Users' Mathboxes Mathbox for Saveliy Skresanov < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cevathlem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cevathlem2 41966
Description: Ceva's theorem second lemma. Relate (doubled) areas of triangles 𝐶𝐴𝑂 and 𝐴𝐵𝑂 with of segments 𝐵𝐷 and 𝐷𝐶. (Contributed by Saveliy Skresanov, 24-Sep-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
cevath.sigar 𝐺 = (𝑥 ∈ ℂ, 𝑦 ∈ ℂ ↦ (ℑ‘((∗‘𝑥) · 𝑦)))
cevath.a (𝜑 → (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ))
cevath.b (𝜑 → (𝐹 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐸 ∈ ℂ))
cevath.c (𝜑𝑂 ∈ ℂ)
cevath.d (𝜑 → (((𝐴𝑂)𝐺(𝐷𝑂)) = 0 ∧ ((𝐵𝑂)𝐺(𝐸𝑂)) = 0 ∧ ((𝐶𝑂)𝐺(𝐹𝑂)) = 0))
cevath.e (𝜑 → (((𝐴𝐹)𝐺(𝐵𝐹)) = 0 ∧ ((𝐵𝐷)𝐺(𝐶𝐷)) = 0 ∧ ((𝐶𝐸)𝐺(𝐴𝐸)) = 0))
cevath.f (𝜑 → (((𝐴𝑂)𝐺(𝐵𝑂)) ≠ 0 ∧ ((𝐵𝑂)𝐺(𝐶𝑂)) ≠ 0 ∧ ((𝐶𝑂)𝐺(𝐴𝑂)) ≠ 0))
Assertion
Ref Expression
cevathlem2 (𝜑 → (((𝐶𝑂)𝐺(𝐴𝑂)) · (𝐵𝐷)) = (((𝐴𝑂)𝐺(𝐵𝑂)) · (𝐷𝐶)))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐴   𝑥,𝐵,𝑦   𝑥,𝐶,𝑦   𝑥,𝐷,𝑦   𝑥,𝑂,𝑦   𝑥,𝐸,𝑦   𝑥,𝐹,𝑦
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦)   𝐺(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem cevathlem2
StepHypRef Expression
1 cevath.sigar . . . . . . 7 𝐺 = (𝑥 ∈ ℂ, 𝑦 ∈ ℂ ↦ (ℑ‘((∗‘𝑥) · 𝑦)))
2 cevath.b . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐹 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐸 ∈ ℂ))
32simp2d 1134 . . . . . . . 8 (𝜑𝐷 ∈ ℂ)
4 cevath.a . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ))
54simp1d 1133 . . . . . . . 8 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
64simp2d 1134 . . . . . . . 8 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
73, 5, 63jca 1119 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ))
8 cevath.c . . . . . . . 8 (𝜑𝑂 ∈ ℂ)
95, 8subcld 10734 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐴𝑂) ∈ ℂ)
103, 8subcld 10734 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐷𝑂) ∈ ℂ)
119, 10jca 507 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝐴𝑂) ∈ ℂ ∧ (𝐷𝑂) ∈ ℂ))
12 cevath.d . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (((𝐴𝑂)𝐺(𝐷𝑂)) = 0 ∧ ((𝐵𝑂)𝐺(𝐸𝑂)) = 0 ∧ ((𝐶𝑂)𝐺(𝐹𝑂)) = 0))
1312simp1d 1133 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝐴𝑂)𝐺(𝐷𝑂)) = 0)
