MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pcadd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pcadd 16858
Description: An inequality for the prime count of a sum. This is the source of the ultrametric inequality for the p-adic metric. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
pcadd.1 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„™)
pcadd.2 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„š)
pcadd.3 (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„š)
pcadd.4 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ƒ pCnt ๐ด) โ‰ค (๐‘ƒ pCnt ๐ต))
Assertion
Ref Expression
pcadd (๐œ‘ โ†’ (๐‘ƒ pCnt ๐ด) โ‰ค (๐‘ƒ pCnt (๐ด + ๐ต)))

Proof of Theorem pcadd
Dummy variables ๐‘ฅ ๐‘ค ๐‘ฆ ๐‘ง are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pcadd.2 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„š)
2 elq 12965 . . 3 (๐ด โˆˆ โ„š โ†” โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ โ„• ๐ด = (๐‘ฅ / ๐‘ฆ))
31, 2sylib 217 . 2 (๐œ‘ โ†’ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ โ„• ๐ด = (๐‘ฅ / ๐‘ฆ))
4 pcadd.3 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„š)
5 elq 12965 . . 3 (๐ต โˆˆ โ„š โ†” โˆƒ๐‘ง โˆˆ โ„ค โˆƒ๐‘ค โˆˆ โ„• ๐ต = (๐‘ง / ๐‘ค))
64, 5sylib 217 . 2 (๐œ‘ โ†’ โˆƒ๐‘ง โˆˆ โ„ค โˆƒ๐‘ค โˆˆ โ„• ๐ต = (๐‘ง / ๐‘ค))
7 pcadd.1 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„™)
8 pcxcl 16830 . . . . . . . 8 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐ด โˆˆ โ„š) โ†’ (๐‘ƒ pCnt ๐ด) โˆˆ โ„*)
97, 1, 8syl2anc 583 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ƒ pCnt ๐ด) โˆˆ โ„*)
109xrleidd 13164 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ƒ pCnt ๐ด) โ‰ค (๐‘ƒ pCnt ๐ด))
1110adantr 480 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐ต = 0) โ†’ (๐‘ƒ pCnt ๐ด) โ‰ค (๐‘ƒ pCnt ๐ด))
12 oveq2 7428 . . . . . . 7 (๐ต = 0 โ†’ (๐ด + ๐ต) = (๐ด + 0))
13 qcn 12978 . . . . . . . . 9 (๐ด โˆˆ โ„š โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
141, 13syl 17 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
1514addridd 11445 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (๐ด + 0) = ๐ด)
1612, 15sylan9eqr 2790 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐ต = 0) โ†’ (๐ด + ๐ต) = ๐ด)
1716oveq2d 7436 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐ต = 0) โ†’ (๐‘ƒ pCnt (๐ด + ๐ต)) = (๐‘ƒ pCnt ๐ด))
1811, 17breqtrrd 5176 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐ต = 0) โ†’ (๐‘ƒ pCnt ๐ด) โ‰ค (๐‘ƒ pCnt (๐ด + ๐ต)))
1918a1d 25 . . 3 ((๐œ‘ โˆง ๐ต = 0) โ†’ ((โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ โ„• ๐ด = (๐‘ฅ / ๐‘ฆ) โˆง โˆƒ๐‘ง โˆˆ โ„ค โˆƒ๐‘ค โˆˆ โ„• ๐ต = (๐‘ง / ๐‘ค)) โ†’ (๐‘ƒ pCnt ๐ด) โ‰ค (๐‘ƒ pCnt (๐ด + ๐ต))))
20 reeanv 3223 . . . 4 (โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆƒ๐‘ง โˆˆ โ„ค (โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ โ„• ๐ด = (๐‘ฅ / ๐‘ฆ) โˆง โˆƒ๐‘ค โˆˆ โ„• ๐ต = (๐‘ง / ๐‘ค)) โ†” (โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ โ„• ๐ด = (๐‘ฅ / ๐‘ฆ) โˆง โˆƒ๐‘ง โˆˆ โ„ค โˆƒ๐‘ค โˆˆ โ„• ๐ต = (๐‘ง / ๐‘ค)))
21 reeanv 3223 . . . . . 6 (โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆƒ๐‘ค โˆˆ โ„• (๐ด = (๐‘ฅ / ๐‘ฆ) โˆง ๐ต = (๐‘ง / ๐‘ค)) โ†” (โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ โ„• ๐ด = (๐‘ฅ / ๐‘ฆ) โˆง โˆƒ๐‘ค โˆˆ โ„• ๐ต = (๐‘ง / ๐‘ค)))
227ad3antrrr 729 . . . . . . . . 9 ((((๐œ‘ โˆง ๐ต โ‰  0) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„ค)) โˆง ((๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„•) โˆง (๐ด = (๐‘ฅ / ๐‘ฆ) โˆง ๐ต = (๐‘ง / ๐‘ค)))) โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„™)
23 prmnn 16645 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„•)
2422, 23syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((๐œ‘ โˆง ๐ต โ‰  0) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„ค)) โˆง ((๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„•) โˆง (๐ด = (๐‘ฅ / ๐‘ฆ) โˆง ๐ต = (๐‘ง / ๐‘ค)))) โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„•)
25 simplrl 776 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((๐œ‘ โˆง ๐ต โ‰  0) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„ค)) โˆง ((๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„•) โˆง (๐ด = (๐‘ฅ / ๐‘ฆ) โˆง ๐ต = (๐‘ง / ๐‘ค)))) โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค)
26 simprrl 780 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((๐œ‘ โˆง ๐ต โ‰  0) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„ค)) โˆง ((๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„•) โˆง (๐ด = (๐‘ฅ / ๐‘ฆ) โˆง ๐ต = (๐‘ง / ๐‘ค)))) โ†’ ๐ด = (๐‘ฅ / ๐‘ฆ))
27 pc0 16823 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โ†’ (๐‘ƒ pCnt 0) = +โˆž)
2822, 27syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((๐œ‘ โˆง ๐ต โ‰  0) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„ค)) โˆง ((๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„•) โˆง (๐ด = (๐‘ฅ / ๐‘ฆ) โˆง ๐ต = (๐‘ง / ๐‘ค)))) โ†’ (๐‘ƒ pCnt 0) = +โˆž)
294ad3antrrr 729 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((๐œ‘ โˆง ๐ต โ‰  0) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„ค)) โˆง ((๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„•) โˆง (๐ด = (๐‘ฅ / ๐‘ฆ) โˆง ๐ต = (๐‘ง / ๐‘ค)))) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„š)
30 simpllr 775 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((๐œ‘ โˆง ๐ต โ‰  0) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„ค)) โˆง ((๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„•) โˆง (๐ด = (๐‘ฅ / ๐‘ฆ) โˆง ๐ต = (๐‘ง / ๐‘ค)))) โ†’ ๐ต โ‰  0)
31 pcqcl 16825 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง (๐ต โˆˆ โ„š โˆง ๐ต โ‰  0)) โ†’ (๐‘ƒ pCnt ๐ต) โˆˆ โ„ค)
3222, 29, 30, 31syl12anc 836 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((๐œ‘ โˆง ๐ต โ‰  0) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„ค)) โˆง ((๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„•) โˆง (๐ด = (๐‘ฅ / ๐‘ฆ) โˆง ๐ต = (๐‘ง / ๐‘ค)))) โ†’ (๐‘ƒ pCnt ๐ต) โˆˆ โ„ค)
3332zred 12697 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((๐œ‘ โˆง ๐ต โ‰  0) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„ค)) โˆง ((๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„•) โˆง (๐ด = (๐‘ฅ / ๐‘ฆ) โˆง ๐ต = (๐‘ง / ๐‘ค)))) โ†’ (๐‘ƒ pCnt ๐ต) โˆˆ โ„)
34 ltpnf 13133 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((๐‘ƒ pCnt ๐ต) โˆˆ โ„ โ†’ (๐‘ƒ pCnt ๐ต) < +โˆž)
35 rexr 11291 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((๐‘ƒ pCnt ๐ต) โˆˆ โ„ โ†’ (๐‘ƒ pCnt ๐ต) โˆˆ โ„*)
36 pnfxr 11299 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 +โˆž โˆˆ โ„*
37 xrltnle 11312 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((๐‘ƒ pCnt ๐ต) โˆˆ โ„* โˆง +โˆž โˆˆ โ„*) โ†’ ((๐‘ƒ pCnt ๐ต) < +โˆž โ†” ยฌ +โˆž โ‰ค (๐‘ƒ pCnt ๐ต)))
3835, 36, 37sylancl 585 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((๐‘ƒ pCnt ๐ต) โˆˆ โ„ โ†’ ((๐‘ƒ pCnt ๐ต) < +โˆž โ†” ยฌ +โˆž โ‰ค (๐‘ƒ pCnt ๐ต)))
