stirlinglem10 - Mathbox for Glauco Siliprandi

	Mathbox for Glauco Siliprandi		< Previous Next > Nearby theorems
Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > Mathboxes > stirlinglem10		Structured version Visualization version GIF version

Theorem stirlinglem10 46857

Description: A bound for any B(N)-B(N + 1) that will allow to find a lower bound for the whole 𝐵 sequence. (Contributed by Glauco Siliprandi, 29-Jun-2017.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
stirlinglem10.1	⊢ 𝐴 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((!‘𝑛) / ((√‘(2 · 𝑛)) · ((𝑛 / e)↑𝑛))))
stirlinglem10.2	⊢ 𝐵 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (log‘(𝐴‘𝑛)))
stirlinglem10.4	⊢ 𝐾 = (𝑘 ∈ ℕ ↦ ((1 / ((2 · 𝑘) + 1)) · ((1 / ((2 · 𝑁) + 1))↑(2 · 𝑘))))
stirlinglem10.5	⊢ 𝐿 = (𝑘 ∈ ℕ ↦ ((1 / (((2 · 𝑁) + 1)↑2))↑𝑘))

**Assertion**
Ref	Expression
stirlinglem10	⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((𝐵‘𝑁) − (𝐵‘(𝑁 + 1))) ≤ ((1 / 4) · (1 / (𝑁 · (𝑁 + 1)))))

Distinct variable groups: 𝑘,𝑛 𝑛,𝐾 𝑛,𝐿 𝑘,𝑁,𝑛 Allowed substitution hints: 𝐴(𝑘, 𝑛) 𝐵(𝑘, 𝑛) 𝐾(𝑘) 𝐿(𝑘)

Proof of Theorem stirlinglem10 Dummy variables 𝑖 𝑗 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnuz 12919	. 2 ⊢ ℕ = (ℤ_≥‘1)
2		1zzd 12642	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 1 ∈ ℤ)
3		stirlinglem10.1	. . 3 ⊢ 𝐴 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((!‘𝑛) / ((√‘(2 · 𝑛)) · ((𝑛 / e)↑𝑛))))
4		stirlinglem10.2	. . 3 ⊢ 𝐵 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (log‘(𝐴‘𝑛)))
5		eqid 2765	. . 3 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((((1 + (2 · 𝑛)) / 2) · (log‘((𝑛 + 1) / 𝑛))) − 1)) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((((1 + (2 · 𝑛)) / 2) · (log‘((𝑛 + 1) / 𝑛))) − 1))
6		stirlinglem10.4	. . 3 ⊢ 𝐾 = (𝑘 ∈ ℕ ↦ ((1 / ((2 · 𝑘) + 1)) · ((1 / ((2 · 𝑁) + 1))↑(2 · 𝑘))))
7	3, 4, 5, 6	stirlinglem9 46856	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → seq1( + , 𝐾) ⇝ ((𝐵‘𝑁) − (𝐵‘(𝑁 + 1))))
8		2cnd 12336	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 2 ∈ ℂ)
9		nncn 12258	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℂ)
10	8, 9	mulcld 11246	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (2 · 𝑁) ∈ ℂ)
11		1cnd 11219	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 1 ∈ ℂ)
12	10, 11	addcld 11245	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((2 · 𝑁) + 1) ∈ ℂ)
13	12	sqcld 14200	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (((2 · 𝑁) + 1)↑2) ∈ ℂ)
14		0red 11228	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 0 ∈ ℝ)
15		1red 11226	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 1 ∈ ℝ)
16		2re 12332	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 2 ∈ ℝ
17	16	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 2 ∈ ℝ)
18		nnre 12257	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℝ)
19	17, 18	remulcld 11256	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (2 · 𝑁) ∈ ℝ)
20	19, 15	readdcld 11255	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((2 · 𝑁) + 1) ∈ ℝ)
21		0lt1 11753	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 < 1
22	21	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 0 < 1)
23		2rp 13039	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 2 ∈ ℝ⁺
24	23	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 2 ∈ ℝ⁺)
25		nnrp 13046	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℝ⁺)
26	24, 25	rpmulcld 13094	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (2 · 𝑁) ∈ ℝ⁺)
27	15, 26	ltaddrp2d 13112	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 1 < ((2 · 𝑁) + 1))
28	14, 15, 20, 22, 27	lttrd 11388	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 0 < ((2 · 𝑁) + 1))
29	28	gt0ne0d 11795	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((2 · 𝑁) + 1) ≠ 0)
30		2z 12643	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℤ
31	30	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 2 ∈ ℤ)
32	12, 29, 31	expne0d 14208	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (((2 · 𝑁) + 1)↑2) ≠ 0)
33	13, 32	reccld 12001	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (1 / (((2 · 𝑁) + 1)↑2)) ∈ ℂ)
34	15	renegcld 11658	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → -1 ∈ ℝ)
35	20	resqcld 14181	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (((2 · 𝑁) + 1)↑2) ∈ ℝ)
36	35, 32	rereccld 12059	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (1 / (((2 · 𝑁) + 1)↑2)) ∈ ℝ)
37		1re 11225	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℝ
38		lt0neg2 11738	. . . . . . . 8 ⊢ (1 ∈ ℝ → (0 < 1 ↔ -1 < 0))
39	37, 38	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ (0 < 1 ↔ -1 < 0)
40	22, 39	sylib 221	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → -1 < 0)
41	20, 29	sqgt0d 14306	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 0 < (((2 · 𝑁) + 1)↑2))
42	35, 41	recgt0d 12166	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 0 < (1 / (((2 · 𝑁) + 1)↑2)))
43	34, 14, 36, 40, 42	lttrd 11388	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → -1 < (1 / (((2 · 𝑁) + 1)↑2)))
44		2nn 12331	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ ℕ
45	44	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 2 ∈ ℕ)
46		expgt1 14156	. . . . . . 7 ⊢ ((((2 · 𝑁) + 1) ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℕ ∧ 1 < ((2 · 𝑁) + 1)) → 1 < (((2 · 𝑁) + 1)↑2))
47	20, 45, 27, 46	syl3anc 1398	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 1 < (((2 · 𝑁) + 1)↑2))
48	35, 41	elrpd 13075	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (((2 · 𝑁) + 1)↑2) ∈ ℝ⁺)
49	48	recgt1d 13092	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (1 < (((2 · 𝑁) + 1)↑2) ↔ (1 / (((2 · 𝑁) + 1)↑2)) < 1))
50	47, 49	mpbid 235	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (1 / (((2 · 𝑁) + 1)↑2)) < 1)
51	36, 15	absltd 15509	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((abs‘(1 / (((2 · 𝑁) + 1)↑2))) < 1 ↔ (-1 < (1 / (((2 · 𝑁) + 1)↑2)) ∧ (1 / (((2 · 𝑁) + 1)↑2)) < 1)))
52	43, 50, 51	mpbir2and 726	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (abs‘(1 / (((2 · 𝑁) + 1)↑2))) < 1)
53		1nn0 12537	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℕ₀
54	53	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 1 ∈ ℕ₀)
55		stirlinglem10.5	. . . . . 6 ⊢ 𝐿 = (𝑘 ∈ ℕ ↦ ((1 / (((2 · 𝑁) + 1)↑2))↑𝑘))
56	55	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ (ℤ_≥‘1)) → 𝐿 = (𝑘 ∈ ℕ ↦ ((1 / (((2 · 𝑁) + 1)↑2))↑𝑘)))
57		simpr 490	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ (ℤ_≥‘1)) ∧ 𝑘 = 𝑗) → 𝑘 = 𝑗)
58	57	oveq2d 7435	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ (ℤ_≥‘1)) ∧ 𝑘 = 𝑗) → ((1 / (((2 · 𝑁) + 1)↑2))↑𝑘) = ((1 / (((2 · 𝑁) + 1)↑2))↑𝑗))
59		elnnuz 12920	. . . . . 6 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ ↔ 𝑗 ∈ (ℤ_≥‘1))
60	59	bilanri 512	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ (ℤ_≥‘1)) → 𝑗 ∈ ℕ)
61	33	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ (ℤ_≥‘1)) → (1 / (((2 · 𝑁) + 1)↑2)) ∈ ℂ)
62	60	nnnn0d 12582	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ (ℤ_≥‘1)) → 𝑗 ∈ ℕ₀)
63	61, 62	expcld 14202	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ (ℤ_≥‘1)) → ((1 / (((2 · 𝑁) + 1)↑2))↑𝑗) ∈ ℂ)
64	56, 58, 60, 63	fvmptd 7001	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ (ℤ_≥‘1)) → (𝐿‘𝑗) = ((1 / (((2 · 𝑁) + 1)↑2))↑𝑗))
65	33, 52, 54, 64	geolim2 15950	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → seq1( + , 𝐿) ⇝ (((1 / (((2 · 𝑁) + 1)↑2))↑1) / (1 − (1 / (((2 · 𝑁) + 1)↑2)))))
66	33	exp1d 14197	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((1 / (((2 · 𝑁) + 1)↑2))↑1) = (1 / (((2 · 𝑁) + 1)↑2)))
67	13, 32	dividd 12006	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((((2 · 𝑁) + 1)↑2) / (((2 · 𝑁) + 1)↑2)) = 1)
68	67	eqcomd 2771	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 1 = ((((2 · 𝑁) + 1)↑2) / (((2 · 𝑁) + 1)↑2)))
69	68	oveq1d 7434	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (1 − (1 / (((2 · 𝑁) + 1)↑2))) = (((((2 · 𝑁) + 1)↑2) / (((2 · 𝑁) + 1)↑2)) − (1 / (((2 · 𝑁) + 1)↑2))))
70	48	rpcnne0d 13087	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((((2 · 𝑁) + 1)↑2) ∈ ℂ ∧ (((2 · 𝑁) + 1)↑2) ≠ 0))
71		divsubdir 11925	. . . . . . 7 ⊢ (((((2 · 𝑁) + 1)↑2) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ ∧ ((((2 · 𝑁) + 1)↑2) ∈ ℂ ∧ (((2 · 𝑁) + 1)↑2) ≠ 0)) → (((((2 · 𝑁) + 1)↑2) − 1) / (((2 · 𝑁) + 1)↑2)) = (((((2 · 𝑁) + 1)↑2) / (((2 · 𝑁) + 1)↑2)) − (1 / (((2 · 𝑁) + 1)↑2))))
