Theorem constrrtlc2 34246

Description: In the construction of constructible numbers, line-circle intersections are one of the original points, in a degenerate case. (Contributed by Thierry Arnoux, 6-Jul-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
constrrtlc.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ ℂ)
constrrtlc.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑆)
constrrtlc.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑆)
constrrtlc.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑆)
constrrtlc.e	⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ 𝑆)
constrrtlc.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑆)
constrrtlc.t	⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ ℝ)
constrrtlc.1	⊢ (𝜑 → 𝑋 = (𝐴 + (𝑇 · (𝐵 − 𝐴))))
constrrtlc.2	⊢ (𝜑 → (abs‘(𝑋 − 𝐶)) = (abs‘(𝐸 − 𝐹)))
constrrtlc2.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
constrrtlc2	⊢ (𝜑 → 𝑋 = 𝐴)

Proof of Theorem constrrtlc2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		constrrtlc.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑋 = (𝐴 + (𝑇 · (𝐵 − 𝐴))))
2		constrrtlc.s	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ ℂ)
3		constrrtlc.b	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑆)
4	2, 3	sseldd 3932	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
5		constrrtlc2.1	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐵)
6	5	eqcomd 2766	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = 𝐴)
7	4, 6	subeq0bd 11667	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐵 − 𝐴) = 0)
8	7	oveq2d 7430	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑇 · (𝐵 − 𝐴)) = (𝑇 · 0))
9		constrrtlc.t	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ ℝ)
10	9	recnd 11264	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ ℂ)
11	10	mul01d 11436	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑇 · 0) = 0)
12	8, 11	eqtrd 2795	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑇 · (𝐵 − 𝐴)) = 0)
13	12	oveq2d 7430	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 + (𝑇 · (𝐵 − 𝐴))) = (𝐴 + 0))
14		constrrtlc.a	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑆)
15	2, 14	sseldd 3932	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
16	15	addridd 11437	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 + 0) = 𝐴)
17	1, 13, 16	3eqtrd 2799	1 ⊢ (𝜑 → 𝑋 = 𝐴)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ⊆ wss 3899  ‘cfv 6533  (class class class)co 7414  ℂcc 11125  ℝcr 11126  0cc0 11127   + caddc 11130   · cmul 11132   − cmin 11468  abscabs 15324

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7737  ax-resscn 11184  ax-1cn 11185  ax-icn 11186  ax-addcl 11187  ax-addrcl 11188  ax-mulcl 11189  ax-mulrcl 11190  ax-mulcom 11191  ax-addass 11192  ax-mulass 11193  ax-distr 11194  ax-i2m1 11195  ax-1ne0 11196  ax-1rid 11197  ax-rnegex 11198  ax-rrecex 11199  ax-cnre 11200  ax-pre-lttri 11201  ax-pre-lttrn 11202  ax-pre-ltadd 11203

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-id 5550  df-po 5563  df-so 5564  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7371  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-er 8699  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-ltxr 11275  df-sub 11470

This theorem is used by:  constrfin  34259  constrelextdg2  34260