Theorem dprdf1 20021

Description: Rearrange the index set of a direct product family. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Apr-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
dprdf1.1	⊢ (𝜑 → 𝐺dom DProd 𝑆)
dprdf1.2	⊢ (𝜑 → dom 𝑆 = 𝐼)
dprdf1.3	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐽–1-1→𝐼)

Assertion

Ref	Expression
dprdf1	⊢ (𝜑 → (𝐺dom DProd (𝑆 ∘ 𝐹) ∧ (𝐺 DProd (𝑆 ∘ 𝐹)) ⊆ (𝐺 DProd 𝑆)))

Proof of Theorem dprdf1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dprdf1.1	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐺dom DProd 𝑆)
2		dprdf1.2	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → dom 𝑆 = 𝐼)
3		dprdf1.3	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐽–1-1→𝐼)
4		f1f 6779	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹:𝐽–1-1→𝐼 → 𝐹:𝐽⟶𝐼)
5		frn 6718	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹:𝐽⟶𝐼 → ran 𝐹 ⊆ 𝐼)
6	3, 4, 5	3syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ran 𝐹 ⊆ 𝐼)
7	1, 2, 6	dprdres 20016	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐺dom DProd (𝑆 ↾ ran 𝐹) ∧ (𝐺 DProd (𝑆 ↾ ran 𝐹)) ⊆ (𝐺 DProd 𝑆)))
8	7	simpld 494	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐺dom DProd (𝑆 ↾ ran 𝐹))
9	1, 2	dprdf2 19995	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑆:𝐼⟶(SubGrp‘𝐺))
10	9, 6	fssresd 6750	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑆 ↾ ran 𝐹):ran 𝐹⟶(SubGrp‘𝐺))
11	10	fdmd 6721	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → dom (𝑆 ↾ ran 𝐹) = ran 𝐹)
12		f1f1orn 6834	. . . . . 6 ⊢ (𝐹:𝐽–1-1→𝐼 → 𝐹:𝐽–1-1-onto→ran 𝐹)
13	3, 12	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐽–1-1-onto→ran 𝐹)
14	8, 11, 13	dprdf1o 20020	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐺dom DProd ((𝑆 ↾ ran 𝐹) ∘ 𝐹) ∧ (𝐺 DProd ((𝑆 ↾ ran 𝐹) ∘ 𝐹)) = (𝐺 DProd (𝑆 ↾ ran 𝐹))))
15	14	simpld 494	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺dom DProd ((𝑆 ↾ ran 𝐹) ∘ 𝐹))
16		ssid 3986	. . . 4 ⊢ ran 𝐹 ⊆ ran 𝐹
17		cores 6243	. . . 4 ⊢ (ran 𝐹 ⊆ ran 𝐹 → ((𝑆 ↾ ran 𝐹) ∘ 𝐹) = (𝑆 ∘ 𝐹))
18	16, 17	ax-mp 5	. . 3 ⊢ ((𝑆 ↾ ran 𝐹) ∘ 𝐹) = (𝑆 ∘ 𝐹)
19	15, 18	breqtrdi 5165	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐺dom DProd (𝑆 ∘ 𝐹))
20	18	oveq2i 7421	. . . 4 ⊢ (𝐺 DProd ((𝑆 ↾ ran 𝐹) ∘ 𝐹)) = (𝐺 DProd (𝑆 ∘ 𝐹))
21	14	simprd 495	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐺 DProd ((𝑆 ↾ ran 𝐹) ∘ 𝐹)) = (𝐺 DProd (𝑆 ↾ ran 𝐹)))
22	20, 21	eqtr3id 2785	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐺 DProd (𝑆 ∘ 𝐹)) = (𝐺 DProd (𝑆 ↾ ran 𝐹)))
23	7	simprd 495	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐺 DProd (𝑆 ↾ ran 𝐹)) ⊆ (𝐺 DProd 𝑆))
24	22, 23	eqsstrd 3998	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐺 DProd (𝑆 ∘ 𝐹)) ⊆ (𝐺 DProd 𝑆))
25	19, 24	jca 511	1 ⊢ (𝜑 → (𝐺dom DProd (𝑆 ∘ 𝐹) ∧ (𝐺 DProd (𝑆 ∘ 𝐹)) ⊆ (𝐺 DProd 𝑆)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ⊆ wss 3931   class class class wbr 5124  dom cdm 5659  ran crn 5660   ↾ cres 5661   ∘ ccom 5663  ⟶wf 6532  –1-1→wf1 6533  –1-1-onto→wf1o 6535  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410  SubGrpcsubg 19108   DProd cdprd 19981

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2708  ax-rep 5254  ax-sep 5271  ax-nul 5281  ax-pow 5340  ax-pr 5407  ax-un 7734  ax-cnex 11190  ax-resscn 11191  ax-1cn 11192  ax-icn 11193  ax-addcl 11194  ax-addrcl 11195  ax-mulcl 11196  ax-mulrcl 11197  ax-mulcom 11198  ax-addass 11199  ax-mulass 11200  ax-distr 11201  ax-i2m1 11202  ax-1ne0 11203  ax-1rid 11204  ax-rnegex 11205  ax-rrecex 11206  ax-cnre 11207  ax-pre-lttri 11208  ax-pre-lttrn 11209  ax-pre-ltadd 11210  ax-pre-mulgt0 11211

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2810  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3062  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3421  df-v 3466  df-sbc 3771  df-csb 3880  df-dif 3934  df-un 3936  df-in 3938  df-ss 3948  df-pss 3951  df-nul 4314  df-if 4506  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-op 4613  df-uni 4889  df-int 4928  df-iun 4974  df-iin 4975  df-br 5125  df-opab 5187  df-mpt 5207  df-tr 5235  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-se 5612  df-we 5613  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6295  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-isom 6545  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-of 7676  df-om 7867  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-supp 8165  df-tpos 8230  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-1o 8485  df-2o 8486  df-er 8724  df-map 8847  df-ixp 8917  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-fin 8968  df-fsupp 9379  df-oi 9529  df-card 9958  df-pnf 11276  df-mnf 11277  df-xr 11278  df-ltxr 11279  df-le 11280  df-sub 11473  df-neg 11474  df-nn 12246  df-2 12308  df-n0 12507  df-z 12594  df-uz 12858  df-fz 13530  df-fzo 13677  df-seq 14025  df-hash 14354  df-sets 17188  df-slot 17206  df-ndx 17218  df-base 17234  df-ress 17257  df-plusg 17289  df-0g 17460  df-gsum 17461  df-mre 17603  df-mrc 17604  df-acs 17606  df-mgm 18623  df-sgrp 18702  df-mnd 18718  df-mhm 18766  df-submnd 18767  df-grp 18924  df-minusg 18925  df-sbg 18926  df-mulg 19056  df-subg 19111  df-ghm 19201  df-gim 19247  df-cntz 19305  df-oppg 19334  df-cmn 19768  df-dprd 19983

This theorem is referenced by: (None)