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Theorem constrrtcclem 33725
Description: In the construction of constructible numbers, circle-circle intersections are roots of a quadratic equation. Case of non-degenerate circles. (Contributed by Thierry Arnoux, 6-Jul-2025.)
Hypotheses
Ref Expression
constrrtcc.s (𝜑𝑆 ⊆ ℂ)
constrrtcc.a (𝜑𝐴𝑆)
constrrtcc.b (𝜑𝐵𝑆)
constrrtcc.c (𝜑𝐶𝑆)
constrrtcc.d (𝜑𝐷𝑆)
constrrtcc.e (𝜑𝐸𝑆)
constrrtcc.f (𝜑𝐹𝑆)
constrrtcc.x (𝜑𝑋 ∈ ℂ)
constrrtcc.1 (𝜑𝐴𝐷)
constrrtcc.2 (𝜑 → (abs‘(𝑋𝐴)) = (abs‘(𝐵𝐶)))
constrrtcc.3 (𝜑 → (abs‘(𝑋𝐷)) = (abs‘(𝐸𝐹)))
constrrtcc.4 𝑃 = ((𝐵𝐶) · (∗‘(𝐵𝐶)))
constrrtcc.5 𝑄 = ((𝐸𝐹) · (∗‘(𝐸𝐹)))
constrrtcc.m 𝑀 = (((𝑄 − ((∗‘𝐷) · (𝐷 + 𝐴))) − (𝑃 − ((∗‘𝐴) · (𝐷 + 𝐴)))) / ((∗‘𝐷) − (∗‘𝐴)))
constrrtcc.n 𝑁 = -(((((∗‘𝐴) · (𝐷 · 𝐴)) − (𝑃 · 𝐷)) − (((∗‘𝐷) · (𝐷 · 𝐴)) − (𝑄 · 𝐴))) / ((∗‘𝐷) − (∗‘𝐴)))
constrrtcclem.1 (𝜑𝐵𝐶)
constrrtcclem.2 (𝜑𝐸𝐹)
Assertion
Ref Expression
constrrtcclem (𝜑 → ((𝑋↑2) + ((𝑀 · 𝑋) + 𝑁)) = 0)

Proof of Theorem constrrtcclem
StepHypRef Expression
1 constrrtcc.x . . . 4 (𝜑𝑋 ∈ ℂ)
21sqcld 14194 . . 3 (𝜑 → (𝑋↑2) ∈ ℂ)
3 constrrtcc.m . . . . 5 𝑀 = (((𝑄 − ((∗‘𝐷) · (𝐷 + 𝐴))) − (𝑃 − ((∗‘𝐴) · (𝐷 + 𝐴)))) / ((∗‘𝐷) − (∗‘𝐴)))
4 constrrtcc.5 . . . . . . . . 9 𝑄 = ((𝐸𝐹) · (∗‘(𝐸𝐹)))
5 constrrtcc.s . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑆 ⊆ ℂ)
6 constrrtcc.e . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐸𝑆)
75, 6sseldd 4009 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐸 ∈ ℂ)
8 constrrtcc.f . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐹𝑆)
95, 8sseldd 4009 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐹 ∈ ℂ)
107, 9subcld 11647 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐸𝐹) ∈ ℂ)
1110cjcld 15245 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (∗‘(𝐸𝐹)) ∈ ℂ)
1210, 11mulcld 11310 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝐸𝐹) · (∗‘(𝐸𝐹))) ∈ ℂ)
134, 12eqeltrid 2848 . . . . . . . 8 (𝜑𝑄 ∈ ℂ)
14 constrrtcc.d . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐷𝑆)
155, 14sseldd 4009 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐷 ∈ ℂ)
1615cjcld 15245 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (∗‘𝐷) ∈ ℂ)
17 constrrtcc.a . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐴𝑆)
185, 17sseldd 4009 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
1915, 18addcld 11309 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐷 + 𝐴) ∈ ℂ)
2016, 19mulcld 11310 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((∗‘𝐷) · (𝐷 + 𝐴)) ∈ ℂ)
2113, 20subcld 11647 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑄 − ((∗‘𝐷) · (𝐷 + 𝐴))) ∈ ℂ)
22 constrrtcc.4 . . . . . . . . 9 𝑃 = ((𝐵𝐶) · (∗‘(𝐵𝐶)))
23 constrrtcc.b . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐵𝑆)
245, 23sseldd 4009 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
25 constrrtcc.c . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐶𝑆)
265, 25sseldd 4009 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐶 ∈ ℂ)
2724, 26subcld 11647 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐵𝐶) ∈ ℂ)
2827cjcld 15245 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (∗‘(𝐵𝐶)) ∈ ℂ)
2927, 28mulcld 11310 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝐵𝐶) · (∗‘(𝐵𝐶))) ∈ ℂ)
3022, 29eqeltrid 2848 . . . . . . . 8 (𝜑𝑃 ∈ ℂ)
3118cjcld 15245 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (∗‘𝐴) ∈ ℂ)
3231, 19mulcld 11310 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((∗‘𝐴) · (𝐷 + 𝐴)) ∈ ℂ)
3330, 32subcld 11647 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑃 − ((∗‘𝐴) · (𝐷 + 𝐴))) ∈ ℂ)
3421, 33subcld 11647 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑄 − ((∗‘𝐷) · (𝐷 + 𝐴))) − (𝑃 − ((∗‘𝐴) · (𝐷 + 𝐴)))) ∈ ℂ)
3516, 31subcld 11647 . . . . . 6 (𝜑 → ((∗‘𝐷) − (∗‘𝐴)) ∈ ℂ)
3615, 18cjsubd 32755 . . . . . . 7 (𝜑 → (∗‘(𝐷𝐴)) = ((∗‘𝐷) − (∗‘𝐴)))
3715, 18subcld 11647 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐷𝐴) ∈ ℂ)
38 constrrtcc.1 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐴𝐷)
3938necomd 3002 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐷𝐴)
4015, 18, 39subne0d 11656 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐷𝐴) ≠ 0)
4137, 40cjne0d 15252 . . . . . . 7 (𝜑 → (∗‘(𝐷𝐴)) ≠ 0)
4236, 41eqnetrrd 3015 . . . . . 6 (𝜑 → ((∗‘𝐷) − (∗‘𝐴)) ≠ 0)
4334, 35, 42divcld 12070 . . . . 5 (𝜑 → (((𝑄 − ((∗‘𝐷) · (𝐷 + 𝐴))) − (𝑃 − ((∗‘𝐴) · (𝐷 + 𝐴)))) / ((∗‘𝐷) − (∗‘𝐴))) ∈ ℂ)
443, 43eqeltrid 2848 . . . 4 (𝜑𝑀 ∈ ℂ)
4544, 1mulcld 11310 . . 3 (𝜑 → (𝑀 · 𝑋) ∈ ℂ)
46 constrrtcc.n . . . 4 𝑁 = -(((((∗‘𝐴) · (𝐷 · 𝐴)) − (𝑃 · 𝐷)) − (((∗‘𝐷) · (𝐷 · 𝐴)) − (𝑄 · 𝐴))) / ((∗‘𝐷) − (∗‘𝐴)))
4715, 18mulcld 11310 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐷 · 𝐴) ∈ ℂ)
4831, 47mulcld 11310 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((∗‘𝐴) · (𝐷 · 𝐴)) ∈ ℂ)
4930, 15mulcld 11310 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑃 · 𝐷) ∈ ℂ)
5048, 49subcld 11647 . . . . . . 7 (𝜑 → (((∗‘𝐴) · (𝐷 · 𝐴)) − (𝑃 · 𝐷)) ∈ ℂ)
5116, 47mulcld 11310 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((∗‘𝐷) · (𝐷 · 𝐴)) ∈ ℂ)
5213, 18mulcld 11310 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑄 · 𝐴) ∈ ℂ)
5351, 52subcld 11647 . . . . . . 7 (𝜑 → (((∗‘𝐷) · (𝐷 · 𝐴)) − (𝑄 · 𝐴)) ∈ ℂ)
5450, 53subcld 11647 . . . . . 6 (𝜑 → ((((∗‘𝐴) · (𝐷 · 𝐴)) − (𝑃 · 𝐷)) − (((∗‘𝐷) · (𝐷 · 𝐴)) − (𝑄 · 𝐴))) ∈ ℂ)
5554, 35, 42divcld 12070 . . . . 5 (𝜑 → (((((∗‘𝐴) · (𝐷 · 𝐴)) − (𝑃 · 𝐷)) − (((∗‘𝐷) · (𝐷 · 𝐴)) − (𝑄 · 𝐴))) / ((∗‘𝐷) − (∗‘𝐴))) ∈ ℂ)
5655negcld 11634 . . . 4 (𝜑 → -(((((∗‘𝐴) · (𝐷 · 𝐴)) − (𝑃 · 𝐷)) − (((∗‘𝐷) · (𝐷 · 𝐴)) − (𝑄 · 𝐴))) / ((∗‘𝐷) − (∗‘𝐴))) ∈ ℂ)
5746, 56eqeltrid 2848 . . 3 (𝜑𝑁 ∈ ℂ)
582, 45, 57addassd 11312 . 2 (𝜑 → (((𝑋↑2) + (𝑀 · 𝑋)) + 𝑁) = ((𝑋↑2) + ((𝑀 · 𝑋) + 𝑁)))
5935, 2mulcld 11310 . . . . . . 7 (𝜑 → (((∗‘𝐷) − (∗‘𝐴)) · (𝑋↑2)) ∈ ℂ)
6034, 1mulcld 11310 . . . . . . 7 (𝜑 → (((𝑄 − ((∗‘𝐷) · (𝐷 + 𝐴))) − (𝑃 − ((∗‘𝐴) · (𝐷 + 𝐴)))) · 𝑋) ∈ ℂ)
6116, 31, 2subdird 11747 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (((∗‘𝐷) − (∗‘𝐴)) · (𝑋↑2)) = (((∗‘𝐷) · (𝑋↑2)) − ((∗‘𝐴) · (𝑋↑2))))
6221, 33, 1subdird 11747 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (((𝑄 − ((∗‘𝐷) · (𝐷 + 𝐴))) − (𝑃 − ((∗‘𝐴) · (𝐷 + 𝐴)))) · 𝑋) = (((𝑄 − ((∗‘𝐷) · (𝐷 + 𝐴))) · 𝑋) − ((𝑃 − ((∗‘𝐴) · (𝐷 + 𝐴))) · 𝑋)))
6361, 62oveq12d 7466 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((((∗‘𝐷) − (∗‘𝐴)) · (𝑋↑2)) + (((𝑄 − ((∗‘𝐷) · (𝐷 + 𝐴))) − (𝑃 − ((∗‘𝐴) · (𝐷 + 𝐴)))) · 𝑋)) = ((((∗‘𝐷) · (𝑋↑2)) − ((∗‘𝐴) · (𝑋↑2))) + (((𝑄 − ((∗‘𝐷) · (𝐷 + 𝐴))) · 𝑋) − ((𝑃 − ((∗‘𝐴) · (𝐷 + 𝐴))) · 𝑋))))
6416, 2mulcld 11310 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((∗‘𝐷) · (𝑋↑2)) ∈ ℂ)
6521, 1mulcld 11310 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝑄 − ((∗‘𝐷) · (𝐷 + 𝐴))) · 𝑋) ∈ ℂ)
6631, 2mulcld 11310 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((∗‘𝐴) · (𝑋↑2)) ∈ ℂ)
6733, 1mulcld 11310 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝑃 − ((∗‘𝐴) · (𝐷 + 𝐴))) · 𝑋) ∈ ℂ)
6864, 65, 66, 67addsub4d 11694 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((((∗‘𝐷) · (𝑋↑2)) + ((𝑄 − ((∗‘𝐷) · (𝐷 + 𝐴))) · 𝑋)) − (((∗‘𝐴) · (𝑋↑2)) + ((𝑃 − ((∗‘𝐴) · (𝐷 + 𝐴))) · 𝑋))) = ((((∗‘𝐷) · (𝑋↑2)) − ((∗‘𝐴) · (𝑋↑2))) + (((𝑄 − ((∗‘𝐷) · (𝐷 + 𝐴))) · 𝑋) − ((𝑃 − ((∗‘𝐴) · (𝐷 + 𝐴))) · 𝑋))))
691, 18subcld 11647 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑋𝐴) ∈ ℂ)
701, 15subcld 11647 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑋𝐷) ∈ ℂ)
7169, 70mulcomd 11311 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((𝑋𝐴) · (𝑋𝐷)) = ((𝑋𝐷) · (𝑋𝐴)))
7271oveq2d 7464 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((∗‘𝑋) · ((𝑋𝐴) · (𝑋𝐷))) = ((∗‘𝑋) · ((𝑋𝐷) · (𝑋𝐴))))
7369cjcld 15245 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (∗‘(𝑋𝐴)) ∈ ℂ)
74 constrrtcc.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → (abs‘(𝑋𝐴)) = (abs‘(𝐵𝐶)))
75 constrrtcclem.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑𝐵𝐶)
7624, 26, 75subne0d 11656 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → (𝐵𝐶) ≠ 0)
