Users' Mathboxes Mathbox for Saveliy Skresanov < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cevathlem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cevathlem2 46883
Description: Ceva's theorem second lemma. Relate (doubled) areas of triangles 𝐶𝐴𝑂 and 𝐴𝐵𝑂 with of segments 𝐵𝐷 and 𝐷𝐶. (Contributed by Saveliy Skresanov, 24-Sep-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
cevath.sigar 𝐺 = (𝑥 ∈ ℂ, 𝑦 ∈ ℂ ↦ (ℑ‘((∗‘𝑥) · 𝑦)))
cevath.a (𝜑 → (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ))
cevath.b (𝜑 → (𝐹 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐸 ∈ ℂ))
cevath.c (𝜑𝑂 ∈ ℂ)
cevath.d (𝜑 → (((𝐴𝑂)𝐺(𝐷𝑂)) = 0 ∧ ((𝐵𝑂)𝐺(𝐸𝑂)) = 0 ∧ ((𝐶𝑂)𝐺(𝐹𝑂)) = 0))
cevath.e (𝜑 → (((𝐴𝐹)𝐺(𝐵𝐹)) = 0 ∧ ((𝐵𝐷)𝐺(𝐶𝐷)) = 0 ∧ ((𝐶𝐸)𝐺(𝐴𝐸)) = 0))
cevath.f (𝜑 → (((𝐴𝑂)𝐺(𝐵𝑂)) ≠ 0 ∧ ((𝐵𝑂)𝐺(𝐶𝑂)) ≠ 0 ∧ ((𝐶𝑂)𝐺(𝐴𝑂)) ≠ 0))
Assertion
Ref Expression
cevathlem2 (𝜑 → (((𝐶𝑂)𝐺(𝐴𝑂)) · (𝐵𝐷)) = (((𝐴𝑂)𝐺(𝐵𝑂)) · (𝐷𝐶)))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐴   𝑥,𝐵,𝑦   𝑥,𝐶,𝑦   𝑥,𝐷,𝑦   𝑥,𝑂,𝑦   𝑥,𝐸,𝑦   𝑥,𝐹,𝑦
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦)   𝐺(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem cevathlem2
StepHypRef Expression
1 cevath.sigar . . . . . . 7 𝐺 = (𝑥 ∈ ℂ, 𝑦 ∈ ℂ ↦ (ℑ‘((∗‘𝑥) · 𝑦)))
2 cevath.b . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐹 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐸 ∈ ℂ))
32simp2d 1144 . . . . . . . 8 (𝜑𝐷 ∈ ℂ)
4 cevath.a . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ))
54simp1d 1143 . . . . . . . 8 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
64simp2d 1144 . . . . . . . 8 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
73, 5, 63jca 1129 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ))
8 cevath.c . . . . . . . 8 (𝜑𝑂 ∈ ℂ)
95, 8subcld 11620 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐴𝑂) ∈ ℂ)
103, 8subcld 11620 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐷𝑂) ∈ ℂ)
119, 10jca 511 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝐴𝑂) ∈ ℂ ∧ (𝐷𝑂) ∈ ℂ))
12 cevath.d . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (((𝐴𝑂)𝐺(𝐷𝑂)) = 0 ∧ ((𝐵𝑂)𝐺(𝐸𝑂)) = 0 ∧ ((𝐶𝑂)𝐺(𝐹𝑂)) = 0))
1312simp1d 1143 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝐴𝑂)𝐺(𝐷𝑂)) = 0)
141, 11, 13sigariz 46878 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝐷𝑂)𝐺(𝐴𝑂)) = 0)
158, 14jca 511 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑂 ∈ ℂ ∧ ((𝐷𝑂)𝐺(𝐴𝑂)) = 0))
161, 7, 15sigaradd 46881 . . . . . 6 (𝜑 → (((𝐴𝐵)𝐺(𝐷𝐵)) − ((𝑂𝐵)𝐺(𝐷𝐵))) = ((𝐴𝐵)𝐺(𝑂𝐵)))
171sigarperm 46875 . . . . . . 7 ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑂 ∈ ℂ) → ((𝐵𝑂)𝐺(𝐴𝑂)) = ((𝐴𝐵)𝐺(𝑂𝐵)))
186, 5, 8, 17syl3anc 1373 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝐵𝑂)𝐺(𝐴𝑂)) = ((𝐴𝐵)𝐺(𝑂𝐵)))
1916, 18eqtr4d 2780 . . . . 5 (𝜑 → (((𝐴𝐵)𝐺(𝐷𝐵)) − ((𝑂𝐵)𝐺(𝐷𝐵))) = ((𝐵𝑂)𝐺(𝐴𝑂)))
2019oveq1d 7446 . . . 4 (𝜑 → ((((𝐴𝐵)𝐺(𝐷𝐵)) − ((𝑂𝐵)𝐺(𝐷𝐵))) · (𝐶𝐷)) = (((𝐵𝑂)𝐺(𝐴𝑂)) · (𝐶𝐷)))
215, 6subcld 11620 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐴𝐵) ∈ ℂ)
223, 6subcld 11620 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐷𝐵) ∈ ℂ)
2321, 22jca 511 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝐴𝐵) ∈ ℂ ∧ (𝐷𝐵) ∈ ℂ))
241, 23sigarimcd 46877 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐴𝐵)𝐺(𝐷𝐵)) ∈ ℂ)
258, 6subcld 11620 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑂𝐵) ∈ ℂ)
2625, 22jca 511 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑂𝐵) ∈ ℂ ∧ (𝐷𝐵) ∈ ℂ))
271, 26sigarimcd 46877 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑂𝐵)𝐺(𝐷𝐵)) ∈ ℂ)
284simp3d 1145 . . . . . 6 (𝜑𝐶 ∈ ℂ)
2928, 3subcld 11620 . . . . 5 (𝜑 → (𝐶𝐷) ∈ ℂ)
3024, 27, 29subdird 11720 . . . 4 (𝜑 → ((((𝐴𝐵)𝐺(𝐷𝐵)) − ((𝑂𝐵)𝐺(𝐷𝐵))) · (𝐶𝐷)) = ((((𝐴𝐵)𝐺(𝐷𝐵)) · (𝐶𝐷)) − (((𝑂𝐵)𝐺(𝐷𝐵)) · (𝐶𝐷))))
3120, 30eqtr3d 2779 . . 3 (𝜑 → (((𝐵𝑂)𝐺(𝐴𝑂)) · (𝐶𝐷)) = ((((𝐴𝐵)𝐺(𝐷𝐵)) · (𝐶𝐷)) − (((𝑂𝐵)𝐺(𝐷𝐵)) · (𝐶𝐷))))
326, 28, 53jca 1129 . . . . 5 (𝜑 → (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ))
33 cevath.e . . . . . . 7 (𝜑 → (((𝐴𝐹)𝐺(𝐵𝐹)) = 0 ∧ ((𝐵𝐷)𝐺(𝐶𝐷)) = 0 ∧ ((𝐶𝐸)𝐺(𝐴𝐸)) = 0))
3433simp2d 1144 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝐵𝐷)𝐺(𝐶𝐷)) = 0)
353, 34jca 511 . . . . 5 (𝜑 → (𝐷 ∈ ℂ ∧ ((𝐵𝐷)𝐺(𝐶𝐷)) = 0))
361, 32, 35sharhght 46880 . . . 4 (𝜑 → (((𝐴𝐵)𝐺(𝐷𝐵)) · (𝐶𝐷)) = (((𝐴𝐶)𝐺(𝐷𝐶)) · (𝐵𝐷)))
376, 28, 83jca 1129 . . . . 5 (𝜑 → (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝑂 ∈ ℂ))
381, 37, 35sharhght 46880 . . . 4 (𝜑 → (((𝑂𝐵)𝐺(𝐷𝐵)) · (𝐶𝐷)) = (((𝑂𝐶)𝐺(𝐷𝐶)) · (𝐵𝐷)))
3936, 38oveq12d 7449 . . 3 (𝜑 → ((((𝐴𝐵)𝐺(𝐷𝐵)) · (𝐶𝐷)) − (((𝑂𝐵)𝐺(𝐷𝐵)) · (𝐶𝐷))) = ((((𝐴𝐶)𝐺(𝐷𝐶)) · (𝐵𝐷)) − (((𝑂𝐶)𝐺(𝐷𝐶)) · (𝐵𝐷))))
405, 28subcld 11620 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐴𝐶) ∈ ℂ)
413, 28subcld 11620 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐷𝐶) ∈ ℂ)
421sigarim 46866 . . . . . . 7 (((𝐴𝐶) ∈ ℂ ∧ (𝐷𝐶) ∈ ℂ) → ((𝐴𝐶)𝐺(𝐷𝐶)) ∈ ℝ)
4340, 41, 42syl2anc 584 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝐴𝐶)𝐺(𝐷𝐶)) ∈ ℝ)
4443recnd 11289 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐴𝐶)𝐺(𝐷𝐶)) ∈ ℂ)
458, 28subcld 11620 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑂𝐶) ∈ ℂ)
