stirlinglem10 - Mathbox for Glauco Siliprandi

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Theorem stirlinglem10 46441

Description: A bound for any B(N)-B(N + 1) that will allow to find a lower bound for the whole 𝐵 sequence. (Contributed by Glauco Siliprandi, 29-Jun-2017.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
stirlinglem10.1	⊢ 𝐴 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((!‘𝑛) / ((√‘(2 · 𝑛)) · ((𝑛 / e)↑𝑛))))
stirlinglem10.2	⊢ 𝐵 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (log‘(𝐴‘𝑛)))
stirlinglem10.4	⊢ 𝐾 = (𝑘 ∈ ℕ ↦ ((1 / ((2 · 𝑘) + 1)) · ((1 / ((2 · 𝑁) + 1))↑(2 · 𝑘))))
stirlinglem10.5	⊢ 𝐿 = (𝑘 ∈ ℕ ↦ ((1 / (((2 · 𝑁) + 1)↑2))↑𝑘))

**Assertion**
Ref	Expression
stirlinglem10	⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((𝐵‘𝑁) − (𝐵‘(𝑁 + 1))) ≤ ((1 / 4) · (1 / (𝑁 · (𝑁 + 1)))))

Distinct variable groups: 𝑘,𝑛 𝑛,𝐾 𝑛,𝐿 𝑘,𝑁,𝑛 Allowed substitution hints: 𝐴(𝑘,𝑛) 𝐵(𝑘,𝑛) 𝐾(𝑘) 𝐿(𝑘)

Proof of Theorem stirlinglem10 Dummy variables 𝑖 𝑗 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnuz 12802	. 2 ⊢ ℕ = (ℤ_≥‘1)
2		1zzd 12534	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 1 ∈ ℤ)
3		stirlinglem10.1	. . 3 ⊢ 𝐴 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((!‘𝑛) / ((√‘(2 · 𝑛)) · ((𝑛 / e)↑𝑛))))
4		stirlinglem10.2	. . 3 ⊢ 𝐵 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (log‘(𝐴‘𝑛)))
5		eqid 2737	. . 3 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((((1 + (2 · 𝑛)) / 2) · (log‘((𝑛 + 1) / 𝑛))) − 1)) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((((1 + (2 · 𝑛)) / 2) · (log‘((𝑛 + 1) / 𝑛))) − 1))
6		stirlinglem10.4	. . 3 ⊢ 𝐾 = (𝑘 ∈ ℕ ↦ ((1 / ((2 · 𝑘) + 1)) · ((1 / ((2 · 𝑁) + 1))↑(2 · 𝑘))))
7	3, 4, 5, 6	stirlinglem9 46440	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → seq1( + , 𝐾) ⇝ ((𝐵‘𝑁) − (𝐵‘(𝑁 + 1))))
8		2cnd 12235	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 2 ∈ ℂ)
9		nncn 12165	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℂ)
10	8, 9	mulcld 11164	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (2 · 𝑁) ∈ ℂ)
11		1cnd 11139	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 1 ∈ ℂ)
12	10, 11	addcld 11163	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((2 · 𝑁) + 1) ∈ ℂ)
13	12	sqcld 14079	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (((2 · 𝑁) + 1)↑2) ∈ ℂ)
14		0red 11147	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 0 ∈ ℝ)
15		1red 11145	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 1 ∈ ℝ)
16		2re 12231	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 2 ∈ ℝ
17	16	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 2 ∈ ℝ)
18		nnre 12164	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℝ)
19	17, 18	remulcld 11174	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (2 · 𝑁) ∈ ℝ)
20	19, 15	readdcld 11173	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((2 · 𝑁) + 1) ∈ ℝ)
21		0lt1 11671	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 < 1
22	21	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 0 < 1)
23		2rp 12922	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 2 ∈ ℝ⁺
24	23	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 2 ∈ ℝ⁺)
25		nnrp 12929	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℝ⁺)
26	24, 25	rpmulcld 12977	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (2 · 𝑁) ∈ ℝ⁺)
27	15, 26	ltaddrp2d 12995	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 1 < ((2 · 𝑁) + 1))
28	14, 15, 20, 22, 27	lttrd 11306	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 0 < ((2 · 𝑁) + 1))
29	28	gt0ne0d 11713	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((2 · 𝑁) + 1) ≠ 0)
30		2z 12535	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℤ
31	30	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 2 ∈ ℤ)
32	12, 29, 31	expne0d 14087	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (((2 · 𝑁) + 1)↑2) ≠ 0)
33	13, 32	reccld 11922	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (1 / (((2 · 𝑁) + 1)↑2)) ∈ ℂ)
34	15	renegcld 11576	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → -1 ∈ ℝ)
35	20	resqcld 14060	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (((2 · 𝑁) + 1)↑2) ∈ ℝ)
36	35, 32	rereccld 11980	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (1 / (((2 · 𝑁) + 1)↑2)) ∈ ℝ)
