Theorem mul01d 11309

Description: Multiplication by 0. Theorem I.6 of [Apostol] p. 18. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
muld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
mul01d	⊢ (𝜑 → (𝐴 · 0) = 0)

Proof of Theorem mul01d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		muld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		mul01 11289	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 · 0) = 0)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · 0) = 0)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1541   ∈ wcel 2111  (class class class)co 7346  ℂcc 11001  0cc0 11003   · cmul 11008

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-sep 5234  ax-nul 5244  ax-pow 5303  ax-pr 5370  ax-un 7668  ax-resscn 11060  ax-1cn 11061  ax-icn 11062  ax-addcl 11063  ax-addrcl 11064  ax-mulcl 11065  ax-mulrcl 11066  ax-mulcom 11067  ax-addass 11068  ax-mulass 11069  ax-distr 11070  ax-i2m1 11071  ax-1ne0 11072  ax-1rid 11073  ax-rnegex 11074  ax-rrecex 11075  ax-cnre 11076  ax-pre-lttri 11077  ax-pre-lttrn 11078  ax-pre-ltadd 11079

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-nul 4284  df-if 4476  df-pw 4552  df-sn 4577  df-pr 4579  df-op 4583  df-uni 4860  df-br 5092  df-opab 5154  df-mpt 5173  df-id 5511  df-po 5524  df-so 5525  df-xp 5622  df-rel 5623  df-cnv 5624  df-co 5625  df-dm 5626  df-rn 5627  df-res 5628  df-ima 5629  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-ov 7349  df-er 8622  df-en 8870  df-dom 8871  df-sdom 8872  df-pnf 11145  df-mnf 11146  df-ltxr 11148

This theorem is referenced by:  mulge0  11632  mul0or  11754  diveq0  11783  div0OLD  11807  lemul1a  11972  un0mulcl  12412  mul2lt0bi  12995  rexmul  13167  modid  13797  addmodlteq  13850  expmul  14011  sqlecan  14113  discr  14144  hashf1lem2  14360  hashf1  14361  fsummulc2  15688  pwdif  15772  geolim  15774  geomulcvg  15780  fprodeq0  15879  0risefac  15942  0dvds  16184  smumullem  16400  bezoutlem1  16447  lcmgcd  16515  mulgcddvds  16563  cncongr2  16576  prmdiv  16693  pcaddlem  16797  qexpz  16810  prmreclem4  16828  prmreclem5  16829  mulgnn0ass  19020  odadd2  19759  isabvd  20725  nn0srg  21372  rge0srg  21373  pzriprnglem8  21423  mhppwdeg  22063  nmolb2d  24631  nmoleub  24644  reparphti  24921  reparphtiOLD  24922  pcorevlem  24951  itg1val2  25610  i1fmullem  25620  itg1addlem4  25625  itg10a  25636  itg1ge0a  25637  itg2const  25666  itg2monolem1  25676  itg0  25706  itgz  25707  iblmulc2  25757  itgmulc2lem1  25758  bddmulibl  25765  dvcnp2  25846  dvcnp2OLD  25847  dvcobr  25874  dvcobrOLD  25875  dvlip  25923  dvlipcn  25924  c1lip1  25927  dvlt0  25935  plymullem1  26144  coefv0  26178  coemullem  26180  coemulhi  26184  dgrmulc  26202  dgrcolem2  26205  dvply1  26216  plydivlem3  26228  elqaalem2  26253  elqaalem3  26254  tayl0  26294  dvtaylp  26303  radcnv0  26350  dvradcnv  26355  pserdvlem2  26363  abelthlem2  26367  pilem2  26387  sinmpi  26421  cosmpi  26422  sinppi  26423  cosppi  26424  tanregt0  26473  efsubm  26485  argregt0  26544  argrege0  26545  argimgt0  26546  logtayl  26594  mulcxplem  26618  mulcxp  26619  cxpmul2  26623  pythag  26752  quad2  26774  dcubic  26781  atans2  26866  zetacvg  26950  lgamgulmlem2  26965  mumul  27116  logexprlim  27161  dchrsum2  27204  sumdchr2  27206  lgsdilem  27260  lgsdirnn0  27280  lgsdinn0  27281  lgsquad3  27323  2sqmod  27372  rpvmasumlem  27423  dchrisumlem1  27425  dchrvmasumiflem2  27438  rpvmasum2  27448  dchrisum0re  27449  pntrlog2bndlem4  27516  pntlemf  27541  pntleml  27547  ostth2lem2  27570  ostth3  27574  colinearalg  28886  nmlnoubi  30771  ipasslem2  30807  cdj3lem1  32409  sgnmul  32813  oexpled  32825  constrrtlc2  33741  cos9thpiminplylem1  33790  cos9thpiminplylem2  33791  xrge0iifhom  33945  signsplypnf  34558  signswch  34569  signlem0  34595  itgexpif  34614  circlemeth  34648  knoppndvlem6  36550  knoppndvlem8  36552  knoppndvlem13  36557  ovoliunnfl  37701  voliunnfl  37703  itg2addnclem  37710  iblmulc2nc  37724  itgmulc2nclem1  37725  areacirc  37752  geomcau  37798  bfp  37863  lcmineqlem10  42070  lcmineqlem12  42072  irrapxlem1  42854  pell1qr1  42903  pell1qrgaplem  42905  rmxy0  42955  jm2.18  43020  mpaaeu  43182  relexpmulg  43742  binomcxplemnotnn0  44388  xralrple2  45392  stoweidlem26  46063  stoweidlem37  46074  stirlinglem7  46117  dirkercncflem2  46141  fourierdlem103  46246  fourierdlem104  46247  sqwvfoura  46265  sqwvfourb  46266  etransclem15  46286  etransclem24  46295  etransclem25  46296  etransclem32  46303  etransclem35  46306  etransclem48  46319  hoidmvlelem1  46632  hoidmvlelem2  46633  hoidmvlelem3  46634  sharhght  46902  altgsumbcALT  48383  dig0  48637  itcovalpclem1  48701  line2ylem  48782  line2xlem  48784  2itscp  48812