Users' Mathboxes Mathbox for Saveliy Skresanov < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  sigaradd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sigaradd 46301
Description: Subtracting (double) area of ๐ด๐ท๐ถ from ๐ด๐ต๐ถ yields the (double) area of ๐ท๐ต๐ถ. (Contributed by Saveliy Skresanov, 23-Sep-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
sharhght.sigar ๐บ = (๐‘ฅ โˆˆ โ„‚, ๐‘ฆ โˆˆ โ„‚ โ†ฆ (โ„‘โ€˜((โˆ—โ€˜๐‘ฅ) ยท ๐‘ฆ)))
sharhght.a (๐œ‘ โ†’ (๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„‚))
sharhght.b (๐œ‘ โ†’ (๐ท โˆˆ โ„‚ โˆง ((๐ด โˆ’ ๐ท)๐บ(๐ต โˆ’ ๐ท)) = 0))
Assertion
Ref Expression
sigaradd (๐œ‘ โ†’ (((๐ต โˆ’ ๐ถ)๐บ(๐ด โˆ’ ๐ถ)) โˆ’ ((๐ท โˆ’ ๐ถ)๐บ(๐ด โˆ’ ๐ถ))) = ((๐ต โˆ’ ๐ถ)๐บ(๐ท โˆ’ ๐ถ)))
Distinct variable groups:   ๐‘ฅ,๐‘ฆ,๐ด   ๐‘ฅ,๐ต,๐‘ฆ   ๐‘ฅ,๐ถ,๐‘ฆ   ๐‘ฅ,๐ท,๐‘ฆ
Allowed substitution hints:   ๐œ‘(๐‘ฅ,๐‘ฆ)   ๐บ(๐‘ฅ,๐‘ฆ)

Proof of Theorem sigaradd
StepHypRef Expression
1 sharhght.a . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„‚))
21simp1d 1139 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
31simp3d 1141 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„‚)
4 sharhght.b . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (๐ท โˆˆ โ„‚ โˆง ((๐ด โˆ’ ๐ท)๐บ(๐ต โˆ’ ๐ท)) = 0))
54simpld 493 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ๐ท โˆˆ โ„‚)
62, 3, 5nnncan1d 11645 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ((๐ด โˆ’ ๐ถ) โˆ’ (๐ด โˆ’ ๐ท)) = (๐ท โˆ’ ๐ถ))
76oveq2d 7442 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ((๐ต โˆ’ ๐ท)๐บ((๐ด โˆ’ ๐ถ) โˆ’ (๐ด โˆ’ ๐ท))) = ((๐ต โˆ’ ๐ท)๐บ(๐ท โˆ’ ๐ถ)))
81simp2d 1140 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
98, 5subcld 11611 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (๐ต โˆ’ ๐ท) โˆˆ โ„‚)
102, 3subcld 11611 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (๐ด โˆ’ ๐ถ) โˆˆ โ„‚)
112, 5subcld 11611 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (๐ด โˆ’ ๐ท) โˆˆ โ„‚)
12 sharhght.sigar . . . . . . 7 ๐บ = (๐‘ฅ โˆˆ โ„‚, ๐‘ฆ โˆˆ โ„‚ โ†ฆ (โ„‘โ€˜((โˆ—โ€˜๐‘ฅ) ยท ๐‘ฆ)))
1312sigarms 46291 . . . . . 6 (((๐ต โˆ’ ๐ท) โˆˆ โ„‚ โˆง (๐ด โˆ’ ๐ถ) โˆˆ โ„‚ โˆง (๐ด โˆ’ ๐ท) โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐ต โˆ’ ๐ท)๐บ((๐ด โˆ’ ๐ถ) โˆ’ (๐ด โˆ’ ๐ท))) = (((๐ต โˆ’ ๐ท)๐บ(๐ด โˆ’ ๐ถ)) โˆ’ ((๐ต โˆ’ ๐ท)๐บ(๐ด โˆ’ ๐ท))))
