Theorem cevath 43908

Description: Ceva's theorem. Let 𝐴𝐵𝐶 be a triangle and let points 𝐹, 𝐷 and 𝐸 lie on sides 𝐴𝐵, 𝐵𝐶, 𝐶𝐴 correspondingly. Suppose that cevians 𝐴𝐷, 𝐵𝐸 and 𝐶𝐹 intersect at one point 𝑂. Then triangle's sides are partitioned into segments and their lengths satisfy a certain identity. Here we obtain a bit stronger version by using complex numbers themselves instead of their absolute values.

The proof goes by applying cevathlem2 43907 three times and then using cevathlem1 43906 to multiply obtained identities and prove the theorem.

In the theorem statement we are using function 𝐺 as a collinearity indicator. For justification of that use, see sigarcol 43903. This is Metamath 100 proof #61. (Contributed by Saveliy Skresanov, 24-Sep-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
cevath.sigar	⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ ℂ, 𝑦 ∈ ℂ ↦ (ℑ‘((∗‘𝑥) · 𝑦)))
cevath.a	⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ))
cevath.b	⊢ (𝜑 → (𝐹 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐸 ∈ ℂ))
cevath.c	⊢ (𝜑 → 𝑂 ∈ ℂ)
cevath.d	⊢ (𝜑 → (((𝐴 − 𝑂)𝐺(𝐷 − 𝑂)) = 0 ∧ ((𝐵 − 𝑂)𝐺(𝐸 − 𝑂)) = 0 ∧ ((𝐶 − 𝑂)𝐺(𝐹 − 𝑂)) = 0))
cevath.e	⊢ (𝜑 → (((𝐴 − 𝐹)𝐺(𝐵 − 𝐹)) = 0 ∧ ((𝐵 − 𝐷)𝐺(𝐶 − 𝐷)) = 0 ∧ ((𝐶 − 𝐸)𝐺(𝐴 − 𝐸)) = 0))
cevath.f	⊢ (𝜑 → (((𝐴 − 𝑂)𝐺(𝐵 − 𝑂)) ≠ 0 ∧ ((𝐵 − 𝑂)𝐺(𝐶 − 𝑂)) ≠ 0 ∧ ((𝐶 − 𝑂)𝐺(𝐴 − 𝑂)) ≠ 0))

Assertion

Ref	Expression
cevath	⊢ (𝜑 → (((𝐴 − 𝐹) · (𝐶 − 𝐸)) · (𝐵 − 𝐷)) = (((𝐹 − 𝐵) · (𝐸 − 𝐴)) · (𝐷 − 𝐶)))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐴   𝑥,𝐵,𝑦   𝑥,𝐶,𝑦   𝑥,𝐷,𝑦   𝑥,𝑂,𝑦   𝑥,𝐸,𝑦   𝑥,𝐹,𝑦

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦)   𝐺(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem cevath

