stirlinglem10 - Mathbox for Glauco Siliprandi

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Theorem stirlinglem10 46511

Description: A bound for any B(N)-B(N + 1) that will allow to find a lower bound for the whole 𝐵 sequence. (Contributed by Glauco Siliprandi, 29-Jun-2017.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
stirlinglem10.1	⊢ 𝐴 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((!‘𝑛) / ((√‘(2 · 𝑛)) · ((𝑛 / e)↑𝑛))))
stirlinglem10.2	⊢ 𝐵 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (log‘(𝐴‘𝑛)))
stirlinglem10.4	⊢ 𝐾 = (𝑘 ∈ ℕ ↦ ((1 / ((2 · 𝑘) + 1)) · ((1 / ((2 · 𝑁) + 1))↑(2 · 𝑘))))
stirlinglem10.5	⊢ 𝐿 = (𝑘 ∈ ℕ ↦ ((1 / (((2 · 𝑁) + 1)↑2))↑𝑘))

**Assertion**
Ref	Expression
stirlinglem10	⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((𝐵‘𝑁) − (𝐵‘(𝑁 + 1))) ≤ ((1 / 4) · (1 / (𝑁 · (𝑁 + 1)))))

Distinct variable groups: 𝑘,𝑛 𝑛,𝐾 𝑛,𝐿 𝑘,𝑁,𝑛 Allowed substitution hints: 𝐴(𝑘,𝑛) 𝐵(𝑘,𝑛) 𝐾(𝑘) 𝐿(𝑘)

Proof of Theorem stirlinglem10 Dummy variables 𝑖 𝑗 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnuz 12827	. 2 ⊢ ℕ = (ℤ_≥‘1)
2		1zzd 12558	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 1 ∈ ℤ)
3		stirlinglem10.1	. . 3 ⊢ 𝐴 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((!‘𝑛) / ((√‘(2 · 𝑛)) · ((𝑛 / e)↑𝑛))))
4		stirlinglem10.2	. . 3 ⊢ 𝐵 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (log‘(𝐴‘𝑛)))
5		eqid 2736	. . 3 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((((1 + (2 · 𝑛)) / 2) · (log‘((𝑛 + 1) / 𝑛))) − 1)) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((((1 + (2 · 𝑛)) / 2) · (log‘((𝑛 + 1) / 𝑛))) − 1))
6		stirlinglem10.4	. . 3 ⊢ 𝐾 = (𝑘 ∈ ℕ ↦ ((1 / ((2 · 𝑘) + 1)) · ((1 / ((2 · 𝑁) + 1))↑(2 · 𝑘))))
7	3, 4, 5, 6	stirlinglem9 46510	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → seq1( + , 𝐾) ⇝ ((𝐵‘𝑁) − (𝐵‘(𝑁 + 1))))
8		2cnd 12259	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 2 ∈ ℂ)
9		nncn 12182	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℂ)
10	8, 9	mulcld 11165	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (2 · 𝑁) ∈ ℂ)
11		1cnd 11139	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 1 ∈ ℂ)
12	10, 11	addcld 11164	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((2 · 𝑁) + 1) ∈ ℂ)
13	12	sqcld 14106	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (((2 · 𝑁) + 1)↑2) ∈ ℂ)
14		0red 11147	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 0 ∈ ℝ)
15		1red 11145	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 1 ∈ ℝ)
16		2re 12255	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 2 ∈ ℝ
17	16	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 2 ∈ ℝ)
18		nnre 12181	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℝ)
19	17, 18	remulcld 11175	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (2 · 𝑁) ∈ ℝ)
20	19, 15	readdcld 11174	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((2 · 𝑁) + 1) ∈ ℝ)
21		0lt1 11672	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 < 1
22	21	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 0 < 1)
23		2rp 12947	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 2 ∈ ℝ⁺
24	23	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 2 ∈ ℝ⁺)
25		nnrp 12954	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℝ⁺)
26	24, 25	rpmulcld 13002	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (2 · 𝑁) ∈ ℝ⁺)
27	15, 26	ltaddrp2d 13020	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 1 < ((2 · 𝑁) + 1))
28	14, 15, 20, 22, 27	lttrd 11307	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 0 < ((2 · 𝑁) + 1))
29	28	gt0ne0d 11714	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((2 · 𝑁) + 1) ≠ 0)
30		2z 12559	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℤ
31	30	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 2 ∈ ℤ)
32	12, 29, 31	expne0d 14114	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (((2 · 𝑁) + 1)↑2) ≠ 0)
33	13, 32	reccld 11924	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (1 / (((2 · 𝑁) + 1)↑2)) ∈ ℂ)
34	15	renegcld 11577	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → -1 ∈ ℝ)
35	20	resqcld 14087	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (((2 · 𝑁) + 1)↑2) ∈ ℝ)
36	35, 32	rereccld 11982	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (1 / (((2 · 𝑁) + 1)↑2)) ∈ ℝ)
