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Theorem stirlinglem10 44010
Description: A bound for any B(N)-B(N + 1) that will allow to find a lower bound for the whole 𝐵 sequence. (Contributed by Glauco Siliprandi, 29-Jun-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
stirlinglem10.1 𝐴 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((!‘𝑛) / ((√‘(2 · 𝑛)) · ((𝑛 / e)↑𝑛))))
stirlinglem10.2 𝐵 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (log‘(𝐴𝑛)))
stirlinglem10.4 𝐾 = (𝑘 ∈ ℕ ↦ ((1 / ((2 · 𝑘) + 1)) · ((1 / ((2 · 𝑁) + 1))↑(2 · 𝑘))))
stirlinglem10.5 𝐿 = (𝑘 ∈ ℕ ↦ ((1 / (((2 · 𝑁) + 1)↑2))↑𝑘))
Assertion
Ref Expression
stirlinglem10 (𝑁 ∈ ℕ → ((𝐵𝑁) − (𝐵‘(𝑁 + 1))) ≤ ((1 / 4) · (1 / (𝑁 · (𝑁 + 1)))))
Distinct variable groups:   𝑘,𝑛   𝑛,𝐾   𝑛,𝐿   𝑘,𝑁,𝑛
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑘,𝑛)   𝐵(𝑘,𝑛)   𝐾(𝑘)   𝐿(𝑘)

Proof of Theorem stirlinglem10
Dummy variables 𝑖 𝑗 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nnuz 12727 . 2 ℕ = (ℤ‘1)
2 1zzd 12457 . 2 (𝑁 ∈ ℕ → 1 ∈ ℤ)
3 stirlinglem10.1 . . 3 𝐴 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((!‘𝑛) / ((√‘(2 · 𝑛)) · ((𝑛 / e)↑𝑛))))
4 stirlinglem10.2 . . 3 𝐵 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (log‘(𝐴𝑛)))
5 eqid 2737 . . 3 (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((((1 + (2 · 𝑛)) / 2) · (log‘((𝑛 + 1) / 𝑛))) − 1)) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((((1 + (2 · 𝑛)) / 2) · (log‘((𝑛 + 1) / 𝑛))) − 1))
6 stirlinglem10.4 . . 3 𝐾 = (𝑘 ∈ ℕ ↦ ((1 / ((2 · 𝑘) + 1)) · ((1 / ((2 · 𝑁) + 1))↑(2 · 𝑘))))
73, 4, 5, 6stirlinglem9 44009 . 2 (𝑁 ∈ ℕ → seq1( + , 𝐾) ⇝ ((𝐵𝑁) − (𝐵‘(𝑁 + 1))))
8 2cnd 12157 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ → 2 ∈ ℂ)
9 nncn 12087 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℂ)
108, 9mulcld 11101 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ → (2 · 𝑁) ∈ ℂ)
11 1cnd 11076 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ → 1 ∈ ℂ)
1210, 11addcld 11100 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → ((2 · 𝑁) + 1) ∈ ℂ)
1312sqcld 13968 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → (((2 · 𝑁) + 1)↑2) ∈ ℂ)
14 0red 11084 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ → 0 ∈ ℝ)
15 1red 11082 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ → 1 ∈ ℝ)
16 2re 12153 . . . . . . . . . . 11 2 ∈ ℝ
1716a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℕ → 2 ∈ ℝ)
18 nnre 12086 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℝ)
1917, 18remulcld 11111 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℕ → (2 · 𝑁) ∈ ℝ)
2019, 15readdcld 11110 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ → ((2 · 𝑁) + 1) ∈ ℝ)
21 0lt1 11603 . . . . . . . . 9 0 < 1
2221a1i 11 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ → 0 < 1)
23 2rp 12841 . . . . . . . . . . 11 2 ∈ ℝ+
2423a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℕ → 2 ∈ ℝ+)
25 nnrp 12847 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℝ+)
2624, 25rpmulcld 12894 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℕ → (2 · 𝑁) ∈ ℝ+)
2715, 26ltaddrp2d 12912 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ → 1 < ((2 · 𝑁) + 1))
2814, 15, 20, 22, 27lttrd 11242 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ → 0 < ((2 · 𝑁) + 1))
2928gt0ne0d 11645 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → ((2 · 𝑁) + 1) ≠ 0)
30 2z 12458 . . . . . . 7 2 ∈ ℤ
3130a1i 11 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → 2 ∈ ℤ)
3212, 29, 31expne0d 13976 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → (((2 · 𝑁) + 1)↑2) ≠ 0)
3313, 32reccld 11850 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ → (1 / (((2 · 𝑁) + 1)↑2)) ∈ ℂ)
3415renegcld 11508 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → -1 ∈ ℝ)
3520resqcld 14071 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ → (((2 · 𝑁) + 1)↑2) ∈ ℝ)
3635, 32rereccld 11908 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → (1 / (((2 · 𝑁) + 1)↑2)) ∈ ℝ)
37 1re 11081 . . . . . . . 8 1 ∈ ℝ
38 lt0neg2 11588 . . . . . . . 8 (1 ∈ ℝ → (0 < 1 ↔ -1 < 0))
