stirlinglem4 - Mathbox for Glauco Siliprandi

	Mathbox for Glauco Siliprandi		< Previous Next > Nearby theorems
Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > Mathboxes > stirlinglem4		Structured version Visualization version GIF version

Theorem stirlinglem4 45091

Description: Algebraic manipulation of ((𝐵 n ) - ( B (𝑛 + 1))). It will be used in other theorems to show that 𝐵 is decreasing. (Contributed by Glauco Siliprandi, 29-Jun-2017.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
stirlinglem4.1	⊢ 𝐴 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((!‘𝑛) / ((√‘(2 · 𝑛)) · ((𝑛 / e)↑𝑛))))
stirlinglem4.2	⊢ 𝐵 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (log‘(𝐴‘𝑛)))
stirlinglem4.3	⊢ 𝐽 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((((1 + (2 · 𝑛)) / 2) · (log‘((𝑛 + 1) / 𝑛))) − 1))

**Assertion**
Ref	Expression
stirlinglem4	⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((𝐵‘𝑁) − (𝐵‘(𝑁 + 1))) = (𝐽‘𝑁))

Distinct variable group: 𝑛,𝑁 Allowed substitution hints: 𝐴(𝑛) 𝐵(𝑛) 𝐽(𝑛)

Proof of Theorem stirlinglem4 Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnre 12223	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℝ)
2		nnnn0 12483	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℕ₀)
3	2	nn0ge0d 12539	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 0 ≤ 𝑁)
4	1, 3	ge0p1rpd 13050	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 + 1) ∈ ℝ⁺)
5		nnrp 12989	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℝ⁺)
6	4, 5	rpdivcld 13037	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑁 + 1) / 𝑁) ∈ ℝ⁺)
7	6	rpsqrtcld 15362	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (√‘((𝑁 + 1) / 𝑁)) ∈ ℝ⁺)
8		nnz 12583	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℤ)
9	6, 8	rpexpcld 14214	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (((𝑁 + 1) / 𝑁)↑𝑁) ∈ ℝ⁺)
10	7, 9	rpmulcld 13036	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((√‘((𝑁 + 1) / 𝑁)) · (((𝑁 + 1) / 𝑁)↑𝑁)) ∈ ℝ⁺)
11		epr 16155	. . . . 5 ⊢ e ∈ ℝ⁺
12	11	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → e ∈ ℝ⁺)
13	10, 12	relogdivd 26370	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (log‘(((√‘((𝑁 + 1) / 𝑁)) · (((𝑁 + 1) / 𝑁)↑𝑁)) / e)) = ((log‘((√‘((𝑁 + 1) / 𝑁)) · (((𝑁 + 1) / 𝑁)↑𝑁))) − (log‘e)))
14	7, 9	relogmuld 26369	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (log‘((√‘((𝑁 + 1) / 𝑁)) · (((𝑁 + 1) / 𝑁)↑𝑁))) = ((log‘(√‘((𝑁 + 1) / 𝑁))) + (log‘(((𝑁 + 1) / 𝑁)↑𝑁))))
15		logsqrt 26448	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 + 1) / 𝑁) ∈ ℝ⁺ → (log‘(√‘((𝑁 + 1) / 𝑁))) = ((log‘((𝑁 + 1) / 𝑁)) / 2))
16	6, 15	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (log‘(√‘((𝑁 + 1) / 𝑁))) = ((log‘((𝑁 + 1) / 𝑁)) / 2))
17		relogexp 26340	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑁 + 1) / 𝑁) ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (log‘(((𝑁 + 1) / 𝑁)↑𝑁)) = (𝑁 · (log‘((𝑁 + 1) / 𝑁))))
18	6, 8, 17	syl2anc 582	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (log‘(((𝑁 + 1) / 𝑁)↑𝑁)) = (𝑁 · (log‘((𝑁 + 1) / 𝑁))))
19	16, 18	oveq12d 7429	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((log‘(√‘((𝑁 + 1) / 𝑁))) + (log‘(((𝑁 + 1) / 𝑁)↑𝑁))) = (((log‘((𝑁 + 1) / 𝑁)) / 2) + (𝑁 · (log‘((𝑁 + 1) / 𝑁)))))
20	14, 19	eqtrd 2770	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (log‘((√‘((𝑁 + 1) / 𝑁)) · (((𝑁 + 1) / 𝑁)↑𝑁))) = (((log‘((𝑁 + 1) / 𝑁)) / 2) + (𝑁 · (log‘((𝑁 + 1) / 𝑁)))))
21		peano2nn 12228	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 + 1) ∈ ℕ)
22	21	nncnd 12232	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 + 1) ∈ ℂ)
23		nncn 12224	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℂ)
24		nnne0 12250	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ≠ 0)
25	22, 23, 24	divcld 11994	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑁 + 1) / 𝑁) ∈ ℂ)
26	21	nnne0d 12266	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 + 1) ≠ 0)
27	22, 23, 26, 24	divne0d 12010	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑁 + 1) / 𝑁) ≠ 0)
28	25, 27	logcld 26315	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (log‘((𝑁 + 1) / 𝑁)) ∈ ℂ)
29		2cnd 12294	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 2 ∈ ℂ)
30		2rp 12983	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∈ ℝ⁺
31	30	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 2 ∈ ℝ⁺)
32	31	rpne0d 13025	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 2 ≠ 0)
33	28, 29, 32	divrec2d 11998	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((log‘((𝑁 + 1) / 𝑁)) / 2) = ((1 / 2) · (log‘((𝑁 + 1) / 𝑁))))
34	33	oveq1d 7426	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (((log‘((𝑁 + 1) / 𝑁)) / 2) + (𝑁 · (log‘((𝑁 + 1) / 𝑁)))) = (((1 / 2) · (log‘((𝑁 + 1) / 𝑁))) + (𝑁 · (log‘((𝑁 + 1) / 𝑁)))))
35		1cnd 11213	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 1 ∈ ℂ)
36	35	halfcld 12461	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (1 / 2) ∈ ℂ)
37	36, 23, 28	adddird 11243	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (((1 / 2) + 𝑁) · (log‘((𝑁 + 1) / 𝑁))) = (((1 / 2) · (log‘((𝑁 + 1) / 𝑁))) + (𝑁 · (log‘((𝑁 + 1) / 𝑁)))))
38	23, 29, 32	divcan4d 12000	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑁 · 2) / 2) = 𝑁)
39	23, 29	mulcomd 11239	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 · 2) = (2 · 𝑁))
40	39	oveq1d 7426	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑁 · 2) / 2) = ((2 · 𝑁) / 2))
41	38, 40	eqtr3d 2772	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 = ((2 · 𝑁) / 2))
42	41	oveq2d 7427	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((1 / 2) + 𝑁) = ((1 / 2) + ((2 · 𝑁) / 2)))
43	29, 23	mulcld 11238	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (2 · 𝑁) ∈ ℂ)
44	35, 43, 29, 32	divdird 12032	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((1 + (2 · 𝑁)) / 2) = ((1 / 2) + ((2 · 𝑁) / 2)))
45	42, 44	eqtr4d 2773	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((1 / 2) + 𝑁) = ((1 + (2 · 𝑁)) / 2))
46	45	oveq1d 7426	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (((1 / 2) + 𝑁) · (log‘((𝑁 + 1) / 𝑁))) = (((1 + (2 · 𝑁)) / 2) · (log‘((𝑁 + 1) / 𝑁))))
47	37, 46	eqtr3d 2772	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (((1 / 2) · (log‘((𝑁 + 1) / 𝑁))) + (𝑁 · (log‘((𝑁 + 1) / 𝑁)))) = (((1 + (2 · 𝑁)) / 2) · (log‘((𝑁 + 1) / 𝑁))))
48	20, 34, 47	3eqtrd 2774	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (log‘((√‘((𝑁 + 1) / 𝑁)) · (((𝑁 + 1) / 𝑁)↑𝑁))) = (((1 + (2 · 𝑁)) / 2) · (log‘((𝑁 + 1) / 𝑁))))
49		loge 26331	. . . . 5 ⊢ (log‘e) = 1
50	49	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (log‘e) = 1)
51	48, 50	oveq12d 7429	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((log‘((√‘((𝑁 + 1) / 𝑁)) · (((𝑁 + 1) / 𝑁)↑𝑁))) − (log‘e)) = ((((1 + (2 · 𝑁)) / 2) · (log‘((𝑁 + 1) / 𝑁))) − 1))
52	13, 51	eqtrd 2770	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (log‘(((√‘((𝑁 + 1) / 𝑁)) · (((𝑁 + 1) / 𝑁)↑𝑁)) / e)) = ((((1 + (2 · 𝑁)) / 2) · (log‘((𝑁 + 1) / 𝑁))) − 1))
53		stirlinglem4.1	. . . . . . 7 ⊢ 𝐴 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((!‘𝑛) / ((√‘(2 · 𝑛)) · ((𝑛 / e)↑𝑛))))
54	53	stirlinglem2 45089	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝐴‘𝑁) ∈ ℝ⁺)
55	54	relogcld 26367	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (log‘(𝐴‘𝑁)) ∈ ℝ)
56		nfcv 2901	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑛𝑁
57		nfcv 2901	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑛log
58		nfmpt1 5255	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑛(𝑛 ∈ ℕ ↦ ((!‘𝑛) / ((√‘(2 · 𝑛)) · ((𝑛 / e)↑𝑛))))
59	53, 58	nfcxfr 2899	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑛𝐴
60	59, 56	nffv 6900	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑛(𝐴‘𝑁)
61	57, 60	nffv 6900	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑛(log‘(𝐴‘𝑁))
62		2fveq3 6895	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → (log‘(𝐴‘𝑛)) = (log‘(𝐴‘𝑁)))
63		stirlinglem4.2	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (log‘(𝐴‘𝑛)))
64	56, 61, 62, 63	fvmptf 7018	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (log‘(𝐴‘𝑁)) ∈ ℝ) → (𝐵‘𝑁) = (log‘(𝐴‘𝑁)))
65	55, 64	mpdan 683	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝐵‘𝑁) = (log‘(𝐴‘𝑁)))
66		nfcv 2901	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑘(log‘(𝐴‘𝑛))
67		nfcv 2901	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑛𝑘
68	59, 67	nffv 6900	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑛(𝐴‘𝑘)
69	57, 68	nffv 6900	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑛(log‘(𝐴‘𝑘))
70		2fveq3 6895	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → (log‘(𝐴‘𝑛)) = (log‘(𝐴‘𝑘)))
71	66, 69, 70	cbvmpt 5258	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ ↦ (log‘(𝐴‘𝑛))) = (𝑘 ∈ ℕ ↦ (log‘(𝐴‘𝑘)))
72	63, 71	eqtri 2758	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (𝑘 ∈ ℕ ↦ (log‘(𝐴‘𝑘)))
73	72	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝐵 = (𝑘 ∈ ℕ ↦ (log‘(𝐴‘𝑘))))
74		simpr 483	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 = (𝑁 + 1)) → 𝑘 = (𝑁 + 1))
75	74	fveq2d 6894	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 = (𝑁 + 1)) → (𝐴‘𝑘) = (𝐴‘(𝑁 + 1)))
76	75	fveq2d 6894	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 = (𝑁 + 1)) → (log‘(𝐴‘𝑘)) = (log‘(𝐴‘(𝑁 + 1))))
77	53	stirlinglem2 45089	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 + 1) ∈ ℕ → (𝐴‘(𝑁 + 1)) ∈ ℝ⁺)
78	21, 77	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝐴‘(𝑁 + 1)) ∈ ℝ⁺)
79	78	relogcld 26367	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (log‘(𝐴‘(𝑁 + 1))) ∈ ℝ)
80	73, 76, 21, 79	fvmptd 7004	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝐵‘(𝑁 + 1)) = (log‘(𝐴‘(𝑁 + 1))))
81	65, 80	oveq12d 7429	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((𝐵‘𝑁) − (𝐵‘(𝑁 + 1))) = ((log‘(𝐴‘𝑁)) − (log‘(𝐴‘(𝑁 + 1)))))
82	54, 78	relogdivd 26370	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (log‘((𝐴‘𝑁) / (𝐴‘(𝑁 + 1)))) = ((log‘(𝐴‘𝑁)) − (log‘(𝐴‘(𝑁 + 1)))))
83		faccl 14247	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ₀ → (!‘𝑁) ∈ ℕ)
84		nnrp 12989	. . . . . . . . 9 ⊢ ((!‘𝑁) ∈ ℕ → (!‘𝑁) ∈ ℝ⁺)
85	2, 83, 84	3syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (!‘𝑁) ∈ ℝ⁺)
86	31, 5	rpmulcld 13036	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (2 · 𝑁) ∈ ℝ⁺)
87	86	rpsqrtcld 15362	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (√‘(2 · 𝑁)) ∈ ℝ⁺)
88	5, 12	rpdivcld 13037	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 / e) ∈ ℝ⁺)
89	88, 8	rpexpcld 14214	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑁 / e)↑𝑁) ∈ ℝ⁺)
90	87, 89	rpmulcld 13036	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((√‘(2 · 𝑁)) · ((𝑁 / e)↑𝑁)) ∈ ℝ⁺)
91	85, 90	rpdivcld 13037	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((!‘𝑁) / ((√‘(2 · 𝑁)) · ((𝑁 / e)↑𝑁))) ∈ ℝ⁺)
92	53	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((!‘𝑁) / ((√‘(2 · 𝑁)) · ((𝑁 / e)↑𝑁))) ∈ ℝ⁺) → 𝐴 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((!‘𝑛) / ((√‘(2 · 𝑛)) · ((𝑛 / e)↑𝑛)))))
93		simpr 483	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((!‘𝑁) / ((√‘(2 · 𝑁)) · ((𝑁 / e)↑𝑁))) ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑛 = 𝑁) → 𝑛 = 𝑁)
94	93	fveq2d 6894	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((!‘𝑁) / ((√‘(2 · 𝑁)) · ((𝑁 / e)↑𝑁))) ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑛 = 𝑁) → (!‘𝑛) = (!‘𝑁))
95	93	oveq2d 7427	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((!‘𝑁) / ((√‘(2 · 𝑁)) · ((𝑁 / e)↑𝑁))) ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑛 = 𝑁) → (2 · 𝑛) = (2 · 𝑁))
96	95	fveq2d 6894	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((!‘𝑁) / ((√‘(2 · 𝑁)) · ((𝑁 / e)↑𝑁))) ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑛 = 𝑁) → (√‘(2 · 𝑛)) = (√‘(2 · 𝑁)))
97	93	oveq1d 7426	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((!‘𝑁) / ((√‘(2 · 𝑁)) · ((𝑁 / e)↑𝑁))) ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑛 = 𝑁) → (𝑛 / e) = (𝑁 / e))
98	97, 93	oveq12d 7429	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((!‘𝑁) / ((√‘(2 · 𝑁)) · ((𝑁 / e)↑𝑁))) ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑛 = 𝑁) → ((𝑛 / e)↑𝑛) = ((𝑁 / e)↑𝑁))
99	96, 98	oveq12d 7429	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((!‘𝑁) / ((√‘(2 · 𝑁)) · ((𝑁 / e)↑𝑁))) ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑛 = 𝑁) → ((√‘(2 · 𝑛)) · ((𝑛 / e)↑𝑛)) = ((√‘(2 · 𝑁)) · ((𝑁 / e)↑𝑁)))
100	94, 99	oveq12d 7429	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((!‘𝑁) / ((√‘(2 · 𝑁)) · ((𝑁 / e)↑𝑁))) ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑛 = 𝑁) → ((!‘𝑛) / ((√‘(2 · 𝑛)) · ((𝑛 / e)↑𝑛))) = ((!‘𝑁) / ((√‘(2 · 𝑁)) · ((𝑁 / e)↑𝑁))))
101		simpl 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((!‘𝑁) / ((√‘(2 · 𝑁)) · ((𝑁 / e)↑𝑁))) ∈ ℝ⁺) → 𝑁 ∈ ℕ)
102	85	rpcnd 13022	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (!‘𝑁) ∈ ℂ)
103	102	adantr 479	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((!‘𝑁) / ((√‘(2 · 𝑁)) · ((𝑁 / e)↑𝑁))) ∈ ℝ⁺) → (!‘𝑁) ∈ ℂ)
104		2cnd 12294	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((!‘𝑁) / ((√‘(2 · 𝑁)) · ((𝑁 / e)↑𝑁))) ∈ ℝ⁺) → 2 ∈ ℂ)
105	101	nncnd 12232	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((!‘𝑁) / ((√‘(2 · 𝑁)) · ((𝑁 / e)↑𝑁))) ∈ ℝ⁺) → 𝑁 ∈ ℂ)
106	104, 105	mulcld 11238	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((!‘𝑁) / ((√‘(2 · 𝑁)) · ((𝑁 / e)↑𝑁))) ∈ ℝ⁺) → (2 · 𝑁) ∈ ℂ)
107	106	sqrtcld 15388	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((!‘𝑁) / ((√‘(2 · 𝑁)) · ((𝑁 / e)↑𝑁))) ∈ ℝ⁺) → (√‘(2 · 𝑁)) ∈ ℂ)
108		ere 16036	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ e ∈ ℝ
109	108	recni 11232	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ e ∈ ℂ
110	109	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((!‘𝑁) / ((√‘(2 · 𝑁)) · ((𝑁 / e)↑𝑁))) ∈ ℝ⁺) → e ∈ ℂ)
111		0re 11220	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 0 ∈ ℝ
112		epos 16154	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 0 < e
113	111, 112	gtneii 11330	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ e ≠ 0
114	113	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((!‘𝑁) / ((√‘(2 · 𝑁)) · ((𝑁 / e)↑𝑁))) ∈ ℝ⁺) → e ≠ 0)
115	105, 110, 114	divcld 11994	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((!‘𝑁) / ((√‘(2 · 𝑁)) · ((𝑁 / e)↑𝑁))) ∈ ℝ⁺) → (𝑁 / e) ∈ ℂ)
116	101	nnnn0d 12536	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((!‘𝑁) / ((√‘(2 · 𝑁)) · ((𝑁 / e)↑𝑁))) ∈ ℝ⁺) → 𝑁 ∈ ℕ₀)
117	115, 116	expcld 14115	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((!‘𝑁) / ((√‘(2 · 𝑁)) · ((𝑁 / e)↑𝑁))) ∈ ℝ⁺) → ((𝑁 / e)↑𝑁) ∈ ℂ)
118	107, 117	mulcld 11238	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((!‘𝑁) / ((√‘(2 · 𝑁)) · ((𝑁 / e)↑𝑁))) ∈ ℝ⁺) → ((√‘(2 · 𝑁)) · ((𝑁 / e)↑𝑁)) ∈ ℂ)
119	87	rpne0d 13025	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (√‘(2 · 𝑁)) ≠ 0)
120	119	adantr 479	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((!‘𝑁) / ((√‘(2 · 𝑁)) · ((𝑁 / e)↑𝑁))) ∈ ℝ⁺) → (√‘(2 · 𝑁)) ≠ 0)
121	101	nnne0d 12266	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((!‘𝑁) / ((√‘(2 · 𝑁)) · ((𝑁 / e)↑𝑁))) ∈ ℝ⁺) → 𝑁 ≠ 0)
122	105, 110, 121, 114	divne0d 12010	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((!‘𝑁) / ((√‘(2 · 𝑁)) · ((𝑁 / e)↑𝑁))) ∈ ℝ⁺) → (𝑁 / e) ≠ 0)
123	101	nnzd 12589	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((!‘𝑁) / ((√‘(2 · 𝑁)) · ((𝑁 / e)↑𝑁))) ∈ ℝ⁺) → 𝑁 ∈ ℤ)
124	115, 122, 123	expne0d 14121	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((!‘𝑁) / ((√‘(2 · 𝑁)) · ((𝑁 / e)↑𝑁))) ∈ ℝ⁺) → ((𝑁 / e)↑𝑁) ≠ 0)
125	107, 117, 120, 124	mulne0d 11870	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((!‘𝑁) / ((√‘(2 · 𝑁)) · ((𝑁 / e)↑𝑁))) ∈ ℝ⁺) → ((√‘(2 · 𝑁)) · ((𝑁 / e)↑𝑁)) ≠ 0)
126	103, 118, 125	divcld 11994	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((!‘𝑁) / ((√‘(2 · 𝑁)) · ((𝑁 / e)↑𝑁))) ∈ ℝ⁺) → ((!‘𝑁) / ((√‘(2 · 𝑁)) · ((𝑁 / e)↑𝑁))) ∈ ℂ)
127	92, 100, 101, 126	fvmptd 7004	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((!‘𝑁) / ((√‘(2 · 𝑁)) · ((𝑁 / e)↑𝑁))) ∈ ℝ⁺) → (𝐴‘𝑁) = ((!‘𝑁) / ((√‘(2 · 𝑁)) · ((𝑁 / e)↑𝑁))))
128	91, 127	mpdan 683	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝐴‘𝑁) = ((!‘𝑁) / ((√‘(2 · 𝑁)) · ((𝑁 / e)↑𝑁))))
129		nfcv 2901	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑘((!‘𝑛) / ((√‘(2 · 𝑛)) · ((𝑛 / e)↑𝑛)))
130		nfcv 2901	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑛((!‘𝑘) / ((√‘(2 · 𝑘)) · ((𝑘 / e)↑𝑘)))
131		fveq2 6890	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → (!‘𝑛) = (!‘𝑘))
132		oveq2 7419	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → (2 · 𝑛) = (2 · 𝑘))
133	132	fveq2d 6894	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → (√‘(2 · 𝑛)) = (√‘(2 · 𝑘)))
134		oveq1 7418	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → (𝑛 / e) = (𝑘 / e))
135		id 22	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → 𝑛 = 𝑘)
136	134, 135	oveq12d 7429	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → ((𝑛 / e)↑𝑛) = ((𝑘 / e)↑𝑘))
137	133, 136	oveq12d 7429	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → ((√‘(2 · 𝑛)) · ((𝑛 / e)↑𝑛)) = ((√‘(2 · 𝑘)) · ((𝑘 / e)↑𝑘)))
138	131, 137	oveq12d 7429	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → ((!‘𝑛) / ((√‘(2 · 𝑛)) · ((𝑛 / e)↑𝑛))) = ((!‘𝑘) / ((√‘(2 · 𝑘)) · ((𝑘 / e)↑𝑘))))
139	129, 130, 138	cbvmpt 5258	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((!‘𝑛) / ((√‘(2 · 𝑛)) · ((𝑛 / e)↑𝑛)))) = (𝑘 ∈ ℕ ↦ ((!‘𝑘) / ((√‘(2 · 𝑘)) · ((𝑘 / e)↑𝑘))))
140	53, 139	eqtri 2758	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐴 = (𝑘 ∈ ℕ ↦ ((!‘𝑘) / ((√‘(2 · 𝑘)) · ((𝑘 / e)↑𝑘))))
141	140	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝐴 = (𝑘 ∈ ℕ ↦ ((!‘𝑘) / ((√‘(2 · 𝑘)) · ((𝑘 / e)↑𝑘)))))
142	74	fveq2d 6894	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 = (𝑁 + 1)) → (!‘𝑘) = (!‘(𝑁 + 1)))
