Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  diainN Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem diainN 41040
Description: Inverse partial isomorphism A of an intersection. (Contributed by NM, 6-Dec-2013.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
diam.m = (meet‘𝐾)
diam.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
diam.i 𝐼 = ((DIsoA‘𝐾)‘𝑊)
Assertion
Ref Expression
diainN (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋 ∈ ran 𝐼𝑌 ∈ ran 𝐼)) → (𝑋𝑌) = (𝐼‘((𝐼𝑋) (𝐼𝑌))))

Proof of Theorem diainN
StepHypRef Expression
1 simpl 482 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋 ∈ ran 𝐼𝑌 ∈ ran 𝐼)) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
2 diam.h . . . . 5 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
3 diam.i . . . . 5 𝐼 = ((DIsoA‘𝐾)‘𝑊)
42, 3diacnvclN 41034 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑋 ∈ ran 𝐼) → (𝐼𝑋) ∈ dom 𝐼)
54adantrr 717 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋 ∈ ran 𝐼𝑌 ∈ ran 𝐼)) → (𝐼𝑋) ∈ dom 𝐼)
62, 3diacnvclN 41034 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑌 ∈ ran 𝐼) → (𝐼𝑌) ∈ dom 𝐼)
76adantrl 716 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋 ∈ ran 𝐼𝑌 ∈ ran 𝐼)) → (𝐼𝑌) ∈ dom 𝐼)
8 diam.m . . . 4 = (meet‘𝐾)
98, 2, 3diameetN 41039 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝐼𝑋) ∈ dom 𝐼 ∧ (𝐼𝑌) ∈ dom 𝐼)) → (𝐼‘((𝐼𝑋) (𝐼𝑌))) = ((𝐼‘(𝐼𝑋)) ∩ (𝐼‘(𝐼𝑌))))
101, 5, 7, 9syl12anc 837 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋 ∈ ran 𝐼𝑌 ∈ ran 𝐼)) → (𝐼‘((𝐼𝑋) (𝐼𝑌))) = ((𝐼‘(𝐼𝑋)) ∩ (𝐼‘(𝐼𝑌))))
112, 3diaf11N 41032 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → 𝐼:dom 𝐼1-1-onto→ran 𝐼)
1211adantr 480 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋 ∈ ran 𝐼𝑌 ∈ ran 𝐼)) → 𝐼:dom 𝐼1-1-onto→ran 𝐼)
13 simprl 771 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋 ∈ ran 𝐼𝑌 ∈ ran 𝐼)) → 𝑋 ∈ ran 𝐼)
14 f1ocnvfv2 7297 . . . 4 ((𝐼:dom 𝐼1-1-onto→ran 𝐼𝑋 ∈ ran 𝐼) → (𝐼‘(𝐼𝑋)) = 𝑋)
1512, 13, 14syl2anc 584 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋 ∈ ran 𝐼𝑌 ∈ ran 𝐼)) → (𝐼‘(𝐼𝑋)) = 𝑋)
16 simprr 773 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋 ∈ ran 𝐼𝑌 ∈ ran 𝐼)) → 𝑌 ∈ ran 𝐼)
17 f1ocnvfv2 7297 . . . 4 ((𝐼:dom 𝐼1-1-onto→ran 𝐼𝑌 ∈ ran 𝐼) → (𝐼‘(𝐼𝑌)) = 𝑌)
1812, 16, 17syl2anc 584 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋 ∈ ran 𝐼𝑌 ∈ ran 𝐼)) → (𝐼‘(𝐼𝑌)) = 𝑌)
1915, 18ineq12d 4229 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋 ∈ ran 𝐼𝑌 ∈ ran 𝐼)) → ((𝐼‘(𝐼𝑋)) ∩ (𝐼‘(𝐼𝑌))) = (𝑋𝑌))
2010, 19eqtr2d 2776 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋 ∈ ran 𝐼𝑌 ∈ ran 𝐼)) → (𝑋𝑌) = (𝐼‘((𝐼𝑋) (𝐼𝑌))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1537  wcel 2106  cin 3962  ccnv 5688  dom cdm 5689  ran crn 5690  1-1-ontowf1o 6562  cfv 6563  (class class class)co 7431  meetcmee 18370  HLchlt 39332  LHypclh 39967  DIsoAcdia 41011
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-riotaBAD 38935
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5583  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-undef 8297  df-map 8867  df-proset 18352  df-poset 18371  df-plt 18388  df-lub 18404  df-glb 18405  df-join 18406  df-meet 18407  df-p0 18483  df-p1 18484  df-lat 18490  df-clat 18557  df-oposet 39158  df-ol 39160  df-oml 39161  df-covers 39248  df-ats 39249  df-atl 39280  df-cvlat 39304  df-hlat 39333  df-llines 39481  df-lplanes 39482  df-lvols 39483  df-lines 39484  df-psubsp 39486  df-pmap 39487  df-padd 39779  df-lhyp 39971  df-laut 39972  df-ldil 40087  df-ltrn 40088  df-trl 40142  df-disoa 41012
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator