Users' Mathboxes Mathbox for Saveliy Skresanov < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  sigaradd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sigaradd 43273
Description: Subtracting (double) area of 𝐴𝐷𝐶 from 𝐴𝐵𝐶 yields the (double) area of 𝐷𝐵𝐶. (Contributed by Saveliy Skresanov, 23-Sep-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
sharhght.sigar 𝐺 = (𝑥 ∈ ℂ, 𝑦 ∈ ℂ ↦ (ℑ‘((∗‘𝑥) · 𝑦)))
sharhght.a (𝜑 → (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ))
sharhght.b (𝜑 → (𝐷 ∈ ℂ ∧ ((𝐴𝐷)𝐺(𝐵𝐷)) = 0))
Assertion
Ref Expression
sigaradd (𝜑 → (((𝐵𝐶)𝐺(𝐴𝐶)) − ((𝐷𝐶)𝐺(𝐴𝐶))) = ((𝐵𝐶)𝐺(𝐷𝐶)))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐴   𝑥,𝐵,𝑦   𝑥,𝐶,𝑦   𝑥,𝐷,𝑦
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦)   𝐺(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem sigaradd
StepHypRef Expression
1 sharhght.a . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ))
21simp1d 1139 . . . . . . 7 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
31simp3d 1141 . . . . . . 7 (𝜑𝐶 ∈ ℂ)
4 sharhght.b . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐷 ∈ ℂ ∧ ((𝐴𝐷)𝐺(𝐵𝐷)) = 0))
54simpld 498 . . . . . . 7 (𝜑𝐷 ∈ ℂ)
62, 3, 5nnncan1d 11008 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝐴𝐶) − (𝐴𝐷)) = (𝐷𝐶))
76oveq2d 7146 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐵𝐷)𝐺((𝐴𝐶) − (𝐴𝐷))) = ((𝐵𝐷)𝐺(𝐷𝐶)))
81simp2d 1140 . . . . . . 7 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
98, 5subcld 10974 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐵𝐷) ∈ ℂ)
102, 3subcld 10974 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐴𝐶) ∈ ℂ)
112, 5subcld 10974 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐴𝐷) ∈ ℂ)
12 sharhght.sigar . . . . . . 7 𝐺 = (𝑥 ∈ ℂ, 𝑦 ∈ ℂ ↦ (ℑ‘((∗‘𝑥) · 𝑦)))
1312sigarms 43263 . . . . . 6 (((𝐵𝐷) ∈ ℂ ∧ (𝐴𝐶) ∈ ℂ ∧ (𝐴𝐷) ∈ ℂ) → ((𝐵𝐷)𝐺((𝐴𝐶) − (𝐴𝐷))) = (((𝐵𝐷)𝐺(𝐴𝐶)) − ((𝐵𝐷)𝐺(𝐴𝐷))))
149, 10, 11, 13syl3anc 1368 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐵𝐷)𝐺((𝐴𝐶) − (𝐴𝐷))) = (((𝐵𝐷)𝐺(𝐴𝐶)) − ((𝐵𝐷)𝐺(𝐴𝐷))))
157, 14eqtr3d 2858 . . . 4 (𝜑 → ((𝐵𝐷)𝐺(𝐷𝐶)) = (((𝐵𝐷)𝐺(𝐴𝐶)) − ((𝐵𝐷)𝐺(𝐴𝐷))))
1612sigarac 43259 . . . . . . . . 9 (((𝐴𝐷) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝐷) ∈ ℂ) → ((𝐴𝐷)𝐺(𝐵𝐷)) = -((𝐵𝐷)𝐺(𝐴𝐷)))
1711, 9, 16syl2anc 587 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝐴𝐷)𝐺(𝐵𝐷)) = -((𝐵𝐷)𝐺(𝐴𝐷)))
184simprd 499 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝐴𝐷)𝐺(𝐵𝐷)) = 0)
1917, 18eqtr3d 2858 . . . . . . 7 (𝜑 → -((𝐵𝐷)𝐺(𝐴𝐷)) = 0)