3937, 38ax-mp 5 . . . . . . 7 (0 < 1 ↔ -1 < 0)
4022, 39sylib 217 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → -1 < 0)
4120, 29sqgt0d 14073 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ → 0 < (((2 · 𝑁) + 1)↑2))
4235, 41recgt0d 12015 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → 0 < (1 / (((2 · 𝑁) + 1)↑2)))
4334, 14, 36, 40, 42lttrd 11242 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → -1 < (1 / (((2 · 𝑁) + 1)↑2)))
44 2nn 12152 . . . . . . . 8 2 ∈ ℕ
4544a1i 11 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ → 2 ∈ ℕ)
46 expgt1 13927 . . . . . . 7 ((((2 · 𝑁) + 1) ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℕ ∧ 1 < ((2 · 𝑁) + 1)) → 1 < (((2 · 𝑁) + 1)↑2))
4720, 45, 27, 46syl3anc 1371 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → 1 < (((2 · 𝑁) + 1)↑2))
4835, 41elrpd 12875 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ → (((2 · 𝑁) + 1)↑2) ∈ ℝ+)
4948recgt1d 12892 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → (1 < (((2 · 𝑁) + 1)↑2) ↔ (1 / (((2 · 𝑁) + 1)↑2)) < 1))
5047, 49mpbid 231 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → (1 / (((2 · 𝑁) + 1)↑2)) < 1)
5136, 15absltd 15241 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → ((abs‘(1 / (((2 · 𝑁) + 1)↑2))) < 1 ↔ (-1 < (1 / (((2 · 𝑁) + 1)↑2)) ∧ (1 / (((2 · 𝑁) + 1)↑2)) < 1)))
5243, 50, 51mpbir2and 711 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ → (abs‘(1 / (((2 · 𝑁) + 1)↑2))) < 1)
53 1nn0 12355 . . . . 5 1 ∈ ℕ0
5453a1i 11 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ → 1 ∈ ℕ0)
55 stirlinglem10.5 . . . . . 6 𝐿 = (𝑘 ∈ ℕ ↦ ((1 / (((2 · 𝑁) + 1)↑2))↑𝑘))
5655a1i 11 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ (ℤ‘1)) → 𝐿 = (𝑘 ∈ ℕ ↦ ((1 / (((2 · 𝑁) + 1)↑2))↑𝑘)))
57 simpr 486 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ (ℤ‘1)) ∧ 𝑘 = 𝑗) → 𝑘 = 𝑗)
5857oveq2d 7358 . . . . 5 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ (ℤ‘1)) ∧ 𝑘 = 𝑗) → ((1 / (((2 · 𝑁) + 1)↑2))↑𝑘) = ((1 / (((2 · 𝑁) + 1)↑2))↑𝑗))
59 elnnuz 12728 . . . . . . 7 (𝑗 ∈ ℕ ↔ 𝑗 ∈ (ℤ‘1))
6059biimpri 227 . . . . . 6 (𝑗 ∈ (ℤ‘1) → 𝑗 ∈ ℕ)
6160adantl 483 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ (ℤ‘1)) → 𝑗 ∈ ℕ)
6233adantr 482 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ (ℤ‘1)) → (1 / (((2 · 𝑁) + 1)↑2)) ∈ ℂ)
6361nnnn0d 12399 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ (ℤ‘1)) → 𝑗 ∈ ℕ0)
6462, 63expcld 13970 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ (ℤ‘1)) → ((1 / (((2 · 𝑁) + 1)↑2))↑𝑗) ∈ ℂ)
6556, 58, 61, 64fvmptd 6943 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ (ℤ‘1)) → (𝐿𝑗) = ((1 / (((2 · 𝑁) + 1)↑2))↑𝑗))
6633, 52, 54, 65geolim2 15683 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ → seq1( + , 𝐿) ⇝ (((1 / (((2 · 𝑁) + 1)↑2))↑1) / (1 − (1 / (((2 · 𝑁) + 1)↑2)))))
6733exp1d 13965 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → ((1 / (((2 · 𝑁) + 1)↑2))↑1) = (1 / (((2 · 𝑁) + 1)↑2)))
6813, 32dividd 11855 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ → ((((2 · 𝑁) + 1)↑2) / (((2 · 𝑁) + 1)↑2)) = 1)
6968eqcomd 2743 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ → 1 = ((((2 · 𝑁) + 1)↑2) / (((2 · 𝑁) + 1)↑2)))
7069oveq1d 7357 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → (1 − (1 / (((2 · 𝑁) + 1)↑2))) = (((((2 · 𝑁) + 1)↑2) / (((2 · 𝑁) + 1)↑2)) − (1 / (((2 · 𝑁) + 1)↑2))))
7148rpcnne0d 12887 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ → ((((2 · 𝑁) + 1)↑2) ∈ ℂ ∧ (((2 · 𝑁) + 1)↑2) ≠ 0))
72 divsubdir 11775 . . . . . . 7 (((((2 · 𝑁) + 1)↑2) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ ∧ ((((2 · 𝑁) + 1)↑2) ∈ ℂ ∧ (((2 · 𝑁) + 1)↑2) ≠ 0)) → (((((2 · 𝑁) + 1)↑2) − 1) / (((2 · 𝑁) + 1)↑2)) = (((((2 · 𝑁) + 1)↑2) / (((2 · 𝑁) + 1)↑2)) − (1 / (((2 · 𝑁) + 1)↑2))))
7313, 11, 71, 72syl3anc 1371 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → (((((2 · 𝑁) + 1)↑2) − 1) / (((2 · 𝑁) + 1)↑2)) = (((((2 · 𝑁) + 1)↑2) / (((2 · 𝑁) + 1)↑2)) − (1 / (((2 · 𝑁) + 1)↑2))))
74 ax-1cn 11035 . . . . . . . . . 10 1 ∈ ℂ
75 binom2 14039 . . . . . . . . . 10 (((2 · 𝑁) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (((2 · 𝑁) + 1)↑2) = ((((2 · 𝑁)↑2) + (2 · ((2 · 𝑁) · 1))) + (1↑2)))
7610, 74, 75sylancl 587 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℕ → (((2 · 𝑁) + 1)↑2) = ((((2 · 𝑁)↑2) + (2 · ((2 · 𝑁) · 1))) + (1↑2)))
7776oveq1d 7357 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ → ((((2 · 𝑁) + 1)↑2) − 1) = (((((2 · 𝑁)↑2) + (2 · ((2 · 𝑁) · 1))) + (1↑2)) − 1))
788, 9sqmuld 13982 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑁 ∈ ℕ → ((2 · 𝑁)↑2) = ((2↑2) · (𝑁↑2)))
79 sq2 14020 . . . . . . . . . . . . . . 15 (2↑2) = 4
8079a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑁 ∈ ℕ → (2↑2) = 4)
8180oveq1d 7357 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑁 ∈ ℕ → ((2↑2) · (𝑁↑2)) = (4 · (𝑁↑2)))
8278, 81eqtrd 2777 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 ∈ ℕ → ((2 · 𝑁)↑2) = (4 · (𝑁↑2)))
8310mulid1d 11098 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑁 ∈ ℕ → ((2 · 𝑁) · 1) = (2 · 𝑁))
8483oveq2d 7358 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑁 ∈ ℕ → (2 · ((2 · 𝑁) · 1)) = (2 · (2 · 𝑁)))
858, 8, 9mulassd 11104 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑁 ∈ ℕ → ((2 · 2) · 𝑁) = (2 · (2 · 𝑁)))
86 2t2e4 12243 . . . . . . . . . . . . . . 15 (2 · 2) = 4
8786a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑁 ∈ ℕ → (2 · 2) = 4)
8887oveq1d 7357 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑁 ∈ ℕ → ((2 · 2) · 𝑁) = (4 · 𝑁))
8984, 85, 883eqtr2d 2783 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 ∈ ℕ → (2 · ((2 · 𝑁) · 1)) = (4 · 𝑁))
9082, 89oveq12d 7360 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ ℕ → (((2 · 𝑁)↑2) + (2 · ((2 · 𝑁) · 1))) = ((4 · (𝑁↑2)) + (4 · 𝑁)))
91 4cn 12164 . . . . . . . . . . . . 13 4 ∈ ℂ
9291a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 ∈ ℕ → 4 ∈ ℂ)
939sqcld 13968 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁↑2) ∈ ℂ)
9492, 93, 9adddid 11105 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ ℕ → (4 · ((𝑁↑2) + 𝑁)) = ((4 · (𝑁↑2)) + (4 · 𝑁)))
959sqvald 13967 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁↑2) = (𝑁 · 𝑁))
969mulid1d 11098 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 · 1) = 𝑁)
9796eqcomd 2743 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 = (𝑁 · 1))
9895, 97oveq12d 7360 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑁↑2) + 𝑁) = ((𝑁 · 𝑁) + (𝑁 · 1)))
999, 9, 11adddid 11105 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 · (𝑁 + 1)) = ((𝑁 · 𝑁) + (𝑁 · 1)))
10098, 99eqtr4d 2780 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑁↑2) + 𝑁) = (𝑁 · (𝑁 + 1)))
101100oveq2d 7358 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ ℕ → (4 · ((𝑁↑2) + 𝑁)) = (4 · (𝑁 · (𝑁 + 1))))
10290, 94, 1013eqtr2d 2783 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℕ → (((2 · 𝑁)↑2) + (2 · ((2 · 𝑁) · 1))) = (4 · (𝑁 · (𝑁 + 1))))
103 sq1 14018 . . . . . . . . . . 11 (1↑2) = 1
104103a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℕ → (1↑2) = 1)
105102, 104oveq12d 7360 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℕ → ((((2 · 𝑁)↑2) + (2 · ((2 · 𝑁) · 1))) + (1↑2)) = ((4 · (𝑁 · (𝑁 + 1))) + 1))
106105oveq1d 7357 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ → (((((2 · 𝑁)↑2) + (2 · ((2 · 𝑁) · 1))) + (1↑2)) − 1) = (((4 · (𝑁 · (𝑁 + 1))) + 1) − 1))
1079, 11addcld 11100 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 + 1) ∈ ℂ)
1089, 107mulcld 11101 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 · (𝑁 + 1)) ∈ ℂ)
10992, 108mulcld 11101 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℕ → (4 · (𝑁 · (𝑁 + 1))) ∈ ℂ)
110109, 11pncand 11439 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ → (((4 · (𝑁 · (𝑁 + 1))) + 1) − 1) = (4 · (𝑁 · (𝑁 + 1))))
11177, 106, 1103eqtrd 2781 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ → ((((2 · 𝑁) + 1)↑2) − 1) = (4 · (𝑁 · (𝑁 + 1))))
112111oveq1d 7357 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → (((((2 · 𝑁) + 1)↑2) − 1) / (((2 · 𝑁) + 1)↑2)) = ((4 · (𝑁 · (𝑁 + 1))) / (((2 · 𝑁) + 1)↑2)))
