax-addcl 11088  ax-addrcl 11089  ax-mulcl 11090  ax-mulrcl 11091  ax-mulcom 11092  ax-addass 11093  ax-mulass 11094  ax-distr 11095  ax-i2m1 11096  ax-1ne0 11097  ax-1rid 11098  ax-rnegex 11099  ax-rrecex 11100  ax-cnre 11101  ax-pre-lttri 11102  ax-pre-lttrn 11103  ax-pre-ltadd 11104  ax-pre-mulgt0 11105

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3346  df-rab 3397  df-v 3440  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-nul 4287  df-if 4479  df-pw 4555  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4862  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-id 5518  df-po 5531  df-so 5532  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-rn 5634  df-res 5635  df-ima 5636  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-riota 7310  df-ov 7356  df-oprab 7357  df-mpo 7358  df-er 8632  df-en 8880  df-dom 8881  df-sdom 8882  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-sub 11367  df-neg 11368

This theorem is referenced by:  divdivdiv  11843  absrpcl  15213  prodfn0  15819  ntrivcvgmullem  15826  fprodn0f  15916  tanval3  16061  tanaddlem  16093  tanadd  16094  lcmgcdlem  16535  prmdvdsbc  16655  pcqmul  16783  abvdom  20733  itg1mulc  25621  dgrmul  26192  aalioulem4  26259  taylthlem2  26298  taylthlem2OLD  26299  tanarg  26544  mulcxp  26610  cxpmul2  26614  relogbmul  26703  angcan  26728  ssscongptld  26748  chordthmlem2  26759  quad2  26765  dcubic2  26770  dcubic  26772  mcubic  26773  cubic2  26774  cubic  26775  lgamgulmlem2  26956  lgsdilem2  27260  lgsdi  27261  pntrlog2bndlem2  27505  padicabv  27557  ttgcontlem1  28848  quad3d  32706  iconstr  33735  constrrecl  33738  cos9thpiminplylem2  33752  cos9thpiminplylem3  33753  qqhghm  33957  qqhrhm  33958  itgexpif  34576  knoppndvlem1  36488  knoppndvlem2  36489  knoppndvlem7  36494  knoppndvlem14  36501  knoppndvlem16  36503  itg2addnclem  37653  areacirclem1  37690  lcmineqlem11  42015  lcmineqlem16  42020  lcmineqlem18  42022  dvrelogpow2b  42044  aks4d1p1p6  42049  aks4d1p1p7  42050  aks4d1p1p5  42051  2np3bcnp1  42120  ef11d  42315  3cubeslem2  42661  radcnvrat  44290  divcan8d  45297  mccllem  45582  clim1fr1  45586  reclimc  45638  dvdivcncf  45912  stoweidlem1  45986  wallispilem4  46053  wallispilem5  46054  wallispi2lem1  46056  wallispi2lem2  46057  wallispi2  46058  stirlinglem3  46061  stirlinglem4  46062  stirlinglem10  46068  stirlinglem12  46070  stirlinglem13  46071  stirlinglem14  46072  stirlinglem15  46073  dirker2re  46077  dirkerdenne0  46078  dirkerval2  46079  dirkerre  46080  dirkertrigeqlem2  46084  dirkertrigeqlem3  46085  dirkertrigeq  46086  dirkercncflem2  46089  dirkercncflem4  46091  fourierdlem43  46135  fourierdlem57  46148  fourierdlem58  46149  fourierdlem62  46153  fourierdlem66  46157  fourierdlem68  46159  fourierdlem72  46163  fourierdlem76  46167  fourierdlem78  46169  fourierdlem80  46171  fourierdlem103  46194  fourierdlem104  46195  fourierswlem  46215  fouriersw  46216  sigardiv  46846  cevathlem1  46852  quad1  47608  requad01  47609  requad1  47610