2019negeqd 10857 . . . . . 6 (𝜑 → --((𝐵𝐷)𝐺(𝐴𝐷)) = -0)
219, 11jca 515 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝐵𝐷) ∈ ℂ ∧ (𝐴𝐷) ∈ ℂ))
2212, 21sigarimcd 43269 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝐵𝐷)𝐺(𝐴𝐷)) ∈ ℂ)
2322negnegd 10965 . . . . . 6 (𝜑 → --((𝐵𝐷)𝐺(𝐴𝐷)) = ((𝐵𝐷)𝐺(𝐴𝐷)))
24 neg0 10909 . . . . . . 7 -0 = 0
2524a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → -0 = 0)
2620, 23, 253eqtr3d 2864 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐵𝐷)𝐺(𝐴𝐷)) = 0)
2726oveq2d 7146 . . . 4 (𝜑 → (((𝐵𝐷)𝐺(𝐴𝐶)) − ((𝐵𝐷)𝐺(𝐴𝐷))) = (((𝐵𝐷)𝐺(𝐴𝐶)) − 0))
289, 10jca 515 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝐵𝐷) ∈ ℂ ∧ (𝐴𝐶) ∈ ℂ))
2912, 28sigarimcd 43269 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐵𝐷)𝐺(𝐴𝐶)) ∈ ℂ)
3029subid1d 10963 . . . 4 (𝜑 → (((𝐵𝐷)𝐺(𝐴𝐶)) − 0) = ((𝐵𝐷)𝐺(𝐴𝐶)))
3115, 27, 303eqtrd 2860 . . 3 (𝜑 → ((𝐵𝐷)𝐺(𝐷𝐶)) = ((𝐵𝐷)𝐺(𝐴𝐶)))
328, 5, 3nnncan2d 11009 . . . 4 (𝜑 → ((𝐵𝐶) − (𝐷𝐶)) = (𝐵𝐷))
3332oveq1d 7145 . . 3 (𝜑 → (((𝐵𝐶) − (𝐷𝐶))𝐺(𝐴𝐶)) = ((𝐵𝐷)𝐺(𝐴𝐶)))
348, 3subcld 10974 . . . 4 (𝜑 → (𝐵𝐶) ∈ ℂ)
355, 3subcld 10974 . . . 4 (𝜑 → (𝐷𝐶) ∈ ℂ)
3612sigarmf 43261 . . . 4 (((𝐵𝐶) ∈ ℂ ∧ (𝐴𝐶) ∈ ℂ ∧ (𝐷𝐶) ∈ ℂ) → (((𝐵𝐶) − (𝐷𝐶))𝐺(𝐴𝐶)) = (((𝐵𝐶)𝐺(𝐴𝐶)) − ((𝐷𝐶)𝐺(𝐴𝐶))))
3734, 10, 35, 36syl3anc 1368 . . 3 (𝜑 → (((𝐵𝐶) − (𝐷𝐶))𝐺(𝐴𝐶)) = (((𝐵𝐶)𝐺(𝐴𝐶)) − ((𝐷𝐶)𝐺(𝐴𝐶))))
3831, 33, 373eqtr2rd 2863 . 2 (𝜑 → (((𝐵𝐶)𝐺(𝐴𝐶)) − ((𝐷𝐶)𝐺(𝐴𝐶))) = ((𝐵𝐷)𝐺(𝐷𝐶)))
393, 5subcld 10974 . . . 4 (𝜑 → (𝐶𝐷) ∈ ℂ)
40 1red 10619 . . . . 5 (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
4140renegcld 11044 . . . 4 (𝜑 → -1 ∈ ℝ)
4212sigarls 43264 . . . 4 (((𝐵𝐷) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝐷) ∈ ℂ ∧ -1 ∈ ℝ) → ((𝐵𝐷)𝐺((𝐶𝐷) · -1)) = (((𝐵𝐷)𝐺(𝐶𝐷)) · -1))
439, 39, 41, 42syl3anc 1368 . . 3 (𝜑 → ((𝐵𝐷)𝐺((𝐶𝐷) · -1)) = (((𝐵𝐷)𝐺(𝐶𝐷)) · -1))
4439mulm1d 11069 . . . . 5 (𝜑 → (-1 · (𝐶𝐷)) = -(𝐶𝐷))
45 1cnd 10613 . . . . . . 7 (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
4645negcld 10961 . . . . . 6 (𝜑 → -1 ∈ ℂ)
4746, 39mulcomd 10639 . . . . 5 (𝜑 → (-1 · (𝐶𝐷)) = ((𝐶𝐷) · -1))
483, 5negsubdi2d 10990 . . . . 5 (𝜑 → -(𝐶𝐷) = (𝐷𝐶))
4944, 47, 483eqtr3d 2864 . . . 4 (𝜑 → ((𝐶𝐷) · -1) = (𝐷𝐶))
5049oveq2d 7146 . . 3 (𝜑 → ((𝐵𝐷)𝐺((𝐶𝐷) · -1)) = ((𝐵𝐷)𝐺(𝐷𝐶)))
519, 39jca 515 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝐵𝐷) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝐷) ∈ ℂ))
5212, 51sigarimcd 43269 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐵𝐷)𝐺(𝐶𝐷)) ∈ ℂ)
