constrelextdg2 - Mathbox for Thierry Arnoux

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Theorem constrelextdg2 34244

Description: If the 𝑁-th step (𝐶‘𝑁) of the construction of constuctible numbers is included in a subfield 𝐹 of the complex numbers, then any element 𝑋 of the next step (𝐶‘suc 𝑁) is either in 𝐹 or in a quadratic extension of 𝐹. (Contributed by Thierry Arnoux, 6-Jul-2025.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
constr0.1	⊢ 𝐶 = rec((𝑠 ∈ V ↦ {𝑥 ∈ ℂ ∣ (∃𝑎 ∈ 𝑠 ∃𝑏 ∈ 𝑠 ∃𝑐 ∈ 𝑠 ∃𝑑 ∈ 𝑠 ∃𝑡 ∈ ℝ ∃𝑟 ∈ ℝ (𝑥 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ 𝑥 = (𝑐 + (𝑟 · (𝑑 − 𝑐))) ∧ (ℑ‘((∗‘(𝑏 − 𝑎)) · (𝑑 − 𝑐))) ≠ 0) ∨ ∃𝑎 ∈ 𝑠 ∃𝑏 ∈ 𝑠 ∃𝑐 ∈ 𝑠 ∃𝑒 ∈ 𝑠 ∃𝑓 ∈ 𝑠 ∃𝑡 ∈ ℝ (𝑥 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ (abs‘(𝑥 − 𝑐)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓))) ∨ ∃𝑎 ∈ 𝑠 ∃𝑏 ∈ 𝑠 ∃𝑐 ∈ 𝑠 ∃𝑑 ∈ 𝑠 ∃𝑒 ∈ 𝑠 ∃𝑓 ∈ 𝑠 (𝑎 ≠ 𝑑 ∧ (abs‘(𝑥 − 𝑎)) = (abs‘(𝑏 − 𝑐)) ∧ (abs‘(𝑥 − 𝑑)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓))))}), {0, 1})
constrelextdg2.k	⊢ 𝐾 = (ℂ_fld ↾_s 𝐹)
constrelextdg2.l	⊢ 𝐿 = (ℂ_fld ↾_s (ℂ_fld fldGen (𝐹 ∪ {𝑋})))
constrelextdg2.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (SubDRing‘ℂ_fld))
constrelextdg2.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ On)
constrelextdg2.1	⊢ (𝜑 → (𝐶‘𝑁) ⊆ 𝐹)
constrelextdg2.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝐶‘suc 𝑁))

**Assertion**
Ref	Expression
constrelextdg2	⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ 𝐹 ∨ (𝐿[:]𝐾) = 2))

Distinct variable groups: 𝐶,𝑎,𝑏,𝑐,𝑑,𝑒,𝑓,𝑟,𝑠,𝑡,𝑥 𝐹,𝑎,𝑏,𝑐,𝑑,𝑒,𝑓,𝑟,𝑡 𝐾,𝑎,𝑏,𝑐,𝑑,𝑒,𝑓,𝑟,𝑡 𝐿,𝑎,𝑏,𝑐,𝑑,𝑒,𝑓,𝑟,𝑡 𝑁,𝑎,𝑏,𝑐,𝑑,𝑒,𝑓,𝑟,𝑠,𝑡,𝑥 𝑋,𝑎,𝑏,𝑐,𝑑,𝑒,𝑓,𝑟,𝑠,𝑡,𝑥 𝜑,𝑎,𝑏,𝑐,𝑑,𝑒,𝑓,𝑟,𝑠,𝑡,𝑥 Allowed substitution hints: 𝐹(𝑥, 𝑠) 𝐾(𝑥, 𝑠) 𝐿(𝑥, 𝑠)

**Proof of Theorem constrelextdg2**
Step	Hyp	Ref	Expression
1		constrelextdg2.f	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (SubDRing‘ℂ_fld))
2		cnfldbas 21590	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ℂ = (Base‘ℂ_fld)
3	2	sdrgss 20960	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐹 ∈ (SubDRing‘ℂ_fld) → 𝐹 ⊆ ℂ)
4	1, 3	syl 18	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ⊆ ℂ)
5	4	ad7antr 751	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑑 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ 𝑋 = (𝑐 + (𝑟 · (𝑑 − 𝑐))) ∧ (ℑ‘((∗‘(𝑏 − 𝑎)) · (𝑑 − 𝑐))) ≠ 0)) → 𝐹 ⊆ ℂ)
6		constrelextdg2.1	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝐶‘𝑁) ⊆ 𝐹)
7	6	ad7antr 751	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑑 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ 𝑋 = (𝑐 + (𝑟 · (𝑑 − 𝑐))) ∧ (ℑ‘((∗‘(𝑏 − 𝑎)) · (𝑑 − 𝑐))) ≠ 0)) → (𝐶‘𝑁) ⊆ 𝐹)
8		simp-7r 802	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑑 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ 𝑋 = (𝑐 + (𝑟 · (𝑑 − 𝑐))) ∧ (ℑ‘((∗‘(𝑏 − 𝑎)) · (𝑑 − 𝑐))) ≠ 0)) → 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑁))
9	7, 8	sseldd 3935	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑑 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ 𝑋 = (𝑐 + (𝑟 · (𝑑 − 𝑐))) ∧ (ℑ‘((∗‘(𝑏 − 𝑎)) · (𝑑 − 𝑐))) ≠ 0)) → 𝑎 ∈ 𝐹)
10		simp-6r 800	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑑 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ 𝑋 = (𝑐 + (𝑟 · (𝑑 − 𝑐))) ∧ (ℑ‘((∗‘(𝑏 − 𝑎)) · (𝑑 − 𝑐))) ≠ 0)) → 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑁))
11	7, 10	sseldd 3935	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑑 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ 𝑋 = (𝑐 + (𝑟 · (𝑑 − 𝑐))) ∧ (ℑ‘((∗‘(𝑏 − 𝑎)) · (𝑑 − 𝑐))) ≠ 0)) → 𝑏 ∈ 𝐹)
12		simp-5r 798	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑑 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ 𝑋 = (𝑐 + (𝑟 · (𝑑 − 𝑐))) ∧ (ℑ‘((∗‘(𝑏 − 𝑎)) · (𝑑 − 𝑐))) ≠ 0)) → 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑁))
13	7, 12	sseldd 3935	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑑 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ 𝑋 = (𝑐 + (𝑟 · (𝑑 − 𝑐))) ∧ (ℑ‘((∗‘(𝑏 − 𝑎)) · (𝑑 − 𝑐))) ≠ 0)) → 𝑐 ∈ 𝐹)
14		simp-4r 796	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑑 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ 𝑋 = (𝑐 + (𝑟 · (𝑑 − 𝑐))) ∧ (ℑ‘((∗‘(𝑏 − 𝑎)) · (𝑑 − 𝑐))) ≠ 0)) → 𝑑 ∈ (𝐶‘𝑁))
15	7, 14	sseldd 3935	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑑 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ 𝑋 = (𝑐 + (𝑟 · (𝑑 − 𝑐))) ∧ (ℑ‘((∗‘(𝑏 − 𝑎)) · (𝑑 − 𝑐))) ≠ 0)) → 𝑑 ∈ 𝐹)
16		simpllr 788	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑑 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ 𝑋 = (𝑐 + (𝑟 · (𝑑 − 𝑐))) ∧ (ℑ‘((∗‘(𝑏 − 𝑎)) · (𝑑 − 𝑐))) ≠ 0)) → 𝑡 ∈ ℝ)
17		simplr 781	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑑 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ 𝑋 = (𝑐 + (𝑟 · (𝑑 − 𝑐))) ∧ (ℑ‘((∗‘(𝑏 − 𝑎)) · (𝑑 − 𝑐))) ≠ 0)) → 𝑟 ∈ ℝ)
18		simpr1 1213	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑑 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ 𝑋 = (𝑐 + (𝑟 · (𝑑 − 𝑐))) ∧ (ℑ‘((∗‘(𝑏 − 𝑎)) · (𝑑 − 𝑐))) ≠ 0)) → 𝑋 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))))
19		simpr2 1214	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑑 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ 𝑋 = (𝑐 + (𝑟 · (𝑑 − 𝑐))) ∧ (ℑ‘((∗‘(𝑏 − 𝑎)) · (𝑑 − 𝑐))) ≠ 0)) → 𝑋 = (𝑐 + (𝑟 · (𝑑 − 𝑐))))
20		simpr3 1215	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑑 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ 𝑋 = (𝑐 + (𝑟 · (𝑑 − 𝑐))) ∧ (ℑ‘((∗‘(𝑏 − 𝑎)) · (𝑑 − 𝑐))) ≠ 0)) → (ℑ‘((∗‘(𝑏 − 𝑎)) · (𝑑 − 𝑐))) ≠ 0)
21		eqid 2762	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑎 + (((((𝑎 − 𝑐) · ((∗‘𝑑) − (∗‘𝑐))) − (((∗‘𝑎) − (∗‘𝑐)) · (𝑑 − 𝑐))) / ((((∗‘𝑏) − (∗‘𝑎)) · (𝑑 − 𝑐)) − ((𝑏 − 𝑎) · ((∗‘𝑑) − (∗‘𝑐))))) · (𝑏 − 𝑎))) = (𝑎 + (((((𝑎 − 𝑐) · ((∗‘𝑑) − (∗‘𝑐))) − (((∗‘𝑎) − (∗‘𝑐)) · (𝑑 − 𝑐))) / ((((∗‘𝑏) − (∗‘𝑎)) · (𝑑 − 𝑐)) − ((𝑏 − 𝑎) · ((∗‘𝑑) − (∗‘𝑐))))) · (𝑏 − 𝑎)))
22	5, 9, 11, 13, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21	constrrtll 34228	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑑 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ 𝑋 = (𝑐 + (𝑟 · (𝑑 − 𝑐))) ∧ (ℑ‘((∗‘(𝑏 − 𝑎)) · (𝑑 − 𝑐))) ≠ 0)) → 𝑋 = (𝑎 + (((((𝑎 − 𝑐) · ((∗‘𝑑) − (∗‘𝑐))) − (((∗‘𝑎) − (∗‘𝑐)) · (𝑑 − 𝑐))) / ((((∗‘𝑏) − (∗‘𝑎)) · (𝑑 − 𝑐)) − ((𝑏 − 𝑎) · ((∗‘𝑑) − (∗‘𝑐))))) · (𝑏 − 𝑎))))
23		cnfldadd 21592	. . . . . . . . . . 11 ⊢ + = (+_g‘ℂ_fld)
24		sdrgsubrg 20958	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐹 ∈ (SubDRing‘ℂ_fld) → 𝐹 ∈ (SubRing‘ℂ_fld))
25		subrgsubg 20740	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐹 ∈ (SubRing‘ℂ_fld) → 𝐹 ∈ (SubGrp‘ℂ_fld))
26	1, 24, 25	3syl 19	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (SubGrp‘ℂ_fld))
27	26	ad7antr 751	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑑 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ 𝑋 = (𝑐 + (𝑟 · (𝑑 − 𝑐))) ∧ (ℑ‘((∗‘(𝑏 − 𝑎)) · (𝑑 − 𝑐))) ≠ 0)) → 𝐹 ∈ (SubGrp‘ℂ_fld))
28		cnfldmul 21594	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ · = (._r‘ℂ_fld)
29	1, 24	syl 18	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (SubRing‘ℂ_fld))
30	29	ad7antr 751	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑑 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ 𝑋 = (𝑐 + (𝑟 · (𝑑 − 𝑐))) ∧ (ℑ‘((∗‘(𝑏 − 𝑎)) · (𝑑 − 𝑐))) ≠ 0)) → 𝐹 ∈ (SubRing‘ℂ_fld))
31		cnflddiv 21616	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ / = (/_r‘ℂ_fld)
32		cnfld0 21610	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 0 = (0_g‘ℂ_fld)
33	1	ad7antr 751	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑑 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ 𝑋 = (𝑐 + (𝑟 · (𝑑 − 𝑐))) ∧ (ℑ‘((∗‘(𝑏 − 𝑎)) · (𝑑 − 𝑐))) ≠ 0)) → 𝐹 ∈ (SubDRing‘ℂ_fld))
34		cnfldsub 21614	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ − = (-_g‘ℂ_fld)
35	34, 27, 9, 13	subgsubcld 33469	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑑 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ 𝑋 = (𝑐 + (𝑟 · (𝑑 − 𝑐))) ∧ (ℑ‘((∗‘(𝑏 − 𝑎)) · (𝑑 − 𝑐))) ≠ 0)) → (𝑎 − 𝑐) ∈ 𝐹)
36		constr0.1	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ 𝐶 = rec((𝑠 ∈ V ↦ {𝑥 ∈ ℂ ∣ (∃𝑎 ∈ 𝑠 ∃𝑏 ∈ 𝑠 ∃𝑐 ∈ 𝑠 ∃𝑑 ∈ 𝑠 ∃𝑡 ∈ ℝ ∃𝑟 ∈ ℝ (𝑥 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ 𝑥 = (𝑐 + (𝑟 · (𝑑 − 𝑐))) ∧ (ℑ‘((∗‘(𝑏 − 𝑎)) · (𝑑 − 𝑐))) ≠ 0) ∨ ∃𝑎 ∈ 𝑠 ∃𝑏 ∈ 𝑠 ∃𝑐 ∈ 𝑠 ∃𝑒 ∈ 𝑠 ∃𝑓 ∈ 𝑠 ∃𝑡 ∈ ℝ (𝑥 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ (abs‘(𝑥 − 𝑐)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓))) ∨ ∃𝑎 ∈ 𝑠 ∃𝑏 ∈ 𝑠 ∃𝑐 ∈ 𝑠 ∃𝑑 ∈ 𝑠 ∃𝑒 ∈ 𝑠 ∃𝑓 ∈ 𝑠 (𝑎 ≠ 𝑑 ∧ (abs‘(𝑥 − 𝑎)) = (abs‘(𝑏 − 𝑐)) ∧ (abs‘(𝑥 − 𝑑)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓))))}), {0, 1})
37		constrelextdg2.n	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ On)
38	37	ad7antr 751	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑑 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ 𝑋 = (𝑐 + (𝑟 · (𝑑 − 𝑐))) ∧ (ℑ‘((∗‘(𝑏 − 𝑎)) · (𝑑 − 𝑐))) ≠ 0)) → 𝑁 ∈ On)
39	36, 38, 14	constrconj 34242	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑑 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ 𝑋 = (𝑐 + (𝑟 · (𝑑 − 𝑐))) ∧ (ℑ‘((∗‘(𝑏 − 𝑎)) · (𝑑 − 𝑐))) ≠ 0)) → (∗‘𝑑) ∈ (𝐶‘𝑁))
40	7, 39	sseldd 3935	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑑 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ 𝑋 = (𝑐 + (𝑟 · (𝑑 − 𝑐))) ∧ (ℑ‘((∗‘(𝑏 − 𝑎)) · (𝑑 − 𝑐))) ≠ 0)) → (∗‘𝑑) ∈ 𝐹)
41	36, 38, 12	constrconj 34242	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑑 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ 𝑋 = (𝑐 + (𝑟 · (𝑑 − 𝑐))) ∧ (ℑ‘((∗‘(𝑏 − 𝑎)) · (𝑑 − 𝑐))) ≠ 0)) → (∗‘𝑐) ∈ (𝐶‘𝑁))
42	7, 41	sseldd 3935	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑑 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ 𝑋 = (𝑐 + (𝑟 · (𝑑 − 𝑐))) ∧ (ℑ‘((∗‘(𝑏 − 𝑎)) · (𝑑 − 𝑐))) ≠ 0)) → (∗‘𝑐) ∈ 𝐹)
43	34, 27, 40, 42	subgsubcld 33469	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑑 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ 𝑋 = (𝑐 + (𝑟 · (𝑑 − 𝑐))) ∧ (ℑ‘((∗‘(𝑏 − 𝑎)) · (𝑑 − 𝑐))) ≠ 0)) → ((∗‘𝑑) − (∗‘𝑐)) ∈ 𝐹)
44	28, 30, 35, 43	subrgmcld 33658	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑑 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ 𝑋 = (𝑐 + (𝑟 · (𝑑 − 𝑐))) ∧ (ℑ‘((∗‘(𝑏 − 𝑎)) · (𝑑 − 𝑐))) ≠ 0)) → ((𝑎 − 𝑐) · ((∗‘𝑑) − (∗‘𝑐))) ∈ 𝐹)
45	36, 38, 8	constrconj 34242	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑑 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ 𝑋 = (𝑐 + (𝑟 · (𝑑 − 𝑐))) ∧ (ℑ‘((∗‘(𝑏 − 𝑎)) · (𝑑 − 𝑐))) ≠ 0)) → (∗‘𝑎) ∈ (𝐶‘𝑁))
46	7, 45	sseldd 3935	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑑 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ 𝑋 = (𝑐 + (𝑟 · (𝑑 − 𝑐))) ∧ (ℑ‘((∗‘(𝑏 − 𝑎)) · (𝑑 − 𝑐))) ≠ 0)) → (∗‘𝑎) ∈ 𝐹)
47	34, 27, 46, 42	subgsubcld 33469	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑑 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ 𝑋 = (𝑐 + (𝑟 · (𝑑 − 𝑐))) ∧ (ℑ‘((∗‘(𝑏 − 𝑎)) · (𝑑 − 𝑐))) ≠ 0)) → ((∗‘𝑎) − (∗‘𝑐)) ∈ 𝐹)
48	34, 27, 15, 13	subgsubcld 33469	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑑 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ 𝑋 = (𝑐 + (𝑟 · (𝑑 − 𝑐))) ∧ (ℑ‘((∗‘(𝑏 − 𝑎)) · (𝑑 − 𝑐))) ≠ 0)) → (𝑑 − 𝑐) ∈ 𝐹)
49	28, 30, 47, 48	subrgmcld 33658	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑑 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ 𝑋 = (𝑐 + (𝑟 · (𝑑 − 𝑐))) ∧ (ℑ‘((∗‘(𝑏 − 𝑎)) · (𝑑 − 𝑐))) ≠ 0)) → (((∗‘𝑎) − (∗‘𝑐)) · (𝑑 − 𝑐)) ∈ 𝐹)
50	34, 27, 44, 49	subgsubcld 33469	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑑 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ 𝑋 = (𝑐 + (𝑟 · (𝑑 − 𝑐))) ∧ (ℑ‘((∗‘(𝑏 − 𝑎)) · (𝑑 − 𝑐))) ≠ 0)) → (((𝑎 − 𝑐) · ((∗‘𝑑) − (∗‘𝑐))) − (((∗‘𝑎) − (∗‘𝑐)) · (𝑑 − 𝑐))) ∈ 𝐹)
51	36, 38, 10	constrconj 34242	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑑 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ 𝑋 = (𝑐 + (𝑟 · (𝑑 − 𝑐))) ∧ (ℑ‘((∗‘(𝑏 − 𝑎)) · (𝑑 − 𝑐))) ≠ 0)) → (∗‘𝑏) ∈ (𝐶‘𝑁))
52	7, 51	sseldd 3935	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑑 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ 𝑋 = (𝑐 + (𝑟 · (𝑑 − 𝑐))) ∧ (ℑ‘((∗‘(𝑏 − 𝑎)) · (𝑑 − 𝑐))) ≠ 0)) → (∗‘𝑏) ∈ 𝐹)
53	34, 27, 52, 46	subgsubcld 33469	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑑 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ 𝑋 = (𝑐 + (𝑟 · (𝑑 − 𝑐))) ∧ (ℑ‘((∗‘(𝑏 − 𝑎)) · (𝑑 − 𝑐))) ≠ 0)) → ((∗‘𝑏) − (∗‘𝑎)) ∈ 𝐹)
54	28, 30, 53, 48	subrgmcld 33658	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑑 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ 𝑋 = (𝑐 + (𝑟 · (𝑑 − 𝑐))) ∧ (ℑ‘((∗‘(𝑏 − 𝑎)) · (𝑑 − 𝑐))) ≠ 0)) → (((∗‘𝑏) − (∗‘𝑎)) · (𝑑 − 𝑐)) ∈ 𝐹)
55	34, 27, 11, 9	subgsubcld 33469	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑑 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ 𝑋 = (𝑐 + (𝑟 · (𝑑 − 𝑐))) ∧ (ℑ‘((∗‘(𝑏 − 𝑎)) · (𝑑 − 𝑐))) ≠ 0)) → (𝑏 − 𝑎) ∈ 𝐹)
56	28, 30, 55, 43	subrgmcld 33658	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑑 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ 𝑋 = (𝑐 + (𝑟 · (𝑑 − 𝑐))) ∧ (ℑ‘((∗‘(𝑏 − 𝑎)) · (𝑑 − 𝑐))) ≠ 0)) → ((𝑏 − 𝑎) · ((∗‘𝑑) − (∗‘𝑐))) ∈ 𝐹)
57	34, 27, 54, 56	subgsubcld 33469	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑑 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ 𝑋 = (𝑐 + (𝑟 · (𝑑 − 𝑐))) ∧ (ℑ‘((∗‘(𝑏 − 𝑎)) · (𝑑 − 𝑐))) ≠ 0)) → ((((∗‘𝑏) − (∗‘𝑎)) · (𝑑 − 𝑐)) − ((𝑏 − 𝑎) · ((∗‘𝑑) − (∗‘𝑐)))) ∈ 𝐹)
58	5, 11	sseldd 3935	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑑 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ 𝑋 = (𝑐 + (𝑟 · (𝑑 − 𝑐))) ∧ (ℑ‘((∗‘(𝑏 − 𝑎)) · (𝑑 − 𝑐))) ≠ 0)) → 𝑏 ∈ ℂ)
59	5, 9	sseldd 3935	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑑 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ 𝑋 = (𝑐 + (𝑟 · (𝑑 − 𝑐))) ∧ (ℑ‘((∗‘(𝑏 − 𝑎)) · (𝑑 − 𝑐))) ≠ 0)) → 𝑎 ∈ ℂ)
60	58, 59	cjsubd 33200	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑑 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ 𝑋 = (𝑐 + (𝑟 · (𝑑 − 𝑐))) ∧ (ℑ‘((∗‘(𝑏 − 𝑎)) · (𝑑 − 𝑐))) ≠ 0)) → (∗‘(𝑏 − 𝑎)) = ((∗‘𝑏) − (∗‘𝑎)))
61	60	oveq1d 7431	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑑 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ 𝑋 = (𝑐 + (𝑟 · (𝑑 − 𝑐))) ∧ (ℑ‘((∗‘(𝑏 − 𝑎)) · (𝑑 − 𝑐))) ≠ 0)) → ((∗‘(𝑏 − 𝑎)) · (𝑑 − 𝑐)) = (((∗‘𝑏) − (∗‘𝑎)) · (𝑑 − 𝑐)))
62	5, 55	sseldd 3935	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑑 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ 𝑋 = (𝑐 + (𝑟 · (𝑑 − 𝑐))) ∧ (ℑ‘((∗‘(𝑏 − 𝑎)) · (𝑑 − 𝑐))) ≠ 0)) → (𝑏 − 𝑎) ∈ ℂ)
63	62	cjcld 15285	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑑 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ 𝑋 = (𝑐 + (𝑟 · (𝑑 − 𝑐))) ∧ (ℑ‘((∗‘(𝑏 − 𝑎)) · (𝑑 − 𝑐))) ≠ 0)) → (∗‘(𝑏 − 𝑎)) ∈ ℂ)
64	5, 48	sseldd 3935	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑑 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ 𝑋 = (𝑐 + (𝑟 · (𝑑 − 𝑐))) ∧ (ℑ‘((∗‘(𝑏 − 𝑎)) · (𝑑 − 𝑐))) ≠ 0)) → (𝑑 − 𝑐) ∈ ℂ)
65	63, 64	cjmuld 15310	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑑 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ 𝑋 = (𝑐 + (𝑟 · (𝑑 − 𝑐))) ∧ (ℑ‘((∗‘(𝑏 − 𝑎)) · (𝑑 − 𝑐))) ≠ 0)) → (∗‘((∗‘(𝑏 − 𝑎)) · (𝑑 − 𝑐))) = ((∗‘(∗‘(𝑏 − 𝑎))) · (∗‘(𝑑 − 𝑐))))
66	62	cjcjd 15288	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑑 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ 𝑋 = (𝑐 + (𝑟 · (𝑑 − 𝑐))) ∧ (ℑ‘((∗‘(𝑏 − 𝑎)) · (𝑑 − 𝑐))) ≠ 0)) → (∗‘(∗‘(𝑏 − 𝑎))) = (𝑏 − 𝑎))
67	5, 15	sseldd 3935	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑑 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ 𝑋 = (𝑐 + (𝑟 · (𝑑 − 𝑐))) ∧ (ℑ‘((∗‘(𝑏 − 𝑎)) · (𝑑 − 𝑐))) ≠ 0)) → 𝑑 ∈ ℂ)
68	5, 13	sseldd 3935	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑑 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ 𝑋 = (𝑐 + (𝑟 · (𝑑 − 𝑐))) ∧ (ℑ‘((∗‘(𝑏 − 𝑎)) · (𝑑 − 𝑐))) ≠ 0)) → 𝑐 ∈ ℂ)
69	67, 68	cjsubd 33200	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑑 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ 𝑋 = (𝑐 + (𝑟 · (𝑑 − 𝑐))) ∧ (ℑ‘((∗‘(𝑏 − 𝑎)) · (𝑑 − 𝑐))) ≠ 0)) → (∗‘(𝑑 − 𝑐)) = ((∗‘𝑑) − (∗‘𝑐)))
70	66, 69	oveq12d 7434	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑑 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ 𝑋 = (𝑐 + (𝑟 · (𝑑 − 𝑐))) ∧ (ℑ‘((∗‘(𝑏 − 𝑎)) · (𝑑 − 𝑐))) ≠ 0)) → ((∗‘(∗‘(𝑏 − 𝑎))) · (∗‘(𝑑 − 𝑐))) = ((𝑏 − 𝑎) · ((∗‘𝑑) − (∗‘𝑐))))
71	65, 70	eqtrd 2797	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑑 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ 𝑋 = (𝑐 + (𝑟 · (𝑑 − 𝑐))) ∧ (ℑ‘((∗‘(𝑏 − 𝑎)) · (𝑑 − 𝑐))) ≠ 0)) → (∗‘((∗‘(𝑏 − 𝑎)) · (𝑑 − 𝑐))) = ((𝑏 − 𝑎) · ((∗‘𝑑) − (∗‘𝑐))))
72	61, 71	oveq12d 7434	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑑 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ 𝑋 = (𝑐 + (𝑟 · (𝑑 − 𝑐))) ∧ (ℑ‘((∗‘(𝑏 − 𝑎)) · (𝑑 − 𝑐))) ≠ 0)) → (((∗‘(𝑏 − 𝑎)) · (𝑑 − 𝑐)) − (∗‘((∗‘(𝑏 − 𝑎)) · (𝑑 − 𝑐)))) = ((((∗‘𝑏) − (∗‘𝑎)) · (𝑑 − 𝑐)) − ((𝑏 − 𝑎) · ((∗‘𝑑) − (∗‘𝑐)))))
73	63, 64	mulcld 11256	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑑 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ 𝑋 = (𝑐 + (𝑟 · (𝑑 − 𝑐))) ∧ (ℑ‘((∗‘(𝑏 − 𝑎)) · (𝑑 − 𝑐))) ≠ 0)) → ((∗‘(𝑏 − 𝑎)) · (𝑑 − 𝑐)) ∈ ℂ)
74		imval2 15240	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((∗‘(𝑏 − 𝑎)) · (𝑑 − 𝑐)) ∈ ℂ → (ℑ‘((∗‘(𝑏 − 𝑎)) · (𝑑 − 𝑐))) = ((((∗‘(𝑏 − 𝑎)) · (𝑑 − 𝑐)) − (∗‘((∗‘(𝑏 − 𝑎)) · (𝑑 − 𝑐)))) / (2 · i)))
75	73, 74	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑑 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ 𝑋 = (𝑐 + (𝑟 · (𝑑 − 𝑐))) ∧ (ℑ‘((∗‘(𝑏 − 𝑎)) · (𝑑 − 𝑐))) ≠ 0)) → (ℑ‘((∗‘(𝑏 − 𝑎)) · (𝑑 − 𝑐))) = ((((∗‘(𝑏 − 𝑎)) · (𝑑 − 𝑐)) − (∗‘((∗‘(𝑏 − 𝑎)) · (𝑑 − 𝑐)))) / (2 · i)))
76	75	neeq1d 3016	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑑 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ 𝑋 = (𝑐 + (𝑟 · (𝑑 − 𝑐))) ∧ (ℑ‘((∗‘(𝑏 − 𝑎)) · (𝑑 − 𝑐))) ≠ 0)) → ((ℑ‘((∗‘(𝑏 − 𝑎)) · (𝑑 − 𝑐))) ≠ 0 ↔ ((((∗‘(𝑏 − 𝑎)) · (𝑑 − 𝑐)) − (∗‘((∗‘(𝑏 − 𝑎)) · (𝑑 − 𝑐)))) / (2 · i)) ≠ 0))
77	20, 76	mpbid 235	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑑 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ 𝑋 = (𝑐 + (𝑟 · (𝑑 − 𝑐))) ∧ (ℑ‘((∗‘(𝑏 − 𝑎)) · (𝑑 − 𝑐))) ≠ 0)) → ((((∗‘(𝑏 − 𝑎)) · (𝑑 − 𝑐)) − (∗‘((∗‘(𝑏 − 𝑎)) · (𝑑 − 𝑐)))) / (2 · i)) ≠ 0)
78	73	cjcld 15285	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑑 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ 𝑋 = (𝑐 + (𝑟 · (𝑑 − 𝑐))) ∧ (ℑ‘((∗‘(𝑏 − 𝑎)) · (𝑑 − 𝑐))) ≠ 0)) → (∗‘((∗‘(𝑏 − 𝑎)) · (𝑑 − 𝑐))) ∈ ℂ)
79	73, 78	subcld 11596	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑑 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ 𝑋 = (𝑐 + (𝑟 · (𝑑 − 𝑐))) ∧ (ℑ‘((∗‘(𝑏 − 𝑎)) · (𝑑 − 𝑐))) ≠ 0)) → (((∗‘(𝑏 − 𝑎)) · (𝑑 − 𝑐)) − (∗‘((∗‘(𝑏 − 𝑎)) · (𝑑 − 𝑐)))) ∈ ℂ)
80		2cnd 12346	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑑 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ 𝑋 = (𝑐 + (𝑟 · (𝑑 − 𝑐))) ∧ (ℑ‘((∗‘(𝑏 − 𝑎)) · (𝑑 − 𝑐))) ≠ 0)) → 2 ∈ ℂ)
81		ax-icn 11186	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ i ∈ ℂ
82	81	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑑 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ 𝑋 = (𝑐 + (𝑟 · (𝑑 − 𝑐))) ∧ (ℑ‘((∗‘(𝑏 − 𝑎)) · (𝑑 − 𝑐))) ≠ 0)) → i ∈ ℂ)
83	80, 82	mulcld 11256	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑑 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ 𝑋 = (𝑐 + (𝑟 · (𝑑 − 𝑐))) ∧ (ℑ‘((∗‘(𝑏 − 𝑎)) · (𝑑 − 𝑐))) ≠ 0)) → (2 · i) ∈ ℂ)
84		2cn 12343	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ 2 ∈ ℂ
85		2ne0 12374	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ 2 ≠ 0
86		ine0 11676	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ i ≠ 0
87	84, 81, 85, 86	mulne0i 11884	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (2 · i) ≠ 0
88	87	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑑 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ 𝑋 = (𝑐 + (𝑟 · (𝑑 − 𝑐))) ∧ (ℑ‘((∗‘(𝑏 − 𝑎)) · (𝑑 − 𝑐))) ≠ 0)) → (2 · i) ≠ 0)
89	79, 83, 88	divne0bd 12030	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑑 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ 𝑋 = (𝑐 + (𝑟 · (𝑑 − 𝑐))) ∧ (ℑ‘((∗‘(𝑏 − 𝑎)) · (𝑑 − 𝑐))) ≠ 0)) → ((((∗‘(𝑏 − 𝑎)) · (𝑑 − 𝑐)) − (∗‘((∗‘(𝑏 − 𝑎)) · (𝑑 − 𝑐)))) ≠ 0 ↔ ((((∗‘(𝑏 − 𝑎)) · (𝑑 − 𝑐)) − (∗‘((∗‘(𝑏 − 𝑎)) · (𝑑 − 𝑐)))) / (2 · i)) ≠ 0))
90	77, 89	mpbird 260	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑑 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ 𝑋 = (𝑐 + (𝑟 · (𝑑 − 𝑐))) ∧ (ℑ‘((∗‘(𝑏 − 𝑎)) · (𝑑 − 𝑐))) ≠ 0)) → (((∗‘(𝑏 − 𝑎)) · (𝑑 − 𝑐)) − (∗‘((∗‘(𝑏 − 𝑎)) · (𝑑 − 𝑐)))) ≠ 0)
91	72, 90	eqnetrrd 3025	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑑 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ 𝑋 = (𝑐 + (𝑟 · (𝑑 − 𝑐))) ∧ (ℑ‘((∗‘(𝑏 − 𝑎)) · (𝑑 − 𝑐))) ≠ 0)) → ((((∗‘𝑏) − (∗‘𝑎)) · (𝑑 − 𝑐)) − ((𝑏 − 𝑎) · ((∗‘𝑑) − (∗‘𝑐)))) ≠ 0)
92	31, 32, 33, 50, 57, 91	sdrgdvcl 33727	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑑 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ 𝑋 = (𝑐 + (𝑟 · (𝑑 − 𝑐))) ∧ (ℑ‘((∗‘(𝑏 − 𝑎)) · (𝑑 − 𝑐))) ≠ 0)) → ((((𝑎 − 𝑐) · ((∗‘𝑑) − (∗‘𝑐))) − (((∗‘𝑎) − (∗‘𝑐)) · (𝑑 − 𝑐))) / ((((∗‘𝑏) − (∗‘𝑎)) · (𝑑 − 𝑐)) − ((𝑏 − 𝑎) · ((∗‘𝑑) − (∗‘𝑐))))) ∈ 𝐹)
93	28, 30, 92, 55	subrgmcld 33658	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑑 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ 𝑋 = (𝑐 + (𝑟 · (𝑑 − 𝑐))) ∧ (ℑ‘((∗‘(𝑏 − 𝑎)) · (𝑑 − 𝑐))) ≠ 0)) → (((((𝑎 − 𝑐) · ((∗‘𝑑) − (∗‘𝑐))) − (((∗‘𝑎) − (∗‘𝑐)) · (𝑑 − 𝑐))) / ((((∗‘𝑏) − (∗‘𝑎)) · (𝑑 − 𝑐)) − ((𝑏 − 𝑎) · ((∗‘𝑑) − (∗‘𝑐))))) · (𝑏 − 𝑎)) ∈ 𝐹)
94	23, 27, 9, 93	subgcld 19261	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑑 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ 𝑋 = (𝑐 + (𝑟 · (𝑑 − 𝑐))) ∧ (ℑ‘((∗‘(𝑏 − 𝑎)) · (𝑑 − 𝑐))) ≠ 0)) → (𝑎 + (((((𝑎 − 𝑐) · ((∗‘𝑑) − (∗‘𝑐))) − (((∗‘𝑎) − (∗‘𝑐)) · (𝑑 − 𝑐))) / ((((∗‘𝑏) − (∗‘𝑎)) · (𝑑 − 𝑐)) − ((𝑏 − 𝑎) · ((∗‘𝑑) − (∗‘𝑐))))) · (𝑏 − 𝑎))) ∈ 𝐹)
95	22, 94	eqeltrd 2862	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑑 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ 𝑋 = (𝑐 + (𝑟 · (𝑑 − 𝑐))) ∧ (ℑ‘((∗‘(𝑏 − 𝑎)) · (𝑑 − 𝑐))) ≠ 0)) → 𝑋 ∈ 𝐹)
96	95	orcd 887	. . . . . . . 8 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑑 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ 𝑋 = (𝑐 + (𝑟 · (𝑑 − 𝑐))) ∧ (ℑ‘((∗‘(𝑏 − 𝑎)) · (𝑑 − 𝑐))) ≠ 0)) → (𝑋 ∈ 𝐹 ∨ (𝐿[:]𝐾) = 2))
97	96	r19.29an 3168	. . . . . . 7 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑑 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ ∃𝑟 ∈ ℝ (𝑋 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ 𝑋 = (𝑐 + (𝑟 · (𝑑 − 𝑐))) ∧ (ℑ‘((∗‘(𝑏 − 𝑎)) · (𝑑 − 𝑐))) ≠ 0)) → (𝑋 ∈ 𝐹 ∨ (𝐿[:]𝐾) = 2))
98	97	r19.29an 3168	. . . . . 6 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑑 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ ∃𝑡 ∈ ℝ ∃𝑟 ∈ ℝ (𝑋 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ 𝑋 = (𝑐 + (𝑟 · (𝑑 − 𝑐))) ∧ (ℑ‘((∗‘(𝑏 − 𝑎)) · (𝑑 − 𝑐))) ≠ 0)) → (𝑋 ∈ 𝐹 ∨ (𝐿[:]𝐾) = 2))
99	98	r19.29an 3168	. . . . 5 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ ∃𝑑 ∈ (𝐶‘𝑁)∃𝑡 ∈ ℝ ∃𝑟 ∈ ℝ (𝑋 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ 𝑋 = (𝑐 + (𝑟 · (𝑑 − 𝑐))) ∧ (ℑ‘((∗‘(𝑏 − 𝑎)) · (𝑑 − 𝑐))) ≠ 0)) → (𝑋 ∈ 𝐹 ∨ (𝐿[:]𝐾) = 2))
100	99	r19.29an 3168	. . . 4 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ ∃𝑐 ∈ (𝐶‘𝑁)∃𝑑 ∈ (𝐶‘𝑁)∃𝑡 ∈ ℝ ∃𝑟 ∈ ℝ (𝑋 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ 𝑋 = (𝑐 + (𝑟 · (𝑑 − 𝑐))) ∧ (ℑ‘((∗‘(𝑏 − 𝑎)) · (𝑑 − 𝑐))) ≠ 0)) → (𝑋 ∈ 𝐹 ∨ (𝐿[:]𝐾) = 2))
101	100	r19.29an 3168	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ ∃𝑏 ∈ (𝐶‘𝑁)∃𝑐 ∈ (𝐶‘𝑁)∃𝑑 ∈ (𝐶‘𝑁)∃𝑡 ∈ ℝ ∃𝑟 ∈ ℝ (𝑋 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ 𝑋 = (𝑐 + (𝑟 · (𝑑 − 𝑐))) ∧ (ℑ‘((∗‘(𝑏 − 𝑎)) · (𝑑 − 𝑐))) ≠ 0)) → (𝑋 ∈ 𝐹 ∨ (𝐿[:]𝐾) = 2))
102	101	r19.29an 3168	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ ∃𝑎 ∈ (𝐶‘𝑁)∃𝑏 ∈ (𝐶‘𝑁)∃𝑐 ∈ (𝐶‘𝑁)∃𝑑 ∈ (𝐶‘𝑁)∃𝑡 ∈ ℝ ∃𝑟 ∈ ℝ (𝑋 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ 𝑋 = (𝑐 + (𝑟 · (𝑑 − 𝑐))) ∧ (ℑ‘((∗‘(𝑏 − 𝑎)) · (𝑑 − 𝑐))) ≠ 0)) → (𝑋 ∈ 𝐹 ∨ (𝐿[:]𝐾) = 2))
103	36, 37	constrsscn 34237	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝐶‘𝑁) ⊆ ℂ)
104	103	ad8antr 753	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ (abs‘(𝑋 − 𝑐)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))) ∧ 𝑎 = 𝑏) → (𝐶‘𝑁) ⊆ ℂ)
105		simp-8r 804	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ (abs‘(𝑋 − 𝑐)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))) ∧ 𝑎 = 𝑏) → 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑁))
106		simp-7r 802	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ (abs‘(𝑋 − 𝑐)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))) ∧ 𝑎 = 𝑏) → 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑁))
107		simp-6r 800	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ (abs‘(𝑋 − 𝑐)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))) ∧ 𝑎 = 𝑏) → 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑁))
108		simp-5r 798	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ (abs‘(𝑋 − 𝑐)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))) ∧ 𝑎 = 𝑏) → 𝑒 ∈ (𝐶‘𝑁))
109		simp-4r 796	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ (abs‘(𝑋 − 𝑐)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))) ∧ 𝑎 = 𝑏) → 𝑓 ∈ (𝐶‘𝑁))
110		simpllr 788	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ (abs‘(𝑋 − 𝑐)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))) ∧ 𝑎 = 𝑏) → 𝑡 ∈ ℝ)
111		simplrl 789	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ (abs‘(𝑋 − 𝑐)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))) ∧ 𝑎 = 𝑏) → 𝑋 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))))
112		simplrr 790	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ (abs‘(𝑋 − 𝑐)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))) ∧ 𝑎 = 𝑏) → (abs‘(𝑋 − 𝑐)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))
113		simpr 490	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ (abs‘(𝑋 − 𝑐)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))) ∧ 𝑎 = 𝑏) → 𝑎 = 𝑏)
114	104, 105, 106, 107, 108, 109, 110, 111, 112, 113	constrrtlc2 34230	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ (abs‘(𝑋 − 𝑐)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))) ∧ 𝑎 = 𝑏) → 𝑋 = 𝑎)
115	6	ad8antr 753	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ (abs‘(𝑋 − 𝑐)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))) ∧ 𝑎 = 𝑏) → (𝐶‘𝑁) ⊆ 𝐹)
116	115, 105	sseldd 3935	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ (abs‘(𝑋 − 𝑐)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))) ∧ 𝑎 = 𝑏) → 𝑎 ∈ 𝐹)
117	114, 116	eqeltrd 2862	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ (abs‘(𝑋 − 𝑐)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))) ∧ 𝑎 = 𝑏) → 𝑋 ∈ 𝐹)
118	117	orcd 887	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ (abs‘(𝑋 − 𝑐)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))) ∧ 𝑎 = 𝑏) → (𝑋 ∈ 𝐹 ∨ (𝐿[:]𝐾) = 2))
119		constrelextdg2.k	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐾 = (ℂ_fld ↾_s 𝐹)
120		constrelextdg2.l	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐿 = (ℂ_fld ↾_s (ℂ_fld fldGen (𝐹 ∪ {𝑋})))
121		eqid 2762	. . . . . . . . . 10 ⊢ (Poly₁‘𝐾) = (Poly₁‘𝐾)
122		eqid 2762	. . . . . . . . . 10 ⊢ (._g‘(mulGrp‘ℂ_fld)) = (._g‘(mulGrp‘ℂ_fld))
123		cnfldfld 33769	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ℂ_fld ∈ Field
124	123	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ (abs‘(𝑋 − 𝑐)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) → ℂ_fld ∈ Field)
125	1	ad8antr 753	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ (abs‘(𝑋 − 𝑐)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) → 𝐹 ∈ (SubDRing‘ℂ_fld))
126		constrelextdg2.x	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝐶‘suc 𝑁))
127		eqid 2762	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐶‘𝑁) = (𝐶‘𝑁)
128	36, 37, 127	constrsuc 34235	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ (𝐶‘suc 𝑁) ↔ (𝑋 ∈ ℂ ∧ (∃𝑎 ∈ (𝐶‘𝑁)∃𝑏 ∈ (𝐶‘𝑁)∃𝑐 ∈ (𝐶‘𝑁)∃𝑑 ∈ (𝐶‘𝑁)∃𝑡 ∈ ℝ ∃𝑟 ∈ ℝ (𝑋 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ 𝑋 = (𝑐 + (𝑟 · (𝑑 − 𝑐))) ∧ (ℑ‘((∗‘(𝑏 − 𝑎)) · (𝑑 − 𝑐))) ≠ 0) ∨ ∃𝑎 ∈ (𝐶‘𝑁)∃𝑏 ∈ (𝐶‘𝑁)∃𝑐 ∈ (𝐶‘𝑁)∃𝑒 ∈ (𝐶‘𝑁)∃𝑓 ∈ (𝐶‘𝑁)∃𝑡 ∈ ℝ (𝑋 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ (abs‘(𝑋 − 𝑐)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓))) ∨ ∃𝑎 ∈ (𝐶‘𝑁)∃𝑏 ∈ (𝐶‘𝑁)∃𝑐 ∈ (𝐶‘𝑁)∃𝑑 ∈ (𝐶‘𝑁)∃𝑒 ∈ (𝐶‘𝑁)∃𝑓 ∈ (𝐶‘𝑁)(𝑎 ≠ 𝑑 ∧ (abs‘(𝑋 − 𝑎)) = (abs‘(𝑏 − 𝑐)) ∧ (abs‘(𝑋 − 𝑑)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))))))
129	126, 128	mpbid 235	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ ℂ ∧ (∃𝑎 ∈ (𝐶‘𝑁)∃𝑏 ∈ (𝐶‘𝑁)∃𝑐 ∈ (𝐶‘𝑁)∃𝑑 ∈ (𝐶‘𝑁)∃𝑡 ∈ ℝ ∃𝑟 ∈ ℝ (𝑋 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ 𝑋 = (𝑐 + (𝑟 · (𝑑 − 𝑐))) ∧ (ℑ‘((∗‘(𝑏 − 𝑎)) · (𝑑 − 𝑐))) ≠ 0) ∨ ∃𝑎 ∈ (𝐶‘𝑁)∃𝑏 ∈ (𝐶‘𝑁)∃𝑐 ∈ (𝐶‘𝑁)∃𝑒 ∈ (𝐶‘𝑁)∃𝑓 ∈ (𝐶‘𝑁)∃𝑡 ∈ ℝ (𝑋 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ (abs‘(𝑋 − 𝑐)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓))) ∨ ∃𝑎 ∈ (𝐶‘𝑁)∃𝑏 ∈ (𝐶‘𝑁)∃𝑐 ∈ (𝐶‘𝑁)∃𝑑 ∈ (𝐶‘𝑁)∃𝑒 ∈ (𝐶‘𝑁)∃𝑓 ∈ (𝐶‘𝑁)(𝑎 ≠ 𝑑 ∧ (abs‘(𝑋 − 𝑎)) = (abs‘(𝑏 − 𝑐)) ∧ (abs‘(𝑋 − 𝑑)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓))))))
130	129	simpld 500	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℂ)
131	130	ad8antr 753	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ (abs‘(𝑋 − 𝑐)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) → 𝑋 ∈ ℂ)
132	26	ad8antr 753	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ (abs‘(𝑋 − 𝑐)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) → 𝐹 ∈ (SubGrp‘ℂ_fld))
133	6	ad8antr 753	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ (abs‘(𝑋 − 𝑐)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) → (𝐶‘𝑁) ⊆ 𝐹)
134	37	ad8antr 753	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ (abs‘(𝑋 − 𝑐)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) → 𝑁 ∈ On)
135		simp-8r 804	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ (abs‘(𝑋 − 𝑐)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) → 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑁))
136	36, 134, 135	constrconj 34242	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ (abs‘(𝑋 − 𝑐)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) → (∗‘𝑎) ∈ (𝐶‘𝑁))
137	133, 136	sseldd 3935	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ (abs‘(𝑋 − 𝑐)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) → (∗‘𝑎) ∈ 𝐹)
138	125, 24	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ (abs‘(𝑋 − 𝑐)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) → 𝐹 ∈ (SubRing‘ℂ_fld))
139	133, 135	sseldd 3935	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ (abs‘(𝑋 − 𝑐)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) → 𝑎 ∈ 𝐹)
140		simp-7r 802	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ (abs‘(𝑋 − 𝑐)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) → 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑁))
141	36, 134, 140	constrconj 34242	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ (abs‘(𝑋 − 𝑐)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) → (∗‘𝑏) ∈ (𝐶‘𝑁))
142	133, 141	sseldd 3935	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ (abs‘(𝑋 − 𝑐)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) → (∗‘𝑏) ∈ 𝐹)
143	34, 132, 142, 137	subgsubcld 33469	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ (abs‘(𝑋 − 𝑐)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) → ((∗‘𝑏) − (∗‘𝑎)) ∈ 𝐹)
144	133, 140	sseldd 3935	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ (abs‘(𝑋 − 𝑐)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) → 𝑏 ∈ 𝐹)
145	34, 132, 144, 139	subgsubcld 33469	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ (abs‘(𝑋 − 𝑐)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) → (𝑏 − 𝑎) ∈ 𝐹)
146	103	ad8antr 753	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ (abs‘(𝑋 − 𝑐)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) → (𝐶‘𝑁) ⊆ ℂ)
147	146, 140	sseldd 3935	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ (abs‘(𝑋 − 𝑐)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) → 𝑏 ∈ ℂ)
148	146, 135	sseldd 3935	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ (abs‘(𝑋 − 𝑐)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) → 𝑎 ∈ ℂ)
149		simpr 490	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ (abs‘(𝑋 − 𝑐)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) → 𝑎 ≠ 𝑏)
150	149	necomd 3012	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ (abs‘(𝑋 − 𝑐)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) → 𝑏 ≠ 𝑎)
151	147, 148, 150	subne0d 11605	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ (abs‘(𝑋 − 𝑐)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) → (𝑏 − 𝑎) ≠ 0)
152	31, 32, 125, 143, 145, 151	sdrgdvcl 33727	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ (abs‘(𝑋 − 𝑐)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) → (((∗‘𝑏) − (∗‘𝑎)) / (𝑏 − 𝑎)) ∈ 𝐹)
153	28, 138, 139, 152	subrgmcld 33658	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ (abs‘(𝑋 − 𝑐)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) → (𝑎 · (((∗‘𝑏) − (∗‘𝑎)) / (𝑏 − 𝑎))) ∈ 𝐹)
154	34, 132, 137, 153	subgsubcld 33469	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ (abs‘(𝑋 − 𝑐)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) → ((∗‘𝑎) − (𝑎 · (((∗‘𝑏) − (∗‘𝑎)) / (𝑏 − 𝑎)))) ∈ 𝐹)
155		simp-6r 800	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ (abs‘(𝑋 − 𝑐)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) → 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑁))
156	36, 134, 155	constrconj 34242	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ (abs‘(𝑋 − 𝑐)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) → (∗‘𝑐) ∈ (𝐶‘𝑁))
157	133, 156	sseldd 3935	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ (abs‘(𝑋 − 𝑐)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) → (∗‘𝑐) ∈ 𝐹)
158	34, 132, 154, 157	subgsubcld 33469	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ (abs‘(𝑋 − 𝑐)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) → (((∗‘𝑎) − (𝑎 · (((∗‘𝑏) − (∗‘𝑎)) / (𝑏 − 𝑎)))) − (∗‘𝑐)) ∈ 𝐹)
159	133, 155	sseldd 3935	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ (abs‘(𝑋 − 𝑐)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) → 𝑐 ∈ 𝐹)
160	28, 138, 159, 152	subrgmcld 33658	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ (abs‘(𝑋 − 𝑐)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) → (𝑐 · (((∗‘𝑏) − (∗‘𝑎)) / (𝑏 − 𝑎))) ∈ 𝐹)
161	34, 132, 158, 160	subgsubcld 33469	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ (abs‘(𝑋 − 𝑐)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) → ((((∗‘𝑎) − (𝑎 · (((∗‘𝑏) − (∗‘𝑎)) / (𝑏 − 𝑎)))) − (∗‘𝑐)) − (𝑐 · (((∗‘𝑏) − (∗‘𝑎)) / (𝑏 − 𝑎)))) ∈ 𝐹)
162		simp-5r 798	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ (abs‘(𝑋 − 𝑐)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) → 𝑒 ∈ (𝐶‘𝑁))
163		simp-4r 796	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ (abs‘(𝑋 − 𝑐)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) → 𝑓 ∈ (𝐶‘𝑁))
164		simpllr 788	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ (abs‘(𝑋 − 𝑐)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) → 𝑡 ∈ ℝ)
165		simplrl 789	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ (abs‘(𝑋 − 𝑐)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) → 𝑋 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))))
166		simplrr 790	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ (abs‘(𝑋 − 𝑐)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) → (abs‘(𝑋 − 𝑐)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))
167		eqid 2762	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((∗‘𝑏) − (∗‘𝑎)) / (𝑏 − 𝑎)) = (((∗‘𝑏) − (∗‘𝑎)) / (𝑏 − 𝑎))
168		eqid 2762	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((∗‘𝑎) − (𝑎 · (((∗‘𝑏) − (∗‘𝑎)) / (𝑏 − 𝑎)))) − (∗‘𝑐)) − (𝑐 · (((∗‘𝑏) − (∗‘𝑎)) / (𝑏 − 𝑎)))) / (((∗‘𝑏) − (∗‘𝑎)) / (𝑏 − 𝑎))) = (((((∗‘𝑎) − (𝑎 · (((∗‘𝑏) − (∗‘𝑎)) / (𝑏 − 𝑎)))) − (∗‘𝑐)) − (𝑐 · (((∗‘𝑏) − (∗‘𝑎)) / (𝑏 − 𝑎)))) / (((∗‘𝑏) − (∗‘𝑎)) / (𝑏 − 𝑎)))
169		eqid 2762	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (-((𝑐 · (((∗‘𝑎) − (𝑎 · (((∗‘𝑏) − (∗‘𝑎)) / (𝑏 − 𝑎)))) − (∗‘𝑐))) + ((𝑒 − 𝑓) · ((∗‘𝑒) − (∗‘𝑓)))) / (((∗‘𝑏) − (∗‘𝑎)) / (𝑏 − 𝑎))) = (-((𝑐 · (((∗‘𝑎) − (𝑎 · (((∗‘𝑏) − (∗‘𝑎)) / (𝑏 − 𝑎)))) − (∗‘𝑐))) + ((𝑒 − 𝑓) · ((∗‘𝑒) − (∗‘𝑓)))) / (((∗‘𝑏) − (∗‘𝑎)) / (𝑏 − 𝑎)))
170	146, 135, 140, 155, 162, 163, 164, 165, 166, 167, 168, 169, 149	constrrtlc1 34229	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ (abs‘(𝑋 − 𝑐)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) → (((𝑋↑2) + (((((((∗‘𝑎) − (𝑎 · (((∗‘𝑏) − (∗‘𝑎)) / (𝑏 − 𝑎)))) − (∗‘𝑐)) − (𝑐 · (((∗‘𝑏) − (∗‘𝑎)) / (𝑏 − 𝑎)))) / (((∗‘𝑏) − (∗‘𝑎)) / (𝑏 − 𝑎))) · 𝑋) + (-((𝑐 · (((∗‘𝑎) − (𝑎 · (((∗‘𝑏) − (∗‘𝑎)) / (𝑏 − 𝑎)))) − (∗‘𝑐))) + ((𝑒 − 𝑓) · ((∗‘𝑒) − (∗‘𝑓)))) / (((∗‘𝑏) − (∗‘𝑎)) / (𝑏 − 𝑎))))) = 0 ∧ (((∗‘𝑏) − (∗‘𝑎)) / (𝑏 − 𝑎)) ≠ 0))
171	170	simprd 501	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ (abs‘(𝑋 − 𝑐)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) → (((∗‘𝑏) − (∗‘𝑎)) / (𝑏 − 𝑎)) ≠ 0)
172	31, 32, 125, 161, 152, 171	sdrgdvcl 33727	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ (abs‘(𝑋 − 𝑐)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) → (((((∗‘𝑎) − (𝑎 · (((∗‘𝑏) − (∗‘𝑎)) / (𝑏 − 𝑎)))) − (∗‘𝑐)) − (𝑐 · (((∗‘𝑏) − (∗‘𝑎)) / (𝑏 − 𝑎)))) / (((∗‘𝑏) − (∗‘𝑎)) / (𝑏 − 𝑎))) ∈ 𝐹)
173		df-neg 11471	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ -((𝑐 · (((∗‘𝑎) − (𝑎 · (((∗‘𝑏) − (∗‘𝑎)) / (𝑏 − 𝑎)))) − (∗‘𝑐))) + ((𝑒 − 𝑓) · ((∗‘𝑒) − (∗‘𝑓)))) = (0 − ((𝑐 · (((∗‘𝑎) − (𝑎 · (((∗‘𝑏) − (∗‘𝑎)) / (𝑏 − 𝑎)))) − (∗‘𝑐))) + ((𝑒 − 𝑓) · ((∗‘𝑒) − (∗‘𝑓)))))
174	36, 134	constr01 34239	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ (abs‘(𝑋 − 𝑐)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) → {0, 1} ⊆ (𝐶‘𝑁))
175		0elpr01 11228	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 0 ∈ {0, 1}
176	175	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ (abs‘(𝑋 − 𝑐)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) → 0 ∈ {0, 1})
177	174, 176	sseldd 3935	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ (abs‘(𝑋 − 𝑐)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) → 0 ∈ (𝐶‘𝑁))
178	133, 177	sseldd 3935	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ (abs‘(𝑋 − 𝑐)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) → 0 ∈ 𝐹)
179	28, 138, 159, 158	subrgmcld 33658	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ (abs‘(𝑋 − 𝑐)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) → (𝑐 · (((∗‘𝑎) − (𝑎 · (((∗‘𝑏) − (∗‘𝑎)) / (𝑏 − 𝑎)))) − (∗‘𝑐))) ∈ 𝐹)
180	133, 162	sseldd 3935	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ (abs‘(𝑋 − 𝑐)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) → 𝑒 ∈ 𝐹)
181	133, 163	sseldd 3935	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ (abs‘(𝑋 − 𝑐)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) → 𝑓 ∈ 𝐹)
182	34, 132, 180, 181	subgsubcld 33469	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ (abs‘(𝑋 − 𝑐)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) → (𝑒 − 𝑓) ∈ 𝐹)
183	36, 134, 162	constrconj 34242	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ (abs‘(𝑋 − 𝑐)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) → (∗‘𝑒) ∈ (𝐶‘𝑁))
184	133, 183	sseldd 3935	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ (abs‘(𝑋 − 𝑐)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) → (∗‘𝑒) ∈ 𝐹)
185	36, 134, 163	constrconj 34242	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ (abs‘(𝑋 − 𝑐)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) → (∗‘𝑓) ∈ (𝐶‘𝑁))
186	133, 185	sseldd 3935	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ (abs‘(𝑋 − 𝑐)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) → (∗‘𝑓) ∈ 𝐹)
187	34, 132, 184, 186	subgsubcld 33469	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ (abs‘(𝑋 − 𝑐)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) → ((∗‘𝑒) − (∗‘𝑓)) ∈ 𝐹)
