Theorem mul01d 10996

Description: Multiplication by 0. Theorem I.6 of [Apostol] p. 18. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
muld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
mul01d	⊢ (𝜑 → (𝐴 · 0) = 0)

Proof of Theorem mul01d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		muld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		mul01 10976	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 · 0) = 0)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · 0) = 0)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1543   ∈ wcel 2112  (class class class)co 7191  ℂcc 10692  0cc0 10694   · cmul 10699

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2018  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2160  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5177  ax-nul 5184  ax-pow 5243  ax-pr 5307  ax-un 7501  ax-resscn 10751  ax-1cn 10752  ax-icn 10753  ax-addcl 10754  ax-addrcl 10755  ax-mulcl 10756  ax-mulrcl 10757  ax-mulcom 10758  ax-addass 10759  ax-mulass 10760  ax-distr 10761  ax-i2m1 10762  ax-1ne0 10763  ax-1rid 10764  ax-rnegex 10765  ax-rrecex 10766  ax-cnre 10767  ax-pre-lttri 10768  ax-pre-lttrn 10769  ax-pre-ltadd 10770

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3or 1090  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2073  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2809  df-nfc 2879  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3056  df-rex 3057  df-rab 3060  df-v 3400  df-sbc 3684  df-csb 3799  df-dif 3856  df-un 3858  df-in 3860  df-ss 3870  df-nul 4224  df-if 4426  df-pw 4501  df-sn 4528  df-pr 4530  df-op 4534  df-uni 4806  df-br 5040  df-opab 5102  df-mpt 5121  df-id 5440  df-po 5453  df-so 5454  df-xp 5542  df-rel 5543  df-cnv 5544  df-co 5545  df-dm 5546  df-rn 5547  df-res 5548  df-ima 5549  df-iota 6316  df-fun 6360  df-fn 6361  df-f 6362  df-f1 6363  df-fo 6364  df-f1o 6365  df-fv 6366  df-ov 7194  df-er 8369  df-en 8605  df-dom 8606  df-sdom 8607  df-pnf 10834  df-mnf 10835  df-ltxr 10837

This theorem is referenced by:  mulge0  11315  mul0or  11437  diveq0  11465  div0  11485  lemul1a  11651  un0mulcl  12089  mul2lt0bi  12657  rexmul  12826  modid  13434  addmodlteq  13484  expmul  13645  sqlecan  13742  discr  13772  hashf1lem2  13987  hashf1  13988  fsummulc2  15311  pwdif  15395  geolim  15397  geomulcvg  15403  fprodeq0  15500  0risefac  15563  0dvds  15801  smumullem  16014  bezoutlem1  16062  lcmgcd  16127  mulgcddvds  16175  cncongr2  16188  prmdiv  16301  pcaddlem  16404  qexpz  16417  prmreclem4  16435  prmreclem5  16436  mulgnn0ass  18481  odadd2  19188  isabvd  19810  nn0srg  20387  rge0srg  20388  mhppwdeg  21044  nmolb2d  23570  nmoleub  23583  reparphti  23848  pcorevlem  23877  itg1val2  24535  i1fmullem  24545  itg1addlem4  24550  itg1addlem4OLD  24551  itg10a  24562  itg1ge0a  24563  itg2const  24592  itg2monolem1  24602  itg0  24631  itgz  24632  iblmulc2  24682  itgmulc2lem1  24683  bddmulibl  24690  dvcnp2  24771  dvcobr  24797  dvlip  24844  dvlipcn  24845  c1lip1  24848  dvlt0  24856  plymullem1  25062  coefv0  25096  coemullem  25098  coemulhi  25102  dgrmulc  25119  dgrcolem2  25122  dvply1  25131  plydivlem3  25142  elqaalem2  25167  elqaalem3  25168  tayl0  25208  dvtaylp  25216  radcnv0  25262  dvradcnv  25267  pserdvlem2  25274  abelthlem2  25278  pilem2  25298  sinmpi  25331  cosmpi  25332  sinppi  25333  cosppi  25334  tanregt0  25382  efsubm  25394  argregt0  25452  argrege0  25453  argimgt0  25454  logtayl  25502  mulcxplem  25526  mulcxp  25527  cxpmul2  25531  pythag  25654  quad2  25676  dcubic  25683  atans2  25768  zetacvg  25851  lgamgulmlem2  25866  mumul  26017  logexprlim  26060  dchrsum2  26103  sumdchr2  26105  lgsdilem  26159  lgsdirnn0  26179  lgsdinn0  26180  lgsquad3  26222  2sqmod  26271  rpvmasumlem  26322  dchrisumlem1  26324  dchrvmasumiflem2  26337  rpvmasum2  26347  dchrisum0re  26348  pntrlog2bndlem4  26415  pntlemf  26440  pntleml  26446  ostth2lem2  26469  ostth3  26473  colinearalg  26955  nmlnoubi  28831  ipasslem2  28867  cdj3lem1  30469  xrge0iifhom  31555  sgnmul  32175  signsplypnf  32195  signswch  32206  signlem0  32232  itgexpif  32252  circlemeth  32286  knoppndvlem6  34383  knoppndvlem8  34385  knoppndvlem13  34390  ovoliunnfl  35505  voliunnfl  35507  itg2addnclem  35514  iblmulc2nc  35528  itgmulc2nclem1  35529  areacirc  35556  geomcau  35603  bfp  35668  lcmineqlem10  39729  lcmineqlem12  39731  irrapxlem1  40288  pell1qr1  40337  pell1qrgaplem  40339  rmxy0  40389  jm2.18  40454  mpaaeu  40619  relexpmulg  40936  binomcxplemnotnn0  41588  xralrple2  42507  stoweidlem26  43185  stoweidlem37  43196  stirlinglem7  43239  dirkercncflem2  43263  fourierdlem103  43368  fourierdlem104  43369  sqwvfoura  43387  sqwvfourb  43388  etransclem15  43408  etransclem24  43417  etransclem25  43418  etransclem32  43425  etransclem35  43428  etransclem48  43441  hoidmvlelem1  43751  hoidmvlelem2  43752  hoidmvlelem3  43753  sharhght  43996  altgsumbcALT  45305  dig0  45568  itcovalpclem1  45632  line2ylem  45713  line2xlem  45715  2itscp  45743