Theorem sigaradd 47438

Description: Subtracting (double) area of 𝐴𝐷𝐶 from 𝐴𝐵𝐶 yields the (double) area of 𝐷𝐵𝐶. (Contributed by Saveliy Skresanov, 23-Sep-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
sharhght.sigar	⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ ℂ, 𝑦 ∈ ℂ ↦ (ℑ‘((∗‘𝑥) · 𝑦)))
sharhght.a	⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ))
sharhght.b	⊢ (𝜑 → (𝐷 ∈ ℂ ∧ ((𝐴 − 𝐷)𝐺(𝐵 − 𝐷)) = 0))

Assertion

Ref	Expression
sigaradd	⊢ (𝜑 → (((𝐵 − 𝐶)𝐺(𝐴 − 𝐶)) − ((𝐷 − 𝐶)𝐺(𝐴 − 𝐶))) = ((𝐵 − 𝐶)𝐺(𝐷 − 𝐶)))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐴   𝑥,𝐵,𝑦   𝑥,𝐶,𝑦   𝑥,𝐷,𝑦

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦)   𝐺(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem sigaradd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sharhght.a	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ))
2	1	simp1d 1158	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
3	1	simp3d 1160	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
4		sharhght.b	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐷 ∈ ℂ ∧ ((𝐴 − 𝐷)𝐺(𝐵 − 𝐷)) = 0))
5	4	simpld 499	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℂ)
6	2, 3, 5	nnncan1d 11591	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 − 𝐶) − (𝐴 − 𝐷)) = (𝐷 − 𝐶))
7	6	oveq2d 7416	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 − 𝐷)𝐺((𝐴 − 𝐶) − (𝐴 − 𝐷))) = ((𝐵 − 𝐷)𝐺(𝐷 − 𝐶)))
8	1	simp2d 1159	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
9	8, 5	subcld 11557	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐵 − 𝐷) ∈ ℂ)
10	2, 3	subcld 11557	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝐶) ∈ ℂ)
11	2, 5	subcld 11557	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝐷) ∈ ℂ)
12		sharhght.sigar	. . . . . . 7 ⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ ℂ, 𝑦 ∈ ℂ ↦ (ℑ‘((∗‘𝑥) · 𝑦)))
13	12	sigarms 47428	. . . . . 6 ⊢ (((𝐵 − 𝐷) ∈ ℂ ∧ (𝐴 − 𝐶) ∈ ℂ ∧ (𝐴 − 𝐷) ∈ ℂ) → ((𝐵 − 𝐷)𝐺((𝐴 − 𝐶) − (𝐴 − 𝐷))) = (((𝐵 − 𝐷)𝐺(𝐴 − 𝐶)) − ((𝐵 − 𝐷)𝐺(𝐴 − 𝐷))))
14	9, 10, 11, 13	syl3anc 1394	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 − 𝐷)𝐺((𝐴 − 𝐶) − (𝐴 − 𝐷))) = (((𝐵 − 𝐷)𝐺(𝐴 − 𝐶)) − ((𝐵 − 𝐷)𝐺(𝐴 − 𝐷))))
15	7, 14	eqtr3d 2802	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 − 𝐷)𝐺(𝐷 − 𝐶)) = (((𝐵 − 𝐷)𝐺(𝐴 − 𝐶)) − ((𝐵 − 𝐷)𝐺(𝐴 − 𝐷))))
16	12	sigarac 47424	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 − 𝐷) ∈ ℂ ∧ (𝐵 − 𝐷) ∈ ℂ) → ((𝐴 − 𝐷)𝐺(𝐵 − 𝐷)) = -((𝐵 − 𝐷)𝐺(𝐴 − 𝐷)))
17	11, 9, 16	syl2anc 595	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 − 𝐷)𝐺(𝐵 − 𝐷)) = -((𝐵 − 𝐷)𝐺(𝐴 − 𝐷)))
18	4	simprd 500	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 − 𝐷)𝐺(𝐵 − 𝐷)) = 0)
19	17, 18	eqtr3d 2802	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → -((𝐵 − 𝐷)𝐺(𝐴 − 𝐷)) = 0)
20	19	negeqd 11439	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → --((𝐵 − 𝐷)𝐺(𝐴 − 𝐷)) = -0)
21	9, 11	jca 520	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 − 𝐷) ∈ ℂ ∧ (𝐴 − 𝐷) ∈ ℂ))
22	12, 21	sigarimcd 47434	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 − 𝐷)𝐺(𝐴 − 𝐷)) ∈ ℂ)
23	22	negnegd 11548	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → --((𝐵 − 𝐷)𝐺(𝐴 − 𝐷)) = ((𝐵 − 𝐷)𝐺(𝐴 − 𝐷)))
24		neg0 11492	. . . . . . 7 ⊢ -0 = 0
25	24	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → -0 = 0)
26	20, 23, 25	3eqtr3d 2808	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 − 𝐷)𝐺(𝐴 − 𝐷)) = 0)
27	26	oveq2d 7416	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((𝐵 − 𝐷)𝐺(𝐴 − 𝐶)) − ((𝐵 − 𝐷)𝐺(𝐴 − 𝐷))) = (((𝐵 − 𝐷)𝐺(𝐴 − 𝐶)) − 0))
28	9, 10	jca 520	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 − 𝐷) ∈ ℂ ∧ (𝐴 − 𝐶) ∈ ℂ))
29	12, 28	sigarimcd 47434	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 − 𝐷)𝐺(𝐴 − 𝐶)) ∈ ℂ)
30	29	subid1d 11546	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((𝐵 − 𝐷)𝐺(𝐴 − 𝐶)) − 0) = ((𝐵 − 𝐷)𝐺(𝐴 − 𝐶)))
31	15, 27, 30	3eqtrd 2804	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 − 𝐷)𝐺(𝐷 − 𝐶)) = ((𝐵 − 𝐷)𝐺(𝐴 − 𝐶)))
32	8, 5, 3	nnncan2d 11592	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 − 𝐶) − (𝐷 − 𝐶)) = (𝐵 − 𝐷))
33	32	oveq1d 7415	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((𝐵 − 𝐶) − (𝐷 − 𝐶))𝐺(𝐴 − 𝐶)) = ((𝐵 − 𝐷)𝐺(𝐴 − 𝐶)))
34	8, 3	subcld 11557	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐵 − 𝐶) ∈ ℂ)
35	5, 3	subcld 11557	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐷 − 𝐶) ∈ ℂ)
36	12	sigarmf 47426	. . . 4 ⊢ (((𝐵 − 𝐶) ∈ ℂ ∧ (𝐴 − 𝐶) ∈ ℂ ∧ (𝐷 − 𝐶) ∈ ℂ) → (((𝐵 − 𝐶) − (𝐷 − 𝐶))𝐺(𝐴 − 𝐶)) = (((𝐵 − 𝐶)𝐺(𝐴 − 𝐶)) − ((𝐷 − 𝐶)𝐺(𝐴 − 𝐶))))
37	34, 10, 35, 36	syl3anc 1394	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((𝐵 − 𝐶) − (𝐷 − 𝐶))𝐺(𝐴 − 𝐶)) = (((𝐵 − 𝐶)𝐺(𝐴 − 𝐶)) − ((𝐷 − 𝐶)𝐺(𝐴 − 𝐶))))
38	31, 33, 37	3eqtr2rd 2807	. 2 ⊢ (𝜑 → (((𝐵 − 𝐶)𝐺(𝐴 − 𝐶)) − ((𝐷 − 𝐶)𝐺(𝐴 − 𝐶))) = ((𝐵 − 𝐷)𝐺(𝐷 − 𝐶)))
39	3, 5	subcld 11557	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐶 − 𝐷) ∈ ℂ)
40		1red 11197	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
41	40	renegcld 11629	. . . 4 ⊢ (𝜑 → -1 ∈ ℝ)
42	12	sigarls 47429	. . . 4 ⊢ (((𝐵 − 𝐷) ∈ ℂ ∧ (𝐶 − 𝐷) ∈ ℂ ∧ -1 ∈ ℝ) → ((𝐵 − 𝐷)𝐺((𝐶 − 𝐷) · -1)) = (((𝐵 − 𝐷)𝐺(𝐶 − 𝐷)) · -1))
43	9, 39, 41, 42	syl3anc 1394	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 − 𝐷)𝐺((𝐶 − 𝐷) · -1)) = (((𝐵 − 𝐷)𝐺(𝐶 − 𝐷)) · -1))
44	39	mulm1d 11654	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (-1 · (𝐶 − 𝐷)) = -(𝐶 − 𝐷))
45		1cnd 11190	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
46	45	negcld 11544	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → -1 ∈ ℂ)
47	46, 39	mulcomd 11218	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (-1 · (𝐶 − 𝐷)) = ((𝐶 − 𝐷) · -1))
48	3, 5	negsubdi2d 11573	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → -(𝐶 − 𝐷) = (𝐷 − 𝐶))
49	44, 47, 48	3eqtr3d 2808	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 − 𝐷) · -1) = (𝐷 − 𝐶))
50	49	oveq2d 7416	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 − 𝐷)𝐺((𝐶 − 𝐷) · -1)) = ((𝐵 − 𝐷)𝐺(𝐷 − 𝐶)))
51	9, 39	jca 520	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 − 𝐷) ∈ ℂ ∧ (𝐶 − 𝐷) ∈ ℂ))
52	12, 51	sigarimcd 47434	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 − 𝐷)𝐺(𝐶 − 𝐷)) ∈ ℂ)
53	52	mulm1d 11654	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (-1 · ((𝐵 − 𝐷)𝐺(𝐶 − 𝐷))) = -((𝐵 − 𝐷)𝐺(𝐶 − 𝐷)))
54	52, 46	mulcomd 11218	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((𝐵 − 𝐷)𝐺(𝐶 − 𝐷)) · -1) = (-1 · ((𝐵 − 𝐷)𝐺(𝐶 − 𝐷))))
55	12	sigarac 47424	. . . . 5 ⊢ (((𝐶 − 𝐷) ∈ ℂ ∧ (𝐵 − 𝐷) ∈ ℂ) → ((𝐶 − 𝐷)𝐺(𝐵 − 𝐷)) = -((𝐵 − 𝐷)𝐺(𝐶 − 𝐷)))
56	39, 9, 55	syl2anc 595	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 − 𝐷)𝐺(𝐵 − 𝐷)) = -((𝐵 − 𝐷)𝐺(𝐶 − 𝐷)))
57	53, 54, 56	3eqtr4d 2810	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((𝐵 − 𝐷)𝐺(𝐶 − 𝐷)) · -1) = ((𝐶 − 𝐷)𝐺(𝐵 − 𝐷)))
58	43, 50, 57	3eqtr3d 2808	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 − 𝐷)𝐺(𝐷 − 𝐶)) = ((𝐶 − 𝐷)𝐺(𝐵 − 𝐷)))
59	12	sigarperm 47432	. . 3 ⊢ ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ) → ((𝐶 − 𝐷)𝐺(𝐵 − 𝐷)) = ((𝐵 − 𝐶)𝐺(𝐷 − 𝐶)))
60	3, 8, 5, 59	syl3anc 1394	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 − 𝐷)𝐺(𝐵 − 𝐷)) = ((𝐵 − 𝐶)𝐺(𝐷 − 𝐶)))
61	38, 58, 60	3eqtrd 2804	1 ⊢ (𝜑 → (((𝐵 − 𝐶)𝐺(𝐴 − 𝐶)) − ((𝐷 − 𝐶)𝐺(𝐴 − 𝐶))) = ((𝐵 − 𝐶)𝐺(𝐷 − 𝐶)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   ∧ w3a 1101   = wceq 1563   ∈ wcel 2145  ‘cfv 6525  (class class class)co 7400   ∈ cmpo 7402  ℂcc 11086  ℝcr 11087  0cc0 11088  1c1 11089   · cmul 11093   − cmin 11429  -cneg 11430  ∗ccj 15137  ℑcim 15139

