Users' Mathboxes Mathbox for Saveliy Skresanov < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cevathlem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cevathlem2 45010
Description: Ceva's theorem second lemma. Relate (doubled) areas of triangles ๐ถ๐ด๐‘‚ and ๐ด๐ต๐‘‚ with of segments ๐ต๐ท and ๐ท๐ถ. (Contributed by Saveliy Skresanov, 24-Sep-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
cevath.sigar ๐บ = (๐‘ฅ โˆˆ โ„‚, ๐‘ฆ โˆˆ โ„‚ โ†ฆ (โ„‘โ€˜((โˆ—โ€˜๐‘ฅ) ยท ๐‘ฆ)))
cevath.a (๐œ‘ โ†’ (๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„‚))
cevath.b (๐œ‘ โ†’ (๐น โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ท โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ธ โˆˆ โ„‚))
cevath.c (๐œ‘ โ†’ ๐‘‚ โˆˆ โ„‚)
cevath.d (๐œ‘ โ†’ (((๐ด โˆ’ ๐‘‚)๐บ(๐ท โˆ’ ๐‘‚)) = 0 โˆง ((๐ต โˆ’ ๐‘‚)๐บ(๐ธ โˆ’ ๐‘‚)) = 0 โˆง ((๐ถ โˆ’ ๐‘‚)๐บ(๐น โˆ’ ๐‘‚)) = 0))
cevath.e (๐œ‘ โ†’ (((๐ด โˆ’ ๐น)๐บ(๐ต โˆ’ ๐น)) = 0 โˆง ((๐ต โˆ’ ๐ท)๐บ(๐ถ โˆ’ ๐ท)) = 0 โˆง ((๐ถ โˆ’ ๐ธ)๐บ(๐ด โˆ’ ๐ธ)) = 0))
cevath.f (๐œ‘ โ†’ (((๐ด โˆ’ ๐‘‚)๐บ(๐ต โˆ’ ๐‘‚)) โ‰  0 โˆง ((๐ต โˆ’ ๐‘‚)๐บ(๐ถ โˆ’ ๐‘‚)) โ‰  0 โˆง ((๐ถ โˆ’ ๐‘‚)๐บ(๐ด โˆ’ ๐‘‚)) โ‰  0))
Assertion
Ref Expression
cevathlem2 (๐œ‘ โ†’ (((๐ถ โˆ’ ๐‘‚)๐บ(๐ด โˆ’ ๐‘‚)) ยท (๐ต โˆ’ ๐ท)) = (((๐ด โˆ’ ๐‘‚)๐บ(๐ต โˆ’ ๐‘‚)) ยท (๐ท โˆ’ ๐ถ)))
Distinct variable groups:   ๐‘ฅ,๐‘ฆ,๐ด   ๐‘ฅ,๐ต,๐‘ฆ   ๐‘ฅ,๐ถ,๐‘ฆ   ๐‘ฅ,๐ท,๐‘ฆ   ๐‘ฅ,๐‘‚,๐‘ฆ   ๐‘ฅ,๐ธ,๐‘ฆ   ๐‘ฅ,๐น,๐‘ฆ
Allowed substitution hints:   ๐œ‘(๐‘ฅ,๐‘ฆ)   ๐บ(๐‘ฅ,๐‘ฆ)

Proof of Theorem cevathlem2
StepHypRef Expression
1 cevath.sigar . . . . . . 7 ๐บ = (๐‘ฅ โˆˆ โ„‚, ๐‘ฆ โˆˆ โ„‚ โ†ฆ (โ„‘โ€˜((โˆ—โ€˜๐‘ฅ) ยท ๐‘ฆ)))
2 cevath.b . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (๐น โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ท โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ธ โˆˆ โ„‚))
32simp2d 1143 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ๐ท โˆˆ โ„‚)
4 cevath.a . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„‚))
54simp1d 1142 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
64simp2d 1143 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
73, 5, 63jca 1128 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (๐ท โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚))
8 cevath.c . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ๐‘‚ โˆˆ โ„‚)
95, 8subcld 11470 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ (๐ด โˆ’ ๐‘‚) โˆˆ โ„‚)
103, 8subcld 11470 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ (๐ท โˆ’ ๐‘‚) โˆˆ โ„‚)
119, 10jca 512 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ((๐ด โˆ’ ๐‘‚) โˆˆ โ„‚ โˆง (๐ท โˆ’ ๐‘‚) โˆˆ โ„‚))
12 cevath.d . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ (((๐ด โˆ’ ๐‘‚)๐บ(๐ท โˆ’ ๐‘‚)) = 0 โˆง ((๐ต โˆ’ ๐‘‚)๐บ(๐ธ โˆ’ ๐‘‚)) = 0 โˆง ((๐ถ โˆ’ ๐‘‚)๐บ(๐น โˆ’ ๐‘‚)) = 0))
1312simp1d 1142 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ((๐ด โˆ’ ๐‘‚)๐บ(๐ท โˆ’ ๐‘‚)) = 0)
141, 11, 13sigariz 45005 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ((๐ท โˆ’ ๐‘‚)๐บ(๐ด โˆ’ ๐‘‚)) = 0)
158, 14jca 512 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (๐‘‚ โˆˆ โ„‚ โˆง ((๐ท โˆ’ ๐‘‚)๐บ(๐ด โˆ’ ๐‘‚)) = 0))
161, 7, 15sigaradd 45008 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (((๐ด โˆ’ ๐ต)๐บ(๐ท โˆ’ ๐ต)) โˆ’ ((๐‘‚ โˆ’ ๐ต)๐บ(๐ท โˆ’ ๐ต))) = ((๐ด โˆ’ ๐ต)๐บ(๐‘‚ โˆ’ ๐ต)))
171sigarperm 45002 . . . . . . 7 ((๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘‚ โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐ต โˆ’ ๐‘‚)๐บ(๐ด โˆ’ ๐‘‚)) = ((๐ด โˆ’ ๐ต)๐บ(๐‘‚ โˆ’ ๐ต)))
186, 5, 8, 17syl3anc 1371 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ((๐ต โˆ’ ๐‘‚)๐บ(๐ด โˆ’ ๐‘‚)) = ((๐ด โˆ’ ๐ต)๐บ(๐‘‚ โˆ’ ๐ต)))
1916, 18eqtr4d 2780 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (((๐ด โˆ’ ๐ต)๐บ(๐ท โˆ’ ๐ต)) โˆ’ ((๐‘‚ โˆ’ ๐ต)๐บ(๐ท โˆ’ ๐ต))) = ((๐ต โˆ’ ๐‘‚)๐บ(๐ด โˆ’ ๐‘‚)))
2019oveq1d 7366 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ((((๐ด โˆ’ ๐ต)๐บ(๐ท โˆ’ ๐ต)) โˆ’ ((๐‘‚ โˆ’ ๐ต)๐บ(๐ท โˆ’ ๐ต))) ยท (๐ถ โˆ’ ๐ท)) = (((๐ต โˆ’ ๐‘‚)๐บ(๐ด โˆ’ ๐‘‚)) ยท (๐ถ โˆ’ ๐ท)))
215, 6subcld 11470 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (๐ด โˆ’ ๐ต) โˆˆ โ„‚)
223, 6subcld 11470 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (๐ท โˆ’ ๐ต) โˆˆ โ„‚)
2321, 22jca 512 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ((๐ด โˆ’ ๐ต) โˆˆ โ„‚ โˆง (๐ท โˆ’ ๐ต) โˆˆ โ„‚))
241, 23sigarimcd 45004 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ((๐ด โˆ’ ๐ต)๐บ(๐ท โˆ’ ๐ต)) โˆˆ โ„‚)
258, 6subcld 11470 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (๐‘‚ โˆ’ ๐ต) โˆˆ โ„‚)
2625, 22jca 512 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘‚ โˆ’ ๐ต) โˆˆ โ„‚ โˆง (๐ท โˆ’ ๐ต) โˆˆ โ„‚))
271, 26sigarimcd 45004 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘‚ โˆ’ ๐ต)๐บ(๐ท โˆ’ ๐ต)) โˆˆ โ„‚)
284simp3d 1144 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„‚)
2928, 3subcld 11470 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (๐ถ โˆ’ ๐ท) โˆˆ โ„‚)
