Theorem cevathlem2 45584

Description: Ceva's theorem second lemma. Relate (doubled) areas of triangles 𝐶𝐴𝑂 and 𝐴𝐵𝑂 with of segments 𝐵𝐷 and 𝐷𝐶. (Contributed by Saveliy Skresanov, 24-Sep-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
cevath.sigar	⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ ℂ, 𝑦 ∈ ℂ ↦ (ℑ‘((∗‘𝑥) · 𝑦)))
cevath.a	⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ))
cevath.b	⊢ (𝜑 → (𝐹 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐸 ∈ ℂ))
cevath.c	⊢ (𝜑 → 𝑂 ∈ ℂ)
cevath.d	⊢ (𝜑 → (((𝐴 − 𝑂)𝐺(𝐷 − 𝑂)) = 0 ∧ ((𝐵 − 𝑂)𝐺(𝐸 − 𝑂)) = 0 ∧ ((𝐶 − 𝑂)𝐺(𝐹 − 𝑂)) = 0))
cevath.e	⊢ (𝜑 → (((𝐴 − 𝐹)𝐺(𝐵 − 𝐹)) = 0 ∧ ((𝐵 − 𝐷)𝐺(𝐶 − 𝐷)) = 0 ∧ ((𝐶 − 𝐸)𝐺(𝐴 − 𝐸)) = 0))
cevath.f	⊢ (𝜑 → (((𝐴 − 𝑂)𝐺(𝐵 − 𝑂)) ≠ 0 ∧ ((𝐵 − 𝑂)𝐺(𝐶 − 𝑂)) ≠ 0 ∧ ((𝐶 − 𝑂)𝐺(𝐴 − 𝑂)) ≠ 0))

Assertion

Ref	Expression
cevathlem2	⊢ (𝜑 → (((𝐶 − 𝑂)𝐺(𝐴 − 𝑂)) · (𝐵 − 𝐷)) = (((𝐴 − 𝑂)𝐺(𝐵 − 𝑂)) · (𝐷 − 𝐶)))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐴   𝑥,𝐵,𝑦   𝑥,𝐶,𝑦   𝑥,𝐷,𝑦   𝑥,𝑂,𝑦   𝑥,𝐸,𝑦   𝑥,𝐹,𝑦

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦)   𝐺(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem cevathlem2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cevath.sigar	. . . . . . 7 ⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ ℂ, 𝑦 ∈ ℂ ↦ (ℑ‘((∗‘𝑥) · 𝑦)))
2		cevath.b	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐸 ∈ ℂ))
3	2	simp2d 1144	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℂ)
4		cevath.a	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ))
5	4	simp1d 1143	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
6	4	simp2d 1144	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
7	3, 5, 6	3jca 1129	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ))
8		cevath.c	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑂 ∈ ℂ)
9	5, 8	subcld 11571	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝑂) ∈ ℂ)
10	3, 8	subcld 11571	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐷 − 𝑂) ∈ ℂ)
11	9, 10	jca 513	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 − 𝑂) ∈ ℂ ∧ (𝐷 − 𝑂) ∈ ℂ))
12		cevath.d	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 − 𝑂)𝐺(𝐷 − 𝑂)) = 0 ∧ ((𝐵 − 𝑂)𝐺(𝐸 − 𝑂)) = 0 ∧ ((𝐶 − 𝑂)𝐺(𝐹 − 𝑂)) = 0))
13	12	simp1d 1143	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 − 𝑂)𝐺(𝐷 − 𝑂)) = 0)
