Theorem dprdf1 20010

Description: Rearrange the index set of a direct product family. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Apr-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
dprdf1.1	⊢ (𝜑 → 𝐺dom DProd 𝑆)
dprdf1.2	⊢ (𝜑 → dom 𝑆 = 𝐼)
dprdf1.3	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐽–1-1→𝐼)

Assertion

Ref	Expression
dprdf1	⊢ (𝜑 → (𝐺dom DProd (𝑆 ∘ 𝐹) ∧ (𝐺 DProd (𝑆 ∘ 𝐹)) ⊆ (𝐺 DProd 𝑆)))

Proof of Theorem dprdf1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dprdf1.1	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐺dom DProd 𝑆)
2		dprdf1.2	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → dom 𝑆 = 𝐼)
3		dprdf1.3	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐽–1-1→𝐼)
4		f1f 6737	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹:𝐽–1-1→𝐼 → 𝐹:𝐽⟶𝐼)
5		frn 6676	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹:𝐽⟶𝐼 → ran 𝐹 ⊆ 𝐼)
6	3, 4, 5	3syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ran 𝐹 ⊆ 𝐼)
7	1, 2, 6	dprdres 20005	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐺dom DProd (𝑆 ↾ ran 𝐹) ∧ (𝐺 DProd (𝑆 ↾ ran 𝐹)) ⊆ (𝐺 DProd 𝑆)))
8	7	simpld 494	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐺dom DProd (𝑆 ↾ ran 𝐹))
9	1, 2	dprdf2 19984	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑆:𝐼⟶(SubGrp‘𝐺))
10	9, 6	fssresd 6708	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑆 ↾ ran 𝐹):ran 𝐹⟶(SubGrp‘𝐺))
11	10	fdmd 6679	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → dom (𝑆 ↾ ran 𝐹) = ran 𝐹)
12		f1f1orn 6792	. . . . . 6 ⊢ (𝐹:𝐽–1-1→𝐼 → 𝐹:𝐽–1-1-onto→ran 𝐹)
13	3, 12	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐽–1-1-onto→ran 𝐹)
14	8, 11, 13	dprdf1o 20009	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐺dom DProd ((𝑆 ↾ ran 𝐹) ∘ 𝐹) ∧ (𝐺 DProd ((𝑆 ↾ ran 𝐹) ∘ 𝐹)) = (𝐺 DProd (𝑆 ↾ ran 𝐹))))
15	14	simpld 494	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺dom DProd ((𝑆 ↾ ran 𝐹) ∘ 𝐹))
16		ssid 3945	. . . 4 ⊢ ran 𝐹 ⊆ ran 𝐹
17		cores 6214	. . . 4 ⊢ (ran 𝐹 ⊆ ran 𝐹 → ((𝑆 ↾ ran 𝐹) ∘ 𝐹) = (𝑆 ∘ 𝐹))
18	16, 17	ax-mp 5	. . 3 ⊢ ((𝑆 ↾ ran 𝐹) ∘ 𝐹) = (𝑆 ∘ 𝐹)
19	15, 18	breqtrdi 5127	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐺dom DProd (𝑆 ∘ 𝐹))
20	18	oveq2i 7378	. . . 4 ⊢ (𝐺 DProd ((𝑆 ↾ ran 𝐹) ∘ 𝐹)) = (𝐺 DProd (𝑆 ∘ 𝐹))
21	14	simprd 495	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐺 DProd ((𝑆 ↾ ran 𝐹) ∘ 𝐹)) = (𝐺 DProd (𝑆 ↾ ran 𝐹)))
22	20, 21	eqtr3id 2786	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐺 DProd (𝑆 ∘ 𝐹)) = (𝐺 DProd (𝑆 ↾ ran 𝐹)))
23	7	simprd 495	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐺 DProd (𝑆 ↾ ran 𝐹)) ⊆ (𝐺 DProd 𝑆))
24	22, 23	eqsstrd 3957	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐺 DProd (𝑆 ∘ 𝐹)) ⊆ (𝐺 DProd 𝑆))
25	19, 24	jca 511	1 ⊢ (𝜑 → (𝐺dom DProd (𝑆 ∘ 𝐹) ∧ (𝐺 DProd (𝑆 ∘ 𝐹)) ⊆ (𝐺 DProd 𝑆)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542   ⊆ wss 3890   class class class wbr 5086  dom cdm 5631  ran crn 5632   ↾ cres 5633   ∘ ccom 5635  ⟶wf 6495  –1-1→wf1 6496  –1-1-onto→wf1o 6498  ‘cfv 6499  (class class class)co 7367  SubGrpcsubg 19096   DProd cdprd 19970

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5213  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5308  ax-pr 5376  ax-un 7689  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-int 4891  df-iun 4936  df-iin 4937  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-se 5585  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6266  df-ord 6327  df-on 6328  df-lim 6329  df-suc 6330  df-iota 6455  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-isom 6508  df-riota 7324  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-of 7631  df-om 7818  df-1st 7942  df-2nd 7943  df-supp 8111  df-tpos 8176  df-frecs 8231  df-wrecs 8262  df-recs 8311  df-rdg 8349  df-1o 8405  df-2o 8406  df-er 8643  df-map 8775  df-ixp 8846  df-en 8894  df-dom 8895  df-sdom 8896  df-fin 8897  df-fsupp 9275  df-oi 9425  df-card 9863  df-pnf 11181  df-mnf 11182  df-xr 11183  df-ltxr 11184  df-le 11185  df-sub 11379  df-neg 11380  df-nn 12175  df-2 12244  df-n0 12438  df-z 12525  df-uz 12789  df-fz 13462  df-fzo 13609  df-seq 13964  df-hash 14293  df-sets 17134  df-slot 17152  df-ndx 17164  df-base 17180  df-ress 17201  df-plusg 17233  df-0g 17404  df-gsum 17405  df-mre 17548  df-mrc 17549  df-acs 17551  df-mgm 18608  df-sgrp 18687  df-mnd 18703  df-mhm 18751  df-submnd 18752  df-grp 18912  df-minusg 18913  df-sbg 18914  df-mulg 19044  df-subg 19099  df-ghm 19188  df-gim 19234  df-cntz 19292  df-oppg 19321  df-cmn 19757  df-dprd 19972

This theorem is referenced by: (None)