Theorem mul01d 11536

Description: Multiplication by 0. Theorem I.6 of [Apostol] p. 18. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
muld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
mul01d	⊢ (𝜑 → (𝐴 · 0) = 0)

Proof of Theorem mul01d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		muld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		mul01 11516	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 · 0) = 0)
3	1, 2	syl 18	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · 0) = 0)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2147  (class class class)co 7443  ℂcc 11225  0cc0 11227   · cmul 11232

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7775  ax-resscn 11284  ax-1cn 11285  ax-icn 11286  ax-addcl 11287  ax-addrcl 11288  ax-mulcl 11289  ax-mulrcl 11290  ax-mulcom 11291  ax-addass 11292  ax-mulass 11293  ax-distr 11294  ax-i2m1 11295  ax-1ne0 11296  ax-1rid 11297  ax-rnegex 11298  ax-rrecex 11299  ax-cnre 11300  ax-pre-lttri 11301  ax-pre-lttrn 11302  ax-pre-ltadd 11303

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-id 5550  df-po 5563  df-so 5564  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-iota 6512  df-fun 6560  df-fn 6561  df-f 6562  df-f1 6563  df-fo 6564  df-f1o 6565  df-fv 6566  df-ov 7446  df-er 8745  df-en 9002  df-dom 9003  df-sdom 9004  df-pnf 11372  df-mnf 11373  df-ltxr 11375

This theorem is used by:  mulge0  11861  mul0or  11983  diveq0  12011  lemul1a  12198  un0mulcl  12667  mul2lt0bi  13255  rexmul  13428  modid  14063  addmodlteq  14116  expmul  14277  sqlecan  14380  discr  14411  hashf1lem2  14628  hashf1  14629  sgnmul  15289  fsummulc2  15979  pwdif  16066  geolim  16068  geomulcvg  16074  fprodeq0  16171  0risefac  16233  0dvds  16475  smumullem  16691  bezoutlem1  16741  lcmgcd  16811  mulgcddvds  16859  cncongr2  16872  prmdiv  16991  pcaddlem  17095  qexpz  17108  prmreclem4  17126  prmreclem5  17127  mulgnn0ass  19349  odadd2  20093  isabvd  21099  nn0srg  21773  rge0srg  21774  pzriprnglem8  21824  mhppwdeg  22501  nmolb2d  25067  nmoleub  25080  reparphti  25348  pcorevlem  25377  itg1val2  26035  i1fmullem  26045  itg1addlem4  26050  itg10a  26061  itg1ge0a  26062  itg2const  26091  itg2monolem1  26101  itg0  26130  itgz  26131  iblmulc2  26181  itgmulc2lem1  26182  bddmulibl  26189  dvcnp2  26270  dvcobr  26296  dvlip  26343  dvlipcn  26344  c1lip1  26347  dvlt0  26355  plymullem1  26563  coefv0  26597  coemullem  26599  coemulhi  26603  dgrmulc  26620  dgrcolem2  26623  dvply1  26635  plydivlem3  26646  elqaalem2  26673  elqaalem3  26674  tayl0  26719  dvtaylp  26727  radcnv0  26773  dvradcnv  26778  pserdvlem2  26785  abelthlem2  26789  pilem2  26809  sinmpi  26846  cosmpi  26847  sinppi  26848  cosppi  26849  tanregt0  26897  efsubm  26909  argregt0  26968  argrege0  26969  argimgt0  26970  logtayl  27018  mulcxplem  27042  mulcxp  27043  cxpmul2  27047  pythag  27175  quad2  27197  dcubic  27204  atans2  27289  zetacvg  27372  lgamgulmlem2  27387  mumul  27538  logexprlim  27582  dchrsum2  27625  sumdchr2  27627  lgsdilem  27681  lgsdirnn0  27701  lgsdinn0  27702  lgsquad3  27744  2sqmod  27793  rpvmasumlem  27844  dchrisumlem1  27846  dchrvmasumiflem2  27859  rpvmasum2  27869  dchrisum0re  27870  pntrlog2bndlem4  27937  pntlemf  27962  pntleml  27968  ostth2lem2  27991  ostth3  27995  colinearalg  29518  nmlnoubi  31428  ipasslem2  31464  cdj3lem1  33066  oexpled  33497  constrrtlc2  34435  cos9thpiminplylem1  34484  cos9thpiminplylem2  34485  xrge0iifhom  34639  signsplypnf  35249  signswch  35260  signlem0  35286  itgexpif  35305  circlemeth  35339  knoppndvlem6  37561  knoppndvlem8  37563  knoppndvlem13  37568  ovoliunnfl  38772  voliunnfl  38774  itg2addnclem  38781  iblmulc2nc  38795  itgmulc2nclem1  38796  areacirc  38823  geomcau  38885  bfp  38950  lcmineqlem10  43280  lcmineqlem12  43282  irrapxlem1  44022  pell1qr1  44071  pell1qrgaplem  44073  rmxy0  44123  jm2.18  44188  mpaaeu  44344  relexpmulg  44902  binomcxplemnotnn0  45532  xralrple2  46571  stoweidlem26  47241  stoweidlem37  47252  stirlinglem7  47295  dirkercncflem2  47319  fourierdlem103  47424  fourierdlem104  47425  sqwvfoura  47443  sqwvfourb  47444  etransclem15  47464  etransclem24  47473  etransclem25  47474  etransclem32  47481  etransclem35  47484  etransclem48  47497  hoidmvlelem1  47810  hoidmvlelem2  47811  hoidmvlelem3  47812  sharhght  48080  altgsumbcALT  49670  dig0  49923  itcovalpclem1  49987  line2ylem  50068  line2xlem  50070  2itscp  50098