37		1re 11144	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℝ
38		lt0neg2 11657	. . . . . . . 8 ⊢ (1 ∈ ℝ → (0 < 1 ↔ -1 < 0))
39	37, 38	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ (0 < 1 ↔ -1 < 0)
40	22, 39	sylib 218	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → -1 < 0)
41	20, 29	sqgt0d 14212	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 0 < (((2 · 𝑁) + 1)↑2))
42	35, 41	recgt0d 12090	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 0 < (1 / (((2 · 𝑁) + 1)↑2)))
43	34, 14, 36, 40, 42	lttrd 11307	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → -1 < (1 / (((2 · 𝑁) + 1)↑2)))
44		2nn 12254	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ ℕ
45	44	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 2 ∈ ℕ)
46		expgt1 14062	. . . . . . 7 ⊢ ((((2 · 𝑁) + 1) ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℕ ∧ 1 < ((2 · 𝑁) + 1)) → 1 < (((2 · 𝑁) + 1)↑2))
47	20, 45, 27, 46	syl3anc 1374	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 1 < (((2 · 𝑁) + 1)↑2))
48	35, 41	elrpd 12983	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (((2 · 𝑁) + 1)↑2) ∈ ℝ⁺)
49	48	recgt1d 13000	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (1 < (((2 · 𝑁) + 1)↑2) ↔ (1 / (((2 · 𝑁) + 1)↑2)) < 1))
50	47, 49	mpbid 232	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (1 / (((2 · 𝑁) + 1)↑2)) < 1)
51	36, 15	absltd 15394	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((abs‘(1 / (((2 · 𝑁) + 1)↑2))) < 1 ↔ (-1 < (1 / (((2 · 𝑁) + 1)↑2)) ∧ (1 / (((2 · 𝑁) + 1)↑2)) < 1)))
52	43, 50, 51	mpbir2and 714	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (abs‘(1 / (((2 · 𝑁) + 1)↑2))) < 1)
53		1nn0 12453	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℕ₀
54	53	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 1 ∈ ℕ₀)
55		stirlinglem10.5	. . . . . 6 ⊢ 𝐿 = (𝑘 ∈ ℕ ↦ ((1 / (((2 · 𝑁) + 1)↑2))↑𝑘))
56	55	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ (ℤ_≥‘1)) → 𝐿 = (𝑘 ∈ ℕ ↦ ((1 / (((2 · 𝑁) + 1)↑2))↑𝑘)))
57		simpr 484	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ (ℤ_≥‘1)) ∧ 𝑘 = 𝑗) → 𝑘 = 𝑗)
58	57	oveq2d 7383	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ (ℤ_≥‘1)) ∧ 𝑘 = 𝑗) → ((1 / (((2 · 𝑁) + 1)↑2))↑𝑘) = ((1 / (((2 · 𝑁) + 1)↑2))↑𝑗))
59		elnnuz 12828	. . . . . . 7 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ ↔ 𝑗 ∈ (ℤ_≥‘1))
60	59	biimpri 228	. . . . . 6 ⊢ (𝑗 ∈ (ℤ_≥‘1) → 𝑗 ∈ ℕ)
61	60	adantl 481	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ (ℤ_≥‘1)) → 𝑗 ∈ ℕ)
62	33	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ (ℤ_≥‘1)) → (1 / (((2 · 𝑁) + 1)↑2)) ∈ ℂ)
63	61	nnnn0d 12498	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ (ℤ_≥‘1)) → 𝑗 ∈ ℕ₀)
64	62, 63	expcld 14108	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ (ℤ_≥‘1)) → ((1 / (((2 · 𝑁) + 1)↑2))↑𝑗) ∈ ℂ)
65	56, 58, 61, 64	fvmptd 6955	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ (ℤ_≥‘1)) → (𝐿‘𝑗) = ((1 / (((2 · 𝑁) + 1)↑2))↑𝑗))
66	33, 52, 54, 65	geolim2 15836	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → seq1( + , 𝐿) ⇝ (((1 / (((2 · 𝑁) + 1)↑2))↑1) / (1 − (1 / (((2 · 𝑁) + 1)↑2)))))
67	33	exp1d 14103	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((1 / (((2 · 𝑁) + 1)↑2))↑1) = (1 / (((2 · 𝑁) + 1)↑2)))
68	13, 32	dividd 11929	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((((2 · 𝑁) + 1)↑2) / (((2 · 𝑁) + 1)↑2)) = 1)
69	68	eqcomd 2742	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 1 = ((((2 · 𝑁) + 1)↑2) / (((2 · 𝑁) + 1)↑2)))
70	69	oveq1d 7382	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (1 − (1 / (((2 · 𝑁) + 1)↑2))) = (((((2 · 𝑁) + 1)↑2) / (((2 · 𝑁) + 1)↑2)) − (1 / (((2 · 𝑁) + 1)↑2))))
71	48	rpcnne0d 12995	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((((2 · 𝑁) + 1)↑2) ∈ ℂ ∧ (((2 · 𝑁) + 1)↑2) ≠ 0))
72		divsubdir 11848	. . . . . . 7 ⊢ (((((2 · 𝑁) + 1)↑2) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ ∧ ((((2 · 𝑁) + 1)↑2) ∈ ℂ ∧ (((2 · 𝑁) + 1)↑2) ≠ 0)) → (((((2 · 𝑁) + 1)↑2) − 1) / (((2 · 𝑁) + 1)↑2)) = (((((2 · 𝑁) + 1)↑2) / (((2 · 𝑁) + 1)↑2)) − (1 / (((2 · 𝑁) + 1)↑2))))
73	13, 11, 71, 72	syl3anc 1374	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (((((2 · 𝑁) + 1)↑2) − 1) / (((2 · 𝑁) + 1)↑2)) = (((((2 · 𝑁) + 1)↑2) / (((2 · 𝑁) + 1)↑2)) − (1 / (((2 · 𝑁) + 1)↑2))))
74		ax-1cn 11096	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1 ∈ ℂ
75		binom2 14179	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((2 · 𝑁) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (((2 · 𝑁) + 1)↑2) = ((((2 · 𝑁)↑2) + (2 · ((2 · 𝑁) · 1))) + (1↑2)))
76	10, 74, 75	sylancl 587	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (((2 · 𝑁) + 1)↑2) = ((((2 · 𝑁)↑2) + (2 · ((2 · 𝑁) · 1))) + (1↑2)))
77	76	oveq1d 7382	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((((2 · 𝑁) + 1)↑2) − 1) = (((((2 · 𝑁)↑2) + (2 · ((2 · 𝑁) · 1))) + (1↑2)) − 1))
78	8, 9	sqmuld 14120	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((2 · 𝑁)↑2) = ((2↑2) · (𝑁↑2)))
79		sq2 14159	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (2↑2) = 4
80	79	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (2↑2) = 4)
81	80	oveq1d 7382	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((2↑2) · (𝑁↑2)) = (4 · (𝑁↑2)))
82	78, 81	eqtrd 2771	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((2 · 𝑁)↑2) = (4 · (𝑁↑2)))
83	10	mulridd 11162	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((2 · 𝑁) · 1) = (2 · 𝑁))
84	83	oveq2d 7383	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (2 · ((2 · 𝑁) · 1)) = (2 · (2 · 𝑁)))
85	8, 8, 9	mulassd 11168	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((2 · 2) · 𝑁) = (2 · (2 · 𝑁)))
86		2t2e4 12340	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (2 · 2) = 4
87	86	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (2 · 2) = 4)
88	87	oveq1d 7382	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((2 · 2) · 𝑁) = (4 · 𝑁))
89	84, 85, 88	3eqtr2d 2777	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (2 · ((2 · 𝑁) · 1)) = (4 · 𝑁))
90	82, 89	oveq12d 7385	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (((2 · 𝑁)↑2) + (2 · ((2 · 𝑁) · 1))) = ((4 · (𝑁↑2)) + (4 · 𝑁)))
91		4cn 12266	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 4 ∈ ℂ
92	91	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 4 ∈ ℂ)
93	9	sqcld 14106	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁↑2) ∈ ℂ)
94	92, 93, 9	adddid 11169	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (4 · ((𝑁↑2) + 𝑁)) = ((4 · (𝑁↑2)) + (4 · 𝑁)))
95	9	sqvald 14105	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁↑2) = (𝑁 · 𝑁))
96	9	mulridd 11162	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 · 1) = 𝑁)
97	96	eqcomd 2742	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 = (𝑁 · 1))
98	95, 97	oveq12d 7385	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑁↑2) + 𝑁) = ((𝑁 · 𝑁) + (𝑁 · 1)))
99	9, 9, 11	adddid 11169	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 · (𝑁 + 1)) = ((𝑁 · 𝑁) + (𝑁 · 1)))
100	98, 99	eqtr4d 2774	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑁↑2) + 𝑁) = (𝑁 · (𝑁 + 1)))
101	100	oveq2d 7383	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (4 · ((𝑁↑2) + 𝑁)) = (4 · (𝑁 · (𝑁 + 1))))
102	90, 94, 101	3eqtr2d 2777	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (((2 · 𝑁)↑2) + (2 · ((2 · 𝑁) · 1))) = (4 · (𝑁 · (𝑁 + 1))))
103		sq1 14157	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (1↑2) = 1
104	103	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (1↑2) = 1)
105	102, 104	oveq12d 7385	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((((2 · 𝑁)↑2) + (2 · ((2 · 𝑁) · 1))) + (1↑2)) = ((4 · (𝑁 · (𝑁 + 1))) + 1))
106	105	oveq1d 7382	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (((((2 · 𝑁)↑2) + (2 · ((2 · 𝑁) · 1))) + (1↑2)) − 1) = (((4 · (𝑁 · (𝑁 + 1))) + 1) − 1))
107	9, 11	addcld 11164	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 + 1) ∈ ℂ)
108	9, 107	mulcld 11165	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 · (𝑁 + 1)) ∈ ℂ)
109	92, 108	mulcld 11165	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (4 · (𝑁 · (𝑁 + 1))) ∈ ℂ)
110	109, 11	pncand 11506	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (((4 · (𝑁 · (𝑁 + 1))) + 1) − 1) = (4 · (𝑁 · (𝑁 + 1))))
111	77, 106, 110	3eqtrd 2775	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((((2 · 𝑁) + 1)↑2) − 1) = (4 · (𝑁 · (𝑁 + 1))))
112	111	oveq1d 7382	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (((((2 · 𝑁) + 1)↑2) − 1) / (((2 · 𝑁) + 1)↑2)) = ((4 · (𝑁 · (𝑁 + 1))) / (((2 · 𝑁) + 1)↑2)))
113	70, 73, 112	3eqtr2d 2777	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (1 − (1 / (((2 · 𝑁) + 1)↑2))) = ((4 · (𝑁 · (𝑁 + 1))) / (((2 · 𝑁) + 1)↑2)))
114	67, 113	oveq12d 7385	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (((1 / (((2 · 𝑁) + 1)↑2))↑1) / (1 − (1 / (((2 · 𝑁) + 1)↑2)))) = ((1 / (((2 · 𝑁) + 1)↑2)) / ((4 · (𝑁 · (𝑁 + 1))) / (((2 · 𝑁) + 1)↑2))))
115		4pos 12288	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 < 4
116	115	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 0 < 4)
117	116	gt0ne0d 11714	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 4 ≠ 0)
118		nnne0 12211	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ≠ 0)
119	18, 15	readdcld 11174	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 + 1) ∈ ℝ)
120		nngt0 12208	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 0 < 𝑁)
121	18	ltp1d 12086	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 < (𝑁 + 1))
122	14, 18, 119, 120, 121	lttrd 11307	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 0 < (𝑁 + 1))
123	122	gt0ne0d 11714	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 + 1) ≠ 0)
124	9, 107, 118, 123	mulne0d 11802	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 · (𝑁 + 1)) ≠ 0)
125	92, 108, 117, 124	mulne0d 11802	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (4 · (𝑁 · (𝑁 + 1))) ≠ 0)
126	11, 13, 109, 13, 32, 32, 125	divdivdivd 11978	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((1 / (((2 · 𝑁) + 1)↑2)) / ((4 · (𝑁 · (𝑁 + 1))) / (((2 · 𝑁) + 1)↑2))) = ((1 · (((2 · 𝑁) + 1)↑2)) / ((((2 · 𝑁) + 1)↑2) · (4 · (𝑁 · (𝑁 + 1))))))
127	11, 13	mulcomd 11166	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (1 · (((2 · 𝑁) + 1)↑2)) = ((((2 · 𝑁) + 1)↑2) · 1))
128	127	oveq1d 7382	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((1 · (((2 · 𝑁) + 1)↑2)) / ((((2 · 𝑁) + 1)↑2) · (4 · (𝑁 · (𝑁 + 1))))) = (((((2 · 𝑁) + 1)↑2) · 1) / ((((2 · 𝑁) + 1)↑2) · (4 · (𝑁 · (𝑁 + 1))))))
129	11	mulridd 11162	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (1 · 1) = 1)
130	129	eqcomd 2742	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 1 = (1 · 1))
131	130	oveq1d 7382	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (1 / (4 · (𝑁 · (𝑁 + 1)))) = ((1 · 1) / (4 · (𝑁 · (𝑁 + 1)))))
132	11, 92, 11, 108, 117, 124	divmuldivd 11972	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((1 / 4) · (1 / (𝑁 · (𝑁 + 1)))) = ((1 · 1) / (4 · (𝑁 · (𝑁 + 1)))))
133	131, 132	eqtr4d 2774	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (1 / (4 · (𝑁 · (𝑁 + 1)))) = ((1 / 4) · (1 / (𝑁 · (𝑁 + 1)))))
134	68, 133	oveq12d 7385	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (((((2 · 𝑁) + 1)↑2) / (((2 · 𝑁) + 1)↑2)) · (1 / (4 · (𝑁 · (𝑁 + 1))))) = (1 · ((1 / 4) · (1 / (𝑁 · (𝑁 + 1))))))
135	13, 13, 11, 109, 32, 125	divmuldivd 11972	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (((((2 · 𝑁) + 1)↑2) / (((2 · 𝑁) + 1)↑2)) · (1 / (4 · (𝑁 · (𝑁 + 1))))) = (((((2 · 𝑁) + 1)↑2) · 1) / ((((2 · 𝑁) + 1)↑2) · (4 · (𝑁 · (𝑁 + 1))))))
136	92, 117	reccld 11924	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (1 / 4) ∈ ℂ)
137	108, 124	reccld 11924	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (1 / (𝑁 · (𝑁 + 1))) ∈ ℂ)
138	136, 137	mulcld 11165	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((1 / 4) · (1 / (𝑁 · (𝑁 + 1)))) ∈ ℂ)
139	138	mullidd 11163	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (1 · ((1 / 4) · (1 / (𝑁 · (𝑁 + 1))))) = ((1 / 4) · (1 / (𝑁 · (𝑁 + 1)))))
140	134, 135, 139	3eqtr3d 2779	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (((((2 · 𝑁) + 1)↑2) · 1) / ((((2 · 𝑁) + 1)↑2) · (4 · (𝑁 · (𝑁 + 1))))) = ((1 / 4) · (1 / (𝑁 · (𝑁 + 1)))))
141	126, 128, 140	3eqtrd 2775	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((1 / (((2 · 𝑁) + 1)↑2)) / ((4 · (𝑁 · (𝑁 + 1))) / (((2 · 𝑁) + 1)↑2))) = ((1 / 4) · (1 / (𝑁 · (𝑁 + 1)))))
142	114, 141	eqtrd 2771	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (((1 / (((2 · 𝑁) + 1)↑2))↑1) / (1 − (1 / (((2 · 𝑁) + 1)↑2)))) = ((1 / 4) · (1 / (𝑁 · (𝑁 + 1)))))
143	66, 142	breqtrd 5111	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → seq1( + , 𝐿) ⇝ ((1 / 4) · (1 / (𝑁 · (𝑁 + 1)))))
