stirlinglem10 - Mathbox for Glauco Siliprandi

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Theorem stirlinglem10 46004

Description: A bound for any B(N)-B(N + 1) that will allow to find a lower bound for the whole 𝐵 sequence. (Contributed by Glauco Siliprandi, 29-Jun-2017.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
stirlinglem10.1	⊢ 𝐴 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((!‘𝑛) / ((√‘(2 · 𝑛)) · ((𝑛 / e)↑𝑛))))
stirlinglem10.2	⊢ 𝐵 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (log‘(𝐴‘𝑛)))
stirlinglem10.4	⊢ 𝐾 = (𝑘 ∈ ℕ ↦ ((1 / ((2 · 𝑘) + 1)) · ((1 / ((2 · 𝑁) + 1))↑(2 · 𝑘))))
stirlinglem10.5	⊢ 𝐿 = (𝑘 ∈ ℕ ↦ ((1 / (((2 · 𝑁) + 1)↑2))↑𝑘))

**Assertion**
Ref	Expression
stirlinglem10	⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((𝐵‘𝑁) − (𝐵‘(𝑁 + 1))) ≤ ((1 / 4) · (1 / (𝑁 · (𝑁 + 1)))))

Distinct variable groups: 𝑘,𝑛 𝑛,𝐾 𝑛,𝐿 𝑘,𝑁,𝑛 Allowed substitution hints: 𝐴(𝑘,𝑛) 𝐵(𝑘,𝑛) 𝐾(𝑘) 𝐿(𝑘)

Proof of Theorem stirlinglem10 Dummy variables 𝑖 𝑗 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnuz 12946	. 2 ⊢ ℕ = (ℤ_≥‘1)
2		1zzd 12674	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 1 ∈ ℤ)
3		stirlinglem10.1	. . 3 ⊢ 𝐴 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((!‘𝑛) / ((√‘(2 · 𝑛)) · ((𝑛 / e)↑𝑛))))
4		stirlinglem10.2	. . 3 ⊢ 𝐵 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (log‘(𝐴‘𝑛)))
5		eqid 2740	. . 3 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((((1 + (2 · 𝑛)) / 2) · (log‘((𝑛 + 1) / 𝑛))) − 1)) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((((1 + (2 · 𝑛)) / 2) · (log‘((𝑛 + 1) / 𝑛))) − 1))
6		stirlinglem10.4	. . 3 ⊢ 𝐾 = (𝑘 ∈ ℕ ↦ ((1 / ((2 · 𝑘) + 1)) · ((1 / ((2 · 𝑁) + 1))↑(2 · 𝑘))))
7	3, 4, 5, 6	stirlinglem9 46003	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → seq1( + , 𝐾) ⇝ ((𝐵‘𝑁) − (𝐵‘(𝑁 + 1))))
8		2cnd 12371	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 2 ∈ ℂ)
9		nncn 12301	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℂ)
10	8, 9	mulcld 11310	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (2 · 𝑁) ∈ ℂ)
11		1cnd 11285	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 1 ∈ ℂ)
12	10, 11	addcld 11309	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((2 · 𝑁) + 1) ∈ ℂ)
13	12	sqcld 14194	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (((2 · 𝑁) + 1)↑2) ∈ ℂ)
14		0red 11293	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 0 ∈ ℝ)
15		1red 11291	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 1 ∈ ℝ)
16		2re 12367	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 2 ∈ ℝ
17	16	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 2 ∈ ℝ)
18		nnre 12300	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℝ)
19	17, 18	remulcld 11320	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (2 · 𝑁) ∈ ℝ)
20	19, 15	readdcld 11319	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((2 · 𝑁) + 1) ∈ ℝ)
21		0lt1 11812	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 < 1
22	21	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 0 < 1)
23		2rp 13062	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 2 ∈ ℝ⁺
24	23	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 2 ∈ ℝ⁺)
25		nnrp 13068	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℝ⁺)
26	24, 25	rpmulcld 13115	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (2 · 𝑁) ∈ ℝ⁺)
27	15, 26	ltaddrp2d 13133	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 1 < ((2 · 𝑁) + 1))
28	14, 15, 20, 22, 27	lttrd 11451	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 0 < ((2 · 𝑁) + 1))
29	28	gt0ne0d 11854	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((2 · 𝑁) + 1) ≠ 0)
30		2z 12675	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℤ
31	30	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 2 ∈ ℤ)
32	12, 29, 31	expne0d 14202	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (((2 · 𝑁) + 1)↑2) ≠ 0)
33	13, 32	reccld 12063	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (1 / (((2 · 𝑁) + 1)↑2)) ∈ ℂ)
34	15	renegcld 11717	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → -1 ∈ ℝ)
35	20	resqcld 14175	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (((2 · 𝑁) + 1)↑2) ∈ ℝ)
36	35, 32	rereccld 12121	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (1 / (((2 · 𝑁) + 1)↑2)) ∈ ℝ)
37		1re 11290	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℝ
38		lt0neg2 11797	. . . . . . . 8 ⊢ (1 ∈ ℝ → (0 < 1 ↔ -1 < 0))
39	37, 38	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ (0 < 1 ↔ -1 < 0)
40	22, 39	sylib 218	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → -1 < 0)
41	20, 29	sqgt0d 14299	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 0 < (((2 · 𝑁) + 1)↑2))
42	35, 41	recgt0d 12229	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 0 < (1 / (((2 · 𝑁) + 1)↑2)))
43	34, 14, 36, 40, 42	lttrd 11451	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → -1 < (1 / (((2 · 𝑁) + 1)↑2)))
44		2nn 12366	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ ℕ
45	44	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 2 ∈ ℕ)
46		expgt1 14151	. . . . . . 7 ⊢ ((((2 · 𝑁) + 1) ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℕ ∧ 1 < ((2 · 𝑁) + 1)) → 1 < (((2 · 𝑁) + 1)↑2))
47	20, 45, 27, 46	syl3anc 1371	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 1 < (((2 · 𝑁) + 1)↑2))
48	35, 41	elrpd 13096	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (((2 · 𝑁) + 1)↑2) ∈ ℝ⁺)
49	48	recgt1d 13113	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (1 < (((2 · 𝑁) + 1)↑2) ↔ (1 / (((2 · 𝑁) + 1)↑2)) < 1))
50	47, 49	mpbid 232	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (1 / (((2 · 𝑁) + 1)↑2)) < 1)
51	36, 15	absltd 15478	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((abs‘(1 / (((2 · 𝑁) + 1)↑2))) < 1 ↔ (-1 < (1 / (((2 · 𝑁) + 1)↑2)) ∧ (1 / (((2 · 𝑁) + 1)↑2)) < 1)))
52	43, 50, 51	mpbir2and 712	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (abs‘(1 / (((2 · 𝑁) + 1)↑2))) < 1)
53		1nn0 12569	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℕ₀
54	53	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 1 ∈ ℕ₀)
55		stirlinglem10.5	. . . . . 6 ⊢ 𝐿 = (𝑘 ∈ ℕ ↦ ((1 / (((2 · 𝑁) + 1)↑2))↑𝑘))
56	55	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ (ℤ_≥‘1)) → 𝐿 = (𝑘 ∈ ℕ ↦ ((1 / (((2 · 𝑁) + 1)↑2))↑𝑘)))
57		simpr 484	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ (ℤ_≥‘1)) ∧ 𝑘 = 𝑗) → 𝑘 = 𝑗)
58	57	oveq2d 7464	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ (ℤ_≥‘1)) ∧ 𝑘 = 𝑗) → ((1 / (((2 · 𝑁) + 1)↑2))↑𝑘) = ((1 / (((2 · 𝑁) + 1)↑2))↑𝑗))
59		elnnuz 12947	. . . . . . 7 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ ↔ 𝑗 ∈ (ℤ_≥‘1))
60	59	biimpri 228	. . . . . 6 ⊢ (𝑗 ∈ (ℤ_≥‘1) → 𝑗 ∈ ℕ)
61	60	adantl 481	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ (ℤ_≥‘1)) → 𝑗 ∈ ℕ)
62	33	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ (ℤ_≥‘1)) → (1 / (((2 · 𝑁) + 1)↑2)) ∈ ℂ)
63	61	nnnn0d 12613	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ (ℤ_≥‘1)) → 𝑗 ∈ ℕ₀)
64	62, 63	expcld 14196	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ (ℤ_≥‘1)) → ((1 / (((2 · 𝑁) + 1)↑2))↑𝑗) ∈ ℂ)
65	56, 58, 61, 64	fvmptd 7036	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ (ℤ_≥‘1)) → (𝐿‘𝑗) = ((1 / (((2 · 𝑁) + 1)↑2))↑𝑗))
66	33, 52, 54, 65	geolim2 15919	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → seq1( + , 𝐿) ⇝ (((1 / (((2 · 𝑁) + 1)↑2))↑1) / (1 − (1 / (((2 · 𝑁) + 1)↑2)))))
67	33	exp1d 14191	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((1 / (((2 · 𝑁) + 1)↑2))↑1) = (1 / (((2 · 𝑁) + 1)↑2)))
68	13, 32	dividd 12068	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((((2 · 𝑁) + 1)↑2) / (((2 · 𝑁) + 1)↑2)) = 1)
69	68	eqcomd 2746	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 1 = ((((2 · 𝑁) + 1)↑2) / (((2 · 𝑁) + 1)↑2)))
70	69	oveq1d 7463	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (1 − (1 / (((2 · 𝑁) + 1)↑2))) = (((((2 · 𝑁) + 1)↑2) / (((2 · 𝑁) + 1)↑2)) − (1 / (((2 · 𝑁) + 1)↑2))))
71	48	rpcnne0d 13108	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((((2 · 𝑁) + 1)↑2) ∈ ℂ ∧ (((2 · 𝑁) + 1)↑2) ≠ 0))
72		divsubdir 11988	. . . . . . 7 ⊢ (((((2 · 𝑁) + 1)↑2) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ ∧ ((((2 · 𝑁) + 1)↑2) ∈ ℂ ∧ (((2 · 𝑁) + 1)↑2) ≠ 0)) → (((((2 · 𝑁) + 1)↑2) − 1) / (((2 · 𝑁) + 1)↑2)) = (((((2 · 𝑁) + 1)↑2) / (((2 · 𝑁) + 1)↑2)) − (1 / (((2 · 𝑁) + 1)↑2))))
73	13, 11, 71, 72	syl3anc 1371	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (((((2 · 𝑁) + 1)↑2) − 1) / (((2 · 𝑁) + 1)↑2)) = (((((2 · 𝑁) + 1)↑2) / (((2 · 𝑁) + 1)↑2)) − (1 / (((2 · 𝑁) + 1)↑2))))
