Proof of Theorem sigaradd
| Step | Hyp | Ref | Expression | 
|---|
| 1 |  | sharhght.a | . . . . . . . 8
⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ)) | 
| 2 | 1 | simp1d 1142 | . . . . . . 7
⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ) | 
| 3 | 1 | simp3d 1144 | . . . . . . 7
⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ) | 
| 4 |  | sharhght.b | . . . . . . . 8
⊢ (𝜑 → (𝐷 ∈ ℂ ∧ ((𝐴 − 𝐷)𝐺(𝐵 − 𝐷)) = 0)) | 
| 5 | 4 | simpld 494 | . . . . . . 7
⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℂ) | 
| 6 | 2, 3, 5 | nnncan1d 11655 | . . . . . 6
⊢ (𝜑 → ((𝐴 − 𝐶) − (𝐴 − 𝐷)) = (𝐷 − 𝐶)) | 
| 7 | 6 | oveq2d 7448 | . . . . 5
⊢ (𝜑 → ((𝐵 − 𝐷)𝐺((𝐴 − 𝐶) − (𝐴 − 𝐷))) = ((𝐵 − 𝐷)𝐺(𝐷 − 𝐶))) | 
| 8 | 1 | simp2d 1143 | . . . . . . 7
⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ) | 
| 9 | 8, 5 | subcld 11621 | . . . . . 6
⊢ (𝜑 → (𝐵 − 𝐷) ∈ ℂ) | 
| 10 | 2, 3 | subcld 11621 | . . . . . 6
⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝐶) ∈ ℂ) | 
| 11 | 2, 5 | subcld 11621 | . . . . . 6
⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝐷) ∈ ℂ) | 
| 12 |  | sharhght.sigar | . . . . . . 7
⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ ℂ, 𝑦 ∈ ℂ ↦
(ℑ‘((∗‘𝑥) · 𝑦))) | 
| 13 | 12 | sigarms 46876 | . . . . . 6
⊢ (((𝐵 − 𝐷) ∈ ℂ ∧ (𝐴 − 𝐶) ∈ ℂ ∧ (𝐴 − 𝐷) ∈ ℂ) → ((𝐵 − 𝐷)𝐺((𝐴 − 𝐶) − (𝐴 − 𝐷))) = (((𝐵 − 𝐷)𝐺(𝐴 − 𝐶)) − ((𝐵 − 𝐷)𝐺(𝐴 − 𝐷)))) | 
| 14 | 9, 10, 11, 13 | syl3anc 1372 | . . . . 5
⊢ (𝜑 → ((𝐵 − 𝐷)𝐺((𝐴 − 𝐶) − (𝐴 − 𝐷))) = (((𝐵 − 𝐷)𝐺(𝐴 − 𝐶)) − ((𝐵 − 𝐷)𝐺(𝐴 − 𝐷)))) | 
| 15 | 7, 14 | eqtr3d 2778 | . . . 4
⊢ (𝜑 → ((𝐵 − 𝐷)𝐺(𝐷 − 𝐶)) = (((𝐵 − 𝐷)𝐺(𝐴 − 𝐶)) − ((𝐵 − 𝐷)𝐺(𝐴 − 𝐷)))) | 
| 16 | 12 | sigarac 46872 | . . . . . . . . 9
⊢ (((𝐴 − 𝐷) ∈ ℂ ∧ (𝐵 − 𝐷) ∈ ℂ) → ((𝐴 − 𝐷)𝐺(𝐵 − 𝐷)) = -((𝐵 − 𝐷)𝐺(𝐴 − 𝐷))) | 
| 17 | 11, 9, 16 | syl2anc 584 | . . . . . . . 8
⊢ (𝜑 → ((𝐴 − 𝐷)𝐺(𝐵 − 𝐷)) = -((𝐵 − 𝐷)𝐺(𝐴 − 𝐷))) | 
| 18 | 4 | simprd 495 | . . . . . . . 8
⊢ (𝜑 → ((𝐴 − 𝐷)𝐺(𝐵 − 𝐷)) = 0) | 
| 19 | 17, 18 | eqtr3d 2778 | . . . . . . 7
⊢ (𝜑 → -((𝐵 − 𝐷)𝐺(𝐴 − 𝐷)) = 0) | 
| 20 | 19 | negeqd 11503 | . . . . . 6
⊢ (𝜑 → --((𝐵 − 𝐷)𝐺(𝐴 − 𝐷)) = -0) | 
| 21 | 9, 11 | jca 511 | . . . . . . . 8
⊢ (𝜑 → ((𝐵 − 𝐷) ∈ ℂ ∧ (𝐴 − 𝐷) ∈ ℂ)) | 
| 22 | 12, 21 | sigarimcd 46882 | . . . . . . 7
⊢ (𝜑 → ((𝐵 − 𝐷)𝐺(𝐴 − 𝐷)) ∈ ℂ) | 
| 23 | 22 | negnegd 11612 | . . . . . 6
⊢ (𝜑 → --((𝐵 − 𝐷)𝐺(𝐴 − 𝐷)) = ((𝐵 − 𝐷)𝐺(𝐴 − 𝐷))) | 
| 24 |  | neg0 11556 | . . . . . . 7
⊢ -0 =
0 | 
| 25 | 24 | a1i 11 | . . . . . 6
⊢ (𝜑 → -0 = 0) | 
| 26 | 20, 23, 25 | 3eqtr3d 2784 | . . . . 5
⊢ (𝜑 → ((𝐵 − 𝐷)𝐺(𝐴 − 𝐷)) = 0) | 
| 27 | 26 | oveq2d 7448 | . . . 4
⊢ (𝜑 → (((𝐵 − 𝐷)𝐺(𝐴 − 𝐶)) − ((𝐵 − 𝐷)𝐺(𝐴 − 𝐷))) = (((𝐵 − 𝐷)𝐺(𝐴 − 𝐶)) − 0)) | 
| 28 | 9, 10 | jca 511 | . . . . . 6
⊢ (𝜑 → ((𝐵 − 𝐷) ∈ ℂ ∧ (𝐴 − 𝐶) ∈ ℂ)) | 
| 29 | 12, 28 | sigarimcd 46882 | . . . . 5
⊢ (𝜑 → ((𝐵 − 𝐷)𝐺(𝐴 − 𝐶)) ∈ ℂ) | 
| 30 | 29 | subid1d 11610 | . . . 4
⊢ (𝜑 → (((𝐵 − 𝐷)𝐺(𝐴 − 𝐶)) − 0) = ((𝐵 − 𝐷)𝐺(𝐴 − 𝐶))) | 
| 31 | 15, 27, 30 | 3eqtrd 2780 | . . 3
⊢ (𝜑 → ((𝐵 − 𝐷)𝐺(𝐷 − 𝐶)) = ((𝐵 − 𝐷)𝐺(𝐴 − 𝐶))) | 
| 32 | 8, 5, 3 | nnncan2d 11656 | . . . 4
⊢ (𝜑 → ((𝐵 − 𝐶) − (𝐷 − 𝐶)) = (𝐵 − 𝐷)) | 
| 33 | 32 | oveq1d 7447 | . . 3
⊢ (𝜑 → (((𝐵 − 𝐶) − (𝐷 − 𝐶))𝐺(𝐴 − 𝐶)) = ((𝐵 − 𝐷)𝐺(𝐴 − 𝐶))) | 
| 34 | 8, 3 | subcld 11621 | . . . 4
⊢ (𝜑 → (𝐵 − 𝐶) ∈ ℂ) | 
| 35 | 5, 3 | subcld 11621 | . . . 4
⊢ (𝜑 → (𝐷 − 𝐶) ∈ ℂ) | 
| 36 | 12 | sigarmf 46874 | . . . 4
⊢ (((𝐵 − 𝐶) ∈ ℂ ∧ (𝐴 − 𝐶) ∈ ℂ ∧ (𝐷 − 𝐶) ∈ ℂ) → (((𝐵 − 𝐶) − (𝐷 − 𝐶))𝐺(𝐴 − 𝐶)) = (((𝐵 − 𝐶)𝐺(𝐴 − 𝐶)) − ((𝐷 − 𝐶)𝐺(𝐴 − 𝐶)))) | 
| 37 | 34, 10, 35, 36 | syl3anc 1372 | . . 3
⊢ (𝜑 → (((𝐵 − 𝐶) − (𝐷 − 𝐶))𝐺(𝐴 − 𝐶)) = (((𝐵 − 𝐶)𝐺(𝐴 − 𝐶)) − ((𝐷 − 𝐶)𝐺(𝐴 − 𝐶)))) | 
| 38 | 31, 33, 37 | 3eqtr2rd 2783 | . 2
⊢ (𝜑 → (((𝐵 − 𝐶)𝐺(𝐴 − 𝐶)) − ((𝐷 − 𝐶)𝐺(𝐴 − 𝐶))) = ((𝐵 − 𝐷)𝐺(𝐷 − 𝐶))) | 
| 39 | 3, 5 | subcld 11621 | . . . 4
⊢ (𝜑 → (𝐶 − 𝐷) ∈ ℂ) | 
| 40 |  | 1red 11263 | . . . . 5
⊢ (𝜑 → 1 ∈
ℝ) | 
