Theorem cevathlem2 47473

Description: Ceva's theorem second lemma. Relate (doubled) areas of triangles 𝐶𝐴𝑂 and 𝐴𝐵𝑂 with of segments 𝐵𝐷 and 𝐷𝐶. (Contributed by Saveliy Skresanov, 24-Sep-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
cevath.sigar	⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ ℂ, 𝑦 ∈ ℂ ↦ (ℑ‘((∗‘𝑥) · 𝑦)))
cevath.a	⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ))
cevath.b	⊢ (𝜑 → (𝐹 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐸 ∈ ℂ))
cevath.c	⊢ (𝜑 → 𝑂 ∈ ℂ)
cevath.d	⊢ (𝜑 → (((𝐴 − 𝑂)𝐺(𝐷 − 𝑂)) = 0 ∧ ((𝐵 − 𝑂)𝐺(𝐸 − 𝑂)) = 0 ∧ ((𝐶 − 𝑂)𝐺(𝐹 − 𝑂)) = 0))
cevath.e	⊢ (𝜑 → (((𝐴 − 𝐹)𝐺(𝐵 − 𝐹)) = 0 ∧ ((𝐵 − 𝐷)𝐺(𝐶 − 𝐷)) = 0 ∧ ((𝐶 − 𝐸)𝐺(𝐴 − 𝐸)) = 0))
cevath.f	⊢ (𝜑 → (((𝐴 − 𝑂)𝐺(𝐵 − 𝑂)) ≠ 0 ∧ ((𝐵 − 𝑂)𝐺(𝐶 − 𝑂)) ≠ 0 ∧ ((𝐶 − 𝑂)𝐺(𝐴 − 𝑂)) ≠ 0))

Assertion

Ref	Expression
cevathlem2	⊢ (𝜑 → (((𝐶 − 𝑂)𝐺(𝐴 − 𝑂)) · (𝐵 − 𝐷)) = (((𝐴 − 𝑂)𝐺(𝐵 − 𝑂)) · (𝐷 − 𝐶)))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐴   𝑥,𝐵,𝑦   𝑥,𝐶,𝑦   𝑥,𝐷,𝑦   𝑥,𝑂,𝑦   𝑥,𝐸,𝑦   𝑥,𝐹,𝑦

