Theorem constrrtlc2 33772

Description: In the construction of constructible numbers, line-circle intersections are one of the original points, in a degenerate case. (Contributed by Thierry Arnoux, 6-Jul-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
constrrtlc.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ ℂ)
constrrtlc.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑆)
constrrtlc.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑆)
constrrtlc.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑆)
constrrtlc.e	⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ 𝑆)
constrrtlc.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑆)
constrrtlc.t	⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ ℝ)
constrrtlc.1	⊢ (𝜑 → 𝑋 = (𝐴 + (𝑇 · (𝐵 − 𝐴))))
constrrtlc.2	⊢ (𝜑 → (abs‘(𝑋 − 𝐶)) = (abs‘(𝐸 − 𝐹)))
constrrtlc2.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
constrrtlc2	⊢ (𝜑 → 𝑋 = 𝐴)

Proof of Theorem constrrtlc2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		constrrtlc.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑋 = (𝐴 + (𝑇 · (𝐵 − 𝐴))))
2		constrrtlc.s	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ ℂ)
3		constrrtlc.b	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑆)
4	2, 3	sseldd 3964	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
5		constrrtlc2.1	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐵)
6	5	eqcomd 2742	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = 𝐴)
7	4, 6	subeq0bd 11668	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐵 − 𝐴) = 0)
8	7	oveq2d 7426	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑇 · (𝐵 − 𝐴)) = (𝑇 · 0))
9		constrrtlc.t	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ ℝ)
10	9	recnd 11268	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ ℂ)
11	10	mul01d 11439	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑇 · 0) = 0)
12	8, 11	eqtrd 2771	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑇 · (𝐵 − 𝐴)) = 0)
13	12	oveq2d 7426	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 + (𝑇 · (𝐵 − 𝐴))) = (𝐴 + 0))
14		constrrtlc.a	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑆)
15	2, 14	sseldd 3964	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
16	15	addridd 11440	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 + 0) = 𝐴)
17	1, 13, 16	3eqtrd 2775	1 ⊢ (𝜑 → 𝑋 = 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ⊆ wss 3931  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410  ℂcc 11132  ℝcr 11133  0cc0 11134   + caddc 11137   · cmul 11139   − cmin 11471  abscabs 15258

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2708  ax-sep 5271  ax-nul 5281  ax-pow 5340  ax-pr 5407  ax-un 7734  ax-resscn 11191  ax-1cn 11192  ax-icn 11193  ax-addcl 11194  ax-addrcl 11195  ax-mulcl 11196  ax-mulrcl 11197  ax-mulcom 11198  ax-addass 11199  ax-mulass 11200  ax-distr 11201  ax-i2m1 11202  ax-1ne0 11203  ax-1rid 11204  ax-rnegex 11205  ax-rrecex 11206  ax-cnre 11207  ax-pre-lttri 11208  ax-pre-lttrn 11209  ax-pre-ltadd 11210

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2810  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3062  df-reu 3365  df-rab 3421  df-v 3466  df-sbc 3771  df-csb 3880  df-dif 3934  df-un 3936  df-in 3938  df-ss 3948  df-nul 4314  df-if 4506  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-op 4613  df-uni 4889  df-br 5125  df-opab 5187  df-mpt 5207  df-id 5553  df-po 5566  df-so 5567  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-iota 6489  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-er 8724  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-pnf 11276  df-mnf 11277  df-ltxr 11279  df-sub 11473

This theorem is referenced by:  constrfin  33785  constrelextdg2  33786