141, 11, 13sigariz 41961 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝐷𝑂)𝐺(𝐴𝑂)) = 0)
158, 14jca 507 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑂 ∈ ℂ ∧ ((𝐷𝑂)𝐺(𝐴𝑂)) = 0))
161, 7, 15sigaradd 41964 . . . . . 6 (𝜑 → (((𝐴𝐵)𝐺(𝐷𝐵)) − ((𝑂𝐵)𝐺(𝐷𝐵))) = ((𝐴𝐵)𝐺(𝑂𝐵)))
171sigarperm 41958 . . . . . . 7 ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑂 ∈ ℂ) → ((𝐵𝑂)𝐺(𝐴𝑂)) = ((𝐴𝐵)𝐺(𝑂𝐵)))
186, 5, 8, 17syl3anc 1439 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝐵𝑂)𝐺(𝐴𝑂)) = ((𝐴𝐵)𝐺(𝑂𝐵)))
1916, 18eqtr4d 2816 . . . . 5 (𝜑 → (((𝐴𝐵)𝐺(𝐷𝐵)) − ((𝑂𝐵)𝐺(𝐷𝐵))) = ((𝐵𝑂)𝐺(𝐴𝑂)))
2019oveq1d 6937 . . . 4 (𝜑 → ((((𝐴𝐵)𝐺(𝐷𝐵)) − ((𝑂𝐵)𝐺(𝐷𝐵))) · (𝐶𝐷)) = (((𝐵𝑂)𝐺(𝐴𝑂)) · (𝐶𝐷)))
215, 6subcld 10734 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐴𝐵) ∈ ℂ)
223, 6subcld 10734 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐷𝐵) ∈ ℂ)
2321, 22jca 507 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝐴𝐵) ∈ ℂ ∧ (𝐷𝐵) ∈ ℂ))
241, 23sigarimcd 41960 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐴𝐵)𝐺(𝐷𝐵)) ∈ ℂ)
258, 6subcld 10734 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑂𝐵) ∈ ℂ)
2625, 22jca 507 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑂𝐵) ∈ ℂ ∧ (𝐷𝐵) ∈ ℂ))
271, 26sigarimcd 41960 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑂𝐵)𝐺(𝐷𝐵)) ∈ ℂ)
284simp3d 1135 . . . . . 6 (𝜑𝐶 ∈ ℂ)
2928, 3subcld 10734 . . . . 5 (𝜑 → (𝐶𝐷) ∈ ℂ)
3024, 27, 29subdird 10832 . . . 4 (𝜑 → ((((𝐴𝐵)𝐺(𝐷𝐵)) − ((𝑂𝐵)𝐺(𝐷𝐵))) · (𝐶𝐷)) = ((((𝐴𝐵)𝐺(𝐷𝐵)) · (𝐶𝐷)) − (((𝑂𝐵)𝐺(𝐷𝐵)) · (𝐶𝐷))))
3120, 30eqtr3d 2815 . . 3 (𝜑 → (((𝐵𝑂)𝐺(𝐴𝑂)) · (𝐶𝐷)) = ((((𝐴𝐵)𝐺(𝐷𝐵)) · (𝐶𝐷)) − (((𝑂𝐵)𝐺(𝐷𝐵)) · (𝐶𝐷))))
326, 28, 53jca 1119 . . . . 5 (𝜑 → (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ))
33 cevath.e . . . . . . 7 (𝜑 → (((𝐴𝐹)𝐺(𝐵𝐹)) = 0 ∧ ((𝐵𝐷)𝐺(𝐶𝐷)) = 0 ∧ ((𝐶𝐸)𝐺(𝐴𝐸)) = 0))
3433simp2d 1134 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝐵𝐷)𝐺(𝐶𝐷)) = 0)
353, 34jca 507 . . . . 5 (𝜑 → (𝐷 ∈ ℂ ∧ ((𝐵𝐷)𝐺(𝐶𝐷)) = 0))
361, 32, 35sharhght 41963 . . . 4 (𝜑 → (((𝐴𝐵)𝐺(𝐷𝐵)) · (𝐶𝐷)) = (((𝐴𝐶)𝐺(𝐷𝐶)) · (𝐵𝐷)))
376, 28, 83jca 1119 . . . . 5 (𝜑 → (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝑂 ∈ ℂ))
381, 37, 35sharhght 41963 . . . 4 (𝜑 → (((𝑂𝐵)𝐺(𝐷𝐵)) · (𝐶𝐷)) = (((𝑂𝐶)𝐺(𝐷𝐶)) · (𝐵𝐷)))
3936, 38oveq12d 6940 . . 3 (𝜑 → ((((𝐴𝐵)𝐺(𝐷𝐵)) · (𝐶𝐷)) − (((𝑂𝐵)𝐺(𝐷𝐵)) · (𝐶𝐷))) = ((((𝐴𝐶)𝐺(𝐷𝐶)) · (𝐵𝐷)) − (((𝑂𝐶)𝐺(𝐷𝐶)) · (𝐵𝐷))))
