Theorem cevathlem2 44010

Description: Ceva's theorem second lemma. Relate (doubled) areas of triangles 𝐶𝐴𝑂 and 𝐴𝐵𝑂 with of segments 𝐵𝐷 and 𝐷𝐶. (Contributed by Saveliy Skresanov, 24-Sep-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
cevath.sigar	⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ ℂ, 𝑦 ∈ ℂ ↦ (ℑ‘((∗‘𝑥) · 𝑦)))
cevath.a	⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ))
cevath.b	⊢ (𝜑 → (𝐹 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐸 ∈ ℂ))
cevath.c	⊢ (𝜑 → 𝑂 ∈ ℂ)
cevath.d	⊢ (𝜑 → (((𝐴 − 𝑂)𝐺(𝐷 − 𝑂)) = 0 ∧ ((𝐵 − 𝑂)𝐺(𝐸 − 𝑂)) = 0 ∧ ((𝐶 − 𝑂)𝐺(𝐹 − 𝑂)) = 0))
cevath.e	⊢ (𝜑 → (((𝐴 − 𝐹)𝐺(𝐵 − 𝐹)) = 0 ∧ ((𝐵 − 𝐷)𝐺(𝐶 − 𝐷)) = 0 ∧ ((𝐶 − 𝐸)𝐺(𝐴 − 𝐸)) = 0))
cevath.f	⊢ (𝜑 → (((𝐴 − 𝑂)𝐺(𝐵 − 𝑂)) ≠ 0 ∧ ((𝐵 − 𝑂)𝐺(𝐶 − 𝑂)) ≠ 0 ∧ ((𝐶 − 𝑂)𝐺(𝐴 − 𝑂)) ≠ 0))

Assertion

Ref	Expression
cevathlem2	⊢ (𝜑 → (((𝐶 − 𝑂)𝐺(𝐴 − 𝑂)) · (𝐵 − 𝐷)) = (((𝐴 − 𝑂)𝐺(𝐵 − 𝑂)) · (𝐷 − 𝐶)))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐴   𝑥,𝐵,𝑦   𝑥,𝐶,𝑦   𝑥,𝐷,𝑦   𝑥,𝑂,𝑦   𝑥,𝐸,𝑦   𝑥,𝐹,𝑦