3934, 38mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((๐‘ƒ pCnt ๐ต) โˆˆ โ„ โ†’ ยฌ +โˆž โ‰ค (๐‘ƒ pCnt ๐ต))
4033, 39syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((๐œ‘ โˆง ๐ต โ‰  0) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„ค)) โˆง ((๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„•) โˆง (๐ด = (๐‘ฅ / ๐‘ฆ) โˆง ๐ต = (๐‘ง / ๐‘ค)))) โ†’ ยฌ +โˆž โ‰ค (๐‘ƒ pCnt ๐ต))
4128, 40eqnbrtrd 5166 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((๐œ‘ โˆง ๐ต โ‰  0) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„ค)) โˆง ((๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„•) โˆง (๐ด = (๐‘ฅ / ๐‘ฆ) โˆง ๐ต = (๐‘ง / ๐‘ค)))) โ†’ ยฌ (๐‘ƒ pCnt 0) โ‰ค (๐‘ƒ pCnt ๐ต))
42 pcadd.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ƒ pCnt ๐ด) โ‰ค (๐‘ƒ pCnt ๐ต))
4342ad3antrrr 729 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((๐œ‘ โˆง ๐ต โ‰  0) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„ค)) โˆง ((๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„•) โˆง (๐ด = (๐‘ฅ / ๐‘ฆ) โˆง ๐ต = (๐‘ง / ๐‘ค)))) โ†’ (๐‘ƒ pCnt ๐ด) โ‰ค (๐‘ƒ pCnt ๐ต))
44 oveq2 7428 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (๐ด = 0 โ†’ (๐‘ƒ pCnt ๐ด) = (๐‘ƒ pCnt 0))
4544breq1d 5158 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (๐ด = 0 โ†’ ((๐‘ƒ pCnt ๐ด) โ‰ค (๐‘ƒ pCnt ๐ต) โ†” (๐‘ƒ pCnt 0) โ‰ค (๐‘ƒ pCnt ๐ต)))
4643, 45syl5ibcom 244 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((๐œ‘ โˆง ๐ต โ‰  0) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„ค)) โˆง ((๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„•) โˆง (๐ด = (๐‘ฅ / ๐‘ฆ) โˆง ๐ต = (๐‘ง / ๐‘ค)))) โ†’ (๐ด = 0 โ†’ (๐‘ƒ pCnt 0) โ‰ค (๐‘ƒ pCnt ๐ต)))
4746necon3bd 2951 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((๐œ‘ โˆง ๐ต โ‰  0) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„ค)) โˆง ((๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„•) โˆง (๐ด = (๐‘ฅ / ๐‘ฆ) โˆง ๐ต = (๐‘ง / ๐‘ค)))) โ†’ (ยฌ (๐‘ƒ pCnt 0) โ‰ค (๐‘ƒ pCnt ๐ต) โ†’ ๐ด โ‰  0))
4841, 47mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((๐œ‘ โˆง ๐ต โ‰  0) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„ค)) โˆง ((๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„•) โˆง (๐ด = (๐‘ฅ / ๐‘ฆ) โˆง ๐ต = (๐‘ง / ๐‘ค)))) โ†’ ๐ด โ‰  0)
4926, 48eqnetrrd 3006 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((๐œ‘ โˆง ๐ต โ‰  0) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„ค)) โˆง ((๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„•) โˆง (๐ด = (๐‘ฅ / ๐‘ฆ) โˆง ๐ต = (๐‘ง / ๐‘ค)))) โ†’ (๐‘ฅ / ๐‘ฆ) โ‰  0)
50 simprll 778 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((๐œ‘ โˆง ๐ต โ‰  0) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„ค)) โˆง ((๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„•) โˆง (๐ด = (๐‘ฅ / ๐‘ฆ) โˆง ๐ต = (๐‘ง / ๐‘ค)))) โ†’ ๐‘ฆ โˆˆ โ„•)
5150nncnd 12259 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((๐œ‘ โˆง ๐ต โ‰  0) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„ค)) โˆง ((๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„•) โˆง (๐ด = (๐‘ฅ / ๐‘ฆ) โˆง ๐ต = (๐‘ง / ๐‘ค)))) โ†’ ๐‘ฆ โˆˆ โ„‚)
5250nnne0d 12293 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((๐œ‘ โˆง ๐ต โ‰  0) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„ค)) โˆง ((๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„•) โˆง (๐ด = (๐‘ฅ / ๐‘ฆ) โˆง ๐ต = (๐‘ง / ๐‘ค)))) โ†’ ๐‘ฆ โ‰  0)
5351, 52div0d 12020 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((๐œ‘ โˆง ๐ต โ‰  0) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„ค)) โˆง ((๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„•) โˆง (๐ด = (๐‘ฅ / ๐‘ฆ) โˆง ๐ต = (๐‘ง / ๐‘ค)))) โ†’ (0 / ๐‘ฆ) = 0)
54 oveq1 7427 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (๐‘ฅ = 0 โ†’ (๐‘ฅ / ๐‘ฆ) = (0 / ๐‘ฆ))
5554eqeq1d 2730 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (๐‘ฅ = 0 โ†’ ((๐‘ฅ / ๐‘ฆ) = 0 โ†” (0 / ๐‘ฆ) = 0))
5653, 55syl5ibrcom 246 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((๐œ‘ โˆง ๐ต โ‰  0) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„ค)) โˆง ((๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„•) โˆง (๐ด = (๐‘ฅ / ๐‘ฆ) โˆง ๐ต = (๐‘ง / ๐‘ค)))) โ†’ (๐‘ฅ = 0 โ†’ (๐‘ฅ / ๐‘ฆ) = 0))
5756necon3d 2958 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((๐œ‘ โˆง ๐ต โ‰  0) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„ค)) โˆง ((๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„•) โˆง (๐ด = (๐‘ฅ / ๐‘ฆ) โˆง ๐ต = (๐‘ง / ๐‘ค)))) โ†’ ((๐‘ฅ / ๐‘ฆ) โ‰  0 โ†’ ๐‘ฅ โ‰  0))
5849, 57mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((๐œ‘ โˆง ๐ต โ‰  0) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„ค)) โˆง ((๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„•) โˆง (๐ด = (๐‘ฅ / ๐‘ฆ) โˆง ๐ต = (๐‘ง / ๐‘ค)))) โ†’ ๐‘ฅ โ‰  0)
59 pczcl 16817 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ฅ โ‰  0)) โ†’ (๐‘ƒ pCnt ๐‘ฅ) โˆˆ โ„•0)
6022, 25, 58, 59syl12anc 836 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((๐œ‘ โˆง ๐ต โ‰  0) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„ค)) โˆง ((๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„•) โˆง (๐ด = (๐‘ฅ / ๐‘ฆ) โˆง ๐ต = (๐‘ง / ๐‘ค)))) โ†’ (๐‘ƒ pCnt ๐‘ฅ) โˆˆ โ„•0)
6124, 60nnexpcld 14240 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((๐œ‘ โˆง ๐ต โ‰  0) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„ค)) โˆง ((๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„•) โˆง (๐ด = (๐‘ฅ / ๐‘ฆ) โˆง ๐ต = (๐‘ง / ๐‘ค)))) โ†’ (๐‘ƒโ†‘(๐‘ƒ pCnt ๐‘ฅ)) โˆˆ โ„•)
6261nncnd 12259 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((๐œ‘ โˆง ๐ต โ‰  0) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„ค)) โˆง ((๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„•) โˆง (๐ด = (๐‘ฅ / ๐‘ฆ) โˆง ๐ต = (๐‘ง / ๐‘ค)))) โ†’ (๐‘ƒโ†‘(๐‘ƒ pCnt ๐‘ฅ)) โˆˆ โ„‚)
6362, 51mulcomd 11266 . . . . . . . . . . . . 13 ((((๐œ‘ โˆง ๐ต โ‰  0) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„ค)) โˆง ((๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„•) โˆง (๐ด = (๐‘ฅ / ๐‘ฆ) โˆง ๐ต = (๐‘ง / ๐‘ค)))) โ†’ ((๐‘ƒโ†‘(๐‘ƒ pCnt ๐‘ฅ)) ยท ๐‘ฆ) = (๐‘ฆ ยท (๐‘ƒโ†‘(๐‘ƒ pCnt ๐‘ฅ))))
6463oveq2d 7436 . . . . . . . . . . . 12 ((((๐œ‘ โˆง ๐ต โ‰  0) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„ค)) โˆง ((๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„•) โˆง (๐ด = (๐‘ฅ / ๐‘ฆ) โˆง ๐ต = (๐‘ง / ๐‘ค)))) โ†’ ((๐‘ฅ ยท (๐‘ƒโ†‘(๐‘ƒ pCnt ๐‘ฆ))) / ((๐‘ƒโ†‘(๐‘ƒ pCnt ๐‘ฅ)) ยท ๐‘ฆ)) = ((๐‘ฅ ยท (๐‘ƒโ†‘(๐‘ƒ pCnt ๐‘ฆ))) / (๐‘ฆ ยท (๐‘ƒโ†‘(๐‘ƒ pCnt ๐‘ฅ)))))
6525zcnd 12698 . . . . . . . . . . . . 13 ((((๐œ‘ โˆง ๐ต โ‰  0) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„ค)) โˆง ((๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„•) โˆง (๐ด = (๐‘ฅ / ๐‘ฆ) โˆง ๐ต = (๐‘ง / ๐‘ค)))) โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ โ„‚)
6622, 50pccld 16819 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((๐œ‘ โˆง ๐ต โ‰  0) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„ค)) โˆง ((๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„•) โˆง (๐ด = (๐‘ฅ / ๐‘ฆ) โˆง ๐ต = (๐‘ง / ๐‘ค)))) โ†’ (๐‘ƒ pCnt ๐‘ฆ) โˆˆ โ„•0)
