Theorem mul01d 11437

Description: Multiplication by 0. Theorem I.6 of [Apostol] p. 18. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
muld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
mul01d	⊢ (𝜑 → (𝐴 · 0) = 0)

Proof of Theorem mul01d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		muld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		mul01 11417	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 · 0) = 0)
3	1, 2	syl 18	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · 0) = 0)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  (class class class)co 7417  ℂcc 11126  0cc0 11128   · cmul 11133

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7740  ax-resscn 11185  ax-1cn 11186  ax-icn 11187  ax-addcl 11188  ax-addrcl 11189  ax-mulcl 11190  ax-mulrcl 11191  ax-mulcom 11192  ax-addass 11193  ax-mulass 11194  ax-distr 11195  ax-i2m1 11196  ax-1ne0 11197  ax-1rid 11198  ax-rnegex 11199  ax-rrecex 11200  ax-cnre 11201  ax-pre-lttri 11202  ax-pre-lttrn 11203  ax-pre-ltadd 11204

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4871  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-id 5554  df-po 5567  df-so 5568  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-ov 7420  df-er 8700  df-en 8957  df-dom 8958  df-sdom 8959  df-pnf 11273  df-mnf 11274  df-ltxr 11276

This theorem is used by:  mulge0  11760  mul0or  11882  diveq0  11910  lemul1a  12097  un0mulcl  12566  mul2lt0bi  13154  rexmul  13327  modid  13961  addmodlteq  14014  expmul  14175  sqlecan  14277  discr  14308  hashf1lem2  14525  hashf1  14526  sgnmul  15184  fsummulc2  15874  pwdif  15961  geolim  15963  geomulcvg  15969  fprodeq0  16068  0risefac  16130  0dvds  16372  smumullem  16588  bezoutlem1  16635  lcmgcd  16703  mulgcddvds  16751  cncongr2  16764  prmdiv  16882  pcaddlem  16986  qexpz  16999  prmreclem4  17017  prmreclem5  17018  mulgnn0ass  19239  odadd2  19982  isabvd  20984  nn0srg  21656  rge0srg  21657  pzriprnglem8  21707  mhppwdeg  22384  nmolb2d  24950  nmoleub  24963  reparphti  25231  pcorevlem  25260  itg1val2  25918  i1fmullem  25928  itg1addlem4  25933  itg10a  25944  itg1ge0a  25945  itg2const  25974  itg2monolem1  25984  itg0  26014  itgz  26015  iblmulc2  26065  itgmulc2lem1  26066  bddmulibl  26073  dvcnp2  26154  dvcobr  26180  dvlip  26227  dvlipcn  26228  c1lip1  26231  dvlt0  26239  plymullem1  26447  coefv0  26481  coemullem  26483  coemulhi  26487  dgrmulc  26504  dgrcolem2  26507  dvply1  26521  plydivlem3  26532  elqaalem2  26559  elqaalem3  26560  tayl0  26605  dvtaylp  26613  radcnv0  26659  dvradcnv  26664  pserdvlem2  26671  abelthlem2  26675  pilem2  26695  sinmpi  26732  cosmpi  26733  sinppi  26734  cosppi  26735  tanregt0  26784  efsubm  26796  argregt0  26855  argrege0  26856  argimgt0  26857  logtayl  26905  mulcxplem  26929  mulcxp  26930  cxpmul2  26934  pythag  27062  quad2  27084  dcubic  27091  atans2  27176  zetacvg  27259  lgamgulmlem2  27274  mumul  27425  logexprlim  27469  dchrsum2  27512  sumdchr2  27514  lgsdilem  27568  lgsdirnn0  27588  lgsdinn0  27589  lgsquad3  27631  2sqmod  27680  rpvmasumlem  27731  dchrisumlem1  27733  dchrvmasumiflem2  27746  rpvmasum2  27756  dchrisum0re  27757  pntrlog2bndlem4  27824  pntlemf  27849  pntleml  27855  ostth2lem2  27878  ostth3  27882  colinearalg  29375  nmlnoubi  31285  ipasslem2  31321  cdj3lem1  32923  oexpled  33314  constrrtlc2  34251  cos9thpiminplylem1  34300  cos9thpiminplylem2  34301  xrge0iifhom  34455  signsplypnf  35066  signswch  35077  signlem0  35103  itgexpif  35122  circlemeth  35156  knoppndvlem6  37222  knoppndvlem8  37224  knoppndvlem13  37229  ovoliunnfl  38419  voliunnfl  38421  itg2addnclem  38428  iblmulc2nc  38442  itgmulc2nclem1  38443  areacirc  38470  geomcau  38517  bfp  38582  lcmineqlem10  42912  lcmineqlem12  42914  irrapxlem1  43671  pell1qr1  43720  pell1qrgaplem  43722  rmxy0  43772  jm2.18  43837  mpaaeu  43999  relexpmulg  44558  binomcxplemnotnn0  45188  xralrple2  46192  stoweidlem26  46862  stoweidlem37  46873  stirlinglem7  46916  dirkercncflem2  46940  fourierdlem103  47045  fourierdlem104  47046  sqwvfoura  47064  sqwvfourb  47065  etransclem15  47085  etransclem24  47094  etransclem25  47095  etransclem32  47102  etransclem35  47105  etransclem48  47118  hoidmvlelem1  47431  hoidmvlelem2  47432  hoidmvlelem3  47433  sharhght  47701  altgsumbcALT  49291  dig0  49544  itcovalpclem1  49608  line2ylem  49689  line2xlem  49691  2itscp  49719