Theorem mul01d 11380

Description: Multiplication by 0. Theorem I.6 of [Apostol] p. 18. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
muld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
mul01d	⊢ (𝜑 → (𝐴 · 0) = 0)

Proof of Theorem mul01d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		muld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		mul01 11360	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 · 0) = 0)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · 0) = 0)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  (class class class)co 7390  ℂcc 11073  0cc0 11075   · cmul 11080

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-id 5536  df-po 5549  df-so 5550  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-ov 7393  df-er 8674  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-pnf 11217  df-mnf 11218  df-ltxr 11220

This theorem is referenced by:  mulge0  11703  mul0or  11825  diveq0  11854  div0OLD  11878  lemul1a  12043  un0mulcl  12483  mul2lt0bi  13066  rexmul  13238  modid  13865  addmodlteq  13918  expmul  14079  sqlecan  14181  discr  14212  hashf1lem2  14428  hashf1  14429  fsummulc2  15757  pwdif  15841  geolim  15843  geomulcvg  15849  fprodeq0  15948  0risefac  16011  0dvds  16253  smumullem  16469  bezoutlem1  16516  lcmgcd  16584  mulgcddvds  16632  cncongr2  16645  prmdiv  16762  pcaddlem  16866  qexpz  16879  prmreclem4  16897  prmreclem5  16898  mulgnn0ass  19049  odadd2  19786  isabvd  20728  nn0srg  21361  rge0srg  21362  pzriprnglem8  21405  mhppwdeg  22044  nmolb2d  24613  nmoleub  24626  reparphti  24903  reparphtiOLD  24904  pcorevlem  24933  itg1val2  25592  i1fmullem  25602  itg1addlem4  25607  itg10a  25618  itg1ge0a  25619  itg2const  25648  itg2monolem1  25658  itg0  25688  itgz  25689  iblmulc2  25739  itgmulc2lem1  25740  bddmulibl  25747  dvcnp2  25828  dvcnp2OLD  25829  dvcobr  25856  dvcobrOLD  25857  dvlip  25905  dvlipcn  25906  c1lip1  25909  dvlt0  25917  plymullem1  26126  coefv0  26160  coemullem  26162  coemulhi  26166  dgrmulc  26184  dgrcolem2  26187  dvply1  26198  plydivlem3  26210  elqaalem2  26235  elqaalem3  26236  tayl0  26276  dvtaylp  26285  radcnv0  26332  dvradcnv  26337  pserdvlem2  26345  abelthlem2  26349  pilem2  26369  sinmpi  26403  cosmpi  26404  sinppi  26405  cosppi  26406  tanregt0  26455  efsubm  26467  argregt0  26526  argrege0  26527  argimgt0  26528  logtayl  26576  mulcxplem  26600  mulcxp  26601  cxpmul2  26605  pythag  26734  quad2  26756  dcubic  26763  atans2  26848  zetacvg  26932  lgamgulmlem2  26947  mumul  27098  logexprlim  27143  dchrsum2  27186  sumdchr2  27188  lgsdilem  27242  lgsdirnn0  27262  lgsdinn0  27263  lgsquad3  27305  2sqmod  27354  rpvmasumlem  27405  dchrisumlem1  27407  dchrvmasumiflem2  27420  rpvmasum2  27430  dchrisum0re  27431  pntrlog2bndlem4  27498  pntlemf  27523  pntleml  27529  ostth2lem2  27552  ostth3  27556  colinearalg  28844  nmlnoubi  30732  ipasslem2  30768  cdj3lem1  32370  sgnmul  32767  oexpled  32779  constrrtlc2  33730  cos9thpiminplylem1  33779  cos9thpiminplylem2  33780  xrge0iifhom  33934  signsplypnf  34548  signswch  34559  signlem0  34585  itgexpif  34604  circlemeth  34638  knoppndvlem6  36512  knoppndvlem8  36514  knoppndvlem13  36519  ovoliunnfl  37663  voliunnfl  37665  itg2addnclem  37672  iblmulc2nc  37686  itgmulc2nclem1  37687  areacirc  37714  geomcau  37760  bfp  37825  lcmineqlem10  42033  lcmineqlem12  42035  irrapxlem1  42817  pell1qr1  42866  pell1qrgaplem  42868  rmxy0  42919  jm2.18  42984  mpaaeu  43146  relexpmulg  43706  binomcxplemnotnn0  44352  xralrple2  45357  stoweidlem26  46031  stoweidlem37  46042  stirlinglem7  46085  dirkercncflem2  46109  fourierdlem103  46214  fourierdlem104  46215  sqwvfoura  46233  sqwvfourb  46234  etransclem15  46254  etransclem24  46263  etransclem25  46264  etransclem32  46271  etransclem35  46274  etransclem48  46287  hoidmvlelem1  46600  hoidmvlelem2  46601  hoidmvlelem3  46602  sharhght  46870  altgsumbcALT  48345  dig0  48599  itcovalpclem1  48663  line2ylem  48744  line2xlem  48746  2itscp  48774