Theorem mulne0d 11764

Description: The product of two nonzero numbers is nonzero. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
msq0d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
mulne0bd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
mulne0d.3	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 0)
mulne0d.4	⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 0)

Assertion

Ref	Expression
mulne0d	⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝐵) ≠ 0)

Proof of Theorem mulne0d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mulne0d.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 0)
2		mulne0d.4	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 0)
3		msq0d.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
4		mulne0bd.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
5	3, 4	mulne0bd 11763	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0) ↔ (𝐴 · 𝐵) ≠ 0))
6	1, 2, 5	mpbi2and 712	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝐵) ≠ 0)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2111   ≠ wne 2928  (class class class)co 7341  ℂcc 10999  0cc0 11001   · cmul 11006

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-sep 5229  ax-nul 5239  ax-pow 5298  ax-pr 5365  ax-un 7663  ax-resscn 11058  ax-1cn 11059  ax-icn 11060  ax-addcl 11061  ax-addrcl 11062  ax-mulcl 11063  ax-mulrcl 11064  ax-mulcom 11065  ax-addass 11066  ax-mulass 11067  ax-distr 11068  ax-i2m1 11069  ax-1ne0 11070  ax-1rid 11071  ax-rnegex 11072  ax-rrecex 11073  ax-cnre 11074  ax-pre-lttri 11075  ax-pre-lttrn 11076  ax-pre-ltadd 11077  ax-pre-mulgt0 11078

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-nul 4279  df-if 4471  df-pw 4547  df-sn 4572  df-pr 4574  df-op 4578  df-uni 4855  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-id 5506  df-po 5519  df-so 5520  df-xp 5617  df-rel 5618  df-cnv 5619  df-co 5620  df-dm 5621  df-rn 5622  df-res 5623  df-ima 5624  df-iota 6432  df-fun 6478  df-fn 6479  df-f 6480  df-f1 6481  df-fo 6482  df-f1o 6483  df-fv 6484  df-riota 7298  df-ov 7344  df-oprab 7345  df-mpo 7346  df-er 8617  df-en 8865  df-dom 8866  df-sdom 8867  df-pnf 11143  df-mnf 11144  df-xr 11145  df-ltxr 11146  df-le 11147  df-sub 11341  df-neg 11342

This theorem is referenced by:  divdivdiv  11817  absrpcl  15190  prodfn0  15796  ntrivcvgmullem  15803  fprodn0f  15893  tanval3  16038  tanaddlem  16070  tanadd  16071  lcmgcdlem  16512  prmdvdsbc  16632  pcqmul  16760  abvdom  20740  itg1mulc  25627  dgrmul  26198  aalioulem4  26265  taylthlem2  26304  taylthlem2OLD  26305  tanarg  26550  mulcxp  26616  cxpmul2  26620  relogbmul  26709  angcan  26734  ssscongptld  26754  chordthmlem2  26765  quad2  26771  dcubic2  26776  dcubic  26778  mcubic  26779  cubic2  26780  cubic  26781  lgamgulmlem2  26962  lgsdilem2  27266  lgsdi  27267  pntrlog2bndlem2  27511  padicabv  27563  ttgcontlem1  28858  quad3d  32725  iconstr  33771  constrrecl  33774  cos9thpiminplylem2  33788  cos9thpiminplylem3  33789  qqhghm  33993  qqhrhm  33994  itgexpif  34611  knoppndvlem1  36546  knoppndvlem2  36547  knoppndvlem7  36552  knoppndvlem14  36559  knoppndvlem16  36561  itg2addnclem  37711  areacirclem1  37748  lcmineqlem11  42072  lcmineqlem16  42077  lcmineqlem18  42079  dvrelogpow2b  42101  aks4d1p1p6  42106  aks4d1p1p7  42107  aks4d1p1p5  42108  2np3bcnp1  42177  ef11d  42372  3cubeslem2  42718  radcnvrat  44347  divcan8d  45353  mccllem  45637  clim1fr1  45641  reclimc  45691  dvdivcncf  45965  stoweidlem1  46039  wallispilem4  46106  wallispilem5  46107  wallispi2lem1  46109  wallispi2lem2  46110  wallispi2  46111  stirlinglem3  46114  stirlinglem4  46115  stirlinglem10  46121  stirlinglem12  46123  stirlinglem13  46124  stirlinglem14  46125  stirlinglem15  46126  dirker2re  46130  dirkerdenne0  46131  dirkerval2  46132  dirkerre  46133  dirkertrigeqlem2  46137  dirkertrigeqlem3  46138  dirkertrigeq  46139  dirkercncflem2  46142  dirkercncflem4  46144  fourierdlem43  46188  fourierdlem57  46201  fourierdlem58  46202  fourierdlem62  46206  fourierdlem66  46210  fourierdlem68  46212  fourierdlem72  46216  fourierdlem76  46220  fourierdlem78  46222  fourierdlem80  46224  fourierdlem103  46247  fourierdlem104  46248  fourierswlem  46268  fouriersw  46269  sigardiv  46899  cevathlem1  46905  quad1  47651  requad01  47652  requad1  47653