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cevath.sigar	. . . 4 ⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ ℂ, 𝑦 ∈ ℂ ↦ (ℑ‘((∗‘𝑥) · 𝑦)))
2		cevath.a	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ))
3	2	simp2d 1144	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
4		cevath.c	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑂 ∈ ℂ)
5	3, 4	subcld 11068	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐵 − 𝑂) ∈ ℂ)
6	2	simp3d 1145	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
7	6, 4	subcld 11068	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐶 − 𝑂) ∈ ℂ)
8	5, 7	jca 515	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 − 𝑂) ∈ ℂ ∧ (𝐶 − 𝑂) ∈ ℂ))
9	1, 8	sigarimcd 43901	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 − 𝑂)𝐺(𝐶 − 𝑂)) ∈ ℂ)
10	2	simp1d 1143	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
11		cevath.b	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐸 ∈ ℂ))
12	11	simp1d 1143	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ ℂ)
13	10, 12	subcld 11068	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝐹) ∈ ℂ)
14	10, 4	subcld 11068	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝑂) ∈ ℂ)
15	7, 14	jca 515	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 − 𝑂) ∈ ℂ ∧ (𝐴 − 𝑂) ∈ ℂ))
16	1, 15	sigarimcd 43901	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 − 𝑂)𝐺(𝐴 − 𝑂)) ∈ ℂ)
17	9, 13, 16	3jca 1129	. 2 ⊢ (𝜑 → (((𝐵 − 𝑂)𝐺(𝐶 − 𝑂)) ∈ ℂ ∧ (𝐴 − 𝐹) ∈ ℂ ∧ ((𝐶 − 𝑂)𝐺(𝐴 − 𝑂)) ∈ ℂ))
18	12, 3	subcld 11068	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹 − 𝐵) ∈ ℂ)
19	14, 5	jca 515	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 − 𝑂) ∈ ℂ ∧ (𝐵 − 𝑂) ∈ ℂ))
20	1, 19	sigarimcd 43901	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 − 𝑂)𝐺(𝐵 − 𝑂)) ∈ ℂ)
21	11	simp3d 1145	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ ℂ)
22	6, 21	subcld 11068	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐶 − 𝐸) ∈ ℂ)
23	18, 20, 22	3jca 1129	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐹 − 𝐵) ∈ ℂ ∧ ((𝐴 − 𝑂)𝐺(𝐵 − 𝑂)) ∈ ℂ ∧ (𝐶 − 𝐸) ∈ ℂ))
24	21, 10	subcld 11068	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐸 − 𝐴) ∈ ℂ)
25	11	simp2d 1144	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℂ)
26	3, 25	subcld 11068	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐵 − 𝐷) ∈ ℂ)
27	25, 6	subcld 11068	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐷 − 𝐶) ∈ ℂ)
28	24, 26, 27	3jca 1129	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐸 − 𝐴) ∈ ℂ ∧ (𝐵 − 𝐷) ∈ ℂ ∧ (𝐷 − 𝐶) ∈ ℂ))
29		cevath.f	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 − 𝑂)𝐺(𝐵 − 𝑂)) ≠ 0 ∧ ((𝐵 − 𝑂)𝐺(𝐶 − 𝑂)) ≠ 0 ∧ ((𝐶 − 𝑂)𝐺(𝐴 − 𝑂)) ≠ 0))
30	29	simp2d 1144	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 − 𝑂)𝐺(𝐶 − 𝑂)) ≠ 0)
31	29	simp1d 1143	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 − 𝑂)𝐺(𝐵 − 𝑂)) ≠ 0)
32	29	simp3d 1145	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 − 𝑂)𝐺(𝐴 − 𝑂)) ≠ 0)
33	30, 31, 32	3jca 1129	. 2 ⊢ (𝜑 → (((𝐵 − 𝑂)𝐺(𝐶 − 𝑂)) ≠ 0 ∧ ((𝐴 − 𝑂)𝐺(𝐵 − 𝑂)) ≠ 0 ∧ ((𝐶 − 𝑂)𝐺(𝐴 − 𝑂)) ≠ 0))
34	6, 10, 3	3jca 1129	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ))
35	21, 12, 25	3jca 1129	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐸 ∈ ℂ ∧ 𝐹 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ))
36		cevath.d	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 − 𝑂)𝐺(𝐷 − 𝑂)) = 0 ∧ ((𝐵 − 𝑂)𝐺(𝐸 − 𝑂)) = 0 ∧ ((𝐶 − 𝑂)𝐺(𝐹 − 𝑂)) = 0))
37	36	simp3d 1145	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 − 𝑂)𝐺(𝐹 − 𝑂)) = 0)
38	36	simp1d 1143	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 − 𝑂)𝐺(𝐷 − 𝑂)) = 0)
39	36	simp2d 1144	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 − 𝑂)𝐺(𝐸 − 𝑂)) = 0)
40	37, 38, 39	3jca 1129	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((𝐶 − 𝑂)𝐺(𝐹 − 𝑂)) = 0 ∧ ((𝐴 − 𝑂)𝐺(𝐷 − 𝑂)) = 0 ∧ ((𝐵 − 𝑂)𝐺(𝐸 − 𝑂)) = 0))
41		cevath.e	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 − 𝐹)𝐺(𝐵 − 𝐹)) = 0 ∧ ((𝐵 − 𝐷)𝐺(𝐶 − 𝐷)) = 0 ∧ ((𝐶 − 𝐸)𝐺(𝐴 − 𝐸)) = 0))
42	41	simp3d 1145	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 − 𝐸)𝐺(𝐴 − 𝐸)) = 0)
43	41	simp1d 1143	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 − 𝐹)𝐺(𝐵 − 𝐹)) = 0)
44	41	simp2d 1144	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 − 𝐷)𝐺(𝐶 − 𝐷)) = 0)
45	42, 43, 44	3jca 1129	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((𝐶 − 𝐸)𝐺(𝐴 − 𝐸)) = 0 ∧ ((𝐴 − 𝐹)𝐺(𝐵 − 𝐹)) = 0 ∧ ((𝐵 − 𝐷)𝐺(𝐶 − 𝐷)) = 0))
46	32, 31, 30	3jca 1129	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((𝐶 − 𝑂)𝐺(𝐴 − 𝑂)) ≠ 0 ∧ ((𝐴 − 𝑂)𝐺(𝐵 − 𝑂)) ≠ 0 ∧ ((𝐵 − 𝑂)𝐺(𝐶 − 𝑂)) ≠ 0))
47	1, 34, 35, 4, 40, 45, 46	cevathlem2 43907	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((𝐵 − 𝑂)𝐺(𝐶 − 𝑂)) · (𝐴 − 𝐹)) = (((𝐶 − 𝑂)𝐺(𝐴 − 𝑂)) · (𝐹 − 𝐵)))
48	3, 6, 10	3jca 1129	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ))
49	25, 21, 12	3jca 1129	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐸 ∈ ℂ ∧ 𝐹 ∈ ℂ))
50	39, 37, 38	3jca 1129	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((𝐵 − 𝑂)𝐺(𝐸 − 𝑂)) = 0 ∧ ((𝐶 − 𝑂)𝐺(𝐹 − 𝑂)) = 0 ∧ ((𝐴 − 𝑂)𝐺(𝐷 − 𝑂)) = 0))
51	44, 42, 43	3jca 1129	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((𝐵 − 𝐷)𝐺(𝐶 − 𝐷)) = 0 ∧ ((𝐶 − 𝐸)𝐺(𝐴 − 𝐸)) = 0 ∧ ((𝐴 − 𝐹)𝐺(𝐵 − 𝐹)) = 0))
52	30, 32, 31	3jca 1129	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((𝐵 − 𝑂)𝐺(𝐶 − 𝑂)) ≠ 0 ∧ ((𝐶 − 𝑂)𝐺(𝐴 − 𝑂)) ≠ 0 ∧ ((𝐴 − 𝑂)𝐺(𝐵 − 𝑂)) ≠ 0))
53	1, 48, 49, 4, 50, 51, 52	cevathlem2 43907	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 − 𝑂)𝐺(𝐵 − 𝑂)) · (𝐶 − 𝐸)) = (((𝐵 − 𝑂)𝐺(𝐶 − 𝑂)) · (𝐸 − 𝐴)))
54	1, 2, 11, 4, 36, 41, 29	cevathlem2 43907	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((𝐶 − 𝑂)𝐺(𝐴 − 𝑂)) · (𝐵 − 𝐷)) = (((𝐴 − 𝑂)𝐺(𝐵 − 𝑂)) · (𝐷 − 𝐶)))
55	47, 53, 54	3jca 1129	. 2 ⊢ (𝜑 → ((((𝐵 − 𝑂)𝐺(𝐶 − 𝑂)) · (𝐴 − 𝐹)) = (((𝐶 − 𝑂)𝐺(𝐴 − 𝑂)) · (𝐹 − 𝐵)) ∧ (((𝐴 − 𝑂)𝐺(𝐵 − 𝑂)) · (𝐶 − 𝐸)) = (((𝐵 − 𝑂)𝐺(𝐶 − 𝑂)) · (𝐸 − 𝐴)) ∧ (((𝐶 − 𝑂)𝐺(𝐴 − 𝑂)) · (𝐵 − 𝐷)) = (((𝐴 − 𝑂)𝐺(𝐵 − 𝑂)) · (𝐷 − 𝐶))))
56	17, 23, 28, 33, 55	cevathlem1 43906	1 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 − 𝐹) · (𝐶 − 𝐸)) · (𝐵 − 𝐷)) = (((𝐹 − 𝐵) · (𝐸 − 𝐴)) · (𝐷 − 𝐶)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2113   ≠ wne 2934  ‘cfv 6333  (class class class)co 7164   ∈ cmpo 7166  ℂcc 10606  0cc0 10608   · cmul 10613   − cmin 10941  ∗ccj 14538  ℑcim 14540

