Theorem diainN 40530

Description: Inverse partial isomorphism A of an intersection. (Contributed by NM, 6-Dec-2013.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
diam.m	⊢ ∧ = (meet‘𝐾)
diam.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
diam.i	⊢ 𝐼 = ((DIsoA‘𝐾)‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
diainN	⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ ran 𝐼 ∧ 𝑌 ∈ ran 𝐼)) → (𝑋 ∩ 𝑌) = (𝐼‘((◡𝐼‘𝑋) ∧ (◡𝐼‘𝑌))))

Proof of Theorem diainN

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 482	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ ran 𝐼 ∧ 𝑌 ∈ ran 𝐼)) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
2		diam.h	. . . . 5 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
3		diam.i	. . . . 5 ⊢ 𝐼 = ((DIsoA‘𝐾)‘𝑊)
4	2, 3	diacnvclN 40524	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ ran 𝐼) → (◡𝐼‘𝑋) ∈ dom 𝐼)
5	4	adantrr 716	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ ran 𝐼 ∧ 𝑌 ∈ ran 𝐼)) → (◡𝐼‘𝑋) ∈ dom 𝐼)
6	2, 3	diacnvclN 40524	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑌 ∈ ran 𝐼) → (◡𝐼‘𝑌) ∈ dom 𝐼)
7	6	adantrl 715	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ ran 𝐼 ∧ 𝑌 ∈ ran 𝐼)) → (◡𝐼‘𝑌) ∈ dom 𝐼)
8		diam.m	. . . 4 ⊢ ∧ = (meet‘𝐾)
9	8, 2, 3	diameetN 40529	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ ((◡𝐼‘𝑋) ∈ dom 𝐼 ∧ (◡𝐼‘𝑌) ∈ dom 𝐼)) → (𝐼‘((◡𝐼‘𝑋) ∧ (◡𝐼‘𝑌))) = ((𝐼‘(◡𝐼‘𝑋)) ∩ (𝐼‘(◡𝐼‘𝑌))))
10	1, 5, 7, 9	syl12anc 836	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ ran 𝐼 ∧ 𝑌 ∈ ran 𝐼)) → (𝐼‘((◡𝐼‘𝑋) ∧ (◡𝐼‘𝑌))) = ((𝐼‘(◡𝐼‘𝑋)) ∩ (𝐼‘(◡𝐼‘𝑌))))
11	2, 3	diaf11N 40522	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → 𝐼:dom 𝐼–1-1-onto→ran 𝐼)
12	11	adantr 480	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ ran 𝐼 ∧ 𝑌 ∈ ran 𝐼)) → 𝐼:dom 𝐼–1-1-onto→ran 𝐼)
13		simprl 770	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ ran 𝐼 ∧ 𝑌 ∈ ran 𝐼)) → 𝑋 ∈ ran 𝐼)
14		f1ocnvfv2 7286	. . . 4 ⊢ ((𝐼:dom 𝐼–1-1-onto→ran 𝐼 ∧ 𝑋 ∈ ran 𝐼) → (𝐼‘(◡𝐼‘𝑋)) = 𝑋)
15	12, 13, 14	syl2anc 583	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ ran 𝐼 ∧ 𝑌 ∈ ran 𝐼)) → (𝐼‘(◡𝐼‘𝑋)) = 𝑋)
16		simprr 772	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ ran 𝐼 ∧ 𝑌 ∈ ran 𝐼)) → 𝑌 ∈ ran 𝐼)
17		f1ocnvfv2 7286	. . . 4 ⊢ ((𝐼:dom 𝐼–1-1-onto→ran 𝐼 ∧ 𝑌 ∈ ran 𝐼) → (𝐼‘(◡𝐼‘𝑌)) = 𝑌)
18	12, 16, 17	syl2anc 583	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ ran 𝐼 ∧ 𝑌 ∈ ran 𝐼)) → (𝐼‘(◡𝐼‘𝑌)) = 𝑌)
19	15, 18	ineq12d 4213	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ ran 𝐼 ∧ 𝑌 ∈ ran 𝐼)) → ((𝐼‘(◡𝐼‘𝑋)) ∩ (𝐼‘(◡𝐼‘𝑌))) = (𝑋 ∩ 𝑌))
20	10, 19	eqtr2d 2769	1 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ ran 𝐼 ∧ 𝑌 ∈ ran 𝐼)) → (𝑋 ∩ 𝑌) = (𝐼‘((◡𝐼‘𝑋) ∧ (◡𝐼‘𝑌))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1534   ∈ wcel 2099   ∩ cin 3946  ^◡ccnv 5677  dom cdm 5678  ran crn 5679  –1-1-onto→wf1o 6547  ‘cfv 6548  (class class class)co 7420  meetcmee 18304  HLchlt 38822  LHypclh 39457  DIsoAcdia 40501

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7740  ax-riotaBAD 38425

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3373  df-reu 3374  df-rab 3430  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4909  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5576  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-iota 6500  df-fun 6550  df-fn 6551  df-f 6552  df-f1 6553  df-fo 6554  df-f1o 6555  df-fv 6556  df-riota 7376  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-undef 8279  df-map 8847  df-proset 18287  df-poset 18305  df-plt 18322  df-lub 18338  df-glb 18339  df-join 18340  df-meet 18341  df-p0 18417  df-p1 18418  df-lat 18424  df-clat 18491  df-oposet 38648  df-ol 38650  df-oml 38651  df-covers 38738  df-ats 38739  df-atl 38770  df-cvlat 38794  df-hlat 38823  df-llines 38971  df-lplanes 38972  df-lvols 38973  df-lines 38974  df-psubsp 38976  df-pmap 38977  df-padd 39269  df-lhyp 39461  df-laut 39462  df-ldil 39577  df-ltrn 39578  df-trl 39632  df-disoa 40502

This theorem is referenced by: (None)