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Theorem constrelextdg2 33788
Description: If the 𝑁-th step (𝐶𝑁) of the construction of constuctible numbers is included in a subfield 𝐹 of the complex numbers, then any element 𝑋 of the next step (𝐶‘suc 𝑁) is either in 𝐹 or in a quadratic extension of 𝐹. (Contributed by Thierry Arnoux, 6-Jul-2025.)
Hypotheses
Ref Expression
constr0.1 𝐶 = rec((𝑠 ∈ V ↦ {𝑥 ∈ ℂ ∣ (∃𝑎𝑠𝑏𝑠𝑐𝑠𝑑𝑠𝑡 ∈ ℝ ∃𝑟 ∈ ℝ (𝑥 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏𝑎))) ∧ 𝑥 = (𝑐 + (𝑟 · (𝑑𝑐))) ∧ (ℑ‘((∗‘(𝑏𝑎)) · (𝑑𝑐))) ≠ 0) ∨ ∃𝑎𝑠𝑏𝑠𝑐𝑠𝑒𝑠𝑓𝑠𝑡 ∈ ℝ (𝑥 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏𝑎))) ∧ (abs‘(𝑥𝑐)) = (abs‘(𝑒𝑓))) ∨ ∃𝑎𝑠𝑏𝑠𝑐𝑠𝑑𝑠𝑒𝑠𝑓𝑠 (𝑎𝑑 ∧ (abs‘(𝑥𝑎)) = (abs‘(𝑏𝑐)) ∧ (abs‘(𝑥𝑑)) = (abs‘(𝑒𝑓))))}), {0, 1})
constrelextdg2.k 𝐾 = (ℂflds 𝐹)
constrelextdg2.l 𝐿 = (ℂflds (ℂfld fldGen (𝐹 ∪ {𝑋})))
constrelextdg2.f (𝜑𝐹 ∈ (SubDRing‘ℂfld))
constrelextdg2.n (𝜑𝑁 ∈ On)
constrelextdg2.1 (𝜑 → (𝐶𝑁) ⊆ 𝐹)
constrelextdg2.x (𝜑𝑋 ∈ (𝐶‘suc 𝑁))
Assertion
Ref Expression
constrelextdg2 (𝜑 → (𝑋𝐹 ∨ (𝐿[:]𝐾) = 2))
Distinct variable groups:   𝐶,𝑎,𝑏,𝑐,𝑑,𝑒,𝑓,𝑟,𝑠,𝑡,𝑥   𝐹,𝑎,𝑏,𝑐,𝑑,𝑒,𝑓,𝑟,𝑡   𝐾,𝑎,𝑏,𝑐,𝑑,𝑒,𝑓,𝑟,𝑡   𝐿,𝑎,𝑏,𝑐,𝑑,𝑒,𝑓,𝑟,𝑡   𝑁,𝑎,𝑏,𝑐,𝑑,𝑒,𝑓,𝑟,𝑠,𝑡,𝑥   𝑋,𝑎,𝑏,𝑐,𝑑,𝑒,𝑓,𝑟,𝑠,𝑡,𝑥   𝜑,𝑎,𝑏,𝑐,𝑑,𝑒,𝑓,𝑟,𝑠,𝑡,𝑥
Allowed substitution hints:   𝐹(𝑥,𝑠)   𝐾(𝑥,𝑠)   𝐿(𝑥,𝑠)

Proof of Theorem constrelextdg2
StepHypRef Expression
1 constrelextdg2.f . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐹 ∈ (SubDRing‘ℂfld))
2 cnfldbas 21368 . . . . . . . . . . . . . 14 ℂ = (Base‘ℂfld)
32sdrgss 20794 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐹 ∈ (SubDRing‘ℂfld) → 𝐹 ⊆ ℂ)
41, 3syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐹 ⊆ ℂ)
54ad7antr 738 . . . . . . . . . . 11 ((((((((𝜑𝑎 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑑 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏𝑎))) ∧ 𝑋 = (𝑐 + (𝑟 · (𝑑𝑐))) ∧ (ℑ‘((∗‘(𝑏𝑎)) · (𝑑𝑐))) ≠ 0)) → 𝐹 ⊆ ℂ)
6 constrelextdg2.1 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝐶𝑁) ⊆ 𝐹)
76ad7antr 738 . . . . . . . . . . . 12 ((((((((𝜑𝑎 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑑 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏𝑎))) ∧ 𝑋 = (𝑐 + (𝑟 · (𝑑𝑐))) ∧ (ℑ‘((∗‘(𝑏𝑎)) · (𝑑𝑐))) ≠ 0)) → (𝐶𝑁) ⊆ 𝐹)
8 simp-7r 790 . . . . . . . . . . . 12 ((((((((𝜑𝑎 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑑 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏𝑎))) ∧ 𝑋 = (𝑐 + (𝑟 · (𝑑𝑐))) ∧ (ℑ‘((∗‘(𝑏𝑎)) · (𝑑𝑐))) ≠ 0)) → 𝑎 ∈ (𝐶𝑁))
97, 8sseldd 3984 . . . . . . . . . . 11 ((((((((𝜑𝑎 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑑 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏𝑎))) ∧ 𝑋 = (𝑐 + (𝑟 · (𝑑𝑐))) ∧ (ℑ‘((∗‘(𝑏𝑎)) · (𝑑𝑐))) ≠ 0)) → 𝑎𝐹)
10 simp-6r 788 . . . . . . . . . . . 12 ((((((((𝜑𝑎 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑑 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏𝑎))) ∧ 𝑋 = (𝑐 + (𝑟 · (𝑑𝑐))) ∧ (ℑ‘((∗‘(𝑏𝑎)) · (𝑑𝑐))) ≠ 0)) → 𝑏 ∈ (𝐶𝑁))
117, 10sseldd 3984 . . . . . . . . . . 11 ((((((((𝜑𝑎 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑑 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏𝑎))) ∧ 𝑋 = (𝑐 + (𝑟 · (𝑑𝑐))) ∧ (ℑ‘((∗‘(𝑏𝑎)) · (𝑑𝑐))) ≠ 0)) → 𝑏𝐹)
12 simp-5r 786 . . . . . . . . . . . 12 ((((((((𝜑𝑎 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑑 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏𝑎))) ∧ 𝑋 = (𝑐 + (𝑟 · (𝑑𝑐))) ∧ (ℑ‘((∗‘(𝑏𝑎)) · (𝑑𝑐))) ≠ 0)) → 𝑐 ∈ (𝐶𝑁))
137, 12sseldd 3984 . . . . . . . . . . 11 ((((((((𝜑𝑎 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑑 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏𝑎))) ∧ 𝑋 = (𝑐 + (𝑟 · (𝑑𝑐))) ∧ (ℑ‘((∗‘(𝑏𝑎)) · (𝑑𝑐))) ≠ 0)) → 𝑐𝐹)
14 simp-4r 784 . . . . . . . . . . . 12 ((((((((𝜑𝑎 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑑 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏𝑎))) ∧ 𝑋 = (𝑐 + (𝑟 · (𝑑𝑐))) ∧ (ℑ‘((∗‘(𝑏𝑎)) · (𝑑𝑐))) ≠ 0)) → 𝑑 ∈ (𝐶𝑁))
157, 14sseldd 3984 . . . . . . . . . . 11 ((((((((𝜑𝑎 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑑 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏𝑎))) ∧ 𝑋 = (𝑐 + (𝑟 · (𝑑𝑐))) ∧ (ℑ‘((∗‘(𝑏𝑎)) · (𝑑𝑐))) ≠ 0)) → 𝑑𝐹)
16 simpllr 776 . . . . . . . . . . 11 ((((((((𝜑𝑎 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑑 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏𝑎))) ∧ 𝑋 = (𝑐 + (𝑟 · (𝑑𝑐))) ∧ (ℑ‘((∗‘(𝑏𝑎)) · (𝑑𝑐))) ≠ 0)) → 𝑡 ∈ ℝ)
17 simplr 769 . . . . . . . . . . 11 ((((((((𝜑𝑎 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑑 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏𝑎))) ∧ 𝑋 = (𝑐 + (𝑟 · (𝑑𝑐))) ∧ (ℑ‘((∗‘(𝑏𝑎)) · (𝑑𝑐))) ≠ 0)) → 𝑟 ∈ ℝ)
18 simpr1 1195 . . . . . . . . . . 11 ((((((((𝜑𝑎 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑑 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏𝑎))) ∧ 𝑋 = (𝑐 + (𝑟 · (𝑑𝑐))) ∧ (ℑ‘((∗‘(𝑏𝑎)) · (𝑑𝑐))) ≠ 0)) → 𝑋 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏𝑎))))
19 simpr2 1196 . . . . . . . . . . 11 ((((((((𝜑𝑎 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑑 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏𝑎))) ∧ 𝑋 = (𝑐 + (𝑟 · (𝑑𝑐))) ∧ (ℑ‘((∗‘(𝑏𝑎)) · (𝑑𝑐))) ≠ 0)) → 𝑋 = (𝑐 + (𝑟 · (𝑑𝑐))))
20 simpr3 1197 . . . . . . . . . . 11 ((((((((𝜑𝑎 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑑 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏𝑎))) ∧ 𝑋 = (𝑐 + (𝑟 · (𝑑𝑐))) ∧ (ℑ‘((∗‘(𝑏𝑎)) · (𝑑𝑐))) ≠ 0)) → (ℑ‘((∗‘(𝑏𝑎)) · (𝑑𝑐))) ≠ 0)
21 eqid 2737 . . . . . . . . . . 11 (𝑎 + (((((𝑎𝑐) · ((∗‘𝑑) − (∗‘𝑐))) − (((∗‘𝑎) − (∗‘𝑐)) · (𝑑𝑐))) / ((((∗‘𝑏) − (∗‘𝑎)) · (𝑑𝑐)) − ((𝑏𝑎) · ((∗‘𝑑) − (∗‘𝑐))))) · (𝑏𝑎))) = (𝑎 + (((((𝑎𝑐) · ((∗‘𝑑) − (∗‘𝑐))) − (((∗‘𝑎) − (∗‘𝑐)) · (𝑑𝑐))) / ((((∗‘𝑏) − (∗‘𝑎)) · (𝑑𝑐)) − ((𝑏𝑎) · ((∗‘𝑑) − (∗‘𝑐))))) · (𝑏𝑎)))
225, 9, 11, 13, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21constrrtll 33772 . . . . . . . . . 10 ((((((((𝜑𝑎 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑑 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏𝑎))) ∧ 𝑋 = (𝑐 + (𝑟 · (𝑑𝑐))) ∧ (ℑ‘((∗‘(𝑏𝑎)) · (𝑑𝑐))) ≠ 0)) → 𝑋 = (𝑎 + (((((𝑎𝑐) · ((∗‘𝑑) − (∗‘𝑐))) − (((∗‘𝑎) − (∗‘𝑐)) · (𝑑𝑐))) / ((((∗‘𝑏) − (∗‘𝑎)) · (𝑑𝑐)) − ((𝑏𝑎) · ((∗‘𝑑) − (∗‘𝑐))))) · (𝑏𝑎))))
23 cnfldadd 21370 . . . . . . . . . . 11 + = (+g‘ℂfld)
24 sdrgsubrg 20792 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐹 ∈ (SubDRing‘ℂfld) → 𝐹 ∈ (SubRing‘ℂfld))
25 subrgsubg 20577 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐹 ∈ (SubRing‘ℂfld) → 𝐹 ∈ (SubGrp‘ℂfld))
261, 24, 253syl 18 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐹 ∈ (SubGrp‘ℂfld))
2726ad7antr 738 . . . . . . . . . . 11 ((((((((𝜑𝑎 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑑 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏𝑎))) ∧ 𝑋 = (𝑐 + (𝑟 · (𝑑𝑐))) ∧ (ℑ‘((∗‘(𝑏𝑎)) · (𝑑𝑐))) ≠ 0)) → 𝐹 ∈ (SubGrp‘ℂfld))
28 cnfldmul 21372 . . . . . . . . . . . 12 · = (.r‘ℂfld)
291, 24syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐹 ∈ (SubRing‘ℂfld))
3029ad7antr 738 . . . . . . . . . . . 12 ((((((((𝜑𝑎 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑑 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏𝑎))) ∧ 𝑋 = (𝑐 + (𝑟 · (𝑑𝑐))) ∧ (ℑ‘((∗‘(𝑏𝑎)) · (𝑑𝑐))) ≠ 0)) → 𝐹 ∈ (SubRing‘ℂfld))
31 cnflddiv 21413 . . . . . . . . . . . . 13 / = (/r‘ℂfld)
32 cnfld0 21405 . . . . . . . . . . . . 13 0 = (0g‘ℂfld)
331ad7antr 738 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((((𝜑𝑎 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑑 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏𝑎))) ∧ 𝑋 = (𝑐 + (𝑟 · (𝑑𝑐))) ∧ (ℑ‘((∗‘(𝑏𝑎)) · (𝑑𝑐))) ≠ 0)) → 𝐹 ∈ (SubDRing‘ℂfld))
34 cnfldsub 21410 . . . . . . . . . . . . . 14 − = (-g‘ℂfld)
3534, 27, 9, 13subgsubcld 33047 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((((𝜑𝑎 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑑 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏𝑎))) ∧ 𝑋 = (𝑐 + (𝑟 · (𝑑𝑐))) ∧ (ℑ‘((∗‘(𝑏𝑎)) · (𝑑𝑐))) ≠ 0)) → (𝑎𝑐) ∈ 𝐹)
36 constr0.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 𝐶 = rec((𝑠 ∈ V ↦ {𝑥 ∈ ℂ ∣ (∃𝑎𝑠𝑏𝑠𝑐𝑠𝑑𝑠𝑡 ∈ ℝ ∃𝑟 ∈ ℝ (𝑥 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏𝑎))) ∧ 𝑥 = (𝑐 + (𝑟 · (𝑑𝑐))) ∧ (ℑ‘((∗‘(𝑏𝑎)) · (𝑑𝑐))) ≠ 0) ∨ ∃𝑎𝑠𝑏𝑠𝑐𝑠𝑒𝑠𝑓𝑠𝑡 ∈ ℝ (𝑥 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏𝑎))) ∧ (abs‘(𝑥𝑐)) = (abs‘(𝑒𝑓))) ∨ ∃𝑎𝑠𝑏𝑠𝑐𝑠𝑑𝑠𝑒𝑠𝑓𝑠 (𝑎𝑑 ∧ (abs‘(𝑥𝑎)) = (abs‘(𝑏𝑐)) ∧ (abs‘(𝑥𝑑)) = (abs‘(𝑒𝑓))))}), {0, 1})
37 constrelextdg2.n . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑𝑁 ∈ On)
3837ad7antr 738 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((((((𝜑𝑎 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑑 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏𝑎))) ∧ 𝑋 = (𝑐 + (𝑟 · (𝑑𝑐))) ∧ (ℑ‘((∗‘(𝑏𝑎)) · (𝑑𝑐))) ≠ 0)) → 𝑁 ∈ On)
3936, 38, 14constrconj 33786 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((((((𝜑𝑎 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑑 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏𝑎))) ∧ 𝑋 = (𝑐 + (𝑟 · (𝑑𝑐))) ∧ (ℑ‘((∗‘(𝑏𝑎)) · (𝑑𝑐))) ≠ 0)) → (∗‘𝑑) ∈ (𝐶𝑁))
407, 39sseldd 3984 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((((𝜑𝑎 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑑 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏𝑎))) ∧ 𝑋 = (𝑐 + (𝑟 · (𝑑𝑐))) ∧ (ℑ‘((∗‘(𝑏𝑎)) · (𝑑𝑐))) ≠ 0)) → (∗‘𝑑) ∈ 𝐹)
4136, 38, 12constrconj 33786 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((((((𝜑𝑎 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑑 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏𝑎))) ∧ 𝑋 = (𝑐 + (𝑟 · (𝑑𝑐))) ∧ (ℑ‘((∗‘(𝑏𝑎)) · (𝑑𝑐))) ≠ 0)) → (∗‘𝑐) ∈ (𝐶𝑁))
427, 41sseldd 3984 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((((𝜑𝑎 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑑 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏𝑎))) ∧ 𝑋 = (𝑐 + (𝑟 · (𝑑𝑐))) ∧ (ℑ‘((∗‘(𝑏𝑎)) · (𝑑𝑐))) ≠ 0)) → (∗‘𝑐) ∈ 𝐹)
4334, 27, 40, 42subgsubcld 33047 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((((𝜑𝑎 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑑 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏𝑎))) ∧ 𝑋 = (𝑐 + (𝑟 · (𝑑𝑐))) ∧ (ℑ‘((∗‘(𝑏𝑎)) · (𝑑𝑐))) ≠ 0)) → ((∗‘𝑑) − (∗‘𝑐)) ∈ 𝐹)
4428, 30, 35, 43subrgmcld 33237 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((((𝜑𝑎 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑑 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏𝑎))) ∧ 𝑋 = (𝑐 + (𝑟 · (𝑑𝑐))) ∧ (ℑ‘((∗‘(𝑏𝑎)) · (𝑑𝑐))) ≠ 0)) → ((𝑎𝑐) · ((∗‘𝑑) − (∗‘𝑐))) ∈ 𝐹)
4536, 38, 8constrconj 33786 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((((((𝜑𝑎 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑑 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏𝑎))) ∧ 𝑋 = (𝑐 + (𝑟 · (𝑑𝑐))) ∧ (ℑ‘((∗‘(𝑏𝑎)) · (𝑑𝑐))) ≠ 0)) → (∗‘𝑎) ∈ (𝐶𝑁))
467, 45sseldd 3984 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((((𝜑𝑎 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑑 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏𝑎))) ∧ 𝑋 = (𝑐 + (𝑟 · (𝑑𝑐))) ∧ (ℑ‘((∗‘(𝑏𝑎)) · (𝑑𝑐))) ≠ 0)) → (∗‘𝑎) ∈ 𝐹)
4734, 27, 46, 42subgsubcld 33047 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((((𝜑𝑎 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑑 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏𝑎))) ∧ 𝑋 = (𝑐 + (𝑟 · (𝑑𝑐))) ∧ (ℑ‘((∗‘(𝑏𝑎)) · (𝑑𝑐))) ≠ 0)) → ((∗‘𝑎) − (∗‘𝑐)) ∈ 𝐹)
4834, 27, 15, 13subgsubcld 33047 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((((𝜑𝑎 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑑 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏𝑎))) ∧ 𝑋 = (𝑐 + (𝑟 · (𝑑𝑐))) ∧ (ℑ‘((∗‘(𝑏𝑎)) · (𝑑𝑐))) ≠ 0)) → (𝑑𝑐) ∈ 𝐹)
4928, 30, 47, 48subrgmcld 33237 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((((𝜑𝑎 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑑 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏𝑎))) ∧ 𝑋 = (𝑐 + (𝑟 · (𝑑𝑐))) ∧ (ℑ‘((∗‘(𝑏𝑎)) · (𝑑𝑐))) ≠ 0)) → (((∗‘𝑎) − (∗‘𝑐)) · (𝑑𝑐)) ∈ 𝐹)
5034, 27, 44, 49subgsubcld 33047 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((((𝜑𝑎 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑑 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏𝑎))) ∧ 𝑋 = (𝑐 + (𝑟 · (𝑑𝑐))) ∧ (ℑ‘((∗‘(𝑏𝑎)) · (𝑑𝑐))) ≠ 0)) → (((𝑎𝑐) · ((∗‘𝑑) − (∗‘𝑐))) − (((∗‘𝑎) − (∗‘𝑐)) · (𝑑𝑐))) ∈ 𝐹)
5136, 38, 10constrconj 33786 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((((((𝜑𝑎 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑑 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏𝑎))) ∧ 𝑋 = (𝑐 + (𝑟 · (𝑑𝑐))) ∧ (ℑ‘((∗‘(𝑏𝑎)) · (𝑑𝑐))) ≠ 0)) → (∗‘𝑏) ∈ (𝐶𝑁))
527, 51sseldd 3984 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((((𝜑𝑎 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑑 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏𝑎))) ∧ 𝑋 = (𝑐 + (𝑟 · (𝑑𝑐))) ∧ (ℑ‘((∗‘(𝑏𝑎)) · (𝑑𝑐))) ≠ 0)) → (∗‘𝑏) ∈ 𝐹)
5334, 27, 52, 46subgsubcld 33047 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((((𝜑𝑎 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑑 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏𝑎))) ∧ 𝑋 = (𝑐 + (𝑟 · (𝑑𝑐))) ∧ (ℑ‘((∗‘(𝑏𝑎)) · (𝑑𝑐))) ≠ 0)) → ((∗‘𝑏) − (∗‘𝑎)) ∈ 𝐹)
5428, 30, 53, 48subrgmcld 33237 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((((𝜑𝑎 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑑 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏𝑎))) ∧ 𝑋 = (𝑐 + (𝑟 · (𝑑𝑐))) ∧ (ℑ‘((∗‘(𝑏𝑎)) · (𝑑𝑐))) ≠ 0)) → (((∗‘𝑏) − (∗‘𝑎)) · (𝑑𝑐)) ∈ 𝐹)
5534, 27, 11, 9subgsubcld 33047 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((((𝜑𝑎 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑑 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏𝑎))) ∧ 𝑋 = (𝑐 + (𝑟 · (𝑑𝑐))) ∧ (ℑ‘((∗‘(𝑏𝑎)) · (𝑑𝑐))) ≠ 0)) → (𝑏𝑎) ∈ 𝐹)
5628, 30, 55, 43subrgmcld 33237 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((((𝜑𝑎 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑑 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏𝑎))) ∧ 𝑋 = (𝑐 + (𝑟 · (𝑑𝑐))) ∧ (ℑ‘((∗‘(𝑏𝑎)) · (𝑑𝑐))) ≠ 0)) → ((𝑏𝑎) · ((∗‘𝑑) − (∗‘𝑐))) ∈ 𝐹)
5734, 27, 54, 56subgsubcld 33047 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((((𝜑𝑎 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑑 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏𝑎))) ∧ 𝑋 = (𝑐 + (𝑟 · (𝑑𝑐))) ∧ (ℑ‘((∗‘(𝑏𝑎)) · (𝑑𝑐))) ≠ 0)) → ((((∗‘𝑏) − (∗‘𝑎)) · (𝑑𝑐)) − ((𝑏𝑎) · ((∗‘𝑑) − (∗‘𝑐)))) ∈ 𝐹)
585, 11sseldd 3984 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((((((𝜑𝑎 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑑 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏𝑎))) ∧ 𝑋 = (𝑐 + (𝑟 · (𝑑𝑐))) ∧ (ℑ‘((∗‘(𝑏𝑎)) · (𝑑𝑐))) ≠ 0)) → 𝑏 ∈ ℂ)
595, 9sseldd 3984 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((((((𝜑𝑎 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑑 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏𝑎))) ∧ 𝑋 = (𝑐 + (𝑟 · (𝑑𝑐))) ∧ (ℑ‘((∗‘(𝑏𝑎)) · (𝑑𝑐))) ≠ 0)) → 𝑎 ∈ ℂ)
6058, 59cjsubd 32752 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((((𝜑𝑎 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑑 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏𝑎))) ∧ 𝑋 = (𝑐 + (𝑟 · (𝑑𝑐))) ∧ (ℑ‘((∗‘(𝑏𝑎)) · (𝑑𝑐))) ≠ 0)) → (∗‘(𝑏𝑎)) = ((∗‘𝑏) − (∗‘𝑎)))
6160oveq1d 7446 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((((𝜑𝑎 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑑 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏𝑎))) ∧ 𝑋 = (𝑐 + (𝑟 · (𝑑𝑐))) ∧ (ℑ‘((∗‘(𝑏𝑎)) · (𝑑𝑐))) ≠ 0)) → ((∗‘(𝑏𝑎)) · (𝑑𝑐)) = (((∗‘𝑏) − (∗‘𝑎)) · (𝑑𝑐)))
625, 55sseldd 3984 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((((((𝜑𝑎 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑑 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏𝑎))) ∧ 𝑋 = (𝑐 + (𝑟 · (𝑑𝑐))) ∧ (ℑ‘((∗‘(𝑏𝑎)) · (𝑑𝑐))) ≠ 0)) → (𝑏𝑎) ∈ ℂ)
6362cjcld 15235 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((((((𝜑𝑎 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑑 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏𝑎))) ∧ 𝑋 = (𝑐 + (𝑟 · (𝑑𝑐))) ∧ (ℑ‘((∗‘(𝑏𝑎)) · (𝑑𝑐))) ≠ 0)) → (∗‘(𝑏𝑎)) ∈ ℂ)
645, 48sseldd 3984 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((((((𝜑𝑎 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑑 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏𝑎))) ∧ 𝑋 = (𝑐 + (𝑟 · (𝑑𝑐))) ∧ (ℑ‘((∗‘(𝑏𝑎)) · (𝑑𝑐))) ≠ 0)) → (𝑑𝑐) ∈ ℂ)
6563, 64cjmuld 15260 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((((𝜑𝑎 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑑 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏𝑎))) ∧ 𝑋 = (𝑐 + (𝑟 · (𝑑𝑐))) ∧ (ℑ‘((∗‘(𝑏𝑎)) · (𝑑𝑐))) ≠ 0)) → (∗‘((∗‘(𝑏𝑎)) · (𝑑𝑐))) = ((∗‘(∗‘(𝑏𝑎))) · (∗‘(𝑑𝑐))))
6662cjcjd 15238 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((((((𝜑𝑎 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑑 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏𝑎))) ∧ 𝑋 = (𝑐 + (𝑟 · (𝑑𝑐))) ∧ (ℑ‘((∗‘(𝑏𝑎)) · (𝑑𝑐))) ≠ 0)) → (∗‘(∗‘(𝑏𝑎))) = (𝑏𝑎))
675, 15sseldd 3984 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((((((𝜑𝑎 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑑 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏𝑎))) ∧ 𝑋 = (𝑐 + (𝑟 · (𝑑𝑐))) ∧ (ℑ‘((∗‘(𝑏𝑎)) · (𝑑𝑐))) ≠ 0)) → 𝑑 ∈ ℂ)
685, 13sseldd 3984 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((((((𝜑𝑎 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑑 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏𝑎))) ∧ 𝑋 = (𝑐 + (𝑟 · (𝑑𝑐))) ∧ (ℑ‘((∗‘(𝑏𝑎)) · (𝑑𝑐))) ≠ 0)) → 𝑐 ∈ ℂ)
6967, 68cjsubd 32752 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((((((𝜑𝑎 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑑 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏𝑎))) ∧ 𝑋 = (𝑐 + (𝑟 · (𝑑𝑐))) ∧ (ℑ‘((∗‘(𝑏𝑎)) · (𝑑𝑐))) ≠ 0)) → (∗‘(𝑑𝑐)) = ((∗‘𝑑) − (∗‘𝑐)))
7066, 69oveq12d 7449 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((((𝜑𝑎 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑑 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏𝑎))) ∧ 𝑋 = (𝑐 + (𝑟 · (𝑑𝑐))) ∧ (ℑ‘((∗‘(𝑏𝑎)) · (𝑑𝑐))) ≠ 0)) → ((∗‘(∗‘(𝑏𝑎))) · (∗‘(𝑑𝑐))) = ((𝑏𝑎) · ((∗‘𝑑) − (∗‘𝑐))))
7165, 70eqtrd 2777 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((((𝜑𝑎 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑑 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏𝑎))) ∧ 𝑋 = (𝑐 + (𝑟 · (𝑑𝑐))) ∧ (ℑ‘((∗‘(𝑏𝑎)) · (𝑑𝑐))) ≠ 0)) → (∗‘((∗‘(𝑏𝑎)) · (𝑑𝑐))) = ((𝑏𝑎) · ((∗‘𝑑) − (∗‘𝑐))))
7261, 71oveq12d 7449 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((((𝜑𝑎 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑑 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏𝑎))) ∧ 𝑋 = (𝑐 + (𝑟 · (𝑑𝑐))) ∧ (ℑ‘((∗‘(𝑏𝑎)) · (𝑑𝑐))) ≠ 0)) → (((∗‘(𝑏𝑎)) · (𝑑𝑐)) − (∗‘((∗‘(𝑏𝑎)) · (𝑑𝑐)))) = ((((∗‘𝑏) − (∗‘𝑎)) · (𝑑𝑐)) − ((𝑏𝑎) · ((∗‘𝑑) − (∗‘𝑐)))))
7363, 64mulcld 11281 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((((((𝜑𝑎 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑑 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏𝑎))) ∧ 𝑋 = (𝑐 + (𝑟 · (𝑑𝑐))) ∧ (ℑ‘((∗‘(𝑏𝑎)) · (𝑑𝑐))) ≠ 0)) → ((∗‘(𝑏𝑎)) · (𝑑𝑐)) ∈ ℂ)
74 imval2 15190 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((∗‘(𝑏𝑎)) · (𝑑𝑐)) ∈ ℂ → (ℑ‘((∗‘(𝑏𝑎)) · (𝑑𝑐))) = ((((∗‘(𝑏𝑎)) · (𝑑𝑐)) − (∗‘((∗‘(𝑏𝑎)) · (𝑑𝑐)))) / (2 · i)))
7573, 74syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((((((𝜑𝑎 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑑 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏𝑎))) ∧ 𝑋 = (𝑐 + (𝑟 · (𝑑𝑐))) ∧ (ℑ‘((∗‘(𝑏𝑎)) · (𝑑𝑐))) ≠ 0)) → (ℑ‘((∗‘(𝑏𝑎)) · (𝑑𝑐))) = ((((∗‘(𝑏𝑎)) · (𝑑𝑐)) − (∗‘((∗‘(𝑏𝑎)) · (𝑑𝑐)))) / (2 · i)))
7675neeq1d 3000 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((((𝜑𝑎 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑑 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏𝑎))) ∧ 𝑋 = (𝑐 + (𝑟 · (𝑑𝑐))) ∧ (ℑ‘((∗‘(𝑏𝑎)) · (𝑑𝑐))) ≠ 0)) → ((ℑ‘((∗‘(𝑏𝑎)) · (𝑑𝑐))) ≠ 0 ↔ ((((∗‘(𝑏𝑎)) · (𝑑𝑐)) − (∗‘((∗‘(𝑏𝑎)) · (𝑑𝑐)))) / (2 · i)) ≠ 0))
7720, 76mpbid 232 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((((𝜑𝑎 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑑 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏𝑎))) ∧ 𝑋 = (𝑐 + (𝑟 · (𝑑𝑐))) ∧ (ℑ‘((∗‘(𝑏𝑎)) · (𝑑𝑐))) ≠ 0)) → ((((∗‘(𝑏𝑎)) · (𝑑𝑐)) − (∗‘((∗‘(𝑏𝑎)) · (𝑑𝑐)))) / (2 · i)) ≠ 0)
7873cjcld 15235 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((((((𝜑𝑎 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑑 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏𝑎))) ∧ 𝑋 = (𝑐 + (𝑟 · (𝑑𝑐))) ∧ (ℑ‘((∗‘(𝑏𝑎)) · (𝑑𝑐))) ≠ 0)) → (∗‘((∗‘(𝑏𝑎)) · (𝑑𝑐))) ∈ ℂ)
7973, 78subcld 11620 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((((𝜑𝑎 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑑 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏𝑎))) ∧ 𝑋 = (𝑐 + (𝑟 · (𝑑𝑐))) ∧ (ℑ‘((∗‘(𝑏𝑎)) · (𝑑𝑐))) ≠ 0)) → (((∗‘(𝑏𝑎)) · (𝑑𝑐)) − (∗‘((∗‘(𝑏𝑎)) · (𝑑𝑐)))) ∈ ℂ)
80 2cnd 12344 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((((((𝜑𝑎 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑑 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏𝑎))) ∧ 𝑋 = (𝑐 + (𝑟 · (𝑑𝑐))) ∧ (ℑ‘((∗‘(𝑏𝑎)) · (𝑑𝑐))) ≠ 0)) → 2 ∈ ℂ)
81 ax-icn 11214 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 i ∈ ℂ
8281a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((((((𝜑𝑎 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑑 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏𝑎))) ∧ 𝑋 = (𝑐 + (𝑟 · (𝑑𝑐))) ∧ (ℑ‘((∗‘(𝑏𝑎)) · (𝑑𝑐))) ≠ 0)) → i ∈ ℂ)
8380, 82mulcld 11281 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((((𝜑𝑎 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑑 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏𝑎))) ∧ 𝑋 = (𝑐 + (𝑟 · (𝑑𝑐))) ∧ (ℑ‘((∗‘(𝑏𝑎)) · (𝑑𝑐))) ≠ 0)) → (2 · i) ∈ ℂ)
84 2cn 12341 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 2 ∈ ℂ
85 2ne0 12370 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 2 ≠ 0
86 ine0 11698 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 i ≠ 0
8784, 81, 85, 86mulne0i 11906 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (2 · i) ≠ 0
8887a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((((𝜑𝑎 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑑 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏𝑎))) ∧ 𝑋 = (𝑐 + (𝑟 · (𝑑𝑐))) ∧ (ℑ‘((∗‘(𝑏𝑎)) · (𝑑𝑐))) ≠ 0)) → (2 · i) ≠ 0)
8979, 83, 88divne0bd 12055 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((((𝜑𝑎 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑑 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏𝑎))) ∧ 𝑋 = (𝑐 + (𝑟 · (𝑑𝑐))) ∧ (ℑ‘((∗‘(𝑏𝑎)) · (𝑑𝑐))) ≠ 0)) → ((((∗‘(𝑏𝑎)) · (𝑑𝑐)) − (∗‘((∗‘(𝑏𝑎)) · (𝑑𝑐)))) ≠ 0 ↔ ((((∗‘(𝑏𝑎)) · (𝑑𝑐)) − (∗‘((∗‘(𝑏𝑎)) · (𝑑𝑐)))) / (2 · i)) ≠ 0))
9077, 89mpbird 257 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((((𝜑𝑎 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑑 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏𝑎))) ∧ 𝑋 = (𝑐 + (𝑟 · (𝑑𝑐))) ∧ (ℑ‘((∗‘(𝑏𝑎)) · (𝑑𝑐))) ≠ 0)) → (((∗‘(𝑏𝑎)) · (𝑑𝑐)) − (∗‘((∗‘(𝑏𝑎)) · (𝑑𝑐)))) ≠ 0)
9172, 90eqnetrrd 3009 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((((𝜑𝑎 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑑 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏𝑎))) ∧ 𝑋 = (𝑐 + (𝑟 · (𝑑𝑐))) ∧ (ℑ‘((∗‘(𝑏𝑎)) · (𝑑𝑐))) ≠ 0)) → ((((∗‘𝑏) − (∗‘𝑎)) · (𝑑𝑐)) − ((𝑏𝑎) · ((∗‘𝑑) − (∗‘𝑐)))) ≠ 0)
9231, 32, 33, 50, 57, 91sdrgdvcl 33301 . . . . . . . . . . . 12 ((((((((𝜑𝑎 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑑 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏𝑎))) ∧ 𝑋 = (𝑐 + (𝑟 · (𝑑𝑐))) ∧ (ℑ‘((∗‘(𝑏𝑎)) · (𝑑𝑐))) ≠ 0)) → ((((𝑎𝑐) · ((∗‘𝑑) − (∗‘𝑐))) − (((∗‘𝑎) − (∗‘𝑐)) · (𝑑𝑐))) / ((((∗‘𝑏) − (∗‘𝑎)) · (𝑑𝑐)) − ((𝑏𝑎) · ((∗‘𝑑) − (∗‘𝑐))))) ∈ 𝐹)
9328, 30, 92, 55subrgmcld 33237 . . . . . . . . . . 11 ((((((((𝜑𝑎 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑑 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏𝑎))) ∧ 𝑋 = (𝑐 + (𝑟 · (𝑑𝑐))) ∧ (ℑ‘((∗‘(𝑏𝑎)) · (𝑑𝑐))) ≠ 0)) → (((((𝑎𝑐) · ((∗‘𝑑) − (∗‘𝑐))) − (((∗‘𝑎) − (∗‘𝑐)) · (𝑑𝑐))) / ((((∗‘𝑏) − (∗‘𝑎)) · (𝑑𝑐)) − ((𝑏𝑎) · ((∗‘𝑑) − (∗‘𝑐))))) · (𝑏𝑎)) ∈ 𝐹)
9423, 27, 9, 93subgcld 33046 . . . . . . . . . 10 ((((((((𝜑𝑎 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑑 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏𝑎))) ∧ 𝑋 = (𝑐 + (𝑟 · (𝑑𝑐))) ∧ (ℑ‘((∗‘(𝑏𝑎)) · (𝑑𝑐))) ≠ 0)) → (𝑎 + (((((𝑎𝑐) · ((∗‘𝑑) − (∗‘𝑐))) − (((∗‘𝑎) − (∗‘𝑐)) · (𝑑𝑐))) / ((((∗‘𝑏) − (∗‘𝑎)) · (𝑑𝑐)) − ((𝑏𝑎) · ((∗‘𝑑) − (∗‘𝑐))))) · (𝑏𝑎))) ∈ 𝐹)
9522, 94eqeltrd 2841 . . . . . . . . 9 ((((((((𝜑𝑎 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑑 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏𝑎))) ∧ 𝑋 = (𝑐 + (𝑟 · (𝑑𝑐))) ∧ (ℑ‘((∗‘(𝑏𝑎)) · (𝑑𝑐))) ≠ 0)) → 𝑋𝐹)
9695orcd 874 . . . . . . . 8 ((((((((𝜑𝑎 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑑 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏𝑎))) ∧ 𝑋 = (𝑐 + (𝑟 · (𝑑𝑐))) ∧ (ℑ‘((∗‘(𝑏𝑎)) · (𝑑𝑐))) ≠ 0)) → (𝑋𝐹 ∨ (𝐿[:]𝐾) = 2))
9796r19.29an 3158 . . . . . . 7 (((((((𝜑𝑎 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑑 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ ∃𝑟 ∈ ℝ (𝑋 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏𝑎))) ∧ 𝑋 = (𝑐 + (𝑟 · (𝑑𝑐))) ∧ (ℑ‘((∗‘(𝑏𝑎)) · (𝑑𝑐))) ≠ 0)) → (𝑋𝐹 ∨ (𝐿[:]𝐾) = 2))
9897r19.29an 3158 . . . . . 6 ((((((𝜑𝑎 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑑 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ ∃𝑡 ∈ ℝ ∃𝑟 ∈ ℝ (𝑋 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏𝑎))) ∧ 𝑋 = (𝑐 + (𝑟 · (𝑑𝑐))) ∧ (ℑ‘((∗‘(𝑏𝑎)) · (𝑑𝑐))) ≠ 0)) → (𝑋𝐹 ∨ (𝐿[:]𝐾) = 2))
9998r19.29an 3158 . . . . 5 (((((𝜑𝑎 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ ∃𝑑 ∈ (𝐶𝑁)∃𝑡 ∈ ℝ ∃𝑟 ∈ ℝ (𝑋 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏𝑎))) ∧ 𝑋 = (𝑐 + (𝑟 · (𝑑𝑐))) ∧ (ℑ‘((∗‘(𝑏𝑎)) · (𝑑𝑐))) ≠ 0)) → (𝑋𝐹 ∨ (𝐿[:]𝐾) = 2))
10099r19.29an 3158 . . . 4 ((((𝜑𝑎 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ ∃𝑐 ∈ (𝐶𝑁)∃𝑑 ∈ (𝐶𝑁)∃𝑡 ∈ ℝ ∃𝑟 ∈ ℝ (𝑋 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏𝑎))) ∧ 𝑋 = (𝑐 + (𝑟 · (𝑑𝑐))) ∧ (ℑ‘((∗‘(𝑏𝑎)) · (𝑑𝑐))) ≠ 0)) → (𝑋𝐹 ∨ (𝐿[:]𝐾) = 2))
101100r19.29an 3158 . . 3 (((𝜑𝑎 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ ∃𝑏 ∈ (𝐶𝑁)∃𝑐 ∈ (𝐶𝑁)∃𝑑 ∈ (𝐶𝑁)∃𝑡 ∈ ℝ ∃𝑟 ∈ ℝ (𝑋 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏𝑎))) ∧ 𝑋 = (𝑐 + (𝑟 · (𝑑𝑐))) ∧ (ℑ‘((∗‘(𝑏𝑎)) · (𝑑𝑐))) ≠ 0)) → (𝑋𝐹 ∨ (𝐿[:]𝐾) = 2))
102101r19.29an 3158 . 2 ((𝜑 ∧ ∃𝑎 ∈ (𝐶𝑁)∃𝑏 ∈ (𝐶𝑁)∃𝑐 ∈ (𝐶𝑁)∃𝑑 ∈ (𝐶𝑁)∃𝑡 ∈ ℝ ∃𝑟 ∈ ℝ (𝑋 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏𝑎))) ∧ 𝑋 = (𝑐 + (𝑟 · (𝑑𝑐))) ∧ (ℑ‘((∗‘(𝑏𝑎)) · (𝑑𝑐))) ≠ 0)) → (𝑋𝐹 ∨ (𝐿[:]𝐾) = 2))
10336, 37constrsscn 33781 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝐶𝑁) ⊆ ℂ)
104103ad8antr 740 . . . . . . . . . . . 12 (((((((((𝜑𝑎 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏𝑎))) ∧ (abs‘(𝑋𝑐)) = (abs‘(𝑒𝑓)))) ∧ 𝑎 = 𝑏) → (𝐶𝑁) ⊆ ℂ)
105 simp-8r 792 . . . . . . . . . . . 12 (((((((((𝜑𝑎 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏𝑎))) ∧ (abs‘(𝑋𝑐)) = (abs‘(𝑒𝑓)))) ∧ 𝑎 = 𝑏) → 𝑎 ∈ (𝐶𝑁))
106 simp-7r 790 . . . . . . . . . . . 12 (((((((((𝜑𝑎 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏𝑎))) ∧ (abs‘(𝑋𝑐)) = (abs‘(𝑒𝑓)))) ∧ 𝑎 = 𝑏) → 𝑏 ∈ (𝐶𝑁))
107 simp-6r 788 . . . . . . . . . . . 12 (((((((((𝜑𝑎 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏𝑎))) ∧ (abs‘(𝑋𝑐)) = (abs‘(𝑒𝑓)))) ∧ 𝑎 = 𝑏) → 𝑐 ∈ (𝐶𝑁))
108 simp-5r 786 . . . . . . . . . . . 12 (((((((((𝜑𝑎 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏𝑎))) ∧ (abs‘(𝑋𝑐)) = (abs‘(𝑒𝑓)))) ∧ 𝑎 = 𝑏) → 𝑒 ∈ (𝐶𝑁))
109 simp-4r 784 . . . . . . . . . . . 12 (((((((((𝜑𝑎 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏𝑎))) ∧ (abs‘(𝑋𝑐)) = (abs‘(𝑒𝑓)))) ∧ 𝑎 = 𝑏) → 𝑓 ∈ (𝐶𝑁))
110 simpllr 776 . . . . . . . . . . . 12 (((((((((𝜑𝑎 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏𝑎))) ∧ (abs‘(𝑋𝑐)) = (abs‘(𝑒𝑓)))) ∧ 𝑎 = 𝑏) → 𝑡 ∈ ℝ)
111 simplrl 777 . . . . . . . . . . . 12 (((((((((𝜑𝑎 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏𝑎))) ∧ (abs‘(𝑋𝑐)) = (abs‘(𝑒𝑓)))) ∧ 𝑎 = 𝑏) → 𝑋 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏𝑎))))
112 simplrr 778 . . . . . . . . . . . 12 (((((((((𝜑𝑎 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏𝑎))) ∧ (abs‘(𝑋𝑐)) = (abs‘(𝑒𝑓)))) ∧ 𝑎 = 𝑏) → (abs‘(𝑋𝑐)) = (abs‘(𝑒𝑓)))
113 simpr 484 . . . . . . . . . . . 12 (((((((((𝜑𝑎 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏𝑎))) ∧ (abs‘(𝑋𝑐)) = (abs‘(𝑒𝑓)))) ∧ 𝑎 = 𝑏) → 𝑎 = 𝑏)
114104, 105, 106, 107, 108, 109, 110, 111, 112, 113constrrtlc2 33774 . . . . . . . . . . 11 (((((((((𝜑𝑎 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏𝑎))) ∧ (abs‘(𝑋𝑐)) = (abs‘(𝑒𝑓)))) ∧ 𝑎 = 𝑏) → 𝑋 = 𝑎)
1156ad8antr 740 . . . . . . . . . . . 12 (((((((((𝜑𝑎 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏𝑎))) ∧ (abs‘(𝑋𝑐)) = (abs‘(𝑒𝑓)))) ∧ 𝑎 = 𝑏) → (𝐶𝑁) ⊆ 𝐹)
116115, 105sseldd 3984 . . . . . . . . . . 11 (((((((((𝜑𝑎 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏𝑎))) ∧ (abs‘(𝑋𝑐)) = (abs‘(𝑒𝑓)))) ∧ 𝑎 = 𝑏) → 𝑎𝐹)
117114, 116eqeltrd 2841 . . . . . . . . . 10 (((((((((𝜑𝑎 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏𝑎))) ∧ (abs‘(𝑋𝑐)) = (abs‘(𝑒𝑓)))) ∧ 𝑎 = 𝑏) → 𝑋𝐹)
118117orcd 874 . . . . . . . . 9 (((((((((𝜑𝑎 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏𝑎))) ∧ (abs‘(𝑋𝑐)) = (abs‘(𝑒𝑓)))) ∧ 𝑎 = 𝑏) → (𝑋𝐹 ∨ (𝐿[:]𝐾) = 2))
119 constrelextdg2.k . . . . . . . . . 10 𝐾 = (ℂflds 𝐹)
120 constrelextdg2.l . . . . . . . . . 10 𝐿 = (ℂflds (ℂfld fldGen (𝐹 ∪ {𝑋})))
121 eqid 2737 . . . . . . . . . 10 (Poly1𝐾) = (Poly1𝐾)
122 eqid 2737 . . . . . . . . . 10 (.g‘(mulGrp‘ℂfld)) = (.g‘(mulGrp‘ℂfld))
123 cnfldfld 33371 . . . . . . . . . . 11 fld ∈ Field
124123a1i 11 . . . . . . . . . 10 (((((((((𝜑𝑎 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏𝑎))) ∧ (abs‘(𝑋𝑐)) = (abs‘(𝑒𝑓)))) ∧ 𝑎𝑏) → ℂfld ∈ Field)
1251ad8antr 740 . . . . . . . . . 10 (((((((((𝜑𝑎 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏𝑎))) ∧ (abs‘(𝑋𝑐)) = (abs‘(𝑒𝑓)))) ∧ 𝑎𝑏) → 𝐹 ∈ (SubDRing‘ℂfld))
126 constrelextdg2.x . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑋 ∈ (𝐶‘suc 𝑁))
127 eqid 2737 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐶𝑁) = (𝐶𝑁)
