Theorem mul01d 11363

Description: Multiplication by 0. Theorem I.6 of [Apostol] p. 18. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
muld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
mul01d	⊢ (𝜑 → (𝐴 · 0) = 0)

Proof of Theorem mul01d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		muld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		mul01 11343	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 · 0) = 0)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · 0) = 0)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  (class class class)co 7362  ℂcc 11058  0cc0 11060   · cmul 11065

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2702  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-resscn 11117  ax-1cn 11118  ax-icn 11119  ax-addcl 11120  ax-addrcl 11121  ax-mulcl 11122  ax-mulrcl 11123  ax-mulcom 11124  ax-addass 11125  ax-mulass 11126  ax-distr 11127  ax-i2m1 11128  ax-1ne0 11129  ax-1rid 11130  ax-rnegex 11131  ax-rrecex 11132  ax-cnre 11133  ax-pre-lttri 11134  ax-pre-lttrn 11135  ax-pre-ltadd 11136

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rab 3406  df-v 3448  df-sbc 3743  df-csb 3859  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-id 5536  df-po 5550  df-so 5551  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-ov 7365  df-er 8655  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-pnf 11200  df-mnf 11201  df-ltxr 11203

This theorem is referenced by:  mulge0  11682  mul0or  11804  diveq0  11832  div0  11852  lemul1a  12018  un0mulcl  12456  mul2lt0bi  13030  rexmul  13200  modid  13811  addmodlteq  13861  expmul  14023  sqlecan  14123  discr  14153  hashf1lem2  14367  hashf1  14368  fsummulc2  15680  pwdif  15764  geolim  15766  geomulcvg  15772  fprodeq0  15869  0risefac  15932  0dvds  16170  smumullem  16383  bezoutlem1  16431  lcmgcd  16494  mulgcddvds  16542  cncongr2  16555  prmdiv  16668  pcaddlem  16771  qexpz  16784  prmreclem4  16802  prmreclem5  16803  mulgnn0ass  18926  odadd2  19641  isabvd  20335  nn0srg  20904  rge0srg  20905  mhppwdeg  21577  nmolb2d  24119  nmoleub  24132  reparphti  24397  pcorevlem  24426  itg1val2  25085  i1fmullem  25095  itg1addlem4  25100  itg1addlem4OLD  25101  itg10a  25112  itg1ge0a  25113  itg2const  25142  itg2monolem1  25152  itg0  25181  itgz  25182  iblmulc2  25232  itgmulc2lem1  25233  bddmulibl  25240  dvcnp2  25321  dvcobr  25347  dvlip  25394  dvlipcn  25395  c1lip1  25398  dvlt0  25406  plymullem1  25612  coefv0  25646  coemullem  25648  coemulhi  25652  dgrmulc  25669  dgrcolem2  25672  dvply1  25681  plydivlem3  25692  elqaalem2  25717  elqaalem3  25718  tayl0  25758  dvtaylp  25766  radcnv0  25812  dvradcnv  25817  pserdvlem2  25824  abelthlem2  25828  pilem2  25848  sinmpi  25881  cosmpi  25882  sinppi  25883  cosppi  25884  tanregt0  25932  efsubm  25944  argregt0  26002  argrege0  26003  argimgt0  26004  logtayl  26052  mulcxplem  26076  mulcxp  26077  cxpmul2  26081  pythag  26204  quad2  26226  dcubic  26233  atans2  26318  zetacvg  26401  lgamgulmlem2  26416  mumul  26567  logexprlim  26610  dchrsum2  26653  sumdchr2  26655  lgsdilem  26709  lgsdirnn0  26729  lgsdinn0  26730  lgsquad3  26772  2sqmod  26821  rpvmasumlem  26872  dchrisumlem1  26874  dchrvmasumiflem2  26887  rpvmasum2  26897  dchrisum0re  26898  pntrlog2bndlem4  26965  pntlemf  26990  pntleml  26996  ostth2lem2  27019  ostth3  27023  colinearalg  27922  nmlnoubi  29801  ipasslem2  29837  cdj3lem1  31439  xrge0iifhom  32607  sgnmul  33231  signsplypnf  33251  signswch  33262  signlem0  33288  itgexpif  33308  circlemeth  33342  knoppndvlem6  35056  knoppndvlem8  35058  knoppndvlem13  35063  ovoliunnfl  36193  voliunnfl  36195  itg2addnclem  36202  iblmulc2nc  36216  itgmulc2nclem1  36217  areacirc  36244  geomcau  36291  bfp  36356  lcmineqlem10  40568  lcmineqlem12  40570  irrapxlem1  41203  pell1qr1  41252  pell1qrgaplem  41254  rmxy0  41305  jm2.18  41370  mpaaeu  41535  relexpmulg  42104  binomcxplemnotnn0  42758  xralrple2  43709  stoweidlem26  44387  stoweidlem37  44398  stirlinglem7  44441  dirkercncflem2  44465  fourierdlem103  44570  fourierdlem104  44571  sqwvfoura  44589  sqwvfourb  44590  etransclem15  44610  etransclem24  44619  etransclem25  44620  etransclem32  44627  etransclem35  44630  etransclem48  44643  hoidmvlelem1  44956  hoidmvlelem2  44957  hoidmvlelem3  44958  sharhght  45226  altgsumbcALT  46549  dig0  46812  itcovalpclem1  46876  line2ylem  46957  line2xlem  46959  2itscp  46987