Theorem cevathlem2 47112

Description: Ceva's theorem second lemma. Relate (doubled) areas of triangles 𝐶𝐴𝑂 and 𝐴𝐵𝑂 with of segments 𝐵𝐷 and 𝐷𝐶. (Contributed by Saveliy Skresanov, 24-Sep-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
cevath.sigar	⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ ℂ, 𝑦 ∈ ℂ ↦ (ℑ‘((∗‘𝑥) · 𝑦)))
cevath.a	⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ))
cevath.b	⊢ (𝜑 → (𝐹 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐸 ∈ ℂ))
cevath.c	⊢ (𝜑 → 𝑂 ∈ ℂ)
cevath.d	⊢ (𝜑 → (((𝐴 − 𝑂)𝐺(𝐷 − 𝑂)) = 0 ∧ ((𝐵 − 𝑂)𝐺(𝐸 − 𝑂)) = 0 ∧ ((𝐶 − 𝑂)𝐺(𝐹 − 𝑂)) = 0))
cevath.e	⊢ (𝜑 → (((𝐴 − 𝐹)𝐺(𝐵 − 𝐹)) = 0 ∧ ((𝐵 − 𝐷)𝐺(𝐶 − 𝐷)) = 0 ∧ ((𝐶 − 𝐸)𝐺(𝐴 − 𝐸)) = 0))
cevath.f	⊢ (𝜑 → (((𝐴 − 𝑂)𝐺(𝐵 − 𝑂)) ≠ 0 ∧ ((𝐵 − 𝑂)𝐺(𝐶 − 𝑂)) ≠ 0 ∧ ((𝐶 − 𝑂)𝐺(𝐴 − 𝑂)) ≠ 0))

Assertion

Ref	Expression
cevathlem2	⊢ (𝜑 → (((𝐶 − 𝑂)𝐺(𝐴 − 𝑂)) · (𝐵 − 𝐷)) = (((𝐴 − 𝑂)𝐺(𝐵 − 𝑂)) · (𝐷 − 𝐶)))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐴   𝑥,𝐵,𝑦   𝑥,𝐶,𝑦   𝑥,𝐷,𝑦   𝑥,𝑂,𝑦   𝑥,𝐸,𝑦   𝑥,𝐹,𝑦