72	13, 11, 70, 71	syl3anc 1398	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (((((2 · 𝑁) + 1)↑2) − 1) / (((2 · 𝑁) + 1)↑2)) = (((((2 · 𝑁) + 1)↑2) / (((2 · 𝑁) + 1)↑2)) − (1 / (((2 · 𝑁) + 1)↑2))))
73		ax-1cn 11175	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1 ∈ ℂ
74		binom2 14273	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((2 · 𝑁) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (((2 · 𝑁) + 1)↑2) = ((((2 · 𝑁)↑2) + (2 · ((2 · 𝑁) · 1))) + (1↑2)))
75	10, 73, 74	sylancl 598	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (((2 · 𝑁) + 1)↑2) = ((((2 · 𝑁)↑2) + (2 · ((2 · 𝑁) · 1))) + (1↑2)))
76	75	oveq1d 7434	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((((2 · 𝑁) + 1)↑2) − 1) = (((((2 · 𝑁)↑2) + (2 · ((2 · 𝑁) · 1))) + (1↑2)) − 1))
77	8, 9	sqmuld 14214	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((2 · 𝑁)↑2) = ((2↑2) · (𝑁↑2)))
78		sq2 14253	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (2↑2) = 4
79	78	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (2↑2) = 4)
80	79	oveq1d 7434	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((2↑2) · (𝑁↑2)) = (4 · (𝑁↑2)))
81	77, 80	eqtrd 2800	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((2 · 𝑁)↑2) = (4 · (𝑁↑2)))
82	10	mulridd 11243	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((2 · 𝑁) · 1) = (2 · 𝑁))
83	82	oveq2d 7435	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (2 · ((2 · 𝑁) · 1)) = (2 · (2 · 𝑁)))
84	8, 8, 9	mulassd 11249	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((2 · 2) · 𝑁) = (2 · (2 · 𝑁)))
85		2t2e4 12421	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (2 · 2) = 4
86	85	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (2 · 2) = 4)
87	86	oveq1d 7434	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((2 · 2) · 𝑁) = (4 · 𝑁))
88	83, 84, 87	3eqtr2d 2806	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (2 · ((2 · 𝑁) · 1)) = (4 · 𝑁))
89	81, 88	oveq12d 7437	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (((2 · 𝑁)↑2) + (2 · ((2 · 𝑁) · 1))) = ((4 · (𝑁↑2)) + (4 · 𝑁)))
90		4cn 12343	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 4 ∈ ℂ
91	90	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 4 ∈ ℂ)
92	9	sqcld 14200	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁↑2) ∈ ℂ)
93	91, 92, 9	adddid 11250	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (4 · ((𝑁↑2) + 𝑁)) = ((4 · (𝑁↑2)) + (4 · 𝑁)))
94	9	sqvald 14199	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁↑2) = (𝑁 · 𝑁))
95	9	mulridd 11243	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 · 1) = 𝑁)
96	95	eqcomd 2771	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 = (𝑁 · 1))
97	94, 96	oveq12d 7437	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑁↑2) + 𝑁) = ((𝑁 · 𝑁) + (𝑁 · 1)))
98	9, 9, 11	adddid 11250	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 · (𝑁 + 1)) = ((𝑁 · 𝑁) + (𝑁 · 1)))
99	97, 98	eqtr4d 2803	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑁↑2) + 𝑁) = (𝑁 · (𝑁 + 1)))
100	99	oveq2d 7435	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (4 · ((𝑁↑2) + 𝑁)) = (4 · (𝑁 · (𝑁 + 1))))
101	89, 93, 100	3eqtr2d 2806	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (((2 · 𝑁)↑2) + (2 · ((2 · 𝑁) · 1))) = (4 · (𝑁 · (𝑁 + 1))))
102		sq1 14251	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (1↑2) = 1
103	102	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (1↑2) = 1)
104	101, 103	oveq12d 7437	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((((2 · 𝑁)↑2) + (2 · ((2 · 𝑁) · 1))) + (1↑2)) = ((4 · (𝑁 · (𝑁 + 1))) + 1))
105	104	oveq1d 7434	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (((((2 · 𝑁)↑2) + (2 · ((2 · 𝑁) · 1))) + (1↑2)) − 1) = (((4 · (𝑁 · (𝑁 + 1))) + 1) − 1))
106	9, 11	addcld 11245	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 + 1) ∈ ℂ)
107	9, 106	mulcld 11246	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 · (𝑁 + 1)) ∈ ℂ)
108	91, 107	mulcld 11246	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (4 · (𝑁 · (𝑁 + 1))) ∈ ℂ)
109	108, 11	pncand 11587	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (((4 · (𝑁 · (𝑁 + 1))) + 1) − 1) = (4 · (𝑁 · (𝑁 + 1))))
110	76, 105, 109	3eqtrd 2804	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((((2 · 𝑁) + 1)↑2) − 1) = (4 · (𝑁 · (𝑁 + 1))))
