Theorem sigaradd 46151

Description: Subtracting (double) area of 𝐴𝐷𝐶 from 𝐴𝐵𝐶 yields the (double) area of 𝐷𝐵𝐶. (Contributed by Saveliy Skresanov, 23-Sep-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
sharhght.sigar	⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ ℂ, 𝑦 ∈ ℂ ↦ (ℑ‘((∗‘𝑥) · 𝑦)))
sharhght.a	⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ))
sharhght.b	⊢ (𝜑 → (𝐷 ∈ ℂ ∧ ((𝐴 − 𝐷)𝐺(𝐵 − 𝐷)) = 0))

Assertion

Ref	Expression
sigaradd	⊢ (𝜑 → (((𝐵 − 𝐶)𝐺(𝐴 − 𝐶)) − ((𝐷 − 𝐶)𝐺(𝐴 − 𝐶))) = ((𝐵 − 𝐶)𝐺(𝐷 − 𝐶)))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐴   𝑥,𝐵,𝑦   𝑥,𝐶,𝑦   𝑥,𝐷,𝑦

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦)   𝐺(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem sigaradd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sharhght.a	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ))
2	1	simp1d 1139	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
3	1	simp3d 1141	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
4		sharhght.b	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐷 ∈ ℂ ∧ ((𝐴 − 𝐷)𝐺(𝐵 − 𝐷)) = 0))
5	4	simpld 494	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℂ)
6	2, 3, 5	nnncan1d 11609	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 − 𝐶) − (𝐴 − 𝐷)) = (𝐷 − 𝐶))
7	6	oveq2d 7421	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 − 𝐷)𝐺((𝐴 − 𝐶) − (𝐴 − 𝐷))) = ((𝐵 − 𝐷)𝐺(𝐷 − 𝐶)))
8	1	simp2d 1140	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
9	8, 5	subcld 11575	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐵 − 𝐷) ∈ ℂ)
10	2, 3	subcld 11575	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝐶) ∈ ℂ)
11	2, 5	subcld 11575	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝐷) ∈ ℂ)
12		sharhght.sigar	. . . . . . 7 ⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ ℂ, 𝑦 ∈ ℂ ↦ (ℑ‘((∗‘𝑥) · 𝑦)))
13	12	sigarms 46141	. . . . . 6 ⊢ (((𝐵 − 𝐷) ∈ ℂ ∧ (𝐴 − 𝐶) ∈ ℂ ∧ (𝐴 − 𝐷) ∈ ℂ) → ((𝐵 − 𝐷)𝐺((𝐴 − 𝐶) − (𝐴 − 𝐷))) = (((𝐵 − 𝐷)𝐺(𝐴 − 𝐶)) − ((𝐵 − 𝐷)𝐺(𝐴 − 𝐷))))
14	9, 10, 11, 13	syl3anc 1368	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 − 𝐷)𝐺((𝐴 − 𝐶) − (𝐴 − 𝐷))) = (((𝐵 − 𝐷)𝐺(𝐴 − 𝐶)) − ((𝐵 − 𝐷)𝐺(𝐴 − 𝐷))))
15	7, 14	eqtr3d 2768	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 − 𝐷)𝐺(𝐷 − 𝐶)) = (((𝐵 − 𝐷)𝐺(𝐴 − 𝐶)) − ((𝐵 − 𝐷)𝐺(𝐴 − 𝐷))))
16	12	sigarac 46137	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 − 𝐷) ∈ ℂ ∧ (𝐵 − 𝐷) ∈ ℂ) → ((𝐴 − 𝐷)𝐺(𝐵 − 𝐷)) = -((𝐵 − 𝐷)𝐺(𝐴 − 𝐷)))
17	11, 9, 16	syl2anc 583	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 − 𝐷)𝐺(𝐵 − 𝐷)) = -((𝐵 − 𝐷)𝐺(𝐴 − 𝐷)))
18	4	simprd 495	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 − 𝐷)𝐺(𝐵 − 𝐷)) = 0)
19	17, 18	eqtr3d 2768	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → -((𝐵 − 𝐷)𝐺(𝐴 − 𝐷)) = 0)
20	19	negeqd 11458	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → --((𝐵 − 𝐷)𝐺(𝐴 − 𝐷)) = -0)
21	9, 11	jca 511	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 − 𝐷) ∈ ℂ ∧ (𝐴 − 𝐷) ∈ ℂ))
22	12, 21	sigarimcd 46147	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 − 𝐷)𝐺(𝐴 − 𝐷)) ∈ ℂ)
23	22	negnegd 11566	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → --((𝐵 − 𝐷)𝐺(𝐴 − 𝐷)) = ((𝐵 − 𝐷)𝐺(𝐴 − 𝐷)))
24		neg0 11510	. . . . . . 7 ⊢ -0 = 0
25	24	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → -0 = 0)
26	20, 23, 25	3eqtr3d 2774	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 − 𝐷)𝐺(𝐴 − 𝐷)) = 0)
27	26	oveq2d 7421	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((𝐵 − 𝐷)𝐺(𝐴 − 𝐶)) − ((𝐵 − 𝐷)𝐺(𝐴 − 𝐷))) = (((𝐵 − 𝐷)𝐺(𝐴 − 𝐶)) − 0))
28	9, 10	jca 511	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 − 𝐷) ∈ ℂ ∧ (𝐴 − 𝐶) ∈ ℂ))
29	12, 28	sigarimcd 46147	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 − 𝐷)𝐺(𝐴 − 𝐶)) ∈ ℂ)
30	29	subid1d 11564	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((𝐵 − 𝐷)𝐺(𝐴 − 𝐶)) − 0) = ((𝐵 − 𝐷)𝐺(𝐴 − 𝐶)))
31	15, 27, 30	3eqtrd 2770	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 − 𝐷)𝐺(𝐷 − 𝐶)) = ((𝐵 − 𝐷)𝐺(𝐴 − 𝐶)))
32	8, 5, 3	nnncan2d 11610	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 − 𝐶) − (𝐷 − 𝐶)) = (𝐵 − 𝐷))
33	32	oveq1d 7420	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((𝐵 − 𝐶) − (𝐷 − 𝐶))𝐺(𝐴 − 𝐶)) = ((𝐵 − 𝐷)𝐺(𝐴 − 𝐶)))
34	8, 3	subcld 11575	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐵 − 𝐶) ∈ ℂ)
35	5, 3	subcld 11575	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐷 − 𝐶) ∈ ℂ)
36	12	sigarmf 46139	. . . 4 ⊢ (((𝐵 − 𝐶) ∈ ℂ ∧ (𝐴 − 𝐶) ∈ ℂ ∧ (𝐷 − 𝐶) ∈ ℂ) → (((𝐵 − 𝐶) − (𝐷 − 𝐶))𝐺(𝐴 − 𝐶)) = (((𝐵 − 𝐶)𝐺(𝐴 − 𝐶)) − ((𝐷 − 𝐶)𝐺(𝐴 − 𝐶))))
37	34, 10, 35, 36	syl3anc 1368	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((𝐵 − 𝐶) − (𝐷 − 𝐶))𝐺(𝐴 − 𝐶)) = (((𝐵 − 𝐶)𝐺(𝐴 − 𝐶)) − ((𝐷 − 𝐶)𝐺(𝐴 − 𝐶))))
38	31, 33, 37	3eqtr2rd 2773	. 2 ⊢ (𝜑 → (((𝐵 − 𝐶)𝐺(𝐴 − 𝐶)) − ((𝐷 − 𝐶)𝐺(𝐴 − 𝐶))) = ((𝐵 − 𝐷)𝐺(𝐷 − 𝐶)))
39	3, 5	subcld 11575	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐶 − 𝐷) ∈ ℂ)
40		1red 11219	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
41	40	renegcld 11645	. . . 4 ⊢ (𝜑 → -1 ∈ ℝ)
42	12	sigarls 46142	. . . 4 ⊢ (((𝐵 − 𝐷) ∈ ℂ ∧ (𝐶 − 𝐷) ∈ ℂ ∧ -1 ∈ ℝ) → ((𝐵 − 𝐷)𝐺((𝐶 − 𝐷) · -1)) = (((𝐵 − 𝐷)𝐺(𝐶 − 𝐷)) · -1))
43	9, 39, 41, 42	syl3anc 1368	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 − 𝐷)𝐺((𝐶 − 𝐷) · -1)) = (((𝐵 − 𝐷)𝐺(𝐶 − 𝐷)) · -1))
44	39	mulm1d 11670	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (-1 · (𝐶 − 𝐷)) = -(𝐶 − 𝐷))
45		1cnd 11213	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
46	45	negcld 11562	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → -1 ∈ ℂ)
47	46, 39	mulcomd 11239	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (-1 · (𝐶 − 𝐷)) = ((𝐶 − 𝐷) · -1))
48	3, 5	negsubdi2d 11591	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → -(𝐶 − 𝐷) = (𝐷 − 𝐶))
49	44, 47, 48	3eqtr3d 2774	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 − 𝐷) · -1) = (𝐷 − 𝐶))
50	49	oveq2d 7421	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 − 𝐷)𝐺((𝐶 − 𝐷) · -1)) = ((𝐵 − 𝐷)𝐺(𝐷 − 𝐶)))
51	9, 39	jca 511	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 − 𝐷) ∈ ℂ ∧ (𝐶 − 𝐷) ∈ ℂ))
52	12, 51	sigarimcd 46147	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 − 𝐷)𝐺(𝐶 − 𝐷)) ∈ ℂ)
53	52	mulm1d 11670	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (-1 · ((𝐵 − 𝐷)𝐺(𝐶 − 𝐷))) = -((𝐵 − 𝐷)𝐺(𝐶 − 𝐷)))
54	52, 46	mulcomd 11239	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((𝐵 − 𝐷)𝐺(𝐶 − 𝐷)) · -1) = (-1 · ((𝐵 − 𝐷)𝐺(𝐶 − 𝐷))))
55	12	sigarac 46137	. . . . 5 ⊢ (((𝐶 − 𝐷) ∈ ℂ ∧ (𝐵 − 𝐷) ∈ ℂ) → ((𝐶 − 𝐷)𝐺(𝐵 − 𝐷)) = -((𝐵 − 𝐷)𝐺(𝐶 − 𝐷)))
56	39, 9, 55	syl2anc 583	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 − 𝐷)𝐺(𝐵 − 𝐷)) = -((𝐵 − 𝐷)𝐺(𝐶 − 𝐷)))
57	53, 54, 56	3eqtr4d 2776	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((𝐵 − 𝐷)𝐺(𝐶 − 𝐷)) · -1) = ((𝐶 − 𝐷)𝐺(𝐵 − 𝐷)))
58	43, 50, 57	3eqtr3d 2774	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 − 𝐷)𝐺(𝐷 − 𝐶)) = ((𝐶 − 𝐷)𝐺(𝐵 − 𝐷)))
59	12	sigarperm 46145	. . 3 ⊢ ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ) → ((𝐶 − 𝐷)𝐺(𝐵 − 𝐷)) = ((𝐵 − 𝐶)𝐺(𝐷 − 𝐶)))
60	3, 8, 5, 59	syl3anc 1368	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 − 𝐷)𝐺(𝐵 − 𝐷)) = ((𝐵 − 𝐶)𝐺(𝐷 − 𝐶)))
61	38, 58, 60	3eqtrd 2770	1 ⊢ (𝜑 → (((𝐵 − 𝐶)𝐺(𝐴 − 𝐶)) − ((𝐷 − 𝐶)𝐺(𝐴 − 𝐶))) = ((𝐵 − 𝐶)𝐺(𝐷 − 𝐶)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  ‘cfv 6537  (class class class)co 7405   ∈ cmpo 7407  ℂcc 11110  ℝcr 11111  0cc0 11112  1c1 11113   · cmul 11117   − cmin 11448  -cneg 11449  ∗ccj 15049  ℑcim 15051

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-id 5567  df-po 5581  df-so 5582  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-2 12279  df-cj 15052  df-re 15053  df-im 15054

This theorem is referenced by:  cevathlem2  46153