stirlinglem4 - Mathbox for Glauco Siliprandi

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Theorem stirlinglem4 46505

Description: Algebraic manipulation of ((𝐵 n ) - ( B (𝑛 + 1))). It will be used in other theorems to show that 𝐵 is decreasing. (Contributed by Glauco Siliprandi, 29-Jun-2017.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
stirlinglem4.1	⊢ 𝐴 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((!‘𝑛) / ((√‘(2 · 𝑛)) · ((𝑛 / e)↑𝑛))))
stirlinglem4.2	⊢ 𝐵 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (log‘(𝐴‘𝑛)))
stirlinglem4.3	⊢ 𝐽 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((((1 + (2 · 𝑛)) / 2) · (log‘((𝑛 + 1) / 𝑛))) − 1))

**Assertion**
Ref	Expression
stirlinglem4	⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((𝐵‘𝑁) − (𝐵‘(𝑁 + 1))) = (𝐽‘𝑁))

Distinct variable group: 𝑛,𝑁 Allowed substitution hints: 𝐴(𝑛) 𝐵(𝑛) 𝐽(𝑛)

Proof of Theorem stirlinglem4 Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnre 12181	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℝ)
2		nnnn0 12444	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℕ₀)
3	2	nn0ge0d 12501	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 0 ≤ 𝑁)
4	1, 3	ge0p1rpd 13016	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 + 1) ∈ ℝ⁺)
5		nnrp 12954	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℝ⁺)
6	4, 5	rpdivcld 13003	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑁 + 1) / 𝑁) ∈ ℝ⁺)
7	6	rpsqrtcld 15374	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (√‘((𝑁 + 1) / 𝑁)) ∈ ℝ⁺)
8		nnz 12545	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℤ)
9	6, 8	rpexpcld 14209	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (((𝑁 + 1) / 𝑁)↑𝑁) ∈ ℝ⁺)
10	7, 9	rpmulcld 13002	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((√‘((𝑁 + 1) / 𝑁)) · (((𝑁 + 1) / 𝑁)↑𝑁)) ∈ ℝ⁺)
11		epr 16175	. . . . 5 ⊢ e ∈ ℝ⁺
12	11	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → e ∈ ℝ⁺)
13	10, 12	relogdivd 26590	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (log‘(((√‘((𝑁 + 1) / 𝑁)) · (((𝑁 + 1) / 𝑁)↑𝑁)) / e)) = ((log‘((√‘((𝑁 + 1) / 𝑁)) · (((𝑁 + 1) / 𝑁)↑𝑁))) − (log‘e)))
14	7, 9	relogmuld 26589	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (log‘((√‘((𝑁 + 1) / 𝑁)) · (((𝑁 + 1) / 𝑁)↑𝑁))) = ((log‘(√‘((𝑁 + 1) / 𝑁))) + (log‘(((𝑁 + 1) / 𝑁)↑𝑁))))
15		logsqrt 26668	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 + 1) / 𝑁) ∈ ℝ⁺ → (log‘(√‘((𝑁 + 1) / 𝑁))) = ((log‘((𝑁 + 1) / 𝑁)) / 2))
16	6, 15	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (log‘(√‘((𝑁 + 1) / 𝑁))) = ((log‘((𝑁 + 1) / 𝑁)) / 2))
17		relogexp 26560	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑁 + 1) / 𝑁) ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (log‘(((𝑁 + 1) / 𝑁)↑𝑁)) = (𝑁 · (log‘((𝑁 + 1) / 𝑁))))
18	6, 8, 17	syl2anc 585	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (log‘(((𝑁 + 1) / 𝑁)↑𝑁)) = (𝑁 · (log‘((𝑁 + 1) / 𝑁))))
19	16, 18	oveq12d 7385	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((log‘(√‘((𝑁 + 1) / 𝑁))) + (log‘(((𝑁 + 1) / 𝑁)↑𝑁))) = (((log‘((𝑁 + 1) / 𝑁)) / 2) + (𝑁 · (log‘((𝑁 + 1) / 𝑁)))))
20	14, 19	eqtrd 2771	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (log‘((√‘((𝑁 + 1) / 𝑁)) · (((𝑁 + 1) / 𝑁)↑𝑁))) = (((log‘((𝑁 + 1) / 𝑁)) / 2) + (𝑁 · (log‘((𝑁 + 1) / 𝑁)))))
21		peano2nn 12186	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 + 1) ∈ ℕ)
22	21	nncnd 12190	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 + 1) ∈ ℂ)
23		nncn 12182	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℂ)
24		nnne0 12211	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ≠ 0)
25	22, 23, 24	divcld 11931	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑁 + 1) / 𝑁) ∈ ℂ)
26	21	nnne0d 12227	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 + 1) ≠ 0)
27	22, 23, 26, 24	divne0d 11947	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑁 + 1) / 𝑁) ≠ 0)
28	25, 27	logcld 26534	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (log‘((𝑁 + 1) / 𝑁)) ∈ ℂ)
29		2cnd 12259	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 2 ∈ ℂ)
30		2rp 12947	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∈ ℝ⁺
31	30	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 2 ∈ ℝ⁺)
32	31	rpne0d 12991	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 2 ≠ 0)
33	28, 29, 32	divrec2d 11935	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((log‘((𝑁 + 1) / 𝑁)) / 2) = ((1 / 2) · (log‘((𝑁 + 1) / 𝑁))))
34	33	oveq1d 7382	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (((log‘((𝑁 + 1) / 𝑁)) / 2) + (𝑁 · (log‘((𝑁 + 1) / 𝑁)))) = (((1 / 2) · (log‘((𝑁 + 1) / 𝑁))) + (𝑁 · (log‘((𝑁 + 1) / 𝑁)))))
35		1cnd 11139	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 1 ∈ ℂ)
36	35	halfcld 12422	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (1 / 2) ∈ ℂ)
37	36, 23, 28	adddird 11170	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (((1 / 2) + 𝑁) · (log‘((𝑁 + 1) / 𝑁))) = (((1 / 2) · (log‘((𝑁 + 1) / 𝑁))) + (𝑁 · (log‘((𝑁 + 1) / 𝑁)))))
38	23, 29, 32	divcan4d 11937	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑁 · 2) / 2) = 𝑁)
39	23, 29	mulcomd 11166	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 · 2) = (2 · 𝑁))
40	39	oveq1d 7382	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑁 · 2) / 2) = ((2 · 𝑁) / 2))
41	38, 40	eqtr3d 2773	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 = ((2 · 𝑁) / 2))
42	41	oveq2d 7383	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((1 / 2) + 𝑁) = ((1 / 2) + ((2 · 𝑁) / 2)))
43	29, 23	mulcld 11165	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (2 · 𝑁) ∈ ℂ)
44	35, 43, 29, 32	divdird 11969	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((1 + (2 · 𝑁)) / 2) = ((1 / 2) + ((2 · 𝑁) / 2)))
45	42, 44	eqtr4d 2774	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((1 / 2) + 𝑁) = ((1 + (2 · 𝑁)) / 2))
46	45	oveq1d 7382	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (((1 / 2) + 𝑁) · (log‘((𝑁 + 1) / 𝑁))) = (((1 + (2 · 𝑁)) / 2) · (log‘((𝑁 + 1) / 𝑁))))