12836, 37, 127constrsuc 33779 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝑋 ∈ (𝐶‘suc 𝑁) ↔ (𝑋 ∈ ℂ ∧ (∃𝑎 ∈ (𝐶𝑁)∃𝑏 ∈ (𝐶𝑁)∃𝑐 ∈ (𝐶𝑁)∃𝑑 ∈ (𝐶𝑁)∃𝑡 ∈ ℝ ∃𝑟 ∈ ℝ (𝑋 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏𝑎))) ∧ 𝑋 = (𝑐 + (𝑟 · (𝑑𝑐))) ∧ (ℑ‘((∗‘(𝑏𝑎)) · (𝑑𝑐))) ≠ 0) ∨ ∃𝑎 ∈ (𝐶𝑁)∃𝑏 ∈ (𝐶𝑁)∃𝑐 ∈ (𝐶𝑁)∃𝑒 ∈ (𝐶𝑁)∃𝑓 ∈ (𝐶𝑁)∃𝑡 ∈ ℝ (𝑋 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏𝑎))) ∧ (abs‘(𝑋𝑐)) = (abs‘(𝑒𝑓))) ∨ ∃𝑎 ∈ (𝐶𝑁)∃𝑏 ∈ (𝐶𝑁)∃𝑐 ∈ (𝐶𝑁)∃𝑑 ∈ (𝐶𝑁)∃𝑒 ∈ (𝐶𝑁)∃𝑓 ∈ (𝐶𝑁)(𝑎𝑑 ∧ (abs‘(𝑋𝑎)) = (abs‘(𝑏𝑐)) ∧ (abs‘(𝑋𝑑)) = (abs‘(𝑒𝑓)))))))
129126, 128mpbid 232 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑋 ∈ ℂ ∧ (∃𝑎 ∈ (𝐶𝑁)∃𝑏 ∈ (𝐶𝑁)∃𝑐 ∈ (𝐶𝑁)∃𝑑 ∈ (𝐶𝑁)∃𝑡 ∈ ℝ ∃𝑟 ∈ ℝ (𝑋 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏𝑎))) ∧ 𝑋 = (𝑐 + (𝑟 · (𝑑𝑐))) ∧ (ℑ‘((∗‘(𝑏𝑎)) · (𝑑𝑐))) ≠ 0) ∨ ∃𝑎 ∈ (𝐶𝑁)∃𝑏 ∈ (𝐶𝑁)∃𝑐 ∈ (𝐶𝑁)∃𝑒 ∈ (𝐶𝑁)∃𝑓 ∈ (𝐶𝑁)∃𝑡 ∈ ℝ (𝑋 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏𝑎))) ∧ (abs‘(𝑋𝑐)) = (abs‘(𝑒𝑓))) ∨ ∃𝑎 ∈ (𝐶𝑁)∃𝑏 ∈ (𝐶𝑁)∃𝑐 ∈ (𝐶𝑁)∃𝑑 ∈ (𝐶𝑁)∃𝑒 ∈ (𝐶𝑁)∃𝑓 ∈ (𝐶𝑁)(𝑎𝑑 ∧ (abs‘(𝑋𝑎)) = (abs‘(𝑏𝑐)) ∧ (abs‘(𝑋𝑑)) = (abs‘(𝑒𝑓))))))
130129simpld 494 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑋 ∈ ℂ)
131130ad8antr 740 . . . . . . . . . 10 (((((((((𝜑𝑎 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏𝑎))) ∧ (abs‘(𝑋𝑐)) = (abs‘(𝑒𝑓)))) ∧ 𝑎𝑏) → 𝑋 ∈ ℂ)
13226ad8antr 740 . . . . . . . . . . . 12 (((((((((𝜑𝑎 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏𝑎))) ∧ (abs‘(𝑋𝑐)) = (abs‘(𝑒𝑓)))) ∧ 𝑎𝑏) → 𝐹 ∈ (SubGrp‘ℂfld))
1336ad8antr 740 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((((((𝜑𝑎 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏𝑎))) ∧ (abs‘(𝑋𝑐)) = (abs‘(𝑒𝑓)))) ∧ 𝑎𝑏) → (𝐶𝑁) ⊆ 𝐹)
13437ad8antr 740 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((((((𝜑𝑎 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏𝑎))) ∧ (abs‘(𝑋𝑐)) = (abs‘(𝑒𝑓)))) ∧ 𝑎𝑏) → 𝑁 ∈ On)
135 simp-8r 792 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((((((𝜑𝑎 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏𝑎))) ∧ (abs‘(𝑋𝑐)) = (abs‘(𝑒𝑓)))) ∧ 𝑎𝑏) → 𝑎 ∈ (𝐶𝑁))
13636, 134, 135constrconj 33786 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((((((𝜑𝑎 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏𝑎))) ∧ (abs‘(𝑋𝑐)) = (abs‘(𝑒𝑓)))) ∧ 𝑎𝑏) → (∗‘𝑎) ∈ (𝐶𝑁))
137133, 136sseldd 3984 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((((((𝜑𝑎 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏𝑎))) ∧ (abs‘(𝑋𝑐)) = (abs‘(𝑒𝑓)))) ∧ 𝑎𝑏) → (∗‘𝑎) ∈ 𝐹)
138125, 24syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((((((𝜑𝑎 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏𝑎))) ∧ (abs‘(𝑋𝑐)) = (abs‘(𝑒𝑓)))) ∧ 𝑎𝑏) → 𝐹 ∈ (SubRing‘ℂfld))
139133, 135sseldd 3984 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((((((𝜑𝑎 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏𝑎))) ∧ (abs‘(𝑋𝑐)) = (abs‘(𝑒𝑓)))) ∧ 𝑎𝑏) → 𝑎𝐹)
140 simp-7r 790 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((((((𝜑𝑎 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏𝑎))) ∧ (abs‘(𝑋𝑐)) = (abs‘(𝑒𝑓)))) ∧ 𝑎𝑏) → 𝑏 ∈ (𝐶𝑁))
14136, 134, 140constrconj 33786 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((((((𝜑𝑎 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏𝑎))) ∧ (abs‘(𝑋𝑐)) = (abs‘(𝑒𝑓)))) ∧ 𝑎𝑏) → (∗‘𝑏) ∈ (𝐶𝑁))
142133, 141sseldd 3984 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((((((𝜑𝑎 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏𝑎))) ∧ (abs‘(𝑋𝑐)) = (abs‘(𝑒𝑓)))) ∧ 𝑎𝑏) → (∗‘𝑏) ∈ 𝐹)
14334, 132, 142, 137subgsubcld 33047 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((((((𝜑𝑎 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏𝑎))) ∧ (abs‘(𝑋𝑐)) = (abs‘(𝑒𝑓)))) ∧ 𝑎𝑏) → ((∗‘𝑏) − (∗‘𝑎)) ∈ 𝐹)
144133, 140sseldd 3984 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((((((𝜑𝑎 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏𝑎))) ∧ (abs‘(𝑋𝑐)) = (abs‘(𝑒𝑓)))) ∧ 𝑎𝑏) → 𝑏𝐹)
14534, 132, 144, 139subgsubcld 33047 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((((((𝜑𝑎 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏𝑎))) ∧ (abs‘(𝑋𝑐)) = (abs‘(𝑒𝑓)))) ∧ 𝑎𝑏) → (𝑏𝑎) ∈ 𝐹)
146103ad8antr 740 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((((((𝜑𝑎 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏𝑎))) ∧ (abs‘(𝑋𝑐)) = (abs‘(𝑒𝑓)))) ∧ 𝑎𝑏) → (𝐶𝑁) ⊆ ℂ)
147146, 140sseldd 3984 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((((((𝜑𝑎 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏𝑎))) ∧ (abs‘(𝑋𝑐)) = (abs‘(𝑒𝑓)))) ∧ 𝑎𝑏) → 𝑏 ∈ ℂ)
148146, 135sseldd 3984 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((((((𝜑𝑎 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏𝑎))) ∧ (abs‘(𝑋𝑐)) = (abs‘(𝑒𝑓)))) ∧ 𝑎𝑏) → 𝑎 ∈ ℂ)
149 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((((((𝜑𝑎 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏𝑎))) ∧ (abs‘(𝑋𝑐)) = (abs‘(𝑒𝑓)))) ∧ 𝑎𝑏) → 𝑎𝑏)
150149necomd 2996 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((((((𝜑𝑎 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏𝑎))) ∧ (abs‘(𝑋𝑐)) = (abs‘(𝑒𝑓)))) ∧ 𝑎𝑏) → 𝑏𝑎)
151147, 148, 150subne0d 11629 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((((((𝜑𝑎 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏𝑎))) ∧ (abs‘(𝑋𝑐)) = (abs‘(𝑒𝑓)))) ∧ 𝑎𝑏) → (𝑏𝑎) ≠ 0)
15231, 32, 125, 143, 145, 151sdrgdvcl 33301 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((((((𝜑𝑎 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏𝑎))) ∧ (abs‘(𝑋𝑐)) = (abs‘(𝑒𝑓)))) ∧ 𝑎𝑏) → (((∗‘𝑏) − (∗‘𝑎)) / (𝑏𝑎)) ∈ 𝐹)
15328, 138, 139, 152subrgmcld 33237 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((((((𝜑𝑎 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏𝑎))) ∧ (abs‘(𝑋𝑐)) = (abs‘(𝑒𝑓)))) ∧ 𝑎𝑏) → (𝑎 · (((∗‘𝑏) − (∗‘𝑎)) / (𝑏𝑎))) ∈ 𝐹)
15434, 132, 137, 153subgsubcld 33047 . . . . . . . . . . . . 13 (((((((((𝜑𝑎 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏𝑎))) ∧ (abs‘(𝑋𝑐)) = (abs‘(𝑒𝑓)))) ∧ 𝑎𝑏) → ((∗‘𝑎) − (𝑎 · (((∗‘𝑏) − (∗‘𝑎)) / (𝑏𝑎)))) ∈ 𝐹)
155 simp-6r 788 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((((((𝜑𝑎 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏𝑎))) ∧ (abs‘(𝑋𝑐)) = (abs‘(𝑒𝑓)))) ∧ 𝑎𝑏) → 𝑐 ∈ (𝐶𝑁))
15636, 134, 155constrconj 33786 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((((((𝜑𝑎 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏𝑎))) ∧ (abs‘(𝑋𝑐)) = (abs‘(𝑒𝑓)))) ∧ 𝑎𝑏) → (∗‘𝑐) ∈ (𝐶𝑁))
157133, 156sseldd 3984 . . . . . . . . . . . . 13 (((((((((𝜑𝑎 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏𝑎))) ∧ (abs‘(𝑋𝑐)) = (abs‘(𝑒𝑓)))) ∧ 𝑎𝑏) → (∗‘𝑐) ∈ 𝐹)
15834, 132, 154, 157subgsubcld 33047 . . . . . . . . . . . 12 (((((((((𝜑𝑎 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏𝑎))) ∧ (abs‘(𝑋𝑐)) = (abs‘(𝑒𝑓)))) ∧ 𝑎𝑏) → (((∗‘𝑎) − (𝑎 · (((∗‘𝑏) − (∗‘𝑎)) / (𝑏𝑎)))) − (∗‘𝑐)) ∈ 𝐹)
159133, 155sseldd 3984 . . . . . . . . . . . . 13 (((((((((𝜑𝑎 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏𝑎))) ∧ (abs‘(𝑋𝑐)) = (abs‘(𝑒𝑓)))) ∧ 𝑎𝑏) → 𝑐𝐹)
16028, 138, 159, 152subrgmcld 33237 . . . . . . . . . . . 12 (((((((((𝜑𝑎 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏𝑎))) ∧ (abs‘(𝑋𝑐)) = (abs‘(𝑒𝑓)))) ∧ 𝑎𝑏) → (𝑐 · (((∗‘𝑏) − (∗‘𝑎)) / (𝑏𝑎))) ∈ 𝐹)
16134, 132, 158, 160subgsubcld 33047 . . . . . . . . . . 11 (((((((((𝜑𝑎 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏𝑎))) ∧ (abs‘(𝑋𝑐)) = (abs‘(𝑒𝑓)))) ∧ 𝑎𝑏) → ((((∗‘𝑎) − (𝑎 · (((∗‘𝑏) − (∗‘𝑎)) / (𝑏𝑎)))) − (∗‘𝑐)) − (𝑐 · (((∗‘𝑏) − (∗‘𝑎)) / (𝑏𝑎)))) ∈ 𝐹)
162 simp-5r 786 . . . . . . . . . . . . 13 (((((((((𝜑𝑎 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏𝑎))) ∧ (abs‘(𝑋𝑐)) = (abs‘(𝑒𝑓)))) ∧ 𝑎𝑏) → 𝑒 ∈ (𝐶𝑁))
163 simp-4r 784 . . . . . . . . . . . . 13 (((((((((𝜑𝑎 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏𝑎))) ∧ (abs‘(𝑋𝑐)) = (abs‘(𝑒𝑓)))) ∧ 𝑎𝑏) → 𝑓 ∈ (𝐶𝑁))
164 simpllr 776 . . . . . . . . . . . . 13 (((((((((𝜑𝑎 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏𝑎))) ∧ (abs‘(𝑋𝑐)) = (abs‘(𝑒𝑓)))) ∧ 𝑎𝑏) → 𝑡 ∈ ℝ)
165 simplrl 777 . . . . . . . . . . . . 13 (((((((((𝜑𝑎 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏𝑎))) ∧ (abs‘(𝑋𝑐)) = (abs‘(𝑒𝑓)))) ∧ 𝑎𝑏) → 𝑋 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏𝑎))))
166 simplrr 778 . . . . . . . . . . . . 13 (((((((((𝜑𝑎 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏𝑎))) ∧ (abs‘(𝑋𝑐)) = (abs‘(𝑒𝑓)))) ∧ 𝑎𝑏) → (abs‘(𝑋𝑐)) = (abs‘(𝑒𝑓)))
167 eqid 2737 . . . . . . . . . . . . 13 (((∗‘𝑏) − (∗‘𝑎)) / (𝑏𝑎)) = (((∗‘𝑏) − (∗‘𝑎)) / (𝑏𝑎))
168 eqid 2737 . . . . . . . . . . . . 13 (((((∗‘𝑎) − (𝑎 · (((∗‘𝑏) − (∗‘𝑎)) / (𝑏𝑎)))) − (∗‘𝑐)) − (𝑐 · (((∗‘𝑏) − (∗‘𝑎)) / (𝑏𝑎)))) / (((∗‘𝑏) − (∗‘𝑎)) / (𝑏𝑎))) = (((((∗‘𝑎) − (𝑎 · (((∗‘𝑏) − (∗‘𝑎)) / (𝑏𝑎)))) − (∗‘𝑐)) − (𝑐 · (((∗‘𝑏) − (∗‘𝑎)) / (𝑏𝑎)))) / (((∗‘𝑏) − (∗‘𝑎)) / (𝑏𝑎)))
169 eqid 2737 . . . . . . . . . . . . 13 (-((𝑐 · (((∗‘𝑎) − (𝑎 · (((∗‘𝑏) − (∗‘𝑎)) / (𝑏𝑎)))) − (∗‘𝑐))) + ((𝑒𝑓) · ((∗‘𝑒) − (∗‘𝑓)))) / (((∗‘𝑏) − (∗‘𝑎)) / (𝑏𝑎))) = (-((𝑐 · (((∗‘𝑎) − (𝑎 · (((∗‘𝑏) − (∗‘𝑎)) / (𝑏𝑎)))) − (∗‘𝑐))) + ((𝑒𝑓) · ((∗‘𝑒) − (∗‘𝑓)))) / (((∗‘𝑏) − (∗‘𝑎)) / (𝑏𝑎)))
170146, 135, 140, 155, 162, 163, 164, 165, 166, 167, 168, 169, 149constrrtlc1 33773 . . . . . . . . . . . 12 (((((((((𝜑𝑎 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏𝑎))) ∧ (abs‘(𝑋𝑐)) = (abs‘(𝑒𝑓)))) ∧ 𝑎𝑏) → (((𝑋↑2) + (((((((∗‘𝑎) − (𝑎 · (((∗‘𝑏) − (∗‘𝑎)) / (𝑏𝑎)))) − (∗‘𝑐)) − (𝑐 · (((∗‘𝑏) − (∗‘𝑎)) / (𝑏𝑎)))) / (((∗‘𝑏) − (∗‘𝑎)) / (𝑏𝑎))) · 𝑋) + (-((𝑐 · (((∗‘𝑎) − (𝑎 · (((∗‘𝑏) − (∗‘𝑎)) / (𝑏𝑎)))) − (∗‘𝑐))) + ((𝑒𝑓) · ((∗‘𝑒) − (∗‘𝑓)))) / (((∗‘𝑏) − (∗‘𝑎)) / (𝑏𝑎))))) = 0 ∧ (((∗‘𝑏) − (∗‘𝑎)) / (𝑏𝑎)) ≠ 0))
171170simprd 495 . . . . . . . . . . 11 (((((((((𝜑𝑎 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏𝑎))) ∧ (abs‘(𝑋𝑐)) = (abs‘(𝑒𝑓)))) ∧ 𝑎𝑏) → (((∗‘𝑏) − (∗‘𝑎)) / (𝑏𝑎)) ≠ 0)
17231, 32, 125, 161, 152, 171sdrgdvcl 33301 . . . . . . . . . 10 (((((((((𝜑𝑎 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏𝑎))) ∧ (abs‘(𝑋𝑐)) = (abs‘(𝑒𝑓)))) ∧ 𝑎𝑏) → (((((∗‘𝑎) − (𝑎 · (((∗‘𝑏) − (∗‘𝑎)) / (𝑏𝑎)))) − (∗‘𝑐)) − (𝑐 · (((∗‘𝑏) − (∗‘𝑎)) / (𝑏𝑎)))) / (((∗‘𝑏) − (∗‘𝑎)) / (𝑏𝑎))) ∈ 𝐹)
