Theorem diainN 37674

Description: Inverse partial isomorphism A of an intersection. (Contributed by NM, 6-Dec-2013.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
diam.m	⊢ ∧ = (meet‘𝐾)
diam.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
diam.i	⊢ 𝐼 = ((DIsoA‘𝐾)‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
diainN	⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ ran 𝐼 ∧ 𝑌 ∈ ran 𝐼)) → (𝑋 ∩ 𝑌) = (𝐼‘((◡𝐼‘𝑋) ∧ (◡𝐼‘𝑌))))

Proof of Theorem diainN

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 483	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ ran 𝐼 ∧ 𝑌 ∈ ran 𝐼)) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
2		diam.h	. . . . 5 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
3		diam.i	. . . . 5 ⊢ 𝐼 = ((DIsoA‘𝐾)‘𝑊)
4	2, 3	diacnvclN 37668	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ ran 𝐼) → (◡𝐼‘𝑋) ∈ dom 𝐼)
5	4	adantrr 713	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ ran 𝐼 ∧ 𝑌 ∈ ran 𝐼)) → (◡𝐼‘𝑋) ∈ dom 𝐼)
6	2, 3	diacnvclN 37668	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑌 ∈ ran 𝐼) → (◡𝐼‘𝑌) ∈ dom 𝐼)
7	6	adantrl 712	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ ran 𝐼 ∧ 𝑌 ∈ ran 𝐼)) → (◡𝐼‘𝑌) ∈ dom 𝐼)
8		diam.m	. . . 4 ⊢ ∧ = (meet‘𝐾)
9	8, 2, 3	diameetN 37673	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ ((◡𝐼‘𝑋) ∈ dom 𝐼 ∧ (◡𝐼‘𝑌) ∈ dom 𝐼)) → (𝐼‘((◡𝐼‘𝑋) ∧ (◡𝐼‘𝑌))) = ((𝐼‘(◡𝐼‘𝑋)) ∩ (𝐼‘(◡𝐼‘𝑌))))
10	1, 5, 7, 9	syl12anc 833	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ ran 𝐼 ∧ 𝑌 ∈ ran 𝐼)) → (𝐼‘((◡𝐼‘𝑋) ∧ (◡𝐼‘𝑌))) = ((𝐼‘(◡𝐼‘𝑋)) ∩ (𝐼‘(◡𝐼‘𝑌))))
11	2, 3	diaf11N 37666	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → 𝐼:dom 𝐼–1-1-onto→ran 𝐼)
12	11	adantr 481	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ ran 𝐼 ∧ 𝑌 ∈ ran 𝐼)) → 𝐼:dom 𝐼–1-1-onto→ran 𝐼)
13		simprl 767	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ ran 𝐼 ∧ 𝑌 ∈ ran 𝐼)) → 𝑋 ∈ ran 𝐼)
14		f1ocnvfv2 6890	. . . 4 ⊢ ((𝐼:dom 𝐼–1-1-onto→ran 𝐼 ∧ 𝑋 ∈ ran 𝐼) → (𝐼‘(◡𝐼‘𝑋)) = 𝑋)
15	12, 13, 14	syl2anc 584	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ ran 𝐼 ∧ 𝑌 ∈ ran 𝐼)) → (𝐼‘(◡𝐼‘𝑋)) = 𝑋)
16		simprr 769	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ ran 𝐼 ∧ 𝑌 ∈ ran 𝐼)) → 𝑌 ∈ ran 𝐼)
17		f1ocnvfv2 6890	. . . 4 ⊢ ((𝐼:dom 𝐼–1-1-onto→ran 𝐼 ∧ 𝑌 ∈ ran 𝐼) → (𝐼‘(◡𝐼‘𝑌)) = 𝑌)
18	12, 16, 17	syl2anc 584	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ ran 𝐼 ∧ 𝑌 ∈ ran 𝐼)) → (𝐼‘(◡𝐼‘𝑌)) = 𝑌)
19	15, 18	ineq12d 4105	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ ran 𝐼 ∧ 𝑌 ∈ ran 𝐼)) → ((𝐼‘(◡𝐼‘𝑋)) ∩ (𝐼‘(◡𝐼‘𝑌))) = (𝑋 ∩ 𝑌))
20	10, 19	eqtr2d 2830	1 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ ran 𝐼 ∧ 𝑌 ∈ ran 𝐼)) → (𝑋 ∩ 𝑌) = (𝐼‘((◡𝐼‘𝑋) ∧ (◡𝐼‘𝑌))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1520   ∈ wcel 2079   ∩ cin 3853  ^◡ccnv 5434  dom cdm 5435  ran crn 5436  –1-1-onto→wf1o 6216  ‘cfv 6217  (class class class)co 7007  meetcmee 17372  HLchlt 35967  LHypclh 36601  DIsoAcdia 37645

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1775  ax-4 1789  ax-5 1886  ax-6 1945  ax-7 1990  ax-8 2081  ax-9 2089  ax-10 2110  ax-11 2124  ax-12 2139  ax-13 2342  ax-ext 2767  ax-rep 5075  ax-sep 5088  ax-nul 5095  ax-pow 5150  ax-pr 5214  ax-un 7310  ax-riotaBAD 35570

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 843  df-3or 1079  df-3an 1080  df-tru 1523  df-ex 1760  df-nf 1764  df-sb 2041  df-mo 2574  df-eu 2610  df-clab 2774  df-cleq 2786  df-clel 2861  df-nfc 2933  df-ne 2983  df-ral 3108  df-rex 3109  df-reu 3110  df-rmo 3111  df-rab 3112  df-v 3434  df-sbc 3702  df-csb 3807  df-dif 3857  df-un 3859  df-in 3861  df-ss 3869  df-nul 4207  df-if 4376  df-pw 4449  df-sn 4467  df-pr 4469  df-op 4473  df-uni 4740  df-iun 4821  df-iin 4822  df-br 4957  df-opab 5019  df-mpt 5036  df-id 5340  df-xp 5441  df-rel 5442  df-cnv 5443  df-co 5444  df-dm 5445  df-rn 5446  df-res 5447  df-ima 5448  df-iota 6181  df-fun 6219  df-fn 6220  df-f 6221  df-f1 6222  df-fo 6223  df-f1o 6224  df-fv 6225  df-riota 6968  df-ov 7010  df-oprab 7011  df-mpo 7012  df-1st 7536  df-2nd 7537  df-undef 7781  df-map 8249  df-proset 17355  df-poset 17373  df-plt 17385  df-lub 17401  df-glb 17402  df-join 17403  df-meet 17404  df-p0 17466  df-p1 17467  df-lat 17473  df-clat 17535  df-oposet 35793  df-ol 35795  df-oml 35796  df-covers 35883  df-ats 35884  df-atl 35915  df-cvlat 35939  df-hlat 35968  df-llines 36115  df-lplanes 36116  df-lvols 36117  df-lines 36118  df-psubsp 36120  df-pmap 36121  df-padd 36413  df-lhyp 36605  df-laut 36606  df-ldil 36721  df-ltrn 36722  df-trl 36776  df-disoa 37646

This theorem is referenced by: (None)