7727, 76absne0d 15496 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → (abs‘(𝐵𝐶)) ≠ 0)
7874, 77eqnetrd 3014 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → (abs‘(𝑋𝐴)) ≠ 0)
7969abs00ad 15339 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → ((abs‘(𝑋𝐴)) = 0 ↔ (𝑋𝐴) = 0))
8079necon3bid 2991 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → ((abs‘(𝑋𝐴)) ≠ 0 ↔ (𝑋𝐴) ≠ 0))
8178, 80mpbid 232 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (𝑋𝐴) ≠ 0)
8274oveq1d 7463 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → ((abs‘(𝑋𝐴))↑2) = ((abs‘(𝐵𝐶))↑2))
8369absvalsqd 15491 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → ((abs‘(𝑋𝐴))↑2) = ((𝑋𝐴) · (∗‘(𝑋𝐴))))
8427absvalsqd 15491 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → ((abs‘(𝐵𝐶))↑2) = ((𝐵𝐶) · (∗‘(𝐵𝐶))))
8582, 83, 843eqtr3d 2788 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → ((𝑋𝐴) · (∗‘(𝑋𝐴))) = ((𝐵𝐶) · (∗‘(𝐵𝐶))))
8685, 22eqtr4di 2798 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → ((𝑋𝐴) · (∗‘(𝑋𝐴))) = 𝑃)
8769, 73, 81, 86mvllmuld 12126 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (∗‘(𝑋𝐴)) = (𝑃 / (𝑋𝐴)))
8887, 73eqeltrrd 2845 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝑃 / (𝑋𝐴)) ∈ ℂ)
8931, 88addcld 11309 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ((∗‘𝐴) + (𝑃 / (𝑋𝐴))) ∈ ℂ)
9089, 69, 70mulassd 11313 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((((∗‘𝐴) + (𝑃 / (𝑋𝐴))) · (𝑋𝐴)) · (𝑋𝐷)) = (((∗‘𝐴) + (𝑃 / (𝑋𝐴))) · ((𝑋𝐴) · (𝑋𝐷))))
9130, 69, 81divcan1d 12071 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → ((𝑃 / (𝑋𝐴)) · (𝑋𝐴)) = 𝑃)
9291oveq2d 7464 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (((∗‘𝐴) · (𝑋𝐴)) + ((𝑃 / (𝑋𝐴)) · (𝑋𝐴))) = (((∗‘𝐴) · (𝑋𝐴)) + 𝑃))
9331, 69, 88, 92joinlmuladdmuld 11317 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (((∗‘𝐴) + (𝑃 / (𝑋𝐴))) · (𝑋𝐴)) = (((∗‘𝐴) · (𝑋𝐴)) + 𝑃))
9493oveq1d 7463 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ((((∗‘𝐴) + (𝑃 / (𝑋𝐴))) · (𝑋𝐴)) · (𝑋𝐷)) = ((((∗‘𝐴) · (𝑋𝐴)) + 𝑃) · (𝑋𝐷)))
9531, 69mulcld 11310 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → ((∗‘𝐴) · (𝑋𝐴)) ∈ ℂ)
9695, 30, 70adddird 11315 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ((((∗‘𝐴) · (𝑋𝐴)) + 𝑃) · (𝑋𝐷)) = ((((∗‘𝐴) · (𝑋𝐴)) · (𝑋𝐷)) + (𝑃 · (𝑋𝐷))))
9731, 69, 70mulassd 11313 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (((∗‘𝐴) · (𝑋𝐴)) · (𝑋𝐷)) = ((∗‘𝐴) · ((𝑋𝐴) · (𝑋𝐷))))
981, 18, 1, 15mulsubd 11749 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → ((𝑋𝐴) · (𝑋𝐷)) = (((𝑋 · 𝑋) + (𝐷 · 𝐴)) − ((𝑋 · 𝐷) + (𝑋 · 𝐴))))
991sqvald 14193 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → (𝑋↑2) = (𝑋 · 𝑋))
10099oveq1d 7463 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → ((𝑋↑2) + (𝐷 · 𝐴)) = ((𝑋 · 𝑋) + (𝐷 · 𝐴)))
1011, 15, 18adddid 11314 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → (𝑋 · (𝐷 + 𝐴)) = ((𝑋 · 𝐷) + (𝑋 · 𝐴)))
102100, 101oveq12d 7466 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → (((𝑋↑2) + (𝐷 · 𝐴)) − (𝑋 · (𝐷 + 𝐴))) = (((𝑋 · 𝑋) + (𝐷 · 𝐴)) − ((𝑋 · 𝐷) + (𝑋 · 𝐴))))
1031, 19mulcld 11310 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → (𝑋 · (𝐷 + 𝐴)) ∈ ℂ)
1042, 47, 103addsubd 11668 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → (((𝑋↑2) + (𝐷 · 𝐴)) − (𝑋 · (𝐷 + 𝐴))) = (((𝑋↑2) − (𝑋 · (𝐷 + 𝐴))) + (𝐷 · 𝐴)))
10598, 102, 1043eqtr2d 2786 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → ((𝑋𝐴) · (𝑋𝐷)) = (((𝑋↑2) − (𝑋 · (𝐷 + 𝐴))) + (𝐷 · 𝐴)))
106105oveq2d 7464 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → ((∗‘𝐴) · ((𝑋𝐴) · (𝑋𝐷))) = ((∗‘𝐴) · (((𝑋↑2) − (𝑋 · (𝐷 + 𝐴))) + (𝐷 · 𝐴))))
1072, 103subcld 11647 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → ((𝑋↑2) − (𝑋 · (𝐷 + 𝐴))) ∈ ℂ)
10831, 107, 47adddid 11314 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → ((∗‘𝐴) · (((𝑋↑2) − (𝑋 · (𝐷 + 𝐴))) + (𝐷 · 𝐴))) = (((∗‘𝐴) · ((𝑋↑2) − (𝑋 · (𝐷 + 𝐴)))) + ((∗‘𝐴) · (𝐷 · 𝐴))))
10997, 106, 1083eqtrd 2784 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (((∗‘𝐴) · (𝑋𝐴)) · (𝑋𝐷)) = (((∗‘𝐴) · ((𝑋↑2) − (𝑋 · (𝐷 + 𝐴)))) + ((∗‘𝐴) · (𝐷 · 𝐴))))
