Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  stirlinglem4 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem stirlinglem4 43868
Description: Algebraic manipulation of ((𝐵 n ) - ( B (𝑛 + 1))). It will be used in other theorems to show that 𝐵 is decreasing. (Contributed by Glauco Siliprandi, 29-Jun-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
stirlinglem4.1 𝐴 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((!‘𝑛) / ((√‘(2 · 𝑛)) · ((𝑛 / e)↑𝑛))))
stirlinglem4.2 𝐵 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (log‘(𝐴𝑛)))
stirlinglem4.3 𝐽 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((((1 + (2 · 𝑛)) / 2) · (log‘((𝑛 + 1) / 𝑛))) − 1))
Assertion
Ref Expression
stirlinglem4 (𝑁 ∈ ℕ → ((𝐵𝑁) − (𝐵‘(𝑁 + 1))) = (𝐽𝑁))
Distinct variable group:   𝑛,𝑁
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑛)   𝐵(𝑛)   𝐽(𝑛)

Proof of Theorem stirlinglem4
Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nnre 12060 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℝ)
2 nnnn0 12320 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℕ0)
32nn0ge0d 12376 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ → 0 ≤ 𝑁)
41, 3ge0p1rpd 12882 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 + 1) ∈ ℝ+)
5 nnrp 12821 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℝ+)
64, 5rpdivcld 12869 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑁 + 1) / 𝑁) ∈ ℝ+)
76rpsqrtcld 15202 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → (√‘((𝑁 + 1) / 𝑁)) ∈ ℝ+)
8 nnz 12422 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℤ)
96, 8rpexpcld 14042 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → (((𝑁 + 1) / 𝑁)↑𝑁) ∈ ℝ+)
107, 9rpmulcld 12868 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ → ((√‘((𝑁 + 1) / 𝑁)) · (((𝑁 + 1) / 𝑁)↑𝑁)) ∈ ℝ+)
11 epr 15996 . . . . 5 e ∈ ℝ+
1211a1i 11 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ → e ∈ ℝ+)
1310, 12relogdivd 25864 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ → (log‘(((√‘((𝑁 + 1) / 𝑁)) · (((𝑁 + 1) / 𝑁)↑𝑁)) / e)) = ((log‘((√‘((𝑁 + 1) / 𝑁)) · (((𝑁 + 1) / 𝑁)↑𝑁))) − (log‘e)))
147, 9relogmuld 25863 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → (log‘((√‘((𝑁 + 1) / 𝑁)) · (((𝑁 + 1) / 𝑁)↑𝑁))) = ((log‘(√‘((𝑁 + 1) / 𝑁))) + (log‘(((𝑁 + 1) / 𝑁)↑𝑁))))
15 logsqrt 25942 . . . . . . . 8 (((𝑁 + 1) / 𝑁) ∈ ℝ+ → (log‘(√‘((𝑁 + 1) / 𝑁))) = ((log‘((𝑁 + 1) / 𝑁)) / 2))
166, 15syl 17 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ → (log‘(√‘((𝑁 + 1) / 𝑁))) = ((log‘((𝑁 + 1) / 𝑁)) / 2))
17 relogexp 25834 . . . . . . . 8 ((((𝑁 + 1) / 𝑁) ∈ ℝ+𝑁 ∈ ℤ) → (log‘(((𝑁 + 1) / 𝑁)↑𝑁)) = (𝑁 · (log‘((𝑁 + 1) / 𝑁))))
186, 8, 17syl2anc 584 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ → (log‘(((𝑁 + 1) / 𝑁)↑𝑁)) = (𝑁 · (log‘((𝑁 + 1) / 𝑁))))
1916, 18oveq12d 7335 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → ((log‘(√‘((𝑁 + 1) / 𝑁))) + (log‘(((𝑁 + 1) / 𝑁)↑𝑁))) = (((log‘((𝑁 + 1) / 𝑁)) / 2) + (𝑁 · (log‘((𝑁 + 1) / 𝑁)))))
2014, 19eqtrd 2777 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → (log‘((√‘((𝑁 + 1) / 𝑁)) · (((𝑁 + 1) / 𝑁)↑𝑁))) = (((log‘((𝑁 + 1) / 𝑁)) / 2) + (𝑁 · (log‘((𝑁 + 1) / 𝑁)))))
21 peano2nn 12065 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 + 1) ∈ ℕ)
2221nncnd 12069 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 + 1) ∈ ℂ)
23 nncn 12061 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℂ)
24 nnne0 12087 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ≠ 0)
2522, 23, 24divcld 11831 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑁 + 1) / 𝑁) ∈ ℂ)
2621nnne0d 12103 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 + 1) ≠ 0)
2722, 23, 26, 24divne0d 11847 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑁 + 1) / 𝑁) ≠ 0)
2825, 27logcld 25809 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ → (log‘((𝑁 + 1) / 𝑁)) ∈ ℂ)
29 2cnd 12131 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ → 2 ∈ ℂ)
30 2rp 12815 . . . . . . . . 9 2 ∈ ℝ+
3130a1i 11 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ → 2 ∈ ℝ+)
3231rpne0d 12857 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ → 2 ≠ 0)
3328, 29, 32divrec2d 11835 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → ((log‘((𝑁 + 1) / 𝑁)) / 2) = ((1 / 2) · (log‘((𝑁 + 1) / 𝑁))))
3433oveq1d 7332 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → (((log‘((𝑁 + 1) / 𝑁)) / 2) + (𝑁 · (log‘((𝑁 + 1) / 𝑁)))) = (((1 / 2) · (log‘((𝑁 + 1) / 𝑁))) + (𝑁 · (log‘((𝑁 + 1) / 𝑁)))))
35 1cnd 11050 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ → 1 ∈ ℂ)
3635halfcld 12298 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ → (1 / 2) ∈ ℂ)
3736, 23, 28adddird 11080 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → (((1 / 2) + 𝑁) · (log‘((𝑁 + 1) / 𝑁))) = (((1 / 2) · (log‘((𝑁 + 1) / 𝑁))) + (𝑁 · (log‘((𝑁 + 1) / 𝑁)))))
3823, 29, 32divcan4d 11837 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑁 · 2) / 2) = 𝑁)
3923, 29mulcomd 11076 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 · 2) = (2 · 𝑁))
4039oveq1d 7332 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑁 · 2) / 2) = ((2 · 𝑁) / 2))
4138, 40eqtr3d 2779 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 = ((2 · 𝑁) / 2))
4241oveq2d 7333 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ → ((1 / 2) + 𝑁) = ((1 / 2) + ((2 · 𝑁) / 2)))
4329, 23mulcld 11075 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℕ → (2 · 𝑁) ∈ ℂ)
4435, 43, 29, 32divdird 11869 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ → ((1 + (2 · 𝑁)) / 2) = ((1 / 2) + ((2 · 𝑁) / 2)))
4542, 44eqtr4d 2780 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ → ((1 / 2) + 𝑁) = ((1 + (2 · 𝑁)) / 2))
4645oveq1d 7332 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → (((1 / 2) + 𝑁) · (log‘((𝑁 + 1) / 𝑁))) = (((1 + (2 · 𝑁)) / 2) · (log‘((𝑁 + 1) / 𝑁))))
4737, 46eqtr3d 2779 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → (((1 / 2) · (log‘((𝑁 + 1) / 𝑁))) + (𝑁 · (log‘((𝑁 + 1) / 𝑁)))) = (((1 + (2 · 𝑁)) / 2) · (log‘((𝑁 + 1) / 𝑁))))
4820, 34, 473eqtrd 2781 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ → (log‘((√‘((𝑁 + 1) / 𝑁)) · (((𝑁 + 1) / 𝑁)↑𝑁))) = (((1 + (2 · 𝑁)) / 2) · (log‘((𝑁 + 1) / 𝑁))))
49 loge 25825 . . . . 5 (log‘e) = 1
5049a1i 11 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ → (log‘e) = 1)
5148, 50oveq12d 7335 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ → ((log‘((√‘((𝑁 + 1) / 𝑁)) · (((𝑁 + 1) / 𝑁)↑𝑁))) − (log‘e)) = ((((1 + (2 · 𝑁)) / 2) · (log‘((𝑁 + 1) / 𝑁))) − 1))
5213, 51eqtrd 2777 . 2 (𝑁 ∈ ℕ → (log‘(((√‘((𝑁 + 1) / 𝑁)) · (((𝑁 + 1) / 𝑁)↑𝑁)) / e)) = ((((1 + (2 · 𝑁)) / 2) · (log‘((𝑁 + 1) / 𝑁))) − 1))
53 stirlinglem4.1 . . . . . . 7 𝐴 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((!‘𝑛) / ((√‘(2 · 𝑛)) · ((𝑛 / e)↑𝑛))))
5453stirlinglem2 43866 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → (𝐴𝑁) ∈ ℝ+)
5554relogcld 25861 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → (log‘(𝐴𝑁)) ∈ ℝ)
56 nfcv 2905 . . . . . 6 𝑛𝑁
57 nfcv 2905 . . . . . . 7 𝑛log
58 nfmpt1 5195 . . . . . . . . 9 𝑛(𝑛 ∈ ℕ ↦ ((!‘𝑛) / ((√‘(2 · 𝑛)) · ((𝑛 / e)↑𝑛))))
5953, 58nfcxfr 2903 . . . . . . . 8 𝑛𝐴
6059, 56nffv 6822 . . . . . . 7 𝑛(𝐴𝑁)
6157, 60nffv 6822 . . . . . 6 𝑛(log‘(𝐴𝑁))
62 2fveq3 6817 . . . . . 6 (𝑛 = 𝑁 → (log‘(𝐴𝑛)) = (log‘(𝐴𝑁)))
63 stirlinglem4.2 . . . . . 6 𝐵 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (log‘(𝐴𝑛)))
6456, 61, 62, 63fvmptf 6936 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (log‘(𝐴𝑁)) ∈ ℝ) → (𝐵𝑁) = (log‘(𝐴𝑁)))
6555, 64mpdan 684 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ → (𝐵𝑁) = (log‘(𝐴𝑁)))
66 nfcv 2905 . . . . . . . 8 𝑘(log‘(𝐴𝑛))
67 nfcv 2905 . . . . . . . . . 10 𝑛𝑘
6859, 67nffv 6822 . . . . . . . . 9 𝑛(𝐴𝑘)
6957, 68nffv 6822 . . . . . . . 8 𝑛(log‘(𝐴𝑘))
70 2fveq3 6817 . . . . . . . 8 (𝑛 = 𝑘 → (log‘(𝐴𝑛)) = (log‘(𝐴𝑘)))
7166, 69, 70cbvmpt 5198 . . . . . . 7 (𝑛 ∈ ℕ ↦ (log‘(𝐴𝑛))) = (𝑘 ∈ ℕ ↦ (log‘(𝐴𝑘)))
7263, 71eqtri 2765 . . . . . 6 𝐵 = (𝑘 ∈ ℕ ↦ (log‘(𝐴𝑘)))
7372a1i 11 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → 𝐵 = (𝑘 ∈ ℕ ↦ (log‘(𝐴𝑘))))
74 simpr 485 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 = (𝑁 + 1)) → 𝑘 = (𝑁 + 1))
7574fveq2d 6816 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 = (𝑁 + 1)) → (𝐴𝑘) = (𝐴‘(𝑁 + 1)))
7675fveq2d 6816 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 = (𝑁 + 1)) → (log‘(𝐴𝑘)) = (log‘(𝐴‘(𝑁 + 1))))
7753stirlinglem2 43866 . . . . . . 7 ((𝑁 + 1) ∈ ℕ → (𝐴‘(𝑁 + 1)) ∈ ℝ+)
7821, 77syl 17 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → (𝐴‘(𝑁 + 1)) ∈ ℝ+)
7978relogcld 25861 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → (log‘(𝐴‘(𝑁 + 1))) ∈ ℝ)
8073, 76, 21, 79fvmptd 6922 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ → (𝐵‘(𝑁 + 1)) = (log‘(𝐴‘(𝑁 + 1))))
8165, 80oveq12d 7335 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ → ((𝐵𝑁) − (𝐵‘(𝑁 + 1))) = ((log‘(𝐴𝑁)) − (log‘(𝐴‘(𝑁 + 1)))))
8254, 78relogdivd 25864 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ → (log‘((𝐴𝑁) / (𝐴‘(𝑁 + 1)))) = ((log‘(𝐴𝑁)) − (log‘(𝐴‘(𝑁 + 1)))))
83 faccl 14077 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℕ0 → (!‘𝑁) ∈ ℕ)
84 nnrp 12821 . . . . . . . . 9 ((!‘𝑁) ∈ ℕ → (!‘𝑁) ∈ ℝ+)
852, 83, 843syl 18 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ → (!‘𝑁) ∈ ℝ+)
8631, 5rpmulcld 12868 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℕ → (2 · 𝑁) ∈ ℝ+)
8786rpsqrtcld 15202 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℕ → (√‘(2 · 𝑁)) ∈ ℝ+)
885, 12rpdivcld 12869 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 / e) ∈ ℝ+)
8988, 8rpexpcld 14042 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑁 / e)↑𝑁) ∈ ℝ+)
9087, 89rpmulcld 12868 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ → ((√‘(2 · 𝑁)) · ((𝑁 / e)↑𝑁)) ∈ ℝ+)
9185, 90rpdivcld 12869 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ → ((!‘𝑁) / ((√‘(2 · 𝑁)) · ((𝑁 / e)↑𝑁))) ∈ ℝ+)
9253a1i 11 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((!‘𝑁) / ((√‘(2 · 𝑁)) · ((𝑁 / e)↑𝑁))) ∈ ℝ+) → 𝐴 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((!‘𝑛) / ((√‘(2 · 𝑛)) · ((𝑛 / e)↑𝑛)))))
93 simpr 485 . . . . . . . . . 10 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((!‘𝑁) / ((√‘(2 · 𝑁)) · ((𝑁 / e)↑𝑁))) ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 = 𝑁) → 𝑛 = 𝑁)
9493fveq2d 6816 . . . . . . . . 9 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((!‘𝑁) / ((√‘(2 · 𝑁)) · ((𝑁 / e)↑𝑁))) ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 = 𝑁) → (!‘𝑛) = (!‘𝑁))
9593oveq2d 7333 . . . . . . . . . . 11 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((!‘𝑁) / ((√‘(2 · 𝑁)) · ((𝑁 / e)↑𝑁))) ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 = 𝑁) → (2 · 𝑛) = (2 · 𝑁))
9695fveq2d 6816 . . . . . . . . . 10 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((!‘𝑁) / ((√‘(2 · 𝑁)) · ((𝑁 / e)↑𝑁))) ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 = 𝑁) → (√‘(2 · 𝑛)) = (√‘(2 · 𝑁)))
9793oveq1d 7332 . . . . . . . . . . 11 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((!‘𝑁) / ((√‘(2 · 𝑁)) · ((𝑁 / e)↑𝑁))) ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 = 𝑁) → (𝑛 / e) = (𝑁 / e))
9897, 93oveq12d 7335 . . . . . . . . . 10 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((!‘𝑁) / ((√‘(2 · 𝑁)) · ((𝑁 / e)↑𝑁))) ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 = 𝑁) → ((𝑛 / e)↑𝑛) = ((𝑁 / e)↑𝑁))
9996, 98oveq12d 7335 . . . . . . . . 9 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((!‘𝑁) / ((√‘(2 · 𝑁)) · ((𝑁 / e)↑𝑁))) ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 = 𝑁) → ((√‘(2 · 𝑛)) · ((𝑛 / e)↑𝑛)) = ((√‘(2 · 𝑁)) · ((𝑁 / e)↑𝑁)))
10094, 99oveq12d 7335 . . . . . . . 8 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((!‘𝑁) / ((√‘(2 · 𝑁)) · ((𝑁 / e)↑𝑁))) ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 = 𝑁) → ((!‘𝑛) / ((√‘(2 · 𝑛)) · ((𝑛 / e)↑𝑛))) = ((!‘𝑁) / ((√‘(2 · 𝑁)) · ((𝑁 / e)↑𝑁))))
101 simpl 483 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((!‘𝑁) / ((√‘(2 · 𝑁)) · ((𝑁 / e)↑𝑁))) ∈ ℝ+) → 𝑁 ∈ ℕ)
10285rpcnd 12854 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℕ → (!‘𝑁) ∈ ℂ)
103102adantr 481 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((!‘𝑁) / ((√‘(2 · 𝑁)) · ((𝑁 / e)↑𝑁))) ∈ ℝ+) → (!‘𝑁) ∈ ℂ)
104 2cnd 12131 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((!‘𝑁) / ((√‘(2 · 𝑁)) · ((𝑁 / e)↑𝑁))) ∈ ℝ+) → 2 ∈ ℂ)
105101nncnd 12069 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((!‘𝑁) / ((√‘(2 · 𝑁)) · ((𝑁 / e)↑𝑁))) ∈ ℝ+) → 𝑁 ∈ ℂ)
106104, 105mulcld 11075 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((!‘𝑁) / ((√‘(2 · 𝑁)) · ((𝑁 / e)↑𝑁))) ∈ ℝ+) → (2 · 𝑁) ∈ ℂ)
107106sqrtcld 15228 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((!‘𝑁) / ((√‘(2 · 𝑁)) · ((𝑁 / e)↑𝑁))) ∈ ℝ+) → (√‘(2 · 𝑁)) ∈ ℂ)
108 ere 15877 . . . . . . . . . . . . . 14 e ∈ ℝ
109108recni 11069 . . . . . . . . . . . . 13 e ∈ ℂ
110109a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((!‘𝑁) / ((√‘(2 · 𝑁)) · ((𝑁 / e)↑𝑁))) ∈ ℝ+) → e ∈ ℂ)
111 0re 11057 . . . . . . . . . . . . . 14 0 ∈ ℝ
112 epos 15995 . . . . . . . . . . . . . 14 0 < e
113111, 112gtneii 11167 . . . . . . . . . . . . 13 e ≠ 0
114113a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((!‘𝑁) / ((√‘(2 · 𝑁)) · ((𝑁 / e)↑𝑁))) ∈ ℝ+) → e ≠ 0)
115105, 110, 114divcld 11831 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((!‘𝑁) / ((√‘(2 · 𝑁)) · ((𝑁 / e)↑𝑁))) ∈ ℝ+) → (𝑁 / e) ∈ ℂ)
116101nnnn0d 12373 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((!‘𝑁) / ((√‘(2 · 𝑁)) · ((𝑁 / e)↑𝑁))) ∈ ℝ+) → 𝑁 ∈ ℕ0)
117115, 116expcld 13944 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((!‘𝑁) / ((√‘(2 · 𝑁)) · ((𝑁 / e)↑𝑁))) ∈ ℝ+) → ((𝑁 / e)↑𝑁) ∈ ℂ)
118107, 117mulcld 11075 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((!‘𝑁) / ((√‘(2 · 𝑁)) · ((𝑁 / e)↑𝑁))) ∈ ℝ+) → ((√‘(2 · 𝑁)) · ((𝑁 / e)↑𝑁)) ∈ ℂ)
11987rpne0d 12857 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ ℕ → (√‘(2 · 𝑁)) ≠ 0)
120119adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((!‘𝑁) / ((√‘(2 · 𝑁)) · ((𝑁 / e)↑𝑁))) ∈ ℝ+) → (√‘(2 · 𝑁)) ≠ 0)
121101nnne0d 12103 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((!‘𝑁) / ((√‘(2 · 𝑁)) · ((𝑁 / e)↑𝑁))) ∈ ℝ+) → 𝑁 ≠ 0)
122105, 110, 121, 114divne0d 11847 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((!‘𝑁) / ((√‘(2 · 𝑁)) · ((𝑁 / e)↑𝑁))) ∈ ℝ+) → (𝑁 / e) ≠ 0)
123101nnzd 12505 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((!‘𝑁) / ((√‘(2 · 𝑁)) · ((𝑁 / e)↑𝑁))) ∈ ℝ+) → 𝑁 ∈ ℤ)
124115, 122, 123expne0d 13950 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((!‘𝑁) / ((√‘(2 · 𝑁)) · ((𝑁 / e)↑𝑁))) ∈ ℝ+) → ((𝑁 / e)↑𝑁) ≠ 0)
125107, 117, 120, 124mulne0d 11707 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((!‘𝑁) / ((√‘(2 · 𝑁)) · ((𝑁 / e)↑𝑁))) ∈ ℝ+) → ((√‘(2 · 𝑁)) · ((𝑁 / e)↑𝑁)) ≠ 0)
126103, 118, 125divcld 11831 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((!‘𝑁) / ((√‘(2 · 𝑁)) · ((𝑁 / e)↑𝑁))) ∈ ℝ+) → ((!‘𝑁) / ((√‘(2 · 𝑁)) · ((𝑁 / e)↑𝑁))) ∈ ℂ)
12792, 100, 101, 126fvmptd 6922 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((!‘𝑁) / ((√‘(2 · 𝑁)) · ((𝑁 / e)↑𝑁))) ∈ ℝ+) → (𝐴𝑁) = ((!‘𝑁) / ((√‘(2 · 𝑁)) · ((𝑁 / e)↑𝑁))))
12891, 127mpdan 684 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → (𝐴𝑁) = ((!‘𝑁) / ((√‘(2 · 𝑁)) · ((𝑁 / e)↑𝑁))))
129 nfcv 2905 . . . . . . . . . 10 𝑘((!‘𝑛) / ((√‘(2 · 𝑛)) · ((𝑛 / e)↑𝑛)))
130 nfcv 2905 . . . . . . . . . 10 𝑛((!‘𝑘) / ((√‘(2 · 𝑘)) · ((𝑘 / e)↑𝑘)))
131 fveq2 6812 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 = 𝑘 → (!‘𝑛) = (!‘𝑘))
132 oveq2 7325 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 = 𝑘 → (2 · 𝑛) = (2 · 𝑘))
133132fveq2d 6816 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 = 𝑘 → (√‘(2 · 𝑛)) = (√‘(2 · 𝑘)))
134 oveq1 7324 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 = 𝑘 → (𝑛 / e) = (𝑘 / e))
135 id 22 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 = 𝑘𝑛 = 𝑘)
136134, 135oveq12d 7335 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 = 𝑘 → ((𝑛 / e)↑𝑛) = ((𝑘 / e)↑𝑘))
137133, 136oveq12d 7335 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 = 𝑘 → ((√‘(2 · 𝑛)) · ((𝑛 / e)↑𝑛)) = ((√‘(2 · 𝑘)) · ((𝑘 / e)↑𝑘)))
138131, 137oveq12d 7335 . . . . . . . . . 10 (𝑛 = 𝑘 → ((!‘𝑛) / ((√‘(2 · 𝑛)) · ((𝑛 / e)↑𝑛))) = ((!‘𝑘) / ((√‘(2 · 𝑘)) · ((𝑘 / e)↑𝑘))))
139129, 130, 138cbvmpt 5198 . . . . . . . . 9 (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((!‘𝑛) / ((√‘(2 · 𝑛)) · ((𝑛 / e)↑𝑛)))) = (𝑘 ∈ ℕ ↦ ((!‘𝑘) / ((√‘(2 · 𝑘)) · ((𝑘 / e)↑𝑘))))
14053, 139eqtri 2765 . . . . . . . 8 𝐴 = (𝑘 ∈ ℕ ↦ ((!‘𝑘) / ((√‘(2 · 𝑘)) · ((𝑘 / e)↑𝑘))))
141140a1i 11 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ → 𝐴 = (𝑘 ∈ ℕ ↦ ((!‘𝑘) / ((√‘(2 · 𝑘)) · ((𝑘 / e)↑𝑘)))))
14274fveq2d 6816 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 = (𝑁 + 1)) → (!‘𝑘) = (!‘(𝑁 + 1)))
14374oveq2d 7333 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 = (𝑁 + 1)) → (2 · 𝑘) = (2 · (𝑁 + 1)))
144143fveq2d 6816 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 = (𝑁 + 1)) → (√‘(2 · 𝑘)) = (√‘(2 · (𝑁 + 1))))
14574oveq1d 7332 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 = (𝑁 + 1)) → (𝑘 / e) = ((𝑁 + 1) / e))
146145, 74oveq12d 7335 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 = (𝑁 + 1)) → ((𝑘 / e)↑𝑘) = (((𝑁 + 1) / e)↑(𝑁 + 1)))
147144, 146oveq12d 7335 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 = (𝑁 + 1)) → ((√‘(2 · 𝑘)) · ((𝑘 / e)↑𝑘)) = ((√‘(2 · (𝑁 + 1))) · (((𝑁 + 1) / e)↑(𝑁 + 1))))
148142, 147oveq12d 7335 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 = (𝑁 + 1)) → ((!‘𝑘) / ((√‘(2 · 𝑘)) · ((𝑘 / e)↑𝑘))) = ((!‘(𝑁 + 1)) / ((√‘(2 · (𝑁 + 1))) · (((𝑁 + 1) / e)↑(𝑁 + 1)))))
14921nnnn0d 12373 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 + 1) ∈ ℕ0)
150 faccl 14077 . . . . . . . . 9 ((𝑁 + 1) ∈ ℕ0 → (!‘(𝑁 + 1)) ∈ ℕ)
151 nnrp 12821 . . . . . . . . 9 ((!‘(𝑁 + 1)) ∈ ℕ → (!‘(𝑁 + 1)) ∈ ℝ+)
152149, 150, 1513syl 18 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ → (!‘(𝑁 + 1)) ∈ ℝ+)
15331, 4rpmulcld 12868 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℕ → (2 · (𝑁 + 1)) ∈ ℝ+)
154153rpsqrtcld 15202 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℕ → (√‘(2 · (𝑁 + 1))) ∈ ℝ+)
1554, 12rpdivcld 12869 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑁 + 1) / e) ∈ ℝ+)
1568peano2zd 12509 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 + 1) ∈ ℤ)
157155, 156rpexpcld 14042 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℕ → (((𝑁 + 1) / e)↑(𝑁 + 1)) ∈ ℝ+)
158154, 157rpmulcld 12868 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ → ((√‘(2 · (𝑁 + 1))) · (((𝑁 + 1) / e)↑(𝑁 + 1))) ∈ ℝ+)
159152, 158rpdivcld 12869 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ → ((!‘(𝑁 + 1)) / ((√‘(2 · (𝑁 + 1))) · (((𝑁 + 1) / e)↑(𝑁 + 1)))) ∈ ℝ+)
160141, 148, 21, 159fvmptd 6922 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → (𝐴‘(𝑁 + 1)) = ((!‘(𝑁 + 1)) / ((√‘(2 · (𝑁 + 1))) · (((𝑁 + 1) / e)↑(𝑁 + 1)))))
161128, 160oveq12d 7335 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → ((𝐴𝑁) / (𝐴‘(𝑁 + 1))) = (((!‘𝑁) / ((√‘(2 · 𝑁)) · ((𝑁 / e)↑𝑁))) / ((!‘(𝑁 + 1)) / ((√‘(2 · (𝑁 + 1))) · (((𝑁 + 1) / e)↑(𝑁 + 1))))))
162 facp1 14072 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℕ0 → (!‘(𝑁 + 1)) = ((!‘𝑁) · (𝑁 + 1)))
1632, 162syl 17 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℕ → (!‘(𝑁 + 1)) = ((!‘𝑁) · (𝑁 + 1)))
164163oveq1d 7332 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ → ((!‘(𝑁 + 1)) / ((√‘(2 · (𝑁 + 1))) · (((𝑁 + 1) / e)↑(𝑁 + 1)))) = (((!‘𝑁) · (𝑁 + 1)) / ((√‘(2 · (𝑁 + 1))) · (((𝑁 + 1) / e)↑(𝑁 + 1)))))
165158rpcnd 12854 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℕ → ((√‘(2 · (𝑁 + 1))) · (((𝑁 + 1) / e)↑(𝑁 + 1))) ∈ ℂ)
166158rpne0d 12857 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℕ → ((√‘(2 · (𝑁 + 1))) · (((𝑁 + 1) / e)↑(𝑁 + 1))) ≠ 0)
167102, 22, 165, 166divassd 11866 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ → (((!‘𝑁) · (𝑁 + 1)) / ((√‘(2 · (𝑁 + 1))) · (((𝑁 + 1) / e)↑(𝑁 + 1)))) = ((!‘𝑁) · ((𝑁 + 1) / ((√‘(2 · (𝑁 + 1))) · (((𝑁 + 1) / e)↑(𝑁 + 1))))))
168164, 167eqtrd 2777 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ → ((!‘(𝑁 + 1)) / ((√‘(2 · (𝑁 + 1))) · (((𝑁 + 1) / e)↑(𝑁 + 1)))) = ((!‘𝑁) · ((𝑁 + 1) / ((√‘(2 · (𝑁 + 1))) · (((𝑁 + 1) / e)↑(𝑁 + 1))))))
169168oveq2d 7333 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → (((!‘𝑁) / ((√‘(2 · 𝑁)) · ((𝑁 / e)↑𝑁))) / ((!‘(𝑁 + 1)) / ((√‘(2 · (𝑁 + 1))) · (((𝑁 + 1) / e)↑(𝑁 + 1))))) = (((!‘𝑁) / ((√‘(2 · 𝑁)) · ((𝑁 / e)↑𝑁))) / ((!‘𝑁) · ((𝑁 + 1) / ((√‘(2 · (𝑁 + 1))) · (((𝑁 + 1) / e)↑(𝑁 + 1)))))))
17090rpcnd 12854 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ → ((√‘(2 · 𝑁)) · ((𝑁 / e)↑𝑁)) ∈ ℂ)
17122, 165, 166divcld 11831 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑁 + 1) / ((√‘(2 · (𝑁 + 1))) · (((𝑁 + 1) / e)↑(𝑁 + 1)))) ∈ ℂ)
172102, 171mulcld 11075 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ → ((!‘𝑁) · ((𝑁 + 1) / ((√‘(2 · (𝑁 + 1))) · (((𝑁 + 1) / e)↑(𝑁 + 1))))) ∈ ℂ)
17390rpne0d 12857 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ → ((√‘(2 · 𝑁)) · ((𝑁 / e)↑𝑁)) ≠ 0)
17485rpne0d 12857 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ → (!‘𝑁) ≠ 0)
17522, 165, 26, 166divne0d 11847 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑁 + 1) / ((√‘(2 · (𝑁 + 1))) · (((𝑁 + 1) / e)↑(𝑁 + 1)))) ≠ 0)
176102, 171, 174, 175mulne0d 11707 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ → ((!‘𝑁) · ((𝑁 + 1) / ((√‘(2 · (𝑁 + 1))) · (((𝑁 + 1) / e)↑(𝑁 + 1))))) ≠ 0)
177102, 170, 172, 173, 176divdiv32d 11856 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → (((!‘𝑁) / ((√‘(2 · 𝑁)) · ((𝑁 / e)↑𝑁))) / ((!‘𝑁) · ((𝑁 + 1) / ((√‘(2 · (𝑁 + 1))) · (((𝑁 + 1) / e)↑(𝑁 + 1)))))) = (((!‘𝑁) / ((!‘𝑁) · ((𝑁 + 1) / ((√‘(2 · (𝑁 + 1))) · (((𝑁 + 1) / e)↑(𝑁 + 1)))))) / ((√‘(2 · 𝑁)) · ((𝑁 / e)↑𝑁))))
178102, 102, 171, 174, 175divdiv1d 11862 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℕ → (((!‘𝑁) / (!‘𝑁)) / ((𝑁 + 1) / ((√‘(2 · (𝑁 + 1))) · (((𝑁 + 1) / e)↑(𝑁 + 1))))) = ((!‘𝑁) / ((!‘𝑁) · ((𝑁 + 1) / ((√‘(2 · (𝑁 + 1))) · (((𝑁 + 1) / e)↑(𝑁 + 1)))))))
179178eqcomd 2743 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ → ((!‘𝑁) / ((!‘𝑁) · ((𝑁 + 1) / ((√‘(2 · (𝑁 + 1))) · (((𝑁 + 1) / e)↑(𝑁 + 1)))))) = (((!‘𝑁) / (!‘𝑁)) / ((𝑁 + 1) / ((√‘(2 · (𝑁 + 1))) · (((𝑁 + 1) / e)↑(𝑁 + 1))))))
180179oveq1d 7332 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ → (((!‘𝑁) / ((!‘𝑁) · ((𝑁 + 1) / ((√‘(2 · (𝑁 + 1))) · (((𝑁 + 1) / e)↑(𝑁 + 1)))))) / ((√‘(2 · 𝑁)) · ((𝑁 / e)↑𝑁))) = ((((!‘𝑁) / (!‘𝑁)) / ((𝑁 + 1) / ((√‘(2 · (𝑁 + 1))) · (((𝑁 + 1) / e)↑(𝑁 + 1))))) / ((√‘(2 · 𝑁)) · ((𝑁 / e)↑𝑁))))
181102, 174dividd 11829 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℕ → ((!‘𝑁) / (!‘𝑁)) = 1)
182181oveq1d 7332 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ → (((!‘𝑁) / (!‘𝑁)) / ((𝑁 + 1) / ((√‘(2 · (𝑁 + 1))) · (((𝑁 + 1) / e)↑(𝑁 + 1))))) = (1 / ((𝑁 + 1) / ((√‘(2 · (𝑁 + 1))) · (((𝑁 + 1) / e)↑(𝑁 + 1))))))
183182oveq1d 7332 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ → ((((!‘𝑁) / (!‘𝑁)) / ((𝑁 + 1) / ((√‘(2 · (𝑁 + 1))) · (((𝑁 + 1) / e)↑(𝑁 + 1))))) / ((√‘(2 · 𝑁)) · ((𝑁 / e)↑𝑁))) = ((1 / ((𝑁 + 1) / ((√‘(2 · (𝑁 + 1))) · (((𝑁 + 1) / e)↑(𝑁 + 1))))) / ((√‘(2 · 𝑁)) · ((𝑁 / e)↑𝑁))))
18422, 165, 26, 166recdivd 11848 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℕ → (1 / ((𝑁 + 1) / ((√‘(2 · (𝑁 + 1))) · (((𝑁 + 1) / e)↑(𝑁 + 1))))) = (((√‘(2 · (𝑁 + 1))) · (((𝑁 + 1) / e)↑(𝑁 + 1))) / (𝑁 + 1)))
185184oveq1d 7332 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ → ((1 / ((𝑁 + 1) / ((√‘(2 · (𝑁 + 1))) · (((𝑁 + 1) / e)↑(𝑁 + 1))))) / ((√‘(2 · 𝑁)) · ((𝑁 / e)↑𝑁))) = ((((√‘(2 · (𝑁 + 1))) · (((𝑁 + 1) / e)↑(𝑁 + 1))) / (𝑁 + 1)) / ((√‘(2 · 𝑁)) · ((𝑁 / e)↑𝑁))))
186165, 22, 26divcld 11831 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℕ → (((√‘(2 · (𝑁 + 1))) · (((𝑁 + 1) / e)↑(𝑁 + 1))) / (𝑁 + 1)) ∈ ℂ)
18787rpcnd 12854 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℕ → (√‘(2 · 𝑁)) ∈ ℂ)
18889rpcnd 12854 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑁 / e)↑𝑁) ∈ ℂ)
18989rpne0d 12857 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑁 / e)↑𝑁) ≠ 0)
190186, 187, 188, 119, 189divdiv1d 11862 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℕ → (((((√‘(2 · (𝑁 + 1))) · (((𝑁 + 1) / e)↑(𝑁 + 1))) / (𝑁 + 1)) / (√‘(2 · 𝑁))) / ((𝑁 / e)↑𝑁)) = ((((√‘(2 · (𝑁 + 1))) · (((𝑁 + 1) / e)↑(𝑁 + 1))) / (𝑁 + 1)) / ((√‘(2 · 𝑁)) · ((𝑁 / e)↑𝑁))))
191165, 22, 187, 26, 119divdiv32d 11856 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ ℕ → ((((√‘(2 · (𝑁 + 1))) · (((𝑁 + 1) / e)↑(𝑁 + 1))) / (𝑁 + 1)) / (√‘(2 · 𝑁))) = ((((√‘(2 · (𝑁 + 1))) · (((𝑁 + 1) / e)↑(𝑁 + 1))) / (√‘(2 · 𝑁))) / (𝑁 + 1)))
192154rpcnd 12854 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑁 ∈ ℕ → (√‘(2 · (𝑁 + 1))) ∈ ℂ)
193157rpcnd 12854 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑁 ∈ ℕ → (((𝑁 + 1) / e)↑(𝑁 + 1)) ∈ ℂ)
194192, 193, 187, 119div23d 11868 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑁 ∈ ℕ → (((√‘(2 · (𝑁 + 1))) · (((𝑁 + 1) / e)↑(𝑁 + 1))) / (√‘(2 · 𝑁))) = (((√‘(2 · (𝑁 + 1))) / (√‘(2 · 𝑁))) · (((𝑁 + 1) / e)↑(𝑁 + 1))))
19531rpred 12852 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑁 ∈ ℕ → 2 ∈ ℝ)
19631rpge0d 12856 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑁 ∈ ℕ → 0 ≤ 2)
19721nnred 12068 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 + 1) ∈ ℝ)
198149nn0ge0d 12376 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑁 ∈ ℕ → 0 ≤ (𝑁 + 1))
199195, 196, 197, 198sqrtmuld 15215 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑁 ∈ ℕ → (√‘(2 · (𝑁 + 1))) = ((√‘2) · (√‘(𝑁 + 1))))
200195, 196, 1, 3sqrtmuld 15215 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑁 ∈ ℕ → (√‘(2 · 𝑁)) = ((√‘2) · (√‘𝑁)))
201199, 200oveq12d 7335 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑁 ∈ ℕ → ((√‘(2 · (𝑁 + 1))) / (√‘(2 · 𝑁))) = (((√‘2) · (√‘(𝑁 + 1))) / ((√‘2) · (√‘𝑁))))
20229sqrtcld 15228 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑁 ∈ ℕ → (√‘2) ∈ ℂ)
20322sqrtcld 15228 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑁 ∈ ℕ → (√‘(𝑁 + 1)) ∈ ℂ)
20423sqrtcld 15228 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑁 ∈ ℕ → (√‘𝑁) ∈ ℂ)
20531rpsqrtcld 15202 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑁 ∈ ℕ → (√‘2) ∈ ℝ+)
206205rpne0d 12857 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑁 ∈ ℕ → (√‘2) ≠ 0)
2075rpsqrtcld 15202 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑁 ∈ ℕ → (√‘𝑁) ∈ ℝ+)
208207rpne0d 12857 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑁 ∈ ℕ → (√‘𝑁) ≠ 0)
209202, 202, 203, 204, 206, 208divmuldivd 11872 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑁 ∈ ℕ → (((√‘2) / (√‘2)) · ((√‘(𝑁 + 1)) / (√‘𝑁))) = (((√‘2) · (√‘(𝑁 + 1))) / ((√‘2) · (√‘𝑁))))
210202, 206dividd 11829 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑁 ∈ ℕ → ((√‘2) / (√‘2)) = 1)
211197, 198, 5sqrtdivd 15214 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑁 ∈ ℕ → (√‘((𝑁 + 1) / 𝑁)) = ((√‘(𝑁 + 1)) / (√‘𝑁)))
212211eqcomd 2743 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑁 ∈ ℕ → ((√‘(𝑁 + 1)) / (√‘𝑁)) = (√‘((𝑁 + 1) / 𝑁)))
213210, 212oveq12d 7335 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑁 ∈ ℕ → (((√‘2) / (√‘2)) · ((√‘(𝑁 + 1)) / (√‘𝑁))) = (1 · (√‘((𝑁 + 1) / 𝑁))))
214201, 209, 2133eqtr2d 2783 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑁 ∈ ℕ → ((√‘(2 · (𝑁 + 1))) / (√‘(2 · 𝑁))) = (1 · (√‘((𝑁 + 1) / 𝑁))))
215214oveq1d 7332 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑁 ∈ ℕ → (((√‘(2 · (𝑁 + 1))) / (√‘(2 · 𝑁))) · (((𝑁 + 1) / e)↑(𝑁 + 1))) = ((1 · (√‘((𝑁 + 1) / 𝑁))) · (((𝑁 + 1) / e)↑(𝑁 + 1))))
21625sqrtcld 15228 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑁 ∈ ℕ → (√‘((𝑁 + 1) / 𝑁)) ∈ ℂ)
217216mulid2d 11073 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑁 ∈ ℕ → (1 · (√‘((𝑁 + 1) / 𝑁))) = (√‘((𝑁 + 1) / 𝑁)))
218217oveq1d 7332 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑁 ∈ ℕ → ((1 · (√‘((𝑁 + 1) / 𝑁))) · (((𝑁 + 1) / e)↑(𝑁 + 1))) = ((√‘((𝑁 + 1) / 𝑁)) · (((𝑁 + 1) / e)↑(𝑁 + 1))))
219194, 215, 2183eqtrd 2781 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 ∈ ℕ → (((√‘(2 · (𝑁 + 1))) · (((𝑁 + 1) / e)↑(𝑁 + 1))) / (√‘(2 · 𝑁))) = ((√‘((𝑁 + 1) / 𝑁)) · (((𝑁 + 1) / e)↑(𝑁 + 1))))
220219oveq1d 7332 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ ℕ → ((((√‘(2 · (𝑁 + 1))) · (((𝑁 + 1) / e)↑(𝑁 + 1))) / (√‘(2 · 𝑁))) / (𝑁 + 1)) = (((√‘((𝑁 + 1) / 𝑁)) · (((𝑁 + 1) / e)↑(𝑁 + 1))) / (𝑁 + 1)))
221191, 220eqtrd 2777 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℕ → ((((√‘(2 · (𝑁 + 1))) · (((𝑁 + 1) / e)↑(𝑁 + 1))) / (𝑁 + 1)) / (√‘(2 · 𝑁))) = (((√‘((𝑁 + 1) / 𝑁)) · (((𝑁 + 1) / e)↑(𝑁 + 1))) / (𝑁 + 1)))
222221oveq1d 7332 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℕ → (((((√‘(2 · (𝑁 + 1))) · (((𝑁 + 1) / e)↑(𝑁 + 1))) / (𝑁 + 1)) / (√‘(2 · 𝑁))) / ((𝑁 / e)↑𝑁)) = ((((√‘((𝑁 + 1) / 𝑁)) · (((𝑁 + 1) / e)↑(𝑁 + 1))) / (𝑁 + 1)) / ((𝑁 / e)↑𝑁)))
223190, 222eqtr3d 2779 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ → ((((√‘(2 · (𝑁 + 1))) · (((𝑁 + 1) / e)↑(𝑁 + 1))) / (𝑁 + 1)) / ((√‘(2 · 𝑁)) · ((𝑁 / e)↑𝑁))) = ((((√‘((𝑁 + 1) / 𝑁)) · (((𝑁 + 1) / e)↑(𝑁 + 1))) / (𝑁 + 1)) / ((𝑁 / e)↑𝑁)))
224216, 193mulcld 11075 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℕ → ((√‘((𝑁 + 1) / 𝑁)) · (((𝑁 + 1) / e)↑(𝑁 + 1))) ∈ ℂ)
225224, 22, 188, 26, 189divdiv32d 11856 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℕ → ((((√‘((𝑁 + 1) / 𝑁)) · (((𝑁 + 1) / e)↑(𝑁 + 1))) / (𝑁 + 1)) / ((𝑁 / e)↑𝑁)) = ((((√‘((𝑁 + 1) / 𝑁)) · (((𝑁 + 1) / e)↑(𝑁 + 1))) / ((𝑁 / e)↑𝑁)) / (𝑁 + 1)))
226216, 193, 188, 189divassd 11866 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ ℕ → (((√‘((𝑁 + 1) / 𝑁)) · (((𝑁 + 1) / e)↑(𝑁 + 1))) / ((𝑁 / e)↑𝑁)) = ((√‘((𝑁 + 1) / 𝑁)) · ((((𝑁 + 1) / e)↑(𝑁 + 1)) / ((𝑁 / e)↑𝑁))))
22712rpcnd 12854 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑁 ∈ ℕ → e ∈ ℂ)
22812rpne0d 12857 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑁 ∈ ℕ → e ≠ 0)
22922, 227, 228, 149expdivd 13958 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑁 ∈ ℕ → (((𝑁 + 1) / e)↑(𝑁 + 1)) = (((𝑁 + 1)↑(𝑁 + 1)) / (e↑(𝑁 + 1))))
23023, 227, 228, 2expdivd 13958 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑁 / e)↑𝑁) = ((𝑁𝑁) / (e↑𝑁)))
231229, 230oveq12d 7335 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 ∈ ℕ → ((((𝑁 + 1) / e)↑(𝑁 + 1)) / ((𝑁 / e)↑𝑁)) = ((((𝑁 + 1)↑(𝑁 + 1)) / (e↑(𝑁 + 1))) / ((𝑁𝑁) / (e↑𝑁))))
232231oveq2d 7333 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ ℕ → ((√‘((𝑁 + 1) / 𝑁)) · ((((𝑁 + 1) / e)↑(𝑁 + 1)) / ((𝑁 / e)↑𝑁))) = ((√‘((𝑁 + 1) / 𝑁)) · ((((𝑁 + 1)↑(𝑁 + 1)) / (e↑(𝑁 + 1))) / ((𝑁𝑁) / (e↑𝑁)))))
23322, 149expcld 13944 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑁 + 1)↑(𝑁 + 1)) ∈ ℂ)
234227, 149expcld 13944 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑁 ∈ ℕ → (e↑(𝑁 + 1)) ∈ ℂ)
23523, 2expcld 13944 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁𝑁) ∈ ℂ)
236227, 2expcld 13944 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑁 ∈ ℕ → (e↑𝑁) ∈ ℂ)
237227, 228, 156expne0d 13950 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑁 ∈ ℕ → (e↑(𝑁 + 1)) ≠ 0)
238227, 228, 8expne0d 13950 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑁 ∈ ℕ → (e↑𝑁) ≠ 0)
23923, 24, 8expne0d 13950 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁𝑁) ≠ 0)
240233, 234, 235, 236, 237, 238, 239divdivdivd 11878 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑁 ∈ ℕ → ((((𝑁 + 1)↑(𝑁 + 1)) / (e↑(𝑁 + 1))) / ((𝑁𝑁) / (e↑𝑁))) = ((((𝑁 + 1)↑(𝑁 + 1)) · (e↑𝑁)) / ((e↑(𝑁 + 1)) · (𝑁𝑁))))
241233, 236mulcomd 11076 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑁 ∈ ℕ → (((𝑁 + 1)↑(𝑁 + 1)) · (e↑𝑁)) = ((e↑𝑁) · ((𝑁 + 1)↑(𝑁 + 1))))
242241oveq1d 7332 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑁 ∈ ℕ → ((((𝑁 + 1)↑(𝑁 + 1)) · (e↑𝑁)) / ((e↑(𝑁 + 1)) · (𝑁𝑁))) = (((e↑𝑁) · ((𝑁 + 1)↑(𝑁 + 1))) / ((e↑(𝑁 + 1)) · (𝑁𝑁))))
243236, 234, 233, 235, 237, 239divmuldivd 11872 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑁 ∈ ℕ → (((e↑𝑁) / (e↑(𝑁 + 1))) · (((𝑁 + 1)↑(𝑁 + 1)) / (𝑁𝑁))) = (((e↑𝑁) · ((𝑁 + 1)↑(𝑁 + 1))) / ((e↑(𝑁 + 1)) · (𝑁𝑁))))
244227, 2expp1d 13945 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑁 ∈ ℕ → (e↑(𝑁 + 1)) = ((e↑𝑁) · e))
245244oveq2d 7333 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑁 ∈ ℕ → ((e↑𝑁) / (e↑(𝑁 + 1))) = ((e↑𝑁) / ((e↑𝑁) · e)))
246236, 236, 227, 238, 228divdiv1d 11862 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑁 ∈ ℕ → (((e↑𝑁) / (e↑𝑁)) / e) = ((e↑𝑁) / ((e↑𝑁) · e)))
247236, 238dividd 11829 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑁 ∈ ℕ → ((e↑𝑁) / (e↑𝑁)) = 1)
248247oveq1d 7332 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑁 ∈ ℕ → (((e↑𝑁) / (e↑𝑁)) / e) = (1 / e))
249245, 246, 2483eqtr2d 2783 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑁 ∈ ℕ → ((e↑𝑁) / (e↑(𝑁 + 1))) = (1 / e))
250249oveq1d 7332 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑁 ∈ ℕ → (((e↑𝑁) / (e↑(𝑁 + 1))) · (((𝑁 + 1)↑(𝑁 + 1)) / (𝑁𝑁))) = ((1 / e) · (((𝑁 + 1)↑(𝑁 + 1)) / (𝑁𝑁))))
251243, 250eqtr3d 2779 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑁 ∈ ℕ → (((e↑𝑁) · ((𝑁 + 1)↑(𝑁 + 1))) / ((e↑(𝑁 + 1)) · (𝑁𝑁))) = ((1 / e) · (((𝑁 + 1)↑(𝑁 + 1)) / (𝑁𝑁))))
252240, 242, 2513eqtrd 2781 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 ∈ ℕ → ((((𝑁 + 1)↑(𝑁 + 1)) / (e↑(𝑁 + 1))) / ((𝑁𝑁) / (e↑𝑁))) = ((1 / e) · (((𝑁 + 1)↑(𝑁 + 1)) / (𝑁𝑁))))
253252oveq2d 7333 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ ℕ → ((√‘((𝑁 + 1) / 𝑁)) · ((((𝑁 + 1)↑(𝑁 + 1)) / (e↑(𝑁 + 1))) / ((𝑁𝑁) / (e↑𝑁)))) = ((√‘((𝑁 + 1) / 𝑁)) · ((1 / e) · (((𝑁 + 1)↑(𝑁 + 1)) / (𝑁𝑁)))))
254226, 232, 2533eqtrd 2781 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℕ → (((√‘((𝑁 + 1) / 𝑁)) · (((𝑁 + 1) / e)↑(𝑁 + 1))) / ((𝑁 / e)↑𝑁)) = ((√‘((𝑁 + 1) / 𝑁)) · ((1 / e) · (((𝑁 + 1)↑(𝑁 + 1)) / (𝑁𝑁)))))
255254oveq1d 7332 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℕ → ((((√‘((𝑁 + 1) / 𝑁)) · (((𝑁 + 1) / e)↑(𝑁 + 1))) / ((𝑁 / e)↑𝑁)) / (𝑁 + 1)) = (((√‘((𝑁 + 1) / 𝑁)) · ((1 / e) · (((𝑁 + 1)↑(𝑁 + 1)) / (𝑁𝑁)))) / (𝑁 + 1)))
256233, 235, 239divcld 11831 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑁 ∈ ℕ → (((𝑁 + 1)↑(𝑁 + 1)) / (𝑁𝑁)) ∈ ℂ)
25735, 227, 256, 228div32d 11854 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 ∈ ℕ → ((1 / e) · (((𝑁 + 1)↑(𝑁 + 1)) / (𝑁𝑁))) = (1 · ((((𝑁 + 1)↑(𝑁 + 1)) / (𝑁𝑁)) / e)))
258256, 227, 228divcld 11831 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑁 ∈ ℕ → ((((𝑁 + 1)↑(𝑁 + 1)) / (𝑁𝑁)) / e) ∈ ℂ)
259258mulid2d 11073 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 ∈ ℕ → (1 · ((((𝑁 + 1)↑(𝑁 + 1)) / (𝑁𝑁)) / e)) = ((((𝑁 + 1)↑(𝑁 + 1)) / (𝑁𝑁)) / e))
260257, 259eqtrd 2777 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ ℕ → ((1 / e) · (((𝑁 + 1)↑(𝑁 + 1)) / (𝑁𝑁))) = ((((𝑁 + 1)↑(𝑁 + 1)) / (𝑁𝑁)) / e))
261260oveq2d 7333 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℕ → (((√‘((𝑁 + 1) / 𝑁)) / (𝑁 + 1)) · ((1 / e) · (((𝑁 + 1)↑(𝑁 + 1)) / (𝑁𝑁)))) = (((√‘((𝑁 + 1) / 𝑁)) / (𝑁 + 1)) · ((((𝑁 + 1)↑(𝑁 + 1)) / (𝑁𝑁)) / e)))
262227, 228reccld 11824 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 ∈ ℕ → (1 / e) ∈ ℂ)
263262, 256mulcld 11075 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ ℕ → ((1 / e) · (((𝑁 + 1)↑(𝑁 + 1)) / (𝑁𝑁))) ∈ ℂ)
264216, 263, 22, 26div23d 11868 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℕ → (((√‘((𝑁 + 1) / 𝑁)) · ((1 / e) · (((𝑁 + 1)↑(𝑁 + 1)) / (𝑁𝑁)))) / (𝑁 + 1)) = (((√‘((𝑁 + 1) / 𝑁)) / (𝑁 + 1)) · ((1 / e) · (((𝑁 + 1)↑(𝑁 + 1)) / (𝑁𝑁)))))
265216, 22, 26divcld 11831 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ ℕ → ((√‘((𝑁 + 1) / 𝑁)) / (𝑁 + 1)) ∈ ℂ)
266265, 256, 227, 228divassd 11866 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℕ → ((((√‘((𝑁 + 1) / 𝑁)) / (𝑁 + 1)) · (((𝑁 + 1)↑(𝑁 + 1)) / (𝑁𝑁))) / e) = (((√‘((𝑁 + 1) / 𝑁)) / (𝑁 + 1)) · ((((𝑁 + 1)↑(𝑁 + 1)) / (𝑁𝑁)) / e)))
267261, 264, 2663eqtr4d 2787 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℕ → (((√‘((𝑁 + 1) / 𝑁)) · ((1 / e) · (((𝑁 + 1)↑(𝑁 + 1)) / (𝑁𝑁)))) / (𝑁 + 1)) = ((((√‘((𝑁 + 1) / 𝑁)) / (𝑁 + 1)) · (((𝑁 + 1)↑(𝑁 + 1)) / (𝑁𝑁))) / e))
268225, 255, 2673eqtrd 2781 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ → ((((√‘((𝑁 + 1) / 𝑁)) · (((𝑁 + 1) / e)↑(𝑁 + 1))) / (𝑁 + 1)) / ((𝑁 / e)↑𝑁)) = ((((√‘((𝑁 + 1) / 𝑁)) / (𝑁 + 1)) · (((𝑁 + 1)↑(𝑁 + 1)) / (𝑁𝑁))) / e))
269185, 223, 2683eqtrd 2781 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ → ((1 / ((𝑁 + 1) / ((√‘(2 · (𝑁 + 1))) · (((𝑁 + 1) / e)↑(𝑁 + 1))))) / ((√‘(2 · 𝑁)) · ((𝑁 / e)↑𝑁))) = ((((√‘((𝑁 + 1) / 𝑁)) / (𝑁 + 1)) · (((𝑁 + 1)↑(𝑁 + 1)) / (𝑁𝑁))) / e))
270180, 183, 2693eqtrd 2781 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → (((!‘𝑁) / ((!‘𝑁) · ((𝑁 + 1) / ((√‘(2 · (𝑁 + 1))) · (((𝑁 + 1) / e)↑(𝑁 + 1)))))) / ((√‘(2 · 𝑁)) · ((𝑁 / e)↑𝑁))) = ((((√‘((𝑁 + 1) / 𝑁)) / (𝑁 + 1)) · (((𝑁 + 1)↑(𝑁 + 1)) / (𝑁𝑁))) / e))
271169, 177, 2703eqtrd 2781 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → (((!‘𝑁) / ((√‘(2 · 𝑁)) · ((𝑁 / e)↑𝑁))) / ((!‘(𝑁 + 1)) / ((√‘(2 · (𝑁 + 1))) · (((𝑁 + 1) / e)↑(𝑁 + 1))))) = ((((√‘((𝑁 + 1) / 𝑁)) / (𝑁 + 1)) · (((𝑁 + 1)↑(𝑁 + 1)) / (𝑁𝑁))) / e))
272216, 22, 256, 26div32d 11854 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ → (((√‘((𝑁 + 1) / 𝑁)) / (𝑁 + 1)) · (((𝑁 + 1)↑(𝑁 + 1)) / (𝑁𝑁))) = ((√‘((𝑁 + 1) / 𝑁)) · ((((𝑁 + 1)↑(𝑁 + 1)) / (𝑁𝑁)) / (𝑁 + 1))))
27322, 2expp1d 13945 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑁 + 1)↑(𝑁 + 1)) = (((𝑁 + 1)↑𝑁) · (𝑁 + 1)))
274273oveq1d 7332 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ ℕ → (((𝑁 + 1)↑(𝑁 + 1)) / (𝑁 + 1)) = ((((𝑁 + 1)↑𝑁) · (𝑁 + 1)) / (𝑁 + 1)))
27522, 2expcld 13944 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑁 + 1)↑𝑁) ∈ ℂ)
276275, 22, 26divcan4d 11837 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ ℕ → ((((𝑁 + 1)↑𝑁) · (𝑁 + 1)) / (𝑁 + 1)) = ((𝑁 + 1)↑𝑁))
277274, 276eqtrd 2777 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℕ → (((𝑁 + 1)↑(𝑁 + 1)) / (𝑁 + 1)) = ((𝑁 + 1)↑𝑁))
278277oveq1d 7332 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℕ → ((((𝑁 + 1)↑(𝑁 + 1)) / (𝑁 + 1)) / (𝑁𝑁)) = (((𝑁 + 1)↑𝑁) / (𝑁𝑁)))
279233, 235, 22, 239, 26divdiv32d 11856 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℕ → ((((𝑁 + 1)↑(𝑁 + 1)) / (𝑁𝑁)) / (𝑁 + 1)) = ((((𝑁 + 1)↑(𝑁 + 1)) / (𝑁 + 1)) / (𝑁𝑁)))
28022, 23, 24, 2expdivd 13958 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℕ → (((𝑁 + 1) / 𝑁)↑𝑁) = (((𝑁 + 1)↑𝑁) / (𝑁𝑁)))
281278, 279, 2803eqtr4d 2787 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ → ((((𝑁 + 1)↑(𝑁 + 1)) / (𝑁𝑁)) / (𝑁 + 1)) = (((𝑁 + 1) / 𝑁)↑𝑁))
282281oveq2d 7333 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ → ((√‘((𝑁 + 1) / 𝑁)) · ((((𝑁 + 1)↑(𝑁 + 1)) / (𝑁𝑁)) / (𝑁 + 1))) = ((√‘((𝑁 + 1) / 𝑁)) · (((𝑁 + 1) / 𝑁)↑𝑁)))
283272, 282eqtrd 2777 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → (((√‘((𝑁 + 1) / 𝑁)) / (𝑁 + 1)) · (((𝑁 + 1)↑(𝑁 + 1)) / (𝑁𝑁))) = ((√‘((𝑁 + 1) / 𝑁)) · (((𝑁 + 1) / 𝑁)↑𝑁)))
284283oveq1d 7332 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → ((((√‘((𝑁 + 1) / 𝑁)) / (𝑁 + 1)) · (((𝑁 + 1)↑(𝑁 + 1)) / (𝑁𝑁))) / e) = (((√‘((𝑁 + 1) / 𝑁)) · (((𝑁 + 1) / 𝑁)↑𝑁)) / e))
285161, 271, 2843eqtrd 2781 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ → ((𝐴𝑁) / (𝐴‘(𝑁 + 1))) = (((√‘((𝑁 + 1) / 𝑁)) · (((𝑁 + 1) / 𝑁)↑𝑁)) / e))
286285fveq2d 6816 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ → (log‘((𝐴𝑁) / (𝐴‘(𝑁 + 1)))) = (log‘(((√‘((𝑁 + 1) / 𝑁)) · (((𝑁 + 1) / 𝑁)↑𝑁)) / e)))
28781, 82, 2863eqtr2d 2783 . 2 (𝑁 ∈ ℕ → ((𝐵𝑁) − (𝐵‘(𝑁 + 1))) = (log‘(((√‘((𝑁 + 1) / 𝑁)) · (((𝑁 + 1) / 𝑁)↑𝑁)) / e)))
28835, 43addcld 11074 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → (1 + (2 · 𝑁)) ∈ ℂ)
289288halfcld 12298 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → ((1 + (2 · 𝑁)) / 2) ∈ ℂ)
290289, 28mulcld 11075 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ → (((1 + (2 · 𝑁)) / 2) · (log‘((𝑁 + 1) / 𝑁))) ∈ ℂ)
291290, 35subcld 11412 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ → ((((1 + (2 · 𝑁)) / 2) · (log‘((𝑁 + 1) / 𝑁))) − 1) ∈ ℂ)
292 stirlinglem4.3 . . . . 5 𝐽 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((((1 + (2 · 𝑛)) / 2) · (log‘((𝑛 + 1) / 𝑛))) − 1))
293292a1i 11 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((((1 + (2 · 𝑁)) / 2) · (log‘((𝑁 + 1) / 𝑁))) − 1) ∈ ℂ) → 𝐽 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((((1 + (2 · 𝑛)) / 2) · (log‘((𝑛 + 1) / 𝑛))) − 1)))
294 simpr 485 . . . . . . . . 9 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((((1 + (2 · 𝑁)) / 2) · (log‘((𝑁 + 1) / 𝑁))) − 1) ∈ ℂ) ∧ 𝑛 = 𝑁) → 𝑛 = 𝑁)
295294oveq2d 7333 . . . . . . . 8 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((((1 + (2 · 𝑁)) / 2) · (log‘((𝑁 + 1) / 𝑁))) − 1) ∈ ℂ) ∧ 𝑛 = 𝑁) → (2 · 𝑛) = (2 · 𝑁))
296295oveq2d 7333 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((((1 + (2 · 𝑁)) / 2) · (log‘((𝑁 + 1) / 𝑁))) − 1) ∈ ℂ) ∧ 𝑛 = 𝑁) → (1 + (2 · 𝑛)) = (1 + (2 · 𝑁)))
297296oveq1d 7332 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((((1 + (2 · 𝑁)) / 2) · (log‘((𝑁 + 1) / 𝑁))) − 1) ∈ ℂ) ∧ 𝑛 = 𝑁) → ((1 + (2 · 𝑛)) / 2) = ((1 + (2 · 𝑁)) / 2))
298294oveq1d 7332 . . . . . . . 8 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((((1 + (2 · 𝑁)) / 2) · (log‘((𝑁 + 1) / 𝑁))) − 1) ∈ ℂ) ∧ 𝑛 = 𝑁) → (𝑛 + 1) = (𝑁 + 1))
299298, 294oveq12d 7335 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((((1 + (2 · 𝑁)) / 2) · (log‘((𝑁 + 1) / 𝑁))) − 1) ∈ ℂ) ∧ 𝑛 = 𝑁) → ((𝑛 + 1) / 𝑛) = ((𝑁 + 1) / 𝑁))
300299fveq2d 6816 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((((1 + (2 · 𝑁)) / 2) · (log‘((𝑁 + 1) / 𝑁))) − 1) ∈ ℂ) ∧ 𝑛 = 𝑁) → (log‘((𝑛 + 1) / 𝑛)) = (log‘((𝑁 + 1) / 𝑁)))
301297, 300oveq12d 7335 . . . . 5 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((((1 + (2 · 𝑁)) / 2) · (log‘((𝑁 + 1) / 𝑁))) − 1) ∈ ℂ) ∧ 𝑛 = 𝑁) → (((1 + (2 · 𝑛)) / 2) · (log‘((𝑛 + 1) / 𝑛))) = (((1 + (2 · 𝑁)) / 2) · (log‘((𝑁 + 1) / 𝑁))))
302301oveq1d 7332 . . . 4 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((((1 + (2 · 𝑁)) / 2) · (log‘((𝑁 + 1) / 𝑁))) − 1) ∈ ℂ) ∧ 𝑛 = 𝑁) → ((((1 + (2 · 𝑛)) / 2) · (log‘((𝑛 + 1) / 𝑛))) − 1) = ((((1 + (2 · 𝑁)) / 2) · (log‘((𝑁 + 1) / 𝑁))) − 1))
303 simpl 483 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((((1 + (2 · 𝑁)) / 2) · (log‘((𝑁 + 1) / 𝑁))) − 1) ∈ ℂ) → 𝑁 ∈ ℕ)
304 simpr 485 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((((1 + (2 · 𝑁)) / 2) · (log‘((𝑁 + 1) / 𝑁))) − 1) ∈ ℂ) → ((((1 + (2 · 𝑁)) / 2) · (log‘((𝑁 + 1) / 𝑁))) − 1) ∈ ℂ)
305293, 302, 303, 304fvmptd 6922 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((((1 + (2 · 𝑁)) / 2) · (log‘((𝑁 + 1) / 𝑁))) − 1) ∈ ℂ) → (𝐽𝑁) = ((((1 + (2 · 𝑁)) / 2) · (log‘((𝑁 + 1) / 𝑁))) − 1))
306291, 305mpdan 684 . 2 (𝑁 ∈ ℕ → (𝐽𝑁) = ((((1 + (2 · 𝑁)) / 2) · (log‘((𝑁 + 1) / 𝑁))) − 1))
30752, 287, 3063eqtr4d 2787 1 (𝑁 ∈ ℕ → ((𝐵𝑁) − (𝐵‘(𝑁 + 1))) = (𝐽𝑁))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396   = wceq 1540  wcel 2105  wne 2941  cmpt 5170  cfv 6466  (class class class)co 7317  cc 10949  cr 10950  0cc0 10951  1c1 10952   + caddc 10954   · cmul 10956  cmin 11285   / cdiv 11712  cn 12053  2c2 12108  0cn0 12313  cz 12399  +crp 12810  cexp 13862  !cfa 14067  csqrt 15023  eceu 15851  logclog 25793
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2708  ax-rep 5224  ax-sep 5238  ax-nul 5245  ax-pow 5303  ax-pr 5367  ax-un 7630  ax-inf2 9477  ax-cnex 11007  ax-resscn 11008  ax-1cn 11009  ax-icn 11010  ax-addcl 11011  ax-addrcl 11012  ax-mulcl 11013  ax-mulrcl 11014  ax-mulcom 11015  ax-addass 11016  ax-mulass 11017  ax-distr 11018  ax-i2m1 11019  ax-1ne0 11020  ax-1rid 11021  ax-rnegex 11022  ax-rrecex 11023  ax-cnre 11024  ax-pre-lttri 11025  ax-pre-lttrn 11026  ax-pre-ltadd 11027  ax-pre-mulgt0 11028  ax-pre-sup 11029  ax-addf 11030  ax-mulf 11031
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3350  df-reu 3351  df-rab 3405  df-v 3443  df-sbc 3727  df-csb 3843  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3916  df-nul 4268  df-if 4472  df-pw 4547  df-sn 4572  df-pr 4574  df-tp 4576  df-op 4578  df-uni 4851  df-int 4893  df-iun 4939  df-iin 4940  df-br 5088  df-opab 5150  df-mpt 5171  df-tr 5205  df-id 5507  df-eprel 5513  df-po 5521  df-so 5522  df-fr 5563  df-se 5564  df-we 5565  df-xp 5614  df-rel 5615  df-cnv 5616  df-co 5617  df-dm 5618  df-rn 5619  df-res 5620  df-ima 5621  df-pred 6225  df-ord 6292  df-on 6293  df-lim 6294  df-suc 6295  df-iota 6418  df-fun 6468  df-fn 6469  df-f 6470  df-f1 6471  df-fo 6472  df-f1o 6473  df-fv 6474  df-isom 6475  df-riota 7274  df-ov 7320  df-oprab 7321  df-mpo 7322  df-of 7575  df-om 7760  df-1st 7878  df-2nd 7879  df-supp 8027  df-frecs 8146  df-wrecs 8177  df-recs 8251  df-rdg 8290  df-1o 8346  df-2o 8347  df-er 8548  df-map 8667  df-pm 8668  df-ixp 8736  df-en 8784  df-dom 8785  df-sdom 8786  df-fin 8787  df-fsupp 9206  df-fi 9247  df-sup 9278  df-inf 9279  df-oi 9346  df-card 9775  df-pnf 11091  df-mnf 11092  df-xr 11093  df-ltxr 11094  df-le 11095  df-sub 11287  df-neg 11288  df-div 11713  df-nn 12054  df-2 12116  df-3 12117  df-4 12118  df-5 12119  df-6 12120  df-7 12121  df-8 12122  df-9 12123  df-n0 12314  df-z 12400  df-dec 12518  df-uz 12663  df-q 12769  df-rp 12811  df-xneg 12928  df-xadd 12929  df-xmul 12930  df-ioo 13163  df-ioc 13164  df-ico 13165  df-icc 13166  df-fz 13320  df-fzo 13463  df-fl 13592  df-mod 13670  df-seq 13802  df-exp 13863  df-fac 14068  df-bc 14097  df-hash 14125  df-shft 14857  df-cj 14889  df-re 14890  df-im 14891  df-sqrt 15025  df-abs 15026  df-limsup 15259  df-clim 15276  df-rlim 15277  df-sum 15477  df-ef 15856  df-e 15857  df-sin 15858  df-cos 15859  df-pi 15861  df-struct 16925  df-sets 16942  df-slot 16960  df-ndx 16972  df-base 16990  df-ress 17019  df-plusg 17052  df-mulr 17053  df-starv 17054  df-sca 17055  df-vsca 17056  df-ip 17057  df-tset 17058  df-ple 17059  df-ds 17061  df-unif 17062  df-hom 17063  df-cco 17064  df-rest 17210  df-topn 17211  df-0g 17229  df-gsum 17230  df-topgen 17231  df-pt 17232  df-prds 17235  df-xrs 17290  df-qtop 17295  df-imas 17296  df-xps 17298  df-mre 17372  df-mrc 17373  df-acs 17375  df-mgm 18403  df-sgrp 18452  df-mnd 18463  df-submnd 18508  df-mulg 18777  df-cntz 18999  df-cmn 19463  df-psmet 20672  df-xmet 20673  df-met 20674  df-bl 20675  df-mopn 20676  df-fbas 20677  df-fg 20678  df-cnfld 20681  df-top 22126  df-topon 22143  df-topsp 22165  df-bases 22179  df-cld 22253  df-ntr 22254  df-cls 22255  df-nei 22332  df-lp 22370  df-perf 22371  df-cn 22461  df-cnp 22462  df-haus 22549  df-tx 22796  df-hmeo 22989  df-fil 23080  df-fm 23172  df-flim 23173  df-flf 23174  df-xms 23556  df-ms 23557  df-tms 23558  df-cncf 24124  df-limc 25113  df-dv 25114  df-log 25795  df-cxp 25796
This theorem is referenced by:  stirlinglem9  43873
  Copyright terms: Public domain W3C validator