Theorem mul01d 11104

Description: Multiplication by 0. Theorem I.6 of [Apostol] p. 18. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
muld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
mul01d	⊢ (𝜑 → (𝐴 · 0) = 0)

Proof of Theorem mul01d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		muld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		mul01 11084	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 · 0) = 0)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · 0) = 0)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1539   ∈ wcel 2108  (class class class)co 7255  ℂcc 10800  0cc0 10802   · cmul 10807

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-op 4565  df-uni 4837  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-id 5480  df-po 5494  df-so 5495  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-ov 7258  df-er 8456  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-ltxr 10945

This theorem is referenced by:  mulge0  11423  mul0or  11545  diveq0  11573  div0  11593  lemul1a  11759  un0mulcl  12197  mul2lt0bi  12765  rexmul  12934  modid  13544  addmodlteq  13594  expmul  13756  sqlecan  13853  discr  13883  hashf1lem2  14098  hashf1  14099  fsummulc2  15424  pwdif  15508  geolim  15510  geomulcvg  15516  fprodeq0  15613  0risefac  15676  0dvds  15914  smumullem  16127  bezoutlem1  16175  lcmgcd  16240  mulgcddvds  16288  cncongr2  16301  prmdiv  16414  pcaddlem  16517  qexpz  16530  prmreclem4  16548  prmreclem5  16549  mulgnn0ass  18654  odadd2  19365  isabvd  19995  nn0srg  20580  rge0srg  20581  mhppwdeg  21250  nmolb2d  23788  nmoleub  23801  reparphti  24066  pcorevlem  24095  itg1val2  24753  i1fmullem  24763  itg1addlem4  24768  itg1addlem4OLD  24769  itg10a  24780  itg1ge0a  24781  itg2const  24810  itg2monolem1  24820  itg0  24849  itgz  24850  iblmulc2  24900  itgmulc2lem1  24901  bddmulibl  24908  dvcnp2  24989  dvcobr  25015  dvlip  25062  dvlipcn  25063  c1lip1  25066  dvlt0  25074  plymullem1  25280  coefv0  25314  coemullem  25316  coemulhi  25320  dgrmulc  25337  dgrcolem2  25340  dvply1  25349  plydivlem3  25360  elqaalem2  25385  elqaalem3  25386  tayl0  25426  dvtaylp  25434  radcnv0  25480  dvradcnv  25485  pserdvlem2  25492  abelthlem2  25496  pilem2  25516  sinmpi  25549  cosmpi  25550  sinppi  25551  cosppi  25552  tanregt0  25600  efsubm  25612  argregt0  25670  argrege0  25671  argimgt0  25672  logtayl  25720  mulcxplem  25744  mulcxp  25745  cxpmul2  25749  pythag  25872  quad2  25894  dcubic  25901  atans2  25986  zetacvg  26069  lgamgulmlem2  26084  mumul  26235  logexprlim  26278  dchrsum2  26321  sumdchr2  26323  lgsdilem  26377  lgsdirnn0  26397  lgsdinn0  26398  lgsquad3  26440  2sqmod  26489  rpvmasumlem  26540  dchrisumlem1  26542  dchrvmasumiflem2  26555  rpvmasum2  26565  dchrisum0re  26566  pntrlog2bndlem4  26633  pntlemf  26658  pntleml  26664  ostth2lem2  26687  ostth3  26691  colinearalg  27181  nmlnoubi  29059  ipasslem2  29095  cdj3lem1  30697  xrge0iifhom  31789  sgnmul  32409  signsplypnf  32429  signswch  32440  signlem0  32466  itgexpif  32486  circlemeth  32520  knoppndvlem6  34624  knoppndvlem8  34626  knoppndvlem13  34631  ovoliunnfl  35746  voliunnfl  35748  itg2addnclem  35755  iblmulc2nc  35769  itgmulc2nclem1  35770  areacirc  35797  geomcau  35844  bfp  35909  lcmineqlem10  39974  lcmineqlem12  39976  irrapxlem1  40560  pell1qr1  40609  pell1qrgaplem  40611  rmxy0  40661  jm2.18  40726  mpaaeu  40891  relexpmulg  41207  binomcxplemnotnn0  41863  xralrple2  42783  stoweidlem26  43457  stoweidlem37  43468  stirlinglem7  43511  dirkercncflem2  43535  fourierdlem103  43640  fourierdlem104  43641  sqwvfoura  43659  sqwvfourb  43660  etransclem15  43680  etransclem24  43689  etransclem25  43690  etransclem32  43697  etransclem35  43700  etransclem48  43713  hoidmvlelem1  44023  hoidmvlelem2  44024  hoidmvlelem3  44025  sharhght  44268  altgsumbcALT  45577  dig0  45840  itcovalpclem1  45904  line2ylem  45985  line2xlem  45987  2itscp  46015