37		1re 11144	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℝ
38		lt0neg2 11656	. . . . . . . 8 ⊢ (1 ∈ ℝ → (0 < 1 ↔ -1 < 0))
39	37, 38	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ (0 < 1 ↔ -1 < 0)
40	22, 39	sylib 218	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → -1 < 0)
41	20, 29	sqgt0d 14185	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 0 < (((2 · 𝑁) + 1)↑2))
42	35, 41	recgt0d 12088	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 0 < (1 / (((2 · 𝑁) + 1)↑2)))
43	34, 14, 36, 40, 42	lttrd 11306	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → -1 < (1 / (((2 · 𝑁) + 1)↑2)))
44		2nn 12230	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ ℕ
45	44	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 2 ∈ ℕ)
46		expgt1 14035	. . . . . . 7 ⊢ ((((2 · 𝑁) + 1) ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℕ ∧ 1 < ((2 · 𝑁) + 1)) → 1 < (((2 · 𝑁) + 1)↑2))
47	20, 45, 27, 46	syl3anc 1374	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 1 < (((2 · 𝑁) + 1)↑2))
48	35, 41	elrpd 12958	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (((2 · 𝑁) + 1)↑2) ∈ ℝ⁺)
49	48	recgt1d 12975	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (1 < (((2 · 𝑁) + 1)↑2) ↔ (1 / (((2 · 𝑁) + 1)↑2)) < 1))
50	47, 49	mpbid 232	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (1 / (((2 · 𝑁) + 1)↑2)) < 1)
51	36, 15	absltd 15367	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((abs‘(1 / (((2 · 𝑁) + 1)↑2))) < 1 ↔ (-1 < (1 / (((2 · 𝑁) + 1)↑2)) ∧ (1 / (((2 · 𝑁) + 1)↑2)) < 1)))
52	43, 50, 51	mpbir2and 714	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (abs‘(1 / (((2 · 𝑁) + 1)↑2))) < 1)
53		1nn0 12429	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℕ₀
54	53	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 1 ∈ ℕ₀)
55		stirlinglem10.5	. . . . . 6 ⊢ 𝐿 = (𝑘 ∈ ℕ ↦ ((1 / (((2 · 𝑁) + 1)↑2))↑𝑘))
56	55	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ (ℤ_≥‘1)) → 𝐿 = (𝑘 ∈ ℕ ↦ ((1 / (((2 · 𝑁) + 1)↑2))↑𝑘)))
57		simpr 484	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ (ℤ_≥‘1)) ∧ 𝑘 = 𝑗) → 𝑘 = 𝑗)
58	57	oveq2d 7384	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ (ℤ_≥‘1)) ∧ 𝑘 = 𝑗) → ((1 / (((2 · 𝑁) + 1)↑2))↑𝑘) = ((1 / (((2 · 𝑁) + 1)↑2))↑𝑗))
59		elnnuz 12803	. . . . . . 7 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ ↔ 𝑗 ∈ (ℤ_≥‘1))
60	59	biimpri 228	. . . . . 6 ⊢ (𝑗 ∈ (ℤ_≥‘1) → 𝑗 ∈ ℕ)
61	60	adantl 481	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ (ℤ_≥‘1)) → 𝑗 ∈ ℕ)
62	33	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ (ℤ_≥‘1)) → (1 / (((2 · 𝑁) + 1)↑2)) ∈ ℂ)
63	61	nnnn0d 12474	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ (ℤ_≥‘1)) → 𝑗 ∈ ℕ₀)
64	62, 63	expcld 14081	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ (ℤ_≥‘1)) → ((1 / (((2 · 𝑁) + 1)↑2))↑𝑗) ∈ ℂ)
65	56, 58, 61, 64	fvmptd 6957	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ (ℤ_≥‘1)) → (𝐿‘𝑗) = ((1 / (((2 · 𝑁) + 1)↑2))↑𝑗))
66	33, 52, 54, 65	geolim2 15806	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → seq1( + , 𝐿) ⇝ (((1 / (((2 · 𝑁) + 1)↑2))↑1) / (1 − (1 / (((2 · 𝑁) + 1)↑2)))))
67	33	exp1d 14076	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((1 / (((2 · 𝑁) + 1)↑2))↑1) = (1 / (((2 · 𝑁) + 1)↑2)))
68	13, 32	dividd 11927	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((((2 · 𝑁) + 1)↑2) / (((2 · 𝑁) + 1)↑2)) = 1)
69	68	eqcomd 2743	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 1 = ((((2 · 𝑁) + 1)↑2) / (((2 · 𝑁) + 1)↑2)))
70	69	oveq1d 7383	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (1 − (1 / (((2 · 𝑁) + 1)↑2))) = (((((2 · 𝑁) + 1)↑2) / (((2 · 𝑁) + 1)↑2)) − (1 / (((2 · 𝑁) + 1)↑2))))
71	48	rpcnne0d 12970	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((((2 · 𝑁) + 1)↑2) ∈ ℂ ∧ (((2 · 𝑁) + 1)↑2) ≠ 0))
72		divsubdir 11847	. . . . . . 7 ⊢ (((((2 · 𝑁) + 1)↑2) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ ∧ ((((2 · 𝑁) + 1)↑2) ∈ ℂ ∧ (((2 · 𝑁) + 1)↑2) ≠ 0)) → (((((2 · 𝑁) + 1)↑2) − 1) / (((2 · 𝑁) + 1)↑2)) = (((((2 · 𝑁) + 1)↑2) / (((2 · 𝑁) + 1)↑2)) − (1 / (((2 · 𝑁) + 1)↑2))))
73	13, 11, 71, 72	syl3anc 1374	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (((((2 · 𝑁) + 1)↑2) − 1) / (((2 · 𝑁) + 1)↑2)) = (((((2 · 𝑁) + 1)↑2) / (((2 · 𝑁) + 1)↑2)) − (1 / (((2 · 𝑁) + 1)↑2))))
74		ax-1cn 11096	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1 ∈ ℂ
75		binom2 14152	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((2 · 𝑁) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (((2 · 𝑁) + 1)↑2) = ((((2 · 𝑁)↑2) + (2 · ((2 · 𝑁) · 1))) + (1↑2)))
76	10, 74, 75	sylancl 587	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (((2 · 𝑁) + 1)↑2) = ((((2 · 𝑁)↑2) + (2 · ((2 · 𝑁) · 1))) + (1↑2)))
77	76	oveq1d 7383	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((((2 · 𝑁) + 1)↑2) − 1) = (((((2 · 𝑁)↑2) + (2 · ((2 · 𝑁) · 1))) + (1↑2)) − 1))
78	8, 9	sqmuld 14093	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((2 · 𝑁)↑2) = ((2↑2) · (𝑁↑2)))
79		sq2 14132	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (2↑2) = 4
80	79	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (2↑2) = 4)
81	80	oveq1d 7383	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((2↑2) · (𝑁↑2)) = (4 · (𝑁↑2)))
82	78, 81	eqtrd 2772	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((2 · 𝑁)↑2) = (4 · (𝑁↑2)))
83	10	mulridd 11161	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((2 · 𝑁) · 1) = (2 · 𝑁))
84	83	oveq2d 7384	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (2 · ((2 · 𝑁) · 1)) = (2 · (2 · 𝑁)))
85	8, 8, 9	mulassd 11167	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((2 · 2) · 𝑁) = (2 · (2 · 𝑁)))
86		2t2e4 12316	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (2 · 2) = 4
87	86	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (2 · 2) = 4)
88	87	oveq1d 7383	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((2 · 2) · 𝑁) = (4 · 𝑁))
89	84, 85, 88	3eqtr2d 2778	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (2 · ((2 · 𝑁) · 1)) = (4 · 𝑁))
90	82, 89	oveq12d 7386	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (((2 · 𝑁)↑2) + (2 · ((2 · 𝑁) · 1))) = ((4 · (𝑁↑2)) + (4 · 𝑁)))
91		4cn 12242	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 4 ∈ ℂ
92	91	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 4 ∈ ℂ)
93	9	sqcld 14079	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁↑2) ∈ ℂ)
94	92, 93, 9	adddid 11168	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (4 · ((𝑁↑2) + 𝑁)) = ((4 · (𝑁↑2)) + (4 · 𝑁)))
95	9	sqvald 14078	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁↑2) = (𝑁 · 𝑁))
96	9	mulridd 11161	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 · 1) = 𝑁)
97	96	eqcomd 2743	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 = (𝑁 · 1))
98	95, 97	oveq12d 7386	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑁↑2) + 𝑁) = ((𝑁 · 𝑁) + (𝑁 · 1)))
99	9, 9, 11	adddid 11168	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 · (𝑁 + 1)) = ((𝑁 · 𝑁) + (𝑁 · 1)))
100	98, 99	eqtr4d 2775	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑁↑2) + 𝑁) = (𝑁 · (𝑁 + 1)))
101	100	oveq2d 7384	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (4 · ((𝑁↑2) + 𝑁)) = (4 · (𝑁 · (𝑁 + 1))))
102	90, 94, 101	3eqtr2d 2778	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (((2 · 𝑁)↑2) + (2 · ((2 · 𝑁) · 1))) = (4 · (𝑁 · (𝑁 + 1))))
103		sq1 14130	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (1↑2) = 1
104	103	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (1↑2) = 1)
105	102, 104	oveq12d 7386	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((((2 · 𝑁)↑2) + (2 · ((2 · 𝑁) · 1))) + (1↑2)) = ((4 · (𝑁 · (𝑁 + 1))) + 1))
106	105	oveq1d 7383	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (((((2 · 𝑁)↑2) + (2 · ((2 · 𝑁) · 1))) + (1↑2)) − 1) = (((4 · (𝑁 · (𝑁 + 1))) + 1) − 1))
107	9, 11	addcld 11163	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 + 1) ∈ ℂ)
108	9, 107	mulcld 11164	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 · (𝑁 + 1)) ∈ ℂ)
109	92, 108	mulcld 11164	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (4 · (𝑁 · (𝑁 + 1))) ∈ ℂ)
110	109, 11	pncand 11505	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (((4 · (𝑁 · (𝑁 + 1))) + 1) − 1) = (4 · (𝑁 · (𝑁 + 1))))
111	77, 106, 110	3eqtrd 2776	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((((2 · 𝑁) + 1)↑2) − 1) = (4 · (𝑁 · (𝑁 + 1))))
