Theorem mul01d 11333

Description: Multiplication by 0. Theorem I.6 of [Apostol] p. 18. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
muld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
mul01d	⊢ (𝜑 → (𝐴 · 0) = 0)

Proof of Theorem mul01d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		muld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		mul01 11313	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 · 0) = 0)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · 0) = 0)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  (class class class)co 7353  ℂcc 11026  0cc0 11028   · cmul 11033

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7675  ax-resscn 11085  ax-1cn 11086  ax-icn 11087  ax-addcl 11088  ax-addrcl 11089  ax-mulcl 11090  ax-mulrcl 11091  ax-mulcom 11092  ax-addass 11093  ax-mulass 11094  ax-distr 11095  ax-i2m1 11096  ax-1ne0 11097  ax-1rid 11098  ax-rnegex 11099  ax-rrecex 11100  ax-cnre 11101  ax-pre-lttri 11102  ax-pre-lttrn 11103  ax-pre-ltadd 11104

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rab 3397  df-v 3440  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-nul 4287  df-if 4479  df-pw 4555  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4862  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-id 5518  df-po 5531  df-so 5532  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-rn 5634  df-res 5635  df-ima 5636  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-ov 7356  df-er 8632  df-en 8880  df-dom 8881  df-sdom 8882  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-ltxr 11173

This theorem is referenced by:  mulge0  11656  mul0or  11778  diveq0  11807  div0OLD  11831  lemul1a  11996  un0mulcl  12436  mul2lt0bi  13019  rexmul  13191  modid  13818  addmodlteq  13871  expmul  14032  sqlecan  14134  discr  14165  hashf1lem2  14381  hashf1  14382  fsummulc2  15709  pwdif  15793  geolim  15795  geomulcvg  15801  fprodeq0  15900  0risefac  15963  0dvds  16205  smumullem  16421  bezoutlem1  16468  lcmgcd  16536  mulgcddvds  16584  cncongr2  16597  prmdiv  16714  pcaddlem  16818  qexpz  16831  prmreclem4  16849  prmreclem5  16850  mulgnn0ass  19007  odadd2  19746  isabvd  20715  nn0srg  21362  rge0srg  21363  pzriprnglem8  21413  mhppwdeg  22053  nmolb2d  24622  nmoleub  24635  reparphti  24912  reparphtiOLD  24913  pcorevlem  24942  itg1val2  25601  i1fmullem  25611  itg1addlem4  25616  itg10a  25627  itg1ge0a  25628  itg2const  25657  itg2monolem1  25667  itg0  25697  itgz  25698  iblmulc2  25748  itgmulc2lem1  25749  bddmulibl  25756  dvcnp2  25837  dvcnp2OLD  25838  dvcobr  25865  dvcobrOLD  25866  dvlip  25914  dvlipcn  25915  c1lip1  25918  dvlt0  25926  plymullem1  26135  coefv0  26169  coemullem  26171  coemulhi  26175  dgrmulc  26193  dgrcolem2  26196  dvply1  26207  plydivlem3  26219  elqaalem2  26244  elqaalem3  26245  tayl0  26285  dvtaylp  26294  radcnv0  26341  dvradcnv  26346  pserdvlem2  26354  abelthlem2  26358  pilem2  26378  sinmpi  26412  cosmpi  26413  sinppi  26414  cosppi  26415  tanregt0  26464  efsubm  26476  argregt0  26535  argrege0  26536  argimgt0  26537  logtayl  26585  mulcxplem  26609  mulcxp  26610  cxpmul2  26614  pythag  26743  quad2  26765  dcubic  26772  atans2  26857  zetacvg  26941  lgamgulmlem2  26956  mumul  27107  logexprlim  27152  dchrsum2  27195  sumdchr2  27197  lgsdilem  27251  lgsdirnn0  27271  lgsdinn0  27272  lgsquad3  27314  2sqmod  27363  rpvmasumlem  27414  dchrisumlem1  27416  dchrvmasumiflem2  27429  rpvmasum2  27439  dchrisum0re  27440  pntrlog2bndlem4  27507  pntlemf  27532  pntleml  27538  ostth2lem2  27561  ostth3  27565  colinearalg  28873  nmlnoubi  30758  ipasslem2  30794  cdj3lem1  32396  sgnmul  32793  oexpled  32805  constrrtlc2  33699  cos9thpiminplylem1  33748  cos9thpiminplylem2  33749  xrge0iifhom  33903  signsplypnf  34517  signswch  34528  signlem0  34554  itgexpif  34573  circlemeth  34607  knoppndvlem6  36490  knoppndvlem8  36492  knoppndvlem13  36497  ovoliunnfl  37641  voliunnfl  37643  itg2addnclem  37650  iblmulc2nc  37664  itgmulc2nclem1  37665  areacirc  37692  geomcau  37738  bfp  37803  lcmineqlem10  42011  lcmineqlem12  42013  irrapxlem1  42795  pell1qr1  42844  pell1qrgaplem  42846  rmxy0  42896  jm2.18  42961  mpaaeu  43123  relexpmulg  43683  binomcxplemnotnn0  44329  xralrple2  45334  stoweidlem26  46008  stoweidlem37  46019  stirlinglem7  46062  dirkercncflem2  46086  fourierdlem103  46191  fourierdlem104  46192  sqwvfoura  46210  sqwvfourb  46211  etransclem15  46231  etransclem24  46240  etransclem25  46241  etransclem32  46248  etransclem35  46251  etransclem48  46264  hoidmvlelem1  46577  hoidmvlelem2  46578  hoidmvlelem3  46579  sharhght  46847  altgsumbcALT  48338  dig0  48592  itcovalpclem1  48656  line2ylem  48737  line2xlem  48739  2itscp  48767