Theorem sigaradd 46886

Description: Subtracting (double) area of 𝐴𝐷𝐶 from 𝐴𝐵𝐶 yields the (double) area of 𝐷𝐵𝐶. (Contributed by Saveliy Skresanov, 23-Sep-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
sharhght.sigar	⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ ℂ, 𝑦 ∈ ℂ ↦ (ℑ‘((∗‘𝑥) · 𝑦)))
sharhght.a	⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ))
sharhght.b	⊢ (𝜑 → (𝐷 ∈ ℂ ∧ ((𝐴 − 𝐷)𝐺(𝐵 − 𝐷)) = 0))

Assertion

Ref	Expression
sigaradd	⊢ (𝜑 → (((𝐵 − 𝐶)𝐺(𝐴 − 𝐶)) − ((𝐷 − 𝐶)𝐺(𝐴 − 𝐶))) = ((𝐵 − 𝐶)𝐺(𝐷 − 𝐶)))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐴   𝑥,𝐵,𝑦   𝑥,𝐶,𝑦   𝑥,𝐷,𝑦

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦)   𝐺(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem sigaradd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sharhght.a	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ))
2	1	simp1d 1142	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
3	1	simp3d 1144	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
4		sharhght.b	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐷 ∈ ℂ ∧ ((𝐴 − 𝐷)𝐺(𝐵 − 𝐷)) = 0))
5	4	simpld 494	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℂ)
6	2, 3, 5	nnncan1d 11655	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 − 𝐶) − (𝐴 − 𝐷)) = (𝐷 − 𝐶))
7	6	oveq2d 7448	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 − 𝐷)𝐺((𝐴 − 𝐶) − (𝐴 − 𝐷))) = ((𝐵 − 𝐷)𝐺(𝐷 − 𝐶)))
8	1	simp2d 1143	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
9	8, 5	subcld 11621	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐵 − 𝐷) ∈ ℂ)
10	2, 3	subcld 11621	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝐶) ∈ ℂ)
11	2, 5	subcld 11621	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝐷) ∈ ℂ)
12		sharhght.sigar	. . . . . . 7 ⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ ℂ, 𝑦 ∈ ℂ ↦ (ℑ‘((∗‘𝑥) · 𝑦)))
13	12	sigarms 46876	. . . . . 6 ⊢ (((𝐵 − 𝐷) ∈ ℂ ∧ (𝐴 − 𝐶) ∈ ℂ ∧ (𝐴 − 𝐷) ∈ ℂ) → ((𝐵 − 𝐷)𝐺((𝐴 − 𝐶) − (𝐴 − 𝐷))) = (((𝐵 − 𝐷)𝐺(𝐴 − 𝐶)) − ((𝐵 − 𝐷)𝐺(𝐴 − 𝐷))))
14	9, 10, 11, 13	syl3anc 1372	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 − 𝐷)𝐺((𝐴 − 𝐶) − (𝐴 − 𝐷))) = (((𝐵 − 𝐷)𝐺(𝐴 − 𝐶)) − ((𝐵 − 𝐷)𝐺(𝐴 − 𝐷))))
15	7, 14	eqtr3d 2778	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 − 𝐷)𝐺(𝐷 − 𝐶)) = (((𝐵 − 𝐷)𝐺(𝐴 − 𝐶)) − ((𝐵 − 𝐷)𝐺(𝐴 − 𝐷))))
16	12	sigarac 46872	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 − 𝐷) ∈ ℂ ∧ (𝐵 − 𝐷) ∈ ℂ) → ((𝐴 − 𝐷)𝐺(𝐵 − 𝐷)) = -((𝐵 − 𝐷)𝐺(𝐴 − 𝐷)))
17	11, 9, 16	syl2anc 584	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 − 𝐷)𝐺(𝐵 − 𝐷)) = -((𝐵 − 𝐷)𝐺(𝐴 − 𝐷)))
18	4	simprd 495	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 − 𝐷)𝐺(𝐵 − 𝐷)) = 0)
19	17, 18	eqtr3d 2778	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → -((𝐵 − 𝐷)𝐺(𝐴 − 𝐷)) = 0)
20	19	negeqd 11503	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → --((𝐵 − 𝐷)𝐺(𝐴 − 𝐷)) = -0)
21	9, 11	jca 511	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 − 𝐷) ∈ ℂ ∧ (𝐴 − 𝐷) ∈ ℂ))
22	12, 21	sigarimcd 46882	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 − 𝐷)𝐺(𝐴 − 𝐷)) ∈ ℂ)
23	22	negnegd 11612	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → --((𝐵 − 𝐷)𝐺(𝐴 − 𝐷)) = ((𝐵 − 𝐷)𝐺(𝐴 − 𝐷)))
24		neg0 11556	. . . . . . 7 ⊢ -0 = 0
25	24	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → -0 = 0)
26	20, 23, 25	3eqtr3d 2784	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 − 𝐷)𝐺(𝐴 − 𝐷)) = 0)
27	26	oveq2d 7448	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((𝐵 − 𝐷)𝐺(𝐴 − 𝐶)) − ((𝐵 − 𝐷)𝐺(𝐴 − 𝐷))) = (((𝐵 − 𝐷)𝐺(𝐴 − 𝐶)) − 0))
28	9, 10	jca 511	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 − 𝐷) ∈ ℂ ∧ (𝐴 − 𝐶) ∈ ℂ))
29	12, 28	sigarimcd 46882	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 − 𝐷)𝐺(𝐴 − 𝐶)) ∈ ℂ)
