Theorem cevath 47972

Description: Ceva's theorem. Let 𝐴𝐵𝐶 be a triangle and let points 𝐹, 𝐷 and 𝐸 lie on sides 𝐴𝐵, 𝐵𝐶, 𝐶𝐴 correspondingly. Suppose that cevians 𝐴𝐷, 𝐵𝐸 and 𝐶𝐹 intersect at one point 𝑂. Then triangle's sides are partitioned into segments and their lengths satisfy a certain identity. Here we obtain a bit stronger version by using complex numbers themselves instead of their absolute values.

The proof goes by applying cevathlem2 47971 three times and then using cevathlem1 47970 to multiply obtained identities and prove the theorem.

In the theorem statement we are using function 𝐺 as a collinearity indicator. For justification of that use, see sigarcol 47967. This is Metamath 100 proof #61. (Contributed by Saveliy Skresanov, 24-Sep-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
cevath.sigar	⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ ℂ, 𝑦 ∈ ℂ ↦ (ℑ‘((∗‘𝑥) · 𝑦)))
cevath.a	⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ))
cevath.b	⊢ (𝜑 → (𝐹 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐸 ∈ ℂ))
cevath.c	⊢ (𝜑 → 𝑂 ∈ ℂ)
cevath.d	⊢ (𝜑 → (((𝐴 − 𝑂)𝐺(𝐷 − 𝑂)) = 0 ∧ ((𝐵 − 𝑂)𝐺(𝐸 − 𝑂)) = 0 ∧ ((𝐶 − 𝑂)𝐺(𝐹 − 𝑂)) = 0))
cevath.e	⊢ (𝜑 → (((𝐴 − 𝐹)𝐺(𝐵 − 𝐹)) = 0 ∧ ((𝐵 − 𝐷)𝐺(𝐶 − 𝐷)) = 0 ∧ ((𝐶 − 𝐸)𝐺(𝐴 − 𝐸)) = 0))
cevath.f	⊢ (𝜑 → (((𝐴 − 𝑂)𝐺(𝐵 − 𝑂)) ≠ 0 ∧ ((𝐵 − 𝑂)𝐺(𝐶 − 𝑂)) ≠ 0 ∧ ((𝐶 − 𝑂)𝐺(𝐴 − 𝑂)) ≠ 0))

Assertion

Ref	Expression
cevath	⊢ (𝜑 → (((𝐴 − 𝐹) · (𝐶 − 𝐸)) · (𝐵 − 𝐷)) = (((𝐹 − 𝐵) · (𝐸 − 𝐴)) · (𝐷 − 𝐶)))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐴   𝑥,𝐵,𝑦   𝑥,𝐶,𝑦   𝑥,𝐷,𝑦   𝑥,𝑂,𝑦   𝑥,𝐸,𝑦   𝑥,𝐹,𝑦

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥, 𝑦)   𝐺(𝑥, 𝑦)