111	110	oveq1d 7434	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (((((2 · 𝑁) + 1)↑2) − 1) / (((2 · 𝑁) + 1)↑2)) = ((4 · (𝑁 · (𝑁 + 1))) / (((2 · 𝑁) + 1)↑2)))
112	69, 72, 111	3eqtr2d 2806	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (1 − (1 / (((2 · 𝑁) + 1)↑2))) = ((4 · (𝑁 · (𝑁 + 1))) / (((2 · 𝑁) + 1)↑2)))
113	66, 112	oveq12d 7437	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (((1 / (((2 · 𝑁) + 1)↑2))↑1) / (1 − (1 / (((2 · 𝑁) + 1)↑2)))) = ((1 / (((2 · 𝑁) + 1)↑2)) / ((4 · (𝑁 · (𝑁 + 1))) / (((2 · 𝑁) + 1)↑2))))
114		4pos 12368	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 < 4
115	114	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 0 < 4)
116	115	gt0ne0d 11795	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 4 ≠ 0)
117		nnne0 12287	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ≠ 0)
118	18, 15	readdcld 11255	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 + 1) ∈ ℝ)
119		nngt0 12284	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 0 < 𝑁)
120	18	ltp1d 12162	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 < (𝑁 + 1))
121	14, 18, 118, 119, 120	lttrd 11388	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 0 < (𝑁 + 1))
122	121	gt0ne0d 11795	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 + 1) ≠ 0)
123	9, 106, 117, 122	mulne0d 11883	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 · (𝑁 + 1)) ≠ 0)
124	91, 107, 116, 123	mulne0d 11883	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (4 · (𝑁 · (𝑁 + 1))) ≠ 0)
125	11, 13, 108, 13, 32, 32, 124	divdivdivd 12055	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((1 / (((2 · 𝑁) + 1)↑2)) / ((4 · (𝑁 · (𝑁 + 1))) / (((2 · 𝑁) + 1)↑2))) = ((1 · (((2 · 𝑁) + 1)↑2)) / ((((2 · 𝑁) + 1)↑2) · (4 · (𝑁 · (𝑁 + 1))))))
126	11, 13	mulcomd 11247	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (1 · (((2 · 𝑁) + 1)↑2)) = ((((2 · 𝑁) + 1)↑2) · 1))
127	126	oveq1d 7434	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((1 · (((2 · 𝑁) + 1)↑2)) / ((((2 · 𝑁) + 1)↑2) · (4 · (𝑁 · (𝑁 + 1))))) = (((((2 · 𝑁) + 1)↑2) · 1) / ((((2 · 𝑁) + 1)↑2) · (4 · (𝑁 · (𝑁 + 1))))))
128	11	mulridd 11243	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (1 · 1) = 1)
129	128	eqcomd 2771	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 1 = (1 · 1))
130	129	oveq1d 7434	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (1 / (4 · (𝑁 · (𝑁 + 1)))) = ((1 · 1) / (4 · (𝑁 · (𝑁 + 1)))))
131	11, 91, 11, 107, 116, 123	divmuldivd 12049	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((1 / 4) · (1 / (𝑁 · (𝑁 + 1)))) = ((1 · 1) / (4 · (𝑁 · (𝑁 + 1)))))
132	130, 131	eqtr4d 2803	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (1 / (4 · (𝑁 · (𝑁 + 1)))) = ((1 / 4) · (1 / (𝑁 · (𝑁 + 1)))))
133	67, 132	oveq12d 7437	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (((((2 · 𝑁) + 1)↑2) / (((2 · 𝑁) + 1)↑2)) · (1 / (4 · (𝑁 · (𝑁 + 1))))) = (1 · ((1 / 4) · (1 / (𝑁 · (𝑁 + 1))))))
134	13, 13, 11, 108, 32, 124	divmuldivd 12049	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (((((2 · 𝑁) + 1)↑2) / (((2 · 𝑁) + 1)↑2)) · (1 / (4 · (𝑁 · (𝑁 + 1))))) = (((((2 · 𝑁) + 1)↑2) · 1) / ((((2 · 𝑁) + 1)↑2) · (4 · (𝑁 · (𝑁 + 1))))))
135	91, 116	reccld 12001	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (1 / 4) ∈ ℂ)
136	107, 123	reccld 12001	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (1 / (𝑁 · (𝑁 + 1))) ∈ ℂ)
137	135, 136	mulcld 11246	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((1 / 4) · (1 / (𝑁 · (𝑁 + 1)))) ∈ ℂ)
138	137	mullidd 11244	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (1 · ((1 / 4) · (1 / (𝑁 · (𝑁 + 1))))) = ((1 / 4) · (1 / (𝑁 · (𝑁 + 1)))))
139	133, 134, 138	3eqtr3d 2808	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (((((2 · 𝑁) + 1)↑2) · 1) / ((((2 · 𝑁) + 1)↑2) · (4 · (𝑁 · (𝑁 + 1))))) = ((1 / 4) · (1 / (𝑁 · (𝑁 + 1)))))
140	125, 127, 139	3eqtrd 2804	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((1 / (((2 · 𝑁) + 1)↑2)) / ((4 · (𝑁 · (𝑁 + 1))) / (((2 · 𝑁) + 1)↑2))) = ((1 / 4) · (1 / (𝑁 · (𝑁 + 1)))))
141	113, 140	eqtrd 2800	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (((1 / (((2 · 𝑁) + 1)↑2))↑1) / (1 − (1 / (((2 · 𝑁) + 1)↑2)))) = ((1 / 4) · (1 / (𝑁 · (𝑁 + 1)))))
142	65, 141	breqtrd 5139	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → seq1( + , 𝐿) ⇝ ((1 / 4) · (1 / (𝑁 · (𝑁 + 1)))))
143	59	bilani 510	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → 𝑗 ∈ (ℤ_≥‘1))
144		oveq2 7427	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 = 𝑛 → (2 · 𝑘) = (2 · 𝑛))
145	144	oveq1d 7434	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = 𝑛 → ((2 · 𝑘) + 1) = ((2 · 𝑛) + 1))
146	145	oveq2d 7435	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 = 𝑛 → (1 / ((2 · 𝑘) + 1)) = (1 / ((2 · 𝑛) + 1)))
147	144	oveq2d 7435	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 = 𝑛 → ((1 / ((2 · 𝑁) + 1))↑(2 · 𝑘)) = ((1 / ((2 · 𝑁) + 1))↑(2 · 𝑛)))
148	146, 147	oveq12d 7437	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = 𝑛 → ((1 / ((2 · 𝑘) + 1)) · ((1 / ((2 · 𝑁) + 1))↑(2 · 𝑘))) = ((1 / ((2 · 𝑛) + 1)) · ((1 / ((2 · 𝑁) + 1))↑(2 · 𝑛))))
149		elfznn 13600	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 ∈ (1...𝑗) → 𝑛 ∈ ℕ)
150	149	adantl 487	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → 𝑛 ∈ ℕ)
151		2cnd 12336	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → 2 ∈ ℂ)
152	150	nncnd 12266	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → 𝑛 ∈ ℂ)
153	151, 152	mulcld 11246	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → (2 · 𝑛) ∈ ℂ)
154		1cnd 11219	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → 1 ∈ ℂ)
155	153, 154	addcld 11245	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → ((2 · 𝑛) + 1) ∈ ℂ)
156		0red 11228	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → 0 ∈ ℝ)
157		1red 11226	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → 1 ∈ ℝ)
158	16	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → 2 ∈ ℝ)
159		nnre 12257	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈ ℝ)
160	158, 159	remulcld 11256	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (2 · 𝑛) ∈ ℝ)
161	160, 157	readdcld 11255	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → ((2 · 𝑛) + 1) ∈ ℝ)
162	21	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → 0 < 1)
163	23	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → 2 ∈ ℝ⁺)
164		nnrp 13046	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈ ℝ⁺)
165	163, 164	rpmulcld 13094	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (2 · 𝑛) ∈ ℝ⁺)
166	157, 165	ltaddrp2d 13112	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → 1 < ((2 · 𝑛) + 1))
167	156, 157, 161, 162, 166	lttrd 11388	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → 0 < ((2 · 𝑛) + 1))
168	149, 167	syl 18	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 ∈ (1...𝑗) → 0 < ((2 · 𝑛) + 1))
169	168	gt0ne0d 11795	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 ∈ (1...𝑗) → ((2 · 𝑛) + 1) ≠ 0)
170	169	adantl 487	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → ((2 · 𝑛) + 1) ≠ 0)
171	155, 170	reccld 12001	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → (1 / ((2 · 𝑛) + 1)) ∈ ℂ)
172	9	adantr 486	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → 𝑁 ∈ ℂ)
173	151, 172	mulcld 11246	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → (2 · 𝑁) ∈ ℂ)
174	173, 154	addcld 11245	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → ((2 · 𝑁) + 1) ∈ ℂ)
175	29	adantr 486	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → ((2 · 𝑁) + 1) ≠ 0)
176	174, 175	reccld 12001	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → (1 / ((2 · 𝑁) + 1)) ∈ ℂ)
177		2nn0 12538	. . . . . . . . . 10 ⊢ 2 ∈ ℕ₀
178	177	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → 2 ∈ ℕ₀)
179	150	nnnn0d 12582	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → 𝑛 ∈ ℕ₀)
180	178, 179	nn0mulcld 12587	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → (2 · 𝑛) ∈ ℕ₀)
181	176, 180	expcld 14202	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → ((1 / ((2 · 𝑁) + 1))↑(2 · 𝑛)) ∈ ℂ)
182	171, 181	mulcld 11246	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → ((1 / ((2 · 𝑛) + 1)) · ((1 / ((2 · 𝑁) + 1))↑(2 · 𝑛))) ∈ ℂ)
183	6, 148, 150, 182	fvmptd3 7017	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → (𝐾‘𝑛) = ((1 / ((2 · 𝑛) + 1)) · ((1 / ((2 · 𝑁) + 1))↑(2 · 𝑛))))
184	183	adantlr 728	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → (𝐾‘𝑛) = ((1 / ((2 · 𝑛) + 1)) · ((1 / ((2 · 𝑁) + 1))↑(2 · 𝑛))))