6724, 66nnexpcld 14240 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((๐œ‘ โˆง ๐ต โ‰  0) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„ค)) โˆง ((๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„•) โˆง (๐ด = (๐‘ฅ / ๐‘ฆ) โˆง ๐ต = (๐‘ง / ๐‘ค)))) โ†’ (๐‘ƒโ†‘(๐‘ƒ pCnt ๐‘ฆ)) โˆˆ โ„•)
6867nncnd 12259 . . . . . . . . . . . . 13 ((((๐œ‘ โˆง ๐ต โ‰  0) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„ค)) โˆง ((๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„•) โˆง (๐ด = (๐‘ฅ / ๐‘ฆ) โˆง ๐ต = (๐‘ง / ๐‘ค)))) โ†’ (๐‘ƒโ†‘(๐‘ƒ pCnt ๐‘ฆ)) โˆˆ โ„‚)
6961nnne0d 12293 . . . . . . . . . . . . 13 ((((๐œ‘ โˆง ๐ต โ‰  0) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„ค)) โˆง ((๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„•) โˆง (๐ด = (๐‘ฅ / ๐‘ฆ) โˆง ๐ต = (๐‘ง / ๐‘ค)))) โ†’ (๐‘ƒโ†‘(๐‘ƒ pCnt ๐‘ฅ)) โ‰  0)
7067nnne0d 12293 . . . . . . . . . . . . 13 ((((๐œ‘ โˆง ๐ต โ‰  0) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„ค)) โˆง ((๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„•) โˆง (๐ด = (๐‘ฅ / ๐‘ฆ) โˆง ๐ต = (๐‘ง / ๐‘ค)))) โ†’ (๐‘ƒโ†‘(๐‘ƒ pCnt ๐‘ฆ)) โ‰  0)
7165, 62, 51, 68, 69, 70, 52divdivdivd 12068 . . . . . . . . . . . 12 ((((๐œ‘ โˆง ๐ต โ‰  0) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„ค)) โˆง ((๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„•) โˆง (๐ด = (๐‘ฅ / ๐‘ฆ) โˆง ๐ต = (๐‘ง / ๐‘ค)))) โ†’ ((๐‘ฅ / (๐‘ƒโ†‘(๐‘ƒ pCnt ๐‘ฅ))) / (๐‘ฆ / (๐‘ƒโ†‘(๐‘ƒ pCnt ๐‘ฆ)))) = ((๐‘ฅ ยท (๐‘ƒโ†‘(๐‘ƒ pCnt ๐‘ฆ))) / ((๐‘ƒโ†‘(๐‘ƒ pCnt ๐‘ฅ)) ยท ๐‘ฆ)))
7226oveq2d 7436 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((๐œ‘ โˆง ๐ต โ‰  0) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„ค)) โˆง ((๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„•) โˆง (๐ด = (๐‘ฅ / ๐‘ฆ) โˆง ๐ต = (๐‘ง / ๐‘ค)))) โ†’ (๐‘ƒ pCnt ๐ด) = (๐‘ƒ pCnt (๐‘ฅ / ๐‘ฆ)))
73 pcdiv 16821 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ฅ โ‰  0) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘ƒ pCnt (๐‘ฅ / ๐‘ฆ)) = ((๐‘ƒ pCnt ๐‘ฅ) โˆ’ (๐‘ƒ pCnt ๐‘ฆ)))
7422, 25, 58, 50, 73syl121anc 1373 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((๐œ‘ โˆง ๐ต โ‰  0) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„ค)) โˆง ((๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„•) โˆง (๐ด = (๐‘ฅ / ๐‘ฆ) โˆง ๐ต = (๐‘ง / ๐‘ค)))) โ†’ (๐‘ƒ pCnt (๐‘ฅ / ๐‘ฆ)) = ((๐‘ƒ pCnt ๐‘ฅ) โˆ’ (๐‘ƒ pCnt ๐‘ฆ)))
7572, 74eqtrd 2768 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((๐œ‘ โˆง ๐ต โ‰  0) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„ค)) โˆง ((๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„•) โˆง (๐ด = (๐‘ฅ / ๐‘ฆ) โˆง ๐ต = (๐‘ง / ๐‘ค)))) โ†’ (๐‘ƒ pCnt ๐ด) = ((๐‘ƒ pCnt ๐‘ฅ) โˆ’ (๐‘ƒ pCnt ๐‘ฆ)))
7675oveq2d 7436 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((๐œ‘ โˆง ๐ต โ‰  0) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„ค)) โˆง ((๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„•) โˆง (๐ด = (๐‘ฅ / ๐‘ฆ) โˆง ๐ต = (๐‘ง / ๐‘ค)))) โ†’ (๐‘ƒโ†‘(๐‘ƒ pCnt ๐ด)) = (๐‘ƒโ†‘((๐‘ƒ pCnt ๐‘ฅ) โˆ’ (๐‘ƒ pCnt ๐‘ฆ))))
7724nncnd 12259 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((๐œ‘ โˆง ๐ต โ‰  0) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„ค)) โˆง ((๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„•) โˆง (๐ด = (๐‘ฅ / ๐‘ฆ) โˆง ๐ต = (๐‘ง / ๐‘ค)))) โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„‚)
7824nnne0d 12293 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((๐œ‘ โˆง ๐ต โ‰  0) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„ค)) โˆง ((๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„•) โˆง (๐ด = (๐‘ฅ / ๐‘ฆ) โˆง ๐ต = (๐‘ง / ๐‘ค)))) โ†’ ๐‘ƒ โ‰  0)
7966nn0zd 12615 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((๐œ‘ โˆง ๐ต โ‰  0) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„ค)) โˆง ((๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„•) โˆง (๐ด = (๐‘ฅ / ๐‘ฆ) โˆง ๐ต = (๐‘ง / ๐‘ค)))) โ†’ (๐‘ƒ pCnt ๐‘ฆ) โˆˆ โ„ค)
8060nn0zd 12615 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((๐œ‘ โˆง ๐ต โ‰  0) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„ค)) โˆง ((๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„•) โˆง (๐ด = (๐‘ฅ / ๐‘ฆ) โˆง ๐ต = (๐‘ง / ๐‘ค)))) โ†’ (๐‘ƒ pCnt ๐‘ฅ) โˆˆ โ„ค)
8177, 78, 79, 80expsubd 14154 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((๐œ‘ โˆง ๐ต โ‰  0) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„ค)) โˆง ((๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„•) โˆง (๐ด = (๐‘ฅ / ๐‘ฆ) โˆง ๐ต = (๐‘ง / ๐‘ค)))) โ†’ (๐‘ƒโ†‘((๐‘ƒ pCnt ๐‘ฅ) โˆ’ (๐‘ƒ pCnt ๐‘ฆ))) = ((๐‘ƒโ†‘(๐‘ƒ pCnt ๐‘ฅ)) / (๐‘ƒโ†‘(๐‘ƒ pCnt ๐‘ฆ))))
8276, 81eqtrd 2768 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((๐œ‘ โˆง ๐ต โ‰  0) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„ค)) โˆง ((๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„•) โˆง (๐ด = (๐‘ฅ / ๐‘ฆ) โˆง ๐ต = (๐‘ง / ๐‘ค)))) โ†’ (๐‘ƒโ†‘(๐‘ƒ pCnt ๐ด)) = ((๐‘ƒโ†‘(๐‘ƒ pCnt ๐‘ฅ)) / (๐‘ƒโ†‘(๐‘ƒ pCnt ๐‘ฆ))))
8382oveq2d 7436 . . . . . . . . . . . . 13 ((((๐œ‘ โˆง ๐ต โ‰  0) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„ค)) โˆง ((๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„•) โˆง (๐ด = (๐‘ฅ / ๐‘ฆ) โˆง ๐ต = (๐‘ง / ๐‘ค)))) โ†’ (๐ด / (๐‘ƒโ†‘(๐‘ƒ pCnt ๐ด))) = (๐ด / ((๐‘ƒโ†‘(๐‘ƒ pCnt ๐‘ฅ)) / (๐‘ƒโ†‘(๐‘ƒ pCnt ๐‘ฆ)))))
8426oveq1d 7435 . . . . . . . . . . . . 13 ((((๐œ‘ โˆง ๐ต โ‰  0) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„ค)) โˆง ((๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„•) โˆง (๐ด = (๐‘ฅ / ๐‘ฆ) โˆง ๐ต = (๐‘ง / ๐‘ค)))) โ†’ (๐ด / ((๐‘ƒโ†‘(๐‘ƒ pCnt ๐‘ฅ)) / (๐‘ƒโ†‘(๐‘ƒ pCnt ๐‘ฆ)))) = ((๐‘ฅ / ๐‘ฆ) / ((๐‘ƒโ†‘(๐‘ƒ pCnt ๐‘ฅ)) / (๐‘ƒโ†‘(๐‘ƒ pCnt ๐‘ฆ)))))
8565, 51, 62, 68, 52, 70, 69divdivdivd 12068 . . . . . . . . . . . . 13 ((((๐œ‘ โˆง ๐ต โ‰  0) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„ค)) โˆง ((๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„•) โˆง (๐ด = (๐‘ฅ / ๐‘ฆ) โˆง ๐ต = (๐‘ง / ๐‘ค)))) โ†’ ((๐‘ฅ / ๐‘ฆ) / ((๐‘ƒโ†‘(๐‘ƒ pCnt ๐‘ฅ)) / (๐‘ƒโ†‘(๐‘ƒ pCnt ๐‘ฆ)))) = ((๐‘ฅ ยท (๐‘ƒโ†‘(๐‘ƒ pCnt ๐‘ฆ))) / (๐‘ฆ ยท (๐‘ƒโ†‘(๐‘ƒ pCnt ๐‘ฅ)))))
8683, 84, 853eqtrd 2772 . . . . . . . . . . . 12 ((((๐œ‘ โˆง ๐ต โ‰  0) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„ค)) โˆง ((๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„•) โˆง (๐ด = (๐‘ฅ / ๐‘ฆ) โˆง ๐ต = (๐‘ง / ๐‘ค)))) โ†’ (๐ด / (๐‘ƒโ†‘(๐‘ƒ pCnt ๐ด))) = ((๐‘ฅ ยท (๐‘ƒโ†‘(๐‘ƒ pCnt ๐‘ฆ))) / (๐‘ฆ ยท (๐‘ƒโ†‘(๐‘ƒ pCnt ๐‘ฅ)))))
8764, 71, 863eqtr4d 2778 . . . . . . . . . . 11 ((((๐œ‘ โˆง ๐ต โ‰  0) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„ค)) โˆง ((๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„•) โˆง (๐ด = (๐‘ฅ / ๐‘ฆ) โˆง ๐ต = (๐‘ง / ๐‘ค)))) โ†’ ((๐‘ฅ / (๐‘ƒโ†‘(๐‘ƒ pCnt ๐‘ฅ))) / (๐‘ฆ / (๐‘ƒโ†‘(๐‘ƒ pCnt ๐‘ฆ)))) = (๐ด / (๐‘ƒโ†‘(๐‘ƒ pCnt ๐ด))))
8887oveq2d 7436 . . . . . . . . . 10 ((((๐œ‘ โˆง ๐ต โ‰  0) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„ค)) โˆง ((๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„•) โˆง (๐ด = (๐‘ฅ / ๐‘ฆ) โˆง ๐ต = (๐‘ง / ๐‘ค)))) โ†’ ((๐‘ƒโ†‘(๐‘ƒ pCnt ๐ด)) ยท ((๐‘ฅ / (๐‘ƒโ†‘(๐‘ƒ pCnt ๐‘ฅ))) / (๐‘ฆ / (๐‘ƒโ†‘(๐‘ƒ pCnt ๐‘ฆ))))) = ((๐‘ƒโ†‘(๐‘ƒ pCnt ๐ด)) ยท (๐ด / (๐‘ƒโ†‘(๐‘ƒ pCnt ๐ด)))))
891ad3antrrr 729 . . . . . . . . . . . 12 ((((๐œ‘ โˆง ๐ต โ‰  0) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„ค)) โˆง ((๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„•) โˆง (๐ด = (๐‘ฅ / ๐‘ฆ) โˆง ๐ต = (๐‘ง / ๐‘ค)))) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„š)
9089, 13syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((((๐œ‘ โˆง ๐ต โ‰  0) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„ค)) โˆง ((๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„•) โˆง (๐ด = (๐‘ฅ / ๐‘ฆ) โˆง ๐ต = (๐‘ง / ๐‘ค)))) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
91 pcqcl 16825 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง (๐ด โˆˆ โ„š โˆง ๐ด โ‰  0)) โ†’ (๐‘ƒ pCnt ๐ด) โˆˆ โ„ค)
9222, 89, 48, 91syl12anc 836 . . . . . . . . . . . 12 ((((๐œ‘ โˆง ๐ต โ‰  0) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„ค)) โˆง ((๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„•) โˆง (๐ด = (๐‘ฅ / ๐‘ฆ) โˆง ๐ต = (๐‘ง / ๐‘ค)))) โ†’ (๐‘ƒ pCnt ๐ด) โˆˆ โ„ค)
9377, 78, 92expclzd 14148 . . . . . . . . . . 11 ((((๐œ‘ โˆง ๐ต โ‰  0) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„ค)) โˆง ((๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„•) โˆง (๐ด = (๐‘ฅ / ๐‘ฆ) โˆง ๐ต = (๐‘ง / ๐‘ค)))) โ†’ (๐‘ƒโ†‘(๐‘ƒ pCnt ๐ด)) โˆˆ โ„‚)
9477, 78, 92expne0d 14149 . . . . . . . . . . 11 ((((๐œ‘ โˆง ๐ต โ‰  0) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„ค)) โˆง ((๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„•) โˆง (๐ด = (๐‘ฅ / ๐‘ฆ) โˆง ๐ต = (๐‘ง / ๐‘ค)))) โ†’ (๐‘ƒโ†‘(๐‘ƒ pCnt ๐ด)) โ‰  0)
9590, 93, 94divcan2d 12023 . . . . . . . . . 10 ((((๐œ‘ โˆง ๐ต โ‰  0) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„ค)) โˆง ((๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„•) โˆง (๐ด = (๐‘ฅ / ๐‘ฆ) โˆง ๐ต = (๐‘ง / ๐‘ค)))) โ†’ ((๐‘ƒโ†‘(๐‘ƒ pCnt ๐ด)) ยท (๐ด / (๐‘ƒโ†‘(๐‘ƒ pCnt ๐ด)))) = ๐ด)
9688, 95eqtr2d 2769 . . . . . . . . 9 ((((๐œ‘ โˆง ๐ต โ‰  0) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„ค)) โˆง ((๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„•) โˆง (๐ด = (๐‘ฅ / ๐‘ฆ) โˆง ๐ต = (๐‘ง / ๐‘ค)))) โ†’ ๐ด = ((๐‘ƒโ†‘(๐‘ƒ pCnt ๐ด)) ยท ((๐‘ฅ / (๐‘ƒโ†‘(๐‘ƒ pCnt ๐‘ฅ))) / (๐‘ฆ / (๐‘ƒโ†‘(๐‘ƒ pCnt ๐‘ฆ))))))
97 simplrr 777 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((๐œ‘ โˆง ๐ต โ‰  0) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„ค)) โˆง ((๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„•) โˆง (๐ด = (๐‘ฅ / ๐‘ฆ) โˆง ๐ต = (๐‘ง / ๐‘ค)))) โ†’ ๐‘ง โˆˆ โ„ค)
98 simprrr 781 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((๐œ‘ โˆง ๐ต โ‰  0) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„ค)) โˆง ((๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„•) โˆง (๐ด = (๐‘ฅ / ๐‘ฆ) โˆง ๐ต = (๐‘ง / ๐‘ค)))) โ†’ ๐ต = (๐‘ง / ๐‘ค))
9998, 30eqnetrrd 3006 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((๐œ‘ โˆง ๐ต โ‰  0) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„ค)) โˆง ((๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„•) โˆง (๐ด = (๐‘ฅ / ๐‘ฆ) โˆง ๐ต = (๐‘ง / ๐‘ค)))) โ†’ (๐‘ง / ๐‘ค) โ‰  0)
100 simprlr 779 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((๐œ‘ โˆง ๐ต โ‰  0) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„ค)) โˆง ((๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„•) โˆง (๐ด = (๐‘ฅ / ๐‘ฆ) โˆง ๐ต = (๐‘ง / ๐‘ค)))) โ†’ ๐‘ค โˆˆ โ„•)
101100nncnd 12259 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((๐œ‘ โˆง ๐ต โ‰  0) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„ค)) โˆง ((๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„•) โˆง (๐ด = (๐‘ฅ / ๐‘ฆ) โˆง ๐ต = (๐‘ง / ๐‘ค)))) โ†’ ๐‘ค โˆˆ โ„‚)
102100nnne0d 12293 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((๐œ‘ โˆง ๐ต โ‰  0) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„ค)) โˆง ((๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„•) โˆง (๐ด = (๐‘ฅ / ๐‘ฆ) โˆง ๐ต = (๐‘ง / ๐‘ค)))) โ†’ ๐‘ค โ‰  0)
103101, 102div0d 12020 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((๐œ‘ โˆง ๐ต โ‰  0) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„ค)) โˆง ((๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„•) โˆง (๐ด = (๐‘ฅ / ๐‘ฆ) โˆง ๐ต = (๐‘ง / ๐‘ค)))) โ†’ (0 / ๐‘ค) = 0)
104 oveq1 7427 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (๐‘ง = 0 โ†’ (๐‘ง / ๐‘ค) = (0 / ๐‘ค))
105104eqeq1d 2730 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (๐‘ง = 0 โ†’ ((๐‘ง / ๐‘ค) = 0 โ†” (0 / ๐‘ค) = 0))
106103, 105syl5ibrcom 246 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((๐œ‘ โˆง ๐ต โ‰  0) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„ค)) โˆง ((๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„•) โˆง (๐ด = (๐‘ฅ / ๐‘ฆ) โˆง ๐ต = (๐‘ง / ๐‘ค)))) โ†’ (๐‘ง = 0 โ†’ (๐‘ง / ๐‘ค) = 0))
107106necon3d 2958 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((๐œ‘ โˆง ๐ต โ‰  0) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„ค)) โˆง ((๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„•) โˆง (๐ด = (๐‘ฅ / ๐‘ฆ) โˆง ๐ต = (๐‘ง / ๐‘ค)))) โ†’ ((๐‘ง / ๐‘ค) โ‰  0 โ†’ ๐‘ง โ‰  0))
10899, 107mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((๐œ‘ โˆง ๐ต โ‰  0) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„ค)) โˆง ((๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„•) โˆง (๐ด = (๐‘ฅ / ๐‘ฆ) โˆง ๐ต = (๐‘ง / ๐‘ค)))) โ†’ ๐‘ง โ‰  0)
109 pczcl 16817 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง (๐‘ง โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ง โ‰  0)) โ†’ (๐‘ƒ pCnt ๐‘ง) โˆˆ โ„•0)
11022, 97, 108, 109syl12anc 836 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((๐œ‘ โˆง ๐ต โ‰  0) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„ค)) โˆง ((๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„•) โˆง (๐ด = (๐‘ฅ / ๐‘ฆ) โˆง ๐ต = (๐‘ง / ๐‘ค)))) โ†’ (๐‘ƒ pCnt ๐‘ง) โˆˆ โ„•0)
11124, 110nnexpcld 14240 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((๐œ‘ โˆง ๐ต โ‰  0) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„ค)) โˆง ((๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„•) โˆง (๐ด = (๐‘ฅ / ๐‘ฆ) โˆง ๐ต = (๐‘ง / ๐‘ค)))) โ†’ (๐‘ƒโ†‘(๐‘ƒ pCnt ๐‘ง)) โˆˆ โ„•)
112111nncnd 12259 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((๐œ‘ โˆง ๐ต โ‰  0) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„ค)) โˆง ((๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„•) โˆง (๐ด = (๐‘ฅ / ๐‘ฆ) โˆง ๐ต = (๐‘ง / ๐‘ค)))) โ†’ (๐‘ƒโ†‘(๐‘ƒ pCnt ๐‘ง)) โˆˆ โ„‚)
113112, 101mulcomd 11266 . . . . . . . . . . . . 13 ((((๐œ‘ โˆง ๐ต โ‰  0) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„ค)) โˆง ((๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„•) โˆง (๐ด = (๐‘ฅ / ๐‘ฆ) โˆง ๐ต = (๐‘ง / ๐‘ค)))) โ†’ ((๐‘ƒโ†‘(๐‘ƒ pCnt ๐‘ง)) ยท ๐‘ค) = (๐‘ค ยท (๐‘ƒโ†‘(๐‘ƒ pCnt ๐‘ง))))
114113oveq2d 7436 . . . . . . . . . . . 12 ((((๐œ‘ โˆง ๐ต โ‰  0) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„ค)) โˆง ((๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„•) โˆง (๐ด = (๐‘ฅ / ๐‘ฆ) โˆง ๐ต = (๐‘ง / ๐‘ค)))) โ†’ ((๐‘ง ยท (๐‘ƒโ†‘(๐‘ƒ pCnt ๐‘ค))) / ((๐‘ƒโ†‘(๐‘ƒ pCnt ๐‘ง)) ยท ๐‘ค)) = ((๐‘ง ยท (๐‘ƒโ†‘(๐‘ƒ pCnt ๐‘ค))) / (๐‘ค ยท (๐‘ƒโ†‘(๐‘ƒ pCnt ๐‘ง)))))
11597zcnd 12698 . . . . . . . . . . . . 13 ((((๐œ‘ โˆง ๐ต โ‰  0) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„ค)) โˆง ((๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„•) โˆง (๐ด = (๐‘ฅ / ๐‘ฆ) โˆง ๐ต = (๐‘ง / ๐‘ค)))) โ†’ ๐‘ง โˆˆ โ„‚)
11622, 100pccld 16819 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((๐œ‘ โˆง ๐ต โ‰  0) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„ค)) โˆง ((๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„•) โˆง (๐ด = (๐‘ฅ / ๐‘ฆ) โˆง ๐ต = (๐‘ง / ๐‘ค)))) โ†’ (๐‘ƒ pCnt ๐‘ค) โˆˆ โ„•0)
11724, 116nnexpcld 14240 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((๐œ‘ โˆง ๐ต โ‰  0) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„ค)) โˆง ((๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„•) โˆง (๐ด = (๐‘ฅ / ๐‘ฆ) โˆง ๐ต = (๐‘ง / ๐‘ค)))) โ†’ (๐‘ƒโ†‘(๐‘ƒ pCnt ๐‘ค)) โˆˆ โ„•)
118117nncnd 12259 . . . . . . . . . . . . 13 ((((๐œ‘ โˆง ๐ต โ‰  0) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„ค)) โˆง ((๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„•) โˆง (๐ด = (๐‘ฅ / ๐‘ฆ) โˆง ๐ต = (๐‘ง / ๐‘ค)))) โ†’ (๐‘ƒโ†‘(๐‘ƒ pCnt ๐‘ค)) โˆˆ โ„‚)
119111nnne0d 12293 . . . . . . . . . . . . 13 ((((๐œ‘ โˆง ๐ต โ‰  0) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„ค)) โˆง ((๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„•) โˆง (๐ด = (๐‘ฅ / ๐‘ฆ) โˆง ๐ต = (๐‘ง / ๐‘ค)))) โ†’ (๐‘ƒโ†‘(๐‘ƒ pCnt ๐‘ง)) โ‰  0)
120117nnne0d 12293 . . . . . . . . . . . . 13 ((((๐œ‘ โˆง ๐ต โ‰  0) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„ค)) โˆง ((๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„•) โˆง (๐ด = (๐‘ฅ / ๐‘ฆ) โˆง ๐ต = (๐‘ง / ๐‘ค)))) โ†’ (๐‘ƒโ†‘(๐‘ƒ pCnt ๐‘ค)) โ‰  0)
121115, 112, 101, 118, 119, 120, 102divdivdivd 12068 . . . . . . . . . . . 12 ((((๐œ‘ โˆง ๐ต โ‰  0) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„ค)) โˆง ((๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„•) โˆง (๐ด = (๐‘ฅ / ๐‘ฆ) โˆง ๐ต = (๐‘ง / ๐‘ค)))) โ†’ ((๐‘ง / (๐‘ƒโ†‘(๐‘ƒ pCnt ๐‘ง))) / (๐‘ค / (๐‘ƒโ†‘(๐‘ƒ pCnt ๐‘ค)))) = ((๐‘ง ยท (๐‘ƒโ†‘(๐‘ƒ pCnt ๐‘ค))) / ((๐‘ƒโ†‘(๐‘ƒ pCnt ๐‘ง)) ยท ๐‘ค)))
12298oveq2d 7436 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((๐œ‘ โˆง ๐ต โ‰  0) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„ค)) โˆง ((๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„•) โˆง (๐ด = (๐‘ฅ / ๐‘ฆ) โˆง ๐ต = (๐‘ง / ๐‘ค)))) โ†’ (๐‘ƒ pCnt ๐ต) = (๐‘ƒ pCnt (๐‘ง / ๐‘ค)))
123 pcdiv 16821 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง (๐‘ง โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ง โ‰  0) โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘ƒ pCnt (๐‘ง / ๐‘ค)) = ((๐‘ƒ pCnt ๐‘ง) โˆ’ (๐‘ƒ pCnt ๐‘ค)))
12422, 97, 108, 100, 123syl121anc 1373 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((๐œ‘ โˆง ๐ต โ‰  0) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„ค)) โˆง ((๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„•) โˆง (๐ด = (๐‘ฅ / ๐‘ฆ) โˆง ๐ต = (๐‘ง / ๐‘ค)))) โ†’ (๐‘ƒ pCnt (๐‘ง / ๐‘ค)) = ((๐‘ƒ pCnt ๐‘ง) โˆ’ (๐‘ƒ pCnt ๐‘ค)))
125122, 124eqtrd 2768 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((๐œ‘ โˆง ๐ต โ‰  0) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„ค)) โˆง ((๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„•) โˆง (๐ด = (๐‘ฅ / ๐‘ฆ) โˆง ๐ต = (๐‘ง / ๐‘ค)))) โ†’ (๐‘ƒ pCnt ๐ต) = ((๐‘ƒ pCnt ๐‘ง) โˆ’ (๐‘ƒ pCnt ๐‘ค)))
126125oveq2d 7436 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((๐œ‘ โˆง ๐ต โ‰  0) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„ค)) โˆง ((๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„•) โˆง (๐ด = (๐‘ฅ / ๐‘ฆ) โˆง ๐ต = (๐‘ง / ๐‘ค)))) โ†’ (๐‘ƒโ†‘(๐‘ƒ pCnt ๐ต)) = (๐‘ƒโ†‘((๐‘ƒ pCnt ๐‘ง) โˆ’ (๐‘ƒ pCnt ๐‘ค))))
127116nn0zd 12615 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((๐œ‘ โˆง ๐ต โ‰  0) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„ค)) โˆง ((๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„•) โˆง (๐ด = (๐‘ฅ / ๐‘ฆ) โˆง ๐ต = (๐‘ง / ๐‘ค)))) โ†’ (๐‘ƒ pCnt ๐‘ค) โˆˆ โ„ค)
128110nn0zd 12615 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((๐œ‘ โˆง ๐ต โ‰  0) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„ค)) โˆง ((๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„•) โˆง (๐ด = (๐‘ฅ / ๐‘ฆ) โˆง ๐ต = (๐‘ง / ๐‘ค)))) โ†’ (๐‘ƒ pCnt ๐‘ง) โˆˆ โ„ค)
12977, 78, 127, 128expsubd 14154 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((๐œ‘ โˆง ๐ต โ‰  0) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„ค)) โˆง ((๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„•) โˆง (๐ด = (๐‘ฅ / ๐‘ฆ) โˆง ๐ต = (๐‘ง / ๐‘ค)))) โ†’ (๐‘ƒโ†‘((๐‘ƒ pCnt ๐‘ง) โˆ’ (๐‘ƒ pCnt ๐‘ค))) = ((๐‘ƒโ†‘(๐‘ƒ pCnt ๐‘ง)) / (๐‘ƒโ†‘(๐‘ƒ pCnt ๐‘ค))))
130126, 129eqtrd 2768 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((๐œ‘ โˆง ๐ต โ‰  0) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„ค)) โˆง ((๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„•) โˆง (๐ด = (๐‘ฅ / ๐‘ฆ) โˆง ๐ต = (๐‘ง / ๐‘ค)))) โ†’ (๐‘ƒโ†‘(๐‘ƒ pCnt ๐ต)) = ((๐‘ƒโ†‘(๐‘ƒ pCnt ๐‘ง)) / (๐‘ƒโ†‘(๐‘ƒ pCnt ๐‘ค))))
131130oveq2d 7436 . . . . . . . . . . . . 13 ((((๐œ‘ โˆง ๐ต โ‰  0) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„ค)) โˆง ((๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„•) โˆง (๐ด = (๐‘ฅ / ๐‘ฆ) โˆง ๐ต = (๐‘ง / ๐‘ค)))) โ†’ (๐ต / (๐‘ƒโ†‘(๐‘ƒ pCnt ๐ต))) = (๐ต / ((๐‘ƒโ†‘(๐‘ƒ pCnt ๐‘ง)) / (๐‘ƒโ†‘(๐‘ƒ pCnt ๐‘ค)))))
13298oveq1d 7435 . . . . . . . . . . . . 13 ((((๐œ‘ โˆง ๐ต โ‰  0) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„ค)) โˆง ((๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„•) โˆง (๐ด = (๐‘ฅ / ๐‘ฆ) โˆง ๐ต = (๐‘ง / ๐‘ค)))) โ†’ (๐ต / ((๐‘ƒโ†‘(๐‘ƒ pCnt ๐‘ง)) / (๐‘ƒโ†‘(๐‘ƒ pCnt ๐‘ค)))) = ((๐‘ง / ๐‘ค) / ((๐‘ƒโ†‘(๐‘ƒ pCnt ๐‘ง)) / (๐‘ƒโ†‘(๐‘ƒ pCnt ๐‘ค)))))
133115, 101, 112, 118, 102, 120, 119divdivdivd 12068 . . . . . . . . . . . . 13 ((((๐œ‘ โˆง ๐ต โ‰  0) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„ค)) โˆง ((๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„•) โˆง (๐ด = (๐‘ฅ / ๐‘ฆ) โˆง ๐ต = (๐‘ง / ๐‘ค)))) โ†’ ((๐‘ง / ๐‘ค) / ((๐‘ƒโ†‘(๐‘ƒ pCnt ๐‘ง)) / (๐‘ƒโ†‘(๐‘ƒ pCnt ๐‘ค)))) = ((๐‘ง ยท (๐‘ƒโ†‘(๐‘ƒ pCnt ๐‘ค))) / (๐‘ค ยท (๐‘ƒโ†‘(๐‘ƒ pCnt ๐‘ง)))))
134131, 132, 1333eqtrd 2772 . . . . . . . . . . . 12 ((((๐œ‘ โˆง ๐ต โ‰  0) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„ค)) โˆง ((๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„•) โˆง (๐ด = (๐‘ฅ / ๐‘ฆ) โˆง ๐ต = (๐‘ง / ๐‘ค)))) โ†’ (๐ต / (๐‘ƒโ†‘(๐‘ƒ pCnt ๐ต))) = ((๐‘ง ยท (๐‘ƒโ†‘(๐‘ƒ pCnt ๐‘ค))) / (๐‘ค ยท (๐‘ƒโ†‘(๐‘ƒ pCnt ๐‘ง)))))
