Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  stirlinglem4 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem stirlinglem4 44404
Description: Algebraic manipulation of ((๐ต n ) - ( B (๐‘› + 1))). It will be used in other theorems to show that ๐ต is decreasing. (Contributed by Glauco Siliprandi, 29-Jun-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
stirlinglem4.1 ๐ด = (๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ ((!โ€˜๐‘›) / ((โˆšโ€˜(2 ยท ๐‘›)) ยท ((๐‘› / e)โ†‘๐‘›))))
stirlinglem4.2 ๐ต = (๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ (logโ€˜(๐ดโ€˜๐‘›)))
stirlinglem4.3 ๐ฝ = (๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ ((((1 + (2 ยท ๐‘›)) / 2) ยท (logโ€˜((๐‘› + 1) / ๐‘›))) โˆ’ 1))
Assertion
Ref Expression
stirlinglem4 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ ((๐ตโ€˜๐‘) โˆ’ (๐ตโ€˜(๐‘ + 1))) = (๐ฝโ€˜๐‘))
Distinct variable group:   ๐‘›,๐‘
Allowed substitution hints:   ๐ด(๐‘›)   ๐ต(๐‘›)   ๐ฝ(๐‘›)

Proof of Theorem stirlinglem4
Dummy variable ๐‘˜ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nnre 12165 . . . . . . . 8 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„)
2 nnnn0 12425 . . . . . . . . 9 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•0)
32nn0ge0d 12481 . . . . . . . 8 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ 0 โ‰ค ๐‘)
41, 3ge0p1rpd 12992 . . . . . . 7 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ (๐‘ + 1) โˆˆ โ„+)
5 nnrp 12931 . . . . . . 7 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„+)
64, 5rpdivcld 12979 . . . . . 6 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ ((๐‘ + 1) / ๐‘) โˆˆ โ„+)
76rpsqrtcld 15302 . . . . 5 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ (โˆšโ€˜((๐‘ + 1) / ๐‘)) โˆˆ โ„+)
8 nnz 12525 . . . . . 6 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„ค)
96, 8rpexpcld 14156 . . . . 5 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ (((๐‘ + 1) / ๐‘)โ†‘๐‘) โˆˆ โ„+)
107, 9rpmulcld 12978 . . . 4 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ ((โˆšโ€˜((๐‘ + 1) / ๐‘)) ยท (((๐‘ + 1) / ๐‘)โ†‘๐‘)) โˆˆ โ„+)
11 epr 16095 . . . . 5 e โˆˆ โ„+
1211a1i 11 . . . 4 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ e โˆˆ โ„+)
1310, 12relogdivd 25997 . . 3 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ (logโ€˜(((โˆšโ€˜((๐‘ + 1) / ๐‘)) ยท (((๐‘ + 1) / ๐‘)โ†‘๐‘)) / e)) = ((logโ€˜((โˆšโ€˜((๐‘ + 1) / ๐‘)) ยท (((๐‘ + 1) / ๐‘)โ†‘๐‘))) โˆ’ (logโ€˜e)))
147, 9relogmuld 25996 . . . . . 6 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ (logโ€˜((โˆšโ€˜((๐‘ + 1) / ๐‘)) ยท (((๐‘ + 1) / ๐‘)โ†‘๐‘))) = ((logโ€˜(โˆšโ€˜((๐‘ + 1) / ๐‘))) + (logโ€˜(((๐‘ + 1) / ๐‘)โ†‘๐‘))))
15 logsqrt 26075 . . . . . . . 8 (((๐‘ + 1) / ๐‘) โˆˆ โ„+ โ†’ (logโ€˜(โˆšโ€˜((๐‘ + 1) / ๐‘))) = ((logโ€˜((๐‘ + 1) / ๐‘)) / 2))
166, 15syl 17 . . . . . . 7 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ (logโ€˜(โˆšโ€˜((๐‘ + 1) / ๐‘))) = ((logโ€˜((๐‘ + 1) / ๐‘)) / 2))
17 relogexp 25967 . . . . . . . 8 ((((๐‘ + 1) / ๐‘) โˆˆ โ„+ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ (logโ€˜(((๐‘ + 1) / ๐‘)โ†‘๐‘)) = (๐‘ ยท (logโ€˜((๐‘ + 1) / ๐‘))))
186, 8, 17syl2anc 585 . . . . . . 7 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ (logโ€˜(((๐‘ + 1) / ๐‘)โ†‘๐‘)) = (๐‘ ยท (logโ€˜((๐‘ + 1) / ๐‘))))
1916, 18oveq12d 7376 . . . . . 6 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ ((logโ€˜(โˆšโ€˜((๐‘ + 1) / ๐‘))) + (logโ€˜(((๐‘ + 1) / ๐‘)โ†‘๐‘))) = (((logโ€˜((๐‘ + 1) / ๐‘)) / 2) + (๐‘ ยท (logโ€˜((๐‘ + 1) / ๐‘)))))
2014, 19eqtrd 2773 . . . . 5 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ (logโ€˜((โˆšโ€˜((๐‘ + 1) / ๐‘)) ยท (((๐‘ + 1) / ๐‘)โ†‘๐‘))) = (((logโ€˜((๐‘ + 1) / ๐‘)) / 2) + (๐‘ ยท (logโ€˜((๐‘ + 1) / ๐‘)))))
21 peano2nn 12170 . . . . . . . . . 10 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ (๐‘ + 1) โˆˆ โ„•)
2221nncnd 12174 . . . . . . . . 9 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ (๐‘ + 1) โˆˆ โ„‚)
23 nncn 12166 . . . . . . . . 9 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„‚)
24 nnne0 12192 . . . . . . . . 9 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘ โ‰  0)
2522, 23, 24divcld 11936 . . . . . . . 8 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ ((๐‘ + 1) / ๐‘) โˆˆ โ„‚)
2621nnne0d 12208 . . . . . . . . 9 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ (๐‘ + 1) โ‰  0)
2722, 23, 26, 24divne0d 11952 . . . . . . . 8 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ ((๐‘ + 1) / ๐‘) โ‰  0)
2825, 27logcld 25942 . . . . . . 7 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ (logโ€˜((๐‘ + 1) / ๐‘)) โˆˆ โ„‚)
29 2cnd 12236 . . . . . . 7 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ 2 โˆˆ โ„‚)
30 2rp 12925 . . . . . . . . 9 2 โˆˆ โ„+
3130a1i 11 . . . . . . . 8 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ 2 โˆˆ โ„+)
3231rpne0d 12967 . . . . . . 7 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ 2 โ‰  0)
3328, 29, 32divrec2d 11940 . . . . . 6 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ ((logโ€˜((๐‘ + 1) / ๐‘)) / 2) = ((1 / 2) ยท (logโ€˜((๐‘ + 1) / ๐‘))))
3433oveq1d 7373 . . . . 5 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ (((logโ€˜((๐‘ + 1) / ๐‘)) / 2) + (๐‘ ยท (logโ€˜((๐‘ + 1) / ๐‘)))) = (((1 / 2) ยท (logโ€˜((๐‘ + 1) / ๐‘))) + (๐‘ ยท (logโ€˜((๐‘ + 1) / ๐‘)))))
35 1cnd 11155 . . . . . . . 8 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ 1 โˆˆ โ„‚)
3635halfcld 12403 . . . . . . 7 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ (1 / 2) โˆˆ โ„‚)
3736, 23, 28adddird 11185 . . . . . 6 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ (((1 / 2) + ๐‘) ยท (logโ€˜((๐‘ + 1) / ๐‘))) = (((1 / 2) ยท (logโ€˜((๐‘ + 1) / ๐‘))) + (๐‘ ยท (logโ€˜((๐‘ + 1) / ๐‘)))))
3823, 29, 32divcan4d 11942 . . . . . . . . . 10 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ ((๐‘ ยท 2) / 2) = ๐‘)
3923, 29mulcomd 11181 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ (๐‘ ยท 2) = (2 ยท ๐‘))
4039oveq1d 7373 . . . . . . . . . 10 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ ((๐‘ ยท 2) / 2) = ((2 ยท ๐‘) / 2))
4138, 40eqtr3d 2775 . . . . . . . . 9 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘ = ((2 ยท ๐‘) / 2))
4241oveq2d 7374 . . . . . . . 8 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ ((1 / 2) + ๐‘) = ((1 / 2) + ((2 ยท ๐‘) / 2)))
4329, 23mulcld 11180 . . . . . . . . 9 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ (2 ยท ๐‘) โˆˆ โ„‚)
4435, 43, 29, 32divdird 11974 . . . . . . . 8 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ ((1 + (2 ยท ๐‘)) / 2) = ((1 / 2) + ((2 ยท ๐‘) / 2)))
4542, 44eqtr4d 2776 . . . . . . 7 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ ((1 / 2) + ๐‘) = ((1 + (2 ยท ๐‘)) / 2))
4645oveq1d 7373 . . . . . 6 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ (((1 / 2) + ๐‘) ยท (logโ€˜((๐‘ + 1) / ๐‘))) = (((1 + (2 ยท ๐‘)) / 2) ยท (logโ€˜((๐‘ + 1) / ๐‘))))
4737, 46eqtr3d 2775 . . . . 5 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ (((1 / 2) ยท (logโ€˜((๐‘ + 1) / ๐‘))) + (๐‘ ยท (logโ€˜((๐‘ + 1) / ๐‘)))) = (((1 + (2 ยท ๐‘)) / 2) ยท (logโ€˜((๐‘ + 1) / ๐‘))))
4820, 34, 473eqtrd 2777 . . . 4 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ (logโ€˜((โˆšโ€˜((๐‘ + 1) / ๐‘)) ยท (((๐‘ + 1) / ๐‘)โ†‘๐‘))) = (((1 + (2 ยท ๐‘)) / 2) ยท (logโ€˜((๐‘ + 1) / ๐‘))))
49 loge 25958 . . . . 5 (logโ€˜e) = 1
5049a1i 11 . . . 4 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ (logโ€˜e) = 1)
5148, 50oveq12d 7376 . . 3 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ ((logโ€˜((โˆšโ€˜((๐‘ + 1) / ๐‘)) ยท (((๐‘ + 1) / ๐‘)โ†‘๐‘))) โˆ’ (logโ€˜e)) = ((((1 + (2 ยท ๐‘)) / 2) ยท (logโ€˜((๐‘ + 1) / ๐‘))) โˆ’ 1))
5213, 51eqtrd 2773 . 2 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ (logโ€˜(((โˆšโ€˜((๐‘ + 1) / ๐‘)) ยท (((๐‘ + 1) / ๐‘)โ†‘๐‘)) / e)) = ((((1 + (2 ยท ๐‘)) / 2) ยท (logโ€˜((๐‘ + 1) / ๐‘))) โˆ’ 1))
53 stirlinglem4.1 . . . . . . 7 ๐ด = (๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ ((!โ€˜๐‘›) / ((โˆšโ€˜(2 ยท ๐‘›)) ยท ((๐‘› / e)โ†‘๐‘›))))
5453stirlinglem2 44402 . . . . . 6 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ (๐ดโ€˜๐‘) โˆˆ โ„+)
5554relogcld 25994 . . . . 5 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ (logโ€˜(๐ดโ€˜๐‘)) โˆˆ โ„)
56 nfcv 2904 . . . . . 6 โ„ฒ๐‘›๐‘
57 nfcv 2904 . . . . . . 7 โ„ฒ๐‘›log
58 nfmpt1 5214 . . . . . . . . 9 โ„ฒ๐‘›(๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ ((!โ€˜๐‘›) / ((โˆšโ€˜(2 ยท ๐‘›)) ยท ((๐‘› / e)โ†‘๐‘›))))
5953, 58nfcxfr 2902 . . . . . . . 8 โ„ฒ๐‘›๐ด
6059, 56nffv 6853 . . . . . . 7 โ„ฒ๐‘›(๐ดโ€˜๐‘)
6157, 60nffv 6853 . . . . . 6 โ„ฒ๐‘›(logโ€˜(๐ดโ€˜๐‘))
62 2fveq3 6848 . . . . . 6 (๐‘› = ๐‘ โ†’ (logโ€˜(๐ดโ€˜๐‘›)) = (logโ€˜(๐ดโ€˜๐‘)))
63 stirlinglem4.2 . . . . . 6 ๐ต = (๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ (logโ€˜(๐ดโ€˜๐‘›)))
6456, 61, 62, 63fvmptf 6970 . . . . 5 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง (logโ€˜(๐ดโ€˜๐‘)) โˆˆ โ„) โ†’ (๐ตโ€˜๐‘) = (logโ€˜(๐ดโ€˜๐‘)))
6555, 64mpdan 686 . . . 4 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ (๐ตโ€˜๐‘) = (logโ€˜(๐ดโ€˜๐‘)))
66 nfcv 2904 . . . . . . . 8 โ„ฒ๐‘˜(logโ€˜(๐ดโ€˜๐‘›))
67 nfcv 2904 . . . . . . . . . 10 โ„ฒ๐‘›๐‘˜
6859, 67nffv 6853 . . . . . . . . 9 โ„ฒ๐‘›(๐ดโ€˜๐‘˜)
6957, 68nffv 6853 . . . . . . . 8 โ„ฒ๐‘›(logโ€˜(๐ดโ€˜๐‘˜))
70 2fveq3 6848 . . . . . . . 8 (๐‘› = ๐‘˜ โ†’ (logโ€˜(๐ดโ€˜๐‘›)) = (logโ€˜(๐ดโ€˜๐‘˜)))
7166, 69, 70cbvmpt 5217 . . . . . . 7 (๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ (logโ€˜(๐ดโ€˜๐‘›))) = (๐‘˜ โˆˆ โ„• โ†ฆ (logโ€˜(๐ดโ€˜๐‘˜)))
7263, 71eqtri 2761 . . . . . 6 ๐ต = (๐‘˜ โˆˆ โ„• โ†ฆ (logโ€˜(๐ดโ€˜๐‘˜)))
7372a1i 11 . . . . 5 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ ๐ต = (๐‘˜ โˆˆ โ„• โ†ฆ (logโ€˜(๐ดโ€˜๐‘˜))))
74 simpr 486 . . . . . . 7 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘˜ = (๐‘ + 1)) โ†’ ๐‘˜ = (๐‘ + 1))
7574fveq2d 6847 . . . . . 6 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘˜ = (๐‘ + 1)) โ†’ (๐ดโ€˜๐‘˜) = (๐ดโ€˜(๐‘ + 1)))
7675fveq2d 6847 . . . . 5 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘˜ = (๐‘ + 1)) โ†’ (logโ€˜(๐ดโ€˜๐‘˜)) = (logโ€˜(๐ดโ€˜(๐‘ + 1))))
7753stirlinglem2 44402 . . . . . . 7 ((๐‘ + 1) โˆˆ โ„• โ†’ (๐ดโ€˜(๐‘ + 1)) โˆˆ โ„+)
7821, 77syl 17 . . . . . 6 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ (๐ดโ€˜(๐‘ + 1)) โˆˆ โ„+)
7978relogcld 25994 . . . . 5 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ (logโ€˜(๐ดโ€˜(๐‘ + 1))) โˆˆ โ„)
8073, 76, 21, 79fvmptd 6956 . . . 4 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ (๐ตโ€˜(๐‘ + 1)) = (logโ€˜(๐ดโ€˜(๐‘ + 1))))
8165, 80oveq12d 7376 . . 3 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ ((๐ตโ€˜๐‘) โˆ’ (๐ตโ€˜(๐‘ + 1))) = ((logโ€˜(๐ดโ€˜๐‘)) โˆ’ (logโ€˜(๐ดโ€˜(๐‘ + 1)))))
8254, 78relogdivd 25997 . . 3 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ (logโ€˜((๐ดโ€˜๐‘) / (๐ดโ€˜(๐‘ + 1)))) = ((logโ€˜(๐ดโ€˜๐‘)) โˆ’ (logโ€˜(๐ดโ€˜(๐‘ + 1)))))
83 faccl 14189 . . . . . . . . 9 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ (!โ€˜๐‘) โˆˆ โ„•)
84 nnrp 12931 . . . . . . . . 9 ((!โ€˜๐‘) โˆˆ โ„• โ†’ (!โ€˜๐‘) โˆˆ โ„+)
852, 83, 843syl 18 . . . . . . . 8 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ (!โ€˜๐‘) โˆˆ โ„+)
8631, 5rpmulcld 12978 . . . . . . . . . 10 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ (2 ยท ๐‘) โˆˆ โ„+)
8786rpsqrtcld 15302 . . . . . . . . 9 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ (โˆšโ€˜(2 ยท ๐‘)) โˆˆ โ„+)
885, 12rpdivcld 12979 . . . . . . . . . 10 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ (๐‘ / e) โˆˆ โ„+)
8988, 8rpexpcld 14156 . . . . . . . . 9 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ ((๐‘ / e)โ†‘๐‘) โˆˆ โ„+)
9087, 89rpmulcld 12978 . . . . . . . 8 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ ((โˆšโ€˜(2 ยท ๐‘)) ยท ((๐‘ / e)โ†‘๐‘)) โˆˆ โ„+)
9185, 90rpdivcld 12979 . . . . . . 7 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ ((!โ€˜๐‘) / ((โˆšโ€˜(2 ยท ๐‘)) ยท ((๐‘ / e)โ†‘๐‘))) โˆˆ โ„+)
9253a1i 11 . . . . . . . 8 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ((!โ€˜๐‘) / ((โˆšโ€˜(2 ยท ๐‘)) ยท ((๐‘ / e)โ†‘๐‘))) โˆˆ โ„+) โ†’ ๐ด = (๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ ((!โ€˜๐‘›) / ((โˆšโ€˜(2 ยท ๐‘›)) ยท ((๐‘› / e)โ†‘๐‘›)))))
93 simpr 486 . . . . . . . . . 10 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ((!โ€˜๐‘) / ((โˆšโ€˜(2 ยท ๐‘)) ยท ((๐‘ / e)โ†‘๐‘))) โˆˆ โ„+) โˆง ๐‘› = ๐‘) โ†’ ๐‘› = ๐‘)
9493fveq2d 6847 . . . . . . . . 9 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ((!โ€˜๐‘) / ((โˆšโ€˜(2 ยท ๐‘)) ยท ((๐‘ / e)โ†‘๐‘))) โˆˆ โ„+) โˆง ๐‘› = ๐‘) โ†’ (!โ€˜๐‘›) = (!โ€˜๐‘))
9593oveq2d 7374 . . . . . . . . . . 11 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ((!โ€˜๐‘) / ((โˆšโ€˜(2 ยท ๐‘)) ยท ((๐‘ / e)โ†‘๐‘))) โˆˆ โ„+) โˆง ๐‘› = ๐‘) โ†’ (2 ยท ๐‘›) = (2 ยท ๐‘))
9695fveq2d 6847 . . . . . . . . . 10 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ((!โ€˜๐‘) / ((โˆšโ€˜(2 ยท ๐‘)) ยท ((๐‘ / e)โ†‘๐‘))) โˆˆ โ„+) โˆง ๐‘› = ๐‘) โ†’ (โˆšโ€˜(2 ยท ๐‘›)) = (โˆšโ€˜(2 ยท ๐‘)))
9793oveq1d 7373 . . . . . . . . . . 11 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ((!โ€˜๐‘) / ((โˆšโ€˜(2 ยท ๐‘)) ยท ((๐‘ / e)โ†‘๐‘))) โˆˆ โ„+) โˆง ๐‘› = ๐‘) โ†’ (๐‘› / e) = (๐‘ / e))
9897, 93oveq12d 7376 . . . . . . . . . 10 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ((!โ€˜๐‘) / ((โˆšโ€˜(2 ยท ๐‘)) ยท ((๐‘ / e)โ†‘๐‘))) โˆˆ โ„+) โˆง ๐‘› = ๐‘) โ†’ ((๐‘› / e)โ†‘๐‘›) = ((๐‘ / e)โ†‘๐‘))
9996, 98oveq12d 7376 . . . . . . . . 9 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ((!โ€˜๐‘) / ((โˆšโ€˜(2 ยท ๐‘)) ยท ((๐‘ / e)โ†‘๐‘))) โˆˆ โ„+) โˆง ๐‘› = ๐‘) โ†’ ((โˆšโ€˜(2 ยท ๐‘›)) ยท ((๐‘› / e)โ†‘๐‘›)) = ((โˆšโ€˜(2 ยท ๐‘)) ยท ((๐‘ / e)โ†‘๐‘)))
10094, 99oveq12d 7376 . . . . . . . 8 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ((!โ€˜๐‘) / ((โˆšโ€˜(2 ยท ๐‘)) ยท ((๐‘ / e)โ†‘๐‘))) โˆˆ โ„+) โˆง ๐‘› = ๐‘) โ†’ ((!โ€˜๐‘›) / ((โˆšโ€˜(2 ยท ๐‘›)) ยท ((๐‘› / e)โ†‘๐‘›))) = ((!โ€˜๐‘) / ((โˆšโ€˜(2 ยท ๐‘)) ยท ((๐‘ / e)โ†‘๐‘))))
101 simpl 484 . . . . . . . 8 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ((!โ€˜๐‘) / ((โˆšโ€˜(2 ยท ๐‘)) ยท ((๐‘ / e)โ†‘๐‘))) โˆˆ โ„+) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•)
10285rpcnd 12964 . . . . . . . . . 10 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ (!โ€˜๐‘) โˆˆ โ„‚)
103102adantr 482 . . . . . . . . 9 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ((!โ€˜๐‘) / ((โˆšโ€˜(2 ยท ๐‘)) ยท ((๐‘ / e)โ†‘๐‘))) โˆˆ โ„+) โ†’ (!โ€˜๐‘) โˆˆ โ„‚)
104 2cnd 12236 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ((!โ€˜๐‘) / ((โˆšโ€˜(2 ยท ๐‘)) ยท ((๐‘ / e)โ†‘๐‘))) โˆˆ โ„+) โ†’ 2 โˆˆ โ„‚)
105101nncnd 12174 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ((!โ€˜๐‘) / ((โˆšโ€˜(2 ยท ๐‘)) ยท ((๐‘ / e)โ†‘๐‘))) โˆˆ โ„+) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„‚)
106104, 105mulcld 11180 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ((!โ€˜๐‘) / ((โˆšโ€˜(2 ยท ๐‘)) ยท ((๐‘ / e)โ†‘๐‘))) โˆˆ โ„+) โ†’ (2 ยท ๐‘) โˆˆ โ„‚)
107106sqrtcld 15328 . . . . . . . . . 10 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ((!โ€˜๐‘) / ((โˆšโ€˜(2 ยท ๐‘)) ยท ((๐‘ / e)โ†‘๐‘))) โˆˆ โ„+) โ†’ (โˆšโ€˜(2 ยท ๐‘)) โˆˆ โ„‚)
108 ere 15976 . . . . . . . . . . . . . 14 e โˆˆ โ„
109108recni 11174 . . . . . . . . . . . . 13 e โˆˆ โ„‚
110109a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ((!โ€˜๐‘) / ((โˆšโ€˜(2 ยท ๐‘)) ยท ((๐‘ / e)โ†‘๐‘))) โˆˆ โ„+) โ†’ e โˆˆ โ„‚)
111 0re 11162 . . . . . . . . . . . . . 14 0 โˆˆ โ„
112 epos 16094 . . . . . . . . . . . . . 14 0 < e
113111, 112gtneii 11272 . . . . . . . . . . . . 13 e โ‰  0
114113a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ((!โ€˜๐‘) / ((โˆšโ€˜(2 ยท ๐‘)) ยท ((๐‘ / e)โ†‘๐‘))) โˆˆ โ„+) โ†’ e โ‰  0)
115105, 110, 114divcld 11936 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ((!โ€˜๐‘) / ((โˆšโ€˜(2 ยท ๐‘)) ยท ((๐‘ / e)โ†‘๐‘))) โˆˆ โ„+) โ†’ (๐‘ / e) โˆˆ โ„‚)
116101nnnn0d 12478 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ((!โ€˜๐‘) / ((โˆšโ€˜(2 ยท ๐‘)) ยท ((๐‘ / e)โ†‘๐‘))) โˆˆ โ„+) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•0)
117115, 116expcld 14057 . . . . . . . . . 10 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ((!โ€˜๐‘) / ((โˆšโ€˜(2 ยท ๐‘)) ยท ((๐‘ / e)โ†‘๐‘))) โˆˆ โ„+) โ†’ ((๐‘ / e)โ†‘๐‘) โˆˆ โ„‚)
118107, 117mulcld 11180 . . . . . . . . 9 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ((!โ€˜๐‘) / ((โˆšโ€˜(2 ยท ๐‘)) ยท ((๐‘ / e)โ†‘๐‘))) โˆˆ โ„+) โ†’ ((โˆšโ€˜(2 ยท ๐‘)) ยท ((๐‘ / e)โ†‘๐‘)) โˆˆ โ„‚)
11987rpne0d 12967 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ (โˆšโ€˜(2 ยท ๐‘)) โ‰  0)
120119adantr 482 . . . . . . . . . 10 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ((!โ€˜๐‘) / ((โˆšโ€˜(2 ยท ๐‘)) ยท ((๐‘ / e)โ†‘๐‘))) โˆˆ โ„+) โ†’ (โˆšโ€˜(2 ยท ๐‘)) โ‰  0)
121101nnne0d 12208 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ((!โ€˜๐‘) / ((โˆšโ€˜(2 ยท ๐‘)) ยท ((๐‘ / e)โ†‘๐‘))) โˆˆ โ„+) โ†’ ๐‘ โ‰  0)
122105, 110, 121, 114divne0d 11952 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ((!โ€˜๐‘) / ((โˆšโ€˜(2 ยท ๐‘)) ยท ((๐‘ / e)โ†‘๐‘))) โˆˆ โ„+) โ†’ (๐‘ / e) โ‰  0)
123101nnzd 12531 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ((!โ€˜๐‘) / ((โˆšโ€˜(2 ยท ๐‘)) ยท ((๐‘ / e)โ†‘๐‘))) โˆˆ โ„+) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„ค)
124115, 122, 123expne0d 14063 . . . . . . . . . 10 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ((!โ€˜๐‘) / ((โˆšโ€˜(2 ยท ๐‘)) ยท ((๐‘ / e)โ†‘๐‘))) โˆˆ โ„+) โ†’ ((๐‘ / e)โ†‘๐‘) โ‰  0)
125107, 117, 120, 124mulne0d 11812 . . . . . . . . 9 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ((!โ€˜๐‘) / ((โˆšโ€˜(2 ยท ๐‘)) ยท ((๐‘ / e)โ†‘๐‘))) โˆˆ โ„+) โ†’ ((โˆšโ€˜(2 ยท ๐‘)) ยท ((๐‘ / e)โ†‘๐‘)) โ‰  0)
126103, 118, 125divcld 11936 . . . . . . . 8 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ((!โ€˜๐‘) / ((โˆšโ€˜(2 ยท ๐‘)) ยท ((๐‘ / e)โ†‘๐‘))) โˆˆ โ„+) โ†’ ((!โ€˜๐‘) / ((โˆšโ€˜(2 ยท ๐‘)) ยท ((๐‘ / e)โ†‘๐‘))) โˆˆ โ„‚)
12792, 100, 101, 126fvmptd 6956 . . . . . . 7 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ((!โ€˜๐‘) / ((โˆšโ€˜(2 ยท ๐‘)) ยท ((๐‘ / e)โ†‘๐‘))) โˆˆ โ„+) โ†’ (๐ดโ€˜๐‘) = ((!โ€˜๐‘) / ((โˆšโ€˜(2 ยท ๐‘)) ยท ((๐‘ / e)โ†‘๐‘))))
12891, 127mpdan 686 . . . . . 6 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ (๐ดโ€˜๐‘) = ((!โ€˜๐‘) / ((โˆšโ€˜(2 ยท ๐‘)) ยท ((๐‘ / e)โ†‘๐‘))))
129 nfcv 2904 . . . . . . . . . 10 โ„ฒ๐‘˜((!โ€˜๐‘›) / ((โˆšโ€˜(2 ยท ๐‘›)) ยท ((๐‘› / e)โ†‘๐‘›)))
130 nfcv 2904 . . . . . . . . . 10 โ„ฒ๐‘›((!โ€˜๐‘˜) / ((โˆšโ€˜(2 ยท ๐‘˜)) ยท ((๐‘˜ / e)โ†‘๐‘˜)))
131 fveq2 6843 . . . . . . . . . . 11 (๐‘› = ๐‘˜ โ†’ (!โ€˜๐‘›) = (!โ€˜๐‘˜))
132 oveq2 7366 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘› = ๐‘˜ โ†’ (2 ยท ๐‘›) = (2 ยท ๐‘˜))
133132fveq2d 6847 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘› = ๐‘˜ โ†’ (โˆšโ€˜(2 ยท ๐‘›)) = (โˆšโ€˜(2 ยท ๐‘˜)))
134 oveq1 7365 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘› = ๐‘˜ โ†’ (๐‘› / e) = (๐‘˜ / e))
135 id 22 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘› = ๐‘˜ โ†’ ๐‘› = ๐‘˜)
136134, 135oveq12d 7376 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘› = ๐‘˜ โ†’ ((๐‘› / e)โ†‘๐‘›) = ((๐‘˜ / e)โ†‘๐‘˜))
137133, 136oveq12d 7376 . . . . . . . . . . 11 (๐‘› = ๐‘˜ โ†’ ((โˆšโ€˜(2 ยท ๐‘›)) ยท ((๐‘› / e)โ†‘๐‘›)) = ((โˆšโ€˜(2 ยท ๐‘˜)) ยท ((๐‘˜ / e)โ†‘๐‘˜)))
138131, 137oveq12d 7376 . . . . . . . . . 10 (๐‘› = ๐‘˜ โ†’ ((!โ€˜๐‘›) / ((โˆšโ€˜(2 ยท ๐‘›)) ยท ((๐‘› / e)โ†‘๐‘›))) = ((!โ€˜๐‘˜) / ((โˆšโ€˜(2 ยท ๐‘˜)) ยท ((๐‘˜ / e)โ†‘๐‘˜))))
139129, 130, 138cbvmpt 5217 . . . . . . . . 9 (๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ ((!โ€˜๐‘›) / ((โˆšโ€˜(2 ยท ๐‘›)) ยท ((๐‘› / e)โ†‘๐‘›)))) = (๐‘˜ โˆˆ โ„• โ†ฆ ((!โ€˜๐‘˜) / ((โˆšโ€˜(2 ยท ๐‘˜)) ยท ((๐‘˜ / e)โ†‘๐‘˜))))
14053, 139eqtri 2761 . . . . . . . 8 ๐ด = (๐‘˜ โˆˆ โ„• โ†ฆ ((!โ€˜๐‘˜) / ((โˆšโ€˜(2 ยท ๐‘˜)) ยท ((๐‘˜ / e)โ†‘๐‘˜))))
141140a1i 11 . . . . . . 7 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ ๐ด = (๐‘˜ โˆˆ โ„• โ†ฆ ((!โ€˜๐‘˜) / ((โˆšโ€˜(2 ยท ๐‘˜)) ยท ((๐‘˜ / e)โ†‘๐‘˜)))))
14274fveq2d 6847 . . . . . . . 8 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘˜ = (๐‘ + 1)) โ†’ (!โ€˜๐‘˜) = (!โ€˜(๐‘ + 1)))
14374oveq2d 7374 . . . . . . . . . 10 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘˜ = (๐‘ + 1)) โ†’ (2 ยท ๐‘˜) = (2 ยท (๐‘ + 1)))