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦)   𝐺(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem cevathlem2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cevath.sigar	. . . . . . 7 ⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ ℂ, 𝑦 ∈ ℂ ↦ (ℑ‘((∗‘𝑥) · 𝑦)))
2		cevath.b	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐸 ∈ ℂ))
3	2	simp2d 1145	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℂ)
4		cevath.a	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ))
5	4	simp1d 1144	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
6	4	simp2d 1145	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
7	3, 5, 6	3jca 1130	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ))
8		cevath.c	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑂 ∈ ℂ)
9	5, 8	subcld 11172	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝑂) ∈ ℂ)
10	3, 8	subcld 11172	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐷 − 𝑂) ∈ ℂ)
11	9, 10	jca 515	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 − 𝑂) ∈ ℂ ∧ (𝐷 − 𝑂) ∈ ℂ))
12		cevath.d	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 − 𝑂)𝐺(𝐷 − 𝑂)) = 0 ∧ ((𝐵 − 𝑂)𝐺(𝐸 − 𝑂)) = 0 ∧ ((𝐶 − 𝑂)𝐺(𝐹 − 𝑂)) = 0))
13	12	simp1d 1144	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 − 𝑂)𝐺(𝐷 − 𝑂)) = 0)
14	1, 11, 13	sigariz 44005	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝐷 − 𝑂)𝐺(𝐴 − 𝑂)) = 0)
15	8, 14	jca 515	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑂 ∈ ℂ ∧ ((𝐷 − 𝑂)𝐺(𝐴 − 𝑂)) = 0))
16	1, 7, 15	sigaradd 44008	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 − 𝐵)𝐺(𝐷 − 𝐵)) − ((𝑂 − 𝐵)𝐺(𝐷 − 𝐵))) = ((𝐴 − 𝐵)𝐺(𝑂 − 𝐵)))
17	1	sigarperm 44002	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑂 ∈ ℂ) → ((𝐵 − 𝑂)𝐺(𝐴 − 𝑂)) = ((𝐴 − 𝐵)𝐺(𝑂 − 𝐵)))
18	6, 5, 8, 17	syl3anc 1373	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 − 𝑂)𝐺(𝐴 − 𝑂)) = ((𝐴 − 𝐵)𝐺(𝑂 − 𝐵)))
19	16, 18	eqtr4d 2777	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 − 𝐵)𝐺(𝐷 − 𝐵)) − ((𝑂 − 𝐵)𝐺(𝐷 − 𝐵))) = ((𝐵 − 𝑂)𝐺(𝐴 − 𝑂)))
20	19	oveq1d 7217	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((((𝐴 − 𝐵)𝐺(𝐷 − 𝐵)) − ((𝑂 − 𝐵)𝐺(𝐷 − 𝐵))) · (𝐶 − 𝐷)) = (((𝐵 − 𝑂)𝐺(𝐴 − 𝑂)) · (𝐶 − 𝐷)))
21	5, 6	subcld 11172	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝐵) ∈ ℂ)
22	3, 6	subcld 11172	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐷 − 𝐵) ∈ ℂ)
23	21, 22	jca 515	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 − 𝐵) ∈ ℂ ∧ (𝐷 − 𝐵) ∈ ℂ))
24	1, 23	sigarimcd 44004	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 − 𝐵)𝐺(𝐷 − 𝐵)) ∈ ℂ)
25	8, 6	subcld 11172	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑂 − 𝐵) ∈ ℂ)
26	25, 22	jca 515	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑂 − 𝐵) ∈ ℂ ∧ (𝐷 − 𝐵) ∈ ℂ))
27	1, 26	sigarimcd 44004	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑂 − 𝐵)𝐺(𝐷 − 𝐵)) ∈ ℂ)
28	4	simp3d 1146	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
29	28, 3	subcld 11172	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐶 − 𝐷) ∈ ℂ)
30	24, 27, 29	subdird 11272	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((((𝐴 − 𝐵)𝐺(𝐷 − 𝐵)) − ((𝑂 − 𝐵)𝐺(𝐷 − 𝐵))) · (𝐶 − 𝐷)) = ((((𝐴 − 𝐵)𝐺(𝐷 − 𝐵)) · (𝐶 − 𝐷)) − (((𝑂 − 𝐵)𝐺(𝐷 − 𝐵)) · (𝐶 − 𝐷))))
31	20, 30	eqtr3d 2776	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((𝐵 − 𝑂)𝐺(𝐴 − 𝑂)) · (𝐶 − 𝐷)) = ((((𝐴 − 𝐵)𝐺(𝐷 − 𝐵)) · (𝐶 − 𝐷)) − (((𝑂 − 𝐵)𝐺(𝐷 − 𝐵)) · (𝐶 − 𝐷))))
32	6, 28, 5	3jca 1130	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ))
33		cevath.e	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 − 𝐹)𝐺(𝐵 − 𝐹)) = 0 ∧ ((𝐵 − 𝐷)𝐺(𝐶 − 𝐷)) = 0 ∧ ((𝐶 − 𝐸)𝐺(𝐴 − 𝐸)) = 0))
34	33	simp2d 1145	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 − 𝐷)𝐺(𝐶 − 𝐷)) = 0)
35	3, 34	jca 515	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐷 ∈ ℂ ∧ ((𝐵 − 𝐷)𝐺(𝐶 − 𝐷)) = 0))
36	1, 32, 35	sharhght 44007	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 − 𝐵)𝐺(𝐷 − 𝐵)) · (𝐶 − 𝐷)) = (((𝐴 − 𝐶)𝐺(𝐷 − 𝐶)) · (𝐵 − 𝐷)))
37	6, 28, 8	3jca 1130	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝑂 ∈ ℂ))