144	59	biimpi 216	. . . 4 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → 𝑗 ∈ (ℤ_≥‘1))
145	144	adantl 481	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → 𝑗 ∈ (ℤ_≥‘1))
146		oveq2 7375	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 = 𝑛 → (2 · 𝑘) = (2 · 𝑛))
147	146	oveq1d 7382	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = 𝑛 → ((2 · 𝑘) + 1) = ((2 · 𝑛) + 1))
148	147	oveq2d 7383	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 = 𝑛 → (1 / ((2 · 𝑘) + 1)) = (1 / ((2 · 𝑛) + 1)))
149	146	oveq2d 7383	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 = 𝑛 → ((1 / ((2 · 𝑁) + 1))↑(2 · 𝑘)) = ((1 / ((2 · 𝑁) + 1))↑(2 · 𝑛)))
150	148, 149	oveq12d 7385	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = 𝑛 → ((1 / ((2 · 𝑘) + 1)) · ((1 / ((2 · 𝑁) + 1))↑(2 · 𝑘))) = ((1 / ((2 · 𝑛) + 1)) · ((1 / ((2 · 𝑁) + 1))↑(2 · 𝑛))))
151		elfznn 13507	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 ∈ (1...𝑗) → 𝑛 ∈ ℕ)
152	151	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → 𝑛 ∈ ℕ)
153		2cnd 12259	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → 2 ∈ ℂ)
154	152	nncnd 12190	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → 𝑛 ∈ ℂ)
155	153, 154	mulcld 11165	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → (2 · 𝑛) ∈ ℂ)
156		1cnd 11139	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → 1 ∈ ℂ)
157	155, 156	addcld 11164	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → ((2 · 𝑛) + 1) ∈ ℂ)
158		0red 11147	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → 0 ∈ ℝ)
159		1red 11145	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → 1 ∈ ℝ)
160	16	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → 2 ∈ ℝ)
161		nnre 12181	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈ ℝ)
162	160, 161	remulcld 11175	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (2 · 𝑛) ∈ ℝ)
163	162, 159	readdcld 11174	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → ((2 · 𝑛) + 1) ∈ ℝ)
164	21	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → 0 < 1)
165	23	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → 2 ∈ ℝ⁺)
166		nnrp 12954	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈ ℝ⁺)
167	165, 166	rpmulcld 13002	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (2 · 𝑛) ∈ ℝ⁺)
168	159, 167	ltaddrp2d 13020	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → 1 < ((2 · 𝑛) + 1))
169	158, 159, 163, 164, 168	lttrd 11307	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → 0 < ((2 · 𝑛) + 1))
170	151, 169	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 ∈ (1...𝑗) → 0 < ((2 · 𝑛) + 1))
171	170	gt0ne0d 11714	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 ∈ (1...𝑗) → ((2 · 𝑛) + 1) ≠ 0)
172	171	adantl 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → ((2 · 𝑛) + 1) ≠ 0)
173	157, 172	reccld 11924	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → (1 / ((2 · 𝑛) + 1)) ∈ ℂ)
174	9	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → 𝑁 ∈ ℂ)
175	153, 174	mulcld 11165	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → (2 · 𝑁) ∈ ℂ)
176	175, 156	addcld 11164	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → ((2 · 𝑁) + 1) ∈ ℂ)
177	29	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → ((2 · 𝑁) + 1) ≠ 0)
178	176, 177	reccld 11924	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → (1 / ((2 · 𝑁) + 1)) ∈ ℂ)
179		2nn0 12454	. . . . . . . . . 10 ⊢ 2 ∈ ℕ₀
180	179	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → 2 ∈ ℕ₀)
181	152	nnnn0d 12498	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → 𝑛 ∈ ℕ₀)
182	180, 181	nn0mulcld 12503	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → (2 · 𝑛) ∈ ℕ₀)
183	178, 182	expcld 14108	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → ((1 / ((2 · 𝑁) + 1))↑(2 · 𝑛)) ∈ ℂ)
184	173, 183	mulcld 11165	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → ((1 / ((2 · 𝑛) + 1)) · ((1 / ((2 · 𝑁) + 1))↑(2 · 𝑛))) ∈ ℂ)
185	6, 150, 152, 184	fvmptd3 6971	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → (𝐾‘𝑛) = ((1 / ((2 · 𝑛) + 1)) · ((1 / ((2 · 𝑁) + 1))↑(2 · 𝑛))))
186	185	adantlr 716	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → (𝐾‘𝑛) = ((1 / ((2 · 𝑛) + 1)) · ((1 / ((2 · 𝑁) + 1))↑(2 · 𝑛))))
