Theorem divdivdivd 12072

Description: Division of two ratios. Theorem I.15 of [Apostol] p. 18. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
div1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
divcld.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
divmuld.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
divmuldivd.4	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℂ)
divmuldivd.5	⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 0)
divmuldivd.6	⊢ (𝜑 → 𝐷 ≠ 0)
divdivdivd.7	⊢ (𝜑 → 𝐶 ≠ 0)

Assertion

Ref	Expression
divdivdivd	⊢ (𝜑 → ((𝐴 / 𝐵) / (𝐶 / 𝐷)) = ((𝐴 · 𝐷) / (𝐵 · 𝐶)))

Proof of Theorem divdivdivd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		div1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		divcld.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3		divmuldivd.5	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 0)
4	2, 3	jca 511	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0))
5		divmuld.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
6		divdivdivd.7	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ≠ 0)
7	5, 6	jca 511	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0))
8		divmuldivd.4	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℂ)
9		divmuldivd.6	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ≠ 0)
10	8, 9	jca 511	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ≠ 0))
11		divdivdiv 11950	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0) ∧ (𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ≠ 0))) → ((𝐴 / 𝐵) / (𝐶 / 𝐷)) = ((𝐴 · 𝐷) / (𝐵 · 𝐶)))
12	1, 4, 7, 10, 11	syl22anc 838	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 / 𝐵) / (𝐶 / 𝐷)) = ((𝐴 · 𝐷) / (𝐵 · 𝐶)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1539   ∈ wcel 2107   ≠ wne 2931  (class class class)co 7413  ℂcc 11135  0cc0 11137   · cmul 11142   / cdiv 11902

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2706  ax-sep 5276  ax-nul 5286  ax-pow 5345  ax-pr 5412  ax-un 7737  ax-resscn 11194  ax-1cn 11195  ax-icn 11196  ax-addcl 11197  ax-addrcl 11198  ax-mulcl 11199  ax-mulrcl 11200  ax-mulcom 11201  ax-addass 11202  ax-mulass 11203  ax-distr 11204  ax-i2m1 11205  ax-1ne0 11206  ax-1rid 11207  ax-rnegex 11208  ax-rrecex 11209  ax-cnre 11210  ax-pre-lttri 11211  ax-pre-lttrn 11212  ax-pre-ltadd 11213  ax-pre-mulgt0 11214

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2808  df-nfc 2884  df-ne 2932  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rmo 3363  df-reu 3364  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3771  df-csb 3880  df-dif 3934  df-un 3936  df-in 3938  df-ss 3948  df-nul 4314  df-if 4506  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-op 4613  df-uni 4888  df-br 5124  df-opab 5186  df-mpt 5206  df-id 5558  df-po 5572  df-so 5573  df-xp 5671  df-rel 5672  df-cnv 5673  df-co 5674  df-dm 5675  df-rn 5676  df-res 5677  df-ima 5678  df-iota 6494  df-fun 6543  df-fn 6544  df-f 6545  df-f1 6546  df-fo 6547  df-f1o 6548  df-fv 6549  df-riota 7370  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-er 8727  df-en 8968  df-dom 8969  df-sdom 8970  df-pnf 11279  df-mnf 11280  df-xr 11281  df-ltxr 11282  df-le 11283  df-sub 11476  df-neg 11477  df-div 11903

This theorem is referenced by:  pcadd  16909  pnt  27594  wallispilem4  46040  stirlinglem4  46049  stirlinglem10  46055