74		ax-1cn 11242	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1 ∈ ℂ
75		binom2 14266	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((2 · 𝑁) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (((2 · 𝑁) + 1)↑2) = ((((2 · 𝑁)↑2) + (2 · ((2 · 𝑁) · 1))) + (1↑2)))
76	10, 74, 75	sylancl 585	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (((2 · 𝑁) + 1)↑2) = ((((2 · 𝑁)↑2) + (2 · ((2 · 𝑁) · 1))) + (1↑2)))
77	76	oveq1d 7463	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((((2 · 𝑁) + 1)↑2) − 1) = (((((2 · 𝑁)↑2) + (2 · ((2 · 𝑁) · 1))) + (1↑2)) − 1))
78	8, 9	sqmuld 14208	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((2 · 𝑁)↑2) = ((2↑2) · (𝑁↑2)))
79		sq2 14246	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (2↑2) = 4
80	79	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (2↑2) = 4)
81	80	oveq1d 7463	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((2↑2) · (𝑁↑2)) = (4 · (𝑁↑2)))
82	78, 81	eqtrd 2780	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((2 · 𝑁)↑2) = (4 · (𝑁↑2)))
83	10	mulridd 11307	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((2 · 𝑁) · 1) = (2 · 𝑁))
84	83	oveq2d 7464	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (2 · ((2 · 𝑁) · 1)) = (2 · (2 · 𝑁)))
85	8, 8, 9	mulassd 11313	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((2 · 2) · 𝑁) = (2 · (2 · 𝑁)))
86		2t2e4 12457	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (2 · 2) = 4
87	86	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (2 · 2) = 4)
88	87	oveq1d 7463	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((2 · 2) · 𝑁) = (4 · 𝑁))
89	84, 85, 88	3eqtr2d 2786	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (2 · ((2 · 𝑁) · 1)) = (4 · 𝑁))
90	82, 89	oveq12d 7466	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (((2 · 𝑁)↑2) + (2 · ((2 · 𝑁) · 1))) = ((4 · (𝑁↑2)) + (4 · 𝑁)))
91		4cn 12378	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 4 ∈ ℂ
92	91	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 4 ∈ ℂ)
93	9	sqcld 14194	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁↑2) ∈ ℂ)
94	92, 93, 9	adddid 11314	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (4 · ((𝑁↑2) + 𝑁)) = ((4 · (𝑁↑2)) + (4 · 𝑁)))
95	9	sqvald 14193	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁↑2) = (𝑁 · 𝑁))
96	9	mulridd 11307	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 · 1) = 𝑁)
97	96	eqcomd 2746	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 = (𝑁 · 1))
98	95, 97	oveq12d 7466	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑁↑2) + 𝑁) = ((𝑁 · 𝑁) + (𝑁 · 1)))
99	9, 9, 11	adddid 11314	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 · (𝑁 + 1)) = ((𝑁 · 𝑁) + (𝑁 · 1)))
100	98, 99	eqtr4d 2783	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑁↑2) + 𝑁) = (𝑁 · (𝑁 + 1)))
101	100	oveq2d 7464	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (4 · ((𝑁↑2) + 𝑁)) = (4 · (𝑁 · (𝑁 + 1))))
102	90, 94, 101	3eqtr2d 2786	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (((2 · 𝑁)↑2) + (2 · ((2 · 𝑁) · 1))) = (4 · (𝑁 · (𝑁 + 1))))
103		sq1 14244	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (1↑2) = 1
104	103	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (1↑2) = 1)
105	102, 104	oveq12d 7466	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((((2 · 𝑁)↑2) + (2 · ((2 · 𝑁) · 1))) + (1↑2)) = ((4 · (𝑁 · (𝑁 + 1))) + 1))
106	105	oveq1d 7463	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (((((2 · 𝑁)↑2) + (2 · ((2 · 𝑁) · 1))) + (1↑2)) − 1) = (((4 · (𝑁 · (𝑁 + 1))) + 1) − 1))
107	9, 11	addcld 11309	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 + 1) ∈ ℂ)
108	9, 107	mulcld 11310	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 · (𝑁 + 1)) ∈ ℂ)
109	92, 108	mulcld 11310	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (4 · (𝑁 · (𝑁 + 1))) ∈ ℂ)
110	109, 11	pncand 11648	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (((4 · (𝑁 · (𝑁 + 1))) + 1) − 1) = (4 · (𝑁 · (𝑁 + 1))))
111	77, 106, 110	3eqtrd 2784	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((((2 · 𝑁) + 1)↑2) − 1) = (4 · (𝑁 · (𝑁 + 1))))
112	111	oveq1d 7463	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (((((2 · 𝑁) + 1)↑2) − 1) / (((2 · 𝑁) + 1)↑2)) = ((4 · (𝑁 · (𝑁 + 1))) / (((2 · 𝑁) + 1)↑2)))
113	70, 73, 112	3eqtr2d 2786	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (1 − (1 / (((2 · 𝑁) + 1)↑2))) = ((4 · (𝑁 · (𝑁 + 1))) / (((2 · 𝑁) + 1)↑2)))
114	67, 113	oveq12d 7466	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (((1 / (((2 · 𝑁) + 1)↑2))↑1) / (1 − (1 / (((2 · 𝑁) + 1)↑2)))) = ((1 / (((2 · 𝑁) + 1)↑2)) / ((4 · (𝑁 · (𝑁 + 1))) / (((2 · 𝑁) + 1)↑2))))
115		4pos 12400	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 < 4
116	115	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 0 < 4)
117	116	gt0ne0d 11854	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 4 ≠ 0)
118		nnne0 12327	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ≠ 0)
119	18, 15	readdcld 11319	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 + 1) ∈ ℝ)
120		nngt0 12324	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 0 < 𝑁)
121	18	ltp1d 12225	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 < (𝑁 + 1))
122	14, 18, 119, 120, 121	lttrd 11451	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 0 < (𝑁 + 1))
123	122	gt0ne0d 11854	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 + 1) ≠ 0)
124	9, 107, 118, 123	mulne0d 11942	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 · (𝑁 + 1)) ≠ 0)
125	92, 108, 117, 124	mulne0d 11942	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (4 · (𝑁 · (𝑁 + 1))) ≠ 0)
126	11, 13, 109, 13, 32, 32, 125	divdivdivd 12117	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((1 / (((2 · 𝑁) + 1)↑2)) / ((4 · (𝑁 · (𝑁 + 1))) / (((2 · 𝑁) + 1)↑2))) = ((1 · (((2 · 𝑁) + 1)↑2)) / ((((2 · 𝑁) + 1)↑2) · (4 · (𝑁 · (𝑁 + 1))))))
127	11, 13	mulcomd 11311	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (1 · (((2 · 𝑁) + 1)↑2)) = ((((2 · 𝑁) + 1)↑2) · 1))
128	127	oveq1d 7463	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((1 · (((2 · 𝑁) + 1)↑2)) / ((((2 · 𝑁) + 1)↑2) · (4 · (𝑁 · (𝑁 + 1))))) = (((((2 · 𝑁) + 1)↑2) · 1) / ((((2 · 𝑁) + 1)↑2) · (4 · (𝑁 · (𝑁 + 1))))))
129	11	mulridd 11307	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (1 · 1) = 1)
130	129	eqcomd 2746	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 1 = (1 · 1))
131	130	oveq1d 7463	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (1 / (4 · (𝑁 · (𝑁 + 1)))) = ((1 · 1) / (4 · (𝑁 · (𝑁 + 1)))))
132	11, 92, 11, 108, 117, 124	divmuldivd 12111	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((1 / 4) · (1 / (𝑁 · (𝑁 + 1)))) = ((1 · 1) / (4 · (𝑁 · (𝑁 + 1)))))
133	131, 132	eqtr4d 2783	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (1 / (4 · (𝑁 · (𝑁 + 1)))) = ((1 / 4) · (1 / (𝑁 · (𝑁 + 1)))))
134	68, 133	oveq12d 7466	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (((((2 · 𝑁) + 1)↑2) / (((2 · 𝑁) + 1)↑2)) · (1 / (4 · (𝑁 · (𝑁 + 1))))) = (1 · ((1 / 4) · (1 / (𝑁 · (𝑁 + 1))))))
135	13, 13, 11, 109, 32, 125	divmuldivd 12111	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (((((2 · 𝑁) + 1)↑2) / (((2 · 𝑁) + 1)↑2)) · (1 / (4 · (𝑁 · (𝑁 + 1))))) = (((((2 · 𝑁) + 1)↑2) · 1) / ((((2 · 𝑁) + 1)↑2) · (4 · (𝑁 · (𝑁 + 1))))))
136	92, 117	reccld 12063	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (1 / 4) ∈ ℂ)
137	108, 124	reccld 12063	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (1 / (𝑁 · (𝑁 + 1))) ∈ ℂ)
138	136, 137	mulcld 11310	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((1 / 4) · (1 / (𝑁 · (𝑁 + 1)))) ∈ ℂ)
139	138	mullidd 11308	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (1 · ((1 / 4) · (1 / (𝑁 · (𝑁 + 1))))) = ((1 / 4) · (1 / (𝑁 · (𝑁 + 1)))))
140	134, 135, 139	3eqtr3d 2788	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (((((2 · 𝑁) + 1)↑2) · 1) / ((((2 · 𝑁) + 1)↑2) · (4 · (𝑁 · (𝑁 + 1))))) = ((1 / 4) · (1 / (𝑁 · (𝑁 + 1)))))
141	126, 128, 140	3eqtrd 2784	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((1 / (((2 · 𝑁) + 1)↑2)) / ((4 · (𝑁 · (𝑁 + 1))) / (((2 · 𝑁) + 1)↑2))) = ((1 / 4) · (1 / (𝑁 · (𝑁 + 1)))))
142	114, 141	eqtrd 2780	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (((1 / (((2 · 𝑁) + 1)↑2))↑1) / (1 − (1 / (((2 · 𝑁) + 1)↑2)))) = ((1 / 4) · (1 / (𝑁 · (𝑁 + 1)))))
143	66, 142	breqtrd 5192	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → seq1( + , 𝐿) ⇝ ((1 / 4) · (1 / (𝑁 · (𝑁 + 1)))))