14	1, 11, 13	sigariz 45579	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝐷 − 𝑂)𝐺(𝐴 − 𝑂)) = 0)
15	8, 14	jca 513	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑂 ∈ ℂ ∧ ((𝐷 − 𝑂)𝐺(𝐴 − 𝑂)) = 0))
16	1, 7, 15	sigaradd 45582	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 − 𝐵)𝐺(𝐷 − 𝐵)) − ((𝑂 − 𝐵)𝐺(𝐷 − 𝐵))) = ((𝐴 − 𝐵)𝐺(𝑂 − 𝐵)))
17	1	sigarperm 45576	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑂 ∈ ℂ) → ((𝐵 − 𝑂)𝐺(𝐴 − 𝑂)) = ((𝐴 − 𝐵)𝐺(𝑂 − 𝐵)))
18	6, 5, 8, 17	syl3anc 1372	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 − 𝑂)𝐺(𝐴 − 𝑂)) = ((𝐴 − 𝐵)𝐺(𝑂 − 𝐵)))
19	16, 18	eqtr4d 2776	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 − 𝐵)𝐺(𝐷 − 𝐵)) − ((𝑂 − 𝐵)𝐺(𝐷 − 𝐵))) = ((𝐵 − 𝑂)𝐺(𝐴 − 𝑂)))
20	19	oveq1d 7424	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((((𝐴 − 𝐵)𝐺(𝐷 − 𝐵)) − ((𝑂 − 𝐵)𝐺(𝐷 − 𝐵))) · (𝐶 − 𝐷)) = (((𝐵 − 𝑂)𝐺(𝐴 − 𝑂)) · (𝐶 − 𝐷)))
21	5, 6	subcld 11571	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝐵) ∈ ℂ)
22	3, 6	subcld 11571	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐷 − 𝐵) ∈ ℂ)
23	21, 22	jca 513	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 − 𝐵) ∈ ℂ ∧ (𝐷 − 𝐵) ∈ ℂ))
24	1, 23	sigarimcd 45578	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 − 𝐵)𝐺(𝐷 − 𝐵)) ∈ ℂ)
25	8, 6	subcld 11571	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑂 − 𝐵) ∈ ℂ)
26	25, 22	jca 513	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑂 − 𝐵) ∈ ℂ ∧ (𝐷 − 𝐵) ∈ ℂ))
27	1, 26	sigarimcd 45578	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑂 − 𝐵)𝐺(𝐷 − 𝐵)) ∈ ℂ)
28	4	simp3d 1145	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
29	28, 3	subcld 11571	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐶 − 𝐷) ∈ ℂ)
30	24, 27, 29	subdird 11671	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((((𝐴 − 𝐵)𝐺(𝐷 − 𝐵)) − ((𝑂 − 𝐵)𝐺(𝐷 − 𝐵))) · (𝐶 − 𝐷)) = ((((𝐴 − 𝐵)𝐺(𝐷 − 𝐵)) · (𝐶 − 𝐷)) − (((𝑂 − 𝐵)𝐺(𝐷 − 𝐵)) · (𝐶 − 𝐷))))
31	20, 30	eqtr3d 2775	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((𝐵 − 𝑂)𝐺(𝐴 − 𝑂)) · (𝐶 − 𝐷)) = ((((𝐴 − 𝐵)𝐺(𝐷 − 𝐵)) · (𝐶 − 𝐷)) − (((𝑂 − 𝐵)𝐺(𝐷 − 𝐵)) · (𝐶 − 𝐷))))
32	6, 28, 5	3jca 1129	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ))
33		cevath.e	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 − 𝐹)𝐺(𝐵 − 𝐹)) = 0 ∧ ((𝐵 − 𝐷)𝐺(𝐶 − 𝐷)) = 0 ∧ ((𝐶 − 𝐸)𝐺(𝐴 − 𝐸)) = 0))
34	33	simp2d 1144	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 − 𝐷)𝐺(𝐶 − 𝐷)) = 0)