143	74	oveq2d 7427	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 = (𝑁 + 1)) → (2 · 𝑘) = (2 · (𝑁 + 1)))
144	143	fveq2d 6894	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 = (𝑁 + 1)) → (√‘(2 · 𝑘)) = (√‘(2 · (𝑁 + 1))))
145	74	oveq1d 7426	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 = (𝑁 + 1)) → (𝑘 / e) = ((𝑁 + 1) / e))
146	145, 74	oveq12d 7429	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 = (𝑁 + 1)) → ((𝑘 / e)↑𝑘) = (((𝑁 + 1) / e)↑(𝑁 + 1)))
147	144, 146	oveq12d 7429	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 = (𝑁 + 1)) → ((√‘(2 · 𝑘)) · ((𝑘 / e)↑𝑘)) = ((√‘(2 · (𝑁 + 1))) · (((𝑁 + 1) / e)↑(𝑁 + 1))))
148	142, 147	oveq12d 7429	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 = (𝑁 + 1)) → ((!‘𝑘) / ((√‘(2 · 𝑘)) · ((𝑘 / e)↑𝑘))) = ((!‘(𝑁 + 1)) / ((√‘(2 · (𝑁 + 1))) · (((𝑁 + 1) / e)↑(𝑁 + 1)))))
149	21	nnnn0d 12536	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 + 1) ∈ ℕ₀)
150		faccl 14247	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 + 1) ∈ ℕ₀ → (!‘(𝑁 + 1)) ∈ ℕ)
151		nnrp 12989	. . . . . . . . 9 ⊢ ((!‘(𝑁 + 1)) ∈ ℕ → (!‘(𝑁 + 1)) ∈ ℝ⁺)
152	149, 150, 151	3syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (!‘(𝑁 + 1)) ∈ ℝ⁺)
153	31, 4	rpmulcld 13036	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (2 · (𝑁 + 1)) ∈ ℝ⁺)
154	153	rpsqrtcld 15362	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (√‘(2 · (𝑁 + 1))) ∈ ℝ⁺)
155	4, 12	rpdivcld 13037	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑁 + 1) / e) ∈ ℝ⁺)
156	8	peano2zd 12673	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 + 1) ∈ ℤ)
157	155, 156	rpexpcld 14214	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (((𝑁 + 1) / e)↑(𝑁 + 1)) ∈ ℝ⁺)
158	154, 157	rpmulcld 13036	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((√‘(2 · (𝑁 + 1))) · (((𝑁 + 1) / e)↑(𝑁 + 1))) ∈ ℝ⁺)
159	152, 158	rpdivcld 13037	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((!‘(𝑁 + 1)) / ((√‘(2 · (𝑁 + 1))) · (((𝑁 + 1) / e)↑(𝑁 + 1)))) ∈ ℝ⁺)
160	141, 148, 21, 159	fvmptd 7004	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝐴‘(𝑁 + 1)) = ((!‘(𝑁 + 1)) / ((√‘(2 · (𝑁 + 1))) · (((𝑁 + 1) / e)↑(𝑁 + 1)))))
161	128, 160	oveq12d 7429	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((𝐴‘𝑁) / (𝐴‘(𝑁 + 1))) = (((!‘𝑁) / ((√‘(2 · 𝑁)) · ((𝑁 / e)↑𝑁))) / ((!‘(𝑁 + 1)) / ((√‘(2 · (𝑁 + 1))) · (((𝑁 + 1) / e)↑(𝑁 + 1))))))
162		facp1 14242	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ₀ → (!‘(𝑁 + 1)) = ((!‘𝑁) · (𝑁 + 1)))
163	2, 162	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (!‘(𝑁 + 1)) = ((!‘𝑁) · (𝑁 + 1)))
164	163	oveq1d 7426	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((!‘(𝑁 + 1)) / ((√‘(2 · (𝑁 + 1))) · (((𝑁 + 1) / e)↑(𝑁 + 1)))) = (((!‘𝑁) · (𝑁 + 1)) / ((√‘(2 · (𝑁 + 1))) · (((𝑁 + 1) / e)↑(𝑁 + 1)))))
165	158	rpcnd 13022	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((√‘(2 · (𝑁 + 1))) · (((𝑁 + 1) / e)↑(𝑁 + 1))) ∈ ℂ)
166	158	rpne0d 13025	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((√‘(2 · (𝑁 + 1))) · (((𝑁 + 1) / e)↑(𝑁 + 1))) ≠ 0)
167	102, 22, 165, 166	divassd 12029	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (((!‘𝑁) · (𝑁 + 1)) / ((√‘(2 · (𝑁 + 1))) · (((𝑁 + 1) / e)↑(𝑁 + 1)))) = ((!‘𝑁) · ((𝑁 + 1) / ((√‘(2 · (𝑁 + 1))) · (((𝑁 + 1) / e)↑(𝑁 + 1))))))
168	164, 167	eqtrd 2770	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((!‘(𝑁 + 1)) / ((√‘(2 · (𝑁 + 1))) · (((𝑁 + 1) / e)↑(𝑁 + 1)))) = ((!‘𝑁) · ((𝑁 + 1) / ((√‘(2 · (𝑁 + 1))) · (((𝑁 + 1) / e)↑(𝑁 + 1))))))
169	168	oveq2d 7427	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (((!‘𝑁) / ((√‘(2 · 𝑁)) · ((𝑁 / e)↑𝑁))) / ((!‘(𝑁 + 1)) / ((√‘(2 · (𝑁 + 1))) · (((𝑁 + 1) / e)↑(𝑁 + 1))))) = (((!‘𝑁) / ((√‘(2 · 𝑁)) · ((𝑁 / e)↑𝑁))) / ((!‘𝑁) · ((𝑁 + 1) / ((√‘(2 · (𝑁 + 1))) · (((𝑁 + 1) / e)↑(𝑁 + 1)))))))
170	90	rpcnd 13022	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((√‘(2 · 𝑁)) · ((𝑁 / e)↑𝑁)) ∈ ℂ)
171	22, 165, 166	divcld 11994	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑁 + 1) / ((√‘(2 · (𝑁 + 1))) · (((𝑁 + 1) / e)↑(𝑁 + 1)))) ∈ ℂ)
172	102, 171	mulcld 11238	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((!‘𝑁) · ((𝑁 + 1) / ((√‘(2 · (𝑁 + 1))) · (((𝑁 + 1) / e)↑(𝑁 + 1))))) ∈ ℂ)
173	90	rpne0d 13025	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((√‘(2 · 𝑁)) · ((𝑁 / e)↑𝑁)) ≠ 0)
174	85	rpne0d 13025	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (!‘𝑁) ≠ 0)
175	22, 165, 26, 166	divne0d 12010	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑁 + 1) / ((√‘(2 · (𝑁 + 1))) · (((𝑁 + 1) / e)↑(𝑁 + 1)))) ≠ 0)
176	102, 171, 174, 175	mulne0d 11870	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((!‘𝑁) · ((𝑁 + 1) / ((√‘(2 · (𝑁 + 1))) · (((𝑁 + 1) / e)↑(𝑁 + 1))))) ≠ 0)
177	102, 170, 172, 173, 176	divdiv32d 12019	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (((!‘𝑁) / ((√‘(2 · 𝑁)) · ((𝑁 / e)↑𝑁))) / ((!‘𝑁) · ((𝑁 + 1) / ((√‘(2 · (𝑁 + 1))) · (((𝑁 + 1) / e)↑(𝑁 + 1)))))) = (((!‘𝑁) / ((!‘𝑁) · ((𝑁 + 1) / ((√‘(2 · (𝑁 + 1))) · (((𝑁 + 1) / e)↑(𝑁 + 1)))))) / ((√‘(2 · 𝑁)) · ((𝑁 / e)↑𝑁))))
178	102, 102, 171, 174, 175	divdiv1d 12025	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (((!‘𝑁) / (!‘𝑁)) / ((𝑁 + 1) / ((√‘(2 · (𝑁 + 1))) · (((𝑁 + 1) / e)↑(𝑁 + 1))))) = ((!‘𝑁) / ((!‘𝑁) · ((𝑁 + 1) / ((√‘(2 · (𝑁 + 1))) · (((𝑁 + 1) / e)↑(𝑁 + 1)))))))
179	178	eqcomd 2736	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((!‘𝑁) / ((!‘𝑁) · ((𝑁 + 1) / ((√‘(2 · (𝑁 + 1))) · (((𝑁 + 1) / e)↑(𝑁 + 1)))))) = (((!‘𝑁) / (!‘𝑁)) / ((𝑁 + 1) / ((√‘(2 · (𝑁 + 1))) · (((𝑁 + 1) / e)↑(𝑁 + 1))))))
180	179	oveq1d 7426	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (((!‘𝑁) / ((!‘𝑁) · ((𝑁 + 1) / ((√‘(2 · (𝑁 + 1))) · (((𝑁 + 1) / e)↑(𝑁 + 1)))))) / ((√‘(2 · 𝑁)) · ((𝑁 / e)↑𝑁))) = ((((!‘𝑁) / (!‘𝑁)) / ((𝑁 + 1) / ((√‘(2 · (𝑁 + 1))) · (((𝑁 + 1) / e)↑(𝑁 + 1))))) / ((√‘(2 · 𝑁)) · ((𝑁 / e)↑𝑁))))
181	102, 174	dividd 11992	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((!‘𝑁) / (!‘𝑁)) = 1)
182	181	oveq1d 7426	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (((!‘𝑁) / (!‘𝑁)) / ((𝑁 + 1) / ((√‘(2 · (𝑁 + 1))) · (((𝑁 + 1) / e)↑(𝑁 + 1))))) = (1 / ((𝑁 + 1) / ((√‘(2 · (𝑁 + 1))) · (((𝑁 + 1) / e)↑(𝑁 + 1))))))
183	182	oveq1d 7426	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((((!‘𝑁) / (!‘𝑁)) / ((𝑁 + 1) / ((√‘(2 · (𝑁 + 1))) · (((𝑁 + 1) / e)↑(𝑁 + 1))))) / ((√‘(2 · 𝑁)) · ((𝑁 / e)↑𝑁))) = ((1 / ((𝑁 + 1) / ((√‘(2 · (𝑁 + 1))) · (((𝑁 + 1) / e)↑(𝑁 + 1))))) / ((√‘(2 · 𝑁)) · ((𝑁 / e)↑𝑁))))
184	22, 165, 26, 166	recdivd 12011	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (1 / ((𝑁 + 1) / ((√‘(2 · (𝑁 + 1))) · (((𝑁 + 1) / e)↑(𝑁 + 1))))) = (((√‘(2 · (𝑁 + 1))) · (((𝑁 + 1) / e)↑(𝑁 + 1))) / (𝑁 + 1)))
185	184	oveq1d 7426	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((1 / ((𝑁 + 1) / ((√‘(2 · (𝑁 + 1))) · (((𝑁 + 1) / e)↑(𝑁 + 1))))) / ((√‘(2 · 𝑁)) · ((𝑁 / e)↑𝑁))) = ((((√‘(2 · (𝑁 + 1))) · (((𝑁 + 1) / e)↑(𝑁 + 1))) / (𝑁 + 1)) / ((√‘(2 · 𝑁)) · ((𝑁 / e)↑𝑁))))
186	165, 22, 26	divcld 11994	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (((√‘(2 · (𝑁 + 1))) · (((𝑁 + 1) / e)↑(𝑁 + 1))) / (𝑁 + 1)) ∈ ℂ)
187	87	rpcnd 13022	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (√‘(2 · 𝑁)) ∈ ℂ)
188	89	rpcnd 13022	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑁 / e)↑𝑁) ∈ ℂ)
189	89	rpne0d 13025	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑁 / e)↑𝑁) ≠ 0)
190	186, 187, 188, 119, 189	divdiv1d 12025	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (((((√‘(2 · (𝑁 + 1))) · (((𝑁 + 1) / e)↑(𝑁 + 1))) / (𝑁 + 1)) / (√‘(2 · 𝑁))) / ((𝑁 / e)↑𝑁)) = ((((√‘(2 · (𝑁 + 1))) · (((𝑁 + 1) / e)↑(𝑁 + 1))) / (𝑁 + 1)) / ((√‘(2 · 𝑁)) · ((𝑁 / e)↑𝑁))))
191	165, 22, 187, 26, 119	divdiv32d 12019	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((((√‘(2 · (𝑁 + 1))) · (((𝑁 + 1) / e)↑(𝑁 + 1))) / (𝑁 + 1)) / (√‘(2 · 𝑁))) = ((((√‘(2 · (𝑁 + 1))) · (((𝑁 + 1) / e)↑(𝑁 + 1))) / (√‘(2 · 𝑁))) / (𝑁 + 1)))
192	154	rpcnd 13022	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (√‘(2 · (𝑁 + 1))) ∈ ℂ)
193	157	rpcnd 13022	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (((𝑁 + 1) / e)↑(𝑁 + 1)) ∈ ℂ)
194	192, 193, 187, 119	div23d 12031	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (((√‘(2 · (𝑁 + 1))) · (((𝑁 + 1) / e)↑(𝑁 + 1))) / (√‘(2 · 𝑁))) = (((√‘(2 · (𝑁 + 1))) / (√‘(2 · 𝑁))) · (((𝑁 + 1) / e)↑(𝑁 + 1))))
195	31	rpred 13020	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 2 ∈ ℝ)
196	31	rpge0d 13024	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 0 ≤ 2)
197	21	nnred 12231	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 + 1) ∈ ℝ)
198	149	nn0ge0d 12539	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 0 ≤ (𝑁 + 1))
199	195, 196, 197, 198	sqrtmuld 15375	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (√‘(2 · (𝑁 + 1))) = ((√‘2) · (√‘(𝑁 + 1))))
200	195, 196, 1, 3	sqrtmuld 15375	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (√‘(2 · 𝑁)) = ((√‘2) · (√‘𝑁)))
201	199, 200	oveq12d 7429	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((√‘(2 · (𝑁 + 1))) / (√‘(2 · 𝑁))) = (((√‘2) · (√‘(𝑁 + 1))) / ((√‘2) · (√‘𝑁))))
202	29	sqrtcld 15388	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (√‘2) ∈ ℂ)
203	22	sqrtcld 15388	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (√‘(𝑁 + 1)) ∈ ℂ)
204	23	sqrtcld 15388	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (√‘𝑁) ∈ ℂ)
205	31	rpsqrtcld 15362	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (√‘2) ∈ ℝ⁺)
206	205	rpne0d 13025	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (√‘2) ≠ 0)
207	5	rpsqrtcld 15362	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (√‘𝑁) ∈ ℝ⁺)
208	207	rpne0d 13025	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (√‘𝑁) ≠ 0)
209	202, 202, 203, 204, 206, 208	divmuldivd 12035	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (((√‘2) / (√‘2)) · ((√‘(𝑁 + 1)) / (√‘𝑁))) = (((√‘2) · (√‘(𝑁 + 1))) / ((√‘2) · (√‘𝑁))))
210	202, 206	dividd 11992	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((√‘2) / (√‘2)) = 1)
211	197, 198, 5	sqrtdivd 15374	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (√‘((𝑁 + 1) / 𝑁)) = ((√‘(𝑁 + 1)) / (√‘𝑁)))
212	211	eqcomd 2736	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((√‘(𝑁 + 1)) / (√‘𝑁)) = (√‘((𝑁 + 1) / 𝑁)))
213	210, 212	oveq12d 7429	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (((√‘2) / (√‘2)) · ((√‘(𝑁 + 1)) / (√‘𝑁))) = (1 · (√‘((𝑁 + 1) / 𝑁))))
214	201, 209, 213	3eqtr2d 2776	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((√‘(2 · (𝑁 + 1))) / (√‘(2 · 𝑁))) = (1 · (√‘((𝑁 + 1) / 𝑁))))
215	214	oveq1d 7426	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (((√‘(2 · (𝑁 + 1))) / (√‘(2 · 𝑁))) · (((𝑁 + 1) / e)↑(𝑁 + 1))) = ((1 · (√‘((𝑁 + 1) / 𝑁))) · (((𝑁 + 1) / e)↑(𝑁 + 1))))
216	25	sqrtcld 15388	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (√‘((𝑁 + 1) / 𝑁)) ∈ ℂ)
217	216	mullidd 11236	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (1 · (√‘((𝑁 + 1) / 𝑁))) = (√‘((𝑁 + 1) / 𝑁)))
218	217	oveq1d 7426	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((1 · (√‘((𝑁 + 1) / 𝑁))) · (((𝑁 + 1) / e)↑(𝑁 + 1))) = ((√‘((𝑁 + 1) / 𝑁)) · (((𝑁 + 1) / e)↑(𝑁 + 1))))
219	194, 215, 218	3eqtrd 2774	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (((√‘(2 · (𝑁 + 1))) · (((𝑁 + 1) / e)↑(𝑁 + 1))) / (√‘(2 · 𝑁))) = ((√‘((𝑁 + 1) / 𝑁)) · (((𝑁 + 1) / e)↑(𝑁 + 1))))
220	219	oveq1d 7426	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((((√‘(2 · (𝑁 + 1))) · (((𝑁 + 1) / e)↑(𝑁 + 1))) / (√‘(2 · 𝑁))) / (𝑁 + 1)) = (((√‘((𝑁 + 1) / 𝑁)) · (((𝑁 + 1) / e)↑(𝑁 + 1))) / (𝑁 + 1)))
221	191, 220	eqtrd 2770	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((((√‘(2 · (𝑁 + 1))) · (((𝑁 + 1) / e)↑(𝑁 + 1))) / (𝑁 + 1)) / (√‘(2 · 𝑁))) = (((√‘((𝑁 + 1) / 𝑁)) · (((𝑁 + 1) / e)↑(𝑁 + 1))) / (𝑁 + 1)))
222	221	oveq1d 7426	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (((((√‘(2 · (𝑁 + 1))) · (((𝑁 + 1) / e)↑(𝑁 + 1))) / (𝑁 + 1)) / (√‘(2 · 𝑁))) / ((𝑁 / e)↑𝑁)) = ((((√‘((𝑁 + 1) / 𝑁)) · (((𝑁 + 1) / e)↑(𝑁 + 1))) / (𝑁 + 1)) / ((𝑁 / e)↑𝑁)))
223	190, 222	eqtr3d 2772	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((((√‘(2 · (𝑁 + 1))) · (((𝑁 + 1) / e)↑(𝑁 + 1))) / (𝑁 + 1)) / ((√‘(2 · 𝑁)) · ((𝑁 / e)↑𝑁))) = ((((√‘((𝑁 + 1) / 𝑁)) · (((𝑁 + 1) / e)↑(𝑁 + 1))) / (𝑁 + 1)) / ((𝑁 / e)↑𝑁)))
224	216, 193	mulcld 11238	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((√‘((𝑁 + 1) / 𝑁)) · (((𝑁 + 1) / e)↑(𝑁 + 1))) ∈ ℂ)
225	224, 22, 188, 26, 189	divdiv32d 12019	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((((√‘((𝑁 + 1) / 𝑁)) · (((𝑁 + 1) / e)↑(𝑁 + 1))) / (𝑁 + 1)) / ((𝑁 / e)↑𝑁)) = ((((√‘((𝑁 + 1) / 𝑁)) · (((𝑁 + 1) / e)↑(𝑁 + 1))) / ((𝑁 / e)↑𝑁)) / (𝑁 + 1)))
226	216, 193, 188, 189	divassd 12029	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (((√‘((𝑁 + 1) / 𝑁)) · (((𝑁 + 1) / e)↑(𝑁 + 1))) / ((𝑁 / e)↑𝑁)) = ((√‘((𝑁 + 1) / 𝑁)) · ((((𝑁 + 1) / e)↑(𝑁 + 1)) / ((𝑁 / e)↑𝑁))))
227	12	rpcnd 13022	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → e ∈ ℂ)
228	12	rpne0d 13025	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → e ≠ 0)
229	22, 227, 228, 149	expdivd 14129	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (((𝑁 + 1) / e)↑(𝑁 + 1)) = (((𝑁 + 1)↑(𝑁 + 1)) / (e↑(𝑁 + 1))))
230	23, 227, 228, 2	expdivd 14129	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑁 / e)↑𝑁) = ((𝑁↑𝑁) / (e↑𝑁)))
231	229, 230	oveq12d 7429	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((((𝑁 + 1) / e)↑(𝑁 + 1)) / ((𝑁 / e)↑𝑁)) = ((((𝑁 + 1)↑(𝑁 + 1)) / (e↑(𝑁 + 1))) / ((𝑁↑𝑁) / (e↑𝑁))))
232	231	oveq2d 7427	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((√‘((𝑁 + 1) / 𝑁)) · ((((𝑁 + 1) / e)↑(𝑁 + 1)) / ((𝑁 / e)↑𝑁))) = ((√‘((𝑁 + 1) / 𝑁)) · ((((𝑁 + 1)↑(𝑁 + 1)) / (e↑(𝑁 + 1))) / ((𝑁↑𝑁) / (e↑𝑁)))))
233	22, 149	expcld 14115	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑁 + 1)↑(𝑁 + 1)) ∈ ℂ)
234	227, 149	expcld 14115	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (e↑(𝑁 + 1)) ∈ ℂ)
235	23, 2	expcld 14115	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁↑𝑁) ∈ ℂ)
236	227, 2	expcld 14115	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (e↑𝑁) ∈ ℂ)
237	227, 228, 156	expne0d 14121	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (e↑(𝑁 + 1)) ≠ 0)
238	227, 228, 8	expne0d 14121	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (e↑𝑁) ≠ 0)
239	23, 24, 8	expne0d 14121	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁↑𝑁) ≠ 0)
240	233, 234, 235, 236, 237, 238, 239	divdivdivd 12041	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((((𝑁 + 1)↑(𝑁 + 1)) / (e↑(𝑁 + 1))) / ((𝑁↑𝑁) / (e↑𝑁))) = ((((𝑁 + 1)↑(𝑁 + 1)) · (e↑𝑁)) / ((e↑(𝑁 + 1)) · (𝑁↑𝑁))))
241	233, 236	mulcomd 11239	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (((𝑁 + 1)↑(𝑁 + 1)) · (e↑𝑁)) = ((e↑𝑁) · ((𝑁 + 1)↑(𝑁 + 1))))
242	241	oveq1d 7426	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((((𝑁 + 1)↑(𝑁 + 1)) · (e↑𝑁)) / ((e↑(𝑁 + 1)) · (𝑁↑𝑁))) = (((e↑𝑁) · ((𝑁 + 1)↑(𝑁 + 1))) / ((e↑(𝑁 + 1)) · (𝑁↑𝑁))))
243	236, 234, 233, 235, 237, 239	divmuldivd 12035	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (((e↑𝑁) / (e↑(𝑁 + 1))) · (((𝑁 + 1)↑(𝑁 + 1)) / (𝑁↑𝑁))) = (((e↑𝑁) · ((𝑁 + 1)↑(𝑁 + 1))) / ((e↑(𝑁 + 1)) · (𝑁↑𝑁))))
244	227, 2	expp1d 14116	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (e↑(𝑁 + 1)) = ((e↑𝑁) · e))
245	244	oveq2d 7427	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((e↑𝑁) / (e↑(𝑁 + 1))) = ((e↑𝑁) / ((e↑𝑁) · e)))
246	236, 236, 227, 238, 228	divdiv1d 12025	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (((e↑𝑁) / (e↑𝑁)) / e) = ((e↑𝑁) / ((e↑𝑁) · e)))
247	236, 238	dividd 11992	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((e↑𝑁) / (e↑𝑁)) = 1)
248	247	oveq1d 7426	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (((e↑𝑁) / (e↑𝑁)) / e) = (1 / e))
249	245, 246, 248	3eqtr2d 2776	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((e↑𝑁) / (e↑(𝑁 + 1))) = (1 / e))
250	249	oveq1d 7426	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (((e↑𝑁) / (e↑(𝑁 + 1))) · (((𝑁 + 1)↑(𝑁 + 1)) / (𝑁↑𝑁))) = ((1 / e) · (((𝑁 + 1)↑(𝑁 + 1)) / (𝑁↑𝑁))))
251	243, 250	eqtr3d 2772	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (((e↑𝑁) · ((𝑁 + 1)↑(𝑁 + 1))) / ((e↑(𝑁 + 1)) · (𝑁↑𝑁))) = ((1 / e) · (((𝑁 + 1)↑(𝑁 + 1)) / (𝑁↑𝑁))))
252	240, 242, 251	3eqtrd 2774	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((((𝑁 + 1)↑(𝑁 + 1)) / (e↑(𝑁 + 1))) / ((𝑁↑𝑁) / (e↑𝑁))) = ((1 / e) · (((𝑁 + 1)↑(𝑁 + 1)) / (𝑁↑𝑁))))
253	252	oveq2d 7427	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((√‘((𝑁 + 1) / 𝑁)) · ((((𝑁 + 1)↑(𝑁 + 1)) / (e↑(𝑁 + 1))) / ((𝑁↑𝑁) / (e↑𝑁)))) = ((√‘((𝑁 + 1) / 𝑁)) · ((1 / e) · (((𝑁 + 1)↑(𝑁 + 1)) / (𝑁↑𝑁)))))
254	226, 232, 253	3eqtrd 2774	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (((√‘((𝑁 + 1) / 𝑁)) · (((𝑁 + 1) / e)↑(𝑁 + 1))) / ((𝑁 / e)↑𝑁)) = ((√‘((𝑁 + 1) / 𝑁)) · ((1 / e) · (((𝑁 + 1)↑(𝑁 + 1)) / (𝑁↑𝑁)))))
255	254	oveq1d 7426	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((((√‘((𝑁 + 1) / 𝑁)) · (((𝑁 + 1) / e)↑(𝑁 + 1))) / ((𝑁 / e)↑𝑁)) / (𝑁 + 1)) = (((√‘((𝑁 + 1) / 𝑁)) · ((1 / e) · (((𝑁 + 1)↑(𝑁 + 1)) / (𝑁↑𝑁)))) / (𝑁 + 1)))
256	233, 235, 239	divcld 11994	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (((𝑁 + 1)↑(𝑁 + 1)) / (𝑁↑𝑁)) ∈ ℂ)
257	35, 227, 256, 228	div32d 12017	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((1 / e) · (((𝑁 + 1)↑(𝑁 + 1)) / (𝑁↑𝑁))) = (1 · ((((𝑁 + 1)↑(𝑁 + 1)) / (𝑁↑𝑁)) / e)))
258	256, 227, 228	divcld 11994	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((((𝑁 + 1)↑(𝑁 + 1)) / (𝑁↑𝑁)) / e) ∈ ℂ)
259	258	mullidd 11236	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (1 · ((((𝑁 + 1)↑(𝑁 + 1)) / (𝑁↑𝑁)) / e)) = ((((𝑁 + 1)↑(𝑁 + 1)) / (𝑁↑𝑁)) / e))
260	257, 259	eqtrd 2770	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((1 / e) · (((𝑁 + 1)↑(𝑁 + 1)) / (𝑁↑𝑁))) = ((((𝑁 + 1)↑(𝑁 + 1)) / (𝑁↑𝑁)) / e))
261	260	oveq2d 7427	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (((√‘((𝑁 + 1) / 𝑁)) / (𝑁 + 1)) · ((1 / e) · (((𝑁 + 1)↑(𝑁 + 1)) / (𝑁↑𝑁)))) = (((√‘((𝑁 + 1) / 𝑁)) / (𝑁 + 1)) · ((((𝑁 + 1)↑(𝑁 + 1)) / (𝑁↑𝑁)) / e)))
262	227, 228	reccld 11987	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (1 / e) ∈ ℂ)
263	262, 256	mulcld 11238	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((1 / e) · (((𝑁 + 1)↑(𝑁 + 1)) / (𝑁↑𝑁))) ∈ ℂ)
264	216, 263, 22, 26	div23d 12031	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (((√‘((𝑁 + 1) / 𝑁)) · ((1 / e) · (((𝑁 + 1)↑(𝑁 + 1)) / (𝑁↑𝑁)))) / (𝑁 + 1)) = (((√‘((𝑁 + 1) / 𝑁)) / (𝑁 + 1)) · ((1 / e) · (((𝑁 + 1)↑(𝑁 + 1)) / (𝑁↑𝑁)))))
265	216, 22, 26	divcld 11994	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((√‘((𝑁 + 1) / 𝑁)) / (𝑁 + 1)) ∈ ℂ)
266	265, 256, 227, 228	divassd 12029	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((((√‘((𝑁 + 1) / 𝑁)) / (𝑁 + 1)) · (((𝑁 + 1)↑(𝑁 + 1)) / (𝑁↑𝑁))) / e) = (((√‘((𝑁 + 1) / 𝑁)) / (𝑁 + 1)) · ((((𝑁 + 1)↑(𝑁 + 1)) / (𝑁↑𝑁)) / e)))
267	261, 264, 266	3eqtr4d 2780	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (((√‘((𝑁 + 1) / 𝑁)) · ((1 / e) · (((𝑁 + 1)↑(𝑁 + 1)) / (𝑁↑𝑁)))) / (𝑁 + 1)) = ((((√‘((𝑁 + 1) / 𝑁)) / (𝑁 + 1)) · (((𝑁 + 1)↑(𝑁 + 1)) / (𝑁↑𝑁))) / e))
268	225, 255, 267	3eqtrd 2774	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((((√‘((𝑁 + 1) / 𝑁)) · (((𝑁 + 1) / e)↑(𝑁 + 1))) / (𝑁 + 1)) / ((𝑁 / e)↑𝑁)) = ((((√‘((𝑁 + 1) / 𝑁)) / (𝑁 + 1)) · (((𝑁 + 1)↑(𝑁 + 1)) / (𝑁↑𝑁))) / e))
269	185, 223, 268	3eqtrd 2774	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((1 / ((𝑁 + 1) / ((√‘(2 · (𝑁 + 1))) · (((𝑁 + 1) / e)↑(𝑁 + 1))))) / ((√‘(2 · 𝑁)) · ((𝑁 / e)↑𝑁))) = ((((√‘((𝑁 + 1) / 𝑁)) / (𝑁 + 1)) · (((𝑁 + 1)↑(𝑁 + 1)) / (𝑁↑𝑁))) / e))
270	180, 183, 269	3eqtrd 2774	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (((!‘𝑁) / ((!‘𝑁) · ((𝑁 + 1) / ((√‘(2 · (𝑁 + 1))) · (((𝑁 + 1) / e)↑(𝑁 + 1)))))) / ((√‘(2 · 𝑁)) · ((𝑁 / e)↑𝑁))) = ((((√‘((𝑁 + 1) / 𝑁)) / (𝑁 + 1)) · (((𝑁 + 1)↑(𝑁 + 1)) / (𝑁↑𝑁))) / e))
271	169, 177, 270	3eqtrd 2774	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (((!‘𝑁) / ((√‘(2 · 𝑁)) · ((𝑁 / e)↑𝑁))) / ((!‘(𝑁 + 1)) / ((√‘(2 · (𝑁 + 1))) · (((𝑁 + 1) / e)↑(𝑁 + 1))))) = ((((√‘((𝑁 + 1) / 𝑁)) / (𝑁 + 1)) · (((𝑁 + 1)↑(𝑁 + 1)) / (𝑁↑𝑁))) / e))
272	216, 22, 256, 26	div32d 12017	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (((√‘((𝑁 + 1) / 𝑁)) / (𝑁 + 1)) · (((𝑁 + 1)↑(𝑁 + 1)) / (𝑁↑𝑁))) = ((√‘((𝑁 + 1) / 𝑁)) · ((((𝑁 + 1)↑(𝑁 + 1)) / (𝑁↑𝑁)) / (𝑁 + 1))))
273	22, 2	expp1d 14116	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑁 + 1)↑(𝑁 + 1)) = (((𝑁 + 1)↑𝑁) · (𝑁 + 1)))
274	273	oveq1d 7426	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (((𝑁 + 1)↑(𝑁 + 1)) / (𝑁 + 1)) = ((((𝑁 + 1)↑𝑁) · (𝑁 + 1)) / (𝑁 + 1)))
275	22, 2	expcld 14115	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑁 + 1)↑𝑁) ∈ ℂ)
276	275, 22, 26	divcan4d 12000	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((((𝑁 + 1)↑𝑁) · (𝑁 + 1)) / (𝑁 + 1)) = ((𝑁 + 1)↑𝑁))
277	274, 276	eqtrd 2770	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (((𝑁 + 1)↑(𝑁 + 1)) / (𝑁 + 1)) = ((𝑁 + 1)↑𝑁))
278	277	oveq1d 7426	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((((𝑁 + 1)↑(𝑁 + 1)) / (𝑁 + 1)) / (𝑁↑𝑁)) = (((𝑁 + 1)↑𝑁) / (𝑁↑𝑁)))
279	233, 235, 22, 239, 26	divdiv32d 12019	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((((𝑁 + 1)↑(𝑁 + 1)) / (𝑁↑𝑁)) / (𝑁 + 1)) = ((((𝑁 + 1)↑(𝑁 + 1)) / (𝑁 + 1)) / (𝑁↑𝑁)))
280	22, 23, 24, 2	expdivd 14129	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (((𝑁 + 1) / 𝑁)↑𝑁) = (((𝑁 + 1)↑𝑁) / (𝑁↑𝑁)))
281	278, 279, 280	3eqtr4d 2780	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((((𝑁 + 1)↑(𝑁 + 1)) / (𝑁↑𝑁)) / (𝑁 + 1)) = (((𝑁 + 1) / 𝑁)↑𝑁))
282	281	oveq2d 7427	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((√‘((𝑁 + 1) / 𝑁)) · ((((𝑁 + 1)↑(𝑁 + 1)) / (𝑁↑𝑁)) / (𝑁 + 1))) = ((√‘((𝑁 + 1) / 𝑁)) · (((𝑁 + 1) / 𝑁)↑𝑁)))
283	272, 282	eqtrd 2770	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (((√‘((𝑁 + 1) / 𝑁)) / (𝑁 + 1)) · (((𝑁 + 1)↑(𝑁 + 1)) / (𝑁↑𝑁))) = ((√‘((𝑁 + 1) / 𝑁)) · (((𝑁 + 1) / 𝑁)↑𝑁)))
284	283	oveq1d 7426	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((((√‘((𝑁 + 1) / 𝑁)) / (𝑁 + 1)) · (((𝑁 + 1)↑(𝑁 + 1)) / (𝑁↑𝑁))) / e) = (((√‘((𝑁 + 1) / 𝑁)) · (((𝑁 + 1) / 𝑁)↑𝑁)) / e))
285	161, 271, 284	3eqtrd 2774	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((𝐴‘𝑁) / (𝐴‘(𝑁 + 1))) = (((√‘((𝑁 + 1) / 𝑁)) · (((𝑁 + 1) / 𝑁)↑𝑁)) / e))
286	285	fveq2d 6894	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (log‘((𝐴‘𝑁) / (𝐴‘(𝑁 + 1)))) = (log‘(((√‘((𝑁 + 1) / 𝑁)) · (((𝑁 + 1) / 𝑁)↑𝑁)) / e)))
287	81, 82, 286	3eqtr2d 2776	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((𝐵‘𝑁) − (𝐵‘(𝑁 + 1))) = (log‘(((√‘((𝑁 + 1) / 𝑁)) · (((𝑁 + 1) / 𝑁)↑𝑁)) / e)))
288	35, 43	addcld 11237	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (1 + (2 · 𝑁)) ∈ ℂ)
289	288	halfcld 12461	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((1 + (2 · 𝑁)) / 2) ∈ ℂ)
290	289, 28	mulcld 11238	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (((1 + (2 · 𝑁)) / 2) · (log‘((𝑁 + 1) / 𝑁))) ∈ ℂ)
291	290, 35	subcld 11575	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((((1 + (2 · 𝑁)) / 2) · (log‘((𝑁 + 1) / 𝑁))) − 1) ∈ ℂ)
292		stirlinglem4.3	. . . . 5 ⊢ 𝐽 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((((1 + (2 · 𝑛)) / 2) · (log‘((𝑛 + 1) / 𝑛))) − 1))
293	292	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((((1 + (2 · 𝑁)) / 2) · (log‘((𝑁 + 1) / 𝑁))) − 1) ∈ ℂ) → 𝐽 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((((1 + (2 · 𝑛)) / 2) · (log‘((𝑛 + 1) / 𝑛))) − 1)))
294		simpr 483	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((((1 + (2 · 𝑁)) / 2) · (log‘((𝑁 + 1) / 𝑁))) − 1) ∈ ℂ) ∧ 𝑛 = 𝑁) → 𝑛 = 𝑁)
295	294	oveq2d 7427	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((((1 + (2 · 𝑁)) / 2) · (log‘((𝑁 + 1) / 𝑁))) − 1) ∈ ℂ) ∧ 𝑛 = 𝑁) → (2 · 𝑛) = (2 · 𝑁))
296	295	oveq2d 7427	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((((1 + (2 · 𝑁)) / 2) · (log‘((𝑁 + 1) / 𝑁))) − 1) ∈ ℂ) ∧ 𝑛 = 𝑁) → (1 + (2 · 𝑛)) = (1 + (2 · 𝑁)))
297	296	oveq1d 7426	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((((1 + (2 · 𝑁)) / 2) · (log‘((𝑁 + 1) / 𝑁))) − 1) ∈ ℂ) ∧ 𝑛 = 𝑁) → ((1 + (2 · 𝑛)) / 2) = ((1 + (2 · 𝑁)) / 2))
298	294	oveq1d 7426	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((((1 + (2 · 𝑁)) / 2) · (log‘((𝑁 + 1) / 𝑁))) − 1) ∈ ℂ) ∧ 𝑛 = 𝑁) → (𝑛 + 1) = (𝑁 + 1))
299	298, 294	oveq12d 7429	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((((1 + (2 · 𝑁)) / 2) · (log‘((𝑁 + 1) / 𝑁))) − 1) ∈ ℂ) ∧ 𝑛 = 𝑁) → ((𝑛 + 1) / 𝑛) = ((𝑁 + 1) / 𝑁))
300	299	fveq2d 6894	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((((1 + (2 · 𝑁)) / 2) · (log‘((𝑁 + 1) / 𝑁))) − 1) ∈ ℂ) ∧ 𝑛 = 𝑁) → (log‘((𝑛 + 1) / 𝑛)) = (log‘((𝑁 + 1) / 𝑁)))
301	297, 300	oveq12d 7429	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((((1 + (2 · 𝑁)) / 2) · (log‘((𝑁 + 1) / 𝑁))) − 1) ∈ ℂ) ∧ 𝑛 = 𝑁) → (((1 + (2 · 𝑛)) / 2) · (log‘((𝑛 + 1) / 𝑛))) = (((1 + (2 · 𝑁)) / 2) · (log‘((𝑁 + 1) / 𝑁))))
302	301	oveq1d 7426	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((((1 + (2 · 𝑁)) / 2) · (log‘((𝑁 + 1) / 𝑁))) − 1) ∈ ℂ) ∧ 𝑛 = 𝑁) → ((((1 + (2 · 𝑛)) / 2) · (log‘((𝑛 + 1) / 𝑛))) − 1) = ((((1 + (2 · 𝑁)) / 2) · (log‘((𝑁 + 1) / 𝑁))) − 1))
303		simpl 481	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((((1 + (2 · 𝑁)) / 2) · (log‘((𝑁 + 1) / 𝑁))) − 1) ∈ ℂ) → 𝑁 ∈ ℕ)
304		simpr 483	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((((1 + (2 · 𝑁)) / 2) · (log‘((𝑁 + 1) / 𝑁))) − 1) ∈ ℂ) → ((((1 + (2 · 𝑁)) / 2) · (log‘((𝑁 + 1) / 𝑁))) − 1) ∈ ℂ)
305	293, 302, 303, 304	fvmptd 7004	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((((1 + (2 · 𝑁)) / 2) · (log‘((𝑁 + 1) / 𝑁))) − 1) ∈ ℂ) → (𝐽‘𝑁) = ((((1 + (2 · 𝑁)) / 2) · (log‘((𝑁 + 1) / 𝑁))) − 1))
306	291, 305	mpdan 683	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝐽‘𝑁) = ((((1 + (2 · 𝑁)) / 2) · (log‘((𝑁 + 1) / 𝑁))) − 1))
307	52, 287, 306	3eqtr4d 2780	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((𝐵‘𝑁) − (𝐵‘(𝑁 + 1))) = (𝐽‘𝑁))

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: → wi 4 ∧ wa 394 = wceq 1539 ∈ wcel 2104 ≠ wne 2938 ↦ cmpt 5230 ‘cfv 6542 (class class class)co 7411 ℂcc 11110 ℝcr 11111 0cc0 11112 1c1 11113 + caddc 11115 · cmul 11117 − cmin 11448 / cdiv 11875 ℕcn 12216 2c2 12271 ℕ₀cn0 12476 ℤcz 12562 ℝ⁺crp 12978 ↑cexp 14031 !cfa 14237 √csqrt 15184 eceu 16010 logclog 26299

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1795 ax-4 1809 ax-5 1911 ax-6 1969 ax-7 2009 ax-8 2106 ax-9 2114 ax-10 2135 ax-11 2152 ax-12 2169 ax-ext 2701 ax-rep 5284 ax-sep 5298 ax-nul 5305 ax-pow 5362 ax-pr 5426 ax-un 7727 ax-inf2 9638 ax-cnex 11168 ax-resscn 11169 ax-1cn 11170 ax-icn 11171 ax-addcl 11172 ax-addrcl 11173 ax-mulcl 11174 ax-mulrcl 11175 ax-mulcom 11176 ax-addass 11177 ax-mulass 11178 ax-distr 11179 ax-i2m1 11180 ax-1ne0 11181 ax-1rid 11182 ax-rnegex 11183 ax-rrecex 11184 ax-cnre 11185 ax-pre-lttri 11186 ax-pre-lttrn 11187 ax-pre-ltadd 11188 ax-pre-mulgt0 11189 ax-pre-sup 11190 ax-addf 11191

This theorem depends on definitions: df-bi 206 df-an 395 df-or 844 df-3or 1086 df-3an 1087 df-tru 1542 df-fal 1552 df-ex 1780 df-nf 1784 df-sb 2066 df-mo 2532 df-eu 2561 df-clab 2708 df-cleq 2722 df-clel 2808 df-nfc 2883 df-ne 2939 df-nel 3045 df-ral 3060 df-rex 3069 df-rmo 3374 df-reu 3375 df-rab 3431 df-v 3474 df-sbc 3777 df-csb 3893 df-dif 3950 df-un 3952 df-in 3954 df-ss 3964 df-pss 3966 df-nul 4322 df-if 4528 df-pw 4603 df-sn 4628 df-pr 4630 df-tp 4632 df-op 4634 df-uni 4908 df-int 4950 df-iun 4998 df-iin 4999 df-br 5148 df-opab 5210 df-mpt 5231 df-tr 5265 df-id 5573 df-eprel 5579 df-po 5587 df-so 5588 df-fr 5630 df-se 5631 df-we 5632 df-xp 5681 df-rel 5682 df-cnv 5683 df-co 5684 df-dm 5685 df-rn 5686 df-res 5687 df-ima 5688 df-pred 6299 df-ord 6366 df-on 6367 df-lim 6368 df-suc 6369 df-iota 6494 df-fun 6544 df-fn 6545 df-f 6546 df-f1 6547 df-fo 6548 df-f1o 6549 df-fv 6550 df-isom 6551 df-riota 7367 df-ov 7414 df-oprab 7415 df-mpo 7416 df-of 7672 df-om 7858 df-1st 7977 df-2nd 7978 df-supp 8149 df-frecs 8268 df-wrecs 8299 df-recs 8373 df-rdg 8412 df-1o 8468 df-2o 8469 df-er 8705 df-map 8824 df-pm 8825 df-ixp 8894 df-en 8942 df-dom 8943 df-sdom 8944 df-fin 8945 df-fsupp 9364 df-fi 9408 df-sup 9439 df-inf 9440 df-oi 9507 df-card 9936 df-pnf 11254 df-mnf 11255 df-xr 11256 df-ltxr 11257 df-le 11258 df-sub 11450 df-neg 11451 df-div 11876 df-nn 12217 df-2 12279 df-3 12280 df-4 12281 df-5 12282 df-6 12283 df-7 12284 df-8 12285 df-9 12286 df-n0 12477 df-z 12563 df-dec 12682 df-uz 12827 df-q 12937 df-rp 12979 df-xneg 13096 df-xadd 13097 df-xmul 13098 df-ioo 13332 df-ioc 13333 df-ico 13334 df-icc 13335 df-fz 13489 df-fzo 13632 df-fl 13761 df-mod 13839 df-seq 13971 df-exp 14032 df-fac 14238 df-bc 14267 df-hash 14295 df-shft 15018 df-cj 15050 df-re 15051 df-im 15052 df-sqrt 15186 df-abs 15187 df-limsup 15419 df-clim 15436 df-rlim 15437 df-sum 15637 df-ef 16015 df-e 16016 df-sin 16017 df-cos 16018 df-pi 16020 df-struct 17084 df-sets 17101 df-slot 17119 df-ndx 17131 df-base 17149 df-ress 17178 df-plusg 17214 df-mulr 17215 df-starv 17216 df-sca 17217 df-vsca 17218 df-ip 17219 df-tset 17220 df-ple 17221 df-ds 17223 df-unif 17224 df-hom 17225 df-cco 17226 df-rest 17372 df-topn 17373 df-0g 17391 df-gsum 17392 df-topgen 17393 df-pt 17394 df-prds 17397 df-xrs 17452 df-qtop 17457 df-imas 17458 df-xps 17460 df-mre 17534 df-mrc 17535 df-acs 17537 df-mgm 18565 df-sgrp 18644 df-mnd 18660 df-submnd 18706 df-mulg 18987 df-cntz 19222 df-cmn 19691 df-psmet 21136 df-xmet 21137 df-met 21138 df-bl 21139 df-mopn 21140 df-fbas 21141 df-fg 21142 df-cnfld 21145 df-top 22616 df-topon 22633 df-topsp 22655 df-bases 22669 df-cld 22743 df-ntr 22744 df-cls 22745 df-nei 22822 df-lp 22860 df-perf 22861 df-cn 22951 df-cnp 22952 df-haus 23039 df-tx 23286 df-hmeo 23479 df-fil 23570 df-fm 23662 df-flim 23663 df-flf 23664 df-xms 24046 df-ms 24047 df-tms 24048 df-cncf 24618 df-limc 25615 df-dv 25616 df-log 26301 df-cxp 26302

This theorem is referenced by: stirlinglem9 45096

W3C validator