144	59	biimpi 216	. . . 4 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → 𝑗 ∈ (ℤ_≥‘1))
145	144	adantl 481	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → 𝑗 ∈ (ℤ_≥‘1))
146		oveq2 7456	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 = 𝑛 → (2 · 𝑘) = (2 · 𝑛))
147	146	oveq1d 7463	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = 𝑛 → ((2 · 𝑘) + 1) = ((2 · 𝑛) + 1))
148	147	oveq2d 7464	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 = 𝑛 → (1 / ((2 · 𝑘) + 1)) = (1 / ((2 · 𝑛) + 1)))
149	146	oveq2d 7464	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 = 𝑛 → ((1 / ((2 · 𝑁) + 1))↑(2 · 𝑘)) = ((1 / ((2 · 𝑁) + 1))↑(2 · 𝑛)))
150	148, 149	oveq12d 7466	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = 𝑛 → ((1 / ((2 · 𝑘) + 1)) · ((1 / ((2 · 𝑁) + 1))↑(2 · 𝑘))) = ((1 / ((2 · 𝑛) + 1)) · ((1 / ((2 · 𝑁) + 1))↑(2 · 𝑛))))
151		elfznn 13613	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 ∈ (1...𝑗) → 𝑛 ∈ ℕ)
152	151	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → 𝑛 ∈ ℕ)
153		2cnd 12371	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → 2 ∈ ℂ)
154	152	nncnd 12309	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → 𝑛 ∈ ℂ)
155	153, 154	mulcld 11310	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → (2 · 𝑛) ∈ ℂ)
156		1cnd 11285	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → 1 ∈ ℂ)
157	155, 156	addcld 11309	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → ((2 · 𝑛) + 1) ∈ ℂ)
158		0red 11293	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → 0 ∈ ℝ)
159		1red 11291	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → 1 ∈ ℝ)
160	16	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → 2 ∈ ℝ)
161		nnre 12300	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈ ℝ)
162	160, 161	remulcld 11320	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (2 · 𝑛) ∈ ℝ)
163	162, 159	readdcld 11319	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → ((2 · 𝑛) + 1) ∈ ℝ)
164	21	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → 0 < 1)
165	23	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → 2 ∈ ℝ⁺)
166		nnrp 13068	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈ ℝ⁺)
167	165, 166	rpmulcld 13115	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (2 · 𝑛) ∈ ℝ⁺)
168	159, 167	ltaddrp2d 13133	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → 1 < ((2 · 𝑛) + 1))
169	158, 159, 163, 164, 168	lttrd 11451	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → 0 < ((2 · 𝑛) + 1))
170	151, 169	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 ∈ (1...𝑗) → 0 < ((2 · 𝑛) + 1))
171	170	gt0ne0d 11854	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 ∈ (1...𝑗) → ((2 · 𝑛) + 1) ≠ 0)
172	171	adantl 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → ((2 · 𝑛) + 1) ≠ 0)
173	157, 172	reccld 12063	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → (1 / ((2 · 𝑛) + 1)) ∈ ℂ)
174	9	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → 𝑁 ∈ ℂ)
175	153, 174	mulcld 11310	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → (2 · 𝑁) ∈ ℂ)
176	175, 156	addcld 11309	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → ((2 · 𝑁) + 1) ∈ ℂ)
177	29	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → ((2 · 𝑁) + 1) ≠ 0)
178	176, 177	reccld 12063	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → (1 / ((2 · 𝑁) + 1)) ∈ ℂ)
179		2nn0 12570	. . . . . . . . . 10 ⊢ 2 ∈ ℕ₀
180	179	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → 2 ∈ ℕ₀)
181	152	nnnn0d 12613	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → 𝑛 ∈ ℕ₀)
182	180, 181	nn0mulcld 12618	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → (2 · 𝑛) ∈ ℕ₀)
183	178, 182	expcld 14196	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → ((1 / ((2 · 𝑁) + 1))↑(2 · 𝑛)) ∈ ℂ)
184	173, 183	mulcld 11310	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → ((1 / ((2 · 𝑛) + 1)) · ((1 / ((2 · 𝑁) + 1))↑(2 · 𝑛))) ∈ ℂ)
185	6, 150, 152, 184	fvmptd3 7052	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → (𝐾‘𝑛) = ((1 / ((2 · 𝑛) + 1)) · ((1 / ((2 · 𝑁) + 1))↑(2 · 𝑛))))
186	185	adantlr 714	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → (𝐾‘𝑛) = ((1 / ((2 · 𝑛) + 1)) · ((1 / ((2 · 𝑁) + 1))↑(2 · 𝑛))))
187	169	gt0ne0d 11854	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → ((2 · 𝑛) + 1) ≠ 0)
188	163, 187	rereccld 12121	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (1 / ((2 · 𝑛) + 1)) ∈ ℝ)
189	151, 188	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 ∈ (1...𝑗) → (1 / ((2 · 𝑛) + 1)) ∈ ℝ)
190	189	adantl 481	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → (1 / ((2 · 𝑛) + 1)) ∈ ℝ)
191	20, 29	rereccld 12121	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (1 / ((2 · 𝑁) + 1)) ∈ ℝ)
192	191	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → (1 / ((2 · 𝑁) + 1)) ∈ ℝ)
193	192, 182	reexpcld 14213	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → ((1 / ((2 · 𝑁) + 1))↑(2 · 𝑛)) ∈ ℝ)
194	193	adantlr 714	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → ((1 / ((2 · 𝑁) + 1))↑(2 · 𝑛)) ∈ ℝ)
195	190, 194	remulcld 11320	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → ((1 / ((2 · 𝑛) + 1)) · ((1 / ((2 · 𝑁) + 1))↑(2 · 𝑛))) ∈ ℝ)
196	186, 195	eqeltrd 2844	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → (𝐾‘𝑛) ∈ ℝ)
197		readdcl 11267	. . . 4 ⊢ ((𝑛 ∈ ℝ ∧ 𝑖 ∈ ℝ) → (𝑛 + 𝑖) ∈ ℝ)
198	197	adantl 481	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ (𝑛 ∈ ℝ ∧ 𝑖 ∈ ℝ)) → (𝑛 + 𝑖) ∈ ℝ)
199	145, 196, 198	seqcl 14073	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (seq1( + , 𝐾)‘𝑗) ∈ ℝ)
200		oveq2 7456	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = 𝑛 → ((1 / (((2 · 𝑁) + 1)↑2))↑𝑘) = ((1 / (((2 · 𝑁) + 1)↑2))↑𝑛))
201	33	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → (1 / (((2 · 𝑁) + 1)↑2)) ∈ ℂ)
202	201, 181	expcld 14196	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → ((1 / (((2 · 𝑁) + 1)↑2))↑𝑛) ∈ ℂ)
203	55, 200, 152, 202	fvmptd3 7052	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → (𝐿‘𝑛) = ((1 / (((2 · 𝑁) + 1)↑2))↑𝑛))
204	36	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → (1 / (((2 · 𝑁) + 1)↑2)) ∈ ℝ)
205	204, 181	reexpcld 14213	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → ((1 / (((2 · 𝑁) + 1)↑2))↑𝑛) ∈ ℝ)
206	203, 205	eqeltrd 2844	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → (𝐿‘𝑛) ∈ ℝ)
207	206	adantlr 714	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → (𝐿‘𝑛) ∈ ℝ)
208	145, 207, 198	seqcl 14073	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (seq1( + , 𝐿)‘𝑗) ∈ ℝ)
209	30	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑛 ∈ (1...𝑗) → 2 ∈ ℤ)
210		elfzelz 13584	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑛 ∈ (1...𝑗) → 𝑛 ∈ ℤ)
211	209, 210	zmulcld 12753	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑛 ∈ (1...𝑗) → (2 · 𝑛) ∈ ℤ)
212		1exp 14142	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((2 · 𝑛) ∈ ℤ → (1↑(2 · 𝑛)) = 1)
213	211, 212	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 ∈ (1...𝑗) → (1↑(2 · 𝑛)) = 1)
214		1exp 14142	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑛 ∈ ℤ → (1↑𝑛) = 1)
215	210, 214	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 ∈ (1...𝑗) → (1↑𝑛) = 1)
216	213, 215	eqtr4d 2783	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 ∈ (1...𝑗) → (1↑(2 · 𝑛)) = (1↑𝑛))
217	216	adantl 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → (1↑(2 · 𝑛)) = (1↑𝑛))
218	176, 181, 180	expmuld 14199	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → (((2 · 𝑁) + 1)↑(2 · 𝑛)) = ((((2 · 𝑁) + 1)↑2)↑𝑛))
219	217, 218	oveq12d 7466	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → ((1↑(2 · 𝑛)) / (((2 · 𝑁) + 1)↑(2 · 𝑛))) = ((1↑𝑛) / ((((2 · 𝑁) + 1)↑2)↑𝑛)))
220	156, 176, 177, 182	expdivd 14210	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → ((1 / ((2 · 𝑁) + 1))↑(2 · 𝑛)) = ((1↑(2 · 𝑛)) / (((2 · 𝑁) + 1)↑(2 · 𝑛))))
221	176	sqcld 14194	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → (((2 · 𝑁) + 1)↑2) ∈ ℂ)
222	30	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → 2 ∈ ℤ)
223	176, 177, 222	expne0d 14202	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → (((2 · 𝑁) + 1)↑2) ≠ 0)
224	156, 221, 223, 181	expdivd 14210	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → ((1 / (((2 · 𝑁) + 1)↑2))↑𝑛) = ((1↑𝑛) / ((((2 · 𝑁) + 1)↑2)↑𝑛)))
225	219, 220, 224	3eqtr4d 2790	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → ((1 / ((2 · 𝑁) + 1))↑(2 · 𝑛)) = ((1 / (((2 · 𝑁) + 1)↑2))↑𝑛))
