Theorem sigaradd 47608

Description: Subtracting (double) area of 𝐴𝐷𝐶 from 𝐴𝐵𝐶 yields the (double) area of 𝐷𝐵𝐶. (Contributed by Saveliy Skresanov, 23-Sep-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
sharhght.sigar	⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ ℂ, 𝑦 ∈ ℂ ↦ (ℑ‘((∗‘𝑥) · 𝑦)))
sharhght.a	⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ))
sharhght.b	⊢ (𝜑 → (𝐷 ∈ ℂ ∧ ((𝐴 − 𝐷)𝐺(𝐵 − 𝐷)) = 0))

Assertion

Ref	Expression
sigaradd	⊢ (𝜑 → (((𝐵 − 𝐶)𝐺(𝐴 − 𝐶)) − ((𝐷 − 𝐶)𝐺(𝐴 − 𝐶))) = ((𝐵 − 𝐶)𝐺(𝐷 − 𝐶)))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐴   𝑥,𝐵,𝑦   𝑥,𝐶,𝑦   𝑥,𝐷,𝑦

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥, 𝑦)   𝐺(𝑥, 𝑦)

Proof of Theorem sigaradd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sharhght.a	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ))
2	1	simp1d 1159	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
3	1	simp3d 1161	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
4		sharhght.b	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐷 ∈ ℂ ∧ ((𝐴 − 𝐷)𝐺(𝐵 − 𝐷)) = 0))
5	4	simpld 499	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℂ)
6	2, 3, 5	nnncan1d 11609	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 − 𝐶) − (𝐴 − 𝐷)) = (𝐷 − 𝐶))
7	6	oveq2d 7428	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 − 𝐷)𝐺((𝐴 − 𝐶) − (𝐴 − 𝐷))) = ((𝐵 − 𝐷)𝐺(𝐷 − 𝐶)))
8	1	simp2d 1160	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
9	8, 5	subcld 11575	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐵 − 𝐷) ∈ ℂ)
10	2, 3	subcld 11575	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝐶) ∈ ℂ)
11	2, 5	subcld 11575	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝐷) ∈ ℂ)
12		sharhght.sigar	. . . . . . 7 ⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ ℂ, 𝑦 ∈ ℂ ↦ (ℑ‘((∗‘𝑥) · 𝑦)))
13	12	sigarms 47598	. . . . . 6 ⊢ (((𝐵 − 𝐷) ∈ ℂ ∧ (𝐴 − 𝐶) ∈ ℂ ∧ (𝐴 − 𝐷) ∈ ℂ) → ((𝐵 − 𝐷)𝐺((𝐴 − 𝐶) − (𝐴 − 𝐷))) = (((𝐵 − 𝐷)𝐺(𝐴 − 𝐶)) − ((𝐵 − 𝐷)𝐺(𝐴 − 𝐷))))
14	9, 10, 11, 13	syl3anc 1397	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 − 𝐷)𝐺((𝐴 − 𝐶) − (𝐴 − 𝐷))) = (((𝐵 − 𝐷)𝐺(𝐴 − 𝐶)) − ((𝐵 − 𝐷)𝐺(𝐴 − 𝐷))))
15	7, 14	eqtr3d 2799	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 − 𝐷)𝐺(𝐷 − 𝐶)) = (((𝐵 − 𝐷)𝐺(𝐴 − 𝐶)) − ((𝐵 − 𝐷)𝐺(𝐴 − 𝐷))))
16	12	sigarac 47594	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 − 𝐷) ∈ ℂ ∧ (𝐵 − 𝐷) ∈ ℂ) → ((𝐴 − 𝐷)𝐺(𝐵 − 𝐷)) = -((𝐵 − 𝐷)𝐺(𝐴 − 𝐷)))
17	11, 9, 16	syl2anc 595	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 − 𝐷)𝐺(𝐵 − 𝐷)) = -((𝐵 − 𝐷)𝐺(𝐴 − 𝐷)))
18	4	simprd 500	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 − 𝐷)𝐺(𝐵 − 𝐷)) = 0)
19	17, 18	eqtr3d 2799	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → -((𝐵 − 𝐷)𝐺(𝐴 − 𝐷)) = 0)
20	19	negeqd 11457	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → --((𝐵 − 𝐷)𝐺(𝐴 − 𝐷)) = -0)
21	9, 11	jca 520	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 − 𝐷) ∈ ℂ ∧ (𝐴 − 𝐷) ∈ ℂ))
22	12, 21	sigarimcd 47604	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 − 𝐷)𝐺(𝐴 − 𝐷)) ∈ ℂ)
23	22	negnegd 11566	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → --((𝐵 − 𝐷)𝐺(𝐴 − 𝐷)) = ((𝐵 − 𝐷)𝐺(𝐴 − 𝐷)))
24		neg0 11510	. . . . . . 7 ⊢ -0 = 0
25	24	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → -0 = 0)
26	20, 23, 25	3eqtr3d 2805	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 − 𝐷)𝐺(𝐴 − 𝐷)) = 0)
27	26	oveq2d 7428	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((𝐵 − 𝐷)𝐺(𝐴 − 𝐶)) − ((𝐵 − 𝐷)𝐺(𝐴 − 𝐷))) = (((𝐵 − 𝐷)𝐺(𝐴 − 𝐶)) − 0))
28	9, 10	jca 520	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 − 𝐷) ∈ ℂ ∧ (𝐴 − 𝐶) ∈ ℂ))
29	12, 28	sigarimcd 47604	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 − 𝐷)𝐺(𝐴 − 𝐶)) ∈ ℂ)
30	29	subid1d 11564	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((𝐵 − 𝐷)𝐺(𝐴 − 𝐶)) − 0) = ((𝐵 − 𝐷)𝐺(𝐴 − 𝐶)))
31	15, 27, 30	3eqtrd 2801	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 − 𝐷)𝐺(𝐷 − 𝐶)) = ((𝐵 − 𝐷)𝐺(𝐴 − 𝐶)))
32	8, 5, 3	nnncan2d 11610	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 − 𝐶) − (𝐷 − 𝐶)) = (𝐵 − 𝐷))
33	32	oveq1d 7427	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((𝐵 − 𝐶) − (𝐷 − 𝐶))𝐺(𝐴 − 𝐶)) = ((𝐵 − 𝐷)𝐺(𝐴 − 𝐶)))
34	8, 3	subcld 11575	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐵 − 𝐶) ∈ ℂ)
35	5, 3	subcld 11575	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐷 − 𝐶) ∈ ℂ)
36	12	sigarmf 47596	. . . 4 ⊢ (((𝐵 − 𝐶) ∈ ℂ ∧ (𝐴 − 𝐶) ∈ ℂ ∧ (𝐷 − 𝐶) ∈ ℂ) → (((𝐵 − 𝐶) − (𝐷 − 𝐶))𝐺(𝐴 − 𝐶)) = (((𝐵 − 𝐶)𝐺(𝐴 − 𝐶)) − ((𝐷 − 𝐶)𝐺(𝐴 − 𝐶))))
37	34, 10, 35, 36	syl3anc 1397	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((𝐵 − 𝐶) − (𝐷 − 𝐶))𝐺(𝐴 − 𝐶)) = (((𝐵 − 𝐶)𝐺(𝐴 − 𝐶)) − ((𝐷 − 𝐶)𝐺(𝐴 − 𝐶))))
38	31, 33, 37	3eqtr2rd 2804	. 2 ⊢ (𝜑 → (((𝐵 − 𝐶)𝐺(𝐴 − 𝐶)) − ((𝐷 − 𝐶)𝐺(𝐴 − 𝐶))) = ((𝐵 − 𝐷)𝐺(𝐷 − 𝐶)))
39	3, 5	subcld 11575	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐶 − 𝐷) ∈ ℂ)
40		1red 11215	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
41	40	renegcld 11647	. . . 4 ⊢ (𝜑 → -1 ∈ ℝ)
42	12	sigarls 47599	. . . 4 ⊢ (((𝐵 − 𝐷) ∈ ℂ ∧ (𝐶 − 𝐷) ∈ ℂ ∧ -1 ∈ ℝ) → ((𝐵 − 𝐷)𝐺((𝐶 − 𝐷) · -1)) = (((𝐵 − 𝐷)𝐺(𝐶 − 𝐷)) · -1))
43	9, 39, 41, 42	syl3anc 1397	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 − 𝐷)𝐺((𝐶 − 𝐷) · -1)) = (((𝐵 − 𝐷)𝐺(𝐶 − 𝐷)) · -1))
44	39	mulm1d 11672	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (-1 · (𝐶 − 𝐷)) = -(𝐶 − 𝐷))
45		1cnd 11208	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
46	45	negcld 11562	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → -1 ∈ ℂ)
47	46, 39	mulcomd 11236	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (-1 · (𝐶 − 𝐷)) = ((𝐶 − 𝐷) · -1))
48	3, 5	negsubdi2d 11591	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → -(𝐶 − 𝐷) = (𝐷 − 𝐶))
49	44, 47, 48	3eqtr3d 2805	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 − 𝐷) · -1) = (𝐷 − 𝐶))
50	49	oveq2d 7428	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 − 𝐷)𝐺((𝐶 − 𝐷) · -1)) = ((𝐵 − 𝐷)𝐺(𝐷 − 𝐶)))
51	9, 39	jca 520	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 − 𝐷) ∈ ℂ ∧ (𝐶 − 𝐷) ∈ ℂ))
52	12, 51	sigarimcd 47604	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 − 𝐷)𝐺(𝐶 − 𝐷)) ∈ ℂ)
53	52	mulm1d 11672	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (-1 · ((𝐵 − 𝐷)𝐺(𝐶 − 𝐷))) = -((𝐵 − 𝐷)𝐺(𝐶 − 𝐷)))
54	52, 46	mulcomd 11236	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((𝐵 − 𝐷)𝐺(𝐶 − 𝐷)) · -1) = (-1 · ((𝐵 − 𝐷)𝐺(𝐶 − 𝐷))))
55	12	sigarac 47594	. . . . 5 ⊢ (((𝐶 − 𝐷) ∈ ℂ ∧ (𝐵 − 𝐷) ∈ ℂ) → ((𝐶 − 𝐷)𝐺(𝐵 − 𝐷)) = -((𝐵 − 𝐷)𝐺(𝐶 − 𝐷)))
56	39, 9, 55	syl2anc 595	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 − 𝐷)𝐺(𝐵 − 𝐷)) = -((𝐵 − 𝐷)𝐺(𝐶 − 𝐷)))
57	53, 54, 56	3eqtr4d 2807	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((𝐵 − 𝐷)𝐺(𝐶 − 𝐷)) · -1) = ((𝐶 − 𝐷)𝐺(𝐵 − 𝐷)))
58	43, 50, 57	3eqtr3d 2805	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 − 𝐷)𝐺(𝐷 − 𝐶)) = ((𝐶 − 𝐷)𝐺(𝐵 − 𝐷)))
59	12	sigarperm 47602	. . 3 ⊢ ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ) → ((𝐶 − 𝐷)𝐺(𝐵 − 𝐷)) = ((𝐵 − 𝐶)𝐺(𝐷 − 𝐶)))
60	3, 8, 5, 59	syl3anc 1397	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 − 𝐷)𝐺(𝐵 − 𝐷)) = ((𝐵 − 𝐶)𝐺(𝐷 − 𝐶)))
61	38, 58, 60	3eqtrd 2801	1 ⊢ (𝜑 → (((𝐵 − 𝐶)𝐺(𝐴 − 𝐶)) − ((𝐷 − 𝐶)𝐺(𝐴 − 𝐶))) = ((𝐵 − 𝐶)𝐺(𝐷 − 𝐶)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 400   ∧ w3a 1102   = wceq 1569   ∈ wcel 2142  ‘cfv 6536  (class class class)co 7412   ∈ cmpo 7414  ℂcc 11104  ℝcr 11105  0cc0 11106  1c1 11107   · cmul 11111   − cmin 11447  -cneg 11448  ∗ccj 15154  ℑcim 15156

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1824  ax-4 1838  ax-5 1939  ax-6 1996  ax-7 2037  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-sep 5256  ax-nul 5268  ax-pow 5335  ax-pr 5403  ax-un 7734  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1103  df-3an 1104  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1809  df-nf 1813  df-sb 2096  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3416  df-v 3456  df-sbc 3744  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4487  df-pw 4563  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4595  df-uni 4872  df-iun 4957  df-br 5109  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5555  df-eprel 5560  df-po 5568  df-so 5569  df-fr 5613  df-we 5615  df-xp 5666  df-rel 5667  df-cnv 5668  df-co 5669  df-dm 5670  df-rn 5671  df-res 5672  df-ima 5673  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7861  df-2nd 7985  df-frecs 8276  df-wrecs 8307  df-recs 8356  df-rdg 8395  df-er 8692  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11449  df-neg 11450  df-div 11878  df-nn 12240  df-2 12309  df-cj 15157  df-re 15158  df-im 15159

This theorem is used by:  cevathlem2  47610