185	167	gt0ne0d 11795	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → ((2 · 𝑛) + 1) ≠ 0)
186	161, 185	rereccld 12059	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (1 / ((2 · 𝑛) + 1)) ∈ ℝ)
187	149, 186	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 ∈ (1...𝑗) → (1 / ((2 · 𝑛) + 1)) ∈ ℝ)
188	187	adantl 487	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → (1 / ((2 · 𝑛) + 1)) ∈ ℝ)
189	20, 29	rereccld 12059	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (1 / ((2 · 𝑁) + 1)) ∈ ℝ)
190	189	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → (1 / ((2 · 𝑁) + 1)) ∈ ℝ)
191	190, 180	reexpcld 14219	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → ((1 / ((2 · 𝑁) + 1))↑(2 · 𝑛)) ∈ ℝ)
192	191	adantlr 728	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → ((1 / ((2 · 𝑁) + 1))↑(2 · 𝑛)) ∈ ℝ)
193	188, 192	remulcld 11256	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → ((1 / ((2 · 𝑛) + 1)) · ((1 / ((2 · 𝑁) + 1))↑(2 · 𝑛))) ∈ ℝ)
194	184, 193	eqeltrd 2865	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → (𝐾‘𝑛) ∈ ℝ)
195		readdcl 11200	. . . 4 ⊢ ((𝑛 ∈ ℝ ∧ 𝑖 ∈ ℝ) → (𝑛 + 𝑖) ∈ ℝ)
196	195	adantl 487	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ (𝑛 ∈ ℝ ∧ 𝑖 ∈ ℝ)) → (𝑛 + 𝑖) ∈ ℝ)
197	143, 194, 196	seqcl 14078	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (seq1( + , 𝐾)‘𝑗) ∈ ℝ)
198		oveq2 7427	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = 𝑛 → ((1 / (((2 · 𝑁) + 1)↑2))↑𝑘) = ((1 / (((2 · 𝑁) + 1)↑2))↑𝑛))
199	33	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → (1 / (((2 · 𝑁) + 1)↑2)) ∈ ℂ)
200	199, 179	expcld 14202	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → ((1 / (((2 · 𝑁) + 1)↑2))↑𝑛) ∈ ℂ)
201	55, 198, 150, 200	fvmptd3 7017	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → (𝐿‘𝑛) = ((1 / (((2 · 𝑁) + 1)↑2))↑𝑛))
202	36	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → (1 / (((2 · 𝑁) + 1)↑2)) ∈ ℝ)
203	202, 179	reexpcld 14219	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → ((1 / (((2 · 𝑁) + 1)↑2))↑𝑛) ∈ ℝ)
204	201, 203	eqeltrd 2865	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → (𝐿‘𝑛) ∈ ℝ)
205	204	adantlr 728	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → (𝐿‘𝑛) ∈ ℝ)
206	143, 205, 196	seqcl 14078	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (seq1( + , 𝐿)‘𝑗) ∈ ℝ)
207	30	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑛 ∈ (1...𝑗) → 2 ∈ ℤ)
208		elfzelz 13570	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑛 ∈ (1...𝑗) → 𝑛 ∈ ℤ)
209	207, 208	zmulcld 12724	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑛 ∈ (1...𝑗) → (2 · 𝑛) ∈ ℤ)
210		1exp 14147	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((2 · 𝑛) ∈ ℤ → (1↑(2 · 𝑛)) = 1)
211	209, 210	syl 18	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 ∈ (1...𝑗) → (1↑(2 · 𝑛)) = 1)
212		1exp 14147	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑛 ∈ ℤ → (1↑𝑛) = 1)
213	208, 212	syl 18	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 ∈ (1...𝑗) → (1↑𝑛) = 1)
214	211, 213	eqtr4d 2803	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 ∈ (1...𝑗) → (1↑(2 · 𝑛)) = (1↑𝑛))
215	214	adantl 487	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → (1↑(2 · 𝑛)) = (1↑𝑛))
216	174, 179, 178	expmuld 14205	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → (((2 · 𝑁) + 1)↑(2 · 𝑛)) = ((((2 · 𝑁) + 1)↑2)↑𝑛))
217	215, 216	oveq12d 7437	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → ((1↑(2 · 𝑛)) / (((2 · 𝑁) + 1)↑(2 · 𝑛))) = ((1↑𝑛) / ((((2 · 𝑁) + 1)↑2)↑𝑛)))
218	154, 174, 175, 180	expdivd 14216	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → ((1 / ((2 · 𝑁) + 1))↑(2 · 𝑛)) = ((1↑(2 · 𝑛)) / (((2 · 𝑁) + 1)↑(2 · 𝑛))))
219	174	sqcld 14200	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → (((2 · 𝑁) + 1)↑2) ∈ ℂ)
220	30	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → 2 ∈ ℤ)
221	174, 175, 220	expne0d 14208	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → (((2 · 𝑁) + 1)↑2) ≠ 0)
222	154, 219, 221, 179	expdivd 14216	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → ((1 / (((2 · 𝑁) + 1)↑2))↑𝑛) = ((1↑𝑛) / ((((2 · 𝑁) + 1)↑2)↑𝑛)))
223	217, 218, 222	3eqtr4d 2810	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → ((1 / ((2 · 𝑁) + 1))↑(2 · 𝑛)) = ((1 / (((2 · 𝑁) + 1)↑2))↑𝑛))