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1818  ax-4 1832  ax-5 1933  ax-6 1990  ax-7 2031  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2737  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5327  ax-pr 5395  ax-un 7722  ax-resscn 11145  ax-1cn 11146  ax-icn 11147  ax-addcl 11148  ax-addrcl 11149  ax-mulcl 11150  ax-mulrcl 11151  ax-mulcom 11152  ax-addass 11153  ax-mulass 11154  ax-distr 11155  ax-i2m1 11156  ax-1ne0 11157  ax-1rid 11158  ax-rnegex 11159  ax-rrecex 11160  ax-cnre 11161  ax-pre-lttri 11162  ax-pre-lttrn 11163  ax-pre-ltadd 11164  ax-pre-mulgt0 11165

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1566  df-fal 1576  df-ex 1803  df-nf 1807  df-sb 2094  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3418  df-v 3459  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3910  df-un 3912  df-in 3914  df-ss 3924  df-pss 3927  df-nul 4289  df-if 4484  df-pw 4560  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4869  df-iun 4954  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5547  df-eprel 5552  df-po 5560  df-so 5561  df-fr 5605  df-we 5607  df-xp 5658  df-rel 5659  df-cnv 5660  df-co 5661  df-dm 5662  df-rn 5663  df-res 5664  df-ima 5665  df-pred 6292  df-ord 6353  df-on 6354  df-lim 6355  df-suc 6356  df-iota 6481  df-fun 6527  df-fn 6528  df-f 6529  df-f1 6530  df-fo 6531  df-f1o 6532  df-fv 6533  df-riota 7357  df-ov 7403  df-oprab 7404  df-mpo 7405  df-om 7851  df-2nd 7975  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8346  df-rdg 8385  df-er 8682  df-en 8932  df-dom 8933  df-sdom 8934  df-pnf 11233  df-mnf 11234  df-xr 11235  df-ltxr 11236  df-le 11237  df-sub 11431  df-neg 11432  df-div 11860  df-nn 12225  df-2 12294  df-cj 15140  df-re 15141  df-im 15142

This theorem is referenced by:  cevathlem2  47440