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦)   𝐺(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem cevathlem2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cevath.sigar	. . . . . . 7 ⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ ℂ, 𝑦 ∈ ℂ ↦ (ℑ‘((∗‘𝑥) · 𝑦)))
2		cevath.b	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐸 ∈ ℂ))
3	2	simp2d 1159	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℂ)
4		cevath.a	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ))
5	4	simp1d 1158	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
6	4	simp2d 1159	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
7	3, 5, 6	3jca 1144	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ))
8		cevath.c	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑂 ∈ ℂ)
9	5, 8	subcld 11568	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝑂) ∈ ℂ)
10	3, 8	subcld 11568	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐷 − 𝑂) ∈ ℂ)
11	9, 10	jca 520	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 − 𝑂) ∈ ℂ ∧ (𝐷 − 𝑂) ∈ ℂ))
12		cevath.d	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 − 𝑂)𝐺(𝐷 − 𝑂)) = 0 ∧ ((𝐵 − 𝑂)𝐺(𝐸 − 𝑂)) = 0 ∧ ((𝐶 − 𝑂)𝐺(𝐹 − 𝑂)) = 0))
13	12	simp1d 1158	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 − 𝑂)𝐺(𝐷 − 𝑂)) = 0)
14	1, 11, 13	sigariz 47468	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝐷 − 𝑂)𝐺(𝐴 − 𝑂)) = 0)
15	8, 14	jca 520	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑂 ∈ ℂ ∧ ((𝐷 − 𝑂)𝐺(𝐴 − 𝑂)) = 0))
16	1, 7, 15	sigaradd 47471	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 − 𝐵)𝐺(𝐷 − 𝐵)) − ((𝑂 − 𝐵)𝐺(𝐷 − 𝐵))) = ((𝐴 − 𝐵)𝐺(𝑂 − 𝐵)))
17	1	sigarperm 47465	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑂 ∈ ℂ) → ((𝐵 − 𝑂)𝐺(𝐴 − 𝑂)) = ((𝐴 − 𝐵)𝐺(𝑂 − 𝐵)))
18	6, 5, 8, 17	syl3anc 1396	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 − 𝑂)𝐺(𝐴 − 𝑂)) = ((𝐴 − 𝐵)𝐺(𝑂 − 𝐵)))
19	16, 18	eqtr4d 2807	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 − 𝐵)𝐺(𝐷 − 𝐵)) − ((𝑂 − 𝐵)𝐺(𝐷 − 𝐵))) = ((𝐵 − 𝑂)𝐺(𝐴 − 𝑂)))
20	19	oveq1d 7426	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((((𝐴 − 𝐵)𝐺(𝐷 − 𝐵)) − ((𝑂 − 𝐵)𝐺(𝐷 − 𝐵))) · (𝐶 − 𝐷)) = (((𝐵 − 𝑂)𝐺(𝐴 − 𝑂)) · (𝐶 − 𝐷)))
21	5, 6	subcld 11568	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝐵) ∈ ℂ)
22	3, 6	subcld 11568	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐷 − 𝐵) ∈ ℂ)
23	21, 22	jca 520	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 − 𝐵) ∈ ℂ ∧ (𝐷 − 𝐵) ∈ ℂ))
24	1, 23	sigarimcd 47467	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 − 𝐵)𝐺(𝐷 − 𝐵)) ∈ ℂ)
25	8, 6	subcld 11568	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑂 − 𝐵) ∈ ℂ)
26	25, 22	jca 520	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑂 − 𝐵) ∈ ℂ ∧ (𝐷 − 𝐵) ∈ ℂ))
27	1, 26	sigarimcd 47467	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑂 − 𝐵)𝐺(𝐷 − 𝐵)) ∈ ℂ)
28	4	simp3d 1160	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
29	28, 3	subcld 11568	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐶 − 𝐷) ∈ ℂ)
30	24, 27, 29	subdird 11670	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((((𝐴 − 𝐵)𝐺(𝐷 − 𝐵)) − ((𝑂 − 𝐵)𝐺(𝐷 − 𝐵))) · (𝐶 − 𝐷)) = ((((𝐴 − 𝐵)𝐺(𝐷 − 𝐵)) · (𝐶 − 𝐷)) − (((𝑂 − 𝐵)𝐺(𝐷 − 𝐵)) · (𝐶 − 𝐷))))
31	20, 30	eqtr3d 2806	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((𝐵 − 𝑂)𝐺(𝐴 − 𝑂)) · (𝐶 − 𝐷)) = ((((𝐴 − 𝐵)𝐺(𝐷 − 𝐵)) · (𝐶 − 𝐷)) − (((𝑂 − 𝐵)𝐺(𝐷 − 𝐵)) · (𝐶 − 𝐷))))
32	6, 28, 5	3jca 1144	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ))
33		cevath.e	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 − 𝐹)𝐺(𝐵 − 𝐹)) = 0 ∧ ((𝐵 − 𝐷)𝐺(𝐶 − 𝐷)) = 0 ∧ ((𝐶 − 𝐸)𝐺(𝐴 − 𝐸)) = 0))
34	33	simp2d 1159	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 − 𝐷)𝐺(𝐶 − 𝐷)) = 0)
35	3, 34	jca 520	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐷 ∈ ℂ ∧ ((𝐵 − 𝐷)𝐺(𝐶 − 𝐷)) = 0))
36	1, 32, 35	sharhght 47470	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 − 𝐵)𝐺(𝐷 − 𝐵)) · (𝐶 − 𝐷)) = (((𝐴 − 𝐶)𝐺(𝐷 − 𝐶)) · (𝐵 − 𝐷)))
37	6, 28, 8	3jca 1144	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝑂 ∈ ℂ))
