Theorem mul01d 11489

Description: Multiplication by 0. Theorem I.6 of [Apostol] p. 18. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
muld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
mul01d	⊢ (𝜑 → (𝐴 · 0) = 0)

Proof of Theorem mul01d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		muld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		mul01 11469	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 · 0) = 0)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · 0) = 0)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1537   ∈ wcel 2108  (class class class)co 7448  ℂcc 11182  0cc0 11184   · cmul 11189

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-mulcom 11248  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-id 5593  df-po 5607  df-so 5608  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-ov 7451  df-er 8763  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-ltxr 11329

This theorem is referenced by:  mulge0  11808  mul0or  11930  diveq0  11959  div0OLD  11983  lemul1a  12148  un0mulcl  12587  mul2lt0bi  13163  rexmul  13333  modid  13947  addmodlteq  13997  expmul  14158  sqlecan  14258  discr  14289  hashf1lem2  14505  hashf1  14506  fsummulc2  15832  pwdif  15916  geolim  15918  geomulcvg  15924  fprodeq0  16023  0risefac  16086  0dvds  16325  smumullem  16538  bezoutlem1  16586  lcmgcd  16654  mulgcddvds  16702  cncongr2  16715  prmdiv  16832  pcaddlem  16935  qexpz  16948  prmreclem4  16966  prmreclem5  16967  mulgnn0ass  19150  odadd2  19891  isabvd  20835  nn0srg  21478  rge0srg  21479  pzriprnglem8  21522  mhppwdeg  22177  nmolb2d  24760  nmoleub  24773  reparphti  25048  reparphtiOLD  25049  pcorevlem  25078  itg1val2  25738  i1fmullem  25748  itg1addlem4  25753  itg1addlem4OLD  25754  itg10a  25765  itg1ge0a  25766  itg2const  25795  itg2monolem1  25805  itg0  25835  itgz  25836  iblmulc2  25886  itgmulc2lem1  25887  bddmulibl  25894  dvcnp2  25975  dvcnp2OLD  25976  dvcobr  26003  dvcobrOLD  26004  dvlip  26052  dvlipcn  26053  c1lip1  26056  dvlt0  26064  plymullem1  26273  coefv0  26307  coemullem  26309  coemulhi  26313  dgrmulc  26331  dgrcolem2  26334  dvply1  26343  plydivlem3  26355  elqaalem2  26380  elqaalem3  26381  tayl0  26421  dvtaylp  26430  radcnv0  26477  dvradcnv  26482  pserdvlem2  26490  abelthlem2  26494  pilem2  26514  sinmpi  26547  cosmpi  26548  sinppi  26549  cosppi  26550  tanregt0  26599  efsubm  26611  argregt0  26670  argrege0  26671  argimgt0  26672  logtayl  26720  mulcxplem  26744  mulcxp  26745  cxpmul2  26749  pythag  26878  quad2  26900  dcubic  26907  atans2  26992  zetacvg  27076  lgamgulmlem2  27091  mumul  27242  logexprlim  27287  dchrsum2  27330  sumdchr2  27332  lgsdilem  27386  lgsdirnn0  27406  lgsdinn0  27407  lgsquad3  27449  2sqmod  27498  rpvmasumlem  27549  dchrisumlem1  27551  dchrvmasumiflem2  27564  rpvmasum2  27574  dchrisum0re  27575  pntrlog2bndlem4  27642  pntlemf  27667  pntleml  27673  ostth2lem2  27696  ostth3  27700  colinearalg  28943  nmlnoubi  30828  ipasslem2  30864  cdj3lem1  32466  constrrtlc2  33724  xrge0iifhom  33883  sgnmul  34507  signsplypnf  34527  signswch  34538  signlem0  34564  itgexpif  34583  circlemeth  34617  knoppndvlem6  36483  knoppndvlem8  36485  knoppndvlem13  36490  ovoliunnfl  37622  voliunnfl  37624  itg2addnclem  37631  iblmulc2nc  37645  itgmulc2nclem1  37646  areacirc  37673  geomcau  37719  bfp  37784  lcmineqlem10  41995  lcmineqlem12  41997  irrapxlem1  42778  pell1qr1  42827  pell1qrgaplem  42829  rmxy0  42880  jm2.18  42945  mpaaeu  43107  relexpmulg  43672  binomcxplemnotnn0  44325  xralrple2  45269  stoweidlem26  45947  stoweidlem37  45958  stirlinglem7  46001  dirkercncflem2  46025  fourierdlem103  46130  fourierdlem104  46131  sqwvfoura  46149  sqwvfourb  46150  etransclem15  46170  etransclem24  46179  etransclem25  46180  etransclem32  46187  etransclem35  46190  etransclem48  46203  hoidmvlelem1  46516  hoidmvlelem2  46517  hoidmvlelem3  46518  sharhght  46786  altgsumbcALT  48078  dig0  48340  itcovalpclem1  48404  line2ylem  48485  line2xlem  48487  2itscp  48515