226	225	oveq2d 7464	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → ((1 / ((2 · 𝑛) + 1)) · ((1 / ((2 · 𝑁) + 1))↑(2 · 𝑛))) = ((1 / ((2 · 𝑛) + 1)) · ((1 / (((2 · 𝑁) + 1)↑2))↑𝑛)))
227		1rp 13061	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 1 ∈ ℝ⁺
228	227	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → 1 ∈ ℝ⁺)
229	16	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → 2 ∈ ℝ)
230	152	nnred 12308	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → 𝑛 ∈ ℝ)
231	229, 230	remulcld 11320	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → (2 · 𝑛) ∈ ℝ)
232	180	nn0ge0d 12616	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → 0 ≤ 2)
233	181	nn0ge0d 12616	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → 0 ≤ 𝑛)
234	229, 230, 232, 233	mulge0d 11867	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → 0 ≤ (2 · 𝑛))
235	231, 234	ge0p1rpd 13129	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → ((2 · 𝑛) + 1) ∈ ℝ⁺)
236		1red 11291	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → 1 ∈ ℝ)
237	228	rpge0d 13103	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → 0 ≤ 1)
238	159, 163, 168	ltled 11438	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → 1 ≤ ((2 · 𝑛) + 1))
239	151, 238	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 ∈ (1...𝑗) → 1 ≤ ((2 · 𝑛) + 1))
240	239	adantl 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → 1 ≤ ((2 · 𝑛) + 1))
241	228, 235, 236, 237, 240	lediv2ad 13121	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → (1 / ((2 · 𝑛) + 1)) ≤ (1 / 1))
242	156	div1d 12062	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → (1 / 1) = 1)
243	241, 242	breqtrd 5192	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → (1 / ((2 · 𝑛) + 1)) ≤ 1)
244	152, 188	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → (1 / ((2 · 𝑛) + 1)) ∈ ℝ)
245	18	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → 𝑁 ∈ ℝ)
246	229, 245	remulcld 11320	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → (2 · 𝑁) ∈ ℝ)
247	14, 18, 120	ltled 11438	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 0 ≤ 𝑁)
248	247	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → 0 ≤ 𝑁)
249	229, 245, 232, 248	mulge0d 11867	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → 0 ≤ (2 · 𝑁))
250	246, 249	ge0p1rpd 13129	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → ((2 · 𝑁) + 1) ∈ ℝ⁺)
251	250, 222	rpexpcld 14296	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → (((2 · 𝑁) + 1)↑2) ∈ ℝ⁺)
252	251	rpreccld 13109	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → (1 / (((2 · 𝑁) + 1)↑2)) ∈ ℝ⁺)
253	210	adantl 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → 𝑛 ∈ ℤ)
254	252, 253	rpexpcld 14296	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → ((1 / (((2 · 𝑁) + 1)↑2))↑𝑛) ∈ ℝ⁺)
255	244, 236, 254	lemul1d 13142	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → ((1 / ((2 · 𝑛) + 1)) ≤ 1 ↔ ((1 / ((2 · 𝑛) + 1)) · ((1 / (((2 · 𝑁) + 1)↑2))↑𝑛)) ≤ (1 · ((1 / (((2 · 𝑁) + 1)↑2))↑𝑛))))
256	243, 255	mpbid 232	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → ((1 / ((2 · 𝑛) + 1)) · ((1 / (((2 · 𝑁) + 1)↑2))↑𝑛)) ≤ (1 · ((1 / (((2 · 𝑁) + 1)↑2))↑𝑛)))
257	202	mullidd 11308	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → (1 · ((1 / (((2 · 𝑁) + 1)↑2))↑𝑛)) = ((1 / (((2 · 𝑁) + 1)↑2))↑𝑛))
258	256, 257	breqtrd 5192	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → ((1 / ((2 · 𝑛) + 1)) · ((1 / (((2 · 𝑁) + 1)↑2))↑𝑛)) ≤ ((1 / (((2 · 𝑁) + 1)↑2))↑𝑛))
259	226, 258	eqbrtrd 5188	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → ((1 / ((2 · 𝑛) + 1)) · ((1 / ((2 · 𝑁) + 1))↑(2 · 𝑛))) ≤ ((1 / (((2 · 𝑁) + 1)↑2))↑𝑛))
260	259, 185, 203	3brtr4d 5198	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → (𝐾‘𝑛) ≤ (𝐿‘𝑛))
261	260	adantlr 714	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → (𝐾‘𝑛) ≤ (𝐿‘𝑛))
262	145, 196, 207, 261	serle 14108	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (seq1( + , 𝐾)‘𝑗) ≤ (seq1( + , 𝐿)‘𝑗))
263	1, 2, 7, 143, 199, 208, 262	climle 15686	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((𝐵‘𝑁) − (𝐵‘(𝑁 + 1))) ≤ ((1 / 4) · (1 / (𝑁 · (𝑁 + 1)))))