149, 10, 11, 13syl3anc 1368 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ((๐ต โˆ’ ๐ท)๐บ((๐ด โˆ’ ๐ถ) โˆ’ (๐ด โˆ’ ๐ท))) = (((๐ต โˆ’ ๐ท)๐บ(๐ด โˆ’ ๐ถ)) โˆ’ ((๐ต โˆ’ ๐ท)๐บ(๐ด โˆ’ ๐ท))))
157, 14eqtr3d 2770 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ((๐ต โˆ’ ๐ท)๐บ(๐ท โˆ’ ๐ถ)) = (((๐ต โˆ’ ๐ท)๐บ(๐ด โˆ’ ๐ถ)) โˆ’ ((๐ต โˆ’ ๐ท)๐บ(๐ด โˆ’ ๐ท))))
1612sigarac 46287 . . . . . . . . 9 (((๐ด โˆ’ ๐ท) โˆˆ โ„‚ โˆง (๐ต โˆ’ ๐ท) โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐ด โˆ’ ๐ท)๐บ(๐ต โˆ’ ๐ท)) = -((๐ต โˆ’ ๐ท)๐บ(๐ด โˆ’ ๐ท)))
1711, 9, 16syl2anc 582 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ((๐ด โˆ’ ๐ท)๐บ(๐ต โˆ’ ๐ท)) = -((๐ต โˆ’ ๐ท)๐บ(๐ด โˆ’ ๐ท)))
184simprd 494 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ((๐ด โˆ’ ๐ท)๐บ(๐ต โˆ’ ๐ท)) = 0)
1917, 18eqtr3d 2770 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ -((๐ต โˆ’ ๐ท)๐บ(๐ด โˆ’ ๐ท)) = 0)
2019negeqd 11494 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ --((๐ต โˆ’ ๐ท)๐บ(๐ด โˆ’ ๐ท)) = -0)
219, 11jca 510 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ((๐ต โˆ’ ๐ท) โˆˆ โ„‚ โˆง (๐ด โˆ’ ๐ท) โˆˆ โ„‚))
2212, 21sigarimcd 46297 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ((๐ต โˆ’ ๐ท)๐บ(๐ด โˆ’ ๐ท)) โˆˆ โ„‚)
2322negnegd 11602 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ --((๐ต โˆ’ ๐ท)๐บ(๐ด โˆ’ ๐ท)) = ((๐ต โˆ’ ๐ท)๐บ(๐ด โˆ’ ๐ท)))
24 neg0 11546 . . . . . . 7 -0 = 0
2524a1i 11 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ -0 = 0)
2620, 23, 253eqtr3d 2776 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ((๐ต โˆ’ ๐ท)๐บ(๐ด โˆ’ ๐ท)) = 0)
2726oveq2d 7442 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (((๐ต โˆ’ ๐ท)๐บ(๐ด โˆ’ ๐ถ)) โˆ’ ((๐ต โˆ’ ๐ท)๐บ(๐ด โˆ’ ๐ท))) = (((๐ต โˆ’ ๐ท)๐บ(๐ด โˆ’ ๐ถ)) โˆ’ 0))
289, 10jca 510 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ((๐ต โˆ’ ๐ท) โˆˆ โ„‚ โˆง (๐ด โˆ’ ๐ถ) โˆˆ โ„‚))
2912, 28sigarimcd 46297 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ((๐ต โˆ’ ๐ท)๐บ(๐ด โˆ’ ๐ถ)) โˆˆ โ„‚)
3029subid1d 11600 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (((๐ต โˆ’ ๐ท)๐บ(๐ด โˆ’ ๐ถ)) โˆ’ 0) = ((๐ต โˆ’ ๐ท)๐บ(๐ด โˆ’ ๐ถ)))
3115, 27, 303eqtrd 2772 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ((๐ต โˆ’ ๐ท)๐บ(๐ท โˆ’ ๐ถ)) = ((๐ต โˆ’ ๐ท)๐บ(๐ด โˆ’ ๐ถ)))
328, 5, 3nnncan2d 11646 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ((๐ต โˆ’ ๐ถ) โˆ’ (๐ท โˆ’ ๐ถ)) = (๐ต โˆ’ ๐ท))
3332oveq1d 7441 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (((๐ต โˆ’ ๐ถ) โˆ’ (๐ท โˆ’ ๐ถ))๐บ(๐ด โˆ’ ๐ถ)) = ((๐ต โˆ’ ๐ท)๐บ(๐ด โˆ’ ๐ถ)))
