Theorem mulne0d 11915

Description: The product of two nonzero numbers is nonzero. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
msq0d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
mul0ord.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
mulne0d.3	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 0)
mulne0d.4	⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 0)

Assertion

Ref	Expression
mulne0d	⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝐵) ≠ 0)

Proof of Theorem mulne0d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mulne0d.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 0)
2		mulne0d.4	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 0)
3		msq0d.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
4		mul0ord.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
5	3, 4	mulne0bd 11914	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0) ↔ (𝐴 · 𝐵) ≠ 0))
6	1, 2, 5	mpbi2and 712	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝐵) ≠ 0)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2940  (class class class)co 7431  ℂcc 11153  0cc0 11155   · cmul 11160

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-id 5578  df-po 5592  df-so 5593  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495

This theorem is referenced by:  divdivdiv  11968  absrpcl  15327  prodfn0  15930  ntrivcvgmullem  15937  fprodn0f  16027  tanval3  16170  tanaddlem  16202  tanadd  16203  lcmgcdlem  16643  prmdvdsbc  16763  pcqmul  16891  abvdom  20831  itg1mulc  25739  dgrmul  26310  aalioulem4  26377  taylthlem2  26416  taylthlem2OLD  26417  tanarg  26661  mulcxp  26727  cxpmul2  26731  relogbmul  26820  angcan  26845  ssscongptld  26865  chordthmlem2  26876  quad2  26882  dcubic2  26887  dcubic  26889  mcubic  26890  cubic2  26891  cubic  26892  lgamgulmlem2  27073  lgsdilem2  27377  lgsdi  27378  pntrlog2bndlem2  27622  padicabv  27674  ttgcontlem1  28899  quad3d  32754  qqhghm  33989  qqhrhm  33990  itgexpif  34621  knoppndvlem1  36513  knoppndvlem2  36514  knoppndvlem7  36519  knoppndvlem14  36526  knoppndvlem16  36528  itg2addnclem  37678  areacirclem1  37715  lcmineqlem11  42040  lcmineqlem16  42045  lcmineqlem18  42047  dvrelogpow2b  42069  aks4d1p1p6  42074  aks4d1p1p7  42075  aks4d1p1p5  42076  2np3bcnp1  42145  ef11d  42375  3cubeslem2  42696  radcnvrat  44333  divcan8d  45324  mccllem  45612  clim1fr1  45616  reclimc  45668  dvdivcncf  45942  stoweidlem1  46016  wallispilem4  46083  wallispilem5  46084  wallispi2lem1  46086  wallispi2lem2  46087  wallispi2  46088  stirlinglem3  46091  stirlinglem4  46092  stirlinglem10  46098  stirlinglem12  46100  stirlinglem13  46101  stirlinglem14  46102  stirlinglem15  46103  dirker2re  46107  dirkerdenne0  46108  dirkerval2  46109  dirkerre  46110  dirkertrigeqlem2  46114  dirkertrigeqlem3  46115  dirkertrigeq  46116  dirkercncflem2  46119  dirkercncflem4  46121  fourierdlem43  46165  fourierdlem57  46178  fourierdlem58  46179  fourierdlem62  46183  fourierdlem66  46187  fourierdlem68  46189  fourierdlem72  46193  fourierdlem76  46197  fourierdlem78  46199  fourierdlem80  46201  fourierdlem103  46224  fourierdlem104  46225  fourierswlem  46245  fouriersw  46246  sigardiv  46876  cevathlem1  46882  quad1  47607  requad01  47608  requad1  47609