Proof of Theorem cevath

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cevath.sigar	. . . 4 ⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ ℂ, 𝑦 ∈ ℂ ↦ (ℑ‘((∗‘𝑥) · 𝑦)))
2		cevath.a	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ))
3	2	simp2d 1161	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
4		cevath.c	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑂 ∈ ℂ)
5	3, 4	subcld 11672	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐵 − 𝑂) ∈ ℂ)
6	2	simp3d 1162	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
7	6, 4	subcld 11672	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐶 − 𝑂) ∈ ℂ)
8	5, 7	jca 521	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 − 𝑂) ∈ ℂ ∧ (𝐶 − 𝑂) ∈ ℂ))
9	1, 8	sigarimcd 47965	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 − 𝑂)𝐺(𝐶 − 𝑂)) ∈ ℂ)
10	2	simp1d 1160	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
11		cevath.b	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐸 ∈ ℂ))
12	11	simp1d 1160	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ ℂ)
13	10, 12	subcld 11672	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝐹) ∈ ℂ)
14	10, 4	subcld 11672	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝑂) ∈ ℂ)
15	7, 14	jca 521	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 − 𝑂) ∈ ℂ ∧ (𝐴 − 𝑂) ∈ ℂ))
16	1, 15	sigarimcd 47965	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 − 𝑂)𝐺(𝐴 − 𝑂)) ∈ ℂ)
17	9, 13, 16	3jca 1146	. 2 ⊢ (𝜑 → (((𝐵 − 𝑂)𝐺(𝐶 − 𝑂)) ∈ ℂ ∧ (𝐴 − 𝐹) ∈ ℂ ∧ ((𝐶 − 𝑂)𝐺(𝐴 − 𝑂)) ∈ ℂ))
18	12, 3	subcld 11672	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹 − 𝐵) ∈ ℂ)
19	14, 5	jca 521	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 − 𝑂) ∈ ℂ ∧ (𝐵 − 𝑂) ∈ ℂ))
20	1, 19	sigarimcd 47965	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 − 𝑂)𝐺(𝐵 − 𝑂)) ∈ ℂ)
21	11	simp3d 1162	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ ℂ)
22	6, 21	subcld 11672	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐶 − 𝐸) ∈ ℂ)
23	18, 20, 22	3jca 1146	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐹 − 𝐵) ∈ ℂ ∧ ((𝐴 − 𝑂)𝐺(𝐵 − 𝑂)) ∈ ℂ ∧ (𝐶 − 𝐸) ∈ ℂ))
24	21, 10	subcld 11672	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐸 − 𝐴) ∈ ℂ)
25	11	simp2d 1161	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℂ)
26	3, 25	subcld 11672	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐵 − 𝐷) ∈ ℂ)
27	25, 6	subcld 11672	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐷 − 𝐶) ∈ ℂ)
28	24, 26, 27	3jca 1146	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐸 − 𝐴) ∈ ℂ ∧ (𝐵 − 𝐷) ∈ ℂ ∧ (𝐷 − 𝐶) ∈ ℂ))
29		cevath.f	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 − 𝑂)𝐺(𝐵 − 𝑂)) ≠ 0 ∧ ((𝐵 − 𝑂)𝐺(𝐶 − 𝑂)) ≠ 0 ∧ ((𝐶 − 𝑂)𝐺(𝐴 − 𝑂)) ≠ 0))
30	29	simp2d 1161	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 − 𝑂)𝐺(𝐶 − 𝑂)) ≠ 0)
31	29	simp1d 1160	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 − 𝑂)𝐺(𝐵 − 𝑂)) ≠ 0)
32	29	simp3d 1162	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 − 𝑂)𝐺(𝐴 − 𝑂)) ≠ 0)
33	30, 31, 32	3jca 1146	. 2 ⊢ (𝜑 → (((𝐵 − 𝑂)𝐺(𝐶 − 𝑂)) ≠ 0 ∧ ((𝐴 − 𝑂)𝐺(𝐵 − 𝑂)) ≠ 0 ∧ ((𝐶 − 𝑂)𝐺(𝐴 − 𝑂)) ≠ 0))
34	6, 10, 3	3jca 1146	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ))
35	21, 12, 25	3jca 1146	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐸 ∈ ℂ ∧ 𝐹 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ))
36		cevath.d	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 − 𝑂)𝐺(𝐷 − 𝑂)) = 0 ∧ ((𝐵 − 𝑂)𝐺(𝐸 − 𝑂)) = 0 ∧ ((𝐶 − 𝑂)𝐺(𝐹 − 𝑂)) = 0))
37	36	simp3d 1162	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 − 𝑂)𝐺(𝐹 − 𝑂)) = 0)