405, 28subcld 10734 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐴𝐶) ∈ ℂ)
413, 28subcld 10734 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐷𝐶) ∈ ℂ)
421sigarim 41949 . . . . . . 7 (((𝐴𝐶) ∈ ℂ ∧ (𝐷𝐶) ∈ ℂ) → ((𝐴𝐶)𝐺(𝐷𝐶)) ∈ ℝ)
4340, 41, 42syl2anc 579 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝐴𝐶)𝐺(𝐷𝐶)) ∈ ℝ)
4443recnd 10405 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐴𝐶)𝐺(𝐷𝐶)) ∈ ℂ)
458, 28subcld 10734 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑂𝐶) ∈ ℂ)
4645, 41jca 507 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑂𝐶) ∈ ℂ ∧ (𝐷𝐶) ∈ ℂ))
471, 46sigarimcd 41960 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑂𝐶)𝐺(𝐷𝐶)) ∈ ℂ)
486, 3subcld 10734 . . . . 5 (𝜑 → (𝐵𝐷) ∈ ℂ)
4944, 47, 48subdird 10832 . . . 4 (𝜑 → ((((𝐴𝐶)𝐺(𝐷𝐶)) − ((𝑂𝐶)𝐺(𝐷𝐶))) · (𝐵𝐷)) = ((((𝐴𝐶)𝐺(𝐷𝐶)) · (𝐵𝐷)) − (((𝑂𝐶)𝐺(𝐷𝐶)) · (𝐵𝐷))))
503, 5, 283jca 1119 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ))
511, 50, 15sigaradd 41964 . . . . . 6 (𝜑 → (((𝐴𝐶)𝐺(𝐷𝐶)) − ((𝑂𝐶)𝐺(𝐷𝐶))) = ((𝐴𝐶)𝐺(𝑂𝐶)))
521sigarperm 41958 . . . . . . 7 ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑂 ∈ ℂ) → ((𝐶𝑂)𝐺(𝐴𝑂)) = ((𝐴𝐶)𝐺(𝑂𝐶)))
5328, 5, 8, 52syl3anc 1439 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝐶𝑂)𝐺(𝐴𝑂)) = ((𝐴𝐶)𝐺(𝑂𝐶)))
5451, 53eqtr4d 2816 . . . . 5 (𝜑 → (((𝐴𝐶)𝐺(𝐷𝐶)) − ((𝑂𝐶)𝐺(𝐷𝐶))) = ((𝐶𝑂)𝐺(𝐴𝑂)))
5554oveq1d 6937 . . . 4 (𝜑 → ((((𝐴𝐶)𝐺(𝐷𝐶)) − ((𝑂𝐶)𝐺(𝐷𝐶))) · (𝐵𝐷)) = (((𝐶𝑂)𝐺(𝐴𝑂)) · (𝐵𝐷)))
5649, 55eqtr3d 2815 . . 3 (𝜑 → ((((𝐴𝐶)𝐺(𝐷𝐶)) · (𝐵𝐷)) − (((𝑂𝐶)𝐺(𝐷𝐶)) · (𝐵𝐷))) = (((𝐶𝑂)𝐺(𝐴𝑂)) · (𝐵𝐷)))
5731, 39, 563eqtrrd 2818 . 2 (𝜑 → (((𝐶𝑂)𝐺(𝐴𝑂)) · (𝐵𝐷)) = (((𝐵𝑂)𝐺(𝐴𝑂)) · (𝐶𝐷)))
586, 8subcld 10734 . . . 4 (𝜑 → (𝐵𝑂) ∈ ℂ)
591sigarac 41950 . . . 4 (((𝐵𝑂) ∈ ℂ ∧ (𝐴𝑂) ∈ ℂ) → ((𝐵𝑂)𝐺(𝐴𝑂)) = -((𝐴𝑂)𝐺(𝐵𝑂)))
6058, 9, 59syl2anc 579 . . 3 (𝜑 → ((𝐵𝑂)𝐺(𝐴𝑂)) = -((𝐴𝑂)𝐺(𝐵𝑂)))
6160oveq1d 6937 . 2 (𝜑 → (((𝐵𝑂)𝐺(𝐴𝑂)) · (𝐶𝐷)) = (-((𝐴𝑂)𝐺(𝐵𝑂)) · (𝐶𝐷)))
629, 58jca 507 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐴𝑂) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑂) ∈ ℂ))
631, 62sigarimcd 41960 . . . 4 (𝜑 → ((𝐴𝑂)𝐺(𝐵𝑂)) ∈ ℂ)
64 mulneg12 10813 . . . 4 ((((𝐴𝑂)𝐺(𝐵𝑂)) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝐷) ∈ ℂ) → (-((𝐴𝑂)𝐺(𝐵𝑂)) · (𝐶𝐷)) = (((𝐴𝑂)𝐺(𝐵𝑂)) · -(𝐶𝐷)))