11370, 73, 1123eqtr2d 2783 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → (1 − (1 / (((2 · 𝑁) + 1)↑2))) = ((4 · (𝑁 · (𝑁 + 1))) / (((2 · 𝑁) + 1)↑2)))
11467, 113oveq12d 7360 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ → (((1 / (((2 · 𝑁) + 1)↑2))↑1) / (1 − (1 / (((2 · 𝑁) + 1)↑2)))) = ((1 / (((2 · 𝑁) + 1)↑2)) / ((4 · (𝑁 · (𝑁 + 1))) / (((2 · 𝑁) + 1)↑2))))
115 4pos 12186 . . . . . . . . 9 0 < 4
116115a1i 11 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ → 0 < 4)
117116gt0ne0d 11645 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ → 4 ≠ 0)
118 nnne0 12113 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ≠ 0)
11918, 15readdcld 11110 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 + 1) ∈ ℝ)
120 nngt0 12110 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℕ → 0 < 𝑁)
12118ltp1d 12011 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 < (𝑁 + 1))
12214, 18, 119, 120, 121lttrd 11242 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℕ → 0 < (𝑁 + 1))
123122gt0ne0d 11645 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 + 1) ≠ 0)
1249, 107, 118, 123mulne0d 11733 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 · (𝑁 + 1)) ≠ 0)
12592, 108, 117, 124mulne0d 11733 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → (4 · (𝑁 · (𝑁 + 1))) ≠ 0)
12611, 13, 109, 13, 32, 32, 125divdivdivd 11904 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → ((1 / (((2 · 𝑁) + 1)↑2)) / ((4 · (𝑁 · (𝑁 + 1))) / (((2 · 𝑁) + 1)↑2))) = ((1 · (((2 · 𝑁) + 1)↑2)) / ((((2 · 𝑁) + 1)↑2) · (4 · (𝑁 · (𝑁 + 1))))))
12711, 13mulcomd 11102 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → (1 · (((2 · 𝑁) + 1)↑2)) = ((((2 · 𝑁) + 1)↑2) · 1))
128127oveq1d 7357 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → ((1 · (((2 · 𝑁) + 1)↑2)) / ((((2 · 𝑁) + 1)↑2) · (4 · (𝑁 · (𝑁 + 1))))) = (((((2 · 𝑁) + 1)↑2) · 1) / ((((2 · 𝑁) + 1)↑2) · (4 · (𝑁 · (𝑁 + 1))))))
12911mulid1d 11098 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℕ → (1 · 1) = 1)
130129eqcomd 2743 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℕ → 1 = (1 · 1))
131130oveq1d 7357 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ → (1 / (4 · (𝑁 · (𝑁 + 1)))) = ((1 · 1) / (4 · (𝑁 · (𝑁 + 1)))))
13211, 92, 11, 108, 117, 124divmuldivd 11898 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ → ((1 / 4) · (1 / (𝑁 · (𝑁 + 1)))) = ((1 · 1) / (4 · (𝑁 · (𝑁 + 1)))))
133131, 132eqtr4d 2780 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ → (1 / (4 · (𝑁 · (𝑁 + 1)))) = ((1 / 4) · (1 / (𝑁 · (𝑁 + 1)))))
13468, 133oveq12d 7360 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → (((((2 · 𝑁) + 1)↑2) / (((2 · 𝑁) + 1)↑2)) · (1 / (4 · (𝑁 · (𝑁 + 1))))) = (1 · ((1 / 4) · (1 / (𝑁 · (𝑁 + 1))))))
13513, 13, 11, 109, 32, 125divmuldivd 11898 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → (((((2 · 𝑁) + 1)↑2) / (((2 · 𝑁) + 1)↑2)) · (1 / (4 · (𝑁 · (𝑁 + 1))))) = (((((2 · 𝑁) + 1)↑2) · 1) / ((((2 · 𝑁) + 1)↑2) · (4 · (𝑁 · (𝑁 + 1))))))
13692, 117reccld 11850 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ → (1 / 4) ∈ ℂ)
137108, 124reccld 11850 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ → (1 / (𝑁 · (𝑁 + 1))) ∈ ℂ)
138136, 137mulcld 11101 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ → ((1 / 4) · (1 / (𝑁 · (𝑁 + 1)))) ∈ ℂ)
139138mulid2d 11099 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → (1 · ((1 / 4) · (1 / (𝑁 · (𝑁 + 1))))) = ((1 / 4) · (1 / (𝑁 · (𝑁 + 1)))))
140134, 135, 1393eqtr3d 2785 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → (((((2 · 𝑁) + 1)↑2) · 1) / ((((2 · 𝑁) + 1)↑2) · (4 · (𝑁 · (𝑁 + 1))))) = ((1 / 4) · (1 / (𝑁 · (𝑁 + 1)))))
141126, 128, 1403eqtrd 2781 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ → ((1 / (((2 · 𝑁) + 1)↑2)) / ((4 · (𝑁 · (𝑁 + 1))) / (((2 · 𝑁) + 1)↑2))) = ((1 / 4) · (1 / (𝑁 · (𝑁 + 1)))))
142114, 141eqtrd 2777 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ → (((1 / (((2 · 𝑁) + 1)↑2))↑1) / (1 − (1 / (((2 · 𝑁) + 1)↑2)))) = ((1 / 4) · (1 / (𝑁 · (𝑁 + 1)))))
14366, 142breqtrd 5123 . 2 (𝑁 ∈ ℕ → seq1( + , 𝐿) ⇝ ((1 / 4) · (1 / (𝑁 · (𝑁 + 1)))))
14459biimpi 215 . . . 4 (𝑗 ∈ ℕ → 𝑗 ∈ (ℤ‘1))
145144adantl 483 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → 𝑗 ∈ (ℤ‘1))
146 oveq2 7350 . . . . . . . . 9 (𝑘 = 𝑛 → (2 · 𝑘) = (2 · 𝑛))
147146oveq1d 7357 . . . . . . . 8 (𝑘 = 𝑛 → ((2 · 𝑘) + 1) = ((2 · 𝑛) + 1))
148147oveq2d 7358 . . . . . . 7 (𝑘 = 𝑛 → (1 / ((2 · 𝑘) + 1)) = (1 / ((2 · 𝑛) + 1)))
149146oveq2d 7358 . . . . . . 7 (𝑘 = 𝑛 → ((1 / ((2 · 𝑁) + 1))↑(2 · 𝑘)) = ((1 / ((2 · 𝑁) + 1))↑(2 · 𝑛)))
150148, 149oveq12d 7360 . . . . . 6 (𝑘 = 𝑛 → ((1 / ((2 · 𝑘) + 1)) · ((1 / ((2 · 𝑁) + 1))↑(2 · 𝑘))) = ((1 / ((2 · 𝑛) + 1)) · ((1 / ((2 · 𝑁) + 1))↑(2 · 𝑛))))
151 elfznn 13391 . . . . . . 7 (𝑛 ∈ (1...𝑗) → 𝑛 ∈ ℕ)
152151adantl 483 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → 𝑛 ∈ ℕ)
153 2cnd 12157 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → 2 ∈ ℂ)
154152nncnd 12095 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → 𝑛 ∈ ℂ)
155153, 154mulcld 11101 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → (2 · 𝑛) ∈ ℂ)
156 1cnd 11076 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → 1 ∈ ℂ)
157155, 156addcld 11100 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → ((2 · 𝑛) + 1) ∈ ℂ)
158 0red 11084 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 ∈ ℕ → 0 ∈ ℝ)
159 1red 11082 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 ∈ ℕ → 1 ∈ ℝ)
16016a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑛 ∈ ℕ → 2 ∈ ℝ)
161 nnre 12086 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈ ℝ)
162160, 161remulcld 11111 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 ∈ ℕ → (2 · 𝑛) ∈ ℝ)
163162, 159readdcld 11110 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 ∈ ℕ → ((2 · 𝑛) + 1) ∈ ℝ)
16421a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 ∈ ℕ → 0 < 1)
16523a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑛 ∈ ℕ → 2 ∈ ℝ+)
166 nnrp 12847 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈ ℝ+)
167165, 166rpmulcld 12894 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 ∈ ℕ → (2 · 𝑛) ∈ ℝ+)
168159, 167ltaddrp2d 12912 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 ∈ ℕ → 1 < ((2 · 𝑛) + 1))
169158, 159, 163, 164, 168lttrd 11242 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 ∈ ℕ → 0 < ((2 · 𝑛) + 1))
170151, 169syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ (1...𝑗) → 0 < ((2 · 𝑛) + 1))
171170gt0ne0d 11645 . . . . . . . . 9 (𝑛 ∈ (1...𝑗) → ((2 · 𝑛) + 1) ≠ 0)
172171adantl 483 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → ((2 · 𝑛) + 1) ≠ 0)
173157, 172reccld 11850 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → (1 / ((2 · 𝑛) + 1)) ∈ ℂ)
1749adantr 482 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → 𝑁 ∈ ℂ)
175153, 174mulcld 11101 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → (2 · 𝑁) ∈ ℂ)
176175, 156addcld 11100 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → ((2 · 𝑁) + 1) ∈ ℂ)
17729adantr 482 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → ((2 · 𝑁) + 1) ≠ 0)
178176, 177reccld 11850 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → (1 / ((2 · 𝑁) + 1)) ∈ ℂ)
179 2nn0 12356 . . . . . . . . . 10 2 ∈ ℕ0
180179a1i 11 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → 2 ∈ ℕ0)
181152nnnn0d 12399 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → 𝑛 ∈ ℕ0)
182180, 181nn0mulcld 12404 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → (2 · 𝑛) ∈ ℕ0)
183178, 182expcld 13970 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → ((1 / ((2 · 𝑁) + 1))↑(2 · 𝑛)) ∈ ℂ)
184173, 183mulcld 11101 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → ((1 / ((2 · 𝑛) + 1)) · ((1 / ((2 · 𝑁) + 1))↑(2 · 𝑛))) ∈ ℂ)
1856, 150, 152, 184fvmptd3 6959 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → (𝐾𝑛) = ((1 / ((2 · 𝑛) + 1)) · ((1 / ((2 · 𝑁) + 1))↑(2 · 𝑛))))
186185adantlr 713 . . . 4 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → (𝐾𝑛) = ((1 / ((2 · 𝑛) + 1)) · ((1 / ((2 · 𝑁) + 1))↑(2 · 𝑛))))
187169gt0ne0d 11645 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ ℕ → ((2 · 𝑛) + 1) ≠ 0)
188163, 187rereccld 11908 . . . . . . 7 (𝑛 ∈ ℕ → (1 / ((2 · 𝑛) + 1)) ∈ ℝ)
189151, 188syl 17 . . . . . 6 (𝑛 ∈ (1...𝑗) → (1 / ((2 · 𝑛) + 1)) ∈ ℝ)
190189adantl 483 . . . . 5 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → (1 / ((2 · 𝑛) + 1)) ∈ ℝ)
19120, 29rereccld 11908 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ → (1 / ((2 · 𝑁) + 1)) ∈ ℝ)
192191adantr 482 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → (1 / ((2 · 𝑁) + 1)) ∈ ℝ)
193192, 182reexpcld 13987 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → ((1 / ((2 · 𝑁) + 1))↑(2 · 𝑛)) ∈ ℝ)
194193adantlr 713 . . . . 5 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → ((1 / ((2 · 𝑁) + 1))↑(2 · 𝑛)) ∈ ℝ)
195190, 194remulcld 11111 . . . 4 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → ((1 / ((2 · 𝑛) + 1)) · ((1 / ((2 · 𝑁) + 1))↑(2 · 𝑛))) ∈ ℝ)
196186, 195eqeltrd 2838 . . 3 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → (𝐾𝑛) ∈ ℝ)
197 readdcl 11060 . . . 4 ((𝑛 ∈ ℝ ∧ 𝑖 ∈ ℝ) → (𝑛 + 𝑖) ∈ ℝ)
198197adantl 483 . . 3 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ (𝑛 ∈ ℝ ∧ 𝑖 ∈ ℝ)) → (𝑛 + 𝑖) ∈ ℝ)
199145, 196, 198seqcl 13849 . 2 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (seq1( + , 𝐾)‘𝑗) ∈ ℝ)
200 oveq2 7350 . . . . . 6 (𝑘 = 𝑛 → ((1 / (((2 · 𝑁) + 1)↑2))↑𝑘) = ((1 / (((2 · 𝑁) + 1)↑2))↑𝑛))
20133adantr 482 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → (1 / (((2 · 𝑁) + 1)↑2)) ∈ ℂ)
202201, 181expcld 13970 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → ((1 / (((2 · 𝑁) + 1)↑2))↑𝑛) ∈ ℂ)
20355, 200, 152, 202fvmptd3 6959 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → (𝐿𝑛) = ((1 / (((2 · 𝑁) + 1)↑2))↑𝑛))
20436adantr 482 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → (1 / (((2 · 𝑁) + 1)↑2)) ∈ ℝ)
205204, 181reexpcld 13987 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → ((1 / (((2 · 𝑁) + 1)↑2))↑𝑛) ∈ ℝ)
206203, 205eqeltrd 2838 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → (𝐿𝑛) ∈ ℝ)
207206adantlr 713 . . 3 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → (𝐿𝑛) ∈ ℝ)
208145, 207, 198seqcl 13849 . 2 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (seq1( + , 𝐿)‘𝑗) ∈ ℝ)
20930a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 ∈ (1...𝑗) → 2 ∈ ℤ)
210 elfzelz 13362 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 ∈ (1...𝑗) → 𝑛 ∈ ℤ)
211209, 210zmulcld 12538 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 ∈ (1...𝑗) → (2 · 𝑛) ∈ ℤ)
212 1exp 13918 . . . . . . . . . . . 12 ((2 · 𝑛) ∈ ℤ → (1↑(2 · 𝑛)) = 1)
213211, 212syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 ∈ (1...𝑗) → (1↑(2 · 𝑛)) = 1)
214 1exp 13918 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 ∈ ℤ → (1↑𝑛) = 1)
215210, 214syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 ∈ (1...𝑗) → (1↑𝑛) = 1)
216213, 215eqtr4d 2780 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ (1...𝑗) → (1↑(2 · 𝑛)) = (1↑𝑛))
217216adantl 483 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → (1↑(2 · 𝑛)) = (1↑𝑛))
218176, 181, 180expmuld 13973 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → (((2 · 𝑁) + 1)↑(2 · 𝑛)) = ((((2 · 𝑁) + 1)↑2)↑𝑛))
219217, 218oveq12d 7360 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → ((1↑(2 · 𝑛)) / (((2 · 𝑁) + 1)↑(2 · 𝑛))) = ((1↑𝑛) / ((((2 · 𝑁) + 1)↑2)↑𝑛)))
220156, 176, 177, 182expdivd 13984 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → ((1 / ((2 · 𝑁) + 1))↑(2 · 𝑛)) = ((1↑(2 · 𝑛)) / (((2 · 𝑁) + 1)↑(2 · 𝑛))))
221176sqcld 13968 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → (((2 · 𝑁) + 1)↑2) ∈ ℂ)
22230a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → 2 ∈ ℤ)
223176, 177, 222expne0d 13976 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → (((2 · 𝑁) + 1)↑2) ≠ 0)
224156, 221, 223, 181expdivd 13984 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → ((1 / (((2 · 𝑁) + 1)↑2))↑𝑛) = ((1↑𝑛) / ((((2 · 𝑁) + 1)↑2)↑𝑛)))
225219, 220, 2243eqtr4d 2787 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → ((1 / ((2 · 𝑁) + 1))↑(2 · 𝑛)) = ((1 / (((2 · 𝑁) + 1)↑2))↑𝑛))
226225oveq2d 7358 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → ((1 / ((2 · 𝑛) + 1)) · ((1 / ((2 · 𝑁) + 1))↑(2 · 𝑛))) = ((1 / ((2 · 𝑛) + 1)) · ((1 / (((2 · 𝑁) + 1)↑2))↑𝑛)))
227 1rp 12840 . . . . . . . . . . 11 1 ∈ ℝ+
228227a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → 1 ∈ ℝ+)
22916a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → 2 ∈ ℝ)
230152nnred 12094 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → 𝑛 ∈ ℝ)
231229, 230remulcld 11111 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → (2 · 𝑛) ∈ ℝ)
232180nn0ge0d 12402 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → 0 ≤ 2)
233181nn0ge0d 12402 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → 0 ≤ 𝑛)
234229, 230, 232, 233mulge0d 11658 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → 0 ≤ (2 · 𝑛))
235231, 234ge0p1rpd 12908 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → ((2 · 𝑛) + 1) ∈ ℝ+)
236 1red 11082 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → 1 ∈ ℝ)
237228rpge0d 12882 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → 0 ≤ 1)
238159, 163, 168ltled 11229 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 ∈ ℕ → 1 ≤ ((2 · 𝑛) + 1))
239151, 238syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 ∈ (1...𝑗) → 1 ≤ ((2 · 𝑛) + 1))
240239adantl 483 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → 1 ≤ ((2 · 𝑛) + 1))
241228, 235, 236, 237, 240lediv2ad 12900 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → (1 / ((2 · 𝑛) + 1)) ≤ (1 / 1))
242156div1d 11849 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → (1 / 1) = 1)
243241, 242breqtrd 5123 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → (1 / ((2 · 𝑛) + 1)) ≤ 1)
244152, 188syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → (1 / ((2 · 𝑛) + 1)) ∈ ℝ)
24518adantr 482 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → 𝑁 ∈ ℝ)
246229, 245remulcld 11111 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → (2 · 𝑁) ∈ ℝ)
24714, 18, 120ltled 11229 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑁 ∈ ℕ → 0 ≤ 𝑁)
248247adantr 482 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → 0 ≤ 𝑁)
249229, 245, 232, 248mulge0d 11658 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → 0 ≤ (2 · 𝑁))
250246, 249ge0p1rpd 12908 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → ((2 · 𝑁) + 1) ∈ ℝ+)
251250, 222rpexpcld 14068 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → (((2 · 𝑁) + 1)↑2) ∈ ℝ+)
252251rpreccld 12888 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → (1 / (((2 · 𝑁) + 1)↑2)) ∈ ℝ+)
253210adantl 483 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → 𝑛 ∈ ℤ)
254252, 253rpexpcld 14068 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → ((1 / (((2 · 𝑁) + 1)↑2))↑𝑛) ∈ ℝ+)
255244, 236, 254lemul1d 12921 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → ((1 / ((2 · 𝑛) + 1)) ≤ 1 ↔ ((1 / ((2 · 𝑛) + 1)) · ((1 / (((2 · 𝑁) + 1)↑2))↑𝑛)) ≤ (1 · ((1 / (((2 · 𝑁) + 1)↑2))↑𝑛))))
256243, 255mpbid 231 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → ((1 / ((2 · 𝑛) + 1)) · ((1 / (((2 · 𝑁) + 1)↑2))↑𝑛)) ≤ (1 · ((1 / (((2 · 𝑁) + 1)↑2))↑𝑛)))
257202mulid2d 11099 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → (1 · ((1 / (((2 · 𝑁) + 1)↑2))↑𝑛)) = ((1 / (((2 · 𝑁) + 1)↑2))↑𝑛))
258256, 257breqtrd 5123 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → ((1 / ((2 · 𝑛) + 1)) · ((1 / (((2 · 𝑁) + 1)↑2))↑𝑛)) ≤ ((1 / (((2 · 𝑁) + 1)↑2))↑𝑛))
259226, 258eqbrtrd 5119 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → ((1 / ((2 · 𝑛) + 1)) · ((1 / ((2 · 𝑁) + 1))↑(2 · 𝑛))) ≤ ((1 / (((2 · 𝑁) + 1)↑2))↑𝑛))
260259, 185, 2033brtr4d 5129 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → (𝐾𝑛) ≤ (𝐿𝑛))
261260adantlr 713 . . 3 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → (𝐾𝑛) ≤ (𝐿𝑛))
262145, 196, 207, 261serle 13884 . 2 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (seq1( + , 𝐾)‘𝑗) ≤ (seq1( + , 𝐿)‘𝑗))
2631, 2, 7, 143, 199, 208, 262climle 15449 1 (𝑁 ∈ ℕ → ((𝐵𝑁) − (𝐵‘(𝑁 + 1))) ≤ ((1 / 4) · (1 / (𝑁 · (𝑁 + 1)))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 397   = wceq 1541  wcel 2106  wne 2941   class class class wbr 5097  cmpt 5180  cfv 6484  (class class class)co 7342  cc 10975  cr 10976  0cc0 10977  1c1 10978   + caddc 10980   · cmul 10982   < clt 11115  cle 11116  cmin 11311  -cneg 11312   / cdiv 11738  cn 12079  2c2 12134  4c4 12136  0cn0 12339  cz 12425  cuz 12688  +crp 12836  ...cfz 13345  seqcseq 13827  cexp 13888  !cfa 14093  csqrt 15044  abscabs 15045  cli 15293  eceu 15872  logclog 25816
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2708  ax-rep 5234  ax-sep 5248  ax-nul 5255  ax-pow 5313  ax-pr 5377  ax-un 7655  ax-inf2 9503  ax-cnex 11033  ax-resscn 11034  ax-1cn 11035  ax-icn 11036  ax-addcl 11037  ax-addrcl 11038  ax-mulcl 11039  ax-mulrcl 11040  ax-mulcom 11041  ax-addass 11042  ax-mulass 11043  ax-distr 11044  ax-i2m1 11045  ax-1ne0 11046  ax-1rid 11047  ax-rnegex 11048  ax-rrecex 11049  ax-cnre 11050  ax-pre-lttri 11051  ax-pre-lttrn 11052  ax-pre-ltadd 11053  ax-pre-mulgt0 11054  ax-pre-sup 11055  ax-addf 11056  ax-mulf 11057
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3350  df-reu 3351  df-rab 3405  df-v 3444  df-sbc 3732  df-csb 3848  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3921  df-nul 4275  df-if 4479  df-pw 4554  df-sn 4579  df-pr 4581  df-tp 4583  df-op 4585  df-uni 4858  df-int 4900  df-iun 4948  df-iin 4949  df-br 5098  df-opab 5160  df-mpt 5181  df-tr 5215  df-id 5523  df-eprel 5529  df-po 5537  df-so 5538  df-fr 5580  df-se 5581  df-we 5582  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6243  df-ord 6310  df-on 6311  df-lim 6312  df-suc 6313  df-iota 6436  df-fun 6486  df-fn 6487  df-f 6488  df-f1 6489  df-fo 6490  df-f1o 6491  df-fv 6492  df-isom 6493  df-riota 7298  df-ov 7345  df-oprab 7346  df-mpo 7347  df-of 7600  df-om 7786  df-1st 7904  df-2nd 7905  df-supp 8053  df-frecs 8172  df-wrecs 8203  df-recs 8277  df-rdg 8316  df-1o 8372  df-2o 8373  df-oadd 8376  df-er 8574  df-map 8693  df-pm 8694  df-ixp 8762  df-en 8810  df-dom 8811  df-sdom 8812  df-fin 8813  df-fsupp 9232  df-fi 9273  df-sup 9304  df-inf 9305  df-oi 9372  df-card 9801  df-pnf 11117  df-mnf 11118  df-xr 11119  df-ltxr 11120  df-le 11121  df-sub 11313  df-neg 11314  df-div 11739  df-nn 12080  df-2 12142  df-3 12143  df-4 12144  df-5 12145  df-6 12146  df-7 12147  df-8 12148  df-9 12149  df-n0 12340  df-xnn0 12412  df-z 12426  df-dec 12544  df-uz 12689  df-q 12795  df-rp 12837  df-xneg 12954  df-xadd 12955  df-xmul 12956  df-ioo 13189  df-ioc 13190  df-ico 13191  df-icc 13192  df-fz 13346  df-fzo 13489  df-fl 13618  df-mod 13696  df-seq 13828  df-exp 13889  df-fac 14094  df-bc 14123  df-hash 14151  df-shft 14878  df-cj 14910  df-re 14911  df-im 14912  df-sqrt 15046  df-abs 15047  df-limsup 15280  df-clim 15297  df-rlim 15298  df-sum 15498  df-ef 15877  df-e 15878  df-sin 15879  df-cos 15880  df-tan 15881  df-pi 15882  df-dvds 16064  df-struct 16946  df-sets 16963  df-slot 16981  df-ndx 16993  df-base 17011  df-ress 17040  df-plusg 17073  df-mulr 17074  df-starv 17075  df-sca 17076  df-vsca 17077  df-ip 17078  df-tset 17079  df-ple 17080  df-ds 17082  df-unif 17083  df-hom 17084  df-cco 17085  df-rest 17231  df-topn 17232  df-0g 17250  df-gsum 17251  df-topgen 17252  df-pt 17253  df-prds 17256  df-xrs 17311  df-qtop 17316  df-imas 17317  df-xps 17319  df-mre 17393  df-mrc 17394  df-acs 17396  df-mgm 18424  df-sgrp 18473  df-mnd 18484  df-submnd 18529  df-mulg 18798  df-cntz 19020  df-cmn 19484  df-psmet 20695  df-xmet 20696  df-met 20697  df-bl 20698  df-mopn 20699  df-fbas 20700  df-fg 20701  df-cnfld 20704  df-top 22149  df-topon 22166  df-topsp 22188  df-bases 22202  df-cld 22276  df-ntr 22277  df-cls 22278  df-nei 22355  df-lp 22393  df-perf 22394  df-cn 22484  df-cnp 22485  df-haus 22572  df-cmp 22644  df-tx 22819  df-hmeo 23012  df-fil 23103  df-fm 23195  df-flim 23196  df-flf 23197  df-xms 23579  df-ms 23580  df-tms 23581  df-cncf 24147  df-limc 25136  df-dv 25137  df-ulm 25642  df-log 25818  df-cxp 25819
This theorem is referenced by:  stirlinglem12  44012
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