30	29	subid1d 11610	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((𝐵 − 𝐷)𝐺(𝐴 − 𝐶)) − 0) = ((𝐵 − 𝐷)𝐺(𝐴 − 𝐶)))
31	15, 27, 30	3eqtrd 2780	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 − 𝐷)𝐺(𝐷 − 𝐶)) = ((𝐵 − 𝐷)𝐺(𝐴 − 𝐶)))
32	8, 5, 3	nnncan2d 11656	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 − 𝐶) − (𝐷 − 𝐶)) = (𝐵 − 𝐷))
33	32	oveq1d 7447	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((𝐵 − 𝐶) − (𝐷 − 𝐶))𝐺(𝐴 − 𝐶)) = ((𝐵 − 𝐷)𝐺(𝐴 − 𝐶)))
34	8, 3	subcld 11621	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐵 − 𝐶) ∈ ℂ)
35	5, 3	subcld 11621	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐷 − 𝐶) ∈ ℂ)
36	12	sigarmf 46874	. . . 4 ⊢ (((𝐵 − 𝐶) ∈ ℂ ∧ (𝐴 − 𝐶) ∈ ℂ ∧ (𝐷 − 𝐶) ∈ ℂ) → (((𝐵 − 𝐶) − (𝐷 − 𝐶))𝐺(𝐴 − 𝐶)) = (((𝐵 − 𝐶)𝐺(𝐴 − 𝐶)) − ((𝐷 − 𝐶)𝐺(𝐴 − 𝐶))))
37	34, 10, 35, 36	syl3anc 1372	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((𝐵 − 𝐶) − (𝐷 − 𝐶))𝐺(𝐴 − 𝐶)) = (((𝐵 − 𝐶)𝐺(𝐴 − 𝐶)) − ((𝐷 − 𝐶)𝐺(𝐴 − 𝐶))))
38	31, 33, 37	3eqtr2rd 2783	. 2 ⊢ (𝜑 → (((𝐵 − 𝐶)𝐺(𝐴 − 𝐶)) − ((𝐷 − 𝐶)𝐺(𝐴 − 𝐶))) = ((𝐵 − 𝐷)𝐺(𝐷 − 𝐶)))
39	3, 5	subcld 11621	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐶 − 𝐷) ∈ ℂ)
40		1red 11263	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
41	40	renegcld 11691	. . . 4 ⊢ (𝜑 → -1 ∈ ℝ)
42	12	sigarls 46877	. . . 4 ⊢ (((𝐵 − 𝐷) ∈ ℂ ∧ (𝐶 − 𝐷) ∈ ℂ ∧ -1 ∈ ℝ) → ((𝐵 − 𝐷)𝐺((𝐶 − 𝐷) · -1)) = (((𝐵 − 𝐷)𝐺(𝐶 − 𝐷)) · -1))
43	9, 39, 41, 42	syl3anc 1372	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 − 𝐷)𝐺((𝐶 − 𝐷) · -1)) = (((𝐵 − 𝐷)𝐺(𝐶 − 𝐷)) · -1))
44	39	mulm1d 11716	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (-1 · (𝐶 − 𝐷)) = -(𝐶 − 𝐷))
45		1cnd 11257	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
46	45	negcld 11608	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → -1 ∈ ℂ)
47	46, 39	mulcomd 11283	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (-1 · (𝐶 − 𝐷)) = ((𝐶 − 𝐷) · -1))
48	3, 5	negsubdi2d 11637	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → -(𝐶 − 𝐷) = (𝐷 − 𝐶))
49	44, 47, 48	3eqtr3d 2784	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 − 𝐷) · -1) = (𝐷 − 𝐶))
50	49	oveq2d 7448	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 − 𝐷)𝐺((𝐶 − 𝐷) · -1)) = ((𝐵 − 𝐷)𝐺(𝐷 − 𝐶)))
51	9, 39	jca 511	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 − 𝐷) ∈ ℂ ∧ (𝐶 − 𝐷) ∈ ℂ))
52	12, 51	sigarimcd 46882	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 − 𝐷)𝐺(𝐶 − 𝐷)) ∈ ℂ)
53	52	mulm1d 11716	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (-1 · ((𝐵 − 𝐷)𝐺(𝐶 − 𝐷))) = -((𝐵 − 𝐷)𝐺(𝐶 − 𝐷)))
54	52, 46	mulcomd 11283	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((𝐵 − 𝐷)𝐺(𝐶 − 𝐷)) · -1) = (-1 · ((𝐵 − 𝐷)𝐺(𝐶 − 𝐷))))
55	12	sigarac 46872	. . . . 5 ⊢ (((𝐶 − 𝐷) ∈ ℂ ∧ (𝐵 − 𝐷) ∈ ℂ) → ((𝐶 − 𝐷)𝐺(𝐵 − 𝐷)) = -((𝐵 − 𝐷)𝐺(𝐶 − 𝐷)))
56	39, 9, 55	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 − 𝐷)𝐺(𝐵 − 𝐷)) = -((𝐵 − 𝐷)𝐺(𝐶 − 𝐷)))
57	53, 54, 56	3eqtr4d 2786	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((𝐵 − 𝐷)𝐺(𝐶 − 𝐷)) · -1) = ((𝐶 − 𝐷)𝐺(𝐵 − 𝐷)))
58	43, 50, 57	3eqtr3d 2784	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 − 𝐷)𝐺(𝐷 − 𝐶)) = ((𝐶 − 𝐷)𝐺(𝐵 − 𝐷)))
59	12	sigarperm 46880	. . 3 ⊢ ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ) → ((𝐶 − 𝐷)𝐺(𝐵 − 𝐷)) = ((𝐵 − 𝐶)𝐺(𝐷 − 𝐶)))
60	3, 8, 5, 59	syl3anc 1372	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 − 𝐷)𝐺(𝐵 − 𝐷)) = ((𝐵 − 𝐶)𝐺(𝐷 − 𝐶)))
61	38, 58, 60	3eqtrd 2780	1 ⊢ (𝜑 → (((𝐵 − 𝐶)𝐺(𝐴 − 𝐶)) − ((𝐷 − 𝐶)𝐺(𝐴 − 𝐶))) = ((𝐵 − 𝐶)𝐺(𝐷 − 𝐶)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1539   ∈ wcel 2107  ‘cfv 6560  (class class class)co 7432   ∈ cmpo 7434  ℂcc 11154  ℝcr 11155  0cc0 11156  1c1 11157   · cmul 11161   − cmin 11493  -cneg 11494  ∗ccj 15136  ℑcim 15138