47	37, 46	eqtr3d 2773	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (((1 / 2) · (log‘((𝑁 + 1) / 𝑁))) + (𝑁 · (log‘((𝑁 + 1) / 𝑁)))) = (((1 + (2 · 𝑁)) / 2) · (log‘((𝑁 + 1) / 𝑁))))
48	20, 34, 47	3eqtrd 2775	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (log‘((√‘((𝑁 + 1) / 𝑁)) · (((𝑁 + 1) / 𝑁)↑𝑁))) = (((1 + (2 · 𝑁)) / 2) · (log‘((𝑁 + 1) / 𝑁))))
49		loge 26550	. . . . 5 ⊢ (log‘e) = 1
50	49	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (log‘e) = 1)
51	48, 50	oveq12d 7385	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((log‘((√‘((𝑁 + 1) / 𝑁)) · (((𝑁 + 1) / 𝑁)↑𝑁))) − (log‘e)) = ((((1 + (2 · 𝑁)) / 2) · (log‘((𝑁 + 1) / 𝑁))) − 1))
52	13, 51	eqtrd 2771	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (log‘(((√‘((𝑁 + 1) / 𝑁)) · (((𝑁 + 1) / 𝑁)↑𝑁)) / e)) = ((((1 + (2 · 𝑁)) / 2) · (log‘((𝑁 + 1) / 𝑁))) − 1))
53		stirlinglem4.1	. . . . . . 7 ⊢ 𝐴 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((!‘𝑛) / ((√‘(2 · 𝑛)) · ((𝑛 / e)↑𝑛))))
54	53	stirlinglem2 46503	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝐴‘𝑁) ∈ ℝ⁺)
55	54	relogcld 26587	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (log‘(𝐴‘𝑁)) ∈ ℝ)
56		nfcv 2898	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑛𝑁
57		nfcv 2898	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑛log
58		nfmpt1 5184	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑛(𝑛 ∈ ℕ ↦ ((!‘𝑛) / ((√‘(2 · 𝑛)) · ((𝑛 / e)↑𝑛))))
59	53, 58	nfcxfr 2896	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑛𝐴
60	59, 56	nffv 6850	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑛(𝐴‘𝑁)
61	57, 60	nffv 6850	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑛(log‘(𝐴‘𝑁))
62		2fveq3 6845	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → (log‘(𝐴‘𝑛)) = (log‘(𝐴‘𝑁)))
63		stirlinglem4.2	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (log‘(𝐴‘𝑛)))
64	56, 61, 62, 63	fvmptf 6969	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (log‘(𝐴‘𝑁)) ∈ ℝ) → (𝐵‘𝑁) = (log‘(𝐴‘𝑁)))
65	55, 64	mpdan 688	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝐵‘𝑁) = (log‘(𝐴‘𝑁)))
66		nfcv 2898	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑘(log‘(𝐴‘𝑛))
67		nfcv 2898	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑛𝑘
68	59, 67	nffv 6850	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑛(𝐴‘𝑘)
69	57, 68	nffv 6850	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑛(log‘(𝐴‘𝑘))
70		2fveq3 6845	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → (log‘(𝐴‘𝑛)) = (log‘(𝐴‘𝑘)))
71	66, 69, 70	cbvmpt 5187	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ ↦ (log‘(𝐴‘𝑛))) = (𝑘 ∈ ℕ ↦ (log‘(𝐴‘𝑘)))
72	63, 71	eqtri 2759	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (𝑘 ∈ ℕ ↦ (log‘(𝐴‘𝑘)))
73	72	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝐵 = (𝑘 ∈ ℕ ↦ (log‘(𝐴‘𝑘))))
74		simpr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 = (𝑁 + 1)) → 𝑘 = (𝑁 + 1))
75	74	fveq2d 6844	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 = (𝑁 + 1)) → (𝐴‘𝑘) = (𝐴‘(𝑁 + 1)))
76	75	fveq2d 6844	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 = (𝑁 + 1)) → (log‘(𝐴‘𝑘)) = (log‘(𝐴‘(𝑁 + 1))))
77	53	stirlinglem2 46503	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 + 1) ∈ ℕ → (𝐴‘(𝑁 + 1)) ∈ ℝ⁺)
78	21, 77	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝐴‘(𝑁 + 1)) ∈ ℝ⁺)
79	78	relogcld 26587	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (log‘(𝐴‘(𝑁 + 1))) ∈ ℝ)
80	73, 76, 21, 79	fvmptd 6955	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝐵‘(𝑁 + 1)) = (log‘(𝐴‘(𝑁 + 1))))
81	65, 80	oveq12d 7385	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((𝐵‘𝑁) − (𝐵‘(𝑁 + 1))) = ((log‘(𝐴‘𝑁)) − (log‘(𝐴‘(𝑁 + 1)))))
82	54, 78	relogdivd 26590	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (log‘((𝐴‘𝑁) / (𝐴‘(𝑁 + 1)))) = ((log‘(𝐴‘𝑁)) − (log‘(𝐴‘(𝑁 + 1)))))
83		faccl 14245	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ₀ → (!‘𝑁) ∈ ℕ)
84		nnrp 12954	. . . . . . . . 9 ⊢ ((!‘𝑁) ∈ ℕ → (!‘𝑁) ∈ ℝ⁺)
85	2, 83, 84	3syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (!‘𝑁) ∈ ℝ⁺)
86	31, 5	rpmulcld 13002	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (2 · 𝑁) ∈ ℝ⁺)
87	86	rpsqrtcld 15374	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (√‘(2 · 𝑁)) ∈ ℝ⁺)
88	5, 12	rpdivcld 13003	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 / e) ∈ ℝ⁺)
89	88, 8	rpexpcld 14209	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑁 / e)↑𝑁) ∈ ℝ⁺)
90	87, 89	rpmulcld 13002	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((√‘(2 · 𝑁)) · ((𝑁 / e)↑𝑁)) ∈ ℝ⁺)
91	85, 90	rpdivcld 13003	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((!‘𝑁) / ((√‘(2 · 𝑁)) · ((𝑁 / e)↑𝑁))) ∈ ℝ⁺)
92	53	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((!‘𝑁) / ((√‘(2 · 𝑁)) · ((𝑁 / e)↑𝑁))) ∈ ℝ⁺) → 𝐴 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((!‘𝑛) / ((√‘(2 · 𝑛)) · ((𝑛 / e)↑𝑛)))))
93		simpr 484	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((!‘𝑁) / ((√‘(2 · 𝑁)) · ((𝑁 / e)↑𝑁))) ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑛 = 𝑁) → 𝑛 = 𝑁)
94	93	fveq2d 6844	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((!‘𝑁) / ((√‘(2 · 𝑁)) · ((𝑁 / e)↑𝑁))) ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑛 = 𝑁) → (!‘𝑛) = (!‘𝑁))
95	93	oveq2d 7383	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((!‘𝑁) / ((√‘(2 · 𝑁)) · ((𝑁 / e)↑𝑁))) ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑛 = 𝑁) → (2 · 𝑛) = (2 · 𝑁))
96	95	fveq2d 6844	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((!‘𝑁) / ((√‘(2 · 𝑁)) · ((𝑁 / e)↑𝑁))) ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑛 = 𝑁) → (√‘(2 · 𝑛)) = (√‘(2 · 𝑁)))
97	93	oveq1d 7382	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((!‘𝑁) / ((√‘(2 · 𝑁)) · ((𝑁 / e)↑𝑁))) ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑛 = 𝑁) → (𝑛 / e) = (𝑁 / e))
98	97, 93	oveq12d 7385	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((!‘𝑁) / ((√‘(2 · 𝑁)) · ((𝑁 / e)↑𝑁))) ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑛 = 𝑁) → ((𝑛 / e)↑𝑛) = ((𝑁 / e)↑𝑁))
99	96, 98	oveq12d 7385	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((!‘𝑁) / ((√‘(2 · 𝑁)) · ((𝑁 / e)↑𝑁))) ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑛 = 𝑁) → ((√‘(2 · 𝑛)) · ((𝑛 / e)↑𝑛)) = ((√‘(2 · 𝑁)) · ((𝑁 / e)↑𝑁)))
100	94, 99	oveq12d 7385	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((!‘𝑁) / ((√‘(2 · 𝑁)) · ((𝑁 / e)↑𝑁))) ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑛 = 𝑁) → ((!‘𝑛) / ((√‘(2 · 𝑛)) · ((𝑛 / e)↑𝑛))) = ((!‘𝑁) / ((√‘(2 · 𝑁)) · ((𝑁 / e)↑𝑁))))
101		simpl 482	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((!‘𝑁) / ((√‘(2 · 𝑁)) · ((𝑁 / e)↑𝑁))) ∈ ℝ⁺) → 𝑁 ∈ ℕ)
102	85	rpcnd 12988	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (!‘𝑁) ∈ ℂ)
103	102	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((!‘𝑁) / ((√‘(2 · 𝑁)) · ((𝑁 / e)↑𝑁))) ∈ ℝ⁺) → (!‘𝑁) ∈ ℂ)
104		2cnd 12259	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((!‘𝑁) / ((√‘(2 · 𝑁)) · ((𝑁 / e)↑𝑁))) ∈ ℝ⁺) → 2 ∈ ℂ)
105	101	nncnd 12190	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((!‘𝑁) / ((√‘(2 · 𝑁)) · ((𝑁 / e)↑𝑁))) ∈ ℝ⁺) → 𝑁 ∈ ℂ)
106	104, 105	mulcld 11165	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((!‘𝑁) / ((√‘(2 · 𝑁)) · ((𝑁 / e)↑𝑁))) ∈ ℝ⁺) → (2 · 𝑁) ∈ ℂ)
107	106	sqrtcld 15402	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((!‘𝑁) / ((√‘(2 · 𝑁)) · ((𝑁 / e)↑𝑁))) ∈ ℝ⁺) → (√‘(2 · 𝑁)) ∈ ℂ)
108		ere 16054	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ e ∈ ℝ
109	108	recni 11159	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ e ∈ ℂ
110	109	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((!‘𝑁) / ((√‘(2 · 𝑁)) · ((𝑁 / e)↑𝑁))) ∈ ℝ⁺) → e ∈ ℂ)
111		0re 11146	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 0 ∈ ℝ
112		epos 16174	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 0 < e
113	111, 112	gtneii 11258	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ e ≠ 0
114	113	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((!‘𝑁) / ((√‘(2 · 𝑁)) · ((𝑁 / e)↑𝑁))) ∈ ℝ⁺) → e ≠ 0)
115	105, 110, 114	divcld 11931	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((!‘𝑁) / ((√‘(2 · 𝑁)) · ((𝑁 / e)↑𝑁))) ∈ ℝ⁺) → (𝑁 / e) ∈ ℂ)
116	101	nnnn0d 12498	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((!‘𝑁) / ((√‘(2 · 𝑁)) · ((𝑁 / e)↑𝑁))) ∈ ℝ⁺) → 𝑁 ∈ ℕ₀)
117	115, 116	expcld 14108	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((!‘𝑁) / ((√‘(2 · 𝑁)) · ((𝑁 / e)↑𝑁))) ∈ ℝ⁺) → ((𝑁 / e)↑𝑁) ∈ ℂ)
118	107, 117	mulcld 11165	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((!‘𝑁) / ((√‘(2 · 𝑁)) · ((𝑁 / e)↑𝑁))) ∈ ℝ⁺) → ((√‘(2 · 𝑁)) · ((𝑁 / e)↑𝑁)) ∈ ℂ)
119	87	rpne0d 12991	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (√‘(2 · 𝑁)) ≠ 0)
120	119	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((!‘𝑁) / ((√‘(2 · 𝑁)) · ((𝑁 / e)↑𝑁))) ∈ ℝ⁺) → (√‘(2 · 𝑁)) ≠ 0)
121	101	nnne0d 12227	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((!‘𝑁) / ((√‘(2 · 𝑁)) · ((𝑁 / e)↑𝑁))) ∈ ℝ⁺) → 𝑁 ≠ 0)
122	105, 110, 121, 114	divne0d 11947	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((!‘𝑁) / ((√‘(2 · 𝑁)) · ((𝑁 / e)↑𝑁))) ∈ ℝ⁺) → (𝑁 / e) ≠ 0)
123	101	nnzd 12550	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((!‘𝑁) / ((√‘(2 · 𝑁)) · ((𝑁 / e)↑𝑁))) ∈ ℝ⁺) → 𝑁 ∈ ℤ)
124	115, 122, 123	expne0d 14114	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((!‘𝑁) / ((√‘(2 · 𝑁)) · ((𝑁 / e)↑𝑁))) ∈ ℝ⁺) → ((𝑁 / e)↑𝑁) ≠ 0)
125	107, 117, 120, 124	mulne0d 11802	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((!‘𝑁) / ((√‘(2 · 𝑁)) · ((𝑁 / e)↑𝑁))) ∈ ℝ⁺) → ((√‘(2 · 𝑁)) · ((𝑁 / e)↑𝑁)) ≠ 0)
126	103, 118, 125	divcld 11931	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((!‘𝑁) / ((√‘(2 · 𝑁)) · ((𝑁 / e)↑𝑁))) ∈ ℝ⁺) → ((!‘𝑁) / ((√‘(2 · 𝑁)) · ((𝑁 / e)↑𝑁))) ∈ ℂ)
127	92, 100, 101, 126	fvmptd 6955	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((!‘𝑁) / ((√‘(2 · 𝑁)) · ((𝑁 / e)↑𝑁))) ∈ ℝ⁺) → (𝐴‘𝑁) = ((!‘𝑁) / ((√‘(2 · 𝑁)) · ((𝑁 / e)↑𝑁))))
128	91, 127	mpdan 688	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝐴‘𝑁) = ((!‘𝑁) / ((√‘(2 · 𝑁)) · ((𝑁 / e)↑𝑁))))
129		nfcv 2898	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑘((!‘𝑛) / ((√‘(2 · 𝑛)) · ((𝑛 / e)↑𝑛)))
130		nfcv 2898	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑛((!‘𝑘) / ((√‘(2 · 𝑘)) · ((𝑘 / e)↑𝑘)))
131		fveq2 6840	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → (!‘𝑛) = (!‘𝑘))
132		oveq2 7375	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → (2 · 𝑛) = (2 · 𝑘))
133	132	fveq2d 6844	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → (√‘(2 · 𝑛)) = (√‘(2 · 𝑘)))
134		oveq1 7374	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → (𝑛 / e) = (𝑘 / e))
135		id 22	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → 𝑛 = 𝑘)
136	134, 135	oveq12d 7385	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → ((𝑛 / e)↑𝑛) = ((𝑘 / e)↑𝑘))
137	133, 136	oveq12d 7385	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → ((√‘(2 · 𝑛)) · ((𝑛 / e)↑𝑛)) = ((√‘(2 · 𝑘)) · ((𝑘 / e)↑𝑘)))
138	131, 137	oveq12d 7385	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → ((!‘𝑛) / ((√‘(2 · 𝑛)) · ((𝑛 / e)↑𝑛))) = ((!‘𝑘) / ((√‘(2 · 𝑘)) · ((𝑘 / e)↑𝑘))))
139	129, 130, 138	cbvmpt 5187	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((!‘𝑛) / ((√‘(2 · 𝑛)) · ((𝑛 / e)↑𝑛)))) = (𝑘 ∈ ℕ ↦ ((!‘𝑘) / ((√‘(2 · 𝑘)) · ((𝑘 / e)↑𝑘))))
140	53, 139	eqtri 2759	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐴 = (𝑘 ∈ ℕ ↦ ((!‘𝑘) / ((√‘(2 · 𝑘)) · ((𝑘 / e)↑𝑘))))
141	140	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝐴 = (𝑘 ∈ ℕ ↦ ((!‘𝑘) / ((√‘(2 · 𝑘)) · ((𝑘 / e)↑𝑘)))))
142	74	fveq2d 6844	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 = (𝑁 + 1)) → (!‘𝑘) = (!‘(𝑁 + 1)))
143	74	oveq2d 7383	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 = (𝑁 + 1)) → (2 · 𝑘) = (2 · (𝑁 + 1)))
144	143	fveq2d 6844	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 = (𝑁 + 1)) → (√‘(2 · 𝑘)) = (√‘(2 · (𝑁 + 1))))
145	74	oveq1d 7382	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 = (𝑁 + 1)) → (𝑘 / e) = ((𝑁 + 1) / e))
146	145, 74	oveq12d 7385	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 = (𝑁 + 1)) → ((𝑘 / e)↑𝑘) = (((𝑁 + 1) / e)↑(𝑁 + 1)))
147	144, 146	oveq12d 7385	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 = (𝑁 + 1)) → ((√‘(2 · 𝑘)) · ((𝑘 / e)↑𝑘)) = ((√‘(2 · (𝑁 + 1))) · (((𝑁 + 1) / e)↑(𝑁 + 1))))
148	142, 147	oveq12d 7385	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 = (𝑁 + 1)) → ((!‘𝑘) / ((√‘(2 · 𝑘)) · ((𝑘 / e)↑𝑘))) = ((!‘(𝑁 + 1)) / ((√‘(2 · (𝑁 + 1))) · (((𝑁 + 1) / e)↑(𝑁 + 1)))))
149	21	nnnn0d 12498	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 + 1) ∈ ℕ₀)
150		faccl 14245	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 + 1) ∈ ℕ₀ → (!‘(𝑁 + 1)) ∈ ℕ)
151		nnrp 12954	. . . . . . . . 9 ⊢ ((!‘(𝑁 + 1)) ∈ ℕ → (!‘(𝑁 + 1)) ∈ ℝ⁺)
152	149, 150, 151	3syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (!‘(𝑁 + 1)) ∈ ℝ⁺)
153	31, 4	rpmulcld 13002	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (2 · (𝑁 + 1)) ∈ ℝ⁺)
154	153	rpsqrtcld 15374	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (√‘(2 · (𝑁 + 1))) ∈ ℝ⁺)
155	4, 12	rpdivcld 13003	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑁 + 1) / e) ∈ ℝ⁺)
156	8	peano2zd 12636	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 + 1) ∈ ℤ)
157	155, 156	rpexpcld 14209	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (((𝑁 + 1) / e)↑(𝑁 + 1)) ∈ ℝ⁺)
158	154, 157	rpmulcld 13002	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((√‘(2 · (𝑁 + 1))) · (((𝑁 + 1) / e)↑(𝑁 + 1))) ∈ ℝ⁺)
159	152, 158	rpdivcld 13003	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((!‘(𝑁 + 1)) / ((√‘(2 · (𝑁 + 1))) · (((𝑁 + 1) / e)↑(𝑁 + 1)))) ∈ ℝ⁺)
160	141, 148, 21, 159	fvmptd 6955	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝐴‘(𝑁 + 1)) = ((!‘(𝑁 + 1)) / ((√‘(2 · (𝑁 + 1))) · (((𝑁 + 1) / e)↑(𝑁 + 1)))))
161	128, 160	oveq12d 7385	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((𝐴‘𝑁) / (𝐴‘(𝑁 + 1))) = (((!‘𝑁) / ((√‘(2 · 𝑁)) · ((𝑁 / e)↑𝑁))) / ((!‘(𝑁 + 1)) / ((√‘(2 · (𝑁 + 1))) · (((𝑁 + 1) / e)↑(𝑁 + 1))))))
162		facp1 14240	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ₀ → (!‘(𝑁 + 1)) = ((!‘𝑁) · (𝑁 + 1)))
163	2, 162	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (!‘(𝑁 + 1)) = ((!‘𝑁) · (𝑁 + 1)))
164	163	oveq1d 7382	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((!‘(𝑁 + 1)) / ((√‘(2 · (𝑁 + 1))) · (((𝑁 + 1) / e)↑(𝑁 + 1)))) = (((!‘𝑁) · (𝑁 + 1)) / ((√‘(2 · (𝑁 + 1))) · (((𝑁 + 1) / e)↑(𝑁 + 1)))))
165	158	rpcnd 12988	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((√‘(2 · (𝑁 + 1))) · (((𝑁 + 1) / e)↑(𝑁 + 1))) ∈ ℂ)
166	158	rpne0d 12991	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((√‘(2 · (𝑁 + 1))) · (((𝑁 + 1) / e)↑(𝑁 + 1))) ≠ 0)
167	102, 22, 165, 166	divassd 11966	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (((!‘𝑁) · (𝑁 + 1)) / ((√‘(2 · (𝑁 + 1))) · (((𝑁 + 1) / e)↑(𝑁 + 1)))) = ((!‘𝑁) · ((𝑁 + 1) / ((√‘(2 · (𝑁 + 1))) · (((𝑁 + 1) / e)↑(𝑁 + 1))))))
168	164, 167	eqtrd 2771	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((!‘(𝑁 + 1)) / ((√‘(2 · (𝑁 + 1))) · (((𝑁 + 1) / e)↑(𝑁 + 1)))) = ((!‘𝑁) · ((𝑁 + 1) / ((√‘(2 · (𝑁 + 1))) · (((𝑁 + 1) / e)↑(𝑁 + 1))))))
169	168	oveq2d 7383	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (((!‘𝑁) / ((√‘(2 · 𝑁)) · ((𝑁 / e)↑𝑁))) / ((!‘(𝑁 + 1)) / ((√‘(2 · (𝑁 + 1))) · (((𝑁 + 1) / e)↑(𝑁 + 1))))) = (((!‘𝑁) / ((√‘(2 · 𝑁)) · ((𝑁 / e)↑𝑁))) / ((!‘𝑁) · ((𝑁 + 1) / ((√‘(2 · (𝑁 + 1))) · (((𝑁 + 1) / e)↑(𝑁 + 1)))))))
170	90	rpcnd 12988	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((√‘(2 · 𝑁)) · ((𝑁 / e)↑𝑁)) ∈ ℂ)
171	22, 165, 166	divcld 11931	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑁 + 1) / ((√‘(2 · (𝑁 + 1))) · (((𝑁 + 1) / e)↑(𝑁 + 1)))) ∈ ℂ)
172	102, 171	mulcld 11165	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((!‘𝑁) · ((𝑁 + 1) / ((√‘(2 · (𝑁 + 1))) · (((𝑁 + 1) / e)↑(𝑁 + 1))))) ∈ ℂ)
173	90	rpne0d 12991	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((√‘(2 · 𝑁)) · ((𝑁 / e)↑𝑁)) ≠ 0)
174	85	rpne0d 12991	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (!‘𝑁) ≠ 0)
175	22, 165, 26, 166	divne0d 11947	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑁 + 1) / ((√‘(2 · (𝑁 + 1))) · (((𝑁 + 1) / e)↑(𝑁 + 1)))) ≠ 0)
176	102, 171, 174, 175	mulne0d 11802	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((!‘𝑁) · ((𝑁 + 1) / ((√‘(2 · (𝑁 + 1))) · (((𝑁 + 1) / e)↑(𝑁 + 1))))) ≠ 0)
177	102, 170, 172, 173, 176	divdiv32d 11956	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (((!‘𝑁) / ((√‘(2 · 𝑁)) · ((𝑁 / e)↑𝑁))) / ((!‘𝑁) · ((𝑁 + 1) / ((√‘(2 · (𝑁 + 1))) · (((𝑁 + 1) / e)↑(𝑁 + 1)))))) = (((!‘𝑁) / ((!‘𝑁) · ((𝑁 + 1) / ((√‘(2 · (𝑁 + 1))) · (((𝑁 + 1) / e)↑(𝑁 + 1)))))) / ((√‘(2 · 𝑁)) · ((𝑁 / e)↑𝑁))))
178	102, 102, 171, 174, 175	divdiv1d 11962	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (((!‘𝑁) / (!‘𝑁)) / ((𝑁 + 1) / ((√‘(2 · (𝑁 + 1))) · (((𝑁 + 1) / e)↑(𝑁 + 1))))) = ((!‘𝑁) / ((!‘𝑁) · ((𝑁 + 1) / ((√‘(2 · (𝑁 + 1))) · (((𝑁 + 1) / e)↑(𝑁 + 1)))))))
179	178	eqcomd 2742	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((!‘𝑁) / ((!‘𝑁) · ((𝑁 + 1) / ((√‘(2 · (𝑁 + 1))) · (((𝑁 + 1) / e)↑(𝑁 + 1)))))) = (((!‘𝑁) / (!‘𝑁)) / ((𝑁 + 1) / ((√‘(2 · (𝑁 + 1))) · (((𝑁 + 1) / e)↑(𝑁 + 1))))))
180	179	oveq1d 7382	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (((!‘𝑁) / ((!‘𝑁) · ((𝑁 + 1) / ((√‘(2 · (𝑁 + 1))) · (((𝑁 + 1) / e)↑(𝑁 + 1)))))) / ((√‘(2 · 𝑁)) · ((𝑁 / e)↑𝑁))) = ((((!‘𝑁) / (!‘𝑁)) / ((𝑁 + 1) / ((√‘(2 · (𝑁 + 1))) · (((𝑁 + 1) / e)↑(𝑁 + 1))))) / ((√‘(2 · 𝑁)) · ((𝑁 / e)↑𝑁))))
181	102, 174	dividd 11929	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((!‘𝑁) / (!‘𝑁)) = 1)
182	181	oveq1d 7382	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (((!‘𝑁) / (!‘𝑁)) / ((𝑁 + 1) / ((√‘(2 · (𝑁 + 1))) · (((𝑁 + 1) / e)↑(𝑁 + 1))))) = (1 / ((𝑁 + 1) / ((√‘(2 · (𝑁 + 1))) · (((𝑁 + 1) / e)↑(𝑁 + 1))))))
