Theorem cevath 47109

Description: Ceva's theorem. Let 𝐴𝐵𝐶 be a triangle and let points 𝐹, 𝐷 and 𝐸 lie on sides 𝐴𝐵, 𝐵𝐶, 𝐶𝐴 correspondingly. Suppose that cevians 𝐴𝐷, 𝐵𝐸 and 𝐶𝐹 intersect at one point 𝑂. Then triangle's sides are partitioned into segments and their lengths satisfy a certain identity. Here we obtain a bit stronger version by using complex numbers themselves instead of their absolute values.

The proof goes by applying cevathlem2 47108 three times and then using cevathlem1 47107 to multiply obtained identities and prove the theorem.

In the theorem statement we are using function 𝐺 as a collinearity indicator. For justification of that use, see sigarcol 47104. This is Metamath 100 proof #61. (Contributed by Saveliy Skresanov, 24-Sep-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
cevath.sigar	⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ ℂ, 𝑦 ∈ ℂ ↦ (ℑ‘((∗‘𝑥) · 𝑦)))
cevath.a	⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ))
cevath.b	⊢ (𝜑 → (𝐹 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐸 ∈ ℂ))
cevath.c	⊢ (𝜑 → 𝑂 ∈ ℂ)
cevath.d	⊢ (𝜑 → (((𝐴 − 𝑂)𝐺(𝐷 − 𝑂)) = 0 ∧ ((𝐵 − 𝑂)𝐺(𝐸 − 𝑂)) = 0 ∧ ((𝐶 − 𝑂)𝐺(𝐹 − 𝑂)) = 0))
cevath.e	⊢ (𝜑 → (((𝐴 − 𝐹)𝐺(𝐵 − 𝐹)) = 0 ∧ ((𝐵 − 𝐷)𝐺(𝐶 − 𝐷)) = 0 ∧ ((𝐶 − 𝐸)𝐺(𝐴 − 𝐸)) = 0))
cevath.f	⊢ (𝜑 → (((𝐴 − 𝑂)𝐺(𝐵 − 𝑂)) ≠ 0 ∧ ((𝐵 − 𝑂)𝐺(𝐶 − 𝑂)) ≠ 0 ∧ ((𝐶 − 𝑂)𝐺(𝐴 − 𝑂)) ≠ 0))

Assertion

Ref	Expression
cevath	⊢ (𝜑 → (((𝐴 − 𝐹) · (𝐶 − 𝐸)) · (𝐵 − 𝐷)) = (((𝐹 − 𝐵) · (𝐸 − 𝐴)) · (𝐷 − 𝐶)))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐴   𝑥,𝐵,𝑦   𝑥,𝐶,𝑦   𝑥,𝐷,𝑦   𝑥,𝑂,𝑦   𝑥,𝐸,𝑦   𝑥,𝐹,𝑦

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦)   𝐺(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem cevath