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦)   𝐺(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem cevathlem2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cevath.sigar	. . . . . . 7 ⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ ℂ, 𝑦 ∈ ℂ ↦ (ℑ‘((∗‘𝑥) · 𝑦)))
2		cevath.b	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐸 ∈ ℂ))
3	2	simp2d 1143	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℂ)
4		cevath.a	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ))
5	4	simp1d 1142	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
6	4	simp2d 1143	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
7	3, 5, 6	3jca 1128	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ))
8		cevath.c	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑂 ∈ ℂ)
9	5, 8	subcld 11492	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝑂) ∈ ℂ)
10	3, 8	subcld 11492	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐷 − 𝑂) ∈ ℂ)
11	9, 10	jca 511	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 − 𝑂) ∈ ℂ ∧ (𝐷 − 𝑂) ∈ ℂ))
12		cevath.d	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 − 𝑂)𝐺(𝐷 − 𝑂)) = 0 ∧ ((𝐵 − 𝑂)𝐺(𝐸 − 𝑂)) = 0 ∧ ((𝐶 − 𝑂)𝐺(𝐹 − 𝑂)) = 0))
13	12	simp1d 1142	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 − 𝑂)𝐺(𝐷 − 𝑂)) = 0)
14	1, 11, 13	sigariz 47107	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝐷 − 𝑂)𝐺(𝐴 − 𝑂)) = 0)
15	8, 14	jca 511	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑂 ∈ ℂ ∧ ((𝐷 − 𝑂)𝐺(𝐴 − 𝑂)) = 0))
16	1, 7, 15	sigaradd 47110	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 − 𝐵)𝐺(𝐷 − 𝐵)) − ((𝑂 − 𝐵)𝐺(𝐷 − 𝐵))) = ((𝐴 − 𝐵)𝐺(𝑂 − 𝐵)))
17	1	sigarperm 47104	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑂 ∈ ℂ) → ((𝐵 − 𝑂)𝐺(𝐴 − 𝑂)) = ((𝐴 − 𝐵)𝐺(𝑂 − 𝐵)))
18	6, 5, 8, 17	syl3anc 1373	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 − 𝑂)𝐺(𝐴 − 𝑂)) = ((𝐴 − 𝐵)𝐺(𝑂 − 𝐵)))
19	16, 18	eqtr4d 2774	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 − 𝐵)𝐺(𝐷 − 𝐵)) − ((𝑂 − 𝐵)𝐺(𝐷 − 𝐵))) = ((𝐵 − 𝑂)𝐺(𝐴 − 𝑂)))
20	19	oveq1d 7373	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((((𝐴 − 𝐵)𝐺(𝐷 − 𝐵)) − ((𝑂 − 𝐵)𝐺(𝐷 − 𝐵))) · (𝐶 − 𝐷)) = (((𝐵 − 𝑂)𝐺(𝐴 − 𝑂)) · (𝐶 − 𝐷)))
21	5, 6	subcld 11492	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝐵) ∈ ℂ)
22	3, 6	subcld 11492	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐷 − 𝐵) ∈ ℂ)
23	21, 22	jca 511	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 − 𝐵) ∈ ℂ ∧ (𝐷 − 𝐵) ∈ ℂ))
24	1, 23	sigarimcd 47106	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 − 𝐵)𝐺(𝐷 − 𝐵)) ∈ ℂ)
25	8, 6	subcld 11492	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑂 − 𝐵) ∈ ℂ)
26	25, 22	jca 511	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑂 − 𝐵) ∈ ℂ ∧ (𝐷 − 𝐵) ∈ ℂ))
27	1, 26	sigarimcd 47106	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑂 − 𝐵)𝐺(𝐷 − 𝐵)) ∈ ℂ)
28	4	simp3d 1144	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
29	28, 3	subcld 11492	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐶 − 𝐷) ∈ ℂ)