112	111	oveq1d 7383	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (((((2 · 𝑁) + 1)↑2) − 1) / (((2 · 𝑁) + 1)↑2)) = ((4 · (𝑁 · (𝑁 + 1))) / (((2 · 𝑁) + 1)↑2)))
113	70, 73, 112	3eqtr2d 2778	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (1 − (1 / (((2 · 𝑁) + 1)↑2))) = ((4 · (𝑁 · (𝑁 + 1))) / (((2 · 𝑁) + 1)↑2)))
114	67, 113	oveq12d 7386	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (((1 / (((2 · 𝑁) + 1)↑2))↑1) / (1 − (1 / (((2 · 𝑁) + 1)↑2)))) = ((1 / (((2 · 𝑁) + 1)↑2)) / ((4 · (𝑁 · (𝑁 + 1))) / (((2 · 𝑁) + 1)↑2))))
115		4pos 12264	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 < 4
116	115	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 0 < 4)
117	116	gt0ne0d 11713	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 4 ≠ 0)
118		nnne0 12191	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ≠ 0)
119	18, 15	readdcld 11173	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 + 1) ∈ ℝ)
120		nngt0 12188	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 0 < 𝑁)
121	18	ltp1d 12084	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 < (𝑁 + 1))
122	14, 18, 119, 120, 121	lttrd 11306	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 0 < (𝑁 + 1))
123	122	gt0ne0d 11713	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 + 1) ≠ 0)
124	9, 107, 118, 123	mulne0d 11801	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 · (𝑁 + 1)) ≠ 0)
125	92, 108, 117, 124	mulne0d 11801	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (4 · (𝑁 · (𝑁 + 1))) ≠ 0)
126	11, 13, 109, 13, 32, 32, 125	divdivdivd 11976	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((1 / (((2 · 𝑁) + 1)↑2)) / ((4 · (𝑁 · (𝑁 + 1))) / (((2 · 𝑁) + 1)↑2))) = ((1 · (((2 · 𝑁) + 1)↑2)) / ((((2 · 𝑁) + 1)↑2) · (4 · (𝑁 · (𝑁 + 1))))))
127	11, 13	mulcomd 11165	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (1 · (((2 · 𝑁) + 1)↑2)) = ((((2 · 𝑁) + 1)↑2) · 1))
128	127	oveq1d 7383	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((1 · (((2 · 𝑁) + 1)↑2)) / ((((2 · 𝑁) + 1)↑2) · (4 · (𝑁 · (𝑁 + 1))))) = (((((2 · 𝑁) + 1)↑2) · 1) / ((((2 · 𝑁) + 1)↑2) · (4 · (𝑁 · (𝑁 + 1))))))
129	11	mulridd 11161	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (1 · 1) = 1)
130	129	eqcomd 2743	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 1 = (1 · 1))
131	130	oveq1d 7383	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (1 / (4 · (𝑁 · (𝑁 + 1)))) = ((1 · 1) / (4 · (𝑁 · (𝑁 + 1)))))
132	11, 92, 11, 108, 117, 124	divmuldivd 11970	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((1 / 4) · (1 / (𝑁 · (𝑁 + 1)))) = ((1 · 1) / (4 · (𝑁 · (𝑁 + 1)))))
133	131, 132	eqtr4d 2775	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (1 / (4 · (𝑁 · (𝑁 + 1)))) = ((1 / 4) · (1 / (𝑁 · (𝑁 + 1)))))
134	68, 133	oveq12d 7386	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (((((2 · 𝑁) + 1)↑2) / (((2 · 𝑁) + 1)↑2)) · (1 / (4 · (𝑁 · (𝑁 + 1))))) = (1 · ((1 / 4) · (1 / (𝑁 · (𝑁 + 1))))))
135	13, 13, 11, 109, 32, 125	divmuldivd 11970	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (((((2 · 𝑁) + 1)↑2) / (((2 · 𝑁) + 1)↑2)) · (1 / (4 · (𝑁 · (𝑁 + 1))))) = (((((2 · 𝑁) + 1)↑2) · 1) / ((((2 · 𝑁) + 1)↑2) · (4 · (𝑁 · (𝑁 + 1))))))
136	92, 117	reccld 11922	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (1 / 4) ∈ ℂ)
137	108, 124	reccld 11922	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (1 / (𝑁 · (𝑁 + 1))) ∈ ℂ)
138	136, 137	mulcld 11164	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((1 / 4) · (1 / (𝑁 · (𝑁 + 1)))) ∈ ℂ)
139	138	mullidd 11162	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (1 · ((1 / 4) · (1 / (𝑁 · (𝑁 + 1))))) = ((1 / 4) · (1 / (𝑁 · (𝑁 + 1)))))
140	134, 135, 139	3eqtr3d 2780	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (((((2 · 𝑁) + 1)↑2) · 1) / ((((2 · 𝑁) + 1)↑2) · (4 · (𝑁 · (𝑁 + 1))))) = ((1 / 4) · (1 / (𝑁 · (𝑁 + 1)))))
141	126, 128, 140	3eqtrd 2776	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((1 / (((2 · 𝑁) + 1)↑2)) / ((4 · (𝑁 · (𝑁 + 1))) / (((2 · 𝑁) + 1)↑2))) = ((1 / 4) · (1 / (𝑁 · (𝑁 + 1)))))
142	114, 141	eqtrd 2772	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (((1 / (((2 · 𝑁) + 1)↑2))↑1) / (1 − (1 / (((2 · 𝑁) + 1)↑2)))) = ((1 / 4) · (1 / (𝑁 · (𝑁 + 1)))))
143	66, 142	breqtrd 5126	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → seq1( + , 𝐿) ⇝ ((1 / 4) · (1 / (𝑁 · (𝑁 + 1)))))
