MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mul01d Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mul01d 11355
Description: Multiplication by 0. Theorem I.6 of [Apostol] p. 18. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Hypothesis
Ref Expression
muld.1 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
Assertion
Ref Expression
mul01d (๐œ‘ โ†’ (๐ด ยท 0) = 0)

Proof of Theorem mul01d
StepHypRef Expression
1 muld.1 . 2 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
2 mul01 11335 . 2 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (๐ด ยท 0) = 0)
31, 2syl 17 1 (๐œ‘ โ†’ (๐ด ยท 0) = 0)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107  (class class class)co 7358  โ„‚cc 11050  0cc0 11052   ยท cmul 11057
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-resscn 11109  ax-1cn 11110  ax-icn 11111  ax-addcl 11112  ax-addrcl 11113  ax-mulcl 11114  ax-mulrcl 11115  ax-mulcom 11116  ax-addass 11117  ax-mulass 11118  ax-distr 11119  ax-i2m1 11120  ax-1ne0 11121  ax-1rid 11122  ax-rnegex 11123  ax-rrecex 11124  ax-cnre 11125  ax-pre-lttri 11126  ax-pre-lttrn 11127  ax-pre-ltadd 11128
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rab 3409  df-v 3448  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-id 5532  df-po 5546  df-so 5547  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-ov 7361  df-er 8649  df-en 8885  df-dom 8886  df-sdom 8887  df-pnf 11192  df-mnf 11193  df-ltxr 11195
This theorem is referenced by:  mulge0  11674  mul0or  11796  diveq0  11824  div0  11844  lemul1a  12010  un0mulcl  12448  mul2lt0bi  13022  rexmul  13191  modid  13802  addmodlteq  13852  expmul  14014  sqlecan  14114  discr  14144  hashf1lem2  14356  hashf1  14357  fsummulc2  15670  pwdif  15754  geolim  15756  geomulcvg  15762  fprodeq0  15859  0risefac  15922  0dvds  16160  smumullem  16373  bezoutlem1  16421  lcmgcd  16484  mulgcddvds  16532  cncongr2  16545  prmdiv  16658  pcaddlem  16761  qexpz  16774  prmreclem4  16792  prmreclem5  16793  mulgnn0ass  18913  odadd2  19628  isabvd  20282  nn0srg  20870  rge0srg  20871  mhppwdeg  21543  nmolb2d  24085  nmoleub  24098  reparphti  24363  pcorevlem  24392  itg1val2  25051  i1fmullem  25061  itg1addlem4  25066  itg1addlem4OLD  25067  itg10a  25078  itg1ge0a  25079  itg2const  25108  itg2monolem1  25118  itg0  25147  itgz  25148  iblmulc2  25198  itgmulc2lem1  25199  bddmulibl  25206  dvcnp2  25287  dvcobr  25313  dvlip  25360  dvlipcn  25361  c1lip1  25364  dvlt0  25372  plymullem1  25578  coefv0  25612  coemullem  25614  coemulhi  25618  dgrmulc  25635  dgrcolem2  25638  dvply1  25647  plydivlem3  25658  elqaalem2  25683  elqaalem3  25684  tayl0  25724  dvtaylp  25732  radcnv0  25778  dvradcnv  25783  pserdvlem2  25790  abelthlem2  25794  pilem2  25814  sinmpi  25847  cosmpi  25848  sinppi  25849  cosppi  25850  tanregt0  25898  efsubm  25910  argregt0  25968  argrege0  25969  argimgt0  25970  logtayl  26018  mulcxplem  26042  mulcxp  26043  cxpmul2  26047  pythag  26170  quad2  26192  dcubic  26199  atans2  26284  zetacvg  26367  lgamgulmlem2  26382  mumul  26533  logexprlim  26576  dchrsum2  26619  sumdchr2  26621  lgsdilem  26675  lgsdirnn0  26695  lgsdinn0  26696  lgsquad3  26738  2sqmod  26787  rpvmasumlem  26838  dchrisumlem1  26840  dchrvmasumiflem2  26853  rpvmasum2  26863  dchrisum0re  26864  pntrlog2bndlem4  26931  pntlemf  26956  pntleml  26962  ostth2lem2  26985  ostth3  26989  colinearalg  27862  nmlnoubi  29741  ipasslem2  29777  cdj3lem1  31379  xrge0iifhom  32521  sgnmul  33145  signsplypnf  33165  signswch  33176  signlem0  33202  itgexpif  33222  circlemeth  33256  knoppndvlem6  34983  knoppndvlem8  34985  knoppndvlem13  34990  ovoliunnfl  36123  voliunnfl  36125  itg2addnclem  36132  iblmulc2nc  36146  itgmulc2nclem1  36147  areacirc  36174  geomcau  36221  bfp  36286  lcmineqlem10  40498  lcmineqlem12  40500  irrapxlem1  41148  pell1qr1  41197  pell1qrgaplem  41199  rmxy0  41250  jm2.18  41315  mpaaeu  41480  relexpmulg  41989  binomcxplemnotnn0  42643  xralrple2  43595  stoweidlem26  44274  stoweidlem37  44285  stirlinglem7  44328  dirkercncflem2  44352  fourierdlem103  44457  fourierdlem104  44458  sqwvfoura  44476  sqwvfourb  44477  etransclem15  44497  etransclem24  44506  etransclem25  44507  etransclem32  44514  etransclem35  44517  etransclem48  44530  hoidmvlelem1  44843  hoidmvlelem2  44844  hoidmvlelem3  44845  sharhght  45113  altgsumbcALT  46436  dig0  46699  itcovalpclem1  46763  line2ylem  46844  line2xlem  46846  2itscp  46874
  Copyright terms: Public domain W3C validator