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: → wi 4 ↔ wb 206 ∧ wa 395 = wceq 1537 ∈ wcel 2108 ≠ wne 2946 class class class wbr 5166 ↦ cmpt 5249 ‘cfv 6573 (class class class)co 7448 ℂcc 11182 ℝcr 11183 0cc0 11184 1c1 11185 + caddc 11187 · cmul 11189 < clt 11324 ≤ cle 11325 − cmin 11520 -cneg 11521 / cdiv 11947 ℕcn 12293 2c2 12348 4c4 12350 ℕ₀cn0 12553 ℤcz 12639 ℤ_≥cuz 12903 ℝ⁺crp 13057 ...cfz 13567 seqcseq 14052 ↑cexp 14112 !cfa 14322 √csqrt 15282 abscabs 15283 ⇝ cli 15530 eceu 16110 logclog 26614

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1793 ax-4 1807 ax-5 1909 ax-6 1967 ax-7 2007 ax-8 2110 ax-9 2118 ax-10 2141 ax-11 2158 ax-12 2178 ax-ext 2711 ax-rep 5303 ax-sep 5317 ax-nul 5324 ax-pow 5383 ax-pr 5447 ax-un 7770 ax-inf2 9710 ax-cnex 11240 ax-resscn 11241 ax-1cn 11242 ax-icn 11243 ax-addcl 11244 ax-addrcl 11245 ax-mulcl 11246 ax-mulrcl 11247 ax-mulcom 11248 ax-addass 11249 ax-mulass 11250 ax-distr 11251 ax-i2m1 11252 ax-1ne0 11253 ax-1rid 11254 ax-rnegex 11255 ax-rrecex 11256 ax-cnre 11257 ax-pre-lttri 11258 ax-pre-lttrn 11259 ax-pre-ltadd 11260 ax-pre-mulgt0 11261 ax-pre-sup 11262 ax-addf 11263

This theorem depends on definitions: df-bi 207 df-an 396 df-or 847 df-3or 1088 df-3an 1089 df-tru 1540 df-fal 1550 df-ex 1778 df-nf 1782 df-sb 2065 df-mo 2543 df-eu 2572 df-clab 2718 df-cleq 2732 df-clel 2819 df-nfc 2895 df-ne 2947 df-nel 3053 df-ral 3068 df-rex 3077 df-rmo 3388 df-reu 3389 df-rab 3444 df-v 3490 df-sbc 3805 df-csb 3922 df-dif 3979 df-un 3981 df-in 3983 df-ss 3993 df-pss 3996 df-nul 4353 df-if 4549 df-pw 4624 df-sn 4649 df-pr 4651 df-tp 4653 df-op 4655 df-uni 4932 df-int 4971 df-iun 5017 df-iin 5018 df-br 5167 df-opab 5229 df-mpt 5250 df-tr 5284 df-id 5593 df-eprel 5599 df-po 5607 df-so 5608 df-fr 5652 df-se 5653 df-we 5654 df-xp 5706 df-rel 5707 df-cnv 5708 df-co 5709 df-dm 5710 df-rn 5711 df-res 5712 df-ima 5713 df-pred 6332 df-ord 6398 df-on 6399 df-lim 6400 df-suc 6401 df-iota 6525 df-fun 6575 df-fn 6576 df-f 6577 df-f1 6578 df-fo 6579 df-f1o 6580 df-fv 6581 df-isom 6582 df-riota 7404 df-ov 7451 df-oprab 7452 df-mpo 7453 df-of 7714 df-om 7904 df-1st 8030 df-2nd 8031 df-supp 8202 df-frecs 8322 df-wrecs 8353 df-recs 8427 df-rdg 8466 df-1o 8522 df-2o 8523 df-oadd 8526 df-er 8763 df-map 8886 df-pm 8887 df-ixp 8956 df-en 9004 df-dom 9005 df-sdom 9006 df-fin 9007 df-fsupp 9432 df-fi 9480 df-sup 9511 df-inf 9512 df-oi 9579 df-card 10008 df-pnf 11326 df-mnf 11327 df-xr 11328 df-ltxr 11329 df-le 11330 df-sub 11522 df-neg 11523 df-div 11948 df-nn 12294 df-2 12356 df-3 12357 df-4 12358 df-5 12359 df-6 12360 df-7 12361 df-8 12362 df-9 12363 df-n0 12554 df-xnn0 12626 df-z 12640 df-dec 12759 df-uz 12904 df-q 13014 df-rp 13058 df-xneg 13175 df-xadd 13176 df-xmul 13177 df-ioo 13411 df-ioc 13412 df-ico 13413 df-icc 13414 df-fz 13568 df-fzo 13712 df-fl 13843 df-mod 13921 df-seq 14053 df-exp 14113 df-fac 14323 df-bc 14352 df-hash 14380 df-shft 15116 df-cj 15148 df-re 15149 df-im 15150 df-sqrt 15284 df-abs 15285 df-limsup 15517 df-clim 15534 df-rlim 15535 df-sum 15735 df-ef 16115 df-e 16116 df-sin 16117 df-cos 16118 df-tan 16119 df-pi 16120 df-dvds 16303 df-struct 17194 df-sets 17211 df-slot 17229 df-ndx 17241 df-base 17259 df-ress 17288 df-plusg 17324 df-mulr 17325 df-starv 17326 df-sca 17327 df-vsca 17328 df-ip 17329 df-tset 17330 df-ple 17331 df-ds 17333 df-unif 17334 df-hom 17335 df-cco 17336 df-rest 17482 df-topn 17483 df-0g 17501 df-gsum 17502 df-topgen 17503 df-pt 17504 df-prds 17507 df-xrs 17562 df-qtop 17567 df-imas 17568 df-xps 17570 df-mre 17644 df-mrc 17645 df-acs 17647 df-mgm 18678 df-sgrp 18757 df-mnd 18773 df-submnd 18819 df-mulg 19108 df-cntz 19357 df-cmn 19824 df-psmet 21379 df-xmet 21380 df-met 21381 df-bl 21382 df-mopn 21383 df-fbas 21384 df-fg 21385 df-cnfld 21388 df-top 22921 df-topon 22938 df-topsp 22960 df-bases 22974 df-cld 23048 df-ntr 23049 df-cls 23050 df-nei 23127 df-lp 23165 df-perf 23166 df-cn 23256 df-cnp 23257 df-haus 23344 df-cmp 23416 df-tx 23591 df-hmeo 23784 df-fil 23875 df-fm 23967 df-flim 23968 df-flf 23969 df-xms 24351 df-ms 24352 df-tms 24353 df-cncf 24923 df-limc 25921 df-dv 25922 df-ulm 26438 df-log 26616 df-cxp 26617

This theorem is referenced by: stirlinglem12 46006

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