144	59	biimpi 216	. . . 4 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → 𝑗 ∈ (ℤ_≥‘1))
145	144	adantl 481	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → 𝑗 ∈ (ℤ_≥‘1))
146		oveq2 7376	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 = 𝑛 → (2 · 𝑘) = (2 · 𝑛))
147	146	oveq1d 7383	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = 𝑛 → ((2 · 𝑘) + 1) = ((2 · 𝑛) + 1))
148	147	oveq2d 7384	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 = 𝑛 → (1 / ((2 · 𝑘) + 1)) = (1 / ((2 · 𝑛) + 1)))
149	146	oveq2d 7384	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 = 𝑛 → ((1 / ((2 · 𝑁) + 1))↑(2 · 𝑘)) = ((1 / ((2 · 𝑁) + 1))↑(2 · 𝑛)))
150	148, 149	oveq12d 7386	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = 𝑛 → ((1 / ((2 · 𝑘) + 1)) · ((1 / ((2 · 𝑁) + 1))↑(2 · 𝑘))) = ((1 / ((2 · 𝑛) + 1)) · ((1 / ((2 · 𝑁) + 1))↑(2 · 𝑛))))
151		elfznn 13481	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 ∈ (1...𝑗) → 𝑛 ∈ ℕ)
152	151	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → 𝑛 ∈ ℕ)
153		2cnd 12235	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → 2 ∈ ℂ)
154	152	nncnd 12173	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → 𝑛 ∈ ℂ)
155	153, 154	mulcld 11164	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → (2 · 𝑛) ∈ ℂ)
156		1cnd 11139	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → 1 ∈ ℂ)
157	155, 156	addcld 11163	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → ((2 · 𝑛) + 1) ∈ ℂ)
158		0red 11147	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → 0 ∈ ℝ)
159		1red 11145	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → 1 ∈ ℝ)
160	16	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → 2 ∈ ℝ)
161		nnre 12164	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈ ℝ)
162	160, 161	remulcld 11174	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (2 · 𝑛) ∈ ℝ)
163	162, 159	readdcld 11173	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → ((2 · 𝑛) + 1) ∈ ℝ)
164	21	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → 0 < 1)
165	23	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → 2 ∈ ℝ⁺)
166		nnrp 12929	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈ ℝ⁺)
167	165, 166	rpmulcld 12977	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (2 · 𝑛) ∈ ℝ⁺)
168	159, 167	ltaddrp2d 12995	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → 1 < ((2 · 𝑛) + 1))
169	158, 159, 163, 164, 168	lttrd 11306	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → 0 < ((2 · 𝑛) + 1))
170	151, 169	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 ∈ (1...𝑗) → 0 < ((2 · 𝑛) + 1))
171	170	gt0ne0d 11713	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 ∈ (1...𝑗) → ((2 · 𝑛) + 1) ≠ 0)
172	171	adantl 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → ((2 · 𝑛) + 1) ≠ 0)
173	157, 172	reccld 11922	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → (1 / ((2 · 𝑛) + 1)) ∈ ℂ)
174	9	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → 𝑁 ∈ ℂ)
175	153, 174	mulcld 11164	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → (2 · 𝑁) ∈ ℂ)
176	175, 156	addcld 11163	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → ((2 · 𝑁) + 1) ∈ ℂ)
177	29	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → ((2 · 𝑁) + 1) ≠ 0)
178	176, 177	reccld 11922	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → (1 / ((2 · 𝑁) + 1)) ∈ ℂ)
179		2nn0 12430	. . . . . . . . . 10 ⊢ 2 ∈ ℕ₀
180	179	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → 2 ∈ ℕ₀)
181	152	nnnn0d 12474	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → 𝑛 ∈ ℕ₀)
182	180, 181	nn0mulcld 12479	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → (2 · 𝑛) ∈ ℕ₀)
183	178, 182	expcld 14081	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → ((1 / ((2 · 𝑁) + 1))↑(2 · 𝑛)) ∈ ℂ)
184	173, 183	mulcld 11164	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → ((1 / ((2 · 𝑛) + 1)) · ((1 / ((2 · 𝑁) + 1))↑(2 · 𝑛))) ∈ ℂ)
185	6, 150, 152, 184	fvmptd3 6973	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → (𝐾‘𝑛) = ((1 / ((2 · 𝑛) + 1)) · ((1 / ((2 · 𝑁) + 1))↑(2 · 𝑛))))
186	185	adantlr 716	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → (𝐾‘𝑛) = ((1 / ((2 · 𝑛) + 1)) · ((1 / ((2 · 𝑁) + 1))↑(2 · 𝑛))))