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cevath.sigar	. . . 4 ⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ ℂ, 𝑦 ∈ ℂ ↦ (ℑ‘((∗‘𝑥) · 𝑦)))
2		cevath.a	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ))
3	2	simp2d 1143	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
4		cevath.c	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑂 ∈ ℂ)
5	3, 4	subcld 11492	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐵 − 𝑂) ∈ ℂ)
6	2	simp3d 1144	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
7	6, 4	subcld 11492	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐶 − 𝑂) ∈ ℂ)
8	5, 7	jca 511	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 − 𝑂) ∈ ℂ ∧ (𝐶 − 𝑂) ∈ ℂ))
9	1, 8	sigarimcd 47102	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 − 𝑂)𝐺(𝐶 − 𝑂)) ∈ ℂ)
10	2	simp1d 1142	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
11		cevath.b	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐸 ∈ ℂ))
12	11	simp1d 1142	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ ℂ)
13	10, 12	subcld 11492	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝐹) ∈ ℂ)
14	10, 4	subcld 11492	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝑂) ∈ ℂ)
15	7, 14	jca 511	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 − 𝑂) ∈ ℂ ∧ (𝐴 − 𝑂) ∈ ℂ))
16	1, 15	sigarimcd 47102	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 − 𝑂)𝐺(𝐴 − 𝑂)) ∈ ℂ)
17	9, 13, 16	3jca 1128	. 2 ⊢ (𝜑 → (((𝐵 − 𝑂)𝐺(𝐶 − 𝑂)) ∈ ℂ ∧ (𝐴 − 𝐹) ∈ ℂ ∧ ((𝐶 − 𝑂)𝐺(𝐴 − 𝑂)) ∈ ℂ))
18	12, 3	subcld 11492	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹 − 𝐵) ∈ ℂ)
19	14, 5	jca 511	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 − 𝑂) ∈ ℂ ∧ (𝐵 − 𝑂) ∈ ℂ))
20	1, 19	sigarimcd 47102	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 − 𝑂)𝐺(𝐵 − 𝑂)) ∈ ℂ)
21	11	simp3d 1144	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ ℂ)
22	6, 21	subcld 11492	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐶 − 𝐸) ∈ ℂ)
23	18, 20, 22	3jca 1128	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐹 − 𝐵) ∈ ℂ ∧ ((𝐴 − 𝑂)𝐺(𝐵 − 𝑂)) ∈ ℂ ∧ (𝐶 − 𝐸) ∈ ℂ))
24	21, 10	subcld 11492	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐸 − 𝐴) ∈ ℂ)
25	11	simp2d 1143	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℂ)
26	3, 25	subcld 11492	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐵 − 𝐷) ∈ ℂ)
27	25, 6	subcld 11492	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐷 − 𝐶) ∈ ℂ)
28	24, 26, 27	3jca 1128	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐸 − 𝐴) ∈ ℂ ∧ (𝐵 − 𝐷) ∈ ℂ ∧ (𝐷 − 𝐶) ∈ ℂ))
29		cevath.f	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 − 𝑂)𝐺(𝐵 − 𝑂)) ≠ 0 ∧ ((𝐵 − 𝑂)𝐺(𝐶 − 𝑂)) ≠ 0 ∧ ((𝐶 − 𝑂)𝐺(𝐴 − 𝑂)) ≠ 0))
30	29	simp2d 1143	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 − 𝑂)𝐺(𝐶 − 𝑂)) ≠ 0)
31	29	simp1d 1142	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 − 𝑂)𝐺(𝐵 − 𝑂)) ≠ 0)
32	29	simp3d 1144	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 − 𝑂)𝐺(𝐴 − 𝑂)) ≠ 0)
33	30, 31, 32	3jca 1128	. 2 ⊢ (𝜑 → (((𝐵 − 𝑂)𝐺(𝐶 − 𝑂)) ≠ 0 ∧ ((𝐴 − 𝑂)𝐺(𝐵 − 𝑂)) ≠ 0 ∧ ((𝐶 − 𝑂)𝐺(𝐴 − 𝑂)) ≠ 0))
34	6, 10, 3	3jca 1128	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ))
35	21, 12, 25	3jca 1128	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐸 ∈ ℂ ∧ 𝐹 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ))
36		cevath.d	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 − 𝑂)𝐺(𝐷 − 𝑂)) = 0 ∧ ((𝐵 − 𝑂)𝐺(𝐸 − 𝑂)) = 0 ∧ ((𝐶 − 𝑂)𝐺(𝐹 − 𝑂)) = 0))
37	36	simp3d 1144	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 − 𝑂)𝐺(𝐹 − 𝑂)) = 0)
38	36	simp1d 1142	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 − 𝑂)𝐺(𝐷 − 𝑂)) = 0)
39	36	simp2d 1143	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 − 𝑂)𝐺(𝐸 − 𝑂)) = 0)
40	37, 38, 39	3jca 1128	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((𝐶 − 𝑂)𝐺(𝐹 − 𝑂)) = 0 ∧ ((𝐴 − 𝑂)𝐺(𝐷 − 𝑂)) = 0 ∧ ((𝐵 − 𝑂)𝐺(𝐸 − 𝑂)) = 0))
41		cevath.e	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 − 𝐹)𝐺(𝐵 − 𝐹)) = 0 ∧ ((𝐵 − 𝐷)𝐺(𝐶 − 𝐷)) = 0 ∧ ((𝐶 − 𝐸)𝐺(𝐴 − 𝐸)) = 0))
42	41	simp3d 1144	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 − 𝐸)𝐺(𝐴 − 𝐸)) = 0)
43	41	simp1d 1142	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 − 𝐹)𝐺(𝐵 − 𝐹)) = 0)
44	41	simp2d 1143	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 − 𝐷)𝐺(𝐶 − 𝐷)) = 0)
45	42, 43, 44	3jca 1128	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((𝐶 − 𝐸)𝐺(𝐴 − 𝐸)) = 0 ∧ ((𝐴 − 𝐹)𝐺(𝐵 − 𝐹)) = 0 ∧ ((𝐵 − 𝐷)𝐺(𝐶 − 𝐷)) = 0))
46	32, 31, 30	3jca 1128	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((𝐶 − 𝑂)𝐺(𝐴 − 𝑂)) ≠ 0 ∧ ((𝐴 − 𝑂)𝐺(𝐵 − 𝑂)) ≠ 0 ∧ ((𝐵 − 𝑂)𝐺(𝐶 − 𝑂)) ≠ 0))
47	1, 34, 35, 4, 40, 45, 46	cevathlem2 47108	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((𝐵 − 𝑂)𝐺(𝐶 − 𝑂)) · (𝐴 − 𝐹)) = (((𝐶 − 𝑂)𝐺(𝐴 − 𝑂)) · (𝐹 − 𝐵)))
48	3, 6, 10	3jca 1128	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ))
49	25, 21, 12	3jca 1128	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐸 ∈ ℂ ∧ 𝐹 ∈ ℂ))
50	39, 37, 38	3jca 1128	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((𝐵 − 𝑂)𝐺(𝐸 − 𝑂)) = 0 ∧ ((𝐶 − 𝑂)𝐺(𝐹 − 𝑂)) = 0 ∧ ((𝐴 − 𝑂)𝐺(𝐷 − 𝑂)) = 0))
51	44, 42, 43	3jca 1128	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((𝐵 − 𝐷)𝐺(𝐶 − 𝐷)) = 0 ∧ ((𝐶 − 𝐸)𝐺(𝐴 − 𝐸)) = 0 ∧ ((𝐴 − 𝐹)𝐺(𝐵 − 𝐹)) = 0))
52	30, 32, 31	3jca 1128	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((𝐵 − 𝑂)𝐺(𝐶 − 𝑂)) ≠ 0 ∧ ((𝐶 − 𝑂)𝐺(𝐴 − 𝑂)) ≠ 0 ∧ ((𝐴 − 𝑂)𝐺(𝐵 − 𝑂)) ≠ 0))
53	1, 48, 49, 4, 50, 51, 52	cevathlem2 47108	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 − 𝑂)𝐺(𝐵 − 𝑂)) · (𝐶 − 𝐸)) = (((𝐵 − 𝑂)𝐺(𝐶 − 𝑂)) · (𝐸 − 𝐴)))
54	1, 2, 11, 4, 36, 41, 29	cevathlem2 47108	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((𝐶 − 𝑂)𝐺(𝐴 − 𝑂)) · (𝐵 − 𝐷)) = (((𝐴 − 𝑂)𝐺(𝐵 − 𝑂)) · (𝐷 − 𝐶)))
55	47, 53, 54	3jca 1128	. 2 ⊢ (𝜑 → ((((𝐵 − 𝑂)𝐺(𝐶 − 𝑂)) · (𝐴 − 𝐹)) = (((𝐶 − 𝑂)𝐺(𝐴 − 𝑂)) · (𝐹 − 𝐵)) ∧ (((𝐴 − 𝑂)𝐺(𝐵 − 𝑂)) · (𝐶 − 𝐸)) = (((𝐵 − 𝑂)𝐺(𝐶 − 𝑂)) · (𝐸 − 𝐴)) ∧ (((𝐶 − 𝑂)𝐺(𝐴 − 𝑂)) · (𝐵 − 𝐷)) = (((𝐴 − 𝑂)𝐺(𝐵 − 𝑂)) · (𝐷 − 𝐶))))
56	17, 23, 28, 33, 55	cevathlem1 47107	1 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 − 𝐹) · (𝐶 − 𝐸)) · (𝐵 − 𝐷)) = (((𝐹 − 𝐵) · (𝐸 − 𝐴)) · (𝐷 − 𝐶)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1086   = wceq 1541   ∈ wcel 2113   ≠ wne 2932  ‘cfv 6492  (class class class)co 7358   ∈ cmpo 7360  ℂcc 11024  0cc0 11026   · cmul 11031   − cmin 11364  ∗ccj 15019  ℑcim 15021

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680  ax-resscn 11083  ax-1cn 11084  ax-icn 11085  ax-addcl 11086  ax-addrcl 11087  ax-mulcl 11088  ax-mulrcl 11089  ax-mulcom 11090  ax-addass 11091  ax-mulass 11092  ax-distr 11093  ax-i2m1 11094  ax-1ne0 11095  ax-1rid 11096  ax-rnegex 11097  ax-rrecex 11098  ax-cnre 11099  ax-pre-lttri 11100  ax-pre-lttrn 11101  ax-pre-ltadd 11102  ax-pre-mulgt0 11103

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3350  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-pss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-iun 4948  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-tr 5206  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7809  df-2nd 7934  df-frecs 8223  df-wrecs 8254  df-recs 8303  df-rdg 8341  df-er 8635  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-pnf 11168  df-mnf 11169  df-xr 11170  df-ltxr 11171  df-le 11172  df-sub 11366  df-neg 11367  df-div 11795  df-nn 12146  df-2 12208  df-cj 15022  df-re 15023  df-im 15024

This theorem is referenced by: (None)