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1916  ax-6 1974  ax-7 2019  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2144  ax-11 2161  ax-12 2178  ax-ext 2710  ax-sep 5164  ax-nul 5171  ax-pow 5229  ax-pr 5293  ax-un 7473  ax-resscn 10665  ax-1cn 10666  ax-icn 10667  ax-addcl 10668  ax-addrcl 10669  ax-mulcl 10670  ax-mulrcl 10671  ax-mulcom 10672  ax-addass 10673  ax-mulass 10674  ax-distr 10675  ax-i2m1 10676  ax-1ne0 10677  ax-1rid 10678  ax-rnegex 10679  ax-rrecex 10680  ax-cnre 10681  ax-pre-lttri 10682  ax-pre-lttrn 10683  ax-pre-ltadd 10684  ax-pre-mulgt0 10685

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2730  df-clel 2811  df-nfc 2881  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3058  df-rex 3059  df-reu 3060  df-rmo 3061  df-rab 3062  df-v 3399  df-sbc 3680  df-csb 3789  df-dif 3844  df-un 3846  df-in 3848  df-ss 3858  df-nul 4210  df-if 4412  df-pw 4487  df-sn 4514  df-pr 4516  df-op 4520  df-uni 4794  df-br 5028  df-opab 5090  df-mpt 5108  df-id 5425  df-po 5438  df-so 5439  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-iota 6291  df-fun 6335  df-fn 6336  df-f 6337  df-f1 6338  df-fo 6339  df-f1o 6340  df-fv 6341  df-riota 7121  df-ov 7167  df-oprab 7168  df-mpo 7169  df-er 8313  df-en 8549  df-dom 8550  df-sdom 8551  df-pnf 10748  df-mnf 10749  df-xr 10750  df-ltxr 10751  df-le 10752  df-sub 10943  df-neg 10944  df-div 11369  df-2 11772  df-cj 14541  df-re 14542  df-im 14543

This theorem is referenced by: (None)