Users' Mathboxes Mathbox for Saveliy Skresanov < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  sigaradd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sigaradd 41801
Description: Subtracting (double) area of 𝐴𝐷𝐶 from 𝐴𝐵𝐶 yields the (double) area of 𝐷𝐵𝐶. (Contributed by Saveliy Skresanov, 23-Sep-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
sharhght.sigar 𝐺 = (𝑥 ∈ ℂ, 𝑦 ∈ ℂ ↦ (ℑ‘((∗‘𝑥) · 𝑦)))
sharhght.a (𝜑 → (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ))
sharhght.b (𝜑 → (𝐷 ∈ ℂ ∧ ((𝐴𝐷)𝐺(𝐵𝐷)) = 0))
Assertion
Ref Expression
sigaradd (𝜑 → (((𝐵𝐶)𝐺(𝐴𝐶)) − ((𝐷𝐶)𝐺(𝐴𝐶))) = ((𝐵𝐶)𝐺(𝐷𝐶)))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐴   𝑥,𝐵,𝑦   𝑥,𝐶,𝑦   𝑥,𝐷,𝑦
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦)   𝐺(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem sigaradd
StepHypRef Expression
1 sharhght.a . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ))
21simp1d 1173 . . . . . . 7 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
31simp3d 1175 . . . . . . 7 (𝜑𝐶 ∈ ℂ)
4 sharhght.b . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐷 ∈ ℂ ∧ ((𝐴𝐷)𝐺(𝐵𝐷)) = 0))
54simpld 489 . . . . . . 7 (𝜑𝐷 ∈ ℂ)
62, 3, 5nnncan1d 10718 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝐴𝐶) − (𝐴𝐷)) = (𝐷𝐶))
76oveq2d 6894 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐵𝐷)𝐺((𝐴𝐶) − (𝐴𝐷))) = ((𝐵𝐷)𝐺(𝐷𝐶)))
81simp2d 1174 . . . . . . 7 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
98, 5subcld 10684 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐵𝐷) ∈ ℂ)
102, 3subcld 10684 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐴𝐶) ∈ ℂ)
112, 5subcld 10684 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐴𝐷) ∈ ℂ)
12 sharhght.sigar . . . . . . 7 𝐺 = (𝑥 ∈ ℂ, 𝑦 ∈ ℂ ↦ (ℑ‘((∗‘𝑥) · 𝑦)))
1312sigarms 41791 . . . . . 6 (((𝐵𝐷) ∈ ℂ ∧ (𝐴𝐶) ∈ ℂ ∧ (𝐴𝐷) ∈ ℂ) → ((𝐵𝐷)𝐺((𝐴𝐶) − (𝐴𝐷))) = (((𝐵𝐷)𝐺(𝐴𝐶)) − ((𝐵𝐷)𝐺(𝐴𝐷))))
149, 10, 11, 13syl3anc 1491 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐵𝐷)𝐺((𝐴𝐶) − (𝐴𝐷))) = (((𝐵𝐷)𝐺(𝐴𝐶)) − ((𝐵𝐷)𝐺(𝐴𝐷))))
157, 14eqtr3d 2835 . . . 4 (𝜑 → ((𝐵𝐷)𝐺(𝐷𝐶)) = (((𝐵𝐷)𝐺(𝐴𝐶)) − ((𝐵𝐷)𝐺(𝐴𝐷))))
1612sigarac 41787 . . . . . . . . 9 (((𝐴𝐷) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝐷) ∈ ℂ) → ((𝐴𝐷)𝐺(𝐵𝐷)) = -((𝐵𝐷)𝐺(𝐴𝐷)))
1711, 9, 16syl2anc 580 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝐴𝐷)𝐺(𝐵𝐷)) = -((𝐵𝐷)𝐺(𝐴𝐷)))
184simprd 490 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝐴𝐷)𝐺(𝐵𝐷)) = 0)
1917, 18eqtr3d 2835 . . . . . . 7 (𝜑 → -((𝐵𝐷)𝐺(𝐴𝐷)) = 0)
2019negeqd 10566 . . . . . 6 (𝜑 → --((𝐵𝐷)𝐺(𝐴𝐷)) = -0)
219, 11jca 508 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝐵𝐷) ∈ ℂ ∧ (𝐴𝐷) ∈ ℂ))
2212, 21sigarimcd 41797 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝐵𝐷)𝐺(𝐴𝐷)) ∈ ℂ)
2322negnegd 10675 . . . . . 6 (𝜑 → --((𝐵𝐷)𝐺(𝐴𝐷)) = ((𝐵𝐷)𝐺(𝐴𝐷)))
24 neg0 10619 . . . . . . 7 -0 = 0
2524a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → -0 = 0)
2620, 23, 253eqtr3d 2841 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐵𝐷)𝐺(𝐴𝐷)) = 0)
2726oveq2d 6894 . . . 4 (𝜑 → (((𝐵𝐷)𝐺(𝐴𝐶)) − ((𝐵𝐷)𝐺(𝐴𝐷))) = (((𝐵𝐷)𝐺(𝐴𝐶)) − 0))
289, 10jca 508 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝐵𝐷) ∈ ℂ ∧ (𝐴𝐶) ∈ ℂ))
2912, 28sigarimcd 41797 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐵𝐷)𝐺(𝐴𝐶)) ∈ ℂ)
3029subid1d 10673 . . . 4 (𝜑 → (((𝐵𝐷)𝐺(𝐴𝐶)) − 0) = ((𝐵𝐷)𝐺(𝐴𝐶)))
3115, 27, 303eqtrd 2837 . . 3 (𝜑 → ((𝐵𝐷)𝐺(𝐷𝐶)) = ((𝐵𝐷)𝐺(𝐴𝐶)))
328, 5, 3nnncan2d 10719 . . . 4 (𝜑 → ((𝐵𝐶) − (𝐷𝐶)) = (𝐵𝐷))
3332oveq1d 6893 . . 3 (𝜑 → (((𝐵𝐶) − (𝐷𝐶))𝐺(𝐴𝐶)) = ((𝐵𝐷)𝐺(𝐴𝐶)))
348, 3subcld 10684 . . . 4 (𝜑 → (𝐵𝐶) ∈ ℂ)
355, 3subcld 10684 . . . 4 (𝜑 → (𝐷𝐶) ∈ ℂ)
3612sigarmf 41789 . . . 4 (((𝐵𝐶) ∈ ℂ ∧ (𝐴𝐶) ∈ ℂ ∧ (𝐷𝐶) ∈ ℂ) → (((𝐵𝐶) − (𝐷𝐶))𝐺(𝐴𝐶)) = (((𝐵𝐶)𝐺(𝐴𝐶)) − ((𝐷𝐶)𝐺(𝐴𝐶))))
3734, 10, 35, 36syl3anc 1491 . . 3 (𝜑 → (((𝐵𝐶) − (𝐷𝐶))𝐺(𝐴𝐶)) = (((𝐵𝐶)𝐺(𝐴𝐶)) − ((𝐷𝐶)𝐺(𝐴𝐶))))
3831, 33, 373eqtr2rd 2840 . 2 (𝜑 → (((𝐵𝐶)𝐺(𝐴𝐶)) − ((𝐷𝐶)𝐺(𝐴𝐶))) = ((𝐵𝐷)𝐺(𝐷𝐶)))
393, 5subcld 10684 . . . 4 (𝜑 → (𝐶𝐷) ∈ ℂ)
40 1red 10329 . . . . 5 (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
4140renegcld 10749 . . . 4 (𝜑 → -1 ∈ ℝ)
4212sigarls 41792 . . . 4 (((𝐵𝐷) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝐷) ∈ ℂ ∧ -1 ∈ ℝ) → ((𝐵𝐷)𝐺((𝐶𝐷) · -1)) = (((𝐵𝐷)𝐺(𝐶𝐷)) · -1))
439, 39, 41, 42syl3anc 1491 . . 3 (𝜑 → ((𝐵𝐷)𝐺((𝐶𝐷) · -1)) = (((𝐵𝐷)𝐺(𝐶𝐷)) · -1))
4439mulm1d 10774 . . . . 5 (𝜑 → (-1 · (𝐶𝐷)) = -(𝐶𝐷))
45 1cnd 10323 . . . . . . 7 (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
4645negcld 10671 . . . . . 6 (𝜑 → -1 ∈ ℂ)
4746, 39mulcomd 10350 . . . . 5 (𝜑 → (-1 · (𝐶𝐷)) = ((𝐶𝐷) · -1))
483, 5negsubdi2d 10700 . . . . 5 (𝜑 → -(𝐶𝐷) = (𝐷𝐶))
4944, 47, 483eqtr3d 2841 . . . 4 (𝜑 → ((𝐶𝐷) · -1) = (𝐷𝐶))
5049oveq2d 6894 . . 3 (𝜑 → ((𝐵𝐷)𝐺((𝐶𝐷) · -1)) = ((𝐵𝐷)𝐺(𝐷𝐶)))
519, 39jca 508 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝐵𝐷) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝐷) ∈ ℂ))
5212, 51sigarimcd 41797 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐵𝐷)𝐺(𝐶𝐷)) ∈ ℂ)
5352mulm1d 10774 . . . 4 (𝜑 → (-1 · ((𝐵𝐷)𝐺(𝐶𝐷))) = -((𝐵𝐷)𝐺(𝐶𝐷)))
5452, 46mulcomd 10350 . . . 4 (𝜑 → (((𝐵𝐷)𝐺(𝐶𝐷)) · -1) = (-1 · ((𝐵𝐷)𝐺(𝐶𝐷))))
5512sigarac 41787 . . . . 5 (((𝐶𝐷) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝐷) ∈ ℂ) → ((𝐶𝐷)𝐺(𝐵𝐷)) = -((𝐵𝐷)𝐺(𝐶𝐷)))
5639, 9, 55syl2anc 580 . . . 4 (𝜑 → ((𝐶𝐷)𝐺(𝐵𝐷)) = -((𝐵𝐷)𝐺(𝐶𝐷)))
5753, 54, 563eqtr4d 2843 . . 3 (𝜑 → (((𝐵𝐷)𝐺(𝐶𝐷)) · -1) = ((𝐶𝐷)𝐺(𝐵𝐷)))
5843, 50, 573eqtr3d 2841 . 2 (𝜑 → ((𝐵𝐷)𝐺(𝐷𝐶)) = ((𝐶𝐷)𝐺(𝐵𝐷)))
5912sigarperm 41795 . . 3 ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ) → ((𝐶𝐷)𝐺(𝐵𝐷)) = ((𝐵𝐶)𝐺(𝐷𝐶)))
603, 8, 5, 59syl3anc 1491 . 2 (𝜑 → ((𝐶𝐷)𝐺(𝐵𝐷)) = ((𝐵𝐶)𝐺(𝐷𝐶)))
6138, 58, 603eqtrd 2837 1 (𝜑 → (((𝐵𝐶)𝐺(𝐴𝐶)) − ((𝐷𝐶)𝐺(𝐴𝐶))) = ((𝐵𝐶)𝐺(𝐷𝐶)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 385  w3a 1108   = wceq 1653  wcel 2157  cfv 6101  (class class class)co 6878  cmpt2 6880  cc 10222  cr 10223  0cc0 10224  1c1 10225   · cmul 10229  cmin 10556  -cneg 10557  ccj 14177  cim 14179
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1891  ax-4 1905  ax-5 2006  ax-6 2072  ax-7 2107  ax-8 2159  ax-9 2166  ax-10 2185  ax-11 2200  ax-12 2213  ax-13 2377  ax-ext 2777  ax-sep 4975  ax-nul 4983  ax-pow 5035  ax-pr 5097  ax-un 7183  ax-resscn 10281  ax-1cn 10282  ax-icn 10283  ax-addcl 10284  ax-addrcl 10285  ax-mulcl 10286  ax-mulrcl 10287  ax-mulcom 10288  ax-addass 10289  ax-mulass 10290  ax-distr 10291  ax-i2m1 10292  ax-1ne0 10293  ax-1rid 10294  ax-rnegex 10295  ax-rrecex 10296  ax-cnre 10297  ax-pre-lttri 10298  ax-pre-lttrn 10299  ax-pre-ltadd 10300  ax-pre-mulgt0 10301
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 386  df-or 875  df-3or 1109  df-3an 1110  df-tru 1657  df-ex 1876  df-nf 1880  df-sb 2065  df-mo 2591  df-eu 2609  df-clab 2786  df-cleq 2792  df-clel 2795  df-nfc 2930  df-ne 2972  df-nel 3075  df-ral 3094  df-rex 3095  df-reu 3096  df-rmo 3097  df-rab 3098  df-v 3387  df-sbc 3634  df-csb 3729  df-dif 3772  df-un 3774  df-in 3776  df-ss 3783  df-nul 4116  df-if 4278  df-pw 4351  df-sn 4369  df-pr 4371  df-op 4375  df-uni 4629  df-br 4844  df-opab 4906  df-mpt 4923  df-id 5220  df-po 5233  df-so 5234  df-xp 5318  df-rel 5319  df-cnv 5320  df-co 5321  df-dm 5322  df-rn 5323  df-res 5324  df-ima 5325  df-iota 6064  df-fun 6103  df-fn 6104  df-f 6105  df-f1 6106  df-fo 6107  df-f1o 6108  df-fv 6109  df-riota 6839  df-ov 6881  df-oprab 6882  df-mpt2 6883  df-er 7982  df-en 8196  df-dom 8197  df-sdom 8198  df-pnf 10365  df-mnf 10366  df-xr 10367  df-ltxr 10368  df-le 10369  df-sub 10558  df-neg 10559  df-div 10977  df-2 11376  df-cj 14180  df-re 14181  df-im 14182
This theorem is referenced by:  cevathlem2  41803
  Copyright terms: Public domain W3C validator