30	24, 27, 29	subdird 11594	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((((𝐴 − 𝐵)𝐺(𝐷 − 𝐵)) − ((𝑂 − 𝐵)𝐺(𝐷 − 𝐵))) · (𝐶 − 𝐷)) = ((((𝐴 − 𝐵)𝐺(𝐷 − 𝐵)) · (𝐶 − 𝐷)) − (((𝑂 − 𝐵)𝐺(𝐷 − 𝐵)) · (𝐶 − 𝐷))))
31	20, 30	eqtr3d 2773	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((𝐵 − 𝑂)𝐺(𝐴 − 𝑂)) · (𝐶 − 𝐷)) = ((((𝐴 − 𝐵)𝐺(𝐷 − 𝐵)) · (𝐶 − 𝐷)) − (((𝑂 − 𝐵)𝐺(𝐷 − 𝐵)) · (𝐶 − 𝐷))))
32	6, 28, 5	3jca 1128	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ))
33		cevath.e	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 − 𝐹)𝐺(𝐵 − 𝐹)) = 0 ∧ ((𝐵 − 𝐷)𝐺(𝐶 − 𝐷)) = 0 ∧ ((𝐶 − 𝐸)𝐺(𝐴 − 𝐸)) = 0))
34	33	simp2d 1143	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 − 𝐷)𝐺(𝐶 − 𝐷)) = 0)
35	3, 34	jca 511	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐷 ∈ ℂ ∧ ((𝐵 − 𝐷)𝐺(𝐶 − 𝐷)) = 0))
36	1, 32, 35	sharhght 47109	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 − 𝐵)𝐺(𝐷 − 𝐵)) · (𝐶 − 𝐷)) = (((𝐴 − 𝐶)𝐺(𝐷 − 𝐶)) · (𝐵 − 𝐷)))
37	6, 28, 8	3jca 1128	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝑂 ∈ ℂ))
38	1, 37, 35	sharhght 47109	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((𝑂 − 𝐵)𝐺(𝐷 − 𝐵)) · (𝐶 − 𝐷)) = (((𝑂 − 𝐶)𝐺(𝐷 − 𝐶)) · (𝐵 − 𝐷)))
39	36, 38	oveq12d 7376	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((((𝐴 − 𝐵)𝐺(𝐷 − 𝐵)) · (𝐶 − 𝐷)) − (((𝑂 − 𝐵)𝐺(𝐷 − 𝐵)) · (𝐶 − 𝐷))) = ((((𝐴 − 𝐶)𝐺(𝐷 − 𝐶)) · (𝐵 − 𝐷)) − (((𝑂 − 𝐶)𝐺(𝐷 − 𝐶)) · (𝐵 − 𝐷))))
40	5, 28	subcld 11492	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝐶) ∈ ℂ)
41	3, 28	subcld 11492	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐷 − 𝐶) ∈ ℂ)
42	1	sigarim 47095	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 − 𝐶) ∈ ℂ ∧ (𝐷 − 𝐶) ∈ ℂ) → ((𝐴 − 𝐶)𝐺(𝐷 − 𝐶)) ∈ ℝ)
43	40, 41, 42	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 − 𝐶)𝐺(𝐷 − 𝐶)) ∈ ℝ)
44	43	recnd 11160	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 − 𝐶)𝐺(𝐷 − 𝐶)) ∈ ℂ)
45	8, 28	subcld 11492	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑂 − 𝐶) ∈ ℂ)
46	45, 41	jca 511	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑂 − 𝐶) ∈ ℂ ∧ (𝐷 − 𝐶) ∈ ℂ))
47	1, 46	sigarimcd 47106	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑂 − 𝐶)𝐺(𝐷 − 𝐶)) ∈ ℂ)
48	6, 3	subcld 11492	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐵 − 𝐷) ∈ ℂ)
49	44, 47, 48	subdird 11594	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((((𝐴 − 𝐶)𝐺(𝐷 − 𝐶)) − ((𝑂 − 𝐶)𝐺(𝐷 − 𝐶))) · (𝐵 − 𝐷)) = ((((𝐴 − 𝐶)𝐺(𝐷 − 𝐶)) · (𝐵 − 𝐷)) − (((𝑂 − 𝐶)𝐺(𝐷 − 𝐶)) · (𝐵 − 𝐷))))
50	3, 5, 28	3jca 1128	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ))
51	1, 50, 15	sigaradd 47110	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 − 𝐶)𝐺(𝐷 − 𝐶)) − ((𝑂 − 𝐶)𝐺(𝐷 − 𝐶))) = ((𝐴 − 𝐶)𝐺(𝑂 − 𝐶)))
52	1	sigarperm 47104	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑂 ∈ ℂ) → ((𝐶 − 𝑂)𝐺(𝐴 − 𝑂)) = ((𝐴 − 𝐶)𝐺(𝑂 − 𝐶)))
53	28, 5, 8, 52	syl3anc 1373	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 − 𝑂)𝐺(𝐴 − 𝑂)) = ((𝐴 − 𝐶)𝐺(𝑂 − 𝐶)))
54	51, 53	eqtr4d 2774	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 − 𝐶)𝐺(𝐷 − 𝐶)) − ((𝑂 − 𝐶)𝐺(𝐷 − 𝐶))) = ((𝐶 − 𝑂)𝐺(𝐴 − 𝑂)))