348, 3subcld 11611 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (๐ต โˆ’ ๐ถ) โˆˆ โ„‚)
355, 3subcld 11611 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (๐ท โˆ’ ๐ถ) โˆˆ โ„‚)
3612sigarmf 46289 . . . 4 (((๐ต โˆ’ ๐ถ) โˆˆ โ„‚ โˆง (๐ด โˆ’ ๐ถ) โˆˆ โ„‚ โˆง (๐ท โˆ’ ๐ถ) โˆˆ โ„‚) โ†’ (((๐ต โˆ’ ๐ถ) โˆ’ (๐ท โˆ’ ๐ถ))๐บ(๐ด โˆ’ ๐ถ)) = (((๐ต โˆ’ ๐ถ)๐บ(๐ด โˆ’ ๐ถ)) โˆ’ ((๐ท โˆ’ ๐ถ)๐บ(๐ด โˆ’ ๐ถ))))
3734, 10, 35, 36syl3anc 1368 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (((๐ต โˆ’ ๐ถ) โˆ’ (๐ท โˆ’ ๐ถ))๐บ(๐ด โˆ’ ๐ถ)) = (((๐ต โˆ’ ๐ถ)๐บ(๐ด โˆ’ ๐ถ)) โˆ’ ((๐ท โˆ’ ๐ถ)๐บ(๐ด โˆ’ ๐ถ))))
3831, 33, 373eqtr2rd 2775 . 2 (๐œ‘ โ†’ (((๐ต โˆ’ ๐ถ)๐บ(๐ด โˆ’ ๐ถ)) โˆ’ ((๐ท โˆ’ ๐ถ)๐บ(๐ด โˆ’ ๐ถ))) = ((๐ต โˆ’ ๐ท)๐บ(๐ท โˆ’ ๐ถ)))
393, 5subcld 11611 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (๐ถ โˆ’ ๐ท) โˆˆ โ„‚)
40 1red 11255 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ 1 โˆˆ โ„)
4140renegcld 11681 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ -1 โˆˆ โ„)
4212sigarls 46292 . . . 4 (((๐ต โˆ’ ๐ท) โˆˆ โ„‚ โˆง (๐ถ โˆ’ ๐ท) โˆˆ โ„‚ โˆง -1 โˆˆ โ„) โ†’ ((๐ต โˆ’ ๐ท)๐บ((๐ถ โˆ’ ๐ท) ยท -1)) = (((๐ต โˆ’ ๐ท)๐บ(๐ถ โˆ’ ๐ท)) ยท -1))
439, 39, 41, 42syl3anc 1368 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ((๐ต โˆ’ ๐ท)๐บ((๐ถ โˆ’ ๐ท) ยท -1)) = (((๐ต โˆ’ ๐ท)๐บ(๐ถ โˆ’ ๐ท)) ยท -1))
4439mulm1d 11706 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (-1 ยท (๐ถ โˆ’ ๐ท)) = -(๐ถ โˆ’ ๐ท))
45 1cnd 11249 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ 1 โˆˆ โ„‚)
4645negcld 11598 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ -1 โˆˆ โ„‚)
4746, 39mulcomd 11275 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (-1 ยท (๐ถ โˆ’ ๐ท)) = ((๐ถ โˆ’ ๐ท) ยท -1))
483, 5negsubdi2d 11627 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ -(๐ถ โˆ’ ๐ท) = (๐ท โˆ’ ๐ถ))
4944, 47, 483eqtr3d 2776 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ((๐ถ โˆ’ ๐ท) ยท -1) = (๐ท โˆ’ ๐ถ))
5049oveq2d 7442 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ((๐ต โˆ’ ๐ท)๐บ((๐ถ โˆ’ ๐ท) ยท -1)) = ((๐ต โˆ’ ๐ท)๐บ(๐ท โˆ’ ๐ถ)))
519, 39jca 510 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ((๐ต โˆ’ ๐ท) โˆˆ โ„‚ โˆง (๐ถ โˆ’ ๐ท) โˆˆ โ„‚))
5212, 51sigarimcd 46297 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ((๐ต โˆ’ ๐ท)๐บ(๐ถ โˆ’ ๐ท)) โˆˆ โ„‚)
