Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  diainN Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem diainN 39523
Description: Inverse partial isomorphism A of an intersection. (Contributed by NM, 6-Dec-2013.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
diam.m ∧ = (meetβ€˜πΎ)
diam.h 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
diam.i 𝐼 = ((DIsoAβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
Assertion
Ref Expression
diainN (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ ran 𝐼 ∧ π‘Œ ∈ ran 𝐼)) β†’ (𝑋 ∩ π‘Œ) = (πΌβ€˜((β—‘πΌβ€˜π‘‹) ∧ (β—‘πΌβ€˜π‘Œ))))

Proof of Theorem diainN
StepHypRef Expression
1 simpl 484 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ ran 𝐼 ∧ π‘Œ ∈ ran 𝐼)) β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻))
2 diam.h . . . . 5 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
3 diam.i . . . . 5 𝐼 = ((DIsoAβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
42, 3diacnvclN 39517 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ ran 𝐼) β†’ (β—‘πΌβ€˜π‘‹) ∈ dom 𝐼)
54adantrr 716 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ ran 𝐼 ∧ π‘Œ ∈ ran 𝐼)) β†’ (β—‘πΌβ€˜π‘‹) ∈ dom 𝐼)
62, 3diacnvclN 39517 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ π‘Œ ∈ ran 𝐼) β†’ (β—‘πΌβ€˜π‘Œ) ∈ dom 𝐼)
76adantrl 715 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ ran 𝐼 ∧ π‘Œ ∈ ran 𝐼)) β†’ (β—‘πΌβ€˜π‘Œ) ∈ dom 𝐼)
8 diam.m . . . 4 ∧ = (meetβ€˜πΎ)
98, 2, 3diameetN 39522 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ((β—‘πΌβ€˜π‘‹) ∈ dom 𝐼 ∧ (β—‘πΌβ€˜π‘Œ) ∈ dom 𝐼)) β†’ (πΌβ€˜((β—‘πΌβ€˜π‘‹) ∧ (β—‘πΌβ€˜π‘Œ))) = ((πΌβ€˜(β—‘πΌβ€˜π‘‹)) ∩ (πΌβ€˜(β—‘πΌβ€˜π‘Œ))))
101, 5, 7, 9syl12anc 836 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ ran 𝐼 ∧ π‘Œ ∈ ran 𝐼)) β†’ (πΌβ€˜((β—‘πΌβ€˜π‘‹) ∧ (β—‘πΌβ€˜π‘Œ))) = ((πΌβ€˜(β—‘πΌβ€˜π‘‹)) ∩ (πΌβ€˜(β—‘πΌβ€˜π‘Œ))))
112, 3diaf11N 39515 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ 𝐼:dom 𝐼–1-1-ontoβ†’ran 𝐼)
1211adantr 482 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ ran 𝐼 ∧ π‘Œ ∈ ran 𝐼)) β†’ 𝐼:dom 𝐼–1-1-ontoβ†’ran 𝐼)
13 simprl 770 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ ran 𝐼 ∧ π‘Œ ∈ ran 𝐼)) β†’ 𝑋 ∈ ran 𝐼)
14 f1ocnvfv2 7224 . . . 4 ((𝐼:dom 𝐼–1-1-ontoβ†’ran 𝐼 ∧ 𝑋 ∈ ran 𝐼) β†’ (πΌβ€˜(β—‘πΌβ€˜π‘‹)) = 𝑋)
1512, 13, 14syl2anc 585 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ ran 𝐼 ∧ π‘Œ ∈ ran 𝐼)) β†’ (πΌβ€˜(β—‘πΌβ€˜π‘‹)) = 𝑋)
16 simprr 772 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ ran 𝐼 ∧ π‘Œ ∈ ran 𝐼)) β†’ π‘Œ ∈ ran 𝐼)
17 f1ocnvfv2 7224 . . . 4 ((𝐼:dom 𝐼–1-1-ontoβ†’ran 𝐼 ∧ π‘Œ ∈ ran 𝐼) β†’ (πΌβ€˜(β—‘πΌβ€˜π‘Œ)) = π‘Œ)
1812, 16, 17syl2anc 585 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ ran 𝐼 ∧ π‘Œ ∈ ran 𝐼)) β†’ (πΌβ€˜(β—‘πΌβ€˜π‘Œ)) = π‘Œ)
1915, 18ineq12d 4174 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ ran 𝐼 ∧ π‘Œ ∈ ran 𝐼)) β†’ ((πΌβ€˜(β—‘πΌβ€˜π‘‹)) ∩ (πΌβ€˜(β—‘πΌβ€˜π‘Œ))) = (𝑋 ∩ π‘Œ))
2010, 19eqtr2d 2778 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ ran 𝐼 ∧ π‘Œ ∈ ran 𝐼)) β†’ (𝑋 ∩ π‘Œ) = (πΌβ€˜((β—‘πΌβ€˜π‘‹) ∧ (β—‘πΌβ€˜π‘Œ))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   ∩ cin 3910  β—‘ccnv 5633  dom cdm 5634  ran crn 5635  β€“1-1-ontoβ†’wf1o 6496  β€˜cfv 6497  (class class class)co 7358  meetcmee 18202  HLchlt 37815  LHypclh 38450  DIsoAcdia 39494
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5243  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-riotaBAD 37418
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3354  df-reu 3355  df-rab 3409  df-v 3448  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-iun 4957  df-iin 4958  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-id 5532  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-1st 7922  df-2nd 7923  df-undef 8205  df-map 8768  df-proset 18185  df-poset 18203  df-plt 18220  df-lub 18236  df-glb 18237  df-join 18238  df-meet 18239  df-p0 18315  df-p1 18316  df-lat 18322  df-clat 18389  df-oposet 37641  df-ol 37643  df-oml 37644  df-covers 37731  df-ats 37732  df-atl 37763  df-cvlat 37787  df-hlat 37816  df-llines 37964  df-lplanes 37965  df-lvols 37966  df-lines 37967  df-psubsp 37969  df-pmap 37970  df-padd 38262  df-lhyp 38454  df-laut 38455  df-ldil 38570  df-ltrn 38571  df-trl 38625  df-disoa 39495
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator