Theorem mul01d 11458

Description: Multiplication by 0. Theorem I.6 of [Apostol] p. 18. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
muld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
mul01d	⊢ (𝜑 → (𝐴 · 0) = 0)

Proof of Theorem mul01d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		muld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		mul01 11438	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 · 0) = 0)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · 0) = 0)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1537   ∈ wcel 2106  (class class class)co 7431  ℂcc 11151  0cc0 11153   · cmul 11158

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5583  df-po 5597  df-so 5598  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-ov 7434  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-ltxr 11298

This theorem is referenced by:  mulge0  11779  mul0or  11901  diveq0  11930  div0OLD  11954  lemul1a  12119  un0mulcl  12558  mul2lt0bi  13139  rexmul  13310  modid  13933  addmodlteq  13984  expmul  14145  sqlecan  14245  discr  14276  hashf1lem2  14492  hashf1  14493  fsummulc2  15817  pwdif  15901  geolim  15903  geomulcvg  15909  fprodeq0  16008  0risefac  16071  0dvds  16311  smumullem  16526  bezoutlem1  16573  lcmgcd  16641  mulgcddvds  16689  cncongr2  16702  prmdiv  16819  pcaddlem  16922  qexpz  16935  prmreclem4  16953  prmreclem5  16954  mulgnn0ass  19141  odadd2  19882  isabvd  20830  nn0srg  21473  rge0srg  21474  pzriprnglem8  21517  mhppwdeg  22172  nmolb2d  24755  nmoleub  24768  reparphti  25043  reparphtiOLD  25044  pcorevlem  25073  itg1val2  25733  i1fmullem  25743  itg1addlem4  25748  itg1addlem4OLD  25749  itg10a  25760  itg1ge0a  25761  itg2const  25790  itg2monolem1  25800  itg0  25830  itgz  25831  iblmulc2  25881  itgmulc2lem1  25882  bddmulibl  25889  dvcnp2  25970  dvcnp2OLD  25971  dvcobr  25998  dvcobrOLD  25999  dvlip  26047  dvlipcn  26048  c1lip1  26051  dvlt0  26059  plymullem1  26268  coefv0  26302  coemullem  26304  coemulhi  26308  dgrmulc  26326  dgrcolem2  26329  dvply1  26340  plydivlem3  26352  elqaalem2  26377  elqaalem3  26378  tayl0  26418  dvtaylp  26427  radcnv0  26474  dvradcnv  26479  pserdvlem2  26487  abelthlem2  26491  pilem2  26511  sinmpi  26544  cosmpi  26545  sinppi  26546  cosppi  26547  tanregt0  26596  efsubm  26608  argregt0  26667  argrege0  26668  argimgt0  26669  logtayl  26717  mulcxplem  26741  mulcxp  26742  cxpmul2  26746  pythag  26875  quad2  26897  dcubic  26904  atans2  26989  zetacvg  27073  lgamgulmlem2  27088  mumul  27239  logexprlim  27284  dchrsum2  27327  sumdchr2  27329  lgsdilem  27383  lgsdirnn0  27403  lgsdinn0  27404  lgsquad3  27446  2sqmod  27495  rpvmasumlem  27546  dchrisumlem1  27548  dchrvmasumiflem2  27561  rpvmasum2  27571  dchrisum0re  27572  pntrlog2bndlem4  27639  pntlemf  27664  pntleml  27670  ostth2lem2  27693  ostth3  27697  colinearalg  28940  nmlnoubi  30825  ipasslem2  30861  cdj3lem1  32463  constrrtlc2  33739  xrge0iifhom  33898  sgnmul  34524  signsplypnf  34544  signswch  34555  signlem0  34581  itgexpif  34600  circlemeth  34634  knoppndvlem6  36500  knoppndvlem8  36502  knoppndvlem13  36507  ovoliunnfl  37649  voliunnfl  37651  itg2addnclem  37658  iblmulc2nc  37672  itgmulc2nclem1  37673  areacirc  37700  geomcau  37746  bfp  37811  lcmineqlem10  42020  lcmineqlem12  42022  irrapxlem1  42810  pell1qr1  42859  pell1qrgaplem  42861  rmxy0  42912  jm2.18  42977  mpaaeu  43139  relexpmulg  43700  binomcxplemnotnn0  44352  xralrple2  45304  stoweidlem26  45982  stoweidlem37  45993  stirlinglem7  46036  dirkercncflem2  46060  fourierdlem103  46165  fourierdlem104  46166  sqwvfoura  46184  sqwvfourb  46185  etransclem15  46205  etransclem24  46214  etransclem25  46215  etransclem32  46222  etransclem35  46225  etransclem48  46238  hoidmvlelem1  46551  hoidmvlelem2  46552  hoidmvlelem3  46553  sharhght  46821  altgsumbcALT  48198  dig0  48456  itcovalpclem1  48520  line2ylem  48601  line2xlem  48603  2itscp  48631