Theorem mul01d 11174

Description: Multiplication by 0. Theorem I.6 of [Apostol] p. 18. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
muld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
mul01d	⊢ (𝜑 → (𝐴 · 0) = 0)

Proof of Theorem mul01d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		muld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		mul01 11154	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 · 0) = 0)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · 0) = 0)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1539   ∈ wcel 2106  (class class class)co 7275  ℂcc 10869  0cc0 10871   · cmul 10876

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-id 5489  df-po 5503  df-so 5504  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-ov 7278  df-er 8498  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-ltxr 11014

This theorem is referenced by:  mulge0  11493  mul0or  11615  diveq0  11643  div0  11663  lemul1a  11829  un0mulcl  12267  mul2lt0bi  12836  rexmul  13005  modid  13616  addmodlteq  13666  expmul  13828  sqlecan  13925  discr  13955  hashf1lem2  14170  hashf1  14171  fsummulc2  15496  pwdif  15580  geolim  15582  geomulcvg  15588  fprodeq0  15685  0risefac  15748  0dvds  15986  smumullem  16199  bezoutlem1  16247  lcmgcd  16312  mulgcddvds  16360  cncongr2  16373  prmdiv  16486  pcaddlem  16589  qexpz  16602  prmreclem4  16620  prmreclem5  16621  mulgnn0ass  18739  odadd2  19450  isabvd  20080  nn0srg  20668  rge0srg  20669  mhppwdeg  21340  nmolb2d  23882  nmoleub  23895  reparphti  24160  pcorevlem  24189  itg1val2  24848  i1fmullem  24858  itg1addlem4  24863  itg1addlem4OLD  24864  itg10a  24875  itg1ge0a  24876  itg2const  24905  itg2monolem1  24915  itg0  24944  itgz  24945  iblmulc2  24995  itgmulc2lem1  24996  bddmulibl  25003  dvcnp2  25084  dvcobr  25110  dvlip  25157  dvlipcn  25158  c1lip1  25161  dvlt0  25169  plymullem1  25375  coefv0  25409  coemullem  25411  coemulhi  25415  dgrmulc  25432  dgrcolem2  25435  dvply1  25444  plydivlem3  25455  elqaalem2  25480  elqaalem3  25481  tayl0  25521  dvtaylp  25529  radcnv0  25575  dvradcnv  25580  pserdvlem2  25587  abelthlem2  25591  pilem2  25611  sinmpi  25644  cosmpi  25645  sinppi  25646  cosppi  25647  tanregt0  25695  efsubm  25707  argregt0  25765  argrege0  25766  argimgt0  25767  logtayl  25815  mulcxplem  25839  mulcxp  25840  cxpmul2  25844  pythag  25967  quad2  25989  dcubic  25996  atans2  26081  zetacvg  26164  lgamgulmlem2  26179  mumul  26330  logexprlim  26373  dchrsum2  26416  sumdchr2  26418  lgsdilem  26472  lgsdirnn0  26492  lgsdinn0  26493  lgsquad3  26535  2sqmod  26584  rpvmasumlem  26635  dchrisumlem1  26637  dchrvmasumiflem2  26650  rpvmasum2  26660  dchrisum0re  26661  pntrlog2bndlem4  26728  pntlemf  26753  pntleml  26759  ostth2lem2  26782  ostth3  26786  colinearalg  27278  nmlnoubi  29158  ipasslem2  29194  cdj3lem1  30796  xrge0iifhom  31887  sgnmul  32509  signsplypnf  32529  signswch  32540  signlem0  32566  itgexpif  32586  circlemeth  32620  knoppndvlem6  34697  knoppndvlem8  34699  knoppndvlem13  34704  ovoliunnfl  35819  voliunnfl  35821  itg2addnclem  35828  iblmulc2nc  35842  itgmulc2nclem1  35843  areacirc  35870  geomcau  35917  bfp  35982  lcmineqlem10  40046  lcmineqlem12  40048  irrapxlem1  40644  pell1qr1  40693  pell1qrgaplem  40695  rmxy0  40745  jm2.18  40810  mpaaeu  40975  relexpmulg  41318  binomcxplemnotnn0  41974  xralrple2  42893  stoweidlem26  43567  stoweidlem37  43578  stirlinglem7  43621  dirkercncflem2  43645  fourierdlem103  43750  fourierdlem104  43751  sqwvfoura  43769  sqwvfourb  43770  etransclem15  43790  etransclem24  43799  etransclem25  43800  etransclem32  43807  etransclem35  43810  etransclem48  43823  hoidmvlelem1  44133  hoidmvlelem2  44134  hoidmvlelem3  44135  sharhght  44381  altgsumbcALT  45689  dig0  45952  itcovalpclem1  46016  line2ylem  46097  line2xlem  46099  2itscp  46127