173 df-neg 11495 . . . . . . . . . . . 12 -((𝑐 · (((∗‘𝑎) − (𝑎 · (((∗‘𝑏) − (∗‘𝑎)) / (𝑏𝑎)))) − (∗‘𝑐))) + ((𝑒𝑓) · ((∗‘𝑒) − (∗‘𝑓)))) = (0 − ((𝑐 · (((∗‘𝑎) − (𝑎 · (((∗‘𝑏) − (∗‘𝑎)) / (𝑏𝑎)))) − (∗‘𝑐))) + ((𝑒𝑓) · ((∗‘𝑒) − (∗‘𝑓)))))
17436, 134constr01 33783 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((((((𝜑𝑎 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏𝑎))) ∧ (abs‘(𝑋𝑐)) = (abs‘(𝑒𝑓)))) ∧ 𝑎𝑏) → {0, 1} ⊆ (𝐶𝑁))
17532fvexi 6920 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 0 ∈ V
176175prid1 4762 . . . . . . . . . . . . . . . 16 0 ∈ {0, 1}
177176a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((((((𝜑𝑎 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏𝑎))) ∧ (abs‘(𝑋𝑐)) = (abs‘(𝑒𝑓)))) ∧ 𝑎𝑏) → 0 ∈ {0, 1})
178174, 177sseldd 3984 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((((((𝜑𝑎 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏𝑎))) ∧ (abs‘(𝑋𝑐)) = (abs‘(𝑒𝑓)))) ∧ 𝑎𝑏) → 0 ∈ (𝐶𝑁))
179133, 178sseldd 3984 . . . . . . . . . . . . 13 (((((((((𝜑𝑎 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏𝑎))) ∧ (abs‘(𝑋𝑐)) = (abs‘(𝑒𝑓)))) ∧ 𝑎𝑏) → 0 ∈ 𝐹)
18028, 138, 159, 158subrgmcld 33237 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((((((𝜑𝑎 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏𝑎))) ∧ (abs‘(𝑋𝑐)) = (abs‘(𝑒𝑓)))) ∧ 𝑎𝑏) → (𝑐 · (((∗‘𝑎) − (𝑎 · (((∗‘𝑏) − (∗‘𝑎)) / (𝑏𝑎)))) − (∗‘𝑐))) ∈ 𝐹)
181133, 162sseldd 3984 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((((((𝜑𝑎 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏𝑎))) ∧ (abs‘(𝑋𝑐)) = (abs‘(𝑒𝑓)))) ∧ 𝑎𝑏) → 𝑒𝐹)
182133, 163sseldd 3984 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((((((𝜑𝑎 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏𝑎))) ∧ (abs‘(𝑋𝑐)) = (abs‘(𝑒𝑓)))) ∧ 𝑎𝑏) → 𝑓𝐹)
18334, 132, 181, 182subgsubcld 33047 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((((((𝜑𝑎 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏𝑎))) ∧ (abs‘(𝑋𝑐)) = (abs‘(𝑒𝑓)))) ∧ 𝑎𝑏) → (𝑒𝑓) ∈ 𝐹)
18436, 134, 162constrconj 33786 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((((((𝜑𝑎 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏𝑎))) ∧ (abs‘(𝑋𝑐)) = (abs‘(𝑒𝑓)))) ∧ 𝑎𝑏) → (∗‘𝑒) ∈ (𝐶𝑁))
185133, 184sseldd 3984 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((((((𝜑𝑎 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏𝑎))) ∧ (abs‘(𝑋𝑐)) = (abs‘(𝑒𝑓)))) ∧ 𝑎𝑏) → (∗‘𝑒) ∈ 𝐹)
18636, 134, 163constrconj 33786 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((((((𝜑𝑎 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏𝑎))) ∧ (abs‘(𝑋𝑐)) = (abs‘(𝑒𝑓)))) ∧ 𝑎𝑏) → (∗‘𝑓) ∈ (𝐶𝑁))
187133, 186sseldd 3984 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((((((𝜑𝑎 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏𝑎))) ∧ (abs‘(𝑋𝑐)) = (abs‘(𝑒𝑓)))) ∧ 𝑎𝑏) → (∗‘𝑓) ∈ 𝐹)
18834, 132, 185, 187subgsubcld 33047 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((((((𝜑𝑎 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏𝑎))) ∧ (abs‘(𝑋𝑐)) = (abs‘(𝑒𝑓)))) ∧ 𝑎𝑏) → ((∗‘𝑒) − (∗‘𝑓)) ∈ 𝐹)
18928, 138, 183, 188subrgmcld 33237 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((((((𝜑𝑎 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏𝑎))) ∧ (abs‘(𝑋𝑐)) = (abs‘(𝑒𝑓)))) ∧ 𝑎𝑏) → ((𝑒𝑓) · ((∗‘𝑒) − (∗‘𝑓))) ∈ 𝐹)
19023, 132, 180, 189subgcld 33046 . . . . . . . . . . . . 13 (((((((((𝜑𝑎 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏𝑎))) ∧ (abs‘(𝑋𝑐)) = (abs‘(𝑒𝑓)))) ∧ 𝑎𝑏) → ((𝑐 · (((∗‘𝑎) − (𝑎 · (((∗‘𝑏) − (∗‘𝑎)) / (𝑏𝑎)))) − (∗‘𝑐))) + ((𝑒𝑓) · ((∗‘𝑒) − (∗‘𝑓)))) ∈ 𝐹)
19134, 132, 179, 190subgsubcld 33047 . . . . . . . . . . . 12 (((((((((𝜑𝑎 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏𝑎))) ∧ (abs‘(𝑋𝑐)) = (abs‘(𝑒𝑓)))) ∧ 𝑎𝑏) → (0 − ((𝑐 · (((∗‘𝑎) − (𝑎 · (((∗‘𝑏) − (∗‘𝑎)) / (𝑏𝑎)))) − (∗‘𝑐))) + ((𝑒𝑓) · ((∗‘𝑒) − (∗‘𝑓))))) ∈ 𝐹)
192173, 191eqeltrid 2845 . . . . . . . . . . 11 (((((((((𝜑𝑎 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏𝑎))) ∧ (abs‘(𝑋𝑐)) = (abs‘(𝑒𝑓)))) ∧ 𝑎𝑏) → -((𝑐 · (((∗‘𝑎) − (𝑎 · (((∗‘𝑏) − (∗‘𝑎)) / (𝑏𝑎)))) − (∗‘𝑐))) + ((𝑒𝑓) · ((∗‘𝑒) − (∗‘𝑓)))) ∈ 𝐹)
19331, 32, 125, 192, 152, 171sdrgdvcl 33301 . . . . . . . . . 10 (((((((((𝜑𝑎 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏𝑎))) ∧ (abs‘(𝑋𝑐)) = (abs‘(𝑒𝑓)))) ∧ 𝑎𝑏) → (-((𝑐 · (((∗‘𝑎) − (𝑎 · (((∗‘𝑏) − (∗‘𝑎)) / (𝑏𝑎)))) − (∗‘𝑐))) + ((𝑒𝑓) · ((∗‘𝑒) − (∗‘𝑓)))) / (((∗‘𝑏) − (∗‘𝑎)) / (𝑏𝑎))) ∈ 𝐹)
194 2nn0 12543 . . . . . . . . . . . . . 14 2 ∈ ℕ0
195194a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (((((((((𝜑𝑎 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏𝑎))) ∧ (abs‘(𝑋𝑐)) = (abs‘(𝑒𝑓)))) ∧ 𝑎𝑏) → 2 ∈ ℕ0)
196 cnfldexp 21417 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑋 ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℕ0) → (2(.g‘(mulGrp‘ℂfld))𝑋) = (𝑋↑2))
197131, 195, 196syl2anc 584 . . . . . . . . . . . 12 (((((((((𝜑𝑎 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏𝑎))) ∧ (abs‘(𝑋𝑐)) = (abs‘(𝑒𝑓)))) ∧ 𝑎𝑏) → (2(.g‘(mulGrp‘ℂfld))𝑋) = (𝑋↑2))
198197oveq1d 7446 . . . . . . . . . . 11 (((((((((𝜑𝑎 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏𝑎))) ∧ (abs‘(𝑋𝑐)) = (abs‘(𝑒𝑓)))) ∧ 𝑎𝑏) → ((2(.g‘(mulGrp‘ℂfld))𝑋) + (((((((∗‘𝑎) − (𝑎 · (((∗‘𝑏) − (∗‘𝑎)) / (𝑏𝑎)))) − (∗‘𝑐)) − (𝑐 · (((∗‘𝑏) − (∗‘𝑎)) / (𝑏𝑎)))) / (((∗‘𝑏) − (∗‘𝑎)) / (𝑏𝑎))) · 𝑋) + (-((𝑐 · (((∗‘𝑎) − (𝑎 · (((∗‘𝑏) − (∗‘𝑎)) / (𝑏𝑎)))) − (∗‘𝑐))) + ((𝑒𝑓) · ((∗‘𝑒) − (∗‘𝑓)))) / (((∗‘𝑏) − (∗‘𝑎)) / (𝑏𝑎))))) = ((𝑋↑2) + (((((((∗‘𝑎) − (𝑎 · (((∗‘𝑏) − (∗‘𝑎)) / (𝑏𝑎)))) − (∗‘𝑐)) − (𝑐 · (((∗‘𝑏) − (∗‘𝑎)) / (𝑏𝑎)))) / (((∗‘𝑏) − (∗‘𝑎)) / (𝑏𝑎))) · 𝑋) + (-((𝑐 · (((∗‘𝑎) − (𝑎 · (((∗‘𝑏) − (∗‘𝑎)) / (𝑏𝑎)))) − (∗‘𝑐))) + ((𝑒𝑓) · ((∗‘𝑒) − (∗‘𝑓)))) / (((∗‘𝑏) − (∗‘𝑎)) / (𝑏𝑎))))))
199170simpld 494 . . . . . . . . . . 11 (((((((((𝜑𝑎 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏𝑎))) ∧ (abs‘(𝑋𝑐)) = (abs‘(𝑒𝑓)))) ∧ 𝑎𝑏) → ((𝑋↑2) + (((((((∗‘𝑎) − (𝑎 · (((∗‘𝑏) − (∗‘𝑎)) / (𝑏𝑎)))) − (∗‘𝑐)) − (𝑐 · (((∗‘𝑏) − (∗‘𝑎)) / (𝑏𝑎)))) / (((∗‘𝑏) − (∗‘𝑎)) / (𝑏𝑎))) · 𝑋) + (-((𝑐 · (((∗‘𝑎) − (𝑎 · (((∗‘𝑏) − (∗‘𝑎)) / (𝑏𝑎)))) − (∗‘𝑐))) + ((𝑒𝑓) · ((∗‘𝑒) − (∗‘𝑓)))) / (((∗‘𝑏) − (∗‘𝑎)) / (𝑏𝑎))))) = 0)
200198, 199eqtrd 2777 . . . . . . . . . 10 (((((((((𝜑𝑎 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏𝑎))) ∧ (abs‘(𝑋𝑐)) = (abs‘(𝑒𝑓)))) ∧ 𝑎𝑏) → ((2(.g‘(mulGrp‘ℂfld))𝑋) + (((((((∗‘𝑎) − (𝑎 · (((∗‘𝑏) − (∗‘𝑎)) / (𝑏𝑎)))) − (∗‘𝑐)) − (𝑐 · (((∗‘𝑏) − (∗‘𝑎)) / (𝑏𝑎)))) / (((∗‘𝑏) − (∗‘𝑎)) / (𝑏𝑎))) · 𝑋) + (-((𝑐 · (((∗‘𝑎) − (𝑎 · (((∗‘𝑏) − (∗‘𝑎)) / (𝑏𝑎)))) − (∗‘𝑐))) + ((𝑒𝑓) · ((∗‘𝑒) − (∗‘𝑓)))) / (((∗‘𝑏) − (∗‘𝑎)) / (𝑏𝑎))))) = 0)
201119, 120, 32, 121, 2, 28, 23, 122, 124, 125, 131, 172, 193, 200rtelextdg2 33768 . . . . . . . . 9 (((((((((𝜑𝑎 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏𝑎))) ∧ (abs‘(𝑋𝑐)) = (abs‘(𝑒𝑓)))) ∧ 𝑎𝑏) → (𝑋𝐹 ∨ (𝐿[:]𝐾) = 2))
202 exmidne 2950 . . . . . . . . . 10 (𝑎 = 𝑏𝑎𝑏)
203202a1i 11 . . . . . . . . 9 ((((((((𝜑𝑎 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏𝑎))) ∧ (abs‘(𝑋𝑐)) = (abs‘(𝑒𝑓)))) → (𝑎 = 𝑏𝑎𝑏))
204118, 201, 203mpjaodan 961 . . . . . . . 8 ((((((((𝜑𝑎 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏𝑎))) ∧ (abs‘(𝑋𝑐)) = (abs‘(𝑒𝑓)))) → (𝑋𝐹 ∨ (𝐿[:]𝐾) = 2))
205204r19.29an 3158 . . . . . . 7 (((((((𝜑𝑎 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ ∃𝑡 ∈ ℝ (𝑋 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏𝑎))) ∧ (abs‘(𝑋𝑐)) = (abs‘(𝑒𝑓)))) → (𝑋𝐹 ∨ (𝐿[:]𝐾) = 2))
206205r19.29an 3158 . . . . . 6 ((((((𝜑𝑎 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ ∃𝑓 ∈ (𝐶𝑁)∃𝑡 ∈ ℝ (𝑋 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏𝑎))) ∧ (abs‘(𝑋𝑐)) = (abs‘(𝑒𝑓)))) → (𝑋𝐹 ∨ (𝐿[:]𝐾) = 2))
207206r19.29an 3158 . . . . 5 (((((𝜑𝑎 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ ∃𝑒 ∈ (𝐶𝑁)∃𝑓 ∈ (𝐶𝑁)∃𝑡 ∈ ℝ (𝑋 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏𝑎))) ∧ (abs‘(𝑋𝑐)) = (abs‘(𝑒𝑓)))) → (𝑋𝐹 ∨ (𝐿[:]𝐾) = 2))
208207r19.29an 3158 . . . 4 ((((𝜑𝑎 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ ∃𝑐 ∈ (𝐶𝑁)∃𝑒 ∈ (𝐶𝑁)∃𝑓 ∈ (𝐶𝑁)∃𝑡 ∈ ℝ (𝑋 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏𝑎))) ∧ (abs‘(𝑋𝑐)) = (abs‘(𝑒𝑓)))) → (𝑋𝐹 ∨ (𝐿[:]𝐾) = 2))
209208r19.29an 3158 . . 3 (((𝜑𝑎 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ ∃𝑏 ∈ (𝐶𝑁)∃𝑐 ∈ (𝐶𝑁)∃𝑒 ∈ (𝐶𝑁)∃𝑓 ∈ (𝐶𝑁)∃𝑡 ∈ ℝ (𝑋 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏𝑎))) ∧ (abs‘(𝑋𝑐)) = (abs‘(𝑒𝑓)))) → (𝑋𝐹 ∨ (𝐿[:]𝐾) = 2))
210209r19.29an 3158 . 2 ((𝜑 ∧ ∃𝑎 ∈ (𝐶𝑁)∃𝑏 ∈ (𝐶𝑁)∃𝑐 ∈ (𝐶𝑁)∃𝑒 ∈ (𝐶𝑁)∃𝑓 ∈ (𝐶𝑁)∃𝑡 ∈ ℝ (𝑋 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏𝑎))) ∧ (abs‘(𝑋𝑐)) = (abs‘(𝑒𝑓)))) → (𝑋𝐹 ∨ (𝐿[:]𝐾) = 2))
211123a1i 11 . . . . . . . . 9 ((((((((𝜑𝑎 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑑 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ (𝑎𝑑 ∧ (abs‘(𝑋𝑎)) = (abs‘(𝑏𝑐)) ∧ (abs‘(𝑋𝑑)) = (abs‘(𝑒𝑓)))) → ℂfld ∈ Field)
2121ad7antr 738 . . . . . . . . 9 ((((((((𝜑𝑎 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑑 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ (𝑎𝑑 ∧ (abs‘(𝑋𝑎)) = (abs‘(𝑏𝑐)) ∧ (abs‘(𝑋𝑑)) = (abs‘(𝑒𝑓)))) → 𝐹 ∈ (SubDRing‘ℂfld))
213130ad7antr 738 . . . . . . . . 9 ((((((((𝜑𝑎 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑑 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ (𝑎𝑑 ∧ (abs‘(𝑋𝑎)) = (abs‘(𝑏𝑐)) ∧ (abs‘(𝑋𝑑)) = (abs‘(𝑒𝑓)))) → 𝑋 ∈ ℂ)
214212, 24, 253syl 18 . . . . . . . . . . 11 ((((((((𝜑𝑎 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑑 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ (𝑎𝑑 ∧ (abs‘(𝑋𝑎)) = (abs‘(𝑏𝑐)) ∧ (abs‘(𝑋𝑑)) = (abs‘(𝑒𝑓)))) → 𝐹 ∈ (SubGrp‘ℂfld))
215212, 24syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((((𝜑𝑎 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑑 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ (𝑎𝑑 ∧ (abs‘(𝑋𝑎)) = (abs‘(𝑏𝑐)) ∧ (abs‘(𝑋𝑑)) = (abs‘(𝑒𝑓)))) → 𝐹 ∈ (SubRing‘ℂfld))
2166ad7antr 738 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((((𝜑𝑎 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑑 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ (𝑎𝑑 ∧ (abs‘(𝑋𝑎)) = (abs‘(𝑏𝑐)) ∧ (abs‘(𝑋𝑑)) = (abs‘(𝑒𝑓)))) → (𝐶𝑁) ⊆ 𝐹)
217 simpllr 776 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((((𝜑𝑎 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑑 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ (𝑎𝑑 ∧ (abs‘(𝑋𝑎)) = (abs‘(𝑏𝑐)) ∧ (abs‘(𝑋𝑑)) = (abs‘(𝑒𝑓)))) → 𝑒 ∈ (𝐶𝑁))
218216, 217sseldd 3984 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((((𝜑𝑎 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑑 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ (𝑎𝑑 ∧ (abs‘(𝑋𝑎)) = (abs‘(𝑏𝑐)) ∧ (abs‘(𝑋𝑑)) = (abs‘(𝑒𝑓)))) → 𝑒𝐹)
219 simplr 769 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((((𝜑𝑎 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑑 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ (𝑎𝑑 ∧ (abs‘(𝑋𝑎)) = (abs‘(𝑏𝑐)) ∧ (abs‘(𝑋𝑑)) = (abs‘(𝑒𝑓)))) → 𝑓 ∈ (𝐶𝑁))
220216, 219sseldd 3984 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((((𝜑𝑎 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑑 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ (𝑎𝑑 ∧ (abs‘(𝑋𝑎)) = (abs‘(𝑏𝑐)) ∧ (abs‘(𝑋𝑑)) = (abs‘(𝑒𝑓)))) → 𝑓𝐹)
22134, 214, 218, 220subgsubcld 33047 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((((𝜑𝑎 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑑 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ (𝑎𝑑 ∧ (abs‘(𝑋𝑎)) = (abs‘(𝑏𝑐)) ∧ (abs‘(𝑋𝑑)) = (abs‘(𝑒𝑓)))) → (𝑒𝑓) ∈ 𝐹)
222103ad7antr 738 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((((𝜑𝑎 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑑 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ (𝑎𝑑 ∧ (abs‘(𝑋𝑎)) = (abs‘(𝑏𝑐)) ∧ (abs‘(𝑋𝑑)) = (abs‘(𝑒𝑓)))) → (𝐶𝑁) ⊆ ℂ)
223222, 217sseldd 3984 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((((𝜑𝑎 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑑 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ (𝑎𝑑 ∧ (abs‘(𝑋𝑎)) = (abs‘(𝑏𝑐)) ∧ (abs‘(𝑋𝑑)) = (abs‘(𝑒𝑓)))) → 𝑒 ∈ ℂ)
224222, 219sseldd 3984 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((((𝜑𝑎 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑑 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ (𝑎𝑑 ∧ (abs‘(𝑋𝑎)) = (abs‘(𝑏𝑐)) ∧ (abs‘(𝑋𝑑)) = (abs‘(𝑒𝑓)))) → 𝑓 ∈ ℂ)
225223, 224cjsubd 32752 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((((𝜑𝑎 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑑 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ (𝑎𝑑 ∧ (abs‘(𝑋𝑎)) = (abs‘(𝑏𝑐)) ∧ (abs‘(𝑋𝑑)) = (abs‘(𝑒𝑓)))) → (∗‘(𝑒𝑓)) = ((∗‘𝑒) − (∗‘𝑓)))
22637ad7antr 738 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((((((𝜑𝑎 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑑 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ (𝑎𝑑 ∧ (abs‘(𝑋𝑎)) = (abs‘(𝑏𝑐)) ∧ (abs‘(𝑋𝑑)) = (abs‘(𝑒𝑓)))) → 𝑁 ∈ On)
22736, 226, 217constrconj 33786 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((((𝜑𝑎 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑑 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ (𝑎𝑑 ∧ (abs‘(𝑋𝑎)) = (abs‘(𝑏𝑐)) ∧ (abs‘(𝑋𝑑)) = (abs‘(𝑒𝑓)))) → (∗‘𝑒) ∈ (𝐶𝑁))
228216, 227sseldd 3984 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((((𝜑𝑎 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑑 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ (𝑎𝑑 ∧ (abs‘(𝑋𝑎)) = (abs‘(𝑏𝑐)) ∧ (abs‘(𝑋𝑑)) = (abs‘(𝑒𝑓)))) → (∗‘𝑒) ∈ 𝐹)
22936, 226, 219constrconj 33786 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((((𝜑𝑎 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑑 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ (𝑎𝑑 ∧ (abs‘(𝑋𝑎)) = (abs‘(𝑏𝑐)) ∧ (abs‘(𝑋𝑑)) = (abs‘(𝑒𝑓)))) → (∗‘𝑓) ∈ (𝐶𝑁))
230216, 229sseldd 3984 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((((𝜑𝑎 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑑 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ (𝑎𝑑 ∧ (abs‘(𝑋𝑎)) = (abs‘(𝑏𝑐)) ∧ (abs‘(𝑋𝑑)) = (abs‘(𝑒𝑓)))) → (∗‘𝑓) ∈ 𝐹)
23134, 214, 228, 230subgsubcld 33047 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((((𝜑𝑎 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑑 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ (𝑎𝑑 ∧ (abs‘(𝑋𝑎)) = (abs‘(𝑏𝑐)) ∧ (abs‘(𝑋𝑑)) = (abs‘(𝑒𝑓)))) → ((∗‘𝑒) − (∗‘𝑓)) ∈ 𝐹)
232225, 231eqeltrd 2841 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((((𝜑𝑎 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑑 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ (𝑎𝑑 ∧ (abs‘(𝑋𝑎)) = (abs‘(𝑏𝑐)) ∧ (abs‘(𝑋𝑑)) = (abs‘(𝑒𝑓)))) → (∗‘(𝑒𝑓)) ∈ 𝐹)
23328, 215, 221, 232subrgmcld 33237 . . . . . . . . . . . 12 ((((((((𝜑𝑎 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑑 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ (𝑎𝑑 ∧ (abs‘(𝑋𝑎)) = (abs‘(𝑏𝑐)) ∧ (abs‘(𝑋𝑑)) = (abs‘(𝑒𝑓)))) → ((𝑒𝑓) · (∗‘(𝑒𝑓))) ∈ 𝐹)
234 simp-4r 784 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((((𝜑𝑎 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑑 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ (𝑎𝑑 ∧ (abs‘(𝑋𝑎)) = (abs‘(𝑏𝑐)) ∧ (abs‘(𝑋𝑑)) = (abs‘(𝑒𝑓)))) → 𝑑 ∈ (𝐶𝑁))
23536, 226, 234constrconj 33786 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((((𝜑𝑎 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑑 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ (𝑎𝑑 ∧ (abs‘(𝑋𝑎)) = (abs‘(𝑏𝑐)) ∧ (abs‘(𝑋𝑑)) = (abs‘(𝑒𝑓)))) → (∗‘𝑑) ∈ (𝐶𝑁))
236216, 235sseldd 3984 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((((𝜑𝑎 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑑 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ (𝑎𝑑 ∧ (abs‘(𝑋𝑎)) = (abs‘(𝑏𝑐)) ∧ (abs‘(𝑋𝑑)) = (abs‘(𝑒𝑓)))) → (∗‘𝑑) ∈ 𝐹)
237216, 234sseldd 3984 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((((𝜑𝑎 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑑 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ (𝑎𝑑 ∧ (abs‘(𝑋𝑎)) = (abs‘(𝑏𝑐)) ∧ (abs‘(𝑋𝑑)) = (abs‘(𝑒𝑓)))) → 𝑑𝐹)
238 simp-7r 790 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((((𝜑𝑎 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑑 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ (𝑎𝑑 ∧ (abs‘(𝑋𝑎)) = (abs‘(𝑏𝑐)) ∧ (abs‘(𝑋𝑑)) = (abs‘(𝑒𝑓)))) → 𝑎 ∈ (𝐶𝑁))
239216, 238sseldd 3984 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((((𝜑𝑎 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑑 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ (𝑎𝑑 ∧ (abs‘(𝑋𝑎)) = (abs‘(𝑏𝑐)) ∧ (abs‘(𝑋𝑑)) = (abs‘(𝑒𝑓)))) → 𝑎𝐹)
24023, 214, 237, 239subgcld 33046 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((((𝜑𝑎 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑑 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ (𝑎𝑑 ∧ (abs‘(𝑋𝑎)) = (abs‘(𝑏𝑐)) ∧ (abs‘(𝑋𝑑)) = (abs‘(𝑒𝑓)))) → (𝑑 + 𝑎) ∈ 𝐹)
24128, 215, 236, 240subrgmcld 33237 . . . . . . . . . . . 12 ((((((((𝜑𝑎 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑑 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ (𝑎𝑑 ∧ (abs‘(𝑋𝑎)) = (abs‘(𝑏𝑐)) ∧ (abs‘(𝑋𝑑)) = (abs‘(𝑒𝑓)))) → ((∗‘𝑑) · (𝑑 + 𝑎)) ∈ 𝐹)
24234, 214, 233, 241subgsubcld 33047 . . . . . . . . . . 11 ((((((((𝜑𝑎 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑑 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ (𝑎𝑑 ∧ (abs‘(𝑋𝑎)) = (abs‘(𝑏𝑐)) ∧ (abs‘(𝑋𝑑)) = (abs‘(𝑒𝑓)))) → (((𝑒𝑓) · (∗‘(𝑒𝑓))) − ((∗‘𝑑) · (𝑑 + 𝑎))) ∈ 𝐹)
243 simp-6r 788 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((((𝜑𝑎 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑑 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ (𝑎𝑑 ∧ (abs‘(𝑋𝑎)) = (abs‘(𝑏𝑐)) ∧ (abs‘(𝑋𝑑)) = (abs‘(𝑒𝑓)))) → 𝑏 ∈ (𝐶𝑁))
244216, 243sseldd 3984 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((((𝜑𝑎 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑑 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ (𝑎𝑑 ∧ (abs‘(𝑋𝑎)) = (abs‘(𝑏𝑐)) ∧ (abs‘(𝑋𝑑)) = (abs‘(𝑒𝑓)))) → 𝑏𝐹)
245 simp-5r 786 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((((𝜑𝑎 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑑 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ (𝑎𝑑 ∧ (abs‘(𝑋𝑎)) = (abs‘(𝑏𝑐)) ∧ (abs‘(𝑋𝑑)) = (abs‘(𝑒𝑓)))) → 𝑐 ∈ (𝐶𝑁))
246216, 245sseldd 3984 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((((𝜑𝑎 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑑 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ (𝑎𝑑 ∧ (abs‘(𝑋𝑎)) = (abs‘(𝑏𝑐)) ∧ (abs‘(𝑋𝑑)) = (abs‘(𝑒𝑓)))) → 𝑐𝐹)
24734, 214, 244, 246subgsubcld 33047 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((((𝜑𝑎 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑑 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ (𝑎𝑑 ∧ (abs‘(𝑋𝑎)) = (abs‘(𝑏𝑐)) ∧ (abs‘(𝑋𝑑)) = (abs‘(𝑒𝑓)))) → (𝑏𝑐) ∈ 𝐹)
248222, 243sseldd 3984 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((((𝜑𝑎 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑑 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ (𝑎𝑑 ∧ (abs‘(𝑋𝑎)) = (abs‘(𝑏𝑐)) ∧ (abs‘(𝑋𝑑)) = (abs‘(𝑒𝑓)))) → 𝑏 ∈ ℂ)
249222, 245sseldd 3984 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((((𝜑𝑎 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑑 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ (𝑎𝑑 ∧ (abs‘(𝑋𝑎)) = (abs‘(𝑏𝑐)) ∧ (abs‘(𝑋𝑑)) = (abs‘(𝑒𝑓)))) → 𝑐 ∈ ℂ)
250248, 249cjsubd 32752 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((((𝜑𝑎 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑑 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ (𝑎𝑑 ∧ (abs‘(𝑋𝑎)) = (abs‘(𝑏𝑐)) ∧ (abs‘(𝑋𝑑)) = (abs‘(𝑒𝑓)))) → (∗‘(𝑏𝑐)) = ((∗‘𝑏) − (∗‘𝑐)))
25136, 226, 243constrconj 33786 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((((𝜑𝑎 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑑 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ (𝑎𝑑 ∧ (abs‘(𝑋𝑎)) = (abs‘(𝑏𝑐)) ∧ (abs‘(𝑋𝑑)) = (abs‘(𝑒𝑓)))) → (∗‘𝑏) ∈ (𝐶𝑁))
252216, 251sseldd 3984 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((((𝜑𝑎 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑑 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ (𝑎𝑑 ∧ (abs‘(𝑋𝑎)) = (abs‘(𝑏𝑐)) ∧ (abs‘(𝑋𝑑)) = (abs‘(𝑒𝑓)))) → (∗‘𝑏) ∈ 𝐹)
25336, 226, 245constrconj 33786 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((((𝜑𝑎 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑑 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ (𝑎𝑑 ∧ (abs‘(𝑋𝑎)) = (abs‘(𝑏𝑐)) ∧ (abs‘(𝑋𝑑)) = (abs‘(𝑒𝑓)))) → (∗‘𝑐) ∈ (𝐶𝑁))
254216, 253sseldd 3984 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((((𝜑𝑎 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑑 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ (𝑎𝑑 ∧ (abs‘(𝑋𝑎)) = (abs‘(𝑏𝑐)) ∧ (abs‘(𝑋𝑑)) = (abs‘(𝑒𝑓)))) → (∗‘𝑐) ∈ 𝐹)
25534, 214, 252, 254subgsubcld 33047 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((((𝜑𝑎 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑑 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ (𝑎𝑑 ∧ (abs‘(𝑋𝑎)) = (abs‘(𝑏𝑐)) ∧ (abs‘(𝑋𝑑)) = (abs‘(𝑒𝑓)))) → ((∗‘𝑏) − (∗‘𝑐)) ∈ 𝐹)
256250, 255eqeltrd 2841 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((((𝜑𝑎 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑑 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ (𝑎𝑑 ∧ (abs‘(𝑋𝑎)) = (abs‘(𝑏𝑐)) ∧ (abs‘(𝑋𝑑)) = (abs‘(𝑒𝑓)))) → (∗‘(𝑏𝑐)) ∈ 𝐹)
25728, 215, 247, 256subrgmcld 33237 . . . . . . . . . . . 12 ((((((((𝜑𝑎 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑑 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ (𝑎𝑑 ∧ (abs‘(𝑋𝑎)) = (abs‘(𝑏𝑐)) ∧ (abs‘(𝑋𝑑)) = (abs‘(𝑒𝑓)))) → ((𝑏𝑐) · (∗‘(𝑏𝑐))) ∈ 𝐹)
25836, 226, 238constrconj 33786 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((((𝜑𝑎 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑑 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ (𝑎𝑑 ∧ (abs‘(𝑋𝑎)) = (abs‘(𝑏𝑐)) ∧ (abs‘(𝑋𝑑)) = (abs‘(𝑒𝑓)))) → (∗‘𝑎) ∈ (𝐶𝑁))
259216, 258sseldd 3984 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((((𝜑𝑎 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑑 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ (𝑎𝑑 ∧ (abs‘(𝑋𝑎)) = (abs‘(𝑏𝑐)) ∧ (abs‘(𝑋𝑑)) = (abs‘(𝑒𝑓)))) → (∗‘𝑎) ∈ 𝐹)
26028, 215, 259, 240subrgmcld 33237 . . . . . . . . . . . 12 ((((((((𝜑𝑎 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑑 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ (𝑎𝑑 ∧ (abs‘(𝑋𝑎)) = (abs‘(𝑏𝑐)) ∧ (abs‘(𝑋𝑑)) = (abs‘(𝑒𝑓)))) → ((∗‘𝑎) · (𝑑 + 𝑎)) ∈ 𝐹)
26134, 214, 257, 260subgsubcld 33047 . . . . . . . . . . 11 ((((((((𝜑𝑎 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑑 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ (𝑎𝑑 ∧ (abs‘(𝑋𝑎)) = (abs‘(𝑏𝑐)) ∧ (abs‘(𝑋𝑑)) = (abs‘(𝑒𝑓)))) → (((𝑏𝑐) · (∗‘(𝑏𝑐))) − ((∗‘𝑎) · (𝑑 + 𝑎))) ∈ 𝐹)
26234, 214, 242, 261subgsubcld 33047 . . . . . . . . . 10 ((((((((𝜑𝑎 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑑 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ (𝑎𝑑 ∧ (abs‘(𝑋𝑎)) = (abs‘(𝑏𝑐)) ∧ (abs‘(𝑋𝑑)) = (abs‘(𝑒𝑓)))) → ((((𝑒𝑓) · (∗‘(𝑒𝑓))) − ((∗‘𝑑) · (𝑑 + 𝑎))) − (((𝑏𝑐) · (∗‘(𝑏𝑐))) − ((∗‘𝑎) · (𝑑 + 𝑎)))) ∈ 𝐹)
26334, 214, 236, 259subgsubcld 33047 . . . . . . . . . 10 ((((((((𝜑𝑎 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑑 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ (𝑎𝑑 ∧ (abs‘(𝑋𝑎)) = (abs‘(𝑏𝑐)) ∧ (abs‘(𝑋𝑑)) = (abs‘(𝑒𝑓)))) → ((∗‘𝑑) − (∗‘𝑎)) ∈ 𝐹)
264222, 234sseldd 3984 . . . . . . . . . . . 12 ((((((((𝜑𝑎 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑑 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ (𝑎𝑑 ∧ (abs‘(𝑋𝑎)) = (abs‘(𝑏𝑐)) ∧ (abs‘(𝑋𝑑)) = (abs‘(𝑒𝑓)))) → 𝑑 ∈ ℂ)
265222, 238sseldd 3984 . . . . . . . . . . . 12 ((((((((𝜑𝑎 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑑 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ (𝑎𝑑 ∧ (abs‘(𝑋𝑎)) = (abs‘(𝑏𝑐)) ∧ (abs‘(𝑋𝑑)) = (abs‘(𝑒𝑓)))) → 𝑎 ∈ ℂ)
266264, 265cjsubd 32752 . . . . . . . . . . 11 ((((((((𝜑𝑎 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑑 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ (𝑎𝑑 ∧ (abs‘(𝑋𝑎)) = (abs‘(𝑏𝑐)) ∧ (abs‘(𝑋𝑑)) = (abs‘(𝑒𝑓)))) → (∗‘(𝑑𝑎)) = ((∗‘𝑑) − (∗‘𝑎)))
267264, 265subcld 11620 . . . . . . . . . . . 12 ((((((((𝜑𝑎 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑑 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ (𝑎𝑑 ∧ (abs‘(𝑋𝑎)) = (abs‘(𝑏𝑐)) ∧ (abs‘(𝑋𝑑)) = (abs‘(𝑒𝑓)))) → (𝑑𝑎) ∈ ℂ)
268 simpr1 1195 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((((𝜑𝑎 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑑 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ (𝑎𝑑 ∧ (abs‘(𝑋𝑎)) = (abs‘(𝑏𝑐)) ∧ (abs‘(𝑋𝑑)) = (abs‘(𝑒𝑓)))) → 𝑎𝑑)
269268necomd 2996 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((((𝜑𝑎 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑑 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ (𝑎𝑑 ∧ (abs‘(𝑋𝑎)) = (abs‘(𝑏𝑐)) ∧ (abs‘(𝑋𝑑)) = (abs‘(𝑒𝑓)))) → 𝑑𝑎)
270264, 265, 269subne0d 11629 . . . . . . . . . . . 12 ((((((((𝜑𝑎 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑑 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ (𝑎𝑑 ∧ (abs‘(𝑋𝑎)) = (abs‘(𝑏𝑐)) ∧ (abs‘(𝑋𝑑)) = (abs‘(𝑒𝑓)))) → (𝑑𝑎) ≠ 0)
271267, 270cjne0d 15242 . . . . . . . . . . 11 ((((((((𝜑𝑎 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑑 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ (𝑎𝑑 ∧ (abs‘(𝑋𝑎)) = (abs‘(𝑏𝑐)) ∧ (abs‘(𝑋𝑑)) = (abs‘(𝑒𝑓)))) → (∗‘(𝑑𝑎)) ≠ 0)
272266, 271eqnetrrd 3009 . . . . . . . . . 10 ((((((((𝜑𝑎 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑑 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ (𝑎𝑑 ∧ (abs‘(𝑋𝑎)) = (abs‘(𝑏𝑐)) ∧ (abs‘(𝑋𝑑)) = (abs‘(𝑒𝑓)))) → ((∗‘𝑑) − (∗‘𝑎)) ≠ 0)
27331, 32, 212, 262, 263, 272sdrgdvcl 33301 . . . . . . . . 9 ((((((((𝜑𝑎 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑑 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ (𝑎𝑑 ∧ (abs‘(𝑋𝑎)) = (abs‘(𝑏𝑐)) ∧ (abs‘(𝑋𝑑)) = (abs‘(𝑒𝑓)))) → (((((𝑒𝑓) · (∗‘(𝑒𝑓))) − ((∗‘𝑑) · (𝑑 + 𝑎))) − (((𝑏𝑐) · (∗‘(𝑏𝑐))) − ((∗‘𝑎) · (𝑑 + 𝑎)))) / ((∗‘𝑑) − (∗‘𝑎))) ∈ 𝐹)
274 df-neg 11495 . . . . . . . . . 10 -(((((∗‘𝑎) · (𝑑 · 𝑎)) − (((𝑏𝑐) · (∗‘(𝑏𝑐))) · 𝑑)) − (((∗‘𝑑) · (𝑑 · 𝑎)) − (((𝑒𝑓) · (∗‘(𝑒𝑓))) · 𝑎))) / ((∗‘𝑑) − (∗‘𝑎))) = (0 − (((((∗‘𝑎) · (𝑑 · 𝑎)) − (((𝑏𝑐) · (∗‘(𝑏𝑐))) · 𝑑)) − (((∗‘𝑑) · (𝑑 · 𝑎)) − (((𝑒𝑓) · (∗‘(𝑒𝑓))) · 𝑎))) / ((∗‘𝑑) − (∗‘𝑎))))
27536, 226constr01 33783 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((((𝜑𝑎 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑑 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ (𝑎𝑑 ∧ (abs‘(𝑋𝑎)) = (abs‘(𝑏𝑐)) ∧ (abs‘(𝑋𝑑)) = (abs‘(𝑒𝑓)))) → {0, 1} ⊆ (𝐶𝑁))
276176a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((((𝜑𝑎 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑑 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ (𝑎𝑑 ∧ (abs‘(𝑋𝑎)) = (abs‘(𝑏𝑐)) ∧ (abs‘(𝑋𝑑)) = (abs‘(𝑒𝑓)))) → 0 ∈ {0, 1})
277275, 276sseldd 3984 . . . . . . . . . . . 12 ((((((((𝜑𝑎 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑑 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ (𝑎𝑑 ∧ (abs‘(𝑋𝑎)) = (abs‘(𝑏𝑐)) ∧ (abs‘(𝑋𝑑)) = (abs‘(𝑒𝑓)))) → 0 ∈ (𝐶𝑁))
278216, 277sseldd 3984 . . . . . . . . . . 11 ((((((((𝜑𝑎 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑑 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ (𝑎𝑑 ∧ (abs‘(𝑋𝑎)) = (abs‘(𝑏𝑐)) ∧ (abs‘(𝑋𝑑)) = (abs‘(𝑒𝑓)))) → 0 ∈ 𝐹)
27928, 215, 237, 239subrgmcld 33237 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((((𝜑𝑎 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑑 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ (𝑎𝑑 ∧ (abs‘(𝑋𝑎)) = (abs‘(𝑏𝑐)) ∧ (abs‘(𝑋𝑑)) = (abs‘(𝑒𝑓)))) → (𝑑 · 𝑎) ∈ 𝐹)
28028, 215, 259, 279subrgmcld 33237 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((((𝜑𝑎 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑑 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ (𝑎𝑑 ∧ (abs‘(𝑋𝑎)) = (abs‘(𝑏𝑐)) ∧ (abs‘(𝑋𝑑)) = (abs‘(𝑒𝑓)))) → ((∗‘𝑎) · (𝑑 · 𝑎)) ∈ 𝐹)
28128, 215, 257, 237subrgmcld 33237 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((((𝜑𝑎 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑑 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ (𝑎𝑑 ∧ (abs‘(𝑋𝑎)) = (abs‘(𝑏𝑐)) ∧ (abs‘(𝑋𝑑)) = (abs‘(𝑒𝑓)))) → (((𝑏𝑐) · (∗‘(𝑏𝑐))) · 𝑑) ∈ 𝐹)
28234, 214, 280, 281subgsubcld 33047 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((((𝜑𝑎 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑑 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ (𝑎𝑑 ∧ (abs‘(𝑋𝑎)) = (abs‘(𝑏𝑐)) ∧ (abs‘(𝑋𝑑)) = (abs‘(𝑒𝑓)))) → (((∗‘𝑎) · (𝑑 · 𝑎)) − (((𝑏𝑐) · (∗‘(𝑏𝑐))) · 𝑑)) ∈ 𝐹)
28328, 215, 236, 279subrgmcld 33237 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((((𝜑𝑎 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑑 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ (𝑎𝑑 ∧ (abs‘(𝑋𝑎)) = (abs‘(𝑏𝑐)) ∧ (abs‘(𝑋𝑑)) = (abs‘(𝑒𝑓)))) → ((∗‘𝑑) · (𝑑 · 𝑎)) ∈ 𝐹)
28428, 215, 233, 239subrgmcld 33237 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((((𝜑𝑎 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑑 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ (𝑎𝑑 ∧ (abs‘(𝑋𝑎)) = (abs‘(𝑏𝑐)) ∧ (abs‘(𝑋𝑑)) = (abs‘(𝑒𝑓)))) → (((𝑒𝑓) · (∗‘(𝑒𝑓))) · 𝑎) ∈ 𝐹)
28534, 214, 283, 284subgsubcld 33047 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((((𝜑𝑎 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑑 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ (𝑎𝑑 ∧ (abs‘(𝑋𝑎)) = (abs‘(𝑏𝑐)) ∧ (abs‘(𝑋𝑑)) = (abs‘(𝑒𝑓)))) → (((∗‘𝑑) · (𝑑 · 𝑎)) − (((𝑒𝑓) · (∗‘(𝑒𝑓))) · 𝑎)) ∈ 𝐹)
28634, 214, 282, 285subgsubcld 33047 . . . . . . . . . . . 12 ((((((((𝜑𝑎 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑑 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ (𝑎𝑑 ∧ (abs‘(𝑋𝑎)) = (abs‘(𝑏𝑐)) ∧ (abs‘(𝑋𝑑)) = (abs‘(𝑒𝑓)))) → ((((∗‘𝑎) · (𝑑 · 𝑎)) − (((𝑏𝑐) · (∗‘(𝑏𝑐))) · 𝑑)) − (((∗‘𝑑) · (𝑑 · 𝑎)) − (((𝑒𝑓) · (∗‘(𝑒𝑓))) · 𝑎))) ∈ 𝐹)
28731, 32, 212, 286, 263, 272sdrgdvcl 33301 . . . . . . . . . . 11 ((((((((𝜑𝑎 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑑 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ (𝑎𝑑 ∧ (abs‘(𝑋𝑎)) = (abs‘(𝑏𝑐)) ∧ (abs‘(𝑋𝑑)) = (abs‘(𝑒𝑓)))) → (((((∗‘𝑎) · (𝑑 · 𝑎)) − (((𝑏𝑐) · (∗‘(𝑏𝑐))) · 𝑑)) − (((∗‘𝑑) · (𝑑 · 𝑎)) − (((𝑒𝑓) · (∗‘(𝑒𝑓))) · 𝑎))) / ((∗‘𝑑) − (∗‘𝑎))) ∈ 𝐹)