3024, 27, 29subdird 11570 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ((((๐ด โˆ’ ๐ต)๐บ(๐ท โˆ’ ๐ต)) โˆ’ ((๐‘‚ โˆ’ ๐ต)๐บ(๐ท โˆ’ ๐ต))) ยท (๐ถ โˆ’ ๐ท)) = ((((๐ด โˆ’ ๐ต)๐บ(๐ท โˆ’ ๐ต)) ยท (๐ถ โˆ’ ๐ท)) โˆ’ (((๐‘‚ โˆ’ ๐ต)๐บ(๐ท โˆ’ ๐ต)) ยท (๐ถ โˆ’ ๐ท))))
3120, 30eqtr3d 2779 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (((๐ต โˆ’ ๐‘‚)๐บ(๐ด โˆ’ ๐‘‚)) ยท (๐ถ โˆ’ ๐ท)) = ((((๐ด โˆ’ ๐ต)๐บ(๐ท โˆ’ ๐ต)) ยท (๐ถ โˆ’ ๐ท)) โˆ’ (((๐‘‚ โˆ’ ๐ต)๐บ(๐ท โˆ’ ๐ต)) ยท (๐ถ โˆ’ ๐ท))))
326, 28, 53jca 1128 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โˆˆ โ„‚))
33 cevath.e . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (((๐ด โˆ’ ๐น)๐บ(๐ต โˆ’ ๐น)) = 0 โˆง ((๐ต โˆ’ ๐ท)๐บ(๐ถ โˆ’ ๐ท)) = 0 โˆง ((๐ถ โˆ’ ๐ธ)๐บ(๐ด โˆ’ ๐ธ)) = 0))
3433simp2d 1143 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ((๐ต โˆ’ ๐ท)๐บ(๐ถ โˆ’ ๐ท)) = 0)
353, 34jca 512 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (๐ท โˆˆ โ„‚ โˆง ((๐ต โˆ’ ๐ท)๐บ(๐ถ โˆ’ ๐ท)) = 0))
361, 32, 35sharhght 45007 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (((๐ด โˆ’ ๐ต)๐บ(๐ท โˆ’ ๐ต)) ยท (๐ถ โˆ’ ๐ท)) = (((๐ด โˆ’ ๐ถ)๐บ(๐ท โˆ’ ๐ถ)) ยท (๐ต โˆ’ ๐ท)))
376, 28, 83jca 1128 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘‚ โˆˆ โ„‚))
381, 37, 35sharhght 45007 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (((๐‘‚ โˆ’ ๐ต)๐บ(๐ท โˆ’ ๐ต)) ยท (๐ถ โˆ’ ๐ท)) = (((๐‘‚ โˆ’ ๐ถ)๐บ(๐ท โˆ’ ๐ถ)) ยท (๐ต โˆ’ ๐ท)))
3936, 38oveq12d 7369 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ((((๐ด โˆ’ ๐ต)๐บ(๐ท โˆ’ ๐ต)) ยท (๐ถ โˆ’ ๐ท)) โˆ’ (((๐‘‚ โˆ’ ๐ต)๐บ(๐ท โˆ’ ๐ต)) ยท (๐ถ โˆ’ ๐ท))) = ((((๐ด โˆ’ ๐ถ)๐บ(๐ท โˆ’ ๐ถ)) ยท (๐ต โˆ’ ๐ท)) โˆ’ (((๐‘‚ โˆ’ ๐ถ)๐บ(๐ท โˆ’ ๐ถ)) ยท (๐ต โˆ’ ๐ท))))
405, 28subcld 11470 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (๐ด โˆ’ ๐ถ) โˆˆ โ„‚)
413, 28subcld 11470 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (๐ท โˆ’ ๐ถ) โˆˆ โ„‚)
421sigarim 44993 . . . . . . 7 (((๐ด โˆ’ ๐ถ) โˆˆ โ„‚ โˆง (๐ท โˆ’ ๐ถ) โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐ด โˆ’ ๐ถ)๐บ(๐ท โˆ’ ๐ถ)) โˆˆ โ„)
4340, 41, 42syl2anc 584 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ((๐ด โˆ’ ๐ถ)๐บ(๐ท โˆ’ ๐ถ)) โˆˆ โ„)
4443recnd 11141 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ((๐ด โˆ’ ๐ถ)๐บ(๐ท โˆ’ ๐ถ)) โˆˆ โ„‚)
458, 28subcld 11470 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (๐‘‚ โˆ’ ๐ถ) โˆˆ โ„‚)
4645, 41jca 512 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘‚ โˆ’ ๐ถ) โˆˆ โ„‚ โˆง (๐ท โˆ’ ๐ถ) โˆˆ โ„‚))
471, 46sigarimcd 45004 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘‚ โˆ’ ๐ถ)๐บ(๐ท โˆ’ ๐ถ)) โˆˆ โ„‚)