6563, 29, 64syl2anc 579 . . 3 (𝜑 → (-((𝐴𝑂)𝐺(𝐵𝑂)) · (𝐶𝐷)) = (((𝐴𝑂)𝐺(𝐵𝑂)) · -(𝐶𝐷)))
6628, 3negsubdi2d 10750 . . . 4 (𝜑 → -(𝐶𝐷) = (𝐷𝐶))
6766oveq2d 6938 . . 3 (𝜑 → (((𝐴𝑂)𝐺(𝐵𝑂)) · -(𝐶𝐷)) = (((𝐴𝑂)𝐺(𝐵𝑂)) · (𝐷𝐶)))
6865, 67eqtrd 2813 . 2 (𝜑 → (-((𝐴𝑂)𝐺(𝐵𝑂)) · (𝐶𝐷)) = (((𝐴𝑂)𝐺(𝐵𝑂)) · (𝐷𝐶)))
6957, 61, 683eqtrd 2817 1 (𝜑 → (((𝐶𝑂)𝐺(𝐴𝑂)) · (𝐵𝐷)) = (((𝐴𝑂)𝐺(𝐵𝑂)) · (𝐷𝐶)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  w3a 1071   = wceq 1601  wcel 2106  wne 2968  cfv 6135  (class class class)co 6922  cmpt2 6924  cc 10270  cr 10271  0cc0 10272   · cmul 10277  cmin 10606  -cneg 10607  ccj 14243  cim 14245
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2054  ax-8 2108  ax-9 2115  ax-10 2134  ax-11 2149  ax-12 2162  ax-13 2333  ax-ext 2753  ax-sep 5017  ax-nul 5025  ax-pow 5077  ax-pr 5138  ax-un 7226  ax-resscn 10329  ax-1cn 10330  ax-icn 10331  ax-addcl 10332  ax-addrcl 10333  ax-mulcl 10334  ax-mulrcl 10335  ax-mulcom 10336  ax-addass 10337  ax-mulass 10338  ax-distr 10339  ax-i2m1 10340  ax-1ne0 10341  ax-1rid 10342  ax-rnegex 10343  ax-rrecex 10344  ax-cnre 10345  ax-pre-lttri 10346  ax-pre-lttrn 10347  ax-pre-ltadd 10348  ax-pre-mulgt0 10349
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1605  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2550  df-eu 2586  df-clab 2763  df-cleq 2769  df-clel 2773  df-nfc 2920  df-ne 2969  df-nel 3075  df-ral 3094  df-rex 3095  df-reu 3096  df-rmo 3097  df-rab 3098  df-v 3399  df-sbc 3652  df-csb 3751  df-dif 3794  df-un 3796  df-in 3798  df-ss 3805  df-nul 4141  df-if 4307  df-pw 4380  df-sn 4398  df-pr 4400  df-op 4404  df-uni 4672  df-br 4887  df-opab 4949  df-mpt 4966  df-id 5261  df-po 5274  df-so 5275  df-xp 5361  df-rel 5362  df-cnv 5363  df-co 5364  df-dm 5365  df-rn 5366  df-res 5367  df-ima 5368  df-iota 6099  df-fun 6137  df-fn 6138  df-f 6139  df-f1 6140  df-fo 6141  df-f1o 6142  df-fv 6143  df-riota 6883  df-ov 6925  df-oprab 6926  df-mpt2 6927  df-er 8026  df-en 8242  df-dom 8243  df-sdom 8244  df-pnf 10413  df-mnf 10414  df-xr 10415  df-ltxr 10416  df-le 10417  df-sub 10608  df-neg 10609  df-div 11033  df-2 11438  df-cj 14246  df-re 14247  df-im 14248
This theorem is referenced by:  cevath  41967
  Copyright terms: Public domain W3C validator