187	169	gt0ne0d 11713	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → ((2 · 𝑛) + 1) ≠ 0)
188	163, 187	rereccld 11980	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (1 / ((2 · 𝑛) + 1)) ∈ ℝ)
189	151, 188	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 ∈ (1...𝑗) → (1 / ((2 · 𝑛) + 1)) ∈ ℝ)
190	189	adantl 481	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → (1 / ((2 · 𝑛) + 1)) ∈ ℝ)
191	20, 29	rereccld 11980	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (1 / ((2 · 𝑁) + 1)) ∈ ℝ)
192	191	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → (1 / ((2 · 𝑁) + 1)) ∈ ℝ)
193	192, 182	reexpcld 14098	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → ((1 / ((2 · 𝑁) + 1))↑(2 · 𝑛)) ∈ ℝ)
194	193	adantlr 716	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → ((1 / ((2 · 𝑁) + 1))↑(2 · 𝑛)) ∈ ℝ)
195	190, 194	remulcld 11174	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → ((1 / ((2 · 𝑛) + 1)) · ((1 / ((2 · 𝑁) + 1))↑(2 · 𝑛))) ∈ ℝ)
196	186, 195	eqeltrd 2837	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → (𝐾‘𝑛) ∈ ℝ)
197		readdcl 11121	. . . 4 ⊢ ((𝑛 ∈ ℝ ∧ 𝑖 ∈ ℝ) → (𝑛 + 𝑖) ∈ ℝ)
198	197	adantl 481	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ (𝑛 ∈ ℝ ∧ 𝑖 ∈ ℝ)) → (𝑛 + 𝑖) ∈ ℝ)
199	145, 196, 198	seqcl 13957	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (seq1( + , 𝐾)‘𝑗) ∈ ℝ)
200		oveq2 7376	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = 𝑛 → ((1 / (((2 · 𝑁) + 1)↑2))↑𝑘) = ((1 / (((2 · 𝑁) + 1)↑2))↑𝑛))
201	33	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → (1 / (((2 · 𝑁) + 1)↑2)) ∈ ℂ)
202	201, 181	expcld 14081	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → ((1 / (((2 · 𝑁) + 1)↑2))↑𝑛) ∈ ℂ)
203	55, 200, 152, 202	fvmptd3 6973	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → (𝐿‘𝑛) = ((1 / (((2 · 𝑁) + 1)↑2))↑𝑛))
204	36	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → (1 / (((2 · 𝑁) + 1)↑2)) ∈ ℝ)
205	204, 181	reexpcld 14098	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → ((1 / (((2 · 𝑁) + 1)↑2))↑𝑛) ∈ ℝ)
206	203, 205	eqeltrd 2837	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → (𝐿‘𝑛) ∈ ℝ)
207	206	adantlr 716	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → (𝐿‘𝑛) ∈ ℝ)
208	145, 207, 198	seqcl 13957	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (seq1( + , 𝐿)‘𝑗) ∈ ℝ)
209	30	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑛 ∈ (1...𝑗) → 2 ∈ ℤ)
210		elfzelz 13452	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑛 ∈ (1...𝑗) → 𝑛 ∈ ℤ)
211	209, 210	zmulcld 12614	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑛 ∈ (1...𝑗) → (2 · 𝑛) ∈ ℤ)
212		1exp 14026	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((2 · 𝑛) ∈ ℤ → (1↑(2 · 𝑛)) = 1)
213	211, 212	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 ∈ (1...𝑗) → (1↑(2 · 𝑛)) = 1)
214		1exp 14026	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑛 ∈ ℤ → (1↑𝑛) = 1)
215	210, 214	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 ∈ (1...𝑗) → (1↑𝑛) = 1)
216	213, 215	eqtr4d 2775	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 ∈ (1...𝑗) → (1↑(2 · 𝑛)) = (1↑𝑛))
217	216	adantl 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → (1↑(2 · 𝑛)) = (1↑𝑛))
218	176, 181, 180	expmuld 14084	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → (((2 · 𝑁) + 1)↑(2 · 𝑛)) = ((((2 · 𝑁) + 1)↑2)↑𝑛))
219	217, 218	oveq12d 7386	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → ((1↑(2 · 𝑛)) / (((2 · 𝑁) + 1)↑(2 · 𝑛))) = ((1↑𝑛) / ((((2 · 𝑁) + 1)↑2)↑𝑛)))
220	156, 176, 177, 182	expdivd 14095	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → ((1 / ((2 · 𝑁) + 1))↑(2 · 𝑛)) = ((1↑(2 · 𝑛)) / (((2 · 𝑁) + 1)↑(2 · 𝑛))))
221	176	sqcld 14079	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → (((2 · 𝑁) + 1)↑2) ∈ ℂ)
222	30	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → 2 ∈ ℤ)
223	176, 177, 222	expne0d 14087	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → (((2 · 𝑁) + 1)↑2) ≠ 0)
224	156, 221, 223, 181	expdivd 14095	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → ((1 / (((2 · 𝑁) + 1)↑2))↑𝑛) = ((1↑𝑛) / ((((2 · 𝑁) + 1)↑2)↑𝑛)))
225	219, 220, 224	3eqtr4d 2782	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → ((1 / ((2 · 𝑁) + 1))↑(2 · 𝑛)) = ((1 / (((2 · 𝑁) + 1)↑2))↑𝑛))