35	3, 34	jca 513	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐷 ∈ ℂ ∧ ((𝐵 − 𝐷)𝐺(𝐶 − 𝐷)) = 0))
36	1, 32, 35	sharhght 45581	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 − 𝐵)𝐺(𝐷 − 𝐵)) · (𝐶 − 𝐷)) = (((𝐴 − 𝐶)𝐺(𝐷 − 𝐶)) · (𝐵 − 𝐷)))
37	6, 28, 8	3jca 1129	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝑂 ∈ ℂ))
38	1, 37, 35	sharhght 45581	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((𝑂 − 𝐵)𝐺(𝐷 − 𝐵)) · (𝐶 − 𝐷)) = (((𝑂 − 𝐶)𝐺(𝐷 − 𝐶)) · (𝐵 − 𝐷)))
39	36, 38	oveq12d 7427	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((((𝐴 − 𝐵)𝐺(𝐷 − 𝐵)) · (𝐶 − 𝐷)) − (((𝑂 − 𝐵)𝐺(𝐷 − 𝐵)) · (𝐶 − 𝐷))) = ((((𝐴 − 𝐶)𝐺(𝐷 − 𝐶)) · (𝐵 − 𝐷)) − (((𝑂 − 𝐶)𝐺(𝐷 − 𝐶)) · (𝐵 − 𝐷))))
40	5, 28	subcld 11571	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝐶) ∈ ℂ)
41	3, 28	subcld 11571	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐷 − 𝐶) ∈ ℂ)
42	1	sigarim 45567	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 − 𝐶) ∈ ℂ ∧ (𝐷 − 𝐶) ∈ ℂ) → ((𝐴 − 𝐶)𝐺(𝐷 − 𝐶)) ∈ ℝ)
43	40, 41, 42	syl2anc 585	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 − 𝐶)𝐺(𝐷 − 𝐶)) ∈ ℝ)
44	43	recnd 11242	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 − 𝐶)𝐺(𝐷 − 𝐶)) ∈ ℂ)
45	8, 28	subcld 11571	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑂 − 𝐶) ∈ ℂ)
46	45, 41	jca 513	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑂 − 𝐶) ∈ ℂ ∧ (𝐷 − 𝐶) ∈ ℂ))
47	1, 46	sigarimcd 45578	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑂 − 𝐶)𝐺(𝐷 − 𝐶)) ∈ ℂ)
48	6, 3	subcld 11571	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐵 − 𝐷) ∈ ℂ)
49	44, 47, 48	subdird 11671	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((((𝐴 − 𝐶)𝐺(𝐷 − 𝐶)) − ((𝑂 − 𝐶)𝐺(𝐷 − 𝐶))) · (𝐵 − 𝐷)) = ((((𝐴 − 𝐶)𝐺(𝐷 − 𝐶)) · (𝐵 − 𝐷)) − (((𝑂 − 𝐶)𝐺(𝐷 − 𝐶)) · (𝐵 − 𝐷))))
50	3, 5, 28	3jca 1129	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ))
51	1, 50, 15	sigaradd 45582	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 − 𝐶)𝐺(𝐷 − 𝐶)) − ((𝑂 − 𝐶)𝐺(𝐷 − 𝐶))) = ((𝐴 − 𝐶)𝐺(𝑂 − 𝐶)))
52	1	sigarperm 45576	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑂 ∈ ℂ) → ((𝐶 − 𝑂)𝐺(𝐴 − 𝑂)) = ((𝐴 − 𝐶)𝐺(𝑂 − 𝐶)))
53	28, 5, 8, 52	syl3anc 1372	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 − 𝑂)𝐺(𝐴 − 𝑂)) = ((𝐴 − 𝐶)𝐺(𝑂 − 𝐶)))
54	51, 53	eqtr4d 2776	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 − 𝐶)𝐺(𝐷 − 𝐶)) − ((𝑂 − 𝐶)𝐺(𝐷 − 𝐶))) = ((𝐶 − 𝑂)𝐺(𝐴 − 𝑂)))
55	54	oveq1d 7424	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((((𝐴 − 𝐶)𝐺(𝐷 − 𝐶)) − ((𝑂 − 𝐶)𝐺(𝐷 − 𝐶))) · (𝐵 − 𝐷)) = (((𝐶 − 𝑂)𝐺(𝐴 − 𝑂)) · (𝐵 − 𝐷)))
56	49, 55	eqtr3d 2775	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((((𝐴 − 𝐶)𝐺(𝐷 − 𝐶)) · (𝐵 − 𝐷)) − (((𝑂 − 𝐶)𝐺(𝐷 − 𝐶)) · (𝐵 − 𝐷))) = (((𝐶 − 𝑂)𝐺(𝐴 − 𝑂)) · (𝐵 − 𝐷)))
57	31, 39, 56	3eqtrrd 2778	. 2 ⊢ (𝜑 → (((𝐶 − 𝑂)𝐺(𝐴 − 𝑂)) · (𝐵 − 𝐷)) = (((𝐵 − 𝑂)𝐺(𝐴 − 𝑂)) · (𝐶 − 𝐷)))
58	6, 8	subcld 11571	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐵 − 𝑂) ∈ ℂ)
59	1	sigarac 45568	. . . 4 ⊢ (((𝐵 − 𝑂) ∈ ℂ ∧ (𝐴 − 𝑂) ∈ ℂ) → ((𝐵 − 𝑂)𝐺(𝐴 − 𝑂)) = -((𝐴 − 𝑂)𝐺(𝐵 − 𝑂)))
60	58, 9, 59	syl2anc 585	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 − 𝑂)𝐺(𝐴 − 𝑂)) = -((𝐴 − 𝑂)𝐺(𝐵 − 𝑂)))
61	60	oveq1d 7424	. 2 ⊢ (𝜑 → (((𝐵 − 𝑂)𝐺(𝐴 − 𝑂)) · (𝐶 − 𝐷)) = (-((𝐴 − 𝑂)𝐺(𝐵 − 𝑂)) · (𝐶 − 𝐷)))
62	9, 58	jca 513	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 − 𝑂) ∈ ℂ ∧ (𝐵 − 𝑂) ∈ ℂ))
63	1, 62	sigarimcd 45578	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 − 𝑂)𝐺(𝐵 − 𝑂)) ∈ ℂ)
64		mulneg12 11652	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 − 𝑂)𝐺(𝐵 − 𝑂)) ∈ ℂ ∧ (𝐶 − 𝐷) ∈ ℂ) → (-((𝐴 − 𝑂)𝐺(𝐵 − 𝑂)) · (𝐶 − 𝐷)) = (((𝐴 − 𝑂)𝐺(𝐵 − 𝑂)) · -(𝐶 − 𝐷)))
65	63, 29, 64	syl2anc 585	. . 3 ⊢ (𝜑 → (-((𝐴 − 𝑂)𝐺(𝐵 − 𝑂)) · (𝐶 − 𝐷)) = (((𝐴 − 𝑂)𝐺(𝐵 − 𝑂)) · -(𝐶 − 𝐷)))
66	28, 3	negsubdi2d 11587	. . . 4 ⊢ (𝜑 → -(𝐶 − 𝐷) = (𝐷 − 𝐶))
67	66	oveq2d 7425	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 − 𝑂)𝐺(𝐵 − 𝑂)) · -(𝐶 − 𝐷)) = (((𝐴 − 𝑂)𝐺(𝐵 − 𝑂)) · (𝐷 − 𝐶)))
68	65, 67	eqtrd 2773	. 2 ⊢ (𝜑 → (-((𝐴 − 𝑂)𝐺(𝐵 − 𝑂)) · (𝐶 − 𝐷)) = (((𝐴 − 𝑂)𝐺(𝐵 − 𝑂)) · (𝐷 − 𝐶)))
69	57, 61, 68	3eqtrd 2777	1 ⊢ (𝜑 → (((𝐶 − 𝑂)𝐺(𝐴 − 𝑂)) · (𝐵 − 𝐷)) = (((𝐴 − 𝑂)𝐺(𝐵 − 𝑂)) · (𝐷 − 𝐶)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   ≠ wne 2941  ‘cfv 6544  (class class class)co 7409   ∈ cmpo 7411  ℂcc 11108  ℝcr 11109  0cc0 11110   · cmul 11115   − cmin 11444  -cneg 11445  ∗ccj 15043  ℑcim 15045

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-id 5575  df-po 5589  df-so 5590  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-er 8703  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-div 11872  df-2 12275  df-cj 15046  df-re 15047  df-im 15048

This theorem is referenced by:  cevath  45585