224	223	oveq2d 7435	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → ((1 / ((2 · 𝑛) + 1)) · ((1 / ((2 · 𝑁) + 1))↑(2 · 𝑛))) = ((1 / ((2 · 𝑛) + 1)) · ((1 / (((2 · 𝑁) + 1)↑2))↑𝑛)))
225		1rp 13038	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 1 ∈ ℝ⁺
226	225	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → 1 ∈ ℝ⁺)
227	16	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → 2 ∈ ℝ)
228	150	nnred 12265	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → 𝑛 ∈ ℝ)
229	227, 228	remulcld 11256	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → (2 · 𝑛) ∈ ℝ)
230	178	nn0ge0d 12585	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → 0 ≤ 2)
231	179	nn0ge0d 12585	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → 0 ≤ 𝑛)
232	227, 228, 230, 231	mulge0d 11808	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → 0 ≤ (2 · 𝑛))
233	229, 232	ge0p1rpd 13108	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → ((2 · 𝑛) + 1) ∈ ℝ⁺)
234		1red 11226	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → 1 ∈ ℝ)
235	226	rpge0d 13082	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → 0 ≤ 1)
236	157, 161, 166	ltled 11375	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → 1 ≤ ((2 · 𝑛) + 1))
237	149, 236	syl 18	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 ∈ (1...𝑗) → 1 ≤ ((2 · 𝑛) + 1))
238	237	adantl 487	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → 1 ≤ ((2 · 𝑛) + 1))
239	226, 233, 234, 235, 238	lediv2ad 13100	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → (1 / ((2 · 𝑛) + 1)) ≤ (1 / 1))
240	154	div1d 12000	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → (1 / 1) = 1)
241	239, 240	breqtrd 5139	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → (1 / ((2 · 𝑛) + 1)) ≤ 1)
242	150, 186	syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → (1 / ((2 · 𝑛) + 1)) ∈ ℝ)
243	18	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → 𝑁 ∈ ℝ)
244	227, 243	remulcld 11256	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → (2 · 𝑁) ∈ ℝ)
245	14, 18, 119	ltled 11375	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 0 ≤ 𝑁)
246	245	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → 0 ≤ 𝑁)
247	227, 243, 230, 246	mulge0d 11808	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → 0 ≤ (2 · 𝑁))
248	244, 247	ge0p1rpd 13108	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → ((2 · 𝑁) + 1) ∈ ℝ⁺)
249	248, 220	rpexpcld 14303	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → (((2 · 𝑁) + 1)↑2) ∈ ℝ⁺)
250	249	rpreccld 13088	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → (1 / (((2 · 𝑁) + 1)↑2)) ∈ ℝ⁺)
251	208	adantl 487	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → 𝑛 ∈ ℤ)
252	250, 251	rpexpcld 14303	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → ((1 / (((2 · 𝑁) + 1)↑2))↑𝑛) ∈ ℝ⁺)
253	242, 234, 252	lemul1d 13121	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → ((1 / ((2 · 𝑛) + 1)) ≤ 1 ↔ ((1 / ((2 · 𝑛) + 1)) · ((1 / (((2 · 𝑁) + 1)↑2))↑𝑛)) ≤ (1 · ((1 / (((2 · 𝑁) + 1)↑2))↑𝑛))))
254	241, 253	mpbid 235	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → ((1 / ((2 · 𝑛) + 1)) · ((1 / (((2 · 𝑁) + 1)↑2))↑𝑛)) ≤ (1 · ((1 / (((2 · 𝑁) + 1)↑2))↑𝑛)))
255	200	mullidd 11244	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → (1 · ((1 / (((2 · 𝑁) + 1)↑2))↑𝑛)) = ((1 / (((2 · 𝑁) + 1)↑2))↑𝑛))
256	254, 255	breqtrd 5139	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → ((1 / ((2 · 𝑛) + 1)) · ((1 / (((2 · 𝑁) + 1)↑2))↑𝑛)) ≤ ((1 / (((2 · 𝑁) + 1)↑2))↑𝑛))
257	224, 256	eqbrtrd 5135	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → ((1 / ((2 · 𝑛) + 1)) · ((1 / ((2 · 𝑁) + 1))↑(2 · 𝑛))) ≤ ((1 / (((2 · 𝑁) + 1)↑2))↑𝑛))
258	257, 183, 201	3brtr4d 5145	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → (𝐾‘𝑛) ≤ (𝐿‘𝑛))
259	258	adantlr 728	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → (𝐾‘𝑛) ≤ (𝐿‘𝑛))
260	143, 194, 205, 259	serle 14113	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (seq1( + , 𝐾)‘𝑗) ≤ (seq1( + , 𝐿)‘𝑗))
261	1, 2, 7, 142, 197, 206, 260	climle 15717	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((𝐵‘𝑁) − (𝐵‘(𝑁 + 1))) ≤ ((1 / 4) · (1 / (𝑁 · (𝑁 + 1)))))

Colors of variables: wff setvar class