135114, 121, 1343eqtr4d 2778 . . . . . . . . . . 11 ((((๐œ‘ โˆง ๐ต โ‰  0) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„ค)) โˆง ((๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„•) โˆง (๐ด = (๐‘ฅ / ๐‘ฆ) โˆง ๐ต = (๐‘ง / ๐‘ค)))) โ†’ ((๐‘ง / (๐‘ƒโ†‘(๐‘ƒ pCnt ๐‘ง))) / (๐‘ค / (๐‘ƒโ†‘(๐‘ƒ pCnt ๐‘ค)))) = (๐ต / (๐‘ƒโ†‘(๐‘ƒ pCnt ๐ต))))
136135oveq2d 7436 . . . . . . . . . 10 ((((๐œ‘ โˆง ๐ต โ‰  0) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„ค)) โˆง ((๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„•) โˆง (๐ด = (๐‘ฅ / ๐‘ฆ) โˆง ๐ต = (๐‘ง / ๐‘ค)))) โ†’ ((๐‘ƒโ†‘(๐‘ƒ pCnt ๐ต)) ยท ((๐‘ง / (๐‘ƒโ†‘(๐‘ƒ pCnt ๐‘ง))) / (๐‘ค / (๐‘ƒโ†‘(๐‘ƒ pCnt ๐‘ค))))) = ((๐‘ƒโ†‘(๐‘ƒ pCnt ๐ต)) ยท (๐ต / (๐‘ƒโ†‘(๐‘ƒ pCnt ๐ต)))))
137 qcn 12978 . . . . . . . . . . . 12 (๐ต โˆˆ โ„š โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
13829, 137syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((((๐œ‘ โˆง ๐ต โ‰  0) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„ค)) โˆง ((๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„•) โˆง (๐ด = (๐‘ฅ / ๐‘ฆ) โˆง ๐ต = (๐‘ง / ๐‘ค)))) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
13977, 78, 32expclzd 14148 . . . . . . . . . . 11 ((((๐œ‘ โˆง ๐ต โ‰  0) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„ค)) โˆง ((๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„•) โˆง (๐ด = (๐‘ฅ / ๐‘ฆ) โˆง ๐ต = (๐‘ง / ๐‘ค)))) โ†’ (๐‘ƒโ†‘(๐‘ƒ pCnt ๐ต)) โˆˆ โ„‚)
14077, 78, 32expne0d 14149 . . . . . . . . . . 11 ((((๐œ‘ โˆง ๐ต โ‰  0) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„ค)) โˆง ((๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„•) โˆง (๐ด = (๐‘ฅ / ๐‘ฆ) โˆง ๐ต = (๐‘ง / ๐‘ค)))) โ†’ (๐‘ƒโ†‘(๐‘ƒ pCnt ๐ต)) โ‰  0)
141138, 139, 140divcan2d 12023 . . . . . . . . . 10 ((((๐œ‘ โˆง ๐ต โ‰  0) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„ค)) โˆง ((๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„•) โˆง (๐ด = (๐‘ฅ / ๐‘ฆ) โˆง ๐ต = (๐‘ง / ๐‘ค)))) โ†’ ((๐‘ƒโ†‘(๐‘ƒ pCnt ๐ต)) ยท (๐ต / (๐‘ƒโ†‘(๐‘ƒ pCnt ๐ต)))) = ๐ต)
142136, 141eqtr2d 2769 . . . . . . . . 9 ((((๐œ‘ โˆง ๐ต โ‰  0) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„ค)) โˆง ((๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„•) โˆง (๐ด = (๐‘ฅ / ๐‘ฆ) โˆง ๐ต = (๐‘ง / ๐‘ค)))) โ†’ ๐ต = ((๐‘ƒโ†‘(๐‘ƒ pCnt ๐ต)) ยท ((๐‘ง / (๐‘ƒโ†‘(๐‘ƒ pCnt ๐‘ง))) / (๐‘ค / (๐‘ƒโ†‘(๐‘ƒ pCnt ๐‘ค))))))
143 eluz 12867 . . . . . . . . . . 11 (((๐‘ƒ pCnt ๐ด) โˆˆ โ„ค โˆง (๐‘ƒ pCnt ๐ต) โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐‘ƒ pCnt ๐ต) โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘ƒ pCnt ๐ด)) โ†” (๐‘ƒ pCnt ๐ด) โ‰ค (๐‘ƒ pCnt ๐ต)))
14492, 32, 143syl2anc 583 . . . . . . . . . 10 ((((๐œ‘ โˆง ๐ต โ‰  0) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„ค)) โˆง ((๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„•) โˆง (๐ด = (๐‘ฅ / ๐‘ฆ) โˆง ๐ต = (๐‘ง / ๐‘ค)))) โ†’ ((๐‘ƒ pCnt ๐ต) โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘ƒ pCnt ๐ด)) โ†” (๐‘ƒ pCnt ๐ด) โ‰ค (๐‘ƒ pCnt ๐ต)))
14543, 144mpbird 257 . . . . . . . . 9 ((((๐œ‘ โˆง ๐ต โ‰  0) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„ค)) โˆง ((๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„•) โˆง (๐ด = (๐‘ฅ / ๐‘ฆ) โˆง ๐ต = (๐‘ง / ๐‘ค)))) โ†’ (๐‘ƒ pCnt ๐ต) โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘ƒ pCnt ๐ด)))
146 pczdvds 16832 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ฅ โ‰  0)) โ†’ (๐‘ƒโ†‘(๐‘ƒ pCnt ๐‘ฅ)) โˆฅ ๐‘ฅ)
14722, 25, 58, 146syl12anc 836 . . . . . . . . . . 11 ((((๐œ‘ โˆง ๐ต โ‰  0) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„ค)) โˆง ((๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„•) โˆง (๐ด = (๐‘ฅ / ๐‘ฆ) โˆง ๐ต = (๐‘ง / ๐‘ค)))) โ†’ (๐‘ƒโ†‘(๐‘ƒ pCnt ๐‘ฅ)) โˆฅ ๐‘ฅ)
14861nnzd 12616 . . . . . . . . . . . 12 ((((๐œ‘ โˆง ๐ต โ‰  0) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„ค)) โˆง ((๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„•) โˆง (๐ด = (๐‘ฅ / ๐‘ฆ) โˆง ๐ต = (๐‘ง / ๐‘ค)))) โ†’ (๐‘ƒโ†‘(๐‘ƒ pCnt ๐‘ฅ)) โˆˆ โ„ค)
149 dvdsval2 16234 . . . . . . . . . . . 12 (((๐‘ƒโ†‘(๐‘ƒ pCnt ๐‘ฅ)) โˆˆ โ„ค โˆง (๐‘ƒโ†‘(๐‘ƒ pCnt ๐‘ฅ)) โ‰  0 โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐‘ƒโ†‘(๐‘ƒ pCnt ๐‘ฅ)) โˆฅ ๐‘ฅ โ†” (๐‘ฅ / (๐‘ƒโ†‘(๐‘ƒ pCnt ๐‘ฅ))) โˆˆ โ„ค))
150148, 69, 25, 149syl3anc 1369 . . . . . . . . . . 11 ((((๐œ‘ โˆง ๐ต โ‰  0) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„ค)) โˆง ((๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„•) โˆง (๐ด = (๐‘ฅ / ๐‘ฆ) โˆง ๐ต = (๐‘ง / ๐‘ค)))) โ†’ ((๐‘ƒโ†‘(๐‘ƒ pCnt ๐‘ฅ)) โˆฅ ๐‘ฅ โ†” (๐‘ฅ / (๐‘ƒโ†‘(๐‘ƒ pCnt ๐‘ฅ))) โˆˆ โ„ค))
151147, 150mpbid 231 . . . . . . . . . 10 ((((๐œ‘ โˆง ๐ต โ‰  0) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„ค)) โˆง ((๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„•) โˆง (๐ด = (๐‘ฅ / ๐‘ฆ) โˆง ๐ต = (๐‘ง / ๐‘ค)))) โ†’ (๐‘ฅ / (๐‘ƒโ†‘(๐‘ƒ pCnt ๐‘ฅ))) โˆˆ โ„ค)
152 pczndvds2 16836 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ฅ โ‰  0)) โ†’ ยฌ ๐‘ƒ โˆฅ (๐‘ฅ / (๐‘ƒโ†‘(๐‘ƒ pCnt ๐‘ฅ))))
15322, 25, 58, 152syl12anc 836 . . . . . . . . . 10 ((((๐œ‘ โˆง ๐ต โ‰  0) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„ค)) โˆง ((๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„•) โˆง (๐ด = (๐‘ฅ / ๐‘ฆ) โˆง ๐ต = (๐‘ง / ๐‘ค)))) โ†’ ยฌ ๐‘ƒ โˆฅ (๐‘ฅ / (๐‘ƒโ†‘(๐‘ƒ pCnt ๐‘ฅ))))
154151, 153jca 511 . . . . . . . . 9 ((((๐œ‘ โˆง ๐ต โ‰  0) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„ค)) โˆง ((๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„•) โˆง (๐ด = (๐‘ฅ / ๐‘ฆ) โˆง ๐ต = (๐‘ง / ๐‘ค)))) โ†’ ((๐‘ฅ / (๐‘ƒโ†‘(๐‘ƒ pCnt ๐‘ฅ))) โˆˆ โ„ค โˆง ยฌ ๐‘ƒ โˆฅ (๐‘ฅ / (๐‘ƒโ†‘(๐‘ƒ pCnt ๐‘ฅ)))))
155 pcdvds 16833 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘ƒโ†‘(๐‘ƒ pCnt ๐‘ฆ)) โˆฅ ๐‘ฆ)
15622, 50, 155syl2anc 583 . . . . . . . . . . . 12 ((((๐œ‘ โˆง ๐ต โ‰  0) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„ค)) โˆง ((๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„•) โˆง (๐ด = (๐‘ฅ / ๐‘ฆ) โˆง ๐ต = (๐‘ง / ๐‘ค)))) โ†’ (๐‘ƒโ†‘(๐‘ƒ pCnt ๐‘ฆ)) โˆฅ ๐‘ฆ)
15767nnzd 12616 . . . . . . . . . . . . 13 ((((๐œ‘ โˆง ๐ต โ‰  0) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„ค)) โˆง ((๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„•) โˆง (๐ด = (๐‘ฅ / ๐‘ฆ) โˆง ๐ต = (๐‘ง / ๐‘ค)))) โ†’ (๐‘ƒโ†‘(๐‘ƒ pCnt ๐‘ฆ)) โˆˆ โ„ค)
15850nnzd 12616 . . . . . . . . . . . . 13 ((((๐œ‘ โˆง ๐ต โ‰  0) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„ค)) โˆง ((๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„•) โˆง (๐ด = (๐‘ฅ / ๐‘ฆ) โˆง ๐ต = (๐‘ง / ๐‘ค)))) โ†’ ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค)
159 dvdsval2 16234 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐‘ƒโ†‘(๐‘ƒ pCnt ๐‘ฆ)) โˆˆ โ„ค โˆง (๐‘ƒโ†‘(๐‘ƒ pCnt ๐‘ฆ)) โ‰  0 โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐‘ƒโ†‘(๐‘ƒ pCnt ๐‘ฆ)) โˆฅ ๐‘ฆ โ†” (๐‘ฆ / (๐‘ƒโ†‘(๐‘ƒ pCnt ๐‘ฆ))) โˆˆ โ„ค))
160157, 70, 158, 159syl3anc 1369 . . . . . . . . . . . 12 ((((๐œ‘ โˆง ๐ต โ‰  0) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„ค)) โˆง ((๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„•) โˆง (๐ด = (๐‘ฅ / ๐‘ฆ) โˆง ๐ต = (๐‘ง / ๐‘ค)))) โ†’ ((๐‘ƒโ†‘(๐‘ƒ pCnt ๐‘ฆ)) โˆฅ ๐‘ฆ โ†” (๐‘ฆ / (๐‘ƒโ†‘(๐‘ƒ pCnt ๐‘ฆ))) โˆˆ โ„ค))
161156, 160mpbid 231 . . . . . . . . . . 11 ((((๐œ‘ โˆง ๐ต โ‰  0) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„ค)) โˆง ((๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„•) โˆง (๐ด = (๐‘ฅ / ๐‘ฆ) โˆง ๐ต = (๐‘ง / ๐‘ค)))) โ†’ (๐‘ฆ / (๐‘ƒโ†‘(๐‘ƒ pCnt ๐‘ฆ))) โˆˆ โ„ค)
16250nnred 12258 . . . . . . . . . . . 12 ((((๐œ‘ โˆง ๐ต โ‰  0) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„ค)) โˆง ((๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„•) โˆง (๐ด = (๐‘ฅ / ๐‘ฆ) โˆง ๐ต = (๐‘ง / ๐‘ค)))) โ†’ ๐‘ฆ โˆˆ โ„)
16367nnred 12258 . . . . . . . . . . . 12 ((((๐œ‘ โˆง ๐ต โ‰  0) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„ค)) โˆง ((๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„•) โˆง (๐ด = (๐‘ฅ / ๐‘ฆ) โˆง ๐ต = (๐‘ง / ๐‘ค)))) โ†’ (๐‘ƒโ†‘(๐‘ƒ pCnt ๐‘ฆ)) โˆˆ โ„)
16450nngt0d 12292 . . . . . . . . . . . 12 ((((๐œ‘ โˆง ๐ต โ‰  0) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„ค)) โˆง ((๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„•) โˆง (๐ด = (๐‘ฅ / ๐‘ฆ) โˆง ๐ต = (๐‘ง / ๐‘ค)))) โ†’ 0 < ๐‘ฆ)
16567nngt0d 12292 . . . . . . . . . . . 12 ((((๐œ‘ โˆง ๐ต โ‰  0) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„ค)) โˆง ((๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„•) โˆง (๐ด = (๐‘ฅ / ๐‘ฆ) โˆง ๐ต = (๐‘ง / ๐‘ค)))) โ†’ 0 < (๐‘ƒโ†‘(๐‘ƒ pCnt ๐‘ฆ)))
166162, 163, 164, 165divgt0d 12180 . . . . . . . . . . 11 ((((๐œ‘ โˆง ๐ต โ‰  0) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„ค)) โˆง ((๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„•) โˆง (๐ด = (๐‘ฅ / ๐‘ฆ) โˆง ๐ต = (๐‘ง / ๐‘ค)))) โ†’ 0 < (๐‘ฆ / (๐‘ƒโ†‘(๐‘ƒ pCnt ๐‘ฆ))))
167 elnnz 12599 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘ฆ / (๐‘ƒโ†‘(๐‘ƒ pCnt ๐‘ฆ))) โˆˆ โ„• โ†” ((๐‘ฆ / (๐‘ƒโ†‘(๐‘ƒ pCnt ๐‘ฆ))) โˆˆ โ„ค โˆง 0 < (๐‘ฆ / (๐‘ƒโ†‘(๐‘ƒ pCnt ๐‘ฆ)))))
168161, 166, 167sylanbrc 582 . . . . . . . . . 10 ((((๐œ‘ โˆง ๐ต โ‰  0) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„ค)) โˆง ((๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„•) โˆง (๐ด = (๐‘ฅ / ๐‘ฆ) โˆง ๐ต = (๐‘ง / ๐‘ค)))) โ†’ (๐‘ฆ / (๐‘ƒโ†‘(๐‘ƒ pCnt ๐‘ฆ))) โˆˆ โ„•)
169 pcndvds2 16837 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„•) โ†’ ยฌ ๐‘ƒ โˆฅ (๐‘ฆ / (๐‘ƒโ†‘(๐‘ƒ pCnt ๐‘ฆ))))
17022, 50, 169syl2anc 583 . . . . . . . . . 10 ((((๐œ‘ โˆง ๐ต โ‰  0) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„ค)) โˆง ((๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„•) โˆง (๐ด = (๐‘ฅ / ๐‘ฆ) โˆง ๐ต = (๐‘ง / ๐‘ค)))) โ†’ ยฌ ๐‘ƒ โˆฅ (๐‘ฆ / (๐‘ƒโ†‘(๐‘ƒ pCnt ๐‘ฆ))))
171168, 170jca 511 . . . . . . . . 9 ((((๐œ‘ โˆง ๐ต โ‰  0) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„ค)) โˆง ((๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„•) โˆง (๐ด = (๐‘ฅ / ๐‘ฆ) โˆง ๐ต = (๐‘ง / ๐‘ค)))) โ†’ ((๐‘ฆ / (๐‘ƒโ†‘(๐‘ƒ pCnt ๐‘ฆ))) โˆˆ โ„• โˆง ยฌ ๐‘ƒ โˆฅ (๐‘ฆ / (๐‘ƒโ†‘(๐‘ƒ pCnt ๐‘ฆ)))))
172 pczdvds 16832 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง (๐‘ง โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ง โ‰  0)) โ†’ (๐‘ƒโ†‘(๐‘ƒ pCnt ๐‘ง)) โˆฅ ๐‘ง)
17322, 97, 108, 172syl12anc 836 . . . . . . . . . . 11 ((((๐œ‘ โˆง ๐ต โ‰  0) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„ค)) โˆง ((๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„•) โˆง (๐ด = (๐‘ฅ / ๐‘ฆ) โˆง ๐ต = (๐‘ง / ๐‘ค)))) โ†’ (๐‘ƒโ†‘(๐‘ƒ pCnt ๐‘ง)) โˆฅ ๐‘ง)
174111nnzd 12616 . . . . . . . . . . . 12 ((((๐œ‘ โˆง ๐ต โ‰  0) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„ค)) โˆง ((๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„•) โˆง (๐ด = (๐‘ฅ / ๐‘ฆ) โˆง ๐ต = (๐‘ง / ๐‘ค)))) โ†’ (๐‘ƒโ†‘(๐‘ƒ pCnt ๐‘ง)) โˆˆ โ„ค)
175 dvdsval2 16234 . . . . . . . . . . . 12 (((๐‘ƒโ†‘(๐‘ƒ pCnt ๐‘ง)) โˆˆ โ„ค โˆง (๐‘ƒโ†‘(๐‘ƒ pCnt ๐‘ง)) โ‰  0 โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐‘ƒโ†‘(๐‘ƒ pCnt ๐‘ง)) โˆฅ ๐‘ง โ†” (๐‘ง / (๐‘ƒโ†‘(๐‘ƒ pCnt ๐‘ง))) โˆˆ โ„ค))
176174, 119, 97, 175syl3anc 1369 . . . . . . . . . . 11 ((((๐œ‘ โˆง ๐ต โ‰  0) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„ค)) โˆง ((๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„•) โˆง (๐ด = (๐‘ฅ / ๐‘ฆ) โˆง ๐ต = (๐‘ง / ๐‘ค)))) โ†’ ((๐‘ƒโ†‘(๐‘ƒ pCnt ๐‘ง)) โˆฅ ๐‘ง โ†” (๐‘ง / (๐‘ƒโ†‘(๐‘ƒ pCnt ๐‘ง))) โˆˆ โ„ค))
177173, 176mpbid 231 . . . . . . . . . 10 ((((๐œ‘ โˆง ๐ต โ‰  0) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„ค)) โˆง ((๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„•) โˆง (๐ด = (๐‘ฅ / ๐‘ฆ) โˆง ๐ต = (๐‘ง / ๐‘ค)))) โ†’ (๐‘ง / (๐‘ƒโ†‘(๐‘ƒ pCnt ๐‘ง))) โˆˆ โ„ค)
178 pczndvds2 16836 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง (๐‘ง โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ง โ‰  0)) โ†’ ยฌ ๐‘ƒ โˆฅ (๐‘ง / (๐‘ƒโ†‘(๐‘ƒ pCnt ๐‘ง))))
17922, 97, 108, 178syl12anc 836 . . . . . . . . . 10 ((((๐œ‘ โˆง ๐ต โ‰  0) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„ค)) โˆง ((๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„•) โˆง (๐ด = (๐‘ฅ / ๐‘ฆ) โˆง ๐ต = (๐‘ง / ๐‘ค)))) โ†’ ยฌ ๐‘ƒ โˆฅ (๐‘ง / (๐‘ƒโ†‘(๐‘ƒ pCnt ๐‘ง))))
180177, 179jca 511 . . . . . . . . 9 ((((๐œ‘ โˆง ๐ต โ‰  0) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„ค)) โˆง ((๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„•) โˆง (๐ด = (๐‘ฅ / ๐‘ฆ) โˆง ๐ต = (๐‘ง / ๐‘ค)))) โ†’ ((๐‘ง / (๐‘ƒโ†‘(๐‘ƒ pCnt ๐‘ง))) โˆˆ โ„ค โˆง ยฌ ๐‘ƒ โˆฅ (๐‘ง / (๐‘ƒโ†‘(๐‘ƒ pCnt ๐‘ง)))))
181 pcdvds 16833 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘ƒโ†‘(๐‘ƒ pCnt ๐‘ค)) โˆฅ ๐‘ค)
18222, 100, 181syl2anc 583 . . . . . . . . . . . 12 ((((๐œ‘ โˆง ๐ต โ‰  0) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„ค)) โˆง ((๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„•) โˆง (๐ด = (๐‘ฅ / ๐‘ฆ) โˆง ๐ต = (๐‘ง / ๐‘ค)))) โ†’ (๐‘ƒโ†‘(๐‘ƒ pCnt ๐‘ค)) โˆฅ ๐‘ค)
183117nnzd 12616 . . . . . . . . . . . . 13 ((((๐œ‘ โˆง ๐ต โ‰  0) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„ค)) โˆง ((๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„•) โˆง (๐ด = (๐‘ฅ / ๐‘ฆ) โˆง ๐ต = (๐‘ง / ๐‘ค)))) โ†’ (๐‘ƒโ†‘(๐‘ƒ pCnt ๐‘ค)) โˆˆ โ„ค)
184100nnzd 12616 . . . . . . . . . . . . 13 ((((๐œ‘ โˆง ๐ต โ‰  0) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„ค)) โˆง ((๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„•) โˆง (๐ด = (๐‘ฅ / ๐‘ฆ) โˆง ๐ต = (๐‘ง / ๐‘ค)))) โ†’ ๐‘ค โˆˆ โ„ค)
185 dvdsval2 16234 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐‘ƒโ†‘(๐‘ƒ pCnt ๐‘ค)) โˆˆ โ„ค โˆง (๐‘ƒโ†‘(๐‘ƒ pCnt ๐‘ค)) โ‰  0 โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐‘ƒโ†‘(๐‘ƒ pCnt ๐‘ค)) โˆฅ ๐‘ค โ†” (๐‘ค / (๐‘ƒโ†‘(๐‘ƒ pCnt ๐‘ค))) โˆˆ โ„ค))
186183, 120, 184, 185syl3anc 1369 . . . . . . . . . . . 12 ((((๐œ‘ โˆง ๐ต โ‰  0) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„ค)) โˆง ((๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„•) โˆง (๐ด = (๐‘ฅ / ๐‘ฆ) โˆง ๐ต = (๐‘ง / ๐‘ค)))) โ†’ ((๐‘ƒโ†‘(๐‘ƒ pCnt ๐‘ค)) โˆฅ ๐‘ค โ†” (๐‘ค / (๐‘ƒโ†‘(๐‘ƒ pCnt ๐‘ค))) โˆˆ โ„ค))