11030, 1, 15subdid 11746 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝑃 · (𝑋𝐷)) = ((𝑃 · 𝑋) − (𝑃 · 𝐷)))
111109, 110oveq12d 7466 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ((((∗‘𝐴) · (𝑋𝐴)) · (𝑋𝐷)) + (𝑃 · (𝑋𝐷))) = ((((∗‘𝐴) · ((𝑋↑2) − (𝑋 · (𝐷 + 𝐴)))) + ((∗‘𝐴) · (𝐷 · 𝐴))) + ((𝑃 · 𝑋) − (𝑃 · 𝐷))))
11294, 96, 1113eqtrd 2784 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((((∗‘𝐴) + (𝑃 / (𝑋𝐴))) · (𝑋𝐴)) · (𝑋𝐷)) = ((((∗‘𝐴) · ((𝑋↑2) − (𝑋 · (𝐷 + 𝐴)))) + ((∗‘𝐴) · (𝐷 · 𝐴))) + ((𝑃 · 𝑋) − (𝑃 · 𝐷))))
1131, 18cjsubd 32755 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (∗‘(𝑋𝐴)) = ((∗‘𝑋) − (∗‘𝐴)))
114113, 87eqtr3d 2782 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → ((∗‘𝑋) − (∗‘𝐴)) = (𝑃 / (𝑋𝐴)))
1151cjcld 15245 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (∗‘𝑋) ∈ ℂ)
116115, 31, 88subaddd 11665 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (((∗‘𝑋) − (∗‘𝐴)) = (𝑃 / (𝑋𝐴)) ↔ ((∗‘𝐴) + (𝑃 / (𝑋𝐴))) = (∗‘𝑋)))
117114, 116mpbid 232 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ((∗‘𝐴) + (𝑃 / (𝑋𝐴))) = (∗‘𝑋))
118117oveq1d 7463 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (((∗‘𝐴) + (𝑃 / (𝑋𝐴))) · ((𝑋𝐴) · (𝑋𝐷))) = ((∗‘𝑋) · ((𝑋𝐴) · (𝑋𝐷))))
11990, 112, 1183eqtr3rd 2789 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((∗‘𝑋) · ((𝑋𝐴) · (𝑋𝐷))) = ((((∗‘𝐴) · ((𝑋↑2) − (𝑋 · (𝐷 + 𝐴)))) + ((∗‘𝐴) · (𝐷 · 𝐴))) + ((𝑃 · 𝑋) − (𝑃 · 𝐷))))
12031, 107mulcld 11310 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ((∗‘𝐴) · ((𝑋↑2) − (𝑋 · (𝐷 + 𝐴)))) ∈ ℂ)
121120, 48addcld 11309 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (((∗‘𝐴) · ((𝑋↑2) − (𝑋 · (𝐷 + 𝐴)))) + ((∗‘𝐴) · (𝐷 · 𝐴))) ∈ ℂ)
12230, 1mulcld 11310 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝑃 · 𝑋) ∈ ℂ)
123121, 122, 49addsubassd 11667 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (((((∗‘𝐴) · ((𝑋↑2) − (𝑋 · (𝐷 + 𝐴)))) + ((∗‘𝐴) · (𝐷 · 𝐴))) + (𝑃 · 𝑋)) − (𝑃 · 𝐷)) = ((((∗‘𝐴) · ((𝑋↑2) − (𝑋 · (𝐷 + 𝐴)))) + ((∗‘𝐴) · (𝐷 · 𝐴))) + ((𝑃 · 𝑋) − (𝑃 · 𝐷))))
124120, 48, 122add32d 11517 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((((∗‘𝐴) · ((𝑋↑2) − (𝑋 · (𝐷 + 𝐴)))) + ((∗‘𝐴) · (𝐷 · 𝐴))) + (𝑃 · 𝑋)) = ((((∗‘𝐴) · ((𝑋↑2) − (𝑋 · (𝐷 + 𝐴)))) + (𝑃 · 𝑋)) + ((∗‘𝐴) · (𝐷 · 𝐴))))
125124oveq1d 7463 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (((((∗‘𝐴) · ((𝑋↑2) − (𝑋 · (𝐷 + 𝐴)))) + ((∗‘𝐴) · (𝐷 · 𝐴))) + (𝑃 · 𝑋)) − (𝑃 · 𝐷)) = (((((∗‘𝐴) · ((𝑋↑2) − (𝑋 · (𝐷 + 𝐴)))) + (𝑃 · 𝑋)) + ((∗‘𝐴) · (𝐷 · 𝐴))) − (𝑃 · 𝐷)))
126119, 123, 1253eqtr2d 2786 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((∗‘𝑋) · ((𝑋𝐴) · (𝑋𝐷))) = (((((∗‘𝐴) · ((𝑋↑2) − (𝑋 · (𝐷 + 𝐴)))) + (𝑃 · 𝑋)) + ((∗‘𝐴) · (𝐷 · 𝐴))) − (𝑃 · 𝐷)))
127120, 122addcld 11309 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (((∗‘𝐴) · ((𝑋↑2) − (𝑋 · (𝐷 + 𝐴)))) + (𝑃 · 𝑋)) ∈ ℂ)
128127, 48, 49addsubassd 11667 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (((((∗‘𝐴) · ((𝑋↑2) − (𝑋 · (𝐷 + 𝐴)))) + (𝑃 · 𝑋)) + ((∗‘𝐴) · (𝐷 · 𝐴))) − (𝑃 · 𝐷)) = ((((∗‘𝐴) · ((𝑋↑2) − (𝑋 · (𝐷 + 𝐴)))) + (𝑃 · 𝑋)) + (((∗‘𝐴) · (𝐷 · 𝐴)) − (𝑃 · 𝐷))))
12932, 1mulcld 11310 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (((∗‘𝐴) · (𝐷 + 𝐴)) · 𝑋) ∈ ℂ)
13066, 129, 122subadd23d 11669 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((((∗‘𝐴) · (𝑋↑2)) − (((∗‘𝐴) · (𝐷 + 𝐴)) · 𝑋)) + (𝑃 · 𝑋)) = (((∗‘𝐴) · (𝑋↑2)) + ((𝑃 · 𝑋) − (((∗‘𝐴) · (𝐷 + 𝐴)) · 𝑋))))
13131, 2, 103subdid 11746 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → ((∗‘𝐴) · ((𝑋↑2) − (𝑋 · (𝐷 + 𝐴)))) = (((∗‘𝐴) · (𝑋↑2)) − ((∗‘𝐴) · (𝑋 · (𝐷 + 𝐴)))))
13231, 1, 19mul12d 11499 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → ((∗‘𝐴) · (𝑋 · (𝐷 + 𝐴))) = (𝑋 · ((∗‘𝐴) · (𝐷 + 𝐴))))
1331, 32mulcomd 11311 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (𝑋 · ((∗‘𝐴) · (𝐷 + 𝐴))) = (((∗‘𝐴) · (𝐷 + 𝐴)) · 𝑋))
134132, 133eqtrd 2780 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → ((∗‘𝐴) · (𝑋 · (𝐷 + 𝐴))) = (((∗‘𝐴) · (𝐷 + 𝐴)) · 𝑋))
135134oveq2d 7464 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (((∗‘𝐴) · (𝑋↑2)) − ((∗‘𝐴) · (𝑋 · (𝐷 + 𝐴)))) = (((∗‘𝐴) · (𝑋↑2)) − (((∗‘𝐴) · (𝐷 + 𝐴)) · 𝑋)))
136131, 135eqtrd 2780 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ((∗‘𝐴) · ((𝑋↑2) − (𝑋 · (𝐷 + 𝐴)))) = (((∗‘𝐴) · (𝑋↑2)) − (((∗‘𝐴) · (𝐷 + 𝐴)) · 𝑋)))
137136oveq1d 7463 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (((∗‘𝐴) · ((𝑋↑2) − (𝑋 · (𝐷 + 𝐴)))) + (𝑃 · 𝑋)) = ((((∗‘𝐴) · (𝑋↑2)) − (((∗‘𝐴) · (𝐷 + 𝐴)) · 𝑋)) + (𝑃 · 𝑋)))
13830, 32, 1subdird 11747 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ((𝑃 − ((∗‘𝐴) · (𝐷 + 𝐴))) · 𝑋) = ((𝑃 · 𝑋) − (((∗‘𝐴) · (𝐷 + 𝐴)) · 𝑋)))
139138oveq2d 7464 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (((∗‘𝐴) · (𝑋↑2)) + ((𝑃 − ((∗‘𝐴) · (𝐷 + 𝐴))) · 𝑋)) = (((∗‘𝐴) · (𝑋↑2)) + ((𝑃 · 𝑋) − (((∗‘𝐴) · (𝐷 + 𝐴)) · 𝑋))))
140130, 137, 1393eqtr4d 2790 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (((∗‘𝐴) · ((𝑋↑2) − (𝑋 · (𝐷 + 𝐴)))) + (𝑃 · 𝑋)) = (((∗‘𝐴) · (𝑋↑2)) + ((𝑃 − ((∗‘𝐴) · (𝐷 + 𝐴))) · 𝑋)))
141140oveq1d 7463 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((((∗‘𝐴) · ((𝑋↑2) − (𝑋 · (𝐷 + 𝐴)))) + (𝑃 · 𝑋)) + (((∗‘𝐴) · (𝐷 · 𝐴)) − (𝑃 · 𝐷))) = ((((∗‘𝐴) · (𝑋↑2)) + ((𝑃 − ((∗‘𝐴) · (𝐷 + 𝐴))) · 𝑋)) + (((∗‘𝐴) · (𝐷 · 𝐴)) − (𝑃 · 𝐷))))
142126, 128, 1413eqtrd 2784 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((∗‘𝑋) · ((𝑋𝐴) · (𝑋𝐷))) = ((((∗‘𝐴) · (𝑋↑2)) + ((𝑃 − ((∗‘𝐴) · (𝐷 + 𝐴))) · 𝑋)) + (((∗‘𝐴) · (𝐷 · 𝐴)) − (𝑃 · 𝐷))))
14370cjcld 15245 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (∗‘(𝑋𝐷)) ∈ ℂ)
144 constrrtcc.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → (abs‘(𝑋𝐷)) = (abs‘(𝐸𝐹)))
145 constrrtcclem.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑𝐸𝐹)
1467, 9, 145subne0d 11656 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → (𝐸𝐹) ≠ 0)
14710, 146absne0d 15496 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → (abs‘(𝐸𝐹)) ≠ 0)
148144, 147eqnetrd 3014 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → (abs‘(𝑋𝐷)) ≠ 0)
14970abs00ad 15339 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → ((abs‘(𝑋𝐷)) = 0 ↔ (𝑋𝐷) = 0))
150149necon3bid 2991 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → ((abs‘(𝑋𝐷)) ≠ 0 ↔ (𝑋𝐷) ≠ 0))
151148, 150mpbid 232 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (𝑋𝐷) ≠ 0)
152144oveq1d 7463 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → ((abs‘(𝑋𝐷))↑2) = ((abs‘(𝐸𝐹))↑2))
15370absvalsqd 15491 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → ((abs‘(𝑋𝐷))↑2) = ((𝑋𝐷) · (∗‘(𝑋𝐷))))
15410absvalsqd 15491 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → ((abs‘(𝐸𝐹))↑2) = ((𝐸𝐹) · (∗‘(𝐸𝐹))))
155152, 153, 1543eqtr3d 2788 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → ((𝑋𝐷) · (∗‘(𝑋𝐷))) = ((𝐸𝐹) · (∗‘(𝐸𝐹))))
156155, 4eqtr4di 2798 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → ((𝑋𝐷) · (∗‘(𝑋𝐷))) = 𝑄)
15770, 143, 151, 156mvllmuld 12126 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (∗‘(𝑋𝐷)) = (𝑄 / (𝑋𝐷)))
158157, 143eqeltrrd 2845 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝑄 / (𝑋𝐷)) ∈ ℂ)
15916, 158addcld 11309 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ((∗‘𝐷) + (𝑄 / (𝑋𝐷))) ∈ ℂ)
160159, 70, 69mulassd 11313 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((((∗‘𝐷) + (𝑄 / (𝑋𝐷))) · (𝑋𝐷)) · (𝑋𝐴)) = (((∗‘𝐷) + (𝑄 / (𝑋𝐷))) · ((𝑋𝐷) · (𝑋𝐴))))
16113, 70, 151divcan1d 12071 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → ((𝑄 / (𝑋𝐷)) · (𝑋𝐷)) = 𝑄)
162161oveq2d 7464 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (((∗‘𝐷) · (𝑋𝐷)) + ((𝑄 / (𝑋𝐷)) · (𝑋𝐷))) = (((∗‘𝐷) · (𝑋𝐷)) + 𝑄))
16316, 70, 158, 162joinlmuladdmuld 11317 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (((∗‘𝐷) + (𝑄 / (𝑋𝐷))) · (𝑋𝐷)) = (((∗‘𝐷) · (𝑋𝐷)) + 𝑄))
164163oveq1d 7463 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ((((∗‘𝐷) + (𝑄 / (𝑋𝐷))) · (𝑋𝐷)) · (𝑋𝐴)) = ((((∗‘𝐷) · (𝑋𝐷)) + 𝑄) · (𝑋𝐴)))
16516, 70mulcld 11310 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → ((∗‘𝐷) · (𝑋𝐷)) ∈ ℂ)
166165, 13, 69adddird 11315 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ((((∗‘𝐷) · (𝑋𝐷)) + 𝑄) · (𝑋𝐴)) = ((((∗‘𝐷) · (𝑋𝐷)) · (𝑋𝐴)) + (𝑄 · (𝑋𝐴))))
16716, 70, 69mulassd 11313 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (((∗‘𝐷) · (𝑋𝐷)) · (𝑋𝐴)) = ((∗‘𝐷) · ((𝑋𝐷) · (𝑋𝐴))))
16871oveq2d 7464 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → ((∗‘𝐷) · ((𝑋𝐴) · (𝑋𝐷))) = ((∗‘𝐷) · ((𝑋𝐷) · (𝑋𝐴))))
169167, 168eqtr4d 2783 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (((∗‘𝐷) · (𝑋𝐷)) · (𝑋𝐴)) = ((∗‘𝐷) · ((𝑋𝐴) · (𝑋𝐷))))
170105oveq2d 7464 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → ((∗‘𝐷) · ((𝑋𝐴) · (𝑋𝐷))) = ((∗‘𝐷) · (((𝑋↑2) − (𝑋 · (𝐷 + 𝐴))) + (𝐷 · 𝐴))))
17116, 107, 47adddid 11314 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → ((∗‘𝐷) · (((𝑋↑2) − (𝑋 · (𝐷 + 𝐴))) + (𝐷 · 𝐴))) = (((∗‘𝐷) · ((𝑋↑2) − (𝑋 · (𝐷 + 𝐴)))) + ((∗‘𝐷) · (𝐷 · 𝐴))))
172169, 170, 1713eqtrd 2784 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (((∗‘𝐷) · (𝑋𝐷)) · (𝑋𝐴)) = (((∗‘𝐷) · ((𝑋↑2) − (𝑋 · (𝐷 + 𝐴)))) + ((∗‘𝐷) · (𝐷 · 𝐴))))
17313, 1, 18subdid 11746 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝑄 · (𝑋𝐴)) = ((𝑄 · 𝑋) − (𝑄 · 𝐴)))
174172, 173oveq12d 7466 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ((((∗‘𝐷) · (𝑋𝐷)) · (𝑋𝐴)) + (𝑄 · (𝑋𝐴))) = ((((∗‘𝐷) · ((𝑋↑2) − (𝑋 · (𝐷 + 𝐴)))) + ((∗‘𝐷) · (𝐷 · 𝐴))) + ((𝑄 · 𝑋) − (𝑄 · 𝐴))))
175164, 166, 1743eqtrd 2784 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((((∗‘𝐷) + (𝑄 / (𝑋𝐷))) · (𝑋𝐷)) · (𝑋𝐴)) = ((((∗‘𝐷) · ((𝑋↑2) − (𝑋 · (𝐷 + 𝐴)))) + ((∗‘𝐷) · (𝐷 · 𝐴))) + ((𝑄 · 𝑋) − (𝑄 · 𝐴))))
1761, 15cjsubd 32755 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (∗‘(𝑋𝐷)) = ((∗‘𝑋) − (∗‘𝐷)))
177176, 157eqtr3d 2782 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → ((∗‘𝑋) − (∗‘𝐷)) = (𝑄 / (𝑋𝐷)))
178115, 16, 158subaddd 11665 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (((∗‘𝑋) − (∗‘𝐷)) = (𝑄 / (𝑋𝐷)) ↔ ((∗‘𝐷) + (𝑄 / (𝑋𝐷))) = (∗‘𝑋)))
179177, 178mpbid 232 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ((∗‘𝐷) + (𝑄 / (𝑋𝐷))) = (∗‘𝑋))
180179oveq1d 7463 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (((∗‘𝐷) + (𝑄 / (𝑋𝐷))) · ((𝑋𝐷) · (𝑋𝐴))) = ((∗‘𝑋) · ((𝑋𝐷) · (𝑋𝐴))))
181160, 175, 1803eqtr3rd 2789 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((∗‘𝑋) · ((𝑋𝐷) · (𝑋𝐴))) = ((((∗‘𝐷) · ((𝑋↑2) − (𝑋 · (𝐷 + 𝐴)))) + ((∗‘𝐷) · (𝐷 · 𝐴))) + ((𝑄 · 𝑋) − (𝑄 · 𝐴))))
18216, 107mulcld 11310 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ((∗‘𝐷) · ((𝑋↑2) − (𝑋 · (𝐷 + 𝐴)))) ∈ ℂ)
183182, 51addcld 11309 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (((∗‘𝐷) · ((𝑋↑2) − (𝑋 · (𝐷 + 𝐴)))) + ((∗‘𝐷) · (𝐷 · 𝐴))) ∈ ℂ)
18413, 1mulcld 11310 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝑄 · 𝑋) ∈ ℂ)
185183, 184, 52addsubassd 11667 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (((((∗‘𝐷) · ((𝑋↑2) − (𝑋 · (𝐷 + 𝐴)))) + ((∗‘𝐷) · (𝐷 · 𝐴))) + (𝑄 · 𝑋)) − (𝑄 · 𝐴)) = ((((∗‘𝐷) · ((𝑋↑2) − (𝑋 · (𝐷 + 𝐴)))) + ((∗‘𝐷) · (𝐷 · 𝐴))) + ((𝑄 · 𝑋) − (𝑄 · 𝐴))))
186182, 51, 184add32d 11517 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((((∗‘𝐷) · ((𝑋↑2) − (𝑋 · (𝐷 + 𝐴)))) + ((∗‘𝐷) · (𝐷 · 𝐴))) + (𝑄 · 𝑋)) = ((((∗‘𝐷) · ((𝑋↑2) − (𝑋 · (𝐷 + 𝐴)))) + (𝑄 · 𝑋)) + ((∗‘𝐷) · (𝐷 · 𝐴))))
187186oveq1d 7463 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (((((∗‘𝐷) · ((𝑋↑2) − (𝑋 · (𝐷 + 𝐴)))) + ((∗‘𝐷) · (𝐷 · 𝐴))) + (𝑄 · 𝑋)) − (𝑄 · 𝐴)) = (((((∗‘𝐷) · ((𝑋↑2) − (𝑋 · (𝐷 + 𝐴)))) + (𝑄 · 𝑋)) + ((∗‘𝐷) · (𝐷 · 𝐴))) − (𝑄 · 𝐴)))
188181, 185, 1873eqtr2d 2786 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((∗‘𝑋) · ((𝑋𝐷) · (𝑋𝐴))) = (((((∗‘𝐷) · ((𝑋↑2) − (𝑋 · (𝐷 + 𝐴)))) + (𝑄 · 𝑋)) + ((∗‘𝐷) · (𝐷 · 𝐴))) − (𝑄 · 𝐴)))
189182, 184addcld 11309 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (((∗‘𝐷) · ((𝑋↑2) − (𝑋 · (𝐷 + 𝐴)))) + (𝑄 · 𝑋)) ∈ ℂ)
190189, 51, 52addsubassd 11667 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (((((∗‘𝐷) · ((𝑋↑2) − (𝑋 · (𝐷 + 𝐴)))) + (𝑄 · 𝑋)) + ((∗‘𝐷) · (𝐷 · 𝐴))) − (𝑄 · 𝐴)) = ((((∗‘𝐷) · ((𝑋↑2) − (𝑋 · (𝐷 + 𝐴)))) + (𝑄 · 𝑋)) + (((∗‘𝐷) · (𝐷 · 𝐴)) − (𝑄 · 𝐴))))
19120, 1mulcld 11310 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (((∗‘𝐷) · (𝐷 + 𝐴)) · 𝑋) ∈ ℂ)
19264, 191, 184subadd23d 11669 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((((∗‘𝐷) · (𝑋↑2)) − (((∗‘𝐷) · (𝐷 + 𝐴)) · 𝑋)) + (𝑄 · 𝑋)) = (((∗‘𝐷) · (𝑋↑2)) + ((𝑄 · 𝑋) − (((∗‘𝐷) · (𝐷 + 𝐴)) · 𝑋))))
19316, 2, 103subdid 11746 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → ((∗‘𝐷) · ((𝑋↑2) − (𝑋 · (𝐷 + 𝐴)))) = (((∗‘𝐷) · (𝑋↑2)) − ((∗‘𝐷) · (𝑋 · (𝐷 + 𝐴)))))
19416, 1, 19mul12d 11499 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → ((∗‘𝐷) · (𝑋 · (𝐷 + 𝐴))) = (𝑋 · ((∗‘𝐷) · (𝐷 + 𝐴))))
1951, 20mulcomd 11311 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (𝑋 · ((∗‘𝐷) · (𝐷 + 𝐴))) = (((∗‘𝐷) · (𝐷 + 𝐴)) · 𝑋))
196194, 195eqtrd 2780 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → ((∗‘𝐷) · (𝑋 · (𝐷 + 𝐴))) = (((∗‘𝐷) · (𝐷 + 𝐴)) · 𝑋))
197196oveq2d 7464 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (((∗‘𝐷) · (𝑋↑2)) − ((∗‘𝐷) · (𝑋 · (𝐷 + 𝐴)))) = (((∗‘𝐷) · (𝑋↑2)) − (((∗‘𝐷) · (𝐷 + 𝐴)) · 𝑋)))
198193, 197eqtrd 2780 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ((∗‘𝐷) · ((𝑋↑2) − (𝑋 · (𝐷 + 𝐴)))) = (((∗‘𝐷) · (𝑋↑2)) − (((∗‘𝐷) · (𝐷 + 𝐴)) · 𝑋)))
199198oveq1d 7463 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (((∗‘𝐷) · ((𝑋↑2) − (𝑋 · (𝐷 + 𝐴)))) + (𝑄 · 𝑋)) = ((((∗‘𝐷) · (𝑋↑2)) − (((∗‘𝐷) · (𝐷 + 𝐴)) · 𝑋)) + (𝑄 · 𝑋)))
20013, 20, 1subdird 11747 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ((𝑄 − ((∗‘𝐷) · (𝐷 + 𝐴))) · 𝑋) = ((𝑄 · 𝑋) − (((∗‘𝐷) · (𝐷 + 𝐴)) · 𝑋)))
201200oveq2d 7464 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (((∗‘𝐷) · (𝑋↑2)) + ((𝑄 − ((∗‘𝐷) · (𝐷 + 𝐴))) · 𝑋)) = (((∗‘𝐷) · (𝑋↑2)) + ((𝑄 · 𝑋) − (((∗‘𝐷) · (𝐷 + 𝐴)) · 𝑋))))
202192, 199, 2013eqtr4d 2790 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (((∗‘𝐷) · ((𝑋↑2) − (𝑋 · (𝐷 + 𝐴)))) + (𝑄 · 𝑋)) = (((∗‘𝐷) · (𝑋↑2)) + ((𝑄 − ((∗‘𝐷) · (𝐷 + 𝐴))) · 𝑋)))
203202oveq1d 7463 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((((∗‘𝐷) · ((𝑋↑2) − (𝑋 · (𝐷 + 𝐴)))) + (𝑄 · 𝑋)) + (((∗‘𝐷) · (𝐷 · 𝐴)) − (𝑄 · 𝐴))) = ((((∗‘𝐷) · (𝑋↑2)) + ((𝑄 − ((∗‘𝐷) · (𝐷 + 𝐴))) · 𝑋)) + (((∗‘𝐷) · (𝐷 · 𝐴)) − (𝑄 · 𝐴))))
204188, 190, 2033eqtrd 2784 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((∗‘𝑋) · ((𝑋𝐷) · (𝑋𝐴))) = ((((∗‘𝐷) · (𝑋↑2)) + ((𝑄 − ((∗‘𝐷) · (𝐷 + 𝐴))) · 𝑋)) + (((∗‘𝐷) · (𝐷 · 𝐴)) − (𝑄 · 𝐴))))
20572, 142, 2043eqtr3d 2788 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((((∗‘𝐴) · (𝑋↑2)) + ((𝑃 − ((∗‘𝐴) · (𝐷 + 𝐴))) · 𝑋)) + (((∗‘𝐴) · (𝐷 · 𝐴)) − (𝑃 · 𝐷))) = ((((∗‘𝐷) · (𝑋↑2)) + ((𝑄 − ((∗‘𝐷) · (𝐷 + 𝐴))) · 𝑋)) + (((∗‘𝐷) · (𝐷 · 𝐴)) − (𝑄 · 𝐴))))
206140, 127eqeltrrd 2845 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (((∗‘𝐴) · (𝑋↑2)) + ((𝑃 − ((∗‘𝐴) · (𝐷 + 𝐴))) · 𝑋)) ∈ ℂ)
207202, 189eqeltrrd 2845 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (((∗‘𝐷) · (𝑋↑2)) + ((𝑄 − ((∗‘𝐷) · (𝐷 + 𝐴))) · 𝑋)) ∈ ℂ)
208206, 50, 207, 53addsubeq4d 11698 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (((((∗‘𝐴) · (𝑋↑2)) + ((𝑃 − ((∗‘𝐴) · (𝐷 + 𝐴))) · 𝑋)) + (((∗‘𝐴) · (𝐷 · 𝐴)) − (𝑃 · 𝐷))) = ((((∗‘𝐷) · (𝑋↑2)) + ((𝑄 − ((∗‘𝐷) · (𝐷 + 𝐴))) · 𝑋)) + (((∗‘𝐷) · (𝐷 · 𝐴)) − (𝑄 · 𝐴))) ↔ ((((∗‘𝐷) · (𝑋↑2)) + ((𝑄 − ((∗‘𝐷) · (𝐷 + 𝐴))) · 𝑋)) − (((∗‘𝐴) · (𝑋↑2)) + ((𝑃 − ((∗‘𝐴) · (𝐷 + 𝐴))) · 𝑋))) = ((((∗‘𝐴) · (𝐷 · 𝐴)) − (𝑃 · 𝐷)) − (((∗‘𝐷) · (𝐷 · 𝐴)) − (𝑄 · 𝐴)))))
209205, 208mpbid 232 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((((∗‘𝐷) · (𝑋↑2)) + ((𝑄 − ((∗‘𝐷) · (𝐷 + 𝐴))) · 𝑋)) − (((∗‘𝐴) · (𝑋↑2)) + ((𝑃 − ((∗‘𝐴) · (𝐷 + 𝐴))) · 𝑋))) = ((((∗‘𝐴) · (𝐷 · 𝐴)) − (𝑃 · 𝐷)) − (((∗‘𝐷) · (𝐷 · 𝐴)) − (𝑄 · 𝐴))))
21063, 68, 2093eqtr2d 2786 . . . . . . 7 (𝜑 → ((((∗‘𝐷) − (∗‘𝐴)) · (𝑋↑2)) + (((𝑄 − ((∗‘𝐷) · (𝐷 + 𝐴))) − (𝑃 − ((∗‘𝐴) · (𝐷 + 𝐴)))) · 𝑋)) = ((((∗‘𝐴) · (𝐷 · 𝐴)) − (𝑃 · 𝐷)) − (((∗‘𝐷) · (𝐷 · 𝐴)) − (𝑄 · 𝐴))))
21159, 60, 210mvlraddd 11700 . . . . . 6 (𝜑 → (((∗‘𝐷) − (∗‘𝐴)) · (𝑋↑2)) = (((((∗‘𝐴) · (𝐷 · 𝐴)) − (𝑃 · 𝐷)) − (((∗‘𝐷) · (𝐷 · 𝐴)) − (𝑄 · 𝐴))) − (((𝑄 − ((∗‘𝐷) · (𝐷 + 𝐴))) − (𝑃 − ((∗‘𝐴) · (𝐷 + 𝐴)))) · 𝑋)))
21235, 2, 42, 211mvllmuld 12126 . . . . 5 (𝜑 → (𝑋↑2) = ((((((∗‘𝐴) · (𝐷 · 𝐴)) − (𝑃 · 𝐷)) − (((∗‘𝐷) · (𝐷 · 𝐴)) − (𝑄 · 𝐴))) − (((𝑄 − ((∗‘𝐷) · (𝐷 + 𝐴))) − (𝑃 − ((∗‘𝐴) · (𝐷 + 𝐴)))) · 𝑋)) / ((∗‘𝐷) − (∗‘𝐴))))