188	28, 138, 182, 187	subrgmcld 33658	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ (abs‘(𝑋 − 𝑐)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) → ((𝑒 − 𝑓) · ((∗‘𝑒) − (∗‘𝑓))) ∈ 𝐹)
189	23, 132, 179, 188	subgcld 19261	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ (abs‘(𝑋 − 𝑐)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) → ((𝑐 · (((∗‘𝑎) − (𝑎 · (((∗‘𝑏) − (∗‘𝑎)) / (𝑏 − 𝑎)))) − (∗‘𝑐))) + ((𝑒 − 𝑓) · ((∗‘𝑒) − (∗‘𝑓)))) ∈ 𝐹)
190	34, 132, 178, 189	subgsubcld 33469	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ (abs‘(𝑋 − 𝑐)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) → (0 − ((𝑐 · (((∗‘𝑎) − (𝑎 · (((∗‘𝑏) − (∗‘𝑎)) / (𝑏 − 𝑎)))) − (∗‘𝑐))) + ((𝑒 − 𝑓) · ((∗‘𝑒) − (∗‘𝑓))))) ∈ 𝐹)
191	173, 190	eqeltrid 2866	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ (abs‘(𝑋 − 𝑐)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) → -((𝑐 · (((∗‘𝑎) − (𝑎 · (((∗‘𝑏) − (∗‘𝑎)) / (𝑏 − 𝑎)))) − (∗‘𝑐))) + ((𝑒 − 𝑓) · ((∗‘𝑒) − (∗‘𝑓)))) ∈ 𝐹)
192	31, 32, 125, 191, 152, 171	sdrgdvcl 33727	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ (abs‘(𝑋 − 𝑐)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) → (-((𝑐 · (((∗‘𝑎) − (𝑎 · (((∗‘𝑏) − (∗‘𝑎)) / (𝑏 − 𝑎)))) − (∗‘𝑐))) + ((𝑒 − 𝑓) · ((∗‘𝑒) − (∗‘𝑓)))) / (((∗‘𝑏) − (∗‘𝑎)) / (𝑏 − 𝑎))) ∈ 𝐹)
193		2nn0 12548	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 2 ∈ ℕ₀
194	193	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ (abs‘(𝑋 − 𝑐)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) → 2 ∈ ℕ₀)
195		cnfldexp 21619	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑋 ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℕ₀) → (2(._g‘(mulGrp‘ℂ_fld))𝑋) = (𝑋↑2))
196	131, 194, 195	syl2anc 596	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ (abs‘(𝑋 − 𝑐)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) → (2(._g‘(mulGrp‘ℂ_fld))𝑋) = (𝑋↑2))
197	196	oveq1d 7431	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ (abs‘(𝑋 − 𝑐)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) → ((2(._g‘(mulGrp‘ℂ_fld))𝑋) + (((((((∗‘𝑎) − (𝑎 · (((∗‘𝑏) − (∗‘𝑎)) / (𝑏 − 𝑎)))) − (∗‘𝑐)) − (𝑐 · (((∗‘𝑏) − (∗‘𝑎)) / (𝑏 − 𝑎)))) / (((∗‘𝑏) − (∗‘𝑎)) / (𝑏 − 𝑎))) · 𝑋) + (-((𝑐 · (((∗‘𝑎) − (𝑎 · (((∗‘𝑏) − (∗‘𝑎)) / (𝑏 − 𝑎)))) − (∗‘𝑐))) + ((𝑒 − 𝑓) · ((∗‘𝑒) − (∗‘𝑓)))) / (((∗‘𝑏) − (∗‘𝑎)) / (𝑏 − 𝑎))))) = ((𝑋↑2) + (((((((∗‘𝑎) − (𝑎 · (((∗‘𝑏) − (∗‘𝑎)) / (𝑏 − 𝑎)))) − (∗‘𝑐)) − (𝑐 · (((∗‘𝑏) − (∗‘𝑎)) / (𝑏 − 𝑎)))) / (((∗‘𝑏) − (∗‘𝑎)) / (𝑏 − 𝑎))) · 𝑋) + (-((𝑐 · (((∗‘𝑎) − (𝑎 · (((∗‘𝑏) − (∗‘𝑎)) / (𝑏 − 𝑎)))) − (∗‘𝑐))) + ((𝑒 − 𝑓) · ((∗‘𝑒) − (∗‘𝑓)))) / (((∗‘𝑏) − (∗‘𝑎)) / (𝑏 − 𝑎))))))
198	170	simpld 500	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ (abs‘(𝑋 − 𝑐)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) → ((𝑋↑2) + (((((((∗‘𝑎) − (𝑎 · (((∗‘𝑏) − (∗‘𝑎)) / (𝑏 − 𝑎)))) − (∗‘𝑐)) − (𝑐 · (((∗‘𝑏) − (∗‘𝑎)) / (𝑏 − 𝑎)))) / (((∗‘𝑏) − (∗‘𝑎)) / (𝑏 − 𝑎))) · 𝑋) + (-((𝑐 · (((∗‘𝑎) − (𝑎 · (((∗‘𝑏) − (∗‘𝑎)) / (𝑏 − 𝑎)))) − (∗‘𝑐))) + ((𝑒 − 𝑓) · ((∗‘𝑒) − (∗‘𝑓)))) / (((∗‘𝑏) − (∗‘𝑎)) / (𝑏 − 𝑎))))) = 0)
199	197, 198	eqtrd 2797	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ (abs‘(𝑋 − 𝑐)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) → ((2(._g‘(mulGrp‘ℂ_fld))𝑋) + (((((((∗‘𝑎) − (𝑎 · (((∗‘𝑏) − (∗‘𝑎)) / (𝑏 − 𝑎)))) − (∗‘𝑐)) − (𝑐 · (((∗‘𝑏) − (∗‘𝑎)) / (𝑏 − 𝑎)))) / (((∗‘𝑏) − (∗‘𝑎)) / (𝑏 − 𝑎))) · 𝑋) + (-((𝑐 · (((∗‘𝑎) − (𝑎 · (((∗‘𝑏) − (∗‘𝑎)) / (𝑏 − 𝑎)))) − (∗‘𝑐))) + ((𝑒 − 𝑓) · ((∗‘𝑒) − (∗‘𝑓)))) / (((∗‘𝑏) − (∗‘𝑎)) / (𝑏 − 𝑎))))) = 0)
200	119, 120, 32, 121, 2, 28, 23, 122, 124, 125, 131, 172, 192, 199	rtelextdg2 34224	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ (abs‘(𝑋 − 𝑐)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) → (𝑋 ∈ 𝐹 ∨ (𝐿[:]𝐾) = 2))
201		exmidne 2967	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑎 = 𝑏 ∨ 𝑎 ≠ 𝑏)
202	201	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ (abs‘(𝑋 − 𝑐)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))) → (𝑎 = 𝑏 ∨ 𝑎 ≠ 𝑏))
203	118, 200, 202	mpjaodan 973	. . . . . . . 8 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ (abs‘(𝑋 − 𝑐)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))) → (𝑋 ∈ 𝐹 ∨ (𝐿[:]𝐾) = 2))
204	203	r19.29an 3168	. . . . . . 7 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ ∃𝑡 ∈ ℝ (𝑋 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ (abs‘(𝑋 − 𝑐)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))) → (𝑋 ∈ 𝐹 ∨ (𝐿[:]𝐾) = 2))
205	204	r19.29an 3168	. . . . . 6 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ ∃𝑓 ∈ (𝐶‘𝑁)∃𝑡 ∈ ℝ (𝑋 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ (abs‘(𝑋 − 𝑐)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))) → (𝑋 ∈ 𝐹 ∨ (𝐿[:]𝐾) = 2))
206	205	r19.29an 3168	. . . . 5 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ ∃𝑒 ∈ (𝐶‘𝑁)∃𝑓 ∈ (𝐶‘𝑁)∃𝑡 ∈ ℝ (𝑋 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ (abs‘(𝑋 − 𝑐)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))) → (𝑋 ∈ 𝐹 ∨ (𝐿[:]𝐾) = 2))
207	206	r19.29an 3168	. . . 4 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ ∃𝑐 ∈ (𝐶‘𝑁)∃𝑒 ∈ (𝐶‘𝑁)∃𝑓 ∈ (𝐶‘𝑁)∃𝑡 ∈ ℝ (𝑋 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ (abs‘(𝑋 − 𝑐)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))) → (𝑋 ∈ 𝐹 ∨ (𝐿[:]𝐾) = 2))
208	207	r19.29an 3168	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ ∃𝑏 ∈ (𝐶‘𝑁)∃𝑐 ∈ (𝐶‘𝑁)∃𝑒 ∈ (𝐶‘𝑁)∃𝑓 ∈ (𝐶‘𝑁)∃𝑡 ∈ ℝ (𝑋 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ (abs‘(𝑋 − 𝑐)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))) → (𝑋 ∈ 𝐹 ∨ (𝐿[:]𝐾) = 2))
209	208	r19.29an 3168	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ ∃𝑎 ∈ (𝐶‘𝑁)∃𝑏 ∈ (𝐶‘𝑁)∃𝑐 ∈ (𝐶‘𝑁)∃𝑒 ∈ (𝐶‘𝑁)∃𝑓 ∈ (𝐶‘𝑁)∃𝑡 ∈ ℝ (𝑋 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ (abs‘(𝑋 − 𝑐)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))) → (𝑋 ∈ 𝐹 ∨ (𝐿[:]𝐾) = 2))
210	123	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑑 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ (𝑎 ≠ 𝑑 ∧ (abs‘(𝑋 − 𝑎)) = (abs‘(𝑏 − 𝑐)) ∧ (abs‘(𝑋 − 𝑑)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))) → ℂ_fld ∈ Field)
211	1	ad7antr 751	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑑 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ (𝑎 ≠ 𝑑 ∧ (abs‘(𝑋 − 𝑎)) = (abs‘(𝑏 − 𝑐)) ∧ (abs‘(𝑋 − 𝑑)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))) → 𝐹 ∈ (SubDRing‘ℂ_fld))
212	130	ad7antr 751	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑑 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ (𝑎 ≠ 𝑑 ∧ (abs‘(𝑋 − 𝑎)) = (abs‘(𝑏 − 𝑐)) ∧ (abs‘(𝑋 − 𝑑)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))) → 𝑋 ∈ ℂ)
213	211, 24, 25	3syl 19	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑑 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ (𝑎 ≠ 𝑑 ∧ (abs‘(𝑋 − 𝑎)) = (abs‘(𝑏 − 𝑐)) ∧ (abs‘(𝑋 − 𝑑)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))) → 𝐹 ∈ (SubGrp‘ℂ_fld))
214	211, 24	syl 18	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑑 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ (𝑎 ≠ 𝑑 ∧ (abs‘(𝑋 − 𝑎)) = (abs‘(𝑏 − 𝑐)) ∧ (abs‘(𝑋 − 𝑑)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))) → 𝐹 ∈ (SubRing‘ℂ_fld))
215	6	ad7antr 751	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑑 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ (𝑎 ≠ 𝑑 ∧ (abs‘(𝑋 − 𝑎)) = (abs‘(𝑏 − 𝑐)) ∧ (abs‘(𝑋 − 𝑑)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))) → (𝐶‘𝑁) ⊆ 𝐹)
216		simpllr 788	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑑 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ (𝑎 ≠ 𝑑 ∧ (abs‘(𝑋 − 𝑎)) = (abs‘(𝑏 − 𝑐)) ∧ (abs‘(𝑋 − 𝑑)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))) → 𝑒 ∈ (𝐶‘𝑁))
217	215, 216	sseldd 3935	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑑 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ (𝑎 ≠ 𝑑 ∧ (abs‘(𝑋 − 𝑎)) = (abs‘(𝑏 − 𝑐)) ∧ (abs‘(𝑋 − 𝑑)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))) → 𝑒 ∈ 𝐹)
218		simplr 781	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑑 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ (𝑎 ≠ 𝑑 ∧ (abs‘(𝑋 − 𝑎)) = (abs‘(𝑏 − 𝑐)) ∧ (abs‘(𝑋 − 𝑑)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))) → 𝑓 ∈ (𝐶‘𝑁))
219	215, 218	sseldd 3935	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑑 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ (𝑎 ≠ 𝑑 ∧ (abs‘(𝑋 − 𝑎)) = (abs‘(𝑏 − 𝑐)) ∧ (abs‘(𝑋 − 𝑑)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))) → 𝑓 ∈ 𝐹)
220	34, 213, 217, 219	subgsubcld 33469	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑑 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ (𝑎 ≠ 𝑑 ∧ (abs‘(𝑋 − 𝑎)) = (abs‘(𝑏 − 𝑐)) ∧ (abs‘(𝑋 − 𝑑)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))) → (𝑒 − 𝑓) ∈ 𝐹)
221	103	ad7antr 751	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑑 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ (𝑎 ≠ 𝑑 ∧ (abs‘(𝑋 − 𝑎)) = (abs‘(𝑏 − 𝑐)) ∧ (abs‘(𝑋 − 𝑑)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))) → (𝐶‘𝑁) ⊆ ℂ)
222	221, 216	sseldd 3935	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑑 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ (𝑎 ≠ 𝑑 ∧ (abs‘(𝑋 − 𝑎)) = (abs‘(𝑏 − 𝑐)) ∧ (abs‘(𝑋 − 𝑑)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))) → 𝑒 ∈ ℂ)
223	221, 218	sseldd 3935	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑑 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ (𝑎 ≠ 𝑑 ∧ (abs‘(𝑋 − 𝑎)) = (abs‘(𝑏 − 𝑐)) ∧ (abs‘(𝑋 − 𝑑)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))) → 𝑓 ∈ ℂ)
224	222, 223	cjsubd 33200	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑑 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ (𝑎 ≠ 𝑑 ∧ (abs‘(𝑋 − 𝑎)) = (abs‘(𝑏 − 𝑐)) ∧ (abs‘(𝑋 − 𝑑)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))) → (∗‘(𝑒 − 𝑓)) = ((∗‘𝑒) − (∗‘𝑓)))
225	37	ad7antr 751	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑑 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ (𝑎 ≠ 𝑑 ∧ (abs‘(𝑋 − 𝑎)) = (abs‘(𝑏 − 𝑐)) ∧ (abs‘(𝑋 − 𝑑)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))) → 𝑁 ∈ On)
