Proof of Theorem cevathlem2
| Step | Hyp | Ref
| Expression |
| 1 | | cevath.sigar |
. . . . . . 7
⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ ℂ, 𝑦 ∈ ℂ ↦
(ℑ‘((∗‘𝑥) · 𝑦))) |
| 2 | | cevath.b |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝜑 → (𝐹 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐸 ∈ ℂ)) |
| 3 | 2 | simp2d 1144 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℂ) |
| 4 | | cevath.a |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ)) |
| 5 | 4 | simp1d 1143 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ) |
| 6 | 4 | simp2d 1144 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ) |
| 7 | 3, 5, 6 | 3jca 1129 |
. . . . . . 7
⊢ (𝜑 → (𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ)) |
| 8 | | cevath.c |
. . . . . . . 8
⊢ (𝜑 → 𝑂 ∈ ℂ) |
| 9 | 5, 8 | subcld 11620 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝑂) ∈ ℂ) |
| 10 | 3, 8 | subcld 11620 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝜑 → (𝐷 − 𝑂) ∈ ℂ) |
| 11 | 9, 10 | jca 511 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝜑 → ((𝐴 − 𝑂) ∈ ℂ ∧ (𝐷 − 𝑂) ∈ ℂ)) |
| 12 | | cevath.d |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝜑 → (((𝐴 − 𝑂)𝐺(𝐷 − 𝑂)) = 0 ∧ ((𝐵 − 𝑂)𝐺(𝐸 − 𝑂)) = 0 ∧ ((𝐶 − 𝑂)𝐺(𝐹 − 𝑂)) = 0)) |
| 13 | 12 | simp1d 1143 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝜑 → ((𝐴 − 𝑂)𝐺(𝐷 − 𝑂)) = 0) |
| 14 | 1, 11, 13 | sigariz 46878 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝜑 → ((𝐷 − 𝑂)𝐺(𝐴 − 𝑂)) = 0) |
| 15 | 8, 14 | jca 511 |
. . . . . . 7
⊢ (𝜑 → (𝑂 ∈ ℂ ∧ ((𝐷 − 𝑂)𝐺(𝐴 − 𝑂)) = 0)) |
| 16 | 1, 7, 15 | sigaradd 46881 |
. . . . . 6
⊢ (𝜑 → (((𝐴 − 𝐵)𝐺(𝐷 − 𝐵)) − ((𝑂 − 𝐵)𝐺(𝐷 − 𝐵))) = ((𝐴 − 𝐵)𝐺(𝑂 − 𝐵))) |
| 17 | 1 | sigarperm 46875 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑂 ∈ ℂ) → ((𝐵 − 𝑂)𝐺(𝐴 − 𝑂)) = ((𝐴 − 𝐵)𝐺(𝑂 − 𝐵))) |