4645, 41jca 511 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑂𝐶) ∈ ℂ ∧ (𝐷𝐶) ∈ ℂ))
471, 46sigarimcd 46877 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑂𝐶)𝐺(𝐷𝐶)) ∈ ℂ)
486, 3subcld 11620 . . . . 5 (𝜑 → (𝐵𝐷) ∈ ℂ)
4944, 47, 48subdird 11720 . . . 4 (𝜑 → ((((𝐴𝐶)𝐺(𝐷𝐶)) − ((𝑂𝐶)𝐺(𝐷𝐶))) · (𝐵𝐷)) = ((((𝐴𝐶)𝐺(𝐷𝐶)) · (𝐵𝐷)) − (((𝑂𝐶)𝐺(𝐷𝐶)) · (𝐵𝐷))))
503, 5, 283jca 1129 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ))
511, 50, 15sigaradd 46881 . . . . . 6 (𝜑 → (((𝐴𝐶)𝐺(𝐷𝐶)) − ((𝑂𝐶)𝐺(𝐷𝐶))) = ((𝐴𝐶)𝐺(𝑂𝐶)))
521sigarperm 46875 . . . . . . 7 ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑂 ∈ ℂ) → ((𝐶𝑂)𝐺(𝐴𝑂)) = ((𝐴𝐶)𝐺(𝑂𝐶)))
5328, 5, 8, 52syl3anc 1373 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝐶𝑂)𝐺(𝐴𝑂)) = ((𝐴𝐶)𝐺(𝑂𝐶)))
5451, 53eqtr4d 2780 . . . . 5 (𝜑 → (((𝐴𝐶)𝐺(𝐷𝐶)) − ((𝑂𝐶)𝐺(𝐷𝐶))) = ((𝐶𝑂)𝐺(𝐴𝑂)))
5554oveq1d 7446 . . . 4 (𝜑 → ((((𝐴𝐶)𝐺(𝐷𝐶)) − ((𝑂𝐶)𝐺(𝐷𝐶))) · (𝐵𝐷)) = (((𝐶𝑂)𝐺(𝐴𝑂)) · (𝐵𝐷)))
5649, 55eqtr3d 2779 . . 3 (𝜑 → ((((𝐴𝐶)𝐺(𝐷𝐶)) · (𝐵𝐷)) − (((𝑂𝐶)𝐺(𝐷𝐶)) · (𝐵𝐷))) = (((𝐶𝑂)𝐺(𝐴𝑂)) · (𝐵𝐷)))
5731, 39, 563eqtrrd 2782 . 2 (𝜑 → (((𝐶𝑂)𝐺(𝐴𝑂)) · (𝐵𝐷)) = (((𝐵𝑂)𝐺(𝐴𝑂)) · (𝐶𝐷)))
586, 8subcld 11620 . . . 4 (𝜑 → (𝐵𝑂) ∈ ℂ)
591sigarac 46867 . . . 4 (((𝐵𝑂) ∈ ℂ ∧ (𝐴𝑂) ∈ ℂ) → ((𝐵𝑂)𝐺(𝐴𝑂)) = -((𝐴𝑂)𝐺(𝐵𝑂)))
6058, 9, 59syl2anc 584 . . 3 (𝜑 → ((𝐵𝑂)𝐺(𝐴𝑂)) = -((𝐴𝑂)𝐺(𝐵𝑂)))
6160oveq1d 7446 . 2 (𝜑 → (((𝐵𝑂)𝐺(𝐴𝑂)) · (𝐶𝐷)) = (-((𝐴𝑂)𝐺(𝐵𝑂)) · (𝐶𝐷)))
629, 58jca 511 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐴𝑂) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑂) ∈ ℂ))
631, 62sigarimcd 46877 . . . 4 (𝜑 → ((𝐴𝑂)𝐺(𝐵𝑂)) ∈ ℂ)
64 mulneg12 11701 . . . 4 ((((𝐴𝑂)𝐺(𝐵𝑂)) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝐷) ∈ ℂ) → (-((𝐴𝑂)𝐺(𝐵𝑂)) · (𝐶𝐷)) = (((𝐴𝑂)𝐺(𝐵𝑂)) · -(𝐶𝐷)))
6563, 29, 64syl2anc 584 . . 3 (𝜑 → (-((𝐴𝑂)𝐺(𝐵𝑂)) · (𝐶𝐷)) = (((𝐴𝑂)𝐺(𝐵𝑂)) · -(𝐶𝐷)))
6628, 3negsubdi2d 11636 . . . 4 (𝜑 → -(𝐶𝐷) = (𝐷𝐶))
6766oveq2d 7447 . . 3 (𝜑 → (((𝐴𝑂)𝐺(𝐵𝑂)) · -(𝐶𝐷)) = (((𝐴𝑂)𝐺(𝐵𝑂)) · (𝐷𝐶)))
6865, 67eqtrd 2777 . 2 (𝜑 → (-((𝐴𝑂)𝐺(𝐵𝑂)) · (𝐶𝐷)) = (((𝐴𝑂)𝐺(𝐵𝑂)) · (𝐷𝐶)))
6957, 61, 683eqtrd 2781 1 (𝜑 → (((𝐶𝑂)𝐺(𝐴𝑂)) · (𝐵𝐷)) = (((𝐴𝑂)𝐺(𝐵𝑂)) · (𝐷𝐶)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  w3a 1087   = wceq 1540  wcel 2108  wne 2940  cfv 6561  (class class class)co 7431  cmpo 7433  cc 11153  cr 11154  0cc0 11155   · cmul 11160  cmin 11492  -cneg 11493  ccj 15135  cim 15137
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-id 5578  df-po 5592  df-so 5593  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-2 12329  df-cj 15138  df-re 15139  df-im 15140
This theorem is referenced by:  cevath  46884
  Copyright terms: Public domain W3C validator