183	182	oveq1d 7382	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((((!‘𝑁) / (!‘𝑁)) / ((𝑁 + 1) / ((√‘(2 · (𝑁 + 1))) · (((𝑁 + 1) / e)↑(𝑁 + 1))))) / ((√‘(2 · 𝑁)) · ((𝑁 / e)↑𝑁))) = ((1 / ((𝑁 + 1) / ((√‘(2 · (𝑁 + 1))) · (((𝑁 + 1) / e)↑(𝑁 + 1))))) / ((√‘(2 · 𝑁)) · ((𝑁 / e)↑𝑁))))
184	22, 165, 26, 166	recdivd 11948	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (1 / ((𝑁 + 1) / ((√‘(2 · (𝑁 + 1))) · (((𝑁 + 1) / e)↑(𝑁 + 1))))) = (((√‘(2 · (𝑁 + 1))) · (((𝑁 + 1) / e)↑(𝑁 + 1))) / (𝑁 + 1)))
185	184	oveq1d 7382	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((1 / ((𝑁 + 1) / ((√‘(2 · (𝑁 + 1))) · (((𝑁 + 1) / e)↑(𝑁 + 1))))) / ((√‘(2 · 𝑁)) · ((𝑁 / e)↑𝑁))) = ((((√‘(2 · (𝑁 + 1))) · (((𝑁 + 1) / e)↑(𝑁 + 1))) / (𝑁 + 1)) / ((√‘(2 · 𝑁)) · ((𝑁 / e)↑𝑁))))
186	165, 22, 26	divcld 11931	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (((√‘(2 · (𝑁 + 1))) · (((𝑁 + 1) / e)↑(𝑁 + 1))) / (𝑁 + 1)) ∈ ℂ)
187	87	rpcnd 12988	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (√‘(2 · 𝑁)) ∈ ℂ)
188	89	rpcnd 12988	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑁 / e)↑𝑁) ∈ ℂ)
189	89	rpne0d 12991	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑁 / e)↑𝑁) ≠ 0)
190	186, 187, 188, 119, 189	divdiv1d 11962	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (((((√‘(2 · (𝑁 + 1))) · (((𝑁 + 1) / e)↑(𝑁 + 1))) / (𝑁 + 1)) / (√‘(2 · 𝑁))) / ((𝑁 / e)↑𝑁)) = ((((√‘(2 · (𝑁 + 1))) · (((𝑁 + 1) / e)↑(𝑁 + 1))) / (𝑁 + 1)) / ((√‘(2 · 𝑁)) · ((𝑁 / e)↑𝑁))))
191	165, 22, 187, 26, 119	divdiv32d 11956	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((((√‘(2 · (𝑁 + 1))) · (((𝑁 + 1) / e)↑(𝑁 + 1))) / (𝑁 + 1)) / (√‘(2 · 𝑁))) = ((((√‘(2 · (𝑁 + 1))) · (((𝑁 + 1) / e)↑(𝑁 + 1))) / (√‘(2 · 𝑁))) / (𝑁 + 1)))
192	154	rpcnd 12988	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (√‘(2 · (𝑁 + 1))) ∈ ℂ)
193	157	rpcnd 12988	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (((𝑁 + 1) / e)↑(𝑁 + 1)) ∈ ℂ)
194	192, 193, 187, 119	div23d 11968	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (((√‘(2 · (𝑁 + 1))) · (((𝑁 + 1) / e)↑(𝑁 + 1))) / (√‘(2 · 𝑁))) = (((√‘(2 · (𝑁 + 1))) / (√‘(2 · 𝑁))) · (((𝑁 + 1) / e)↑(𝑁 + 1))))
195	31	rpred 12986	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 2 ∈ ℝ)
196	31	rpge0d 12990	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 0 ≤ 2)
197	21	nnred 12189	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 + 1) ∈ ℝ)
198	149	nn0ge0d 12501	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 0 ≤ (𝑁 + 1))
199	195, 196, 197, 198	sqrtmuld 15387	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (√‘(2 · (𝑁 + 1))) = ((√‘2) · (√‘(𝑁 + 1))))
200	195, 196, 1, 3	sqrtmuld 15387	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (√‘(2 · 𝑁)) = ((√‘2) · (√‘𝑁)))
201	199, 200	oveq12d 7385	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((√‘(2 · (𝑁 + 1))) / (√‘(2 · 𝑁))) = (((√‘2) · (√‘(𝑁 + 1))) / ((√‘2) · (√‘𝑁))))
202	29	sqrtcld 15402	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (√‘2) ∈ ℂ)
203	22	sqrtcld 15402	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (√‘(𝑁 + 1)) ∈ ℂ)
204	23	sqrtcld 15402	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (√‘𝑁) ∈ ℂ)
205	31	rpsqrtcld 15374	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (√‘2) ∈ ℝ⁺)
206	205	rpne0d 12991	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (√‘2) ≠ 0)
207	5	rpsqrtcld 15374	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (√‘𝑁) ∈ ℝ⁺)
208	207	rpne0d 12991	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (√‘𝑁) ≠ 0)
209	202, 202, 203, 204, 206, 208	divmuldivd 11972	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (((√‘2) / (√‘2)) · ((√‘(𝑁 + 1)) / (√‘𝑁))) = (((√‘2) · (√‘(𝑁 + 1))) / ((√‘2) · (√‘𝑁))))
210	202, 206	dividd 11929	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((√‘2) / (√‘2)) = 1)
211	197, 198, 5	sqrtdivd 15386	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (√‘((𝑁 + 1) / 𝑁)) = ((√‘(𝑁 + 1)) / (√‘𝑁)))
212	211	eqcomd 2742	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((√‘(𝑁 + 1)) / (√‘𝑁)) = (√‘((𝑁 + 1) / 𝑁)))
213	210, 212	oveq12d 7385	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (((√‘2) / (√‘2)) · ((√‘(𝑁 + 1)) / (√‘𝑁))) = (1 · (√‘((𝑁 + 1) / 𝑁))))
214	201, 209, 213	3eqtr2d 2777	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((√‘(2 · (𝑁 + 1))) / (√‘(2 · 𝑁))) = (1 · (√‘((𝑁 + 1) / 𝑁))))
215	214	oveq1d 7382	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (((√‘(2 · (𝑁 + 1))) / (√‘(2 · 𝑁))) · (((𝑁 + 1) / e)↑(𝑁 + 1))) = ((1 · (√‘((𝑁 + 1) / 𝑁))) · (((𝑁 + 1) / e)↑(𝑁 + 1))))
216	25	sqrtcld 15402	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (√‘((𝑁 + 1) / 𝑁)) ∈ ℂ)
217	216	mullidd 11163	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (1 · (√‘((𝑁 + 1) / 𝑁))) = (√‘((𝑁 + 1) / 𝑁)))
218	217	oveq1d 7382	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((1 · (√‘((𝑁 + 1) / 𝑁))) · (((𝑁 + 1) / e)↑(𝑁 + 1))) = ((√‘((𝑁 + 1) / 𝑁)) · (((𝑁 + 1) / e)↑(𝑁 + 1))))
219	194, 215, 218	3eqtrd 2775	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (((√‘(2 · (𝑁 + 1))) · (((𝑁 + 1) / e)↑(𝑁 + 1))) / (√‘(2 · 𝑁))) = ((√‘((𝑁 + 1) / 𝑁)) · (((𝑁 + 1) / e)↑(𝑁 + 1))))
220	219	oveq1d 7382	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((((√‘(2 · (𝑁 + 1))) · (((𝑁 + 1) / e)↑(𝑁 + 1))) / (√‘(2 · 𝑁))) / (𝑁 + 1)) = (((√‘((𝑁 + 1) / 𝑁)) · (((𝑁 + 1) / e)↑(𝑁 + 1))) / (𝑁 + 1)))
221	191, 220	eqtrd 2771	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((((√‘(2 · (𝑁 + 1))) · (((𝑁 + 1) / e)↑(𝑁 + 1))) / (𝑁 + 1)) / (√‘(2 · 𝑁))) = (((√‘((𝑁 + 1) / 𝑁)) · (((𝑁 + 1) / e)↑(𝑁 + 1))) / (𝑁 + 1)))
222	221	oveq1d 7382	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (((((√‘(2 · (𝑁 + 1))) · (((𝑁 + 1) / e)↑(𝑁 + 1))) / (𝑁 + 1)) / (√‘(2 · 𝑁))) / ((𝑁 / e)↑𝑁)) = ((((√‘((𝑁 + 1) / 𝑁)) · (((𝑁 + 1) / e)↑(𝑁 + 1))) / (𝑁 + 1)) / ((𝑁 / e)↑𝑁)))