55	54	oveq1d 7373	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((((𝐴 − 𝐶)𝐺(𝐷 − 𝐶)) − ((𝑂 − 𝐶)𝐺(𝐷 − 𝐶))) · (𝐵 − 𝐷)) = (((𝐶 − 𝑂)𝐺(𝐴 − 𝑂)) · (𝐵 − 𝐷)))
56	49, 55	eqtr3d 2773	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((((𝐴 − 𝐶)𝐺(𝐷 − 𝐶)) · (𝐵 − 𝐷)) − (((𝑂 − 𝐶)𝐺(𝐷 − 𝐶)) · (𝐵 − 𝐷))) = (((𝐶 − 𝑂)𝐺(𝐴 − 𝑂)) · (𝐵 − 𝐷)))
57	31, 39, 56	3eqtrrd 2776	. 2 ⊢ (𝜑 → (((𝐶 − 𝑂)𝐺(𝐴 − 𝑂)) · (𝐵 − 𝐷)) = (((𝐵 − 𝑂)𝐺(𝐴 − 𝑂)) · (𝐶 − 𝐷)))
58	6, 8	subcld 11492	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐵 − 𝑂) ∈ ℂ)
59	1	sigarac 47096	. . . 4 ⊢ (((𝐵 − 𝑂) ∈ ℂ ∧ (𝐴 − 𝑂) ∈ ℂ) → ((𝐵 − 𝑂)𝐺(𝐴 − 𝑂)) = -((𝐴 − 𝑂)𝐺(𝐵 − 𝑂)))
60	58, 9, 59	syl2anc 584	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 − 𝑂)𝐺(𝐴 − 𝑂)) = -((𝐴 − 𝑂)𝐺(𝐵 − 𝑂)))
61	60	oveq1d 7373	. 2 ⊢ (𝜑 → (((𝐵 − 𝑂)𝐺(𝐴 − 𝑂)) · (𝐶 − 𝐷)) = (-((𝐴 − 𝑂)𝐺(𝐵 − 𝑂)) · (𝐶 − 𝐷)))
62	9, 58	jca 511	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 − 𝑂) ∈ ℂ ∧ (𝐵 − 𝑂) ∈ ℂ))
63	1, 62	sigarimcd 47106	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 − 𝑂)𝐺(𝐵 − 𝑂)) ∈ ℂ)
64		mulneg12 11575	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 − 𝑂)𝐺(𝐵 − 𝑂)) ∈ ℂ ∧ (𝐶 − 𝐷) ∈ ℂ) → (-((𝐴 − 𝑂)𝐺(𝐵 − 𝑂)) · (𝐶 − 𝐷)) = (((𝐴 − 𝑂)𝐺(𝐵 − 𝑂)) · -(𝐶 − 𝐷)))
65	63, 29, 64	syl2anc 584	. . 3 ⊢ (𝜑 → (-((𝐴 − 𝑂)𝐺(𝐵 − 𝑂)) · (𝐶 − 𝐷)) = (((𝐴 − 𝑂)𝐺(𝐵 − 𝑂)) · -(𝐶 − 𝐷)))
66	28, 3	negsubdi2d 11508	. . . 4 ⊢ (𝜑 → -(𝐶 − 𝐷) = (𝐷 − 𝐶))
67	66	oveq2d 7374	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 − 𝑂)𝐺(𝐵 − 𝑂)) · -(𝐶 − 𝐷)) = (((𝐴 − 𝑂)𝐺(𝐵 − 𝑂)) · (𝐷 − 𝐶)))
68	65, 67	eqtrd 2771	. 2 ⊢ (𝜑 → (-((𝐴 − 𝑂)𝐺(𝐵 − 𝑂)) · (𝐶 − 𝐷)) = (((𝐴 − 𝑂)𝐺(𝐵 − 𝑂)) · (𝐷 − 𝐶)))
69	57, 61, 68	3eqtrd 2775	1 ⊢ (𝜑 → (((𝐶 − 𝑂)𝐺(𝐴 − 𝑂)) · (𝐵 − 𝐷)) = (((𝐴 − 𝑂)𝐺(𝐵 − 𝑂)) · (𝐷 − 𝐶)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1086   = wceq 1541   ∈ wcel 2113   ≠ wne 2932  ‘cfv 6492  (class class class)co 7358   ∈ cmpo 7360  ℂcc 11024  ℝcr 11025  0cc0 11026   · cmul 11031   − cmin 11364  -cneg 11365  ∗ccj 15019  ℑcim 15021

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680  ax-resscn 11083  ax-1cn 11084  ax-icn 11085  ax-addcl 11086  ax-addrcl 11087  ax-mulcl 11088  ax-mulrcl 11089  ax-mulcom 11090  ax-addass 11091  ax-mulass 11092  ax-distr 11093  ax-i2m1 11094  ax-1ne0 11095  ax-1rid 11096  ax-rnegex 11097  ax-rrecex 11098  ax-cnre 11099  ax-pre-lttri 11100  ax-pre-lttrn 11101  ax-pre-ltadd 11102  ax-pre-mulgt0 11103

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3350  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-pss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-iun 4948  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-tr 5206  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7809  df-2nd 7934  df-frecs 8223  df-wrecs 8254  df-recs 8303  df-rdg 8341  df-er 8635  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-pnf 11168  df-mnf 11169  df-xr 11170  df-ltxr 11171  df-le 11172  df-sub 11366  df-neg 11367  df-div 11795  df-nn 12146  df-2 12208  df-cj 15022  df-re 15023  df-im 15024

This theorem is referenced by:  cevath  47113