Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  diainN Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem diainN 37674
Description: Inverse partial isomorphism A of an intersection. (Contributed by NM, 6-Dec-2013.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
diam.m = (meet‘𝐾)
diam.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
diam.i 𝐼 = ((DIsoA‘𝐾)‘𝑊)
Assertion
Ref Expression
diainN (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋 ∈ ran 𝐼𝑌 ∈ ran 𝐼)) → (𝑋𝑌) = (𝐼‘((𝐼𝑋) (𝐼𝑌))))

Proof of Theorem diainN
StepHypRef Expression
1 simpl 483 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋 ∈ ran 𝐼𝑌 ∈ ran 𝐼)) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
2 diam.h . . . . 5 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
3 diam.i . . . . 5 𝐼 = ((DIsoA‘𝐾)‘𝑊)
42, 3diacnvclN 37668 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑋 ∈ ran 𝐼) → (𝐼𝑋) ∈ dom 𝐼)
54adantrr 713 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋 ∈ ran 𝐼𝑌 ∈ ran 𝐼)) → (𝐼𝑋) ∈ dom 𝐼)
62, 3diacnvclN 37668 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑌 ∈ ran 𝐼) → (𝐼𝑌) ∈ dom 𝐼)
76adantrl 712 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋 ∈ ran 𝐼𝑌 ∈ ran 𝐼)) → (𝐼𝑌) ∈ dom 𝐼)
8 diam.m . . . 4 = (meet‘𝐾)
98, 2, 3diameetN 37673 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝐼𝑋) ∈ dom 𝐼 ∧ (𝐼𝑌) ∈ dom 𝐼)) → (𝐼‘((𝐼𝑋) (𝐼𝑌))) = ((𝐼‘(𝐼𝑋)) ∩ (𝐼‘(𝐼𝑌))))
101, 5, 7, 9syl12anc 833 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋 ∈ ran 𝐼𝑌 ∈ ran 𝐼)) → (𝐼‘((𝐼𝑋) (𝐼𝑌))) = ((𝐼‘(𝐼𝑋)) ∩ (𝐼‘(𝐼𝑌))))
112, 3diaf11N 37666 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → 𝐼:dom 𝐼1-1-onto→ran 𝐼)
1211adantr 481 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋 ∈ ran 𝐼𝑌 ∈ ran 𝐼)) → 𝐼:dom 𝐼1-1-onto→ran 𝐼)
13 simprl 767 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋 ∈ ran 𝐼𝑌 ∈ ran 𝐼)) → 𝑋 ∈ ran 𝐼)
14 f1ocnvfv2 6890 . . . 4 ((𝐼:dom 𝐼1-1-onto→ran 𝐼𝑋 ∈ ran 𝐼) → (𝐼‘(𝐼𝑋)) = 𝑋)
1512, 13, 14syl2anc 584 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋 ∈ ran 𝐼𝑌 ∈ ran 𝐼)) → (𝐼‘(𝐼𝑋)) = 𝑋)
16 simprr 769 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋 ∈ ran 𝐼𝑌 ∈ ran 𝐼)) → 𝑌 ∈ ran 𝐼)
17 f1ocnvfv2 6890 . . . 4 ((𝐼:dom 𝐼1-1-onto→ran 𝐼𝑌 ∈ ran 𝐼) → (𝐼‘(𝐼𝑌)) = 𝑌)
1812, 16, 17syl2anc 584 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋 ∈ ran 𝐼𝑌 ∈ ran 𝐼)) → (𝐼‘(𝐼𝑌)) = 𝑌)
1915, 18ineq12d 4105 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋 ∈ ran 𝐼𝑌 ∈ ran 𝐼)) → ((𝐼‘(𝐼𝑋)) ∩ (𝐼‘(𝐼𝑌))) = (𝑋𝑌))
2010, 19eqtr2d 2830 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋 ∈ ran 𝐼𝑌 ∈ ran 𝐼)) → (𝑋𝑌) = (𝐼‘((𝐼𝑋) (𝐼𝑌))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396   = wceq 1520  wcel 2079  cin 3853  ccnv 5434  dom cdm 5435  ran crn 5436  1-1-ontowf1o 6216  cfv 6217  (class class class)co 7007  meetcmee 17372  HLchlt 35967  LHypclh 36601  DIsoAcdia 37645
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1775  ax-4 1789  ax-5 1886  ax-6 1945  ax-7 1990  ax-8 2081  ax-9 2089  ax-10 2110  ax-11 2124  ax-12 2139  ax-13 2342  ax-ext 2767  ax-rep 5075  ax-sep 5088  ax-nul 5095  ax-pow 5150  ax-pr 5214  ax-un 7310  ax-riotaBAD 35570
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 843  df-3or 1079  df-3an 1080  df-tru 1523  df-ex 1760  df-nf 1764  df-sb 2041  df-mo 2574  df-eu 2610  df-clab 2774  df-cleq 2786  df-clel 2861  df-nfc 2933  df-ne 2983  df-ral 3108  df-rex 3109  df-reu 3110  df-rmo 3111  df-rab 3112  df-v 3434  df-sbc 3702  df-csb 3807  df-dif 3857  df-un 3859  df-in 3861  df-ss 3869  df-nul 4207  df-if 4376  df-pw 4449  df-sn 4467  df-pr 4469  df-op 4473  df-uni 4740  df-iun 4821  df-iin 4822  df-br 4957  df-opab 5019  df-mpt 5036  df-id 5340  df-xp 5441  df-rel 5442  df-cnv 5443  df-co 5444  df-dm 5445  df-rn 5446  df-res 5447  df-ima 5448  df-iota 6181  df-fun 6219  df-fn 6220  df-f 6221  df-f1 6222  df-fo 6223  df-f1o 6224  df-fv 6225  df-riota 6968  df-ov 7010  df-oprab 7011  df-mpo 7012  df-1st 7536  df-2nd 7537  df-undef 7781  df-map 8249  df-proset 17355  df-poset 17373  df-plt 17385  df-lub 17401  df-glb 17402  df-join 17403  df-meet 17404  df-p0 17466  df-p1 17467  df-lat 17473  df-clat 17535  df-oposet 35793  df-ol 35795  df-oml 35796  df-covers 35883  df-ats 35884  df-atl 35915  df-cvlat 35939  df-hlat 35968  df-llines 36115  df-lplanes 36116  df-lvols 36117  df-lines 36118  df-psubsp 36120  df-pmap 36121  df-padd 36413  df-lhyp 36605  df-laut 36606  df-ldil 36721  df-ltrn 36722  df-trl 36776  df-disoa 37646
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator