Theorem mulne0d 11027

Description: The product of two nonzero numbers is nonzero. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
msq0d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
mul0ord.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
mulne0d.3	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 0)
mulne0d.4	⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 0)

Assertion

Ref	Expression
mulne0d	⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝐵) ≠ 0)

Proof of Theorem mulne0d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mulne0d.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 0)
2		mulne0d.4	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 0)
3		msq0d.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
4		mul0ord.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
5	3, 4	mulne0bd 11026	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0) ↔ (𝐴 · 𝐵) ≠ 0))
6	1, 2, 5	mpbi2and 702	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝐵) ≠ 0)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2107   ≠ wne 2969  (class class class)co 6922  ℂcc 10270  0cc0 10272   · cmul 10277

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2055  ax-8 2109  ax-9 2116  ax-10 2135  ax-11 2150  ax-12 2163  ax-13 2334  ax-ext 2754  ax-sep 5017  ax-nul 5025  ax-pow 5077  ax-pr 5138  ax-un 7226  ax-resscn 10329  ax-1cn 10330  ax-icn 10331  ax-addcl 10332  ax-addrcl 10333  ax-mulcl 10334  ax-mulrcl 10335  ax-mulcom 10336  ax-addass 10337  ax-mulass 10338  ax-distr 10339  ax-i2m1 10340  ax-1ne0 10341  ax-1rid 10342  ax-rnegex 10343  ax-rrecex 10344  ax-cnre 10345  ax-pre-lttri 10346  ax-pre-lttrn 10347  ax-pre-ltadd 10348  ax-pre-mulgt0 10349

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1605  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2551  df-eu 2587  df-clab 2764  df-cleq 2770  df-clel 2774  df-nfc 2921  df-ne 2970  df-nel 3076  df-ral 3095  df-rex 3096  df-reu 3097  df-rab 3099  df-v 3400  df-sbc 3653  df-csb 3752  df-dif 3795  df-un 3797  df-in 3799  df-ss 3806  df-nul 4142  df-if 4308  df-pw 4381  df-sn 4399  df-pr 4401  df-op 4405  df-uni 4672  df-br 4887  df-opab 4949  df-mpt 4966  df-id 5261  df-po 5274  df-so 5275  df-xp 5361  df-rel 5362  df-cnv 5363  df-co 5364  df-dm 5365  df-rn 5366  df-res 5367  df-ima 5368  df-iota 6099  df-fun 6137  df-fn 6138  df-f 6139  df-f1 6140  df-fo 6141  df-f1o 6142  df-fv 6143  df-riota 6883  df-ov 6925  df-oprab 6926  df-mpt2 6927  df-er 8026  df-en 8242  df-dom 8243  df-sdom 8244  df-pnf 10413  df-mnf 10414  df-xr 10415  df-ltxr 10416  df-le 10417  df-sub 10608  df-neg 10609

This theorem is referenced by:  divdivdiv  11076  absrpcl  14435  prodfn0  15029  ntrivcvgmullem  15036  fprodn0f  15124  tanval3  15266  tanaddlem  15298  tanadd  15299  lcmgcdlem  15725  pcqmul  15962  abvdom  19230  itg1mulc  23908  dgrmul  24463  aalioulem4  24527  taylthlem2  24565  tanarg  24802  mulcxp  24868  cxpmul2  24872  relogbmul  24955  angcan  24980  ssscongptld  25000  chordthmlem2  25011  quad2  25017  dcubic2  25022  dcubic  25024  mcubic  25025  cubic2  25026  cubic  25027  lgamgulmlem2  25208  lgsdilem2  25510  lgsdi  25511  pntrlog2bndlem2  25719  padicabv  25771  ttgcontlem1  26234  qqhghm  30630  qqhrhm  30631  itgexpif  31286  knoppndvlem1  33085  knoppndvlem2  33086  knoppndvlem7  33091  knoppndvlem14  33098  knoppndvlem16  33100  itg2addnclem  34086  areacirclem1  34125  radcnvrat  39469  divcan8d  40435  mccllem  40737  clim1fr1  40741  reclimc  40793  dvdivcncf  41070  stoweidlem1  41145  wallispilem4  41212  wallispilem5  41213  wallispi2lem1  41215  wallispi2lem2  41216  wallispi2  41217  stirlinglem3  41220  stirlinglem4  41221  stirlinglem10  41227  stirlinglem12  41229  stirlinglem13  41230  stirlinglem14  41231  stirlinglem15  41232  dirker2re  41236  dirkerdenne0  41237  dirkerval2  41238  dirkerre  41239  dirkertrigeqlem2  41243  dirkertrigeqlem3  41244  dirkertrigeq  41245  dirkercncflem2  41248  dirkercncflem4  41250  fourierdlem43  41294  fourierdlem57  41307  fourierdlem58  41308  fourierdlem62  41312  fourierdlem66  41316  fourierdlem68  41318  fourierdlem72  41322  fourierdlem76  41326  fourierdlem78  41328  fourierdlem80  41330  fourierdlem103  41353  fourierdlem104  41354  fourierswlem  41374  fouriersw  41375  sigardiv  41977  cevathlem1  41983  quad1  42558  requad01  42559  requad1  42560