226	225	oveq2d 7384	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → ((1 / ((2 · 𝑛) + 1)) · ((1 / ((2 · 𝑁) + 1))↑(2 · 𝑛))) = ((1 / ((2 · 𝑛) + 1)) · ((1 / (((2 · 𝑁) + 1)↑2))↑𝑛)))
227		1rp 12921	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 1 ∈ ℝ⁺
228	227	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → 1 ∈ ℝ⁺)
229	16	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → 2 ∈ ℝ)
230	152	nnred 12172	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → 𝑛 ∈ ℝ)
231	229, 230	remulcld 11174	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → (2 · 𝑛) ∈ ℝ)
232	180	nn0ge0d 12477	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → 0 ≤ 2)
233	181	nn0ge0d 12477	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → 0 ≤ 𝑛)
234	229, 230, 232, 233	mulge0d 11726	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → 0 ≤ (2 · 𝑛))
235	231, 234	ge0p1rpd 12991	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → ((2 · 𝑛) + 1) ∈ ℝ⁺)
236		1red 11145	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → 1 ∈ ℝ)
237	228	rpge0d 12965	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → 0 ≤ 1)
238	159, 163, 168	ltled 11293	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → 1 ≤ ((2 · 𝑛) + 1))
239	151, 238	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 ∈ (1...𝑗) → 1 ≤ ((2 · 𝑛) + 1))
240	239	adantl 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → 1 ≤ ((2 · 𝑛) + 1))
241	228, 235, 236, 237, 240	lediv2ad 12983	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → (1 / ((2 · 𝑛) + 1)) ≤ (1 / 1))
242	156	div1d 11921	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → (1 / 1) = 1)
243	241, 242	breqtrd 5126	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → (1 / ((2 · 𝑛) + 1)) ≤ 1)
244	152, 188	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → (1 / ((2 · 𝑛) + 1)) ∈ ℝ)
245	18	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → 𝑁 ∈ ℝ)
246	229, 245	remulcld 11174	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → (2 · 𝑁) ∈ ℝ)
247	14, 18, 120	ltled 11293	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 0 ≤ 𝑁)
248	247	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → 0 ≤ 𝑁)
249	229, 245, 232, 248	mulge0d 11726	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → 0 ≤ (2 · 𝑁))
250	246, 249	ge0p1rpd 12991	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → ((2 · 𝑁) + 1) ∈ ℝ⁺)
251	250, 222	rpexpcld 14182	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → (((2 · 𝑁) + 1)↑2) ∈ ℝ⁺)
252	251	rpreccld 12971	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → (1 / (((2 · 𝑁) + 1)↑2)) ∈ ℝ⁺)
253	210	adantl 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → 𝑛 ∈ ℤ)
254	252, 253	rpexpcld 14182	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → ((1 / (((2 · 𝑁) + 1)↑2))↑𝑛) ∈ ℝ⁺)
255	244, 236, 254	lemul1d 13004	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → ((1 / ((2 · 𝑛) + 1)) ≤ 1 ↔ ((1 / ((2 · 𝑛) + 1)) · ((1 / (((2 · 𝑁) + 1)↑2))↑𝑛)) ≤ (1 · ((1 / (((2 · 𝑁) + 1)↑2))↑𝑛))))
256	243, 255	mpbid 232	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → ((1 / ((2 · 𝑛) + 1)) · ((1 / (((2 · 𝑁) + 1)↑2))↑𝑛)) ≤ (1 · ((1 / (((2 · 𝑁) + 1)↑2))↑𝑛)))
257	202	mullidd 11162	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → (1 · ((1 / (((2 · 𝑁) + 1)↑2))↑𝑛)) = ((1 / (((2 · 𝑁) + 1)↑2))↑𝑛))
258	256, 257	breqtrd 5126	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → ((1 / ((2 · 𝑛) + 1)) · ((1 / (((2 · 𝑁) + 1)↑2))↑𝑛)) ≤ ((1 / (((2 · 𝑁) + 1)↑2))↑𝑛))
259	226, 258	eqbrtrd 5122	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → ((1 / ((2 · 𝑛) + 1)) · ((1 / ((2 · 𝑁) + 1))↑(2 · 𝑛))) ≤ ((1 / (((2 · 𝑁) + 1)↑2))↑𝑛))
260	259, 185, 203	3brtr4d 5132	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → (𝐾‘𝑛) ≤ (𝐿‘𝑛))
261	260	adantlr 716	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → (𝐾‘𝑛) ≤ (𝐿‘𝑛))
262	145, 196, 207, 261	serle 13992	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (seq1( + , 𝐾)‘𝑗) ≤ (seq1( + , 𝐿)‘𝑗))
263	1, 2, 7, 143, 199, 208, 262	climle 15575	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((𝐵‘𝑁) − (𝐵‘(𝑁 + 1))) ≤ ((1 / 4) · (1 / (𝑁 · (𝑁 + 1)))))

