Theorem constrrtlc2 34031

Description: In the construction of constructible numbers, line-circle intersections are one of the original points, in a degenerate case. (Contributed by Thierry Arnoux, 6-Jul-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
constrrtlc.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ ℂ)
constrrtlc.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑆)
constrrtlc.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑆)
constrrtlc.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑆)
constrrtlc.e	⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ 𝑆)
constrrtlc.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑆)
constrrtlc.t	⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ ℝ)
constrrtlc.1	⊢ (𝜑 → 𝑋 = (𝐴 + (𝑇 · (𝐵 − 𝐴))))
constrrtlc.2	⊢ (𝜑 → (abs‘(𝑋 − 𝐶)) = (abs‘(𝐸 − 𝐹)))
constrrtlc2.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
constrrtlc2	⊢ (𝜑 → 𝑋 = 𝐴)

Proof of Theorem constrrtlc2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		constrrtlc.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑋 = (𝐴 + (𝑇 · (𝐵 − 𝐴))))
2		constrrtlc.s	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ ℂ)
3		constrrtlc.b	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑆)
4	2, 3	sseldd 3938	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
5		constrrtlc2.1	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐵)
6	5	eqcomd 2769	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = 𝐴)
7	4, 6	subeq0bd 11614	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐵 − 𝐴) = 0)
8	7	oveq2d 7413	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑇 · (𝐵 − 𝐴)) = (𝑇 · 0))
9		constrrtlc.t	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ ℝ)
10	9	recnd 11211	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ ℂ)
11	10	mul01d 11383	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑇 · 0) = 0)
12	8, 11	eqtrd 2798	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑇 · (𝐵 − 𝐴)) = 0)
13	12	oveq2d 7413	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 + (𝑇 · (𝐵 − 𝐴))) = (𝐴 + 0))
14		constrrtlc.a	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑆)
15	2, 14	sseldd 3938	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
16	15	addridd 11384	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 + 0) = 𝐴)
17	1, 13, 16	3eqtrd 2802	1 ⊢ (𝜑 → 𝑋 = 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1561   ∈ wcel 2143   ⊆ wss 3905  ‘cfv 6522  (class class class)co 7397  ℂcc 11072  ℝcr 11073  0cc0 11074   + caddc 11077   · cmul 11079   − cmin 11415  abscabs 15262

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1816  ax-4 1830  ax-5 1931  ax-6 1988  ax-7 2029  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-sep 5247  ax-nul 5257  ax-pow 5323  ax-pr 5391  ax-un 7719  ax-resscn 11131  ax-1cn 11132  ax-icn 11133  ax-addcl 11134  ax-addrcl 11135  ax-mulcl 11136  ax-mulrcl 11137  ax-mulcom 11138  ax-addass 11139  ax-mulass 11140  ax-distr 11141  ax-i2m1 11142  ax-1ne0 11143  ax-1rid 11144  ax-rnegex 11145  ax-rrecex 11146  ax-cnre 11147  ax-pre-lttri 11148  ax-pre-lttrn 11149  ax-pre-ltadd 11150

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1100  df-3an 1101  df-tru 1564  df-fal 1574  df-ex 1801  df-nf 1805  df-sb 2092  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-reu 3369  df-rab 3416  df-v 3457  df-sbc 3746  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-nul 4287  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-uni 4867  df-br 5102  df-opab 5164  df-mpt 5183  df-id 5543  df-po 5556  df-so 5557  df-xp 5654  df-rel 5655  df-cnv 5656  df-co 5657  df-dm 5658  df-rn 5659  df-res 5660  df-ima 5661  df-iota 6478  df-fun 6524  df-fn 6525  df-f 6526  df-f1 6527  df-fo 6528  df-f1o 6529  df-fv 6530  df-riota 7354  df-ov 7400  df-oprab 7401  df-mpo 7402  df-er 8679  df-en 8929  df-dom 8930  df-sdom 8931  df-pnf 11219  df-mnf 11220  df-ltxr 11222  df-sub 11417

This theorem is referenced by:  constrfin  34044  constrelextdg2  34045