Theorem mulne0d 11866

Description: The product of two nonzero numbers is nonzero. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
msq0d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
mul0ord.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
mulne0d.3	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 0)
mulne0d.4	⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 0)

Assertion

Ref	Expression
mulne0d	⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝐵) ≠ 0)

Proof of Theorem mulne0d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mulne0d.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 0)
2		mulne0d.4	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 0)
3		msq0d.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
4		mul0ord.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
5	3, 4	mulne0bd 11865	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0) ↔ (𝐴 · 𝐵) ≠ 0))
6	1, 2, 5	mpbi2and 711	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝐵) ≠ 0)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2107   ≠ wne 2941  (class class class)co 7409  ℂcc 11108  0cc0 11110   · cmul 11115

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-id 5575  df-po 5589  df-so 5590  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-er 8703  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447

This theorem is referenced by:  divdivdiv  11915  absrpcl  15235  prodfn0  15840  ntrivcvgmullem  15847  fprodn0f  15935  tanval3  16077  tanaddlem  16109  tanadd  16110  lcmgcdlem  16543  pcqmul  16786  abvdom  20446  itg1mulc  25222  dgrmul  25784  aalioulem4  25848  taylthlem2  25886  tanarg  26127  mulcxp  26193  cxpmul2  26197  relogbmul  26282  angcan  26307  ssscongptld  26327  chordthmlem2  26338  quad2  26344  dcubic2  26349  dcubic  26351  mcubic  26352  cubic2  26353  cubic  26354  lgamgulmlem2  26534  lgsdilem2  26836  lgsdi  26837  pntrlog2bndlem2  27081  padicabv  27133  ttgcontlem1  28142  prmdvdsbc  32022  qqhghm  32968  qqhrhm  32969  itgexpif  33618  knoppndvlem1  35388  knoppndvlem2  35389  knoppndvlem7  35394  knoppndvlem14  35401  knoppndvlem16  35403  itg2addnclem  36539  areacirclem1  36576  lcmineqlem11  40904  lcmineqlem16  40909  lcmineqlem18  40911  dvrelogpow2b  40933  aks4d1p1p6  40938  aks4d1p1p7  40939  aks4d1p1p5  40940  2np3bcnp1  40960  3cubeslem2  41423  radcnvrat  43073  divcan8d  44022  mccllem  44313  clim1fr1  44317  reclimc  44369  dvdivcncf  44643  stoweidlem1  44717  wallispilem4  44784  wallispilem5  44785  wallispi2lem1  44787  wallispi2lem2  44788  wallispi2  44789  stirlinglem3  44792  stirlinglem4  44793  stirlinglem10  44799  stirlinglem12  44801  stirlinglem13  44802  stirlinglem14  44803  stirlinglem15  44804  dirker2re  44808  dirkerdenne0  44809  dirkerval2  44810  dirkerre  44811  dirkertrigeqlem2  44815  dirkertrigeqlem3  44816  dirkertrigeq  44817  dirkercncflem2  44820  dirkercncflem4  44822  fourierdlem43  44866  fourierdlem57  44879  fourierdlem58  44880  fourierdlem62  44884  fourierdlem66  44888  fourierdlem68  44890  fourierdlem72  44894  fourierdlem76  44898  fourierdlem78  44900  fourierdlem80  44902  fourierdlem103  44925  fourierdlem104  44926  fourierswlem  44946  fouriersw  44947  sigardiv  45577  cevathlem1  45583  quad1  46288  requad01  46289  requad1  46290