38	1, 37, 35	sharhght 44007	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((𝑂 − 𝐵)𝐺(𝐷 − 𝐵)) · (𝐶 − 𝐷)) = (((𝑂 − 𝐶)𝐺(𝐷 − 𝐶)) · (𝐵 − 𝐷)))
39	36, 38	oveq12d 7220	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((((𝐴 − 𝐵)𝐺(𝐷 − 𝐵)) · (𝐶 − 𝐷)) − (((𝑂 − 𝐵)𝐺(𝐷 − 𝐵)) · (𝐶 − 𝐷))) = ((((𝐴 − 𝐶)𝐺(𝐷 − 𝐶)) · (𝐵 − 𝐷)) − (((𝑂 − 𝐶)𝐺(𝐷 − 𝐶)) · (𝐵 − 𝐷))))
40	5, 28	subcld 11172	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝐶) ∈ ℂ)
41	3, 28	subcld 11172	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐷 − 𝐶) ∈ ℂ)
42	1	sigarim 43993	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 − 𝐶) ∈ ℂ ∧ (𝐷 − 𝐶) ∈ ℂ) → ((𝐴 − 𝐶)𝐺(𝐷 − 𝐶)) ∈ ℝ)
43	40, 41, 42	syl2anc 587	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 − 𝐶)𝐺(𝐷 − 𝐶)) ∈ ℝ)
44	43	recnd 10844	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 − 𝐶)𝐺(𝐷 − 𝐶)) ∈ ℂ)
45	8, 28	subcld 11172	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑂 − 𝐶) ∈ ℂ)
46	45, 41	jca 515	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑂 − 𝐶) ∈ ℂ ∧ (𝐷 − 𝐶) ∈ ℂ))
47	1, 46	sigarimcd 44004	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑂 − 𝐶)𝐺(𝐷 − 𝐶)) ∈ ℂ)
48	6, 3	subcld 11172	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐵 − 𝐷) ∈ ℂ)
49	44, 47, 48	subdird 11272	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((((𝐴 − 𝐶)𝐺(𝐷 − 𝐶)) − ((𝑂 − 𝐶)𝐺(𝐷 − 𝐶))) · (𝐵 − 𝐷)) = ((((𝐴 − 𝐶)𝐺(𝐷 − 𝐶)) · (𝐵 − 𝐷)) − (((𝑂 − 𝐶)𝐺(𝐷 − 𝐶)) · (𝐵 − 𝐷))))
50	3, 5, 28	3jca 1130	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ))
51	1, 50, 15	sigaradd 44008	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 − 𝐶)𝐺(𝐷 − 𝐶)) − ((𝑂 − 𝐶)𝐺(𝐷 − 𝐶))) = ((𝐴 − 𝐶)𝐺(𝑂 − 𝐶)))
52	1	sigarperm 44002	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑂 ∈ ℂ) → ((𝐶 − 𝑂)𝐺(𝐴 − 𝑂)) = ((𝐴 − 𝐶)𝐺(𝑂 − 𝐶)))
53	28, 5, 8, 52	syl3anc 1373	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 − 𝑂)𝐺(𝐴 − 𝑂)) = ((𝐴 − 𝐶)𝐺(𝑂 − 𝐶)))
54	51, 53	eqtr4d 2777	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 − 𝐶)𝐺(𝐷 − 𝐶)) − ((𝑂 − 𝐶)𝐺(𝐷 − 𝐶))) = ((𝐶 − 𝑂)𝐺(𝐴 − 𝑂)))
55	54	oveq1d 7217	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((((𝐴 − 𝐶)𝐺(𝐷 − 𝐶)) − ((𝑂 − 𝐶)𝐺(𝐷 − 𝐶))) · (𝐵 − 𝐷)) = (((𝐶 − 𝑂)𝐺(𝐴 − 𝑂)) · (𝐵 − 𝐷)))
56	49, 55	eqtr3d 2776	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((((𝐴 − 𝐶)𝐺(𝐷 − 𝐶)) · (𝐵 − 𝐷)) − (((𝑂 − 𝐶)𝐺(𝐷 − 𝐶)) · (𝐵 − 𝐷))) = (((𝐶 − 𝑂)𝐺(𝐴 − 𝑂)) · (𝐵 − 𝐷)))
57	31, 39, 56	3eqtrrd 2779	. 2 ⊢ (𝜑 → (((𝐶 − 𝑂)𝐺(𝐴 − 𝑂)) · (𝐵 − 𝐷)) = (((𝐵 − 𝑂)𝐺(𝐴 − 𝑂)) · (𝐶 − 𝐷)))
58	6, 8	subcld 11172	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐵 − 𝑂) ∈ ℂ)
59	1	sigarac 43994	. . . 4 ⊢ (((𝐵 − 𝑂) ∈ ℂ ∧ (𝐴 − 𝑂) ∈ ℂ) → ((𝐵 − 𝑂)𝐺(𝐴 − 𝑂)) = -((𝐴 − 𝑂)𝐺(𝐵 − 𝑂)))
60	58, 9, 59	syl2anc 587	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 − 𝑂)𝐺(𝐴 − 𝑂)) = -((𝐴 − 𝑂)𝐺(𝐵 − 𝑂)))
61	60	oveq1d 7217	. 2 ⊢ (𝜑 → (((𝐵 − 𝑂)𝐺(𝐴 − 𝑂)) · (𝐶 − 𝐷)) = (-((𝐴 − 𝑂)𝐺(𝐵 − 𝑂)) · (𝐶 − 𝐷)))
62	9, 58	jca 515	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 − 𝑂) ∈ ℂ ∧ (𝐵 − 𝑂) ∈ ℂ))
63	1, 62	sigarimcd 44004	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 − 𝑂)𝐺(𝐵 − 𝑂)) ∈ ℂ)
64		mulneg12 11253	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 − 𝑂)𝐺(𝐵 − 𝑂)) ∈ ℂ ∧ (𝐶 − 𝐷) ∈ ℂ) → (-((𝐴 − 𝑂)𝐺(𝐵 − 𝑂)) · (𝐶 − 𝐷)) = (((𝐴 − 𝑂)𝐺(𝐵 − 𝑂)) · -(𝐶 − 𝐷)))
65	63, 29, 64	syl2anc 587	. . 3 ⊢ (𝜑 → (-((𝐴 − 𝑂)𝐺(𝐵 − 𝑂)) · (𝐶 − 𝐷)) = (((𝐴 − 𝑂)𝐺(𝐵 − 𝑂)) · -(𝐶 − 𝐷)))
66	28, 3	negsubdi2d 11188	. . . 4 ⊢ (𝜑 → -(𝐶 − 𝐷) = (𝐷 − 𝐶))
67	66	oveq2d 7218	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 − 𝑂)𝐺(𝐵 − 𝑂)) · -(𝐶 − 𝐷)) = (((𝐴 − 𝑂)𝐺(𝐵 − 𝑂)) · (𝐷 − 𝐶)))
68	65, 67	eqtrd 2774	. 2 ⊢ (𝜑 → (-((𝐴 − 𝑂)𝐺(𝐵 − 𝑂)) · (𝐶 − 𝐷)) = (((𝐴 − 𝑂)𝐺(𝐵 − 𝑂)) · (𝐷 − 𝐶)))
69	57, 61, 68	3eqtrd 2778	1 ⊢ (𝜑 → (((𝐶 − 𝑂)𝐺(𝐴 − 𝑂)) · (𝐵 − 𝐷)) = (((𝐴 − 𝑂)𝐺(𝐵 − 𝑂)) · (𝐷 − 𝐶)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1089   = wceq 1543   ∈ wcel 2110   ≠ wne 2935  ‘cfv 6369  (class class class)co 7202   ∈ cmpo 7204  ℂcc 10710  ℝcr 10711  0cc0 10712   · cmul 10717   − cmin 11045  -cneg 11046  ∗ccj 14642  ℑcim 14644

