Theorem mul01d 11373

Description: Multiplication by 0. Theorem I.6 of [Apostol] p. 18. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
muld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
mul01d	⊢ (𝜑 → (𝐴 · 0) = 0)

Proof of Theorem mul01d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		muld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		mul01 11353	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 · 0) = 0)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · 0) = 0)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  (class class class)co 7387  ℂcc 11066  0cc0 11068   · cmul 11073

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711  ax-resscn 11125  ax-1cn 11126  ax-icn 11127  ax-addcl 11128  ax-addrcl 11129  ax-mulcl 11130  ax-mulrcl 11131  ax-mulcom 11132  ax-addass 11133  ax-mulass 11134  ax-distr 11135  ax-i2m1 11136  ax-1ne0 11137  ax-1rid 11138  ax-rnegex 11139  ax-rrecex 11140  ax-cnre 11141  ax-pre-lttri 11142  ax-pre-lttrn 11143  ax-pre-ltadd 11144

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-id 5533  df-po 5546  df-so 5547  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-ov 7390  df-er 8671  df-en 8919  df-dom 8920  df-sdom 8921  df-pnf 11210  df-mnf 11211  df-ltxr 11213

This theorem is referenced by:  mulge0  11696  mul0or  11818  diveq0  11847  div0OLD  11871  lemul1a  12036  un0mulcl  12476  mul2lt0bi  13059  rexmul  13231  modid  13858  addmodlteq  13911  expmul  14072  sqlecan  14174  discr  14205  hashf1lem2  14421  hashf1  14422  fsummulc2  15750  pwdif  15834  geolim  15836  geomulcvg  15842  fprodeq0  15941  0risefac  16004  0dvds  16246  smumullem  16462  bezoutlem1  16509  lcmgcd  16577  mulgcddvds  16625  cncongr2  16638  prmdiv  16755  pcaddlem  16859  qexpz  16872  prmreclem4  16890  prmreclem5  16891  mulgnn0ass  19042  odadd2  19779  isabvd  20721  nn0srg  21354  rge0srg  21355  pzriprnglem8  21398  mhppwdeg  22037  nmolb2d  24606  nmoleub  24619  reparphti  24896  reparphtiOLD  24897  pcorevlem  24926  itg1val2  25585  i1fmullem  25595  itg1addlem4  25600  itg10a  25611  itg1ge0a  25612  itg2const  25641  itg2monolem1  25651  itg0  25681  itgz  25682  iblmulc2  25732  itgmulc2lem1  25733  bddmulibl  25740  dvcnp2  25821  dvcnp2OLD  25822  dvcobr  25849  dvcobrOLD  25850  dvlip  25898  dvlipcn  25899  c1lip1  25902  dvlt0  25910  plymullem1  26119  coefv0  26153  coemullem  26155  coemulhi  26159  dgrmulc  26177  dgrcolem2  26180  dvply1  26191  plydivlem3  26203  elqaalem2  26228  elqaalem3  26229  tayl0  26269  dvtaylp  26278  radcnv0  26325  dvradcnv  26330  pserdvlem2  26338  abelthlem2  26342  pilem2  26362  sinmpi  26396  cosmpi  26397  sinppi  26398  cosppi  26399  tanregt0  26448  efsubm  26460  argregt0  26519  argrege0  26520  argimgt0  26521  logtayl  26569  mulcxplem  26593  mulcxp  26594  cxpmul2  26598  pythag  26727  quad2  26749  dcubic  26756  atans2  26841  zetacvg  26925  lgamgulmlem2  26940  mumul  27091  logexprlim  27136  dchrsum2  27179  sumdchr2  27181  lgsdilem  27235  lgsdirnn0  27255  lgsdinn0  27256  lgsquad3  27298  2sqmod  27347  rpvmasumlem  27398  dchrisumlem1  27400  dchrvmasumiflem2  27413  rpvmasum2  27423  dchrisum0re  27424  pntrlog2bndlem4  27491  pntlemf  27516  pntleml  27522  ostth2lem2  27545  ostth3  27549  colinearalg  28837  nmlnoubi  30725  ipasslem2  30761  cdj3lem1  32363  sgnmul  32760  oexpled  32772  constrrtlc2  33723  cos9thpiminplylem1  33772  cos9thpiminplylem2  33773  xrge0iifhom  33927  signsplypnf  34541  signswch  34552  signlem0  34578  itgexpif  34597  circlemeth  34631  knoppndvlem6  36505  knoppndvlem8  36507  knoppndvlem13  36512  ovoliunnfl  37656  voliunnfl  37658  itg2addnclem  37665  iblmulc2nc  37679  itgmulc2nclem1  37680  areacirc  37707  geomcau  37753  bfp  37818  lcmineqlem10  42026  lcmineqlem12  42028  irrapxlem1  42810  pell1qr1  42859  pell1qrgaplem  42861  rmxy0  42912  jm2.18  42977  mpaaeu  43139  relexpmulg  43699  binomcxplemnotnn0  44345  xralrple2  45350  stoweidlem26  46024  stoweidlem37  46035  stirlinglem7  46078  dirkercncflem2  46102  fourierdlem103  46207  fourierdlem104  46208  sqwvfoura  46226  sqwvfourb  46227  etransclem15  46247  etransclem24  46256  etransclem25  46257  etransclem32  46264  etransclem35  46267  etransclem48  46280  hoidmvlelem1  46593  hoidmvlelem2  46594  hoidmvlelem3  46595  sharhght  46863  altgsumbcALT  48341  dig0  48595  itcovalpclem1  48659  line2ylem  48740  line2xlem  48742  2itscp  48770