187182, 186mpbid 231 . . . . . . . . . . 11 ((((๐œ‘ โˆง ๐ต โ‰  0) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„ค)) โˆง ((๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„•) โˆง (๐ด = (๐‘ฅ / ๐‘ฆ) โˆง ๐ต = (๐‘ง / ๐‘ค)))) โ†’ (๐‘ค / (๐‘ƒโ†‘(๐‘ƒ pCnt ๐‘ค))) โˆˆ โ„ค)
188100nnred 12258 . . . . . . . . . . . 12 ((((๐œ‘ โˆง ๐ต โ‰  0) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„ค)) โˆง ((๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„•) โˆง (๐ด = (๐‘ฅ / ๐‘ฆ) โˆง ๐ต = (๐‘ง / ๐‘ค)))) โ†’ ๐‘ค โˆˆ โ„)
189117nnred 12258 . . . . . . . . . . . 12 ((((๐œ‘ โˆง ๐ต โ‰  0) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„ค)) โˆง ((๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„•) โˆง (๐ด = (๐‘ฅ / ๐‘ฆ) โˆง ๐ต = (๐‘ง / ๐‘ค)))) โ†’ (๐‘ƒโ†‘(๐‘ƒ pCnt ๐‘ค)) โˆˆ โ„)
190100nngt0d 12292 . . . . . . . . . . . 12 ((((๐œ‘ โˆง ๐ต โ‰  0) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„ค)) โˆง ((๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„•) โˆง (๐ด = (๐‘ฅ / ๐‘ฆ) โˆง ๐ต = (๐‘ง / ๐‘ค)))) โ†’ 0 < ๐‘ค)
191117nngt0d 12292 . . . . . . . . . . . 12 ((((๐œ‘ โˆง ๐ต โ‰  0) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„ค)) โˆง ((๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„•) โˆง (๐ด = (๐‘ฅ / ๐‘ฆ) โˆง ๐ต = (๐‘ง / ๐‘ค)))) โ†’ 0 < (๐‘ƒโ†‘(๐‘ƒ pCnt ๐‘ค)))
192188, 189, 190, 191divgt0d 12180 . . . . . . . . . . 11 ((((๐œ‘ โˆง ๐ต โ‰  0) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„ค)) โˆง ((๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„•) โˆง (๐ด = (๐‘ฅ / ๐‘ฆ) โˆง ๐ต = (๐‘ง / ๐‘ค)))) โ†’ 0 < (๐‘ค / (๐‘ƒโ†‘(๐‘ƒ pCnt ๐‘ค))))
193 elnnz 12599 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘ค / (๐‘ƒโ†‘(๐‘ƒ pCnt ๐‘ค))) โˆˆ โ„• โ†” ((๐‘ค / (๐‘ƒโ†‘(๐‘ƒ pCnt ๐‘ค))) โˆˆ โ„ค โˆง 0 < (๐‘ค / (๐‘ƒโ†‘(๐‘ƒ pCnt ๐‘ค)))))
194187, 192, 193sylanbrc 582 . . . . . . . . . 10 ((((๐œ‘ โˆง ๐ต โ‰  0) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„ค)) โˆง ((๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„•) โˆง (๐ด = (๐‘ฅ / ๐‘ฆ) โˆง ๐ต = (๐‘ง / ๐‘ค)))) โ†’ (๐‘ค / (๐‘ƒโ†‘(๐‘ƒ pCnt ๐‘ค))) โˆˆ โ„•)
195 pcndvds2 16837 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„•) โ†’ ยฌ ๐‘ƒ โˆฅ (๐‘ค / (๐‘ƒโ†‘(๐‘ƒ pCnt ๐‘ค))))
19622, 100, 195syl2anc 583 . . . . . . . . . 10 ((((๐œ‘ โˆง ๐ต โ‰  0) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„ค)) โˆง ((๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„•) โˆง (๐ด = (๐‘ฅ / ๐‘ฆ) โˆง ๐ต = (๐‘ง / ๐‘ค)))) โ†’ ยฌ ๐‘ƒ โˆฅ (๐‘ค / (๐‘ƒโ†‘(๐‘ƒ pCnt ๐‘ค))))
197194, 196jca 511 . . . . . . . . 9 ((((๐œ‘ โˆง ๐ต โ‰  0) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„ค)) โˆง ((๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„•) โˆง (๐ด = (๐‘ฅ / ๐‘ฆ) โˆง ๐ต = (๐‘ง / ๐‘ค)))) โ†’ ((๐‘ค / (๐‘ƒโ†‘(๐‘ƒ pCnt ๐‘ค))) โˆˆ โ„• โˆง ยฌ ๐‘ƒ โˆฅ (๐‘ค / (๐‘ƒโ†‘(๐‘ƒ pCnt ๐‘ค)))))
19822, 96, 142, 145, 154, 171, 180, 197pcaddlem 16857 . . . . . . . 8 ((((๐œ‘ โˆง ๐ต โ‰  0) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„ค)) โˆง ((๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„•) โˆง (๐ด = (๐‘ฅ / ๐‘ฆ) โˆง ๐ต = (๐‘ง / ๐‘ค)))) โ†’ (๐‘ƒ pCnt ๐ด) โ‰ค (๐‘ƒ pCnt (๐ด + ๐ต)))
199198expr 456 . . . . . . 7 ((((๐œ‘ โˆง ๐ต โ‰  0) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„ค)) โˆง (๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„•)) โ†’ ((๐ด = (๐‘ฅ / ๐‘ฆ) โˆง ๐ต = (๐‘ง / ๐‘ค)) โ†’ (๐‘ƒ pCnt ๐ด) โ‰ค (๐‘ƒ pCnt (๐ด + ๐ต))))
200199rexlimdvva 3208 . . . . . 6 (((๐œ‘ โˆง ๐ต โ‰  0) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„ค)) โ†’ (โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆƒ๐‘ค โˆˆ โ„• (๐ด = (๐‘ฅ / ๐‘ฆ) โˆง ๐ต = (๐‘ง / ๐‘ค)) โ†’ (๐‘ƒ pCnt ๐ด) โ‰ค (๐‘ƒ pCnt (๐ด + ๐ต))))
20121, 200biimtrrid 242 . . . . 5 (((๐œ‘ โˆง ๐ต โ‰  0) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„ค)) โ†’ ((โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ โ„• ๐ด = (๐‘ฅ / ๐‘ฆ) โˆง โˆƒ๐‘ค โˆˆ โ„• ๐ต = (๐‘ง / ๐‘ค)) โ†’ (๐‘ƒ pCnt ๐ด) โ‰ค (๐‘ƒ pCnt (๐ด + ๐ต))))
202201rexlimdvva 3208 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐ต โ‰  0) โ†’ (โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆƒ๐‘ง โˆˆ โ„ค (โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ โ„• ๐ด = (๐‘ฅ / ๐‘ฆ) โˆง โˆƒ๐‘ค โˆˆ โ„• ๐ต = (๐‘ง / ๐‘ค)) โ†’ (๐‘ƒ pCnt ๐ด) โ‰ค (๐‘ƒ pCnt (๐ด + ๐ต))))
20320, 202biimtrrid 242 . . 3 ((๐œ‘ โˆง ๐ต โ‰  0) โ†’ ((โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ โ„• ๐ด = (๐‘ฅ / ๐‘ฆ) โˆง โˆƒ๐‘ง โˆˆ โ„ค โˆƒ๐‘ค โˆˆ โ„• ๐ต = (๐‘ง / ๐‘ค)) โ†’ (๐‘ƒ pCnt ๐ด) โ‰ค (๐‘ƒ pCnt (๐ด + ๐ต))))
20419, 203pm2.61dane 3026 . 2 (๐œ‘ โ†’ ((โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ โ„• ๐ด = (๐‘ฅ / ๐‘ฆ) โˆง โˆƒ๐‘ง โˆˆ โ„ค โˆƒ๐‘ค โˆˆ โ„• ๐ต = (๐‘ง / ๐‘ค)) โ†’ (๐‘ƒ pCnt ๐ด) โ‰ค (๐‘ƒ pCnt (๐ด + ๐ต))))
2053, 6, 204mp2and 698 1 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ƒ pCnt ๐ด) โ‰ค (๐‘ƒ pCnt (๐ด + ๐ต)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ยฌ wn 3   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 395   = wceq 1534   โˆˆ wcel 2099   โ‰  wne 2937  โˆƒwrex 3067   class class class wbr 5148  โ€˜cfv 6548  (class class class)co 7420  โ„‚cc 11137  โ„cr 11138  0cc0 11139   + caddc 11142   ยท cmul 11144  +โˆžcpnf 11276  โ„*cxr 11278   < clt 11279   โ‰ค cle 11280   โˆ’ cmin 11475   / cdiv 11902  โ„•cn 12243  โ„•0cn0 12503  โ„คcz 12589  โ„คโ‰ฅcuz 12853  โ„šcq 12963  โ†‘cexp 14059   โˆฅ cdvds 16231  โ„™cprime 16642   pCnt cpc 16805
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7740  ax-cnex 11195  ax-resscn 11196  ax-1cn 11197  ax-icn 11198  ax-addcl 11199  ax-addrcl 11200  ax-mulcl 11201  ax-mulrcl 11202  ax-mulcom 11203  ax-addass 11204  ax-mulass 11205  ax-distr 11206  ax-i2m1 11207  ax-1ne0 11208  ax-1rid 11209  ax-rnegex 11210  ax-rrecex 11211  ax-cnre 11212  ax-pre-lttri 11213  ax-pre-lttrn 11214  ax-pre-ltadd 11215  ax-pre-mulgt0 11216  ax-pre-sup 11217
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3373  df-reu 3374  df-rab 3430  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4909  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6305  df-ord 6372  df-on 6373  df-lim 6374  df-suc 6375  df-iota 6500  df-fun 6550  df-fn 6551  df-f 6552  df-f1 6553  df-fo 6554  df-f1o 6555  df-fv 6556  df-riota 7376  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7871  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-1o 8487  df-2o 8488  df-er 8725  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-fin 8968  df-sup 9466  df-inf 9467  df-pnf 11281  df-mnf 11282  df-xr 11283  df-ltxr 11284  df-le 11285  df-sub 11477  df-neg 11478  df-div 11903  df-nn 12244  df-2 12306  df-3 12307  df-n0 12504  df-z 12590  df-uz 12854  df-q 12964  df-rp 13008  df-fl 13790  df-mod 13868  df-seq 14000  df-exp 14060  df-cj 15079  df-re 15080  df-im 15081  df-sqrt 15215  df-abs 15216  df-dvds 16232  df-gcd 16470  df-prm 16643  df-pc 16806
This theorem is referenced by:  pcadd2  16859  padicabv  27576
  Copyright terms: Public domain W3C validator