Theorem cevath 47319

Description: Ceva's theorem. Let 𝐴𝐵𝐶 be a triangle and let points 𝐹, 𝐷 and 𝐸 lie on sides 𝐴𝐵, 𝐵𝐶, 𝐶𝐴 correspondingly. Suppose that cevians 𝐴𝐷, 𝐵𝐸 and 𝐶𝐹 intersect at one point 𝑂. Then triangle's sides are partitioned into segments and their lengths satisfy a certain identity. Here we obtain a bit stronger version by using complex numbers themselves instead of their absolute values.

The proof goes by applying cevathlem2 47318 three times and then using cevathlem1 47317 to multiply obtained identities and prove the theorem.

In the theorem statement we are using function 𝐺 as a collinearity indicator. For justification of that use, see sigarcol 47314. This is Metamath 100 proof #61. (Contributed by Saveliy Skresanov, 24-Sep-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
cevath.sigar	⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ ℂ, 𝑦 ∈ ℂ ↦ (ℑ‘((∗‘𝑥) · 𝑦)))
cevath.a	⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ))
cevath.b	⊢ (𝜑 → (𝐹 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐸 ∈ ℂ))
cevath.c	⊢ (𝜑 → 𝑂 ∈ ℂ)
cevath.d	⊢ (𝜑 → (((𝐴 − 𝑂)𝐺(𝐷 − 𝑂)) = 0 ∧ ((𝐵 − 𝑂)𝐺(𝐸 − 𝑂)) = 0 ∧ ((𝐶 − 𝑂)𝐺(𝐹 − 𝑂)) = 0))
cevath.e	⊢ (𝜑 → (((𝐴 − 𝐹)𝐺(𝐵 − 𝐹)) = 0 ∧ ((𝐵 − 𝐷)𝐺(𝐶 − 𝐷)) = 0 ∧ ((𝐶 − 𝐸)𝐺(𝐴 − 𝐸)) = 0))
cevath.f	⊢ (𝜑 → (((𝐴 − 𝑂)𝐺(𝐵 − 𝑂)) ≠ 0 ∧ ((𝐵 − 𝑂)𝐺(𝐶 − 𝑂)) ≠ 0 ∧ ((𝐶 − 𝑂)𝐺(𝐴 − 𝑂)) ≠ 0))

Assertion

Ref	Expression
cevath	⊢ (𝜑 → (((𝐴 − 𝐹) · (𝐶 − 𝐸)) · (𝐵 − 𝐷)) = (((𝐹 − 𝐵) · (𝐸 − 𝐴)) · (𝐷 − 𝐶)))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐴   𝑥,𝐵,𝑦   𝑥,𝐶,𝑦   𝑥,𝐷,𝑦   𝑥,𝑂,𝑦   𝑥,𝐸,𝑦   𝑥,𝐹,𝑦

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦)   𝐺(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem cevath

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cevath.sigar	. . . 4 ⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ ℂ, 𝑦 ∈ ℂ ↦ (ℑ‘((∗‘𝑥) · 𝑦)))
2		cevath.a	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ))
3	2	simp2d 1149	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
4		cevath.c	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑂 ∈ ℂ)
5	3, 4	subcld 11503	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐵 − 𝑂) ∈ ℂ)
6	2	simp3d 1150	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
7	6, 4	subcld 11503	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐶 − 𝑂) ∈ ℂ)
8	5, 7	jca 516	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 − 𝑂) ∈ ℂ ∧ (𝐶 − 𝑂) ∈ ℂ))
9	1, 8	sigarimcd 47312	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 − 𝑂)𝐺(𝐶 − 𝑂)) ∈ ℂ)
10	2	simp1d 1148	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
11		cevath.b	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐸 ∈ ℂ))
12	11	simp1d 1148	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ ℂ)
13	10, 12	subcld 11503	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝐹) ∈ ℂ)
14	10, 4	subcld 11503	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝑂) ∈ ℂ)
15	7, 14	jca 516	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 − 𝑂) ∈ ℂ ∧ (𝐴 − 𝑂) ∈ ℂ))
16	1, 15	sigarimcd 47312	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 − 𝑂)𝐺(𝐴 − 𝑂)) ∈ ℂ)
17	9, 13, 16	3jca 1134	. 2 ⊢ (𝜑 → (((𝐵 − 𝑂)𝐺(𝐶 − 𝑂)) ∈ ℂ ∧ (𝐴 − 𝐹) ∈ ℂ ∧ ((𝐶 − 𝑂)𝐺(𝐴 − 𝑂)) ∈ ℂ))
18	12, 3	subcld 11503	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹 − 𝐵) ∈ ℂ)
19	14, 5	jca 516	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 − 𝑂) ∈ ℂ ∧ (𝐵 − 𝑂) ∈ ℂ))
20	1, 19	sigarimcd 47312	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 − 𝑂)𝐺(𝐵 − 𝑂)) ∈ ℂ)
21	11	simp3d 1150	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ ℂ)
22	6, 21	subcld 11503	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐶 − 𝐸) ∈ ℂ)
23	18, 20, 22	3jca 1134	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐹 − 𝐵) ∈ ℂ ∧ ((𝐴 − 𝑂)𝐺(𝐵 − 𝑂)) ∈ ℂ ∧ (𝐶 − 𝐸) ∈ ℂ))
24	21, 10	subcld 11503	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐸 − 𝐴) ∈ ℂ)
25	11	simp2d 1149	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℂ)
26	3, 25	subcld 11503	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐵 − 𝐷) ∈ ℂ)
27	25, 6	subcld 11503	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐷 − 𝐶) ∈ ℂ)
28	24, 26, 27	3jca 1134	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐸 − 𝐴) ∈ ℂ ∧ (𝐵 − 𝐷) ∈ ℂ ∧ (𝐷 − 𝐶) ∈ ℂ))
29		cevath.f	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 − 𝑂)𝐺(𝐵 − 𝑂)) ≠ 0 ∧ ((𝐵 − 𝑂)𝐺(𝐶 − 𝑂)) ≠ 0 ∧ ((𝐶 − 𝑂)𝐺(𝐴 − 𝑂)) ≠ 0))
30	29	simp2d 1149	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 − 𝑂)𝐺(𝐶 − 𝑂)) ≠ 0)
31	29	simp1d 1148	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 − 𝑂)𝐺(𝐵 − 𝑂)) ≠ 0)
32	29	simp3d 1150	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 − 𝑂)𝐺(𝐴 − 𝑂)) ≠ 0)
33	30, 31, 32	3jca 1134	. 2 ⊢ (𝜑 → (((𝐵 − 𝑂)𝐺(𝐶 − 𝑂)) ≠ 0 ∧ ((𝐴 − 𝑂)𝐺(𝐵 − 𝑂)) ≠ 0 ∧ ((𝐶 − 𝑂)𝐺(𝐴 − 𝑂)) ≠ 0))
34	6, 10, 3	3jca 1134	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ))
35	21, 12, 25	3jca 1134	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐸 ∈ ℂ ∧ 𝐹 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ))
36		cevath.d	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 − 𝑂)𝐺(𝐷 − 𝑂)) = 0 ∧ ((𝐵 − 𝑂)𝐺(𝐸 − 𝑂)) = 0 ∧ ((𝐶 − 𝑂)𝐺(𝐹 − 𝑂)) = 0))
37	36	simp3d 1150	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 − 𝑂)𝐺(𝐹 − 𝑂)) = 0)
38	36	simp1d 1148	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 − 𝑂)𝐺(𝐷 − 𝑂)) = 0)
39	36	simp2d 1149	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 − 𝑂)𝐺(𝐸 − 𝑂)) = 0)
40	37, 38, 39	3jca 1134	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((𝐶 − 𝑂)𝐺(𝐹 − 𝑂)) = 0 ∧ ((𝐴 − 𝑂)𝐺(𝐷 − 𝑂)) = 0 ∧ ((𝐵 − 𝑂)𝐺(𝐸 − 𝑂)) = 0))
41		cevath.e	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 − 𝐹)𝐺(𝐵 − 𝐹)) = 0 ∧ ((𝐵 − 𝐷)𝐺(𝐶 − 𝐷)) = 0 ∧ ((𝐶 − 𝐸)𝐺(𝐴 − 𝐸)) = 0))
42	41	simp3d 1150	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 − 𝐸)𝐺(𝐴 − 𝐸)) = 0)
43	41	simp1d 1148	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 − 𝐹)𝐺(𝐵 − 𝐹)) = 0)
44	41	simp2d 1149	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 − 𝐷)𝐺(𝐶 − 𝐷)) = 0)
45	42, 43, 44	3jca 1134	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((𝐶 − 𝐸)𝐺(𝐴 − 𝐸)) = 0 ∧ ((𝐴 − 𝐹)𝐺(𝐵 − 𝐹)) = 0 ∧ ((𝐵 − 𝐷)𝐺(𝐶 − 𝐷)) = 0))
46	32, 31, 30	3jca 1134	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((𝐶 − 𝑂)𝐺(𝐴 − 𝑂)) ≠ 0 ∧ ((𝐴 − 𝑂)𝐺(𝐵 − 𝑂)) ≠ 0 ∧ ((𝐵 − 𝑂)𝐺(𝐶 − 𝑂)) ≠ 0))
47	1, 34, 35, 4, 40, 45, 46	cevathlem2 47318	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((𝐵 − 𝑂)𝐺(𝐶 − 𝑂)) · (𝐴 − 𝐹)) = (((𝐶 − 𝑂)𝐺(𝐴 − 𝑂)) · (𝐹 − 𝐵)))
48	3, 6, 10	3jca 1134	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ))
49	25, 21, 12	3jca 1134	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐸 ∈ ℂ ∧ 𝐹 ∈ ℂ))
50	39, 37, 38	3jca 1134	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((𝐵 − 𝑂)𝐺(𝐸 − 𝑂)) = 0 ∧ ((𝐶 − 𝑂)𝐺(𝐹 − 𝑂)) = 0 ∧ ((𝐴 − 𝑂)𝐺(𝐷 − 𝑂)) = 0))
51	44, 42, 43	3jca 1134	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((𝐵 − 𝐷)𝐺(𝐶 − 𝐷)) = 0 ∧ ((𝐶 − 𝐸)𝐺(𝐴 − 𝐸)) = 0 ∧ ((𝐴 − 𝐹)𝐺(𝐵 − 𝐹)) = 0))
52	30, 32, 31	3jca 1134	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((𝐵 − 𝑂)𝐺(𝐶 − 𝑂)) ≠ 0 ∧ ((𝐶 − 𝑂)𝐺(𝐴 − 𝑂)) ≠ 0 ∧ ((𝐴 − 𝑂)𝐺(𝐵 − 𝑂)) ≠ 0))
53	1, 48, 49, 4, 50, 51, 52	cevathlem2 47318	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 − 𝑂)𝐺(𝐵 − 𝑂)) · (𝐶 − 𝐸)) = (((𝐵 − 𝑂)𝐺(𝐶 − 𝑂)) · (𝐸 − 𝐴)))
54	1, 2, 11, 4, 36, 41, 29	cevathlem2 47318	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((𝐶 − 𝑂)𝐺(𝐴 − 𝑂)) · (𝐵 − 𝐷)) = (((𝐴 − 𝑂)𝐺(𝐵 − 𝑂)) · (𝐷 − 𝐶)))
55	47, 53, 54	3jca 1134	. 2 ⊢ (𝜑 → ((((𝐵 − 𝑂)𝐺(𝐶 − 𝑂)) · (𝐴 − 𝐹)) = (((𝐶 − 𝑂)𝐺(𝐴 − 𝑂)) · (𝐹 − 𝐵)) ∧ (((𝐴 − 𝑂)𝐺(𝐵 − 𝑂)) · (𝐶 − 𝐸)) = (((𝐵 − 𝑂)𝐺(𝐶 − 𝑂)) · (𝐸 − 𝐴)) ∧ (((𝐶 − 𝑂)𝐺(𝐴 − 𝑂)) · (𝐵 − 𝐷)) = (((𝐴 − 𝑂)𝐺(𝐵 − 𝑂)) · (𝐷 − 𝐶))))
56	17, 23, 28, 33, 55	cevathlem1 47317	1 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 − 𝐹) · (𝐶 − 𝐸)) · (𝐵 − 𝐷)) = (((𝐹 − 𝐵) · (𝐸 − 𝐴)) · (𝐷 − 𝐶)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1092   = wceq 1547   ∈ wcel 2119   ≠ wne 2935  ‘cfv 6492  (class class class)co 7363   ∈ cmpo 7365  ℂcc 11034  0cc0 11036   · cmul 11041   − cmin 11375  ∗ccj 15056  ℑcim 15058

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2712  ax-sep 5225  ax-nul 5235  ax-pow 5301  ax-pr 5369  ax-un 7685  ax-resscn 11093  ax-1cn 11094  ax-icn 11095  ax-addcl 11096  ax-addrcl 11097  ax-mulcl 11098  ax-mulrcl 11099  ax-mulcom 11100  ax-addass 11101  ax-mulass 11102  ax-distr 11103  ax-i2m1 11104  ax-1ne0 11105  ax-1rid 11106  ax-rnegex 11107  ax-rrecex 11108  ax-cnre 11109  ax-pre-lttri 11110  ax-pre-lttrn 11111  ax-pre-ltadd 11112  ax-pre-mulgt0 11113

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2719  df-cleq 2732  df-clel 2815  df-nfc 2889  df-ne 2936  df-nel 3040  df-ral 3055  df-rex 3065  df-rmo 3345  df-reu 3346  df-rab 3393  df-v 3434  df-sbc 3731  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4269  df-if 4462  df-pw 4538  df-sn 4563  df-pr 4565  df-op 4569  df-uni 4846  df-iun 4930  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5161  df-tr 5187  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7320  df-ov 7366  df-oprab 7367  df-mpo 7368  df-om 7814  df-2nd 7939  df-frecs 8228  df-wrecs 8259  df-recs 8308  df-rdg 8346  df-er 8640  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-pnf 11179  df-mnf 11180  df-xr 11181  df-ltxr 11182  df-le 11183  df-sub 11377  df-neg 11378  df-div 11806  df-nn 12173  df-2 12242  df-cj 15059  df-re 15060  df-im 15061

This theorem is referenced by: (None)