486, 3subcld 11470 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (๐ต โˆ’ ๐ท) โˆˆ โ„‚)
4944, 47, 48subdird 11570 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ((((๐ด โˆ’ ๐ถ)๐บ(๐ท โˆ’ ๐ถ)) โˆ’ ((๐‘‚ โˆ’ ๐ถ)๐บ(๐ท โˆ’ ๐ถ))) ยท (๐ต โˆ’ ๐ท)) = ((((๐ด โˆ’ ๐ถ)๐บ(๐ท โˆ’ ๐ถ)) ยท (๐ต โˆ’ ๐ท)) โˆ’ (((๐‘‚ โˆ’ ๐ถ)๐บ(๐ท โˆ’ ๐ถ)) ยท (๐ต โˆ’ ๐ท))))
503, 5, 283jca 1128 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (๐ท โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„‚))
511, 50, 15sigaradd 45008 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (((๐ด โˆ’ ๐ถ)๐บ(๐ท โˆ’ ๐ถ)) โˆ’ ((๐‘‚ โˆ’ ๐ถ)๐บ(๐ท โˆ’ ๐ถ))) = ((๐ด โˆ’ ๐ถ)๐บ(๐‘‚ โˆ’ ๐ถ)))
521sigarperm 45002 . . . . . . 7 ((๐ถ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘‚ โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐ถ โˆ’ ๐‘‚)๐บ(๐ด โˆ’ ๐‘‚)) = ((๐ด โˆ’ ๐ถ)๐บ(๐‘‚ โˆ’ ๐ถ)))
5328, 5, 8, 52syl3anc 1371 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ((๐ถ โˆ’ ๐‘‚)๐บ(๐ด โˆ’ ๐‘‚)) = ((๐ด โˆ’ ๐ถ)๐บ(๐‘‚ โˆ’ ๐ถ)))
5451, 53eqtr4d 2780 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (((๐ด โˆ’ ๐ถ)๐บ(๐ท โˆ’ ๐ถ)) โˆ’ ((๐‘‚ โˆ’ ๐ถ)๐บ(๐ท โˆ’ ๐ถ))) = ((๐ถ โˆ’ ๐‘‚)๐บ(๐ด โˆ’ ๐‘‚)))
5554oveq1d 7366 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ((((๐ด โˆ’ ๐ถ)๐บ(๐ท โˆ’ ๐ถ)) โˆ’ ((๐‘‚ โˆ’ ๐ถ)๐บ(๐ท โˆ’ ๐ถ))) ยท (๐ต โˆ’ ๐ท)) = (((๐ถ โˆ’ ๐‘‚)๐บ(๐ด โˆ’ ๐‘‚)) ยท (๐ต โˆ’ ๐ท)))
5649, 55eqtr3d 2779 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ((((๐ด โˆ’ ๐ถ)๐บ(๐ท โˆ’ ๐ถ)) ยท (๐ต โˆ’ ๐ท)) โˆ’ (((๐‘‚ โˆ’ ๐ถ)๐บ(๐ท โˆ’ ๐ถ)) ยท (๐ต โˆ’ ๐ท))) = (((๐ถ โˆ’ ๐‘‚)๐บ(๐ด โˆ’ ๐‘‚)) ยท (๐ต โˆ’ ๐ท)))
5731, 39, 563eqtrrd 2782 . 2 (๐œ‘ โ†’ (((๐ถ โˆ’ ๐‘‚)๐บ(๐ด โˆ’ ๐‘‚)) ยท (๐ต โˆ’ ๐ท)) = (((๐ต โˆ’ ๐‘‚)๐บ(๐ด โˆ’ ๐‘‚)) ยท (๐ถ โˆ’ ๐ท)))
586, 8subcld 11470 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (๐ต โˆ’ ๐‘‚) โˆˆ โ„‚)
591sigarac 44994 . . . 4 (((๐ต โˆ’ ๐‘‚) โˆˆ โ„‚ โˆง (๐ด โˆ’ ๐‘‚) โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐ต โˆ’ ๐‘‚)๐บ(๐ด โˆ’ ๐‘‚)) = -((๐ด โˆ’ ๐‘‚)๐บ(๐ต โˆ’ ๐‘‚)))
6058, 9, 59syl2anc 584 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ((๐ต โˆ’ ๐‘‚)๐บ(๐ด โˆ’ ๐‘‚)) = -((๐ด โˆ’ ๐‘‚)๐บ(๐ต โˆ’ ๐‘‚)))
6160oveq1d 7366 . 2 (๐œ‘ โ†’ (((๐ต โˆ’ ๐‘‚)๐บ(๐ด โˆ’ ๐‘‚)) ยท (๐ถ โˆ’ ๐ท)) = (-((๐ด โˆ’ ๐‘‚)๐บ(๐ต โˆ’ ๐‘‚)) ยท (๐ถ โˆ’ ๐ท)))
629, 58jca 512 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ((๐ด โˆ’ ๐‘‚) โˆˆ โ„‚ โˆง (๐ต โˆ’ ๐‘‚) โˆˆ โ„‚))
631, 62sigarimcd 45004 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ((๐ด โˆ’ ๐‘‚)๐บ(๐ต โˆ’ ๐‘‚)) โˆˆ โ„‚)