38	36	simp1d 1160	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 − 𝑂)𝐺(𝐷 − 𝑂)) = 0)
39	36	simp2d 1161	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 − 𝑂)𝐺(𝐸 − 𝑂)) = 0)
40	37, 38, 39	3jca 1146	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((𝐶 − 𝑂)𝐺(𝐹 − 𝑂)) = 0 ∧ ((𝐴 − 𝑂)𝐺(𝐷 − 𝑂)) = 0 ∧ ((𝐵 − 𝑂)𝐺(𝐸 − 𝑂)) = 0))
41		cevath.e	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 − 𝐹)𝐺(𝐵 − 𝐹)) = 0 ∧ ((𝐵 − 𝐷)𝐺(𝐶 − 𝐷)) = 0 ∧ ((𝐶 − 𝐸)𝐺(𝐴 − 𝐸)) = 0))
42	41	simp3d 1162	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 − 𝐸)𝐺(𝐴 − 𝐸)) = 0)
43	41	simp1d 1160	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 − 𝐹)𝐺(𝐵 − 𝐹)) = 0)
44	41	simp2d 1161	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 − 𝐷)𝐺(𝐶 − 𝐷)) = 0)
45	42, 43, 44	3jca 1146	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((𝐶 − 𝐸)𝐺(𝐴 − 𝐸)) = 0 ∧ ((𝐴 − 𝐹)𝐺(𝐵 − 𝐹)) = 0 ∧ ((𝐵 − 𝐷)𝐺(𝐶 − 𝐷)) = 0))
46	32, 31, 30	3jca 1146	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((𝐶 − 𝑂)𝐺(𝐴 − 𝑂)) ≠ 0 ∧ ((𝐴 − 𝑂)𝐺(𝐵 − 𝑂)) ≠ 0 ∧ ((𝐵 − 𝑂)𝐺(𝐶 − 𝑂)) ≠ 0))
47	1, 34, 35, 4, 40, 45, 46	cevathlem2 47971	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((𝐵 − 𝑂)𝐺(𝐶 − 𝑂)) · (𝐴 − 𝐹)) = (((𝐶 − 𝑂)𝐺(𝐴 − 𝑂)) · (𝐹 − 𝐵)))
48	3, 6, 10	3jca 1146	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ))
49	25, 21, 12	3jca 1146	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐸 ∈ ℂ ∧ 𝐹 ∈ ℂ))
50	39, 37, 38	3jca 1146	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((𝐵 − 𝑂)𝐺(𝐸 − 𝑂)) = 0 ∧ ((𝐶 − 𝑂)𝐺(𝐹 − 𝑂)) = 0 ∧ ((𝐴 − 𝑂)𝐺(𝐷 − 𝑂)) = 0))
51	44, 42, 43	3jca 1146	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((𝐵 − 𝐷)𝐺(𝐶 − 𝐷)) = 0 ∧ ((𝐶 − 𝐸)𝐺(𝐴 − 𝐸)) = 0 ∧ ((𝐴 − 𝐹)𝐺(𝐵 − 𝐹)) = 0))
52	30, 32, 31	3jca 1146	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((𝐵 − 𝑂)𝐺(𝐶 − 𝑂)) ≠ 0 ∧ ((𝐶 − 𝑂)𝐺(𝐴 − 𝑂)) ≠ 0 ∧ ((𝐴 − 𝑂)𝐺(𝐵 − 𝑂)) ≠ 0))
53	1, 48, 49, 4, 50, 51, 52	cevathlem2 47971	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 − 𝑂)𝐺(𝐵 − 𝑂)) · (𝐶 − 𝐸)) = (((𝐵 − 𝑂)𝐺(𝐶 − 𝑂)) · (𝐸 − 𝐴)))
54	1, 2, 11, 4, 36, 41, 29	cevathlem2 47971	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((𝐶 − 𝑂)𝐺(𝐴 − 𝑂)) · (𝐵 − 𝐷)) = (((𝐴 − 𝑂)𝐺(𝐵 − 𝑂)) · (𝐷 − 𝐶)))
55	47, 53, 54	3jca 1146	. 2 ⊢ (𝜑 → ((((𝐵 − 𝑂)𝐺(𝐶 − 𝑂)) · (𝐴 − 𝐹)) = (((𝐶 − 𝑂)𝐺(𝐴 − 𝑂)) · (𝐹 − 𝐵)) ∧ (((𝐴 − 𝑂)𝐺(𝐵 − 𝑂)) · (𝐶 − 𝐸)) = (((𝐵 − 𝑂)𝐺(𝐶 − 𝑂)) · (𝐸 − 𝐴)) ∧ (((𝐶 − 𝑂)𝐺(𝐴 − 𝑂)) · (𝐵 − 𝐷)) = (((𝐴 − 𝑂)𝐺(𝐵 − 𝑂)) · (𝐷 − 𝐶))))
56	17, 23, 28, 33, 55	cevathlem1 47970	1 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 − 𝐹) · (𝐶 − 𝐸)) · (𝐵 − 𝐷)) = (((𝐹 − 𝐵) · (𝐸 − 𝐴)) · (𝐷 − 𝐶)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ w3a 1103   = wceq 1569   ∈ wcel 2144   ≠ wne 2955  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420   ∈ cmpo 7422  ℂcc 11201  0cc0 11203   · cmul 11208   − cmin 11544  ∗ccj 15268  ℑcim 15270

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751  ax-resscn 11260  ax-1cn 11261  ax-icn 11262  ax-addcl 11263  ax-addrcl 11264  ax-mulcl 11265  ax-mulrcl 11266  ax-mulcom 11267  ax-addass 11268  ax-mulass 11269  ax-distr 11270  ax-i2m1 11271  ax-1ne0 11272  ax-1rid 11273  ax-rnegex 11274  ax-rrecex 11275  ax-cnre 11276  ax-pre-lttri 11277  ax-pre-lttrn 11278  ax-pre-ltadd 11279  ax-pre-mulgt0 11280

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7878  df-2nd 8002  df-frecs 8302  df-wrecs 8333  df-recs 8382  df-rdg 8421  df-er 8720  df-en 8977  df-dom 8978  df-sdom 8979  df-pnf 11348  df-mnf 11349  df-xr 11350  df-ltxr 11351  df-le 11352  df-sub 11546  df-neg 11547  df-div 11977  df-nn 12339  df-2 12408  df-cj 15271  df-re 15272  df-im 15273

This theorem is used by: (None)