Theorem mul01d 11490

Description: Multiplication by 0. Theorem I.6 of [Apostol] p. 18. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
muld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
mul01d	⊢ (𝜑 → (𝐴 · 0) = 0)

Proof of Theorem mul01d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		muld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		mul01 11470	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 · 0) = 0)
3	1, 2	syl 18	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · 0) = 0)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  (class class class)co 7412  ℂcc 11179  0cc0 11181   · cmul 11186

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7740  ax-resscn 11238  ax-1cn 11239  ax-icn 11240  ax-addcl 11241  ax-addrcl 11242  ax-mulcl 11243  ax-mulrcl 11244  ax-mulcom 11245  ax-addass 11246  ax-mulass 11247  ax-distr 11248  ax-i2m1 11249  ax-1ne0 11250  ax-1rid 11251  ax-rnegex 11252  ax-rrecex 11253  ax-cnre 11254  ax-pre-lttri 11255  ax-pre-lttrn 11256  ax-pre-ltadd 11257

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-id 5546  df-po 5559  df-so 5560  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-iota 6487  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-ov 7415  df-er 8701  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-ltxr 11329

This theorem is used by:  mulge0  11815  mul0or  11937  diveq0  11965  lemul1a  12152  un0mulcl  12621  mul2lt0bi  13209  rexmul  13382  modid  14016  addmodlteq  14069  expmul  14230  sqlecan  14333  discr  14364  hashf1lem2  14581  hashf1  14582  sgnmul  15240  fsummulc2  15930  pwdif  16017  geolim  16019  geomulcvg  16025  fprodeq0  16122  0risefac  16184  0dvds  16426  smumullem  16642  bezoutlem1  16692  lcmgcd  16762  mulgcddvds  16810  cncongr2  16823  prmdiv  16942  pcaddlem  17046  qexpz  17059  prmreclem4  17077  prmreclem5  17078  mulgnn0ass  19300  odadd2  20043  isabvd  21049  nn0srg  21723  rge0srg  21724  pzriprnglem8  21774  mhppwdeg  22451  nmolb2d  25017  nmoleub  25030  reparphti  25298  pcorevlem  25327  itg1val2  25985  i1fmullem  25995  itg1addlem4  26000  itg10a  26011  itg1ge0a  26012  itg2const  26041  itg2monolem1  26051  itg0  26080  itgz  26081  iblmulc2  26131  itgmulc2lem1  26132  bddmulibl  26139  dvcnp2  26220  dvcobr  26246  dvlip  26293  dvlipcn  26294  c1lip1  26297  dvlt0  26305  plymullem1  26513  coefv0  26547  coemullem  26549  coemulhi  26553  dgrmulc  26570  dgrcolem2  26573  dvply1  26587  plydivlem3  26598  elqaalem2  26625  elqaalem3  26626  tayl0  26671  dvtaylp  26679  radcnv0  26725  dvradcnv  26730  pserdvlem2  26737  abelthlem2  26741  pilem2  26761  sinmpi  26798  cosmpi  26799  sinppi  26800  cosppi  26801  tanregt0  26849  efsubm  26861  argregt0  26920  argrege0  26921  argimgt0  26922  logtayl  26970  mulcxplem  26994  mulcxp  26995  cxpmul2  26999  pythag  27127  quad2  27149  dcubic  27156  atans2  27241  zetacvg  27324  lgamgulmlem2  27339  mumul  27490  logexprlim  27534  dchrsum2  27577  sumdchr2  27579  lgsdilem  27633  lgsdirnn0  27653  lgsdinn0  27654  lgsquad3  27696  2sqmod  27745  rpvmasumlem  27796  dchrisumlem1  27798  dchrvmasumiflem2  27811  rpvmasum2  27821  dchrisum0re  27822  pntrlog2bndlem4  27889  pntlemf  27914  pntleml  27920  ostth2lem2  27943  ostth3  27947  colinearalg  29470  nmlnoubi  31380  ipasslem2  31416  cdj3lem1  33018  oexpled  33409  constrrtlc2  34347  cos9thpiminplylem1  34396  cos9thpiminplylem2  34397  xrge0iifhom  34551  signsplypnf  35162  signswch  35173  signlem0  35199  itgexpif  35218  circlemeth  35252  knoppndvlem6  37353  knoppndvlem8  37355  knoppndvlem13  37360  ovoliunnfl  38548  voliunnfl  38550  itg2addnclem  38557  iblmulc2nc  38571  itgmulc2nclem1  38572  areacirc  38599  geomcau  38661  bfp  38726  lcmineqlem10  43056  lcmineqlem12  43058  irrapxlem1  43782  pell1qr1  43831  pell1qrgaplem  43833  rmxy0  43883  jm2.18  43948  mpaaeu  44110  relexpmulg  44669  binomcxplemnotnn0  45299  xralrple2  46310  stoweidlem26  46980  stoweidlem37  46991  stirlinglem7  47034  dirkercncflem2  47058  fourierdlem103  47163  fourierdlem104  47164  sqwvfoura  47182  sqwvfourb  47183  etransclem15  47203  etransclem24  47212  etransclem25  47213  etransclem32  47220  etransclem35  47223  etransclem48  47236  hoidmvlelem1  47549  hoidmvlelem2  47550  hoidmvlelem3  47551  sharhght  47819  altgsumbcALT  49409  dig0  49662  itcovalpclem1  49726  line2ylem  49807  line2xlem  49809  2itscp  49837