226	36, 225, 216	constrconj 34242	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑑 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ (𝑎 ≠ 𝑑 ∧ (abs‘(𝑋 − 𝑎)) = (abs‘(𝑏 − 𝑐)) ∧ (abs‘(𝑋 − 𝑑)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))) → (∗‘𝑒) ∈ (𝐶‘𝑁))
227	215, 226	sseldd 3935	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑑 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ (𝑎 ≠ 𝑑 ∧ (abs‘(𝑋 − 𝑎)) = (abs‘(𝑏 − 𝑐)) ∧ (abs‘(𝑋 − 𝑑)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))) → (∗‘𝑒) ∈ 𝐹)
228	36, 225, 218	constrconj 34242	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑑 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ (𝑎 ≠ 𝑑 ∧ (abs‘(𝑋 − 𝑎)) = (abs‘(𝑏 − 𝑐)) ∧ (abs‘(𝑋 − 𝑑)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))) → (∗‘𝑓) ∈ (𝐶‘𝑁))
229	215, 228	sseldd 3935	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑑 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ (𝑎 ≠ 𝑑 ∧ (abs‘(𝑋 − 𝑎)) = (abs‘(𝑏 − 𝑐)) ∧ (abs‘(𝑋 − 𝑑)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))) → (∗‘𝑓) ∈ 𝐹)
230	34, 213, 227, 229	subgsubcld 33469	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑑 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ (𝑎 ≠ 𝑑 ∧ (abs‘(𝑋 − 𝑎)) = (abs‘(𝑏 − 𝑐)) ∧ (abs‘(𝑋 − 𝑑)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))) → ((∗‘𝑒) − (∗‘𝑓)) ∈ 𝐹)
231	224, 230	eqeltrd 2862	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑑 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ (𝑎 ≠ 𝑑 ∧ (abs‘(𝑋 − 𝑎)) = (abs‘(𝑏 − 𝑐)) ∧ (abs‘(𝑋 − 𝑑)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))) → (∗‘(𝑒 − 𝑓)) ∈ 𝐹)
232	28, 214, 220, 231	subrgmcld 33658	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑑 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ (𝑎 ≠ 𝑑 ∧ (abs‘(𝑋 − 𝑎)) = (abs‘(𝑏 − 𝑐)) ∧ (abs‘(𝑋 − 𝑑)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))) → ((𝑒 − 𝑓) · (∗‘(𝑒 − 𝑓))) ∈ 𝐹)
233		simp-4r 796	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑑 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ (𝑎 ≠ 𝑑 ∧ (abs‘(𝑋 − 𝑎)) = (abs‘(𝑏 − 𝑐)) ∧ (abs‘(𝑋 − 𝑑)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))) → 𝑑 ∈ (𝐶‘𝑁))
234	36, 225, 233	constrconj 34242	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑑 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ (𝑎 ≠ 𝑑 ∧ (abs‘(𝑋 − 𝑎)) = (abs‘(𝑏 − 𝑐)) ∧ (abs‘(𝑋 − 𝑑)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))) → (∗‘𝑑) ∈ (𝐶‘𝑁))
235	215, 234	sseldd 3935	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑑 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ (𝑎 ≠ 𝑑 ∧ (abs‘(𝑋 − 𝑎)) = (abs‘(𝑏 − 𝑐)) ∧ (abs‘(𝑋 − 𝑑)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))) → (∗‘𝑑) ∈ 𝐹)
236	215, 233	sseldd 3935	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑑 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ (𝑎 ≠ 𝑑 ∧ (abs‘(𝑋 − 𝑎)) = (abs‘(𝑏 − 𝑐)) ∧ (abs‘(𝑋 − 𝑑)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))) → 𝑑 ∈ 𝐹)
237		simp-7r 802	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑑 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ (𝑎 ≠ 𝑑 ∧ (abs‘(𝑋 − 𝑎)) = (abs‘(𝑏 − 𝑐)) ∧ (abs‘(𝑋 − 𝑑)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))) → 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑁))
238	215, 237	sseldd 3935	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑑 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ (𝑎 ≠ 𝑑 ∧ (abs‘(𝑋 − 𝑎)) = (abs‘(𝑏 − 𝑐)) ∧ (abs‘(𝑋 − 𝑑)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))) → 𝑎 ∈ 𝐹)
239	23, 213, 236, 238	subgcld 19261	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑑 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ (𝑎 ≠ 𝑑 ∧ (abs‘(𝑋 − 𝑎)) = (abs‘(𝑏 − 𝑐)) ∧ (abs‘(𝑋 − 𝑑)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))) → (𝑑 + 𝑎) ∈ 𝐹)
240	28, 214, 235, 239	subrgmcld 33658	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑑 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ (𝑎 ≠ 𝑑 ∧ (abs‘(𝑋 − 𝑎)) = (abs‘(𝑏 − 𝑐)) ∧ (abs‘(𝑋 − 𝑑)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))) → ((∗‘𝑑) · (𝑑 + 𝑎)) ∈ 𝐹)
241	34, 213, 232, 240	subgsubcld 33469	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑑 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ (𝑎 ≠ 𝑑 ∧ (abs‘(𝑋 − 𝑎)) = (abs‘(𝑏 − 𝑐)) ∧ (abs‘(𝑋 − 𝑑)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))) → (((𝑒 − 𝑓) · (∗‘(𝑒 − 𝑓))) − ((∗‘𝑑) · (𝑑 + 𝑎))) ∈ 𝐹)
242		simp-6r 800	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑑 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ (𝑎 ≠ 𝑑 ∧ (abs‘(𝑋 − 𝑎)) = (abs‘(𝑏 − 𝑐)) ∧ (abs‘(𝑋 − 𝑑)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))) → 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑁))
243	215, 242	sseldd 3935	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑑 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ (𝑎 ≠ 𝑑 ∧ (abs‘(𝑋 − 𝑎)) = (abs‘(𝑏 − 𝑐)) ∧ (abs‘(𝑋 − 𝑑)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))) → 𝑏 ∈ 𝐹)
244		simp-5r 798	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑑 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ (𝑎 ≠ 𝑑 ∧ (abs‘(𝑋 − 𝑎)) = (abs‘(𝑏 − 𝑐)) ∧ (abs‘(𝑋 − 𝑑)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))) → 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑁))
245	215, 244	sseldd 3935	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑑 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ (𝑎 ≠ 𝑑 ∧ (abs‘(𝑋 − 𝑎)) = (abs‘(𝑏 − 𝑐)) ∧ (abs‘(𝑋 − 𝑑)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))) → 𝑐 ∈ 𝐹)
246	34, 213, 243, 245	subgsubcld 33469	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑑 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ (𝑎 ≠ 𝑑 ∧ (abs‘(𝑋 − 𝑎)) = (abs‘(𝑏 − 𝑐)) ∧ (abs‘(𝑋 − 𝑑)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))) → (𝑏 − 𝑐) ∈ 𝐹)
247	221, 242	sseldd 3935	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑑 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ (𝑎 ≠ 𝑑 ∧ (abs‘(𝑋 − 𝑎)) = (abs‘(𝑏 − 𝑐)) ∧ (abs‘(𝑋 − 𝑑)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))) → 𝑏 ∈ ℂ)
248	221, 244	sseldd 3935	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑑 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ (𝑎 ≠ 𝑑 ∧ (abs‘(𝑋 − 𝑎)) = (abs‘(𝑏 − 𝑐)) ∧ (abs‘(𝑋 − 𝑑)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))) → 𝑐 ∈ ℂ)
249	247, 248	cjsubd 33200	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑑 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ (𝑎 ≠ 𝑑 ∧ (abs‘(𝑋 − 𝑎)) = (abs‘(𝑏 − 𝑐)) ∧ (abs‘(𝑋 − 𝑑)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))) → (∗‘(𝑏 − 𝑐)) = ((∗‘𝑏) − (∗‘𝑐)))
250	36, 225, 242	constrconj 34242	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑑 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ (𝑎 ≠ 𝑑 ∧ (abs‘(𝑋 − 𝑎)) = (abs‘(𝑏 − 𝑐)) ∧ (abs‘(𝑋 − 𝑑)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))) → (∗‘𝑏) ∈ (𝐶‘𝑁))
251	215, 250	sseldd 3935	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑑 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ (𝑎 ≠ 𝑑 ∧ (abs‘(𝑋 − 𝑎)) = (abs‘(𝑏 − 𝑐)) ∧ (abs‘(𝑋 − 𝑑)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))) → (∗‘𝑏) ∈ 𝐹)
252	36, 225, 244	constrconj 34242	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑑 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ (𝑎 ≠ 𝑑 ∧ (abs‘(𝑋 − 𝑎)) = (abs‘(𝑏 − 𝑐)) ∧ (abs‘(𝑋 − 𝑑)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))) → (∗‘𝑐) ∈ (𝐶‘𝑁))
253	215, 252	sseldd 3935	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑑 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ (𝑎 ≠ 𝑑 ∧ (abs‘(𝑋 − 𝑎)) = (abs‘(𝑏 − 𝑐)) ∧ (abs‘(𝑋 − 𝑑)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))) → (∗‘𝑐) ∈ 𝐹)
254	34, 213, 251, 253	subgsubcld 33469	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑑 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ (𝑎 ≠ 𝑑 ∧ (abs‘(𝑋 − 𝑎)) = (abs‘(𝑏 − 𝑐)) ∧ (abs‘(𝑋 − 𝑑)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))) → ((∗‘𝑏) − (∗‘𝑐)) ∈ 𝐹)
255	249, 254	eqeltrd 2862	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑑 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ (𝑎 ≠ 𝑑 ∧ (abs‘(𝑋 − 𝑎)) = (abs‘(𝑏 − 𝑐)) ∧ (abs‘(𝑋 − 𝑑)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))) → (∗‘(𝑏 − 𝑐)) ∈ 𝐹)
256	28, 214, 246, 255	subrgmcld 33658	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑑 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ (𝑎 ≠ 𝑑 ∧ (abs‘(𝑋 − 𝑎)) = (abs‘(𝑏 − 𝑐)) ∧ (abs‘(𝑋 − 𝑑)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))) → ((𝑏 − 𝑐) · (∗‘(𝑏 − 𝑐))) ∈ 𝐹)
257	36, 225, 237	constrconj 34242	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑑 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ (𝑎 ≠ 𝑑 ∧ (abs‘(𝑋 − 𝑎)) = (abs‘(𝑏 − 𝑐)) ∧ (abs‘(𝑋 − 𝑑)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))) → (∗‘𝑎) ∈ (𝐶‘𝑁))
258	215, 257	sseldd 3935	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑑 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ (𝑎 ≠ 𝑑 ∧ (abs‘(𝑋 − 𝑎)) = (abs‘(𝑏 − 𝑐)) ∧ (abs‘(𝑋 − 𝑑)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))) → (∗‘𝑎) ∈ 𝐹)
259	28, 214, 258, 239	subrgmcld 33658	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑑 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ (𝑎 ≠ 𝑑 ∧ (abs‘(𝑋 − 𝑎)) = (abs‘(𝑏 − 𝑐)) ∧ (abs‘(𝑋 − 𝑑)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))) → ((∗‘𝑎) · (𝑑 + 𝑎)) ∈ 𝐹)
260	34, 213, 256, 259	subgsubcld 33469	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑑 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ (𝑎 ≠ 𝑑 ∧ (abs‘(𝑋 − 𝑎)) = (abs‘(𝑏 − 𝑐)) ∧ (abs‘(𝑋 − 𝑑)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))) → (((𝑏 − 𝑐) · (∗‘(𝑏 − 𝑐))) − ((∗‘𝑎) · (𝑑 + 𝑎))) ∈ 𝐹)
261	34, 213, 241, 260	subgsubcld 33469	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑑 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ (𝑎 ≠ 𝑑 ∧ (abs‘(𝑋 − 𝑎)) = (abs‘(𝑏 − 𝑐)) ∧ (abs‘(𝑋 − 𝑑)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))) → ((((𝑒 − 𝑓) · (∗‘(𝑒 − 𝑓))) − ((∗‘𝑑) · (𝑑 + 𝑎))) − (((𝑏 − 𝑐) · (∗‘(𝑏 − 𝑐))) − ((∗‘𝑎) · (𝑑 + 𝑎)))) ∈ 𝐹)
262	34, 213, 235, 258	subgsubcld 33469	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑑 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ (𝑎 ≠ 𝑑 ∧ (abs‘(𝑋 − 𝑎)) = (abs‘(𝑏 − 𝑐)) ∧ (abs‘(𝑋 − 𝑑)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))) → ((∗‘𝑑) − (∗‘𝑎)) ∈ 𝐹)
263	221, 233	sseldd 3935	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑑 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ (𝑎 ≠ 𝑑 ∧ (abs‘(𝑋 − 𝑎)) = (abs‘(𝑏 − 𝑐)) ∧ (abs‘(𝑋 − 𝑑)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))) → 𝑑 ∈ ℂ)
264	221, 237	sseldd 3935	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑑 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ (𝑎 ≠ 𝑑 ∧ (abs‘(𝑋 − 𝑎)) = (abs‘(𝑏 − 𝑐)) ∧ (abs‘(𝑋 − 𝑑)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))) → 𝑎 ∈ ℂ)
265	263, 264	cjsubd 33200	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑑 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ (𝑎 ≠ 𝑑 ∧ (abs‘(𝑋 − 𝑎)) = (abs‘(𝑏 − 𝑐)) ∧ (abs‘(𝑋 − 𝑑)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))) → (∗‘(𝑑 − 𝑎)) = ((∗‘𝑑) − (∗‘𝑎)))
266	263, 264	subcld 11596	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑑 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ (𝑎 ≠ 𝑑 ∧ (abs‘(𝑋 − 𝑎)) = (abs‘(𝑏 − 𝑐)) ∧ (abs‘(𝑋 − 𝑑)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))) → (𝑑 − 𝑎) ∈ ℂ)
267		simpr1 1213	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑑 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ (𝑎 ≠ 𝑑 ∧ (abs‘(𝑋 − 𝑎)) = (abs‘(𝑏 − 𝑐)) ∧ (abs‘(𝑋 − 𝑑)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))) → 𝑎 ≠ 𝑑)
268	267	necomd 3012	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑑 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ (𝑎 ≠ 𝑑 ∧ (abs‘(𝑋 − 𝑎)) = (abs‘(𝑏 − 𝑐)) ∧ (abs‘(𝑋 − 𝑑)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))) → 𝑑 ≠ 𝑎)
269	263, 264, 268	subne0d 11605	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑑 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ (𝑎 ≠ 𝑑 ∧ (abs‘(𝑋 − 𝑎)) = (abs‘(𝑏 − 𝑐)) ∧ (abs‘(𝑋 − 𝑑)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))) → (𝑑 − 𝑎) ≠ 0)
270	266, 269	cjne0d 15292	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑑 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ (𝑎 ≠ 𝑑 ∧ (abs‘(𝑋 − 𝑎)) = (abs‘(𝑏 − 𝑐)) ∧ (abs‘(𝑋 − 𝑑)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))) → (∗‘(𝑑 − 𝑎)) ≠ 0)
271	265, 270	eqnetrrd 3025	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑑 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ (𝑎 ≠ 𝑑 ∧ (abs‘(𝑋 − 𝑎)) = (abs‘(𝑏 − 𝑐)) ∧ (abs‘(𝑋 − 𝑑)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))) → ((∗‘𝑑) − (∗‘𝑎)) ≠ 0)
272	31, 32, 211, 261, 262, 271	sdrgdvcl 33727	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑑 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ (𝑎 ≠ 𝑑 ∧ (abs‘(𝑋 − 𝑎)) = (abs‘(𝑏 − 𝑐)) ∧ (abs‘(𝑋 − 𝑑)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))) → (((((𝑒 − 𝑓) · (∗‘(𝑒 − 𝑓))) − ((∗‘𝑑) · (𝑑 + 𝑎))) − (((𝑏 − 𝑐) · (∗‘(𝑏 − 𝑐))) − ((∗‘𝑎) · (𝑑 + 𝑎)))) / ((∗‘𝑑) − (∗‘𝑎))) ∈ 𝐹)
273		df-neg 11471	. . . . . . . . . 10 ⊢ -(((((∗‘𝑎) · (𝑑 · 𝑎)) − (((𝑏 − 𝑐) · (∗‘(𝑏 − 𝑐))) · 𝑑)) − (((∗‘𝑑) · (𝑑 · 𝑎)) − (((𝑒 − 𝑓) · (∗‘(𝑒 − 𝑓))) · 𝑎))) / ((∗‘𝑑) − (∗‘𝑎))) = (0 − (((((∗‘𝑎) · (𝑑 · 𝑎)) − (((𝑏 − 𝑐) · (∗‘(𝑏 − 𝑐))) · 𝑑)) − (((∗‘𝑑) · (𝑑 · 𝑎)) − (((𝑒 − 𝑓) · (∗‘(𝑒 − 𝑓))) · 𝑎))) / ((∗‘𝑑) − (∗‘𝑎))))
274	36, 225	constr01 34239	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑑 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ (𝑎 ≠ 𝑑 ∧ (abs‘(𝑋 − 𝑎)) = (abs‘(𝑏 − 𝑐)) ∧ (abs‘(𝑋 − 𝑑)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))) → {0, 1} ⊆ (𝐶‘𝑁))
275	175	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑑 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ (𝑎 ≠ 𝑑 ∧ (abs‘(𝑋 − 𝑎)) = (abs‘(𝑏 − 𝑐)) ∧ (abs‘(𝑋 − 𝑑)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))) → 0 ∈ {0, 1})
276	274, 275	sseldd 3935	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑑 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ (𝑎 ≠ 𝑑 ∧ (abs‘(𝑋 − 𝑎)) = (abs‘(𝑏 − 𝑐)) ∧ (abs‘(𝑋 − 𝑑)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))) → 0 ∈ (𝐶‘𝑁))
277	215, 276	sseldd 3935	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑑 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ (𝑎 ≠ 𝑑 ∧ (abs‘(𝑋 − 𝑎)) = (abs‘(𝑏 − 𝑐)) ∧ (abs‘(𝑋 − 𝑑)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))) → 0 ∈ 𝐹)
278	28, 214, 236, 238	subrgmcld 33658	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑑 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ (𝑎 ≠ 𝑑 ∧ (abs‘(𝑋 − 𝑎)) = (abs‘(𝑏 − 𝑐)) ∧ (abs‘(𝑋 − 𝑑)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))) → (𝑑 · 𝑎) ∈ 𝐹)
279	28, 214, 258, 278	subrgmcld 33658	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑑 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ (𝑎 ≠ 𝑑 ∧ (abs‘(𝑋 − 𝑎)) = (abs‘(𝑏 − 𝑐)) ∧ (abs‘(𝑋 − 𝑑)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))) → ((∗‘𝑎) · (𝑑 · 𝑎)) ∈ 𝐹)
280	28, 214, 256, 236	subrgmcld 33658	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑑 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ (𝑎 ≠ 𝑑 ∧ (abs‘(𝑋 − 𝑎)) = (abs‘(𝑏 − 𝑐)) ∧ (abs‘(𝑋 − 𝑑)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))) → (((𝑏 − 𝑐) · (∗‘(𝑏 − 𝑐))) · 𝑑) ∈ 𝐹)
281	34, 213, 279, 280	subgsubcld 33469	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑑 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ (𝑎 ≠ 𝑑 ∧ (abs‘(𝑋 − 𝑎)) = (abs‘(𝑏 − 𝑐)) ∧ (abs‘(𝑋 − 𝑑)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))) → (((∗‘𝑎) · (𝑑 · 𝑎)) − (((𝑏 − 𝑐) · (∗‘(𝑏 − 𝑐))) · 𝑑)) ∈ 𝐹)
282	28, 214, 235, 278	subrgmcld 33658	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑑 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ (𝑎 ≠ 𝑑 ∧ (abs‘(𝑋 − 𝑎)) = (abs‘(𝑏 − 𝑐)) ∧ (abs‘(𝑋 − 𝑑)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))) → ((∗‘𝑑) · (𝑑 · 𝑎)) ∈ 𝐹)
283	28, 214, 232, 238	subrgmcld 33658	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑑 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ (𝑎 ≠ 𝑑 ∧ (abs‘(𝑋 − 𝑎)) = (abs‘(𝑏 − 𝑐)) ∧ (abs‘(𝑋 − 𝑑)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))) → (((𝑒 − 𝑓) · (∗‘(𝑒 − 𝑓))) · 𝑎) ∈ 𝐹)
284	34, 213, 282, 283	subgsubcld 33469	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑑 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ (𝑎 ≠ 𝑑 ∧ (abs‘(𝑋 − 𝑎)) = (abs‘(𝑏 − 𝑐)) ∧ (abs‘(𝑋 − 𝑑)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))) → (((∗‘𝑑) · (𝑑 · 𝑎)) − (((𝑒 − 𝑓) · (∗‘(𝑒 − 𝑓))) · 𝑎)) ∈ 𝐹)
285	34, 213, 281, 284	subgsubcld 33469	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑑 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ (𝑎 ≠ 𝑑 ∧ (abs‘(𝑋 − 𝑎)) = (abs‘(𝑏 − 𝑐)) ∧ (abs‘(𝑋 − 𝑑)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))) → ((((∗‘𝑎) · (𝑑 · 𝑎)) − (((𝑏 − 𝑐) · (∗‘(𝑏 − 𝑐))) · 𝑑)) − (((∗‘𝑑) · (𝑑 · 𝑎)) − (((𝑒 − 𝑓) · (∗‘(𝑒 − 𝑓))) · 𝑎))) ∈ 𝐹)
286	31, 32, 211, 285, 262, 271	sdrgdvcl 33727	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑑 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ (𝑎 ≠ 𝑑 ∧ (abs‘(𝑋 − 𝑎)) = (abs‘(𝑏 − 𝑐)) ∧ (abs‘(𝑋 − 𝑑)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))) → (((((∗‘𝑎) · (𝑑 · 𝑎)) − (((𝑏 − 𝑐) · (∗‘(𝑏 − 𝑐))) · 𝑑)) − (((∗‘𝑑) · (𝑑 · 𝑎)) − (((𝑒 − 𝑓) · (∗‘(𝑒 − 𝑓))) · 𝑎))) / ((∗‘𝑑) − (∗‘𝑎))) ∈ 𝐹)
287	34, 213, 277, 286	subgsubcld 33469	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑑 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ (𝑎 ≠ 𝑑 ∧ (abs‘(𝑋 − 𝑎)) = (abs‘(𝑏 − 𝑐)) ∧ (abs‘(𝑋 − 𝑑)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))) → (0 − (((((∗‘𝑎) · (𝑑 · 𝑎)) − (((𝑏 − 𝑐) · (∗‘(𝑏 − 𝑐))) · 𝑑)) − (((∗‘𝑑) · (𝑑 · 𝑎)) − (((𝑒 − 𝑓) · (∗‘(𝑒 − 𝑓))) · 𝑎))) / ((∗‘𝑑) − (∗‘𝑎)))) ∈ 𝐹)
288	273, 287	eqeltrid 2866	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑑 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ (𝑎 ≠ 𝑑 ∧ (abs‘(𝑋 − 𝑎)) = (abs‘(𝑏 − 𝑐)) ∧ (abs‘(𝑋 − 𝑑)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))) → -(((((∗‘𝑎) · (𝑑 · 𝑎)) − (((𝑏 − 𝑐) · (∗‘(𝑏 − 𝑐))) · 𝑑)) − (((∗‘𝑑) · (𝑑 · 𝑎)) − (((𝑒 − 𝑓) · (∗‘(𝑒 − 𝑓))) · 𝑎))) / ((∗‘𝑑) − (∗‘𝑎))) ∈ 𝐹)
289	212, 193, 195	sylancl 598	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑑 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ (𝑎 ≠ 𝑑 ∧ (abs‘(𝑋 − 𝑎)) = (abs‘(𝑏 − 𝑐)) ∧ (abs‘(𝑋 − 𝑑)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))) → (2(._g‘(mulGrp‘ℂ_fld))𝑋) = (𝑋↑2))
290	289	oveq1d 7431	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑑 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ (𝑎 ≠ 𝑑 ∧ (abs‘(𝑋 − 𝑎)) = (abs‘(𝑏 − 𝑐)) ∧ (abs‘(𝑋 − 𝑑)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))) → ((2(._g‘(mulGrp‘ℂ_fld))𝑋) + (((((((𝑒 − 𝑓) · (∗‘(𝑒 − 𝑓))) − ((∗‘𝑑) · (𝑑 + 𝑎))) − (((𝑏 − 𝑐) · (∗‘(𝑏 − 𝑐))) − ((∗‘𝑎) · (𝑑 + 𝑎)))) / ((∗‘𝑑) − (∗‘𝑎))) · 𝑋) + -(((((∗‘𝑎) · (𝑑 · 𝑎)) − (((𝑏 − 𝑐) · (∗‘(𝑏 − 𝑐))) · 𝑑)) − (((∗‘𝑑) · (𝑑 · 𝑎)) − (((𝑒 − 𝑓) · (∗‘(𝑒 − 𝑓))) · 𝑎))) / ((∗‘𝑑) − (∗‘𝑎))))) = ((𝑋↑2) + (((((((𝑒 − 𝑓) · (∗‘(𝑒 − 𝑓))) − ((∗‘𝑑) · (𝑑 + 𝑎))) − (((𝑏 − 𝑐) · (∗‘(𝑏 − 𝑐))) − ((∗‘𝑎) · (𝑑 + 𝑎)))) / ((∗‘𝑑) − (∗‘𝑎))) · 𝑋) + -(((((∗‘𝑎) · (𝑑 · 𝑎)) − (((𝑏 − 𝑐) · (∗‘(𝑏 − 𝑐))) · 𝑑)) − (((∗‘𝑑) · (𝑑 · 𝑎)) − (((𝑒 − 𝑓) · (∗‘(𝑒 − 𝑓))) · 𝑎))) / ((∗‘𝑑) − (∗‘𝑎))))))
291		simpr2 1214	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑑 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ (𝑎 ≠ 𝑑 ∧ (abs‘(𝑋 − 𝑎)) = (abs‘(𝑏 − 𝑐)) ∧ (abs‘(𝑋 − 𝑑)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))) → (abs‘(𝑋 − 𝑎)) = (abs‘(𝑏 − 𝑐)))
292		simpr3 1215	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑑 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ (𝑎 ≠ 𝑑 ∧ (abs‘(𝑋 − 𝑎)) = (abs‘(𝑏 − 𝑐)) ∧ (abs‘(𝑋 − 𝑑)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))) → (abs‘(𝑋 − 𝑑)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))
293		eqid 2762	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑏 − 𝑐) · (∗‘(𝑏 − 𝑐))) = ((𝑏 − 𝑐) · (∗‘(𝑏 − 𝑐)))
294		eqid 2762	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑒 − 𝑓) · (∗‘(𝑒 − 𝑓))) = ((𝑒 − 𝑓) · (∗‘(𝑒 − 𝑓)))
295		eqid 2762	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝑒 − 𝑓) · (∗‘(𝑒 − 𝑓))) − ((∗‘𝑑) · (𝑑 + 𝑎))) − (((𝑏 − 𝑐) · (∗‘(𝑏 − 𝑐))) − ((∗‘𝑎) · (𝑑 + 𝑎)))) / ((∗‘𝑑) − (∗‘𝑎))) = (((((𝑒 − 𝑓) · (∗‘(𝑒 − 𝑓))) − ((∗‘𝑑) · (𝑑 + 𝑎))) − (((𝑏 − 𝑐) · (∗‘(𝑏 − 𝑐))) − ((∗‘𝑎) · (𝑑 + 𝑎)))) / ((∗‘𝑑) − (∗‘𝑎)))
296		eqid 2762	. . . . . . . . . . 11 ⊢ -(((((∗‘𝑎) · (𝑑 · 𝑎)) − (((𝑏 − 𝑐) · (∗‘(𝑏 − 𝑐))) · 𝑑)) − (((∗‘𝑑) · (𝑑 · 𝑎)) − (((𝑒 − 𝑓) · (∗‘(𝑒 − 𝑓))) · 𝑎))) / ((∗‘𝑑) − (∗‘𝑎))) = -(((((∗‘𝑎) · (𝑑 · 𝑎)) − (((𝑏 − 𝑐) · (∗‘(𝑏 − 𝑐))) · 𝑑)) − (((∗‘𝑑) · (𝑑 · 𝑎)) − (((𝑒 − 𝑓) · (∗‘(𝑒 − 𝑓))) · 𝑎))) / ((∗‘𝑑) − (∗‘𝑎)))
297	221, 237, 242, 244, 233, 216, 218, 212, 267, 291, 292, 293, 294, 295, 296	constrrtcc 34232	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑑 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ (𝑎 ≠ 𝑑 ∧ (abs‘(𝑋 − 𝑎)) = (abs‘(𝑏 − 𝑐)) ∧ (abs‘(𝑋 − 𝑑)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))) → ((𝑋↑2) + (((((((𝑒 − 𝑓) · (∗‘(𝑒 − 𝑓))) − ((∗‘𝑑) · (𝑑 + 𝑎))) − (((𝑏 − 𝑐) · (∗‘(𝑏 − 𝑐))) − ((∗‘𝑎) · (𝑑 + 𝑎)))) / ((∗‘𝑑) − (∗‘𝑎))) · 𝑋) + -(((((∗‘𝑎) · (𝑑 · 𝑎)) − (((𝑏 − 𝑐) · (∗‘(𝑏 − 𝑐))) · 𝑑)) − (((∗‘𝑑) · (𝑑 · 𝑎)) − (((𝑒 − 𝑓) · (∗‘(𝑒 − 𝑓))) · 𝑎))) / ((∗‘𝑑) − (∗‘𝑎))))) = 0)
298	290, 297	eqtrd 2797	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑑 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ (𝑎 ≠ 𝑑 ∧ (abs‘(𝑋 − 𝑎)) = (abs‘(𝑏 − 𝑐)) ∧ (abs‘(𝑋 − 𝑑)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))) → ((2(._g‘(mulGrp‘ℂ_fld))𝑋) + (((((((𝑒 − 𝑓) · (∗‘(𝑒 − 𝑓))) − ((∗‘𝑑) · (𝑑 + 𝑎))) − (((𝑏 − 𝑐) · (∗‘(𝑏 − 𝑐))) − ((∗‘𝑎) · (𝑑 + 𝑎)))) / ((∗‘𝑑) − (∗‘𝑎))) · 𝑋) + -(((((∗‘𝑎) · (𝑑 · 𝑎)) − (((𝑏 − 𝑐) · (∗‘(𝑏 − 𝑐))) · 𝑑)) − (((∗‘𝑑) · (𝑑 · 𝑎)) − (((𝑒 − 𝑓) · (∗‘(𝑒 − 𝑓))) · 𝑎))) / ((∗‘𝑑) − (∗‘𝑎))))) = 0)
299	119, 120, 32, 121, 2, 28, 23, 122, 210, 211, 212, 272, 288, 298	rtelextdg2 34224	. . . . . . . 8 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑑 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ (𝑎 ≠ 𝑑 ∧ (abs‘(𝑋 − 𝑎)) = (abs‘(𝑏 − 𝑐)) ∧ (abs‘(𝑋 − 𝑑)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))) → (𝑋 ∈ 𝐹 ∨ (𝐿[:]𝐾) = 2))
300	299	r19.29an 3168	. . . . . . 7 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑑 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ ∃𝑓 ∈ (𝐶‘𝑁)(𝑎 ≠ 𝑑 ∧ (abs‘(𝑋 − 𝑎)) = (abs‘(𝑏 − 𝑐)) ∧ (abs‘(𝑋 − 𝑑)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))) → (𝑋 ∈ 𝐹 ∨ (𝐿[:]𝐾) = 2))
301	300	r19.29an 3168	. . . . . 6 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑑 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ ∃𝑒 ∈ (𝐶‘𝑁)∃𝑓 ∈ (𝐶‘𝑁)(𝑎 ≠ 𝑑 ∧ (abs‘(𝑋 − 𝑎)) = (abs‘(𝑏 − 𝑐)) ∧ (abs‘(𝑋 − 𝑑)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))) → (𝑋 ∈ 𝐹 ∨ (𝐿[:]𝐾) = 2))
302	301	r19.29an 3168	. . . . 5 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ ∃𝑑 ∈ (𝐶‘𝑁)∃𝑒 ∈ (𝐶‘𝑁)∃𝑓 ∈ (𝐶‘𝑁)(𝑎 ≠ 𝑑 ∧ (abs‘(𝑋 − 𝑎)) = (abs‘(𝑏 − 𝑐)) ∧ (abs‘(𝑋 − 𝑑)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))) → (𝑋 ∈ 𝐹 ∨ (𝐿[:]𝐾) = 2))
303	302	r19.29an 3168	. . . 4 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ ∃𝑐 ∈ (𝐶‘𝑁)∃𝑑 ∈ (𝐶‘𝑁)∃𝑒 ∈ (𝐶‘𝑁)∃𝑓 ∈ (𝐶‘𝑁)(𝑎 ≠ 𝑑 ∧ (abs‘(𝑋 − 𝑎)) = (abs‘(𝑏 − 𝑐)) ∧ (abs‘(𝑋 − 𝑑)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))) → (𝑋 ∈ 𝐹 ∨ (𝐿[:]𝐾) = 2))
304	303	r19.29an 3168	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ ∃𝑏 ∈ (𝐶‘𝑁)∃𝑐 ∈ (𝐶‘𝑁)∃𝑑 ∈ (𝐶‘𝑁)∃𝑒 ∈ (𝐶‘𝑁)∃𝑓 ∈ (𝐶‘𝑁)(𝑎 ≠ 𝑑 ∧ (abs‘(𝑋 − 𝑎)) = (abs‘(𝑏 − 𝑐)) ∧ (abs‘(𝑋 − 𝑑)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))) → (𝑋 ∈ 𝐹 ∨ (𝐿[:]𝐾) = 2))
305	304	r19.29an 3168	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ ∃𝑎 ∈ (𝐶‘𝑁)∃𝑏 ∈ (𝐶‘𝑁)∃𝑐 ∈ (𝐶‘𝑁)∃𝑑 ∈ (𝐶‘𝑁)∃𝑒 ∈ (𝐶‘𝑁)∃𝑓 ∈ (𝐶‘𝑁)(𝑎 ≠ 𝑑 ∧ (abs‘(𝑋 − 𝑎)) = (abs‘(𝑏 − 𝑐)) ∧ (abs‘(𝑋 − 𝑑)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))) → (𝑋 ∈ 𝐹 ∨ (𝐿[:]𝐾) = 2))
306	129	simprd 501	. 2 ⊢ (𝜑 → (∃𝑎 ∈ (𝐶‘𝑁)∃𝑏 ∈ (𝐶‘𝑁)∃𝑐 ∈ (𝐶‘𝑁)∃𝑑 ∈ (𝐶‘𝑁)∃𝑡 ∈ ℝ ∃𝑟 ∈ ℝ (𝑋 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ 𝑋 = (𝑐 + (𝑟 · (𝑑 − 𝑐))) ∧ (ℑ‘((∗‘(𝑏 − 𝑎)) · (𝑑 − 𝑐))) ≠ 0) ∨ ∃𝑎 ∈ (𝐶‘𝑁)∃𝑏 ∈ (𝐶‘𝑁)∃𝑐 ∈ (𝐶‘𝑁)∃𝑒 ∈ (𝐶‘𝑁)∃𝑓 ∈ (𝐶‘𝑁)∃𝑡 ∈ ℝ (𝑋 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ (abs‘(𝑋 − 𝑐)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓))) ∨ ∃𝑎 ∈ (𝐶‘𝑁)∃𝑏 ∈ (𝐶‘𝑁)∃𝑐 ∈ (𝐶‘𝑁)∃𝑑 ∈ (𝐶‘𝑁)∃𝑒 ∈ (𝐶‘𝑁)∃𝑓 ∈ (𝐶‘𝑁)(𝑎 ≠ 𝑑 ∧ (abs‘(𝑋 − 𝑎)) = (abs‘(𝑏 − 𝑐)) ∧ (abs‘(𝑋 − 𝑑)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))))
307	102, 209, 305, 306	mpjao3dan 1459	1 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ 𝐹 ∨ (𝐿[:]𝐾) = 2))

Colors of variables: wff setvar class

This proof depends on syntax axioms: → wi 4 ∧ wa 401 ∨ wo 861 ∨ w3o 1102 ∧ w3a 1103 = wceq 1570 ∈ wcel 2145 ≠ wne 2957 ∃wrex 3088 {crab 3414 Vcvv 3453 ∪ cun 3900 ⊆ wss 3902 {csn 4587 {cpr 4589 ↦ cmpt 5190 Oncon0 6361 suc csuc 6363 ‘cfv 6537 (class class class)co 7416 reccrdg 8401 ℂcc 11125 ℝcr 11126 0cc0 11127 1c1 11128 ici 11129 + caddc 11130 · cmul 11132 − cmin 11468 -cneg 11469 / cdiv 11898 2c2 12322 ℕ₀cn0 12531 ↑cexp 14127 ∗ccj 15185 ℑcim 15187 abscabs 15323 ↾_s cress 17326 ._gcmg 19191 SubGrpcsubg 19244 mulGrpcmgp 20274 SubRingcsubrg 20732 Fieldcfield 20892 SubDRingcsdrg 20953 ℂ_fldccnfld 21586 Poly₁cpl1 22403 fldGen cfldgen 33738 [:]cextdg 34137

This proof depends on axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1828 ax-4 1842 ax-5 1943 ax-6 2000 ax-7 2041 ax-8 2147 ax-9 2155 ax-10 2178 ax-11 2194 ax-12 2215 ax-ext 2734 ax-rep 5236 ax-sep 5255 ax-nul 5267 ax-pow 5334 ax-pr 5402 ax-un 7739 ax-reg 9567 ax-inf2 9623 ax-ac2 10468 ax-cnex 11183 ax-resscn 11184 ax-1cn 11185 ax-icn 11186 ax-addcl 11187 ax-addrcl 11188 ax-mulcl 11189 ax-mulrcl 11190 ax-mulcom 11191 ax-addass 11192 ax-mulass 11193 ax-distr 11194 ax-i2m1 11195 ax-1ne0 11196 ax-1rid 11197 ax-rnegex 11198 ax-rrecex 11199 ax-cnre 11200 ax-pre-lttri 11201 ax-pre-lttrn 11202 ax-pre-ltadd 11203 ax-pre-mulgt0 11204 ax-pre-sup 11205 ax-addf 11206 ax-mulf 11207

This proof depends on definitions: df-bi 210 df-an 402 df-or 862 df-3or 1104 df-3an 1105 df-tru 1573 df-fal 1583 df-ex 1813 df-nf 1817 df-sb 2100 df-mo 2566 df-eu 2596 df-clab 2741 df-cleq 2754 df-clel 2837 df-nfc 2911 df-ne 2958 df-nel 3064 df-ral 3079 df-rex 3089 df-rmo 3367 df-reu 3368 df-rab 3415 df-v 3455 df-sbc 3743 df-csb 3851 df-dif 3905 df-un 3907 df-in 3909 df-ss 3919 df-pss 3922 df-nul 4283 df-if 4486 df-pw 4562 df-sn 4588 df-pr 4590 df-tp 4592 df-op 4594 df-uni 4871 df-int 4911 df-iun 4956 df-iin 4957 df-br 5108 df-opab 5172 df-mpt 5191 df-tr 5217 df-id 5554 df-eprel 5559 df-po 5567 df-so 5568 df-fr 5612 df-se 5613 df-we 5614 df-xp 5665 df-rel 5666 df-cnv 5667 df-co 5668 df-dm 5669 df-rn 5670 df-res 5671 df-ima 5672 df-pred 6303 df-ord 6364 df-on 6365 df-lim 6366 df-suc 6367 df-iota 6493 df-fun 6539 df-fn 6540 df-f 6541 df-f1 6542 df-fo 6543 df-f1o 6544 df-fv 6545 df-isom 6546 df-riota 7373 df-ov 7419 df-oprab 7420 df-mpo 7421 df-of 7681 df-ofr 7682 df-rpss 7727 df-om 7866 df-1st 7989 df-2nd 7990 df-supp 8162 df-tpos 8227 df-frecs 8283 df-wrecs 8314 df-recs 8363 df-rdg 8402 df-1o 8458 df-2o 8459 df-oadd 8462 df-er 8699 df-ec 8701 df-qs 8705 df-map 8831 df-pm 8832 df-ixp 8908 df-en 8956 df-dom 8957 df-sdom 8958 df-fin 8959 df-fsupp 9335 df-sup 9415 df-inf 9416 df-oi 9485 df-r1 9749 df-rank 9750 df-scott 9871 df-dju 9909 df-card 9947 df-acn 9950 df-ac 10122 df-pnf 11272 df-mnf 11273 df-xr 11274 df-ltxr 11275 df-le 11276 df-sub 11470 df-neg 11471 df-div 11899 df-nn 12261 df-2 12330 df-3 12331 df-4 12332 df-5 12333 df-6 12334 df-7 12335 df-8 12336 df-9 12337 df-n0 12532 df-xnn0 12605 df-z 12619 df-dec 12740 df-uz 12891 df-rp 13045 df-ico 13406 df-fz 13564 df-fzo 13712 df-seq 14068 df-exp 14128 df-hash 14397 df-cj 15188 df-re 15189 df-im 15190 df-sqrt 15324 df-abs 15325 df-struct 17243 df-sets 17260 df-slot 17278 df-ndx 17290 df-base 17306 df-ress 17327 df-plusg 17359 df-mulr 17360 df-starv 17361 df-sca 17362 df-vsca 17363 df-ip 17364 df-tset 17365 df-ple 17366 df-ocomp 17367 df-ds 17368 df-unif 17369 df-hom 17370 df-cco 17371 df-0g 17530 df-gsum 17531 df-prds 17536 df-pws 17538 df-imas 17598 df-qus 17599 df-mre 17674 df-mrc 17675 df-mri 17676 df-acs 17677 df-proset 18386 df-drs 18387 df-poset 18405 df-ipo 18620 df-mgm 18734 df-sgrp 18823 df-mnd 18839 df-mhm 18892 df-submnd 18893 df-grp 19061 df-minusg 19062 df-sbg 19063 df-mulg 19192 df-subg 19247 df-nsg 19248 df-eqg 19249 df-ghm 19342 df-gim 19387 df-cntz 19445 df-oppg 19474 df-lsm 19764 df-cmn 19910 df-abl 19911 df-mgp 20275 df-rng 20289 df-ur 20322 df-srg 20327 df-ring 20375 df-cring 20376 df-oppr 20479 df-dvdsr 20499 df-unit 20500 df-irred 20501 df-invr 20530 df-dvr 20543 df-rhm 20614 df-nzr 20674 df-subrng 20709 df-subrg 20733 df-rlreg 20857 df-domn 20858 df-idom 20859 df-drng 20893 df-field 20894 df-sdrg 20954 df-lmod 21047 df-lss 21117 df-lsp 21157 df-lmhm 21207 df-lmim 21208 df-lmic 21209 df-lbs 21260 df-lvec 21288 df-sra 21358 df-rgmod 21359 df-lidl 21396 df-rsp 21397 df-2idl 21453 df-lpidl 21554 df-lpir 21555 df-pid 21569 df-cnfld 21587 df-dsmm 21946 df-frlm 21961 df-uvc 21997 df-lindf 22020 df-linds 22021 df-assa 22069 df-asp 22070 df-ascl 22071 df-psr 22125 df-mvr 22126 df-mpl 22127 df-opsr 22129 df-evls 22291 df-evl 22292 df-psr1 22406 df-vr1 22407 df-ply1 22408 df-coe1 22409 df-evls1 22541 df-evl1 22542 df-mdeg 26282 df-deg1 26283 df-mon1 26358 df-uc1p 26359 df-q1p 26360 df-r1p 26361 df-ig1p 26362 df-fldgen 33739 df-mxidl 33850 df-dim 34097 df-fldext 34138 df-extdg 34139 df-irng 34181 df-minply 34197

This theorem is used by: constrextdg2lem 34245

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