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: → wi 4 ↔ wb 206 ∧ wa 395 = wceq 1542 ∈ wcel 2114 ≠ wne 2933 class class class wbr 5100 ↦ cmpt 5181 ‘cfv 6500 (class class class)co 7368 ℂcc 11036 ℝcr 11037 0cc0 11038 1c1 11039 + caddc 11041 · cmul 11043 < clt 11178 ≤ cle 11179 − cmin 11376 -cneg 11377 / cdiv 11806 ℕcn 12157 2c2 12212 4c4 12214 ℕ₀cn0 12413 ℤcz 12500 ℤ_≥cuz 12763 ℝ⁺crp 12917 ...cfz 13435 seqcseq 13936 ↑cexp 13996 !cfa 14208 √csqrt 15168 abscabs 15169 ⇝ cli 15419 eceu 15997 logclog 26531

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1797 ax-4 1811 ax-5 1912 ax-6 1969 ax-7 2010 ax-8 2116 ax-9 2124 ax-10 2147 ax-11 2163 ax-12 2185 ax-ext 2709 ax-rep 5226 ax-sep 5243 ax-nul 5253 ax-pow 5312 ax-pr 5379 ax-un 7690 ax-inf2 9562 ax-cnex 11094 ax-resscn 11095 ax-1cn 11096 ax-icn 11097 ax-addcl 11098 ax-addrcl 11099 ax-mulcl 11100 ax-mulrcl 11101 ax-mulcom 11102 ax-addass 11103 ax-mulass 11104 ax-distr 11105 ax-i2m1 11106 ax-1ne0 11107 ax-1rid 11108 ax-rnegex 11109 ax-rrecex 11110 ax-cnre 11111 ax-pre-lttri 11112 ax-pre-lttrn 11113 ax-pre-ltadd 11114 ax-pre-mulgt0 11115 ax-pre-sup 11116 ax-addf 11117

This theorem depends on definitions: df-bi 207 df-an 396 df-or 849 df-3or 1088 df-3an 1089 df-tru 1545 df-fal 1555 df-ex 1782 df-nf 1786 df-sb 2069 df-mo 2540 df-eu 2570 df-clab 2716 df-cleq 2729 df-clel 2812 df-nfc 2886 df-ne 2934 df-nel 3038 df-ral 3053 df-rex 3063 df-rmo 3352 df-reu 3353 df-rab 3402 df-v 3444 df-sbc 3743 df-csb 3852 df-dif 3906 df-un 3908 df-in 3910 df-ss 3920 df-pss 3923 df-nul 4288 df-if 4482 df-pw 4558 df-sn 4583 df-pr 4585 df-tp 4587 df-op 4589 df-uni 4866 df-int 4905 df-iun 4950 df-iin 4951 df-br 5101 df-opab 5163 df-mpt 5182 df-tr 5208 df-id 5527 df-eprel 5532 df-po 5540 df-so 5541 df-fr 5585 df-se 5586 df-we 5587 df-xp 5638 df-rel 5639 df-cnv 5640 df-co 5641 df-dm 5642 df-rn 5643 df-res 5644 df-ima 5645 df-pred 6267 df-ord 6328 df-on 6329 df-lim 6330 df-suc 6331 df-iota 6456 df-fun 6502 df-fn 6503 df-f 6504 df-f1 6505 df-fo 6506 df-f1o 6507 df-fv 6508 df-isom 6509 df-riota 7325 df-ov 7371 df-oprab 7372 df-mpo 7373 df-of 7632 df-om 7819 df-1st 7943 df-2nd 7944 df-supp 8113 df-frecs 8233 df-wrecs 8264 df-recs 8313 df-rdg 8351 df-1o 8407 df-2o 8408 df-oadd 8411 df-er 8645 df-map 8777 df-pm 8778 df-ixp 8848 df-en 8896 df-dom 8897 df-sdom 8898 df-fin 8899 df-fsupp 9277 df-fi 9326 df-sup 9357 df-inf 9358 df-oi 9427 df-card 9863 df-pnf 11180 df-mnf 11181 df-xr 11182 df-ltxr 11183 df-le 11184 df-sub 11378 df-neg 11379 df-div 11807 df-nn 12158 df-2 12220 df-3 12221 df-4 12222 df-5 12223 df-6 12224 df-7 12225 df-8 12226 df-9 12227 df-n0 12414 df-xnn0 12487 df-z 12501 df-dec 12620 df-uz 12764 df-q 12874 df-rp 12918 df-xneg 13038 df-xadd 13039 df-xmul 13040 df-ioo 13277 df-ioc 13278 df-ico 13279 df-icc 13280 df-fz 13436 df-fzo 13583 df-fl 13724 df-mod 13802 df-seq 13937 df-exp 13997 df-fac 14209 df-bc 14238 df-hash 14266 df-shft 15002 df-cj 15034 df-re 15035 df-im 15036 df-sqrt 15170 df-abs 15171 df-limsup 15406 df-clim 15423 df-rlim 15424 df-sum 15622 df-ef 16002 df-e 16003 df-sin 16004 df-cos 16005 df-tan 16006 df-pi 16007 df-dvds 16192 df-struct 17086 df-sets 17103 df-slot 17121 df-ndx 17133 df-base 17149 df-ress 17170 df-plusg 17202 df-mulr 17203 df-starv 17204 df-sca 17205 df-vsca 17206 df-ip 17207 df-tset 17208 df-ple 17209 df-ds 17211 df-unif 17212 df-hom 17213 df-cco 17214 df-rest 17354 df-topn 17355 df-0g 17373 df-gsum 17374 df-topgen 17375 df-pt 17376 df-prds 17379 df-xrs 17435 df-qtop 17440 df-imas 17441 df-xps 17443 df-mre 17517 df-mrc 17518 df-acs 17520 df-mgm 18577 df-sgrp 18656 df-mnd 18672 df-submnd 18721 df-mulg 19010 df-cntz 19258 df-cmn 19723 df-psmet 21313 df-xmet 21314 df-met 21315 df-bl 21316 df-mopn 21317 df-fbas 21318 df-fg 21319 df-cnfld 21322 df-top 22850 df-topon 22867 df-topsp 22889 df-bases 22902 df-cld 22975 df-ntr 22976 df-cls 22977 df-nei 23054 df-lp 23092 df-perf 23093 df-cn 23183 df-cnp 23184 df-haus 23271 df-cmp 23343 df-tx 23518 df-hmeo 23711 df-fil 23802 df-fm 23894 df-flim 23895 df-flf 23896 df-xms 24276 df-ms 24277 df-tms 24278 df-cncf 24839 df-limc 25835 df-dv 25836 df-ulm 26354 df-log 26533 df-cxp 26534

This theorem is referenced by: stirlinglem12 46443

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