21354, 60, 35, 42divsubdird 12109 . . . . . 6 (𝜑 → ((((((∗‘𝐴) · (𝐷 · 𝐴)) − (𝑃 · 𝐷)) − (((∗‘𝐷) · (𝐷 · 𝐴)) − (𝑄 · 𝐴))) − (((𝑄 − ((∗‘𝐷) · (𝐷 + 𝐴))) − (𝑃 − ((∗‘𝐴) · (𝐷 + 𝐴)))) · 𝑋)) / ((∗‘𝐷) − (∗‘𝐴))) = ((((((∗‘𝐴) · (𝐷 · 𝐴)) − (𝑃 · 𝐷)) − (((∗‘𝐷) · (𝐷 · 𝐴)) − (𝑄 · 𝐴))) / ((∗‘𝐷) − (∗‘𝐴))) − ((((𝑄 − ((∗‘𝐷) · (𝐷 + 𝐴))) − (𝑃 − ((∗‘𝐴) · (𝐷 + 𝐴)))) · 𝑋) / ((∗‘𝐷) − (∗‘𝐴)))))
21446eqcomi 2749 . . . . . . . . 9 -(((((∗‘𝐴) · (𝐷 · 𝐴)) − (𝑃 · 𝐷)) − (((∗‘𝐷) · (𝐷 · 𝐴)) − (𝑄 · 𝐴))) / ((∗‘𝐷) − (∗‘𝐴))) = 𝑁
215214a1i 11 . . . . . . . 8 (𝜑 → -(((((∗‘𝐴) · (𝐷 · 𝐴)) − (𝑃 · 𝐷)) − (((∗‘𝐷) · (𝐷 · 𝐴)) − (𝑄 · 𝐴))) / ((∗‘𝐷) − (∗‘𝐴))) = 𝑁)
21655, 215negcon1ad 11642 . . . . . . 7 (𝜑 → -𝑁 = (((((∗‘𝐴) · (𝐷 · 𝐴)) − (𝑃 · 𝐷)) − (((∗‘𝐷) · (𝐷 · 𝐴)) − (𝑄 · 𝐴))) / ((∗‘𝐷) − (∗‘𝐴))))
217216oveq1d 7463 . . . . . 6 (𝜑 → (-𝑁 − ((((𝑄 − ((∗‘𝐷) · (𝐷 + 𝐴))) − (𝑃 − ((∗‘𝐴) · (𝐷 + 𝐴)))) · 𝑋) / ((∗‘𝐷) − (∗‘𝐴)))) = ((((((∗‘𝐴) · (𝐷 · 𝐴)) − (𝑃 · 𝐷)) − (((∗‘𝐷) · (𝐷 · 𝐴)) − (𝑄 · 𝐴))) / ((∗‘𝐷) − (∗‘𝐴))) − ((((𝑄 − ((∗‘𝐷) · (𝐷 + 𝐴))) − (𝑃 − ((∗‘𝐴) · (𝐷 + 𝐴)))) · 𝑋) / ((∗‘𝐷) − (∗‘𝐴)))))
218213, 217eqtr4d 2783 . . . . 5 (𝜑 → ((((((∗‘𝐴) · (𝐷 · 𝐴)) − (𝑃 · 𝐷)) − (((∗‘𝐷) · (𝐷 · 𝐴)) − (𝑄 · 𝐴))) − (((𝑄 − ((∗‘𝐷) · (𝐷 + 𝐴))) − (𝑃 − ((∗‘𝐴) · (𝐷 + 𝐴)))) · 𝑋)) / ((∗‘𝐷) − (∗‘𝐴))) = (-𝑁 − ((((𝑄 − ((∗‘𝐷) · (𝐷 + 𝐴))) − (𝑃 − ((∗‘𝐴) · (𝐷 + 𝐴)))) · 𝑋) / ((∗‘𝐷) − (∗‘𝐴)))))
21934, 1, 35, 42div23d 12107 . . . . . . 7 (𝜑 → ((((𝑄 − ((∗‘𝐷) · (𝐷 + 𝐴))) − (𝑃 − ((∗‘𝐴) · (𝐷 + 𝐴)))) · 𝑋) / ((∗‘𝐷) − (∗‘𝐴))) = ((((𝑄 − ((∗‘𝐷) · (𝐷 + 𝐴))) − (𝑃 − ((∗‘𝐴) · (𝐷 + 𝐴)))) / ((∗‘𝐷) − (∗‘𝐴))) · 𝑋))
2203oveq1i 7458 . . . . . . 7 (𝑀 · 𝑋) = ((((𝑄 − ((∗‘𝐷) · (𝐷 + 𝐴))) − (𝑃 − ((∗‘𝐴) · (𝐷 + 𝐴)))) / ((∗‘𝐷) − (∗‘𝐴))) · 𝑋)
221219, 220eqtr4di 2798 . . . . . 6 (𝜑 → ((((𝑄 − ((∗‘𝐷) · (𝐷 + 𝐴))) − (𝑃 − ((∗‘𝐴) · (𝐷 + 𝐴)))) · 𝑋) / ((∗‘𝐷) − (∗‘𝐴))) = (𝑀 · 𝑋))
222221oveq2d 7464 . . . . 5 (𝜑 → (-𝑁 − ((((𝑄 − ((∗‘𝐷) · (𝐷 + 𝐴))) − (𝑃 − ((∗‘𝐴) · (𝐷 + 𝐴)))) · 𝑋) / ((∗‘𝐷) − (∗‘𝐴)))) = (-𝑁 − (𝑀 · 𝑋)))
223212, 218, 2223eqtrd 2784 . . . 4 (𝜑 → (𝑋↑2) = (-𝑁 − (𝑀 · 𝑋)))
224216, 55eqeltrd 2844 . . . . 5 (𝜑 → -𝑁 ∈ ℂ)
2252, 45, 224addlsub 11706 . . . 4 (𝜑 → (((𝑋↑2) + (𝑀 · 𝑋)) = -𝑁 ↔ (𝑋↑2) = (-𝑁 − (𝑀 · 𝑋))))
226223, 225mpbird 257 . . 3 (𝜑 → ((𝑋↑2) + (𝑀 · 𝑋)) = -𝑁)
2272, 45addcld 11309 . . . 4 (𝜑 → ((𝑋↑2) + (𝑀 · 𝑋)) ∈ ℂ)
228 addeq0 11713 . . . 4 ((((𝑋↑2) + (𝑀 · 𝑋)) ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ) → ((((𝑋↑2) + (𝑀 · 𝑋)) + 𝑁) = 0 ↔ ((𝑋↑2) + (𝑀 · 𝑋)) = -𝑁))
229227, 57, 228syl2anc 583 . . 3 (𝜑 → ((((𝑋↑2) + (𝑀 · 𝑋)) + 𝑁) = 0 ↔ ((𝑋↑2) + (𝑀 · 𝑋)) = -𝑁))
230226, 229mpbird 257 . 2 (𝜑 → (((𝑋↑2) + (𝑀 · 𝑋)) + 𝑁) = 0)
23158, 230eqtr3d 2782 1 (𝜑 → ((𝑋↑2) + ((𝑀 · 𝑋) + 𝑁)) = 0)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206   = wceq 1537  wcel 2108  wne 2946  wss 3976  cfv 6573  (class class class)co 7448  cc 11182  0cc0 11184   + caddc 11187   · cmul 11189  cmin 11520  -cneg 11521   / cdiv 11947  2c2 12348  cexp 14112  ccj 15145  abscabs 15283
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-cnex 11240  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-mulcom 11248  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260  ax-pre-mulgt0 11261  ax-pre-sup 11262
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rmo 3388  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6332  df-ord 6398  df-on 6399  df-lim 6400  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-om 7904  df-2nd 8031  df-frecs 8322  df-wrecs 8353  df-recs 8427  df-rdg 8466  df-er 8763  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-sup 9511  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11522  df-neg 11523  df-div 11948  df-nn 12294  df-2 12356  df-3 12357  df-n0 12554  df-z 12640  df-uz 12904  df-rp 13058  df-seq 14053  df-exp 14113  df-cj 15148  df-re 15149  df-im 15150  df-sqrt 15284  df-abs 15285
This theorem is referenced by:  constrrtcc  33726
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