5352mulm1d 11706 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (-1 ยท ((๐ต โˆ’ ๐ท)๐บ(๐ถ โˆ’ ๐ท))) = -((๐ต โˆ’ ๐ท)๐บ(๐ถ โˆ’ ๐ท)))
5452, 46mulcomd 11275 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (((๐ต โˆ’ ๐ท)๐บ(๐ถ โˆ’ ๐ท)) ยท -1) = (-1 ยท ((๐ต โˆ’ ๐ท)๐บ(๐ถ โˆ’ ๐ท))))
5512sigarac 46287 . . . . 5 (((๐ถ โˆ’ ๐ท) โˆˆ โ„‚ โˆง (๐ต โˆ’ ๐ท) โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐ถ โˆ’ ๐ท)๐บ(๐ต โˆ’ ๐ท)) = -((๐ต โˆ’ ๐ท)๐บ(๐ถ โˆ’ ๐ท)))
5639, 9, 55syl2anc 582 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ((๐ถ โˆ’ ๐ท)๐บ(๐ต โˆ’ ๐ท)) = -((๐ต โˆ’ ๐ท)๐บ(๐ถ โˆ’ ๐ท)))
5753, 54, 563eqtr4d 2778 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (((๐ต โˆ’ ๐ท)๐บ(๐ถ โˆ’ ๐ท)) ยท -1) = ((๐ถ โˆ’ ๐ท)๐บ(๐ต โˆ’ ๐ท)))
5843, 50, 573eqtr3d 2776 . 2 (๐œ‘ โ†’ ((๐ต โˆ’ ๐ท)๐บ(๐ท โˆ’ ๐ถ)) = ((๐ถ โˆ’ ๐ท)๐บ(๐ต โˆ’ ๐ท)))
5912sigarperm 46295 . . 3 ((๐ถ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ท โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐ถ โˆ’ ๐ท)๐บ(๐ต โˆ’ ๐ท)) = ((๐ต โˆ’ ๐ถ)๐บ(๐ท โˆ’ ๐ถ)))
603, 8, 5, 59syl3anc 1368 . 2 (๐œ‘ โ†’ ((๐ถ โˆ’ ๐ท)๐บ(๐ต โˆ’ ๐ท)) = ((๐ต โˆ’ ๐ถ)๐บ(๐ท โˆ’ ๐ถ)))
6138, 58, 603eqtrd 2772 1 (๐œ‘ โ†’ (((๐ต โˆ’ ๐ถ)๐บ(๐ด โˆ’ ๐ถ)) โˆ’ ((๐ท โˆ’ ๐ถ)๐บ(๐ด โˆ’ ๐ถ))) = ((๐ต โˆ’ ๐ถ)๐บ(๐ท โˆ’ ๐ถ)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 394   โˆง w3a 1084   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098  โ€˜cfv 6553  (class class class)co 7426   โˆˆ cmpo 7428  โ„‚cc 11146  โ„cr 11147  0cc0 11148  1c1 11149   ยท cmul 11153   โˆ’ cmin 11484  -cneg 11485  โˆ—ccj 15085  โ„‘cim 15087
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7748  ax-resscn 11205  ax-1cn 11206  ax-icn 11207  ax-addcl 11208  ax-addrcl 11209  ax-mulcl 11210  ax-mulrcl 11211  ax-mulcom 11212  ax-addass 11213  ax-mulass 11214  ax-distr 11215  ax-i2m1 11216  ax-1ne0 11217  ax-1rid 11218  ax-rnegex 11219  ax-rrecex 11220  ax-cnre 11221  ax-pre-lttri 11222  ax-pre-lttrn 11223  ax-pre-ltadd 11224  ax-pre-mulgt0 11225
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-id 5580  df-po 5594  df-so 5595  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-er 8733  df-en 8973  df-dom 8974  df-sdom 8975  df-pnf 11290  df-mnf 11291  df-xr 11292  df-ltxr 11293  df-le 11294  df-sub 11486  df-neg 11487  df-div 11912  df-2 12315  df-cj 15088  df-re 15089  df-im 15090
This theorem is referenced by:  cevathlem2  46303
  Copyright terms: Public domain W3C validator