28834, 214, 278, 287subgsubcld 33047 . . . . . . . . . 10 ((((((((𝜑𝑎 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑑 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ (𝑎𝑑 ∧ (abs‘(𝑋𝑎)) = (abs‘(𝑏𝑐)) ∧ (abs‘(𝑋𝑑)) = (abs‘(𝑒𝑓)))) → (0 − (((((∗‘𝑎) · (𝑑 · 𝑎)) − (((𝑏𝑐) · (∗‘(𝑏𝑐))) · 𝑑)) − (((∗‘𝑑) · (𝑑 · 𝑎)) − (((𝑒𝑓) · (∗‘(𝑒𝑓))) · 𝑎))) / ((∗‘𝑑) − (∗‘𝑎)))) ∈ 𝐹)
289274, 288eqeltrid 2845 . . . . . . . . 9 ((((((((𝜑𝑎 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑑 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ (𝑎𝑑 ∧ (abs‘(𝑋𝑎)) = (abs‘(𝑏𝑐)) ∧ (abs‘(𝑋𝑑)) = (abs‘(𝑒𝑓)))) → -(((((∗‘𝑎) · (𝑑 · 𝑎)) − (((𝑏𝑐) · (∗‘(𝑏𝑐))) · 𝑑)) − (((∗‘𝑑) · (𝑑 · 𝑎)) − (((𝑒𝑓) · (∗‘(𝑒𝑓))) · 𝑎))) / ((∗‘𝑑) − (∗‘𝑎))) ∈ 𝐹)
290213, 194, 196sylancl 586 . . . . . . . . . . 11 ((((((((𝜑𝑎 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑑 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ (𝑎𝑑 ∧ (abs‘(𝑋𝑎)) = (abs‘(𝑏𝑐)) ∧ (abs‘(𝑋𝑑)) = (abs‘(𝑒𝑓)))) → (2(.g‘(mulGrp‘ℂfld))𝑋) = (𝑋↑2))
291290oveq1d 7446 . . . . . . . . . 10 ((((((((𝜑𝑎 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑑 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ (𝑎𝑑 ∧ (abs‘(𝑋𝑎)) = (abs‘(𝑏𝑐)) ∧ (abs‘(𝑋𝑑)) = (abs‘(𝑒𝑓)))) → ((2(.g‘(mulGrp‘ℂfld))𝑋) + (((((((𝑒𝑓) · (∗‘(𝑒𝑓))) − ((∗‘𝑑) · (𝑑 + 𝑎))) − (((𝑏𝑐) · (∗‘(𝑏𝑐))) − ((∗‘𝑎) · (𝑑 + 𝑎)))) / ((∗‘𝑑) − (∗‘𝑎))) · 𝑋) + -(((((∗‘𝑎) · (𝑑 · 𝑎)) − (((𝑏𝑐) · (∗‘(𝑏𝑐))) · 𝑑)) − (((∗‘𝑑) · (𝑑 · 𝑎)) − (((𝑒𝑓) · (∗‘(𝑒𝑓))) · 𝑎))) / ((∗‘𝑑) − (∗‘𝑎))))) = ((𝑋↑2) + (((((((𝑒𝑓) · (∗‘(𝑒𝑓))) − ((∗‘𝑑) · (𝑑 + 𝑎))) − (((𝑏𝑐) · (∗‘(𝑏𝑐))) − ((∗‘𝑎) · (𝑑 + 𝑎)))) / ((∗‘𝑑) − (∗‘𝑎))) · 𝑋) + -(((((∗‘𝑎) · (𝑑 · 𝑎)) − (((𝑏𝑐) · (∗‘(𝑏𝑐))) · 𝑑)) − (((∗‘𝑑) · (𝑑 · 𝑎)) − (((𝑒𝑓) · (∗‘(𝑒𝑓))) · 𝑎))) / ((∗‘𝑑) − (∗‘𝑎))))))
292 simpr2 1196 . . . . . . . . . . 11 ((((((((𝜑𝑎 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑑 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ (𝑎𝑑 ∧ (abs‘(𝑋𝑎)) = (abs‘(𝑏𝑐)) ∧ (abs‘(𝑋𝑑)) = (abs‘(𝑒𝑓)))) → (abs‘(𝑋𝑎)) = (abs‘(𝑏𝑐)))
293 simpr3 1197 . . . . . . . . . . 11 ((((((((𝜑𝑎 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑑 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ (𝑎𝑑 ∧ (abs‘(𝑋𝑎)) = (abs‘(𝑏𝑐)) ∧ (abs‘(𝑋𝑑)) = (abs‘(𝑒𝑓)))) → (abs‘(𝑋𝑑)) = (abs‘(𝑒𝑓)))
294 eqid 2737 . . . . . . . . . . 11 ((𝑏𝑐) · (∗‘(𝑏𝑐))) = ((𝑏𝑐) · (∗‘(𝑏𝑐)))
295 eqid 2737 . . . . . . . . . . 11 ((𝑒𝑓) · (∗‘(𝑒𝑓))) = ((𝑒𝑓) · (∗‘(𝑒𝑓)))
296 eqid 2737 . . . . . . . . . . 11 (((((𝑒𝑓) · (∗‘(𝑒𝑓))) − ((∗‘𝑑) · (𝑑 + 𝑎))) − (((𝑏𝑐) · (∗‘(𝑏𝑐))) − ((∗‘𝑎) · (𝑑 + 𝑎)))) / ((∗‘𝑑) − (∗‘𝑎))) = (((((𝑒𝑓) · (∗‘(𝑒𝑓))) − ((∗‘𝑑) · (𝑑 + 𝑎))) − (((𝑏𝑐) · (∗‘(𝑏𝑐))) − ((∗‘𝑎) · (𝑑 + 𝑎)))) / ((∗‘𝑑) − (∗‘𝑎)))
297 eqid 2737 . . . . . . . . . . 11 -(((((∗‘𝑎) · (𝑑 · 𝑎)) − (((𝑏𝑐) · (∗‘(𝑏𝑐))) · 𝑑)) − (((∗‘𝑑) · (𝑑 · 𝑎)) − (((𝑒𝑓) · (∗‘(𝑒𝑓))) · 𝑎))) / ((∗‘𝑑) − (∗‘𝑎))) = -(((((∗‘𝑎) · (𝑑 · 𝑎)) − (((𝑏𝑐) · (∗‘(𝑏𝑐))) · 𝑑)) − (((∗‘𝑑) · (𝑑 · 𝑎)) − (((𝑒𝑓) · (∗‘(𝑒𝑓))) · 𝑎))) / ((∗‘𝑑) − (∗‘𝑎)))
298222, 238, 243, 245, 234, 217, 219, 213, 268, 292, 293, 294, 295, 296, 297constrrtcc 33776 . . . . . . . . . 10 ((((((((𝜑𝑎 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑑 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ (𝑎𝑑 ∧ (abs‘(𝑋𝑎)) = (abs‘(𝑏𝑐)) ∧ (abs‘(𝑋𝑑)) = (abs‘(𝑒𝑓)))) → ((𝑋↑2) + (((((((𝑒𝑓) · (∗‘(𝑒𝑓))) − ((∗‘𝑑) · (𝑑 + 𝑎))) − (((𝑏𝑐) · (∗‘(𝑏𝑐))) − ((∗‘𝑎) · (𝑑 + 𝑎)))) / ((∗‘𝑑) − (∗‘𝑎))) · 𝑋) + -(((((∗‘𝑎) · (𝑑 · 𝑎)) − (((𝑏𝑐) · (∗‘(𝑏𝑐))) · 𝑑)) − (((∗‘𝑑) · (𝑑 · 𝑎)) − (((𝑒𝑓) · (∗‘(𝑒𝑓))) · 𝑎))) / ((∗‘𝑑) − (∗‘𝑎))))) = 0)
299291, 298eqtrd 2777 . . . . . . . . 9 ((((((((𝜑𝑎 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑑 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ (𝑎𝑑 ∧ (abs‘(𝑋𝑎)) = (abs‘(𝑏𝑐)) ∧ (abs‘(𝑋𝑑)) = (abs‘(𝑒𝑓)))) → ((2(.g‘(mulGrp‘ℂfld))𝑋) + (((((((𝑒𝑓) · (∗‘(𝑒𝑓))) − ((∗‘𝑑) · (𝑑 + 𝑎))) − (((𝑏𝑐) · (∗‘(𝑏𝑐))) − ((∗‘𝑎) · (𝑑 + 𝑎)))) / ((∗‘𝑑) − (∗‘𝑎))) · 𝑋) + -(((((∗‘𝑎) · (𝑑 · 𝑎)) − (((𝑏𝑐) · (∗‘(𝑏𝑐))) · 𝑑)) − (((∗‘𝑑) · (𝑑 · 𝑎)) − (((𝑒𝑓) · (∗‘(𝑒𝑓))) · 𝑎))) / ((∗‘𝑑) − (∗‘𝑎))))) = 0)
300119, 120, 32, 121, 2, 28, 23, 122, 211, 212, 213, 273, 289, 299rtelextdg2 33768 . . . . . . . 8 ((((((((𝜑𝑎 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑑 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ (𝑎𝑑 ∧ (abs‘(𝑋𝑎)) = (abs‘(𝑏𝑐)) ∧ (abs‘(𝑋𝑑)) = (abs‘(𝑒𝑓)))) → (𝑋𝐹 ∨ (𝐿[:]𝐾) = 2))
301300r19.29an 3158 . . . . . . 7 (((((((𝜑𝑎 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑑 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ ∃𝑓 ∈ (𝐶𝑁)(𝑎𝑑 ∧ (abs‘(𝑋𝑎)) = (abs‘(𝑏𝑐)) ∧ (abs‘(𝑋𝑑)) = (abs‘(𝑒𝑓)))) → (𝑋𝐹 ∨ (𝐿[:]𝐾) = 2))
302301r19.29an 3158 . . . . . 6 ((((((𝜑𝑎 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑑 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ ∃𝑒 ∈ (𝐶𝑁)∃𝑓 ∈ (𝐶𝑁)(𝑎𝑑 ∧ (abs‘(𝑋𝑎)) = (abs‘(𝑏𝑐)) ∧ (abs‘(𝑋𝑑)) = (abs‘(𝑒𝑓)))) → (𝑋𝐹 ∨ (𝐿[:]𝐾) = 2))
303302r19.29an 3158 . . . . 5 (((((𝜑𝑎 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ ∃𝑑 ∈ (𝐶𝑁)∃𝑒 ∈ (𝐶𝑁)∃𝑓 ∈ (𝐶𝑁)(𝑎𝑑 ∧ (abs‘(𝑋𝑎)) = (abs‘(𝑏𝑐)) ∧ (abs‘(𝑋𝑑)) = (abs‘(𝑒𝑓)))) → (𝑋𝐹 ∨ (𝐿[:]𝐾) = 2))
304303r19.29an 3158 . . . 4 ((((𝜑𝑎 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ ∃𝑐 ∈ (𝐶𝑁)∃𝑑 ∈ (𝐶𝑁)∃𝑒 ∈ (𝐶𝑁)∃𝑓 ∈ (𝐶𝑁)(𝑎𝑑 ∧ (abs‘(𝑋𝑎)) = (abs‘(𝑏𝑐)) ∧ (abs‘(𝑋𝑑)) = (abs‘(𝑒𝑓)))) → (𝑋𝐹 ∨ (𝐿[:]𝐾) = 2))
305304r19.29an 3158 . . 3 (((𝜑𝑎 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ ∃𝑏 ∈ (𝐶𝑁)∃𝑐 ∈ (𝐶𝑁)∃𝑑 ∈ (𝐶𝑁)∃𝑒 ∈ (𝐶𝑁)∃𝑓 ∈ (𝐶𝑁)(𝑎𝑑 ∧ (abs‘(𝑋𝑎)) = (abs‘(𝑏𝑐)) ∧ (abs‘(𝑋𝑑)) = (abs‘(𝑒𝑓)))) → (𝑋𝐹 ∨ (𝐿[:]𝐾) = 2))
306305r19.29an 3158 . 2 ((𝜑 ∧ ∃𝑎 ∈ (𝐶𝑁)∃𝑏 ∈ (𝐶𝑁)∃𝑐 ∈ (𝐶𝑁)∃𝑑 ∈ (𝐶𝑁)∃𝑒 ∈ (𝐶𝑁)∃𝑓 ∈ (𝐶𝑁)(𝑎𝑑 ∧ (abs‘(𝑋𝑎)) = (abs‘(𝑏𝑐)) ∧ (abs‘(𝑋𝑑)) = (abs‘(𝑒𝑓)))) → (𝑋𝐹 ∨ (𝐿[:]𝐾) = 2))
307129simprd 495 . 2 (𝜑 → (∃𝑎 ∈ (𝐶𝑁)∃𝑏 ∈ (𝐶𝑁)∃𝑐 ∈ (𝐶𝑁)∃𝑑 ∈ (𝐶𝑁)∃𝑡 ∈ ℝ ∃𝑟 ∈ ℝ (𝑋 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏𝑎))) ∧ 𝑋 = (𝑐 + (𝑟 · (𝑑𝑐))) ∧ (ℑ‘((∗‘(𝑏𝑎)) · (𝑑𝑐))) ≠ 0) ∨ ∃𝑎 ∈ (𝐶𝑁)∃𝑏 ∈ (𝐶𝑁)∃𝑐 ∈ (𝐶𝑁)∃𝑒 ∈ (𝐶𝑁)∃𝑓 ∈ (𝐶𝑁)∃𝑡 ∈ ℝ (𝑋 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏𝑎))) ∧ (abs‘(𝑋𝑐)) = (abs‘(𝑒𝑓))) ∨ ∃𝑎 ∈ (𝐶𝑁)∃𝑏 ∈ (𝐶𝑁)∃𝑐 ∈ (𝐶𝑁)∃𝑑 ∈ (𝐶𝑁)∃𝑒 ∈ (𝐶𝑁)∃𝑓 ∈ (𝐶𝑁)(𝑎𝑑 ∧ (abs‘(𝑋𝑎)) = (abs‘(𝑏𝑐)) ∧ (abs‘(𝑋𝑑)) = (abs‘(𝑒𝑓)))))
308102, 210, 306, 307mpjao3dan 1434 1 (𝜑 → (𝑋𝐹 ∨ (𝐿[:]𝐾) = 2))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395  wo 848  w3o 1086  w3a 1087   = wceq 1540  wcel 2108  wne 2940  wrex 3070  {crab 3436  Vcvv 3480  cun 3949  wss 3951  {csn 4626  {cpr 4628  cmpt 5225  Oncon0 6384  suc csuc 6386  cfv 6561  (class class class)co 7431  reccrdg 8449  cc 11153  cr 11154  0cc0 11155  1c1 11156  ici 11157   + caddc 11158   · cmul 11160  cmin 11492  -cneg 11493   / cdiv 11920  2c2 12321  0cn0 12526  cexp 14102  ccj 15135  cim 15137  abscabs 15273  s cress 17274  0gc0g 17484  .gcmg 19085  SubGrpcsubg 19138  mulGrpcmgp 20137  SubRingcsubrg 20569  Fieldcfield 20730  SubDRingcsdrg 20787  fldccnfld 21364  Poly1cpl1 22178   fldGen cfldgen 33312  [:]cextdg 33692
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-reg 9632  ax-inf2 9681  ax-ac2 10503  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233  ax-addf 11234  ax-mulf 11235
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-tp 4631  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-iin 4994  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-isom 6570  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-of 7697  df-ofr 7698  df-rpss 7743  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-supp 8186  df-tpos 8251  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-2o 8507  df-oadd 8510  df-er 8745  df-ec 8747  df-qs 8751  df-map 8868  df-pm 8869  df-ixp 8938  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-fsupp 9402  df-sup 9482  df-inf 9483  df-oi 9550  df-r1 9804  df-rank 9805  df-dju 9941  df-card 9979  df-acn 9982  df-ac 10156  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-4 12331  df-5 12332  df-6 12333  df-7 12334  df-8 12335  df-9 12336  df-n0 12527  df-xnn0 12600  df-z 12614  df-dec 12734  df-uz 12879  df-rp 13035  df-ico 13393  df-fz 13548  df-fzo 13695  df-seq 14043  df-exp 14103  df-hash 14370  df-cj 15138  df-re 15139  df-im 15140  df-sqrt 15274  df-abs 15275  df-struct 17184  df-sets 17201  df-slot 17219  df-ndx 17231  df-base 17248  df-ress 17275  df-plusg 17310  df-mulr 17311  df-starv 17312  df-sca 17313  df-vsca 17314  df-ip 17315  df-tset 17316  df-ple 17317  df-ocomp 17318  df-ds 17319  df-unif 17320  df-hom 17321  df-cco 17322  df-0g 17486  df-gsum 17487  df-prds 17492  df-pws 17494  df-imas 17553  df-qus 17554  df-mre 17629  df-mrc 17630  df-mri 17631  df-acs 17632  df-proset 18340  df-drs 18341  df-poset 18359  df-ipo 18573  df-mgm 18653  df-sgrp 18732  df-mnd 18748  df-mhm 18796  df-submnd 18797  df-grp 18954  df-minusg 18955  df-sbg 18956  df-mulg 19086  df-subg 19141  df-nsg 19142  df-eqg 19143  df-ghm 19231  df-gim 19277  df-cntz 19335  df-oppg 19364  df-lsm 19654  df-cmn 19800  df-abl 19801  df-mgp 20138  df-rng 20150  df-ur 20179  df-srg 20184  df-ring 20232  df-cring 20233  df-oppr 20334  df-dvdsr 20357  df-unit 20358  df-irred 20359  df-invr 20388  df-dvr 20401  df-rhm 20472  df-nzr 20513  df-subrng 20546  df-subrg 20570  df-rlreg 20694  df-domn 20695  df-idom 20696  df-drng 20731  df-field 20732  df-sdrg 20788  df-lmod 20860  df-lss 20930  df-lsp 20970  df-lmhm 21021  df-lmim 21022  df-lmic 21023  df-lbs 21074  df-lvec 21102  df-sra 21172  df-rgmod 21173  df-lidl 21218  df-rsp 21219  df-2idl 21260  df-lpidl 21332  df-lpir 21333  df-pid 21347  df-cnfld 21365  df-dsmm 21752  df-frlm 21767  df-uvc 21803  df-lindf 21826  df-linds 21827  df-assa 21873  df-asp 21874  df-ascl 21875  df-psr 21929  df-mvr 21930  df-mpl 21931  df-opsr 21933  df-evls 22098  df-evl 22099  df-psr1 22181  df-vr1 22182  df-ply1 22183  df-coe1 22184  df-evls1 22319  df-evl1 22320  df-mdeg 26094  df-deg1 26095  df-mon1 26170  df-uc1p 26171  df-q1p 26172  df-r1p 26173  df-ig1p 26174  df-fldgen 33313  df-mxidl 33488  df-dim 33650  df-fldext 33693  df-extdg 33694  df-irng 33734  df-minply 33743
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