38	1, 37, 35	sharhght 47470	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((𝑂 − 𝐵)𝐺(𝐷 − 𝐵)) · (𝐶 − 𝐷)) = (((𝑂 − 𝐶)𝐺(𝐷 − 𝐶)) · (𝐵 − 𝐷)))
39	36, 38	oveq12d 7429	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((((𝐴 − 𝐵)𝐺(𝐷 − 𝐵)) · (𝐶 − 𝐷)) − (((𝑂 − 𝐵)𝐺(𝐷 − 𝐵)) · (𝐶 − 𝐷))) = ((((𝐴 − 𝐶)𝐺(𝐷 − 𝐶)) · (𝐵 − 𝐷)) − (((𝑂 − 𝐶)𝐺(𝐷 − 𝐶)) · (𝐵 − 𝐷))))
40	5, 28	subcld 11568	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝐶) ∈ ℂ)
41	3, 28	subcld 11568	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐷 − 𝐶) ∈ ℂ)
42	1	sigarim 47456	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 − 𝐶) ∈ ℂ ∧ (𝐷 − 𝐶) ∈ ℂ) → ((𝐴 − 𝐶)𝐺(𝐷 − 𝐶)) ∈ ℝ)
43	40, 41, 42	syl2anc 595	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 − 𝐶)𝐺(𝐷 − 𝐶)) ∈ ℝ)
44	43	recnd 11236	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 − 𝐶)𝐺(𝐷 − 𝐶)) ∈ ℂ)
45	8, 28	subcld 11568	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑂 − 𝐶) ∈ ℂ)
46	45, 41	jca 520	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑂 − 𝐶) ∈ ℂ ∧ (𝐷 − 𝐶) ∈ ℂ))
47	1, 46	sigarimcd 47467	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑂 − 𝐶)𝐺(𝐷 − 𝐶)) ∈ ℂ)
48	6, 3	subcld 11568	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐵 − 𝐷) ∈ ℂ)
49	44, 47, 48	subdird 11670	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((((𝐴 − 𝐶)𝐺(𝐷 − 𝐶)) − ((𝑂 − 𝐶)𝐺(𝐷 − 𝐶))) · (𝐵 − 𝐷)) = ((((𝐴 − 𝐶)𝐺(𝐷 − 𝐶)) · (𝐵 − 𝐷)) − (((𝑂 − 𝐶)𝐺(𝐷 − 𝐶)) · (𝐵 − 𝐷))))
50	3, 5, 28	3jca 1144	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ))
51	1, 50, 15	sigaradd 47471	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 − 𝐶)𝐺(𝐷 − 𝐶)) − ((𝑂 − 𝐶)𝐺(𝐷 − 𝐶))) = ((𝐴 − 𝐶)𝐺(𝑂 − 𝐶)))
52	1	sigarperm 47465	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑂 ∈ ℂ) → ((𝐶 − 𝑂)𝐺(𝐴 − 𝑂)) = ((𝐴 − 𝐶)𝐺(𝑂 − 𝐶)))
53	28, 5, 8, 52	syl3anc 1396	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 − 𝑂)𝐺(𝐴 − 𝑂)) = ((𝐴 − 𝐶)𝐺(𝑂 − 𝐶)))
54	51, 53	eqtr4d 2807	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 − 𝐶)𝐺(𝐷 − 𝐶)) − ((𝑂 − 𝐶)𝐺(𝐷 − 𝐶))) = ((𝐶 − 𝑂)𝐺(𝐴 − 𝑂)))
55	54	oveq1d 7426	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((((𝐴 − 𝐶)𝐺(𝐷 − 𝐶)) − ((𝑂 − 𝐶)𝐺(𝐷 − 𝐶))) · (𝐵 − 𝐷)) = (((𝐶 − 𝑂)𝐺(𝐴 − 𝑂)) · (𝐵 − 𝐷)))
56	49, 55	eqtr3d 2806	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((((𝐴 − 𝐶)𝐺(𝐷 − 𝐶)) · (𝐵 − 𝐷)) − (((𝑂 − 𝐶)𝐺(𝐷 − 𝐶)) · (𝐵 − 𝐷))) = (((𝐶 − 𝑂)𝐺(𝐴 − 𝑂)) · (𝐵 − 𝐷)))
57	31, 39, 56	3eqtrrd 2809	. 2 ⊢ (𝜑 → (((𝐶 − 𝑂)𝐺(𝐴 − 𝑂)) · (𝐵 − 𝐷)) = (((𝐵 − 𝑂)𝐺(𝐴 − 𝑂)) · (𝐶 − 𝐷)))
58	6, 8	subcld 11568	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐵 − 𝑂) ∈ ℂ)
59	1	sigarac 47457	. . . 4 ⊢ (((𝐵 − 𝑂) ∈ ℂ ∧ (𝐴 − 𝑂) ∈ ℂ) → ((𝐵 − 𝑂)𝐺(𝐴 − 𝑂)) = -((𝐴 − 𝑂)𝐺(𝐵 − 𝑂)))
60	58, 9, 59	syl2anc 595	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 − 𝑂)𝐺(𝐴 − 𝑂)) = -((𝐴 − 𝑂)𝐺(𝐵 − 𝑂)))
61	60	oveq1d 7426	. 2 ⊢ (𝜑 → (((𝐵 − 𝑂)𝐺(𝐴 − 𝑂)) · (𝐶 − 𝐷)) = (-((𝐴 − 𝑂)𝐺(𝐵 − 𝑂)) · (𝐶 − 𝐷)))
62	9, 58	jca 520	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 − 𝑂) ∈ ℂ ∧ (𝐵 − 𝑂) ∈ ℂ))
63	1, 62	sigarimcd 47467	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 − 𝑂)𝐺(𝐵 − 𝑂)) ∈ ℂ)
64		mulneg12 11651	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 − 𝑂)𝐺(𝐵 − 𝑂)) ∈ ℂ ∧ (𝐶 − 𝐷) ∈ ℂ) → (-((𝐴 − 𝑂)𝐺(𝐵 − 𝑂)) · (𝐶 − 𝐷)) = (((𝐴 − 𝑂)𝐺(𝐵 − 𝑂)) · -(𝐶 − 𝐷)))
65	63, 29, 64	syl2anc 595	. . 3 ⊢ (𝜑 → (-((𝐴 − 𝑂)𝐺(𝐵 − 𝑂)) · (𝐶 − 𝐷)) = (((𝐴 − 𝑂)𝐺(𝐵 − 𝑂)) · -(𝐶 − 𝐷)))
66	28, 3	negsubdi2d 11584	. . . 4 ⊢ (𝜑 → -(𝐶 − 𝐷) = (𝐷 − 𝐶))
67	66	oveq2d 7427	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 − 𝑂)𝐺(𝐵 − 𝑂)) · -(𝐶 − 𝐷)) = (((𝐴 − 𝑂)𝐺(𝐵 − 𝑂)) · (𝐷 − 𝐶)))
68	65, 67	eqtrd 2804	. 2 ⊢ (𝜑 → (-((𝐴 − 𝑂)𝐺(𝐵 − 𝑂)) · (𝐶 − 𝐷)) = (((𝐴 − 𝑂)𝐺(𝐵 − 𝑂)) · (𝐷 − 𝐶)))
69	57, 61, 68	3eqtrd 2808	1 ⊢ (𝜑 → (((𝐶 − 𝑂)𝐺(𝐴 − 𝑂)) · (𝐵 − 𝐷)) = (((𝐴 − 𝑂)𝐺(𝐵 − 𝑂)) · (𝐷 − 𝐶)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1101   = wceq 1567   ∈ wcel 2149   ≠ wne 2964  ‘cfv 6537  (class class class)co 7411   ∈ cmpo 7413  ℂcc 11097  ℝcr 11098  0cc0 11099   · cmul 11104   − cmin 11440  -cneg 11441  ∗ccj 15146  ℑcim 15148