| 41 | 40 | renegcld 11691 | . . . 4
⊢ (𝜑 → -1 ∈
ℝ) | 
| 42 | 12 | sigarls 46877 | . . . 4
⊢ (((𝐵 − 𝐷) ∈ ℂ ∧ (𝐶 − 𝐷) ∈ ℂ ∧ -1 ∈ ℝ)
→ ((𝐵 − 𝐷)𝐺((𝐶 − 𝐷) · -1)) = (((𝐵 − 𝐷)𝐺(𝐶 − 𝐷)) · -1)) | 
| 43 | 9, 39, 41, 42 | syl3anc 1372 | . . 3
⊢ (𝜑 → ((𝐵 − 𝐷)𝐺((𝐶 − 𝐷) · -1)) = (((𝐵 − 𝐷)𝐺(𝐶 − 𝐷)) · -1)) | 
| 44 | 39 | mulm1d 11716 | . . . . 5
⊢ (𝜑 → (-1 · (𝐶 − 𝐷)) = -(𝐶 − 𝐷)) | 
| 45 |  | 1cnd 11257 | . . . . . . 7
⊢ (𝜑 → 1 ∈
ℂ) | 
| 46 | 45 | negcld 11608 | . . . . . 6
⊢ (𝜑 → -1 ∈
ℂ) | 
| 47 | 46, 39 | mulcomd 11283 | . . . . 5
⊢ (𝜑 → (-1 · (𝐶 − 𝐷)) = ((𝐶 − 𝐷) · -1)) | 
| 48 | 3, 5 | negsubdi2d 11637 | . . . . 5
⊢ (𝜑 → -(𝐶 − 𝐷) = (𝐷 − 𝐶)) | 
| 49 | 44, 47, 48 | 3eqtr3d 2784 | . . . 4
⊢ (𝜑 → ((𝐶 − 𝐷) · -1) = (𝐷 − 𝐶)) | 
| 50 | 49 | oveq2d 7448 | . . 3
⊢ (𝜑 → ((𝐵 − 𝐷)𝐺((𝐶 − 𝐷) · -1)) = ((𝐵 − 𝐷)𝐺(𝐷 − 𝐶))) | 
| 51 | 9, 39 | jca 511 | . . . . . 6
⊢ (𝜑 → ((𝐵 − 𝐷) ∈ ℂ ∧ (𝐶 − 𝐷) ∈ ℂ)) | 
| 52 | 12, 51 | sigarimcd 46882 | . . . . 5
⊢ (𝜑 → ((𝐵 − 𝐷)𝐺(𝐶 − 𝐷)) ∈ ℂ) | 
| 53 | 52 | mulm1d 11716 | . . . 4
⊢ (𝜑 → (-1 · ((𝐵 − 𝐷)𝐺(𝐶 − 𝐷))) = -((𝐵 − 𝐷)𝐺(𝐶 − 𝐷))) | 
| 54 | 52, 46 | mulcomd 11283 | . . . 4
⊢ (𝜑 → (((𝐵 − 𝐷)𝐺(𝐶 − 𝐷)) · -1) = (-1 · ((𝐵 − 𝐷)𝐺(𝐶 − 𝐷)))) | 
| 55 | 12 | sigarac 46872 | . . . . 5
⊢ (((𝐶 − 𝐷) ∈ ℂ ∧ (𝐵 − 𝐷) ∈ ℂ) → ((𝐶 − 𝐷)𝐺(𝐵 − 𝐷)) = -((𝐵 − 𝐷)𝐺(𝐶 − 𝐷))) | 
| 56 | 39, 9, 55 | syl2anc 584 | . . . 4
⊢ (𝜑 → ((𝐶 − 𝐷)𝐺(𝐵 − 𝐷)) = -((𝐵 − 𝐷)𝐺(𝐶 − 𝐷))) | 
| 57 | 53, 54, 56 | 3eqtr4d 2786 | . . 3
⊢ (𝜑 → (((𝐵 − 𝐷)𝐺(𝐶 − 𝐷)) · -1) = ((𝐶 − 𝐷)𝐺(𝐵 − 𝐷))) | 
| 58 | 43, 50, 57 | 3eqtr3d 2784 | . 2
⊢ (𝜑 → ((𝐵 − 𝐷)𝐺(𝐷 − 𝐶)) = ((𝐶 − 𝐷)𝐺(𝐵 − 𝐷))) | 
| 59 | 12 | sigarperm 46880 | . . 3
⊢ ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ) → ((𝐶 − 𝐷)𝐺(𝐵 − 𝐷)) = ((𝐵 − 𝐶)𝐺(𝐷 − 𝐶))) | 
| 60 | 3, 8, 5, 59 | syl3anc 1372 | . 2
⊢ (𝜑 → ((𝐶 − 𝐷)𝐺(𝐵 − 𝐷)) = ((𝐵 − 𝐶)𝐺(𝐷 − 𝐶))) | 
| 61 | 38, 58, 60 | 3eqtrd 2780 | 1
⊢ (𝜑 → (((𝐵 − 𝐶)𝐺(𝐴 − 𝐶)) − ((𝐷 − 𝐶)𝐺(𝐴 − 𝐶))) = ((𝐵 − 𝐶)𝐺(𝐷 − 𝐶))) |