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2016  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5181  ax-nul 5188  ax-pow 5247  ax-pr 5311  ax-un 7512  ax-resscn 10769  ax-1cn 10770  ax-icn 10771  ax-addcl 10772  ax-addrcl 10773  ax-mulcl 10774  ax-mulrcl 10775  ax-mulcom 10776  ax-addass 10777  ax-mulass 10778  ax-distr 10779  ax-i2m1 10780  ax-1ne0 10781  ax-1rid 10782  ax-rnegex 10783  ax-rrecex 10784  ax-cnre 10785  ax-pre-lttri 10786  ax-pre-lttrn 10787  ax-pre-ltadd 10788  ax-pre-mulgt0 10789

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3or 1090  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2071  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2812  df-nfc 2882  df-ne 2936  df-nel 3040  df-ral 3059  df-rex 3060  df-reu 3061  df-rmo 3062  df-rab 3063  df-v 3403  df-sbc 3688  df-csb 3803  df-dif 3860  df-un 3862  df-in 3864  df-ss 3874  df-nul 4228  df-if 4430  df-pw 4505  df-sn 4532  df-pr 4534  df-op 4538  df-uni 4810  df-br 5044  df-opab 5106  df-mpt 5125  df-id 5444  df-po 5457  df-so 5458  df-xp 5546  df-rel 5547  df-cnv 5548  df-co 5549  df-dm 5550  df-rn 5551  df-res 5552  df-ima 5553  df-iota 6327  df-fun 6371  df-fn 6372  df-f 6373  df-f1 6374  df-fo 6375  df-f1o 6376  df-fv 6377  df-riota 7159  df-ov 7205  df-oprab 7206  df-mpo 7207  df-er 8380  df-en 8616  df-dom 8617  df-sdom 8618  df-pnf 10852  df-mnf 10853  df-xr 10854  df-ltxr 10855  df-le 10856  df-sub 11047  df-neg 11048  df-div 11473  df-2 11876  df-cj 14645  df-re 14646  df-im 14647

This theorem is referenced by:  cevath  44011