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-sep 5261  ax-nul 5271  ax-pow 5337  ax-pr 5405  ax-un 7733  ax-resscn 11156  ax-1cn 11157  ax-icn 11158  ax-addcl 11159  ax-addrcl 11160  ax-mulcl 11161  ax-mulrcl 11162  ax-mulcom 11163  ax-addass 11164  ax-mulass 11165  ax-distr 11166  ax-i2m1 11167  ax-1ne0 11168  ax-1rid 11169  ax-rnegex 11170  ax-rrecex 11171  ax-cnre 11172  ax-pre-lttri 11173  ax-pre-lttrn 11174  ax-pre-ltadd 11175  ax-pre-mulgt0 11176

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4877  df-iun 4962  df-br 5114  df-opab 5178  df-mpt 5197  df-tr 5223  df-id 5557  df-eprel 5562  df-po 5570  df-so 5571  df-fr 5615  df-we 5617  df-xp 5668  df-rel 5669  df-cnv 5670  df-co 5671  df-dm 5672  df-rn 5673  df-res 5674  df-ima 5675  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7368  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7862  df-2nd 7986  df-frecs 8277  df-wrecs 8308  df-recs 8357  df-rdg 8396  df-er 8693  df-en 8943  df-dom 8944  df-sdom 8945  df-pnf 11244  df-mnf 11245  df-xr 11246  df-ltxr 11247  df-le 11248  df-sub 11442  df-neg 11443  df-div 11871  df-nn 12233  df-2 12302  df-cj 15149  df-re 15150  df-im 15151

This theorem is referenced by:  cevath  47474