Users' Mathboxes Mathbox for Saveliy Skresanov < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  sigaradd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sigaradd 45181
Description: Subtracting (double) area of ๐ด๐ท๐ถ from ๐ด๐ต๐ถ yields the (double) area of ๐ท๐ต๐ถ. (Contributed by Saveliy Skresanov, 23-Sep-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
sharhght.sigar ๐บ = (๐‘ฅ โˆˆ โ„‚, ๐‘ฆ โˆˆ โ„‚ โ†ฆ (โ„‘โ€˜((โˆ—โ€˜๐‘ฅ) ยท ๐‘ฆ)))
sharhght.a (๐œ‘ โ†’ (๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„‚))
sharhght.b (๐œ‘ โ†’ (๐ท โˆˆ โ„‚ โˆง ((๐ด โˆ’ ๐ท)๐บ(๐ต โˆ’ ๐ท)) = 0))
Assertion
Ref Expression
sigaradd (๐œ‘ โ†’ (((๐ต โˆ’ ๐ถ)๐บ(๐ด โˆ’ ๐ถ)) โˆ’ ((๐ท โˆ’ ๐ถ)๐บ(๐ด โˆ’ ๐ถ))) = ((๐ต โˆ’ ๐ถ)๐บ(๐ท โˆ’ ๐ถ)))
Distinct variable groups:   ๐‘ฅ,๐‘ฆ,๐ด   ๐‘ฅ,๐ต,๐‘ฆ   ๐‘ฅ,๐ถ,๐‘ฆ   ๐‘ฅ,๐ท,๐‘ฆ
Allowed substitution hints:   ๐œ‘(๐‘ฅ,๐‘ฆ)   ๐บ(๐‘ฅ,๐‘ฆ)

Proof of Theorem sigaradd
StepHypRef Expression
1 sharhght.a . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„‚))
21simp1d 1143 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
31simp3d 1145 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„‚)
4 sharhght.b . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (๐ท โˆˆ โ„‚ โˆง ((๐ด โˆ’ ๐ท)๐บ(๐ต โˆ’ ๐ท)) = 0))
54simpld 496 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ๐ท โˆˆ โ„‚)
62, 3, 5nnncan1d 11553 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ((๐ด โˆ’ ๐ถ) โˆ’ (๐ด โˆ’ ๐ท)) = (๐ท โˆ’ ๐ถ))
76oveq2d 7378 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ((๐ต โˆ’ ๐ท)๐บ((๐ด โˆ’ ๐ถ) โˆ’ (๐ด โˆ’ ๐ท))) = ((๐ต โˆ’ ๐ท)๐บ(๐ท โˆ’ ๐ถ)))
81simp2d 1144 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
98, 5subcld 11519 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (๐ต โˆ’ ๐ท) โˆˆ โ„‚)
102, 3subcld 11519 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (๐ด โˆ’ ๐ถ) โˆˆ โ„‚)
112, 5subcld 11519 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (๐ด โˆ’ ๐ท) โˆˆ โ„‚)
12 sharhght.sigar . . . . . . 7 ๐บ = (๐‘ฅ โˆˆ โ„‚, ๐‘ฆ โˆˆ โ„‚ โ†ฆ (โ„‘โ€˜((โˆ—โ€˜๐‘ฅ) ยท ๐‘ฆ)))
1312sigarms 45171 . . . . . 6 (((๐ต โˆ’ ๐ท) โˆˆ โ„‚ โˆง (๐ด โˆ’ ๐ถ) โˆˆ โ„‚ โˆง (๐ด โˆ’ ๐ท) โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐ต โˆ’ ๐ท)๐บ((๐ด โˆ’ ๐ถ) โˆ’ (๐ด โˆ’ ๐ท))) = (((๐ต โˆ’ ๐ท)๐บ(๐ด โˆ’ ๐ถ)) โˆ’ ((๐ต โˆ’ ๐ท)๐บ(๐ด โˆ’ ๐ท))))
149, 10, 11, 13syl3anc 1372 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ((๐ต โˆ’ ๐ท)๐บ((๐ด โˆ’ ๐ถ) โˆ’ (๐ด โˆ’ ๐ท))) = (((๐ต โˆ’ ๐ท)๐บ(๐ด โˆ’ ๐ถ)) โˆ’ ((๐ต โˆ’ ๐ท)๐บ(๐ด โˆ’ ๐ท))))
157, 14eqtr3d 2779 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ((๐ต โˆ’ ๐ท)๐บ(๐ท โˆ’ ๐ถ)) = (((๐ต โˆ’ ๐ท)๐บ(๐ด โˆ’ ๐ถ)) โˆ’ ((๐ต โˆ’ ๐ท)๐บ(๐ด โˆ’ ๐ท))))
1612sigarac 45167 . . . . . . . . 9 (((๐ด โˆ’ ๐ท) โˆˆ โ„‚ โˆง (๐ต โˆ’ ๐ท) โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐ด โˆ’ ๐ท)๐บ(๐ต โˆ’ ๐ท)) = -((๐ต โˆ’ ๐ท)๐บ(๐ด โˆ’ ๐ท)))
1711, 9, 16syl2anc 585 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ((๐ด โˆ’ ๐ท)๐บ(๐ต โˆ’ ๐ท)) = -((๐ต โˆ’ ๐ท)๐บ(๐ด โˆ’ ๐ท)))
184simprd 497 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ((๐ด โˆ’ ๐ท)๐บ(๐ต โˆ’ ๐ท)) = 0)
1917, 18eqtr3d 2779 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ -((๐ต โˆ’ ๐ท)๐บ(๐ด โˆ’ ๐ท)) = 0)
2019negeqd 11402 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ --((๐ต โˆ’ ๐ท)๐บ(๐ด โˆ’ ๐ท)) = -0)
219, 11jca 513 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ((๐ต โˆ’ ๐ท) โˆˆ โ„‚ โˆง (๐ด โˆ’ ๐ท) โˆˆ โ„‚))
2212, 21sigarimcd 45177 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ((๐ต โˆ’ ๐ท)๐บ(๐ด โˆ’ ๐ท)) โˆˆ โ„‚)
2322negnegd 11510 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ --((๐ต โˆ’ ๐ท)๐บ(๐ด โˆ’ ๐ท)) = ((๐ต โˆ’ ๐ท)๐บ(๐ด โˆ’ ๐ท)))
24 neg0 11454 . . . . . . 7 -0 = 0
2524a1i 11 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ -0 = 0)
2620, 23, 253eqtr3d 2785 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ((๐ต โˆ’ ๐ท)๐บ(๐ด โˆ’ ๐ท)) = 0)
2726oveq2d 7378 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (((๐ต โˆ’ ๐ท)๐บ(๐ด โˆ’ ๐ถ)) โˆ’ ((๐ต โˆ’ ๐ท)๐บ(๐ด โˆ’ ๐ท))) = (((๐ต โˆ’ ๐ท)๐บ(๐ด โˆ’ ๐ถ)) โˆ’ 0))
289, 10jca 513 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ((๐ต โˆ’ ๐ท) โˆˆ โ„‚ โˆง (๐ด โˆ’ ๐ถ) โˆˆ โ„‚))
2912, 28sigarimcd 45177 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ((๐ต โˆ’ ๐ท)๐บ(๐ด โˆ’ ๐ถ)) โˆˆ โ„‚)
3029subid1d 11508 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (((๐ต โˆ’ ๐ท)๐บ(๐ด โˆ’ ๐ถ)) โˆ’ 0) = ((๐ต โˆ’ ๐ท)๐บ(๐ด โˆ’ ๐ถ)))
3115, 27, 303eqtrd 2781 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ((๐ต โˆ’ ๐ท)๐บ(๐ท โˆ’ ๐ถ)) = ((๐ต โˆ’ ๐ท)๐บ(๐ด โˆ’ ๐ถ)))
328, 5, 3nnncan2d 11554 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ((๐ต โˆ’ ๐ถ) โˆ’ (๐ท โˆ’ ๐ถ)) = (๐ต โˆ’ ๐ท))
3332oveq1d 7377 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (((๐ต โˆ’ ๐ถ) โˆ’ (๐ท โˆ’ ๐ถ))๐บ(๐ด โˆ’ ๐ถ)) = ((๐ต โˆ’ ๐ท)๐บ(๐ด โˆ’ ๐ถ)))
