MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dprdf1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dprdf1 19146
Description: Rearrange the index set of a direct product family. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
dprdf1.1 (𝜑𝐺dom DProd 𝑆)
dprdf1.2 (𝜑 → dom 𝑆 = 𝐼)
dprdf1.3 (𝜑𝐹:𝐽1-1𝐼)
Assertion
Ref Expression
dprdf1 (𝜑 → (𝐺dom DProd (𝑆𝐹) ∧ (𝐺 DProd (𝑆𝐹)) ⊆ (𝐺 DProd 𝑆)))

Proof of Theorem dprdf1
StepHypRef Expression
1 dprdf1.1 . . . . . . 7 (𝜑𝐺dom DProd 𝑆)
2 dprdf1.2 . . . . . . 7 (𝜑 → dom 𝑆 = 𝐼)
3 dprdf1.3 . . . . . . . 8 (𝜑𝐹:𝐽1-1𝐼)
4 f1f 6556 . . . . . . . 8 (𝐹:𝐽1-1𝐼𝐹:𝐽𝐼)
5 frn 6500 . . . . . . . 8 (𝐹:𝐽𝐼 → ran 𝐹𝐼)
63, 4, 53syl 18 . . . . . . 7 (𝜑 → ran 𝐹𝐼)
71, 2, 6dprdres 19141 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐺dom DProd (𝑆 ↾ ran 𝐹) ∧ (𝐺 DProd (𝑆 ↾ ran 𝐹)) ⊆ (𝐺 DProd 𝑆)))
87simpld 498 . . . . 5 (𝜑𝐺dom DProd (𝑆 ↾ ran 𝐹))
91, 2dprdf2 19120 . . . . . . 7 (𝜑𝑆:𝐼⟶(SubGrp‘𝐺))
109, 6fssresd 6526 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑆 ↾ ran 𝐹):ran 𝐹⟶(SubGrp‘𝐺))
1110fdmd 6504 . . . . 5 (𝜑 → dom (𝑆 ↾ ran 𝐹) = ran 𝐹)
12 f1f1orn 6608 . . . . . 6 (𝐹:𝐽1-1𝐼𝐹:𝐽1-1-onto→ran 𝐹)
133, 12syl 17 . . . . 5 (𝜑𝐹:𝐽1-1-onto→ran 𝐹)
148, 11, 13dprdf1o 19145 . . . 4 (𝜑 → (𝐺dom DProd ((𝑆 ↾ ran 𝐹) ∘ 𝐹) ∧ (𝐺 DProd ((𝑆 ↾ ran 𝐹) ∘ 𝐹)) = (𝐺 DProd (𝑆 ↾ ran 𝐹))))
1514simpld 498 . . 3 (𝜑𝐺dom DProd ((𝑆 ↾ ran 𝐹) ∘ 𝐹))
16 ssid 3964 . . . 4 ran 𝐹 ⊆ ran 𝐹
17 cores 6080 . . . 4 (ran 𝐹 ⊆ ran 𝐹 → ((𝑆 ↾ ran 𝐹) ∘ 𝐹) = (𝑆𝐹))
1816, 17ax-mp 5 . . 3 ((𝑆 ↾ ran 𝐹) ∘ 𝐹) = (𝑆𝐹)
1915, 18breqtrdi 5083 . 2 (𝜑𝐺dom DProd (𝑆𝐹))
2018oveq2i 7151 . . . 4 (𝐺 DProd ((𝑆 ↾ ran 𝐹) ∘ 𝐹)) = (𝐺 DProd (𝑆𝐹))
2114simprd 499 . . . 4 (𝜑 → (𝐺 DProd ((𝑆 ↾ ran 𝐹) ∘ 𝐹)) = (𝐺 DProd (𝑆 ↾ ran 𝐹)))
2220, 21syl5eqr 2871 . . 3 (𝜑 → (𝐺 DProd (𝑆𝐹)) = (𝐺 DProd (𝑆 ↾ ran 𝐹)))
237simprd 499 . . 3 (𝜑 → (𝐺 DProd (𝑆 ↾ ran 𝐹)) ⊆ (𝐺 DProd 𝑆))
2422, 23eqsstrd 3980 . 2 (𝜑 → (𝐺 DProd (𝑆𝐹)) ⊆ (𝐺 DProd 𝑆))
2519, 24jca 515 1 (𝜑 → (𝐺dom DProd (𝑆𝐹) ∧ (𝐺 DProd (𝑆𝐹)) ⊆ (𝐺 DProd 𝑆)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 399   = wceq 1538  wss 3908   class class class wbr 5042  dom cdm 5532  ran crn 5533  cres 5534  ccom 5536  wf 6330  1-1wf1 6331  1-1-ontowf1o 6333  cfv 6334  (class class class)co 7140  SubGrpcsubg 18264   DProd cdprd 19106
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2178  ax-ext 2794  ax-rep 5166  ax-sep 5179  ax-nul 5186  ax-pow 5243  ax-pr 5307  ax-un 7446  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2653  df-clab 2801  df-cleq 2815  df-clel 2894  df-nfc 2962  df-ne 3012  df-nel 3116  df-ral 3135  df-rex 3136  df-reu 3137  df-rmo 3138  df-rab 3139  df-v 3471  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3927  df-nul 4266  df-if 4440  df-pw 4513  df-sn 4540  df-pr 4542  df-tp 4544  df-op 4546  df-uni 4814  df-int 4852  df-iun 4896  df-iin 4897  df-br 5043  df-opab 5105  df-mpt 5123  df-tr 5149  df-id 5437  df-eprel 5442  df-po 5451  df-so 5452  df-fr 5491  df-se 5492  df-we 5493  df-xp 5538  df-rel 5539  df-cnv 5540  df-co 5541  df-dm 5542  df-rn 5543  df-res 5544  df-ima 5545  df-pred 6126  df-ord 6172  df-on 6173  df-lim 6174  df-suc 6175  df-iota 6293  df-fun 6336  df-fn 6337  df-f 6338  df-f1 6339  df-fo 6340  df-f1o 6341  df-fv 6342  df-isom 6343  df-riota 7098  df-ov 7143  df-oprab 7144  df-mpo 7145  df-of 7394  df-om 7566  df-1st 7675  df-2nd 7676  df-supp 7818  df-tpos 7879  df-wrecs 7934  df-recs 7995  df-rdg 8033  df-1o 8089  df-oadd 8093  df-er 8276  df-map 8395  df-ixp 8449  df-en 8497  df-dom 8498  df-sdom 8499  df-fin 8500  df-fsupp 8822  df-oi 8962  df-card 9356  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-nn 11626  df-2 11688  df-n0 11886  df-z 11970  df-uz 12232  df-fz 12886  df-fzo 13029  df-seq 13365  df-hash 13687  df-ndx 16477  df-slot 16478  df-base 16480  df-sets 16481  df-ress 16482  df-plusg 16569  df-0g 16706  df-gsum 16707  df-mre 16848  df-mrc 16849  df-acs 16851  df-mgm 17843  df-sgrp 17892  df-mnd 17903  df-mhm 17947  df-submnd 17948  df-grp 18097  df-minusg 18098  df-sbg 18099  df-mulg 18216  df-subg 18267  df-ghm 18347  df-gim 18390  df-cntz 18438  df-oppg 18465  df-cmn 18899  df-dprd 19108
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator