Theorem constrrtlc2 33724

Description: In the construction of constructible numbers, line-circle intersections are one of the original points, in a degenerate case. (Contributed by Thierry Arnoux, 6-Jul-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
constrrtlc.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ ℂ)
constrrtlc.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑆)
constrrtlc.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑆)
constrrtlc.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑆)
constrrtlc.e	⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ 𝑆)
constrrtlc.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑆)
constrrtlc.t	⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ ℝ)
constrrtlc.1	⊢ (𝜑 → 𝑋 = (𝐴 + (𝑇 · (𝐵 − 𝐴))))
constrrtlc.2	⊢ (𝜑 → (abs‘(𝑋 − 𝐶)) = (abs‘(𝐸 − 𝐹)))
constrrtlc2.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
constrrtlc2	⊢ (𝜑 → 𝑋 = 𝐴)

Proof of Theorem constrrtlc2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		constrrtlc.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑋 = (𝐴 + (𝑇 · (𝐵 − 𝐴))))
2		constrrtlc.s	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ ℂ)
3		constrrtlc.b	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑆)
4	2, 3	sseldd 4009	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
5		constrrtlc2.1	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐵)
6	5	eqcomd 2746	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = 𝐴)
7	4, 6	subeq0bd 11716	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐵 − 𝐴) = 0)
8	7	oveq2d 7464	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑇 · (𝐵 − 𝐴)) = (𝑇 · 0))
9		constrrtlc.t	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ ℝ)
10	9	recnd 11318	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ ℂ)
11	10	mul01d 11489	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑇 · 0) = 0)
12	8, 11	eqtrd 2780	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑇 · (𝐵 − 𝐴)) = 0)
13	12	oveq2d 7464	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 + (𝑇 · (𝐵 − 𝐴))) = (𝐴 + 0))
14		constrrtlc.a	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑆)
15	2, 14	sseldd 4009	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
16	15	addridd 11490	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 + 0) = 𝐴)
17	1, 13, 16	3eqtrd 2784	1 ⊢ (𝜑 → 𝑋 = 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1537   ∈ wcel 2108   ⊆ wss 3976  ‘cfv 6573  (class class class)co 7448  ℂcc 11182  ℝcr 11183  0cc0 11184   + caddc 11187   · cmul 11189   − cmin 11520  abscabs 15283

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-mulcom 11248  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-id 5593  df-po 5607  df-so 5608  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-er 8763  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-ltxr 11329  df-sub 11522

This theorem is referenced by:  constrfin  33736  constrelextdg2  33737