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2707  ax-sep 5295  ax-nul 5305  ax-pow 5364  ax-pr 5431  ax-un 7756  ax-resscn 11213  ax-1cn 11214  ax-icn 11215  ax-addcl 11216  ax-addrcl 11217  ax-mulcl 11218  ax-mulrcl 11219  ax-mulcom 11220  ax-addass 11221  ax-mulass 11222  ax-distr 11223  ax-i2m1 11224  ax-1ne0 11225  ax-1rid 11226  ax-rnegex 11227  ax-rrecex 11228  ax-cnre 11229  ax-pre-lttri 11230  ax-pre-lttrn 11231  ax-pre-ltadd 11232  ax-pre-mulgt0 11233

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3379  df-reu 3380  df-rab 3436  df-v 3481  df-sbc 3788  df-csb 3899  df-dif 3953  df-un 3955  df-in 3957  df-ss 3967  df-pss 3970  df-nul 4333  df-if 4525  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4907  df-iun 4992  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5577  df-eprel 5583  df-po 5591  df-so 5592  df-fr 5636  df-we 5638  df-xp 5690  df-rel 5691  df-cnv 5692  df-co 5693  df-dm 5694  df-rn 5695  df-res 5696  df-ima 5697  df-pred 6320  df-ord 6386  df-on 6387  df-lim 6388  df-suc 6389  df-iota 6513  df-fun 6562  df-fn 6563  df-f 6564  df-f1 6565  df-fo 6566  df-f1o 6567  df-fv 6568  df-riota 7389  df-ov 7435  df-oprab 7436  df-mpo 7437  df-om 7889  df-2nd 8016  df-frecs 8307  df-wrecs 8338  df-recs 8412  df-rdg 8451  df-er 8746  df-en 8987  df-dom 8988  df-sdom 8989  df-pnf 11298  df-mnf 11299  df-xr 11300  df-ltxr 11301  df-le 11302  df-sub 11495  df-neg 11496  df-div 11922  df-nn 12268  df-2 12330  df-cj 15139  df-re 15140  df-im 15141

This theorem is referenced by:  cevathlem2  46888