144143fveq2d 6847 . . . . . . . . 9 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘˜ = (๐‘ + 1)) โ†’ (โˆšโ€˜(2 ยท ๐‘˜)) = (โˆšโ€˜(2 ยท (๐‘ + 1))))
14574oveq1d 7373 . . . . . . . . . 10 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘˜ = (๐‘ + 1)) โ†’ (๐‘˜ / e) = ((๐‘ + 1) / e))
146145, 74oveq12d 7376 . . . . . . . . 9 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘˜ = (๐‘ + 1)) โ†’ ((๐‘˜ / e)โ†‘๐‘˜) = (((๐‘ + 1) / e)โ†‘(๐‘ + 1)))
147144, 146oveq12d 7376 . . . . . . . 8 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘˜ = (๐‘ + 1)) โ†’ ((โˆšโ€˜(2 ยท ๐‘˜)) ยท ((๐‘˜ / e)โ†‘๐‘˜)) = ((โˆšโ€˜(2 ยท (๐‘ + 1))) ยท (((๐‘ + 1) / e)โ†‘(๐‘ + 1))))
148142, 147oveq12d 7376 . . . . . . 7 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘˜ = (๐‘ + 1)) โ†’ ((!โ€˜๐‘˜) / ((โˆšโ€˜(2 ยท ๐‘˜)) ยท ((๐‘˜ / e)โ†‘๐‘˜))) = ((!โ€˜(๐‘ + 1)) / ((โˆšโ€˜(2 ยท (๐‘ + 1))) ยท (((๐‘ + 1) / e)โ†‘(๐‘ + 1)))))
14921nnnn0d 12478 . . . . . . . . 9 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ (๐‘ + 1) โˆˆ โ„•0)
150 faccl 14189 . . . . . . . . 9 ((๐‘ + 1) โˆˆ โ„•0 โ†’ (!โ€˜(๐‘ + 1)) โˆˆ โ„•)
151 nnrp 12931 . . . . . . . . 9 ((!โ€˜(๐‘ + 1)) โˆˆ โ„• โ†’ (!โ€˜(๐‘ + 1)) โˆˆ โ„+)
152149, 150, 1513syl 18 . . . . . . . 8 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ (!โ€˜(๐‘ + 1)) โˆˆ โ„+)
15331, 4rpmulcld 12978 . . . . . . . . . 10 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ (2 ยท (๐‘ + 1)) โˆˆ โ„+)
154153rpsqrtcld 15302 . . . . . . . . 9 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ (โˆšโ€˜(2 ยท (๐‘ + 1))) โˆˆ โ„+)
1554, 12rpdivcld 12979 . . . . . . . . . 10 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ ((๐‘ + 1) / e) โˆˆ โ„+)
1568peano2zd 12615 . . . . . . . . . 10 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ (๐‘ + 1) โˆˆ โ„ค)
157155, 156rpexpcld 14156 . . . . . . . . 9 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ (((๐‘ + 1) / e)โ†‘(๐‘ + 1)) โˆˆ โ„+)
158154, 157rpmulcld 12978 . . . . . . . 8 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ ((โˆšโ€˜(2 ยท (๐‘ + 1))) ยท (((๐‘ + 1) / e)โ†‘(๐‘ + 1))) โˆˆ โ„+)
159152, 158rpdivcld 12979 . . . . . . 7 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ ((!โ€˜(๐‘ + 1)) / ((โˆšโ€˜(2 ยท (๐‘ + 1))) ยท (((๐‘ + 1) / e)โ†‘(๐‘ + 1)))) โˆˆ โ„+)
160141, 148, 21, 159fvmptd 6956 . . . . . 6 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ (๐ดโ€˜(๐‘ + 1)) = ((!โ€˜(๐‘ + 1)) / ((โˆšโ€˜(2 ยท (๐‘ + 1))) ยท (((๐‘ + 1) / e)โ†‘(๐‘ + 1)))))
161128, 160oveq12d 7376 . . . . 5 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ ((๐ดโ€˜๐‘) / (๐ดโ€˜(๐‘ + 1))) = (((!โ€˜๐‘) / ((โˆšโ€˜(2 ยท ๐‘)) ยท ((๐‘ / e)โ†‘๐‘))) / ((!โ€˜(๐‘ + 1)) / ((โˆšโ€˜(2 ยท (๐‘ + 1))) ยท (((๐‘ + 1) / e)โ†‘(๐‘ + 1))))))
162 facp1 14184 . . . . . . . . . 10 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ (!โ€˜(๐‘ + 1)) = ((!โ€˜๐‘) ยท (๐‘ + 1)))
1632, 162syl 17 . . . . . . . . 9 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ (!โ€˜(๐‘ + 1)) = ((!โ€˜๐‘) ยท (๐‘ + 1)))
164163oveq1d 7373 . . . . . . . 8 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ ((!โ€˜(๐‘ + 1)) / ((โˆšโ€˜(2 ยท (๐‘ + 1))) ยท (((๐‘ + 1) / e)โ†‘(๐‘ + 1)))) = (((!โ€˜๐‘) ยท (๐‘ + 1)) / ((โˆšโ€˜(2 ยท (๐‘ + 1))) ยท (((๐‘ + 1) / e)โ†‘(๐‘ + 1)))))
165158rpcnd 12964 . . . . . . . . 9 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ ((โˆšโ€˜(2 ยท (๐‘ + 1))) ยท (((๐‘ + 1) / e)โ†‘(๐‘ + 1))) โˆˆ โ„‚)
166158rpne0d 12967 . . . . . . . . 9 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ ((โˆšโ€˜(2 ยท (๐‘ + 1))) ยท (((๐‘ + 1) / e)โ†‘(๐‘ + 1))) โ‰  0)
167102, 22, 165, 166divassd 11971 . . . . . . . 8 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ (((!โ€˜๐‘) ยท (๐‘ + 1)) / ((โˆšโ€˜(2 ยท (๐‘ + 1))) ยท (((๐‘ + 1) / e)โ†‘(๐‘ + 1)))) = ((!โ€˜๐‘) ยท ((๐‘ + 1) / ((โˆšโ€˜(2 ยท (๐‘ + 1))) ยท (((๐‘ + 1) / e)โ†‘(๐‘ + 1))))))
168164, 167eqtrd 2773 . . . . . . 7 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ ((!โ€˜(๐‘ + 1)) / ((โˆšโ€˜(2 ยท (๐‘ + 1))) ยท (((๐‘ + 1) / e)โ†‘(๐‘ + 1)))) = ((!โ€˜๐‘) ยท ((๐‘ + 1) / ((โˆšโ€˜(2 ยท (๐‘ + 1))) ยท (((๐‘ + 1) / e)โ†‘(๐‘ + 1))))))
169168oveq2d 7374 . . . . . 6 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ (((!โ€˜๐‘) / ((โˆšโ€˜(2 ยท ๐‘)) ยท ((๐‘ / e)โ†‘๐‘))) / ((!โ€˜(๐‘ + 1)) / ((โˆšโ€˜(2 ยท (๐‘ + 1))) ยท (((๐‘ + 1) / e)โ†‘(๐‘ + 1))))) = (((!โ€˜๐‘) / ((โˆšโ€˜(2 ยท ๐‘)) ยท ((๐‘ / e)โ†‘๐‘))) / ((!โ€˜๐‘) ยท ((๐‘ + 1) / ((โˆšโ€˜(2 ยท (๐‘ + 1))) ยท (((๐‘ + 1) / e)โ†‘(๐‘ + 1)))))))
17090rpcnd 12964 . . . . . . 7 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ ((โˆšโ€˜(2 ยท ๐‘)) ยท ((๐‘ / e)โ†‘๐‘)) โˆˆ โ„‚)
17122, 165, 166divcld 11936 . . . . . . . 8 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ ((๐‘ + 1) / ((โˆšโ€˜(2 ยท (๐‘ + 1))) ยท (((๐‘ + 1) / e)โ†‘(๐‘ + 1)))) โˆˆ โ„‚)
172102, 171mulcld 11180 . . . . . . 7 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ ((!โ€˜๐‘) ยท ((๐‘ + 1) / ((โˆšโ€˜(2 ยท (๐‘ + 1))) ยท (((๐‘ + 1) / e)โ†‘(๐‘ + 1))))) โˆˆ โ„‚)
17390rpne0d 12967 . . . . . . 7 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ ((โˆšโ€˜(2 ยท ๐‘)) ยท ((๐‘ / e)โ†‘๐‘)) โ‰  0)
17485rpne0d 12967 . . . . . . . 8 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ (!โ€˜๐‘) โ‰  0)
17522, 165, 26, 166divne0d 11952 . . . . . . . 8 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ ((๐‘ + 1) / ((โˆšโ€˜(2 ยท (๐‘ + 1))) ยท (((๐‘ + 1) / e)โ†‘(๐‘ + 1)))) โ‰  0)
176102, 171, 174, 175mulne0d 11812 . . . . . . 7 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ ((!โ€˜๐‘) ยท ((๐‘ + 1) / ((โˆšโ€˜(2 ยท (๐‘ + 1))) ยท (((๐‘ + 1) / e)โ†‘(๐‘ + 1))))) โ‰  0)
177102, 170, 172, 173, 176divdiv32d 11961 . . . . . 6 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ (((!โ€˜๐‘) / ((โˆšโ€˜(2 ยท ๐‘)) ยท ((๐‘ / e)โ†‘๐‘))) / ((!โ€˜๐‘) ยท ((๐‘ + 1) / ((โˆšโ€˜(2 ยท (๐‘ + 1))) ยท (((๐‘ + 1) / e)โ†‘(๐‘ + 1)))))) = (((!โ€˜๐‘) / ((!โ€˜๐‘) ยท ((๐‘ + 1) / ((โˆšโ€˜(2 ยท (๐‘ + 1))) ยท (((๐‘ + 1) / e)โ†‘(๐‘ + 1)))))) / ((โˆšโ€˜(2 ยท ๐‘)) ยท ((๐‘ / e)โ†‘๐‘))))
178102, 102, 171, 174, 175divdiv1d 11967 . . . . . . . . 9 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ (((!โ€˜๐‘) / (!โ€˜๐‘)) / ((๐‘ + 1) / ((โˆšโ€˜(2 ยท (๐‘ + 1))) ยท (((๐‘ + 1) / e)โ†‘(๐‘ + 1))))) = ((!โ€˜๐‘) / ((!โ€˜๐‘) ยท ((๐‘ + 1) / ((โˆšโ€˜(2 ยท (๐‘ + 1))) ยท (((๐‘ + 1) / e)โ†‘(๐‘ + 1)))))))
179178eqcomd 2739 . . . . . . . 8 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ ((!โ€˜๐‘) / ((!โ€˜๐‘) ยท ((๐‘ + 1) / ((โˆšโ€˜(2 ยท (๐‘ + 1))) ยท (((๐‘ + 1) / e)โ†‘(๐‘ + 1)))))) = (((!โ€˜๐‘) / (!โ€˜๐‘)) / ((๐‘ + 1) / ((โˆšโ€˜(2 ยท (๐‘ + 1))) ยท (((๐‘ + 1) / e)โ†‘(๐‘ + 1))))))
