Theorem diainN 41256

Description: Inverse partial isomorphism A of an intersection. (Contributed by NM, 6-Dec-2013.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
diam.m	⊢ ∧ = (meet‘𝐾)
diam.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
diam.i	⊢ 𝐼 = ((DIsoA‘𝐾)‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
diainN	⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ ran 𝐼 ∧ 𝑌 ∈ ran 𝐼)) → (𝑋 ∩ 𝑌) = (𝐼‘((◡𝐼‘𝑋) ∧ (◡𝐼‘𝑌))))

Proof of Theorem diainN

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 482	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ ran 𝐼 ∧ 𝑌 ∈ ran 𝐼)) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
2		diam.h	. . . . 5 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
3		diam.i	. . . . 5 ⊢ 𝐼 = ((DIsoA‘𝐾)‘𝑊)
4	2, 3	diacnvclN 41250	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ ran 𝐼) → (◡𝐼‘𝑋) ∈ dom 𝐼)
5	4	adantrr 717	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ ran 𝐼 ∧ 𝑌 ∈ ran 𝐼)) → (◡𝐼‘𝑋) ∈ dom 𝐼)
6	2, 3	diacnvclN 41250	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑌 ∈ ran 𝐼) → (◡𝐼‘𝑌) ∈ dom 𝐼)
7	6	adantrl 716	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ ran 𝐼 ∧ 𝑌 ∈ ran 𝐼)) → (◡𝐼‘𝑌) ∈ dom 𝐼)
8		diam.m	. . . 4 ⊢ ∧ = (meet‘𝐾)
9	8, 2, 3	diameetN 41255	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ ((◡𝐼‘𝑋) ∈ dom 𝐼 ∧ (◡𝐼‘𝑌) ∈ dom 𝐼)) → (𝐼‘((◡𝐼‘𝑋) ∧ (◡𝐼‘𝑌))) = ((𝐼‘(◡𝐼‘𝑋)) ∩ (𝐼‘(◡𝐼‘𝑌))))
10	1, 5, 7, 9	syl12anc 836	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ ran 𝐼 ∧ 𝑌 ∈ ran 𝐼)) → (𝐼‘((◡𝐼‘𝑋) ∧ (◡𝐼‘𝑌))) = ((𝐼‘(◡𝐼‘𝑋)) ∩ (𝐼‘(◡𝐼‘𝑌))))
11	2, 3	diaf11N 41248	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → 𝐼:dom 𝐼–1-1-onto→ran 𝐼)
12	11	adantr 480	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ ran 𝐼 ∧ 𝑌 ∈ ran 𝐼)) → 𝐼:dom 𝐼–1-1-onto→ran 𝐼)
13		simprl 770	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ ran 𝐼 ∧ 𝑌 ∈ ran 𝐼)) → 𝑋 ∈ ran 𝐼)
14		f1ocnvfv2 7221	. . . 4 ⊢ ((𝐼:dom 𝐼–1-1-onto→ran 𝐼 ∧ 𝑋 ∈ ran 𝐼) → (𝐼‘(◡𝐼‘𝑋)) = 𝑋)
15	12, 13, 14	syl2anc 584	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ ran 𝐼 ∧ 𝑌 ∈ ran 𝐼)) → (𝐼‘(◡𝐼‘𝑋)) = 𝑋)
16		simprr 772	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ ran 𝐼 ∧ 𝑌 ∈ ran 𝐼)) → 𝑌 ∈ ran 𝐼)
17		f1ocnvfv2 7221	. . . 4 ⊢ ((𝐼:dom 𝐼–1-1-onto→ran 𝐼 ∧ 𝑌 ∈ ran 𝐼) → (𝐼‘(◡𝐼‘𝑌)) = 𝑌)
18	12, 16, 17	syl2anc 584	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ ran 𝐼 ∧ 𝑌 ∈ ran 𝐼)) → (𝐼‘(◡𝐼‘𝑌)) = 𝑌)
19	15, 18	ineq12d 4171	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ ran 𝐼 ∧ 𝑌 ∈ ran 𝐼)) → ((𝐼‘(◡𝐼‘𝑋)) ∩ (𝐼‘(◡𝐼‘𝑌))) = (𝑋 ∩ 𝑌))
20	10, 19	eqtr2d 2770	1 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ ran 𝐼 ∧ 𝑌 ∈ ran 𝐼)) → (𝑋 ∩ 𝑌) = (𝐼‘((◡𝐼‘𝑋) ∧ (◡𝐼‘𝑌))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2113   ∩ cin 3898  ^◡ccnv 5621  dom cdm 5622  ran crn 5623  –1-1-onto→wf1o 6489  ‘cfv 6490  (class class class)co 7356  meetcmee 18233  HLchlt 39549  LHypclh 40183  DIsoAcdia 41227

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2706  ax-rep 5222  ax-sep 5239  ax-nul 5249  ax-pow 5308  ax-pr 5375  ax-un 7678  ax-riotaBAD 39152

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2809  df-nfc 2883  df-ne 2931  df-ral 3050  df-rex 3059  df-rmo 3348  df-reu 3349  df-rab 3398  df-v 3440  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4579  df-pr 4581  df-op 4585  df-uni 4862  df-iun 4946  df-iin 4947  df-br 5097  df-opab 5159  df-mpt 5178  df-id 5517  df-xp 5628  df-rel 5629  df-cnv 5630  df-co 5631  df-dm 5632  df-rn 5633  df-res 5634  df-ima 5635  df-iota 6446  df-fun 6492  df-fn 6493  df-f 6494  df-f1 6495  df-fo 6496  df-f1o 6497  df-fv 6498  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-undef 8213  df-map 8763  df-proset 18215  df-poset 18234  df-plt 18249  df-lub 18265  df-glb 18266  df-join 18267  df-meet 18268  df-p0 18344  df-p1 18345  df-lat 18353  df-clat 18420  df-oposet 39375  df-ol 39377  df-oml 39378  df-covers 39465  df-ats 39466  df-atl 39497  df-cvlat 39521  df-hlat 39550  df-llines 39697  df-lplanes 39698  df-lvols 39699  df-lines 39700  df-psubsp 39702  df-pmap 39703  df-padd 39995  df-lhyp 40187  df-laut 40188  df-ldil 40303  df-ltrn 40304  df-trl 40358  df-disoa 41228

This theorem is referenced by: (None)