Theorem dprdf1 20053

Description: Rearrange the index set of a direct product family. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Apr-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
dprdf1.1	⊢ (𝜑 → 𝐺dom DProd 𝑆)
dprdf1.2	⊢ (𝜑 → dom 𝑆 = 𝐼)
dprdf1.3	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐽–1-1→𝐼)

Assertion

Ref	Expression
dprdf1	⊢ (𝜑 → (𝐺dom DProd (𝑆 ∘ 𝐹) ∧ (𝐺 DProd (𝑆 ∘ 𝐹)) ⊆ (𝐺 DProd 𝑆)))

Proof of Theorem dprdf1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dprdf1.1	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐺dom DProd 𝑆)
2		dprdf1.2	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → dom 𝑆 = 𝐼)
3		dprdf1.3	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐽–1-1→𝐼)
4		f1f 6804	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹:𝐽–1-1→𝐼 → 𝐹:𝐽⟶𝐼)
5		frn 6743	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹:𝐽⟶𝐼 → ran 𝐹 ⊆ 𝐼)
6	3, 4, 5	3syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ran 𝐹 ⊆ 𝐼)
7	1, 2, 6	dprdres 20048	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐺dom DProd (𝑆 ↾ ran 𝐹) ∧ (𝐺 DProd (𝑆 ↾ ran 𝐹)) ⊆ (𝐺 DProd 𝑆)))
8	7	simpld 494	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐺dom DProd (𝑆 ↾ ran 𝐹))
9	1, 2	dprdf2 20027	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑆:𝐼⟶(SubGrp‘𝐺))
10	9, 6	fssresd 6775	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑆 ↾ ran 𝐹):ran 𝐹⟶(SubGrp‘𝐺))
11	10	fdmd 6746	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → dom (𝑆 ↾ ran 𝐹) = ran 𝐹)
12		f1f1orn 6859	. . . . . 6 ⊢ (𝐹:𝐽–1-1→𝐼 → 𝐹:𝐽–1-1-onto→ran 𝐹)
13	3, 12	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐽–1-1-onto→ran 𝐹)
14	8, 11, 13	dprdf1o 20052	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐺dom DProd ((𝑆 ↾ ran 𝐹) ∘ 𝐹) ∧ (𝐺 DProd ((𝑆 ↾ ran 𝐹) ∘ 𝐹)) = (𝐺 DProd (𝑆 ↾ ran 𝐹))))
15	14	simpld 494	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺dom DProd ((𝑆 ↾ ran 𝐹) ∘ 𝐹))
16		ssid 4006	. . . 4 ⊢ ran 𝐹 ⊆ ran 𝐹
17		cores 6269	. . . 4 ⊢ (ran 𝐹 ⊆ ran 𝐹 → ((𝑆 ↾ ran 𝐹) ∘ 𝐹) = (𝑆 ∘ 𝐹))
18	16, 17	ax-mp 5	. . 3 ⊢ ((𝑆 ↾ ran 𝐹) ∘ 𝐹) = (𝑆 ∘ 𝐹)
19	15, 18	breqtrdi 5184	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐺dom DProd (𝑆 ∘ 𝐹))
20	18	oveq2i 7442	. . . 4 ⊢ (𝐺 DProd ((𝑆 ↾ ran 𝐹) ∘ 𝐹)) = (𝐺 DProd (𝑆 ∘ 𝐹))
21	14	simprd 495	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐺 DProd ((𝑆 ↾ ran 𝐹) ∘ 𝐹)) = (𝐺 DProd (𝑆 ↾ ran 𝐹)))
22	20, 21	eqtr3id 2791	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐺 DProd (𝑆 ∘ 𝐹)) = (𝐺 DProd (𝑆 ↾ ran 𝐹)))
23	7	simprd 495	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐺 DProd (𝑆 ↾ ran 𝐹)) ⊆ (𝐺 DProd 𝑆))
24	22, 23	eqsstrd 4018	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐺 DProd (𝑆 ∘ 𝐹)) ⊆ (𝐺 DProd 𝑆))
25	19, 24	jca 511	1 ⊢ (𝜑 → (𝐺dom DProd (𝑆 ∘ 𝐹) ∧ (𝐺 DProd (𝑆 ∘ 𝐹)) ⊆ (𝐺 DProd 𝑆)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ⊆ wss 3951   class class class wbr 5143  dom cdm 5685  ran crn 5686   ↾ cres 5687   ∘ ccom 5689  ⟶wf 6557  –1-1→wf1 6558  –1-1-onto→wf1o 6560  ‘cfv 6561  (class class class)co 7431  SubGrpcsubg 19138   DProd cdprd 20013

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-iin 4994  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-isom 6570  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-of 7697  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-supp 8186  df-tpos 8251  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-2o 8507  df-er 8745  df-map 8868  df-ixp 8938  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-fsupp 9402  df-oi 9550  df-card 9979  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-nn 12267  df-2 12329  df-n0 12527  df-z 12614  df-uz 12879  df-fz 13548  df-fzo 13695  df-seq 14043  df-hash 14370  df-sets 17201  df-slot 17219  df-ndx 17231  df-base 17248  df-ress 17275  df-plusg 17310  df-0g 17486  df-gsum 17487  df-mre 17629  df-mrc 17630  df-acs 17632  df-mgm 18653  df-sgrp 18732  df-mnd 18748  df-mhm 18796  df-submnd 18797  df-grp 18954  df-minusg 18955  df-sbg 18956  df-mulg 19086  df-subg 19141  df-ghm 19231  df-gim 19277  df-cntz 19335  df-oppg 19364  df-cmn 19800  df-dprd 20015

This theorem is referenced by: (None)