180179oveq1d 7373 . . . . . . 7 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ (((!โ€˜๐‘) / ((!โ€˜๐‘) ยท ((๐‘ + 1) / ((โˆšโ€˜(2 ยท (๐‘ + 1))) ยท (((๐‘ + 1) / e)โ†‘(๐‘ + 1)))))) / ((โˆšโ€˜(2 ยท ๐‘)) ยท ((๐‘ / e)โ†‘๐‘))) = ((((!โ€˜๐‘) / (!โ€˜๐‘)) / ((๐‘ + 1) / ((โˆšโ€˜(2 ยท (๐‘ + 1))) ยท (((๐‘ + 1) / e)โ†‘(๐‘ + 1))))) / ((โˆšโ€˜(2 ยท ๐‘)) ยท ((๐‘ / e)โ†‘๐‘))))
181102, 174dividd 11934 . . . . . . . . 9 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ ((!โ€˜๐‘) / (!โ€˜๐‘)) = 1)
182181oveq1d 7373 . . . . . . . 8 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ (((!โ€˜๐‘) / (!โ€˜๐‘)) / ((๐‘ + 1) / ((โˆšโ€˜(2 ยท (๐‘ + 1))) ยท (((๐‘ + 1) / e)โ†‘(๐‘ + 1))))) = (1 / ((๐‘ + 1) / ((โˆšโ€˜(2 ยท (๐‘ + 1))) ยท (((๐‘ + 1) / e)โ†‘(๐‘ + 1))))))
183182oveq1d 7373 . . . . . . 7 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ ((((!โ€˜๐‘) / (!โ€˜๐‘)) / ((๐‘ + 1) / ((โˆšโ€˜(2 ยท (๐‘ + 1))) ยท (((๐‘ + 1) / e)โ†‘(๐‘ + 1))))) / ((โˆšโ€˜(2 ยท ๐‘)) ยท ((๐‘ / e)โ†‘๐‘))) = ((1 / ((๐‘ + 1) / ((โˆšโ€˜(2 ยท (๐‘ + 1))) ยท (((๐‘ + 1) / e)โ†‘(๐‘ + 1))))) / ((โˆšโ€˜(2 ยท ๐‘)) ยท ((๐‘ / e)โ†‘๐‘))))
18422, 165, 26, 166recdivd 11953 . . . . . . . . 9 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ (1 / ((๐‘ + 1) / ((โˆšโ€˜(2 ยท (๐‘ + 1))) ยท (((๐‘ + 1) / e)โ†‘(๐‘ + 1))))) = (((โˆšโ€˜(2 ยท (๐‘ + 1))) ยท (((๐‘ + 1) / e)โ†‘(๐‘ + 1))) / (๐‘ + 1)))
185184oveq1d 7373 . . . . . . . 8 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ ((1 / ((๐‘ + 1) / ((โˆšโ€˜(2 ยท (๐‘ + 1))) ยท (((๐‘ + 1) / e)โ†‘(๐‘ + 1))))) / ((โˆšโ€˜(2 ยท ๐‘)) ยท ((๐‘ / e)โ†‘๐‘))) = ((((โˆšโ€˜(2 ยท (๐‘ + 1))) ยท (((๐‘ + 1) / e)โ†‘(๐‘ + 1))) / (๐‘ + 1)) / ((โˆšโ€˜(2 ยท ๐‘)) ยท ((๐‘ / e)โ†‘๐‘))))
186165, 22, 26divcld 11936 . . . . . . . . . 10 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ (((โˆšโ€˜(2 ยท (๐‘ + 1))) ยท (((๐‘ + 1) / e)โ†‘(๐‘ + 1))) / (๐‘ + 1)) โˆˆ โ„‚)
18787rpcnd 12964 . . . . . . . . . 10 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ (โˆšโ€˜(2 ยท ๐‘)) โˆˆ โ„‚)
18889rpcnd 12964 . . . . . . . . . 10 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ ((๐‘ / e)โ†‘๐‘) โˆˆ โ„‚)
18989rpne0d 12967 . . . . . . . . . 10 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ ((๐‘ / e)โ†‘๐‘) โ‰  0)
190186, 187, 188, 119, 189divdiv1d 11967 . . . . . . . . 9 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ (((((โˆšโ€˜(2 ยท (๐‘ + 1))) ยท (((๐‘ + 1) / e)โ†‘(๐‘ + 1))) / (๐‘ + 1)) / (โˆšโ€˜(2 ยท ๐‘))) / ((๐‘ / e)โ†‘๐‘)) = ((((โˆšโ€˜(2 ยท (๐‘ + 1))) ยท (((๐‘ + 1) / e)โ†‘(๐‘ + 1))) / (๐‘ + 1)) / ((โˆšโ€˜(2 ยท ๐‘)) ยท ((๐‘ / e)โ†‘๐‘))))
191165, 22, 187, 26, 119divdiv32d 11961 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ ((((โˆšโ€˜(2 ยท (๐‘ + 1))) ยท (((๐‘ + 1) / e)โ†‘(๐‘ + 1))) / (๐‘ + 1)) / (โˆšโ€˜(2 ยท ๐‘))) = ((((โˆšโ€˜(2 ยท (๐‘ + 1))) ยท (((๐‘ + 1) / e)โ†‘(๐‘ + 1))) / (โˆšโ€˜(2 ยท ๐‘))) / (๐‘ + 1)))
192154rpcnd 12964 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ (โˆšโ€˜(2 ยท (๐‘ + 1))) โˆˆ โ„‚)
193157rpcnd 12964 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ (((๐‘ + 1) / e)โ†‘(๐‘ + 1)) โˆˆ โ„‚)
194192, 193, 187, 119div23d 11973 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ (((โˆšโ€˜(2 ยท (๐‘ + 1))) ยท (((๐‘ + 1) / e)โ†‘(๐‘ + 1))) / (โˆšโ€˜(2 ยท ๐‘))) = (((โˆšโ€˜(2 ยท (๐‘ + 1))) / (โˆšโ€˜(2 ยท ๐‘))) ยท (((๐‘ + 1) / e)โ†‘(๐‘ + 1))))
19531rpred 12962 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ 2 โˆˆ โ„)
19631rpge0d 12966 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ 0 โ‰ค 2)
19721nnred 12173 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ (๐‘ + 1) โˆˆ โ„)
198149nn0ge0d 12481 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ 0 โ‰ค (๐‘ + 1))
199195, 196, 197, 198sqrtmuld 15315 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ (โˆšโ€˜(2 ยท (๐‘ + 1))) = ((โˆšโ€˜2) ยท (โˆšโ€˜(๐‘ + 1))))
200195, 196, 1, 3sqrtmuld 15315 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ (โˆšโ€˜(2 ยท ๐‘)) = ((โˆšโ€˜2) ยท (โˆšโ€˜๐‘)))
201199, 200oveq12d 7376 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ ((โˆšโ€˜(2 ยท (๐‘ + 1))) / (โˆšโ€˜(2 ยท ๐‘))) = (((โˆšโ€˜2) ยท (โˆšโ€˜(๐‘ + 1))) / ((โˆšโ€˜2) ยท (โˆšโ€˜๐‘))))
20229sqrtcld 15328 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ (โˆšโ€˜2) โˆˆ โ„‚)
20322sqrtcld 15328 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ (โˆšโ€˜(๐‘ + 1)) โˆˆ โ„‚)
20423sqrtcld 15328 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ (โˆšโ€˜๐‘) โˆˆ โ„‚)
20531rpsqrtcld 15302 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ (โˆšโ€˜2) โˆˆ โ„+)
206205rpne0d 12967 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ (โˆšโ€˜2) โ‰  0)
2075rpsqrtcld 15302 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ (โˆšโ€˜๐‘) โˆˆ โ„+)
208207rpne0d 12967 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ (โˆšโ€˜๐‘) โ‰  0)
209202, 202, 203, 204, 206, 208divmuldivd 11977 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ (((โˆšโ€˜2) / (โˆšโ€˜2)) ยท ((โˆšโ€˜(๐‘ + 1)) / (โˆšโ€˜๐‘))) = (((โˆšโ€˜2) ยท (โˆšโ€˜(๐‘ + 1))) / ((โˆšโ€˜2) ยท (โˆšโ€˜๐‘))))
210202, 206dividd 11934 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ ((โˆšโ€˜2) / (โˆšโ€˜2)) = 1)
211197, 198, 5sqrtdivd 15314 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ (โˆšโ€˜((๐‘ + 1) / ๐‘)) = ((โˆšโ€˜(๐‘ + 1)) / (โˆšโ€˜๐‘)))
212211eqcomd 2739 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ ((โˆšโ€˜(๐‘ + 1)) / (โˆšโ€˜๐‘)) = (โˆšโ€˜((๐‘ + 1) / ๐‘)))
213210, 212oveq12d 7376 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ (((โˆšโ€˜2) / (โˆšโ€˜2)) ยท ((โˆšโ€˜(๐‘ + 1)) / (โˆšโ€˜๐‘))) = (1 ยท (โˆšโ€˜((๐‘ + 1) / ๐‘))))
214201, 209, 2133eqtr2d 2779 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ ((โˆšโ€˜(2 ยท (๐‘ + 1))) / (โˆšโ€˜(2 ยท ๐‘))) = (1 ยท (โˆšโ€˜((๐‘ + 1) / ๐‘))))
215214oveq1d 7373 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ (((โˆšโ€˜(2 ยท (๐‘ + 1))) / (โˆšโ€˜(2 ยท ๐‘))) ยท (((๐‘ + 1) / e)โ†‘(๐‘ + 1))) = ((1 ยท (โˆšโ€˜((๐‘ + 1) / ๐‘))) ยท (((๐‘ + 1) / e)โ†‘(๐‘ + 1))))
21625sqrtcld 15328 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ (โˆšโ€˜((๐‘ + 1) / ๐‘)) โˆˆ โ„‚)
217216mulid2d 11178 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ (1 ยท (โˆšโ€˜((๐‘ + 1) / ๐‘))) = (โˆšโ€˜((๐‘ + 1) / ๐‘)))
218217oveq1d 7373 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ ((1 ยท (โˆšโ€˜((๐‘ + 1) / ๐‘))) ยท (((๐‘ + 1) / e)โ†‘(๐‘ + 1))) = ((โˆšโ€˜((๐‘ + 1) / ๐‘)) ยท (((๐‘ + 1) / e)โ†‘(๐‘ + 1))))
219194, 215, 2183eqtrd 2777 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ (((โˆšโ€˜(2 ยท (๐‘ + 1))) ยท (((๐‘ + 1) / e)โ†‘(๐‘ + 1))) / (โˆšโ€˜(2 ยท ๐‘))) = ((โˆšโ€˜((๐‘ + 1) / ๐‘)) ยท (((๐‘ + 1) / e)โ†‘(๐‘ + 1))))
220219oveq1d 7373 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ ((((โˆšโ€˜(2 ยท (๐‘ + 1))) ยท (((๐‘ + 1) / e)โ†‘(๐‘ + 1))) / (โˆšโ€˜(2 ยท ๐‘))) / (๐‘ + 1)) = (((โˆšโ€˜((๐‘ + 1) / ๐‘)) ยท (((๐‘ + 1) / e)โ†‘(๐‘ + 1))) / (๐‘ + 1)))
221191, 220eqtrd 2773 . . . . . . . . . 10 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ ((((โˆšโ€˜(2 ยท (๐‘ + 1))) ยท (((๐‘ + 1) / e)โ†‘(๐‘ + 1))) / (๐‘ + 1)) / (โˆšโ€˜(2 ยท ๐‘))) = (((โˆšโ€˜((๐‘ + 1) / ๐‘)) ยท (((๐‘ + 1) / e)โ†‘(๐‘ + 1))) / (๐‘ + 1)))
222221oveq1d 7373 . . . . . . . . 9 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ (((((โˆšโ€˜(2 ยท (๐‘ + 1))) ยท (((๐‘ + 1) / e)โ†‘(๐‘ + 1))) / (๐‘ + 1)) / (โˆšโ€˜(2 ยท ๐‘))) / ((๐‘ / e)โ†‘๐‘)) = ((((โˆšโ€˜((๐‘ + 1) / ๐‘)) ยท (((๐‘ + 1) / e)โ†‘(๐‘ + 1))) / (๐‘ + 1)) / ((๐‘ / e)โ†‘๐‘)))
223190, 222eqtr3d 2775 . . . . . . . 8 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ ((((โˆšโ€˜(2 ยท (๐‘ + 1))) ยท (((๐‘ + 1) / e)โ†‘(๐‘ + 1))) / (๐‘ + 1)) / ((โˆšโ€˜(2 ยท ๐‘)) ยท ((๐‘ / e)โ†‘๐‘))) = ((((โˆšโ€˜((๐‘ + 1) / ๐‘)) ยท (((๐‘ + 1) / e)โ†‘(๐‘ + 1))) / (๐‘ + 1)) / ((๐‘ / e)โ†‘๐‘)))
224216, 193mulcld 11180 . . . . . . . . . 10 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ ((โˆšโ€˜((๐‘ + 1) / ๐‘)) ยท (((๐‘ + 1) / e)โ†‘(๐‘ + 1))) โˆˆ โ„‚)
225224, 22, 188, 26, 189divdiv32d 11961 . . . . . . . . 9 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ ((((โˆšโ€˜((๐‘ + 1) / ๐‘)) ยท (((๐‘ + 1) / e)โ†‘(๐‘ + 1))) / (๐‘ + 1)) / ((๐‘ / e)โ†‘๐‘)) = ((((โˆšโ€˜((๐‘ + 1) / ๐‘)) ยท (((๐‘ + 1) / e)โ†‘(๐‘ + 1))) / ((๐‘ / e)โ†‘๐‘)) / (๐‘ + 1)))
226216, 193, 188, 189divassd 11971 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ (((โˆšโ€˜((๐‘ + 1) / ๐‘)) ยท (((๐‘ + 1) / e)โ†‘(๐‘ + 1))) / ((๐‘ / e)โ†‘๐‘)) = ((โˆšโ€˜((๐‘ + 1) / ๐‘)) ยท ((((๐‘ + 1) / e)โ†‘(๐‘ + 1)) / ((๐‘ / e)โ†‘๐‘))))
22712rpcnd 12964 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ e โˆˆ โ„‚)
22812rpne0d 12967 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ e โ‰  0)
22922, 227, 228, 149expdivd 14071 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ (((๐‘ + 1) / e)โ†‘(๐‘ + 1)) = (((๐‘ + 1)โ†‘(๐‘ + 1)) / (eโ†‘(๐‘ + 1))))
23023, 227, 228, 2expdivd 14071 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ ((๐‘ / e)โ†‘๐‘) = ((๐‘โ†‘๐‘) / (eโ†‘๐‘)))
231229, 230oveq12d 7376 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ ((((๐‘ + 1) / e)โ†‘(๐‘ + 1)) / ((๐‘ / e)โ†‘๐‘)) = ((((๐‘ + 1)โ†‘(๐‘ + 1)) / (eโ†‘(๐‘ + 1))) / ((๐‘โ†‘๐‘) / (eโ†‘๐‘))))
232231oveq2d 7374 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ ((โˆšโ€˜((๐‘ + 1) / ๐‘)) ยท ((((๐‘ + 1) / e)โ†‘(๐‘ + 1)) / ((๐‘ / e)โ†‘๐‘))) = ((โˆšโ€˜((๐‘ + 1) / ๐‘)) ยท ((((๐‘ + 1)โ†‘(๐‘ + 1)) / (eโ†‘(๐‘ + 1))) / ((๐‘โ†‘๐‘) / (eโ†‘๐‘)))))
23322, 149expcld 14057 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ ((๐‘ + 1)โ†‘(๐‘ + 1)) โˆˆ โ„‚)
234227, 149expcld 14057 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ (eโ†‘(๐‘ + 1)) โˆˆ โ„‚)
23523, 2expcld 14057 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ (๐‘โ†‘๐‘) โˆˆ โ„‚)
236227, 2expcld 14057 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ (eโ†‘๐‘) โˆˆ โ„‚)
237227, 228, 156expne0d 14063 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ (eโ†‘(๐‘ + 1)) โ‰  0)
238227, 228, 8expne0d 14063 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ (eโ†‘๐‘) โ‰  0)
23923, 24, 8expne0d 14063 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ (๐‘โ†‘๐‘) โ‰  0)
240233, 234, 235, 236, 237, 238, 239divdivdivd 11983 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ ((((๐‘ + 1)โ†‘(๐‘ + 1)) / (eโ†‘(๐‘ + 1))) / ((๐‘โ†‘๐‘) / (eโ†‘๐‘))) = ((((๐‘ + 1)โ†‘(๐‘ + 1)) ยท (eโ†‘๐‘)) / ((eโ†‘(๐‘ + 1)) ยท (๐‘โ†‘๐‘))))
241233, 236mulcomd 11181 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ (((๐‘ + 1)โ†‘(๐‘ + 1)) ยท (eโ†‘๐‘)) = ((eโ†‘๐‘) ยท ((๐‘ + 1)โ†‘(๐‘ + 1))))
242241oveq1d 7373 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ ((((๐‘ + 1)โ†‘(๐‘ + 1)) ยท (eโ†‘๐‘)) / ((eโ†‘(๐‘ + 1)) ยท (๐‘โ†‘๐‘))) = (((eโ†‘๐‘) ยท ((๐‘ + 1)โ†‘(๐‘ + 1))) / ((eโ†‘(๐‘ + 1)) ยท (๐‘โ†‘๐‘))))
243236, 234, 233, 235, 237, 239divmuldivd 11977 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ (((eโ†‘๐‘) / (eโ†‘(๐‘ + 1))) ยท (((๐‘ + 1)โ†‘(๐‘ + 1)) / (๐‘โ†‘๐‘))) = (((eโ†‘๐‘) ยท ((๐‘ + 1)โ†‘(๐‘ + 1))) / ((eโ†‘(๐‘ + 1)) ยท (๐‘โ†‘๐‘))))
244227, 2expp1d 14058 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ (eโ†‘(๐‘ + 1)) = ((eโ†‘๐‘) ยท e))
245244oveq2d 7374 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ ((eโ†‘๐‘) / (eโ†‘(๐‘ + 1))) = ((eโ†‘๐‘) / ((eโ†‘๐‘) ยท e)))
246236, 236, 227, 238, 228divdiv1d 11967 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ (((eโ†‘๐‘) / (eโ†‘๐‘)) / e) = ((eโ†‘๐‘) / ((eโ†‘๐‘) ยท e)))
247236, 238dividd 11934 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ ((eโ†‘๐‘) / (eโ†‘๐‘)) = 1)
248247oveq1d 7373 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ (((eโ†‘๐‘) / (eโ†‘๐‘)) / e) = (1 / e))
249245, 246, 2483eqtr2d 2779 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ ((eโ†‘๐‘) / (eโ†‘(๐‘ + 1))) = (1 / e))
250249oveq1d 7373 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ (((eโ†‘๐‘) / (eโ†‘(๐‘ + 1))) ยท (((๐‘ + 1)โ†‘(๐‘ + 1)) / (๐‘โ†‘๐‘))) = ((1 / e) ยท (((๐‘ + 1)โ†‘(๐‘ + 1)) / (๐‘โ†‘๐‘))))
251243, 250eqtr3d 2775 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ (((eโ†‘๐‘) ยท ((๐‘ + 1)โ†‘(๐‘ + 1))) / ((eโ†‘(๐‘ + 1)) ยท (๐‘โ†‘๐‘))) = ((1 / e) ยท (((๐‘ + 1)โ†‘(๐‘ + 1)) / (๐‘โ†‘๐‘))))
252240, 242, 2513eqtrd 2777 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ ((((๐‘ + 1)โ†‘(๐‘ + 1)) / (eโ†‘(๐‘ + 1))) / ((๐‘โ†‘๐‘) / (eโ†‘๐‘))) = ((1 / e) ยท (((๐‘ + 1)โ†‘(๐‘ + 1)) / (๐‘โ†‘๐‘))))
253252oveq2d 7374 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ ((โˆšโ€˜((๐‘ + 1) / ๐‘)) ยท ((((๐‘ + 1)โ†‘(๐‘ + 1)) / (eโ†‘(๐‘ + 1))) / ((๐‘โ†‘๐‘) / (eโ†‘๐‘)))) = ((โˆšโ€˜((๐‘ + 1) / ๐‘)) ยท ((1 / e) ยท (((๐‘ + 1)โ†‘(๐‘ + 1)) / (๐‘โ†‘๐‘)))))
254226, 232, 2533eqtrd 2777 . . . . . . . . . 10 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ (((โˆšโ€˜((๐‘ + 1) / ๐‘)) ยท (((๐‘ + 1) / e)โ†‘(๐‘ + 1))) / ((๐‘ / e)โ†‘๐‘)) = ((โˆšโ€˜((๐‘ + 1) / ๐‘)) ยท ((1 / e) ยท (((๐‘ + 1)โ†‘(๐‘ + 1)) / (๐‘โ†‘๐‘)))))
255254oveq1d 7373 . . . . . . . . 9 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ ((((โˆšโ€˜((๐‘ + 1) / ๐‘)) ยท (((๐‘ + 1) / e)โ†‘(๐‘ + 1))) / ((๐‘ / e)โ†‘๐‘)) / (๐‘ + 1)) = (((โˆšโ€˜((๐‘ + 1) / ๐‘)) ยท ((1 / e) ยท (((๐‘ + 1)โ†‘(๐‘ + 1)) / (๐‘โ†‘๐‘)))) / (๐‘ + 1)))
256233, 235, 239divcld 11936 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ (((๐‘ + 1)โ†‘(๐‘ + 1)) / (๐‘โ†‘๐‘)) โˆˆ โ„‚)
25735, 227, 256, 228div32d 11959 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ ((1 / e) ยท (((๐‘ + 1)โ†‘(๐‘ + 1)) / (๐‘โ†‘๐‘))) = (1 ยท ((((๐‘ + 1)โ†‘(๐‘ + 1)) / (๐‘โ†‘๐‘)) / e)))
258256, 227, 228divcld 11936 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ ((((๐‘ + 1)โ†‘(๐‘ + 1)) / (๐‘โ†‘๐‘)) / e) โˆˆ โ„‚)
259258mulid2d 11178 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ (1 ยท ((((๐‘ + 1)โ†‘(๐‘ + 1)) / (๐‘โ†‘๐‘)) / e)) = ((((๐‘ + 1)โ†‘(๐‘ + 1)) / (๐‘โ†‘๐‘)) / e))
260257, 259eqtrd 2773 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ ((1 / e) ยท (((๐‘ + 1)โ†‘(๐‘ + 1)) / (๐‘โ†‘๐‘))) = ((((๐‘ + 1)โ†‘(๐‘ + 1)) / (๐‘โ†‘๐‘)) / e))
261260oveq2d 7374 . . . . . . . . . 10 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ (((โˆšโ€˜((๐‘ + 1) / ๐‘)) / (๐‘ + 1)) ยท ((1 / e) ยท (((๐‘ + 1)โ†‘(๐‘ + 1)) / (๐‘โ†‘๐‘)))) = (((โˆšโ€˜((๐‘ + 1) / ๐‘)) / (๐‘ + 1)) ยท ((((๐‘ + 1)โ†‘(๐‘ + 1)) / (๐‘โ†‘๐‘)) / e)))
262227, 228reccld 11929 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ (1 / e) โˆˆ โ„‚)
263262, 256mulcld 11180 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ ((1 / e) ยท (((๐‘ + 1)โ†‘(๐‘ + 1)) / (๐‘โ†‘๐‘))) โˆˆ โ„‚)
264216, 263, 22, 26div23d 11973 . . . . . . . . . 10 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ (((โˆšโ€˜((๐‘ + 1) / ๐‘)) ยท ((1 / e) ยท (((๐‘ + 1)โ†‘(๐‘ + 1)) / (๐‘โ†‘๐‘)))) / (๐‘ + 1)) = (((โˆšโ€˜((๐‘ + 1) / ๐‘)) / (๐‘ + 1)) ยท ((1 / e) ยท (((๐‘ + 1)โ†‘(๐‘ + 1)) / (๐‘โ†‘๐‘)))))
265216, 22, 26divcld 11936 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ ((โˆšโ€˜((๐‘ + 1) / ๐‘)) / (๐‘ + 1)) โˆˆ โ„‚)
266265, 256, 227, 228divassd 11971 . . . . . . . . . 10 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ ((((โˆšโ€˜((๐‘ + 1) / ๐‘)) / (๐‘ + 1)) ยท (((๐‘ + 1)โ†‘(๐‘ + 1)) / (๐‘โ†‘๐‘))) / e) = (((โˆšโ€˜((๐‘ + 1) / ๐‘)) / (๐‘ + 1)) ยท ((((๐‘ + 1)โ†‘(๐‘ + 1)) / (๐‘โ†‘๐‘)) / e)))
267261, 264, 2663eqtr4d 2783 . . . . . . . . 9 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ (((โˆšโ€˜((๐‘ + 1) / ๐‘)) ยท ((1 / e) ยท (((๐‘ + 1)โ†‘(๐‘ + 1)) / (๐‘โ†‘๐‘)))) / (๐‘ + 1)) = ((((โˆšโ€˜((๐‘ + 1) / ๐‘)) / (๐‘ + 1)) ยท (((๐‘ + 1)โ†‘(๐‘ + 1)) / (๐‘โ†‘๐‘))) / e))
268225, 255, 2673eqtrd 2777 . . . . . . . 8 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ ((((โˆšโ€˜((๐‘ + 1) / ๐‘)) ยท (((๐‘ + 1) / e)โ†‘(๐‘ + 1))) / (๐‘ + 1)) / ((๐‘ / e)โ†‘๐‘)) = ((((โˆšโ€˜((๐‘ + 1) / ๐‘)) / (๐‘ + 1)) ยท (((๐‘ + 1)โ†‘(๐‘ + 1)) / (๐‘โ†‘๐‘))) / e))
269185, 223, 2683eqtrd 2777 . . . . . . 7 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ ((1 / ((๐‘ + 1) / ((โˆšโ€˜(2 ยท (๐‘ + 1))) ยท (((๐‘ + 1) / e)โ†‘(๐‘ + 1))))) / ((โˆšโ€˜(2 ยท ๐‘)) ยท ((๐‘ / e)โ†‘๐‘))) = ((((โˆšโ€˜((๐‘ + 1) / ๐‘)) / (๐‘ + 1)) ยท (((๐‘ + 1)โ†‘(๐‘ + 1)) / (๐‘โ†‘๐‘))) / e))
270180, 183, 2693eqtrd 2777 . . . . . 6 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ (((!โ€˜๐‘) / ((!โ€˜๐‘) ยท ((๐‘ + 1) / ((โˆšโ€˜(2 ยท (๐‘ + 1))) ยท (((๐‘ + 1) / e)โ†‘(๐‘ + 1)))))) / ((โˆšโ€˜(2 ยท ๐‘)) ยท ((๐‘ / e)โ†‘๐‘))) = ((((โˆšโ€˜((๐‘ + 1) / ๐‘)) / (๐‘ + 1)) ยท (((๐‘ + 1)โ†‘(๐‘ + 1)) / (๐‘โ†‘๐‘))) / e))
271169, 177, 2703eqtrd 2777 . . . . 5 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ (((!โ€˜๐‘) / ((โˆšโ€˜(2 ยท ๐‘)) ยท ((๐‘ / e)โ†‘๐‘))) / ((!โ€˜(๐‘ + 1)) / ((โˆšโ€˜(2 ยท (๐‘ + 1))) ยท (((๐‘ + 1) / e)โ†‘(๐‘ + 1))))) = ((((โˆšโ€˜((๐‘ + 1) / ๐‘)) / (๐‘ + 1)) ยท (((๐‘ + 1)โ†‘(๐‘ + 1)) / (๐‘โ†‘๐‘))) / e))
272216, 22, 256, 26div32d 11959 . . . . . . 7 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ (((โˆšโ€˜((๐‘ + 1) / ๐‘)) / (๐‘ + 1)) ยท (((๐‘ + 1)โ†‘(๐‘ + 1)) / (๐‘โ†‘๐‘))) = ((โˆšโ€˜((๐‘ + 1) / ๐‘)) ยท ((((๐‘ + 1)โ†‘(๐‘ + 1)) / (๐‘โ†‘๐‘)) / (๐‘ + 1))))
27322, 2expp1d 14058 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ ((๐‘ + 1)โ†‘(๐‘ + 1)) = (((๐‘ + 1)โ†‘๐‘) ยท (๐‘ + 1)))
274273oveq1d 7373 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ (((๐‘ + 1)โ†‘(๐‘ + 1)) / (๐‘ + 1)) = ((((๐‘ + 1)โ†‘๐‘) ยท (๐‘ + 1)) / (๐‘ + 1)))
27522, 2expcld 14057 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ ((๐‘ + 1)โ†‘๐‘) โˆˆ โ„‚)
276275, 22, 26divcan4d 11942 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ ((((๐‘ + 1)โ†‘๐‘) ยท (๐‘ + 1)) / (๐‘ + 1)) = ((๐‘ + 1)โ†‘๐‘))
277274, 276eqtrd 2773 . . . . . . . . . 10 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ (((๐‘ + 1)โ†‘(๐‘ + 1)) / (๐‘ + 1)) = ((๐‘ + 1)โ†‘๐‘))
278277oveq1d 7373 . . . . . . . . 9 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ ((((๐‘ + 1)โ†‘(๐‘ + 1)) / (๐‘ + 1)) / (๐‘โ†‘๐‘)) = (((๐‘ + 1)โ†‘๐‘) / (๐‘โ†‘๐‘)))
279233, 235, 22, 239, 26divdiv32d 11961 . . . . . . . . 9 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ ((((๐‘ + 1)โ†‘(๐‘ + 1)) / (๐‘โ†‘๐‘)) / (๐‘ + 1)) = ((((๐‘ + 1)โ†‘(๐‘ + 1)) / (๐‘ + 1)) / (๐‘โ†‘๐‘)))
28022, 23, 24, 2expdivd 14071 . . . . . . . . 9 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ (((๐‘ + 1) / ๐‘)โ†‘๐‘) = (((๐‘ + 1)โ†‘๐‘) / (๐‘โ†‘๐‘)))
281278, 279, 2803eqtr4d 2783 . . . . . . . 8 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ ((((๐‘ + 1)โ†‘(๐‘ + 1)) / (๐‘โ†‘๐‘)) / (๐‘ + 1)) = (((๐‘ + 1) / ๐‘)โ†‘๐‘))
282281oveq2d 7374 . . . . . . 7 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ ((โˆšโ€˜((๐‘ + 1) / ๐‘)) ยท ((((๐‘ + 1)โ†‘(๐‘ + 1)) / (๐‘โ†‘๐‘)) / (๐‘ + 1))) = ((โˆšโ€˜((๐‘ + 1) / ๐‘)) ยท (((๐‘ + 1) / ๐‘)โ†‘๐‘)))
283272, 282eqtrd 2773 . . . . . 6 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ (((โˆšโ€˜((๐‘ + 1) / ๐‘)) / (๐‘ + 1)) ยท (((๐‘ + 1)โ†‘(๐‘ + 1)) / (๐‘โ†‘๐‘))) = ((โˆšโ€˜((๐‘ + 1) / ๐‘)) ยท (((๐‘ + 1) / ๐‘)โ†‘๐‘)))
284283oveq1d 7373 . . . . 5 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ ((((โˆšโ€˜((๐‘ + 1) / ๐‘)) / (๐‘ + 1)) ยท (((๐‘ + 1)โ†‘(๐‘ + 1)) / (๐‘โ†‘๐‘))) / e) = (((โˆšโ€˜((๐‘ + 1) / ๐‘)) ยท (((๐‘ + 1) / ๐‘)โ†‘๐‘)) / e))
285161, 271, 2843eqtrd 2777 . . . 4 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ ((๐ดโ€˜๐‘) / (๐ดโ€˜(๐‘ + 1))) = (((โˆšโ€˜((๐‘ + 1) / ๐‘)) ยท (((๐‘ + 1) / ๐‘)โ†‘๐‘)) / e))
286285fveq2d 6847 . . 3 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ (logโ€˜((๐ดโ€˜๐‘) / (๐ดโ€˜(๐‘ + 1)))) = (logโ€˜(((โˆšโ€˜((๐‘ + 1) / ๐‘)) ยท (((๐‘ + 1) / ๐‘)โ†‘๐‘)) / e)))
28781, 82, 2863eqtr2d 2779 . 2 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ ((๐ตโ€˜๐‘) โˆ’ (๐ตโ€˜(๐‘ + 1))) = (logโ€˜(((โˆšโ€˜((๐‘ + 1) / ๐‘)) ยท (((๐‘ + 1) / ๐‘)โ†‘๐‘)) / e)))
28835, 43addcld 11179 . . . . . 6 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ (1 + (2 ยท ๐‘)) โˆˆ โ„‚)
289288halfcld 12403 . . . . 5 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ ((1 + (2 ยท ๐‘)) / 2) โˆˆ โ„‚)
290289, 28mulcld 11180 . . . 4 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ (((1 + (2 ยท ๐‘)) / 2) ยท (logโ€˜((๐‘ + 1) / ๐‘))) โˆˆ โ„‚)
291290, 35subcld 11517 . . 3 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ ((((1 + (2 ยท ๐‘)) / 2) ยท (logโ€˜((๐‘ + 1) / ๐‘))) โˆ’ 1) โˆˆ โ„‚)
292 stirlinglem4.3 . . . . 5 ๐ฝ = (๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ ((((1 + (2 ยท ๐‘›)) / 2) ยท (logโ€˜((๐‘› + 1) / ๐‘›))) โˆ’ 1))
293292a1i 11 . . . 4 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ((((1 + (2 ยท ๐‘)) / 2) ยท (logโ€˜((๐‘ + 1) / ๐‘))) โˆ’ 1) โˆˆ โ„‚) โ†’ ๐ฝ = (๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ ((((1 + (2 ยท ๐‘›)) / 2) ยท (logโ€˜((๐‘› + 1) / ๐‘›))) โˆ’ 1)))
294 simpr 486 . . . . . . . . 9 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ((((1 + (2 ยท ๐‘)) / 2) ยท (logโ€˜((๐‘ + 1) / ๐‘))) โˆ’ 1) โˆˆ โ„‚) โˆง ๐‘› = ๐‘) โ†’ ๐‘› = ๐‘)
295294oveq2d 7374 . . . . . . . 8 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ((((1 + (2 ยท ๐‘)) / 2) ยท (logโ€˜((๐‘ + 1) / ๐‘))) โˆ’ 1) โˆˆ โ„‚) โˆง ๐‘› = ๐‘) โ†’ (2 ยท ๐‘›) = (2 ยท ๐‘))
296295oveq2d 7374 . . . . . . 7 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ((((1 + (2 ยท ๐‘)) / 2) ยท (logโ€˜((๐‘ + 1) / ๐‘))) โˆ’ 1) โˆˆ โ„‚) โˆง ๐‘› = ๐‘) โ†’ (1 + (2 ยท ๐‘›)) = (1 + (2 ยท ๐‘)))
297296oveq1d 7373 . . . . . 6 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ((((1 + (2 ยท ๐‘)) / 2) ยท (logโ€˜((๐‘ + 1) / ๐‘))) โˆ’ 1) โˆˆ โ„‚) โˆง ๐‘› = ๐‘) โ†’ ((1 + (2 ยท ๐‘›)) / 2) = ((1 + (2 ยท ๐‘)) / 2))
298294oveq1d 7373 . . . . . . . 8 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ((((1 + (2 ยท ๐‘)) / 2) ยท (logโ€˜((๐‘ + 1) / ๐‘))) โˆ’ 1) โˆˆ โ„‚) โˆง ๐‘› = ๐‘) โ†’ (๐‘› + 1) = (๐‘ + 1))
299298, 294oveq12d 7376 . . . . . . 7 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ((((1 + (2 ยท ๐‘)) / 2) ยท (logโ€˜((๐‘ + 1) / ๐‘))) โˆ’ 1) โˆˆ โ„‚) โˆง ๐‘› = ๐‘) โ†’ ((๐‘› + 1) / ๐‘›) = ((๐‘ + 1) / ๐‘))
300299fveq2d 6847 . . . . . 6 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ((((1 + (2 ยท ๐‘)) / 2) ยท (logโ€˜((๐‘ + 1) / ๐‘))) โˆ’ 1) โˆˆ โ„‚) โˆง ๐‘› = ๐‘) โ†’ (logโ€˜((๐‘› + 1) / ๐‘›)) = (logโ€˜((๐‘ + 1) / ๐‘)))
301297, 300oveq12d 7376 . . . . 5 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ((((1 + (2 ยท ๐‘)) / 2) ยท (logโ€˜((๐‘ + 1) / ๐‘))) โˆ’ 1) โˆˆ โ„‚) โˆง ๐‘› = ๐‘) โ†’ (((1 + (2 ยท ๐‘›)) / 2) ยท (logโ€˜((๐‘› + 1) / ๐‘›))) = (((1 + (2 ยท ๐‘)) / 2) ยท (logโ€˜((๐‘ + 1) / ๐‘))))
302301oveq1d 7373 . . . 4 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ((((1 + (2 ยท ๐‘)) / 2) ยท (logโ€˜((๐‘ + 1) / ๐‘))) โˆ’ 1) โˆˆ โ„‚) โˆง ๐‘› = ๐‘) โ†’ ((((1 + (2 ยท ๐‘›)) / 2) ยท (logโ€˜((๐‘› + 1) / ๐‘›))) โˆ’ 1) = ((((1 + (2 ยท ๐‘)) / 2) ยท (logโ€˜((๐‘ + 1) / ๐‘))) โˆ’ 1))
303 simpl 484 . . . 4 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ((((1 + (2 ยท ๐‘)) / 2) ยท (logโ€˜((๐‘ + 1) / ๐‘))) โˆ’ 1) โˆˆ โ„‚) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•)
304 simpr 486 . . . 4 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ((((1 + (2 ยท ๐‘)) / 2) ยท (logโ€˜((๐‘ + 1) / ๐‘))) โˆ’ 1) โˆˆ โ„‚) โ†’ ((((1 + (2 ยท ๐‘)) / 2) ยท (logโ€˜((๐‘ + 1) / ๐‘))) โˆ’ 1) โˆˆ โ„‚)
305293, 302, 303, 304fvmptd 6956 . . 3 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ((((1 + (2 ยท ๐‘)) / 2) ยท (logโ€˜((๐‘ + 1) / ๐‘))) โˆ’ 1) โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐ฝโ€˜๐‘) = ((((1 + (2 ยท ๐‘)) / 2) ยท (logโ€˜((๐‘ + 1) / ๐‘))) โˆ’ 1))
306291, 305mpdan 686 . 2 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ (๐ฝโ€˜๐‘) = ((((1 + (2 ยท ๐‘)) / 2) ยท (logโ€˜((๐‘ + 1) / ๐‘))) โˆ’ 1))
30752, 287, 3063eqtr4d 2783 1 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ ((๐ตโ€˜๐‘) โˆ’ (๐ตโ€˜(๐‘ + 1))) = (๐ฝโ€˜๐‘))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 397   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107   โ‰  wne 2940   โ†ฆ cmpt 5189  โ€˜cfv 6497  (class class class)co 7358  โ„‚cc 11054  โ„cr 11055  0cc0 11056  1c1 11057   + caddc 11059   ยท cmul 11061   โˆ’ cmin 11390   / cdiv 11817  โ„•cn 12158  2c2 12213  โ„•0cn0 12418  โ„คcz 12504  โ„+crp 12920  โ†‘cexp 13973  !cfa 14179  โˆšcsqrt 15124  eceu 15950  logclog 25926
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5243  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-inf2 9582  ax-cnex 11112  ax-resscn 11113  ax-1cn 11114  ax-icn 11115  ax-addcl 11116  ax-addrcl 11117  ax-mulcl 11118  ax-mulrcl 11119  ax-mulcom 11120  ax-addass 11121  ax-mulass 11122  ax-distr 11123  ax-i2m1 11124  ax-1ne0 11125  ax-1rid 11126  ax-rnegex 11127  ax-rrecex 11128  ax-cnre 11129  ax-pre-lttri 11130  ax-pre-lttrn 11131  ax-pre-ltadd 11132  ax-pre-mulgt0 11133  ax-pre-sup 11134  ax-addf 11135  ax-mulf 11136
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-tp 4592  df-op 4594  df-uni 4867  df-int 4909  df-iun 4957  df-iin 4958  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-se 5590  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-isom 6506  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-of 7618  df-om 7804  df-1st 7922  df-2nd 7923  df-supp 8094  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-1o 8413  df-2o 8414  df-er 8651  df-map 8770  df-pm 8771  df-ixp 8839  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-fin 8890  df-fsupp 9309  df-fi 9352  df-sup 9383  df-inf 9384  df-oi 9451  df-card 9880  df-pnf 11196  df-mnf 11197  df-xr 11198  df-ltxr 11199  df-le 11200  df-sub 11392  df-neg 11393  df-div 11818  df-nn 12159  df-2 12221  df-3 12222  df-4 12223  df-5 12224  df-6 12225  df-7 12226  df-8 12227  df-9 12228  df-n0 12419  df-z 12505  df-dec 12624  df-uz 12769  df-q 12879  df-rp 12921  df-xneg 13038  df-xadd 13039  df-xmul 13040  df-ioo 13274  df-ioc 13275  df-ico 13276  df-icc 13277  df-fz 13431  df-fzo 13574  df-fl 13703  df-mod 13781  df-seq 13913  df-exp 13974  df-fac 14180  df-bc 14209  df-hash 14237  df-shft 14958  df-cj 14990  df-re 14991  df-im 14992  df-sqrt 15126  df-abs 15127  df-limsup 15359  df-clim 15376  df-rlim 15377  df-sum 15577  df-ef 15955  df-e 15956  df-sin 15957  df-cos 15958  df-pi 15960  df-struct 17024  df-sets 17041  df-slot 17059  df-ndx 17071  df-base 17089  df-ress 17118  df-plusg 17151  df-mulr 17152  df-starv 17153  df-sca 17154  df-vsca 17155  df-ip 17156  df-tset 17157  df-ple 17158  df-ds 17160  df-unif 17161  df-hom 17162  df-cco 17163  df-rest 17309  df-topn 17310  df-0g 17328  df-gsum 17329  df-topgen 17330  df-pt 17331  df-prds 17334  df-xrs 17389  df-qtop 17394  df-imas 17395  df-xps 17397  df-mre 17471  df-mrc 17472  df-acs 17474  df-mgm 18502  df-sgrp 18551  df-mnd 18562  df-submnd 18607  df-mulg 18878  df-cntz 19102  df-cmn 19569  df-psmet 20804  df-xmet 20805  df-met 20806  df-bl 20807  df-mopn 20808  df-fbas 20809  df-fg 20810  df-cnfld 20813  df-top 22259  df-topon 22276  df-topsp 22298  df-bases 22312  df-cld 22386  df-ntr 22387  df-cls 22388  df-nei 22465  df-lp 22503  df-perf 22504  df-cn 22594  df-cnp 22595  df-haus 22682  df-tx 22929  df-hmeo 23122  df-fil 23213  df-fm 23305  df-flim 23306  df-flf 23307  df-xms 23689  df-ms 23690  df-tms 23691  df-cncf 24257  df-limc 25246  df-dv 25247  df-log 25928  df-cxp 25929
This theorem is referenced by:  stirlinglem9  44409
  Copyright terms: Public domain W3C validator