Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  diainN Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem diainN 40439
Description: Inverse partial isomorphism A of an intersection. (Contributed by NM, 6-Dec-2013.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
diam.m ∧ = (meetβ€˜πΎ)
diam.h 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
diam.i 𝐼 = ((DIsoAβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
Assertion
Ref Expression
diainN (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ ran 𝐼 ∧ π‘Œ ∈ ran 𝐼)) β†’ (𝑋 ∩ π‘Œ) = (πΌβ€˜((β—‘πΌβ€˜π‘‹) ∧ (β—‘πΌβ€˜π‘Œ))))

Proof of Theorem diainN
StepHypRef Expression
1 simpl 482 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ ran 𝐼 ∧ π‘Œ ∈ ran 𝐼)) β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻))
2 diam.h . . . . 5 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
3 diam.i . . . . 5 𝐼 = ((DIsoAβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
42, 3diacnvclN 40433 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ ran 𝐼) β†’ (β—‘πΌβ€˜π‘‹) ∈ dom 𝐼)
54adantrr 714 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ ran 𝐼 ∧ π‘Œ ∈ ran 𝐼)) β†’ (β—‘πΌβ€˜π‘‹) ∈ dom 𝐼)
62, 3diacnvclN 40433 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ π‘Œ ∈ ran 𝐼) β†’ (β—‘πΌβ€˜π‘Œ) ∈ dom 𝐼)
76adantrl 713 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ ran 𝐼 ∧ π‘Œ ∈ ran 𝐼)) β†’ (β—‘πΌβ€˜π‘Œ) ∈ dom 𝐼)
8 diam.m . . . 4 ∧ = (meetβ€˜πΎ)
98, 2, 3diameetN 40438 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ((β—‘πΌβ€˜π‘‹) ∈ dom 𝐼 ∧ (β—‘πΌβ€˜π‘Œ) ∈ dom 𝐼)) β†’ (πΌβ€˜((β—‘πΌβ€˜π‘‹) ∧ (β—‘πΌβ€˜π‘Œ))) = ((πΌβ€˜(β—‘πΌβ€˜π‘‹)) ∩ (πΌβ€˜(β—‘πΌβ€˜π‘Œ))))
101, 5, 7, 9syl12anc 834 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ ran 𝐼 ∧ π‘Œ ∈ ran 𝐼)) β†’ (πΌβ€˜((β—‘πΌβ€˜π‘‹) ∧ (β—‘πΌβ€˜π‘Œ))) = ((πΌβ€˜(β—‘πΌβ€˜π‘‹)) ∩ (πΌβ€˜(β—‘πΌβ€˜π‘Œ))))
112, 3diaf11N 40431 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ 𝐼:dom 𝐼–1-1-ontoβ†’ran 𝐼)
1211adantr 480 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ ran 𝐼 ∧ π‘Œ ∈ ran 𝐼)) β†’ 𝐼:dom 𝐼–1-1-ontoβ†’ran 𝐼)
13 simprl 768 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ ran 𝐼 ∧ π‘Œ ∈ ran 𝐼)) β†’ 𝑋 ∈ ran 𝐼)
14 f1ocnvfv2 7270 . . . 4 ((𝐼:dom 𝐼–1-1-ontoβ†’ran 𝐼 ∧ 𝑋 ∈ ran 𝐼) β†’ (πΌβ€˜(β—‘πΌβ€˜π‘‹)) = 𝑋)
1512, 13, 14syl2anc 583 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ ran 𝐼 ∧ π‘Œ ∈ ran 𝐼)) β†’ (πΌβ€˜(β—‘πΌβ€˜π‘‹)) = 𝑋)
16 simprr 770 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ ran 𝐼 ∧ π‘Œ ∈ ran 𝐼)) β†’ π‘Œ ∈ ran 𝐼)
17 f1ocnvfv2 7270 . . . 4 ((𝐼:dom 𝐼–1-1-ontoβ†’ran 𝐼 ∧ π‘Œ ∈ ran 𝐼) β†’ (πΌβ€˜(β—‘πΌβ€˜π‘Œ)) = π‘Œ)
1812, 16, 17syl2anc 583 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ ran 𝐼 ∧ π‘Œ ∈ ran 𝐼)) β†’ (πΌβ€˜(β—‘πΌβ€˜π‘Œ)) = π‘Œ)
1915, 18ineq12d 4208 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ ran 𝐼 ∧ π‘Œ ∈ ran 𝐼)) β†’ ((πΌβ€˜(β—‘πΌβ€˜π‘‹)) ∩ (πΌβ€˜(β—‘πΌβ€˜π‘Œ))) = (𝑋 ∩ π‘Œ))
2010, 19eqtr2d 2767 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ ran 𝐼 ∧ π‘Œ ∈ ran 𝐼)) β†’ (𝑋 ∩ π‘Œ) = (πΌβ€˜((β—‘πΌβ€˜π‘‹) ∧ (β—‘πΌβ€˜π‘Œ))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   ∩ cin 3942  β—‘ccnv 5668  dom cdm 5669  ran crn 5670  β€“1-1-ontoβ†’wf1o 6535  β€˜cfv 6536  (class class class)co 7404  meetcmee 18275  HLchlt 38731  LHypclh 39366  DIsoAcdia 40410
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7721  ax-riotaBAD 38334
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-iin 4993  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-id 5567  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-undef 8256  df-map 8821  df-proset 18258  df-poset 18276  df-plt 18293  df-lub 18309  df-glb 18310  df-join 18311  df-meet 18312  df-p0 18388  df-p1 18389  df-lat 18395  df-clat 18462  df-oposet 38557  df-ol 38559  df-oml 38560  df-covers 38647  df-ats 38648  df-atl 38679  df-cvlat 38703  df-hlat 38732  df-llines 38880  df-lplanes 38881  df-lvols 38882  df-lines 38883  df-psubsp 38885  df-pmap 38886  df-padd 39178  df-lhyp 39370  df-laut 39371  df-ldil 39486  df-ltrn 39487  df-trl 39541  df-disoa 40411
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator