constrelextdg2 - Mathbox for Thierry Arnoux

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Theorem constrelextdg2 33751

Description: If the 𝑁-th step (𝐶‘𝑁) of the construction of constuctible numbers is included in a subfield 𝐹 of the complex numbers, then any element 𝑋 of the next step (𝐶‘suc 𝑁) is either in 𝐹 or in a quadratic extension of 𝐹. (Contributed by Thierry Arnoux, 6-Jul-2025.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
constr0.1	⊢ 𝐶 = rec((𝑠 ∈ V ↦ {𝑥 ∈ ℂ ∣ (∃𝑎 ∈ 𝑠 ∃𝑏 ∈ 𝑠 ∃𝑐 ∈ 𝑠 ∃𝑑 ∈ 𝑠 ∃𝑡 ∈ ℝ ∃𝑟 ∈ ℝ (𝑥 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ 𝑥 = (𝑐 + (𝑟 · (𝑑 − 𝑐))) ∧ (ℑ‘((∗‘(𝑏 − 𝑎)) · (𝑑 − 𝑐))) ≠ 0) ∨ ∃𝑎 ∈ 𝑠 ∃𝑏 ∈ 𝑠 ∃𝑐 ∈ 𝑠 ∃𝑒 ∈ 𝑠 ∃𝑓 ∈ 𝑠 ∃𝑡 ∈ ℝ (𝑥 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ (abs‘(𝑥 − 𝑐)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓))) ∨ ∃𝑎 ∈ 𝑠 ∃𝑏 ∈ 𝑠 ∃𝑐 ∈ 𝑠 ∃𝑑 ∈ 𝑠 ∃𝑒 ∈ 𝑠 ∃𝑓 ∈ 𝑠 (𝑎 ≠ 𝑑 ∧ (abs‘(𝑥 − 𝑎)) = (abs‘(𝑏 − 𝑐)) ∧ (abs‘(𝑥 − 𝑑)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓))))}), {0, 1})
constrelextdg2.k	⊢ 𝐾 = (ℂ_fld ↾_s 𝐹)
constrelextdg2.l	⊢ 𝐿 = (ℂ_fld ↾_s (ℂ_fld fldGen (𝐹 ∪ {𝑋})))
constrelextdg2.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (SubDRing‘ℂ_fld))
constrelextdg2.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ On)
constrelextdg2.1	⊢ (𝜑 → (𝐶‘𝑁) ⊆ 𝐹)
constrelextdg2.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝐶‘suc 𝑁))

**Assertion**
Ref	Expression
constrelextdg2	⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ 𝐹 ∨ (𝐿[:]𝐾) = 2))

Distinct variable groups: 𝐶,𝑎,𝑏,𝑐,𝑑,𝑒,𝑓,𝑟,𝑠,𝑡,𝑥 𝐹,𝑎,𝑏,𝑐,𝑑,𝑒,𝑓,𝑟,𝑡 𝐾,𝑎,𝑏,𝑐,𝑑,𝑒,𝑓,𝑟,𝑡 𝐿,𝑎,𝑏,𝑐,𝑑,𝑒,𝑓,𝑟,𝑡 𝑁,𝑎,𝑏,𝑐,𝑑,𝑒,𝑓,𝑟,𝑠,𝑡,𝑥 𝑋,𝑎,𝑏,𝑐,𝑑,𝑒,𝑓,𝑟,𝑠,𝑡,𝑥 𝜑,𝑎,𝑏,𝑐,𝑑,𝑒,𝑓,𝑟,𝑠,𝑡,𝑥 Allowed substitution hints: 𝐹(𝑥,𝑠) 𝐾(𝑥,𝑠) 𝐿(𝑥,𝑠)

**Proof of Theorem constrelextdg2**
Step	Hyp	Ref	Expression
1		constrelextdg2.f	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (SubDRing‘ℂ_fld))
2		cnfldbas 21385	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ℂ = (Base‘ℂ_fld)
3	2	sdrgss 20810	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐹 ∈ (SubDRing‘ℂ_fld) → 𝐹 ⊆ ℂ)
4	1, 3	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ⊆ ℂ)
5	4	ad7antr 738	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑑 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ 𝑋 = (𝑐 + (𝑟 · (𝑑 − 𝑐))) ∧ (ℑ‘((∗‘(𝑏 − 𝑎)) · (𝑑 − 𝑐))) ≠ 0)) → 𝐹 ⊆ ℂ)
6		constrelextdg2.1	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝐶‘𝑁) ⊆ 𝐹)
7	6	ad7antr 738	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑑 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ 𝑋 = (𝑐 + (𝑟 · (𝑑 − 𝑐))) ∧ (ℑ‘((∗‘(𝑏 − 𝑎)) · (𝑑 − 𝑐))) ≠ 0)) → (𝐶‘𝑁) ⊆ 𝐹)
8		simp-7r 790	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑑 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ 𝑋 = (𝑐 + (𝑟 · (𝑑 − 𝑐))) ∧ (ℑ‘((∗‘(𝑏 − 𝑎)) · (𝑑 − 𝑐))) ≠ 0)) → 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑁))
9	7, 8	sseldd 3995	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑑 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ 𝑋 = (𝑐 + (𝑟 · (𝑑 − 𝑐))) ∧ (ℑ‘((∗‘(𝑏 − 𝑎)) · (𝑑 − 𝑐))) ≠ 0)) → 𝑎 ∈ 𝐹)
10		simp-6r 788	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑑 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ 𝑋 = (𝑐 + (𝑟 · (𝑑 − 𝑐))) ∧ (ℑ‘((∗‘(𝑏 − 𝑎)) · (𝑑 − 𝑐))) ≠ 0)) → 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑁))
11	7, 10	sseldd 3995	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑑 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ 𝑋 = (𝑐 + (𝑟 · (𝑑 − 𝑐))) ∧ (ℑ‘((∗‘(𝑏 − 𝑎)) · (𝑑 − 𝑐))) ≠ 0)) → 𝑏 ∈ 𝐹)
12		simp-5r 786	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑑 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ 𝑋 = (𝑐 + (𝑟 · (𝑑 − 𝑐))) ∧ (ℑ‘((∗‘(𝑏 − 𝑎)) · (𝑑 − 𝑐))) ≠ 0)) → 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑁))
13	7, 12	sseldd 3995	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑑 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ 𝑋 = (𝑐 + (𝑟 · (𝑑 − 𝑐))) ∧ (ℑ‘((∗‘(𝑏 − 𝑎)) · (𝑑 − 𝑐))) ≠ 0)) → 𝑐 ∈ 𝐹)
14		simp-4r 784	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑑 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ 𝑋 = (𝑐 + (𝑟 · (𝑑 − 𝑐))) ∧ (ℑ‘((∗‘(𝑏 − 𝑎)) · (𝑑 − 𝑐))) ≠ 0)) → 𝑑 ∈ (𝐶‘𝑁))
15	7, 14	sseldd 3995	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑑 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ 𝑋 = (𝑐 + (𝑟 · (𝑑 − 𝑐))) ∧ (ℑ‘((∗‘(𝑏 − 𝑎)) · (𝑑 − 𝑐))) ≠ 0)) → 𝑑 ∈ 𝐹)
16		simpllr 776	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑑 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ 𝑋 = (𝑐 + (𝑟 · (𝑑 − 𝑐))) ∧ (ℑ‘((∗‘(𝑏 − 𝑎)) · (𝑑 − 𝑐))) ≠ 0)) → 𝑡 ∈ ℝ)
17		simplr 769	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑑 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ 𝑋 = (𝑐 + (𝑟 · (𝑑 − 𝑐))) ∧ (ℑ‘((∗‘(𝑏 − 𝑎)) · (𝑑 − 𝑐))) ≠ 0)) → 𝑟 ∈ ℝ)
18		simpr1 1193	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑑 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ 𝑋 = (𝑐 + (𝑟 · (𝑑 − 𝑐))) ∧ (ℑ‘((∗‘(𝑏 − 𝑎)) · (𝑑 − 𝑐))) ≠ 0)) → 𝑋 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))))
19		simpr2 1194	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑑 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ 𝑋 = (𝑐 + (𝑟 · (𝑑 − 𝑐))) ∧ (ℑ‘((∗‘(𝑏 − 𝑎)) · (𝑑 − 𝑐))) ≠ 0)) → 𝑋 = (𝑐 + (𝑟 · (𝑑 − 𝑐))))
20		simpr3 1195	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑑 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ 𝑋 = (𝑐 + (𝑟 · (𝑑 − 𝑐))) ∧ (ℑ‘((∗‘(𝑏 − 𝑎)) · (𝑑 − 𝑐))) ≠ 0)) → (ℑ‘((∗‘(𝑏 − 𝑎)) · (𝑑 − 𝑐))) ≠ 0)
21		eqid 2734	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑎 + (((((𝑎 − 𝑐) · ((∗‘𝑑) − (∗‘𝑐))) − (((∗‘𝑎) − (∗‘𝑐)) · (𝑑 − 𝑐))) / ((((∗‘𝑏) − (∗‘𝑎)) · (𝑑 − 𝑐)) − ((𝑏 − 𝑎) · ((∗‘𝑑) − (∗‘𝑐))))) · (𝑏 − 𝑎))) = (𝑎 + (((((𝑎 − 𝑐) · ((∗‘𝑑) − (∗‘𝑐))) − (((∗‘𝑎) − (∗‘𝑐)) · (𝑑 − 𝑐))) / ((((∗‘𝑏) − (∗‘𝑎)) · (𝑑 − 𝑐)) − ((𝑏 − 𝑎) · ((∗‘𝑑) − (∗‘𝑐))))) · (𝑏 − 𝑎)))
22	5, 9, 11, 13, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21	constrrtll 33736	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑑 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ 𝑋 = (𝑐 + (𝑟 · (𝑑 − 𝑐))) ∧ (ℑ‘((∗‘(𝑏 − 𝑎)) · (𝑑 − 𝑐))) ≠ 0)) → 𝑋 = (𝑎 + (((((𝑎 − 𝑐) · ((∗‘𝑑) − (∗‘𝑐))) − (((∗‘𝑎) − (∗‘𝑐)) · (𝑑 − 𝑐))) / ((((∗‘𝑏) − (∗‘𝑎)) · (𝑑 − 𝑐)) − ((𝑏 − 𝑎) · ((∗‘𝑑) − (∗‘𝑐))))) · (𝑏 − 𝑎))))
23		cnfldadd 21387	. . . . . . . . . . 11 ⊢ + = (+_g‘ℂ_fld)
24		sdrgsubrg 20808	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐹 ∈ (SubDRing‘ℂ_fld) → 𝐹 ∈ (SubRing‘ℂ_fld))
25		subrgsubg 20593	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐹 ∈ (SubRing‘ℂ_fld) → 𝐹 ∈ (SubGrp‘ℂ_fld))
26	1, 24, 25	3syl 18	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (SubGrp‘ℂ_fld))
27	26	ad7antr 738	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑑 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ 𝑋 = (𝑐 + (𝑟 · (𝑑 − 𝑐))) ∧ (ℑ‘((∗‘(𝑏 − 𝑎)) · (𝑑 − 𝑐))) ≠ 0)) → 𝐹 ∈ (SubGrp‘ℂ_fld))
28		cnfldmul 21389	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ · = (._r‘ℂ_fld)
29	1, 24	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (SubRing‘ℂ_fld))
30	29	ad7antr 738	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑑 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ 𝑋 = (𝑐 + (𝑟 · (𝑑 − 𝑐))) ∧ (ℑ‘((∗‘(𝑏 − 𝑎)) · (𝑑 − 𝑐))) ≠ 0)) → 𝐹 ∈ (SubRing‘ℂ_fld))
31		cnflddiv 21430	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ / = (/_r‘ℂ_fld)
32		cnfld0 21422	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 0 = (0_g‘ℂ_fld)
33	1	ad7antr 738	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑑 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ 𝑋 = (𝑐 + (𝑟 · (𝑑 − 𝑐))) ∧ (ℑ‘((∗‘(𝑏 − 𝑎)) · (𝑑 − 𝑐))) ≠ 0)) → 𝐹 ∈ (SubDRing‘ℂ_fld))
34		cnfldsub 21427	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ − = (-_g‘ℂ_fld)
35	34, 27, 9, 13	subgsubcld 33029	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑑 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ 𝑋 = (𝑐 + (𝑟 · (𝑑 − 𝑐))) ∧ (ℑ‘((∗‘(𝑏 − 𝑎)) · (𝑑 − 𝑐))) ≠ 0)) → (𝑎 − 𝑐) ∈ 𝐹)
36		constr0.1	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ 𝐶 = rec((𝑠 ∈ V ↦ {𝑥 ∈ ℂ ∣ (∃𝑎 ∈ 𝑠 ∃𝑏 ∈ 𝑠 ∃𝑐 ∈ 𝑠 ∃𝑑 ∈ 𝑠 ∃𝑡 ∈ ℝ ∃𝑟 ∈ ℝ (𝑥 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ 𝑥 = (𝑐 + (𝑟 · (𝑑 − 𝑐))) ∧ (ℑ‘((∗‘(𝑏 − 𝑎)) · (𝑑 − 𝑐))) ≠ 0) ∨ ∃𝑎 ∈ 𝑠 ∃𝑏 ∈ 𝑠 ∃𝑐 ∈ 𝑠 ∃𝑒 ∈ 𝑠 ∃𝑓 ∈ 𝑠 ∃𝑡 ∈ ℝ (𝑥 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ (abs‘(𝑥 − 𝑐)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓))) ∨ ∃𝑎 ∈ 𝑠 ∃𝑏 ∈ 𝑠 ∃𝑐 ∈ 𝑠 ∃𝑑 ∈ 𝑠 ∃𝑒 ∈ 𝑠 ∃𝑓 ∈ 𝑠 (𝑎 ≠ 𝑑 ∧ (abs‘(𝑥 − 𝑎)) = (abs‘(𝑏 − 𝑐)) ∧ (abs‘(𝑥 − 𝑑)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓))))}), {0, 1})
37		constrelextdg2.n	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ On)
38	37	ad7antr 738	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑑 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ 𝑋 = (𝑐 + (𝑟 · (𝑑 − 𝑐))) ∧ (ℑ‘((∗‘(𝑏 − 𝑎)) · (𝑑 − 𝑐))) ≠ 0)) → 𝑁 ∈ On)
39	36, 38, 14	constrconj 33749	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑑 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ 𝑋 = (𝑐 + (𝑟 · (𝑑 − 𝑐))) ∧ (ℑ‘((∗‘(𝑏 − 𝑎)) · (𝑑 − 𝑐))) ≠ 0)) → (∗‘𝑑) ∈ (𝐶‘𝑁))
40	7, 39	sseldd 3995	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑑 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ 𝑋 = (𝑐 + (𝑟 · (𝑑 − 𝑐))) ∧ (ℑ‘((∗‘(𝑏 − 𝑎)) · (𝑑 − 𝑐))) ≠ 0)) → (∗‘𝑑) ∈ 𝐹)
41	36, 38, 12	constrconj 33749	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑑 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ 𝑋 = (𝑐 + (𝑟 · (𝑑 − 𝑐))) ∧ (ℑ‘((∗‘(𝑏 − 𝑎)) · (𝑑 − 𝑐))) ≠ 0)) → (∗‘𝑐) ∈ (𝐶‘𝑁))
42	7, 41	sseldd 3995	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑑 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ 𝑋 = (𝑐 + (𝑟 · (𝑑 − 𝑐))) ∧ (ℑ‘((∗‘(𝑏 − 𝑎)) · (𝑑 − 𝑐))) ≠ 0)) → (∗‘𝑐) ∈ 𝐹)
43	34, 27, 40, 42	subgsubcld 33029	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑑 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ 𝑋 = (𝑐 + (𝑟 · (𝑑 − 𝑐))) ∧ (ℑ‘((∗‘(𝑏 − 𝑎)) · (𝑑 − 𝑐))) ≠ 0)) → ((∗‘𝑑) − (∗‘𝑐)) ∈ 𝐹)
44	28, 30, 35, 43	subrgmcld 33222	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑑 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ 𝑋 = (𝑐 + (𝑟 · (𝑑 − 𝑐))) ∧ (ℑ‘((∗‘(𝑏 − 𝑎)) · (𝑑 − 𝑐))) ≠ 0)) → ((𝑎 − 𝑐) · ((∗‘𝑑) − (∗‘𝑐))) ∈ 𝐹)
45	36, 38, 8	constrconj 33749	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑑 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ 𝑋 = (𝑐 + (𝑟 · (𝑑 − 𝑐))) ∧ (ℑ‘((∗‘(𝑏 − 𝑎)) · (𝑑 − 𝑐))) ≠ 0)) → (∗‘𝑎) ∈ (𝐶‘𝑁))
46	7, 45	sseldd 3995	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑑 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ 𝑋 = (𝑐 + (𝑟 · (𝑑 − 𝑐))) ∧ (ℑ‘((∗‘(𝑏 − 𝑎)) · (𝑑 − 𝑐))) ≠ 0)) → (∗‘𝑎) ∈ 𝐹)
47	34, 27, 46, 42	subgsubcld 33029	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑑 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ 𝑋 = (𝑐 + (𝑟 · (𝑑 − 𝑐))) ∧ (ℑ‘((∗‘(𝑏 − 𝑎)) · (𝑑 − 𝑐))) ≠ 0)) → ((∗‘𝑎) − (∗‘𝑐)) ∈ 𝐹)
48	34, 27, 15, 13	subgsubcld 33029	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑑 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ 𝑋 = (𝑐 + (𝑟 · (𝑑 − 𝑐))) ∧ (ℑ‘((∗‘(𝑏 − 𝑎)) · (𝑑 − 𝑐))) ≠ 0)) → (𝑑 − 𝑐) ∈ 𝐹)
49	28, 30, 47, 48	subrgmcld 33222	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑑 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ 𝑋 = (𝑐 + (𝑟 · (𝑑 − 𝑐))) ∧ (ℑ‘((∗‘(𝑏 − 𝑎)) · (𝑑 − 𝑐))) ≠ 0)) → (((∗‘𝑎) − (∗‘𝑐)) · (𝑑 − 𝑐)) ∈ 𝐹)
50	34, 27, 44, 49	subgsubcld 33029	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑑 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ 𝑋 = (𝑐 + (𝑟 · (𝑑 − 𝑐))) ∧ (ℑ‘((∗‘(𝑏 − 𝑎)) · (𝑑 − 𝑐))) ≠ 0)) → (((𝑎 − 𝑐) · ((∗‘𝑑) − (∗‘𝑐))) − (((∗‘𝑎) − (∗‘𝑐)) · (𝑑 − 𝑐))) ∈ 𝐹)
51	36, 38, 10	constrconj 33749	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑑 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ 𝑋 = (𝑐 + (𝑟 · (𝑑 − 𝑐))) ∧ (ℑ‘((∗‘(𝑏 − 𝑎)) · (𝑑 − 𝑐))) ≠ 0)) → (∗‘𝑏) ∈ (𝐶‘𝑁))
52	7, 51	sseldd 3995	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑑 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ 𝑋 = (𝑐 + (𝑟 · (𝑑 − 𝑐))) ∧ (ℑ‘((∗‘(𝑏 − 𝑎)) · (𝑑 − 𝑐))) ≠ 0)) → (∗‘𝑏) ∈ 𝐹)
53	34, 27, 52, 46	subgsubcld 33029	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑑 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ 𝑋 = (𝑐 + (𝑟 · (𝑑 − 𝑐))) ∧ (ℑ‘((∗‘(𝑏 − 𝑎)) · (𝑑 − 𝑐))) ≠ 0)) → ((∗‘𝑏) − (∗‘𝑎)) ∈ 𝐹)
54	28, 30, 53, 48	subrgmcld 33222	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑑 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ 𝑋 = (𝑐 + (𝑟 · (𝑑 − 𝑐))) ∧ (ℑ‘((∗‘(𝑏 − 𝑎)) · (𝑑 − 𝑐))) ≠ 0)) → (((∗‘𝑏) − (∗‘𝑎)) · (𝑑 − 𝑐)) ∈ 𝐹)
55	34, 27, 11, 9	subgsubcld 33029	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑑 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ 𝑋 = (𝑐 + (𝑟 · (𝑑 − 𝑐))) ∧ (ℑ‘((∗‘(𝑏 − 𝑎)) · (𝑑 − 𝑐))) ≠ 0)) → (𝑏 − 𝑎) ∈ 𝐹)
56	28, 30, 55, 43	subrgmcld 33222	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑑 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ 𝑋 = (𝑐 + (𝑟 · (𝑑 − 𝑐))) ∧ (ℑ‘((∗‘(𝑏 − 𝑎)) · (𝑑 − 𝑐))) ≠ 0)) → ((𝑏 − 𝑎) · ((∗‘𝑑) − (∗‘𝑐))) ∈ 𝐹)
57	34, 27, 54, 56	subgsubcld 33029	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑑 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ 𝑋 = (𝑐 + (𝑟 · (𝑑 − 𝑐))) ∧ (ℑ‘((∗‘(𝑏 − 𝑎)) · (𝑑 − 𝑐))) ≠ 0)) → ((((∗‘𝑏) − (∗‘𝑎)) · (𝑑 − 𝑐)) − ((𝑏 − 𝑎) · ((∗‘𝑑) − (∗‘𝑐)))) ∈ 𝐹)
58	5, 11	sseldd 3995	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑑 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ 𝑋 = (𝑐 + (𝑟 · (𝑑 − 𝑐))) ∧ (ℑ‘((∗‘(𝑏 − 𝑎)) · (𝑑 − 𝑐))) ≠ 0)) → 𝑏 ∈ ℂ)
59	5, 9	sseldd 3995	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑑 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ 𝑋 = (𝑐 + (𝑟 · (𝑑 − 𝑐))) ∧ (ℑ‘((∗‘(𝑏 − 𝑎)) · (𝑑 − 𝑐))) ≠ 0)) → 𝑎 ∈ ℂ)
60	58, 59	cjsubd 32758	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑑 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ 𝑋 = (𝑐 + (𝑟 · (𝑑 − 𝑐))) ∧ (ℑ‘((∗‘(𝑏 − 𝑎)) · (𝑑 − 𝑐))) ≠ 0)) → (∗‘(𝑏 − 𝑎)) = ((∗‘𝑏) − (∗‘𝑎)))
61	60	oveq1d 7445	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑑 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ 𝑋 = (𝑐 + (𝑟 · (𝑑 − 𝑐))) ∧ (ℑ‘((∗‘(𝑏 − 𝑎)) · (𝑑 − 𝑐))) ≠ 0)) → ((∗‘(𝑏 − 𝑎)) · (𝑑 − 𝑐)) = (((∗‘𝑏) − (∗‘𝑎)) · (𝑑 − 𝑐)))
62	5, 55	sseldd 3995	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑑 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ 𝑋 = (𝑐 + (𝑟 · (𝑑 − 𝑐))) ∧ (ℑ‘((∗‘(𝑏 − 𝑎)) · (𝑑 − 𝑐))) ≠ 0)) → (𝑏 − 𝑎) ∈ ℂ)
63	62	cjcld 15231	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑑 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ 𝑋 = (𝑐 + (𝑟 · (𝑑 − 𝑐))) ∧ (ℑ‘((∗‘(𝑏 − 𝑎)) · (𝑑 − 𝑐))) ≠ 0)) → (∗‘(𝑏 − 𝑎)) ∈ ℂ)
64	5, 48	sseldd 3995	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑑 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ 𝑋 = (𝑐 + (𝑟 · (𝑑 − 𝑐))) ∧ (ℑ‘((∗‘(𝑏 − 𝑎)) · (𝑑 − 𝑐))) ≠ 0)) → (𝑑 − 𝑐) ∈ ℂ)
65	63, 64	cjmuld 15256	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑑 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ 𝑋 = (𝑐 + (𝑟 · (𝑑 − 𝑐))) ∧ (ℑ‘((∗‘(𝑏 − 𝑎)) · (𝑑 − 𝑐))) ≠ 0)) → (∗‘((∗‘(𝑏 − 𝑎)) · (𝑑 − 𝑐))) = ((∗‘(∗‘(𝑏 − 𝑎))) · (∗‘(𝑑 − 𝑐))))
66	62	cjcjd 15234	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑑 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ 𝑋 = (𝑐 + (𝑟 · (𝑑 − 𝑐))) ∧ (ℑ‘((∗‘(𝑏 − 𝑎)) · (𝑑 − 𝑐))) ≠ 0)) → (∗‘(∗‘(𝑏 − 𝑎))) = (𝑏 − 𝑎))
67	5, 15	sseldd 3995	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑑 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ 𝑋 = (𝑐 + (𝑟 · (𝑑 − 𝑐))) ∧ (ℑ‘((∗‘(𝑏 − 𝑎)) · (𝑑 − 𝑐))) ≠ 0)) → 𝑑 ∈ ℂ)
68	5, 13	sseldd 3995	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑑 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ 𝑋 = (𝑐 + (𝑟 · (𝑑 − 𝑐))) ∧ (ℑ‘((∗‘(𝑏 − 𝑎)) · (𝑑 − 𝑐))) ≠ 0)) → 𝑐 ∈ ℂ)
69	67, 68	cjsubd 32758	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑑 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ 𝑋 = (𝑐 + (𝑟 · (𝑑 − 𝑐))) ∧ (ℑ‘((∗‘(𝑏 − 𝑎)) · (𝑑 − 𝑐))) ≠ 0)) → (∗‘(𝑑 − 𝑐)) = ((∗‘𝑑) − (∗‘𝑐)))
70	66, 69	oveq12d 7448	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑑 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ 𝑋 = (𝑐 + (𝑟 · (𝑑 − 𝑐))) ∧ (ℑ‘((∗‘(𝑏 − 𝑎)) · (𝑑 − 𝑐))) ≠ 0)) → ((∗‘(∗‘(𝑏 − 𝑎))) · (∗‘(𝑑 − 𝑐))) = ((𝑏 − 𝑎) · ((∗‘𝑑) − (∗‘𝑐))))
71	65, 70	eqtrd 2774	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑑 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ 𝑋 = (𝑐 + (𝑟 · (𝑑 − 𝑐))) ∧ (ℑ‘((∗‘(𝑏 − 𝑎)) · (𝑑 − 𝑐))) ≠ 0)) → (∗‘((∗‘(𝑏 − 𝑎)) · (𝑑 − 𝑐))) = ((𝑏 − 𝑎) · ((∗‘𝑑) − (∗‘𝑐))))
72	61, 71	oveq12d 7448	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑑 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ 𝑋 = (𝑐 + (𝑟 · (𝑑 − 𝑐))) ∧ (ℑ‘((∗‘(𝑏 − 𝑎)) · (𝑑 − 𝑐))) ≠ 0)) → (((∗‘(𝑏 − 𝑎)) · (𝑑 − 𝑐)) − (∗‘((∗‘(𝑏 − 𝑎)) · (𝑑 − 𝑐)))) = ((((∗‘𝑏) − (∗‘𝑎)) · (𝑑 − 𝑐)) − ((𝑏 − 𝑎) · ((∗‘𝑑) − (∗‘𝑐)))))
73	63, 64	mulcld 11278	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑑 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ 𝑋 = (𝑐 + (𝑟 · (𝑑 − 𝑐))) ∧ (ℑ‘((∗‘(𝑏 − 𝑎)) · (𝑑 − 𝑐))) ≠ 0)) → ((∗‘(𝑏 − 𝑎)) · (𝑑 − 𝑐)) ∈ ℂ)
74		imval2 15186	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((∗‘(𝑏 − 𝑎)) · (𝑑 − 𝑐)) ∈ ℂ → (ℑ‘((∗‘(𝑏 − 𝑎)) · (𝑑 − 𝑐))) = ((((∗‘(𝑏 − 𝑎)) · (𝑑 − 𝑐)) − (∗‘((∗‘(𝑏 − 𝑎)) · (𝑑 − 𝑐)))) / (2 · i)))
75	73, 74	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑑 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ 𝑋 = (𝑐 + (𝑟 · (𝑑 − 𝑐))) ∧ (ℑ‘((∗‘(𝑏 − 𝑎)) · (𝑑 − 𝑐))) ≠ 0)) → (ℑ‘((∗‘(𝑏 − 𝑎)) · (𝑑 − 𝑐))) = ((((∗‘(𝑏 − 𝑎)) · (𝑑 − 𝑐)) − (∗‘((∗‘(𝑏 − 𝑎)) · (𝑑 − 𝑐)))) / (2 · i)))
76	75	neeq1d 2997	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑑 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ 𝑋 = (𝑐 + (𝑟 · (𝑑 − 𝑐))) ∧ (ℑ‘((∗‘(𝑏 − 𝑎)) · (𝑑 − 𝑐))) ≠ 0)) → ((ℑ‘((∗‘(𝑏 − 𝑎)) · (𝑑 − 𝑐))) ≠ 0 ↔ ((((∗‘(𝑏 − 𝑎)) · (𝑑 − 𝑐)) − (∗‘((∗‘(𝑏 − 𝑎)) · (𝑑 − 𝑐)))) / (2 · i)) ≠ 0))
77	20, 76	mpbid 232	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑑 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ 𝑋 = (𝑐 + (𝑟 · (𝑑 − 𝑐))) ∧ (ℑ‘((∗‘(𝑏 − 𝑎)) · (𝑑 − 𝑐))) ≠ 0)) → ((((∗‘(𝑏 − 𝑎)) · (𝑑 − 𝑐)) − (∗‘((∗‘(𝑏 − 𝑎)) · (𝑑 − 𝑐)))) / (2 · i)) ≠ 0)
78	73	cjcld 15231	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑑 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ 𝑋 = (𝑐 + (𝑟 · (𝑑 − 𝑐))) ∧ (ℑ‘((∗‘(𝑏 − 𝑎)) · (𝑑 − 𝑐))) ≠ 0)) → (∗‘((∗‘(𝑏 − 𝑎)) · (𝑑 − 𝑐))) ∈ ℂ)
79	73, 78	subcld 11617	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑑 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ 𝑋 = (𝑐 + (𝑟 · (𝑑 − 𝑐))) ∧ (ℑ‘((∗‘(𝑏 − 𝑎)) · (𝑑 − 𝑐))) ≠ 0)) → (((∗‘(𝑏 − 𝑎)) · (𝑑 − 𝑐)) − (∗‘((∗‘(𝑏 − 𝑎)) · (𝑑 − 𝑐)))) ∈ ℂ)
80		2cnd 12341	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑑 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ 𝑋 = (𝑐 + (𝑟 · (𝑑 − 𝑐))) ∧ (ℑ‘((∗‘(𝑏 − 𝑎)) · (𝑑 − 𝑐))) ≠ 0)) → 2 ∈ ℂ)
81		ax-icn 11211	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ i ∈ ℂ
82	81	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑑 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ 𝑋 = (𝑐 + (𝑟 · (𝑑 − 𝑐))) ∧ (ℑ‘((∗‘(𝑏 − 𝑎)) · (𝑑 − 𝑐))) ≠ 0)) → i ∈ ℂ)
83	80, 82	mulcld 11278	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑑 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ 𝑋 = (𝑐 + (𝑟 · (𝑑 − 𝑐))) ∧ (ℑ‘((∗‘(𝑏 − 𝑎)) · (𝑑 − 𝑐))) ≠ 0)) → (2 · i) ∈ ℂ)
84		2cn 12338	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ 2 ∈ ℂ
85		2ne0 12367	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ 2 ≠ 0
86		ine0 11695	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ i ≠ 0
87	84, 81, 85, 86	mulne0i 11903	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (2 · i) ≠ 0
88	87	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑑 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ 𝑋 = (𝑐 + (𝑟 · (𝑑 − 𝑐))) ∧ (ℑ‘((∗‘(𝑏 − 𝑎)) · (𝑑 − 𝑐))) ≠ 0)) → (2 · i) ≠ 0)
89	79, 83, 88	divne0bd 12052	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑑 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ 𝑋 = (𝑐 + (𝑟 · (𝑑 − 𝑐))) ∧ (ℑ‘((∗‘(𝑏 − 𝑎)) · (𝑑 − 𝑐))) ≠ 0)) → ((((∗‘(𝑏 − 𝑎)) · (𝑑 − 𝑐)) − (∗‘((∗‘(𝑏 − 𝑎)) · (𝑑 − 𝑐)))) ≠ 0 ↔ ((((∗‘(𝑏 − 𝑎)) · (𝑑 − 𝑐)) − (∗‘((∗‘(𝑏 − 𝑎)) · (𝑑 − 𝑐)))) / (2 · i)) ≠ 0))
90	77, 89	mpbird 257	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑑 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ 𝑋 = (𝑐 + (𝑟 · (𝑑 − 𝑐))) ∧ (ℑ‘((∗‘(𝑏 − 𝑎)) · (𝑑 − 𝑐))) ≠ 0)) → (((∗‘(𝑏 − 𝑎)) · (𝑑 − 𝑐)) − (∗‘((∗‘(𝑏 − 𝑎)) · (𝑑 − 𝑐)))) ≠ 0)
91	72, 90	eqnetrrd 3006	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑑 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ 𝑋 = (𝑐 + (𝑟 · (𝑑 − 𝑐))) ∧ (ℑ‘((∗‘(𝑏 − 𝑎)) · (𝑑 − 𝑐))) ≠ 0)) → ((((∗‘𝑏) − (∗‘𝑎)) · (𝑑 − 𝑐)) − ((𝑏 − 𝑎) · ((∗‘𝑑) − (∗‘𝑐)))) ≠ 0)
92	31, 32, 33, 50, 57, 91	sdrgdvcl 33280	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑑 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ 𝑋 = (𝑐 + (𝑟 · (𝑑 − 𝑐))) ∧ (ℑ‘((∗‘(𝑏 − 𝑎)) · (𝑑 − 𝑐))) ≠ 0)) → ((((𝑎 − 𝑐) · ((∗‘𝑑) − (∗‘𝑐))) − (((∗‘𝑎) − (∗‘𝑐)) · (𝑑 − 𝑐))) / ((((∗‘𝑏) − (∗‘𝑎)) · (𝑑 − 𝑐)) − ((𝑏 − 𝑎) · ((∗‘𝑑) − (∗‘𝑐))))) ∈ 𝐹)
93	28, 30, 92, 55	subrgmcld 33222	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑑 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ 𝑋 = (𝑐 + (𝑟 · (𝑑 − 𝑐))) ∧ (ℑ‘((∗‘(𝑏 − 𝑎)) · (𝑑 − 𝑐))) ≠ 0)) → (((((𝑎 − 𝑐) · ((∗‘𝑑) − (∗‘𝑐))) − (((∗‘𝑎) − (∗‘𝑐)) · (𝑑 − 𝑐))) / ((((∗‘𝑏) − (∗‘𝑎)) · (𝑑 − 𝑐)) − ((𝑏 − 𝑎) · ((∗‘𝑑) − (∗‘𝑐))))) · (𝑏 − 𝑎)) ∈ 𝐹)
94	23, 27, 9, 93	subgcld 33028	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑑 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ 𝑋 = (𝑐 + (𝑟 · (𝑑 − 𝑐))) ∧ (ℑ‘((∗‘(𝑏 − 𝑎)) · (𝑑 − 𝑐))) ≠ 0)) → (𝑎 + (((((𝑎 − 𝑐) · ((∗‘𝑑) − (∗‘𝑐))) − (((∗‘𝑎) − (∗‘𝑐)) · (𝑑 − 𝑐))) / ((((∗‘𝑏) − (∗‘𝑎)) · (𝑑 − 𝑐)) − ((𝑏 − 𝑎) · ((∗‘𝑑) − (∗‘𝑐))))) · (𝑏 − 𝑎))) ∈ 𝐹)
95	22, 94	eqeltrd 2838	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑑 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ 𝑋 = (𝑐 + (𝑟 · (𝑑 − 𝑐))) ∧ (ℑ‘((∗‘(𝑏 − 𝑎)) · (𝑑 − 𝑐))) ≠ 0)) → 𝑋 ∈ 𝐹)
96	95	orcd 873	. . . . . . . 8 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑑 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ 𝑋 = (𝑐 + (𝑟 · (𝑑 − 𝑐))) ∧ (ℑ‘((∗‘(𝑏 − 𝑎)) · (𝑑 − 𝑐))) ≠ 0)) → (𝑋 ∈ 𝐹 ∨ (𝐿[:]𝐾) = 2))
97	96	r19.29an 3155	. . . . . . 7 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑑 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ ∃𝑟 ∈ ℝ (𝑋 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ 𝑋 = (𝑐 + (𝑟 · (𝑑 − 𝑐))) ∧ (ℑ‘((∗‘(𝑏 − 𝑎)) · (𝑑 − 𝑐))) ≠ 0)) → (𝑋 ∈ 𝐹 ∨ (𝐿[:]𝐾) = 2))
98	97	r19.29an 3155	. . . . . 6 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑑 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ ∃𝑡 ∈ ℝ ∃𝑟 ∈ ℝ (𝑋 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ 𝑋 = (𝑐 + (𝑟 · (𝑑 − 𝑐))) ∧ (ℑ‘((∗‘(𝑏 − 𝑎)) · (𝑑 − 𝑐))) ≠ 0)) → (𝑋 ∈ 𝐹 ∨ (𝐿[:]𝐾) = 2))
99	98	r19.29an 3155	. . . . 5 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ ∃𝑑 ∈ (𝐶‘𝑁)∃𝑡 ∈ ℝ ∃𝑟 ∈ ℝ (𝑋 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ 𝑋 = (𝑐 + (𝑟 · (𝑑 − 𝑐))) ∧ (ℑ‘((∗‘(𝑏 − 𝑎)) · (𝑑 − 𝑐))) ≠ 0)) → (𝑋 ∈ 𝐹 ∨ (𝐿[:]𝐾) = 2))
100	99	r19.29an 3155	. . . 4 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ ∃𝑐 ∈ (𝐶‘𝑁)∃𝑑 ∈ (𝐶‘𝑁)∃𝑡 ∈ ℝ ∃𝑟 ∈ ℝ (𝑋 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ 𝑋 = (𝑐 + (𝑟 · (𝑑 − 𝑐))) ∧ (ℑ‘((∗‘(𝑏 − 𝑎)) · (𝑑 − 𝑐))) ≠ 0)) → (𝑋 ∈ 𝐹 ∨ (𝐿[:]𝐾) = 2))
101	100	r19.29an 3155	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ ∃𝑏 ∈ (𝐶‘𝑁)∃𝑐 ∈ (𝐶‘𝑁)∃𝑑 ∈ (𝐶‘𝑁)∃𝑡 ∈ ℝ ∃𝑟 ∈ ℝ (𝑋 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ 𝑋 = (𝑐 + (𝑟 · (𝑑 − 𝑐))) ∧ (ℑ‘((∗‘(𝑏 − 𝑎)) · (𝑑 − 𝑐))) ≠ 0)) → (𝑋 ∈ 𝐹 ∨ (𝐿[:]𝐾) = 2))
102	101	r19.29an 3155	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ ∃𝑎 ∈ (𝐶‘𝑁)∃𝑏 ∈ (𝐶‘𝑁)∃𝑐 ∈ (𝐶‘𝑁)∃𝑑 ∈ (𝐶‘𝑁)∃𝑡 ∈ ℝ ∃𝑟 ∈ ℝ (𝑋 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ 𝑋 = (𝑐 + (𝑟 · (𝑑 − 𝑐))) ∧ (ℑ‘((∗‘(𝑏 − 𝑎)) · (𝑑 − 𝑐))) ≠ 0)) → (𝑋 ∈ 𝐹 ∨ (𝐿[:]𝐾) = 2))
103	36, 37	constrsscn 33744	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝐶‘𝑁) ⊆ ℂ)
104	103	ad8antr 740	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ (abs‘(𝑋 − 𝑐)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))) ∧ 𝑎 = 𝑏) → (𝐶‘𝑁) ⊆ ℂ)
105		simp-8r 792	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ (abs‘(𝑋 − 𝑐)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))) ∧ 𝑎 = 𝑏) → 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑁))
106		simp-7r 790	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ (abs‘(𝑋 − 𝑐)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))) ∧ 𝑎 = 𝑏) → 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑁))
107		simp-6r 788	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ (abs‘(𝑋 − 𝑐)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))) ∧ 𝑎 = 𝑏) → 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑁))
108		simp-5r 786	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ (abs‘(𝑋 − 𝑐)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))) ∧ 𝑎 = 𝑏) → 𝑒 ∈ (𝐶‘𝑁))
109		simp-4r 784	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ (abs‘(𝑋 − 𝑐)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))) ∧ 𝑎 = 𝑏) → 𝑓 ∈ (𝐶‘𝑁))
110		simpllr 776	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ (abs‘(𝑋 − 𝑐)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))) ∧ 𝑎 = 𝑏) → 𝑡 ∈ ℝ)
111		simplrl 777	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ (abs‘(𝑋 − 𝑐)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))) ∧ 𝑎 = 𝑏) → 𝑋 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))))
112		simplrr 778	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ (abs‘(𝑋 − 𝑐)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))) ∧ 𝑎 = 𝑏) → (abs‘(𝑋 − 𝑐)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))
113		simpr 484	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ (abs‘(𝑋 − 𝑐)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))) ∧ 𝑎 = 𝑏) → 𝑎 = 𝑏)
114	104, 105, 106, 107, 108, 109, 110, 111, 112, 113	constrrtlc2 33738	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ (abs‘(𝑋 − 𝑐)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))) ∧ 𝑎 = 𝑏) → 𝑋 = 𝑎)
115	6	ad8antr 740	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ (abs‘(𝑋 − 𝑐)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))) ∧ 𝑎 = 𝑏) → (𝐶‘𝑁) ⊆ 𝐹)
116	115, 105	sseldd 3995	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ (abs‘(𝑋 − 𝑐)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))) ∧ 𝑎 = 𝑏) → 𝑎 ∈ 𝐹)
117	114, 116	eqeltrd 2838	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ (abs‘(𝑋 − 𝑐)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))) ∧ 𝑎 = 𝑏) → 𝑋 ∈ 𝐹)
118	117	orcd 873	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ (abs‘(𝑋 − 𝑐)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))) ∧ 𝑎 = 𝑏) → (𝑋 ∈ 𝐹 ∨ (𝐿[:]𝐾) = 2))
119		constrelextdg2.k	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐾 = (ℂ_fld ↾_s 𝐹)
120		constrelextdg2.l	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐿 = (ℂ_fld ↾_s (ℂ_fld fldGen (𝐹 ∪ {𝑋})))
121		eqid 2734	. . . . . . . . . 10 ⊢ (Poly₁‘𝐾) = (Poly₁‘𝐾)
122		eqid 2734	. . . . . . . . . 10 ⊢ (._g‘(mulGrp‘ℂ_fld)) = (._g‘(mulGrp‘ℂ_fld))
123		cnfldfld 33350	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ℂ_fld ∈ Field
124	123	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ (abs‘(𝑋 − 𝑐)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) → ℂ_fld ∈ Field)
125	1	ad8antr 740	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ (abs‘(𝑋 − 𝑐)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) → 𝐹 ∈ (SubDRing‘ℂ_fld))
126		constrelextdg2.x	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝐶‘suc 𝑁))
127		eqid 2734	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐶‘𝑁) = (𝐶‘𝑁)
128	36, 37, 127	constrsuc 33742	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ (𝐶‘suc 𝑁) ↔ (𝑋 ∈ ℂ ∧ (∃𝑎 ∈ (𝐶‘𝑁)∃𝑏 ∈ (𝐶‘𝑁)∃𝑐 ∈ (𝐶‘𝑁)∃𝑑 ∈ (𝐶‘𝑁)∃𝑡 ∈ ℝ ∃𝑟 ∈ ℝ (𝑋 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ 𝑋 = (𝑐 + (𝑟 · (𝑑 − 𝑐))) ∧ (ℑ‘((∗‘(𝑏 − 𝑎)) · (𝑑 − 𝑐))) ≠ 0) ∨ ∃𝑎 ∈ (𝐶‘𝑁)∃𝑏 ∈ (𝐶‘𝑁)∃𝑐 ∈ (𝐶‘𝑁)∃𝑒 ∈ (𝐶‘𝑁)∃𝑓 ∈ (𝐶‘𝑁)∃𝑡 ∈ ℝ (𝑋 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ (abs‘(𝑋 − 𝑐)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓))) ∨ ∃𝑎 ∈ (𝐶‘𝑁)∃𝑏 ∈ (𝐶‘𝑁)∃𝑐 ∈ (𝐶‘𝑁)∃𝑑 ∈ (𝐶‘𝑁)∃𝑒 ∈ (𝐶‘𝑁)∃𝑓 ∈ (𝐶‘𝑁)(𝑎 ≠ 𝑑 ∧ (abs‘(𝑋 − 𝑎)) = (abs‘(𝑏 − 𝑐)) ∧ (abs‘(𝑋 − 𝑑)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))))))
129	126, 128	mpbid 232	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ ℂ ∧ (∃𝑎 ∈ (𝐶‘𝑁)∃𝑏 ∈ (𝐶‘𝑁)∃𝑐 ∈ (𝐶‘𝑁)∃𝑑 ∈ (𝐶‘𝑁)∃𝑡 ∈ ℝ ∃𝑟 ∈ ℝ (𝑋 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ 𝑋 = (𝑐 + (𝑟 · (𝑑 − 𝑐))) ∧ (ℑ‘((∗‘(𝑏 − 𝑎)) · (𝑑 − 𝑐))) ≠ 0) ∨ ∃𝑎 ∈ (𝐶‘𝑁)∃𝑏 ∈ (𝐶‘𝑁)∃𝑐 ∈ (𝐶‘𝑁)∃𝑒 ∈ (𝐶‘𝑁)∃𝑓 ∈ (𝐶‘𝑁)∃𝑡 ∈ ℝ (𝑋 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ (abs‘(𝑋 − 𝑐)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓))) ∨ ∃𝑎 ∈ (𝐶‘𝑁)∃𝑏 ∈ (𝐶‘𝑁)∃𝑐 ∈ (𝐶‘𝑁)∃𝑑 ∈ (𝐶‘𝑁)∃𝑒 ∈ (𝐶‘𝑁)∃𝑓 ∈ (𝐶‘𝑁)(𝑎 ≠ 𝑑 ∧ (abs‘(𝑋 − 𝑎)) = (abs‘(𝑏 − 𝑐)) ∧ (abs‘(𝑋 − 𝑑)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓))))))
130	129	simpld 494	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℂ)
131	130	ad8antr 740	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ (abs‘(𝑋 − 𝑐)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) → 𝑋 ∈ ℂ)
132	26	ad8antr 740	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ (abs‘(𝑋 − 𝑐)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) → 𝐹 ∈ (SubGrp‘ℂ_fld))
133	6	ad8antr 740	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ (abs‘(𝑋 − 𝑐)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) → (𝐶‘𝑁) ⊆ 𝐹)
134	37	ad8antr 740	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ (abs‘(𝑋 − 𝑐)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) → 𝑁 ∈ On)
135		simp-8r 792	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ (abs‘(𝑋 − 𝑐)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) → 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑁))
136	36, 134, 135	constrconj 33749	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ (abs‘(𝑋 − 𝑐)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) → (∗‘𝑎) ∈ (𝐶‘𝑁))
137	133, 136	sseldd 3995	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ (abs‘(𝑋 − 𝑐)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) → (∗‘𝑎) ∈ 𝐹)
138	125, 24	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ (abs‘(𝑋 − 𝑐)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) → 𝐹 ∈ (SubRing‘ℂ_fld))
139	133, 135	sseldd 3995	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ (abs‘(𝑋 − 𝑐)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) → 𝑎 ∈ 𝐹)
140		simp-7r 790	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ (abs‘(𝑋 − 𝑐)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) → 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑁))
141	36, 134, 140	constrconj 33749	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ (abs‘(𝑋 − 𝑐)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) → (∗‘𝑏) ∈ (𝐶‘𝑁))
142	133, 141	sseldd 3995	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ (abs‘(𝑋 − 𝑐)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) → (∗‘𝑏) ∈ 𝐹)
143	34, 132, 142, 137	subgsubcld 33029	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ (abs‘(𝑋 − 𝑐)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) → ((∗‘𝑏) − (∗‘𝑎)) ∈ 𝐹)
144	133, 140	sseldd 3995	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ (abs‘(𝑋 − 𝑐)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) → 𝑏 ∈ 𝐹)
145	34, 132, 144, 139	subgsubcld 33029	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ (abs‘(𝑋 − 𝑐)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) → (𝑏 − 𝑎) ∈ 𝐹)
146	103	ad8antr 740	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ (abs‘(𝑋 − 𝑐)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) → (𝐶‘𝑁) ⊆ ℂ)
147	146, 140	sseldd 3995	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ (abs‘(𝑋 − 𝑐)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) → 𝑏 ∈ ℂ)
148	146, 135	sseldd 3995	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ (abs‘(𝑋 − 𝑐)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) → 𝑎 ∈ ℂ)
149		simpr 484	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ (abs‘(𝑋 − 𝑐)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) → 𝑎 ≠ 𝑏)
150	149	necomd 2993	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ (abs‘(𝑋 − 𝑐)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) → 𝑏 ≠ 𝑎)
151	147, 148, 150	subne0d 11626	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ (abs‘(𝑋 − 𝑐)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) → (𝑏 − 𝑎) ≠ 0)
152	31, 32, 125, 143, 145, 151	sdrgdvcl 33280	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ (abs‘(𝑋 − 𝑐)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) → (((∗‘𝑏) − (∗‘𝑎)) / (𝑏 − 𝑎)) ∈ 𝐹)
153	28, 138, 139, 152	subrgmcld 33222	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ (abs‘(𝑋 − 𝑐)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) → (𝑎 · (((∗‘𝑏) − (∗‘𝑎)) / (𝑏 − 𝑎))) ∈ 𝐹)
154	34, 132, 137, 153	subgsubcld 33029	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ (abs‘(𝑋 − 𝑐)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) → ((∗‘𝑎) − (𝑎 · (((∗‘𝑏) − (∗‘𝑎)) / (𝑏 − 𝑎)))) ∈ 𝐹)
155		simp-6r 788	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ (abs‘(𝑋 − 𝑐)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) → 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑁))
156	36, 134, 155	constrconj 33749	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ (abs‘(𝑋 − 𝑐)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) → (∗‘𝑐) ∈ (𝐶‘𝑁))
157	133, 156	sseldd 3995	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ (abs‘(𝑋 − 𝑐)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) → (∗‘𝑐) ∈ 𝐹)
158	34, 132, 154, 157	subgsubcld 33029	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ (abs‘(𝑋 − 𝑐)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) → (((∗‘𝑎) − (𝑎 · (((∗‘𝑏) − (∗‘𝑎)) / (𝑏 − 𝑎)))) − (∗‘𝑐)) ∈ 𝐹)
159	133, 155	sseldd 3995	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ (abs‘(𝑋 − 𝑐)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) → 𝑐 ∈ 𝐹)
160	28, 138, 159, 152	subrgmcld 33222	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ (abs‘(𝑋 − 𝑐)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) → (𝑐 · (((∗‘𝑏) − (∗‘𝑎)) / (𝑏 − 𝑎))) ∈ 𝐹)
161	34, 132, 158, 160	subgsubcld 33029	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ (abs‘(𝑋 − 𝑐)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) → ((((∗‘𝑎) − (𝑎 · (((∗‘𝑏) − (∗‘𝑎)) / (𝑏 − 𝑎)))) − (∗‘𝑐)) − (𝑐 · (((∗‘𝑏) − (∗‘𝑎)) / (𝑏 − 𝑎)))) ∈ 𝐹)
162		simp-5r 786	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ (abs‘(𝑋 − 𝑐)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) → 𝑒 ∈ (𝐶‘𝑁))
163		simp-4r 784	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ (abs‘(𝑋 − 𝑐)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) → 𝑓 ∈ (𝐶‘𝑁))
164		simpllr 776	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ (abs‘(𝑋 − 𝑐)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) → 𝑡 ∈ ℝ)
165		simplrl 777	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ (abs‘(𝑋 − 𝑐)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) → 𝑋 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))))
166		simplrr 778	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ (abs‘(𝑋 − 𝑐)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) → (abs‘(𝑋 − 𝑐)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))
167		eqid 2734	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((∗‘𝑏) − (∗‘𝑎)) / (𝑏 − 𝑎)) = (((∗‘𝑏) − (∗‘𝑎)) / (𝑏 − 𝑎))
168		eqid 2734	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((∗‘𝑎) − (𝑎 · (((∗‘𝑏) − (∗‘𝑎)) / (𝑏 − 𝑎)))) − (∗‘𝑐)) − (𝑐 · (((∗‘𝑏) − (∗‘𝑎)) / (𝑏 − 𝑎)))) / (((∗‘𝑏) − (∗‘𝑎)) / (𝑏 − 𝑎))) = (((((∗‘𝑎) − (𝑎 · (((∗‘𝑏) − (∗‘𝑎)) / (𝑏 − 𝑎)))) − (∗‘𝑐)) − (𝑐 · (((∗‘𝑏) − (∗‘𝑎)) / (𝑏 − 𝑎)))) / (((∗‘𝑏) − (∗‘𝑎)) / (𝑏 − 𝑎)))
169		eqid 2734	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (-((𝑐 · (((∗‘𝑎) − (𝑎 · (((∗‘𝑏) − (∗‘𝑎)) / (𝑏 − 𝑎)))) − (∗‘𝑐))) + ((𝑒 − 𝑓) · ((∗‘𝑒) − (∗‘𝑓)))) / (((∗‘𝑏) − (∗‘𝑎)) / (𝑏 − 𝑎))) = (-((𝑐 · (((∗‘𝑎) − (𝑎 · (((∗‘𝑏) − (∗‘𝑎)) / (𝑏 − 𝑎)))) − (∗‘𝑐))) + ((𝑒 − 𝑓) · ((∗‘𝑒) − (∗‘𝑓)))) / (((∗‘𝑏) − (∗‘𝑎)) / (𝑏 − 𝑎)))
170	146, 135, 140, 155, 162, 163, 164, 165, 166, 167, 168, 169, 149	constrrtlc1 33737	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ (abs‘(𝑋 − 𝑐)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) → (((𝑋↑2) + (((((((∗‘𝑎) − (𝑎 · (((∗‘𝑏) − (∗‘𝑎)) / (𝑏 − 𝑎)))) − (∗‘𝑐)) − (𝑐 · (((∗‘𝑏) − (∗‘𝑎)) / (𝑏 − 𝑎)))) / (((∗‘𝑏) − (∗‘𝑎)) / (𝑏 − 𝑎))) · 𝑋) + (-((𝑐 · (((∗‘𝑎) − (𝑎 · (((∗‘𝑏) − (∗‘𝑎)) / (𝑏 − 𝑎)))) − (∗‘𝑐))) + ((𝑒 − 𝑓) · ((∗‘𝑒) − (∗‘𝑓)))) / (((∗‘𝑏) − (∗‘𝑎)) / (𝑏 − 𝑎))))) = 0 ∧ (((∗‘𝑏) − (∗‘𝑎)) / (𝑏 − 𝑎)) ≠ 0))
171	170	simprd 495	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ (abs‘(𝑋 − 𝑐)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) → (((∗‘𝑏) − (∗‘𝑎)) / (𝑏 − 𝑎)) ≠ 0)
172	31, 32, 125, 161, 152, 171	sdrgdvcl 33280	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ (abs‘(𝑋 − 𝑐)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) → (((((∗‘𝑎) − (𝑎 · (((∗‘𝑏) − (∗‘𝑎)) / (𝑏 − 𝑎)))) − (∗‘𝑐)) − (𝑐 · (((∗‘𝑏) − (∗‘𝑎)) / (𝑏 − 𝑎)))) / (((∗‘𝑏) − (∗‘𝑎)) / (𝑏 − 𝑎))) ∈ 𝐹)
173		df-neg 11492	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ -((𝑐 · (((∗‘𝑎) − (𝑎 · (((∗‘𝑏) − (∗‘𝑎)) / (𝑏 − 𝑎)))) − (∗‘𝑐))) + ((𝑒 − 𝑓) · ((∗‘𝑒) − (∗‘𝑓)))) = (0 − ((𝑐 · (((∗‘𝑎) − (𝑎 · (((∗‘𝑏) − (∗‘𝑎)) / (𝑏 − 𝑎)))) − (∗‘𝑐))) + ((𝑒 − 𝑓) · ((∗‘𝑒) − (∗‘𝑓)))))
174	36, 134	constr01 33746	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ (abs‘(𝑋 − 𝑐)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) → {0, 1} ⊆ (𝐶‘𝑁))
175	32	fvexi 6920	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 0 ∈ V
176	175	prid1 4766	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 0 ∈ {0, 1}
177	176	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ (abs‘(𝑋 − 𝑐)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) → 0 ∈ {0, 1})
178	174, 177	sseldd 3995	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ (abs‘(𝑋 − 𝑐)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) → 0 ∈ (𝐶‘𝑁))
179	133, 178	sseldd 3995	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ (abs‘(𝑋 − 𝑐)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) → 0 ∈ 𝐹)
180	28, 138, 159, 158	subrgmcld 33222	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ (abs‘(𝑋 − 𝑐)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) → (𝑐 · (((∗‘𝑎) − (𝑎 · (((∗‘𝑏) − (∗‘𝑎)) / (𝑏 − 𝑎)))) − (∗‘𝑐))) ∈ 𝐹)
181	133, 162	sseldd 3995	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ (abs‘(𝑋 − 𝑐)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) → 𝑒 ∈ 𝐹)
182	133, 163	sseldd 3995	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ (abs‘(𝑋 − 𝑐)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) → 𝑓 ∈ 𝐹)
183	34, 132, 181, 182	subgsubcld 33029	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ (abs‘(𝑋 − 𝑐)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) → (𝑒 − 𝑓) ∈ 𝐹)
184	36, 134, 162	constrconj 33749	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ (abs‘(𝑋 − 𝑐)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) → (∗‘𝑒) ∈ (𝐶‘𝑁))
185	133, 184	sseldd 3995	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ (abs‘(𝑋 − 𝑐)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) → (∗‘𝑒) ∈ 𝐹)
186	36, 134, 163	constrconj 33749	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ (abs‘(𝑋 − 𝑐)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) → (∗‘𝑓) ∈ (𝐶‘𝑁))
187	133, 186	sseldd 3995	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ (abs‘(𝑋 − 𝑐)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) → (∗‘𝑓) ∈ 𝐹)
188	34, 132, 185, 187	subgsubcld 33029	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ (abs‘(𝑋 − 𝑐)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) → ((∗‘𝑒) − (∗‘𝑓)) ∈ 𝐹)
189	28, 138, 183, 188	subrgmcld 33222	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ (abs‘(𝑋 − 𝑐)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) → ((𝑒 − 𝑓) · ((∗‘𝑒) − (∗‘𝑓))) ∈ 𝐹)
190	23, 132, 180, 189	subgcld 33028	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ (abs‘(𝑋 − 𝑐)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) → ((𝑐 · (((∗‘𝑎) − (𝑎 · (((∗‘𝑏) − (∗‘𝑎)) / (𝑏 − 𝑎)))) − (∗‘𝑐))) + ((𝑒 − 𝑓) · ((∗‘𝑒) − (∗‘𝑓)))) ∈ 𝐹)
191	34, 132, 179, 190	subgsubcld 33029	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ (abs‘(𝑋 − 𝑐)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) → (0 − ((𝑐 · (((∗‘𝑎) − (𝑎 · (((∗‘𝑏) − (∗‘𝑎)) / (𝑏 − 𝑎)))) − (∗‘𝑐))) + ((𝑒 − 𝑓) · ((∗‘𝑒) − (∗‘𝑓))))) ∈ 𝐹)
192	173, 191	eqeltrid 2842	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ (abs‘(𝑋 − 𝑐)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) → -((𝑐 · (((∗‘𝑎) − (𝑎 · (((∗‘𝑏) − (∗‘𝑎)) / (𝑏 − 𝑎)))) − (∗‘𝑐))) + ((𝑒 − 𝑓) · ((∗‘𝑒) − (∗‘𝑓)))) ∈ 𝐹)
193	31, 32, 125, 192, 152, 171	sdrgdvcl 33280	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ (abs‘(𝑋 − 𝑐)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) → (-((𝑐 · (((∗‘𝑎) − (𝑎 · (((∗‘𝑏) − (∗‘𝑎)) / (𝑏 − 𝑎)))) − (∗‘𝑐))) + ((𝑒 − 𝑓) · ((∗‘𝑒) − (∗‘𝑓)))) / (((∗‘𝑏) − (∗‘𝑎)) / (𝑏 − 𝑎))) ∈ 𝐹)
194		2nn0 12540	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 2 ∈ ℕ₀
195	194	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ (abs‘(𝑋 − 𝑐)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) → 2 ∈ ℕ₀)
196		cnfldexp 21434	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑋 ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℕ₀) → (2(._g‘(mulGrp‘ℂ_fld))𝑋) = (𝑋↑2))
197	131, 195, 196	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ (abs‘(𝑋 − 𝑐)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) → (2(._g‘(mulGrp‘ℂ_fld))𝑋) = (𝑋↑2))
198	197	oveq1d 7445	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ (abs‘(𝑋 − 𝑐)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) → ((2(._g‘(mulGrp‘ℂ_fld))𝑋) + (((((((∗‘𝑎) − (𝑎 · (((∗‘𝑏) − (∗‘𝑎)) / (𝑏 − 𝑎)))) − (∗‘𝑐)) − (𝑐 · (((∗‘𝑏) − (∗‘𝑎)) / (𝑏 − 𝑎)))) / (((∗‘𝑏) − (∗‘𝑎)) / (𝑏 − 𝑎))) · 𝑋) + (-((𝑐 · (((∗‘𝑎) − (𝑎 · (((∗‘𝑏) − (∗‘𝑎)) / (𝑏 − 𝑎)))) − (∗‘𝑐))) + ((𝑒 − 𝑓) · ((∗‘𝑒) − (∗‘𝑓)))) / (((∗‘𝑏) − (∗‘𝑎)) / (𝑏 − 𝑎))))) = ((𝑋↑2) + (((((((∗‘𝑎) − (𝑎 · (((∗‘𝑏) − (∗‘𝑎)) / (𝑏 − 𝑎)))) − (∗‘𝑐)) − (𝑐 · (((∗‘𝑏) − (∗‘𝑎)) / (𝑏 − 𝑎)))) / (((∗‘𝑏) − (∗‘𝑎)) / (𝑏 − 𝑎))) · 𝑋) + (-((𝑐 · (((∗‘𝑎) − (𝑎 · (((∗‘𝑏) − (∗‘𝑎)) / (𝑏 − 𝑎)))) − (∗‘𝑐))) + ((𝑒 − 𝑓) · ((∗‘𝑒) − (∗‘𝑓)))) / (((∗‘𝑏) − (∗‘𝑎)) / (𝑏 − 𝑎))))))
199	170	simpld 494	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ (abs‘(𝑋 − 𝑐)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) → ((𝑋↑2) + (((((((∗‘𝑎) − (𝑎 · (((∗‘𝑏) − (∗‘𝑎)) / (𝑏 − 𝑎)))) − (∗‘𝑐)) − (𝑐 · (((∗‘𝑏) − (∗‘𝑎)) / (𝑏 − 𝑎)))) / (((∗‘𝑏) − (∗‘𝑎)) / (𝑏 − 𝑎))) · 𝑋) + (-((𝑐 · (((∗‘𝑎) − (𝑎 · (((∗‘𝑏) − (∗‘𝑎)) / (𝑏 − 𝑎)))) − (∗‘𝑐))) + ((𝑒 − 𝑓) · ((∗‘𝑒) − (∗‘𝑓)))) / (((∗‘𝑏) − (∗‘𝑎)) / (𝑏 − 𝑎))))) = 0)
200	198, 199	eqtrd 2774	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ (abs‘(𝑋 − 𝑐)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) → ((2(._g‘(mulGrp‘ℂ_fld))𝑋) + (((((((∗‘𝑎) − (𝑎 · (((∗‘𝑏) − (∗‘𝑎)) / (𝑏 − 𝑎)))) − (∗‘𝑐)) − (𝑐 · (((∗‘𝑏) − (∗‘𝑎)) / (𝑏 − 𝑎)))) / (((∗‘𝑏) − (∗‘𝑎)) / (𝑏 − 𝑎))) · 𝑋) + (-((𝑐 · (((∗‘𝑎) − (𝑎 · (((∗‘𝑏) − (∗‘𝑎)) / (𝑏 − 𝑎)))) − (∗‘𝑐))) + ((𝑒 − 𝑓) · ((∗‘𝑒) − (∗‘𝑓)))) / (((∗‘𝑏) − (∗‘𝑎)) / (𝑏 − 𝑎))))) = 0)
201	119, 120, 32, 121, 2, 28, 23, 122, 124, 125, 131, 172, 193, 200	rtelextdg2 33732	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ (abs‘(𝑋 − 𝑐)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) → (𝑋 ∈ 𝐹 ∨ (𝐿[:]𝐾) = 2))
202		exmidne 2947	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑎 = 𝑏 ∨ 𝑎 ≠ 𝑏)
203	202	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ (abs‘(𝑋 − 𝑐)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))) → (𝑎 = 𝑏 ∨ 𝑎 ≠ 𝑏))
204	118, 201, 203	mpjaodan 960	. . . . . . . 8 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ (abs‘(𝑋 − 𝑐)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))) → (𝑋 ∈ 𝐹 ∨ (𝐿[:]𝐾) = 2))
205	204	r19.29an 3155	. . . . . . 7 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ ∃𝑡 ∈ ℝ (𝑋 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ (abs‘(𝑋 − 𝑐)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))) → (𝑋 ∈ 𝐹 ∨ (𝐿[:]𝐾) = 2))
206	205	r19.29an 3155	. . . . . 6 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ ∃𝑓 ∈ (𝐶‘𝑁)∃𝑡 ∈ ℝ (𝑋 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ (abs‘(𝑋 − 𝑐)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))) → (𝑋 ∈ 𝐹 ∨ (𝐿[:]𝐾) = 2))
207	206	r19.29an 3155	. . . . 5 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ ∃𝑒 ∈ (𝐶‘𝑁)∃𝑓 ∈ (𝐶‘𝑁)∃𝑡 ∈ ℝ (𝑋 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ (abs‘(𝑋 − 𝑐)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))) → (𝑋 ∈ 𝐹 ∨ (𝐿[:]𝐾) = 2))
208	207	r19.29an 3155	. . . 4 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ ∃𝑐 ∈ (𝐶‘𝑁)∃𝑒 ∈ (𝐶‘𝑁)∃𝑓 ∈ (𝐶‘𝑁)∃𝑡 ∈ ℝ (𝑋 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ (abs‘(𝑋 − 𝑐)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))) → (𝑋 ∈ 𝐹 ∨ (𝐿[:]𝐾) = 2))
209	208	r19.29an 3155	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ ∃𝑏 ∈ (𝐶‘𝑁)∃𝑐 ∈ (𝐶‘𝑁)∃𝑒 ∈ (𝐶‘𝑁)∃𝑓 ∈ (𝐶‘𝑁)∃𝑡 ∈ ℝ (𝑋 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ (abs‘(𝑋 − 𝑐)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))) → (𝑋 ∈ 𝐹 ∨ (𝐿[:]𝐾) = 2))
210	209	r19.29an 3155	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ ∃𝑎 ∈ (𝐶‘𝑁)∃𝑏 ∈ (𝐶‘𝑁)∃𝑐 ∈ (𝐶‘𝑁)∃𝑒 ∈ (𝐶‘𝑁)∃𝑓 ∈ (𝐶‘𝑁)∃𝑡 ∈ ℝ (𝑋 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ (abs‘(𝑋 − 𝑐)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))) → (𝑋 ∈ 𝐹 ∨ (𝐿[:]𝐾) = 2))
211	123	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑑 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ (𝑎 ≠ 𝑑 ∧ (abs‘(𝑋 − 𝑎)) = (abs‘(𝑏 − 𝑐)) ∧ (abs‘(𝑋 − 𝑑)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))) → ℂ_fld ∈ Field)
212	1	ad7antr 738	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑑 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ (𝑎 ≠ 𝑑 ∧ (abs‘(𝑋 − 𝑎)) = (abs‘(𝑏 − 𝑐)) ∧ (abs‘(𝑋 − 𝑑)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))) → 𝐹 ∈ (SubDRing‘ℂ_fld))
213	130	ad7antr 738	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑑 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ (𝑎 ≠ 𝑑 ∧ (abs‘(𝑋 − 𝑎)) = (abs‘(𝑏 − 𝑐)) ∧ (abs‘(𝑋 − 𝑑)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))) → 𝑋 ∈ ℂ)
214	212, 24, 25	3syl 18	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑑 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ (𝑎 ≠ 𝑑 ∧ (abs‘(𝑋 − 𝑎)) = (abs‘(𝑏 − 𝑐)) ∧ (abs‘(𝑋 − 𝑑)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))) → 𝐹 ∈ (SubGrp‘ℂ_fld))
215	212, 24	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑑 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ (𝑎 ≠ 𝑑 ∧ (abs‘(𝑋 − 𝑎)) = (abs‘(𝑏 − 𝑐)) ∧ (abs‘(𝑋 − 𝑑)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))) → 𝐹 ∈ (SubRing‘ℂ_fld))
216	6	ad7antr 738	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑑 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ (𝑎 ≠ 𝑑 ∧ (abs‘(𝑋 − 𝑎)) = (abs‘(𝑏 − 𝑐)) ∧ (abs‘(𝑋 − 𝑑)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))) → (𝐶‘𝑁) ⊆ 𝐹)
217		simpllr 776	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑑 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ (𝑎 ≠ 𝑑 ∧ (abs‘(𝑋 − 𝑎)) = (abs‘(𝑏 − 𝑐)) ∧ (abs‘(𝑋 − 𝑑)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))) → 𝑒 ∈ (𝐶‘𝑁))
218	216, 217	sseldd 3995	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑑 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ (𝑎 ≠ 𝑑 ∧ (abs‘(𝑋 − 𝑎)) = (abs‘(𝑏 − 𝑐)) ∧ (abs‘(𝑋 − 𝑑)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))) → 𝑒 ∈ 𝐹)
219		simplr 769	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑑 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ (𝑎 ≠ 𝑑 ∧ (abs‘(𝑋 − 𝑎)) = (abs‘(𝑏 − 𝑐)) ∧ (abs‘(𝑋 − 𝑑)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))) → 𝑓 ∈ (𝐶‘𝑁))
220	216, 219	sseldd 3995	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑑 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ (𝑎 ≠ 𝑑 ∧ (abs‘(𝑋 − 𝑎)) = (abs‘(𝑏 − 𝑐)) ∧ (abs‘(𝑋 − 𝑑)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))) → 𝑓 ∈ 𝐹)
221	34, 214, 218, 220	subgsubcld 33029	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑑 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ (𝑎 ≠ 𝑑 ∧ (abs‘(𝑋 − 𝑎)) = (abs‘(𝑏 − 𝑐)) ∧ (abs‘(𝑋 − 𝑑)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))) → (𝑒 − 𝑓) ∈ 𝐹)
222	103	ad7antr 738	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑑 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ (𝑎 ≠ 𝑑 ∧ (abs‘(𝑋 − 𝑎)) = (abs‘(𝑏 − 𝑐)) ∧ (abs‘(𝑋 − 𝑑)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))) → (𝐶‘𝑁) ⊆ ℂ)
223	222, 217	sseldd 3995	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑑 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ (𝑎 ≠ 𝑑 ∧ (abs‘(𝑋 − 𝑎)) = (abs‘(𝑏 − 𝑐)) ∧ (abs‘(𝑋 − 𝑑)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))) → 𝑒 ∈ ℂ)
224	222, 219	sseldd 3995	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑑 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ (𝑎 ≠ 𝑑 ∧ (abs‘(𝑋 − 𝑎)) = (abs‘(𝑏 − 𝑐)) ∧ (abs‘(𝑋 − 𝑑)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))) → 𝑓 ∈ ℂ)
225	223, 224	cjsubd 32758	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑑 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ (𝑎 ≠ 𝑑 ∧ (abs‘(𝑋 − 𝑎)) = (abs‘(𝑏 − 𝑐)) ∧ (abs‘(𝑋 − 𝑑)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))) → (∗‘(𝑒 − 𝑓)) = ((∗‘𝑒) − (∗‘𝑓)))
226	37	ad7antr 738	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑑 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ (𝑎 ≠ 𝑑 ∧ (abs‘(𝑋 − 𝑎)) = (abs‘(𝑏 − 𝑐)) ∧ (abs‘(𝑋 − 𝑑)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))) → 𝑁 ∈ On)
227	36, 226, 217	constrconj 33749	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑑 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ (𝑎 ≠ 𝑑 ∧ (abs‘(𝑋 − 𝑎)) = (abs‘(𝑏 − 𝑐)) ∧ (abs‘(𝑋 − 𝑑)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))) → (∗‘𝑒) ∈ (𝐶‘𝑁))
228	216, 227	sseldd 3995	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑑 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ (𝑎 ≠ 𝑑 ∧ (abs‘(𝑋 − 𝑎)) = (abs‘(𝑏 − 𝑐)) ∧ (abs‘(𝑋 − 𝑑)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))) → (∗‘𝑒) ∈ 𝐹)
229	36, 226, 219	constrconj 33749	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑑 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ (𝑎 ≠ 𝑑 ∧ (abs‘(𝑋 − 𝑎)) = (abs‘(𝑏 − 𝑐)) ∧ (abs‘(𝑋 − 𝑑)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))) → (∗‘𝑓) ∈ (𝐶‘𝑁))
230	216, 229	sseldd 3995	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑑 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ (𝑎 ≠ 𝑑 ∧ (abs‘(𝑋 − 𝑎)) = (abs‘(𝑏 − 𝑐)) ∧ (abs‘(𝑋 − 𝑑)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))) → (∗‘𝑓) ∈ 𝐹)
231	34, 214, 228, 230	subgsubcld 33029	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑑 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ (𝑎 ≠ 𝑑 ∧ (abs‘(𝑋 − 𝑎)) = (abs‘(𝑏 − 𝑐)) ∧ (abs‘(𝑋 − 𝑑)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))) → ((∗‘𝑒) − (∗‘𝑓)) ∈ 𝐹)
232	225, 231	eqeltrd 2838	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑑 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ (𝑎 ≠ 𝑑 ∧ (abs‘(𝑋 − 𝑎)) = (abs‘(𝑏 − 𝑐)) ∧ (abs‘(𝑋 − 𝑑)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))) → (∗‘(𝑒 − 𝑓)) ∈ 𝐹)
233	28, 215, 221, 232	subrgmcld 33222	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑑 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ (𝑎 ≠ 𝑑 ∧ (abs‘(𝑋 − 𝑎)) = (abs‘(𝑏 − 𝑐)) ∧ (abs‘(𝑋 − 𝑑)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))) → ((𝑒 − 𝑓) · (∗‘(𝑒 − 𝑓))) ∈ 𝐹)
234		simp-4r 784	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑑 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ (𝑎 ≠ 𝑑 ∧ (abs‘(𝑋 − 𝑎)) = (abs‘(𝑏 − 𝑐)) ∧ (abs‘(𝑋 − 𝑑)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))) → 𝑑 ∈ (𝐶‘𝑁))
235	36, 226, 234	constrconj 33749	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑑 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ (𝑎 ≠ 𝑑 ∧ (abs‘(𝑋 − 𝑎)) = (abs‘(𝑏 − 𝑐)) ∧ (abs‘(𝑋 − 𝑑)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))) → (∗‘𝑑) ∈ (𝐶‘𝑁))
236	216, 235	sseldd 3995	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑑 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ (𝑎 ≠ 𝑑 ∧ (abs‘(𝑋 − 𝑎)) = (abs‘(𝑏 − 𝑐)) ∧ (abs‘(𝑋 − 𝑑)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))) → (∗‘𝑑) ∈ 𝐹)
237	216, 234	sseldd 3995	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑑 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ (𝑎 ≠ 𝑑 ∧ (abs‘(𝑋 − 𝑎)) = (abs‘(𝑏 − 𝑐)) ∧ (abs‘(𝑋 − 𝑑)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))) → 𝑑 ∈ 𝐹)
238		simp-7r 790	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑑 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ (𝑎 ≠ 𝑑 ∧ (abs‘(𝑋 − 𝑎)) = (abs‘(𝑏 − 𝑐)) ∧ (abs‘(𝑋 − 𝑑)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))) → 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑁))
239	216, 238	sseldd 3995	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑑 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ (𝑎 ≠ 𝑑 ∧ (abs‘(𝑋 − 𝑎)) = (abs‘(𝑏 − 𝑐)) ∧ (abs‘(𝑋 − 𝑑)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))) → 𝑎 ∈ 𝐹)
240	23, 214, 237, 239	subgcld 33028	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑑 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ (𝑎 ≠ 𝑑 ∧ (abs‘(𝑋 − 𝑎)) = (abs‘(𝑏 − 𝑐)) ∧ (abs‘(𝑋 − 𝑑)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))) → (𝑑 + 𝑎) ∈ 𝐹)
241	28, 215, 236, 240	subrgmcld 33222	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑑 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ (𝑎 ≠ 𝑑 ∧ (abs‘(𝑋 − 𝑎)) = (abs‘(𝑏 − 𝑐)) ∧ (abs‘(𝑋 − 𝑑)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))) → ((∗‘𝑑) · (𝑑 + 𝑎)) ∈ 𝐹)
242	34, 214, 233, 241	subgsubcld 33029	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑑 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ (𝑎 ≠ 𝑑 ∧ (abs‘(𝑋 − 𝑎)) = (abs‘(𝑏 − 𝑐)) ∧ (abs‘(𝑋 − 𝑑)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))) → (((𝑒 − 𝑓) · (∗‘(𝑒 − 𝑓))) − ((∗‘𝑑) · (𝑑 + 𝑎))) ∈ 𝐹)
243		simp-6r 788	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑑 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ (𝑎 ≠ 𝑑 ∧ (abs‘(𝑋 − 𝑎)) = (abs‘(𝑏 − 𝑐)) ∧ (abs‘(𝑋 − 𝑑)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))) → 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑁))
244	216, 243	sseldd 3995	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑑 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ (𝑎 ≠ 𝑑 ∧ (abs‘(𝑋 − 𝑎)) = (abs‘(𝑏 − 𝑐)) ∧ (abs‘(𝑋 − 𝑑)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))) → 𝑏 ∈ 𝐹)
245		simp-5r 786	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑑 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ (𝑎 ≠ 𝑑 ∧ (abs‘(𝑋 − 𝑎)) = (abs‘(𝑏 − 𝑐)) ∧ (abs‘(𝑋 − 𝑑)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))) → 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑁))
246	216, 245	sseldd 3995	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑑 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ (𝑎 ≠ 𝑑 ∧ (abs‘(𝑋 − 𝑎)) = (abs‘(𝑏 − 𝑐)) ∧ (abs‘(𝑋 − 𝑑)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))) → 𝑐 ∈ 𝐹)
247	34, 214, 244, 246	subgsubcld 33029	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑑 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ (𝑎 ≠ 𝑑 ∧ (abs‘(𝑋 − 𝑎)) = (abs‘(𝑏 − 𝑐)) ∧ (abs‘(𝑋 − 𝑑)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))) → (𝑏 − 𝑐) ∈ 𝐹)
248	222, 243	sseldd 3995	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑑 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ (𝑎 ≠ 𝑑 ∧ (abs‘(𝑋 − 𝑎)) = (abs‘(𝑏 − 𝑐)) ∧ (abs‘(𝑋 − 𝑑)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))) → 𝑏 ∈ ℂ)
249	222, 245	sseldd 3995	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑑 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ (𝑎 ≠ 𝑑 ∧ (abs‘(𝑋 − 𝑎)) = (abs‘(𝑏 − 𝑐)) ∧ (abs‘(𝑋 − 𝑑)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))) → 𝑐 ∈ ℂ)
250	248, 249	cjsubd 32758	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑑 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ (𝑎 ≠ 𝑑 ∧ (abs‘(𝑋 − 𝑎)) = (abs‘(𝑏 − 𝑐)) ∧ (abs‘(𝑋 − 𝑑)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))) → (∗‘(𝑏 − 𝑐)) = ((∗‘𝑏) − (∗‘𝑐)))
251	36, 226, 243	constrconj 33749	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑑 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ (𝑎 ≠ 𝑑 ∧ (abs‘(𝑋 − 𝑎)) = (abs‘(𝑏 − 𝑐)) ∧ (abs‘(𝑋 − 𝑑)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))) → (∗‘𝑏) ∈ (𝐶‘𝑁))
252	216, 251	sseldd 3995	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑑 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ (𝑎 ≠ 𝑑 ∧ (abs‘(𝑋 − 𝑎)) = (abs‘(𝑏 − 𝑐)) ∧ (abs‘(𝑋 − 𝑑)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))) → (∗‘𝑏) ∈ 𝐹)
253	36, 226, 245	constrconj 33749	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑑 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ (𝑎 ≠ 𝑑 ∧ (abs‘(𝑋 − 𝑎)) = (abs‘(𝑏 − 𝑐)) ∧ (abs‘(𝑋 − 𝑑)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))) → (∗‘𝑐) ∈ (𝐶‘𝑁))
254	216, 253	sseldd 3995	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑑 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ (𝑎 ≠ 𝑑 ∧ (abs‘(𝑋 − 𝑎)) = (abs‘(𝑏 − 𝑐)) ∧ (abs‘(𝑋 − 𝑑)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))) → (∗‘𝑐) ∈ 𝐹)
255	34, 214, 252, 254	subgsubcld 33029	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑑 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ (𝑎 ≠ 𝑑 ∧ (abs‘(𝑋 − 𝑎)) = (abs‘(𝑏 − 𝑐)) ∧ (abs‘(𝑋 − 𝑑)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))) → ((∗‘𝑏) − (∗‘𝑐)) ∈ 𝐹)
256	250, 255	eqeltrd 2838	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑑 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ (𝑎 ≠ 𝑑 ∧ (abs‘(𝑋 − 𝑎)) = (abs‘(𝑏 − 𝑐)) ∧ (abs‘(𝑋 − 𝑑)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))) → (∗‘(𝑏 − 𝑐)) ∈ 𝐹)
257	28, 215, 247, 256	subrgmcld 33222	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑑 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ (𝑎 ≠ 𝑑 ∧ (abs‘(𝑋 − 𝑎)) = (abs‘(𝑏 − 𝑐)) ∧ (abs‘(𝑋 − 𝑑)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))) → ((𝑏 − 𝑐) · (∗‘(𝑏 − 𝑐))) ∈ 𝐹)
258	36, 226, 238	constrconj 33749	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑑 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ (𝑎 ≠ 𝑑 ∧ (abs‘(𝑋 − 𝑎)) = (abs‘(𝑏 − 𝑐)) ∧ (abs‘(𝑋 − 𝑑)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))) → (∗‘𝑎) ∈ (𝐶‘𝑁))
259	216, 258	sseldd 3995	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑑 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ (𝑎 ≠ 𝑑 ∧ (abs‘(𝑋 − 𝑎)) = (abs‘(𝑏 − 𝑐)) ∧ (abs‘(𝑋 − 𝑑)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))) → (∗‘𝑎) ∈ 𝐹)
260	28, 215, 259, 240	subrgmcld 33222	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑑 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ (𝑎 ≠ 𝑑 ∧ (abs‘(𝑋 − 𝑎)) = (abs‘(𝑏 − 𝑐)) ∧ (abs‘(𝑋 − 𝑑)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))) → ((∗‘𝑎) · (𝑑 + 𝑎)) ∈ 𝐹)
261	34, 214, 257, 260	subgsubcld 33029	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑑 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ (𝑎 ≠ 𝑑 ∧ (abs‘(𝑋 − 𝑎)) = (abs‘(𝑏 − 𝑐)) ∧ (abs‘(𝑋 − 𝑑)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))) → (((𝑏 − 𝑐) · (∗‘(𝑏 − 𝑐))) − ((∗‘𝑎) · (𝑑 + 𝑎))) ∈ 𝐹)
262	34, 214, 242, 261	subgsubcld 33029	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑑 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ (𝑎 ≠ 𝑑 ∧ (abs‘(𝑋 − 𝑎)) = (abs‘(𝑏 − 𝑐)) ∧ (abs‘(𝑋 − 𝑑)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))) → ((((𝑒 − 𝑓) · (∗‘(𝑒 − 𝑓))) − ((∗‘𝑑) · (𝑑 + 𝑎))) − (((𝑏 − 𝑐) · (∗‘(𝑏 − 𝑐))) − ((∗‘𝑎) · (𝑑 + 𝑎)))) ∈ 𝐹)
263	34, 214, 236, 259	subgsubcld 33029	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑑 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ (𝑎 ≠ 𝑑 ∧ (abs‘(𝑋 − 𝑎)) = (abs‘(𝑏 − 𝑐)) ∧ (abs‘(𝑋 − 𝑑)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))) → ((∗‘𝑑) − (∗‘𝑎)) ∈ 𝐹)
264	222, 234	sseldd 3995	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑑 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ (𝑎 ≠ 𝑑 ∧ (abs‘(𝑋 − 𝑎)) = (abs‘(𝑏 − 𝑐)) ∧ (abs‘(𝑋 − 𝑑)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))) → 𝑑 ∈ ℂ)
265	222, 238	sseldd 3995	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑑 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ (𝑎 ≠ 𝑑 ∧ (abs‘(𝑋 − 𝑎)) = (abs‘(𝑏 − 𝑐)) ∧ (abs‘(𝑋 − 𝑑)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))) → 𝑎 ∈ ℂ)
266	264, 265	cjsubd 32758	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑑 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ (𝑎 ≠ 𝑑 ∧ (abs‘(𝑋 − 𝑎)) = (abs‘(𝑏 − 𝑐)) ∧ (abs‘(𝑋 − 𝑑)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))) → (∗‘(𝑑 − 𝑎)) = ((∗‘𝑑) − (∗‘𝑎)))
267	264, 265	subcld 11617	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑑 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ (𝑎 ≠ 𝑑 ∧ (abs‘(𝑋 − 𝑎)) = (abs‘(𝑏 − 𝑐)) ∧ (abs‘(𝑋 − 𝑑)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))) → (𝑑 − 𝑎) ∈ ℂ)
268		simpr1 1193	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑑 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ (𝑎 ≠ 𝑑 ∧ (abs‘(𝑋 − 𝑎)) = (abs‘(𝑏 − 𝑐)) ∧ (abs‘(𝑋 − 𝑑)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))) → 𝑎 ≠ 𝑑)
269	268	necomd 2993	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑑 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ (𝑎 ≠ 𝑑 ∧ (abs‘(𝑋 − 𝑎)) = (abs‘(𝑏 − 𝑐)) ∧ (abs‘(𝑋 − 𝑑)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))) → 𝑑 ≠ 𝑎)
270	264, 265, 269	subne0d 11626	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑑 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ (𝑎 ≠ 𝑑 ∧ (abs‘(𝑋 − 𝑎)) = (abs‘(𝑏 − 𝑐)) ∧ (abs‘(𝑋 − 𝑑)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))) → (𝑑 − 𝑎) ≠ 0)
271	267, 270	cjne0d 15238	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑑 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ (𝑎 ≠ 𝑑 ∧ (abs‘(𝑋 − 𝑎)) = (abs‘(𝑏 − 𝑐)) ∧ (abs‘(𝑋 − 𝑑)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))) → (∗‘(𝑑 − 𝑎)) ≠ 0)
272	266, 271	eqnetrrd 3006	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑑 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ (𝑎 ≠ 𝑑 ∧ (abs‘(𝑋 − 𝑎)) = (abs‘(𝑏 − 𝑐)) ∧ (abs‘(𝑋 − 𝑑)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))) → ((∗‘𝑑) − (∗‘𝑎)) ≠ 0)
273	31, 32, 212, 262, 263, 272	sdrgdvcl 33280	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑑 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ (𝑎 ≠ 𝑑 ∧ (abs‘(𝑋 − 𝑎)) = (abs‘(𝑏 − 𝑐)) ∧ (abs‘(𝑋 − 𝑑)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))) → (((((𝑒 − 𝑓) · (∗‘(𝑒 − 𝑓))) − ((∗‘𝑑) · (𝑑 + 𝑎))) − (((𝑏 − 𝑐) · (∗‘(𝑏 − 𝑐))) − ((∗‘𝑎) · (𝑑 + 𝑎)))) / ((∗‘𝑑) − (∗‘𝑎))) ∈ 𝐹)
274		df-neg 11492	. . . . . . . . . 10 ⊢ -(((((∗‘𝑎) · (𝑑 · 𝑎)) − (((𝑏 − 𝑐) · (∗‘(𝑏 − 𝑐))) · 𝑑)) − (((∗‘𝑑) · (𝑑 · 𝑎)) − (((𝑒 − 𝑓) · (∗‘(𝑒 − 𝑓))) · 𝑎))) / ((∗‘𝑑) − (∗‘𝑎))) = (0 − (((((∗‘𝑎) · (𝑑 · 𝑎)) − (((𝑏 − 𝑐) · (∗‘(𝑏 − 𝑐))) · 𝑑)) − (((∗‘𝑑) · (𝑑 · 𝑎)) − (((𝑒 − 𝑓) · (∗‘(𝑒 − 𝑓))) · 𝑎))) / ((∗‘𝑑) − (∗‘𝑎))))
275	36, 226	constr01 33746	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑑 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ (𝑎 ≠ 𝑑 ∧ (abs‘(𝑋 − 𝑎)) = (abs‘(𝑏 − 𝑐)) ∧ (abs‘(𝑋 − 𝑑)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))) → {0, 1} ⊆ (𝐶‘𝑁))
276	176	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑑 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ (𝑎 ≠ 𝑑 ∧ (abs‘(𝑋 − 𝑎)) = (abs‘(𝑏 − 𝑐)) ∧ (abs‘(𝑋 − 𝑑)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))) → 0 ∈ {0, 1})
277	275, 276	sseldd 3995	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑑 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ (𝑎 ≠ 𝑑 ∧ (abs‘(𝑋 − 𝑎)) = (abs‘(𝑏 − 𝑐)) ∧ (abs‘(𝑋 − 𝑑)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))) → 0 ∈ (𝐶‘𝑁))
278	216, 277	sseldd 3995	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑑 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ (𝑎 ≠ 𝑑 ∧ (abs‘(𝑋 − 𝑎)) = (abs‘(𝑏 − 𝑐)) ∧ (abs‘(𝑋 − 𝑑)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))) → 0 ∈ 𝐹)
279	28, 215, 237, 239	subrgmcld 33222	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑑 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ (𝑎 ≠ 𝑑 ∧ (abs‘(𝑋 − 𝑎)) = (abs‘(𝑏 − 𝑐)) ∧ (abs‘(𝑋 − 𝑑)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))) → (𝑑 · 𝑎) ∈ 𝐹)
280	28, 215, 259, 279	subrgmcld 33222	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑑 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ (𝑎 ≠ 𝑑 ∧ (abs‘(𝑋 − 𝑎)) = (abs‘(𝑏 − 𝑐)) ∧ (abs‘(𝑋 − 𝑑)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))) → ((∗‘𝑎) · (𝑑 · 𝑎)) ∈ 𝐹)
281	28, 215, 257, 237	subrgmcld 33222	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑑 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ (𝑎 ≠ 𝑑 ∧ (abs‘(𝑋 − 𝑎)) = (abs‘(𝑏 − 𝑐)) ∧ (abs‘(𝑋 − 𝑑)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))) → (((𝑏 − 𝑐) · (∗‘(𝑏 − 𝑐))) · 𝑑) ∈ 𝐹)
282	34, 214, 280, 281	subgsubcld 33029	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑑 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ (𝑎 ≠ 𝑑 ∧ (abs‘(𝑋 − 𝑎)) = (abs‘(𝑏 − 𝑐)) ∧ (abs‘(𝑋 − 𝑑)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))) → (((∗‘𝑎) · (𝑑 · 𝑎)) − (((𝑏 − 𝑐) · (∗‘(𝑏 − 𝑐))) · 𝑑)) ∈ 𝐹)
283	28, 215, 236, 279	subrgmcld 33222	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑑 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ (𝑎 ≠ 𝑑 ∧ (abs‘(𝑋 − 𝑎)) = (abs‘(𝑏 − 𝑐)) ∧ (abs‘(𝑋 − 𝑑)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))) → ((∗‘𝑑) · (𝑑 · 𝑎)) ∈ 𝐹)
284	28, 215, 233, 239	subrgmcld 33222	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑑 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ (𝑎 ≠ 𝑑 ∧ (abs‘(𝑋 − 𝑎)) = (abs‘(𝑏 − 𝑐)) ∧ (abs‘(𝑋 − 𝑑)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))) → (((𝑒 − 𝑓) · (∗‘(𝑒 − 𝑓))) · 𝑎) ∈ 𝐹)
285	34, 214, 283, 284	subgsubcld 33029	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑑 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ (𝑎 ≠ 𝑑 ∧ (abs‘(𝑋 − 𝑎)) = (abs‘(𝑏 − 𝑐)) ∧ (abs‘(𝑋 − 𝑑)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))) → (((∗‘𝑑) · (𝑑 · 𝑎)) − (((𝑒 − 𝑓) · (∗‘(𝑒 − 𝑓))) · 𝑎)) ∈ 𝐹)
286	34, 214, 282, 285	subgsubcld 33029	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑑 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ (𝑎 ≠ 𝑑 ∧ (abs‘(𝑋 − 𝑎)) = (abs‘(𝑏 − 𝑐)) ∧ (abs‘(𝑋 − 𝑑)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))) → ((((∗‘𝑎) · (𝑑 · 𝑎)) − (((𝑏 − 𝑐) · (∗‘(𝑏 − 𝑐))) · 𝑑)) − (((∗‘𝑑) · (𝑑 · 𝑎)) − (((𝑒 − 𝑓) · (∗‘(𝑒 − 𝑓))) · 𝑎))) ∈ 𝐹)
287	31, 32, 212, 286, 263, 272	sdrgdvcl 33280	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑑 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ (𝑎 ≠ 𝑑 ∧ (abs‘(𝑋 − 𝑎)) = (abs‘(𝑏 − 𝑐)) ∧ (abs‘(𝑋 − 𝑑)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))) → (((((∗‘𝑎) · (𝑑 · 𝑎)) − (((𝑏 − 𝑐) · (∗‘(𝑏 − 𝑐))) · 𝑑)) − (((∗‘𝑑) · (𝑑 · 𝑎)) − (((𝑒 − 𝑓) · (∗‘(𝑒 − 𝑓))) · 𝑎))) / ((∗‘𝑑) − (∗‘𝑎))) ∈ 𝐹)
288	34, 214, 278, 287	subgsubcld 33029	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑑 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ (𝑎 ≠ 𝑑 ∧ (abs‘(𝑋 − 𝑎)) = (abs‘(𝑏 − 𝑐)) ∧ (abs‘(𝑋 − 𝑑)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))) → (0 − (((((∗‘𝑎) · (𝑑 · 𝑎)) − (((𝑏 − 𝑐) · (∗‘(𝑏 − 𝑐))) · 𝑑)) − (((∗‘𝑑) · (𝑑 · 𝑎)) − (((𝑒 − 𝑓) · (∗‘(𝑒 − 𝑓))) · 𝑎))) / ((∗‘𝑑) − (∗‘𝑎)))) ∈ 𝐹)
289	274, 288	eqeltrid 2842	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑑 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ (𝑎 ≠ 𝑑 ∧ (abs‘(𝑋 − 𝑎)) = (abs‘(𝑏 − 𝑐)) ∧ (abs‘(𝑋 − 𝑑)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))) → -(((((∗‘𝑎) · (𝑑 · 𝑎)) − (((𝑏 − 𝑐) · (∗‘(𝑏 − 𝑐))) · 𝑑)) − (((∗‘𝑑) · (𝑑 · 𝑎)) − (((𝑒 − 𝑓) · (∗‘(𝑒 − 𝑓))) · 𝑎))) / ((∗‘𝑑) − (∗‘𝑎))) ∈ 𝐹)
290	213, 194, 196	sylancl 586	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑑 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ (𝑎 ≠ 𝑑 ∧ (abs‘(𝑋 − 𝑎)) = (abs‘(𝑏 − 𝑐)) ∧ (abs‘(𝑋 − 𝑑)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))) → (2(._g‘(mulGrp‘ℂ_fld))𝑋) = (𝑋↑2))
291	290	oveq1d 7445	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑑 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ (𝑎 ≠ 𝑑 ∧ (abs‘(𝑋 − 𝑎)) = (abs‘(𝑏 − 𝑐)) ∧ (abs‘(𝑋 − 𝑑)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))) → ((2(._g‘(mulGrp‘ℂ_fld))𝑋) + (((((((𝑒 − 𝑓) · (∗‘(𝑒 − 𝑓))) − ((∗‘𝑑) · (𝑑 + 𝑎))) − (((𝑏 − 𝑐) · (∗‘(𝑏 − 𝑐))) − ((∗‘𝑎) · (𝑑 + 𝑎)))) / ((∗‘𝑑) − (∗‘𝑎))) · 𝑋) + -(((((∗‘𝑎) · (𝑑 · 𝑎)) − (((𝑏 − 𝑐) · (∗‘(𝑏 − 𝑐))) · 𝑑)) − (((∗‘𝑑) · (𝑑 · 𝑎)) − (((𝑒 − 𝑓) · (∗‘(𝑒 − 𝑓))) · 𝑎))) / ((∗‘𝑑) − (∗‘𝑎))))) = ((𝑋↑2) + (((((((𝑒 − 𝑓) · (∗‘(𝑒 − 𝑓))) − ((∗‘𝑑) · (𝑑 + 𝑎))) − (((𝑏 − 𝑐) · (∗‘(𝑏 − 𝑐))) − ((∗‘𝑎) · (𝑑 + 𝑎)))) / ((∗‘𝑑) − (∗‘𝑎))) · 𝑋) + -(((((∗‘𝑎) · (𝑑 · 𝑎)) − (((𝑏 − 𝑐) · (∗‘(𝑏 − 𝑐))) · 𝑑)) − (((∗‘𝑑) · (𝑑 · 𝑎)) − (((𝑒 − 𝑓) · (∗‘(𝑒 − 𝑓))) · 𝑎))) / ((∗‘𝑑) − (∗‘𝑎))))))
292		simpr2 1194	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑑 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ (𝑎 ≠ 𝑑 ∧ (abs‘(𝑋 − 𝑎)) = (abs‘(𝑏 − 𝑐)) ∧ (abs‘(𝑋 − 𝑑)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))) → (abs‘(𝑋 − 𝑎)) = (abs‘(𝑏 − 𝑐)))
293		simpr3 1195	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑑 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ (𝑎 ≠ 𝑑 ∧ (abs‘(𝑋 − 𝑎)) = (abs‘(𝑏 − 𝑐)) ∧ (abs‘(𝑋 − 𝑑)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))) → (abs‘(𝑋 − 𝑑)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))
294		eqid 2734	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑏 − 𝑐) · (∗‘(𝑏 − 𝑐))) = ((𝑏 − 𝑐) · (∗‘(𝑏 − 𝑐)))
295		eqid 2734	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑒 − 𝑓) · (∗‘(𝑒 − 𝑓))) = ((𝑒 − 𝑓) · (∗‘(𝑒 − 𝑓)))
296		eqid 2734	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝑒 − 𝑓) · (∗‘(𝑒 − 𝑓))) − ((∗‘𝑑) · (𝑑 + 𝑎))) − (((𝑏 − 𝑐) · (∗‘(𝑏 − 𝑐))) − ((∗‘𝑎) · (𝑑 + 𝑎)))) / ((∗‘𝑑) − (∗‘𝑎))) = (((((𝑒 − 𝑓) · (∗‘(𝑒 − 𝑓))) − ((∗‘𝑑) · (𝑑 + 𝑎))) − (((𝑏 − 𝑐) · (∗‘(𝑏 − 𝑐))) − ((∗‘𝑎) · (𝑑 + 𝑎)))) / ((∗‘𝑑) − (∗‘𝑎)))
297		eqid 2734	. . . . . . . . . . 11 ⊢ -(((((∗‘𝑎) · (𝑑 · 𝑎)) − (((𝑏 − 𝑐) · (∗‘(𝑏 − 𝑐))) · 𝑑)) − (((∗‘𝑑) · (𝑑 · 𝑎)) − (((𝑒 − 𝑓) · (∗‘(𝑒 − 𝑓))) · 𝑎))) / ((∗‘𝑑) − (∗‘𝑎))) = -(((((∗‘𝑎) · (𝑑 · 𝑎)) − (((𝑏 − 𝑐) · (∗‘(𝑏 − 𝑐))) · 𝑑)) − (((∗‘𝑑) · (𝑑 · 𝑎)) − (((𝑒 − 𝑓) · (∗‘(𝑒 − 𝑓))) · 𝑎))) / ((∗‘𝑑) − (∗‘𝑎)))
298	222, 238, 243, 245, 234, 217, 219, 213, 268, 292, 293, 294, 295, 296, 297	constrrtcc 33740	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑑 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ (𝑎 ≠ 𝑑 ∧ (abs‘(𝑋 − 𝑎)) = (abs‘(𝑏 − 𝑐)) ∧ (abs‘(𝑋 − 𝑑)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))) → ((𝑋↑2) + (((((((𝑒 − 𝑓) · (∗‘(𝑒 − 𝑓))) − ((∗‘𝑑) · (𝑑 + 𝑎))) − (((𝑏 − 𝑐) · (∗‘(𝑏 − 𝑐))) − ((∗‘𝑎) · (𝑑 + 𝑎)))) / ((∗‘𝑑) − (∗‘𝑎))) · 𝑋) + -(((((∗‘𝑎) · (𝑑 · 𝑎)) − (((𝑏 − 𝑐) · (∗‘(𝑏 − 𝑐))) · 𝑑)) − (((∗‘𝑑) · (𝑑 · 𝑎)) − (((𝑒 − 𝑓) · (∗‘(𝑒 − 𝑓))) · 𝑎))) / ((∗‘𝑑) − (∗‘𝑎))))) = 0)
299	291, 298	eqtrd 2774	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑑 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ (𝑎 ≠ 𝑑 ∧ (abs‘(𝑋 − 𝑎)) = (abs‘(𝑏 − 𝑐)) ∧ (abs‘(𝑋 − 𝑑)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))) → ((2(._g‘(mulGrp‘ℂ_fld))𝑋) + (((((((𝑒 − 𝑓) · (∗‘(𝑒 − 𝑓))) − ((∗‘𝑑) · (𝑑 + 𝑎))) − (((𝑏 − 𝑐) · (∗‘(𝑏 − 𝑐))) − ((∗‘𝑎) · (𝑑 + 𝑎)))) / ((∗‘𝑑) − (∗‘𝑎))) · 𝑋) + -(((((∗‘𝑎) · (𝑑 · 𝑎)) − (((𝑏 − 𝑐) · (∗‘(𝑏 − 𝑐))) · 𝑑)) − (((∗‘𝑑) · (𝑑 · 𝑎)) − (((𝑒 − 𝑓) · (∗‘(𝑒 − 𝑓))) · 𝑎))) / ((∗‘𝑑) − (∗‘𝑎))))) = 0)
300	119, 120, 32, 121, 2, 28, 23, 122, 211, 212, 213, 273, 289, 299	rtelextdg2 33732	. . . . . . . 8 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑑 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ (𝑎 ≠ 𝑑 ∧ (abs‘(𝑋 − 𝑎)) = (abs‘(𝑏 − 𝑐)) ∧ (abs‘(𝑋 − 𝑑)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))) → (𝑋 ∈ 𝐹 ∨ (𝐿[:]𝐾) = 2))
301	300	r19.29an 3155	. . . . . . 7 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑑 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ ∃𝑓 ∈ (𝐶‘𝑁)(𝑎 ≠ 𝑑 ∧ (abs‘(𝑋 − 𝑎)) = (abs‘(𝑏 − 𝑐)) ∧ (abs‘(𝑋 − 𝑑)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))) → (𝑋 ∈ 𝐹 ∨ (𝐿[:]𝐾) = 2))
302	301	r19.29an 3155	. . . . . 6 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑑 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ ∃𝑒 ∈ (𝐶‘𝑁)∃𝑓 ∈ (𝐶‘𝑁)(𝑎 ≠ 𝑑 ∧ (abs‘(𝑋 − 𝑎)) = (abs‘(𝑏 − 𝑐)) ∧ (abs‘(𝑋 − 𝑑)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))) → (𝑋 ∈ 𝐹 ∨ (𝐿[:]𝐾) = 2))
303	302	r19.29an 3155	. . . . 5 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ ∃𝑑 ∈ (𝐶‘𝑁)∃𝑒 ∈ (𝐶‘𝑁)∃𝑓 ∈ (𝐶‘𝑁)(𝑎 ≠ 𝑑 ∧ (abs‘(𝑋 − 𝑎)) = (abs‘(𝑏 − 𝑐)) ∧ (abs‘(𝑋 − 𝑑)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))) → (𝑋 ∈ 𝐹 ∨ (𝐿[:]𝐾) = 2))
304	303	r19.29an 3155	. . . 4 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ ∃𝑐 ∈ (𝐶‘𝑁)∃𝑑 ∈ (𝐶‘𝑁)∃𝑒 ∈ (𝐶‘𝑁)∃𝑓 ∈ (𝐶‘𝑁)(𝑎 ≠ 𝑑 ∧ (abs‘(𝑋 − 𝑎)) = (abs‘(𝑏 − 𝑐)) ∧ (abs‘(𝑋 − 𝑑)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))) → (𝑋 ∈ 𝐹 ∨ (𝐿[:]𝐾) = 2))
305	304	r19.29an 3155	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ ∃𝑏 ∈ (𝐶‘𝑁)∃𝑐 ∈ (𝐶‘𝑁)∃𝑑 ∈ (𝐶‘𝑁)∃𝑒 ∈ (𝐶‘𝑁)∃𝑓 ∈ (𝐶‘𝑁)(𝑎 ≠ 𝑑 ∧ (abs‘(𝑋 − 𝑎)) = (abs‘(𝑏 − 𝑐)) ∧ (abs‘(𝑋 − 𝑑)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))) → (𝑋 ∈ 𝐹 ∨ (𝐿[:]𝐾) = 2))
306	305	r19.29an 3155	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ ∃𝑎 ∈ (𝐶‘𝑁)∃𝑏 ∈ (𝐶‘𝑁)∃𝑐 ∈ (𝐶‘𝑁)∃𝑑 ∈ (𝐶‘𝑁)∃𝑒 ∈ (𝐶‘𝑁)∃𝑓 ∈ (𝐶‘𝑁)(𝑎 ≠ 𝑑 ∧ (abs‘(𝑋 − 𝑎)) = (abs‘(𝑏 − 𝑐)) ∧ (abs‘(𝑋 − 𝑑)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))) → (𝑋 ∈ 𝐹 ∨ (𝐿[:]𝐾) = 2))
307	129	simprd 495	. 2 ⊢ (𝜑 → (∃𝑎 ∈ (𝐶‘𝑁)∃𝑏 ∈ (𝐶‘𝑁)∃𝑐 ∈ (𝐶‘𝑁)∃𝑑 ∈ (𝐶‘𝑁)∃𝑡 ∈ ℝ ∃𝑟 ∈ ℝ (𝑋 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ 𝑋 = (𝑐 + (𝑟 · (𝑑 − 𝑐))) ∧ (ℑ‘((∗‘(𝑏 − 𝑎)) · (𝑑 − 𝑐))) ≠ 0) ∨ ∃𝑎 ∈ (𝐶‘𝑁)∃𝑏 ∈ (𝐶‘𝑁)∃𝑐 ∈ (𝐶‘𝑁)∃𝑒 ∈ (𝐶‘𝑁)∃𝑓 ∈ (𝐶‘𝑁)∃𝑡 ∈ ℝ (𝑋 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ (abs‘(𝑋 − 𝑐)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓))) ∨ ∃𝑎 ∈ (𝐶‘𝑁)∃𝑏 ∈ (𝐶‘𝑁)∃𝑐 ∈ (𝐶‘𝑁)∃𝑑 ∈ (𝐶‘𝑁)∃𝑒 ∈ (𝐶‘𝑁)∃𝑓 ∈ (𝐶‘𝑁)(𝑎 ≠ 𝑑 ∧ (abs‘(𝑋 − 𝑎)) = (abs‘(𝑏 − 𝑐)) ∧ (abs‘(𝑋 − 𝑑)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))))
308	102, 210, 306, 307	mpjao3dan 1431	1 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ 𝐹 ∨ (𝐿[:]𝐾) = 2))

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: → wi 4 ∧ wa 395 ∨ wo 847 ∨ w3o 1085 ∧ w3a 1086 = wceq 1536 ∈ wcel 2105 ≠ wne 2937 ∃wrex 3067 {crab 3432 Vcvv 3477 ∪ cun 3960 ⊆ wss 3962 {csn 4630 {cpr 4632 ↦ cmpt 5230 Oncon0 6385 suc csuc 6387 ‘cfv 6562 (class class class)co 7430 reccrdg 8447 ℂcc 11150 ℝcr 11151 0cc0 11152 1c1 11153 ici 11154 + caddc 11155 · cmul 11157 − cmin 11489 -cneg 11490 / cdiv 11917 2c2 12318 ℕ₀cn0 12523 ↑cexp 14098 ∗ccj 15131 ℑcim 15133 abscabs 15269 ↾_s cress 17273 0_gc0g 17485 ._gcmg 19097 SubGrpcsubg 19150 mulGrpcmgp 20151 SubRingcsubrg 20585 Fieldcfield 20746 SubDRingcsdrg 20803 ℂ_fldccnfld 21381 Poly₁cpl1 22193 fldGen cfldgen 33291 [:]cextdg 33668

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1791 ax-4 1805 ax-5 1907 ax-6 1964 ax-7 2004 ax-8 2107 ax-9 2115 ax-10 2138 ax-11 2154 ax-12 2174 ax-ext 2705 ax-rep 5284 ax-sep 5301 ax-nul 5311 ax-pow 5370 ax-pr 5437 ax-un 7753 ax-reg 9629 ax-inf2 9678 ax-ac2 10500 ax-cnex 11208 ax-resscn 11209 ax-1cn 11210 ax-icn 11211 ax-addcl 11212 ax-addrcl 11213 ax-mulcl 11214 ax-mulrcl 11215 ax-mulcom 11216 ax-addass 11217 ax-mulass 11218 ax-distr 11219 ax-i2m1 11220 ax-1ne0 11221 ax-1rid 11222 ax-rnegex 11223 ax-rrecex 11224 ax-cnre 11225 ax-pre-lttri 11226 ax-pre-lttrn 11227 ax-pre-ltadd 11228 ax-pre-mulgt0 11229 ax-pre-sup 11230 ax-addf 11231 ax-mulf 11232

This theorem depends on definitions: df-bi 207 df-an 396 df-or 848 df-3or 1087 df-3an 1088 df-tru 1539 df-fal 1549 df-ex 1776 df-nf 1780 df-sb 2062 df-mo 2537 df-eu 2566 df-clab 2712 df-cleq 2726 df-clel 2813 df-nfc 2889 df-ne 2938 df-nel 3044 df-ral 3059 df-rex 3068 df-rmo 3377 df-reu 3378 df-rab 3433 df-v 3479 df-sbc 3791 df-csb 3908 df-dif 3965 df-un 3967 df-in 3969 df-ss 3979 df-pss 3982 df-nul 4339 df-if 4531 df-pw 4606 df-sn 4631 df-pr 4633 df-tp 4635 df-op 4637 df-uni 4912 df-int 4951 df-iun 4997 df-iin 4998 df-br 5148 df-opab 5210 df-mpt 5231 df-tr 5265 df-id 5582 df-eprel 5588 df-po 5596 df-so 5597 df-fr 5640 df-se 5641 df-we 5642 df-xp 5694 df-rel 5695 df-cnv 5696 df-co 5697 df-dm 5698 df-rn 5699 df-res 5700 df-ima 5701 df-pred 6322 df-ord 6388 df-on 6389 df-lim 6390 df-suc 6391 df-iota 6515 df-fun 6564 df-fn 6565 df-f 6566 df-f1 6567 df-fo 6568 df-f1o 6569 df-fv 6570 df-isom 6571 df-riota 7387 df-ov 7433 df-oprab 7434 df-mpo 7435 df-of 7696 df-ofr 7697 df-rpss 7741 df-om 7887 df-1st 8012 df-2nd 8013 df-supp 8184 df-tpos 8249 df-frecs 8304 df-wrecs 8335 df-recs 8409 df-rdg 8448 df-1o 8504 df-2o 8505 df-oadd 8508 df-er 8743 df-ec 8745 df-qs 8749 df-map 8866 df-pm 8867 df-ixp 8936 df-en 8984 df-dom 8985 df-sdom 8986 df-fin 8987 df-fsupp 9399 df-sup 9479 df-inf 9480 df-oi 9547 df-r1 9801 df-rank 9802 df-dju 9938 df-card 9976 df-acn 9979 df-ac 10153 df-pnf 11294 df-mnf 11295 df-xr 11296 df-ltxr 11297 df-le 11298 df-sub 11491 df-neg 11492 df-div 11918 df-nn 12264 df-2 12326 df-3 12327 df-4 12328 df-5 12329 df-6 12330 df-7 12331 df-8 12332 df-9 12333 df-n0 12524 df-xnn0 12597 df-z 12611 df-dec 12731 df-uz 12876 df-rp 13032 df-ico 13389 df-fz 13544 df-fzo 13691 df-seq 14039 df-exp 14099 df-hash 14366 df-cj 15134 df-re 15135 df-im 15136 df-sqrt 15270 df-abs 15271 df-struct 17180 df-sets 17197 df-slot 17215 df-ndx 17227 df-base 17245 df-ress 17274 df-plusg 17310 df-mulr 17311 df-starv 17312 df-sca 17313 df-vsca 17314 df-ip 17315 df-tset 17316 df-ple 17317 df-ocomp 17318 df-ds 17319 df-unif 17320 df-hom 17321 df-cco 17322 df-0g 17487 df-gsum 17488 df-prds 17493 df-pws 17495 df-imas 17554 df-qus 17555 df-mre 17630 df-mrc 17631 df-mri 17632 df-acs 17633 df-proset 18351 df-drs 18352 df-poset 18370 df-ipo 18585 df-mgm 18665 df-sgrp 18744 df-mnd 18760 df-mhm 18808 df-submnd 18809 df-grp 18966 df-minusg 18967 df-sbg 18968 df-mulg 19098 df-subg 19153 df-nsg 19154 df-eqg 19155 df-ghm 19243 df-gim 19289 df-cntz 19347 df-oppg 19376 df-lsm 19668 df-cmn 19814 df-abl 19815 df-mgp 20152 df-rng 20170 df-ur 20199 df-srg 20204 df-ring 20252 df-cring 20253 df-oppr 20350 df-dvdsr 20373 df-unit 20374 df-irred 20375 df-invr 20404 df-dvr 20417 df-rhm 20488 df-nzr 20529 df-subrng 20562 df-subrg 20586 df-rlreg 20710 df-domn 20711 df-idom 20712 df-drng 20747 df-field 20748 df-sdrg 20804 df-lmod 20876 df-lss 20947 df-lsp 20987 df-lmhm 21038 df-lmim 21039 df-lmic 21040 df-lbs 21091 df-lvec 21119 df-sra 21189 df-rgmod 21190 df-lidl 21235 df-rsp 21236 df-2idl 21277 df-lpidl 21349 df-lpir 21350 df-pid 21364 df-cnfld 21382 df-dsmm 21769 df-frlm 21784 df-uvc 21820 df-lindf 21843 df-linds 21844 df-assa 21890 df-asp 21891 df-ascl 21892 df-psr 21946 df-mvr 21947 df-mpl 21948 df-opsr 21950 df-evls 22115 df-evl 22116 df-psr1 22196 df-vr1 22197 df-ply1 22198 df-coe1 22199 df-evls1 22334 df-evl1 22335 df-mdeg 26108 df-deg1 26109 df-mon1 26184 df-uc1p 26185 df-q1p 26186 df-r1p 26187 df-ig1p 26188 df-fldgen 33292 df-mxidl 33467 df-dim 33626 df-fldext 33669 df-extdg 33670 df-irng 33698 df-minply 33707

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