5352mulm1d 11069 . . . 4 (𝜑 → (-1 · ((𝐵𝐷)𝐺(𝐶𝐷))) = -((𝐵𝐷)𝐺(𝐶𝐷)))
5452, 46mulcomd 10639 . . . 4 (𝜑 → (((𝐵𝐷)𝐺(𝐶𝐷)) · -1) = (-1 · ((𝐵𝐷)𝐺(𝐶𝐷))))
5512sigarac 43259 . . . . 5 (((𝐶𝐷) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝐷) ∈ ℂ) → ((𝐶𝐷)𝐺(𝐵𝐷)) = -((𝐵𝐷)𝐺(𝐶𝐷)))
5639, 9, 55syl2anc 587 . . . 4 (𝜑 → ((𝐶𝐷)𝐺(𝐵𝐷)) = -((𝐵𝐷)𝐺(𝐶𝐷)))
5753, 54, 563eqtr4d 2866 . . 3 (𝜑 → (((𝐵𝐷)𝐺(𝐶𝐷)) · -1) = ((𝐶𝐷)𝐺(𝐵𝐷)))
5843, 50, 573eqtr3d 2864 . 2 (𝜑 → ((𝐵𝐷)𝐺(𝐷𝐶)) = ((𝐶𝐷)𝐺(𝐵𝐷)))
5912sigarperm 43267 . . 3 ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ) → ((𝐶𝐷)𝐺(𝐵𝐷)) = ((𝐵𝐶)𝐺(𝐷𝐶)))
603, 8, 5, 59syl3anc 1368 . 2 (𝜑 → ((𝐶𝐷)𝐺(𝐵𝐷)) = ((𝐵𝐶)𝐺(𝐷𝐶)))
6138, 58, 603eqtrd 2860 1 (𝜑 → (((𝐵𝐶)𝐺(𝐴𝐶)) − ((𝐷𝐶)𝐺(𝐴𝐶))) = ((𝐵𝐶)𝐺(𝐷𝐶)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 399  w3a 1084   = wceq 1538  wcel 2115  cfv 6328  (class class class)co 7130  cmpo 7132  cc 10512  cr 10513  0cc0 10514  1c1 10515   · cmul 10519  cmin 10847  -cneg 10848  ccj 14434  cim 14436
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2178  ax-ext 2793  ax-sep 5176  ax-nul 5183  ax-pow 5239  ax-pr 5303  ax-un 7436  ax-resscn 10571  ax-1cn 10572  ax-icn 10573  ax-addcl 10574  ax-addrcl 10575  ax-mulcl 10576  ax-mulrcl 10577  ax-mulcom 10578  ax-addass 10579  ax-mulass 10580  ax-distr 10581  ax-i2m1 10582  ax-1ne0 10583  ax-1rid 10584  ax-rnegex 10585  ax-rrecex 10586  ax-cnre 10587  ax-pre-lttri 10588  ax-pre-lttrn 10589  ax-pre-ltadd 10590  ax-pre-mulgt0 10591
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2623  df-eu 2654  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2892  df-nfc 2960  df-ne 3008  df-nel 3112  df-ral 3131  df-rex 3132  df-reu 3133  df-rmo 3134  df-rab 3135  df-v 3473  df-sbc 3750  df-csb 3858  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-nul 4267  df-if 4441  df-pw 4514  df-sn 4541  df-pr 4543  df-op 4547  df-uni 4812  df-br 5040  df-opab 5102  df-mpt 5120  df-id 5433  df-po 5447  df-so 5448  df-xp 5534  df-rel 5535  df-cnv 5536  df-co 5537  df-dm 5538  df-rn 5539  df-res 5540  df-ima 5541  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-riota 7088  df-ov 7133  df-oprab 7134  df-mpo 7135  df-er 8264  df-en 8485  df-dom 8486  df-sdom 8487  df-pnf 10654  df-mnf 10655  df-xr 10656  df-ltxr 10657  df-le 10658  df-sub 10849  df-neg 10850  df-div 11275  df-2 11678  df-cj 14437  df-re 14438  df-im 14439
This theorem is referenced by:  cevathlem2  43275
  Copyright terms: Public domain W3C validator