187	169	gt0ne0d 11714	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → ((2 · 𝑛) + 1) ≠ 0)
188	163, 187	rereccld 11982	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (1 / ((2 · 𝑛) + 1)) ∈ ℝ)
189	151, 188	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 ∈ (1...𝑗) → (1 / ((2 · 𝑛) + 1)) ∈ ℝ)
190	189	adantl 481	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → (1 / ((2 · 𝑛) + 1)) ∈ ℝ)
191	20, 29	rereccld 11982	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (1 / ((2 · 𝑁) + 1)) ∈ ℝ)
192	191	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → (1 / ((2 · 𝑁) + 1)) ∈ ℝ)
193	192, 182	reexpcld 14125	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → ((1 / ((2 · 𝑁) + 1))↑(2 · 𝑛)) ∈ ℝ)
194	193	adantlr 716	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → ((1 / ((2 · 𝑁) + 1))↑(2 · 𝑛)) ∈ ℝ)
195	190, 194	remulcld 11175	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → ((1 / ((2 · 𝑛) + 1)) · ((1 / ((2 · 𝑁) + 1))↑(2 · 𝑛))) ∈ ℝ)
196	186, 195	eqeltrd 2836	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → (𝐾‘𝑛) ∈ ℝ)
197		readdcl 11121	. . . 4 ⊢ ((𝑛 ∈ ℝ ∧ 𝑖 ∈ ℝ) → (𝑛 + 𝑖) ∈ ℝ)
198	197	adantl 481	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ (𝑛 ∈ ℝ ∧ 𝑖 ∈ ℝ)) → (𝑛 + 𝑖) ∈ ℝ)
199	145, 196, 198	seqcl 13984	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (seq1( + , 𝐾)‘𝑗) ∈ ℝ)
200		oveq2 7375	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = 𝑛 → ((1 / (((2 · 𝑁) + 1)↑2))↑𝑘) = ((1 / (((2 · 𝑁) + 1)↑2))↑𝑛))
201	33	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → (1 / (((2 · 𝑁) + 1)↑2)) ∈ ℂ)
202	201, 181	expcld 14108	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → ((1 / (((2 · 𝑁) + 1)↑2))↑𝑛) ∈ ℂ)
203	55, 200, 152, 202	fvmptd3 6971	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → (𝐿‘𝑛) = ((1 / (((2 · 𝑁) + 1)↑2))↑𝑛))
204	36	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → (1 / (((2 · 𝑁) + 1)↑2)) ∈ ℝ)
205	204, 181	reexpcld 14125	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → ((1 / (((2 · 𝑁) + 1)↑2))↑𝑛) ∈ ℝ)
206	203, 205	eqeltrd 2836	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → (𝐿‘𝑛) ∈ ℝ)
207	206	adantlr 716	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → (𝐿‘𝑛) ∈ ℝ)
208	145, 207, 198	seqcl 13984	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (seq1( + , 𝐿)‘𝑗) ∈ ℝ)
209	30	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑛 ∈ (1...𝑗) → 2 ∈ ℤ)
210		elfzelz 13478	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑛 ∈ (1...𝑗) → 𝑛 ∈ ℤ)
211	209, 210	zmulcld 12639	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑛 ∈ (1...𝑗) → (2 · 𝑛) ∈ ℤ)
212		1exp 14053	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((2 · 𝑛) ∈ ℤ → (1↑(2 · 𝑛)) = 1)
213	211, 212	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 ∈ (1...𝑗) → (1↑(2 · 𝑛)) = 1)
214		1exp 14053	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑛 ∈ ℤ → (1↑𝑛) = 1)
215	210, 214	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 ∈ (1...𝑗) → (1↑𝑛) = 1)
216	213, 215	eqtr4d 2774	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 ∈ (1...𝑗) → (1↑(2 · 𝑛)) = (1↑𝑛))
217	216	adantl 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → (1↑(2 · 𝑛)) = (1↑𝑛))
218	176, 181, 180	expmuld 14111	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → (((2 · 𝑁) + 1)↑(2 · 𝑛)) = ((((2 · 𝑁) + 1)↑2)↑𝑛))
219	217, 218	oveq12d 7385	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → ((1↑(2 · 𝑛)) / (((2 · 𝑁) + 1)↑(2 · 𝑛))) = ((1↑𝑛) / ((((2 · 𝑁) + 1)↑2)↑𝑛)))
220	156, 176, 177, 182	expdivd 14122	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → ((1 / ((2 · 𝑁) + 1))↑(2 · 𝑛)) = ((1↑(2 · 𝑛)) / (((2 · 𝑁) + 1)↑(2 · 𝑛))))
221	176	sqcld 14106	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → (((2 · 𝑁) + 1)↑2) ∈ ℂ)
222	30	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → 2 ∈ ℤ)
223	176, 177, 222	expne0d 14114	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → (((2 · 𝑁) + 1)↑2) ≠ 0)
224	156, 221, 223, 181	expdivd 14122	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → ((1 / (((2 · 𝑁) + 1)↑2))↑𝑛) = ((1↑𝑛) / ((((2 · 𝑁) + 1)↑2)↑𝑛)))
225	219, 220, 224	3eqtr4d 2781	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → ((1 / ((2 · 𝑁) + 1))↑(2 · 𝑛)) = ((1 / (((2 · 𝑁) + 1)↑2))↑𝑛))