| 18 | 6, 5, 8, 17 | syl3anc 1373 |
. . . . . 6
⊢ (𝜑 → ((𝐵 − 𝑂)𝐺(𝐴 − 𝑂)) = ((𝐴 − 𝐵)𝐺(𝑂 − 𝐵))) |
| 19 | 16, 18 | eqtr4d 2780 |
. . . . 5
⊢ (𝜑 → (((𝐴 − 𝐵)𝐺(𝐷 − 𝐵)) − ((𝑂 − 𝐵)𝐺(𝐷 − 𝐵))) = ((𝐵 − 𝑂)𝐺(𝐴 − 𝑂))) |
| 20 | 19 | oveq1d 7446 |
. . . 4
⊢ (𝜑 → ((((𝐴 − 𝐵)𝐺(𝐷 − 𝐵)) − ((𝑂 − 𝐵)𝐺(𝐷 − 𝐵))) · (𝐶 − 𝐷)) = (((𝐵 − 𝑂)𝐺(𝐴 − 𝑂)) · (𝐶 − 𝐷))) |
| 21 | 5, 6 | subcld 11620 |
. . . . . . 7
⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝐵) ∈ ℂ) |
| 22 | 3, 6 | subcld 11620 |
. . . . . . 7
⊢ (𝜑 → (𝐷 − 𝐵) ∈ ℂ) |
| 23 | 21, 22 | jca 511 |
. . . . . 6
⊢ (𝜑 → ((𝐴 − 𝐵) ∈ ℂ ∧ (𝐷 − 𝐵) ∈ ℂ)) |
| 24 | 1, 23 | sigarimcd 46877 |
. . . . 5
⊢ (𝜑 → ((𝐴 − 𝐵)𝐺(𝐷 − 𝐵)) ∈ ℂ) |
| 25 | 8, 6 | subcld 11620 |
. . . . . . 7
⊢ (𝜑 → (𝑂 − 𝐵) ∈ ℂ) |
| 26 | 25, 22 | jca 511 |
. . . . . 6
⊢ (𝜑 → ((𝑂 − 𝐵) ∈ ℂ ∧ (𝐷 − 𝐵) ∈ ℂ)) |
| 27 | 1, 26 | sigarimcd 46877 |
. . . . 5
⊢ (𝜑 → ((𝑂 − 𝐵)𝐺(𝐷 − 𝐵)) ∈ ℂ) |
| 28 | 4 | simp3d 1145 |
. . . . . 6
⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ) |
| 29 | 28, 3 | subcld 11620 |
. . . . 5
⊢ (𝜑 → (𝐶 − 𝐷) ∈ ℂ) |
| 30 | 24, 27, 29 | subdird 11720 |
. . . 4
⊢ (𝜑 → ((((𝐴 − 𝐵)𝐺(𝐷 − 𝐵)) − ((𝑂 − 𝐵)𝐺(𝐷 − 𝐵))) · (𝐶 − 𝐷)) = ((((𝐴 − 𝐵)𝐺(𝐷 − 𝐵)) · (𝐶 − 𝐷)) − (((𝑂 − 𝐵)𝐺(𝐷 − 𝐵)) · (𝐶 − 𝐷)))) |
| 31 | 20, 30 | eqtr3d 2779 |
. . 3
⊢ (𝜑 → (((𝐵 − 𝑂)𝐺(𝐴 − 𝑂)) · (𝐶 − 𝐷)) = ((((𝐴 − 𝐵)𝐺(𝐷 − 𝐵)) · (𝐶 − 𝐷)) − (((𝑂 − 𝐵)𝐺(𝐷 − 𝐵)) · (𝐶 − 𝐷)))) |
| 32 | 6, 28, 5 | 3jca 1129 |
. . . . 5
⊢ (𝜑 → (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ)) |
| 33 | | cevath.e |
. . . . . . 7
⊢ (𝜑 → (((𝐴 − 𝐹)𝐺(𝐵 − 𝐹)) = 0 ∧ ((𝐵 − 𝐷)𝐺(𝐶 − 𝐷)) = 0 ∧ ((𝐶 − 𝐸)𝐺(𝐴 − 𝐸)) = 0)) |
| 34 | 33 | simp2d 1144 |
. . . . . 6
⊢ (𝜑 → ((𝐵 − 𝐷)𝐺(𝐶 − 𝐷)) = 0) |
| 35 | 3, 34 | jca 511 |
. . . . 5
⊢ (𝜑 → (𝐷 ∈ ℂ ∧ ((𝐵 − 𝐷)𝐺(𝐶 − 𝐷)) = 0)) |
| 36 | 1, 32, 35 | sharhght 46880 |
. . . 4
⊢ (𝜑 → (((𝐴 − 𝐵)𝐺(𝐷 − 𝐵)) · (𝐶 − 𝐷)) = (((𝐴 − 𝐶)𝐺(𝐷 − 𝐶)) · (𝐵 − 𝐷))) |
| 37 | 6, 28, 8 | 3jca 1129 |
. . . . 5
⊢ (𝜑 → (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝑂 ∈ ℂ)) |
| 38 | 1, 37, 35 | sharhght 46880 |
. . . 4
⊢ (𝜑 → (((𝑂 − 𝐵)𝐺(𝐷 − 𝐵)) · (𝐶 − 𝐷)) = (((𝑂 − 𝐶)𝐺(𝐷 − 𝐶)) · (𝐵 − 𝐷))) |
| 39 | 36, 38 | oveq12d 7449 |
. . 3
⊢ (𝜑 → ((((𝐴 − 𝐵)𝐺(𝐷 − 𝐵)) · (𝐶 − 𝐷)) − (((𝑂 − 𝐵)𝐺(𝐷 − 𝐵)) · (𝐶 − 𝐷))) = ((((𝐴 − 𝐶)𝐺(𝐷 − 𝐶)) · (𝐵 − 𝐷)) − (((𝑂 − 𝐶)𝐺(𝐷 − 𝐶)) · (𝐵 − 𝐷)))) |
| 40 | 5, 28 | subcld 11620 |
. . . . . . 7
⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝐶) ∈ ℂ) |
| 41 | 3, 28 | subcld 11620 |
. . . . . . 7
⊢ (𝜑 → (𝐷 − 𝐶) ∈ ℂ) |
| 42 | 1 | sigarim 46866 |
. . . . . . 7
⊢ (((𝐴 − 𝐶) ∈ ℂ ∧ (𝐷 − 𝐶) ∈ ℂ) → ((𝐴 − 𝐶)𝐺(𝐷 − 𝐶)) ∈ ℝ) |
| 43 | 40, 41, 42 | syl2anc 584 |
. . . . . 6
⊢ (𝜑 → ((𝐴 − 𝐶)𝐺(𝐷 − 𝐶)) ∈ ℝ) |
| 44 | 43 | recnd 11289 |
. . . . 5
⊢ (𝜑 → ((𝐴 − 𝐶)𝐺(𝐷 − 𝐶)) ∈ ℂ) |
| 45 | 8, 28 | subcld 11620 |
. . . . . . 7
⊢ (𝜑 → (𝑂 − 𝐶) ∈ ℂ) |
| 46 | 45, 41 | jca 511 |
. . . . . 6
⊢ (𝜑 → ((𝑂 − 𝐶) ∈ ℂ ∧ (𝐷 − 𝐶) ∈ ℂ)) |
| 47 | 1, 46 | sigarimcd 46877 |
. . . . 5
⊢ (𝜑 → ((𝑂 − 𝐶)𝐺(𝐷 − 𝐶)) ∈ ℂ) |
| 48 | 6, 3 | subcld 11620 |
. . . . 5
⊢ (𝜑 → (𝐵 − 𝐷) ∈ ℂ) |
| 49 | 44, 47, 48 | subdird 11720 |
. . . 4
⊢ (𝜑 → ((((𝐴 − 𝐶)𝐺(𝐷 − 𝐶)) − ((𝑂 − 𝐶)𝐺(𝐷 − 𝐶))) · (𝐵 − 𝐷)) = ((((𝐴 − 𝐶)𝐺(𝐷 − 𝐶)) · (𝐵 − 𝐷)) − (((𝑂 − 𝐶)𝐺(𝐷 − 𝐶)) · (𝐵 − 𝐷)))) |
| 50 | 3, 5, 28 | 3jca 1129 |
. . . . . . 7
⊢ (𝜑 → (𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ)) |
| 51 | 1, 50, 15 | sigaradd 46881 |
. . . . . 6
⊢ (𝜑 → (((𝐴 − 𝐶)𝐺(𝐷 − 𝐶)) − ((𝑂 − 𝐶)𝐺(𝐷 − 𝐶))) = ((𝐴 − 𝐶)𝐺(𝑂 − 𝐶))) |
| 52 | 1 | sigarperm 46875 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑂 ∈ ℂ) → ((𝐶 − 𝑂)𝐺(𝐴 − 𝑂)) = ((𝐴 − 𝐶)𝐺(𝑂 − 𝐶))) |
| 53 | 28, 5, 8, 52 | syl3anc 1373 |
. . . . . 6
⊢ (𝜑 → ((𝐶 − 𝑂)𝐺(𝐴 − 𝑂)) = ((𝐴 − 𝐶)𝐺(𝑂 − 𝐶))) |
| 54 | 51, 53 | eqtr4d 2780 |
. . . . 5
⊢ (𝜑 → (((𝐴 − 𝐶)𝐺(𝐷 − 𝐶)) − ((𝑂 − 𝐶)𝐺(𝐷 − 𝐶))) = ((𝐶 − 𝑂)𝐺(𝐴 − 𝑂))) |
| 55 | 54 | oveq1d 7446 |
. . . 4
⊢ (𝜑 → ((((𝐴 − 𝐶)𝐺(𝐷 − 𝐶)) − ((𝑂 − 𝐶)𝐺(𝐷 − 𝐶))) · (𝐵 − 𝐷)) = (((𝐶 − 𝑂)𝐺(𝐴 − 𝑂)) · (𝐵 − 𝐷))) |
| 56 | 49, 55 | eqtr3d 2779 |
. . 3
⊢ (𝜑 → ((((𝐴 − 𝐶)𝐺(𝐷 − 𝐶)) · (𝐵 − 𝐷)) − (((𝑂 − 𝐶)𝐺(𝐷 − 𝐶)) · (𝐵 − 𝐷))) = (((𝐶 − 𝑂)𝐺(𝐴 − 𝑂)) · (𝐵 − 𝐷))) |
| 57 | 31, 39, 56 | 3eqtrrd 2782 |
. 2
⊢ (𝜑 → (((𝐶 − 𝑂)𝐺(𝐴 − 𝑂)) · (𝐵 − 𝐷)) = (((𝐵 − 𝑂)𝐺(𝐴 − 𝑂)) · (𝐶 − 𝐷))) |
| 58 | 6, 8 | subcld 11620 |
. . . 4
⊢ (𝜑 → (𝐵 − 𝑂) ∈ ℂ) |
| 59 | 1 | sigarac 46867 |
. . . 4
⊢ (((𝐵 − 𝑂) ∈ ℂ ∧ (𝐴 − 𝑂) ∈ ℂ) → ((𝐵 − 𝑂)𝐺(𝐴 − 𝑂)) = -((𝐴 − 𝑂)𝐺(𝐵 − 𝑂))) |
| 60 | 58, 9, 59 | syl2anc 584 |
. . 3
⊢ (𝜑 → ((𝐵 − 𝑂)𝐺(𝐴 − 𝑂)) = -((𝐴 − 𝑂)𝐺(𝐵 − 𝑂))) |
| 61 | 60 | oveq1d 7446 |
. 2
⊢ (𝜑 → (((𝐵 − 𝑂)𝐺(𝐴 − 𝑂)) · (𝐶 − 𝐷)) = (-((𝐴 − 𝑂)𝐺(𝐵 − 𝑂)) · (𝐶 − 𝐷))) |
| 62 | 9, 58 | jca 511 |
. . . . 5
⊢ (𝜑 → ((𝐴 − 𝑂) ∈ ℂ ∧ (𝐵 − 𝑂) ∈ ℂ)) |
| 63 | 1, 62 | sigarimcd 46877 |
. . . 4
⊢ (𝜑 → ((𝐴 − 𝑂)𝐺(𝐵 − 𝑂)) ∈ ℂ) |
| 64 | | mulneg12 11701 |
. . . 4
⊢ ((((𝐴 − 𝑂)𝐺(𝐵 − 𝑂)) ∈ ℂ ∧ (𝐶 − 𝐷) ∈ ℂ) → (-((𝐴 − 𝑂)𝐺(𝐵 − 𝑂)) · (𝐶 − 𝐷)) = (((𝐴 − 𝑂)𝐺(𝐵 − 𝑂)) · -(𝐶 − 𝐷))) |
| 65 | 63, 29, 64 | syl2anc 584 |
. . 3
⊢ (𝜑 → (-((𝐴 − 𝑂)𝐺(𝐵 − 𝑂)) · (𝐶 − 𝐷)) = (((𝐴 − 𝑂)𝐺(𝐵 − 𝑂)) · -(𝐶 − 𝐷))) |
| 66 | 28, 3 | negsubdi2d 11636 |
. . . 4
⊢ (𝜑 → -(𝐶 − 𝐷) = (𝐷 − 𝐶)) |
| 67 | 66 | oveq2d 7447 |
. . 3
⊢ (𝜑 → (((𝐴 − 𝑂)𝐺(𝐵 − 𝑂)) · -(𝐶 − 𝐷)) = (((𝐴 − 𝑂)𝐺(𝐵 − 𝑂)) · (𝐷 − 𝐶))) |
| 68 | 65, 67 | eqtrd 2777 |
. 2
⊢ (𝜑 → (-((𝐴 − 𝑂)𝐺(𝐵 − 𝑂)) · (𝐶 − 𝐷)) = (((𝐴 − 𝑂)𝐺(𝐵 − 𝑂)) · (𝐷 − 𝐶))) |
| 69 | 57, 61, 68 | 3eqtrd 2781 |
1
⊢ (𝜑 → (((𝐶 − 𝑂)𝐺(𝐴 − 𝑂)) · (𝐵 − 𝐷)) = (((𝐴 − 𝑂)𝐺(𝐵 − 𝑂)) · (𝐷 − 𝐶))) |