348, 3subcld 11519 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (๐ต โˆ’ ๐ถ) โˆˆ โ„‚)
355, 3subcld 11519 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (๐ท โˆ’ ๐ถ) โˆˆ โ„‚)
3612sigarmf 45169 . . . 4 (((๐ต โˆ’ ๐ถ) โˆˆ โ„‚ โˆง (๐ด โˆ’ ๐ถ) โˆˆ โ„‚ โˆง (๐ท โˆ’ ๐ถ) โˆˆ โ„‚) โ†’ (((๐ต โˆ’ ๐ถ) โˆ’ (๐ท โˆ’ ๐ถ))๐บ(๐ด โˆ’ ๐ถ)) = (((๐ต โˆ’ ๐ถ)๐บ(๐ด โˆ’ ๐ถ)) โˆ’ ((๐ท โˆ’ ๐ถ)๐บ(๐ด โˆ’ ๐ถ))))
3734, 10, 35, 36syl3anc 1372 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (((๐ต โˆ’ ๐ถ) โˆ’ (๐ท โˆ’ ๐ถ))๐บ(๐ด โˆ’ ๐ถ)) = (((๐ต โˆ’ ๐ถ)๐บ(๐ด โˆ’ ๐ถ)) โˆ’ ((๐ท โˆ’ ๐ถ)๐บ(๐ด โˆ’ ๐ถ))))
3831, 33, 373eqtr2rd 2784 . 2 (๐œ‘ โ†’ (((๐ต โˆ’ ๐ถ)๐บ(๐ด โˆ’ ๐ถ)) โˆ’ ((๐ท โˆ’ ๐ถ)๐บ(๐ด โˆ’ ๐ถ))) = ((๐ต โˆ’ ๐ท)๐บ(๐ท โˆ’ ๐ถ)))
393, 5subcld 11519 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (๐ถ โˆ’ ๐ท) โˆˆ โ„‚)
40 1red 11163 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ 1 โˆˆ โ„)
4140renegcld 11589 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ -1 โˆˆ โ„)
4212sigarls 45172 . . . 4 (((๐ต โˆ’ ๐ท) โˆˆ โ„‚ โˆง (๐ถ โˆ’ ๐ท) โˆˆ โ„‚ โˆง -1 โˆˆ โ„) โ†’ ((๐ต โˆ’ ๐ท)๐บ((๐ถ โˆ’ ๐ท) ยท -1)) = (((๐ต โˆ’ ๐ท)๐บ(๐ถ โˆ’ ๐ท)) ยท -1))
439, 39, 41, 42syl3anc 1372 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ((๐ต โˆ’ ๐ท)๐บ((๐ถ โˆ’ ๐ท) ยท -1)) = (((๐ต โˆ’ ๐ท)๐บ(๐ถ โˆ’ ๐ท)) ยท -1))
4439mulm1d 11614 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (-1 ยท (๐ถ โˆ’ ๐ท)) = -(๐ถ โˆ’ ๐ท))
45 1cnd 11157 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ 1 โˆˆ โ„‚)
4645negcld 11506 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ -1 โˆˆ โ„‚)
4746, 39mulcomd 11183 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (-1 ยท (๐ถ โˆ’ ๐ท)) = ((๐ถ โˆ’ ๐ท) ยท -1))
483, 5negsubdi2d 11535 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ -(๐ถ โˆ’ ๐ท) = (๐ท โˆ’ ๐ถ))
4944, 47, 483eqtr3d 2785 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ((๐ถ โˆ’ ๐ท) ยท -1) = (๐ท โˆ’ ๐ถ))
5049oveq2d 7378 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ((๐ต โˆ’ ๐ท)๐บ((๐ถ โˆ’ ๐ท) ยท -1)) = ((๐ต โˆ’ ๐ท)๐บ(๐ท โˆ’ ๐ถ)))
519, 39jca 513 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ((๐ต โˆ’ ๐ท) โˆˆ โ„‚ โˆง (๐ถ โˆ’ ๐ท) โˆˆ โ„‚))
5212, 51sigarimcd 45177 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ((๐ต โˆ’ ๐ท)๐บ(๐ถ โˆ’ ๐ท)) โˆˆ โ„‚)
5352mulm1d 11614 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (-1 ยท ((๐ต โˆ’ ๐ท)๐บ(๐ถ โˆ’ ๐ท))) = -((๐ต โˆ’ ๐ท)๐บ(๐ถ โˆ’ ๐ท)))
5452, 46mulcomd 11183 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (((๐ต โˆ’ ๐ท)๐บ(๐ถ โˆ’ ๐ท)) ยท -1) = (-1 ยท ((๐ต โˆ’ ๐ท)๐บ(๐ถ โˆ’ ๐ท))))
5512sigarac 45167 . . . . 5 (((๐ถ โˆ’ ๐ท) โˆˆ โ„‚ โˆง (๐ต โˆ’ ๐ท) โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐ถ โˆ’ ๐ท)๐บ(๐ต โˆ’ ๐ท)) = -((๐ต โˆ’ ๐ท)๐บ(๐ถ โˆ’ ๐ท)))
5639, 9, 55syl2anc 585 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ((๐ถ โˆ’ ๐ท)๐บ(๐ต โˆ’ ๐ท)) = -((๐ต โˆ’ ๐ท)๐บ(๐ถ โˆ’ ๐ท)))
5753, 54, 563eqtr4d 2787 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (((๐ต โˆ’ ๐ท)๐บ(๐ถ โˆ’ ๐ท)) ยท -1) = ((๐ถ โˆ’ ๐ท)๐บ(๐ต โˆ’ ๐ท)))
5843, 50, 573eqtr3d 2785 . 2 (๐œ‘ โ†’ ((๐ต โˆ’ ๐ท)๐บ(๐ท โˆ’ ๐ถ)) = ((๐ถ โˆ’ ๐ท)๐บ(๐ต โˆ’ ๐ท)))
5912sigarperm 45175 . . 3 ((๐ถ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ท โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐ถ โˆ’ ๐ท)๐บ(๐ต โˆ’ ๐ท)) = ((๐ต โˆ’ ๐ถ)๐บ(๐ท โˆ’ ๐ถ)))
603, 8, 5, 59syl3anc 1372 . 2 (๐œ‘ โ†’ ((๐ถ โˆ’ ๐ท)๐บ(๐ต โˆ’ ๐ท)) = ((๐ต โˆ’ ๐ถ)๐บ(๐ท โˆ’ ๐ถ)))
6138, 58, 603eqtrd 2781 1 (๐œ‘ โ†’ (((๐ต โˆ’ ๐ถ)๐บ(๐ด โˆ’ ๐ถ)) โˆ’ ((๐ท โˆ’ ๐ถ)๐บ(๐ด โˆ’ ๐ถ))) = ((๐ต โˆ’ ๐ถ)๐บ(๐ท โˆ’ ๐ถ)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 397   โˆง w3a 1088   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107  โ€˜cfv 6501  (class class class)co 7362   โˆˆ cmpo 7364  โ„‚cc 11056  โ„cr 11057  0cc0 11058  1c1 11059   ยท cmul 11063   โˆ’ cmin 11392  -cneg 11393  โˆ—ccj 14988  โ„‘cim 14990
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-resscn 11115  ax-1cn 11116  ax-icn 11117  ax-addcl 11118  ax-addrcl 11119  ax-mulcl 11120  ax-mulrcl 11121  ax-mulcom 11122  ax-addass 11123  ax-mulass 11124  ax-distr 11125  ax-i2m1 11126  ax-1ne0 11127  ax-1rid 11128  ax-rnegex 11129  ax-rrecex 11130  ax-cnre 11131  ax-pre-lttri 11132  ax-pre-lttrn 11133  ax-pre-ltadd 11134  ax-pre-mulgt0 11135
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-id 5536  df-po 5550  df-so 5551  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-er 8655  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-pnf 11198  df-mnf 11199  df-xr 11200  df-ltxr 11201  df-le 11202  df-sub 11394  df-neg 11395  df-div 11820  df-2 12223  df-cj 14991  df-re 14992  df-im 14993
This theorem is referenced by:  cevathlem2  45183
  Copyright terms: Public domain W3C validator