226	225	oveq2d 7383	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → ((1 / ((2 · 𝑛) + 1)) · ((1 / ((2 · 𝑁) + 1))↑(2 · 𝑛))) = ((1 / ((2 · 𝑛) + 1)) · ((1 / (((2 · 𝑁) + 1)↑2))↑𝑛)))
227		1rp 12946	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 1 ∈ ℝ⁺
228	227	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → 1 ∈ ℝ⁺)
229	16	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → 2 ∈ ℝ)
230	152	nnred 12189	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → 𝑛 ∈ ℝ)
231	229, 230	remulcld 11175	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → (2 · 𝑛) ∈ ℝ)
232	180	nn0ge0d 12501	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → 0 ≤ 2)
233	181	nn0ge0d 12501	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → 0 ≤ 𝑛)
234	229, 230, 232, 233	mulge0d 11727	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → 0 ≤ (2 · 𝑛))
235	231, 234	ge0p1rpd 13016	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → ((2 · 𝑛) + 1) ∈ ℝ⁺)
236		1red 11145	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → 1 ∈ ℝ)
237	228	rpge0d 12990	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → 0 ≤ 1)
238	159, 163, 168	ltled 11294	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → 1 ≤ ((2 · 𝑛) + 1))
239	151, 238	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 ∈ (1...𝑗) → 1 ≤ ((2 · 𝑛) + 1))
240	239	adantl 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → 1 ≤ ((2 · 𝑛) + 1))
241	228, 235, 236, 237, 240	lediv2ad 13008	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → (1 / ((2 · 𝑛) + 1)) ≤ (1 / 1))
242	156	div1d 11923	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → (1 / 1) = 1)
243	241, 242	breqtrd 5111	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → (1 / ((2 · 𝑛) + 1)) ≤ 1)
244	152, 188	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → (1 / ((2 · 𝑛) + 1)) ∈ ℝ)
245	18	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → 𝑁 ∈ ℝ)
246	229, 245	remulcld 11175	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → (2 · 𝑁) ∈ ℝ)
247	14, 18, 120	ltled 11294	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 0 ≤ 𝑁)
248	247	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → 0 ≤ 𝑁)
249	229, 245, 232, 248	mulge0d 11727	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → 0 ≤ (2 · 𝑁))
250	246, 249	ge0p1rpd 13016	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → ((2 · 𝑁) + 1) ∈ ℝ⁺)
251	250, 222	rpexpcld 14209	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → (((2 · 𝑁) + 1)↑2) ∈ ℝ⁺)
252	251	rpreccld 12996	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → (1 / (((2 · 𝑁) + 1)↑2)) ∈ ℝ⁺)
253	210	adantl 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → 𝑛 ∈ ℤ)
254	252, 253	rpexpcld 14209	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → ((1 / (((2 · 𝑁) + 1)↑2))↑𝑛) ∈ ℝ⁺)
255	244, 236, 254	lemul1d 13029	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → ((1 / ((2 · 𝑛) + 1)) ≤ 1 ↔ ((1 / ((2 · 𝑛) + 1)) · ((1 / (((2 · 𝑁) + 1)↑2))↑𝑛)) ≤ (1 · ((1 / (((2 · 𝑁) + 1)↑2))↑𝑛))))
256	243, 255	mpbid 232	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → ((1 / ((2 · 𝑛) + 1)) · ((1 / (((2 · 𝑁) + 1)↑2))↑𝑛)) ≤ (1 · ((1 / (((2 · 𝑁) + 1)↑2))↑𝑛)))
257	202	mullidd 11163	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → (1 · ((1 / (((2 · 𝑁) + 1)↑2))↑𝑛)) = ((1 / (((2 · 𝑁) + 1)↑2))↑𝑛))
258	256, 257	breqtrd 5111	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → ((1 / ((2 · 𝑛) + 1)) · ((1 / (((2 · 𝑁) + 1)↑2))↑𝑛)) ≤ ((1 / (((2 · 𝑁) + 1)↑2))↑𝑛))
259	226, 258	eqbrtrd 5107	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → ((1 / ((2 · 𝑛) + 1)) · ((1 / ((2 · 𝑁) + 1))↑(2 · 𝑛))) ≤ ((1 / (((2 · 𝑁) + 1)↑2))↑𝑛))
260	259, 185, 203	3brtr4d 5117	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → (𝐾‘𝑛) ≤ (𝐿‘𝑛))
261	260	adantlr 716	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → (𝐾‘𝑛) ≤ (𝐿‘𝑛))
262	145, 196, 207, 261	serle 14019	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (seq1( + , 𝐾)‘𝑗) ≤ (seq1( + , 𝐿)‘𝑗))
263	1, 2, 7, 143, 199, 208, 262	climle 15602	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((𝐵‘𝑁) − (𝐵‘(𝑁 + 1))) ≤ ((1 / 4) · (1 / (𝑁 · (𝑁 + 1)))))

