Theorem mul01d 11417

Description: Multiplication by 0. Theorem I.6 of [Apostol] p. 18. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
muld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
mul01d	⊢ (𝜑 → (𝐴 · 0) = 0)

Proof of Theorem mul01d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		muld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		mul01 11397	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 · 0) = 0)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · 0) = 0)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1539   ∈ wcel 2104  (class class class)co 7411  ℂcc 11110  0cc0 11112   · cmul 11117

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-id 5573  df-po 5587  df-so 5588  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-ov 7414  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-ltxr 11257

This theorem is referenced by:  mulge0  11736  mul0or  11858  diveq0  11886  div0  11906  lemul1a  12072  un0mulcl  12510  mul2lt0bi  13084  rexmul  13254  modid  13865  addmodlteq  13915  expmul  14077  sqlecan  14177  discr  14207  hashf1lem2  14421  hashf1  14422  fsummulc2  15734  pwdif  15818  geolim  15820  geomulcvg  15826  fprodeq0  15923  0risefac  15986  0dvds  16224  smumullem  16437  bezoutlem1  16485  lcmgcd  16548  mulgcddvds  16596  cncongr2  16609  prmdiv  16722  pcaddlem  16825  qexpz  16838  prmreclem4  16856  prmreclem5  16857  mulgnn0ass  19026  odadd2  19758  isabvd  20571  nn0srg  21215  rge0srg  21216  pzriprnglem8  21257  mhppwdeg  21912  nmolb2d  24455  nmoleub  24468  reparphti  24743  reparphtiOLD  24744  pcorevlem  24773  itg1val2  25433  i1fmullem  25443  itg1addlem4  25448  itg1addlem4OLD  25449  itg10a  25460  itg1ge0a  25461  itg2const  25490  itg2monolem1  25500  itg0  25529  itgz  25530  iblmulc2  25580  itgmulc2lem1  25581  bddmulibl  25588  dvcnp2  25669  dvcnp2OLD  25670  dvcobr  25697  dvcobrOLD  25698  dvlip  25745  dvlipcn  25746  c1lip1  25749  dvlt0  25757  plymullem1  25963  coefv0  25997  coemullem  25999  coemulhi  26003  dgrmulc  26021  dgrcolem2  26024  dvply1  26033  plydivlem3  26044  elqaalem2  26069  elqaalem3  26070  tayl0  26110  dvtaylp  26118  radcnv0  26164  dvradcnv  26169  pserdvlem2  26176  abelthlem2  26180  pilem2  26200  sinmpi  26233  cosmpi  26234  sinppi  26235  cosppi  26236  tanregt0  26284  efsubm  26296  argregt0  26354  argrege0  26355  argimgt0  26356  logtayl  26404  mulcxplem  26428  mulcxp  26429  cxpmul2  26433  pythag  26558  quad2  26580  dcubic  26587  atans2  26672  zetacvg  26755  lgamgulmlem2  26770  mumul  26921  logexprlim  26964  dchrsum2  27007  sumdchr2  27009  lgsdilem  27063  lgsdirnn0  27083  lgsdinn0  27084  lgsquad3  27126  2sqmod  27175  rpvmasumlem  27226  dchrisumlem1  27228  dchrvmasumiflem2  27241  rpvmasum2  27251  dchrisum0re  27252  pntrlog2bndlem4  27319  pntlemf  27344  pntleml  27350  ostth2lem2  27373  ostth3  27377  colinearalg  28435  nmlnoubi  30316  ipasslem2  30352  cdj3lem1  31954  xrge0iifhom  33215  sgnmul  33839  signsplypnf  33859  signswch  33870  signlem0  33896  itgexpif  33916  circlemeth  33950  knoppndvlem6  35696  knoppndvlem8  35698  knoppndvlem13  35703  ovoliunnfl  36833  voliunnfl  36835  itg2addnclem  36842  iblmulc2nc  36856  itgmulc2nclem1  36857  areacirc  36884  geomcau  36930  bfp  36995  lcmineqlem10  41209  lcmineqlem12  41211  irrapxlem1  41862  pell1qr1  41911  pell1qrgaplem  41913  rmxy0  41964  jm2.18  42029  mpaaeu  42194  relexpmulg  42763  binomcxplemnotnn0  43417  xralrple2  44362  stoweidlem26  45040  stoweidlem37  45051  stirlinglem7  45094  dirkercncflem2  45118  fourierdlem103  45223  fourierdlem104  45224  sqwvfoura  45242  sqwvfourb  45243  etransclem15  45263  etransclem24  45272  etransclem25  45273  etransclem32  45280  etransclem35  45283  etransclem48  45296  hoidmvlelem1  45609  hoidmvlelem2  45610  hoidmvlelem3  45611  sharhght  45879  altgsumbcALT  47117  dig0  47379  itcovalpclem1  47443  line2ylem  47524  line2xlem  47526  2itscp  47554