Theorem mul01d 11410

Description: Multiplication by 0. Theorem I.6 of [Apostol] p. 18. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
muld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
mul01d	⊢ (𝜑 → (𝐴 · 0) = 0)

Proof of Theorem mul01d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		muld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		mul01 11390	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 · 0) = 0)
3	1, 2	syl 18	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · 0) = 0)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2143  (class class class)co 7412  ℂcc 11099  0cc0 11101   · cmul 11106

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-sep 5258  ax-nul 5270  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7734  ax-resscn 11158  ax-1cn 11159  ax-icn 11160  ax-addcl 11161  ax-addrcl 11162  ax-mulcl 11163  ax-mulrcl 11164  ax-mulcom 11165  ax-addass 11166  ax-mulass 11167  ax-distr 11168  ax-i2m1 11169  ax-1ne0 11170  ax-1rid 11171  ax-rnegex 11172  ax-rrecex 11173  ax-cnre 11174  ax-pre-lttri 11175  ax-pre-lttrn 11176  ax-pre-ltadd 11177

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3746  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-nul 4288  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4874  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-id 5558  df-po 5571  df-so 5572  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-ov 7415  df-er 8695  df-en 8945  df-dom 8946  df-sdom 8947  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-ltxr 11249

This theorem is referenced by:  mulge0  11733  mul0or  11855  diveq0  11883  lemul1a  12070  un0mulcl  12539  mul2lt0bi  13125  rexmul  13298  modid  13931  addmodlteq  13984  expmul  14145  sqlecan  14247  discr  14278  hashf1lem2  14495  hashf1  14496  sgnmul  15146  fsummulc2  15837  pwdif  15924  geolim  15926  geomulcvg  15932  fprodeq0  16031  0risefac  16093  0dvds  16335  smumullem  16551  bezoutlem1  16598  lcmgcd  16666  mulgcddvds  16714  cncongr2  16727  prmdiv  16845  pcaddlem  16949  qexpz  16962  prmreclem4  16980  prmreclem5  16981  mulgnn0ass  19177  odadd2  19920  isabvd  20896  nn0srg  21568  rge0srg  21569  pzriprnglem8  21619  mhppwdeg  22294  nmolb2d  24856  nmoleub  24869  reparphti  25137  pcorevlem  25166  itg1val2  25824  i1fmullem  25834  itg1addlem4  25839  itg10a  25850  itg1ge0a  25851  itg2const  25880  itg2monolem1  25890  itg0  25920  itgz  25921  iblmulc2  25971  itgmulc2lem1  25972  bddmulibl  25979  dvcnp2  26060  dvcobr  26086  dvlip  26133  dvlipcn  26134  c1lip1  26137  dvlt0  26145  plymullem1  26352  coefv0  26386  coemullem  26388  coemulhi  26392  dgrmulc  26409  dgrcolem2  26412  dvply1  26426  plydivlem3  26437  elqaalem2  26462  elqaalem3  26463  tayl0  26503  dvtaylp  26511  radcnv0  26557  dvradcnv  26562  pserdvlem2  26569  abelthlem2  26573  pilem2  26593  sinmpi  26630  cosmpi  26631  sinppi  26632  cosppi  26633  tanregt0  26682  efsubm  26694  argregt0  26753  argrege0  26754  argimgt0  26755  logtayl  26803  mulcxplem  26827  mulcxp  26828  cxpmul2  26832  pythag  26960  quad2  26982  dcubic  26989  atans2  27074  zetacvg  27157  lgamgulmlem2  27172  mumul  27323  logexprlim  27367  dchrsum2  27410  sumdchr2  27412  lgsdilem  27466  lgsdirnn0  27486  lgsdinn0  27487  lgsquad3  27529  2sqmod  27578  rpvmasumlem  27629  dchrisumlem1  27631  dchrvmasumiflem2  27644  rpvmasum2  27654  dchrisum0re  27655  pntrlog2bndlem4  27722  pntlemf  27747  pntleml  27753  ostth2lem2  27776  ostth3  27780  colinearalg  29238  nmlnoubi  31126  ipasslem2  31162  cdj3lem1  32764  oexpled  33158  constrrtlc2  34101  cos9thpiminplylem1  34150  cos9thpiminplylem2  34151  xrge0iifhom  34305  signsplypnf  34915  signswch  34926  signlem0  34952  itgexpif  34971  circlemeth  35005  knoppndvlem6  37084  knoppndvlem8  37086  knoppndvlem13  37091  ovoliunnfl  38291  voliunnfl  38293  itg2addnclem  38300  iblmulc2nc  38314  itgmulc2nclem1  38315  areacirc  38342  geomcau  38388  bfp  38453  lcmineqlem10  42783  lcmineqlem12  42785  irrapxlem1  43529  pell1qr1  43578  pell1qrgaplem  43580  rmxy0  43630  jm2.18  43695  mpaaeu  43857  relexpmulg  44416  binomcxplemnotnn0  45046  xralrple2  46050  stoweidlem26  46720  stoweidlem37  46731  stirlinglem7  46774  dirkercncflem2  46798  fourierdlem103  46903  fourierdlem104  46904  sqwvfoura  46922  sqwvfourb  46923  etransclem15  46943  etransclem24  46952  etransclem25  46953  etransclem32  46960  etransclem35  46963  etransclem48  46976  hoidmvlelem1  47289  hoidmvlelem2  47290  hoidmvlelem3  47291  sharhght  47559  altgsumbcALT  49110  dig0  49363  itcovalpclem1  49427  line2ylem  49508  line2xlem  49510  2itscp  49538