64 mulneg12 11551 . . . 4 ((((๐ด โˆ’ ๐‘‚)๐บ(๐ต โˆ’ ๐‘‚)) โˆˆ โ„‚ โˆง (๐ถ โˆ’ ๐ท) โˆˆ โ„‚) โ†’ (-((๐ด โˆ’ ๐‘‚)๐บ(๐ต โˆ’ ๐‘‚)) ยท (๐ถ โˆ’ ๐ท)) = (((๐ด โˆ’ ๐‘‚)๐บ(๐ต โˆ’ ๐‘‚)) ยท -(๐ถ โˆ’ ๐ท)))
6563, 29, 64syl2anc 584 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (-((๐ด โˆ’ ๐‘‚)๐บ(๐ต โˆ’ ๐‘‚)) ยท (๐ถ โˆ’ ๐ท)) = (((๐ด โˆ’ ๐‘‚)๐บ(๐ต โˆ’ ๐‘‚)) ยท -(๐ถ โˆ’ ๐ท)))
6628, 3negsubdi2d 11486 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ -(๐ถ โˆ’ ๐ท) = (๐ท โˆ’ ๐ถ))
6766oveq2d 7367 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (((๐ด โˆ’ ๐‘‚)๐บ(๐ต โˆ’ ๐‘‚)) ยท -(๐ถ โˆ’ ๐ท)) = (((๐ด โˆ’ ๐‘‚)๐บ(๐ต โˆ’ ๐‘‚)) ยท (๐ท โˆ’ ๐ถ)))
6865, 67eqtrd 2777 . 2 (๐œ‘ โ†’ (-((๐ด โˆ’ ๐‘‚)๐บ(๐ต โˆ’ ๐‘‚)) ยท (๐ถ โˆ’ ๐ท)) = (((๐ด โˆ’ ๐‘‚)๐บ(๐ต โˆ’ ๐‘‚)) ยท (๐ท โˆ’ ๐ถ)))
6957, 61, 683eqtrd 2781 1 (๐œ‘ โ†’ (((๐ถ โˆ’ ๐‘‚)๐บ(๐ด โˆ’ ๐‘‚)) ยท (๐ต โˆ’ ๐ท)) = (((๐ด โˆ’ ๐‘‚)๐บ(๐ต โˆ’ ๐‘‚)) ยท (๐ท โˆ’ ๐ถ)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง w3a 1087   = wceq 1541   โˆˆ wcel 2106   โ‰  wne 2941  โ€˜cfv 6493  (class class class)co 7351   โˆˆ cmpo 7353  โ„‚cc 11007  โ„cr 11008  0cc0 11009   ยท cmul 11014   โˆ’ cmin 11343  -cneg 11344  โˆ—ccj 14941  โ„‘cim 14943
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2708  ax-sep 5254  ax-nul 5261  ax-pow 5318  ax-pr 5382  ax-un 7664  ax-resscn 11066  ax-1cn 11067  ax-icn 11068  ax-addcl 11069  ax-addrcl 11070  ax-mulcl 11071  ax-mulrcl 11072  ax-mulcom 11073  ax-addass 11074  ax-mulass 11075  ax-distr 11076  ax-i2m1 11077  ax-1ne0 11078  ax-1rid 11079  ax-rnegex 11080  ax-rrecex 11081  ax-cnre 11082  ax-pre-lttri 11083  ax-pre-lttrn 11084  ax-pre-ltadd 11085  ax-pre-mulgt0 11086
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3406  df-v 3445  df-sbc 3738  df-csb 3854  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-nul 4281  df-if 4485  df-pw 4560  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4864  df-br 5104  df-opab 5166  df-mpt 5187  df-id 5529  df-po 5543  df-so 5544  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-iota 6445  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-riota 7307  df-ov 7354  df-oprab 7355  df-mpo 7356  df-er 8606  df-en 8842  df-dom 8843  df-sdom 8844  df-pnf 11149  df-mnf 11150  df-xr 11151  df-ltxr 11152  df-le 11153  df-sub 11345  df-neg 11346  df-div 11771  df-2 12174  df-cj 14944  df-re 14945  df-im 14946
This theorem is referenced by:  cevath  45011
  Copyright terms: Public domain W3C validator