Theorem dprdf1 19945

Description: Rearrange the index set of a direct product family. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Apr-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
dprdf1.1	⊢ (𝜑 → 𝐺dom DProd 𝑆)
dprdf1.2	⊢ (𝜑 → dom 𝑆 = 𝐼)
dprdf1.3	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐽–1-1→𝐼)

Assertion

Ref	Expression
dprdf1	⊢ (𝜑 → (𝐺dom DProd (𝑆 ∘ 𝐹) ∧ (𝐺 DProd (𝑆 ∘ 𝐹)) ⊆ (𝐺 DProd 𝑆)))

Proof of Theorem dprdf1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dprdf1.1	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐺dom DProd 𝑆)
2		dprdf1.2	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → dom 𝑆 = 𝐼)
3		dprdf1.3	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐽–1-1→𝐼)
4		f1f 6787	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹:𝐽–1-1→𝐼 → 𝐹:𝐽⟶𝐼)
5		frn 6724	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹:𝐽⟶𝐼 → ran 𝐹 ⊆ 𝐼)
6	3, 4, 5	3syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ran 𝐹 ⊆ 𝐼)
7	1, 2, 6	dprdres 19940	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐺dom DProd (𝑆 ↾ ran 𝐹) ∧ (𝐺 DProd (𝑆 ↾ ran 𝐹)) ⊆ (𝐺 DProd 𝑆)))
8	7	simpld 494	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐺dom DProd (𝑆 ↾ ran 𝐹))
9	1, 2	dprdf2 19919	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑆:𝐼⟶(SubGrp‘𝐺))
10	9, 6	fssresd 6758	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑆 ↾ ran 𝐹):ran 𝐹⟶(SubGrp‘𝐺))
11	10	fdmd 6728	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → dom (𝑆 ↾ ran 𝐹) = ran 𝐹)
12		f1f1orn 6844	. . . . . 6 ⊢ (𝐹:𝐽–1-1→𝐼 → 𝐹:𝐽–1-1-onto→ran 𝐹)
13	3, 12	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐽–1-1-onto→ran 𝐹)
14	8, 11, 13	dprdf1o 19944	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐺dom DProd ((𝑆 ↾ ran 𝐹) ∘ 𝐹) ∧ (𝐺 DProd ((𝑆 ↾ ran 𝐹) ∘ 𝐹)) = (𝐺 DProd (𝑆 ↾ ran 𝐹))))
15	14	simpld 494	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺dom DProd ((𝑆 ↾ ran 𝐹) ∘ 𝐹))
16		ssid 4004	. . . 4 ⊢ ran 𝐹 ⊆ ran 𝐹
17		cores 6248	. . . 4 ⊢ (ran 𝐹 ⊆ ran 𝐹 → ((𝑆 ↾ ran 𝐹) ∘ 𝐹) = (𝑆 ∘ 𝐹))
18	16, 17	ax-mp 5	. . 3 ⊢ ((𝑆 ↾ ran 𝐹) ∘ 𝐹) = (𝑆 ∘ 𝐹)
19	15, 18	breqtrdi 5189	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐺dom DProd (𝑆 ∘ 𝐹))
20	18	oveq2i 7423	. . . 4 ⊢ (𝐺 DProd ((𝑆 ↾ ran 𝐹) ∘ 𝐹)) = (𝐺 DProd (𝑆 ∘ 𝐹))
21	14	simprd 495	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐺 DProd ((𝑆 ↾ ran 𝐹) ∘ 𝐹)) = (𝐺 DProd (𝑆 ↾ ran 𝐹)))
22	20, 21	eqtr3id 2785	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐺 DProd (𝑆 ∘ 𝐹)) = (𝐺 DProd (𝑆 ↾ ran 𝐹)))
23	7	simprd 495	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐺 DProd (𝑆 ↾ ran 𝐹)) ⊆ (𝐺 DProd 𝑆))
24	22, 23	eqsstrd 4020	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐺 DProd (𝑆 ∘ 𝐹)) ⊆ (𝐺 DProd 𝑆))
25	19, 24	jca 511	1 ⊢ (𝜑 → (𝐺dom DProd (𝑆 ∘ 𝐹) ∧ (𝐺 DProd (𝑆 ∘ 𝐹)) ⊆ (𝐺 DProd 𝑆)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ⊆ wss 3948   class class class wbr 5148  dom cdm 5676  ran crn 5677   ↾ cres 5678   ∘ ccom 5680  ⟶wf 6539  –1-1→wf1 6540  –1-1-onto→wf1o 6542  ‘cfv 6543  (class class class)co 7412  SubGrpcsubg 19037   DProd cdprd 19905

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7728  ax-cnex 11169  ax-resscn 11170  ax-1cn 11171  ax-icn 11172  ax-addcl 11173  ax-addrcl 11174  ax-mulcl 11175  ax-mulrcl 11176  ax-mulcom 11177  ax-addass 11178  ax-mulass 11179  ax-distr 11180  ax-i2m1 11181  ax-1ne0 11182  ax-1rid 11183  ax-rnegex 11184  ax-rrecex 11185  ax-cnre 11186  ax-pre-lttri 11187  ax-pre-lttrn 11188  ax-pre-ltadd 11189  ax-pre-mulgt0 11190

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-iin 5000  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-of 7673  df-om 7859  df-1st 7978  df-2nd 7979  df-supp 8150  df-tpos 8214  df-frecs 8269  df-wrecs 8300  df-recs 8374  df-rdg 8413  df-1o 8469  df-er 8706  df-map 8825  df-ixp 8895  df-en 8943  df-dom 8944  df-sdom 8945  df-fin 8946  df-fsupp 9365  df-oi 9508  df-card 9937  df-pnf 11255  df-mnf 11256  df-xr 11257  df-ltxr 11258  df-le 11259  df-sub 11451  df-neg 11452  df-nn 12218  df-2 12280  df-n0 12478  df-z 12564  df-uz 12828  df-fz 13490  df-fzo 13633  df-seq 13972  df-hash 14296  df-sets 17102  df-slot 17120  df-ndx 17132  df-base 17150  df-ress 17179  df-plusg 17215  df-0g 17392  df-gsum 17393  df-mre 17535  df-mrc 17536  df-acs 17538  df-mgm 18566  df-sgrp 18645  df-mnd 18661  df-mhm 18706  df-submnd 18707  df-grp 18859  df-minusg 18860  df-sbg 18861  df-mulg 18988  df-subg 19040  df-ghm 19129  df-gim 19174  df-cntz 19223  df-oppg 19252  df-cmn 19692  df-dprd 19907

This theorem is referenced by: (None)