223	190, 222	eqtr3d 2773	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((((√‘(2 · (𝑁 + 1))) · (((𝑁 + 1) / e)↑(𝑁 + 1))) / (𝑁 + 1)) / ((√‘(2 · 𝑁)) · ((𝑁 / e)↑𝑁))) = ((((√‘((𝑁 + 1) / 𝑁)) · (((𝑁 + 1) / e)↑(𝑁 + 1))) / (𝑁 + 1)) / ((𝑁 / e)↑𝑁)))
224	216, 193	mulcld 11165	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((√‘((𝑁 + 1) / 𝑁)) · (((𝑁 + 1) / e)↑(𝑁 + 1))) ∈ ℂ)
225	224, 22, 188, 26, 189	divdiv32d 11956	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((((√‘((𝑁 + 1) / 𝑁)) · (((𝑁 + 1) / e)↑(𝑁 + 1))) / (𝑁 + 1)) / ((𝑁 / e)↑𝑁)) = ((((√‘((𝑁 + 1) / 𝑁)) · (((𝑁 + 1) / e)↑(𝑁 + 1))) / ((𝑁 / e)↑𝑁)) / (𝑁 + 1)))
226	216, 193, 188, 189	divassd 11966	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (((√‘((𝑁 + 1) / 𝑁)) · (((𝑁 + 1) / e)↑(𝑁 + 1))) / ((𝑁 / e)↑𝑁)) = ((√‘((𝑁 + 1) / 𝑁)) · ((((𝑁 + 1) / e)↑(𝑁 + 1)) / ((𝑁 / e)↑𝑁))))
227	12	rpcnd 12988	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → e ∈ ℂ)
228	12	rpne0d 12991	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → e ≠ 0)
229	22, 227, 228, 149	expdivd 14122	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (((𝑁 + 1) / e)↑(𝑁 + 1)) = (((𝑁 + 1)↑(𝑁 + 1)) / (e↑(𝑁 + 1))))
230	23, 227, 228, 2	expdivd 14122	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑁 / e)↑𝑁) = ((𝑁↑𝑁) / (e↑𝑁)))
231	229, 230	oveq12d 7385	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((((𝑁 + 1) / e)↑(𝑁 + 1)) / ((𝑁 / e)↑𝑁)) = ((((𝑁 + 1)↑(𝑁 + 1)) / (e↑(𝑁 + 1))) / ((𝑁↑𝑁) / (e↑𝑁))))
232	231	oveq2d 7383	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((√‘((𝑁 + 1) / 𝑁)) · ((((𝑁 + 1) / e)↑(𝑁 + 1)) / ((𝑁 / e)↑𝑁))) = ((√‘((𝑁 + 1) / 𝑁)) · ((((𝑁 + 1)↑(𝑁 + 1)) / (e↑(𝑁 + 1))) / ((𝑁↑𝑁) / (e↑𝑁)))))
233	22, 149	expcld 14108	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑁 + 1)↑(𝑁 + 1)) ∈ ℂ)
234	227, 149	expcld 14108	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (e↑(𝑁 + 1)) ∈ ℂ)
235	23, 2	expcld 14108	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁↑𝑁) ∈ ℂ)
236	227, 2	expcld 14108	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (e↑𝑁) ∈ ℂ)
237	227, 228, 156	expne0d 14114	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (e↑(𝑁 + 1)) ≠ 0)
238	227, 228, 8	expne0d 14114	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (e↑𝑁) ≠ 0)
239	23, 24, 8	expne0d 14114	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁↑𝑁) ≠ 0)
240	233, 234, 235, 236, 237, 238, 239	divdivdivd 11978	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((((𝑁 + 1)↑(𝑁 + 1)) / (e↑(𝑁 + 1))) / ((𝑁↑𝑁) / (e↑𝑁))) = ((((𝑁 + 1)↑(𝑁 + 1)) · (e↑𝑁)) / ((e↑(𝑁 + 1)) · (𝑁↑𝑁))))
241	233, 236	mulcomd 11166	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (((𝑁 + 1)↑(𝑁 + 1)) · (e↑𝑁)) = ((e↑𝑁) · ((𝑁 + 1)↑(𝑁 + 1))))
242	241	oveq1d 7382	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((((𝑁 + 1)↑(𝑁 + 1)) · (e↑𝑁)) / ((e↑(𝑁 + 1)) · (𝑁↑𝑁))) = (((e↑𝑁) · ((𝑁 + 1)↑(𝑁 + 1))) / ((e↑(𝑁 + 1)) · (𝑁↑𝑁))))
243	236, 234, 233, 235, 237, 239	divmuldivd 11972	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (((e↑𝑁) / (e↑(𝑁 + 1))) · (((𝑁 + 1)↑(𝑁 + 1)) / (𝑁↑𝑁))) = (((e↑𝑁) · ((𝑁 + 1)↑(𝑁 + 1))) / ((e↑(𝑁 + 1)) · (𝑁↑𝑁))))
244	227, 2	expp1d 14109	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (e↑(𝑁 + 1)) = ((e↑𝑁) · e))
245	244	oveq2d 7383	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((e↑𝑁) / (e↑(𝑁 + 1))) = ((e↑𝑁) / ((e↑𝑁) · e)))
246	236, 236, 227, 238, 228	divdiv1d 11962	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (((e↑𝑁) / (e↑𝑁)) / e) = ((e↑𝑁) / ((e↑𝑁) · e)))
247	236, 238	dividd 11929	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((e↑𝑁) / (e↑𝑁)) = 1)
248	247	oveq1d 7382	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (((e↑𝑁) / (e↑𝑁)) / e) = (1 / e))
249	245, 246, 248	3eqtr2d 2777	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((e↑𝑁) / (e↑(𝑁 + 1))) = (1 / e))
250	249	oveq1d 7382	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (((e↑𝑁) / (e↑(𝑁 + 1))) · (((𝑁 + 1)↑(𝑁 + 1)) / (𝑁↑𝑁))) = ((1 / e) · (((𝑁 + 1)↑(𝑁 + 1)) / (𝑁↑𝑁))))
251	243, 250	eqtr3d 2773	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (((e↑𝑁) · ((𝑁 + 1)↑(𝑁 + 1))) / ((e↑(𝑁 + 1)) · (𝑁↑𝑁))) = ((1 / e) · (((𝑁 + 1)↑(𝑁 + 1)) / (𝑁↑𝑁))))
252	240, 242, 251	3eqtrd 2775	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((((𝑁 + 1)↑(𝑁 + 1)) / (e↑(𝑁 + 1))) / ((𝑁↑𝑁) / (e↑𝑁))) = ((1 / e) · (((𝑁 + 1)↑(𝑁 + 1)) / (𝑁↑𝑁))))
253	252	oveq2d 7383	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((√‘((𝑁 + 1) / 𝑁)) · ((((𝑁 + 1)↑(𝑁 + 1)) / (e↑(𝑁 + 1))) / ((𝑁↑𝑁) / (e↑𝑁)))) = ((√‘((𝑁 + 1) / 𝑁)) · ((1 / e) · (((𝑁 + 1)↑(𝑁 + 1)) / (𝑁↑𝑁)))))
254	226, 232, 253	3eqtrd 2775	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (((√‘((𝑁 + 1) / 𝑁)) · (((𝑁 + 1) / e)↑(𝑁 + 1))) / ((𝑁 / e)↑𝑁)) = ((√‘((𝑁 + 1) / 𝑁)) · ((1 / e) · (((𝑁 + 1)↑(𝑁 + 1)) / (𝑁↑𝑁)))))
255	254	oveq1d 7382	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((((√‘((𝑁 + 1) / 𝑁)) · (((𝑁 + 1) / e)↑(𝑁 + 1))) / ((𝑁 / e)↑𝑁)) / (𝑁 + 1)) = (((√‘((𝑁 + 1) / 𝑁)) · ((1 / e) · (((𝑁 + 1)↑(𝑁 + 1)) / (𝑁↑𝑁)))) / (𝑁 + 1)))
256	233, 235, 239	divcld 11931	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (((𝑁 + 1)↑(𝑁 + 1)) / (𝑁↑𝑁)) ∈ ℂ)
257	35, 227, 256, 228	div32d 11954	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((1 / e) · (((𝑁 + 1)↑(𝑁 + 1)) / (𝑁↑𝑁))) = (1 · ((((𝑁 + 1)↑(𝑁 + 1)) / (𝑁↑𝑁)) / e)))
258	256, 227, 228	divcld 11931	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((((𝑁 + 1)↑(𝑁 + 1)) / (𝑁↑𝑁)) / e) ∈ ℂ)
259	258	mullidd 11163	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (1 · ((((𝑁 + 1)↑(𝑁 + 1)) / (𝑁↑𝑁)) / e)) = ((((𝑁 + 1)↑(𝑁 + 1)) / (𝑁↑𝑁)) / e))
260	257, 259	eqtrd 2771	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((1 / e) · (((𝑁 + 1)↑(𝑁 + 1)) / (𝑁↑𝑁))) = ((((𝑁 + 1)↑(𝑁 + 1)) / (𝑁↑𝑁)) / e))
261	260	oveq2d 7383	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (((√‘((𝑁 + 1) / 𝑁)) / (𝑁 + 1)) · ((1 / e) · (((𝑁 + 1)↑(𝑁 + 1)) / (𝑁↑𝑁)))) = (((√‘((𝑁 + 1) / 𝑁)) / (𝑁 + 1)) · ((((𝑁 + 1)↑(𝑁 + 1)) / (𝑁↑𝑁)) / e)))
262	227, 228	reccld 11924	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (1 / e) ∈ ℂ)
263	262, 256	mulcld 11165	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((1 / e) · (((𝑁 + 1)↑(𝑁 + 1)) / (𝑁↑𝑁))) ∈ ℂ)
264	216, 263, 22, 26	div23d 11968	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (((√‘((𝑁 + 1) / 𝑁)) · ((1 / e) · (((𝑁 + 1)↑(𝑁 + 1)) / (𝑁↑𝑁)))) / (𝑁 + 1)) = (((√‘((𝑁 + 1) / 𝑁)) / (𝑁 + 1)) · ((1 / e) · (((𝑁 + 1)↑(𝑁 + 1)) / (𝑁↑𝑁)))))
265	216, 22, 26	divcld 11931	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((√‘((𝑁 + 1) / 𝑁)) / (𝑁 + 1)) ∈ ℂ)
266	265, 256, 227, 228	divassd 11966	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((((√‘((𝑁 + 1) / 𝑁)) / (𝑁 + 1)) · (((𝑁 + 1)↑(𝑁 + 1)) / (𝑁↑𝑁))) / e) = (((√‘((𝑁 + 1) / 𝑁)) / (𝑁 + 1)) · ((((𝑁 + 1)↑(𝑁 + 1)) / (𝑁↑𝑁)) / e)))
267	261, 264, 266	3eqtr4d 2781	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (((√‘((𝑁 + 1) / 𝑁)) · ((1 / e) · (((𝑁 + 1)↑(𝑁 + 1)) / (𝑁↑𝑁)))) / (𝑁 + 1)) = ((((√‘((𝑁 + 1) / 𝑁)) / (𝑁 + 1)) · (((𝑁 + 1)↑(𝑁 + 1)) / (𝑁↑𝑁))) / e))
268	225, 255, 267	3eqtrd 2775	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((((√‘((𝑁 + 1) / 𝑁)) · (((𝑁 + 1) / e)↑(𝑁 + 1))) / (𝑁 + 1)) / ((𝑁 / e)↑𝑁)) = ((((√‘((𝑁 + 1) / 𝑁)) / (𝑁 + 1)) · (((𝑁 + 1)↑(𝑁 + 1)) / (𝑁↑𝑁))) / e))
269	185, 223, 268	3eqtrd 2775	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((1 / ((𝑁 + 1) / ((√‘(2 · (𝑁 + 1))) · (((𝑁 + 1) / e)↑(𝑁 + 1))))) / ((√‘(2 · 𝑁)) · ((𝑁 / e)↑𝑁))) = ((((√‘((𝑁 + 1) / 𝑁)) / (𝑁 + 1)) · (((𝑁 + 1)↑(𝑁 + 1)) / (𝑁↑𝑁))) / e))
270	180, 183, 269	3eqtrd 2775	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (((!‘𝑁) / ((!‘𝑁) · ((𝑁 + 1) / ((√‘(2 · (𝑁 + 1))) · (((𝑁 + 1) / e)↑(𝑁 + 1)))))) / ((√‘(2 · 𝑁)) · ((𝑁 / e)↑𝑁))) = ((((√‘((𝑁 + 1) / 𝑁)) / (𝑁 + 1)) · (((𝑁 + 1)↑(𝑁 + 1)) / (𝑁↑𝑁))) / e))
271	169, 177, 270	3eqtrd 2775	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (((!‘𝑁) / ((√‘(2 · 𝑁)) · ((𝑁 / e)↑𝑁))) / ((!‘(𝑁 + 1)) / ((√‘(2 · (𝑁 + 1))) · (((𝑁 + 1) / e)↑(𝑁 + 1))))) = ((((√‘((𝑁 + 1) / 𝑁)) / (𝑁 + 1)) · (((𝑁 + 1)↑(𝑁 + 1)) / (𝑁↑𝑁))) / e))
272	216, 22, 256, 26	div32d 11954	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (((√‘((𝑁 + 1) / 𝑁)) / (𝑁 + 1)) · (((𝑁 + 1)↑(𝑁 + 1)) / (𝑁↑𝑁))) = ((√‘((𝑁 + 1) / 𝑁)) · ((((𝑁 + 1)↑(𝑁 + 1)) / (𝑁↑𝑁)) / (𝑁 + 1))))
273	22, 2	expp1d 14109	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑁 + 1)↑(𝑁 + 1)) = (((𝑁 + 1)↑𝑁) · (𝑁 + 1)))
274	273	oveq1d 7382	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (((𝑁 + 1)↑(𝑁 + 1)) / (𝑁 + 1)) = ((((𝑁 + 1)↑𝑁) · (𝑁 + 1)) / (𝑁 + 1)))
275	22, 2	expcld 14108	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑁 + 1)↑𝑁) ∈ ℂ)
276	275, 22, 26	divcan4d 11937	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((((𝑁 + 1)↑𝑁) · (𝑁 + 1)) / (𝑁 + 1)) = ((𝑁 + 1)↑𝑁))
277	274, 276	eqtrd 2771	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (((𝑁 + 1)↑(𝑁 + 1)) / (𝑁 + 1)) = ((𝑁 + 1)↑𝑁))
278	277	oveq1d 7382	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((((𝑁 + 1)↑(𝑁 + 1)) / (𝑁 + 1)) / (𝑁↑𝑁)) = (((𝑁 + 1)↑𝑁) / (𝑁↑𝑁)))
279	233, 235, 22, 239, 26	divdiv32d 11956	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((((𝑁 + 1)↑(𝑁 + 1)) / (𝑁↑𝑁)) / (𝑁 + 1)) = ((((𝑁 + 1)↑(𝑁 + 1)) / (𝑁 + 1)) / (𝑁↑𝑁)))
280	22, 23, 24, 2	expdivd 14122	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (((𝑁 + 1) / 𝑁)↑𝑁) = (((𝑁 + 1)↑𝑁) / (𝑁↑𝑁)))
281	278, 279, 280	3eqtr4d 2781	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((((𝑁 + 1)↑(𝑁 + 1)) / (𝑁↑𝑁)) / (𝑁 + 1)) = (((𝑁 + 1) / 𝑁)↑𝑁))
282	281	oveq2d 7383	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((√‘((𝑁 + 1) / 𝑁)) · ((((𝑁 + 1)↑(𝑁 + 1)) / (𝑁↑𝑁)) / (𝑁 + 1))) = ((√‘((𝑁 + 1) / 𝑁)) · (((𝑁 + 1) / 𝑁)↑𝑁)))
283	272, 282	eqtrd 2771	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (((√‘((𝑁 + 1) / 𝑁)) / (𝑁 + 1)) · (((𝑁 + 1)↑(𝑁 + 1)) / (𝑁↑𝑁))) = ((√‘((𝑁 + 1) / 𝑁)) · (((𝑁 + 1) / 𝑁)↑𝑁)))
284	283	oveq1d 7382	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((((√‘((𝑁 + 1) / 𝑁)) / (𝑁 + 1)) · (((𝑁 + 1)↑(𝑁 + 1)) / (𝑁↑𝑁))) / e) = (((√‘((𝑁 + 1) / 𝑁)) · (((𝑁 + 1) / 𝑁)↑𝑁)) / e))
285	161, 271, 284	3eqtrd 2775	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((𝐴‘𝑁) / (𝐴‘(𝑁 + 1))) = (((√‘((𝑁 + 1) / 𝑁)) · (((𝑁 + 1) / 𝑁)↑𝑁)) / e))
286	285	fveq2d 6844	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (log‘((𝐴‘𝑁) / (𝐴‘(𝑁 + 1)))) = (log‘(((√‘((𝑁 + 1) / 𝑁)) · (((𝑁 + 1) / 𝑁)↑𝑁)) / e)))
287	81, 82, 286	3eqtr2d 2777	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((𝐵‘𝑁) − (𝐵‘(𝑁 + 1))) = (log‘(((√‘((𝑁 + 1) / 𝑁)) · (((𝑁 + 1) / 𝑁)↑𝑁)) / e)))
288	35, 43	addcld 11164	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (1 + (2 · 𝑁)) ∈ ℂ)
289	288	halfcld 12422	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((1 + (2 · 𝑁)) / 2) ∈ ℂ)
290	289, 28	mulcld 11165	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (((1 + (2 · 𝑁)) / 2) · (log‘((𝑁 + 1) / 𝑁))) ∈ ℂ)
291	290, 35	subcld 11505	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((((1 + (2 · 𝑁)) / 2) · (log‘((𝑁 + 1) / 𝑁))) − 1) ∈ ℂ)
292		stirlinglem4.3	. . . . 5 ⊢ 𝐽 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((((1 + (2 · 𝑛)) / 2) · (log‘((𝑛 + 1) / 𝑛))) − 1))
293	292	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((((1 + (2 · 𝑁)) / 2) · (log‘((𝑁 + 1) / 𝑁))) − 1) ∈ ℂ) → 𝐽 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((((1 + (2 · 𝑛)) / 2) · (log‘((𝑛 + 1) / 𝑛))) − 1)))
294		simpr 484	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((((1 + (2 · 𝑁)) / 2) · (log‘((𝑁 + 1) / 𝑁))) − 1) ∈ ℂ) ∧ 𝑛 = 𝑁) → 𝑛 = 𝑁)
295	294	oveq2d 7383	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((((1 + (2 · 𝑁)) / 2) · (log‘((𝑁 + 1) / 𝑁))) − 1) ∈ ℂ) ∧ 𝑛 = 𝑁) → (2 · 𝑛) = (2 · 𝑁))
296	295	oveq2d 7383	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((((1 + (2 · 𝑁)) / 2) · (log‘((𝑁 + 1) / 𝑁))) − 1) ∈ ℂ) ∧ 𝑛 = 𝑁) → (1 + (2 · 𝑛)) = (1 + (2 · 𝑁)))
297	296	oveq1d 7382	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((((1 + (2 · 𝑁)) / 2) · (log‘((𝑁 + 1) / 𝑁))) − 1) ∈ ℂ) ∧ 𝑛 = 𝑁) → ((1 + (2 · 𝑛)) / 2) = ((1 + (2 · 𝑁)) / 2))
298	294	oveq1d 7382	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((((1 + (2 · 𝑁)) / 2) · (log‘((𝑁 + 1) / 𝑁))) − 1) ∈ ℂ) ∧ 𝑛 = 𝑁) → (𝑛 + 1) = (𝑁 + 1))
299	298, 294	oveq12d 7385	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((((1 + (2 · 𝑁)) / 2) · (log‘((𝑁 + 1) / 𝑁))) − 1) ∈ ℂ) ∧ 𝑛 = 𝑁) → ((𝑛 + 1) / 𝑛) = ((𝑁 + 1) / 𝑁))
300	299	fveq2d 6844	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((((1 + (2 · 𝑁)) / 2) · (log‘((𝑁 + 1) / 𝑁))) − 1) ∈ ℂ) ∧ 𝑛 = 𝑁) → (log‘((𝑛 + 1) / 𝑛)) = (log‘((𝑁 + 1) / 𝑁)))
301	297, 300	oveq12d 7385	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((((1 + (2 · 𝑁)) / 2) · (log‘((𝑁 + 1) / 𝑁))) − 1) ∈ ℂ) ∧ 𝑛 = 𝑁) → (((1 + (2 · 𝑛)) / 2) · (log‘((𝑛 + 1) / 𝑛))) = (((1 + (2 · 𝑁)) / 2) · (log‘((𝑁 + 1) / 𝑁))))
302	301	oveq1d 7382	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((((1 + (2 · 𝑁)) / 2) · (log‘((𝑁 + 1) / 𝑁))) − 1) ∈ ℂ) ∧ 𝑛 = 𝑁) → ((((1 + (2 · 𝑛)) / 2) · (log‘((𝑛 + 1) / 𝑛))) − 1) = ((((1 + (2 · 𝑁)) / 2) · (log‘((𝑁 + 1) / 𝑁))) − 1))
303		simpl 482	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((((1 + (2 · 𝑁)) / 2) · (log‘((𝑁 + 1) / 𝑁))) − 1) ∈ ℂ) → 𝑁 ∈ ℕ)
304		simpr 484	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((((1 + (2 · 𝑁)) / 2) · (log‘((𝑁 + 1) / 𝑁))) − 1) ∈ ℂ) → ((((1 + (2 · 𝑁)) / 2) · (log‘((𝑁 + 1) / 𝑁))) − 1) ∈ ℂ)
305	293, 302, 303, 304	fvmptd 6955	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((((1 + (2 · 𝑁)) / 2) · (log‘((𝑁 + 1) / 𝑁))) − 1) ∈ ℂ) → (𝐽‘𝑁) = ((((1 + (2 · 𝑁)) / 2) · (log‘((𝑁 + 1) / 𝑁))) − 1))
306	291, 305	mpdan 688	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝐽‘𝑁) = ((((1 + (2 · 𝑁)) / 2) · (log‘((𝑁 + 1) / 𝑁))) − 1))
307	52, 287, 306	3eqtr4d 2781	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((𝐵‘𝑁) − (𝐵‘(𝑁 + 1))) = (𝐽‘𝑁))

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: → wi 4 ∧ wa 395 = wceq 1542 ∈ wcel 2114 ≠ wne 2932 ↦ cmpt 5166 ‘cfv 6498 (class class class)co 7367 ℂcc 11036 ℝcr 11037 0cc0 11038 1c1 11039 + caddc 11041 · cmul 11043 − cmin 11377 / cdiv 11807 ℕcn 12174 2c2 12236 ℕ₀cn0 12437 ℤcz 12524 ℝ⁺crp 12942 ↑cexp 14023 !cfa 14235 √csqrt 15195 eceu 16027 logclog 26518

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1797 ax-4 1811 ax-5 1912 ax-6 1969 ax-7 2010 ax-8 2116 ax-9 2124 ax-10 2147 ax-11 2163 ax-12 2185 ax-ext 2708 ax-rep 5212 ax-sep 5231 ax-nul 5241 ax-pow 5307 ax-pr 5375 ax-un 7689 ax-inf2 9562 ax-cnex 11094 ax-resscn 11095 ax-1cn 11096 ax-icn 11097 ax-addcl 11098 ax-addrcl 11099 ax-mulcl 11100 ax-mulrcl 11101 ax-mulcom 11102 ax-addass 11103 ax-mulass 11104 ax-distr 11105 ax-i2m1 11106 ax-1ne0 11107 ax-1rid 11108 ax-rnegex 11109 ax-rrecex 11110 ax-cnre 11111 ax-pre-lttri 11112 ax-pre-lttrn 11113 ax-pre-ltadd 11114 ax-pre-mulgt0 11115 ax-pre-sup 11116 ax-addf 11117

This theorem depends on definitions: df-bi 207 df-an 396 df-or 849 df-3or 1088 df-3an 1089 df-tru 1545 df-fal 1555 df-ex 1782 df-nf 1786 df-sb 2069 df-mo 2539 df-eu 2569 df-clab 2715 df-cleq 2728 df-clel 2811 df-nfc 2885 df-ne 2933 df-nel 3037 df-ral 3052 df-rex 3062 df-rmo 3342 df-reu 3343 df-rab 3390 df-v 3431 df-sbc 3729 df-csb 3838 df-dif 3892 df-un 3894 df-in 3896 df-ss 3906 df-pss 3909 df-nul 4274 df-if 4467 df-pw 4543 df-sn 4568 df-pr 4570 df-tp 4572 df-op 4574 df-uni 4851 df-int 4890 df-iun 4935 df-iin 4936 df-br 5086 df-opab 5148 df-mpt 5167 df-tr 5193 df-id 5526 df-eprel 5531 df-po 5539 df-so 5540 df-fr 5584 df-se 5585 df-we 5586 df-xp 5637 df-rel 5638 df-cnv 5639 df-co 5640 df-dm 5641 df-rn 5642 df-res 5643 df-ima 5644 df-pred 6265 df-ord 6326 df-on 6327 df-lim 6328 df-suc 6329 df-iota 6454 df-fun 6500 df-fn 6501 df-f 6502 df-f1 6503 df-fo 6504 df-f1o 6505 df-fv 6506 df-isom 6507 df-riota 7324 df-ov 7370 df-oprab 7371 df-mpo 7372 df-of 7631 df-om 7818 df-1st 7942 df-2nd 7943 df-supp 8111 df-frecs 8231 df-wrecs 8262 df-recs 8311 df-rdg 8349 df-1o 8405 df-2o 8406 df-er 8643 df-map 8775 df-pm 8776 df-ixp 8846 df-en 8894 df-dom 8895 df-sdom 8896 df-fin 8897 df-fsupp 9275 df-fi 9324 df-sup 9355 df-inf 9356 df-oi 9425 df-card 9863 df-pnf 11181 df-mnf 11182 df-xr 11183 df-ltxr 11184 df-le 11185 df-sub 11379 df-neg 11380 df-div 11808 df-nn 12175 df-2 12244 df-3 12245 df-4 12246 df-5 12247 df-6 12248 df-7 12249 df-8 12250 df-9 12251 df-n0 12438 df-z 12525 df-dec 12645 df-uz 12789 df-q 12899 df-rp 12943 df-xneg 13063 df-xadd 13064 df-xmul 13065 df-ioo 13302 df-ioc 13303 df-ico 13304 df-icc 13305 df-fz 13462 df-fzo 13609 df-fl 13751 df-mod 13829 df-seq 13964 df-exp 14024 df-fac 14236 df-bc 14265 df-hash 14293 df-shft 15029 df-cj 15061 df-re 15062 df-im 15063 df-sqrt 15197 df-abs 15198 df-limsup 15433 df-clim 15450 df-rlim 15451 df-sum 15649 df-ef 16032 df-e 16033 df-sin 16034 df-cos 16035 df-pi 16037 df-struct 17117 df-sets 17134 df-slot 17152 df-ndx 17164 df-base 17180 df-ress 17201 df-plusg 17233 df-mulr 17234 df-starv 17235 df-sca 17236 df-vsca 17237 df-ip 17238 df-tset 17239 df-ple 17240 df-ds 17242 df-unif 17243 df-hom 17244 df-cco 17245 df-rest 17385 df-topn 17386 df-0g 17404 df-gsum 17405 df-topgen 17406 df-pt 17407 df-prds 17410 df-xrs 17466 df-qtop 17471 df-imas 17472 df-xps 17474 df-mre 17548 df-mrc 17549 df-acs 17551 df-mgm 18608 df-sgrp 18687 df-mnd 18703 df-submnd 18752 df-mulg 19044 df-cntz 19292 df-cmn 19757 df-psmet 21344 df-xmet 21345 df-met 21346 df-bl 21347 df-mopn 21348 df-fbas 21349 df-fg 21350 df-cnfld 21353 df-top 22859 df-topon 22876 df-topsp 22898 df-bases 22911 df-cld 22984 df-ntr 22985 df-cls 22986 df-nei 23063 df-lp 23101 df-perf 23102 df-cn 23192 df-cnp 23193 df-haus 23280 df-tx 23527 df-hmeo 23720 df-fil 23811 df-fm 23903 df-flim 23904 df-flf 23905 df-xms 24285 df-ms 24286 df-tms 24287 df-cncf 24845 df-limc 25833 df-dv 25834 df-log 26520 df-cxp 26521

This theorem is referenced by: stirlinglem9 46510

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