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: → wi 4 ↔ wb 206 ∧ wa 395 = wceq 1542 ∈ wcel 2114 ≠ wne 2932 class class class wbr 5085 ↦ cmpt 5166 ‘cfv 6498 (class class class)co 7367 ℂcc 11036 ℝcr 11037 0cc0 11038 1c1 11039 + caddc 11041 · cmul 11043 < clt 11179 ≤ cle 11180 − cmin 11377 -cneg 11378 / cdiv 11807 ℕcn 12174 2c2 12236 4c4 12238 ℕ₀cn0 12437 ℤcz 12524 ℤ_≥cuz 12788 ℝ⁺crp 12942 ...cfz 13461 seqcseq 13963 ↑cexp 14023 !cfa 14235 √csqrt 15195 abscabs 15196 ⇝ cli 15446 eceu 16027 logclog 26518

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1797 ax-4 1811 ax-5 1912 ax-6 1969 ax-7 2010 ax-8 2116 ax-9 2124 ax-10 2147 ax-11 2163 ax-12 2185 ax-ext 2708 ax-rep 5212 ax-sep 5231 ax-nul 5241 ax-pow 5307 ax-pr 5375 ax-un 7689 ax-inf2 9562 ax-cnex 11094 ax-resscn 11095 ax-1cn 11096 ax-icn 11097 ax-addcl 11098 ax-addrcl 11099 ax-mulcl 11100 ax-mulrcl 11101 ax-mulcom 11102 ax-addass 11103 ax-mulass 11104 ax-distr 11105 ax-i2m1 11106 ax-1ne0 11107 ax-1rid 11108 ax-rnegex 11109 ax-rrecex 11110 ax-cnre 11111 ax-pre-lttri 11112 ax-pre-lttrn 11113 ax-pre-ltadd 11114 ax-pre-mulgt0 11115 ax-pre-sup 11116 ax-addf 11117

This theorem depends on definitions: df-bi 207 df-an 396 df-or 849 df-3or 1088 df-3an 1089 df-tru 1545 df-fal 1555 df-ex 1782 df-nf 1786 df-sb 2069 df-mo 2539 df-eu 2569 df-clab 2715 df-cleq 2728 df-clel 2811 df-nfc 2885 df-ne 2933 df-nel 3037 df-ral 3052 df-rex 3062 df-rmo 3342 df-reu 3343 df-rab 3390 df-v 3431 df-sbc 3729 df-csb 3838 df-dif 3892 df-un 3894 df-in 3896 df-ss 3906 df-pss 3909 df-nul 4274 df-if 4467 df-pw 4543 df-sn 4568 df-pr 4570 df-tp 4572 df-op 4574 df-uni 4851 df-int 4890 df-iun 4935 df-iin 4936 df-br 5086 df-opab 5148 df-mpt 5167 df-tr 5193 df-id 5526 df-eprel 5531 df-po 5539 df-so 5540 df-fr 5584 df-se 5585 df-we 5586 df-xp 5637 df-rel 5638 df-cnv 5639 df-co 5640 df-dm 5641 df-rn 5642 df-res 5643 df-ima 5644 df-pred 6265 df-ord 6326 df-on 6327 df-lim 6328 df-suc 6329 df-iota 6454 df-fun 6500 df-fn 6501 df-f 6502 df-f1 6503 df-fo 6504 df-f1o 6505 df-fv 6506 df-isom 6507 df-riota 7324 df-ov 7370 df-oprab 7371 df-mpo 7372 df-of 7631 df-om 7818 df-1st 7942 df-2nd 7943 df-supp 8111 df-frecs 8231 df-wrecs 8262 df-recs 8311 df-rdg 8349 df-1o 8405 df-2o 8406 df-oadd 8409 df-er 8643 df-map 8775 df-pm 8776 df-ixp 8846 df-en 8894 df-dom 8895 df-sdom 8896 df-fin 8897 df-fsupp 9275 df-fi 9324 df-sup 9355 df-inf 9356 df-oi 9425 df-card 9863 df-pnf 11181 df-mnf 11182 df-xr 11183 df-ltxr 11184 df-le 11185 df-sub 11379 df-neg 11380 df-div 11808 df-nn 12175 df-2 12244 df-3 12245 df-4 12246 df-5 12247 df-6 12248 df-7 12249 df-8 12250 df-9 12251 df-n0 12438 df-xnn0 12511 df-z 12525 df-dec 12645 df-uz 12789 df-q 12899 df-rp 12943 df-xneg 13063 df-xadd 13064 df-xmul 13065 df-ioo 13302 df-ioc 13303 df-ico 13304 df-icc 13305 df-fz 13462 df-fzo 13609 df-fl 13751 df-mod 13829 df-seq 13964 df-exp 14024 df-fac 14236 df-bc 14265 df-hash 14293 df-shft 15029 df-cj 15061 df-re 15062 df-im 15063 df-sqrt 15197 df-abs 15198 df-limsup 15433 df-clim 15450 df-rlim 15451 df-sum 15649 df-ef 16032 df-e 16033 df-sin 16034 df-cos 16035 df-tan 16036 df-pi 16037 df-dvds 16222 df-struct 17117 df-sets 17134 df-slot 17152 df-ndx 17164 df-base 17180 df-ress 17201 df-plusg 17233 df-mulr 17234 df-starv 17235 df-sca 17236 df-vsca 17237 df-ip 17238 df-tset 17239 df-ple 17240 df-ds 17242 df-unif 17243 df-hom 17244 df-cco 17245 df-rest 17385 df-topn 17386 df-0g 17404 df-gsum 17405 df-topgen 17406 df-pt 17407 df-prds 17410 df-xrs 17466 df-qtop 17471 df-imas 17472 df-xps 17474 df-mre 17548 df-mrc 17549 df-acs 17551 df-mgm 18608 df-sgrp 18687 df-mnd 18703 df-submnd 18752 df-mulg 19044 df-cntz 19292 df-cmn 19757 df-psmet 21344 df-xmet 21345 df-met 21346 df-bl 21347 df-mopn 21348 df-fbas 21349 df-fg 21350 df-cnfld 21353 df-top 22859 df-topon 22876 df-topsp 22898 df-bases 22911 df-cld 22984 df-ntr 22985 df-cls 22986 df-nei 23063 df-lp 23101 df-perf 23102 df-cn 23192 df-cnp 23193 df-haus 23280 df-cmp 23352 df-tx 23527 df-hmeo 23720 df-fil 23811 df-fm 23903 df-flim 23904 df-flf 23905 df-xms 24285 df-ms 24286 df-tms 24287 df-cncf 24845 df-limc 25833 df-dv 25834 df-ulm 26342 df-log 26520 df-cxp 26521

This theorem is referenced by: stirlinglem12 46513

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