MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  divdivdivd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem divdivdivd 11441
Description: Division of two ratios. Theorem I.15 of [Apostol] p. 18. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
div1d.1 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
divcld.2 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
divmuld.3 (𝜑𝐶 ∈ ℂ)
divmuldivd.4 (𝜑𝐷 ∈ ℂ)
divmuldivd.5 (𝜑𝐵 ≠ 0)
divmuldivd.6 (𝜑𝐷 ≠ 0)
divdivdivd.7 (𝜑𝐶 ≠ 0)
Assertion
Ref Expression
divdivdivd (𝜑 → ((𝐴 / 𝐵) / (𝐶 / 𝐷)) = ((𝐴 · 𝐷) / (𝐵 · 𝐶)))

Proof of Theorem divdivdivd
StepHypRef Expression
1 div1d.1 . 2 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
2 divcld.2 . . 3 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
3 divmuldivd.5 . . 3 (𝜑𝐵 ≠ 0)
42, 3jca 514 . 2 (𝜑 → (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0))
5 divmuld.3 . . 3 (𝜑𝐶 ∈ ℂ)
6 divdivdivd.7 . . 3 (𝜑𝐶 ≠ 0)
75, 6jca 514 . 2 (𝜑 → (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0))
8 divmuldivd.4 . . 3 (𝜑𝐷 ∈ ℂ)
9 divmuldivd.6 . . 3 (𝜑𝐷 ≠ 0)
108, 9jca 514 . 2 (𝜑 → (𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ≠ 0))
11 divdivdiv 11319 . 2 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0) ∧ (𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ≠ 0))) → ((𝐴 / 𝐵) / (𝐶 / 𝐷)) = ((𝐴 · 𝐷) / (𝐵 · 𝐶)))
121, 4, 7, 10, 11syl22anc 836 1 (𝜑 → ((𝐴 / 𝐵) / (𝐶 / 𝐷)) = ((𝐴 · 𝐷) / (𝐵 · 𝐶)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 398   = wceq 1537  wcel 2114  wne 3006  (class class class)co 7133  cc 10513  0cc0 10515   · cmul 10520   / cdiv 11275
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2792  ax-sep 5179  ax-nul 5186  ax-pow 5242  ax-pr 5306  ax-un 7439  ax-resscn 10572  ax-1cn 10573  ax-icn 10574  ax-addcl 10575  ax-addrcl 10576  ax-mulcl 10577  ax-mulrcl 10578  ax-mulcom 10579  ax-addass 10580  ax-mulass 10581  ax-distr 10582  ax-i2m1 10583  ax-1ne0 10584  ax-1rid 10585  ax-rnegex 10586  ax-rrecex 10587  ax-cnre 10588  ax-pre-lttri 10589  ax-pre-lttrn 10590  ax-pre-ltadd 10591  ax-pre-mulgt0 10592
This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2653  df-clab 2799  df-cleq 2813  df-clel 2891  df-nfc 2959  df-ne 3007  df-nel 3111  df-ral 3130  df-rex 3131  df-reu 3132  df-rmo 3133  df-rab 3134  df-v 3475  df-sbc 3753  df-csb 3861  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-nul 4270  df-if 4444  df-pw 4517  df-sn 4544  df-pr 4546  df-op 4550  df-uni 4815  df-br 5043  df-opab 5105  df-mpt 5123  df-id 5436  df-po 5450  df-so 5451  df-xp 5537  df-rel 5538  df-cnv 5539  df-co 5540  df-dm 5541  df-rn 5542  df-res 5543  df-ima 5544  df-iota 6290  df-fun 6333  df-fn 6334  df-f 6335  df-f1 6336  df-fo 6337  df-f1o 6338  df-fv 6339  df-riota 7091  df-ov 7136  df-oprab 7137  df-mpo 7138  df-er 8267  df-en 8488  df-dom 8489  df-sdom 8490  df-pnf 10655  df-mnf 10656  df-xr 10657  df-ltxr 10658  df-le 10659  df-sub 10850  df-neg 10851  df-div 11276
This theorem is referenced by:  pcadd  16203  pnt  26177  wallispilem4  42501  stirlinglem4  42510  stirlinglem10  42516
  Copyright terms: Public domain W3C validator