This proof depends on syntax axioms: → wi 4 ↔ wb 209 ∧ wa 401 = wceq 1570 ∈ wcel 2146 ≠ wne 2960 class class class wbr 5111 ↦ cmpt 5194 ‘cfv 6540 (class class class)co 7419 ℂcc 11115 ℝcr 11116 0cc0 11117 1c1 11118 + caddc 11120 · cmul 11122 < clt 11260 ≤ cle 11261 − cmin 11458 -cneg 11459 / cdiv 11888 ℕcn 12250 2c2 12312 4c4 12314 ℕ₀cn0 12521 ℤcz 12608 ℤ_≥cuz 12880 ℝ⁺crp 13034 ...cfz 13553 seqcseq 14057 ↑cexp 14117 !cfa 14329 √csqrt 15310 abscabs 15311 ⇝ cli 15561 eceu 16140 logclog 26772

This proof depends on axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1828 ax-4 1842 ax-5 1943 ax-6 2000 ax-7 2041 ax-8 2148 ax-9 2156 ax-10 2179 ax-11 2195 ax-12 2216 ax-ext 2737 ax-rep 5240 ax-sep 5259 ax-nul 5271 ax-pow 5338 ax-pr 5406 ax-un 7742 ax-inf2 9617 ax-cnex 11173 ax-resscn 11174 ax-1cn 11175 ax-icn 11176 ax-addcl 11177 ax-addrcl 11178 ax-mulcl 11179 ax-mulrcl 11180 ax-mulcom 11181 ax-addass 11182 ax-mulass 11183 ax-distr 11184 ax-i2m1 11185 ax-1ne0 11186 ax-1rid 11187 ax-rnegex 11188 ax-rrecex 11189 ax-cnre 11190 ax-pre-lttri 11191 ax-pre-lttrn 11192 ax-pre-ltadd 11193 ax-pre-mulgt0 11194 ax-pre-sup 11195 ax-addf 11196

This proof depends on definitions: df-bi 210 df-an 402 df-or 862 df-3or 1104 df-3an 1105 df-tru 1573 df-fal 1583 df-ex 1813 df-nf 1817 df-sb 2100 df-mo 2569 df-eu 2599 df-clab 2744 df-cleq 2757 df-clel 2840 df-nfc 2914 df-ne 2961 df-nel 3067 df-ral 3082 df-rex 3092 df-rmo 3371 df-reu 3372 df-rab 3419 df-v 3459 df-sbc 3747 df-csb 3855 df-dif 3909 df-un 3911 df-in 3913 df-ss 3923 df-pss 3926 df-nul 4287 df-if 4490 df-pw 4566 df-sn 4592 df-pr 4594 df-tp 4596 df-op 4598 df-uni 4875 df-int 4915 df-iun 4960 df-iin 4961 df-br 5112 df-opab 5176 df-mpt 5195 df-tr 5221 df-id 5558 df-eprel 5563 df-po 5571 df-so 5572 df-fr 5616 df-se 5617 df-we 5618 df-xp 5669 df-rel 5670 df-cnv 5671 df-co 5672 df-dm 5673 df-rn 5674 df-res 5675 df-ima 5676 df-pred 6306 df-ord 6367 df-on 6368 df-lim 6369 df-suc 6370 df-iota 6496 df-fun 6542 df-fn 6543 df-f 6544 df-f1 6545 df-fo 6546 df-f1o 6547 df-fv 6548 df-isom 6549 df-riota 7376 df-ov 7422 df-oprab 7423 df-mpo 7424 df-of 7684 df-om 7869 df-1st 7992 df-2nd 7993 df-supp 8163 df-frecs 8284 df-wrecs 8315 df-recs 8364 df-rdg 8403 df-1o 8459 df-2o 8460 df-oadd 8463 df-er 8700 df-map 8832 df-pm 8833 df-ixp 8902 df-en 8950 df-dom 8951 df-sdom 8952 df-fin 8953 df-fsupp 9329 df-fi 9378 df-sup 9409 df-inf 9410 df-oi 9479 df-card 9941 df-pnf 11262 df-mnf 11263 df-xr 11264 df-ltxr 11265 df-le 11266 df-sub 11460 df-neg 11461 df-div 11889 df-nn 12251 df-2 12320 df-3 12321 df-4 12322 df-5 12323 df-6 12324 df-7 12325 df-8 12326 df-9 12327 df-n0 12522 df-xnn0 12595 df-z 12609 df-dec 12730 df-uz 12881 df-q 12991 df-rp 13035 df-xneg 13155 df-xadd 13156 df-xmul 13157 df-ioo 13394 df-ioc 13395 df-ico 13396 df-icc 13397 df-fz 13554 df-fzo 13702 df-fl 13845 df-mod 13923 df-seq 14058 df-exp 14118 df-fac 14330 df-bc 14359 df-hash 14387 df-shft 15130 df-cj 15176 df-re 15177 df-im 15178 df-sqrt 15312 df-abs 15313 df-limsup 15548 df-clim 15565 df-rlim 15566 df-sum 15764 df-ef 16145 df-e 16146 df-sin 16147 df-cos 16148 df-tan 16149 df-pi 16150 df-dvds 16335 df-struct 17231 df-sets 17248 df-slot 17266 df-ndx 17278 df-base 17294 df-ress 17315 df-plusg 17347 df-mulr 17348 df-starv 17349 df-sca 17350 df-vsca 17351 df-ip 17352 df-tset 17353 df-ple 17354 df-ds 17356 df-unif 17357 df-hom 17358 df-cco 17359 df-rest 17499 df-topn 17500 df-0g 17518 df-gsum 17519 df-topgen 17520 df-pt 17521 df-prds 17524 df-xrs 17580 df-qtop 17585 df-imas 17586 df-xps 17588 df-mre 17662 df-mrc 17663 df-acs 17665 df-mgm 18722 df-sgrp 18811 df-mnd 18827 df-submnd 18881 df-mulg 19180 df-cntz 19433 df-cmn 19898 df-psmet 21566 df-xmet 21567 df-met 21568 df-bl 21569 df-mopn 21570 df-fbas 21571 df-fg 21572 df-cnfld 21575 df-top 23103 df-topon 23120 df-topsp 23142 df-bases 23155 df-cld 23228 df-ntr 23229 df-cls 23230 df-nei 23307 df-lp 23345 df-perf 23346 df-cn 23436 df-cnp 23437 df-haus 23524 df-cmp 23596 df-tx 23772 df-hmeo 23965 df-fil 24056 df-fm 24148 df-flim 24149 df-flf 24150 df-xms 24530 df-ms 24531 df-tms 24532 df-cncf 25090 df-limc 26078 df-dv 26079 df-ulm 26593 df-log 26774 df-cxp 26775

This theorem is used by: stirlinglem12 46859

W3C validator