Theorem mul01d 11332

Description: Multiplication by 0. Theorem I.6 of [Apostol] p. 18. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
muld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
mul01d	⊢ (𝜑 → (𝐴 · 0) = 0)

Proof of Theorem mul01d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		muld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		mul01 11312	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 · 0) = 0)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · 0) = 0)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  (class class class)co 7358  ℂcc 11024  0cc0 11026   · cmul 11031

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680  ax-resscn 11083  ax-1cn 11084  ax-icn 11085  ax-addcl 11086  ax-addrcl 11087  ax-mulcl 11088  ax-mulrcl 11089  ax-mulcom 11090  ax-addass 11091  ax-mulass 11092  ax-distr 11093  ax-i2m1 11094  ax-1ne0 11095  ax-1rid 11096  ax-rnegex 11097  ax-rrecex 11098  ax-cnre 11099  ax-pre-lttri 11100  ax-pre-lttrn 11101  ax-pre-ltadd 11102

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-id 5519  df-po 5532  df-so 5533  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-ov 7361  df-er 8635  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-pnf 11168  df-mnf 11169  df-ltxr 11171

This theorem is referenced by:  mulge0  11655  mul0or  11777  diveq0  11806  div0OLD  11830  lemul1a  11995  un0mulcl  12435  mul2lt0bi  13013  rexmul  13186  modid  13816  addmodlteq  13869  expmul  14030  sqlecan  14132  discr  14163  hashf1lem2  14379  hashf1  14380  fsummulc2  15707  pwdif  15791  geolim  15793  geomulcvg  15799  fprodeq0  15898  0risefac  15961  0dvds  16203  smumullem  16419  bezoutlem1  16466  lcmgcd  16534  mulgcddvds  16582  cncongr2  16595  prmdiv  16712  pcaddlem  16816  qexpz  16829  prmreclem4  16847  prmreclem5  16848  mulgnn0ass  19040  odadd2  19778  isabvd  20745  nn0srg  21392  rge0srg  21393  pzriprnglem8  21443  mhppwdeg  22093  nmolb2d  24662  nmoleub  24675  reparphti  24952  reparphtiOLD  24953  pcorevlem  24982  itg1val2  25641  i1fmullem  25651  itg1addlem4  25656  itg10a  25667  itg1ge0a  25668  itg2const  25697  itg2monolem1  25707  itg0  25737  itgz  25738  iblmulc2  25788  itgmulc2lem1  25789  bddmulibl  25796  dvcnp2  25877  dvcnp2OLD  25878  dvcobr  25905  dvcobrOLD  25906  dvlip  25954  dvlipcn  25955  c1lip1  25958  dvlt0  25966  plymullem1  26175  coefv0  26209  coemullem  26211  coemulhi  26215  dgrmulc  26233  dgrcolem2  26236  dvply1  26247  plydivlem3  26259  elqaalem2  26284  elqaalem3  26285  tayl0  26325  dvtaylp  26334  radcnv0  26381  dvradcnv  26386  pserdvlem2  26394  abelthlem2  26398  pilem2  26418  sinmpi  26452  cosmpi  26453  sinppi  26454  cosppi  26455  tanregt0  26504  efsubm  26516  argregt0  26575  argrege0  26576  argimgt0  26577  logtayl  26625  mulcxplem  26649  mulcxp  26650  cxpmul2  26654  pythag  26783  quad2  26805  dcubic  26812  atans2  26897  zetacvg  26981  lgamgulmlem2  26996  mumul  27147  logexprlim  27192  dchrsum2  27235  sumdchr2  27237  lgsdilem  27291  lgsdirnn0  27311  lgsdinn0  27312  lgsquad3  27354  2sqmod  27403  rpvmasumlem  27454  dchrisumlem1  27456  dchrvmasumiflem2  27469  rpvmasum2  27479  dchrisum0re  27480  pntrlog2bndlem4  27547  pntlemf  27572  pntleml  27578  ostth2lem2  27601  ostth3  27605  colinearalg  28983  nmlnoubi  30871  ipasslem2  30907  cdj3lem1  32509  sgnmul  32916  oexpled  32928  constrrtlc2  33890  cos9thpiminplylem1  33939  cos9thpiminplylem2  33940  xrge0iifhom  34094  signsplypnf  34707  signswch  34718  signlem0  34744  itgexpif  34763  circlemeth  34797  knoppndvlem6  36717  knoppndvlem8  36719  knoppndvlem13  36724  ovoliunnfl  37859  voliunnfl  37861  itg2addnclem  37868  iblmulc2nc  37882  itgmulc2nclem1  37883  areacirc  37910  geomcau  37956  bfp  38021  lcmineqlem10  42288  lcmineqlem12  42290  irrapxlem1  43060  pell1qr1  43109  pell1qrgaplem  43111  rmxy0  43161  jm2.18  43226  mpaaeu  43388  relexpmulg  43947  binomcxplemnotnn0  44593  xralrple2  45595  stoweidlem26  46266  stoweidlem37  46277  stirlinglem7  46320  dirkercncflem2  46344  fourierdlem103  46449  fourierdlem104  46450  sqwvfoura  46468  sqwvfourb  46469  etransclem15  46489  etransclem24  46498  etransclem25  46499  etransclem32  46506  etransclem35  46509  etransclem48  46522  hoidmvlelem1  46835  hoidmvlelem2  46836  hoidmvlelem3  46837  sharhght  47105  altgsumbcALT  48595  dig0  48848  itcovalpclem1  48912  line2ylem  48993  line2xlem  48995  2itscp  49023